Pe această lecție vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia metoda noua- metoda de selectie pătrat plinși învață cum să o aplici în rezolvarea diferitelor probleme.

Subiect:Factorizarea polinoamelor

Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selecție a pătratului complet. Combinație de metode

Amintiți-vă principalele metode de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:

Metoda de redare multiplicator comunîn afara parantezelor, adică un astfel de factor care este prezent în toți membrii polinomului. Luați în considerare un exemplu:

Amintiți-vă că un monom este un produs al puterilor și al numerelor. În exemplul nostru, ambii membri au câteva elemente comune, identice.

Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:

;

Amintiți-vă că înmulțind multiplicatorul redat cu paranteză, puteți verifica corectitudinea redării.

metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să scoateți un factor comun dintr-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în ​​fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun pentru întreaga expresie, iar expansiunea ar putea fi continuată. Luați în considerare un exemplu:

Grupați primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și, respectiv, al treilea cu al șaselea:

Să scoatem factorii comuni din grupuri:

Expresia are un factor comun. Hai să-l scoatem:

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Luați în considerare un exemplu:

;

Să scriem expresia în detaliu:

Evident, avem în față formula pătratului diferenței, deoarece există o sumă a pătratelor a două expresii și din ea se scade produsul lor dublu. Să trecem după formula:

Astăzi vom învăța un alt mod - metoda de selecție a pătratului complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Amintiți-le:

Formula pentru pătratul sumei (diferența);

Particularitatea acestor formule este că conțin pătrate a două expresii și produsul lor dublu. Luați în considerare un exemplu:

Să scriem expresia:

Deci prima expresie este , iar a doua .

Pentru a face o formulă pentru pătratul sumei sau al diferenței, produsul dublu al expresiilor nu este suficient. Trebuie adăugat și scăzut:

Să restrângem pătratul complet al sumei:

Să transformăm expresia rezultată:

Aplicăm formula diferenței de pătrate, amintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și sumele prin diferența lor:

Asa de, aceasta metoda constă, în primul rând, în faptul că este necesar să se identifice expresiile a și b care se află în pătrat, adică să se determine în ce expresii se află pătratele. acest exemplu. După aceea, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, apoi adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătratul lui. suma sau diferența și diferența de pătrate, dacă este posibil.

Să trecem la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1 - factorizați:

Găsiți expresii care sunt la pătrat:

Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:

Să adunăm și să scădem produsul dublu:

Să restrângem pătratul complet al sumei și să dăm altele similare:

Vom scrie după formula diferenței de pătrate:

Exemplul 2 - rezolvați ecuația:

;

Există un trinom în partea stângă a ecuației. Trebuie să-l factorizezi. Folosim formula pătratului diferenței:

Avem pătratul primei expresii și produsul dublu, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, să adunăm și să scădem:

Să prăbușim pătratul complet și să dăm termeni similari:

Să aplicăm formula diferenței de pătrate:

Deci avem ecuația

Știm că produsul este zero doar dacă cel puțin unul dintre factori zero. Pe baza acestui lucru, vom scrie ecuații:

Să rezolvăm prima ecuație:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Răspuns: sau

;

Acționăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.

Calculator online.
Selectarea pătratului binomului și factorizarea trinomului pătrat.

Acest program de matematică extrage pătratul binomului din trinomul pătrat, adică face o transformare de forma:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) și factorizează trinom pătrat : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Acestea. problemele se reduc la găsirea numerelor \(p, q \) și \(n, m \)

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare.

Acest program poate fi util elevilor de liceu scoli de invatamant generalîn pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau vă puteți antrena frati mai mici sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor în curs de rezolvare crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui trinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
În plus, numere fracționare poate fi introdus nu numai ca zecimală, ci și ca fracție obișnuită.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
întreaga parte separate de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

La introducerea unei expresii puteți folosi paranteze. În acest caz, la rezolvare, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplu solutie detaliata

Selectarea pătratului binomului.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorizarea.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Decide

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Aveți JavaScript dezactivat în browser.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Extragerea unui binom pătrat dintr-un trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+p) 2 +q, unde p și q sunt numere reale, atunci ei spun asta trinom pătrat, pătratul binomului este evidențiat.

Să extragem pătratul binomului din trinomul 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pentru a face acest lucru, reprezentăm 6x ca produs de 2 * 3 * x, apoi adunăm și scădem 3 2 . Primim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Acea. noi selectat pătratul binomului din trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorizarea unui trinom pătrat

Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+n)(x+m), unde n și m sunt numere reale, atunci se spune că operația este efectuată factorizări ale unui trinom pătrat.

