Punkt und Linie sind grundlegend geometrische Formen auf der Oberfläche.

Der antike griechische Wissenschaftler Euklid sagte: „Ein Punkt“ ist das, was keine Teile hat.“ Das Wort „Punkt“ in der Übersetzung von Latein bedeutet das Ergebnis einer sofortigen Berührung, eines Stiches. Der Punkt ist die Grundlage für die Konstruktion jeder geometrischen Figur.

Eine Gerade oder einfach Gerade ist eine Linie, entlang derer der Abstand zwischen zwei Punkten am kürzesten ist. Eine gerade Linie ist unendlich und es ist unmöglich, die gesamte Linie darzustellen und zu messen.

Die Punkte werden großgeschrieben. mit lateinischen Buchstaben A, B, C, D, E usw. und Geraden mit den gleichen Buchstaben, aber in Kleinbuchstaben a, b, c, d, e usw. Eine Gerade kann auch durch zwei Buchstaben bezeichnet werden, die auf liegenden Punkten entsprechen Es. Beispielsweise kann die Linie a mit AB bezeichnet werden.

Wir können sagen, dass die Punkte AB auf der Geraden a liegen oder zur Geraden a gehören. Und wir können sagen, dass die Gerade a durch die Punkte A und B verläuft.

Die einfachsten geometrischen Figuren auf einer Ebene sind ein Segment, ein Strahl, eine gestrichelte Linie.

Ein Segment ist ein Teil einer Linie, der aus allen Punkten dieser Linie besteht und durch zwei ausgewählte Punkte begrenzt wird. Diese Punkte sind die Enden des Segments. Ein Segment wird durch die Angabe seiner Enden gekennzeichnet.

Ein Strahl oder eine Halblinie ist ein Teil einer Linie, der aus allen Punkten dieser Linie besteht, die auf einer Seite ihres gegebenen Punktes liegen. Dieser Punkt wird als Startpunkt der Halblinie oder Anfang des Strahls bezeichnet. Ein Strahl hat einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt.

Halblinien oder Strahlen werden durch zwei lateinische Kleinbuchstaben bezeichnet: den Anfangsbuchstaben und jeden anderen Buchstaben, der einem Punkt entspricht, der zur Halblinie gehört. Dabei Startpunkt steht an erster Stelle.

Es stellt sich heraus, dass die Linie unendlich ist: Sie hat weder Anfang noch Ende; Ein Strahl hat nur einen Anfang, aber kein Ende, während ein Segment einen Anfang und ein Ende hat. Daher können wir nur ein Segment messen.

Mehrere Segmente, die nacheinander so miteinander verbunden sind, dass die (benachbarten) Segmente mit einem gemeinsamen Punkt nicht auf derselben Geraden liegen, stellen eine unterbrochene Linie dar.

Die Polylinie kann geschlossen oder offen sein. Wenn das Ende des letzten Segments mit dem Anfang des ersten zusammenfällt, haben wir eine geschlossene gestrichelte Linie, andernfalls eine offene.

Bei vollständiger oder teilweiser Kopie des Materials ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Der Kurs verwendet geometrische Sprache , bestehend aus Notationen und Symbolen, die im Mathematikunterricht übernommen wurden (insbesondere im neuen Geometriekurs in der Oberstufe).

Die ganze Vielfalt an Bezeichnungen und Symbolen sowie die Verbindungen zwischen ihnen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

Gruppe I – Bezeichnungen geometrischer Figuren und Beziehungen zwischen ihnen;

Bezeichnungen der Gruppe II logische Operationen, die die syntaktische Grundlage der geometrischen Sprache bilden.

Das Folgende ist volle Liste mathematische Symbole benutzt in dieser Kurs. Besondere Aufmerksamkeit bezeichnet Symbole, die zur Bezeichnung von Projektionen geometrischer Formen verwendet werden.

Gruppe I

SYMBOLE BEZEICHNEN GEOMETRISCHE FIGUREN UND BEZIEHUNGEN ZWISCHEN IHNEN

A. Bezeichnung geometrischer Formen

1. Die geometrische Figur wird mit F bezeichnet.

2. Punkte werden angezeigt Großbuchstaben Lateinisches Alphabet oder arabische Ziffern:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linien, die in Bezug auf die Projektionsebenen willkürlich angeordnet sind, werden angezeigt Kleinbuchstaben Lateinisches Alphabet:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Niveaulinien werden angezeigt: h - horizontal; f- frontal.

Für Geraden wird auch folgende Schreibweise verwendet:

(AB) – eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft;

[AB) – ein Strahl mit dem Anfang am Punkt A;

[AB] – ein gerades Liniensegment, das durch die Punkte A und B begrenzt wird.

