Até agora, resolvemos apenas equações inteiras em relação à incógnita, ou seja, equações em que os denominadores (se houver) não continham a incógnita.

Muitas vezes você tem que resolver equações que contêm a incógnita nos denominadores: tais equações são chamadas fracionárias.

Para resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados dela por isto é, por um polinômio contendo a incógnita. A nova equação será equivalente à dada? Para responder à pergunta, vamos resolver esta equação.

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Resolvendo esta equação do primeiro grau, encontramos:

Então, a equação (2) tem uma única raiz

Substituindo na equação (1), temos:

Portanto, também é a raiz da equação (1).

A equação (1) não tem outras raízes. Em nosso exemplo, isso pode ser visto, por exemplo, pelo fato de que na equação (1)

Como as divisor desconhecido deve ser igual ao dividendo 1 dividido pelo quociente 2, ou seja,

Assim, as equações (1) e (2) têm uma única raiz e, portanto, são equivalentes.

2. Agora resolvemos a seguinte equação:

Protozoários denominador comum: ; multiplique todos os termos da equação por ele:

Após a redução temos:

Vamos expandir os colchetes:

Trazendo termos semelhantes, temos:

Resolvendo esta equação, encontramos:

Substituindo na equação (1), temos:

Do lado esquerdo, recebemos expressões que não fazem sentido.

Portanto, a raiz da equação (1) não é. Isso implica que as equações (1) e não são equivalentes.

Neste caso, dizemos que a equação (1) adquiriu uma raiz estranha.

Vamos comparar a solução da equação (1) com a solução das equações que consideramos anteriormente (ver § 51). Para resolver esta equação, tivemos que realizar duas operações que não tinham sido vistas antes: primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por uma expressão contendo uma incógnita (denominador comum) e, em segundo lugar, reduzimos frações algébricas em fatores contendo o desconhecido.

Comparando a Equação (1) com a Equação (2), vemos que nem todos os valores de x válidos para a Equação (2) são válidos para a Equação (1).

São os números 1 e 3 que não são valores admissíveis da incógnita para a equação (1), e como resultado da transformação eles se tornaram admissíveis para a equação (2). Um desses números acabou sendo uma solução para a equação (2), mas, é claro, não pode ser uma solução para a equação (1). A equação (1) não tem soluções.

Este exemplo mostra que ao multiplicar ambas as partes da equação por um fator contendo a incógnita, e ao reduzir frações algébricas, pode-se obter uma equação que não é equivalente à dada, a saber: podem aparecer raízes estranhas.

Daí tiramos a seguinte conclusão. Ao resolver uma equação contendo uma incógnita no denominador, as raízes resultantes devem ser verificadas por substituição na equação original. Raízes estranhas devem ser descartadas.

Uma equação é uma igualdade contendo uma letra cujo valor deve ser encontrado.

Nas equações, a incógnita é geralmente denotada por uma minúscula letra latina. As letras mais usadas são "x" [x] e "y" [y].

Raiz da equaçãoé o valor da letra na qual a equação correta é obtida igualdade numérica.

resolva a equação- significa encontrar todas as suas raízes ou certificar-se de que não há raízes.

Tendo resolvido a equação, sempre anotamos o cheque após a resposta.

Informações para os pais

Caros pais, por favor, note que escola primaria e na 5ª série, as crianças NÃO conhecem o tópico “Números Negativos”.

Portanto, eles devem resolver equações usando apenas as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão. Os métodos para resolver equações para o grau 5 são dados abaixo.

Não tente explicar a solução de equações transferindo números e letras de uma parte da equação para outra com uma mudança de sinal.

Você pode atualizar seus conhecimentos sobre os conceitos relacionados à adição, subtração, multiplicação e divisão na lição "Leis da aritmética".

Resolvendo equações para adição e subtração

Como encontrar o desconhecido
prazo

Como encontrar o desconhecido
minuendo

Como encontrar o desconhecido
subtraendo

Encontrar termo desconhecido, é necessário subtrair o termo conhecido da soma.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Exame

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Exame

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Exame

Resolvendo equações para multiplicação e divisão

Como encontrar o desconhecido
fator

Como encontrar o desconhecido
dividendo

Como encontrar o desconhecido
divisor

Encontrar multiplicador desconhecido, é necessário dividir o produto por um fator conhecido.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

e 4 = 12
y=12:4
y=3
Exame

y:7=2
y = 2 7
a = 14
Exame

8:y=4
y=8:4
y=2
Exame

Uma equação é uma equação que contém a letra cujo sinal deve ser encontrado. A solução de uma equação é aquele conjunto de valores de letras, no qual a equação se transforma em uma verdadeira igualdade:

Lembre-se que para resolver equaçãoé necessário transferir os termos com a incógnita para uma parte da igualdade, e os termos numéricos para a outra, trazer os semelhantes e obter a seguinte igualdade:

A partir da última igualdade, determinamos a incógnita pela regra: "um dos fatores é igual ao quociente dividido pelo segundo fator".

Como números racionais a e b podem ter o mesmo e sinais diferentes, então o sinal da incógnita é determinado pelas regras de divisão de números racionais.

O procedimento para resolver equações lineares

A equação linear deve ser simplificada abrindo os colchetes e realizando as ações da segunda etapa (multiplicação e divisão).

