Hoje desigualdades racionais nem todos podem decidir. Mais precisamente, nem todos podem decidir. Poucas pessoas conseguem.
Klitschko

Esta lição vai ser difícil. Tão difícil que só os Escolhidos chegarão ao fim. Portanto, antes de ler, recomendo remover mulheres, gatos, crianças grávidas e ...

Ok, na verdade é bem simples. Suponha que você dominou o método intervalar (se não o dominou, recomendo que volte e leia) e aprendeu a resolver inequações da forma $P\left(x \right) \gt 0$, onde $P \left(x \right)$ é algum polinômio ou produto de polinômios.

Acredito que não será difícil para você resolver, por exemplo, um jogo desses (a propósito, experimente para um aquecimento):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Agora vamos complicar um pouco a tarefa e considerar não apenas polinômios, mas as chamadas frações racionais da forma:

onde $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ são os mesmos polinômios da forma $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ou o produto de tais polinômios.

Esta será uma desigualdade racional. O ponto fundamental é a presença da variável $x$ no denominador. Por exemplo, aqui estão as desigualdades racionais:

\[\begin(alinhar) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

E esta não é uma desigualdade racional, mas a mais comum, que é resolvida pelo método do intervalo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Olhando para frente, direi imediatamente: há pelo menos duas maneiras de resolver desigualdades racionais, mas todas elas, de uma forma ou de outra, são reduzidas ao método dos intervalos já conhecido por nós. Portanto, antes de analisar esses métodos, vamos relembrar os fatos antigos, caso contrário não haverá sentido no novo material.

O que você já precisa saber

Não há muitos fatos importantes. Nós realmente só precisamos de quatro.

Fórmulas de multiplicação abreviadas

Sim, sim: eles nos seguirão por toda parte currículo escolar matemática. E na universidade também. Existem algumas dessas fórmulas, mas precisamos apenas do seguinte:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\direito); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\direito). \\ \end(alinhar)\]

Preste atenção às duas últimas fórmulas - esta é a soma e a diferença dos cubos (e não o cubo da soma ou diferença!). Eles são fáceis de lembrar se você notar que o sinal no primeiro colchete é o mesmo que o sinal na expressão original e no segundo colchete é o oposto do sinal na expressão original.

Equações lineares

Estes são os mais equações simples da forma $ax+b=0$, onde $a$ e $b$ são números comuns, e $a\ne 0$. Esta equação é fácil de resolver:

\[\begin(alinhar) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(alinhar)\]

Observo que temos o direito de dividir pelo coeficiente $a$, pois $a\ne 0$. Este requisito é bastante lógico, pois com $a=0$ obtemos isso:

Primeiro, não há variável $x$ nesta equação. Isso, em geral, não deve nos confundir (isso acontece, digamos, na geometria, e com bastante frequência), mas ainda não somos mais uma equação linear.

Em segundo lugar, a solução desta equação depende apenas do coeficiente $b$. Se $b$ também for zero, então nossa equação será $0=0$. Essa igualdade é sempre verdadeira; portanto, $x$ é qualquer número (geralmente escrito como $x\in \mathbb(R)$). Se o coeficiente $b$ não for zero, então a igualdade $b=0$ nunca é satisfeita, ou seja, sem respostas (escrito $x\in \varnothing $ e lido "conjunto de soluções está vazio").

Para evitar todas essas complexidades, simplesmente assumimos $a\ne 0$, o que não nos restringe de forma alguma de outras reflexões.

Equações quadráticas

Deixe-me lembrá-lo que isso é chamado de equação quadrática:

Aqui à esquerda está um polinômio de segundo grau, e novamente $a\ne 0$ (caso contrário, em vez de Equação quadrática ficamos lineares). As seguintes equações são resolvidas através do discriminante:

1. Se $D \gt 0$, obtemos duas raízes diferentes;
2. Se $D=0$, então a raiz será uma, mas da segunda multiplicidade (que tipo de multiplicidade é e como levá-la em conta - mais sobre isso depois). Ou podemos dizer que a equação tem duas raízes idênticas;
3. Para $D \lt 0$ não existem raízes, e o sinal do polinômio $a((x)^(2))+bx+c$ para qualquer $x$ coincide com o sinal do coeficiente $a $. Aliás, isso é muito fato útil, que por algum motivo eles esquecem de falar nas aulas de álgebra.

As próprias raízes são calculadas de acordo com a fórmula bem conhecida:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Daí, aliás, as restrições ao discriminante. Afinal Raiz quadrada a partir de número negativo não existe. Em relação às raízes, muitos alunos têm uma confusão terrível em suas cabeças, então escrevi especificamente lição inteira: o que é uma raiz em álgebra e como calculá-la - recomendo a leitura. :)

Operações com frações racionais

Tudo o que foi escrito acima, você já sabe se estudou o método dos intervalos. Mas o que vamos analisar agora não tem análogos no passado - este é um fato completamente novo.

Definição. Uma fração racional é uma expressão da forma

\[\frac(P\esquerda(x \direita))(Q\esquerda(x \direita))\]

onde $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ são polinômios.

É óbvio que é fácil obter uma desigualdade de tal fração - basta atribuir o sinal “maior que” ou “menor que” à direita. E um pouco mais adiante descobriremos que resolver esses problemas é um prazer, tudo é muito simples por lá.

Os problemas começam quando existem várias dessas frações em uma expressão. Eles têm que ser trazidos para denominador comum- e é neste momento que é permitido um grande número de erros embaraçosos.

Portanto, para solução de sucesso equações racionais Duas habilidades devem ser firmemente dominadas:

1. Fatoração do polinômio $P\left(x \right)$;
2. Na verdade, trazendo frações a um denominador comum.

Como fatorar um polinômio? Muito simples. Temos um polinômio da forma

Vamos igualar a zero. Obtemos a equação $n$-º grau:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Digamos que resolvemos esta equação e obtivemos as raízes $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (não se preocupe: na maioria dos casos não haverá mais de duas dessas raízes). Nesse caso, nosso polinômio original pode ser reescrito assim:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Isso é tudo! Observe: o coeficiente principal $((a)_(n))$ não desapareceu em nenhum lugar - será um fator separado na frente dos colchetes e, se necessário, pode ser inserido em qualquer um desses colchetes (a prática mostra que com $((a)_ (n))\ne \pm 1$ quase sempre há frações entre as raízes).

