Esimerkkejä:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt:

Kun ratkaiset logaritmisen yhtälön, sinun on pyrittävä muuttamaan se muotoon \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja sitten suoritettava siirtymä muotoon \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Esimerkki:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Päätös: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Tutkimus:\(10>2\) - sopii ODZ:lle Vastaus:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Hyvin tärkeä! Tämä siirtymä voidaan tehdä vain, jos:

Kirjoitit alkuperäiselle yhtälölle ja tarkista lopussa, ovatko löydetyt sisällytetty DPV:hen. Jos tätä ei tehdä, ylimääräisiä juuria voi ilmestyä, mikä tarkoittaa väärää päätöstä.

Numero (tai lauseke) on sama vasemmalla ja oikealla;

Vasemmalla ja oikealla olevat logaritmit ovat "puhtaita", eli kertomuksia, jakolastoja jne. ei pitäisi olla. - vain yksittäisiä logaritmeja yhtäläisyysmerkin molemmilla puolilla.

Esimerkiksi:

Huomaa, että yhtälöt 3 ja 4 voidaan helposti ratkaista soveltamalla halutut ominaisuudet logaritmit.

Esimerkki . Ratkaise yhtälö \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Päätös :

		Kirjoitetaan ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Vasemmalla logaritmin edessä on kerroin, oikealla on logaritmien summa. Tämä häiritsee meitä. Siirretään nämä kaksi eksponenttiin \(x\) ominaisuudella: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Esitämme logaritmien summan yhtenä logaritmina ominaisuudella: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Toimme yhtälön muotoon \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja kirjoitimme muistiin ODZ:n, mikä tarkoittaa, että voimme siirtyä muotoon \(f (x)=g(x)\ ).
		Tapahtui. Ratkaisemme sen ja saamme juuret.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Tarkistamme, mahtuvatko juuret ODZ:n alle. Tätä varten \(x>0\) korvataan \(x\) sijasta \(5\) ja \(-5\). Tämä toimenpide voidaan suorittaa suullisesti.
\(5>0\), \(-5>0\)		Ensimmäinen epätasa-arvo on totta, toinen ei. Joten \(5\) on yhtälön juuri, mutta \(-5\) ei ole. Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus : \(5\)

Esimerkki : Ratkaise yhtälö \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Päätös :

		Kirjoitetaan ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Tyypillinen yhtälö, ratkaistu . Korvaa \(\log_2⁡x\) kirjaimella \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Sai tavanomaisen. Sen juuria etsimässä.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Käänteisen vaihdon tekeminen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Muunnamme oikeat osat esittämällä ne logaritmeina: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ja \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Nyt yhtälömme ovat \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja voimme hypätä kohtaan \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Tarkistamme ODZ:n juurien vastaavuuden. Tätä varten \(x\) sijasta korvaamme \(4\) ja \(2\) epäyhtälöön \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		Molemmat eriarvoisuudet ovat totta. Joten sekä \(4\) että \(2\) ovat yhtälön juuret.

Vastaus : \(4\); \(2\).

Tänään opimme ratkaisemaan yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt, jotka eivät vaadi alustavia muunnoksia ja juurien valintaa. Mutta jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​yhtälöitä, se on paljon helpompaa.

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on yhtälö, jonka muoto on log a f (x) \u003d b, jossa a, b ovat numeroita (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) on jokin funktio.

Kaikille logaritmisille yhtälöille erottuva piirre on muuttujan x läsnäolo logaritmin merkin alla. Jos tällainen yhtälö on alun perin annettu tehtävässä, sitä kutsutaan yksinkertaisimmaksi yhtälöksi. Kaikki muut logaritmiset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimmiksi erityisillä muunnoksilla (katso "Logaritmien perusominaisuudet"). Lukuisia hienouksia on kuitenkin otettava huomioon: ylimääräisiä juuria voi ilmaantua, joten monimutkaiset logaritmiset yhtälöt käsitellään erikseen.

Kuinka ratkaista tällaiset yhtälöt? Riittää, kun korvataan yhtäläisyysmerkin oikealla puolella oleva luku logaritmilla samassa kannassa kuin vasemmalla. Sitten voit päästä eroon logaritmin merkistä. Saamme:

log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b

Saimme tavallisen yhtälön. Sen juuret ovat alkuperäisen yhtälön juuret.

Asteiden lausuminen

Usein logaritmiset yhtälöt, jotka näyttävät ulkoisesti monimutkaisilta ja uhkaavilta, ratkaistaan ​​vain parilla rivillä ilman monimutkaisia ​​kaavoja. Tänään tarkastelemme juuri sellaisia ​​​​ongelmia, joissa sinulta vaaditaan vain pelkistää kaava huolellisesti kanoniseen muotoon ja olla hämmentymättä etsiessään logaritmien määritelmäaluetta.

Tänään, kuten luultavasti arvasit otsikosta, ratkaisemme logaritmiset yhtälöt kanoniseen muotoon siirtymisen kaavoilla. Tämän videotunnin tärkein "temppu" on työskentely tutkintojen kanssa, tai pikemminkin tutkinnon ottaminen pohjasta ja argumentista. Katsotaanpa sääntöä:

Samoin voit ottaa tutkinnon pohjasta:

Kuten näet, jos otettaessa aste pois logaritmiargumentista, meillä yksinkertaisesti on lisäkerroin edessä, sitten kun tutkinto otetaan pois pohjasta - ei vain tekijä, vaan käänteinen tekijä. Tämä on muistettava.

Lopuksi mielenkiintoisin. Nämä kaavat voidaan yhdistää, jolloin saamme:

Tietenkin näitä siirtymiä suoritettaessa liittyy tiettyjä sudenkuoppia mahdollinen laajennus määritelmäalue tai päinvastoin kaventämällä määritelmän aluetta. Tuomari itse:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Jos ensimmäisessä tapauksessa x voisi olla mikä tahansa muu luku kuin 0, eli vaatimus x ≠ 0, niin toisessa tapauksessa tyydytämme vain x:iin, jotka eivät ole vain yhtä suuria, vaan tiukasti suurempia kuin 0, koska logaritmin alue on, että argumentti on ehdottomasti suurempi kuin 0. Siksi muistutan teitä upeasta kaavasta algebran kurssista luokilla 8-9:

Eli meidän on kirjoitettava kaavamme seuraavasti:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Tällöin määritelmäalueen kaventamista ei tapahdu.