Mova as incógnitas para um lado do sinal de igual e os números para o outro lado do sinal de igual, ficando idêntico à igualdade dada,

Traga like para a esquerda e para a direita do sinal de igual, obtendo uma igualdade da forma machado = b.

Calcule a raiz da equação (encontre a incógnita X da igualdade x = b : uma),

Faça um teste substituindo a incógnita na dada equação.

Se obtivermos uma identidade em igualdade numérica, a equação será resolvida corretamente.

Casos especiais de resolução de equações

1. Se um a equaçãoé dado por um produto igual a 0, então para resolvê-lo usamos a propriedade da multiplicação: "o produto é igual a zero se um dos fatores ou ambos os fatores forem iguais a zero."

27 (x - 3) = 0
27 não é igual a 0, então x - 3 = 0

O segundo exemplo tem duas soluções para a equação, pois
Esta é uma equação do segundo grau:

Se os coeficientes da equação são frações ordinárias, a primeira coisa a fazer é se livrar dos denominadores. Por esta:

Encontre um denominador comum;

Definir multiplicadores adicionais para cada termo da equação;

Multiplique os numeradores de frações e inteiros por fatores adicionais e anote todos os termos da equação sem denominadores (o denominador comum pode ser descartado);

Mova os termos com incógnitas para uma parte da equação e os termos numéricos para a outra a partir do sinal de igual, obtendo uma igualdade equivalente;

Traga termos semelhantes;

Propriedades básicas das equações

Qualquer parte da equação pode ser dada termos semelhantes ou parênteses abertos.

Qualquer termo da equação pode ser transferido de uma parte da equação para outra mudando seu sinal para o oposto.

Ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo número, exceto 0.

No exemplo acima, todas as suas propriedades foram usadas para resolver a equação.

Como resolver uma equação com uma incógnita em uma fração

As vezes equações lineares tomar a forma quando desconhecido aparece no numerador de uma ou mais frações. Como na equação abaixo.

Nesses casos, tais equações podem ser resolvidas de duas maneiras.

eu caminho de solução
Reduzindo uma equação a uma proporção

Ao resolver equações usando o método de proporção, você deve executar as seguintes etapas:

trazer todas as frações para um denominador comum e adicioná-las como frações algébricas (apenas uma fração deve permanecer nos lados esquerdo e direito);

Resolva a equação resultante usando a regra da proporção.

Então, de volta à nossa equação. No lado esquerdo, já temos apenas uma fração, portanto não são necessárias transformações nela.

Vamos trabalhar com lado direito equações. Simplificar lado direito equações de modo que resta apenas uma fração. Para fazer isso, lembre-se das regras para adicionar um número com uma fração algébrica.

Agora usamos a regra da proporção e resolvemos a equação até o fim.

II método de solução
Redução a uma equação linear sem frações

Considere a equação acima novamente e resolva-a de uma maneira diferente.

Vemos que existem duas frações na equação "

Como resolver equações com frações. Solução exponencial de equações com frações.

Resolvendo equações com frações vamos ver exemplos. Os exemplos são simples e ilustrativos. Com a ajuda deles, você pode entender da maneira mais compreensível.
Por exemplo, você precisa resolver uma equação simples x/b + c = d.

Uma equação desse tipo é chamada linear, porque o denominador contém apenas números.

A solução é realizada multiplicando ambos os lados da equação por b, então a equação assume a forma x = b*(d – c), ou seja. o denominador da fração do lado esquerdo é reduzido.

Por exemplo, como resolver uma equação fracionária:
x/5+4=9
Multiplicamos ambas as partes por 5. Obtemos:
x+20=45

Outro exemplo onde a incógnita está no denominador:

Equações desse tipo são chamadas de racionais fracionárias ou simplesmente fracionárias.

Resolveríamos uma equação fracionária eliminando as frações, após o que essa equação, na maioria das vezes, se transforma em uma equação linear ou quadrática, que é resolvida da maneira usual. Você só deve levar em consideração os seguintes pontos:

• o valor de uma variável que transforma o denominador em 0 não pode ser raiz;
• você não pode dividir ou multiplicar a equação pela expressão =0.

É aí que entra o conceito de área. valores permitidos(ODZ) - estes são os valores das raízes da equação para os quais a equação faz sentido.

Assim, resolvendo a equação, é necessário encontrar as raízes e, em seguida, verificar a conformidade com a ODZ. As raízes que não correspondem ao nosso DHS são excluídas da resposta.

Por exemplo, você precisa resolver uma equação fracionária:

Com base na regra acima, x não pode ser = 0, ou seja ODZ em este caso: x - qualquer valor diferente de zero.

Nós nos livramos do denominador multiplicando todos os termos da equação por x

E resolva a equação usual

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Vamos resolver a equação mais complicada:

ODZ também está presente aqui: x -2.

Resolvendo esta equação, não vamos transferir tudo em uma direção e trazer frações para um denominador comum. Imediatamente multiplicamos ambos os lados da equação por uma expressão que reduzirá todos os denominadores de uma vez.

Para reduzir os denominadores, você precisa multiplicar o lado esquerdo por x + 2 e o lado direito por 2. Então, ambos os lados da equação devem ser multiplicados por 2 (x + 2):

Exatamente isso multiplicação comum frações, que já discutimos acima

Escrevemos a mesma equação, mas de uma maneira ligeiramente diferente.

