Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné pre bezpečnosť, presadzovanie práva alebo inú verejnosť dôležité príležitosti.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Rovnice a sústavy rovníc prvého stupňa

Dve čísla alebo nejaké výrazy spojené znakom "=" rovnosť. Ak sú dané čísla alebo výrazy rovnaké pre akékoľvek hodnoty písmen, potom sa takáto rovnosť nazýva identity.

Napríklad, keď je uvedené, že pre ľubovoľné a platné:

a + 1 = 1 + a, tu je rovnosť identita.

Rovnica sa nazýva rovnosť obsahujúca neznáme čísla označené písmenami. Tieto písmená sú tzv neznámy. V rovnici môže byť viac neznámych.

Napríklad v rovnici 2 X + pri = 7X– 3 dve neznáme: X a pri.

Výraz na ľavej strane rovnice (2 X + pri) sa nazýva ľavá strana rovnice a výraz na pravej strane rovnice (7 X– 3) sa nazýva jeho pravá strana.

Hodnota neznámej, pri ktorej sa rovnica stáva identitou, sa nazýva rozhodnutie alebo koreň rovnice.

Napríklad, ak v rovnici 3 X+ 7=13 namiesto neznámeho X dosaďte číslo 2, dostaneme identitu. Preto hodnota X= 2 spĺňa danú rovnicu a číslo 2 je riešením alebo koreňom danej rovnice.

Dve rovnice sa nazývajú ekvivalent(alebo ekvivalent), ak všetky riešenia prvej rovnice sú riešeniami druhej a naopak, všetky riešenia druhej rovnice sú riešeniami prvej. Komu ekvivalentné rovnice zahŕňajú aj rovnice, ktoré nemajú riešenia.

Napríklad rovnice 2 X– 5 = 11 a 7 X+ 6 = 62 sú ekvivalentné, pretože majú rovnaký koreň X= 8; rovnice X + 2 = X+ 5 a 2 X + 7 = 2X sú ekvivalentné, pretože obe nemajú žiadne riešenia.

Vlastnosti ekvivalentných rovníc

1. Na obe strany rovnice môžete pridať ľubovoľný výraz, ktorý dáva zmysel všetkým povolené hodnoty neznámy; výsledná rovnica bude ekvivalentná danej rovnici.

Príklad. 2. rovnica X– 1 = 7 má koreň X= 4. Pridaním 5 na obe strany dostaneme rovnicu 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 alebo 2 X+ 4 = 12, ktorý má rovnaký koreň X = 4.

2. Ak majú obe časti rovnice rovnaké členy, potom ich možno vynechať.

Príklad. Rovnica 9 x + 5X = 18 + 5X má jeden koreň X= 2. Vynechanie v oboch častiach 5 X dostaneme rovnicu 9 X= 18, ktorý má rovnaký koreň X = 2.

3. Ktorýkoľvek člen rovnice možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej zmenou jej znamienka na opačné.

Príklad. Rovnica 7 X - 11 = 3 má jeden koreň X= 2. Ak prenesieme 11 na pravú stranu s opačné znamenie dostaneme rovnicu 7 X= 3 + 11, ktoré má rovnaké riešenie X = 2.

4. Obe časti rovnice je možné vynásobiť ľubovoľným výrazom (číslom), ktorý dáva zmysel a je nenulový pre všetky prípustné hodnoty neznámej, výsledná rovnica bude ekvivalentná tejto.

Príklad. 2. rovnica X - 15 = 10 – 3X má koreň X= 5. Vynásobením oboch strán číslom 3 dostaneme rovnicu 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) alebo 6 X – 45 =30 – 9X, ktorý má rovnaký koreň X = 5.

5. Znamienka všetkých členov rovnice sa môžu obrátiť (toto je ekvivalentné vynásobeniu oboch častí (-1)).

Príklad. Rovnica - 3 x + 7 = - 8 po vynásobení oboch častí číslom (-1) bude mať tvar 3 X - 7 = 8. Prvá a druhá rovnica majú jeden koreň X = 5.

6. Obidve strany rovnice možno vydeliť rovnakým číslom iným ako nula (to znamená, že sa nerovná nule).

Príklad..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> je ekvivalentný tomuto, pretože má rovnaké dva korene: a https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> po vynásobení oboch častí číslom 14 to bude vyzerať takto:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, kde ľubovoľné čísla, X- neznámy, tzv rovnica prvého stupňa s jednou neznámou(alebo lineárne rovnica s jednou neznámou).

