Longo caminho desenvolvimento de habilidades resolvendo equações começa com a decisão do primeiro e relativamente equações simples. Por tais equações queremos dizer equações, no lado esquerdo das quais está a soma, diferença, produto ou quociente de dois números, um dos quais é desconhecido, e no lado direito há um número. Ou seja, essas equações contêm termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo ou divisor. A solução de tais equações será discutida neste artigo.

Aqui damos regras que nos permitem encontrar um termo desconhecido, fator, etc. Além disso, consideraremos imediatamente a aplicação dessas regras na prática, resolvendo equações características.

Navegação da página.

Então, substituímos o número 5 em vez de x na equação original 3 + x = 8, obtemos 3 + 5 = 8 - essa igualdade está correta, portanto, encontramos corretamente o termo desconhecido. Se durante a verificação recebermos um igualdade numérica, isso nos indicaria que resolvemos a equação incorretamente. As principais razões para isso podem ser a aplicação da regra errada ou erros computacionais.

Como encontrar o minuendo desconhecido, subtraendo?

A conexão entre adição e subtração de números, que já mencionamos no parágrafo anterior, nos permite obter uma regra para encontrar um minuendo desconhecido através de um subtraendo conhecido e diferença, bem como uma regra para encontrar um subtraendo desconhecido através de um minuendo conhecido e diferença. Vamos formulá-los por sua vez e fornecer imediatamente a solução das equações correspondentes.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Por exemplo, considere a equação x−2=5 . Ele contém um minuendo desconhecido. A regra acima nos diz que para encontrá-lo, devemos adicionar o subtraendo conhecido 2 à diferença conhecida 5, temos 5+2=7. Assim, o minuendo necessário é igual a sete.

Se você omitir as explicações, a solução será escrita da seguinte forma:
x−2=5 ,
x=5+2,
x=7.

Para autocontrole, realizaremos uma verificação. Substituímos o encontrado reduzido na equação original e obtemos a igualdade numérica 7−2=5. É correto, portanto, podemos ter certeza de que determinamos corretamente o valor do minuendo desconhecido.

Você pode prosseguir para encontrar o subtraendo desconhecido. É encontrado adicionando próxima regra: para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Resolvemos uma equação da forma 9−x=4 usando a regra escrita. Nesta equação, a incógnita é o subtraendo. Para encontrá-lo, precisamos subtrair a diferença conhecida 4 do conhecido reduzido 9 , temos 9−4=5 . Assim, o subtraendo necessário é igual a cinco.

Aqui está uma versão curta da solução para esta equação:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5.

Resta apenas verificar a exatidão do subtraendo encontrado. Vamos fazer uma verificação, para a qual substituímos o valor encontrado 5 em vez de x na equação original, e obtemos a igualdade numérica 9−5=4. Está correto, portanto o valor do subtraendo que encontramos está correto.

E antes de passar para a próxima regra, notamos que no 6º ano, é considerada uma regra para resolver equações, que permite transferir qualquer termo de uma parte da equação para outra com sinal oposto. Assim, todas as regras consideradas acima para encontrar um termo desconhecido, reduzido e subtraído, são totalmente consistentes com ele.

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa...

Vamos dar uma olhada nas equações x 3=12 e 2 y=6 . Neles número desconhecidoé o fator do lado esquerdo, e o produto e o segundo fator são conhecidos. Para encontrar o fator desconhecido, você pode usar a seguinte regra: encontrar multiplicador desconhecido, é necessário dividir o produto por um fator conhecido.

Essa regra se baseia no fato de que demos à divisão de números um significado oposto ao significado de multiplicação. Ou seja, há uma conexão entre multiplicação e divisão: da igualdade a b=c , em que a≠0 e b≠0, segue-se que c:a=b e c:b=c, e vice-versa.

Por exemplo, vamos encontrar o fator desconhecido da equação x·3=12 . De acordo com a regra, precisamos dividir trabalho famoso 12 por um multiplicador conhecido de 3 . Vamos fazer: 12:3=4. Portanto, o fator desconhecido é 4.

Resumidamente, a solução da equação é escrita como uma sequência de igualdades:
x 3=12 ,
x=12:3 ,
x=4.

Também é desejável verificar o resultado: substituímos o valor encontrado em vez da letra na equação original, obtemos 4 3 \u003d 12 - a igualdade numérica correta, então encontramos corretamente o valor do fator desconhecido.

E mais uma coisa: agindo de acordo com a regra estudada, na verdade realizamos a divisão de ambas as partes da equação por um multiplicador conhecido diferente de zero. No grau 6, será dito que ambas as partes da equação podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número diferente de zero, isso não afeta as raízes da equação.

Como encontrar o dividendo desconhecido, divisor?

Como parte do nosso tópico, resta descobrir como encontrar um dividendo desconhecido com um divisor conhecido e um quociente, bem como encontrar divisor desconhecido com um divisível e quociente conhecidos. A ligação entre multiplicação e divisão já mencionada no parágrafo anterior permite responder a estas questões.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Vamos considerar sua aplicação com um exemplo. Resolva a equação x:5=9 . Para encontrar a incógnita divisível desta equação, é necessário, segundo a regra, multiplicar o quociente conhecido 9 pelo divisor conhecido 5, ou seja, realizamos a multiplicação números naturais: 9 5=45 . Assim, o dividendo desejado é 45.

Vamos mostrar nota curta soluções:
x:5=9 ,
x=9 5 ,
x=45.

A verificação confirma que o valor do dividendo desconhecido foi encontrado corretamente. De fato, ao substituir o número 45 na equação original em vez da variável x, ele se transforma na igualdade numérica correta 45:5=9.

Observe que a regra analisada pode ser interpretada como a multiplicação de ambas as partes da equação por um divisor conhecido. Tal transformação não afeta as raízes da equação.

Vamos passar para a regra para encontrar o divisor desconhecido: para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

Considere um exemplo. Encontre o divisor desconhecido da equação 18:x=3. Para fazer isso, precisamos dividir o dividendo conhecido 18 pelo quociente conhecido 3, temos 18:3=6. Assim, o divisor necessário é igual a seis.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6.

Vamos verificar a confiabilidade deste resultado: 18:6=3 - a igualdade numérica correta, portanto, a raiz da equação foi encontrada corretamente.

É claro que Esta regra só pode ser usado quando o quociente for diferente de zero para não encontrar divisão por zero. Quando o quociente é zero, dois casos são possíveis. Se neste caso o dividendo for igual a zero, ou seja, a equação tem a forma 0:x=0 , então esta equação satisfaz qualquer valor diferente de zero do divisor. Em outras palavras, as raízes de tal equação são quaisquer números que não sejam iguais a zero. Se, quando o quociente for igual a zero, o dividendo for diferente de zero, então para quaisquer valores​​do divisor, a equação original não se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, ou seja, a equação não tem raízes. Para ilustrar, apresentamos a equação 5:x=0 , ela não tem soluções.

Regras de compartilhamento

A aplicação consistente das regras para encontrar o termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo e divisor permite resolver equações com uma única variável mais de tipo complexo. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Considere a equação 3 x+1=7 . Primeiro, podemos encontrar o termo desconhecido 3 x , para isso precisamos subtrair o termo conhecido 1 da soma 7, obtemos 3 x=7−1 e depois 3 x=6 . Agora resta encontrar o fator desconhecido dividindo o produto de 6 pelo fator conhecido 3 , temos x=6:3 , de onde x=2 . Assim, a raiz da equação original é encontrada.

Para consolidar o material, apresentamos solução curta mais uma equação (2 x−7): 3−5=2 .
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7,
2x=28,
x=28:2,
x=14.

Bibliografia.

• Matemática.. 4 ª série. Proc. para educação geral instituições. Às 2 horas, Parte 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova e outros]. - 8ª ed. - M.: Educação, 2011. - 112 p.: il. - (Escola da Rússia). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matemática: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: il. ISBN 5-346-00699-0.

Equações, resolvendo equações

resolvendo equações

3+x=8,
x=8−3,
x=5.

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x−2=5,
x=5+2,
x=7.

9−x=4,
x=9−4,
x=5.

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Como encontrar o divisor

x 3=12,
x=123,
x=4.

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x5=9,
x=9 5,
x=45.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18x=3,
x=183,
x=6.