O lado esquerdo é reduzido por (x + 2), e o lado direito por 2. Após a redução, obtemos a equação linear usual:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, que corresponde ao nosso ODZ

Resolvendo equações com frações não é tão difícil quanto pode parecer. Neste artigo, mostramos isso com exemplos. Se você está tendo alguma dificuldade com como resolver equações com frações, então cancele a inscrição nos comentários.

Resolvendo equações com frações 5º ano

Solução de equações com frações. Resolvendo problemas com frações.

Visualize o conteúdo do documento
"Resolvendo Equações com Frações de Grau 5"

— Adição de frações com mesmos denominadores.

- Subtração de frações com os mesmos denominadores.

Adição de frações com os mesmos denominadores.

Para somar frações com denominadores iguais, some seus numeradores e deixe o denominador igual.

Subtração de frações com os mesmos denominadores.

Para subtrair frações com os mesmos denominadores, subtraia o numerador do subtraendo do numerador do minuendo e deixe o denominador o mesmo.

Ao resolver equações, é necessário usar as regras para resolver equações, as propriedades de adição e subtração.

Resolução de equações usando propriedades.

Resolvendo equações usando regras.

A expressão do lado esquerdo da equação é a soma.

termo + termo = soma.

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma.

minuendo – subtraendo = diferença

Para encontrar o subtraendo desconhecido, subtraia a diferença do minuendo.

A expressão do lado esquerdo da equação é a diferença.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

USO DE REGRAS PARA RESOLVER EQUAÇÕES.

No lado esquerdo da equação, a expressão é a soma.

Instrução

Talvez o ponto mais óbvio aqui seja, é claro, . As frações numéricas não representam perigo ( equações fracionárias, onde todos os denominadores contêm apenas números, geralmente será linear), mas se houver uma variável no denominador, isso deve ser levado em consideração e prescrito. Em primeiro lugar, é que x, que transforma o denominador em 0, não pode ser, e em geral é necessário registrar separadamente o fato de que x não pode ser igual a esse número. Mesmo se você conseguir que ao substituir no numerador, tudo converge perfeitamente e satisfaz as condições. Em segundo lugar, não podemos multiplicar um ou ambos os lados da equação por igual a zero.

Depois disso, tal equação é reduzida a transferir todos os seus termos para o lado esquerdo, de modo que 0 permaneça no lado direito.

É necessário trazer todos os termos para um denominador comum, multiplicando, quando necessário, os numeradores pelas expressões que faltam.
Em seguida, resolvemos a equação usual escrita no numerador. Nós podemos suportar Fatores comuns fora dos colchetes, aplicar multiplicação abreviada, dar like, calcular raízes Equação quadrática através do discriminante, etc.

O resultado deve ser uma fatoração na forma de um produto de colchetes (x-(i-ésima raiz)). Também pode incluir polinômios que não têm raízes, por exemplo, trinômio quadrado com um discriminante menor que zero (a menos, é claro, no problema apenas raízes reais, como muitas vezes acontece).
Certifique-se de fatorar e denominador a partir da localização dos colchetes, já contidos no numerador. Se o denominador contém expressões como (x-(número)), então é melhor, ao reduzir a um denominador comum, não multiplicar os parênteses nele “de frente”, mas deixá-los na forma de um produto de as expressões simples originais.
Os mesmos colchetes no numerador e no denominador podem ser reduzidos pré-escrevendo, como mencionado acima, as condições em x.
A resposta é escrita entre chaves, como um conjunto de valores x, ou simplesmente por enumeração: x1=..., x2=..., etc.

Origens:

• Equações racionais fracionárias

Algo que não pode ser dispensado em física, matemática, química. Ao menos. Aprendemos o básico de sua solução.

Instrução

Na classificação mais geral e simples, ela pode ser dividida de acordo com o número de variáveis ​​que contêm e de acordo com os graus em que essas variáveis ​​se encontram.

Resolva a equação todas as suas raízes ou prove que elas não existem.

Qualquer equação tem no máximo P raízes, onde P é o máximo da equação dada.

Mas algumas dessas raízes podem coincidir. Assim, por exemplo, a equação x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, onde ^ é o ícone de exponenciação, dobra no quadrado da expressão (x + 1), ou seja, no produto de dois colchetes idênticos, cada um dos quais dá x = - 1 como solução.

Se houver apenas uma incógnita na equação, isso significa que você poderá encontrar explicitamente suas raízes (reais ou complexas).

Para fazer isso, você provavelmente precisará de várias transformações: multiplicação abreviada, cálculo do discriminante e raízes de uma equação quadrática, transferência de termos de uma parte para outra, redução a um denominador comum, multiplicação de ambas as partes da equação pela mesma expressão, quadratura, e assim por diante.

As transformações que não afetam as raízes da equação são idênticas. Eles são usados ​​para simplificar o processo de resolução de uma equação.

Você também pode usar em vez do método analítico tradicional método gráfico e escreva esta equação na forma , após realizar seu estudo.

Se houver mais de uma incógnita na equação, você só poderá expressar uma delas em função da outra, mostrando assim um conjunto de soluções. Tais, por exemplo, são equações com parâmetros em que existe uma incógnita x e um parâmetro a. Decidir equação paramétrica- significa para todo a expressar x através de a, ou seja, considerar todos os casos possíveis.