4. Flächen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet griechisches Alphabet:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Um die Art und Weise hervorzuheben, wie die Oberfläche definiert ist, sollten Sie angeben geometrische Elemente, durch die es definiert ist, zum Beispiel:

α(a || b) - Ebene α wird durch parallele Linien a und b bestimmt;

β(d 1 d 2 gα) – die Oberfläche β wird durch die Führungen d 1 und d 2 , die Erzeugende g und die Parallelitätsebene α bestimmt.

5. Winkel sind angegeben:

∠ABC – Winkel mit Scheitelpunkt am Punkt B, sowie ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Winkel: Wert ( Gradmaß) wird durch das Schild angezeigt, das über der Ecke angebracht ist:

Der Wert des Winkels ABC;

Der Wert des Winkels φ.

Ein rechter Winkel wird durch ein Quadrat mit einem Punkt darin markiert

7. Abstände zwischen geometrischen Figuren werden durch zwei vertikale Segmente angezeigt - ||.

Zum Beispiel:

|AB| - Abstand zwischen den Punkten A und B (Länge des Segments AB);

|Aa| - Abstand vom Punkt A zur Linie a;

|Aα| - Abstände vom Punkt A zur Oberfläche α;

|ab| - Abstand zwischen den Linien a und b;

|αβ| Abstand zwischen den Flächen α und β.

8. Für Projektionsebenen werden folgende Bezeichnungen akzeptiert: π 1 und π 2, wobei π 1 die horizontale Projektionsebene ist;

π 2 -fryuntale Projektionsebene.

Beim Ersetzen von Projektionsebenen oder beim Einführen neuer Ebenen bezeichnen letztere π 3, π 4 usw.

9. Projektionsachsen werden bezeichnet: x, y, z, wobei x die x-Achse ist; y ist die y-Achse; z - Achse anwenden.

Die konstante Linie des Monge-Diagramms wird mit k bezeichnet.

10. Projektionen von Punkten, Linien, Flächen und beliebigen geometrischen Figuren werden durch dieselben Buchstaben (oder Zahlen) wie das Original gekennzeichnet, mit dem Zusatz eines hochgestellten Zeichens, das der Projektionsebene entspricht, auf der sie erhalten wurden:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontale Projektionen Punkte; A", B", C", D", ... , L", M", N", ... Frontalprojektionen von Punkten; a ", b" , c" , d" , ... , l " , m" , n" , - horizontale Projektionen von Linien; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m" , n" , ... Frontalprojektionen von Linien; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... horizontale Projektionen von Flächen; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... Frontalprojektionen von Oberflächen.

11. Spuren von Ebenen (Oberflächen) werden mit den gleichen Buchstaben wie die horizontalen oder frontalen Linien gekennzeichnet, mit dem Zusatz eines Indexes 0α, wodurch betont wird, dass diese Linien in der Projektionsebene liegen und zur Ebene (Oberfläche) α gehören.

Also: h 0α - horizontale Spur der Ebene (Oberfläche) α;

f 0α - Frontalspur der Ebene (Oberfläche) α.

12. Spuren von Geraden (Linien) sind angedeutet Großbuchstaben, mit dem die Wörter beginnen, die den Namen definieren (in Lateinische Transkription) der Projektionsebene, die die Linie schneidet, wobei ein Index die Zugehörigkeit zur Linie angibt.

Zum Beispiel: H a - horizontale Spur einer geraden Linie (Linie) a;

F a - Frontalspur einer geraden Linie (Linie) a.

13. Die Folge von Punkten, Linien (einer beliebigen Figur) wird mit den Indizes 1,2,3,..., n gekennzeichnet:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n usw.

Die Hilfsprojektion des Punktes, die als Ergebnis der Transformation zum Erhalten des tatsächlichen Wertes der geometrischen Figur erhalten wird, wird mit demselben Buchstaben mit dem Index 0 bezeichnet:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Axonometrische Projektionen

14. Axonometrische Projektionen von Punkten, Linien, Flächen werden mit den gleichen Buchstaben wie die Natur bezeichnet, ergänzt durch die hochgestellte 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundärprojektionen werden durch das Hinzufügen einer hochgestellten 1 gekennzeichnet:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Um das Lesen der Zeichnungen im Lehrbuch zu erleichtern, wurden bei der Gestaltung des Anschauungsmaterials mehrere Farben verwendet, von denen jede eine bestimmte hat Bedeutung: Schwarze Linien (Punkte) zeigen die Anfangsdaten an; grüne Farbe Wird für Hilfsleitungen verwendet grafische Konstruktionen; Rote Linien (Punkte) zeigen die Ergebnisse von Konstruktionen oder diejenigen geometrischen Elemente, denen besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden sollte.

