წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორით ცვლადი მეთოდიდამატებით, გჭირდებათ:

1) გავამრავლოთ ერთი ან ორივე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები გარკვეულ რიცხვზე ისე, რომ განტოლებების ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებად იქცეს;

2) დაკეცვა ვადა ვადამდე მიიღო განტოლებები და იპოვა ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობა;

3) ჩაანაცვლეთ ერთი ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა ერთ-ერთ ამ განტოლებაში და იპოვეთ მეორე ცვლადის მნიშვნელობა.

თუ ამ სისტემაში ერთი ცვლადის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებია, მაშინვე დავიწყებთ სისტემის ამოხსნას მე-2 წერტილიდან).

მაგალითები.ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით შეკრების მეთოდით.

ვინაიდან y-ზე კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებია (-1 და 1), ამოხსნას ვიწყებთ მე-2 წერტილიდან. ვამატებთ განტოლებებს ტერმინით და ვიღებთ განტოლებას 8x = 24. ნებისმიერი განტოლება შეიძლება დაიწეროს სისტემის მეორე განტოლებად. ორიგინალური სისტემა.

იპოვეთ x და ჩაანაცვლეთ მისი მნიშვნელობა მე-2 განტოლებაში.

ჩვენ ვხსნით მე-2 განტოლებას: 9-y \u003d 14, შესაბამისად y \u003d -5.

Მოდი გავაკეთოთ გადამოწმება. ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები x = 3 და y = -5 განტოლებების თავდაპირველ სისტემაში.

Შენიშვნა. შემოწმება შეიძლება გაკეთდეს ზეპირად და არ ჩაიწეროს, თუ ჩეკი არ არის მითითებული პირობით.

პასუხი: (3; -5).

თუ პირველ განტოლებას გავამრავლებთ (-2-ზე), მაშინ x ცვლადის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვები გახდება:

ამ თანასწორობებს ვამატებთ ტერმინით.

ჩვენ მივიღებთ განტოლებათა ეკვივალენტურ სისტემას, რომელშიც 1-ლი განტოლება არის წინა სისტემის ორი განტოლების ჯამი, ხოლო სისტემის მე-2 განტოლებაზე დავწერთ ორიგინალური სისტემის 1-ლ განტოლებას ( ჩვეულებრივ წერენ განტოლებას უფრო მცირე კოეფიციენტებით):

Ჩვენ ვიპოვეთ ზე 1-ლი განტოლებიდან და მიღებული მნიშვნელობა შეიცვლება მე-2-ში.

ვხსნით სისტემის ბოლო განტოლებას და ვიღებთ x = -2.

პასუხი: (-2; 1).

მოდით გავაკეთოთ ცვლადის კოეფიციენტები ზესაპირისპირო რიცხვები. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ 1-ლი განტოლების ყველა წევრს 5-ზე, ხოლო მე-2 განტოლების ყველა წევრს 2-ზე.

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა x=4 მე-2 განტოლებაში.

3 · 4 - 5y \u003d 27. მოდით გავამარტივოთ: 12 - 5y \u003d 27, აქედან გამომდინარე -5y \u003d 15 და y \u003d -3.

პასუხი: (4; -3).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნას ორი ცვლადით, ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:

1) ერთ ცვლადს გამოვხატავთ მეორის მეშვეობით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში (x-დან y-მდე ან y-დან x-მდე);

2) ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებას სისტემის სხვა განტოლებაში და ვიღებთ წრფივი განტოლებაერთი ცვლადით;

3) მიღებულ წრფივ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით და ვპოულობთ ამ ცვლადის მნიშვნელობას;

4) ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია გამოხატულებით (1) სხვა ცვლადით და ჩვენ ვიპოვით ამ ცვლადის მნიშვნელობას.

მაგალითები. ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით.

ექსპრესი X y-ის მეშვეობით 1-ლი განტოლებიდან. ჩვენ ვიღებთ: x \u003d 7 + y. ჩვენ ვცვლით გამონათქვამს (7 + y) ნაცვლად Xსისტემის მე-2 განტოლებაში.

მივიღეთ განტოლება: 3 · (7+y)+2y=16. ეს არის ერთი ცვლადი განტოლება ზე. ჩვენ მოვაგვარებთ. გავხსნათ ფრჩხილები: 21+3y+2y=16. ტერმინების შეგროვება ცვლადით ზემარცხენა მხარეს, ხოლო უფასო პირობები მარჯვნივ. თანასწორობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ტერმინის გადატანისას ტერმინის ნიშანს ვცვლით საპირისპიროდ.

ჩვენ ვიღებთ: 3y + 2y \u003d 16-21. წარმოგიდგენთ ტერმინების მსგავსადგანტოლების თითოეულ ნაწილში. 5წ=-5. ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ ცვლადის კოეფიციენტზე. y=-5:5; y=-1. შეცვალეთ ეს მნიშვნელობა ზეგამოსახულებაში x=7+y და იპოვე X. ვიღებთ: x=7-1; x=6. ცვლადი მნიშვნელობების წყვილი x=6 და y=-1 არის ამ სისტემის გამოსავალი.