Se a equação contém derivadas ou diferenciais de incógnitas (veja a imagem), parabéns, isso é equação diferencial, e aqui você não pode prescindir matemática superior).

Origens:

• Transformações de identidade

Para resolver o problema com frações tenho que aprender a fazer com eles operaçoes aritimeticas. Eles podem ser decimais, mas são mais comumente usados frações naturais com numerador e denominador. Só então você pode passar para as soluções. problemas de matemática com valores fracionários.

Você vai precisar

• - calculadora;
• - conhecimento das propriedades das frações;
• - Capacidade de trabalhar com frações.

Instrução

Uma fração é um registro da divisão de um número por outro. Muitas vezes isso não pode ser feito completamente e, portanto, essa ação é deixada “inacabada”. O número que é divisível (está acima ou antes do sinal de fração) é chamado de numerador, e o segundo número (abaixo ou depois do sinal de fração) é chamado de denominador. Se o numerador for maior que o denominador, a fração é chamada de fração imprópria, e uma parte inteira pode ser extraída dela. Se o numerador menor que o denominador, então tal fração é chamada própria, e sua parte inteira igual a 0.

Tarefas são divididos em vários tipos. Determine qual é a tarefa. A opção mais simples- encontrar a fração de um número expresso como uma fração. Para resolver esse problema, basta multiplicar esse número por uma fração. Por exemplo, 8 toneladas de batatas foram trazidas. Na primeira semana, 3/4 de sua total. Quantas batatas sobraram? Para resolver este problema, multiplique o número 8 por 3/4. Acontecerá 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Se você precisar encontrar um número por sua parte, multiplique a parte conhecida do número pelo inverso da fração que mostra a proporção dessa parte no número. Por exemplo, 8 de 1/3 do número total de alunos. Quantos em? Como 8 pessoas é a parte que representa 1/3 do total, então encontre recíproca, que é igual a 3/1 ou apenas 3. Então para obter o número de alunos da turma 8∙3=24 alunos.

Quando você precisar descobrir qual parte de um número é um número do outro, divida o número que representa a parte pelo que é o todo. Por exemplo, se a distância é de 300 km e o carro percorreu 200 km, quanto disso será da viagem total? Divida a parte do caminho 200 por caminho completo 300, depois de reduzir a fração você obterá o resultado. 200/300=2/3.

Para encontrar a parte da fração desconhecida de um número, quando houver um conhecido, tome o inteiro como uma unidade convencional e subtraia dele a fração conhecida. Por exemplo, se 4/7 da aula já passou, ainda resta? Pegue a lição inteira como uma unidade convencional e subtraia 4/7 dela. Obtenha 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Continuamos falando sobre solução de equações. Neste artigo, vamos nos concentrar em equações racionais e princípios de decisão equações racionais com uma variável. Primeiro, vamos descobrir que tipo de equações são chamadas de racionais, dar uma definição de equações racionais inteiras e racionais fracionárias e dar exemplos. Em seguida, obtemos algoritmos para resolver equações racionais e, claro, consideramos as soluções exemplos característicos com todas as explicações necessárias.

Navegação da página.

Com base nas definições soadas, damos vários exemplos de equações racionais. Por exemplo, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , são todas equações racionais.

A partir dos exemplos mostrados, pode-se ver que equações racionais, assim como equações de outros tipos, podem ser com uma variável, ou com duas, três, etc. variáveis. NO os parágrafos seguintes falaremos sobre como resolver equações racionais em uma variável. Resolvendo equações com duas variáveis e eles um grande número merecem atenção especial.

Além de dividir as equações racionais pelo número de variáveis ​​desconhecidas, elas também são divididas em inteiras e fracionárias. Vamos dar as definições correspondentes.

Definição.

A equação racional é chamada inteira, se ambas as partes esquerda e direita são expressões racionais inteiras.

Definição.

Se pelo menos uma das partes de uma equação racional é uma expressão fracionária, então tal equação é chamada fracionalmente racional(ou racional fracionário).

É claro que equações inteiras não contêm divisão por uma variável; pelo contrário, equações racionais fracionárias necessariamente contêm divisão por uma variável (ou uma variável no denominador). Então 3 x + 2 = 0 e (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 são equações racionais inteiras, ambas as suas partes são expressões inteiras. A e x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 são exemplos de equações racionais fracionárias.

Concluindo este parágrafo, prestemos atenção ao fato de que equações lineares e equações quadráticas conhecidas até este momento são equações racionais inteiras.

Resolvendo equações inteiras

Uma das principais abordagens para resolver equações inteiras é sua redução para equivalentes equações algébricas. Isso sempre pode ser feito executando as seguintes transformações equivalentes da equação:

• primeiro, a expressão do lado direito da equação inteira original é transferida para o lado esquerdo com sinal oposto obter zero no lado direito;
• depois disso, no lado esquerdo da equação, o resultado modo de exibição padrão.

O resultado é equação algébrica, que é equivalente à equação inteira original. Então no mais casos simples resolver equações inteiras são reduzidos a resolver equações lineares ou quadráticas, e em caso Geral– para a solução de uma equação algébrica de grau n. Para maior clareza, vamos analisar a solução do exemplo.

