მოქმედებები წილადებთან. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ მაგალითებს, ყველაფერი დეტალურად არის აღწერილი განმარტებებით. განვიხილავთ საერთო წილადები. მომავალში ჩვენ გავაანალიზებთ ათწილადებს. გირჩევთ ნახოთ მთლიანად და თანმიმდევრულად ისწავლოთ.

1. წილადთა ჯამი, წილადთა სხვაობა.

წესი: წილადების შეკრებისას თანაბარი მნიშვნელები, შედეგად ვიღებთ წილადს - რომლის მნიშვნელი იგივე რჩება და მისი მრიცხველი იქნება ჯამის ტოლიაწილადის მრიცხველები.

წესი: ერთნაირი მნიშვნელების მქონე წილადების სხვაობის გამოთვლისას ვიღებთ წილადს - მნიშვნელი იგივე რჩება, მეორის მრიცხველი კი პირველი წილადის მრიცხველს აკლდება.

თანაბარი მნიშვნელების მქონე წილადების ჯამისა და სხვაობის ოფიციალური აღნიშვნა:

მაგალითები (1):

გასაგებია, რომ როდესაც ჩვეულებრივი წილადები მოცემულია, მაშინ ყველაფერი მარტივია, მაგრამ თუ ისინი შერეულია? არაფერი რთული...

ვარიანტი 1- შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ისინი ჩვეულებრივად და შემდეგ გამოთვალოთ ისინი.

ვარიანტი 2- შეგიძლიათ ცალ-ცალკე „იმუშაოთ“ მთელი და წილადი ნაწილებით.

მაგალითები (2):

მეტი:

და თუ მოცემულია ორი შერეული წილადის სხვაობა და პირველი წილადის მრიცხველი ნაკლებია მეორის მრიცხველზე? ის ასევე შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით.

მაგალითები (3):

* გადაკეთდა ჩვეულებრივ წილადებად, გამოთვალა სხვაობა, გადათარგმნა მიღებული არასწორი ფრაქციაშერეულში.

* დაყავით მთელ და წილად ნაწილებად, მიიღეთ სამი, შემდეგ წარმოადგინეთ 3, როგორც 2-ისა და 1-ის ჯამი, ერთეული წარმოდგენილი იყო როგორც 11/11, შემდეგ იპოვეთ სხვაობა 11/11-სა და 7/11-ს შორის და გამოთვალეთ შედეგი. ზემოაღნიშნული გარდაქმნების მნიშვნელობა არის ერთეულის აღება (არჩევა) და წილადის სახით წარმოდგენა ჩვენთვის საჭირო მნიშვნელით, შემდეგ ამ წილადს უკვე შეგვიძლია გამოვაკლოთ მეორე.

Სხვა მაგალითი:

დასკვნა: არსებობს უნივერსალური მიდგომა - იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ შერეული წილადების ჯამი (განსხვავება) თანაბარი მნიშვნელებით, ისინი ყოველთვის შეიძლება გადაკეთდეს არასწორად, შემდეგ შესრულდეს საჭირო მოქმედება. ამის შემდეგ, თუ შედეგად მივიღებთ არასწორ წილადს, ვთარგმნით შერეულ წილადად.

ზემოთ, ჩვენ გადავხედეთ წილადების მაგალითებს, რომლებსაც აქვთ თანაბარი მნიშვნელები. რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავდება? ამ შემთხვევაში წილადები მცირდება იმავე მნიშვნელზე და შესრულებულია მითითებული მოქმედება. წილადის შესაცვლელად (ტრანსფორმირებისთვის) გამოიყენება წილადის ძირითადი თვისება.

განვიხილოთ მარტივი მაგალითები:

ამ მაგალითებში ჩვენ მაშინვე ვხედავთ, თუ როგორ შეიძლება ერთი წილადის გარდაქმნა ტოლი მნიშვნელების მისაღებად.

თუ ჩვენ გამოვყოფთ წილადების ერთ მნიშვნელამდე შემცირების გზებს, მაშინ ეს დაერქმევა მეთოდი 1.

ანუ, წილადის „შეფასებისას“ დაუყოვნებლივ უნდა გაარკვიოთ იმუშავებს თუ არა ასეთი მიდგომა - ჩვენ ვამოწმებთ, იყო თუ არა უფრო დიდი მნიშვნელი პატარაზე. ხოლო თუ იყოფა, მაშინ ვასრულებთ გარდაქმნას - ვამრავლებთ მრიცხველსა და მნიშვნელს ისე, რომ ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი გახდეს.