Tämän päivän opetusvideossa ei kuitenkaan ole neliöitä. Jos katsot tehtäviämme, näet vain juuret. Siksi hae tämä sääntö emme tee, mutta se on silti pidettävä mielessä, jotta se onnistuu oikea hetki kun näet neliöfunktio logaritmin argumentissa tai kannassa muistat tämän säännön ja suoritat kaikki muunnokset oikein.

Ensimmäinen yhtälö on siis:

Tämän ongelman ratkaisemiseksi ehdotan, että tarkastellaan huolellisesti jokaista kaavassa olevaa termiä.

Kirjoitetaan ensimmäinen termi uudelleen potenssiksi, jolla on rationaalinen eksponentti:

Tarkastellaan toista termiä: log 3 (1 − x ). Sinun ei tarvitse tehdä täällä mitään, kaikki on jo muuttumassa.

Lopuksi 0, 5. Kuten aiemmilla tunneilla sanoin, logaritmisia yhtälöitä ja kaavoja ratkaistaessa suosittelen siirtymistä desimaalimurtoluvuista tavallisiin murtolukuihin. Tehdään tämä:

0,5 = 5/10 = 1/2

Kirjoitetaan alkuperäinen kaavamme uudelleen ottaen huomioon saadut ehdot:

log 3 (1 − x ) = 1

Siirrytään nyt kanoniseen muotoon:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Päästä eroon logaritmin etumerkistä vertaamalla argumentit:

1 − x = 3

-x = 2

x = −2

Siinä kaikki, olemme ratkaisseet yhtälön. Pelataan kuitenkin silti ja etsitään määritelmän alue. Tätä varten palataan asiaan alkuperäinen kaava ja nähdä:

1 − x > 0

-x > -1

x< 1

Juurimme x = −2 täyttää tämän vaatimuksen, joten x = −2 on ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. Nyt meillä on tiukka selkeä perustelu. Kaikki, tehtävä on ratkaistu.

Siirrytään toiseen tehtävään:

Käsitellään jokaista termiä erikseen.

Kirjoitamme ensimmäisen:

Olemme muuttaneet ensimmäistä lukukautta. Työskentelemme toisella termillä:

Lopuksi viimeinen termi, joka on yhtäläisyysmerkin oikealla puolella:

Korvaamme tuloksena saadut lausekkeet tuloksena olevan kaavan termeille:

log 3 x = 1

Siirrymme kanoniseen muotoon:

log 3 x = log 3 3

Pääsemme eroon logaritmin merkistä vertaamalla argumentit, ja saamme:

x=3

Pelataanpa taas varmuuden vuoksi, palataan alkuperäiseen yhtälöön ja katsotaan. Alkuperäisessä kaavassa muuttuja x on vain argumentissa, joten

x > 0

Toisessa logaritmissa x on juuren alla, mutta taas argumentissa juuren on siis oltava suurempi kuin 0, ts. radikaali ilmaisu on oltava suurempi kuin 0. Katsomme juuriamme x = 3. Ilmeisesti se täyttää tämän vaatimuksen. Siksi x = 3 on ratkaisu alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöön. Kaikki, tehtävä on ratkaistu.

Tämän päivän opetusvideossa on kaksi keskeistä kohtaa:

1) älä pelkää muuntaa logaritmeja ja erityisesti älä pelkää ottaa asteita pois logaritmin merkistä muistaen samalla meidän peruskaava: kun aste otetaan pois argumentista, se poistetaan yksinkertaisesti ilman muutoksia tekijänä, ja kun aste otetaan pois kannasta, tämä aste käännetään.

2) toinen kohta liittyy itsekanoniseen muotoon. Suoritimme siirtymisen kanoniseen muotoon logaritmisen yhtälön kaavan muunnoksen lopussa. Muista seuraava kaava:

a = log b b a

Ilmaisulla "mikä tahansa luku b" tarkoitan tietysti niitä lukuja, jotka täyttävät logaritmin kantalle asetetut vaatimukset, ts.

1 ≠ b > 0

Tällaiselle b:lle, ja koska tiedämme jo kantaluvun, tämä vaatimus täyttyy automaattisesti. Mutta sellaisille b - kaikki, jotka tyydyttävät tämä vaatimus- tämä siirtymä voidaan suorittaa, ja saamme kanonisen muodon, jossa voimme päästä eroon logaritmin merkistä.

Määritelmäalueen laajennus ja ylimääräiset juuret

Logaritmisen yhtälön muunnosprosessissa voi esiintyä määritelmäalueen implisiittinen laajennus. Usein opiskelijat eivät edes huomaa tätä, mikä johtaa virheisiin ja vääriin vastauksiin.

Aloitetaan yksinkertaisimmista malleista. Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

log a f(x) = b

Huomaa, että x esiintyy vain yhdessä logaritmin argumentissa. Kuinka ratkaisemme tällaiset yhtälöt? Käytämme kanonista muotoa. Tätä varten edustamme lukua b \u003d log a a b, ja yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavassa muodossa:

log a f(x) = log a a b

Tätä merkintää kutsutaan kanoniseksi muodoksi. Se on se, että mitä tahansa logaritmista yhtälöä, jonka kohtaat paitsi tämän päivän oppitunnilla, myös missä tahansa itsenäisessä ja ohjaustyössä, tulisi vähentää.

Kuinka päästä kanoniseen muotoon, mitä tekniikoita käyttää - tämä on jo käytännön kysymys. Tärkeintä on ymmärtää: heti kun saat tällaisen tietueen, voimme olettaa, että ongelma on ratkaistu. koska seuraava askel tulee merkintä:

f(x) = a b

Toisin sanoen pääsemme eroon logaritmin merkistä ja yksinkertaisesti rinnastamme argumentit.

Miksi kaikki tämä puhe? Tosiasia on, että kanoninen muoto ei sovellu vain yksinkertaisimpiin ongelmiin, vaan myös kaikkiin muihin. Erityisesti niille, joita käsittelemme tänään. Katsotaanpa.