Exemplo.

Encontre as raízes de toda a equação 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Decisão.

Vamos reduzir a solução de toda esta equação à solução de uma equação algébrica equivalente. Para fazer isso, em primeiro lugar, transferimos a expressão do lado direito para o esquerdo, como resultado chegamos à equação 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. E, em segundo lugar, transformamos a expressão formada do lado esquerdo em um polinômio da forma padrão fazendo o necessário: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Assim, a solução da equação inteira original é reduzida à solução da equação quadrática x 2 −5·x−6=0 .

Calcule seu discriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, é positivo, o que significa que a equação tem duas raízes reais, que encontramos pela fórmula das raízes da equação quadrática:

Por confiança completa faça isso verificando as raízes encontradas da equação. Primeiro, verificamos a raiz de 6, substituindo-a em vez da variável x na equação inteira original: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, que é o mesmo, 63=63 . Esta é uma equação numérica válida, então x=6 é de fato a raiz da equação. Agora verificamos a raiz −1 , temos 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, onde 0 = 0 . Para x=−1, a equação original também se transformou em uma verdadeira igualdade numérica, portanto, x=−1 também é a raiz da equação.

Responda:

6 , −1 .

Aqui também deve-se notar que o termo “potência de uma equação inteira” está associado à representação de uma equação inteira na forma de uma equação algébrica. Damos a definição correspondente:

Definição.

O grau de toda a equação chame o grau de uma equação algébrica equivalente a ele.

De acordo com esta definição, toda a equação do exemplo anterior tem o segundo grau.

Nisto se poderia terminar com a solução de equações racionais inteiras, se não para uma, mas .... Como se sabe, a solução de equações algébricas de grau superior ao segundo está associada a dificuldades significativas e, para equações de grau superior ao quarto, não existem tais equações. fórmulas gerais raízes. Portanto, para resolver equações inteiras da terceira, quarta e mais altos graus muitas vezes têm que recorrer a outros métodos de solução.

Nesses casos, às vezes a abordagem para resolver equações racionais inteiras com base em método de fatoração. Ao mesmo tempo, o seguinte algoritmo é seguido:

• primeiro procuram ter zero no lado direito da equação, para isso transferem a expressão do lado direito de toda a equação para o esquerdo;
• então, a expressão resultante do lado esquerdo é apresentada como um produto de vários fatores, o que permite ir para um conjunto de várias equações mais simples.

O algoritmo acima para resolver toda a equação por meio de fatoração requer uma explicação detalhada usando um exemplo.

Exemplo.

Resolva a equação inteira (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Decisão.

Primeiro, como de costume, transferimos a expressão do lado direito para o lado esquerdo da equação, não esquecendo de mudar o sinal, obtemos (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . É bastante óbvio aqui que não é aconselhável transformar o lado esquerdo da equação resultante em um polinômio da forma padrão, pois isso dará uma equação algébrica do quarto grau da forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, cuja solução é difícil.

Por outro lado, é óbvio que x 2 −10·x+13 pode ser encontrado no lado esquerdo da equação resultante, representando-a como um produto. Nós temos (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. A equação resultante é equivalente à equação inteira original e, por sua vez, pode ser substituída por um conjunto de duas equações quadráticas x 2 −10·x+13=0 e x 2 −2·x−1=0 . Encontrando suas raízes fórmulas conhecidas raízes através do discriminante não é difícil, as raízes são iguais. Elas são as raízes desejadas da equação original.

Responda:

Também é útil para resolver equações racionais inteiras. método para introduzir uma nova variável. Em alguns casos, permite passar para equações cujo grau é menor que o grau da equação inteira original.

Exemplo.

Encontrar as raízes reais de uma equação racional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Decisão.

Reduzir toda essa equação racional a uma equação algébrica não é, para dizer o mínimo, uma boa ideia, pois nesse caso chegaremos à necessidade de resolver uma equação de quarto grau que não tem raízes racionais. Portanto, você terá que procurar outra solução.

É fácil ver aqui que você pode introduzir uma nova variável y e substituir a expressão x 2 +3 x por ela. Tal substituição nos leva a toda a equação (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , que, após transferir a expressão −2 (y−4) para o lado esquerdo e posterior transformação da expressão formada lá, reduz a equação y 2 +4 y+3=0 . As raízes desta equação y=−1 ey=−3 são fáceis de encontrar, por exemplo, elas podem ser encontradas com base no teorema inverso do teorema de Vieta.

Agora vamos para a segunda parte do método de introdução de uma nova variável, ou seja, para fazer uma substituição inversa. Após realizar a substituição reversa, obtemos duas equações x 2 +3 x=−1 e x 2 +3 x=−3 , que podem ser reescritas como x 2 +3 x+1=0 e x 2 +3 x+3 =0. De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos as raízes da primeira equação. E a segunda equação quadrática não tem raízes reais, pois seu discriminante é negativo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Responda:

Em geral, quando estamos lidando com equações inteiras de alto grau, devemos estar sempre prontos para buscar método não padrão ou um dispositivo artificial para sua solução.

Solução de equações fracionárias racionais

Primeiro, será útil entender como resolver equações fracionárias racionais da forma , onde p(x) e q(x) são expressões inteiras racionais. E então mostraremos como reduzir a solução das demais equações fracionárias racionais à solução de equações da forma indicada.