ახლა შეხედეთ ამ მაგალითებს:

ეს მიდგომა მათ არ ეხება. წილადების შემცირების სხვა გზებიც არსებობს საერთო მნიშვნელიმოდით შევხედოთ მათ.

მეთოდი SECOND.

ჩვენ ვამრავლებთ პირველი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს მეორის მნიშვნელზე, ხოლო მეორე წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს პირველის მნიშვნელზე:

*ფაქტობრივად, წილადებს მივყავართ ფორმაში, როცა მნიშვნელები ტოლი გახდება. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ მორცხვი ტოლი მნიშვნელებით დამატების წესს.

მაგალითი:

*ამ მეთოდს შეიძლება ვუწოდოთ უნივერსალური და ის ყოველთვის მუშაობს. ერთადერთი უარყოფითი ის არის, რომ გამოთვლების შემდეგ, შეიძლება აღმოჩნდეს ფრაქცია, რომელიც კიდევ უფრო შემცირდება.

განვიხილოთ მაგალითი:

ჩანს, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა 5-ზე:

მეთოდი მესამე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). ეს იქნება საერთო მნიშვნელი. რა არის ეს ნომერი? ყველაზე პატარაა ბუნებრივი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ რიცხვზე.

შეხედე, აქ არის ორი რიცხვი: 3 და 4, არის ბევრი რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე - ეს არის 12, 24, 36, ... მათგან ყველაზე პატარა არის 12. ან 6 და 15, 30, 60, 90 არის იყოფა მათზე .... მინიმუმ 30. კითხვა - როგორ განვსაზღვროთ ეს უმცირესი საერთო ჯერადი?

არსებობს მკაფიო ალგორითმი, მაგრამ ხშირად ეს შეიძლება გაკეთდეს დაუყოვნებლივ, გათვლების გარეშე. მაგალითად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითების მიხედვით (3 და 4, 6 და 15) არ არის საჭირო ალგორითმი, ავიღეთ დიდი რიცხვები (4 და 15), გავაორმაგეთ და დავინახეთ, რომ ისინი იყოფა მეორე რიცხვზე, მაგრამ რიცხვების წყვილი. შეიძლება იყოს სხვები, როგორიცაა 51 და 119.

ალგორითმი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის დასადგენად, თქვენ უნდა:

- დაშალეთ თითოეული რიცხვი მარტივ ფაქტორებად

- ჩაწერეთ მათგან უფრო დიდის დაშლა

- გაამრავლეთ იგი სხვა რიცხვების გამოტოვებულ ფაქტორებზე

განვიხილოთ მაგალითები:

50 და 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

დაშლაში მეტიაკლია ერთი ხუთი

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 და 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას ორი და სამი აკლია

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* ორის უმცირესი საერთო ჯერადი მარტივი რიცხვებიმათი პროდუქტის ტოლი

Კითხვა! და რატომ არის სასარგებლო უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, რადგან შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე მეთოდი და უბრალოდ შეამციროთ მიღებული წილადი? დიახ, შეგიძლიათ, მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი. ნახეთ, რა იქნება მნიშვნელი 48 და 72 რიცხვებისთვის, თუ მათ უბრალოდ გაამრავლებთ 48∙72 = 3456. დამეთანხმებით, რომ უფრო სასიამოვნოა უფრო მცირე რიცხვებთან მუშაობა.

განვიხილოთ მაგალითები:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

უფრო დიდი რიცხვის გაფართოებისას სამმაგი აკლია

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

და ახლა ჩვენ ვიყენებთ პირველ მეთოდს:

* შეხედეთ განსხვავებას გამოთვლებში, პირველ შემთხვევაში არის მათი მინიმუმი, ხოლო მეორეში ცალკე უნდა იმუშაოთ ფურცელზე და ის წილადიც კი, რომელიც მიიღეთ, უნდა შემცირდეს. LCM-ის პოვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს მუშაობას.

მეტი მაგალითები:

* მეორე მაგალითში ცხადია, რომ ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც იყოფა 40-ზე და 60 უდრის 120-ს.

სულ! ზოგადი გაანგარიშების ალგორითმი!

- წილადებს ვატანთ ჩვეულებრივებს, თუ არის მთელი რიცხვი.

- წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან (ჯერ ვნახოთ, იყოფა თუ არა ერთი მნიშვნელი მეორეზე, იყო თუ არა, მაშინ ვამრავლებთ ამ მეორე წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს; თუ ის არ იყოფა, ვიმოქმედებთ მნიშვნელობით. ზემოთ მითითებული სხვა მეთოდები).

- თანაბარი მნიშვნელის მქონე წილადების მიღების შემდეგ, ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს (შეკრება, გამოკლება).