Ensimmäinen tehtävä:

Mikä tämän yhtälön ongelma on? Se, että funktio on kahdessa logaritmissa kerralla. Ongelma voidaan vähentää yksinkertaisimmaksi yksinkertaisesti vähentämällä yksi logaritmi toisesta. Mutta määrittelyalueen kanssa on ongelmia: ylimääräisiä juuria voi ilmestyä. Siirretään siis yksi logaritmeista oikealle:

Täällä tällainen tietue on jo paljon samankaltainen kuin kanoninen muoto. Mutta on vielä yksi vivahde: ​​kanonisessa muodossa argumenttien on oltava samat. Ja meillä on logaritmi kantaan 3 vasemmalla ja logaritmi kantaan 1/3 oikealla. Tiedätkö, sinun täytyy tuoda nämä tukikohdat samaan numeroon. Muistetaan esimerkiksi, mitä negatiiviset eksponentit ovat:

Ja sitten käytämme eksponenttia "-1" lokin ulkopuolella kertoimena:

Huomaa: jalustalla seisonut aste käännetään ja muuttuu murto-osaksi. Saimme lähes kanonisen merkinnän eroon eri kantajista, mutta sen sijaan saimme oikeanpuoleisen kertoimen “−1”. Laitetaan tämä tekijä argumenttiin muuttamalla se potenssiksi:

Tietenkin saatuaan kanonisen muodon, yliviivaamme rohkeasti logaritmin merkin ja rinnastamme argumentit. Samalla muistutan, että kun nostetaan potenssiin "−1", murto-osa yksinkertaisesti kääntyy - saadaan suhde.

Käytetään osuuden pääominaisuutta ja kerrotaan se ristiin:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

Edessämme on toisen asteen yhtälö, joten ratkaisemme sen käyttämällä Vieta-kaavoja:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x2 = 2

Siinä kaikki. Onko yhtälö mielestäsi ratkaistu? Ei! Tällaisesta ratkaisusta saamme 0 pistettä, koska alkuperäisessä yhtälössä on kaksi logaritmia muuttujalla x kerralla. Siksi on tarpeen ottaa huomioon määritelmäalue.

Ja tästä hauskuus alkaa. Useimmat opiskelijat ovat hämmentyneitä: mikä on logaritmin alue? Tietenkin kaikkien argumenttien (meillä on kaksi) on oltava suurempia kuin nolla:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Jokainen näistä epäyhtälöistä on ratkaistava, merkitty suoralle viivalle, ylitettävä - ja vasta sitten katso, mitkä juuret ovat risteyksessä.

Olen rehellinen: tällä tekniikalla on oikeus olemassaoloon, se on luotettava ja saat oikean vastauksen, mutta siinä on liikaa ylimääräisiä vaiheita. Käydään siis ratkaisumme läpi uudelleen ja katsotaan: missä tarkalleen haluat soveltaa laajuutta? Toisin sanoen sinun on ymmärrettävä selvästi, milloin ylimääräiset juuret ilmestyvät.

1. Aluksi meillä oli kaksi logaritmia. Sitten siirsimme yhden niistä oikealle, mutta tämä ei vaikuttanut määritelmäalueeseen.
2. Sitten poistamme potenssin kannasta, mutta logaritmia on edelleen kaksi, ja jokainen niistä sisältää muuttujan x .
3. Lopuksi yliviivataan hirsimerkit ja saadaan klassikko murto-rationaalinen yhtälö.

Viimeisessä vaiheessa määritelmäalue laajenee! Heti kun siirryimme murto-rationaaliseen yhtälöön, eroon login merkeistä, x-muuttujan vaatimukset muuttuivat dramaattisesti!

Siksi määritelmän aluetta ei voida tarkastella aivan ratkaisun alussa, vaan vain mainitussa vaiheessa - ennen kuin rinnastamme suoraan argumentit.

Tässä piilee mahdollisuus optimointiin. Toisaalta vaaditaan, että molemmat argumentit ovat suurempia kuin nolla. Toisaalta rinnastamme nämä väitteet edelleen. Siksi, jos ainakin yksi niistä on positiivinen, myös toinen on positiivinen!

Joten käy ilmi, että kahden epätasa-arvon täyttymisen vaatiminen kerralla on liioittelua. Riittää, kun tarkastellaan vain yhtä näistä murto-osista. Kumpi? Se, joka on helpompi. Katsotaanpa esimerkiksi oikeaa murtolukua:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Tämä on tyypillistä murto-osainen rationaalinen epätasa-arvo, ratkaisemme sen intervallimenetelmällä:

Kuinka laittaa merkit? Otetaan numero, selvästi suurempi kuin kaikki juuremme. Esimerkiksi 1 miljardi. Ja korvaamme sen murto-osan. Saamme positiivisen luvun, ts. juuren x = 5 oikealla puolella on plusmerkki.

Sitten merkit vuorottelevat, koska tasaisen moninaisuuden juuria ei ole missään. Olemme kiinnostuneita intervalleista, joissa funktio on positiivinen. Tästä syystä x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Muistetaan nyt vastaukset: x = 8 ja x = 2. Tarkkaan ottaen nämä eivät ole vielä vastauksia, vaan vastaehdokkaita. Kumpi kuuluu määritetty sarja? Tietysti x = 8. Mutta x = 2 ei sovi meille määritelmäalueen kannalta.

Yhteensä vastaus ensimmäiseen logaritmiseen yhtälöön on x = 8. Nyt meillä on pätevä, järkevä ratkaisu, ottaen huomioon määritelmäalueen.