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(2 x−7)3−5=2,
(2 x−7)3=2+5,
(2 x−7)3=7,
2 x−7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

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• Matemática.
• Matemática

Divisão. Divisão com resto

Definição de divisão

Dividir o número a pelo número b significa encontrar um novo número pelo qual b deve ser multiplicado para obter a.

Isso implica a seguinte definição de ação: a divisão é chamada de operação aritmética, por meio do qual, dado o produto de dois números por um deles (um fator conhecido), outro número (um fator desconhecido) é encontrado.

Ao dividir Este trabalho chamado divisível, esse fator é divisor, e o fator desejado é privado.

Daí fica claro que divisão é o inverso da multiplicação.

A divisão do número a pelo número b pode ser escrita de duas maneiras:

1) ou 2), e cada uma dessas igualdades significa que ao dividir um número uma por número b no quociente, obtém-se um número natural q.

Divisão com resto

Ao exigir que o quociente seja um número inteiro, dividir o número uma por número b talvez nem sempre.

Por exemplo, quando você não pode dividir 23 por 4, porque não existe um número inteiro pelo qual você possa multiplicar 4 e obter um produto igual a 23.

Mas você pode especificar o maior inteiro, quando multiplicado por 4, obtém-se o inteiro mais próximo de 23. Esse número é 5. Ao multiplicar 5 por 4, obtemos 20.

A diferença entre o dividendo 23 e 20 é 3 - chamado de resto da divisão.

A própria divisão nesses casos é chamada divisão com resto.

O caso em que um inteiro é obtido no quociente e não haverá resto é chamado divisão sem resto ou por toda a divisão, o quociente é chamado completo privado ou simplesmente privado.

Se ao dividir o número a pelo número b, o quociente incompleto q e o resto r são obtidos, então é escrito da seguinte forma.

Ou .

Ao dividir com um resto, um quociente incompleto é chamado maior número, que, quando multiplicado por um divisor, dá um produto que não excede o dividendo. A diferença entre o dividendo e este produto é chamada de resto.

Isso implica, que sempre deve haver um resto ao dividir menos divisor , pois se o resto fosse igual ou maior que o divisor, então o quociente não seria o maior número possível. Se o restante for subtraído do dividendo, então a diferença resultante ( a - r) é dividido pelo divisor dado b sem resto, e no quociente o número ainda sairá q.

Em termos de divisão, a diferença é .

Daí: (no sentido de divisão).

A última igualdade mostra que no caso de divisão com resto o dividendo é igual ao divisor vezes o quociente mais o resto.

Observação. Além disso, a expressão: um número é divisível por outro sem deixar resto (completamente)- substitua pela expressão: um número é divisível por outro.

Número uma neste caso é chamado múltiplo de b.

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6. ITC, filial ucraniana da editora internacional. 03110, Kiev, av. Lobanovsky (Krasnozvezdny), 51, tel. 270-39-03 www.itcpublishing.com
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Pesquisa de sites:

Equações, resolvendo equações

Encontrar um termo desconhecido, multiplicador, etc., regras, exemplos, soluções

Longo caminho para desenvolver habilidades resolvendo equações começa com a resolução das primeiras e relativamente simples equações. Por tais equações queremos dizer equações, no lado esquerdo das quais está a soma, diferença, produto ou quociente de dois números, um dos quais é desconhecido, e no lado direito há um número. Ou seja, essas equações contêm um termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo ou divisor. A solução de tais equações será discutida neste artigo.

Aqui damos regras que nos permitem encontrar um termo desconhecido, fator, etc. Além disso, consideraremos imediatamente a aplicação dessas regras na prática, resolvendo equações características.

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa ...

Zhenya e Kolya decidiram comer maçãs, pelas quais começaram a derrubá-las da macieira. Zhenya pegou 3 maçãs e, no final do processo, os meninos tiveram 8 maçãs. Quantas maçãs Kolya derrubou?

Para traduzir esta tarefa típica em linguagem matemática, denotamos o número desconhecido de maçãs que Kolya derrubou por x. Então, pela condição 3, as maçãs de Zhenya e x Kolins juntos formam 8 maçãs. A última frase corresponde a uma equação da forma 3+x=8. No lado esquerdo desta equação está a soma contendo o termo desconhecido, no lado direito está o valor desta soma - o número 8. Então, como encontrar o termo desconhecido x que nos interessa?

Existe uma regra para isso: Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma..

Esta regra é explicada pelo fato de que a subtração recebe um significado oposto ao da adição. Em outras palavras, existe uma relação entre adição e subtração de números, que se expressa da seguinte forma: do fato de a+b=c segue que c−a=b e c−b=a, e vice-versa, de c−a=b, assim como de c−b=a segue que a+b=c.

A regra sonora permite que um termo conhecido e uma soma conhecida determinem outro termo desconhecido. Não importa qual dos termos é desconhecido, o primeiro ou o segundo. Vamos considerar sua aplicação com um exemplo.

Vamos voltar à nossa equação 3+x=8. De acordo com a regra, precisamos subtrair o termo conhecido 3 da soma conhecida 8. Ou seja, subtraímos os números naturais: 8−3=5, então encontramos o termo desconhecido que precisamos, é igual a 5.

Aceitaram próximo formulário registros da solução de equações semelhantes:

• primeiro escreva a equação original,
• abaixo está a equação obtida após a aplicação da regra para encontrar o termo desconhecido,
• finalmente, ainda mais baixo, anote a equação obtida após realizar operações com números.

O significado desta forma de escrita é que a equação original é sucessivamente substituída equações equivalentes, a partir da qual a raiz da equação original eventualmente se torna óbvia. Eles falam sobre isso em detalhes nas aulas de álgebra na 7ª série, mas por enquanto vamos elaborar uma solução para nossa equação de nível da 3ª série:
3+x=8,
x=8−3,
x=5.

Para verificar a exatidão da resposta recebida, é desejável faça uma verificação. Para fazer isso, a raiz resultante da equação deve ser substituída na equação original e ver se isso fornece a igualdade numérica correta.

Então, substituímos o número 5 em vez de x na equação original 3 + x = 8, obtemos 3 + 5 = 8 - essa igualdade está correta, portanto, encontramos corretamente o termo desconhecido. Se durante a verificação recebermos uma igualdade numérica incorreta, isso nos indicaria que havíamos resolvido a equação incorretamente. As principais razões para isso podem ser a aplicação da regra errada ou erros computacionais.

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Como encontrar o minuendo desconhecido, subtraendo?

A conexão entre adição e subtração de números, que já mencionamos no parágrafo anterior, nos permite obter uma regra para encontrar um minuendo desconhecido através de um subtraendo conhecido e diferença, bem como uma regra para encontrar um subtraendo desconhecido através de um minuendo conhecido e diferença. Vamos formulá-los por sua vez e fornecer imediatamente a solução das equações correspondentes.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Por exemplo, considere a equação x−2=5. Ele contém um minuendo desconhecido. A regra dada nos diz que, para encontrá-lo, devemos adicionar o subtraendo conhecido 2 à diferença conhecida 5, temos 5+2=7. Assim, o minuendo necessário é igual a sete.

Se você omitir as explicações, a solução será escrita da seguinte forma:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Para autocontrole, realizaremos uma verificação. Substitua na equação original o minuendo encontrado, enquanto obtemos a igualdade numérica 7−2=5. É correto, portanto, podemos ter certeza de que determinamos corretamente o valor do minuendo desconhecido.

Você pode prosseguir para encontrar o subtraendo desconhecido. Ele é encontrado adicionando de acordo com a seguinte regra: para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Resolvemos uma equação da forma 9−x=4 usando a regra escrita. Nesta equação, a incógnita é o subtraendo. Para encontrá-lo, precisamos subtrair a diferença conhecida 4 do conhecido reduzido 9, temos 9−4=5. Assim, o subtraendo necessário é igual a cinco.

Aqui está uma versão curta da solução para esta equação:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Resta apenas verificar a exatidão do subtraendo encontrado. Vamos fazer uma verificação, para a qual substituímos o valor encontrado 5 em vez de x na equação original, e obtemos a igualdade numérica 9−5=4. Está correto, portanto o valor do subtraendo que encontramos está correto.

E antes de passar para a próxima regra, notamos que no 6º ano, é considerada uma regra para resolver equações, que permite transferir qualquer termo de uma parte da equação para outra com o sinal oposto. Assim, todas as regras consideradas acima para encontrar um termo desconhecido, reduzido e subtraído, são totalmente consistentes com ele.