- საჭიროების შემთხვევაში, შედეგს ვამცირებთ.

- საჭიროების შემთხვევაში, აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

2. წილადების ნამრავლი.

წესი მარტივია. წილადების გამრავლებისას მათი მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება:

მაგალითები:

პირველი დონე

გამოხატვის კონვერტაცია. დეტალური თეორია (2019)

გამოხატვის კონვერტაცია

ხშირად გვესმის ეს უსიამოვნო ფრაზა: "გამოთქმის გამარტივება." ჩვეულებრივ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვყავს ასეთი სახის მონსტრი:

”დიახ, ბევრად უფრო ადვილია”, - ვამბობთ ჩვენ, მაგრამ ასეთი პასუხი ჩვეულებრივ არ მუშაობს.

ახლა გასწავლით, არ შეგეშინდეთ ასეთი ამოცანების. უფრო მეტიც, გაკვეთილის ბოლოს, თქვენ თვითონ გაამარტივებთ ამ მაგალითს (უბრალოდ!) ჩვეულებრივი ნომერი(დიახ, ჯანდაბა იმ ასოებით).

მაგრამ სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებდეთ, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების და ფაქტორების მრავალწევრების მართვა. ამიტომ, პირველ რიგში, თუ ეს აქამდე არ გაგიკეთებიათ, აუცილებლად დაეუფლეთ თემებს "" და "".

წაიკითხეთ? თუ კი, მაშინ მზად ხართ.

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები

ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ტექნიკას, რომლებიც გამოიყენება გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მათგან ყველაზე მარტივია

1. მსგავსის მოტანა

რა მსგავსია? თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში, როდესაც რიცხვების ნაცვლად მათემატიკაში ასოები პირველად გამოჩნდა. მსგავსია ტერმინები (მონომები) ერთი და იგივე ასო ნაწილით. მაგალითად, მთლიანობაში ტერმინების მსგავსად- ეს და.

Გაიხსენა?

მსგავსი ტერმინების მოტანა ნიშნავს ერთმანეთს რამდენიმე მსგავსი ტერმინის დამატებას და ერთი ტერმინის მიღებას.

მაგრამ როგორ შეგვიძლია ასოების შეკრება? - გეკითხებით.

ამის გაგება ძალიან ადვილია, თუ წარმოიდგენთ, რომ ასოები რაღაც საგნებია. მაგალითად, წერილი არის სკამი. მაშინ რა არის გამოხატულება? ორ სკამს პლუს სამი სკამი, რამდენი იქნება? მართალია, სკამები: .

ახლა სცადეთ ეს გამოთქმა:

იმისათვის, რომ არ დაიბნეთ, მოდით სხვადასხვა ასოებიწარმოადგენენ სხვადასხვა ნივთებს. მაგალითად, - ეს არის (ჩვეულებისამებრ) სკამი და - ეს არის მაგიდა. შემდეგ:

სკამები მაგიდები სკამი მაგიდები სკამები სკამები მაგიდები

რიცხვები, რომლებითაც მრავლდება ასოები ასეთ ტერმინებში, ეწოდება კოეფიციენტები. მაგალითად, მონომში კოეფიციენტი ტოლია. და ის თანაბარია.

ასე რომ, მსგავსების შემოტანის წესი:

მაგალითები:

მოიყვანეთ მსგავსი:

პასუხები:

2. (და მსგავსია, ვინაიდან, მაშასადამე, ამ ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი).

2. ფაქტორიზაცია

ეს ჩვეულებრივ ყველაზე მეტია მთავარი ნაწილიგამონათქვამების გამარტივებაში. მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ მსგავსებს, ყველაზე ხშირად მიღებული გამონათქვამი უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წილადებში: ბოლოს და ბოლოს, წილადის შესამცირებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა იყოს წარმოდგენილი ნამრავლის სახით.

თქვენ გაიარეთ გამონათქვამების ფაქტორინგის დეტალური მეთოდები თემაში "", ასე რომ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ის, რაც ისწავლეთ. ამისათვის გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითები(გამოირიცხება):

გადაწყვეტილებები:

3. წილადის შემცირება.

აბა, რა შეიძლება იყოს იმაზე ლამაზი, ვიდრე მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილის გადაკვეთა და მათი ცხოვრებიდან გადაგდება?

ეს არის აბრევიატურის სილამაზე.

Ეს მარტივია:

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფაქტორებს, ისინი შეიძლება შემცირდეს, ანუ ამოღებულ იქნეს წილადიდან.

ეს წესი გამომდინარეობს წილადის ძირითადი თვისებიდან:

ანუ შემცირების ოპერაციის არსი ისაა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვყოფთ იმავე რიცხვზე (ან იგივე გამოსახულებით).

