გადაჭრით სისტემაორი უცნობით - ეს ნიშნავს ცვლადის მნიშვნელობების ყველა წყვილის პოვნას, რომელიც აკმაყოფილებს თითოეულ მოცემულ განტოლებას. თითოეულ ასეთ წყვილს ე.წ სისტემური გადაწყვეტა.

მაგალითი:
მნიშვნელობათა წყვილი \(x=3\);\(y=-1\) არის გამოსავალი პირველი სისტემისთვის, რადგან ამ სამების და მინუს ერთეულების ჩანაცვლებით სისტემაში \(x\) და \. (y\), ორივე განტოლება გადაიქცევა მოქმედ ტოლებად \(\ დასაწყისი(შემთხვევები)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(შემთხვევები) \)

მაგრამ \(x=1\); \(y=-2\) - არ არის პირველი სისტემის ამონახსნი, რადგან ჩანაცვლების შემდეგ მეორე განტოლება "არ ემთხვევა" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end (შემთხვევები)\)

გაითვალისწინეთ, რომ ასეთი წყვილები ხშირად უფრო მოკლედ იწერება: "\(x=3\); \(y=-1\)"-ის ნაცვლად წერენ ასე: \((3;-1)\).

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?

სისტემების გადაჭრის სამი ძირითადი გზა არსებობს წრფივი განტოლებები:

1. ჩანაცვლების მეთოდი.

\(\დაწყება(შემთხვევები)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x=5+2y\\3x+2y= 7\ბოლო(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\)

შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება ამ ცვლადის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებაში.

\(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\დაწყება(შემთხვევები)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\ბოლო(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\)

1. \(\დაწყება(შემთხვევები)13x+9y=17\\12x-2y=26\ბოლო(შემთხვევები)\)

   მეორე განტოლებაში თითოეული წევრი ლუწია, ამიტომ განტოლებას ვამარტივებთ \(2\-ზე) გაყოფით.
   

   \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)13x+9y=17\\6x-y=13\დასრულება (შემთხვევები)\)

   ამ სისტემის გადაჭრა შესაძლებელია ნებისმიერი გზით, მაგრამ მეჩვენება, რომ ჩანაცვლების მეთოდი აქ ყველაზე მოსახერხებელია. გამოვსახოთ y მეორე განტოლებიდან.
   

   \(\დაწყება(შემთხვევები)13x+9y=17\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   ჩაანაცვლეთ \(6x-13\) \(y\) პირველ განტოლებაში.
   

   \(\ დასაწყისი(შემთხვევები)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   პირველი განტოლება ნორმალური გახდა. ჩვენ მოვაგვარებთ.

   ჯერ ფრჩხილები გავხსნათ.
   

   \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)13x+54x-117=17\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   გადავიტანოთ \(117\) მარჯვნივ და მივცეთ მსგავსი პირობები.

   \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)67x=134\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   გაყავით პირველი განტოლების ორივე მხარე \(67\-ზე).

   \(\დაწყება(შემთხვევები)x=2\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   ჰოოი, ვიპოვეთ \(x\)! ჩაანაცვლეთ მისი მნიშვნელობა მეორე განტოლებაში და იპოვეთ \(y\).

   \(\დაწყება(შემთხვევები)x=2\\y=12-13\ბოლო(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\)\(\დაწყება(შემთხვევები)x=2\\y=-1\end(შემთხვევები )\)

   დავწეროთ პასუხი.

ჩვენ გავაანალიზებთ განტოლებების ამოხსნის ორ ტიპს:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემის განტოლებათა თანმიმდევრობით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითქვენ უნდა შეასრულოთ მარტივი ალგორითმი:
1. გამოვხატავთ. ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას.
3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Მოგვარება სისტემა ტერმინით შეკრებით (გამოკლებით)საჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც იგივე კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, შედეგად ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის ამოხსნა არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, აქედან გამომდინარე გამოდის, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. გამოსახვის შემდეგ პირველ განტოლებაში ვცვლით 3 + 10y-ს x ცვლადის ნაცვლად.
2(3+10y)+5y=1

3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (ღია ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-სგან, ვიპოვოთ x, პირველ აბზაცში სადაც გამოვხატეთ, იქ ვცვლით y-ს.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

მიღებულია პირველ რიგში ქულების ჩაწერა, ვწერთ x ცვლადს, ხოლო მეორე ადგილზე y ცვლადს.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

ამოხსნათ ვადით-გამოკლებით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. აირჩიეთ ცვლადი, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და მივიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. პირველ განტოლებას გამოაკელი მეორე, რათა მოშორდეს x ცვლადი. ამოხსენი წრფივი განტოლება.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4,6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ უფასოდ. Არ ვხუმრობ.