ჩაწერეთ: (6; -1). პასუხი: (6; -1). მოსახერხებელია ამ არგუმენტების დაწერა, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ, ე.ი. განტოლებათა სისტემები - მარცხნივ ერთმანეთის ქვეშ. მარჯვნივ - გამოთვლები, საჭირო ახსნა-განმარტებები, ამოხსნის გადამოწმება და ა.შ.

გვერდი 1 1-დან 1

I. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები

1.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადს x, სასურველი ფუნქცია წდა მისი წარმოებულები ან დიფერენციაციები.

სიმბოლურად დიფერენციალური განტოლებაწერია ასე:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ჩვეულებრივი, თუ სასურველი ფუნქცია დამოკიდებულია ერთ დამოუკიდებელ ცვლადზე.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნითეწოდება ისეთ ფუნქციას, რომელიც ამ განტოლებას იდენტურად აქცევს.

დიფერენციალური განტოლების რიგიარის უმაღლესი წარმოებულის რიგი ამ განტოლებაში

მაგალითები.

1. განვიხილოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება

ამ განტოლების ამონახსნი არის ფუნქცია y = 5 ln x. მართლაც, ჩანაცვლებით y"განტოლებაში ვიღებთ - იდენტურობას.

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = 5 ln x– არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი.

2. განვიხილოთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება y" - 5y" + 6y = 0. ფუნქცია არის ამ განტოლების ამოხსნა.

ნამდვილად,.

ამ გამონათქვამების განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: , - იდენტურობას.

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციაარის დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების ძიების პროცესი.

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაფორმის ფუნქცია ეწოდება , რომელიც მოიცავს იმდენ დამოუკიდებელ თვითნებურ მუდმივობას, რამდენიც განტოლების წესრიგს.

დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამოხსნაეწოდება გადაწყვეტა, რომელიც მიიღება ზოგადი ამონახსნებიდან თვითნებური მუდმივების სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობებისთვის. თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობები გვხვდება არგუმენტისა და ფუნქციის გარკვეულ საწყის მნიშვნელობებზე.

დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნის გრაფიკი ეწოდება ინტეგრალური მრუდი.

მაგალითები

1. იპოვეთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი

xdx + ydy = 0, თუ წ= 4 საათზე x = 3.

გადაწყვეტილება. განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება, მივიღებთ

კომენტარი. ინტეგრაციის შედეგად მიღებული თვითნებური მუდმივი C შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდგომი გარდაქმნებისთვის მოსახერხებელი ნებისმიერი ფორმით. ამ შემთხვევაში, წრის კანონიკური განტოლების გათვალისწინებით, მოსახერხებელია თვითნებური მუდმივი С სახით .

არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს წ = 4 საათზე x = 3 მოიძებნება ზოგადიდან საწყისი პირობების ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით: 3 2 + 4 2 = C 2; C=5.

C=5 ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით მივიღებთ x2+y2 = 5 2 .

ეს არის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, რომელიც მიღებულია ზოგადი ამონახსნით მოცემულ საწყის პირობებში.

2. იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები

ამ განტოლების ამონახსნი არის ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი. მართლაც, განტოლებებში ჩანაცვლებით მივიღებთ: , .

აქედან გამომდინარე, ეს დიფერენციალური განტოლება აქვს უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები, რადგან C მუდმივის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, თანასწორობა განსაზღვრავს სხვადასხვა გადაწყვეტილებებიგანტოლებები.

მაგალითად, პირდაპირი ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ ფუნქციები არის განტოლების ამონახსნები.

პრობლემა, რომელშიც საჭიროა განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა y" = f(x, y)აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(x0) = y0კოშის პრობლემას უწოდებენ.

განტოლების ამოხსნა y" = f(x, y)დააკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას, y(x0) = y0, ეწოდება კოშის პრობლემის გადაწყვეტას.

კოშის პრობლემის ამოხსნას აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა. მართლაც, ამ განმარტებების მიხედვით, კოშის პრობლემის გადაჭრა y" = f(x, y)იმის გათვალისწინებით, რომ y(x0) = y0, ნიშნავს განტოლების ინტეგრალური მრუდის პოვნას y" = f(x, y)რომელიც გადის მოცემული წერტილი M0 (x0,y 0).

II. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

2.1. Ძირითადი ცნებები

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება F(x,y,y") = 0.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება მოიცავს პირველ წარმოებულს და არ შეიცავს უმაღლესი რიგის წარმოებულებს.

განტოლება y" = f(x, y)წარმოებულის მიმართ ამოხსნილ პირველი რიგის განტოლებას უწოდებენ.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ფორმის ფუნქცია, რომელიც შეიცავს ერთ თვითნებურ მუდმივობას.

მაგალითი.განვიხილოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება.

ამ განტოლების გამოსავალი არის ფუნქცია.

მართლაც, ამ განტოლებაში მისი მნიშვნელობით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

ე.ი 3x=3x

მაშასადამე, ფუნქცია არის განტოლების ზოგადი ამოხსნა ნებისმიერი C მუდმივისთვის.

იპოვეთ ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(1)=1საწყისი პირობების ჩანაცვლება x=1, y=1განტოლების ზოგად ამოხსნაში ვიღებთ საიდან C=0.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ ამონახსანს ზოგადიდან ამ განტოლებაში, მიღებული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით C=0პირადი გადაწყვეტილებაა.