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Para encontrar o fator desconhecido, você precisa...

Vamos dar uma olhada nas equações x 3=12 e 2 y=6. Neles, o número desconhecido é o fator do lado esquerdo, e o produto e o segundo fator são conhecidos. Para encontrar o fator desconhecido, você pode usar a seguinte regra: para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Essa regra se baseia no fato de que demos à divisão de números um significado oposto ao significado de multiplicação. Ou seja, há uma conexão entre multiplicação e divisão: da igualdade a b=c, em que a≠0 e b≠0, segue-se que ca=b e cb=c, e vice-versa.

Por exemplo, vamos encontrar o fator desconhecido da equação x·3=12. De acordo com a regra, precisamos dividir o produto conhecido 12 pelo fator conhecido 3. Vamos dividir os números naturais: 123=4. Portanto, o fator desconhecido é 4.

Resumidamente, a solução da equação é escrita como uma sequência de igualdades:
x 3=12,
x=123,
x=4.

Também é desejável verificar o resultado: substituímos o valor encontrado em vez da letra na equação original, obtemos 4 3 \u003d 12 - a igualdade numérica correta, então encontramos corretamente o valor do fator desconhecido.

Separadamente, você precisa prestar atenção ao fato de que a regra sonora não pode ser usada para encontrar um fator desconhecido quando outro fator zero. Por exemplo, esta regra não é adequada para resolver a equação x·0=11. De fato, se neste caso seguirmos a regra, para encontrar o fator desconhecido, precisamos dividir o produto 11 por outro fator igual a zero e não podemos dividir por zero. Discutiremos esses casos em detalhes quando falarmos sobre equações lineares.

E mais uma coisa: agindo de acordo com a regra estudada, na verdade realizamos a divisão de ambas as partes da equação por um multiplicador conhecido diferente de zero. No grau 6, será dito que ambas as partes da equação podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número diferente de zero, isso não afeta as raízes da equação.

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Como encontrar o dividendo desconhecido, divisor?

Como parte do nosso tópico, resta descobrir como encontrar o dividendo desconhecido com um divisor e quociente conhecidos, bem como encontrar um divisor desconhecido com um dividendo e quociente conhecidos. A ligação entre multiplicação e divisão já mencionada no parágrafo anterior permite responder a estas questões.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Vamos considerar sua aplicação com um exemplo. Vamos resolver a equação x5=9. Para encontrar a incógnita divisível desta equação, de acordo com a regra, é necessário multiplicar o quociente conhecido 9 pelo divisor conhecido 5, ou seja, realizamos a multiplicação de números naturais: 9 5 \u003d 45. Assim, o dividendo desejado é 45.

Vamos mostrar uma pequena notação da solução:
x5=9,
x=9 5,
x=45.

A verificação confirma que o valor do dividendo desconhecido foi encontrado corretamente. De fato, ao substituir o número 45 na equação original em vez da variável x, ele se transforma na igualdade numérica correta 455=9.

Observe que a regra analisada pode ser interpretada como a multiplicação de ambas as partes da equação por um divisor conhecido. Tal transformação não afeta as raízes da equação.

Vamos passar para a regra para encontrar o divisor desconhecido: para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

Considere um exemplo. Encontre o divisor desconhecido da equação 18x=3. Para fazer isso, precisamos dividir o dividendo conhecido 18 pelo quociente conhecido 3, temos 183=6. Assim, o divisor necessário é igual a seis.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18x=3,
x=183,
x=6.

Vamos verificar a confiabilidade deste resultado: 186=3 - a igualdade numérica correta, portanto, a raiz da equação foi encontrada corretamente.

É claro que esta regra só pode ser aplicada quando o quociente for diferente de zero, para não encontrar divisão por zero. Quando o quociente é zero, dois casos são possíveis. Se neste caso o dividendo for igual a zero, ou seja, a equação tem a forma 0x=0, então esta equação satisfaz qualquer valor diferente de zero do divisor. Em outras palavras, as raízes de tal equação são quaisquer números que não sejam iguais a zero. Se, quando o quociente for igual a zero, o dividendo for diferente de zero, então para quaisquer valores​​do divisor, a equação original não se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, ou seja, a equação não tem raízes. Para ilustrar, apresentamos a equação 5x=0, ela não tem soluções.

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Regras de compartilhamento

A aplicação consistente das regras para encontrar o termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo e divisor permite resolver equações com uma única variável de forma mais complexa. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Considere a equação 3 x+1=7. Primeiro, podemos encontrar o termo desconhecido 3 x, para isso precisamos subtrair o termo conhecido 1 da soma 7, obtemos 3 x=7−1 e depois 3 x=6. Agora resta encontrar o fator desconhecido dividindo o produto de 6 pelo fator conhecido de 3, temos x=63, de onde x=2. Assim, a raiz da equação original é encontrada.

Para consolidar o material, apresentamos uma breve solução de outra equação (2·x−7)3−5=2.
(2 x−7)3−5=2,
(2 x−7)3=2+5,
(2 x−7)3=7,
2 x−7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

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• Matemática.. 4 ª série. Proc. para educação geral instituições. Às 2 h. Ch. 1 / .- 8ª ed. — M.: Iluminismo, 2011. — 112 p.: ll. - (Escola da Rússia). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matemática: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ll. ISBN 5-346-00699-0.

Equações, resolvendo equações

Encontrar um termo desconhecido, multiplicador, etc., regras, exemplos, soluções

Longo caminho para desenvolver habilidades resolvendo equações começa com a resolução das primeiras e relativamente simples equações. Por tais equações queremos dizer equações, no lado esquerdo das quais está a soma, diferença, produto ou quociente de dois números, um dos quais é desconhecido, e no lado direito há um número. Ou seja, essas equações contêm um termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo ou divisor. A solução de tais equações será discutida neste artigo.

Aqui damos regras que nos permitem encontrar um termo desconhecido, fator, etc. Além disso, consideraremos imediatamente a aplicação dessas regras na prática, resolvendo equações características.

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa ...

Zhenya e Kolya decidiram comer maçãs, pelas quais começaram a derrubá-las da macieira. Zhenya pegou 3 maçãs e, no final do processo, os meninos tiveram 8 maçãs. Quantas maçãs Kolya derrubou?

Para traduzir esse problema típico em linguagem matemática, denotamos o número desconhecido de maçãs que Kolya derrubou como x. Então, pela condição 3, as maçãs de Zhenya e x Kolins juntos formam 8 maçãs. A última frase corresponde a uma equação da forma 3+x=8. No lado esquerdo desta equação está a soma que contém o termo desconhecido, no lado direito está o valor desta soma - o número 8. Então, como encontrar o termo desconhecido x que nos interessa?

Existe uma regra para isso: Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma..

Esta regra é explicada pelo fato de que a subtração recebe um significado oposto ao da adição. Em outras palavras, existe uma relação entre adição e subtração de números, que se expressa da seguinte forma: do fato de a+b=c segue que c−a=b e c−b=a, e vice-versa, de c−a=b, assim como de c−b=a segue que a+b=c.

A regra sonora permite que um termo conhecido e uma soma conhecida determinem outro termo desconhecido. Não importa qual dos termos é desconhecido, o primeiro ou o segundo. Vamos considerar sua aplicação com um exemplo.

Vamos voltar à nossa equação 3+x=8. De acordo com a regra, precisamos subtrair o termo conhecido 3 da soma conhecida 8. Ou seja, subtraímos os números naturais: 8−3=5, então encontramos o termo desconhecido que precisamos, é igual a 5.

A seguinte forma de escrever a solução de tais equações é adotada:

• primeiro escreva a equação original,
• abaixo está a equação obtida após a aplicação da regra para encontrar o termo desconhecido,
• finalmente, ainda mais baixo, anote a equação obtida após realizar operações com números.

O significado desta forma de escrita é que a equação original é sucessivamente substituída por equações equivalentes, das quais a raiz da equação original eventualmente se torna óbvia. Eles falam sobre isso em detalhes nas aulas de álgebra na 7ª série, mas por enquanto vamos elaborar uma solução para nossa equação de nível da 3ª série:
3+x=8,
x=8−3,
x=5.