Uma das abordagens para resolver a equação é baseada na seguinte afirmação: a fração numérica u/v, onde v é um número diferente de zero (caso contrário, encontraremos , que não é definido), é igual a zero se e somente se seu numerador zero, isto é, se e somente se u=0 . Em virtude desta afirmação, a solução da equação é reduzida ao cumprimento de duas condições p(x)=0 e q(x)≠0 .

Esta conclusão é consistente com o seguinte algoritmo para resolver uma equação fracionalmente racional. Para resolver uma equação racional fracionária da forma

• resolver toda a equação racional p(x)=0 ;
• e verifique se a condição q(x)≠0 é satisfeita para cada raiz encontrada, enquanto
• se verdadeiro, então esta raiz é a raiz da equação original;
• se não, então essa raiz é estranha, ou seja, não é a raiz da equação original.

Vamos analisar um exemplo de uso do algoritmo sonoro ao resolver uma equação racional fracionária.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Decisão.

Esta é uma equação fracionalmente racional da forma , onde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

De acordo com o algoritmo para resolver equações fracionárias racionais desse tipo, primeiro precisamos resolver a equação 3·x−2=0 . Esta é uma equação linear cuja raiz é x=2/3.

Resta verificar essa raiz, ou seja, verificar se ela satisfaz a condição 5·x 2 −2≠0 . Substituímos o número 2/3 em vez de x na expressão 5 x 2 −2, obtemos . A condição é satisfeita, então x=2/3 é a raiz da equação original.

Responda:

2/3 .

A solução de uma equação racional fracionária pode ser abordada de uma posição ligeiramente diferente. Esta equação é equivalente a toda a equação p(x)=0 na variável x da equação original. Ou seja, você pode seguir este algoritmo para resolver uma equação fracionalmente racional :

• resolva a equação p(x)=0 ;
• encontre a variável ODZ x ;
• pegue as raízes pertencentes à região de valores admissíveis - elas são as raízes desejadas da equação racional fracionária original.

Por exemplo, vamos resolver uma equação racional fracionária usando este algoritmo.

Exemplo.

Resolva a equação.

Decisão.

Primeiro, resolvemos a equação quadrática x 2 −2·x−11=0 . Suas raízes podem ser calculadas usando a fórmula da raiz para um segundo coeficiente par, temos D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, e .

Em segundo lugar, encontramos a ODZ da variável x para a equação original. Consiste em todos os números para os quais x 2 +3 x≠0 , que é o mesmo x (x+3)≠0 , de onde x≠0 , x≠−3 .

Resta verificar se as raízes encontradas na primeira etapa estão incluídas na ODZ. Obviamente sim. Portanto, a equação fracionalmente racional original tem duas raízes.

Responda:

Observe que essa abordagem é mais lucrativa do que a primeira se a ODZ for facilmente encontrada, e é especialmente benéfica se as raízes da equação p(x)=0 forem irracionais, por exemplo, ou racionais, mas com um valor bastante grande numerador e/ou denominador, por exemplo, 127/1101 e -31/59 . Isso se deve ao fato de que, nesses casos, a verificação da condição q(x)≠0 exigirá esforços computacionais significativos, sendo mais fácil excluir raízes estranhas da ODZ.

Em outros casos, ao resolver a equação, principalmente quando as raízes da equação p(x)=0 são números inteiros, é mais vantajoso usar o primeiro dos algoritmos acima. Ou seja, é aconselhável encontrar imediatamente as raízes de toda a equação p(x)=0 , e então verificar se a condição q(x)≠0 é satisfeita para elas, e não encontrar a ODZ, e então resolver a equação p(x)=0 nesta ODZ . Isso se deve ao fato de que, nesses casos, geralmente é mais fácil fazer uma verificação do que encontrar a ODZ.

Considere a solução de dois exemplos para ilustrar as nuances estipuladas.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Decisão.

Primeiro encontramos as raízes de toda a equação (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilado usando o numerador da fração. O lado esquerdo desta equação é um produto e o lado direito é zero, portanto, de acordo com o método de resolução de equações por fatoração, esta equação é equivalente ao conjunto de quatro equações 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Três dessas equações são lineares e uma é quadrática, podemos resolvê-las. Da primeira equação encontramos x=1/2, da segunda - x=6, da terceira - x=7, x=−2, da quarta - x=−1.

Com as raízes encontradas, é bastante fácil verificá-las para ver se o denominador da fração do lado esquerdo da equação original não se anula, e não é tão fácil determinar a ODZ, pois isso terá que resolver um equação algébrica do quinto grau. Portanto, vamos desistir encontrando ODZ em favor da verificação das raízes. Para fazer isso, nós os substituímos em vez da variável x na expressão x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtido após a substituição, e compare-os com zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Assim, 1/2, 6 e −2 são as raízes desejadas da equação fracionalmente racional original, e 7 e −1 são raízes estranhas.

Responda:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplo.

Encontre as raízes de uma equação racional fracionária.

Decisão.

Primeiro encontramos as raízes da equação (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Esta equação é equivalente a um conjunto de duas equações: o quadrado 5·x 2 −7·x−1=0 e o linear x−2=0 . De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos duas raízes, e da segunda equação temos x=2.