Să folosim un exemplu pentru a arăta cum se face această transformare.

Să factorizăm trinomul pătrat 2x 2 +4x-6.

Să scoatem coeficientul a din paranteze, adică. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Să transformăm expresia dintre paranteze.
Pentru a face acest lucru, reprezentăm 2x ca diferență 3x-1x și -3 ca -1*3. Primim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Acea. noi factorizați trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Rețineți că factorizarea unui trinom pătrat este posibilă numai atunci când, ecuație pătratică corespunzător acestui trinom are rădăcini.
Acestea. în cazul nostru, factorizarea trinomului 2x 2 +4x-6 este posibilă dacă ecuația pătratică 2x 2 +4x-6 =0 are rădăcini. În procesul de factorizare, am constatat că ecuația 2x 2 +4x-6 =0 are două rădăcini 1 și -3, deoarece cu aceste valori, ecuația 2(x-1)(x+3)=0 se transformă într-o egalitate adevărată.

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și teste OGE online Jocuri, puzzle-uri Construirea graficelor de funcții Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționarul argoului pentru tineri Directorul școlilor rusești Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților ruse Lista sarcinilor

După cum am observat deja, în calcul integral nu există o formulă convenabilă pentru integrarea unei fracții. Și, prin urmare, există o tendință tristă: cu cât fracția este mai „fantezică”, cu atât este mai dificil să găsiți integrala din ea. În acest sens, trebuie să apelăm la diverse trucuri, pe care le voi discuta acum. Cititorii pregătiți pot utiliza imediat Cuprins:

• Metoda de subsumare sub semnul diferenţialului pentru fracţiile simple

Metoda de transformare artificială a numeratorului

Exemplul 1

Apropo, integrala considerată poate fi rezolvată și prin metoda schimbării variabilei, notând , dar soluția va fi mult mai lungă.

Exemplul 2

Găsi integrală nedefinită. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Trebuie menționat că aici metoda de înlocuire a variabilei nu va mai funcționa.

Atenție importantă! Exemplele nr. 1, 2 sunt tipice și sunt comune. În special, astfel de integrale apar adesea în cursul rezolvării altor integrale, în special, atunci când se integrează funcții iraționale (rădăcini).

Metoda de mai sus funcționează și în caz dacă puterea cea mai mare a numărătorului este mai mare decât puterea cea mai mare a numitorului.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Să începem cu numărătorul.

Algoritmul de selecție a numărătorului este cam așa:

1) La numărător trebuie să organizez , dar acolo . Ce să fac? Închez între paranteze și înmulțesc cu: .

2) Acum încerc să deschid aceste paranteze, ce se întâmplă? . Hmm ... deja mai bine, dar nu există nici un doi cu inițial în numărător. Ce să fac? Trebuie să înmulțiți cu:

3) Deschiderea din nou a consolelor: . Și iată primul succes! Necesar sa dovedit! Dar problema este că a apărut un termen în plus. Ce să fac? Pentru ca expresia să nu se schimbe, trebuie să adaug același lucru la construcția mea:
. Viața a devenit mai ușoară. Se poate organiza din nou la numărător?

4) Poți. Noi incercam: . Extindeți parantezele celui de-al doilea termen:
. Îmi pare rău, dar am avut de fapt la pasul anterior și nu . Ce să fac? Trebuie să înmulțim al doilea termen cu:

5) Din nou, pentru verificare, deschid parantezele în al doilea termen:
. Acum e normal: obținut din construcția finală a paragrafului 3! Dar din nou există un mic „dar”, a apărut un termen suplimentar, ceea ce înseamnă că trebuie să adaug la expresia mea:

Dacă totul este făcut corect, atunci când deschidem toate parantezele, ar trebui să obținem numărătorul original al integrandului. Verificăm:
Bun.

În acest fel:

Gata. În ultimul termen, am aplicat metoda aducerii funcției sub diferenţial.

Dacă găsim derivata răspunsului și aducem expresia la numitor comun, atunci obținem exact originalul integrand. Metoda considerată de extindere într-o sumă nu este altceva decât acțiune inversă pentru a aduce expresia la un numitor comun.