Tarefa. Simplifique a expressão:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Decisão. Primeiro, vamos olhar para os denominadores: eles são todos binômios lineares, e não há nada para fatorar aqui. Então, vamos fatorar os numeradores:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\direita)\esquerda(x-1\direita); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \direita)\esquerda(2-5x \direita). \\\end(alinhar)\]

Observe: no segundo polinômio, o coeficiente sênior "2", em total conformidade com nosso esquema, apareceu primeiro na frente do colchete e depois foi incluído no primeiro colchete, pois uma fração saiu.

A mesma coisa aconteceu no terceiro polinômio, só que aí a ordem dos termos também se confunde. No entanto, o coeficiente “−5” acabou sendo incluído no segundo colchete (lembre-se: você pode inserir um fator em um e apenas um colchete!), o que nos salvou do inconveniente associado às raízes fracionárias.

Quanto ao primeiro polinômio, tudo ali é simples: suas raízes são procuradas da maneira padrão através do discriminante, ou usando o teorema de Vieta.

Vamos voltar à expressão original e reescrevê-la com os numeradores decompostos em fatores:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matriz)\]

Resposta: $ 5x + 4 $.

Como você pode ver, nada complicado. Um pouco de matemática do 7º ao 8º ano e pronto. O objetivo de todas as transformações é transformar uma expressão complexa e assustadora em algo simples e fácil de trabalhar.

No entanto, nem sempre será assim. Então agora vamos considerar um problema mais sério.

Mas primeiro, vamos descobrir como trazer duas frações para um denominador comum. O algoritmo é extremamente simples:

1. Fatorize ambos os denominadores;
2. Considere o primeiro denominador e adicione a ele os fatores presentes no segundo denominador, mas não no primeiro. O produto resultante será o denominador comum;
3. Descubra quais fatores faltam em cada uma das frações originais para que os denominadores se tornem iguais ao comum.

Talvez esse algoritmo pareça para você apenas um texto no qual há “muitas letras”. Então, vamos dar uma olhada em um exemplo específico.

Tarefa. Simplifique a expressão:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \direito)\]

Decisão. Essas tarefas volumosas são melhor resolvidas em partes. Vamos escrever o que está no primeiro colchete:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Ao contrário do problema anterior, aqui os denominadores não são tão simples. Vamos fatorar cada um deles.

O trinômio quadrado $((x)^(2))+2x+4$ não pode ser fatorado porque a equação $((x)^(2))+2x+4=0$ não tem raízes (o discriminante é negativo) . Deixamos inalterado.

O segundo denominador, o polinômio cúbico $((x)^(3))-8$, após um exame mais detalhado é a diferença de cubos e pode ser facilmente decomposto usando as fórmulas de multiplicação abreviadas:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \direita)\]

Nada mais pode ser fatorado, pois o primeiro colchete contém um binômio linear, e o segundo é uma construção já familiar para nós, que não possui raízes reais.

Finalmente, o terceiro denominador é um binômio linear que não pode ser decomposto. Assim, nossa equação terá a forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \direita))-\frac(1)(x-2)\]

É bastante óbvio que $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ será o denominador comum, e para reduzir todas as frações a ele, você precisa multiplicar a primeira fração para $\left(x-2 \right)$, e a última para $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Então resta apenas trazer o seguinte:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matriz)\]

Preste atenção na segunda linha: quando o denominador já é comum, ou seja, em vez de três frações separadas, escrevemos uma grande, você não deve se livrar imediatamente dos colchetes. É melhor escrever uma linha extra e observar que, digamos, havia um menos antes da terceira fração - e não vai a lugar nenhum, mas "trava" no numerador na frente do colchete. Isso vai lhe poupar muitos erros.

Bem, na última linha é útil fatorar o numerador. Além disso, este é um quadrado exato, e as fórmulas de multiplicação abreviadas novamente vêm em nosso auxílio. Nós temos:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Agora vamos lidar com o segundo colchete da mesma maneira. Aqui vou simplesmente escrever uma cadeia de igualdades:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matriz)\]

Voltamos ao problema original e olhamos para o produto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \direita)\esquerda(x+2 \direita))=\frac(1)(x+2)\]

Resposta: \[\frac(1)(x+2)\].

O significado deste problema é o mesmo do anterior: mostrar o quanto as expressões racionais podem ser simplificadas se você abordar sua transformação com sabedoria.

E agora, quando você sabe tudo isso, vamos passar para o tópico principal da lição de hoje - resolvendo desigualdades racionais fracionárias. Além disso, após essa preparação, as próprias desigualdades vão clicar como nozes. :)

A principal maneira de resolver desigualdades racionais

Há pelo menos duas abordagens para resolver desigualdades racionais. Agora vamos considerar um deles - aquele que é geralmente aceito em curso escolar matemática.

Mas primeiro, vamos notar detalhe importante. Todas as desigualdades são divididas em dois tipos:

1. Estrito: $f\left(x \right) \gt 0$ ou $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Não restrito: $f\left(x \right)\ge 0$ ou $f\left(x \right)\le 0$.

As desigualdades do segundo tipo são facilmente reduzidas ao primeiro, assim como a equação:

Esta pequena "adição" $f\left(x \right)=0$ leva a uma coisa desagradável como pontos preenchidos - nós os encontramos de volta no método intervalado. Caso contrário, não há diferenças entre desigualdades estritas e não estritas, então vamos analisar o algoritmo universal:

1. Colete todos os elementos diferentes de zero em um lado do sinal de desigualdade. Por exemplo, à esquerda;
2. Traga todas as frações para um denominador comum (se houver várias dessas frações), traga as semelhantes. Então, se possível, fatorize no numerador e no denominador. De uma forma ou de outra, obtemos uma desigualdade da forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, onde a marca é o sinal de desigualdade.
3. Iguale o numerador a zero: $P\left(x \right)=0$. Resolvemos esta equação e obtemos as raízes $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... que o denominador não era igual a zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Claro, em essência, temos que resolver a equação $Q\left(x \right)=0$, e obtemos as raízes $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (em problemas reais dificilmente haverá mais de três dessas raízes).
4. Marcamos todas essas raízes (com e sem asteriscos) em uma única linha numérica, e as raízes sem estrelas são pintadas e aquelas com estrelas são perfuradas.
5. Colocamos os sinais de mais e menos, selecionamos os intervalos que precisamos. Se a inequação tiver a forma $f\left(x \right) \gt 0$, a resposta será os intervalos marcados com um "mais". Se $f\left(x \right) \lt 0$, então olhamos os intervalos com "menos".