Verificar se o denominador não desaparece nos valores encontrados de x é bastante desagradável. E determinar o intervalo de valores aceitáveis ​​da variável x na equação original é bastante simples. Portanto, atuaremos por meio da ODZ.

No nosso caso, a ODZ da variável x da equação racional fracionária original é composta por todos os números, exceto aqueles para os quais a condição x 2 +5·x−14=0 é satisfeita. As raízes desta equação quadrática são x=−7 e x=2, das quais concluímos sobre a ODZ: ela é composta de todos os x tais que .

Resta verificar se as raízes encontradas e x=2 pertencem à região de valores admissíveis. As raízes - pertencem, portanto, são as raízes da equação original, e x=2 não pertence, portanto, é uma raiz estranha.

Responda:

Também será útil se deter separadamente nos casos em que um número está no numerador em uma equação racional fracionária da forma, ou seja, quando p (x) é representado por algum número. Em que

• se este número for diferente de zero, então a equação não tem raízes, pois a fração é zero se e somente se seu numerador for zero;
• se este número for zero, então a raiz da equação é qualquer número da ODZ.

Exemplo.

Decisão.

Como há um número diferente de zero no numerador da fração do lado esquerdo da equação, para nenhum x o valor dessa fração pode ser igual a zero. Portanto, esta equação não tem raízes.

Responda:

sem raízes.

Exemplo.

Resolva a equação.

Decisão.

O numerador da fração no lado esquerdo desta equação racional fracionária é zero, então o valor dessa fração é zero para qualquer x para o qual faz sentido. Em outras palavras, a solução para essa equação é qualquer valor de x do DPV dessa variável.

Resta determinar essa faixa de valores aceitáveis. Inclui todos esses valores x para os quais x 4 +5 x 3 ≠0. As soluções da equação x 4 +5 x 3 \u003d 0 são 0 e −5, uma vez que esta equação é equivalente à equação x 3 (x + 5) \u003d 0 e, por sua vez, é equivalente à combinação de duas equações x 3 \u003d 0 e x +5=0 , de onde essas raízes são visíveis. Portanto, a faixa desejada de valores aceitáveis ​​é qualquer x , exceto x=0 e x=−5 .

Assim, uma equação fracionalmente racional tem infinitas soluções, que são quaisquer números, exceto zero e menos cinco.

Responda:

Finalmente, é hora de falar sobre como resolver equações racionais fracionárias tipo arbitrário. Elas podem ser escritas como r(x)=s(x) , onde r(x) e s(x) são expressões racionais, e pelo menos uma delas é fracionária. Olhando para o futuro, dizemos que sua solução é reduzida a resolver equações da forma já familiar para nós.

Sabe-se que a transferência de um termo de uma parte da equação para outra de sinal oposto leva a equivalente à equação, então a equação r(x)=s(x) é equivalente à equação r(x)−s(x)=0 .

Também sabemos que qualquer pode ser identicamente igual a esta expressão. Por isso, expressão racional no lado esquerdo da equação r(x)−s(x)=0, sempre podemos transformar em uma fração racional identicamente igual da forma .

Então vamos da equação racional fracionária original r(x)=s(x) para a equação , e sua solução, como descobrimos acima, se reduz a resolver a equação p(x)=0 .

Mas aqui é necessário levar em conta o fato de que ao substituir r(x)−s(x)=0 por , e depois por p(x)=0 , o intervalo de valores permitidos da variável x pode se expandir .

Portanto, a equação original r(x)=s(x) e a equação p(x)=0, à qual chegamos, podem não ser equivalentes, e resolvendo a equação p(x)=0, podemos obter raízes que serão raízes estranhas da equação original r(x)=s(x) . É possível identificar e não incluir raízes estranhas na resposta, seja realizando uma verificação, seja verificando se elas pertencem à ODZ da equação original.

Resumimos essas informações em algoritmo para resolver uma equação racional fracionária r(x)=s(x). Para resolver a equação racional fracionária r(x)=s(x) , deve-se

• Obtenha zero à direita movendo a expressão do lado direito com o sinal oposto.
• Execute ações com frações e polinômios no lado esquerdo da equação, convertendo-a assim em uma fração racional da forma.
• Resolva a equação p(x)=0 .
• Identifique e exclua raízes estranhas, o que é feito substituindo-as na equação original ou verificando sua pertença à ODZ da equação original.

Para maior clareza, mostraremos toda a cadeia de resolução de equações racionais fracionárias:
.

Vamos passar pelas soluções de vários exemplos com uma explicação detalhada da solução para esclarecer o bloco de informações fornecido.

Exemplo.

Resolva uma equação racional fracionária.

Decisão.

Agiremos de acordo com o algoritmo de solução obtido. E primeiro transferimos os termos do lado direito da equação para o esquerdo, como resultado, passamos para a equação.

Na segunda etapa, precisamos converter a expressão racional fracionária no lado esquerdo da equação resultante para a forma de uma fração. Para isso, realizamos a redução de frações racionais a um denominador comum e simplificamos a expressão resultante: . Então chegamos à equação.

Na próxima etapa, precisamos resolver a equação −2·x−1=0 . Encontre x=−1/2 .