B. Symbole, die Beziehungen zwischen geometrischen Figuren bezeichnen

NEIN.	Bezeichnung	Inhalt	Beispiel für symbolische Notation
1	≡	Passen	(AB) ≡ (CD) – eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft, fällt mit der Linie zusammen, die durch die Punkte C und D verläuft
2	≅	Kongruent	∠ABC≅∠MNK – Winkel ABC ist kongruent zum Winkel MNK
3	∼	Ähnlich	ΔABC∼ΔMNK - Dreiecke ABC und MNK sind ähnlich
4	||	Parallel	α||β – die Ebene α ist parallel zur Ebene β
5	⊥	Aufrecht	a⊥b - Linien a und b stehen senkrecht zueinander
6		kreuzen	mit d - Linien c und d schneiden sich
7		Tangenten	t l - Linie t ist Tangente an Linie l. βα – Ebene β tangential zur Oberfläche α
8	→	Sind angezeigt	F 1 → F 2 – die Figur F 1 wird auf die Figur F 2 abgebildet
9	S	Projektionszentrum. Wenn das Projektionszentrum kein richtiger Punkt ist, seine Position wird durch einen Pfeil angezeigt, Angabe der Projektionsrichtung	-
10	S	Projektionsrichtung	-
11	P	Parallelprojektion	p s α Parallelprojektion - Parallelprojektion zur Ebene α in Richtung s

B. Mengentheoretische Notation

NEIN.	Bezeichnung	Inhalt	Beispiel für symbolische Notation	Ein Beispiel für symbolische Notation in der Geometrie
1	M,N	Sets	-	-
2	ABC,...	Elemente festlegen	-	-
3	{ ... }	Besteht aus...	F(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,...) - Figur Ф besteht aus den Punkten A, B, C, ...
4	∅	Leeres Set	L - ∅ - die Menge L ist leer (enthält keine Elemente)	-
5	∈	Gehört zu, ist ein Element	2∈N (wobei N die Menge ist natürliche Zahlen) - die Zahl 2 gehört zur Menge N	A ∈ a - Punkt A gehört zur Geraden a (Punkt A liegt auf der Geraden a)
6	⊂	Beinhaltet, enthält	N⊂M – die Menge N ist ein Teil (Untermenge) der Menge M aller rationalen Zahlen	a⊂α - Gerade a gehört zur Ebene α (verstanden im Sinne: die Punktmenge der Geraden a ist eine Teilmenge der Punkte der Ebene α)
7	∪	Einen Verband	C = A U B – Menge C ist eine Vereinigung von Mengen A und B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - gestrichelte Linie, ABCD ist Vereinigung der Segmente [AB], [BC],
8	∩	Schnittpunkt von vielen	М=К∩L – die Menge М ist der Schnittpunkt der Mengen К und L (enthält Elemente, die sowohl zur Menge K als auch zur Menge L gehören). M ∩ N = ∅- Schnittpunkt der Mengen M und N ist die leere Menge (Mengen M und N haben keine gemeinsamen Elemente)	a = α ∩ β - Gerade a ist der Schnittpunkt Ebenen α und β und ∩ b = ∅ – die Linien a und b schneiden sich nicht (haben keine Gemeinsamkeiten)

Symbole der Gruppe II, die logische Vorgänge bezeichnen

NEIN.	Bezeichnung	Inhalt	Beispiel für symbolische Notation
1	∧	Konjunktion von Sätzen; entspricht der Vereinigung „und“. Satz (p∧q) ist genau dann wahr, wenn p und q beide wahr sind	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Der Schnittpunkt der Flächen α und β ist eine Menge von Punkten (Linie), bestehend aus all jenen und nur jenen Punkten K, die sowohl zur Oberfläche α als auch zur Oberfläche β gehören
2	∨	Disjunktion von Sätzen; entspricht der Vereinigung „oder“. Satz (p∨q) wahr, wenn mindestens einer der Sätze p oder q wahr ist (d. h. entweder p oder q oder beide).	-
3	⇒	Implikation ist eine logische Konsequenz. Der Satz p⇒q bedeutet: „Wenn p, dann q“	(a||c∧b||c)⇒a||b. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie parallel zueinander.
4	⇔	Der Satz (p⇔q) wird in dem Sinne verstanden: „Wenn p, dann q; wenn q, dann p“	А∈α⇔А∈l⊂α. Ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er zu einer Linie gehört, die zu dieser Ebene gehört. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Punkt zu einer Geraden gehört, zur Ebene gehört, dann gehört es auch zur Ebene selbst.
5	∀	Der allgemeine Quantor lautet: für alle, für alle, für jeden. Der Ausdruck ∀(x)P(x) bedeutet: „für jedes x: Eigenschaft P(x)“	∀(ΔABC)( = 180°) Für jedes (für jedes) Dreieck die Summe der Werte seiner Winkel an den Eckpunkten beträgt 180°
6	∃	Der Existenzquantor lautet: existiert. Der Ausdruck ∃(x)P(x) bedeutet: „Es gibt x, das die Eigenschaft P(x) hat“	(∀α)(∃a). Für jede Ebene α existiert eine Gerade a, nicht zum Flugzeug gehörend α und parallel zur Ebene α
7	∃1	Der Quantifizierer „Einzigartigkeit der Existenz“ lautet: Es gibt ein Einzigartiges (-th, -th)... Der Ausdruck ∃1(x)(Px) bedeutet: „Es gibt ein eindeutiges (nur ein) x, die Eigenschaft Rx haben“	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Für zwei verschiedene Punkte A und B gibt es eine eindeutige Linie a, durch diese Punkte gehen.
8	(px)	Negation der Aussage P(x)	ab(∃α )(α⊃а, b). Wenn sich die Geraden a und b schneiden, dann gibt es keine Ebene a, die sie enthält
9	\	Negatives Zeichen	≠ - Segment [AB] ist nicht gleich dem Segment.a?b - Linie a ist nicht parallel zu Linie b