2.2. დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

დიფერენციალური განტოლება განცალკევებული ცვლადებით არის ფორმის განტოლება: y"=f(x)g(y)ან დიფერენციალებით, სადაც f(x)და g(y)აძლევენ ფუნქციებს.

Მათთვის წ, რომლისთვისაც, განტოლება y"=f(x)g(y)განტოლების ტოლფასია რომელშიც ცვლადი წარის მხოლოდ მარცხენა მხარეს, ხოლო ცვლადი x არის მხოლოდ მარჯვენა მხარეს. ისინი ამბობენ: "განტოლებაში y"=f(x)g(yცვლადების გამოყოფა.

ტიპის განტოლება ეწოდება გამოყოფილი ცვლადის განტოლება.

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირების შემდეგ on x, ვიღებთ G(y) = F(x) + Cარის განტოლების ზოგადი ამოხსნა, სადაც G(y)და F(x)არის ზოგიერთი ანტიდერივატი, შესაბამისად, ფუნქციებისა და f(x), Cთვითნებური მუდმივი.

გამყოფი ცვლადებით პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი

მაგალითი 1

განტოლების ამოხსნა y" = xy

გადაწყვეტილება. ფუნქციის წარმოებული y"შეცვლა

გამოვყოფთ ცვლადებს

მოდით გავაერთიანოთ თანასწორობის ორივე ნაწილი:

მაგალითი 2

2 წ" = 1- 3x 2, თუ y 0 = 3ზე x0 = 1

ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. მოდით წარმოვადგინოთ იგი დიფერენციალებში. ამისათვის ჩვენ გადავწერთ ამ განტოლებას ფორმაში აქედან

ბოლო თანასწორობის ორივე ნაწილის ინტეგრირება, ჩვენ ვხვდებით

საწყისი მნიშვნელობების ჩანაცვლება x 0 = 1, y 0 = 3იპოვე თან 9=1-1+C, ე.ი. C = 9.

ამიტომ სასურველი ნაწილობრივი ინტეგრალი იქნება ან

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება მრუდისთვის, რომელიც გადის წერტილში M(2;-3)და დახრილობის მქონე ტანგენსი

გადაწყვეტილება. პირობის მიხედვით

ეს არის განცალკევებული ცვლადი განტოლება. ცვლადების გაყოფით მივიღებთ:

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირება, მივიღებთ:

საწყისი პირობების გამოყენებით, x=2და y=-3იპოვე C:

მაშასადამე, სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა

2.3. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება y" = f(x)y + g(x)

სადაც f(x)და g(x)- ზოგიერთი მოცემული ფუნქცია.

Თუ g(x)=0მაშინ წრფივ დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი და აქვს ფორმა: y" = f(x)y

თუ მაშინ განტოლება y" = f(x)y + g(x)ჰეტეროგენული ეწოდება.

წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა y" = f(x)yმოცემულია ფორმულით: სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

კერძოდ, თუ C \u003d 0,მაშინ გამოსავალი არის y=0თუ ხაზოვანი ერთგვაროვანი განტოლებაფორმა აქვს y" = კისადაც კარის რაღაც მუდმივი, მაშინ მის ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა: .

წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა y" = f(x)y + g(x)მოცემული ფორმულით ,

იმათ. უდრის შესაბამისი წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნისა და ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნის ჯამს.

ფორმის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებისთვის y" = kx + b,

სადაც კდა ბ- ზოგიერთი რიცხვი და კონკრეტული ამონახსნი იქნება მუდმივი ფუნქცია. ამიტომ, ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა y" + 2y +3 = 0

გადაწყვეტილება. ჩვენ წარმოვადგენთ განტოლებას ფორმაში y" = -2y - 3სადაც k=-2, b=-3ზოგადი გამოსავალი მოცემულია ფორმულით.

აქედან გამომდინარე, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

2.4. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ბერნულის მეთოდით

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნა y" = f(x)y + g(x)ამცირებს ორი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას გამოყოფილი ცვლადებით ჩანაცვლების გამოყენებით y=uv, სად uდა ვ- უცნობი ფუნქციები x. ამოხსნის ამ მეთოდს ბერნულის მეთოდს უწოდებენ.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი

y" = f(x)y + g(x)

1. შეიყვანეთ ჩანაცვლება y=uv.

2. განასხვავეთ ეს თანასწორობა y"=u"v + uv"

3. შემცვლელი წდა y" in მოცემული განტოლება: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ან u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. დააჯგუფეთ განტოლების ტერმინები ისე, რომ uამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან:

5. ფრჩხილიდან ნულის ტოლფასი იპოვეთ ფუნქცია

ეს არის განცალკევებული განტოლება:

გაყავით ცვლადები და მიიღეთ:

სად . .

6. ჩაანაცვლეთ მიღებული ღირებულება ვგანტოლებაში (მე-4 პუნქტიდან):

და იპოვეთ ფუნქცია ეს არის განცალკევებული განტოლება:

7. დაწერეთ ზოგადი ამონახსნები სახით: , ე.ი. .