Para verificar a exatidão da resposta recebida, é desejável faça uma verificação. Para fazer isso, a raiz resultante da equação deve ser substituída na equação original e ver se isso fornece a igualdade numérica correta.

Então, substituímos o número 5 em vez de x na equação original 3 + x = 8, obtemos 3 + 5 = 8 - essa igualdade está correta, portanto, encontramos corretamente o termo desconhecido. Se durante a verificação recebermos uma igualdade numérica incorreta, isso nos indicaria que havíamos resolvido a equação incorretamente. As principais razões para isso podem ser a aplicação da regra errada ou erros computacionais.

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Como encontrar o minuendo desconhecido, subtraendo?

A conexão entre adição e subtração de números, que já mencionamos no parágrafo anterior, nos permite obter uma regra para encontrar um minuendo desconhecido através de um subtraendo conhecido e diferença, bem como uma regra para encontrar um subtraendo desconhecido através de um minuendo conhecido e diferença. Vamos formulá-los por sua vez e fornecer imediatamente a solução das equações correspondentes.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Por exemplo, considere a equação x−2=5. Ele contém um minuendo desconhecido. A regra dada nos diz que, para encontrá-lo, devemos adicionar o subtraendo conhecido 2 à diferença conhecida 5, temos 5+2=7. Assim, o minuendo necessário é igual a sete.

Se você omitir as explicações, a solução será escrita da seguinte forma:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Para autocontrole, realizaremos uma verificação. Substitua na equação original o minuendo encontrado, enquanto obtemos a igualdade numérica 7−2=5. É correto, portanto, podemos ter certeza de que determinamos corretamente o valor do minuendo desconhecido.

Você pode prosseguir para encontrar o subtraendo desconhecido. Ele é encontrado adicionando de acordo com a seguinte regra: para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Resolvemos uma equação da forma 9−x=4 usando a regra escrita. Nesta equação, a incógnita é o subtraendo. Para encontrá-lo, precisamos subtrair a diferença conhecida 4 do conhecido reduzido 9, temos 9−4=5. Assim, o subtraendo necessário é igual a cinco.

Aqui está uma versão curta da solução para esta equação:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Resta apenas verificar a exatidão do subtraendo encontrado. Vamos fazer uma verificação, para a qual substituímos o valor encontrado 5 em vez de x na equação original, e obtemos a igualdade numérica 9−5=4. Está correto, portanto o valor do subtraendo que encontramos está correto.

E antes de passar para a próxima regra, notamos que no 6º ano, é considerada uma regra para resolver equações, que permite transferir qualquer termo de uma parte da equação para outra com o sinal oposto. Assim, todas as regras consideradas acima para encontrar um termo desconhecido, reduzido e subtraído, são totalmente consistentes com ele.

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Para encontrar o fator desconhecido, você precisa...

Vamos dar uma olhada nas equações x 3=12 e 2 y=6. Neles, o número desconhecido é o fator do lado esquerdo, e o produto e o segundo fator são conhecidos.

Como encontrar um divisor de quociente Escrevo regras que não são memoráveis

Para encontrar o fator desconhecido, você pode usar a seguinte regra: para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Essa regra se baseia no fato de que demos à divisão de números um significado oposto ao significado de multiplicação. Ou seja, há uma conexão entre multiplicação e divisão: da igualdade a b=c, em que a≠0 e b≠0, segue-se que ca=b e cb=c, e vice-versa.

Por exemplo, vamos encontrar o fator desconhecido da equação x·3=12. De acordo com a regra, precisamos dividir o produto conhecido 12 pelo fator conhecido 3. Vamos dividir os números naturais: 123=4. Portanto, o fator desconhecido é 4.

Resumidamente, a solução da equação é escrita como uma sequência de igualdades:
x 3=12,
x=123,
x=4.

Também é desejável verificar o resultado: substituímos o valor encontrado em vez da letra na equação original, obtemos 4 3 \u003d 12 - a igualdade numérica correta, então encontramos corretamente o valor do fator desconhecido.

Separadamente, você precisa prestar atenção ao fato de que a regra sonora não pode ser usada para encontrar um fator desconhecido quando o outro fator é zero. Por exemplo, esta regra não é adequada para resolver a equação x·0=11. De fato, se neste caso aderirmos à regra, para encontrar um fator desconhecido, precisamos dividir o produto 11 por outro fator igual a zero e não podemos dividir por zero. Discutiremos esses casos em detalhes quando falarmos sobre equações lineares.

E mais uma coisa: agindo de acordo com a regra estudada, na verdade realizamos a divisão de ambas as partes da equação por um multiplicador conhecido diferente de zero. No grau 6, será dito que ambas as partes da equação podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número diferente de zero, isso não afeta as raízes da equação.

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Como encontrar o dividendo desconhecido, divisor?

Como parte do nosso tópico, resta descobrir como encontrar o dividendo desconhecido com um divisor e quociente conhecidos, bem como encontrar um divisor desconhecido com um dividendo e quociente conhecidos. A ligação entre multiplicação e divisão já mencionada no parágrafo anterior permite responder a estas questões.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Vamos considerar sua aplicação com um exemplo. Vamos resolver a equação x5=9. Para encontrar a incógnita divisível desta equação, de acordo com a regra, é necessário multiplicar o quociente conhecido 9 pelo divisor conhecido 5, ou seja, realizamos a multiplicação de números naturais: 9 5 \u003d 45. Assim, o dividendo desejado é 45.

Vamos mostrar uma pequena notação da solução:
x5=9,
x=9 5,
x=45.

A verificação confirma que o valor do dividendo desconhecido foi encontrado corretamente. De fato, ao substituir o número 45 na equação original em vez da variável x, ele se transforma na igualdade numérica correta 455=9.

Observe que a regra analisada pode ser interpretada como a multiplicação de ambas as partes da equação por um divisor conhecido. Tal transformação não afeta as raízes da equação.

Vamos passar para a regra para encontrar o divisor desconhecido: para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

Considere um exemplo. Encontre o divisor desconhecido da equação 18x=3. Para fazer isso, precisamos dividir o dividendo conhecido 18 pelo quociente conhecido 3, temos 183=6. Assim, o divisor necessário é igual a seis.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18x=3,
x=183,
x=6.

Vamos verificar a confiabilidade deste resultado: 186=3 - a igualdade numérica correta, portanto, a raiz da equação foi encontrada corretamente.

É claro que esta regra só pode ser aplicada quando o quociente for diferente de zero, para não encontrar divisão por zero. Quando o quociente é zero, dois casos são possíveis. Se neste caso o dividendo for igual a zero, ou seja, a equação tem a forma 0x=0, então esta equação satisfaz qualquer valor diferente de zero do divisor. Em outras palavras, as raízes de tal equação são quaisquer números que não sejam iguais a zero. Se, quando o quociente for igual a zero, o dividendo for diferente de zero, então para quaisquer valores​​do divisor, a equação original não se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, ou seja, a equação não tem raízes. Para ilustrar, apresentamos a equação 5x=0, ela não tem soluções.

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Regras de compartilhamento

A aplicação consistente das regras para encontrar o termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo e divisor permite resolver equações com uma única variável de forma mais complexa. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Considere a equação 3 x+1=7. Primeiro, podemos encontrar o termo desconhecido 3 x, para isso precisamos subtrair o termo conhecido 1 da soma 7, obtemos 3 x=7−1 e depois 3 x=6. Agora resta encontrar o fator desconhecido dividindo o produto de 6 pelo fator conhecido de 3, temos x=63, de onde x=2. Assim, a raiz da equação original é encontrada.

Para consolidar o material, apresentamos uma breve solução de outra equação (2·x−7)3−5=2.
(2 x−7)3−5=2,
(2 x−7)3=2+5,
(2 x−7)3=7,
2 x−7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

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• Matemática.. 4 ª série. Proc. para educação geral instituições. Às 2 h. Ch. 1 / .- 8ª ed. — M.: Iluminismo, 2011. — 112 p.: ll. - (Escola da Rússia). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matemática: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ll. ISBN 5-346-00699-0.

Equações, resolvendo equações

Encontrar um termo desconhecido, multiplicador, etc., regras, exemplos, soluções

Longo caminho para desenvolver habilidades resolvendo equações começa com a resolução das primeiras e relativamente simples equações. Por tais equações queremos dizer equações, no lado esquerdo das quais está a soma, diferença, produto ou quociente de dois números, um dos quais é desconhecido, e no lado direito há um número. Ou seja, essas equações contêm um termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo ou divisor. A solução de tais equações será discutida neste artigo.