უფრო საიმედო ვიდრე წინა პარაგრაფში განხილული გრაფიკული მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი

ეს მეთოდი მე-7 კლასში გამოვიყენეთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად. მე-7 კლასში შემუშავებული ალგორითმი საკმაოდ შესაფერისია ნებისმიერი ორი განტოლების სისტემების გადასაჭრელად (არ არის აუცილებელი წრფივი) ორი ცვლადით x და y (რა თქმა უნდა, ცვლადები შეიძლება აღვნიშნოთ სხვა ასოებით, რაც არ აქვს მნიშვნელობა). სინამდვილეში, ჩვენ გამოვიყენეთ ეს ალგორითმი წინა განყოფილებაში, როდესაც პრობლემა ორნიშნაგამოიწვია მათემატიკური მოდელი, რომელიც განტოლებათა სისტემაა. ჩვენ გადავწყვიტეთ ზემოთ განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით (იხ. მაგალითი 1 § 4-დან).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ორი ცვლადით x, y.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან გამოხატეთ y x-ის მიხედვით.
2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5. ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y), რომლებიც ნაპოვნი იქნა, შესაბამისად, მესამე და მეოთხე საფეხურზე.

4) თავის მხრივ შეცვალეთ y-ის ნაპოვნი თითოეული მნიშვნელობა ფორმულაში x \u003d 5 - Zy. თუ მაშინ
5) განტოლებათა მოცემული სისტემის წყვილები (2; 1) და ამონახსნები.

პასუხი: (2; 1);

ალგებრული მიმატების მეთოდი

ეს მეთოდი, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდი, თქვენთვის ცნობილია მე-7 კლასის ალგებრის კურსიდან, სადაც ის გამოიყენებოდა წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად. გავიხსენოთ მეთოდის არსი შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 2განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

ჩვენ გავამრავლებთ სისტემის პირველი განტოლების ყველა წევრს 3-ზე და ვტოვებთ მეორე განტოლებას უცვლელად:
გამოვაკლოთ სისტემის მეორე განტოლება მის პირველ განტოლებას:

ორი განტოლების ალგებრული შეკრების შედეგად ორიგინალური სისტემამიღებული განტოლება უფრო მარტივია, ვიდრე მოცემული სისტემის პირველი და მეორე განტოლებები. ამ მარტივი განტოლებით ჩვენ გვაქვს უფლება შევცვალოთ მოცემული სისტემის ნებისმიერი განტოლება, მაგალითად, მეორე. შემდეგ განტოლებათა მოცემული სისტემა შეიცვლება უფრო მარტივი სისტემით:

ეს სისტემა შეიძლება გადაწყდეს ჩანაცვლების მეთოდით. მეორე განტოლებიდან ჩვენ ვპოულობთ ამ გამოხატვის y-ის ნაცვლად სისტემის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

რჩება x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში

თუ x = 2 მაშინ

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ სისტემის ორი გამოსავალი:

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი

მე-8 კლასის ალგებრის კურსში ერთი ცვლადით რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდს გაეცანით. ამ მეთოდის არსი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისას იგივეა, მაგრამ ტექნიკური წერტილიხედვა, არის რამდენიმე მახასიათებელი, რომლებსაც განვიხილავთ შემდეგ მაგალითებში.

მაგალითი 3განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, შემდეგ სისტემის პირველი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს უფრო მეტში მარტივი ფორმა: მოდით გადავწყვიტოთ t ცვლადის ეს განტოლება:

ორივე ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას და, შესაბამისად, ფესვებია რაციონალური განტოლებაცვლადით ტ. მაგრამ ეს ნიშნავს ან საიდან ვპოულობთ, რომ x = 2y, ან
ამრიგად, ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ, თითქოსდა, სისტემის პირველი განტოლება, რომელიც საკმაოდ რთულია გარეგნულად, ორ მარტივ განტოლებად „სტრატიფიცირება“ გავხადეთ:

x = 2 y; y - 2x.

Რა არის შემდეგი? შემდეგ კი ორივემ მიიღო მარტივი განტოლებებისისტემაში თავის მხრივ უნდა განვიხილოთ განტოლება x 2 - y 2 \u003d 3, რომელიც ჯერ არ გვახსოვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემა მცირდება განტოლებების ორი სისტემის ამოხსნით:

აუცილებელია იპოვოთ გადაწყვეტილებები პირველი სისტემისთვის, მეორე სისტემისთვის და პასუხში შევიტანოთ მნიშვნელობების ყველა წყვილი. მოდით ამოხსნათ განტოლების პირველი სისტემა:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი, მით უმეტეს, რომ აქ ყველაფერი მზად არის: სისტემის მეორე განტოლებაში ვცვლით გამოხატულებას x-ის ნაცვლად 2y. მიიღეთ

x \u003d 2y-დან შესაბამისად ვპოულობთ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. ამრიგად, მიიღება მოცემული სისტემის ორი ამონახსნი: (2; 1) და (-2; -1). გადავწყვიტოთ განტოლების მეორე სისტემა:

ისევ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის მეორე განტოლებაში y-ის ნაცვლად გამოსახულებას ვცვლით 2x. მიიღეთ

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები. ამრიგად, პასუხში მხოლოდ პირველი სისტემის გადაწყვეტილებები უნდა იყოს შეტანილი.

