Aihe:"Ratkaisumenetelmät trigonometriset yhtälöt».

Oppitunnin tavoitteet:

koulutuksellinen:

Muodostaa taitoja erottaa trigonometristen yhtälöiden tyypit;

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien ymmärtämisen syventäminen;

koulutuksellinen:

Kasvatus kognitiivinen kiinnostus koulutusprosessiin;

Tehtävän analysointikyvyn muodostuminen;

kehitetään:

Muodostaa taito analysoida tilannetta ja valita siitä rationaalisin tapa.

Laitteet: juliste trigonometristen peruskaavojen kanssa, tietokone, projektori, näyttö.

Aloitetaan oppitunti toistamalla perustekniikka minkä tahansa yhtälön ratkaisemiseksi: pelkistämällä se arvoon vakiomuotoinen. Muutoksen kautta lineaariset yhtälöt pienennä muotoon kirves \u003d sisään, neliö - muotoon ax2+bx +c = 0. Trigonometristen yhtälöiden tapauksessa ne on vähennettävä yksinkertaisimpaan muotoon: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, joka voidaan helposti ratkaista.

Ensinnäkin tietysti tätä varten on käytettävä perustoimintoa trigonometriset kaavat jotka on esitetty julisteessa: summauskaavat, kaavat kaksoiskulma, alentaa yhtälön monikertaisuutta. Tiedämme jo kuinka ratkaista tällaiset yhtälöt. Toistakaamme joitain niistä:

Samaan aikaan on yhtälöitä, joiden ratkaiseminen edellyttää joidenkin erikoistekniikoiden tuntemusta.

Oppitunnin aiheena on näiden tekniikoiden tarkastelu ja trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien systematisointi.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät.

1. Muunna muotoon toisen asteen yhtälö jonkin trigonometrisen funktion suhteen, jota seuraa muuttujan muutos.

Harkitse jokaista luetellut menetelmät esimerkeissä, mutta tarkastelemme kahta viimeistä yksityiskohtaisemmin, koska olemme jo käyttäneet kahta ensimmäistä yhtälöiden ratkaisemisessa.

1. Muunnos toisen asteen yhtälöksi minkä tahansa trigonometrisen funktion suhteen.

2. Yhtälöiden ratkaisu faktorointimenetelmällä.

3. Homogeenisten yhtälöiden ratkaisu.

Ensimmäisen ja toisen asteen homogeenisia yhtälöitä kutsutaan muodon yhtälöiksi:

vastaavasti (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Homogeenisiä yhtälöitä ratkaistaessa yhtälön molemmat osat jaetaan termillä cosx:lla yhtälön (1) kohdalla ja cos 2 x:llä (2). Tällainen jako on mahdollista, koska sinx ja cosx eivät ole yhtä aikaa nolla - ne muuttuvat nollaksi eri pisteet. Harkitse esimerkkejä ensimmäisen ja toisen asteen homogeenisten yhtälöiden ratkaisemisesta.

Muista tämä yhtälö: kun harkitaan seuraavaa menetelmää - apuargumentin käyttöönottoa, ratkaisemme sen eri tavalla.

4. Apuargumentin esittely.

Tarkastellaan edellisellä menetelmällä jo ratkaistua yhtälöä:

Kuten näet, saadaan sama tulos.

Katsotaanpa toista esimerkkiä:

Tarkastetuissa esimerkeissä oli yleisesti selvää, mihin alkuperäinen yhtälö pitää jakaa, jotta apuargumentti voidaan ottaa käyttöön. Mutta voi käydä niin, ettei ole selvää, mikä jakaja valita. Tätä varten on olemassa erityinen tekniikka, jota tarkastelemme nyt yleisnäkymä. Olkoon yhtälö annettu:

Jaa yhtälö arvolla Neliöjuuri lausekkeesta (3) saamme:

asinx + bcosx = c,

silloin a 2 + b 2 = 1 ja siten a = sinx ja b = cosx . Käyttämällä differentiaalikosinikaavaa saamme yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön:

joka on helppo ratkaista.