Aqui damos regras que nos permitem encontrar um termo desconhecido, fator, etc. Além disso, consideraremos imediatamente a aplicação dessas regras na prática, resolvendo equações características.

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa ...

Zhenya e Kolya decidiram comer maçãs, pelas quais começaram a derrubá-las da macieira. Zhenya pegou 3 maçãs e, no final do processo, os meninos tiveram 8 maçãs. Quantas maçãs Kolya derrubou?

Para traduzir esse problema típico em linguagem matemática, denotamos o número desconhecido de maçãs que Kolya derrubou como x. Então, pela condição 3, as maçãs de Zhenya e x Kolins juntos formam 8 maçãs. A última frase corresponde a uma equação da forma 3+x=8. No lado esquerdo desta equação está a soma que contém o termo desconhecido, no lado direito está o valor desta soma - o número 8. Então, como encontrar o termo desconhecido x que nos interessa?

Existe uma regra para isso: Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma..

Esta regra é explicada pelo fato de que a subtração recebe um significado oposto ao da adição. Em outras palavras, existe uma relação entre adição e subtração de números, que se expressa da seguinte forma: do fato de a+b=c segue que c−a=b e c−b=a, e vice-versa, de c−a=b, assim como de c−b=a segue que a+b=c.

A regra sonora permite que um termo conhecido e uma soma conhecida determinem outro termo desconhecido. Não importa qual dos termos é desconhecido, o primeiro ou o segundo. Vamos considerar sua aplicação com um exemplo.

Vamos voltar à nossa equação 3+x=8. De acordo com a regra, precisamos subtrair o termo conhecido 3 da soma conhecida 8. Ou seja, subtraímos os números naturais: 8−3=5, então encontramos o termo desconhecido que precisamos, é igual a 5.

A seguinte forma de escrever a solução de tais equações é adotada:

• primeiro escreva a equação original,
• abaixo está a equação obtida após a aplicação da regra para encontrar o termo desconhecido,
• finalmente, ainda mais baixo, anote a equação obtida após realizar operações com números.

O significado desta forma de escrita é que a equação original é sucessivamente substituída por equações equivalentes, das quais a raiz da equação original eventualmente se torna óbvia. Eles falam sobre isso em detalhes nas aulas de álgebra na 7ª série, mas por enquanto vamos elaborar uma solução para nossa equação de nível da 3ª série:
3+x=8,
x=8−3,
x=5.

Para verificar a exatidão da resposta recebida, é desejável faça uma verificação. Para fazer isso, a raiz resultante da equação deve ser substituída na equação original e ver se isso fornece a igualdade numérica correta.

Então, substituímos o número 5 em vez de x na equação original 3 + x = 8, obtemos 3 + 5 = 8 - essa igualdade está correta, portanto, encontramos corretamente o termo desconhecido. Se durante a verificação recebermos uma igualdade numérica incorreta, isso nos indicaria que havíamos resolvido a equação incorretamente. As principais razões para isso podem ser a aplicação da regra errada ou erros computacionais.

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Como encontrar o minuendo desconhecido, subtraendo?

A conexão entre adição e subtração de números, que já mencionamos no parágrafo anterior, nos permite obter uma regra para encontrar um minuendo desconhecido através de um subtraendo conhecido e diferença, bem como uma regra para encontrar um subtraendo desconhecido através de um minuendo conhecido e diferença. Vamos formulá-los por sua vez e fornecer imediatamente a solução das equações correspondentes.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Por exemplo, considere a equação x−2=5. Ele contém um minuendo desconhecido. A regra dada nos diz que, para encontrá-lo, devemos adicionar o subtraendo conhecido 2 à diferença conhecida 5, temos 5+2=7. Assim, o minuendo necessário é igual a sete.

Se você omitir as explicações, a solução será escrita da seguinte forma:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Para autocontrole, realizaremos uma verificação. Substitua na equação original o minuendo encontrado, enquanto obtemos a igualdade numérica 7−2=5. É correto, portanto, podemos ter certeza de que determinamos corretamente o valor do minuendo desconhecido.

Você pode prosseguir para encontrar o subtraendo desconhecido. Ele é encontrado adicionando de acordo com a seguinte regra: para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Resolvemos uma equação da forma 9−x=4 usando a regra escrita. Nesta equação, a incógnita é o subtraendo. Para encontrá-lo, precisamos subtrair a diferença conhecida 4 do conhecido reduzido 9, temos 9−4=5. Assim, o subtraendo necessário é igual a cinco.

Aqui está uma versão curta da solução para esta equação:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Resta apenas verificar a exatidão do subtraendo encontrado. Vamos fazer uma verificação, para a qual substituímos o valor encontrado 5 em vez de x na equação original, e obtemos a igualdade numérica 9−5=4. Está correto, portanto o valor do subtraendo que encontramos está correto.

E antes de passar para a próxima regra, notamos que no 6º ano, é considerada uma regra para resolver equações, que permite transferir qualquer termo de uma parte da equação para outra com o sinal oposto. Assim, todas as regras consideradas acima para encontrar um termo desconhecido, reduzido e subtraído, são totalmente consistentes com ele.

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Para encontrar o fator desconhecido, você precisa...

Vamos dar uma olhada nas equações x 3=12 e 2 y=6. Neles, o número desconhecido é o fator do lado esquerdo, e o produto e o segundo fator são conhecidos. Para encontrar o fator desconhecido, você pode usar a seguinte regra: para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Essa regra se baseia no fato de que demos à divisão de números um significado oposto ao significado de multiplicação. Ou seja, há uma conexão entre multiplicação e divisão: da igualdade a b=c, em que a≠0 e b≠0, segue-se que ca=b e cb=c, e vice-versa.

Por exemplo, vamos encontrar o fator desconhecido da equação x·3=12. De acordo com a regra, precisamos dividir o produto conhecido 12 pelo fator conhecido 3. Vamos dividir os números naturais: 123=4. Portanto, o fator desconhecido é 4.

Resumidamente, a solução da equação é escrita como uma sequência de igualdades:
x 3=12,
x=123,
x=4.

Também é desejável verificar o resultado: substituímos o valor encontrado em vez da letra na equação original, obtemos 4 3 \u003d 12 - a igualdade numérica correta, então encontramos corretamente o valor do fator desconhecido.

Separadamente, você precisa prestar atenção ao fato de que a regra sonora não pode ser usada para encontrar um fator desconhecido quando o outro fator é zero. Por exemplo, esta regra não é adequada para resolver a equação x·0=11. De fato, se neste caso aderirmos à regra, para encontrar um fator desconhecido, precisamos dividir o produto 11 por outro fator igual a zero e não podemos dividir por zero. Discutiremos esses casos em detalhes quando falarmos sobre equações lineares.

E mais uma coisa: agindo de acordo com a regra estudada, na verdade realizamos a divisão de ambas as partes da equação por um multiplicador conhecido diferente de zero. No grau 6, será dito que ambas as partes da equação podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número diferente de zero, isso não afeta as raízes da equação.

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Como encontrar o dividendo desconhecido, divisor?

Como parte do nosso tópico, resta descobrir como encontrar o dividendo desconhecido com um divisor e quociente conhecidos, bem como encontrar um divisor desconhecido com um dividendo e quociente conhecidos. A ligação entre multiplicação e divisão já mencionada no parágrafo anterior permite responder a estas questões.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Vamos considerar sua aplicação com um exemplo. Vamos resolver a equação x5=9. Para encontrar a incógnita divisível desta equação, de acordo com a regra, é necessário multiplicar o quociente conhecido 9 pelo divisor conhecido 5, ou seja, realizamos a multiplicação de números naturais: 9 5 \u003d 45. Assim, o dividendo desejado é 45.

Vamos mostrar uma pequena notação da solução:
x5=9,
x=9 5,
x=45.

A verificação confirma que o valor do dividendo desconhecido foi encontrado corretamente. De fato, ao substituir o número 45 na equação original em vez da variável x, ele se transforma na igualdade numérica correta 455=9.

Observe que a regra analisada pode ser interpretada como a multiplicação de ambas as partes da equação por um divisor conhecido. Tal transformação não afeta as raízes da equação.