მაგალითი 1

იპოვნეთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი y" = -2y +3 = 0თუ y=1ზე x=0

გადაწყვეტილება. მოვაგვაროთ ჩანაცვლებით y=uv,.y"=u"v + uv"

ჩანაცვლება წდა y"ამ განტოლებაში მივიღებთ

განტოლების მარცხენა მხარეს მეორე და მესამე წევრის დაჯგუფებით ვიღებთ საერთო ფაქტორს u ფრჩხილებიდან

ფრჩხილებში გამოსახულებას ვატოლებთ ნულს და მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ ვპოულობთ ფუნქციას v = v(x)

მივიღეთ განტოლება გამოყოფილი ცვლადებით. ჩვენ ვაერთიანებთ ამ განტოლების ორივე ნაწილს: იპოვნეთ ფუნქცია ვ:

შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა ვგანტოლებაში ვიღებთ:

ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს: მოდი ვიპოვოთ ფუნქცია u = u(x,c) მოდი ვიპოვოთ ზოგადი გამოსავალი: მოდი ვიპოვოთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს y=1ზე x=0:

III. უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

3.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს წარმოებულებს, რომლებიც არ აღემატება მეორე რიგის. ზოგად შემთხვევაში, მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება იწერება შემდეგნაირად: F(x,y,y,y") = 0

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახვა არის ფორმის ფუნქცია, რომელიც მოიცავს ორ თვითნებურ მუდმივას. C1და C2.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი არის გამოსავალი, რომელიც მიღებულია ზოგადიდან თვითნებური მუდმივების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. C1და C2.

3.2. მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტები.

მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებითფორმის განტოლება ეწოდება y" + py" + qy = 0, სად გვდა ქმუდმივი მნიშვნელობებია.

მუდმივი კოეფიციენტებით მეორე რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1. დაწერეთ დიფერენციალური განტოლება სახით: y" + py" + qy = 0.

2. შეადგინეთ მისი დამახასიათებელი განტოლება, აღნიშნეთ y"მეშვეობით r2, y"მეშვეობით რ, წ 1-ში: r2 + pr + q = 0

1. ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის ნებისმიერი განტოლებიდან გამოვხატავთ ერთ უცნობს მეორის მეშვეობით და ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებით.

დავალება.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გადაწყვეტილება.სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ ზემეშვეობით Xდა ჩაანაცვლეთ სისტემის მეორე განტოლებაში. ავიღოთ სისტემა ორიგინალის ექვივალენტი.

ასეთი პირობების შემოტანის შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

მეორე განტოლებიდან ვხვდებით: . ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში ზე = 2 - 2X, ვიღებთ ზე= 3. მაშასადამე, ამ სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი.

2. მეთოდი ალგებრული დამატება : ორი განტოლების მიმატებით, მიიღეთ განტოლება ერთი ცვლადით.

დავალება.ამოხსენით სისტემის განტოლება:

გადაწყვეტილება.მეორე განტოლების ორივე მხარე 2-ზე გამრავლებით მივიღებთ სისტემას ორიგინალის ექვივალენტი. ამ სისტემის ორი განტოლების მიმატებით მივდივართ სისტემამდე

მსგავსი პირობების შემცირების შემდეგ ეს სისტემა მიიღებს ფორმას: მეორე განტოლებიდან ვხვდებით. ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში 3 X + 4ზე= 5, ვიღებთ , სადაც . ამრიგად, ამ სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი.

3. ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი: ჩვენ ვეძებთ სისტემაში განმეორებით გამონათქვამებს, რომლებსაც აღვნიშნავთ ახალი ცვლადებით, რითაც გავამარტივებთ სისტემის ფორმას.

დავალება.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გადაწყვეტილება.ჩამოვწეროთ ამ სისტემასწინააღმდეგ შემთხვევაში:

დაე იყოს x + y = შენ, ჰუ = ვ.შემდეგ ჩვენ ვიღებთ სისტემას

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით. სისტემის პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ uმეშვეობით ვდა ჩაანაცვლეთ სისტემის მეორე განტოლებაში. ავიღოთ სისტემა იმათ.

სისტემის მეორე განტოლებიდან ვხვდებით ვ 1 = 2, ვ 2 = 3.

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებაში u = 5 - ვ, ვიღებთ u 1 = 3,
u 2 = 2. მაშინ გვაქვს ორი სისტემა

პირველი სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ რიცხვების ორ წყვილს (1; 2), (2; 1). მეორე სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.

პირველი ხარისხის განტოლებები და განტოლებათა სისტემები

ორი რიცხვი ან რამდენიმე გამოთქმა, რომლებიც დაკავშირებულია ნიშნით "=" ფორმა თანასწორობა. თუ მოცემული რიცხვები ან გამონათქვამები ტოლია ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ ასეთი ტოლობა ეწოდება ვინაობა.

მაგალითად, როდესაც ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ამოქმედებს:

ა + 1 = 1 + ა, აქ თანასწორობა არის იდენტობა.

განტოლებაეწოდება თანასწორობის შემცველი უცნობი ნომრებიაღინიშნება ასოებით. ამ ასოებს ე.წ უცნობი. განტოლებაში შეიძლება იყოს ერთზე მეტი უცნობი.