Príklad. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Rovnica prvého stupňa s jednou neznámou má vždy jedno riešenie; lineárna rovnica nemusí mať riešenia () alebo ich mať nekonečná množina(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

rozhodnutie. Vynásobte všetky členy v rovnici najmenším spoločným násobkom menovateľov, ktorým je 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

V jednej časti (vľavo) zoskupujeme výrazy obsahujúce neznáme a v druhej časti (vpravo) - voľné výrazy:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Vydelením oboch častí (-22) dostaneme X = 7.

Sústavy dvoch rovníc prvého stupňa s dvoma neznámymi

Rovnica ako https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> sa nazýva rovnica prvého stupňa s dvoma neznámymi x a pri. Ak nájdu spoločné riešenia dvoch alebo viacerých rovníc, potom povedia, že tieto rovnice tvoria sústavu, väčšinou sa píšu jedna pod druhú a kombinujú sa napríklad so zloženou zátvorkou.

Každá dvojica neznámych, ktorá súčasne spĺňa obe rovnice systému, sa nazýva systémové riešenie. Vyriešte systém- to znamená nájsť všetky riešenia tohto systému alebo ukázať, že ich nemá. Dve sústavy rovníc sa nazývajú ekvivalent (ekvivalent), ak všetky riešenia jedného z nich sú riešeniami druhého a naopak, všetky riešenia druhého sú riešeniami prvého.

Napríklad riešením systému je dvojica čísel X= 4 a pri= 3. Tieto čísla sú tiež jediné riešenie systémov . Preto sú tieto sústavy rovníc ekvivalentné.

Spôsoby riešenia sústav rovníc

1. spôsob algebraické sčítanie. Ak sú koeficienty pre nejakú neznámu v oboch rovniciach rovnaké v absolútnej hodnote, potom sčítaním oboch rovníc (alebo odčítaním jednej od druhej) môžete získať rovnicu s jednou neznámou. Riešením tejto rovnice sa určí jedna neznáma a jej dosadením do jednej z rovníc sústavy sa nájde druhá neznáma.

Príklady: Riešte sústavy rovníc: 1) .

Tu sú koeficienty pre pri sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku. Získať rovnicu s jednotkou neznáma rovnica pridávame systémy po členoch:

Prijatá hodnota X= 4 dosadíme do nejakej rovnice sústavy, napríklad do prvej a nájdeme hodnotu pri: .

odpoveď: X = 4; pri = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Substitučná metóda. Z ľubovoľnej rovnice systému vyjadríme jednu z neznámych v podmienkach zvyšku a potom dosadíme hodnotu tejto neznámej do zvyšných rovníc. Zvážte túto metódu s konkrétnymi príkladmi:

1) Riešime sústavu rovníc. Vyjadrime napríklad jednu z neznámych z prvej rovnice X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Náhradník pri= 1 do výrazu pre X, dostaneme .

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. V tomto prípade je vhodné vyjadriť pri z druhej rovnice:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Nahradiť hodnotu X= 5 do výrazu pre pri, dostaneme https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Vyriešme sústavu rovníc https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Dosadením tejto hodnoty do druhej rovnice dostaneme rovnica s jednou neznámou pri: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Prepíšme systém takto: . Neznáme nahradíme nastavením , dostaneme lineárny systém ..gif" width="11 height=17" height="17"> do druhej rovnice dostaneme rovnicu s jednou neznámou:

Nahradením hodnoty v do výrazu pre t, dostaneme: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> nájdeme .

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, kde sú koeficienty pre neznáme, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, potom má systém jediná vec rozhodnutie.

B) Ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, systém má nekonečná množina riešenia.

Príklad..gif" width="47" height="48 src=">), takže systém má jedinečné riešenie.

naozaj, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Príklad..gif" width="91 height=48" height="48"> alebo po zmenšení , preto systém nemá žiadne riešenia.

Príklad..gif" width="116 height=48" height="48"> alebo po skrátení , takže systém má nekonečné množstvo riešení.

Rovnice obsahujúce modul

Pri riešení rovníc obsahujúcich modul sa používa pojem modul Reálne číslo. modul (absolútna hodnota ) Reálne číslo a samotné číslo sa volá, ak a opačné číslo (– a), ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Takže https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, keďže číslo 3 > 0; , keďže číslo je 5< 0, поэтому ; , ako (); , ako .