A prática mostra que os pontos 2 e 4 causam as maiores dificuldades - transformações competentes e o arranjo correto dos números em ordem crescente. Bem, na última etapa, tenha muito cuidado: sempre colocamos placas com base em a última desigualdade escrita antes de passar para as equações. Isso é regra universal, herdado do método interval.

Então, existe um esquema. Vamos praticar.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Decisão. Temos uma desigualdade estrita da forma $f\left(x \right) \lt 0$. Obviamente, os pontos 1 e 2 do nosso esquema já foram concluídos: todos os elementos da desigualdade estão reunidos à esquerda, nada precisa ser reduzido a um denominador comum. Então vamos para o terceiro ponto.

Defina o numerador para zero:

\[\begin(alinhar) & x-3=0; \\ &x=3. \end(alinhar)\]

E o denominador:

\[\begin(alinhar) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(alinhar)\]

Nesse lugar, muitas pessoas ficam presas, porque em teoria você precisa anotar $x+7\ne 0$, conforme exigido pela ODZ (você não pode dividir por zero, só isso). Mas afinal, no futuro, vamos destacar os pontos que vieram do denominador, então você não deve complicar seus cálculos mais uma vez - escreva um sinal de igual em todos os lugares e não se preocupe. Ninguém vai deduzir pontos por isso. :)

Quarto ponto. Marcamos as raízes obtidas na reta numérica:

Todos os pontos são puncionados porque a desigualdade é estrita

Observação: todos os pontos são perfurados porque a desigualdade original é estrita. E aqui não importa mais: esses pontos vieram do numerador ou do denominador.

Bem, olhe para os sinais. Pegue qualquer número $((x)_(0)) \gt 3$. Por exemplo, $((x)_(0))=100$ (mas você também poderia ter tomado $((x)_(0))=3.1$ ou $((x)_(0)) = 1\000\000$). Nós temos:

Então, à direita de todas as raízes temos uma área positiva. E ao passar por cada raiz, o sinal muda (isso nem sempre será o caso, mas falaremos mais sobre isso depois). Portanto, passamos ao quinto ponto: colocamos os sinais e escolhemos o certo:

Voltamos à última desigualdade, que era antes de resolver as equações. Na verdade, coincide com o original, pois não realizamos nenhuma transformação nesta tarefa.

Como é necessário resolver uma desigualdade da forma $f\left(x \right) \lt 0$, sombreei o intervalo $x\in \left(-7;3 \right)$ - é o único marcado com um sinal de menos. Esta é a resposta.

Resposta: $x\in \left(-7;3 \right)$

Isso é tudo! É difícil? Não, não é difícil. De fato, foi uma tarefa fácil. Agora vamos complicar um pouco a missão e considerar uma desigualdade mais "chique". Ao resolvê-lo, não darei mais cálculos tão detalhados - simplesmente indicarei pontos chave. Em geral, vamos organizá-lo da maneira que faríamos em trabalho independente ou exame. :)

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Decisão. Esta é uma desigualdade não estrita da forma $f\left(x \right)\ge 0$. Todos os elementos diferentes de zero são coletados à esquerda, denominadores diferentes não. Vamos para as equações.

Numerador:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(alinhar)\]

Denominador:

\[\begin(alinhar) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(alinhar)\]

Não sei que tipo de pervertido fez esse problema, mas as raízes não deram muito certo: será difícil organizá-las em uma reta numérica. E se tudo estiver mais ou menos claro com a raiz $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (este é o único número positivo - estará à direita), então $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ e $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ requerem estudo adicional: qual é maior?

Você pode descobrir isso, por exemplo:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Espero que não haja necessidade de explicar porque a fração numérica $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Se necessário, recomendo lembrar como realizar ações com frações.

E marcamos todas as três raízes na reta numérica:

Os pontos do numerador são sombreados, do denominador eles são cortados

Colocamos sinais. Por exemplo, você pode pegar $((x)_(0))=1$ e descobrir o sinal neste ponto:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

A última desigualdade antes das equações era $f\left(x \right)\ge 0$, então estamos interessados ​​no sinal de mais.

Temos dois conjuntos: um é um segmento comum e o outro é um raio aberto na reta numérica.

Resposta: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Uma observação importante sobre os números que substituímos para descobrir o sinal no intervalo mais à direita. Não é necessário substituir um número próximo à raiz mais à direita. Você pode levar bilhões ou até "mais infinito" - neste caso, o sinal do polinômio no colchete, numerador ou denominador é determinado apenas pelo sinal do coeficiente principal.

Vamos dar outra olhada na função $f\left(x \right)$ da última desigualdade:

Ele contém três polinômios:

\[\begin(alinhar) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\esquerda(x\direita)=13x-4. \end(alinhar)\]

Todos eles são binômios lineares, e todos eles têm coeficientes positivos (números 7, 11 e 13). Portanto, ao substituir muito grandes números os próprios polinômios também serão positivos. :)

Essa regra pode parecer complicada demais, mas apenas no início, quando analisamos problemas muito fáceis. Em desigualdades sérias, a substituição "mais-infinito" nos permitirá descobrir os sinais muito mais rápido do que o padrão $((x)_(0))=100$.

Enfrentaremos esses desafios muito em breve. Mas primeiro, vamos ver uma forma alternativa de resolver desigualdades racionais fracionárias.

Caminho alternativo

Esta técnica foi-me sugerida por um dos meus alunos. Eu mesmo nunca usei, mas a prática mostrou que é realmente mais conveniente para muitos alunos resolver as desigualdades dessa maneira.

Portanto, os dados originais são os mesmos. Precisa decidir desigualdade racional fracionária:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Vamos pensar: por que o polinômio $Q\left(x \right)$ é "pior" que o polinômio $P\left(x \right)$? Por que devemos considerar grupos individuais raízes (com e sem asterisco), pense em pontos perfurados, etc.? É simples: uma fração tem um domínio de definição, segundo o qual a fração só faz sentido quando seu denominador for diferente de zero.

Caso contrário, não há diferenças entre o numerador e o denominador: também o igualamos a zero, procuramos as raízes e as marcamos na linha numérica. Então, por que não substituir a barra fracionária (na verdade, o sinal de divisão) multiplicação comum, e escreva todos os requisitos da ODZ como uma desigualdade separada? Por exemplo, assim:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Observe: essa abordagem permitirá que você reduza o problema ao método de intervalos, mas não complicará a solução. Afinal, vamos igualar o polinômio $Q\left(x \right)$ a zero.