Vamos passar para a regra para encontrar o divisor desconhecido: para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

Considere um exemplo. Encontre o divisor desconhecido da equação 18x=3. Para fazer isso, precisamos dividir o dividendo conhecido 18 pelo quociente conhecido 3, temos 183=6. Assim, o divisor necessário é igual a seis.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18x=3,
x=183,
x=6.

Vamos verificar a confiabilidade deste resultado: 186=3 - a igualdade numérica correta, portanto, a raiz da equação foi encontrada corretamente.

regra privada do divisor de dividendos

É claro que esta regra só pode ser aplicada quando o quociente for diferente de zero, para não encontrar divisão por zero. Quando o quociente é zero, dois casos são possíveis. Se neste caso o dividendo for igual a zero, ou seja, a equação tem a forma 0x=0, então esta equação satisfaz qualquer valor diferente de zero do divisor. Em outras palavras, as raízes de tal equação são quaisquer números que não sejam iguais a zero. Se, quando o quociente for igual a zero, o dividendo for diferente de zero, então para quaisquer valores​​do divisor, a equação original não se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, ou seja, a equação não tem raízes. Para ilustrar, apresentamos a equação 5x=0, ela não tem soluções.

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Regras de compartilhamento

A aplicação consistente das regras para encontrar o termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo e divisor permite resolver equações com uma única variável de forma mais complexa. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Considere a equação 3 x+1=7. Primeiro, podemos encontrar o termo desconhecido 3 x, para isso precisamos subtrair o termo conhecido 1 da soma 7, obtemos 3 x=7−1 e depois 3 x=6. Agora resta encontrar o fator desconhecido dividindo o produto de 6 pelo fator conhecido de 3, temos x=63, de onde x=2. Assim, a raiz da equação original é encontrada.

Para consolidar o material, apresentamos uma breve solução de outra equação (2·x−7)3−5=2.
(2 x−7)3−5=2,
(2 x−7)3=2+5,
(2 x−7)3=7,
2 x−7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

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• Matemática.. 4 ª série. Proc. para educação geral instituições. Às 2 h. Ch. 1 / .- 8ª ed. — M.: Iluminismo, 2011. — 112 p.: ll. - (Escola da Rússia). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matemática: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ll. ISBN 5-346-00699-0.

Equações, resolvendo equações

Encontrar um termo desconhecido, multiplicador, etc., regras, exemplos, soluções

Longo caminho para desenvolver habilidades resolvendo equações começa com a resolução das primeiras e relativamente simples equações. Por tais equações queremos dizer equações, no lado esquerdo das quais está a soma, diferença, produto ou quociente de dois números, um dos quais é desconhecido, e no lado direito há um número. Ou seja, essas equações contêm um termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo ou divisor. A solução de tais equações será discutida neste artigo.

Aqui damos regras que nos permitem encontrar um termo desconhecido, fator, etc. Além disso, consideraremos imediatamente a aplicação dessas regras na prática, resolvendo equações características.

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa ...

Zhenya e Kolya decidiram comer maçãs, pelas quais começaram a derrubá-las da macieira. Zhenya pegou 3 maçãs e, no final do processo, os meninos tiveram 8 maçãs. Quantas maçãs Kolya derrubou?

Para traduzir esse problema típico em linguagem matemática, denotamos o número desconhecido de maçãs que Kolya derrubou como x. Então, pela condição 3, as maçãs de Zhenya e x Kolins juntos formam 8 maçãs. A última frase corresponde a uma equação da forma 3+x=8. No lado esquerdo desta equação está a soma que contém o termo desconhecido, no lado direito está o valor desta soma - o número 8. Então, como encontrar o termo desconhecido x que nos interessa?

Existe uma regra para isso: Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma..

Esta regra é explicada pelo fato de que a subtração recebe um significado oposto ao da adição. Em outras palavras, existe uma relação entre adição e subtração de números, que se expressa da seguinte forma: do fato de a+b=c segue que c−a=b e c−b=a, e vice-versa, de c−a=b, assim como de c−b=a segue que a+b=c.

A regra sonora permite que um termo conhecido e uma soma conhecida determinem outro termo desconhecido. Não importa qual dos termos é desconhecido, o primeiro ou o segundo. Vamos considerar sua aplicação com um exemplo.

Vamos voltar à nossa equação 3+x=8. De acordo com a regra, precisamos subtrair o termo conhecido 3 da soma conhecida 8. Ou seja, subtraímos os números naturais: 8−3=5, então encontramos o termo desconhecido que precisamos, é igual a 5.

A seguinte forma de escrever a solução de tais equações é adotada:

• primeiro escreva a equação original,
• abaixo está a equação obtida após a aplicação da regra para encontrar o termo desconhecido,
• finalmente, ainda mais baixo, anote a equação obtida após realizar operações com números.

O significado desta forma de escrita é que a equação original é sucessivamente substituída por equações equivalentes, das quais a raiz da equação original eventualmente se torna óbvia. Eles falam sobre isso em detalhes nas aulas de álgebra na 7ª série, mas por enquanto vamos elaborar uma solução para nossa equação de nível da 3ª série:
3+x=8,
x=8−3,
x=5.

Para verificar a exatidão da resposta recebida, é desejável faça uma verificação. Para fazer isso, a raiz resultante da equação deve ser substituída na equação original e ver se isso fornece a igualdade numérica correta.

Então, substituímos o número 5 em vez de x na equação original 3 + x = 8, obtemos 3 + 5 = 8 - essa igualdade está correta, portanto, encontramos corretamente o termo desconhecido. Se durante a verificação recebermos uma igualdade numérica incorreta, isso nos indicaria que havíamos resolvido a equação incorretamente. As principais razões para isso podem ser a aplicação da regra errada ou erros computacionais.

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Como encontrar o minuendo desconhecido, subtraendo?

A conexão entre adição e subtração de números, que já mencionamos no parágrafo anterior, nos permite obter uma regra para encontrar um minuendo desconhecido através de um subtraendo conhecido e diferença, bem como uma regra para encontrar um subtraendo desconhecido através de um minuendo conhecido e diferença. Vamos formulá-los por sua vez e fornecer imediatamente a solução das equações correspondentes.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Por exemplo, considere a equação x−2=5. Ele contém um minuendo desconhecido. A regra dada nos diz que, para encontrá-lo, devemos adicionar o subtraendo conhecido 2 à diferença conhecida 5, temos 5+2=7. Assim, o minuendo necessário é igual a sete.

Se você omitir as explicações, a solução será escrita da seguinte forma:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Para autocontrole, realizaremos uma verificação. Substitua na equação original o minuendo encontrado, enquanto obtemos a igualdade numérica 7−2=5. É correto, portanto, podemos ter certeza de que determinamos corretamente o valor do minuendo desconhecido.

Você pode prosseguir para encontrar o subtraendo desconhecido. Ele é encontrado adicionando de acordo com a seguinte regra: para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Resolvemos uma equação da forma 9−x=4 usando a regra escrita. Nesta equação, a incógnita é o subtraendo. Para encontrá-lo, precisamos subtrair a diferença conhecida 4 do conhecido reduzido 9, temos 9−4=5. Assim, o subtraendo necessário é igual a cinco.

Aqui está uma versão curta da solução para esta equação:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Resta apenas verificar a exatidão do subtraendo encontrado. Vamos fazer uma verificação, para a qual substituímos o valor encontrado 5 em vez de x na equação original, e obtemos a igualdade numérica 9−5=4. Está correto, portanto o valor do subtraendo que encontramos está correto.

E antes de passar para a próxima regra, notamos que no 6º ano, é considerada uma regra para resolver equações, que permite transferir qualquer termo de uma parte da equação para outra com o sinal oposto. Assim, todas as regras consideradas acima para encontrar um termo desconhecido, reduzido e subtraído, são totalmente consistentes com ele.

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Para encontrar o fator desconhecido, você precisa...

Vamos dar uma olhada nas equações x 3=12 e 2 y=6. Neles, o número desconhecido é o fator do lado esquerdo, e o produto e o segundo fator são conhecidos. Para encontrar o fator desconhecido, você pode usar a seguinte regra: para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Essa regra se baseia no fato de que demos à divisão de números um significado oposto ao significado de multiplicação. Ou seja, há uma conexão entre multiplicação e divisão: da igualdade a b=c, em que a≠0 e b≠0, segue-se que ca=b e cb=c, e vice-versa.