Vlastnosti modulu:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Vzhľadom na to, že výraz pod modulom môže nadobúdať dve hodnoty https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, potom daná rovnica redukuje na riešenie dvoch rovníc: a or a ..gif" width="52" height="20 src=">. Vykonajte kontrolu nahradením každej hodnoty X do stavu: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Príklad..gif" width="408" height="55">

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Príklad..gif" width="137" height="20"> a . Výsledné hodnoty odložte X na číselná os, rozdelenie na intervaly:

Ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, pretože v tomto intervale sú oba výrazy pod znakom modulu menej ako nula, a odstránením modulu musíme zmeniť znamienko výrazu na opak. Vyriešme výslednú rovnicu:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Hraničná hodnota môže byť zahrnutá v prvom aj druhom rozsahu, rovnako ako hodnota môže byť zahrnutá v druhom aj treťom rozsahu. V druhom intervale naša rovnica bude mať tvar: - tento výraz nedáva zmysel, t.j. na tomto intervale nemá rovnica riešení pod znamienkom modulu riešenia, prirovnáme ich k nule Nájdeme korene všetkých výrazov s

Ďalšie medzery https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, kde a, b, c sú ľubovoľné čísla ( a≠ 0) a X je premenná s názvom námestie. Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné vypočítať diskriminant D = b 2 – 4ac. Ak D> 0 teda kvadratická rovnica má dve riešenia (korene): a .

Ak D= 0, kvadratická rovnica má samozrejme dva identické riešenia(násobky koreňa).

Ak D< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ak jeden z koeficientov b alebo c nula, potom možno kvadratickú rovnicu vyriešiť bez výpočtu diskriminantu:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> X(sekera+ b)=0

2)sekera 2 + c = 0 sekera 2 = – c; ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Existujú závislosti medzi koeficientmi a koreňmi kvadratickej rovnice, známe ako vzorce alebo Vietov teorém:

Bisquare rovnice sú rovnice v tvare https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, potom z pôvodnej rovnice dostaneme kvadratickú rovnicu, z ktoré nájdeme pri, a potom X, podľa vzorca .

Príklad. vyriešiť rovnicu . Prinášame výrazy v oboch častiach rovnosti do spoločný menovateľ..gif" width="212" height="29 src=">. Výslednú kvadratickú rovnicu vyriešime: v tejto rovnici a= 1, b= –2,c= -15, potom sa diskriminant rovná: D = b 2 – 4ac= 64. Korene rovnice: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Urobíme náhradu. Potom sa rovnica zmení na je kvadratická rovnica, kde a= 1, b= – 4,c= 3, jeho diskriminant je: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Korene kvadratickej rovnice sú rovnaké: a .

Korene pôvodnej rovnice , , , ..gif" width="78" height="51">, kde PN(X) a Popoludnie(X) sú polynómy stupňov n a m resp. Zlomok je nula, ak je čitateľ nula a menovateľ nie, ale takáto polynomická rovnica sa získa najmä po zdĺhavých transformáciách, prechodoch z jednej rovnice do druhej. V procese riešenia je preto každá rovnica nahradená nejakou novou a nová môže mať nové korene. Úlohou je sledovať tieto zmeny v koreňoch, zabrániť strate koreňov a vedieť odmietnuť tie prebytočné správne rozhodnutie rovnice.

Je jasné že najlepšia cesta- vždy nahraďte jednu rovnicu ekvivalentnou, potom korene poslednej rovnice budú koreňmi pôvodnej. Avšak taký perfektná cestaťažko realizovateľné v praxi. Rovnica je spravidla nahradená jej dôsledkom, ktorý s ňou vôbec nemusí byť ekvivalentný, pričom všetky korene prvej rovnice sú koreňmi druhej, t. j. nedochádza k strate koreňov, ale k cudzím. sa môže objaviť (alebo nemusí objaviť). V prípade, že aspoň raz v procese transformácií bola rovnica nahradená nerovnakou, potrebujeme povinná kontrola získané korene.

Takže, ak bolo rozhodnutie vykonané bez analýzy ekvivalencie a zdrojov výskytu cudzie korene, kontrola je povinná časť riešenia. Bez overenia sa riešenie nebude považovať za úplné, aj keď sa neobjavia cudzie korene. Keď sa objavili a neboli vyradené, potom je toto rozhodnutie jednoducho nesprávne.