წილადის შესამცირებლად საჭიროა:

1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება

2) თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საერთო ფაქტორები, მათი წაშლა შესაძლებელია.

პრინციპი, ვფიქრობ, გასაგებია?

ერთზე მინდა გავამახვილო ყურადღება ტიპიური შეცდომაშემცირებისას. მართალია ეს თემა მარტივია, მაგრამ ბევრი ადამიანი ყველაფერს არასწორად აკეთებს, ამას ვერ ხვდება გაჭრა- ეს ნიშნავს გაყოფამრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით.

არ არის შემოკლებები, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არის ჯამი.

მაგალითად: თქვენ გჭირდებათ გამარტივება.

ზოგი ამას აკეთებს: რაც აბსოლუტურად არასწორია.

კიდევ ერთი მაგალითი: შემცირება.

"ყველაზე ჭკვიანი" ამას გააკეთებს:.

მითხარი რა არის აქ? როგორც ჩანს: - ეს არის მულტიპლიკატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ.

მაგრამ არა: - ეს არის მხოლოდ ერთი ტერმინის კოეფიციენტი მრიცხველში, მაგრამ თავად მრიცხველი მთლიანობაში არ იშლება ფაქტორებად.

აი კიდევ ერთი მაგალითი: .

ეს გამონათქვამი იყოფა ფაქტორებად, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ, ანუ გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ:

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ:

ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, გახსოვდეთ ადვილი გზაროგორ განვსაზღვროთ არის თუ არა გამოხატვის ფაქტორი:

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი". ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად). თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორირებული (და შესაბამისად არ შეიძლება შემცირდეს).

გამოსასწორებლად, თავად მოაგვარეთ რამდენიმე მაგალითები:

პასუხები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

შეკრება და გამოკლება ჩვეულებრივი წილადები- ოპერაცია კარგად არის ცნობილი: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს. გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ პირველი შერეული ფრაქციებიგადააქციეთ ისინი არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ / ვაკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ჩვენ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იმავე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) მნიშვნელების დაშლა ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველაფერს სხვადასხვა მაჩვენებლები. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად ნათქვამია, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ არ არის სიმართლე!

თავად ნახეთ: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მიიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები". მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - ძალიან. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის ანალოგი ძირითადი ფაქტორებირომელშიც ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენც იგივეს გავაკეთებთ მათთან.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მამრავლი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკურად გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ როგორ მოახდინოთ ისინი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

კარგად! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გადაწყვეტილება:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ უნდა გვახსოვდეს კიდევ ერთი რამ - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე არის სამი წილადი?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, მოდით, ასე მოვიქცეთ მაქსიმალური თანხამნიშვნელებში ფაქტორები იგივე იყო:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუბრუნდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში და შემდეგ ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ დაწერილა, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის უმარტივესი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია დათვლის პროცედურა რიცხვითი გამოხატულება? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამონათქვამი შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილი გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ გამონათქვამს თითოეულ ფრჩხილში და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოაღნიშნული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ ნაცვლად არითმეტიკული მოქმედებებითქვენ უნდა გააკეთოთ ალგებრული, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი მოქმედებები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორიფრჩხილებისთვის.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

Ის არის. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა. ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა. შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით. მე სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

ბოლოს ორ სასარგებლო რჩევას მოგცემთ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც უმატებთ ან აკლებთ: თუ აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება მოგვიანებით უნდა დარჩეს.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ ჩათვალეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ იმავე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;

VIII ტიპის სკოლაში მოსწავლეები ეცნობიან წილადების შემდეგ გარდაქმნებს: წილადის გამოხატვა დიდ წილადებში (მე-6 კლასი), არასწორი წილადის გამოხატვა მთელი რიცხვით ან შერეული რიცხვით (მე-6 კლასი), წილადების გამოხატვა ტოლ ნაწილებად. (მე-7 კლასი), გამოთქმა შერეული რიცხვიარასწორი წილადი (მე-7 კლასი).