Vamos ver como funciona em tarefas reais.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Decisão. Então, vamos passar para o método interval:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

A primeira inequação é resolvida elementarmente. Basta definir cada parêntese para zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Seta para a direita ((x)_(2))=11. \\ \end(alinhar)\]

Com a segunda desigualdade, tudo também é simples:

Marcamos os pontos $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$ na linha real. Todos eles são puncionados porque a desigualdade é estrita:

O ponto certo acabou sendo perfurado duas vezes. Isto é bom.

Preste atenção ao ponto $x=11$. Acontece que é "duas vezes arrancado": por um lado, nós o arrancamos por causa da gravidade da desigualdade, por outro, por causa da Requerimento adicional ODZ.

Em qualquer caso, será apenas um ponto perfurado. Portanto, colocamos sinais para a desigualdade $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - a última que vimos antes de começarmos a resolver as equações:

Estamos interessados ​​em regiões positivas, pois estamos resolvendo uma inequação da forma $f\left(x \right) \gt 0$, e vamos colori-las. Resta apenas escrever a resposta.

Responda. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Usando esta solução como exemplo, gostaria de alertá-lo contra um erro comum entre alunos iniciantes. Ou seja: nunca abra parênteses em desigualdades! Pelo contrário, tente fatorar tudo - isso simplificará a solução e economizará muitos problemas.

Agora vamos tentar algo mais difícil.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Decisão. Esta é uma desigualdade não estrita da forma $f\left(x \right)\le 0$, então aqui você precisa monitorar cuidadosamente os pontos preenchidos.

Vamos passar para o método interval:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vamos para a equação:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Seta para a direita ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Seta para a direita ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(alinhar)\]

Levamos em consideração o requisito adicional:

Marcamos todas as raízes obtidas na reta numérica:

Se um ponto for perfurado e preenchido ao mesmo tempo, ele será considerado perfurado.

Novamente, dois pontos "se sobrepõem" - isso é normal, sempre será assim. É importante apenas entender que um ponto marcado como perfurado e preenchido é, na verdade, um ponto perfurado. Aqueles. "Gouging" é uma ação mais forte do que "pintar por cima".

Isso é absolutamente lógico, porque perfurando marcamos pontos que afetam o sinal da função, mas não participam da resposta. E se em algum momento o número deixar de nos agradar (por exemplo, não se enquadrar na ODZ), o excluímos da consideração até o final da tarefa.

Em geral, pare de filosofar. Organizamos os sinais e pintamos sobre os intervalos marcados com um sinal de menos:

Responda. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

E novamente eu queria chamar sua atenção para esta equação:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Mais uma vez: nunca abra parênteses em tais equações! Você só está tornando as coisas mais difíceis para você. Lembre-se: o produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Conseqüentemente, dada equação simplesmente “se desfaz” em vários outros menores, que resolvemos no problema anterior.

Levando em conta a multiplicidade de raízes

Dos problemas anteriores é fácil ver que a maior dificuldade representam precisamente desigualdades não estritas, porque eles precisam acompanhar os pontos preenchidos.

Mas há um mal ainda maior no mundo - são múltiplas raízes nas desigualdades. Aqui já é necessário seguir não alguns pontos preenchidos lá - aqui o sinal de desigualdade pode não mudar repentinamente ao passar por esses mesmos pontos.

Ainda não consideramos nada parecido nesta lição (embora problema semelhante frequentemente encontrados no método de intervalos). Então, vamos introduzir uma nova definição:

Definição. A raiz da equação $((\left(x-a \right))^(n))=0$ é igual a $x=a$ e é chamada de raiz da $n$th multiplicidade.

Na verdade, não estamos particularmente interessados valor exato multiplicidade. A única coisa importante é se esse número $n$ é par ou ímpar. Porque:

1. Se $x=a$ for uma raiz de multiplicidade par, então o sinal da função não muda ao passar por ela;
2. E vice-versa, se $x=a$ for uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal da função mudará.

Um caso especial de uma raiz de multiplicidade ímpar são todos os problemas anteriores considerados nesta lição: aí a multiplicidade é igual a um em todos os lugares.

E mais. Antes de começarmos a resolver os problemas, gostaria de chamar sua atenção para uma sutileza que parece óbvia para um aluno experiente, mas leva muitos iniciantes ao estupor. Nomeadamente:

A raiz de multiplicidade $n$ ocorre somente quando a expressão inteira é elevada a esta potência: $((\left(x-a \right))^(n))$, e não $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Mais uma vez: o colchete $((\left(x-a \right))^(n))$ nos dá a raiz $x=a$ da multiplicidade $n$, mas o colchete $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ou, como muitas vezes acontece, $(a-((x)^(n)))$ nos dá uma raiz (ou duas raízes, se $n$ for par) da primeira multiplicidade , não importa o que seja igual a $n$.

Comparar:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tudo está claro aqui: todo o suporte foi elevado à quinta potência, então na saída obtivemos a raiz do quinto grau. E agora:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Temos duas raízes, mas ambas têm a primeira multiplicidade. Ou aqui está outro:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

E não se confunda com o décimo grau. O importante é que 10 é numero par, então temos duas raízes na saída, e ambas novamente têm a primeira multiplicidade.

Em geral, tenha cuidado: a multiplicidade ocorre apenas quando o grau se aplica a todo o suporte, não apenas à variável.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Decisão. Vamos tentar resolver caminho alternativo- através da transição do particular para o produto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\direita.\]

Lidamos com a primeira desigualdade usando o método intervalar:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \direita))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Seta para a direita x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(alinhar)\]

Além disso, resolvemos a segunda desigualdade. Na verdade, já resolvemos isso, mas para que os revisores não encontrem falhas na solução, é melhor resolvê-lo novamente:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Observe que não há multiplicidades na última desigualdade. De fato: que diferença faz quantas vezes riscar o ponto $x=-7$ na reta numérica? Pelo menos uma vez, pelo menos cinco vezes - o resultado será o mesmo: um ponto perfurado.

Vamos anotar tudo o que temos na reta numérica:

Como eu disse, o ponto $x=-7$ acabará sendo eliminado. As multiplicidades são arranjadas com base na solução da desigualdade pelo método intervalar.

Resta colocar os sinais:

Como o ponto $x=0$ é raiz de multiplicidade par, o sinal não muda ao passar por ele. Os pontos restantes têm uma multiplicidade ímpar, e tudo é simples com eles.

Responda. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Preste atenção em $x=0$ novamente. Por causa da multiplicidade uniforme, surge um efeito interessante: tudo à esquerda é pintado, à direita - também, e o próprio ponto é completamente pintado.