Hauptsächlich geometrische Formen In der Ebene liegen ein Punkt und eine Linie. Punkte werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet:
A B C D, ... .

Gerade Linien werden durch lateinische Kleinbuchstaben gekennzeichnet:
A B C D
In Abbildung 3 sehen Sie Punkt A und Linie a.
endlos. In der Abbildung stellen wir nur einen Teil der geraden Linie dar, stellen uns aber vor, dass sie sich in beide Richtungen auf unbestimmte Zeit erstreckt.

Schauen Sie sich Abbildung 4 an. Sie sehen die Linien a, b und die Punkte A, B, C. Die Punkte A bis C liegen auf der Linie a. Wir können auch sagen, dass die Punkte A und C dazu gehören gerade a oder dass die Linie a durch die Punkte A und C verläuft.

Punkt B liegt auf der Linie b. Es liegt nicht auf der Geraden a. Punkt C liegt sowohl auf Linie a als auch auf Linie b. Die Linien a und b schneiden sich im Punkt C. Punkt C ist der Schnittpunkt der Linien a und b.
In Abbildung 5 können Sie sehen, wie mit einem Lineal eine gerade Linie gezeichnet wird, die durch zwei gegebene Punkte A und B verläuft.

Wir nennen die folgenden Eigenschaften die Grundeigenschaften der Zugehörigkeit zu Punkten und Linien in einer Ebene:

I. Was auch immer die Linie ist, es gibt Punkte, die zu dieser Linie gehören, und Punkte, die nicht dazu gehören.

Durch zwei beliebige Punkte kann man eine Linie ziehen, und zwar nur einen.

Eine Linie kann durch zwei darauf liegende Punkte bezeichnet werden. Beispielsweise kann Zeile o in Abbildung 4 mit AC und Zeile b mit BC beschriftet werden.

Aufgabe (3)". Können zwei Geraden zwei Schnittpunkte haben? Erklären Sie die Antwort.

Lösung. Wenn zwei Geraden zwei Schnittpunkte hätten, würden zwei Geraden durch diese Punkte verlaufen. Dies ist jedoch unmöglich, da nur eine Linie durch zwei Punkte gezogen werden kann. Zwei Geraden können also nicht zwei Schnittpunkte haben.

A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

In diesem Artikel werden wir uns ausführlich mit einem der Hauptkonzepte der Geometrie befassen – dem Konzept einer geraden Linie in einer Ebene. Definieren wir zunächst die Grundbegriffe und die Notation. Als nächstes besprechen wir die relative Lage einer Geraden und eines Punktes sowie zweier Geraden in einer Ebene und geben die notwendigen Axiome an. Abschließend betrachten wir Möglichkeiten, eine gerade Linie in einer Ebene festzulegen und grafische Darstellungen zu geben.

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Eine gerade Linie in einer Ebene ist ein Konzept.

Bevor man das Konzept einer geraden Linie in einer Ebene beschreibt, sollte man klar verstehen, was eine Ebene ist. Darstellung des Flugzeugs ermöglicht es Ihnen zum Beispiel, Glatte Oberfläche Tisch oder Wand des Hauses. Allerdings ist zu bedenken, dass die Abmessungen des Tisches begrenzt sind und die Ebene über diese Grenzen hinaus bis ins Unendliche reicht (als ob wir einen beliebig großen Tisch hätten).

Wenn wir einen gut gespitzten Bleistift nehmen und mit der Spitze die Oberfläche des „Tisches“ berühren, erhalten wir das Bild eines Punktes. Also bekommen wir Darstellung eines Punktes auf einer Ebene.

Jetzt können Sie gehen Konzept einer geraden Linie in einer Ebene.

