Solusyon ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation:

3 x 2 x = 8 x + 3

Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. AT mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga expression na may x. Kung biglang lumitaw ang isang x sa equation sa isang lugar maliban sa indicator, halimbawa:

ito ang magiging equation halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin solusyon ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.

Sa totoo lang, kahit puro mga exponential equation ay hindi palaging malinaw na tinukoy. Ngunit may mga ibang mga klase mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating titingnan.

Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation.

Magsimula tayo sa isang bagay na napakasimple. Halimbawa:

Kahit na walang anumang teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang x value rolls. At ngayon tingnan natin ang solusyon ng nakakalito na exponential equation na ito:

Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga ilalim (triples). Ganap na itinapon. At, kung ano ang mangyaring, pindutin ang marka!

Sa katunayan, kung sa exponential equation sa kaliwa at sa kanan ay pareho mga numero sa anumang antas, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at pantay na mga exponent. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Maganda naman diba?)

Gayunpaman, tandaan natin ang balintuna: maaari mong alisin ang mga base lamang kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , o

Hindi mo maalis ang mga doble!

Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa kasamaan exponential expression sa mas simpleng mga equation.

"Narito ang mga oras na iyon!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng ganoong primitive sa control at exams!?"

Pilit pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan pupunta kapag nilulutas ang mga nakalilitong halimbawa. Kinakailangang isaisip ito, kapag ang parehong base number ay nasa kaliwa - sa kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Actually, ito ang classics ng mathematics. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binago namin ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre.

Isaalang-alang ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang dalhin ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.

Solusyon ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may kapangyarihan. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.

Sa mga aksyon na may mga antas, dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at talino sa paglikha. Kailangan namin parehong base number? Kaya't hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa isang tahasang o naka-encrypt na form.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8 x+1 = 0

Unang tingin sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para panghinaan ng loob. Oras na para tandaan iyon

Ang dalawa at walo ay magkakamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kung aalalahanin natin ang formula mula sa mga aksyon na may kapangyarihan:

(a n) m = a nm ,

sa pangkalahatan ito ay mahusay na gumagana:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Panimulang halimbawa nagsimulang magmukhang ganito:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na pagkilos ng matematika!), nakukuha namin:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:

Malutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo, ang naka-encrypt na deuce. Ang pamamaraan na ito (encryption karaniwang batayan sa ilalim ng iba't ibang mga numero) - isang napaka-tanyag na trick sa mga exponential equation! Oo, kahit sa logarithms. Dapat na makilala ng isa ang kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. I-multiply, kahit sa isang piraso ng papel, at iyon lang. Halimbawa, lahat ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. 243 ay lalabas kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit kabaligtaran ... anong numero hanggang saan nagtatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, oo ... Magsasanay ba tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga sagot (sa gulo, siyempre!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnang mabuti, makikita mo ang isang kakaibang katotohanan. Mas maraming sagot kaysa mga tanong! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6 , 4 3 , 8 2 ay 64 lahat.

Ipagpalagay natin na napagtanto mo ang impormasyon tungkol sa kakilala sa mga numero.) Hayaan mong ipaalala ko rin sa iyo na para sa paglutas ng mga exponential equation, inilalapat namin ang kabuuan stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mula sa lower-middle classes. Hindi ka naman dumiretso ng high school diba?

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello sa grade 7!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x+4 -11 9 x = 210

At muli, ang unang hitsura - sa bakuran! Ang mga base ng mga degree ay iba ... Tatlo at siyam. At gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito, ang pagnanais ay lubos na magagawa!) Dahil:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Ayon sa parehong mga patakaran para sa mga aksyon na may mga degree:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Iyan ay mahusay, maaari mong isulat:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Kaya, ano ang susunod!? Hindi maaaring itapon ang tatlo ... Dead end?

Hindi talaga. Pag-alala sa pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga takdang aralin sa matematika:

Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya!