წილადის არასწორი გამოხატულებაან შერეული ნომერი

Მე ვსწავლობ ამ მასალასუნდა დაიწყოთ დავალება: აიღეთ 2 შეკერილი წრე და გაყავით თითოეული 4 თანაბარ ნაწილად, დაითვალეთ მეოთხე ნაწილის რაოდენობა (სურ. 25). გარდა ამისა, შემოთავაზებულია ამ თანხის დაწერა წილადად (t) შემდეგ მეოთხე ნაწილები დაემატება ერთმანეთს და მოსწავლეები დარწმუნდებიან, რომ აღმოჩნდა

1 წრე. აქედან გამომდინარე, -t=ერთი . ემატება ოთხი მეოთხედი - თანმიმდევრულად მეტი -ტ,და მოსწავლეები წერენ: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

მასწავლებელი მოსწავლეების ყურადღებას ამახვილებს იმაზე, რომ ყველა განხილულ შემთხვევაში მათ აიღეს არასწორი წილადი და გარდაქმნის შედეგად მიიღეს ან მთელი ან შერეული რიცხვი, ანუ გამოთქვეს არასწორი წილადი მთელ რიცხვად. ან შერეული ნომერი. შემდეგ ჩვენ უნდა ვეცადოთ, რომ მოსწავლეებმა დამოუკიდებლად განსაზღვრონ, თუ რა არითმეტიკული მოქმედების შესრულება შეიძლება ამ ტრანსფორმაციის. ნათელი მაგალითები, რომლებიც მივყავართ პასუხს

4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ლ

კითხვაზე არის: -2-=! და t = 2, 4" = 1t და t T " YV °D : რომ

არასწორი წილადის მთლიანი ან შერეული რიცხვის გამოსახატავად საჭიროა წილადის მრიცხველი გაყოთ მნიშვნელზე, ჩაწეროთ კოეფიციენტი, როგორც მთელი რიცხვი, დარჩენილი ნაწილი ჩაწეროთ მრიცხველში და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ. ვინაიდან წესი შრომატევადია, სულაც არ არის აუცილებელი, რომ მოსწავლეებმა ის დაიმახსოვრონ. მათ უნდა შეეძლოთ თანმიმდევრულად თქვან ქმედებების შესახებ ამ ტრანსფორმაციის განხორციელებისას.

სანამ მოსწავლეებს გავაცნოთ არასწორი წილადის გამოხატვა მთელი რიცხვით ან შერეული რიცხვით, მიზანშეწონილია გაიმეოროთ მათთან მთელი რიცხვის დაყოფა მთელ რიცხვზე ნაშთით.

სტუდენტებისთვის ახალი ტრანსფორმაციის კონსოლიდაციას ხელს უწყობს სასიცოცხლო და პრაქტიკული ხასიათის პრობლემების გადაწყვეტა, მაგალითად:

„ვაზაში ფორთოხლის ცხრა მეოთხედია. Skol| შეიძლება ამ აქციებიდან მთელი ფორთოხლის დამატება? რამდენი მეოთხედი დარჩება?"

„ყუთების ხუფების დასამზადებლად, ბარათის თითოეული ფურცელი

35 იჭრება 16 თანაბარ ნაწილად. მივიღე -^. რამდენი გოლი!

დავჭრათ მუყაოს ფურცლები? რამდენი მეთექვსმეტე ჭრილია! შემდეგი ნაწილიდან? და ა.შ.

მთელი და შერეული რიცხვის გამოხატვაარასწორი ფრაქცია

ამ ახალ ტრანსფორმაციაში სტუდენტების გაცნობას წინ უნდა უძღოდეს პრობლემის გადაჭრა, მაგალითად:

„2 ცალი ქსოვილი, სიგრძის თანაბარი, კვადრატის ფორმის. > დავჭრათ 4 თანაბარ ნაწილად. ყოველი ასეთი ნაწილიდან ცხვირსახოცი იკერებოდა. რამდენი ცხვირსახოცი მიიღეთ? მე ჩავწერ: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

ღვინო მიიღეთ? ჩაწერეთ: იყო 1 * წრე, ის გახდა * წრეები, რაც ნიშნავს

ამრიგად, ვიზუალურ და პრაქტიკულ საფუძვლებზე დაყრდნობით, განვიხილავთ არაერთ მაგალითს. განსახილველ მაგალითებში მოსწავლეებს სთხოვენ შეადარონ თავდაპირველი რიცხვი (შერეული ან მთელი რიცხვი) და გარდაქმნის შემდეგ გამოსული რიცხვი (არასწორი წილადი).

