Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm, graph, domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, pangunahing mga formula, derivative, integral, pagpapalawak sa serye ng kapangyarihan at kumakatawan sa function na ln x sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero.

Kahulugan

natural na logarithm ay ang function na y = ln x, kabaligtaran sa exponent, x \u003d e y , at alin ang logarithm sa base ng numerong e: ln x = log e x.

Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x)′ = 1/ x.

Batay mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graph ng function na y = ln x.

Graph ng natural na logarithm (mga function y = ln x) ay nakuha mula sa exponent plot salamin na salamin kamag-anak sa tuwid na linya y = x .

Ang natural na logarithm ay tinukoy sa mga positibong halaga variable x . Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Bilang x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( - ∞ ).

Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anuman function ng kapangyarihan Ang x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.

Mga katangian ng natural na logarithm

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

ln x na mga halaga

log 1 = 0

Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms

Mga formula na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Ang anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithm gamit ang base change formula:

Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyong "Logarithm".

Baliktad na pag-andar

Ang kapalit ng natural logarithm ay ang exponent.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon .

Derivative ln x

Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulo x:
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Ang integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:
.
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable z :
.
Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.

Samakatuwid, ang natural na logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b * a c = a b + c). Ito batas sa matematika ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos saanman kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.

Kahulugan sa matematika

Ang logarithm ay isang pagpapahayag ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng alinmang di-negatibong numero(i.e. anumang positibo) "b" sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan ng "c" kung saan ang batayang "a" ay dapat na itaas upang sa wakas ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, makuha namin ang numero 3! At tama, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng numero 8 sa sagot.

Mga uri ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlo ibang mga klase logarithmic expression:

1. Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
2. Decimal a, kung saan ang base ay 10.
3. Ang logarithm ng anumang numero b sa base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay nagpasya sa karaniwang paraan, na kinabibilangan ng pagpapasimple, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit logarithmic theorems. Para sa pagkuha mga tamang halaga logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon sa kanilang mga desisyon.

Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga tuntunin-limitasyon na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at totoo. Halimbawa, hindi mo maaaring hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang ugat kahit degree mula sa mga negatibong numero. Ang mga logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano gumana kahit na may mahaba at malawak na logarithmic expression:

• ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
• kung a > 0, pagkatapos ay a b > 0, lumalabas na ang "c" ay dapat na mas malaki sa zero.

Paano malutas ang mga logarithms?

Halimbawa, ibinigay ang gawain upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x \u003d 100. Napakadali, kailangan mong pumili ng gayong kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero ng sampu kung saan nakakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 \u003d 100.

Ngayon isipin natin ibinigay na pagpapahayag sa anyong logarithmic. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nag-solve ng logarithms, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng antas kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.

Para sa isang walang error na pagtukoy ng halaga hindi kilalang degree kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa multiplication table. Gayunpaman, para sa malalaking halaga kailangan mo ng talahanayan ng mga degree. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikado mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection sa mga cell, ang mga halaga ng mga numero ay tinutukoy, na kung saan ay ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinaka-tunay na humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log 3 81 = 4). Para sa negatibong kapangyarihan ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 \u003d 1/32 sumulat kami sa anyo ng isang logarithm, nakakakuha kami ng log 2 (1/32) \u003d -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.

Ang isang expression ng sumusunod na form ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng tanda ng logarithm. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa numero ng tatlo.

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at inequalities ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm ng 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang partikular mga numerong halaga, habang sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinukoy bilang ang lugar pinahihintulutang halaga, at ang mga discontinuity point ng function na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay indibidwal na mga numero tulad ng sa sagot ng equation, at a tuloy-tuloy na serye o isang hanay ng mga numero.

Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm, maaaring hindi alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa mga logarithmic equation o hindi pagkakapantay-pantay, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat pag-aari nang mas detalyado.

1. Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
2. Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bukod dito, kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaan ang log a s 1 = f 1 at log a s 2 = f 2 , pagkatapos ay a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (degree properties ), at higit pa sa kahulugan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na dapat patunayan.
3. Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Nakukuha ng theorem sa anyo ng isang formula susunod na view: log a q b n = n/q log a b.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaang mag-log a b \u003d t, ito ay lumabas na t \u003d b. Kung itataas mo ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;

ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n , kaya mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa obligadong bahagi mga pagsusulit sa matematika. Para sa pagpasok sa unibersidad o pagpasa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga ganitong problema.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi kilalang halaga ng logarithm, gayunpaman, para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay sa matematika o maaaring ilapat ang logarithmic equation ilang mga tuntunin. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa pangkalahatang pananaw. Pasimplehin ang haba logarithmic expression Magagawa mo, kung gagamitin mo nang tama ang kanilang mga katangian. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.

Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, kinakailangan upang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo sa harap natin: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon natural logarithms kailangang mag-apply logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga ari-arian. Tingnan natin ang solusyon na may mga halimbawa. mga problema sa logarithmic iba't ibang uri.

Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing theorems sa logarithms.

1. Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan upang mabulok pinakamahalaga mga numero b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, gamit ang ikaapat na pag-aari ng antas ng logarithm, nagawa naming malutas sa unang tingin ang isang kumplikado at hindi malulutas na expression. Kinakailangan lamang na i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga halaga ng exponent mula sa tanda ng logarithm.

Mga gawain mula sa pagsusulit

Ang logarithms ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa pagsusulit ( Pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa high school). Karaniwan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadali bahagi ng pagsubok pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nagpapahiwatig ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at solusyon sa problema ay kinuha mula sa opisyal GAMITIN ang mga opsyon. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.

Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2 , sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4 , samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.

• Ang lahat ng logarithms ay pinakamahusay na bawasan sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
• Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag kinuha ang exponent ng exponent ng expression, na nasa ilalim ng sign ng logarithm at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.

Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, in mga inilapat na gawain, gayundin sa mga gawaing nauugnay sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ang logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.

* * *

*Logarithm ng degree ay katumbas ng produkto exponent sa logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

kakanyahan ibinigay na ari-arian ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaliktaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay kung ano ang kailangan magandang pagsasanay, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pagbabagong-anyo ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, pagkatapos ay kapag naglutas mga simpleng gawain madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

So, we have powers of two. Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong magtaas ng dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm:

Ang logarithm sa base a ng argumentong x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x .

Notasyon: log a x \u003d b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, ang b ay talagang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Maaari ring mag-log 2 64 = 6 dahil 2 6 = 64 .

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang ibinigay na base ay tinatawag na logarithm. Kaya't magdagdag tayo ng bagong hilera sa ating talahanayan:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay itinuturing na madali. Halimbawa, subukang hanapin ang log 2 5 . Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем mas maraming degree dalawa, mas malaki ang bilang.

Ang mga nasabing numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat nang walang katiyakan, at hindi na mauulit. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito ng ganito: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (base at argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Para maiwasan kapus-palad na hindi pagkakaunawaan tingnan mo lang ang picture:

Bago sa amin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: ang logarithm ay ang kapangyarihan, kung saan kailangan mong itaas ang base upang makuha ang argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - sa larawan ito ay naka-highlight sa pula. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko ang napakagandang tuntuning ito sa aking mga mag-aaral sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan.

Nalaman namin ang kahulugan - nananatili itong matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

1. Ang argument at base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng antas makatwirang tagapagpahiwatig, kung saan ang kahulugan ng logarithm ay nabawasan.
2. Ang base ay dapat na naiiba sa pagkakaisa, dahil ang isang yunit sa anumang kapangyarihan ay isang yunit pa rin. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganoong degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag wastong saklaw(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Tandaan na walang mga paghihigpit sa numerong b (ang halaga ng logarithm) ay hindi ipinataw. Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 \u003d -1, dahil 0.5 = 2 −1 .

Gayunpaman, sa ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin mga numeric na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang ODZ ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay kinuha na sa account ng mga compiler ng mga problema. Ngunit kapag sila ay pumunta logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang mga kinakailangan ng DHS ay magiging mandatoryo. Sa katunayan, sa batayan at argumento ay maaaring mayroong napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.

Ngayon isaalang-alang pangkalahatang pamamaraan mga kalkulasyon ng logarithm. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

1. Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamaliit na posibleng base na mas malaki sa isa. Kasama ang paraan, ito ay mas mahusay na upang mapupuksa ang decimal fractions;
2. Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
3. Ang resultang numero b ang magiging sagot.

Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napaka-kaugnay: binabawasan nito ang posibilidad ng error at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Kapareho ng mga decimal: kung agad mong isasalin ang mga ito sa mga ordinaryong, magkakaroon ng maraming beses na mas kaunting mga error.

Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito sa mga partikular na halimbawa:

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Gawin at lutasin natin ang equation:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Nakatanggap ng sagot: 2.

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm:

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Gawin at lutasin natin ang equation:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nakatanggap ng sagot: 3.

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Gawin at lutasin natin ang equation:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nakatanggap ng tugon: 0.

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi kinakatawan bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na ang logarithm ay hindi isinasaalang-alang;
3. Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.

Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano makasigurado na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple - palawakin lamang ito sa pangunahing mga kadahilanan. Kung mayroong hindi bababa sa dalawang natatanging mga kadahilanan sa pagpapalawak, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.

Isang gawain. Alamin kung ang eksaktong kapangyarihan ng numero ay: 8; 48; 81; 35; labing apat .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ang eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ay hindi eksaktong kapangyarihan dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 5 - muli hindi isang eksaktong antas;
14 \u003d 7 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Napansin din namin na kami mga pangunahing numero ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang espesyal na pangalan at pagtatalaga.

Ang decimal logarithm ng x argument ay ang base 10 logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x .

Halimbawa, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.

Mula ngayon, kapag may lumabas na pariralang tulad ng “Find lg 0.01” sa textbook, alamin na hindi ito isang typo. ito decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka sanay sa gayong pagtatalaga, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x

Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo din para sa mga decimal.

natural na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling notasyon. Sa isang kahulugan, ito ay mas mahalaga kaysa decimal. Ito ay tungkol tungkol sa natural logarithm.

Ang natural na logarithm ng x ay ang base e logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x .

Marami ang magtatanong: ano pa ba ang numero e? ito hindi makatwiran na numero, kanyang eksaktong halaga imposibleng mahanap at maitala. Narito lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459...

Hindi natin susuriin kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x

Kaya ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anuman makatwirang numero hindi makatwiran. Maliban, siyempre, pagkakaisa: ln 1 = 0.

Para sa mga natural na logarithms, lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.

hango sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a tinukoy bilang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation ax=b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa ng kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, maaari kang gumanap mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit sa view ng katotohanan na ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms.

Kumuha tayo ng dalawang logarithms ang parehong mga batayan: log x at mag-log a y. Pagkatapos ay alisin posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa quotient logarithm theorems isa pang pag-aari ng logarithm ang maaaring makuha. Kilalang-kilala ang log na iyon a 1= 0, samakatuwid,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Kaya mayroong isang pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang magkatumbas na numero sa parehong batayan ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa tanda. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.