მაგალითად, განტოლებაში 2 X + ზე = 7X- 3 ორი უცნობი: Xდა ზე.

გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს (2 X + ზე) ეწოდება განტოლების მარცხენა მხარეს და გამოსახულებას განტოლების მარჯვენა მხარეს (7 X– 3) ეწოდება მის მარჯვენა მხარეს.

უცნობის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება იდენტურად იქცევა, ეწოდება გადაწყვეტილებაან ფესვიგანტოლებები.

მაგალითად, თუ განტოლებაში 3 X+ 7=13 უცნობის ნაცვლად Xჩაანაცვლეთ ნომერი 2, მივიღებთ პირადობას. ამიტომ, ღირებულება X= 2 აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას და რიცხვი 2 არის მოცემული განტოლების ამონახსნი ან ფესვი.

ორი განტოლება ეწოდება ექვივალენტი(ან ექვივალენტი), თუ პირველი განტოლების ყველა ამონახსნები მეორის ამონახსნებია და პირიქით, მეორე განტოლების ყველა ამონახსნები პირველის ამონახსნებია. რომ ეკვივალენტური განტოლებებიასევე მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც არ აქვთ ამონახსნები.

მაგალითად, განტოლებები 2 X- 5 = 11 და 7 X+ 6 = 62 ექვივალენტურია, რადგან მათ აქვთ იგივე ფესვი X= 8; განტოლებები X + 2 = X+ 5 და 2 X + 7 = 2Xექვივალენტურია, რადგან ორივეს არ აქვს გამოსავალი.

ეკვივალენტური განტოლებების თვისებები

1. განტოლების ორივე მხარეს შეგიძლიათ დაამატოთ ნებისმიერი გამონათქვამი, რომელიც ყველასთვის აზრიანია დაშვებული ღირებულებებიუცნობი; მიღებული განტოლება იქნება მოცემულის ექვივალენტი.

მაგალითი. განტოლება 2 X– 1 = 7-ს აქვს ფესვი X= 4. ორივე მხარეს 5-ის მიმატებით მივიღებთ განტოლებას 2 X- 1 + 5 = 7 + 5 ან 2 X+ 4 = 12 რომელსაც აქვს იგივე ფესვი X = 4.

2. თუ განტოლების ორივე ნაწილს აქვს ერთი და იგივე წევრი, მაშინ მათი გამოტოვება შეიძლება.

მაგალითი. განტოლება 9 x + 5X = 18 + 5Xაქვს ერთი ფესვი X= 2. გამოტოვება ორივე ნაწილში 5 Xვიღებთ განტოლებას 9 X= 18 რომელსაც აქვს იგივე ფესვი X = 2.

3. განტოლების ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით.

მაგალითი. განტოლება 7 X - 11 = 3 აქვს ერთი ფესვი X= 2. თუ გადავიტანთ 11-ს მარჯვენა მხარეთან საპირისპირო ნიშანივიღებთ განტოლებას 7 X= 3 + 11 რომელსაც აქვს იგივე გამოსავალი X = 2.

4. განტოლების ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს ნებისმიერი გამოსახულებით (რიცხვით), რომელიც აზრს იძენს და არ არის ნულოვანი უცნობის ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის, შედეგად მიღებული განტოლება იქნება ამ ერთის ექვივალენტი.

მაგალითი. განტოლება 2 X - 15 = 10 – 3Xაქვს ფესვი X= 5. გავამრავლოთ ორივე მხარე 3-ზე, მივიღებთ განტოლებას 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) ან 6 X – 45 =30 – 9X, რომელსაც იგივე ფესვი აქვს X = 5.

5. განტოლების ყველა წევრის ნიშნები შეიძლება შებრუნებული იყოს (ეს უდრის ორივე ნაწილის (-1)-ზე გამრავლებას).

მაგალითი. განტოლება - 3 x + 7 = - 8 ორივე ნაწილის გამრავლების შემდეგ (-1) მიიღებს 3 ფორმას X - 7 = 8. პირველ და მეორე განტოლებებს აქვთ ერთი ფესვი X = 5.

6. განტოლების ორივე მხარე შეიძლება დაიყოს იმავე რიცხვზე, გარდა ნულისა (ანუ არ არის ნულის ტოლი).

მაგალითი..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> ექვივალენტურია ამ ერთის, რადგან მას აქვს იგივე ორი ფესვი: და https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> ორივე ნაწილის 14-ზე გამრავლების შემდეგ ასე გამოიყურება:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, სადაც თვითნებური რიცხვები, X- უცნობი, დაუძახა პირველი ხარისხის განტოლება ერთი უცნობით(ან ხაზოვანიგანტოლება ერთი უცნობით).

მაგალითი. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

პირველი ხარისხის განტოლებას ერთი უცნობით ყოველთვის აქვს ერთი ამონახსნი; წრფივ განტოლებას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები () ან ჰქონდეს მათი უსასრულო რაოდენობა (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

გადაწყვეტილება. გაამრავლეთ განტოლების ყველა წევრი მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც არის 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

ერთ ნაწილში (მარცხნივ) ვაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, ხოლო მეორე ნაწილში (მარჯვნივ) - თავისუფალ ტერმინებს:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. ორივე ნაწილის გაყოფა (-22-ზე) მივიღებთ X = 7.