Tu sú niektoré vlastnosti polynómu:

Koreň polynómu zavolajte hodnotu X, pre ktorý sa polynóm rovná nule. Každý polynóm stupňa n má presne n korene. Ak je polynomická rovnica napísaná ako , potom , kde X 1, X 2,…, xn sú korene rovnice.

Každý polynóm má párny stupeň s reálnymi koeficientmi je aspoň jeden skutočný koreň, ale vo všeobecnosti vždy nepárne číslo skutočné korene. Polynóm párneho stupňa nemusí mať skutočné korene, a keď majú, ich počet je párny.

Polynóm sa dá za každých okolností rozložiť lineárne faktory a štvorcové trojčlenky s negatívny diskriminant. Ak poznáme jeho koreň X 1, potom PN(X) = (X - X 1) Pn- 1(X).

Ak PN(X) = 0 je rovnica párneho stupňa, potom okrem spôsobu jej faktorizácie môžete skúsiť zaviesť zmenu premennej, pomocou ktorej sa stupeň rovnice zníži.

Príklad. Vyriešte rovnicu:

Táto rovnica tretieho (nepárneho) stupňa znamená, že nie je možné zaviesť pomocnú premennú, ktorá zníži stupeň rovnice. Musí sa to vyriešiť faktorizáciou ľavej strany, pre ktorú najskôr otvoríme zátvorky a potom ju zapíšeme v štandardnom tvare.

Dostaneme: X 3 + 5X – 6 = 0.

Toto je redukovaná rovnica (koeficient at najvyšší stupeň rovný jednej), jeho korene teda hľadáme medzi faktormi voľného členu - 6. Ide o čísla ±1, ±2, ±3, ±6. Nahrádzanie x= 1 do rovnice, vidíme to x= 1 je jeho koreň, teda polynóm X 3 + 5X–6 = 0 delené ( X- 1) žiadne zvyšky. Urobme toto rozdelenie:

X 3 + 5X –6 = 0 X- 1

X 3 – X 2 X 2+x + 6

X 2 + 5X- 6

X 2- X

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 X- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 X- 6

Takže X 3 + 5X –6 = 0; (X- 1)(X 2+ x + 6) = 0

Prvá rovnica dáva koreň x= 1, ktorý je už vybraný, a v druhej rovnici D< 0, nemá žiadne skutočné riešenia. Vzhľadom k tomu, ODZ tejto rovnice , je možné nekontrolovať.

Príklad..gif" width="52" height="21 src=">. Ak vynásobíte prvý faktor tretím a druhý štvrtým, tieto produkty budú mať rovnaké časti, ktoré závisia od X: (X 2 + 4X – 5)(X 2 + 4X – = 0.

Nechať byť X 2 + 4X = r, potom rovnicu napíšeme v tvare ( r – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Táto kvadratická rovnica má riešenia: r 1 = 32, r 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: X ≠ – 9.

Ak túto rovnicu zredukujeme na spoločného menovateľa, v čitateli sa objaví polynóm štvrtého stupňa. Je teda dovolené zmeniť premennú, čím sa zníži stupeň rovnice. Preto nie je potrebné hneď redukovať túto rovnicu na spoločného menovateľa. Tu môžete vidieť, že vľavo je súčet štvorcov. Takže ho môžete pridať plné námestie sumy alebo rozdiely. V skutočnosti odpočítajte a pridajte dvojnásobok súčinu základov týchto štvorcov: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, potom r 2 + 18r– 40 = 0. Podľa Vietovej vety r 1 = 2; r 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> a v druhom D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Dostaneme kvadratickú rovnicu a(r 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Iracionálne rovnice

iracionálny nazývaná rovnica, v ktorej je premenná obsiahnutá pod znamienkom radikálu (odmocnina ) alebo pod znakom elevácie do zlomkový stupeň()..gif" width="120" height="32"> a majú rovnakú doménu definície neznámeho. Pri kvadratúre prvej a druhej rovnice dostaneme rovnakú rovnicu . Riešenia tejto rovnice sú riešeniami oboch iracionálnych rovníc.

I. Obyčajné diferenciálne rovnice

1.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej X, požadovanú funkciu r a jeho deriváty alebo diferenciály.

Symbolicky Diferenciálnej rovnice sa píše takto:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.

Riešením diferenciálnej rovnice sa nazýva taká funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie v tejto rovnici

Príklady.

1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého rádu

Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahrádzaním y" do rovnice dostaneme - identitu.