Siirrytään toiseen yhtälöön:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Muistutan, että jos yhtälössä on desimaalimurto, sinun tulee päästä eroon siitä. Toisin sanoen kirjoitamme 0,5 uudelleen nimellä tavallinen murto-osa. Huomaamme heti, että logaritmi, joka sisältää tämän kannan, on helppo harkita:

Tämä on erittäin tärkeä hetki! Kun meillä on asteita sekä kantaosassa että argumentissa, voimme ottaa näiden asteiden indikaattorit kaavalla:

Palaamme alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöimme ja kirjoitamme sen uudelleen:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Saimme rakenteen, joka on melko lähellä kanonista muotoa. Olemme kuitenkin hämmentyneitä termistä ja yhtäläisyysmerkin oikealla puolella olevasta miinusmerkistä. Esitetään yhtenäisyys logaritmina kantaan 5:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Vähennä oikealla olevat logaritmit (kun niiden argumentit on jaettu):

log 5 (x - 9) = log 5 5/(x - 5)

Täydellisesti. Joten saimme kanonisen muodon! Yliviivataan lokimerkit ja rinnastetaan argumentit:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Tämä on suhde, joka on helppo ratkaista ristiin kertomalla:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

Ilmeisesti meillä on annettu toisen asteen yhtälö. Se on helppo ratkaista käyttämällä Vieta-kaavoja:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Meillä on kaksi juurta. Mutta nämä eivät ole lopullisia vastauksia, vaan vain ehdokkaita, koska logaritminen yhtälö vaatii myös toimialueen tarkistamisen.

Muistutan sinua: älä katso milloin kaikki argumenteista on suurempi kuin nolla. Riittää, kun edellytetään, että yksi argumentti, joko x − 9 tai 5/(x − 5) on suurempi kuin nolla. Harkitse ensimmäistä argumenttia:

x − 9 > 0

x > 9

Ilmeisesti vain x = 10 täyttää tämän vaatimuksen.Tämä on lopullinen vastaus. Kaikki ongelma ratkaistu.

Uudelleen keskeiset ajatukset tämän päivän oppitunti:

1. Heti kun muuttuja x esiintyy useissa logaritmeissa, yhtälö lakkaa olemasta alkeisosa, ja sitä varten on tarpeen laskea määritelmäalue. Muuten voit kirjoittaa vastaukseksi helposti ylimääräisiä juuria.
2. Itse määrittelyalueen kanssa työskentelyä voidaan yksinkertaistaa huomattavasti, jos epäyhtälöä ei kirjoiteta heti, vaan juuri sillä hetkellä, kun pääsemme eroon login merkeistä. Loppujen lopuksi, kun argumentit rinnastetaan toisiinsa, riittää, että vaaditaan, että vain yksi niistä on suurempi kuin nolla.

Tietenkin me itse valitsemme, mistä argumentista teemme epätasa-arvon, joten on loogista valita yksinkertaisin. Esimerkiksi toisessa yhtälössä valitsimme argumentin (x − 9) − lineaarinen funktio, toisin kuin murto-rationaalinen toinen argumentti. Samaa mieltä, epäyhtälön x − 9 > 0 ratkaiseminen on paljon helpompaa kuin 5/(x − 5) > 0. Vaikka tulos on sama.

Tämä huomautus yksinkertaistaa huomattavasti ODZ:n hakua, mutta ole varovainen: voit käyttää yhtä epäyhtälöä kahden sijasta vain, kun argumentit ovat tarkasti rinnastaa toisiinsa!

Tietysti joku kysyy nyt: mitä tapahtuu toisin? Kyllä joskus. Esimerkiksi itse vaiheessa, kun kerromme kaksi muuttujan sisältävää argumenttia, on olemassa ylimääräisten juurien vaara.

Päättele itse: aluksi vaaditaan, että jokainen argumentti on suurempi kuin nolla, mutta kertomisen jälkeen riittää, että niiden tulo on suurempi kuin nolla. Tämän seurauksena tapaus, jossa jokainen näistä fraktioista on negatiivinen, jätetään huomiotta.

Siksi, jos olet vasta alkamassa käsitellä monimutkaisia ​​logaritmisia yhtälöitä, älä missään tapauksessa kerro logaritmeja, jotka sisältävät muuttujan x - liian usein tämä johtaa ylimääräisiin juuriin. Parempi ottaa yksi ylimääräinen askel, siirtää yksi termi toiselle puolelle, muodostaa kanoninen muoto.

No, mitä tehdä, jos et voi tehdä ilman tällaisten logaritmien kertomista, keskustelemme seuraavassa video-opetusohjelmassa. :)

Vielä kerran yhtälön tehoista

Tänään analysoimme melko liukasta aihetta logaritmisista yhtälöistä tai pikemminkin potenssien poistamisesta logaritmien argumenteista ja perusteista.

Sanoisin jopa, että puhutaan parillisten potenssien poistamisesta, koska juuri parillisten potenssien kanssa syntyy suurin osa vaikeuksista todellisten logaritmien yhtälöiden ratkaisemisessa.

Aloitetaan kanonisesta muodosta. Oletetaan, että meillä on yhtälö log a f (x) = b. Tässä tapauksessa kirjoitetaan luku b uudelleen kaavan b = log a a b mukaisesti. Siitä selviää seuraavaa:

log a f(x) = log a a b

Sitten vertaamme argumentit:

f(x) = a b

Toiseksi viimeistä kaavaa kutsutaan kanoniseksi muodoksi. Hänestä he yrittävät pienentää mitä tahansa logaritmista yhtälöä, riippumatta siitä, kuinka monimutkaiselta ja kauhealta se ensi silmäyksellä näyttää.

Tässä, yritetään. Aloitetaan ensimmäisestä tehtävästä:

Alustava huomautus: kuten sanoin, kaikki desimaalit logaritmisessa yhtälössä on parempi kääntää se tavallisiksi:

0,5 = 5/10 = 1/2

Kirjoitetaan yhtälömme uudelleen tämän tosiasian mielessä. Huomaa, että sekä 1/1000 että 100 ovat luvun 10 potenssit, ja sitten otamme tehot pois missä ne ovat: argumenteista ja jopa logaritmien pohjasta:

Ja tässä monille opiskelijoille herää kysymys: "Mistä oikealta moduuli tuli?" Todellakin, miksi ei vain kirjoita (x − 1)? Tietenkin nyt kirjoitetaan (x − 1), mutta oikeus tällaiseen tietueeseen antaa meille määritelmän alueen. Loppujen lopuksi toinen logaritmi sisältää jo (x − 1), ja tämän lausekkeen on oltava suurempi kuin nolla.