პირველი ხარისხის ორი განტოლების სისტემა ორი უცნობით

განტოლებას, როგორიცაა https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> ე.წ. პირველი ხარისხის განტოლება ორი უცნობით xდა ზე. თუ იპოვეს ზოგადი გადაწყვეტილებებიორი ან მეტი განტოლება, შემდეგ ისინი ამბობენ, რომ ეს განტოლებები ქმნიან სისტემას, ისინი ჩვეულებრივ იწერება ერთმანეთის ქვეშ და გაერთიანებულია, მაგალითად, ხვეული ფრჩხილით.

უცნობთა თითოეული წყვილი, რომელიც ერთდროულად აკმაყოფილებს სისტემის ორივე განტოლებას, ეწოდება სისტემური გადაწყვეტა. გადაჭრით სისტემა- ეს ნიშნავს ამ სისტემის ყველა გადაწყვეტის პოვნას ან იმის ჩვენებას, რომ მას არ გააჩნია. განტოლების ორი სისტემა ე.წ ექვივალენტი (ექვივალენტი), თუ ერთი მათგანის ყველა ამონახსნები მეორის ამონახსნებია და პირიქით, მეორის ყველა ამონახსნები პირველის ამონახსნებია.

მაგალითად, სისტემის გამოსავალი არის რიცხვების წყვილი X= 4 და ზე= 3. ეს რიცხვებიც არის ერთადერთი გამოსავალისისტემები . მაშასადამე, განტოლებათა ეს სისტემები ეკვივალენტურია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გზები

1. ალგებრული შეკრების მეთოდი.თუ რომელიმე უცნობის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაშინ ორივე განტოლების მიმატებით (ან ერთის გამოკლებით), შეგიძლიათ მიიღოთ განტოლება ერთ უცნობისთან. ამ განტოლების ამოხსნით დგინდება ერთი უცნობი, ხოლო სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში მისი ჩანაცვლებით მეორე უცნობი.

მაგალითები: განტოლებათა სისტემების ამოხსნა: 1) .

აქ არის კოეფიციენტები ზეტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. რომ მივიღოთ განტოლება ერთთან უცნობი განტოლებაჩვენ ვამატებთ სისტემებს ტერმინების მიხედვით:

მიღებული ღირებულება X= 4 ჩვენ შევცვლით სისტემის ზოგიერთ განტოლებას, მაგალითად, პირველში და ვიპოვით მნიშვნელობას ზე: .

პასუხი: X = 4; ზე = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. ჩანაცვლების მეთოდი.სისტემის ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ-ერთ უცნობს დანარჩენის მიხედვით, შემდეგ კი ამ უცნობის მნიშვნელობას ვცვლით დანარჩენ განტოლებებში. განვიხილოთ ეს მეთოდი კონკრეტული მაგალითებით:

1) ამოვიხსნათ განტოლებათა სისტემა. მოდით გამოვხატოთ ერთი უცნობი პირველი განტოლებიდან, მაგალითად X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

შემცვლელი ზე= 1 გამოსახულებაში for X, ვიღებთ .

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია გამოხატვა ზემეორე განტოლებიდან:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">შეცვალეთ მნიშვნელობა X= 5 გამოსახულებაში for ზე, ვიღებთ https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ განტოლება ერთი უცნობით ზე: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად: . ჩვენ ვცვლით უცნობებს დაყენებით, ვიღებთ ხაზოვანი სისტემა ..gif" width="11 height=17" height="17"> მეორე განტოლებაში, ვიღებთ განტოლებას ერთი უცნობით:

ღირებულების ჩანაცვლება ვგამოთქმაში ტ, ვიღებთ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> ვპოულობთ .

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, სად არის კოეფიციენტები უცნობისთვის, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, მაშინ სისტემას აქვს ერთადერთი რამგადაწყვეტილება.

ბ) თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, მაშინ სისტემას აქვს უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები.

მაგალითი..gif" width="47" height="48 src=">), ასე რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

მართლაც, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

მაგალითი..gif" width="91 height=48" height="48"> ან შემცირების შემდეგ, შესაბამისად სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

მაგალითი..gif" width="116 height=48" height="48"> ან შემოკლების შემდეგ ასე რომ, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მოდულის შემცველი განტოლებები

მოდულის შემცველი განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება მოდულის ცნება ნამდვილი რიცხვი. მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა ) ნამდვილი რიცხვი ათავად ნომერი იწოდება თუ და საპირისპირო ნომერი (– ა), თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

ასე რომ, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, რადგან რიცხვი 3 > 0; , რადგან რიცხვი არის 5< 0, поэтому ; , როგორც (); , როგორც .