Ratkaistaan ​​toinen yhtälö:

Vähennämme yhtälön yhdeksi argumentiksi - 2 x käyttämällä kaksoiskulmakaavoja ja alentamalla astetta:

Samoin kuin edellisissä yhtälöissä, käyttämällä summan sinikaavaa, saamme:

joka on myös helppo ratkaista.

Päätä itse määrittämällä ratkaisutapa etukäteen:

Oppitunnin tuloksena tarkistetaan ratkaisu ja arvioidaan oppilaita.

Kotitehtävät: s. 11, abstrakti, nro 164 (b, d), 167 (b, d), 169 (a, b), 174 (a, c).

Alkuperäiset trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöitä muotoa, jossa on yksi trigonometrisista funktioista: , .

Alkeistrigonometrisilla yhtälöillä on äärettömän monta juuria. Esimerkiksi yhtälö täyttyy seuraavat arvot: , jne. Yleinen kaava jolla kaikki yhtälön juuret löydetään, missä on:

Tässä se voi ottaa mitä tahansa kokonaislukuarvoa, jokainen niistä vastaa yhtälön tiettyä juurta; tässä kaavassa (sekä muissa kaavoissa, joilla trigonometriset alkeisyhtälöt ratkaistaan) kutsutaan parametri. He yleensä kirjoittavat sen muistiin ja korostavat siten, että parametri voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun.

Yhtälön, jossa, ratkaisut löytyvät kaavasta

Yhtälö ratkaistaan ​​käyttämällä kaavaa

ja yhtälö --- kaavan mukaan

Huomioikaa erityisesti joitain alkeistrigonometristen yhtälöiden erikoistapauksia, joissa ratkaisu voidaan kirjoittaa käyttämättä yleisiä kaavoja:

Kun ratkaiset trigonometrisiä yhtälöitä tärkeä rooli toistaa trigonometristen funktioiden jakson. Siksi esitämme kaksi hyödyllistä lausetta:

Lause Jos --- perus funktion jakso, niin numero on funktion pääjakso.

Funktioiden ja jaksojen sanotaan olevan suhteellisia, jos niitä on olemassa kokonaislukuja ja mitä.

Lause Jos jaksolliset toiminnot ja, on oikeassa suhteessa ja sitten heillä on yleinen ajanjakso, joka on funktioiden jakso, .

Lause kertoo, mikä on funktion jakso, eikä välttämättä pääjakso. Esimerkiksi funktioiden ja pääjakso on --- , ja niiden tuotteen pääjakso on --- .

Esittelyssä apuväite

Tavallinen tapa muuttaa lomakkeen lausekkeita on seuraava temppu: let --- kulma, annetaan yhtäläisyydestä, . Kaikille ja sellaisille kulma on olemassa. Tällä tavalla. Jos tai muissa tapauksissa.

Kaavio trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Pääkaavio, jota ohjaamme ratkaiseessamme trigonometrisiä yhtälöitä, on seuraava:

ratkaisu annettu yhtälö riippuu päätöksestä alkeisyhtälöt. Ratkaisutyökalut --- muunnoksia, tekijät, tuntemattomien muutos. Ohjausperiaate on, ettei juuria menetä. Tämä tarkoittaa, että siirryttäessä seuraavaan yhtälöön (yhtälöihin), emme pelkää ylimääräisten (ulkopuolisten) juurien ilmaantumista, vaan huolehdimme vain siitä, että jokainen seuraava yhtälö"ketjumme" (tai yhtälösarja haarautumisen tapauksessa) oli seurausta edellisestä. Yksi mahdollisia menetelmiä juurien valinta on tarkistus. Huomaamme heti, että trigonometristen yhtälöiden tapauksessa juurien valintaan liittyvät vaikeudet varmentamiseen kasvavat yleensä jyrkästi algebrallisiin yhtälöihin verrattuna. Loppujen lopuksi on tarpeen tarkistaa sarja, joka koostuu ääretön luku jäsenet.