Como consequência, ele não precisa ser isolado ao registrar uma resposta. Aqueles. você não precisa escrever algo como $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (embora formalmente tal resposta também esteja correta). Em vez disso, escrevemos imediatamente $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tais efeitos são possíveis apenas para raízes de mesmo multiplicidade. E na próxima tarefa, encontraremos a "manifestação" inversa desse efeito. Preparar?

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Decisão. Desta vez, seguiremos o esquema padrão. Defina o numerador para zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Seta para a direita ((x)_(2))=4. \\ \end(alinhar)\]

E o denominador:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(alinhar)\]

Como estamos resolvendo uma desigualdade não estrita da forma $f\left(x \right)\ge 0$, as raízes do denominador (que têm asteriscos) serão cortadas e as do numerador serão pintadas por cima .

Organizamos os sinais e traçamos as áreas marcadas com um "mais":

O ponto $x=3$ é isolado. Isso é parte da resposta

Antes de escrever a resposta final, observe atentamente a imagem:

1. O ponto $x=1$ tem uma multiplicidade par, mas é ele próprio perfurado. Portanto, terá que ser isolado na resposta: você precisa escrever $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, e não $x\in \left(-\infty ;2\right)$.
2. O ponto $x=3$ também tem uma multiplicidade par e está sombreado. A disposição dos sinais indica que o ponto em si nos convém, mas um passo para a esquerda e para a direita - e nos encontramos em uma área que definitivamente não nos convém. Tais pontos são chamados de isolados e são escritos como $x\in \left\( 3 \right\)$.

Combinamos todas as peças obtidas em um conjunto comum e escrevemos a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definição. Resolver a desigualdade significa encontre o conjunto de todas as suas soluções, ou prove que este conjunto é vazio.

Parece: o que pode ser incompreensível aqui? Sim, o fato é que os conjuntos podem ser especificados de diferentes maneiras. Vamos reescrever a resposta para o último problema:

Literalmente lemos o que está escrito. A variável "x" pertence a um determinado conjunto, que é obtido pela união (símbolo "U") de quatro conjuntos separados:

• O intervalo é $\left(-\infty ;1 \right)$, que significa literalmente "todos os números menores que um, mas não um";
• O intervalo é $\left(1;2 \right)$, ou seja, "todos os números entre 1 e 2, mas não os próprios números 1 e 2";
• O conjunto $\left\( 3 \right\)$, consistindo em um único número - três;
• O intervalo $\left[ 4;5 \right)$, contendo todos os números entre 4 e 5, mais o próprio 4, mas não o 5.

O terceiro ponto é interessante aqui. Ao contrário dos intervalos, que definem conjuntos infinitos de números e denotam apenas os limites desses conjuntos, o conjunto $\left\( 3 \right\)$ define exatamente um número por enumeração.

Para entender que estamos listando os números específicos incluídos no conjunto (e não definindo limites ou qualquer outra coisa), chaves são usadas. Por exemplo, a notação $\left\( 1;2 \right\)$ significa exatamente "um conjunto formado por dois números: 1 e 2", mas não um segmento de 1 a 2. Em nenhum caso, não confunda esses conceitos .

Regra de adição de multiplicidade

Bem, no final da lição de hoje, uma pequena lata de Pavel Berdov. :)

Alunos atentos provavelmente já se fizeram a pergunta: o que acontecerá se as mesmas raízes forem encontradas no numerador e no denominador? Então a seguinte regra funciona:

Multiplicidades raízes idênticas adicionar. Sempre. Mesmo que essa raiz ocorra tanto no numerador quanto no denominador.

Às vezes é melhor decidir do que falar. Assim, resolvemos o seguinte problema:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \direito))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(alinhar)\]

Até agora, nada de especial. Defina o denominador para zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(alinhar)\]

Duas raízes idênticas são encontradas: $((x)_(1))=-2$ e $x_(4)^(*)=-2$. Ambos têm a primeira multiplicidade. Portanto, nós os substituímos por uma raiz $x_(4)^(*)=-2$, mas com uma multiplicidade de 1+1=2.

Além disso, também existem raízes idênticas: $((x)_(2))=-4$ e $x_(2)^(*)=-4$. Eles também são da primeira multiplicidade, então apenas $x_(2)^(*)=-4$ da multiplicidade 1+1=2 permanece.

Observe: em ambos os casos, deixamos exatamente a raiz “cortada” e descartamos a “pintada por cima” da consideração. Porque mesmo no início da aula, concordamos: se um ponto é perfurado e pintado ao mesmo tempo, ainda o consideramos perfurado.

Como resultado, temos quatro raízes, e todas elas foram arrancadas:

\[\begin(alinhar) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(alinhar)\]

Nós os marcamos na reta numérica, levando em consideração a multiplicidade:

Colocamos os sinais e pintamos sobre as áreas de interesse para nós:

Tudo. Sem pontos isolados e outras perversões. Você pode escrever a resposta.

Responda. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regra de multiplicação

Às vezes ocorre uma situação ainda mais desagradável: uma equação que tem múltiplas raízes é elevada a uma certa potência. Isso altera as multiplicidades de todas as raízes originais.

Isso é raro, então a maioria dos alunos não tem experiência na resolução de tais problemas. E a regra aqui é:

Quando uma equação é elevada a uma potência $n$, a multiplicidade de todas as suas raízes também aumenta por um fator de $n$.

Em outras palavras, elevar a uma potência resulta na multiplicação de multiplicidades pela mesma potência. Vamos usar esta regra como exemplo:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Decisão. Defina o numerador para zero:

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. Tudo fica claro com o primeiro multiplicador: $x=0$. E é aqui que começam os problemas:

\[\begin(align) & ((\left((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Como você pode ver, a equação $((x)^(2))-6x+9=0$ tem uma raiz única da segunda multiplicidade: $x=3$. A equação inteira é então elevada ao quadrado. Portanto, a multiplicidade da raiz será $2\cdot 2=4$, que finalmente anotamos.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Não há problema com o denominador também:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(alinhar)\]

No total, conseguimos cinco pontos: dois socados e três preenchidos. Não há raízes coincidentes no numerador e no denominador, então apenas as marcamos na reta numérica:

Dispomos os signos levando em conta as multiplicidades e pintamos sobre os intervalos que nos interessam:

Novamente um ponto isolado e um perfurado

Por causa das raízes da multiplicidade uniforme, recebemos novamente alguns elementos “não padronizados”. Este é $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, não $x\in \left[ 0;2 \right)$, e também um ponto isolado $ x\in \esquerda\( 3 \direita\)$.