Tingnan mo, nabuo ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito pwede gawin? Oo, ang kaliwang bahagi ay direktang humihingi ng mga panaklong! Karaniwang multiplier Ang 3 2x ay malinaw na tumutukoy dito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Naaalala namin na upang maalis ang mga base, kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay bumabagabag sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:

Op-pa! Naging maayos ang lahat!

Ito ang huling sagot.

Nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong mga batayan ay nakuha, ngunit ang kanilang pagpuksa ay hindi. Nangyayari ito sa mga exponential equation ng ibang uri. Kunin natin ang ganitong uri.

Pagbabago ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa base. Sa deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

At dito tayo mabibitin. Ang mga nakaraang trick ay hindi gagana, kahit paano mo ito iikot. Kakailanganin nating kumuha mula sa arsenal ng isa pang makapangyarihan at maraming nalalaman na paraan. Ang tawag dito variable na pagpapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso, 2 x), nagsusulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa, t). Ang gayong tila walang kabuluhang kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!

Kaya hayaan

Pagkatapos ay 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Pinapalitan namin sa aming equation ang lahat ng kapangyarihan ng x ng t:

Aba, madaling araw na?) Hindi mo pa ba nakalimutan ang mga quadratic equation? Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin:

Dito, ang pangunahing bagay ay hindi huminto, tulad ng nangyayari ... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Bumalik kami sa Xs, i.e. paggawa ng kapalit. Una para sa t 1:

Yan ay,

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2:

Um... Kaliwa 2 x, Kanan 1... Isang sagabal? Oo, hindi naman! Sapat na tandaan (mula sa mga aksyon na may mga antas, oo ...) na ang pagkakaisa ay anuman numero sa zero degree. Anuman. Anuman ang kailangan mo, ilalagay namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:

Ngayon na lang. May 2 ugat:

Ito ang sagot.

Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo, minsan nakakakuha ng ilang awkward na expression. Uri:

Mula sa pito, dalawa hanggang simpleng degree hindi gumagana. Hindi sila kamag-anak ... Paano ako narito? Maaaring may nalilito ... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng matipid at isulat ng mahigpit na kamay ang ganap na tamang sagot:

Maaaring walang ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa pagsusulit. Mayroong isang tiyak na numero na kinakailangan. Ngunit sa mga gawain na "C" - madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang pangunahing isa.

Mga Praktikal na Tip:

1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran degrees. Tingnan natin kung hindi nila magawa pareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may kapangyarihan. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding gawing degree!

2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa anyo kapag ang kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang antas. Ginagamit namin mga aksyon na may kapangyarihan at factorization. Ano ang mabibilang sa mga numero - binibilang namin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang payo, susubukan naming ilapat ang variable substitution. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa isang parisukat.

4. Para sa matagumpay na solusyon exponential equation, kailangan mong malaman ang mga antas ng ilang mga numero "sa pamamagitan ng paningin".

Gaya ng nakagawian, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang mag-solve ng kaunti.) Sa iyong sarili. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Lutasin ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

Maghanap ng produkto ng mga ugat:

2 3-x + 2 x = 9

Nangyari?

Kung gayon ang pinakamahirap na halimbawa(nagpasya, gayunpaman, sa isip ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo paghila sa tumaas na kahirapan. Ipapahiwatig ko na sa halimbawang ito, talino sa paglikha at ang pinaka pangkalahatang tuntunin lahat ng problema sa matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ang isang halimbawa ay mas simple, para sa pagpapahinga):

9 2 x - 4 3 x = 0

At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oo Oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. At kung ano ang dapat isaalang-alang sa kanila, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan ang talino sa paglikha ... At oo, ang ikapitong baitang ay makakatulong sa iyo (ito ay isang pahiwatig!).

Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):

isa; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.

Ang lahat ba ay matagumpay? ayos lang.

May problema? Walang problema! Sa Espesyal na Seksyon 555, lahat ng mga exponential equation na ito ay nalutas sa mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng exponential equation. Hindi lamang sa mga ito.)

Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito, nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan ...

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Sa youtube channel ng aming site site upang malaman ang lahat ng mga bagong aralin sa video.

Upang magsimula, tandaan natin mga pangunahing pormula degree at ang kanilang mga katangian.

Produkto ng isang numero a nangyayari sa sarili nito ng n beses, maaari nating isulat ang expression na ito bilang a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = isang nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Power o exponential equation- ito ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa kapangyarihan (o mga exponent), at ang base ay isang numero.

Mga halimbawa ng exponential equation:

AT halimbawang ito ang numero 6 ay ang base, ito ay palaging nasa ibaba, at ang variable x antas o sukat.

Magbigay tayo ng higit pang mga halimbawa ng mga exponential equation.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang mga exponential equation?

Kumuha tayo ng isang simpleng equation:

2 x = 2 3

Ang ganitong halimbawa ay maaaring malutas kahit sa isip. Makikita na x=3. Pagkatapos ng lahat, upang maging pantay ang kaliwa at kanang bahagi, kailangan mong ilagay ang numero 3 sa halip na x.
Ngayon tingnan natin kung paano dapat gawin ang desisyong ito:

2 x = 2 3
x = 3

Upang malutas ang equation na ito, inalis namin parehong batayan(iyon ay, deuces) at isinulat kung ano ang natitira, ito ay mga degree. Nakuha namin ang sagot na hinahanap namin.

Ngayon ay ibubuod natin ang ating solusyon.

Algorithm para sa paglutas ng exponential equation:
1. Kailangang suriin pareho kung ang mga base ng equation sa kanan at sa kaliwa. Kung ang mga batayan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.
2. Matapos ang mga base ay pareho, itumbas degree at lutasin ang nagresultang bagong equation.

Ngayon lutasin natin ang ilang mga halimbawa:

Magsimula tayo sa simple.

Ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng numero 2, na nangangahulugang maaari nating itapon ang base at itumbas ang kanilang mga antas.

x+2=4 Ang pinakasimpleng equation ay lumabas.
x=4 - 2
x=2
Sagot: x=2

AT sumusunod na halimbawa Makikita na magkaiba ang mga base - 3 at 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Upang magsimula, inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi, nakukuha namin:

Ngayon ay kailangan mong gawin ang parehong mga base. Alam natin na 9=3 2 . Gamitin natin ang power formula (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Nakukuha namin ang 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ngayon ay makikita mo na sa kaliwa at kanang bahagi ang mga base ay pareho at katumbas ng tatlo, na nangangahulugang maaari nating itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.

Nakuha ng 3x=2x+16 ang pinakasimpleng equation
3x-2x=16
x=16
Sagot: x=16.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Una sa lahat, tinitingnan natin ang mga base, ang mga base ay magkaiba dalawa at apat. At kailangan nating maging pareho. Binabago namin ang quadruple ayon sa formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

At gumagamit din kami ng isang formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Idagdag sa equation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Ngunit ang ibang mga numero 10 at 24 ay nakakasagabal sa atin. Ano ang gagawin sa kanila? Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na sa kaliwang bahagi ay inuulit namin ang 2 2x, narito ang sagot - maaari naming ilagay ang 2 2x sa mga bracket:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Kalkulahin natin ang expression sa mga bracket:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Hinahati namin ang buong equation sa pamamagitan ng 6:

Isipin 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 base ay pareho, itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.
2x \u003d 2 pala ang pinakasimpleng equation. Hinahati namin ito sa 2, nakukuha namin
x = 1
Sagot: x = 1.

Lutasin natin ang equation:

9 x - 12*3 x +27= 0

Ibahin natin:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Nakukuha namin ang equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Ang aming mga base ay pareho, katumbas ng tatlo. Sa halimbawang ito, malinaw na ang unang triple ay may degree na dalawang beses (2x) kaysa sa pangalawa (x lang). Sa kasong ito, maaari kang magpasya paraan ng pagpapalit. Numero na may pinakamababang degree palitan:

Pagkatapos ay 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Pinapalitan namin ang lahat ng degree ng x sa equation na may t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kumuha kami ng isang quadratic equation. Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Bumalik sa Variable x.