Mutta kun otamme neliön pois logaritmin kantasta, meidän on jätettävä moduuli kantaan. Selitän miksi.

Tosiasia on, että matematiikan näkökulmasta tutkinnon suorittaminen merkitsee juurtumista. Erityisesti, kun lauseke (x − 1) 2 on neliöity, poimimme olennaisesti toisen asteen juuren. Mutta neliöjuuri ei ole muuta kuin moduuli. Tarkalleen moduuli, koska vaikka lauseke x - 1 olisi negatiivinen, neliöitettäessä "miinus" palaa silti. Juuren lisääminen antaa meille positiivisen luvun - jo ilman miinuksia.

Yleisesti ottaen loukkaavien virheiden välttämiseksi muista kerta kaikkiaan:

Minkä tahansa samaan potenssiin korotetun funktion parillisen asteen juuri on sama kuin itse funktio, vaan sen moduuli:

Palaamme logaritmiseen yhtälöimme. Moduulista puhuessani väitin, että voimme poistaa sen kivuttomasti. Se on totta. Nyt selitän miksi. Tarkkaan ottaen meidän piti harkita kahta vaihtoehtoa:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Jokainen näistä vaihtoehdoista olisi otettava huomioon. Mutta siinä on yksi salaisuus: alkuperäinen kaava sisältää jo funktion (x − 1) ilman moduulia. Ja logaritmien määrittelyaluetta noudattaen meillä on oikeus kirjoittaa heti muistiin, että x − 1 > 0.

Tämä vaatimus on täytettävä riippumatta moduuleista ja muista muutoksista, joita teemme ratkaisuprosessissa. Siksi on turhaa harkita toista vaihtoehtoa - sitä ei koskaan synny. Vaikka tätä epäyhtälön haaraa ratkaistaessa saammekin joitain lukuja, niitä ei silti sisällytetä lopulliseen vastaukseen.

Nyt olemme kirjaimellisesti yhden askeleen päässä logaritmisen yhtälön kanonisesta muodosta. Esitetään yksikkö seuraavasti:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Lisäksi lisäämme argumenttiin tekijän −4, joka on oikealla:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto. Päästä eroon logaritmin etumerkistä:

10 −4 = x − 1

Mutta koska kanta oli funktio (eikä alkuluku), vaadimme lisäksi, että tämä funktio on suurempi kuin nolla eikä yhtä suuri kuin yksi. Hanki järjestelmä:

Koska vaatimus x − 1 > 0 täyttyy automaattisesti (koska x − 1 = 10 −4), yksi epäyhtälöistä voidaan poistaa järjestelmästämme. Toinen ehto voidaan myös yliviivata, koska x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Tämä on ainoa juuri, joka automaattisesti täyttää kaikki logaritmin määritelmäalueen vaatimukset (kaikki vaatimukset kuitenkin eliminoitiin tietoisesti täytettyinä ongelmamme ehdoissa).

Joten toinen yhtälö on:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Miten tämä yhtälö eroaa olennaisesti edellisestä? Jo ainakin se, että logaritmien kantapäät - 3x ja 9x - eivät ole luonnolliset asteet toisiaan. Siksi edellisessä ratkaisussa käyttämämme siirtymä ei ole mahdollinen.

Asteista ainakin päästään eroon. Meidän tapauksessamme ainoa voima on toisessa argumentissa:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Moduulin etumerkki voidaan kuitenkin poistaa, koska muuttuja x on myös kantaosassa, ts. x > 0 ⇒ |x| = x. Kirjoitetaan logaritminen yhtälömme uudelleen:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Saimme logaritmit, joissa argumentit ovat samat, mutta eri perusteilla. Kuinka edetä? Tässä on monia vaihtoehtoja, mutta tarkastelemme niistä vain kahta, jotka ovat loogisimpia, ja mikä tärkeintä, nämä ovat nopeita ja ymmärrettäviä temppuja useimmille opiskelijoille.

Olemme jo harkinneet ensimmäistä vaihtoehtoa: missä tahansa käsittämätön tilanne kääntää logaritmit kielestä muuttuva pohja jollekin pysyvälle perustalle. Esimerkiksi kakkoselle. Muunnoskaava on yksinkertainen:

Tietenkin normaaliluvun tulee toimia muuttujana c: 1 ≠ c > 0. Olkoon tapauksessamme c = 2. Nyt meillä on tavallinen murto-rationaalinen yhtälö. Keräämme kaikki elementit vasemmalle:

Ilmeisesti kerroin log 2 x on parempi ottaa pois, koska se on läsnä sekä ensimmäisessä että toisessa fraktiossa.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Jaamme jokaisen lokin kahteen termiin:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Kirjoitetaan uudelleen tasa-arvon molemmat puolet ottaen huomioon nämä tosiasiat:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Nyt on vielä lisättävä kakkonen logaritmin merkin alle (se muuttuu potenssiksi: 3 2 \u003d 9):

log 2 9 = log 2 x

Ennen meitä on klassinen kanoninen muoto, pääsemme eroon logaritmin merkistä ja saamme:

Kuten odotettiin, tämä juuri osoittautui suuremmiksi kuin nolla. Jää vielä tarkistaa määritelmäalue. Katsotaanpa perusteita:

Mutta juuri x = 9 täyttää nämä vaatimukset. Siksi se on lopullinen päätös.

Johtopäätös kohteesta tämä päätös yksinkertainen: älä pelkää pitkiä laskelmia! Aivan alussa valitsimme satunnaisesti uuden tukikohdan - ja tämä monimutkaisi prosessia huomattavasti.

Mutta sitten herää kysymys: mikä on perusta optimaalinen? Puhun tästä toisella tavalla.

Palataan alkuperäiseen yhtälöihimme:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Mietitään nyt hieman: mikä luku tai funktio on optimaalinen perusta? Se on selvää paras vaihtoehto on c = x - mikä on jo argumenteissa. Tässä tapauksessa lokikaava a b = log c b /log c a tulee:

Toisin sanoen ilmaus on yksinkertaisesti päinvastainen. Tässä tapauksessa argumentti ja peruste ovat päinvastaiset.