Responda. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Como você pode ver, nem tudo é tão difícil. O principal é a atenção. Última seção desta lição é dedicada às transformações - as mesmas que discutimos no início.

Pré-conversões

As desigualdades que discutiremos nesta seção não são complexas. No entanto, ao contrário das tarefas anteriores, aqui você terá que aplicar habilidades da teoria frações racionais— fatoração e redução a um denominador comum.

Discutimos esta questão em detalhes no início da lição de hoje. Se você não tem certeza de que entendeu do que se trata, eu recomendo fortemente que você volte e repita. Porque não faz sentido acumular métodos para resolver desigualdades se você estiver “flutuando” na conversão de frações.

NO trabalho de casa By the way, também haverá muitas tarefas semelhantes. Eles são colocados em uma subseção separada. E lá você encontrará exemplos muito não triviais. Mas isso ficará na lição de casa, mas agora vamos analisar algumas dessas desigualdades.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Decisão. Movendo tudo para a esquerda:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Trazemos para um denominador comum, abrimos os colchetes, damos termos semelhantes no numerador:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Agora temos uma desigualdade racional fracionária clássica, cuja solução não é mais difícil. Proponho resolvê-lo por um método alternativo - através do método dos intervalos:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(alinhar)\]

Não se esqueça da restrição que vem do denominador:

Marcamos todos os números e restrições na reta numérica:

Todas as raízes têm primeira multiplicidade. Sem problemas. Nós apenas colocamos os sinais e pintamos sobre as áreas que precisamos:

É tudo. Você pode escrever a resposta.

Responda. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Claro, este foi um exemplo muito simples. Então agora vamos dar uma olhada no problema. E, a propósito, o nível desta tarefa é bastante consistente com independência e trabalho de controle sobre este tema na 8ª série.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Decisão. Movendo tudo para a esquerda:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Antes de trazer as duas frações para um denominador comum, decompomos esses denominadores em fatores. De repente os mesmos colchetes vão sair? Com o primeiro denominador é fácil:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

A segunda é um pouco mais difícil. Sinta-se à vontade para adicionar um multiplicador constante ao colchete onde a fração foi encontrada. Lembre-se: o polinômio original tinha coeficientes inteiros, então é muito provável que a fatoração também tenha coeficientes inteiros (na verdade, sempre terá, exceto quando o discriminante for irracional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Como vemos, existe parêntese comum: $\esquerda(x-1\direita)$. Voltamos à desigualdade e trazemos as duas frações para um denominador comum:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ esquerda(3x-2\direita))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(alinhar)\]

Defina o denominador para zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinhar)\]

Sem multiplicidades e sem raízes coincidentes. Marcamos quatro números em uma linha reta:

Colocamos os sinais:

Nós anotamos a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ direito)$.

Deixe ser encontrado valores numéricos x, no qual eles se tornam verdadeiros desigualdades numéricas várias desigualdades racionais ao mesmo tempo. Nesses casos, dizemos que precisamos resolver um sistema de desigualdades racionais com um x desconhecido.

Para resolver um sistema de desigualdades racionais, deve-se encontrar todas as soluções para cada desigualdade no sistema. Então a parte comum de todas as soluções encontradas será a solução do sistema.

Exemplo: Resolva o sistema de inequações

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Primeiro resolvemos a desigualdade

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

Aplicando o método intervalar (Fig. 1), descobrimos que o conjunto de todas as soluções da inequação (2) consiste em dois intervalos: (-, 1) e (5, 7).

Imagem 1

Agora vamos resolver a desigualdade

Usando o método intervalar (Fig. 2), descobrimos que o conjunto de todas as soluções da desigualdade (3) também consiste em dois intervalos: (2, 3) e (4, +).

Agora temos que encontrar parte geral resolvendo as inequações (2) e (3). Vamos desenhar eixo coordenado x e marque nele as soluções encontradas. Agora está claro que parte comum a solução das inequações (2) e (3) é o intervalo (5, 7) (Fig. 3).

Conseqüentemente, o conjunto de todas as soluções do sistema de desigualdades (1) é o intervalo (5, 7).

Exemplo: Resolva o sistema de inequações

x2 - 6x + 10< 0,

Vamos resolver a desigualdade primeiro

x 2 - 6 x + 10< 0.

Aplicando o método de seleção quadrado cheio, pode-se escrever que

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Portanto, a desigualdade (2) pode ser escrita como

(x - 3) 2 + 1< 0,

o que mostra que não tem solução.

Agora você não pode resolver a desigualdade

pois a resposta já é clara: o sistema (1) não tem solução.

Exemplo: Resolva o sistema de inequações

Considere primeiro a primeira desigualdade; temos

1 < 0, < 0.

Usando a curva de sinais, encontramos soluções para esta desigualdade: x< -2; 0 < x < 2.

Vamos agora resolver a segunda desigualdade do sistema dado. Temos x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Tendo marcado as soluções encontradas da primeira e da segunda inequações em uma linha real comum (Fig. 6), encontramos tais intervalos onde essas soluções coincidem (supressão da solução): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Exemplo: Resolva o sistema de inequações

Transformamos a primeira desigualdade do sistema:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0, ou x (x - 10) (x + 10) 0

(uma vez que os fatores em potências ímpares podem ser substituídos pelos fatores correspondentes de primeiro grau); usando o método intervalar, encontramos soluções para a última desigualdade: -10 x 0, x 10.

Considere a segunda desigualdade do sistema; temos

Encontramos (Fig. 8) x -9; 3< x < 15.

Combinando as soluções encontradas, obtemos (Fig. 9) x 0; x > 3.

Exemplo: Encontrar soluções inteiras sistemas de desigualdades:

x + y< 2,5,

Solução: Vamos trazer o sistema para a forma

Somando a primeira e a segunda desigualdade, temos y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

de onde -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Através da esta lição você aprenderá sobre desigualdades racionais e seus sistemas. O sistema de desigualdades racionais é resolvido com a ajuda de transformações equivalentes. Considera-se a definição de equivalência, o método de substituir uma desigualdade fracionária-racional por uma quadrada, e também entende-se qual é a diferença entre uma desigualdade e uma equação e como são realizadas as transformações equivalentes.

Álgebra 9º ano

Repetição final do curso de álgebra do 9º ano

Desigualdades racionais e seus sistemas. Sistemas de desigualdades racionais.