იმისათვის, რომ გაეცნონ მოსწავლეებს მთელი და შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გამოთქმის წესს, აუცილებელია მათი ყურადღება მიაპყროს შერეული რიცხვისა და არასწორი წილადის მნიშვნელების შედარებას, აგრეთვე, თუ როგორ არის მიღებული მრიცხველი. მაგალითი:

1 2"=?, 1 = 2", პლუს ^, სულ ^ 3 ^=?, 3=-^-, პლუს ^, სულ

იქნება -^-. შედეგად, ჩამოყალიბებულია წესი: ისე, რომ შერეული რიცხვი

გამოხატული როგორც არასწორი წილადი, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მნიშვნელი მთელ რიცხვზე, დაამატოთ მრიცხველი ნამრავლს და ჩაწეროთ ჯამი როგორც მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი დატოვოთ უცვლელი.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა ავარჯიშოთ მოსწავლეები ერთეულის არასწორ წილადად გამოხატვაში, შემდეგ ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვი მნიშვნელით და მხოლოდ ამის შემდეგ შერეული რიცხვი:

წილადის ძირითადი თვისება 1

[წილადის უცვლელობის კონცეფცია გაზრდისას

მისი წევრების 1 შემცირებას, ანუ მრიცხველს და მნიშვნელს, VIII ტიპის სკოლის მოსწავლეები სწავლობენ დიდი გაჭირვებით. ეს კონცეფცია უნდა დაინერგოს ვიზუალურ და დიდაქტიკური მასალაზე,

რატომ არის მნიშვნელოვანი, რომ მოსწავლეებმა არა მხოლოდ დააკვირდნენ მასწავლებლის საქმიანობას, არამედ აქტიურად იმუშაონ დიდაქტიკური მასალით და დაკვირვებისა და პრაქტიკული აქტივობების საფუძველზე მივიდნენ გარკვეულ დასკვნამდე, განზოგადებამდე.

მაგალითად, მასწავლებელი იღებს მთელ ტურნიკს, ყოფს 2 თანაბარ შურისძიებად და ეკითხება: „რა მიიღე მთელი ტურფის გაყოფისას?

ნახევარში? (2 ნახევარი.) ჩვენება * turnips. მოდი დავჭრათ (ცალკე)

ტურპის ნახევარი კიდევ 2 თანაბარ ნაწილად. რას მივიღებთ? -ი. Მოდი დავწეროთ:

tt \u003d - m - მოდით შევადაროთ ამ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები. Რა დროს

ჯერ გაიზარდა მრიცხველი? რამდენჯერ გაიზარდა მნიშვნელი? რამდენჯერ გაიზარდა მრიცხველიც და მნიშვნელიც? ფრაქცია შეიცვალა? რატომ არ შეცვლილა? როგორი იყო აქციები: უფრო დიდი თუ პატარა? რიცხვი გაიზარდა თუ შემცირდა

შემდეგ ყველა მოსწავლე ყოფს წრეს 2 თანაბარ ნაწილად, ყოველი ნახევარი იყოფა კიდევ 2 თანაბარ ნაწილად, ყოველი მეოთხედი შემდგომში იყოფა

2 ტოლი ნაწილი და ა.შ. და ჩაწერეთ: "o ^ A ^ tg ^ tgg და t - L- შემდეგ ადგენენ რამდენჯერ გაიზარდა წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი, შეიცვალა თუ არა წილადი. შემდეგ ხაზავენ ა. სეგმენტი და გაყავით ის თანმიმდევრობით 3-ზე, 6-ზე, 12-ზე თანაბარი ნაწილებიდა დაწერე:

1 21 4 -^ და -^, -^ და -^ წილადების შედარებისას აღმოჩნდება, რომ

r წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იზრდება იმავე რაოდენობის ჯერ, წილადი არ იცვლება აქედან.

რამდენიმე მაგალითის განხილვის შემდეგ, მოსწავლეებს უნდა სთხოვონ უპასუხონ კითხვას: „შეიცვლის თუ არა წილადი, თუ მრიცხველი გამორიცხულია მათემატიკის კურიკულუმიდან VIII ტიპის გამოსასწორებელ სკოლებში გარკვეული ცოდნა თემაზე“ ჩვეულებრივი წილადები, მაგრამ ისინი მიეწოდება მოსწავლეებს გონებრივი ჩამორჩენილობის მქონე ბავშვების სკოლებში, მათემატიკაში სწავლის სირთულეების მქონე ბავშვების ნიველირების კლასებში. ამ სახელმძღვანელოში, აბზაცები, რომლებიც იძლევა ამ მასალის შესწავლის მეთოდოლოგიას,

მონიშნულია ვარსკვლავით (*).

და გავამრავლოთ წილადის მნიშვნელი იმავე რიცხვზე (გაიზრდება - ამდენივეჯერ)? გარდა ამისა, მოსწავლეებს უნდა სთხოვონ თავად მოიყვანონ მაგალითები.