Tämä kaava on erittäin hyödyllinen ja sitä käytetään hyvin usein monimutkaisten logaritmien yhtälöiden ratkaisemisessa. Tätä kaavaa käytettäessä on kuitenkin yksi erittäin vakava sudenkuoppa. Jos kannan sijaan korvaamme muuttujan x, sille asetetaan rajoituksia, joita ei aiemmin havaittu:

Alkuperäisessä yhtälössä ei ollut tällaista rajoitusta. Siksi meidän tulee erikseen tarkistaa tapaus, jossa x = 1. Korvaa tämä arvo yhtälössämme:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Me saamme oikeuden numeerinen tasa-arvo. Siksi x = 1 on juuri. Löysimme täsmälleen saman juuren edellisessä menetelmässä aivan ratkaisun alussa.

Mutta nyt, kun pohdimme tätä erikseen erikoistapaus, oletamme turvallisesti, että x ≠ 1. Sitten logaritminen yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavassa muodossa:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Laajennamme molemmat logaritmit saman kaavan mukaan kuin aiemmin. Huomaa, että log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Tästä päästään kanoniseen muotoon:

log x 9 = log x x 1

x=9

Saimme toisen juuren. Se täyttää vaatimuksen x ≠ 1. Siksi x = 9 yhdessä x = 1:n kanssa on lopullinen vastaus.

Kuten näette, laskelmien määrä on hieman laskenut. Mutta kun ratkaistaan ​​todellista logaritmista yhtälöä, vaiheiden määrä on paljon pienempi myös siksi, että sinun ei tarvitse kuvata jokaista vaihetta niin yksityiskohtaisesti.

Tämän päivän oppitunnin pääsääntö on seuraava: jos tehtävä sisältää tasainen tutkinto, josta erotetaan samanasteinen juuri, niin lähdössä saamme moduulin. Tämä moduuli voidaan kuitenkin poistaa, jos kiinnität huomiota logaritmien määrittelyalueeseen.

Mutta ole varovainen: useimmat oppilaat tämän oppitunnin jälkeen luulevat ymmärtävänsä kaiken. Mutta kun päättää oikeita tehtäviä he eivät voi toistaa koko loogista ketjua. Tämän seurauksena yhtälö saa ylimääräisiä juuria, ja vastaus on väärä.

perusominaisuudet.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

samoilla perusteilla

log6 4 + log6 9.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Siirtyminen uudelle perustalle

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Katso myös:

Logaritmin perusominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi.

Logaritmien perusominaisuudet

Kun tiedät tämän säännön, tiedät ja tarkka arvo näytteilleasettajat ja Leo Tolstoin syntymäaika.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 laskemme

2.

3.

4. missä .

Esimerkki 2 Etsi x jos

Esimerkki 3. Annetaan logaritmien arvot

Laske log(x), jos

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät todellakaan ole säännölliset numerot, täällä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei ainuttakaan vakavaa logaritminen ongelma. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomautus: avainhetki täällä - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritminen lauseke vaikka sen yksittäisiä osia ei oteta huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Tämän tosiasian perusteella monet koepaperit. Kyllä, mitkä ovat ohjaus - samanlaisia ​​ilmaisuja kokeessa tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä muuttumattomina).

Eksponentin poistaminen logaritmista

Se on helppo nähdä viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

luulen että viimeinen esimerkki selvennystä tarvitaan. Mihin logaritmit ovat kadonneet? koko matkan viimeinen hetki työskentelemme vain nimittäjällä.

Logaritmien kaavat. Logaritmit ovat esimerkkejä ratkaisuista.

He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisia lausekkeita. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmi, muuttaminen uuteen tukikohtaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat, pääasiallinen logaritminen identiteetti joskus se on ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon valtuuksien kertomista koskevat säännöt sama pohja, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi - logaritmi nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Katso myös:

Luvun b logaritmi kantaan a tarkoittaa lauseketta. Logaritmin laskeminen tarkoittaa sellaisen potenssin x () löytämistä, jolla yhtälö on tosi

Logaritmin perusominaisuudet

Yllä olevat ominaisuudet on tunnettava, koska niiden perusteella lähes kaikki tehtävät ja esimerkit ratkaistaan ​​logaritmien perusteella. Loput eksoottiset ominaisuudet voidaan johtaa matemaattisilla manipuloinneilla näillä kaavoilla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskettaessa kaavoja logaritmien summalle ja erolle (3.4) kohdataan melko usein. Loput ovat melko monimutkaisia, mutta monissa tehtävissä ne ovat välttämättömiä monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseksi ja niiden arvojen laskemiseksi.

Yleisiä logaritmien tapauksia

Jotkut yleisimmistä logaritmeista ovat sellaisia, joissa kanta on jopa kymmenen, eksponentiaalinen tai kakkonen.
Kymmenen kantalogaritmia kutsutaan yleensä kymmenen kantalogaritmiksi ja sitä merkitään yksinkertaisesti lg(x).

Tietueesta näkyy, että perusasiat eivät ole tietueessa kirjoitettuja. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka perusta on eksponentti (merkitty ln(x)).

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi. Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Ja toinen tärkeä kahden peruslogaritmi on

Funktion logaritmin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna muuttujalla

Integraali tai antideriivatiivinen logaritmi määräytyy riippuvuuden mukaan

Yllä oleva materiaali riittää sinulle ratkaisemaan laajan luokan logaritmeihin ja logaritmeihin liittyviä ongelmia. Aineiston ymmärtämisen vuoksi annan vain muutaman yleisen esimerkin koulun opetussuunnitelma ja yliopistot.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 laskemme

2.
Logaritmien erotusominaisuudella meillä on

3.
Käyttämällä ominaisuuksia 3.5 löydämme

4. missä .