Erityisesti on syytä mainita tuntemattomien muutos trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Useimmissa tapauksissa se käy ilmi tarvittavan vaihdon jälkeen algebrallinen yhtälö. Lisäksi ei ole harvinaista, että yhtälöt, vaikka ne ovat trigonometrisiä ulkomuoto, itse asiassa he eivät ole, koska jo ensimmäisen askeleen jälkeen --- vaihtoja muuttujat --- muuttuvat algebrallisiksi, ja paluu trigonometriaan tapahtuu vasta alkeistrigonometristen yhtälöiden ratkaisuvaiheessa.

Muistutetaan vielä kerran: tuntemattoman korvaaminen tulee tehdä mahdollisimman pian, korvaamisen jälkeen saatu yhtälö on ratkaistava loppuun asti, mukaan lukien juurien valintavaihe, ja vasta sitten palataan alkuperäiseen tuntematon.

Yksi trigonometristen yhtälöiden ominaisuuksista on, että vastaus voidaan monissa tapauksissa kirjoittaa eri tavoilla. Jopa yhtälön ratkaisemiseksi vastaus voidaan kirjoittaa näin:

1) kahden sarjan muodossa: , ;

2) vakiomuodossa, joka on edellä mainitun sarjan liitto: , ;

3) koska, niin vastaus voidaan kirjoittaa muotoon, . (Jatkossa parametrin tai läsnäolo vastaustietueessa tarkoittaa automaattisesti, että tämä parametri ottaa kaikki mahdolliset kokonaislukuarvot. Poikkeukset määritetään.)

Ilmeisesti kolme lueteltua tapausta eivät tyhjennä kaikkia mahdollisuuksia kirjoittaa vastaus tarkasteltavaan yhtälöön (niitä on äärettömän paljon).

Esimerkiksi kun tasa-arvo on totta. Siksi kahdessa ensimmäisessä tapauksessa, jos, voimme korvata.

Yleensä vastaus kirjoitetaan kappaleen 2 perusteella. On hyvä muistaa seuraava suositus: jos työ ei pääty yhtälön ratkaisuun, on silti tehtävä tutkimus, juurien valinta, niin sopivin tallennusmuoto on osoitettu kappaleessa 1. (Yhtälölle tulisi antaa samanlainen suositus.)

Tarkastellaanpa esimerkkiä, joka valaisee sanottua.

Esimerkki Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Ilmeisin on seuraava polku. Tämä yhtälö jakautuu kahteen osaan: i. Ratkaisemalla jokainen niistä ja yhdistämällä saadut vastaukset löydämme.

Toinen tapa. Siitä lähtien, korvaamalla ja kaavoilla alentaa tutkinnon. Pienten muutosten jälkeen pääsemme minne.

Ensi silmäyksellä ei yhtään erityisetuja toisessa kaavassa ei ole yhtään verrattuna ensimmäiseen. Kuitenkin, jos otamme esimerkiksi, niin käy ilmi, että ts. yhtälöllä on ratkaisu, kun taas ensimmäinen tapa johtaa meidät vastaukseen. Tasa-arvon "näkeminen" ja todistaminen ei ole niin helppoa.

Algebratunneilla opettajat sanovat, että on olemassa pieni (itse asiassa hyvin suuri) trigonometristen yhtälöiden luokka, jota ei voida ratkaista standardi tavoilla- ei faktoroinnin, muuttujan muutoksen tai edes homogeenisten termien kautta. Tässä tapauksessa tulee esiin pohjimmiltaan erilainen lähestymistapa - menetelmä apunurkkaus.

Mikä tämä menetelmä on ja kuinka sitä sovelletaan? Muistetaan ensin kaavat summa/erotussinille ja summa/erokosinille:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]

Luulen, että nämä kaavat ovat sinulle hyvin tuttuja - kaavat johdetaan niistä kaksinkertainen argumentti, jota ilman trigonometria ei ole missään. Mutta tarkastellaan nyt yksinkertaista yhtälöä:

Jaa molemmat osat viidellä:

Huomaa, että $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, mikä tarkoittaa, että on varmasti olemassa kulma $\alpha $, jolle nämä luvut ovat kosini ja sini. Siksi yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]