მოდულის თვისებები:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

იმის გათვალისწინებით, რომ მოდულის ქვეშ გამოსახულებას შეუძლია მიიღოს ორი მნიშვნელობა https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, მაშინ ეს განტოლება მცირდება ორი განტოლების ამოხსნამდე: და ან და ..gif" width="52" height="20 src=">. მოდით შევამოწმოთ თითოეული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით Xმდგომარეობაში: თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

მაგალითი..gif" width="408" height="55">

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Example..gif" width="137" height="20"> და . გამოყავით მიღებული მნიშვნელობები Xზე რიცხვითი ღერძიდაყოფა ინტერვალებად:

თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, რადგან ამ ინტერვალში ორივე გამონათქვამი მოდულის ნიშნის ქვეშაა ნულზე ნაკლებიდა, მოდულის ამოღებით, ჩვენ უნდა შევცვალოთ გამოხატვის ნიშანი საპირისპიროდ. მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლება:

Gif" width="75 height=24" height="24">. სასაზღვრო მნიშვნელობა შეიძლება იყოს შეტანილი როგორც პირველ, ასევე მეორე დიაპაზონში, ისევე როგორც მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ჩართული როგორც მეორეში, ასევე მესამეში. მეორე ინტერვალში, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას: - ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს, ანუ ამ ინტერვალზე ამონახსნების განტოლებას არ აქვს ამონახსნები მოდულის ნიშნის ქვეშ, ჩვენ ვატოლებთ მათ ნულს. ვპოულობთ ყველა გამონათქვამის ფესვებს,

შემდეგი ინტერვალი https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, სადაც ა, ბ, გარის თვითნებური რიცხვები ( ა≠ 0), და xარის ცვლადი ე.წ კვადრატი. ამ განტოლების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინანტი D = b 2 – 4აწ. Თუ დ> 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ამონახსნი (ფესვები): და .

Თუ დ= 0, კვადრატულ განტოლებას აშკარად აქვს ორი იდენტური გადაწყვეტილებები(ფესვის მრავლობითი).

Თუ დ< 0, квадратное уравнение не имеет ნამდვილი ფესვები.

თუ ერთ-ერთი კოეფიციენტი ბან გ ნული, მაშინ კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოთვლის გარეშე:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(ნაჯახი+ ბ)=0

2)ნაჯახი 2 + გ = 0 ნაჯახი 2 = – გ; თუ https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

არსებობს დამოკიდებულებები კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და ფესვებს შორის, რომლებიც ცნობილია როგორც ფორმულები ან ვიეტას თეორემა:

ბისკვერიგანტოლებები არის https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29"> ფორმის განტოლებები, შემდეგ თავდაპირველი განტოლებიდან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც ჩვენ ვპოულობთ ზე, და მერე Xფორმულის მიხედვით.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა . ჩვენ მივყავართ გამონათქვამები ტოლობის ორივე ნაწილში საერთო მნიშვნელი..gif" width="212" height="29 src=">. ვხსნით მიღებულ კვადრატულ განტოლებას: , ამ განტოლებაში ა= 1, ბ= –2,გ= -15, მაშინ დისკრიმინანტი უდრის: D = b 2 – 4აწ= 64. განტოლების ფესვები: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. ვაკეთებთ ჩანაცვლებას. შემდეგ განტოლება ხდება არის კვადრატული განტოლება, სადაც ა= 1, ბ= – 4,გ= 3, მისი დისკრიმინანტი არის: D = b 2 – 4აწ = 16 – 12 = 4.

კვადრატული განტოლების ფესვები ტოლია, შესაბამისად: და .

საწყისი განტოლების ფესვები , , , ..gif" width="78" height="51">, სადაც PN(x) და პმ(x) არის გრადუსების პოლინომები ნდა მშესაბამისად. წილადი ნულია, თუ მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არა, მაგრამ ასეთი მრავალწევრი განტოლება ძირითადად მიიღება მხოლოდ ხანგრძლივი გარდაქმნების, ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლის შემდეგ. მაშასადამე, ამოხსნის პროცესში ყოველი განტოლება იცვლება ახლით და ახალს შეიძლება ჰქონდეს ახალი ფესვები. დავაკვირდეთ ფესვებში ამ ცვლილებებს, თავიდან აიცილოთ ფესვების დაკარგვა და შეძლოთ ზედმეტის უარყოფა. სწორი გადაწყვეტილებაგანტოლებები.

Ნათელია, რომ საუკეთესო გზა- ყოველ ჯერზე შეცვალეთ ერთი განტოლება ეკვივალენტით, მაშინ ბოლო განტოლების ფესვები იქნება საწყისის ფესვები. თუმცა, ასეთი სრულყოფილი გზართული განხორციელება პრაქტიკაში. როგორც წესი, განტოლებას ცვლის მისი შედეგი, რომელიც სულაც არ არის მისი ექვივალენტური, ხოლო პირველი განტოლების ყველა ფესვი მეორის ფესვია, ანუ ფესვების დაკარგვა კი არ ხდება, არამედ გარე. შეიძლება გამოჩნდეს (ან შეიძლება არ გამოჩნდეს). იმ შემთხვევაში, როდესაც გარდაქმნების პროცესში ერთხელ მაინც განტოლება შეიცვალა არათანაბარით, გვჭირდება სავალდებულო შემოწმებამიღებული ფესვები.

ასე რომ, თუ გადაწყვეტილება იქნა მიღებული ეკვივალენტობისა და წარმოშობის წყაროების ანალიზის გარეშე უცხო ფესვები, შემოწმება არის სავალდებულო ნაწილიგადაწყვეტილებები. გადამოწმების გარეშე, გამოსავალი არ ჩაითვლება დასრულებულად, მაშინაც კი, თუ ზედმეტი ფესვები არ გამოჩნდა. როდესაც ისინი გამოჩნდნენ და არ განადგურდნენ, მაშინ ეს გადაწყვეტილება უბრალოდ არასწორია.