Ulkonäön perusteella monimutkainen ilmaisu Sääntösarjan käyttäminen on yksinkertaistettu muotoon

Logaritmiarvojen löytäminen

Esimerkki 2 Etsi x jos

Päätös. Laskennassa hyödynnetään ominaisuuksia 5 ja 13 viimeiseen termiin asti

Korvaa pöytäkirjassa ja sure

Koska emäkset ovat yhtä suuret, yhtälöimme lausekkeet

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Olkoon logaritmien arvot annettu

Laske log(x), jos

Ratkaisu: Kirjoita muuttujan logaritmi termien summan läpi

Tämä on vasta alkua logaritmiin ja niiden ominaisuuksiin tutustumiselle. Harjoittele laskelmia, rikasta käytännön taitojasi - tarvitset pian hankittua tietoa logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen. Tutkittuamme perusmenetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, laajennamme tietosi toiselle tärkeä aihe-logaritminen epäyhtälö...

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log6 4 + log6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ​​ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Tarkastellaanpa eräitä logaritmisyhtälöiden tyyppejä, joita ei niin usein oteta huomioon koulun matematiikan tunneilla, mutta joita käytetään laajalti kilpailutehtävien valmistelussa, mukaan lukien KÄYTTÖ.

1. Yhtälöt ratkaistu logaritmimenetelmällä

Ratkaistaessa yhtälöitä, jotka sisältävät muuttujan sekä kanta- että eksponenttiosassa, käytetään logaritmimenetelmää. Jos eksponentti sisältää lisäksi logaritmin, yhtälön molemmat puolet on logaritmisoitava tämän logaritmin kantaan.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: x log 2 x + 2 = 8.

Päätös.

Otetaan yhtälön vasemman ja oikean puolen logaritmi kannassa 2. Saamme

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Olkoon log 2 x = t.

Sitten (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t - 3 = 0.

D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.

Joten log 2 x \u003d 1 ja x 1 \u003d 2 tai log 2 x \u003d -3 ja x 2 \u003d 1/8

Vastaus: 1/8; 2.

2. Homogeeniset logaritmiset yhtälöt.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

Päätös.

Yhtälöalue

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 x = -4. Tarkistamalla päätämme sen annettu arvo x ei on alkuperäisen yhtälön juuri. Siksi voimme jakaa yhtälön molemmat puolet log 2 3:lla (x + 5).

Saamme log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Olkoon log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Silloin t 2 - 3 t + 2 = 0. Tämän yhtälön juuret ovat 1; 2. Palaten alkuperäiseen muuttujaan, saamme kahden yhtälön joukon

Mutta ottaen huomioon logaritmin olemassaolon, vain (0; 9]:n arvot tulee ottaa huomioon. Tämä tarkoittaa, että vasemmalla oleva lauseke ottaa korkein arvo 2 x = 1. Tarkastellaan nyt funktiota y = 2 x-1 + 2 1-x. Jos otamme t \u003d 2 x -1, se saa muotoa y \u003d t + 1 / t, missä t\u003e 0. Tällaisissa olosuhteissa sillä on ainutlaatuinen Kriittinen piste t = 1. Tämä on minimipiste. Y vin \u003d 2. Ja se saavutetaan kohdassa x \u003d 1.

Nyt on ilmeistä, että tarkasteltujen funktioiden kuvaajat voivat leikata vain kerran pisteessä (1; 2). Osoittautuu, että x \u003d 1 on ratkaistavan yhtälön ainoa juuri.

Vastaus: x = 1.

Esimerkki 5. Ratkaise yhtälö log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

Päätös.

Me päätämme annettu yhtälö suhteessa lokiin 2 x. Olkoon log 2 x = t. Sitten t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.

D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.

Saamme yhtälön log 2 x \u003d -2 tai log 2 x \u003d 3 - x.

Ensimmäisen yhtälön juuri on x 1 = 1/4.

Yhtälön log 2 x \u003d 3 - x juuri löytyy valinnalla. Tämä luku on 2. Tämä juuri on ainutlaatuinen, koska funktio y \u003d log 2 x kasvaa koko määritelmäalueen yli ja funktio y \u003d 3 - x pienenee.

Tarkistamalla on helppo varmistaa, että molemmat luvut ovat yhtälön juuria

Vastaus: 1/4; 2.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Algebra luokka 11

Aihe: "Menetelmiä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi"

Oppitunnin tavoitteet:

koulutus: tiedon muodostuminen aiheesta eri tavoilla logaritmisen yhtälöiden ratkaiseminen, kyky soveltaa niitä jokaiseen erityinen tilanne ja valitse mikä tahansa ratkaisutapa;

kehittäminen: taitojen kehittäminen tarkkailla, vertailla, soveltaa tietoa uudessa tilanteessa, tunnistaa malleja, yleistää; keskinäisen hallinnan ja itsehillinnän taitojen muodostuminen;

koulutus: vastuullisen asenteen koulutus koulutustyötä, oppitunnin materiaalin huolellinen käsitys, kirjaamisen tarkkuus.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuteen materiaaliin tutustumisesta.

"Logaritmien keksiminen lyhentäen tähtitieteilijän työtä on pidentänyt hänen ikää."
ranskalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä P.S. Laplace

Tuntien aikana

I. Oppitunnin tavoitteen asettaminen

Tutkittu logaritmin määritelmä, logaritmien ominaisuudet ja logaritminen funktio mahdollistavat logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisen. Kaikki logaritmiset yhtälöt, olivatpa ne kuinka monimutkaisia ​​tahansa, ratkaistaan ​​käyttämällä yhtenäiset algoritmit. Käsittelemme näitä algoritmeja tänään oppitunnilla. Niitä on vähän. Jos hallitset ne, mikä tahansa logaritmiyhtälö on mahdollista jokaiselle teistä.

Kirjoita vihkoon oppitunnin aihe: "Menetelmät logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi." Kutsun kaikki yhteistyöhön.

II. Päivittää perustietämys

Valmistaudutaan opiskelemaan oppitunnin aihetta. Ratkaiset jokaisen tehtävän ja kirjoitat vastauksen muistiin, et voi kirjoittaa ehtoa. Työskennellä pareittain.

1) Millä x:n arvoilla funktiolla on järkeä:

(Jokaisen dian vastaukset tarkistetaan ja virheet selvitetään)

2) Ovatko funktiokaaviot täsmäävät?

3) Kirjoita yhtälöt uudelleen logaritmisiksi yhtälöiksi:

4) Kirjoita luvut logaritmeiksi, joiden kanta on 2:

5) Laske:

6) Yritä palauttaa tai täydentää puuttuvat elementit näissä yhtälöissä.