Kinukuha namin ang t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Yan ay,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Sagot: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sa site na maaari mong sa seksyon TULONG MAGPASIYA upang magtanong ng mga katanungan ng interes, tiyak na sasagutin ka namin.

Sumali sa isang grupo

Lecture: "Mga paraan para sa paglutas ng mga exponential equation."

1 . mga exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan ang a > 0 at a ≠ 1.

1) Para sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 exponential function, walang solusyon.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may iisang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan bilang b = aс, ax = bс ó x = c o x = logab.

exponential equation sa pamamagitan ng mga pagbabagong algebraic patungo sa karaniwang equation, na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagsusuri;

3) graphic na paraan;

4) ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) nagpapahiwatig - mga equation ng kapangyarihan;

7) exponential na may parameter.

2 . Paraan ng pagbabawas sa isang batayan.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, ang equation ay dapat subukan na bawasan sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x=81;

Imagine kanang bahagi equation sa anyong 81 = 34 at sumulat ng equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> at pumunta sa equation para sa mga exponents na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5 at 25 ay mga kapangyarihan ng 5. Gamitin natin ito at ibahin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli ang equation bilang 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x - 4 =0, x = 4. Sagot: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyong e.x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Bangko ng mga gawain No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsubok bilang 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) walang ugat
	1) 7;1 2) walang ugat 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Pagsubok #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) walang ugat 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Paraan ng pagtatasa.

Ang root theorem: kung ang function na f (x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f (x) = a ay may isang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga Equation: 1. 4x = 5 - x.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x + x = 5.

1. kung ang x \u003d 1, kung gayon ang 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, kung gayon ang 1 ay ang ugat ng equation.

Ang function na f(x) = 4x ay tumataas sa R ​​at g(x) = x ay tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R ​​bilang ang kabuuan ng pagtaas ng mga function, kaya ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Desisyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3-totoo, kaya ang x = -1 ay ang ugat ng equation.

2. patunayan na ito ay natatangi.

3. Ang function na f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x - bumababa sa R ​​=> h(x) = f(x) + g(x) - bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Kaya sa pamamagitan ng root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Bangko ng mga gawain Blg. 2. lutasin ang equation

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa seksyon 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R kumain ng equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Ipahiwatig ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin natin iyon

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, kaya 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation - t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Desisyon . Muli naming isinusulat ang equation sa form

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Task Bank #3. lutasin ang equation

b)

G)

Pagsubok #3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) walang ugat 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) walang ugat 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Pagsubok #4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) walang ugat

5. Paraan ng factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Desisyon. Ilabas natin ang 6x sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Desisyon. Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng factoring.

Pinipili namin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsubok #6 Pangkalahatang antas.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - mga equation ng kapangyarihan.

Ang mga exponential equation ay pinagsama ng tinatawag na exponential-power equation, i.e. equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, kailangan nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang exponential power equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Desisyon. x2 +2x-8 - may katuturan para sa anumang x, dahil isang polynomial, kaya ang equation ay katumbas ng set

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p mayroon ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tanging desisyon?

Desisyon. Ipakilala natin ang pagbabagong 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay kukuha ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Ang discriminant ng equation (2) ay D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isa positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang set ng mga sistema ay nakakatugon sa kondisyon ng problema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Desisyon. Hayaan ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} square trinomial f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Case 2. Ang equation (4) ay may kakaiba positibong desisyon, kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng anyo (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, sa a 0 equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Para sa< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag nilulutas ang equation (1) ito ay nabawasan sa quadratic equation, na ang diskriminasyon ay isang buong parisukat; kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay binawasan sa quadratic equation (4), na ang discriminant ay hindi buong parisukat, samakatuwid, kapag nilulutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Gawain 3. Lutasin ang equation

Desisyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos, bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang equation ay magkakaroon ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > - 13, a  11, a  5, kung gayon kung a - 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliograpiya.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. "Punong Guro" Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pag-aaral.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M." pampublikong edukasyon", 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987, pp. 9 - 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Selevko.