Por exemplo, vamos encontrar o fator desconhecido da equação x·3=12. De acordo com a regra, precisamos dividir o produto conhecido 12 pelo fator conhecido 3. Vamos dividir os números naturais: 123=4. Portanto, o fator desconhecido é 4.

Resumidamente, a solução da equação é escrita como uma sequência de igualdades:
x 3=12,
x=123,
x=4.

Também é desejável verificar o resultado: substituímos o valor encontrado em vez da letra na equação original, obtemos 4 3 \u003d 12 - a igualdade numérica correta, então encontramos corretamente o valor do fator desconhecido.

Qual é o dividendo, divisor, quociente e resto (exemplos)?

Separadamente, você precisa prestar atenção ao fato de que a regra sonora não pode ser usada para encontrar um fator desconhecido quando o outro fator é zero. Por exemplo, esta regra não é adequada para resolver a equação x·0=11.

De fato, se neste caso aderirmos à regra, para encontrar um fator desconhecido, precisamos dividir o produto 11 por outro fator igual a zero e não podemos dividir por zero. Discutiremos esses casos em detalhes quando falarmos sobre equações lineares.

E mais uma coisa: agindo de acordo com a regra estudada, na verdade realizamos a divisão de ambas as partes da equação por um multiplicador conhecido diferente de zero. No grau 6, será dito que ambas as partes da equação podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número diferente de zero, isso não afeta as raízes da equação.

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Como encontrar o dividendo desconhecido, divisor?

Como parte do nosso tópico, resta descobrir como encontrar o dividendo desconhecido com um divisor e quociente conhecidos, bem como encontrar um divisor desconhecido com um dividendo e quociente conhecidos. A ligação entre multiplicação e divisão já mencionada no parágrafo anterior permite responder a estas questões.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Vamos considerar sua aplicação com um exemplo. Vamos resolver a equação x5=9. Para encontrar a incógnita divisível desta equação, de acordo com a regra, é necessário multiplicar o quociente conhecido 9 pelo divisor conhecido 5, ou seja, realizamos a multiplicação de números naturais: 9 5 \u003d 45. Assim, o dividendo desejado é 45.

Vamos mostrar uma pequena notação da solução:
x5=9,
x=9 5,
x=45.

A verificação confirma que o valor do dividendo desconhecido foi encontrado corretamente. De fato, ao substituir o número 45 na equação original em vez da variável x, ele se transforma na igualdade numérica correta 455=9.

Observe que a regra analisada pode ser interpretada como a multiplicação de ambas as partes da equação por um divisor conhecido. Tal transformação não afeta as raízes da equação.

Vamos passar para a regra para encontrar o divisor desconhecido: para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

Considere um exemplo. Encontre o divisor desconhecido da equação 18x=3. Para fazer isso, precisamos dividir o dividendo conhecido 18 pelo quociente conhecido 3, temos 183=6. Assim, o divisor necessário é igual a seis.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18x=3,
x=183,
x=6.

Vamos verificar a confiabilidade deste resultado: 186=3 - a igualdade numérica correta, portanto, a raiz da equação foi encontrada corretamente.

É claro que esta regra só pode ser aplicada quando o quociente for diferente de zero, para não encontrar divisão por zero. Quando o quociente é zero, dois casos são possíveis. Se neste caso o dividendo for igual a zero, ou seja, a equação tem a forma 0x=0, então esta equação satisfaz qualquer valor diferente de zero do divisor. Em outras palavras, as raízes de tal equação são quaisquer números que não sejam iguais a zero. Se, quando o quociente for igual a zero, o dividendo for diferente de zero, então para quaisquer valores​​do divisor, a equação original não se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, ou seja, a equação não tem raízes. Para ilustrar, apresentamos a equação 5x=0, ela não tem soluções.

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Regras de compartilhamento

A aplicação consistente das regras para encontrar o termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo e divisor permite resolver equações com uma única variável de forma mais complexa. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Considere a equação 3 x+1=7. Primeiro, podemos encontrar o termo desconhecido 3 x, para isso precisamos subtrair o termo conhecido 1 da soma 7, obtemos 3 x=7−1 e depois 3 x=6. Agora resta encontrar o fator desconhecido dividindo o produto de 6 pelo fator conhecido de 3, temos x=63, de onde x=2. Assim, a raiz da equação original é encontrada.

Para consolidar o material, apresentamos uma breve solução de outra equação (2·x−7)3−5=2.
(2 x−7)3−5=2,
(2 x−7)3=2+5,
(2 x−7)3=7,
2 x−7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

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• Matemática.. 4 ª série. Proc. para educação geral instituições. Às 2 h. Ch. 1 / .- 8ª ed. — M.: Iluminismo, 2011. — 112 p.: ll. - (Escola da Rússia). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matemática: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ll. ISBN 5-346-00699-0.

Instrução

Na maioria das vezes, você precisa decompor o número em fatores primos. São números que dividem o número original sem resto e, ao mesmo tempo, podem ser divididos sem resto apenas por ele mesmo e um (para esses números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. ). Além disso, nenhuma regularidade foi encontrada na série. Pegue-os de uma mesa especial ou encontre-os usando um algoritmo chamado "peneira de Eratóstenes".

Números com mais de dois divisores são chamados de números compostos. O que números pode ser composto?
Como números divisível por 2, então todos são pares números, Além do mais números 2 será composto. De fato, ao dividir 2: 2, o dois é divisível por ele mesmo, ou seja, tem apenas dois divisores (1 e 2) e é um número primo.

Vamos ver se ainda tem números qualquer outro divisores. Divida primeiro por 2. Da comutatividade da operação de multiplicação, é óbvio que o quociente resultante também será um divisor números. Então, se o quociente resultante for um número inteiro, divida novamente por 2 esse quociente. Então o novo quociente resultante y = (x:2):2 = x:4 também será um divisor do original números. Da mesma forma, e 4 será um divisor do original números.

Continuando essa cadeia, generalizamos a regra: dividimos sequencialmente primeiro e depois o quociente resultante por 2 até que um dos quocientes se torne igual a um número ímpar. Neste caso, todos os quocientes resultantes serão divisores desta números. Além disso, os divisores desta números vontade e números 2^k onde k = 1...n, onde n é o número de etapas nesta cadeia. Exemplo: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - número ímpar. Portanto, 12, 6 e 3 - divisores números 24. Existem 3 etapas nesta cadeia, portanto, os divisores números 24 também números 2^1 = 2 (já conhecido da paridade números 24), 2^2 = 4 e 2^3 = 8. Assim, números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 serão divisores números 24.

No entanto, nem para todos os números pares isso pode dar tudo. divisores números. Considere, por exemplo, o número 42. 42:2 = 21. No entanto, como você sabe, números 3, 6 e 7 também serão divisores números 42.
Há divisibilidade números. Vamos considerar o mais importante deles:
Sinal de divisibilidade por 3: quando a soma dos algarismos númerosé divisível por 3 sem deixar resto.
Sinal de divisibilidade por 5: quando o último dígito números 5 ou 0.
Divisibilidade por 7: quando o resultado de subtrair duas vezes o último dígito deste números sem o último algarismo é divisível por 7.
Sinal de divisibilidade por 9: quando a soma dos algarismos númerosé divisível por 9 sem deixar resto.
O sinal de divisibilidade por 11: quando a soma dos algarismos que ocupam as casas ímpares é igual à soma dos algarismos que ocupam as casas pares, ou dela para um número divisível por 11.
Há também sinais de divisibilidade por 13, 17, 19, 23 e outros números.

Para números pares e ímpares, você precisa usar os sinais de divisão por um número específico. Ao dividir o número, você deve determinar divisores o privado resultante, etc. (a cadeia é semelhante à cadeia de números pares quando dividida por 2, descrita acima).

Origens:

• Sinais de divisibilidade

Dos quatro principais operações matemáticas a divisão é a operação que mais consome recursos. Pode ser feito manualmente (coluna), em calculadoras vários designs, bem como usando uma régua de cálculo.