III. Johdatus uuteen materiaaliin

Lausunto näkyy näytöllä:

"Yhtälö on kultainen avain, joka avaa kaiken matemaattisen seesamin."
Nykyaikainen puolalainen matemaatikko S. Koval

Yritä muotoilla logaritmisen yhtälön määritelmä. (Yhtälö, joka sisältää tuntemattoman logaritmin merkin alla).

Harkitse yksinkertaisin logaritminen yhtälö:Hirsiax = b(jossa a>0, a ≠ 1). Kuten logaritminen funktio lisääntyy (tai vähenee) kuvauksessa positiivisia lukuja ja ottaa kaikki reaaliarvot, niin juurilauseesta seuraa, että millä tahansa b:llä tällä yhtälöllä on ja lisäksi vain yksi ratkaisu ja positiivinen.

Muista logaritmin määritelmä. (Luvun x logaritmi kantaan a on eksponentti, johon kantaa a on nostettava, jotta saadaan luku x). Logaritmin määritelmästä seuraa välittömästi, että asisään on sellainen ratkaisu.

Kirjoita otsikko ylös: Menetelmiä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi

1. Logaritmin määritelmän mukaan.

Näin muodon yksinkertaiset yhtälöt ratkaistaan.

Harkitse nro 514(a): Ratkaise yhtälö

Miten aiot ratkaista sen? (Logaritmin määritelmän mukaan)

Päätös. , Tästä syystä 2x - 4 = 4; x = 4.

Tässä tehtävässä 2x - 4 > 0, koska > 0, siis vieraat juuret ei näy, eikä sitä tarvitse tarkistaa. Ehtoa 2x - 4 > 0 ei tarvitse kirjoittaa tässä tehtävässä.

2. Tehostaminen(siirtymä logaritmista annettu ilmaisu tähän ilmaisuun).

Harkitse Nro 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Minkä ominaisuuden huomasit? (Kantat ovat samat ja molempien lausekkeiden logaritmit ovat yhtä suuret). Mitä voidaan tehdä? (tehostaa).

Tässä tapauksessa tulee ottaa huomioon, että mikä tahansa ratkaisu sisältyy kaikkien x:iden joukkoon, joille logaritmilausekkeet ovat positiivisia.

Ratkaisu: ODZ:

X2+8>0 ylimääräinen epäyhtälö

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Vahvista alkuperäinen yhtälö

saamme yhtälön x2+8= 8x+8

Ratkaisemme sen: x2-8x=0

Vastaus: 0; kahdeksan

AT yleisnäkymä siirtyminen vastaavaan järjestelmään:

Yhtälö

(Järjestelmä sisältää redundantin ehdon - yksi epäyhtälöistä voidaan jättää huomiotta).

Kysymys luokalle: Mistä näistä kolmesta ratkaisusta pidit eniten? (Keskustelu menetelmistä).

Sinulla on oikeus päättää millä tahansa tavalla.

3. Uuden muuttujan käyttöönotto.

Harkitse Nro 520(g). .

Mitä huomasit? (Tämä on toisen asteen yhtälö log3x:lle) Onko ehdotuksia? (Ota käyttöön uusi muuttuja)

Päätös. ODZ: x > 0.

Olkoon , niin yhtälö on muodossa:. Diskriminantti D > 0. Juuret Vietan lauseella:.

Palataan korvaamiseen: tai .

Ratkaisemalla yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt saamme:

Vastaus: 27;

4. Yhtälön molempien puolten logaritmi.

Ratkaise yhtälö:.

Ratkaisu: ODZ: x>0, ota yhtälön molempien puolten logaritmi kannassa 10:

Käytä tutkinnon logaritmin ominaisuutta:

(lgx + 3) lgx = 4

Olkoon lgx = y, sitten (y + 3)y = 4

, (D > 0) juuret Vieta-lauseen mukaan: y1 = -4 ja y2 = 1.

Palataan korvaukseen, saamme: lgx = -4,; logx = 1, .

Vastaus: 0,0001; kymmenen.

5. Vähentäminen yhteen kantaan.

nro 523(c). Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu: ODZ: x>0. Jatketaan kantaan 3.

6. Funktionaalis-graafinen menetelmä.

№ 509(d). Ratkaise graafisesti yhtälö: = 3 - x.

Miten ehdotat ratkaisua? (Tee kaavioita kahdesta funktiosta y \u003d log2x ja y \u003d 3 - x pisteillä ja etsi kaavioiden leikkauspisteiden abskissa).

Katso ratkaisusi diasta.

Onko mitään keinoa välttää juonittelua . Se on seuraava : jos jokin toiminnoista y = f(x) lisääntyy ja toinen y = g(x) pienenee välillä X, sitten yhtälö f(x)=g(x) sillä on enintään yksi juuri välissä X.

Jos juuri on olemassa, se voidaan arvata.

Meidän tapauksessamme funktio kasvaa x>0:lle ja funktio y \u003d 3 - x pienenee kaikille x:n arvoille, mukaan lukien x>0, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä ei ole enempää kuin yksi juuri. Huomaa, että kun x = 2, yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi, koska .

« Oikea sovellus menetelmät voidaan oppia
vain soveltamalla niitä erilaisia ​​esimerkkejä».
Tanskalainen matematiikan historioitsija G. G. Zeiten

minäv. Kotitehtävät

S. 39 harkitse esimerkkiä 3, ratkaise nro 514 (b), nro 529 (b), nro 520 (b), nro 523 (b)

V. Oppitunnin yhteenveto

Mitä menetelmiä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi mietimme oppitunnilla?

Seuraavalla oppitunnilla katsomme lisää monimutkaisia ​​yhtälöitä. Niiden ratkaisemiseksi tutkitut menetelmät ovat hyödyllisiä.

Näytetään viimeinen dia:

"Mikä on enemmän kuin mikään muu maailmassa?
Avaruus.
Mikä on viisain?
Aika.
Mikä on nautinnollisinta?
Saavuta mitä haluat."
Thales

Haluan jokaisen saavuttavan haluamansa. Kiitos yhteistyöstäsi ja ymmärryksestäsi.