A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" + 6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.

Naozaj,.

Dosadením týchto výrazov do rovnice dostaneme: , - identitu.

A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

Integrácia diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia formy , ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.

Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.

Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.

Príklady

1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu

xdx + ydy = 0, ak r= 4 at X = 3.

rozhodnutie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme

Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu С v tvare .

je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky r = 4 at X = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x2 + y2 = 5 2 .

Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získané zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.

2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Vskutku, dosadením do rovníc dostaneme: , .

Preto má táto diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení, pretože pre rôzne hodnoty konštanty C určuje rovnosť rôzne riešenia rovnice.

Napríklad priamou substitúciou je možné overiť, že funkcie sú riešenia rovnice .

Problém, v ktorom je potrebné nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x, y) splnenie počiatočnej podmienky y(x0) = y0, sa nazýva Cauchyho problém.

Riešenie rovnice y" = f(x, y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x0) = y0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.

Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x, y) vzhľadom na to y(x0) = y0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x, y) ktorý prechádza daný bod M0 (x0,y 0).

II. Diferenciálne rovnice prvého rádu

2.1. Základné pojmy

Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.

Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.

Rovnica y" = f(x, y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.

Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.

Riešením tejto rovnice je funkcia .

Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne získame

t.j 3x = 3x

Preto je funkcia spoločné riešenie rovnice pre ľubovoľnú konštantu C.

Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice , dostaneme odkiaľ C=0.

Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie tak, že do tejto rovnice dosadíme výslednú hodnotu C=0 je súkromné ​​rozhodnutie.

2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály , kde f(x) a g(y) sú dané funkcie.

Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je prítomná iba na pravej strane. Hovoria: „v rovnici y"=f(x)g(y oddelenie premenných.

Typ rovnice sa nazýva separovaná premenná rovnica.

Po integrácii oboch častí rovnice na X, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) a F(x) sú niektoré primitívne deriváty funkcií resp f(x), Cľubovoľná konštanta.

Algoritmus riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Príklad 1

vyriešiť rovnicu y" = xy

rozhodnutie. Derivácia funkcie y" nahradiť s

oddeľujeme premenné

Poďme integrovať obe časti rovnosti:

Príklad 2

2yy" = 1- 3x 2, ak y0 = 3 pri x0 = 1

Toto je oddelená premenná rovnica. Znázornime to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru Odtiaľ

Integráciou oboch častí poslednej rovnosti nájdeme

Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, y0 = 3 Nájsť S 9=1-1+C, t.j. C = 9.

Preto požadovaný parciálny integrál bude alebo

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a má dotyčnicu so sklonom

rozhodnutie. Podľa stavu

Toto je separovateľná premenná rovnica. Rozdelením premenných dostaneme:

Integráciou oboch častí rovnice dostaneme:

Pomocou počiatočných podmienok, x=2 a y = -3 Nájsť C:

Preto má požadovaná rovnica tvar

2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru y" = f(x)y + g(x)

kde f(x) a g(x)- niektoré dané funkcie.

Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y

Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) nazývané heterogénne.

Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y daný vzorcom: kde S je ľubovoľná konštanta.

Najmä ak C \u003d 0, potom je riesenie y=0 Ak lineárne homogénna rovnica má formu y" = ky kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) daný vzorcom ,

tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.

Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,

kde k a b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou . Preto má všeobecné riešenie tvar .

Príklad. vyriešiť rovnicu y" + 2 y + 3 = 0

rozhodnutie. Rovnicu reprezentujeme vo forme y" = -2r -3 kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom .

Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.

2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou

Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, kde u a v- neznáme funkcie z X. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.

Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu

y" = f(x)y + g(x)

1. Zadajte náhradu y=uv.

2. Diferencujte túto rovnosť y"=u"v + uv"

3. Náhradník r a y" do tejto rovnice: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to z hranatých zátvoriek:

5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu

Toto je oddeliteľná rovnica:

Rozdeľte premenné a získajte:

Kde . .

6. Nahraďte prijatú hodnotu v do rovnice (z bodu 4):

a nájdite funkciu Toto je oddeliteľná rovnica:

7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: , t.j. .