1.1 Resumo.

1. Transformações equivalentes desigualdades racionais.

Decidir desigualdade racional meios para encontrar todas as suas soluções. Ao contrário de uma equação, ao resolver uma inequação, via de regra, há um número infinito de soluções. Um número infinito de soluções não pode ser verificado por substituição. Portanto, é necessário transformar a inequação original de tal forma que em cada linha seguinte seja obtida uma inequação com o mesmo conjunto de soluções.

Desigualdades racionais resolvido apenas com equivalente ou transformações equivalentes. Tais transformações não distorcem o conjunto de soluções.

Definição. Desigualdades racionais chamado equivalente se os conjuntos de suas soluções forem iguais.

Para designar equivalência use o sinal

2. Solução do sistema de desigualdades

A primeira e a segunda inequações são inequações racionais fracionárias. Os métodos para resolvê-los são uma continuação natural dos métodos para resolver desigualdades lineares e quadráticas.

Vamos mover os números do lado direito para o esquerdo com o sinal oposto.

Como resultado, 0 permanecerá no lado direito. Esta transformação é equivalente. Isso é indicado pelo sinal

Vamos realizar as ações que a álgebra prescreve. Subtraia "1" na primeira desigualdade e "2" na segunda.

3. Resolvendo a desigualdade pelo método do intervalo

1) Vamos introduzir uma função. Precisamos saber quando esta função é menor que 0.

2) Encontre o domínio da função: o denominador não deve ser 0. "2" é o ponto de quebra. Para x=2 a função é indefinida.

3) Encontre as raízes da função. A função é 0 se o numerador for 0.

Os pontos de ajuste quebram eixo numérico em três intervalos - estes são intervalos de constância de sinal. Em cada intervalo, a função mantém seu sinal. Vamos determinar o sinal no primeiro intervalo. Substitua algum valor. Por exemplo, 100. É claro que tanto o numerador quanto o denominador são maiores que 0. Isso significa que toda a fração é positiva.

Vamos determinar os sinais nos intervalos restantes. Ao passar pelo ponto x=2, apenas o denominador muda de sinal. Isso significa que toda a fração mudará de sinal e será negativa. Vamos fazer uma discussão semelhante. Ao passar pelo ponto x=-3, apenas o numerador muda de sinal. Isso significa que a fração mudará de sinal e será positiva.

Escolhemos um intervalo correspondente à condição de desigualdade. Sombreie e escreva como uma desigualdade

4. Resolvendo a inequação usando uma inequação quadrática

Um fato importante.

Quando comparado com 0 (no caso desigualdade estrita) a fração pode ser substituída pelo produto do numerador e o denominador, ou o numerador ou denominador pode ser trocado.

Isso ocorre porque todas as três desigualdades são válidas desde que u e v sinal diferente. Essas três desigualdades são equivalentes.

Usamos esse fato e substituímos a desigualdade fracional-racional por um quadrado.

Vamos resolver a desigualdade quadrática.

Vamos apresentar função quadrática. Vamos encontrar suas raízes e construir um esboço de seu gráfico.

Portanto, os ramos da parábola estão para cima. Dentro do intervalo de raízes, a função preserva o sinal. Ela é negativa.

Fora do intervalo de raízes, a função é positiva.

Solução da primeira desigualdade:

5. Solução da desigualdade

Vamos introduzir uma função:

Vamos encontrar seus intervalos de constância:

Para fazer isso, encontramos as raízes e os pontos de descontinuidade do domínio da função. Nós sempre cortamos pontos de quebra. (x \u003d 3/2) Cortamos as raízes dependendo do sinal de desigualdade. Nossa desigualdade é estrita. Portanto, cortamos a raiz.

Vamos colocar os sinais:

Vamos escrever a solução:

Vamos terminar a solução do sistema. Vamos encontrar a interseção do conjunto de soluções da primeira desigualdade e o conjunto de soluções da segunda desigualdade.

Resolver um sistema de inequações significa encontrar a interseção do conjunto de soluções da primeira inequação e o conjunto de soluções da segunda inequação. Portanto, tendo resolvido a primeira e a segunda inequações separadamente, é necessário escrever os resultados obtidos em um sistema.

Vamos representar a solução da primeira inequação sobre o eixo x.

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>>Matemática: Desigualdades racionais

Uma desigualdade racional com uma variável x é uma desigualdade da forma - expressões racionais, ou seja, expressões algébricas, composto por números e a variável x usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e elevação a uma potência natural. Claro, a variável pode ser denotada por qualquer outra letra, mas em matemática, a letra x é mais frequentemente preferida.

Na resolução de desigualdades racionais, são usadas as três regras que foram formuladas acima no § 1. Com a ajuda dessas regras, uma dada desigualdade racional é geralmente convertida para a forma / (x) > 0, onde / (x) é uma equação algébrica fração (ou polinômio). Em seguida, decomponha o numerador e o denominador da fração f (x) em fatores da forma x - a (se, claro, isso for possível) e aplique o método intervalar, que já mencionamos acima (veja o exemplo 3 no anterior parágrafo).

Exemplo 1 Resolva a desigualdade (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Decisão. Considere a expressão f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Volta a 0 nos pontos 1,-1,2; marque esses pontos na reta numérica. A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em quatro intervalos (Fig. 6), em cada um dos quais a expressão f (x) preserva marca permanente. Para verificar isso, realizaremos quatro argumentos (para cada um desses intervalos separadamente).

Pegue qualquer ponto x do intervalo (2, Este ponto está localizado na reta numérica à direita do ponto -1, à direita do ponto 1 e à direita do ponto 2. Isso significa que x > -1, x > 1, x > 2 (Fig. 7). Mas então x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0 e, portanto, f (x) > 0 (como um produto de uma desigualdade racional de três números positivos). Assim, a desigualdade f (x) > 0 vale para todo o intervalo.

Pegue qualquer ponto x do intervalo (1,2). Este ponto está localizado na linha numérica à direita do ponto-1, à direita do ponto 1, mas à esquerda do ponto 2. Portanto, x\u003e -1, x\u003e 1, mas x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Pegue qualquer ponto x do intervalo (-1,1). Este ponto está localizado na reta numérica à direita do ponto -1, à esquerda do ponto 1 e à esquerda do ponto 2. Então x > -1, mas x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (como o produto de dois números negativos e um número positivo). Assim, no intervalo (-1,1) vale a desigualdade f (x)> 0.