Legen wir ein Blatt sauberes Papier auf die Tischoberfläche (in die Ebene). Um eine gerade Linie zu zeichnen, müssen wir ein Lineal nehmen und mit einem Bleistift eine Linie zeichnen, soweit es die Abmessungen des verwendeten Lineals und des verwendeten Blattes Papier zulassen. Es ist zu beachten, dass wir auf diese Weise nur einen Teil der Geraden erhalten. Eine gerade Linie in ihrer Gesamtheit, die sich bis ins Unendliche erstreckt, können wir uns nur vorstellen.

Gegenseitige Lage einer Linie und eines Punktes.

Sie sollten mit einem Axiom beginnen: Auf jeder Geraden und in jeder Ebene gibt es Punkte.

Punkte werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel die Punkte A und F. Gerade Linien wiederum werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel die Geraden a und d.

Möglich zwei Optionen relative Position Linie und Punkte auf der Ebene: Entweder liegt der Punkt auf einer Geraden (in diesem Fall sagt man auch, dass die Gerade durch den Punkt geht), oder der Punkt liegt nicht auf der Geraden (man sagt auch, dass der Punkt nicht zur Geraden gehört, oder die Linie geht nicht durch den Punkt).

Um anzuzeigen, dass ein Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, wird das Symbol „“ verwendet. Wenn beispielsweise Punkt A auf der Geraden a liegt, können Sie schreiben. Wenn Punkt A nicht zur Linie a gehört, dann schreiben Sie auf.

Die folgende Aussage ist wahr: Durch zwei beliebige Punkte gibt es nur eine Gerade.

Diese Aussage ist ein Axiom und sollte als Tatsache akzeptiert werden. Außerdem ist das ganz offensichtlich: Wir markieren zwei Punkte auf dem Papier, legen ein Lineal darauf und zeichnen eine gerade Linie. Eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte (zum Beispiel durch die Punkte A und B) verläuft, kann mit diesen beiden Buchstaben bezeichnet werden (in unserem Fall gerade Linie AB oder BA).

Es sollte verstanden werden, dass es auf einer geraden Linie in einer Ebene unendlich viele verschiedene Punkte gibt und alle diese Punkte in derselben Ebene liegen. Diese Aussage wird durch das Axiom begründet: Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer bestimmten Ebene, dann liegen alle Punkte dieser Geraden in dieser Ebene.

Die Menge aller Punkte, die zwischen zwei auf einer Geraden gegebenen Punkten liegen, wird zusammen mit diesen Punkten aufgerufen gerade Linie oder einfach Segment. Die Punkte, die das Segment begrenzen, werden als Enden des Segments bezeichnet. Ein Segment wird durch zwei Buchstaben gekennzeichnet, die den Endpunkten des Segments entsprechen. Angenommen, die Punkte A und B seien die Enden eines Segments, dann kann dieses Segment mit AB oder BA bezeichnet werden. Bitte beachten Sie, dass diese Bezeichnung eines Segments mit der Bezeichnung einer Geraden übereinstimmt. Um Verwirrung zu vermeiden, empfehlen wir, der Bezeichnung das Wort „Segment“ oder „gerade“ hinzuzufügen.

Für eine kurze Aufzeichnung der Zugehörigkeit und Nichtzugehörigkeit eines bestimmten Punktes zu einem bestimmten Segment werden dieselben Symbole und verwendet. Um zu zeigen, dass ein Segment auf einer geraden Linie liegt oder nicht, werden die Symbole bzw. verwendet. Wenn beispielsweise das Segment AB zur Linie a gehört, können Sie es kurz aufschreiben.

Wir sollten uns auch mit dem Fall befassen, dass drei verschiedene Punkte zur gleichen Linie gehören. In diesem Fall liegt ein und nur ein Punkt zwischen den beiden anderen. Diese Aussage ist ein weiteres Axiom. Lassen Sie die Punkte A, B und C auf derselben Geraden liegen und Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C. Dann können wir sagen, dass die Punkte A und C entlang liegen verschiedene Seiten von Punkt B. Man kann auch sagen, dass die Punkte B und C auf derselben Seite von Punkt A liegen und die Punkte A und B auf derselben Seite von Punkt C.

Um das Bild zu vervollständigen, stellen wir fest, dass jeder Punkt einer Geraden diese Gerade in zwei Teile teilt – zwei Strahl. Für diesen Fall ist das Axiom gegeben: beliebiger Punkt O, das zur Linie gehört, teilt diese Linie in zwei Strahlen, und zwei beliebige Punkte eines Strahls liegen auf derselben Seite des Punktes O, und zwei beliebige Punkte verschiedener Strahlen liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O.

Gegenseitige Anordnung gerader Linien in einer Ebene.

Beantworten wir nun die Frage: „Wie können zwei Linien relativ zueinander auf einer Ebene liegen?“

Erstens können zwei Linien in einer Ebene übereinstimmen.