პასუხი: (2; 1); (-2;-1).

ორი ცვლადით ორი განტოლების სისტემების ამოხსნისას ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი გამოიყენება ორ ვერსიაში. პირველი ვარიანტი: შემოდის ერთი ახალი ცვლადი და გამოიყენება სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდა მე-3 მაგალითში. მეორე ვარიანტი: ორი ახალი ცვლადი შემოტანილია და ერთდროულად გამოიყენება სისტემის ორივე განტოლებაში. ასე იქნება მე-4 მაგალითში.

მაგალითი 4განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ორი ახალი ცვლადი:

ამას მაშინ ვიგებთ

ეს საშუალებას მოგცემთ გადაწეროთ ამ სისტემასბევრად უფრო მარტივი ფორმით, მაგრამ ახალი a და b ცვლადების მიმართ:

ვინაიდან a \u003d 1, შემდეგ განტოლებიდან a + 6 \u003d 2 ვპოულობთ: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. ამრიგად, a და b ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

x და y ცვლადებს დავუბრუნდეთ, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის გადასაჭრელად ჩვენ ვიყენებთ მეთოდს ალგებრული დამატება:

მას შემდეგ 2x + y = 3 განტოლებიდან ვპოულობთ:
ამრიგად, x და y ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

მოდით დავასრულოთ ეს ნაწილი მოკლე, მაგრამ საკმაოდ სერიოზული თეორიული განხილვით. უკვე შეიძინეთ გადაჭრის გამოცდილება სხვადასხვა განტოლებები: წრფივი, კვადრატული, რაციონალური, ირაციონალური. თქვენ იცით, რომ განტოლების ამოხსნის მთავარი იდეა არის ეტაპობრივი გადასვლა ერთი განტოლებიდან მეორეზე, უფრო მარტივი, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტური. წინა განყოფილებაში ჩვენ შემოვიღეთ ეკვივალენტობის ცნება ორი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის. ეს კონცეფცია ასევე გამოიყენება განტოლებათა სისტემებისთვის.

განმარტება.

განტოლების ორი სისტემა x და y ცვლადებით ითვლება ეკვივალენტურად, თუ მათ აქვთ იგივე ამონახსნები ან თუ ორივე სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

სამივე მეთოდი (ჩანაცვლება, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების შემოღება), რომლებიც განვიხილეთ ამ ნაწილში, აბსოლუტურად სწორია ეკვივალენტობის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მეთოდების გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებათა ერთ სისტემას სხვა, უფრო მარტივი, მაგრამ ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური სისტემით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ისეთი საერთო და საიმედო გზებით, როგორიცაა ჩანაცვლების მეთოდი, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების დანერგვა. ახლა კი გავიხსენოთ მეთოდი, რომელიც უკვე შეისწავლეთ წინა გაკვეთილზე. ასე რომ, მოდი, შევაჯამოთ ის, რაც იცით გრაფიკული მეთოდიგადაწყვეტილებები.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდი გრაფიკულადარის გრაფიკის აგება თითოეული კონკრეტული განტოლებისთვის, რომელიც შედის ამ სისტემაში და არის იგივე საკოორდინაციო თვითმფრინავიდა ასევე, სადაც საჭიროა ამ გრაფიკების წერტილების კვეთების პოვნა. განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად არის ამ წერტილის კოორდინატები (x; y).

უნდა გვახსოვდეს, რომ ამისთვის გრაფიკული სისტემაგანტოლებებს, როგორც წესი, აქვთ ერთი უნიკალური სწორი გადაწყვეტილება, ან უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები, ან საერთოდ არ აქვთ გადაწყვეტილებები.

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ამ გადაწყვეტას. ასე რომ, განტოლებათა სისტემა შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ გადაწყვეტილებათუ ხაზები, რომლებიც სისტემის განტოლებების გრაფიკებია, იკვეთება. თუ ეს წრფეები პარალელურია, მაშინ განტოლებათა ასეთ სისტემას აბსოლუტურად არ აქვს ამონახსნები. სისტემის განტოლებების პირდაპირი გრაფიკების დამთხვევის შემთხვევაში, ასეთი სისტემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მრავალი ამონახსნები.