Finalmente, pegue qualquer ponto x do raio aberto (-oo, -1). Este ponto está localizado na reta numérica à esquerda do ponto -1, à esquerda do ponto 1 e à esquerda do ponto 2. Isso significa que x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Vamos resumir. Os sinais da expressão f(x) nos intervalos selecionados são mostrados na Fig. 11. Estamos interessados ​​naqueles em que é satisfeita a desigualdade f(x) > 0. Usando o modelo geométrico apresentado na fig. 11, estabelecemos que a desigualdade f (x) > 0 é satisfeita no intervalo (-1, 1) ou na viga aberta
Responda: -1 < х < 1; х > 2.

Exemplo 2 Resolva a desigualdade
Decisão. Como no exemplo anterior, desenhamos informação necessária da fig. 11, mas com duas alterações em relação ao exemplo 1. Primeiro, já que estamos interessados ​​em quais valores de x satisfazem a desigualdade f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Em segundo lugar, também estamos satisfeitos com aqueles pontos em que a igualdade f(x) = 0. Estes são os pontos -1, 1, 2, nós os marcamos na figura com círculos escuros e os incluímos na resposta. Na fig. 12 mostra um modelo geométrico da resposta, do qual não é difícil passar para um registro analítico.
Responda:
EXEMPLO 3. Resolva a desigualdade
Decisão. Fatoramos o numerador e o denominador da fração algébrica fx contida no lado esquerdo da desigualdade. No numerador temos x 2 - x \u003d x (x - 1).

Para fatorar o trinômio quadrado x 2 - bx ~ 6 contido no denominador da fração, encontramos suas raízes. Da equação x 2 - 5x - 6 \u003d 0, encontramos x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Portanto, (usamos a fórmula de fatoração trinômio quadrado: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Assim, transformamos a desigualdade dada na forma

Considere a expressão:

O numerador desta fração vira 0 nos pontos 0 e 1, e vira 0 nos pontos -1 e 6. Vamos marcar esses pontos na reta numérica (Fig. 13). A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em cinco intervalos, e em cada intervalo a expressão fx) mantém um sinal constante. Argumentando da mesma forma que no Exemplo 1, chegamos à conclusão de que os sinais da expressão fx) nos intervalos selecionados são os mostrados na Fig. 13. Estamos interessados ​​em saber onde a desigualdade f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 resposta: -1

Exemplo 4 Resolva a desigualdade

Decisão. Ao resolver inequações racionais, via de regra, eles preferem deixar apenas o número 0 do lado direito da inequação. Portanto, transformamos a inequação na forma

Mais distante:

Como mostra a experiência, se o lado direito da desigualdade contém apenas o número 0, é mais conveniente raciocinar quando tanto o numerador quanto o denominador do lado esquerdo têm um coeficiente líder positivo. E o que temos? denominador da fração nesse sentido em ordem (o coeficiente principal, ou seja, o coeficiente em x 2, é 6 - um número positivo), mas nem tudo está em ordem no numerador - o coeficiente sênior (o coeficiente em x) é - 4 (número negativo) Multiplicando ambos os lados da desigualdade por -1 e mudando o sinal da desigualdade para o oposto, obtemos uma desigualdade equivalente

Vamos expandir o numerador e denominador fração algébrica para multiplicadores. No numerador, tudo é simples:
Para fatorar o trinômio quadrado contido no denominador de uma fração

(usamos novamente a fórmula para fatorar um trinômio quadrado).
Assim, reduzimos a desigualdade dada à forma

Considere a expressão

O numerador desta fração se transforma em 0 no ponto e o denominador - nos pontos. Notamos esses pontos na reta numérica (Fig. 14), que é dividida pelos pontos indicados em quatro intervalos, e em cada intervalo a expressão f (x) mantém um sinal constante (esses sinais são indicados na Fig. 14). Estamos interessados ​​naqueles intervalos nos quais a desigualdade fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Em todos os exemplos considerados, transformamos a desigualdade dada em uma desigualdade equivalente da forma f (x) > 0 ou f (x)<0,где
Nesse caso, o número de fatores no numerador e no denominador de uma fração pode ser qualquer um. Em seguida, os pontos a, b, c, e foram marcados na reta numérica. e determinou os sinais da expressão f(x) nos intervalos selecionados. Observamos que bem à direita dos intervalos selecionados, a desigualdade f(x) > 0 é satisfeita, e então os sinais da expressão f(x) se alternam ao longo dos intervalos (veja a Fig. 16a). Essa alternância é convenientemente ilustrada com a ajuda de uma curva ondulada, que é desenhada da direita para a esquerda e de cima para baixo (Fig. 166). Nos intervalos em que essa curva (às vezes é chamada de curva de sinais) está localizada acima do eixo x, a desigualdade f (x) > 0 é satisfeita; onde esta curva está localizada abaixo do eixo x, a desigualdade f (x)< 0.

Exemplo 5 Resolva a desigualdade

Decisão. Nós temos

(ambas as partes da desigualdade anterior foram multiplicadas por 6).
Para usar o método de intervalo, marque os pontos na reta numérica (nestes pontos o numerador da fração contida no lado esquerdo da desigualdade se anula) e pontos (nestes pontos o denominador da fração indicada se anula). Normalmente, os pontos são marcados esquematicamente, levando em consideração a ordem em que seguem (qual está à direita, qual está à esquerda) e não prestando atenção especial à escala. Está claro que A situação é mais complicada com os números: a primeira estimativa mostra que ambos os números são ligeiramente maiores que 2,6, a partir do qual é impossível concluir qual dos números indicados é maior e qual é menor. Suponha (ao acaso) que Então
Descobriu-se a desigualdade correta, o que significa que nosso palpite foi confirmado: na verdade
Então,

Marcamos os 5 pontos indicados na ordem indicada na linha numérica (Fig. 17a). Organize os sinais da expressão
nos intervalos obtidos: à direita - um sinal + e, em seguida, os sinais se alternam (Fig. 176). Tracemos uma curva de sinais e selecionemos (sombreando) aqueles intervalos nos quais a desigualdade f (x) > 0 de nosso interesse é satisfeita (Fig. 17c). Finalmente, levamos em conta que estamos falando de uma desigualdade não estrita f (x) > 0, o que significa que também estamos interessados ​​naqueles pontos em que a expressão f (x) se anula. Estas são as raízes do numerador da fração f (x), ou seja, pontos nós os marcamos na Fig. 17 em círculos escuros (e, claro, incluir na resposta). Agora aqui está a foto. 17c fornece um modelo geométrico completo para soluções para a desigualdade dada.