Dies ist möglich, wenn die Leitungen vorhanden sind mindestens zwei gemeinsame Punkte. Tatsächlich verläuft aufgrund des im vorherigen Absatz geäußerten Axioms eine einzelne gerade Linie durch zwei Punkte. Mit anderen Worten: Wenn zwei Geraden durch zwei gegebene Punkte verlaufen, dann fallen sie zusammen.

Zweitens können zwei Geraden in einer Ebene kreuzen.

In diesem Fall haben die Zeilen eine gemeinsamer Punkt, der als Schnittpunkt der Geraden bezeichnet wird. Der Schnittpunkt von Linien wird mit dem Symbol „“ bezeichnet. Der Datensatz bedeutet beispielsweise, dass sich die Linien a und b im Punkt M schneiden. Sich schneidende Linien führen uns zum Konzept des Winkels zwischen sich schneidenden Linien. Unabhängig davon lohnt es sich, die Lage von Geraden in einer Ebene zu berücksichtigen, wenn der Winkel zwischen ihnen neunzig Grad beträgt. In diesem Fall werden die Leitungen aufgerufen aufrecht(Wir empfehlen den Artikel senkrechte Linien, Rechtwinkligkeit von Linien). Wenn Linie a senkrecht zu Linie b steht, können Sie verwenden kurze Anmerkung.

Drittens können zwei Linien in einer Ebene parallel sein.

Aus praktischer Sicht ist es zweckmäßig, eine Gerade in einer Ebene zusammen mit Vektoren zu betrachten. Von besonderer Bedeutung sind Vektoren ungleich Null, die auf einer bestimmten Geraden oder auf einer der so genannten parallelen Geraden liegen Richtungsvektoren der Geraden. Der Artikel Richtungsvektor einer Geraden in einer Ebene gibt Beispiele für Richtungsvektoren und zeigt Möglichkeiten für deren Verwendung bei der Lösung von Problemen auf.

Sie sollten auch auf Vektoren ungleich Null achten, die auf einer der Linien senkrecht zu der angegebenen Linie liegen. Solche Vektoren heißen Normalenvektoren der Geraden. Die Verwendung von Normalenvektoren einer Geraden wird im Artikel Normalenvektor einer Geraden auf einer Ebene beschrieben.

Wenn drei oder mehr Geraden auf einer Ebene gegeben sind, dann entsteht eine Menge Verschiedene Optionen ihre relative Position. Alle Linien können parallel sein, andernfalls schneiden sich einige oder alle von ihnen. In diesem Fall können sich alle Linien in einem einzigen Punkt schneiden (siehe den Artikel „Ein Linienbündel“), oder sie können einen Schnittpunkt haben verschiedene Punkte Kreuzungen.

Wir werden hier nicht näher darauf eingehen, sondern einige bemerkenswerte und sehr oft verwendete Tatsachen ohne Beweise anführen:

• wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel zueinander;
• Stehen zwei Geraden senkrecht auf einer dritten Geraden, dann sind sie parallel zueinander;
• Wenn in einer Ebene eine Gerade eine von zwei parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die zweite Gerade.

Methoden zum Setzen einer geraden Linie auf einer Ebene.

Jetzt listen wir die wichtigsten Möglichkeiten auf, wie Sie eine bestimmte Linie in der Ebene definieren können. Dieses Wissen ist aus praktischer Sicht sehr nützlich, da die Lösung so vieler Beispiele und Probleme darauf basiert.

Zunächst kann eine Gerade durch Angabe zweier Punkte auf der Ebene definiert werden.

Tatsächlich wissen wir aus dem im ersten Absatz dieses Artikels betrachteten Axiom, dass eine gerade Linie durch zwei Punkte verläuft, und zwar nur durch einen.

Wenn drin rechteckiges System Koordinaten auf der Ebene werden die Koordinaten zweier nicht zusammenfallender Punkte angegeben, dh die Fähigkeit, die Gleichung einer geraden Linie zu schreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Zweitens kann eine Linie angegeben werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und die Linie, zu der sie parallel ist, angegeben werden. Diese Methode ist richtig, da angegebenen Punkt Es gibt nur eine Gerade in der Ebene, die parallel zur gegebenen Geraden verläuft. Der Beweis dieser Tatsache wurde im Geometrieunterricht im Gymnasium erbracht.

Wird auf diese Weise eine Gerade auf einer Ebene in Bezug auf das eingeführte Rechteck festgelegt Kartesisches System Koordinaten, das heißt die Fähigkeit, seine Gleichung zusammenzustellen. In dem Artikel wird die Gleichung einer geraden Linie beschrieben, die durch einen bestimmten Punkt parallel zu einer bestimmten geraden Linie verläuft.

Drittens kann eine Linie definiert werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und ihr Richtungsvektor angegeben werden.