M. "Edukasyon ng mga tao", 1998

7. Ang mga mag-aaral sa Episheva ay natututo ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov upang maghanda ng mga aralin - mga workshop.

Matematika sa Paaralan Blg. 6, 1990, p. 37-40.

9. Smirnov modelo ng pagtuturo ng matematika.

Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Mathematics at School No. 1, 1993, p. 27 - 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Mathematics at School No. 2, 1994, pp. 63 - 64.

12. Khazankin Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral.

Matematika sa Paaralan Blg. 2, 1989, p. sampu.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. et al. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic para sa

15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga aplikante sa mga unibersidad.

Minsk at RF "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. at iba pa.Pag-aaral na lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. at iba pa. Pang-edukasyon - mga materyales ng pagsasanay para maghanda para sa EG E.

M. "Intellect - Center", 2003 at 2004

21 at iba pa. Mga variant ng CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - nakatuon sa pag-aaral sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa aralin. M. Kaalaman, 1975

Mga halimbawa:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Paano malutas ang mga exponential equation

Kapag nilulutas ang anumang exponential equation, sinisikap naming dalhin ito sa anyo \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig, iyon ay:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Halimbawa:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika, dalawang kinakailangan ang sumusunod para sa naturang paglipat:
- numero sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- kaliwa at kanan degree ay dapat na "dalisay", ibig sabihin, hindi dapat magkaroon ng anuman, multiplikasyon, dibisyon, atbp.

Halimbawa:

Upang dalhin ang equation sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\) at ginagamit.

Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Desisyon:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Alam namin na \(27 = 3^3\). Sa pag-iisip na ito, binabago namin ang equation.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sa pamamagitan ng pag-aari ng ugat na \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) nakukuha natin na \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dagdag pa, gamit ang degree property \((a^b)^c=a^(bc)\), nakukuha namin ang \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Alam din natin na \(a^b a^c=a^(b+c)\). Ang paglalapat nito sa kaliwang bahagi, makukuha natin ang: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Ngayon tandaan na: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ang formula na ito ay maaari ding gamitin sa reverse side: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Pagkatapos ay \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Ang paglalapat ng property \((a^b)^c=a^(bc)\) sa kanang bahagi, makukuha natin ang: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		At ngayon mayroon kaming mga base na pantay at walang mga nakakasagabal na coefficients, atbp. Para magawa natin ang paglipat.
		Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Desisyon: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Muli naming ginagamit ang degree property \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) sa magkasalungat na daan. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Ngayon tandaan na \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Gamit ang mga katangian ng degree, binabago namin ang: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Tinitingnan naming mabuti ang equation, at nakita namin na ang kapalit na \(t=2^x\) ay nagmumungkahi ng sarili dito. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Gayunpaman, nakita namin ang mga halaga \(t\), at kailangan namin ng \(x\). Bumalik kami sa X, ginagawa ang reverse substitution. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Binabago namin ang pangalawang equation gamit ang property negatibong antas… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...at lutasin hanggang sa sagot. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Sagot : \(-1; 1\). Ang tanong ay nananatili - kung paano maunawaan kung kailan ilalapat kung aling paraan? Ito ay may kasamang karanasan. Pansamantala, hindi mo pa kinita, gamitin mo pangkalahatang rekomendasyon para sa mga solusyon mapaghamong mga gawain"Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya." Iyon ay, hanapin kung paano mo mababago ang equation sa prinsipyo, at subukang gawin ito - paano kung lumabas ito? Ang pangunahing bagay ay gawin lamang ang mathematically justified transformations. mga exponential equation na walang solusyon Tingnan natin ang dalawa pang sitwasyon na kadalasang nakalilito sa mga estudyante: - positibong numero katumbas ng zero sa kapangyarihan, halimbawa, \(2^x=0\); - positibong numero sa katumbas ng kapangyarihan negatibong numero, halimbawa, \(2^x=-4\). Subukan nating lutasin ito sa pamamagitan ng malupit na puwersa. Kung ang x ay isang positibong numero, kung gayon habang lumalaki ang x, ang buong kapangyarihan \(2^x\) ay lalago lamang: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Nakaraan din. May mga negatibong x. Inaalala ang property na \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sinusuri namin: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Sa kabila ng katotohanan na ang bilang ay nagiging mas maliit sa bawat hakbang, hindi ito aabot sa zero. Kaya hindi rin kami nailigtas ng negatibong antas. Dumating tayo sa isang lohikal na konklusyon: Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay mananatiling isang positibong numero. Kaya, ang parehong mga equation sa itaas ay walang mga solusyon. exponential equation na may iba't ibang base Sa pagsasagawa, minsan may mga exponential equation na may iba't ibang batayan, hindi mababawasan sa isa't isa, at kasabay ng ang parehong mga tagapagpahiwatig degree. Ganito ang hitsura nila: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kung saan ang \(a\) at \(b\) ay mga positibong numero. Halimbawa: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Ang ganitong mga equation ay madaling malutas sa pamamagitan ng paghahati sa alinman sa mga bahagi ng equation (karaniwang paghahati sa kanang bahagi, iyon ay, sa pamamagitan ng \ (b ^ (f (x))) \). Maaari mong hatiin sa ganitong paraan, dahil ang isang positibo ang numero ay positibo sa anumang antas (iyon ay, hindi namin hinahati sa zero.) Nakukuha namin ang: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Desisyon: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Dito hindi natin maaaring gawing tatlo ang lima, o kabaliktaran (ayon sa kahit na, nang walang gamit). Kaya hindi tayo maaaring dumating sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Kasabay nito, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho. Hatiin natin ang equation sa kanang bahagi, iyon ay, sa pamamagitan ng \(3^(x+7)\) (magagawa natin ito, dahil alam natin na ang triple ay hindi magiging zero sa anumang antas). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Ngayon tandaan ang property \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) at gamitin ito mula sa kaliwa sa kabilang direksyon. Sa kanan, binabawasan lang namin ang fraction. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Parang hindi na gumanda. Ngunit tandaan ang isa pang katangian ng antas: \(a^0=1\), sa madaling salita: "anumang numero sa zero power ay katumbas ng \(1\)". Ang kabaligtaran ay totoo rin: "ang isang yunit ay maaaring katawanin bilang anumang numero na itinaas sa kapangyarihan ng zero." Ginagamit namin ito sa pamamagitan ng paggawa ng base sa kanan na pareho sa isa sa kaliwa. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Tinatanggal namin ang mga pundasyon. Sinusulat namin ang sagot. Sagot : \(-7\). Minsan ang "pagkakapareho" ng mga exponent ay hindi halata, ngunit ang mahusay na paggamit ng mga katangian ng antas ay nalulutas ang isyung ito. Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Desisyon: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ang equation ay mukhang napakalungkot ... Hindi lamang iyon, ang mga base ay hindi maaaring bawasan sa parehong numero(pito ay hindi magiging katumbas ng \(\frac(1)(3)\)), gayundin ang mga tagapagpahiwatig ay iba ... Gayunpaman, ilagay natin ang dalawa sa kaliwang tagapagpahiwatig ng antas. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Isinasaisip ang property \((a^b)^c=a^(b c)\) , ibahin ang anyo sa kaliwa: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ngayon, naaalala ang negatibong katangian ng kapangyarihan \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), binago namin sa kanan: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluya! Pare-pareho ang scores! Kumilos ayon sa pamamaraan na pamilyar sa amin, nagpasya kami bago ang sagot. Sagot : \(2\).