მსგავსი მაგალითები მოყვანილია მრიცხველისა და მნიშვნელის შემცირების გათვალისწინებისას (მრიცხველები და მნიშვნელი იყოფა იმავე რიცხვზე). მაგალითად, cr>"

( 4 \ გაყოფილი 8 ტოლ ნაწილად, აიღეთ წრის 4 მერვედი I -o-]

აქციების გადიდების შემდეგ იღებენ მეოთხეს, იქნება 2. აქციების გადიდების შემდეგ

4 2 1 მიიღეთ მეორე. იქნება 1 : ~-ე = -d--%-შეადარე მიმდევარი!ი

ამ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები, პასუხობს კითხვებს: „ინ<>რამდენჯერ მცირდება მრიცხველი და მნიშვნელი? ფრაქცია შეიცვლება?

კარგი სარგებელია 12, 6, 3 თანაბარ ნაწილად დაყოფილი ზოლები (სურ. 26).

ჰ

12 6 3 ნახ. 26

განხილულ მაგალითებზე მოსწავლეებს შეუძლიათ დაასკვნათ, რომ წილადი არ შეიცვლება, თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა ერთსა და იმავე რიცხვზე (შემცირებულია იგივე რაოდენობის ჯერ). შემდეგ მოცემულია განზოგადებული დასკვნა - წილადის მთავარი თვისება: წილადი არ შეიცვლება, თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაიზრდება ან შემცირდება იმავე რაოდენობის ჯერ.

რიცხვები და გამონათქვამები, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ გამოსახულებას, შეიძლება შეიცვალოს გამონათქვამებით, რომლებიც იდენტურია მათთან. ორიგინალური გამოხატვის ასეთი ტრანსფორმაცია იწვევს მის იდენტურად ტოლ გამონათქვამს.

მაგალითად, გამონათქვამში 3+x რიცხვი 3 შეიძლება შეიცვალოს ჯამით 1+2, რის შედეგადაც მიიღება გამოთქმა (1+2)+x, რომელიც იდენტურად უდრის თავდაპირველ გამოსახულებას. კიდევ ერთი მაგალითი: გამონათქვამში 1+a 5 a 5-ის ხარისხი შეიძლება შეიცვალოს მის იდენტურად ტოლი ნამრავლით, მაგალითად, a·a 4 ფორმის. ეს მოგვცემს გამოთქმას 1+a·a 4 .

ეს ტრანსფორმაცია უდავოდ ხელოვნურია და, როგორც წესი, მზადებაა შემდგომი ტრანსფორმაციისთვის. მაგალითად, ჯამში 4·x 3 +2·x 2, ხარისხის თვისებების გათვალისწინებით, ტერმინი 4·x 3 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნამრავლი 2·x 2 ·2·x. ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს 2·x 2 ·2·x+2·x 2 ფორმას. ცხადია, მიღებულ ჯამში მოცემულ ტერმინებს აქვთ საერთო კოეფიციენტი 2 x 2, ამიტომ შეგვიძლია შევასრულოთ შემდეგი ტრანსფორმაცია - ფრჩხილები. ამის შემდეგ მივალთ გამოთქმამდე: 2 x 2 (2 x+1) .

ერთი და იგივე რიცხვის შეკრება და გამოკლება

გამოხატვის კიდევ ერთი ხელოვნური ტრანსფორმაცია არის ერთი და იგივე რიცხვის ან გამონათქვამის შეკრება და გამოკლება ერთდროულად. ასეთი ტრანსფორმაცია იდენტურია, რადგან ის, ფაქტობრივად, უდრის ნულის დამატებას, ხოლო ნულის დამატება მნიშვნელობას არ ცვლის.

განვიხილოთ მაგალითი. ავიღოთ გამოხატულება x 2 +2 x . თუ მას ერთს დაუმატებთ და ერთს გამოაკლებთ, ეს საშუალებას მოგცემთ განახორციელოთ კიდევ ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია მომავალში - აირჩიეთ ბინომის კვადრატი: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. მოსწავლის სახელმძღვანელო საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A.G. Mordkovich. - მე-17 გამოცემა, დამატება. - მ.: მნემოზინა, 2013. - 175გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-02432-3.

მათ შორის სხვადასხვა გამონათქვამები, რომლებიც განიხილება ალგებრაში, მნიშვნელოვანი ადგილიარის მონომების ჯამები. აქ მოცემულია ასეთი გამონათქვამების მაგალითები:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

მონომების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრის ტერმინებს მრავალწევრის წევრები ეწოდება. მონომებს ასევე მოიხსენიებენ როგორც მრავალწევრებს, განიხილება მონომი, როგორც პოლინომი, რომელიც შედგება ერთი წევრისაგან.

მაგალითად, მრავალწევრი
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
შეიძლება გამარტივდეს.