Wenn eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf diese Weise gegeben ist, ist es einfach, die kanonische Gleichung einer Geraden in einer Ebene und die parametrischen Gleichungen einer Geraden in einer Ebene aufzustellen.

Die vierte Möglichkeit, eine Linie anzugeben, besteht darin, den Punkt anzugeben, durch den sie verläuft, und die Linie, zu der sie senkrecht steht. Tatsächlich gibt es nur eine Gerade durch einen gegebenen Punkt der Ebene, die senkrecht zur gegebenen Geraden steht. Lassen wir diese Tatsache ohne Beweise.

Schließlich kann eine Linie in der Ebene angegeben werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und der Normalenvektor der Linie angegeben werden.

Wenn die Koordinaten eines Punktes bekannt sind, der auf einer bestimmten Linie liegt, und die Koordinaten Normalenvektor gerade Linie, das heißt die Fähigkeit, die allgemeine Gleichung einer geraden Linie zu schreiben.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 – 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für die 10.-11. Klassen des Gymnasiums.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Band Eins: Die Elemente Lineare Algebra und analytische Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

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Zusammenfassung der Lektion in Mathematik

Thema:"Gerade. Linienbezeichnung»

Klasse: 1 „G“

Lernziele:

Lehrreich:- kennen die Konzepte der geraden und indirekten Linien; in der Lage sein, eine gerade Linie zu zeichnen; in der Lage sein, zwischen geraden und indirekten Linien zu unterscheiden; akzeptieren und behalten können Lernaufgabe; eine Ausbildung machen können kognitive Aktivitäten in materieller und geistiger Form; in der Lage sein, zu zweit zu arbeiten; die Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen;

Entwicklung:- Beobachtung entwickeln logisches Denken, Selbstkontrollfähigkeiten; mentale Operationen (Analyse, Synthese, Verallgemeinerung); Entwickeln Sie die Fähigkeit, richtig zu sein Sprachverhalten;

Pflege: wertschätzende Einstellung zum Thema, Aufmerksamkeit, Genauigkeit, Ausdauer, Fleiß kultivieren; positive Einstellung zum Unterrichten; Wunsch, neues Wissen zu erwerben;

Unterrichtsart: neues Material lernen

Technischer Support: Computer, Multimedia-Projektor, Leinwand, interaktives Whiteboard

Ausrüstung:, Lehrbuch „Mathematik 1. Klasse“, Arbeitsbuch in Mathematik

UMC:"Perspektive"

Das Datum des: 01.10.2016

Zeit verbringen: 45 Minuten

Leitfähig: Boldueva Ludmila Yurievna

Zeit organisieren

Wissensaktualisierung

Ziele setzen

Einführung in neues Material.

Minute des Sportunterrichts

Verankerung

Sportunterricht für die Augen

Verankerung

Ergebnis

Betrachtung

10. Hausaufgaben

Hallo, nehmen Sie Platz.

Lassen Sie uns zunächst eine mündliche Zählung durchführen.

Ahornblätter (oder jede andere Visualisierung) werden auf Kosten der Kinder einzeln an der Tafel befestigt.

Gut gemacht!

Listen Sie nun die Zahlen in absteigender Reihenfolge auf.

Okay, gut gemacht!

Leute, wir sind im Land „Geometrie“ gelandet und werden von einem Punkt empfangen. (Lehrer steckt den ersten Punkt an die Tafel). Nennen wir es Punkt A.

Jetzt werde ich mit Hilfe eines Lineals eine Linie zeichnen. Wer weiß, wie es heißt?

Was wird das Thema unserer Lektion sein?

Was werden wir heute tun, was werden wir lernen?

Okay, gut gemacht!

Videoansicht.

Wie viele Linien können wir also durch einen Punkt ziehen?

Wir schlagen das Lehrbuch auf Seite 50 auf und schauen uns Übung 1 an. Dort wird gezeigt, wie mit einem Lineal eine Gerade durch einen Punkt gezogen wird.

Ist es möglich, eine Linie durch Punkt A zu ziehen?

Wir machen weiter, ein Freund besuchte unseren Punkt. Das ist Punkt B. (Der Lehrer befestigt Punkt B an der Tafel)

Videoansicht.

Wie viele Linien können durch zwei Punkte gezogen werden?

Rechts!

Wir öffnen Arbeitsmappen auf Seite 38, führen Aufgabe 1 aus.

Landungscheck. Erinnern Sie daran, wie man einen Bleistift hält.

Gegeben sind zwei Punkte A und B. Wir zeichnen mit einem Lineal eine Gerade. Darauf markieren wir den Punkt O. - - Welche Geraden haben wir?

Wie sonst kann man die Linie AB bezeichnen?

Das stimmt, BA.