Príklad 1

Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 ak y=1 pri x=0

rozhodnutie. Vyriešme to substitúciou y=uv,.y"=u"v + uv"

Nahrádzanie r a y" do tejto rovnice dostaneme

Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice vyberieme spoločný faktor u mimo zátvoriek

Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)

Dostali sme rovnicu s oddelenými premennými. Integrujeme obe časti tejto rovnice: Nájdite funkciu v:

Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice dostaneme:

Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujeme obe časti rovnice: Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) Poďme nájsť všeobecné riešenie: Nájdite konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y=1 pri x=0:

III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

3.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššie ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje dve ľubovoľné konštanty C1 a C2.

Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného pre niektoré hodnoty ľubovoľných konštánt C1 a C2.

3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné pomery.

Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi sa nazýva rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, kde p a q sú konštantné hodnoty.

Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi

1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.

2. Zostavte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" cez r2, y" cez r, r v 1: r2 + pr + q = 0

Prijaté sústavy rovníc široké uplatnenie v hospodárskom sektore matematického modelovania rôzne procesy. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

systém lineárne rovnice pomenovať dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy pravá časť ktorá sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny spoločný analytická metóda riešenia podobných systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. AT školský kurz Matematika podrobne popisuje také metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. triedy programu stredná škola celkom jednoduché a podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussa a Cramera sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . rozhodnutie tento príklad nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola prijatých hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečný cieľ matematické operácie je rovnica s jednou premennou.

Pre aplikácie túto metódu chce to prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. Ako výsledok aritmetická operácia jeden z koeficientov premennej sa musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na normu štvorcový trojčlen. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Je potrebné nájsť hodnotu diskriminantu podľa dobre známy vzorec: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. AT uvedený príklad a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda je stavať na súradnicová os grafy každej rovnice zahrnutej v systéme. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

AT nasledujúci príklad potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice sa používajú na skratka sústavy lineárnych rovníc. Tabuľka sa nazýva matica. zvláštny druh naplnené číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a ďalšie nulové prvky nazývané jednotné číslo.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 - inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zápisy pri riešení sústav s veľká kvantita premenné a rovnice.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

AT vyššia matematika Gaussova metóda sa študuje spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie systémové premenné s množstvom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. spôsobom algebraické transformácie a substitúcie je hodnota jednej premennej v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre žiakov ťažko pochopiteľná stredná škola, ale je jedným z najviac zaujímavé spôsoby rozvíjať vynaliezavosť detí zaradených do programu hĺbkové štúdium na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje v vykonávaní potrebného postupu algebraické akcie kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.

1. Substitučná metóda: z ľubovoľnej rovnice sústavy vyjadríme jednu neznámu cez druhú a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

rozhodnutie. Z prvej rovnice sústavy vyjadríme pri cez X a dosaďte do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém ekvivalentné originálu.

Po uvedení týchto podmienok bude mať systém podobu:

Z druhej rovnice zistíme: . Dosadenie tejto hodnoty do rovnice pri = 2 - 2X, dostaneme pri= 3. Riešením tejto sústavy je teda dvojica čísel .

2. Algebraická metóda sčítania: pridaním dvoch rovníc získate rovnicu s jednou premennou.

Úloha. Vyriešte rovnicu systému:

rozhodnutie. Vynásobením oboch strán druhej rovnice číslom 2 dostaneme systém ekvivalentné originálu. Sčítaním dvoch rovníc tohto systému sa dostaneme k systému

Po zredukovaní podobných výrazov bude mať tento systém podobu: Z druhej rovnice nájdeme . Nahradením tejto hodnoty do rovnice 3 X + 4pri= 5, dostaneme , kde . Preto je riešením tejto sústavy dvojica čísel .

3. Metóda zavádzania nových premenných: hľadáme v systéme nejaké opakované výrazy, ktoré budeme označovať novými premennými, čím zjednodušíme podobu systému.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

rozhodnutie. Poďme si zapísať tento systém inak:

Nechať byť x + y = u, hu = v. Potom dostaneme systém

Riešime to substitučnou metódou. Z prvej rovnice sústavy vyjadríme u cez v a dosaďte do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém tie.

Z druhej rovnice sústavy nájdeme v 1 = 2, v 2 = 3.

Nahradením týchto hodnôt do rovnice u = 5 - v, dostaneme u 1 = 3,
u 2 = 2. Potom máme dva systémy

Vyriešením prvej sústavy dostaneme dve dvojice čísel (1; 2), (2; 1). Druhý systém nemá riešenia.

Cvičenie pre samostatnú prácu

1. Riešiť sústavy rovníc substitučnou metódou.