ახლა მოდით შევხედოთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის ალგორითმს 2 უცნობით:

ჯერ პირველ რიგში ვაშენებთ 1-ლი განტოლების გრაფიკს;
მეორე ნაბიჯი იქნება გრაფიკის დახატვა, რომელიც ეხება მეორე განტოლებას;
მესამე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.
და შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თითოეული გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იქნება განტოლებების სისტემის ამოხსნა.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად მაგალითით. ჩვენ გვეძლევა გადასაჭრელ განტოლებათა სისტემა:

განტოლებების ამოხსნა

1. პირველ რიგში, ჩვენ ავაშენებთ განრიგს მოცემული განტოლება: x2+y2=9.

მაგრამ უნდა აღინიშნოს, რომ განტოლებების ეს გრაფიკი იქნება საწყისზე ორიენტირებული წრე და მისი რადიუსი სამის ტოლი იქნება.

2. ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი იქნება განტოლების გამოსახვა, როგორიცაა: y = x - 3.

ამ შემთხვევაში უნდა ავაგოთ წრფე და ვიპოვოთ წერტილები (0;−3) და (3;0).

3. ვნახოთ რა მივიღეთ. ჩვენ ვხედავთ, რომ წრფე კვეთს წრეს მის ორ წერტილში A და B.

ახლა ჩვენ ვეძებთ ამ წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვხედავთ, რომ კოორდინატები (3;0) შეესაბამება A წერტილს, ხოლო კოორდინატები (0;−3) - B წერტილს.

და რას მივიღებთ შედეგად?

სწორი წრფის წრის გადაკვეთაზე მიღებული რიცხვები (3;0) და (0;−3) სწორედ სისტემის ორივე განტოლების ამონახსნებია. და აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს რიცხვები ასევე არის ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.

ანუ ამ ამოხსნის პასუხი არის რიცხვები: (3;0) და (0;−3).

მიღებული განტოლებათა სისტემები ფართო აპლიკაციაეკონომიკურ სექტორში მათემატიკური მოდელირება სხვადასხვა პროცესები. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის რაოდენობის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახვით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y-ის შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არის გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები მარჯვენა ნაწილირომელიც ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

საერთო არ არის ანალიტიკური მეთოდიმსგავსი სისტემების გადაწყვეტილებები, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და პოვნა ოპტიმალური ალგორითმიგადაწყვეტილებები თითოეული მაგალითისთვის. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საშუალო სკოლასაკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახებოდა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . გადაწყვეტილება ეს მაგალითიარ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლების გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

სისტემების ამოხსნის შეკრების მეთოდით ძიებისას, ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა ნომრები. საბოლოო მიზანი მათემატიკური ოპერაციებიარის განტოლება ერთი ცვლადით.

აპლიკაციებისთვის ამ მეთოდითამას პრაქტიკა და დაკვირვება სჭირდება. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. Როგორც შედეგი არითმეტიკული ოპერაციაცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების სტანდარტამდე შემცირება. კვადრატული ტრინომიალი. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულა: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. AT მოცემული მაგალითი a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლები, მაშინ მხოლოდ ერთი გამოსავალია: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი გვხვდება დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი არის აგება კოორდინატთა ღერძისისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკები. მოსახვევების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები და იქნება საერთო გადაწყვეტასისტემები.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, y-ის მნიშვნელობები იქნა ნაპოვნი: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი უნდა იპოვოთ გრაფიკული გადაწყვეტაწრფივი განტოლებათა სისტემები: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითები 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ როდესაც აგებულია, აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება აბრევიატურაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ცხრილს მატრიცა ეწოდება. განსაკუთრებული სახისრიცხვებით სავსე. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცა ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის გასწვრივ და სხვა ნულოვანი ელემენტებიუწოდებს სინგულარს.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, როდესაც გამრავლებისას ორიგინალი გადაიქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნული. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 - ინვერსიული მატრიცა, და |კ| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის შემცირდეს უხერხული აღნიშვნები სისტემების ამოხსნისას დიდი რაოდენობითცვლადები და განტოლებები.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

AT უმაღლესი მათემატიკაგაუსის მეთოდი შესწავლილია კრამერის მეთოდთან ერთად, ხოლო სისტემებისთვის ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება საპოვნელად სისტემის ცვლადებიბევრი წრფივი განტოლებით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. გზა ალგებრული გარდაქმნებიდა ჩანაცვლებები არის ერთი ცვლადის მნიშვნელობა სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

AT სასკოლო სახელმძღვანელოებიმე-7 კლასისთვის, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, ამბობს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი სტუდენტებისთვის რთული გასაგებია უმაღლესი სკოლა, მაგრამ ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზებიპროგრამაში ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის განვითარება სიღრმისეული შესწავლამათემატიკის და ფიზიკის გაკვეთილებზე.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რიცხვს.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც განხორციელდა ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭიროების შესრულებას ალგებრული მოქმედებებიშედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ შეგაწუხოთ მრავალი უცნობის ჩამოთვლა.

გადაწყვეტის ნებისმიერი მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.