(Alle Aktionen, die der Lehrer durchführt Interaktives Whiteboard)

Interaktives Whiteboard-Spiel(2)

Es gibt aber auch indirekte Linien, siehe zweites Bild im Tutorial. Das sind keine geraden Linien. Und auf der Tafel haben wir eine gerade Linie und eine indirekte Linie.

(Die Tafel zeigt eine gerade Linie und eine indirekte Linie)

Und wer kann schon sagen, womit wir eine gerade Linie herausfinden können oder nicht?

Genau, mit einem Lineal. Wenn das Lineal mit einer geraden Linie übereinstimmt, ist die Linie gerade, wenn nicht, dann ist sie nicht gerade.

Versuchen wir es (der Lehrer wendet das Lineal auf eine gerade Linie an – das Lineal stimmt überein, dann ist die Linie gerade; wenden Sie es auf die zweite an – es stimmt nicht überein, dann ist die Linie indirekt)

Interaktives Whiteboard-Spiel(1)

Zurück zu Arbeitsmappe, Nummer 2, machen wir zu zweit und checken dann gemeinsam. Sie müssen die geraden Linien DE und MK zeichnen und dann weitere Linien durchziehen Punkte E, M, K. Sehen. Denken Sie mit Ihrem Schreibtischnachbarn darüber nach und notieren Sie die Namen dieser Zeilen.

Überprüfung der erledigten Aufgabe. (Der Lehrer zeichnet gerade Linien auf das interaktive Whiteboard und bespricht mit den Kindern die korrekte Ausführung.)

Auf einem Computer (Präsentation)

Wir kehren zu den Arbeitsmappen zurück und führen Nummer 3 durch.

(Der Lehrer zeichnet mit den Kindern auf dem interaktiven Whiteboard)

Fingergymnastik:

Finger.

Eins, zwei, drei, vier, fünf (Fäuste drücken und öffnen.)

Wir gingen im Wald spazieren.

Dieser Finger entlang des Weges (Finger werden gebeugt, beginnend mit dem großen.)

Dieser Finger ist auf dem Weg,

Dieser Pilzfinger

Dieser Finger ist für Himbeeren,

Dieser Finger ist verloren

Sehr spät zurückgekehrt.

Wir haben unsere Finger gestreckt und jetzt machen wir Nummer 4.

Landeregeln.

Nun, sie haben gezeigt, wie wir einen Stift halten? Okay, gut gemacht!

Und die letzte Übung, die wir in dieser Lektion Nummer 6 machen werden.

Lasst uns das klären, wir müssen herausfinden, welcher der Künstler als nächstes auftreten wird, wenn er nicht auf Schlittschuhen, kein Clown und kein Vogel ist.

Auf wen passt diese Beschreibung?

Genau, gut gemacht!

Dies ist das Ende unserer Lektion mit Ihnen.

Was haben wir heute Neues gelernt?

Was hast du gelernt?

Heute im Unterricht haben alle aktiv mitgearbeitet, sich gut benommen und deshalb schenke ich euch jetzt die Sonne.

Leute, hebt eure Hände, wer in der Lektion alles verstanden hat, hat alle Aufgaben problemlos gemeistert.

Und jetzt diejenigen, die Schwierigkeiten hatten.

(Und was genau haben Sie nicht verstanden, dass es Ihnen nicht gelungen ist?)

Wenn Sie möchten, können Sie zu Hause Nummer 7 im Lehrbuch erledigen. Hier müssen Muster und Zahlen in einem Notizbuch nachgezeichnet werden.

Hallo, setz dich.

Gemeinsam mit dem Lehrer zählen sie die Blätter.

Gerade und ihre Bezeichnung

Lernen Sie, eine gerade Linie zu zeichnen

Arbeiten mit dem Lehrbuch

Einziger.

Steigen Sie aus und erledigen Sie die Arbeit

Verbringen Sie Kinder mit der Musik

Arbeiten mit Arbeitsmappen

Partnerarbeit

Führen Sie eine Übung durch

Das Ballen und Lösen der Fäuste

Ich beuge meine Finger, ich beginne mit einem großen

Antworten der Kinder

Wir haben gelernt, was eine gerade Linie ist und wie sie heißt.

Ich habe gelernt, wie man eine gerade Linie zeichnet

Motivationsbasis Aktivitäten lernen(L);

Bedeutungsbildung (L);

Ein kognitives Ziel setzen (P);

Kognitive Initiative (P);

Prognose (P);

pädagogisches und kognitives Interesse (L);

Bedeutungsbildung (L);

Willensselbstregulierung (P);

Analyse, Synthese, Vergleich,

Verallgemeinerung, Analogie (P);

Aussage und Formulierung

Probleme (P);

Buchhaltung verschiedene Meinungen,

Koordination in

Zusammenarbeit

verschiedene Positionen (K);

Formulierung und Argumentation

ihre Meinungen und Positionen in