Algoritm pentru selectarea numărătorului în exemple similare Cel mai bine este să o faceți în formă de schiță. Cu unele abilități, va funcționa și mental. Îmi amintesc de un timp record când am făcut o selecție pentru puterea a 11-a, iar extinderea numărătorului a luat aproape două linii de Werd.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Metoda de subsumare sub semnul diferenţialului pentru fracţiile simple

Să trecem la următorul tip de fracții.
, , , (coeficienții și nu sunt egali cu zero).

De fapt, câteva cazuri cu arcsinus și arctangent au trecut deja în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită. Astfel de exemple se rezolvă prin aducerea funcției sub semnul diferențialei și apoi integrarea folosind tabelul. Iată altul exemple tipice cu logaritm lung și mare:

Exemplul 5

Exemplul 6

Aici este recomandabil să ridicați un tabel de integrale și să urmați ce formule și Cum are loc transformarea. Notă, cum și de ce pătratele sunt evidențiate în aceste exemple. În special, în Exemplul 6, trebuie mai întâi să reprezentăm numitorul ca , apoi aduceti sub semnul diferentialului. Și trebuie să faceți toate acestea pentru a utiliza formula tabelară standard .

Dar la ce să te uiți, încearcă să rezolvi singur exemplele nr. 7,8, mai ales că sunt destul de scurte:

Exemplul 7

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită:

Dacă puteți verifica și aceste exemple, atunci marele respect sunt abilitățile dvs. de diferențiere la maxim.

Metoda de selecție a pătratului complet

Integrale ale formei, (coeficienții și nu sunt egali cu zero) se rezolvă metoda de selecție a pătratului complet, care a apărut deja în lecție Transformări ale diagramei geometrice.

De fapt, astfel de integrale se reduc la una dintre cele patru integrale de tabel pe care tocmai le-am luat în considerare. Și acest lucru se realizează folosind formulele de înmulțire abreviate familiare:

Formulele sunt aplicate în această direcție, adică ideea metodei este de a organiza în mod artificial expresiile fie la numitor și apoi de a le converti, respectiv, în sau .

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

aceasta cel mai simplu exemplu, în care cu termenul - coeficient unitar(și nu vreun număr sau minus).

Ne uităm la numitor, aici totul se reduce clar la caz. Să începem conversia numitorului:

Evident, trebuie să adăugați 4. Și pentru ca expresia să nu se schimbe - aceleași patru și scădeți:

Acum puteți aplica formula:

După terminarea conversiei MEREU este de dorit să se îndeplinească cursa inversă: totul este bine, nu sunt erori.

Designul curat al exemplului în cauză ar trebui să arate cam așa:

Gata. Rezumând „liberul” functie complexa sub semnul diferenţial: , în principiu, ar putea fi neglijat

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită:

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită:

Ce să faci când există un minus în față? În acest caz, trebuie să scoateți minusul din paranteze și să aranjați termenii în ordinea de care avem nevoie:. Constant(„dublu” în acest caz) Nu atingeți!

Acum adăugăm unul între paranteze. Analizând expresia, ajungem la concluzia că avem nevoie de una în spatele parantezei - adăugați:

Iată formula, aplică:

MEREU efectuăm o verificare a draftului:
, care urma să fie verificat.

Designul curat al exemplului arată cam așa:

Ne complicăm sarcina

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită:

Aici, cu termenul, nu mai este un singur coeficient, ci un „cinci”.

(1) Dacă se găsește o constantă la, atunci o scoatem imediat din paranteze.

(2) În general, este întotdeauna mai bine să scoateți această constantă din integrală, astfel încât să nu stea în cale.

(3) Este evident că totul se va reduce la formula . Este necesar să înțelegeți termenul, și anume, să obțineți un „doi”

(4) Da, . Deci, adăugăm la expresie și scădem aceeași fracție.

(5) Acum selectați un pătrat complet. LA caz general de asemenea, trebuie să calculăm, dar aici avem o formulă logaritm lung , iar acțiunea nu are sens să se realizeze, de ce - va deveni clar puțin mai jos.

(6) De fapt, putem aplica formula , doar în loc de „x” avem, ceea ce nu neagă dreptatea integrală tabelară. Strict vorbind, lipsește un pas - înainte de integrare, funcția ar fi trebuit să fie adusă sub semnul diferențial: , dar, după cum am observat în repetate rânduri, acest lucru este adesea neglijat.