Resta verificar se o número encontrado é -1/2 raiz estrangeira equação original. Para fazer isso, você pode verificar ou encontrar a variável ODZ x da equação original. Vamos demonstrar ambas as abordagens.

Vamos começar com um cheque. Substituímos o número −1/2 em vez da variável x na equação original, obtemos , que é o mesmo, −1=−1. A substituição fornece a igualdade numérica correta, portanto, x=−1/2 é a raiz da equação original.

Agora vamos mostrar como é realizado o último passo do algoritmo através da ODZ. A faixa de valores admissíveis da equação original é o conjunto de todos os números, exceto −1 e 0 (quando x=−1 e x=0, os denominadores das frações desaparecem). A raiz x=−1/2 encontrada no passo anterior pertence à ODZ, portanto, x=−1/2 é a raiz da equação original.

Responda:

−1/2 .

Vamos considerar outro exemplo.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Decisão.

Precisamos resolver uma equação fracionalmente racional, vamos passar por todas as etapas do algoritmo.

Primeiro, transferimos o termo do lado direito para o esquerdo, obtemos .

Em segundo lugar, transformamos a expressão formada do lado esquerdo: . Como resultado, chegamos à equação x = 0 .

Sua raiz é óbvia - é zero.

Na quarta etapa, resta descobrir se a raiz encontrada não é externa para a equação fracionalmente racional original. Quando é substituído na equação original, a expressão é obtida. Obviamente, não faz sentido, pois contém divisão por zero. Daí concluímos que 0 é uma raiz estranha. Portanto, a equação original não tem raízes.

7 , o que leva à equação . Disso podemos concluir que a expressão no denominador do lado esquerdo deve ser igual a do lado direito, ou seja, . Agora subtraímos de ambas as partes do triplo: . Por analogia, de onde e mais adiante.

A verificação mostra que ambas as raízes encontradas são as raízes da equação racional fracionária original.

Responda:

Bibliografia.

• Álgebra: livro didático para 8 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A. G.Álgebra. 8 ª série. Às 14h, Parte 1. Livro do aluno instituições educacionais/ A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Álgebra: 9º ano: livro didático. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Equações fracionárias. ODZ.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Continuamos a dominar as equações. Já sabemos trabalhar com equações lineares e quadráticas. A última visão permanece equações fracionárias. Ou eles também são chamados de muito mais sólidos - equações racionais fracionárias. Esse é o mesmo.

Equações fracionárias.

Como o nome indica, essas equações necessariamente contêm frações. Mas não apenas frações, mas frações que têm desconhecido no denominador. Pelo menos em um. Por exemplo:

Deixe-me lembrá-lo, se apenas nos denominadores números, estas são equações lineares.

Como decidir equações fracionárias? Em primeiro lugar, livre-se das frações! Depois disso, a equação, na maioria das vezes, se transforma em linear ou quadrática. E então sabemos o que fazer... Em alguns casos, pode se transformar em uma identidade, como 5=5 ou em uma expressão incorreta, como 7=2. Mas isso raramente acontece. Abaixo vou mencioná-lo.

Mas como se livrar das frações!? Muito simples. Aplicando todas as mesmas transformações idênticas.

Precisamos multiplicar toda a equação pela mesma expressão. Para que todos os denominadores diminuam! Tudo ficará imediatamente mais fácil. Eu explico com um exemplo. Digamos que precisamos resolver a equação:

como ensinado em notas mais baixas? Transferimos tudo em uma direção, reduzimos a um denominador comum, etc. Esqueça como sonho horrível! É assim que você faz quando adiciona ou subtrai expressões fracionárias. Ou trabalhar com desigualdades. E nas equações, imediatamente multiplicamos ambas as partes por uma expressão que nos dará a oportunidade de reduzir todos os denominadores (ou seja, em essência, por um denominador comum). E qual é essa expressão?

No lado esquerdo, para reduzir o denominador, você precisa multiplicar por x+2. E à direita, é necessário multiplicar por 2. Então, a equação deve ser multiplicada por 2(x+2). Multiplicamos:

Esta é a multiplicação usual de frações, mas vou escrever em detalhes:

Observe que ainda não estou abrindo o parêntese. (x + 2)! Assim, na íntegra, escrevo:

No lado esquerdo, é totalmente reduzido (x+2), e à direita 2. Conforme necessário! Após a redução obtemos linear a equação:

Qualquer um pode resolver esta equação! x = 2.

Vamos resolver outro exemplo, um pouco mais complicado:

Se lembrarmos que 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1 pode ser escrito:

E novamente nos livramos do que realmente não gostamos - das frações.

Vemos que para reduzir o denominador com x, é necessário multiplicar a fração por (x - 2). E as unidades não são um obstáculo para nós. Bem, vamos multiplicar. Tudo lado esquerdo e tudo lado direito:

Parênteses novamente (x - 2) Eu não revelo. Trabalho com o colchete como um todo, como se fosse um número! Isso deve ser feito sempre, caso contrário nada será reduzido.

Com um sentimento de profunda satisfação, cortamos (x - 2) e obtemos a equação sem frações, em uma régua!

E agora abrimos os colchetes:

Damos semelhantes, transferimos tudo para o lado esquerdo e obtemos:

Mas antes disso, vamos aprender a resolver outros problemas. Por interesse. Esses ancinhos, a propósito!

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