აქ მოცემულია მრავალწევრის რამდენიმე თვისება:

მრავალწევრის ფესვიდარეკეთ მნიშვნელობა x, რომლის მრავალწევრი ნულის ტოლია. n ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ზუსტად ნფესვები. თუ მრავალწევრი განტოლება დაიწერება როგორც , მაშინ , სად x 1, x 2,…, xnარის განტოლების ფესვები.

ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ხარისხიც კირეალური კოეფიციენტებით არის მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი, მაგრამ ზოგადად ყოველთვის აქვს კენტი რიცხვინამდვილი ფესვები. ლუწი ხარისხის მრავალწევრს შეიძლება არ ჰქონდეს ნამდვილი ფესვები და როცა აქვთ, მათი რიცხვი ლუწია.

მრავალწევრი ნებისმიერ შემთხვევაში შეიძლება დაიშალოს ხაზოვანი ფაქტორებიდა კვადრატული ტრინომებითან უარყოფითი დისკრიმინანტი. თუ ვიცით მისი ფესვი x 1, მაშინ PN(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Თუ PN(x) = 0 არის ლუწი ხარისხის განტოლება, შემდეგ მისი ფაქტორინგის მეთოდის გარდა შეგიძლიათ სცადოთ ცვლადის ცვლილება, რომლის დახმარებითაც განტოლების ხარისხი შემცირდება.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება:

მესამე (კენტი) ხარისხის ეს განტოლება ნიშნავს, რომ შეუძლებელია დამხმარე ცვლადის შემოღება, რომელიც შეამცირებს განტოლების ხარისხს. ის უნდა გადაწყდეს მარცხენა მხარის ფაქტორინგით, რისთვისაც ჯერ ვხსნით ფრჩხილებს, შემდეგ კი ვწერთ სტანდარტული ფორმით.

ჩვენ ვიღებთ: x 3 + 5x – 6 = 0.

ეს არის შემცირებული განტოლება (კოეფიციენტი at უმაღლესი ხარისხი ერთის ტოლი), ამიტომ მის ფესვებს ვეძებთ თავისუფალი ტერმინის ფაქტორებს შორის - 6. ეს არის რიცხვები ±1, ±2, ±3, ±6. ჩანაცვლება x= 1 განტოლებაში, ჩვენ ამას ვხედავთ x= 1 არის მისი ფესვი, ამიტომ მრავალწევრი x 3 + 5x–6 = 0 გაყოფილი ( x- 1) ნარჩენების გარეშე. მოდით გავაკეთოთ ეს დაყოფა:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2- x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

Ისე x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

პირველი განტოლება იძლევა ფესვს x= 1, რომელიც უკვე შერჩეულია და მეორე განტოლებაში დ< 0, არ აქვს რეალური გადაწყვეტილებები. ვინაიდან ამ განტოლების ODZ, შესაძლებელია არ შემოწმდეს.

მაგალითი..gif" width="52" height="21 src=">. თუ პირველ ფაქტორს გაამრავლებთ მესამეზე, ხოლო მეორეს მეოთხეზე, მაშინ ამ პროდუქტებს ექნებათ იგივე ნაწილები, რომლებიც დამოკიდებულია x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

დაე იყოს x 2 + 4x = წ, შემდეგ განტოლებას ვწერთ ფორმით ( წ – 5)(y- 21) – 297 = 0.

ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ამონახსნები: წ 1 = 32, წ 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

თუ ამ განტოლებას საერთო მნიშვნელამდე შევამცირებთ, მრიცხველში გამოჩნდება მეოთხე ხარისხის მრავალწევრი. ასე რომ, დასაშვებია ცვლადის შეცვლა, რაც შეამცირებს განტოლების ხარისხს. ამიტომ, არ არის აუცილებელი ამ განტოლების დაუყოვნებლივ შემცირება საერთო მნიშვნელამდე. აქ ხედავთ, რომ მარცხნივ არის კვადრატების ჯამი. ასე რომ, შეგიძლიათ დაამატოთ იგი სრული მოედანითანხები ან განსხვავებები. ფაქტობრივად, გამოკლეთ და დაამატეთ ორჯერ ამ კვადრატების ფუძეების ნამრავლი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, შემდეგ წ 2 + 18წ– 40 = 0. ვიეტას თეორემის მიხედვით წ 1 = 2; წ 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> და მეორეში დ< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას ა(წ 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

ირაციონალური განტოლებები

ირაციონალურიეწოდება განტოლება, რომელშიც ცვლადი მოთავსებულია რადიკალის ნიშნის ქვეშ (ფესვი ) ან ამაღლების ნიშნის ქვეშ წილადი ხარისხი()..gif" width="120" height="32"> და აქვთ უცნობის განმარტების იგივე დომენი. პირველი და მეორე განტოლების კვადრატში გამოყვანისას ვიღებთ ერთსა და იმავე განტოლებას . ამ განტოლების ამონახსნები ორივე ირაციონალური განტოლების ამონახსნებია.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოებისთვის, სამართალდამცავი ორგანოებისთვის ან სხვა საზოგადოებისთვის. მნიშვნელოვანი შემთხვევები.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.