(7) În răspunsul de sub rădăcină, este de dorit să deschideți toate parantezele înapoi:

Dificil? Acesta nu este cel mai dificil în calculul integral. Deși, exemplele luate în considerare nu sunt atât de complicate, cât necesită o tehnică bună de calcul.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită:

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.

Există integrale cu rădăcini în numitor, care, cu ajutorul unei înlocuiri, sunt reduse la integrale de tipul considerat, puteți citi despre ele în articol Integrale complexe, dar este conceput pentru studenți foarte pregătiți.

Aducerea numărătorului sub semnul diferenţialului

Aceasta este partea finală a lecției, cu toate acestea, integralele de acest tip sunt destul de comune! Dacă oboseala s-a acumulat, poate că e mai bine să citești mâine? ;)

Integralele pe care le vom considera sunt asemănătoare integralelor din paragraful precedent, au forma: or (coeficienții și nu sunt egali cu zero).

Adică la numărătorul pe care îl avem funcție liniară. Cum se rezolvă astfel de integrale?

x nume-

1.2.3. Utilizarea identităților de multiplicare prescurtate

Exemplu. Factorul x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Factorizarea unui polinom folosind rădăcinile acestuia

Teorema. Fie că polinomul P x are rădăcină x 1 . Atunci acest polinom poate fi factorizat după cum urmează: P x x x 1 S x , unde S x este un polinom al cărui grad este cu unu mai mic decât

valorile alternativ în expresia pentru P x. Obținem că pentru x 2 tu-

expresia se va transforma la 0, adică P 2 0, ceea ce înseamnă că x 2 este rădăcina multi-

membru. Împărțiți polinomul P x la x 2 .

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2 x12

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x 2 x3 x4

1.3. Selecție completă de pătrat

Metoda de selecție a pătratului complet se bazează pe formulele: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Selectarea pătratului complet este o transformare atât de identică, în care trinom dat reprezentată ca a b 2 suma sau diferența pătratului unui binom și o expresie numerică sau literală.

Un trinom pătrat în raport cu variabil există o expresie a formei

ax 2 bx c , unde a ,b și c sunt numere date și a 0 .

Transformăm trinomul pătrat ax 2 bx c după cum urmează.

x2 :

coeficient

Apoi reprezentăm expresia b x ca 2b x (produs dublu

x):a x

La expresia dintre paranteze, adăugați și scădeți din ea numărul

care este pătratul unui număr

Ca rezultat, obținem:

Acum observând asta

obține

4a 2

Exemplu. Selectați un pătrat complet.

2 x 12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

2 x 12 7.

4 la 2,

1.4. Polinoame în mai multe variabile

Polinoamele din mai multe variabile, precum polinoamele dintr-o variabilă, pot fi adăugate, înmulțite și ridicate la o putere naturală.

important transformarea identităţii polinom în mai multe variabile este o factorizare. Tehnicile de factorizare precum bracketing factorul comun, gruparea, utilizarea identităților de multiplicare abreviate, evidențierea pătratului complet, introducerea variabilelor auxiliare sunt folosite aici.

1. Factorizați polinomul P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Factorizați P x ​​,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Aplicați metoda grupării

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4x3 y5xz.

3. Factorizați P x ​​,y x 4 4y 4 . Să selectăm un pătrat complet:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Proprietăți de grad cu orice exponent rațional

grad cu oricare indicator rațional are proprietăți:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1				ar 1
					br 1

unde a 0;b 0;r 1 ;r 2 sunt numere raționale arbitrare.

1. Înmulțiți 8

x3 12x7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Factorizați

a2x3

1.6. Exerciții pentru auto-împlinire

1. Efectuați acțiuni folosind formule de înmulțire prescurtate. unu) a 52 ;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

	3 y 3 ;

7) 8a 2 8a 2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Calculați folosind identitățile de multiplicare abreviate:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Demonstrați identitățile:

unu). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Factorizează următoarele polinoame:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24ax38bx12a19b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6x3 36x 2 72x 48;

14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;

15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Calculați în cel mai simplu mod:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Aflați câtul și restul împărțirii unui polinom P x prin polinomul Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .

7. Demonstrați că polinomul x 2 2x 2 nu are rădăcini reale.

8. Aflați rădăcinile unui polinom:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Factorizați:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Rezolvați ecuații selectând un pătrat complet:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Găsiți valorile expresiei:

		4 3 85
		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Calculați:

16 0,25

16 0,25

ARTICOLE SIMILARE Părere harta site-ului Despre site