ჩვენ წარმოვადგენთ ყველა ტერმინს მონომიების სახით სტანდარტული ხედი:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

მიღებულ პოლინომში მსგავს ტერმინებს ვაძლევთ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
შედეგი არის მრავალწევრი, რომლის ყველა წევრი სტანდარტული ფორმის მონომია და მათ შორის მსგავსი არ არის. ასეთ მრავალწევრებს უწოდებენ სტანდარტული ფორმის მრავალწევრები.

უკან მრავალწევრი ხარისხისტანდარტული ფორმა იღებს მისი წევრების ყველაზე დიდ უფლებამოსილებებს. ასე რომ, ბინომს \(12a^2b - 7b \) აქვს მესამე ხარისხი, ხოლო ტრინომს \(2b^2 -7b + 6 \) აქვს მეორე.

ჩვეულებრივ, სტანდარტული ფორმის მრავალწევრების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ერთ ცვლადს, განლაგებულია მისი მაჩვენებლების კლებადობით. Მაგალითად:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

რამდენიმე მრავალწევრის ჯამი შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად.

ზოგჯერ მრავალწევრის წევრები უნდა დაიყოს ჯგუფებად, თითოეული ჯგუფის ჩასმა ფრჩხილებში. ვინაიდან ფრჩხილები ფრჩხილების საპირისპიროა, მისი ჩამოყალიბება მარტივია ფრჩხილების გახსნის წესები:

თუ + ნიშანი მოთავსებულია ფრჩხილების წინ, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება იგივე ნიშნებით.

თუ ფრჩხილების წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ფრჩხილებში ჩასმული ტერმინები იწერება საპირისპირო ნიშნებით.

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

მეშვეობით გამანაწილებელი ქონებაგამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას (გამარტივდეს) მრავალწევრად, მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლად. Მაგალითად:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

მონომისა და მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ამ მონომის ნამრავლებისა და მრავალწევრის თითოეული წევრის ჯამს.

ეს შედეგი ჩვეულებრივ ჩამოყალიბებულია როგორც წესი.

მონომის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, ეს მონომი უნდა გავამრავლოთ მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

ჩვენ არაერთხელ გამოვიყენეთ ეს წესი ჯამზე გასამრავლებლად.

მრავალწევრების ნამრავლი. ორი მრავალწევრის ნამრავლის ტრანსფორმაცია (გამარტივება).

ზოგადად, ორი მრავალწევრის ნამრავლი იდენტურად უდრის ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრისა და მეორის თითოეული წევრის ნამრავლის ჯამს.

ჩვეულებრივ გამოიყენეთ შემდეგი წესი.

მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ჯამი, სხვაობა და სხვაობის კვადრატები

გარკვეული გამონათქვამებით ალგებრული გარდაქმნებიუნდა გაუმკლავდეთ უფრო მეტს, ვიდრე სხვებს. ალბათ ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამებია \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) და \(a^2 - b^2 \), ანუ ჯამის კვადრატი, სხვაობის კვადრატი და სხვაობის კვადრატი. თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ გამონათქვამების სახელები თითქოს არასრულია, ასე რომ, მაგალითად, \((a + b)^2 \) არის, რა თქმა უნდა, არა მხოლოდ ჯამის კვადრატი, არამედ ჯამის კვადრატი. ა და ბ. თუმცა, a და b ჯამის კვადრატი არც თუ ისე გავრცელებულია, როგორც წესი, a და b ასოების ნაცვლად, შეიცავს სხვადასხვა, ზოგჯერ საკმაოდ რთულ გამონათქვამებს.

გამონათქვამები \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ადვილად გარდაიქმნება (გამარტივება) სტანდარტული ფორმის პოლინომებად, ფაქტობრივად, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ ასეთი დავალება მრავალწევრების გამრავლებისას. :
\((ა + ბ)^2 = (ა + ბ)(ა + ბ) = a^2 + აბ + ბა + ბ^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

შედეგად მიღებული იდენტობები სასარგებლოა დასამახსოვრებლად და გამოყენებაში შუალედური გამოთვლების გარეშე. ამას ეხმარება მოკლე სიტყვიერი ფორმულირებები.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატების ჯამს და ორმაგ ნამრავლს.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - სხვაობის კვადრატი არის კვადრატების ჯამი ნამრავლის გაორმაგების გარეშე.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.

ეს სამი იდენტობა საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციას შეცვალოს მათი მარცხენა ნაწილები მარჯვენა ნაწილებით და პირიქით - მარჯვენა ნაწილები მარცხნივ. ყველაზე რთული ამ შემთხვევაში არის შესაბამისი გამონათქვამების დანახვა და იმის გაგება, თუ რა არის მათში ჩანაცვლებული a და b ცვლადები. მოდით შევხედოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.