Instrução

Para dividir um número por outro por uma coluna, escreva primeiro o dividendo e depois o divisor. Lugar entre eles Linha vertical. Desenhe uma linha horizontal sob o divisor. Consistentemente, como se estivesse excluindo os dígitos inferiores, obtenha um número maior que o divisor. Multiplicando sucessivamente os números de 0 a 9 por um divisor, encontre o maior dos números, menor do que o obtido na etapa anterior. Escreva este número como o primeiro dígito do quociente. Escreva o resultado da multiplicação desse número pelo divisor sob o dividendo com um deslocamento de um dígito para a direita. Subtraia, e com seu resultado, execute as mesmas ações até encontrar todos os dígitos do quociente. Determine a localização da vírgula subtraindo a ordem do divisor da ordem do dividendo.

Se os números não forem divisíveis entre si, duas situações são possíveis. No primeiro deles, um dígito ou uma combinação de vários dígitos será repetido indefinidamente. Então é inútil continuar o cálculo - basta colocar esse dígito ou uma cadeia de dígitos em um período. Na segunda situação, qualquer regularidade no particular não terá sucesso. Então pare de dividir, tendo alcançado a precisão desejada do resultado, e arredonde o último.

Para dividir um número por outro usando uma calculadora com aritmética (tanto simples quanto de engenharia), pressione o botão de reset, digite o dividendo, pressione o botão de divisão, digite o divisor e, em seguida, pressione o botão de igual. Em uma calculadora com notação de fórmula, divida da mesma maneira, levando em consideração o fato de que a tecla com o sinal de igual pode carregar, por exemplo, Enter ou Exe. Aparelhos modernos deste tipo são de duas linhas: digitados na linha superior, e o resultado é exibido na parte inferior mais grandes números. Usando a tecla Ans, esse resultado pode ser usado no próximo cálculo. Em todos os casos, o resultado é arredondado automaticamente dentro da grade de dígitos da calculadora.

Em uma calculadora de polonês reverso, primeiro pressione o botão reset, depois insira o dividendo e pressione a tecla Enter (pode ter uma seta para cima). O número estará na célula da pilha. Agora digite o divisor e pressione a tecla de divisão. O número da pilha será dividido pelo número que foi exibido anteriormente no indicador.

régua de cálculo use quando for necessária pouca precisão. Remover de ambos números, e, em seguida, de cada um deles, pegue dois dígitos seniores. Na escala A, encontre o divisor e combine-o com o divisor da escala B. Em seguida, encontre a última unidade - logo acima dela na escala A estará localizada privado. Determine a localização da vírgula da mesma maneira que a coluna.

Origens:

• Ordem de divisão de coluna
• números privados são

As crianças em idade escolar geralmente se deparam com as seguintes palavras entre as tarefas de matemática: "encontre o mínimo múltiplo comum dos números". Isso deve ser aprendido a fazer para cumprir várias atividades com frações com denominadores diferentes.

Encontrando o mínimo múltiplo comum: conceitos básicos

Para entender como calcular o LCM, você deve primeiro determinar o significado do termo "múltiplo".

Um múltiplo de A é um número natural que é divisível por A sem deixar resto. Assim, 15, 20, 25 e assim por diante podem ser considerados múltiplos de 5.

Os divisores de um determinado número podem ser quantidade limitada, mas há um número infinito de múltiplos.

Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.

O mínimo múltiplo comum (MLC) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural que é divisível por todos esses números.

Para encontrar o NOC, você pode usar vários métodos.

Para números pequenos, é conveniente escrever em uma linha todos os múltiplos desses números até encontrar um comum entre eles. Múltiplos denotam no registro letra maiúscula PARA.

Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Essa entrada é realizada da seguinte forma:

LCM(4, 6) = 24

Maior geral divisoré o número máximo pelo qual cada um dos números propostos pode ser divisível. Este termo é frequentemente usado para abreviar frações complexas, onde tanto o numerador quanto o denominador devem ser divididos por o mesmo número. Às vezes é possível determinar o máximo comum divisor a olho, no entanto, na maioria dos casos, para encontrá-lo, você precisa gastar um número de operações matemáticas.

Você vai precisar

• Para fazer isso, você precisará de um pedaço de papel ou uma calculadora.

Instrução

Espalhe cada número complexo ao produto de primos ou fatores. Por exemplo, 60 e 80, onde 60 é igual a 2*2*3*5 e 80 é 2*2*2*2*5, pode ser escrito de forma mais simples usando . NO este caso será como dois no segundo multiplicado por cinco e três, e o segundo é o produto de dois no quarto e cinco.

Agora anote o comum para ambos os números. Na nossa versão, são dois e cinco. No entanto, em outros casos, esse número pode ser de um, dois ou três dígitos e até . Em seguida, você precisa trabalhar. Escolha o menor de cada um dos fatores. No exemplo, isso é dois à segunda potência e cinco à primeira.

No final, você só precisa multiplicar os números resultantes. No nosso caso, tudo é extremamente simples: duas vezes cinco é igual a 20. Assim, o número 20 pode ser chamado de maior divisor comum para 60 e 80.

Vídeos relacionados

Nota

lembre-se disso multiplicador simplesé um número que tem apenas 2 divisores: um e o próprio número.

Conselho util

Exceto este método Você também pode usar o algoritmo de Euclides. Uma descrição completa, apresentada em forma geométrica, pode ser encontrado nos Elementos de Euclides.

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Muitas vezes você pode encontrar tais equações em que é desconhecido. Por exemplo 350: X = 50, onde 350 é o dividendo, X é o divisor e 50 é o quociente. Para resolver esses exemplos, é necessário realizar um determinado conjunto de ações com os números que são conhecidos.

Você vai precisar

• - lápis ou caneta;
• - uma folha de papel ou um caderno.

Instrução

Escreva uma equação simples onde a incógnita, ou seja, X é o número de crianças, 5 é o número de doces que cada criança recebeu e 30 é o número de doces que foram comprados. Então você deve obter: 30: X = 5. Neste expressão matemática 30 é chamado de dividendo, X é o divisor e o quociente resultante é 5.

Agora comece a resolver. Sabemos que para encontrar um divisor, você precisa dividir o dividendo pelo quociente. Acontece: X \u003d 30: 5; 30: 5 \u003d 6; X \u003d 6.

Faça um teste substituindo o número resultante na equação. Então, 30: X = 5, você encontrou um divisor desconhecido, ou seja, X \u003d 6, assim: 30: 6 \u003d 5. A expressão é verdadeira e, a partir disso, conclui-se que a equação é resolvida. É claro que, ao resolver exemplos em que números primos, a verificação é opcional. Mas quando as equações de , três dígitos, quatro dígitos, etc. números, certifique-se de verificar você mesmo. Afinal, não leva muito tempo, mas dá absoluta confiança no resultado.

Nota

Muitas vezes você pode encontrar tais equações em que o divisor é desconhecido. Por exemplo 350: X = 50, onde 350 é o dividendo, X é o divisor e 50 é o quociente. Para resolver esses exemplos, é necessário realizar um determinado conjunto de ações com os números que são conhecidos.

Você vai precisar

• - lápis ou caneta;
• - uma folha de papel ou um caderno.

Instrução

• Imagine que uma mulher tivesse vários filhos. Ela comprou 30 doces na loja. Voltando para casa, a senhora dividiu os doces igualmente entre as crianças. Assim, cada criança recebeu 5 doces de sobremesa. Pergunta: Quantos filhos a mulher teve?
• Escreva uma equação simples onde a incógnita, ou seja, X é o número de crianças, 5 é o número de doces que cada criança recebeu e 30 é o número de doces que foram comprados. Assim, você deve obter um exemplo: 30: X \u003d 5. Nesta expressão matemática, 30 é chamado de dividendo, X é o divisor e o quociente resultante é 5.
• Agora comece a resolver. Sabemos que para encontrar um divisor, você precisa dividir o dividendo pelo quociente. Acontece: X \u003d 30: 5; 30: 5 \u003d 6; X \u003d 6.
• Faça um teste substituindo o número resultante na equação. Então, 30: X = 5, você encontrou um divisor desconhecido, ou seja, X \u003d 6, assim: 30: 6 \u003d 5. A expressão é verdadeira e, a partir disso, segue-se que a equação é resolvida corretamente. Obviamente, ao resolver exemplos em que aparecem números primos, não é necessário realizar uma verificação. Mas quando as equações são de dois dígitos, três dígitos, quatro dígitos, etc. números, certifique-se de verificar você mesmo. Afinal, não leva muito tempo, mas dá absoluta confiança no resultado.