Ja tämä on jo helposti ratkaistu, minkä jälkeen jää vain selvittää miksi on yhtä suuri kuin kulma$\alpha $. Kuinka selvittää, sekä kuinka valita oikea luku yhtälön molemmille puolille jakamiseen (tässä yksinkertainen esimerkki jaamme 5) - tästä tämän päivän video-opetusohjelmassa:

Tänään analysoimme trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, tai pikemminkin yhtä ja ainoaa temppua, jota kutsutaan "apukulmamenetelmäksi". Miksi juuri tämä menetelmä? Vain siksi, että parin kolmen päivän aikana työskennellessäni opiskelijoiden kanssa, joille puhuin trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta ja analysoimme muun muassa apukulmamenetelmää, ja kaikki opiskelijat yksittäin tekevät saman virheen. Mutta menetelmä on yleensä yksinkertainen ja lisäksi se on yksi trigonometrian päätekniikoista. Siksi monet trigonometriset ongelmat muutoin kuin apukulmamenetelmällä niitä ei ratkaista ollenkaan.

Siksi harkitsemme nyt aluksi muutamaa yksinkertaista tehtävää ja siirrymme sitten vakavampiin tehtäviin. Kaikki nämä, tavalla tai toisella, edellyttävät kuitenkin apukulmamenetelmän käyttöä, jonka olemuksen kerron ensimmäisessä rakenteessa.

Yksinkertaisten trigonometristen tehtävien ratkaiseminen

Esimerkki #1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Muutetaanpa hieman ilmaisuamme:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \vasen(-1 \oikea) \oikea.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Miten aiomme ratkaista sen? Normaali vastaanotto on laajentaa $\sin 2x$ ja $\cos 2x$ käyttämällä kaksoiskulmakaavoja ja kirjoittaa sitten yksikkö uudelleen muotoon $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ , saada homogeeninen yhtälö, tuo se tangenteihin ja ratkaise. Tämä on kuitenkin pitkä ja työläs tie, joka vaatii paljon laskelmia.

Suosittelen miettimään tätä. Meillä on $\sin$ ja $\cos$. Muista kaava summan ja eron kosinille ja sinille:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Palataanpa esimerkkiimme. Pelkistetään kaikki eron siniin. Mutta ensin yhtälöä on muutettava hieman. Etsitään kerroin:

$\sqrt(l)$ on sama kerroin, jolla yhtälön molemmat puolet on jaettava niin, että luvut ilmestyvät sinin ja kosinin eteen, jotka ovat itse sinejä ja kosineja. Jaetaan:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Katsotaanpa mitä saimme vasemmalla: onko olemassa $\sin $ ja $\cos $ siten, että $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ ja $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Ilmeisesti siellä on: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Siksi voimme kirjoittaa lausekkeen uudelleen seuraavasti:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\teksti(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Nyt meillä on erotuksen sinin kaava. Voimme kirjoittaa näin:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

Edessämme on yksinkertaisin klassinen trigonometrinen rakenne. Muistutan teitä:

Tämän kirjoitamme erityiselle ilmaisullemme:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\teksti( ))(\teksti(6))=\teksti( )\!\!\pi\!\!\teksti( )-\frac(\teksti( )\!\! \pi\!\!\teksti( ))(\teksti(6))+2\teksti( )\!\!\pi\!\!\teksti( )n \\\end(tasaa) \oikea.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(tasaa) \oikea.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\teksti( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\teksti( )\!\!\pi\!\!\teksti( ))(2)+\teksti( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(tasaa) \oikea.\]

Ratkaisun vivahteet

Joten mitä sinun pitäisi tehdä, jos kohtaat samanlaisen esimerkin:

1. Muuta suunnittelua tarvittaessa.
2. Etsi korjauskerroin, ota siitä juuri ja jaa esimerkin molemmat osat sillä.
3. Tarkastelemme, mitkä sinin ja kosinin arvot saadaan luvuista.
4. Jaamme yhtälön erotuksen tai summan sinin tai kosinin kaavojen mukaan.
5. Ratkaisemme yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön.

Tältä osin tarkkaavaisilla opiskelijoilla on todennäköisesti kaksi kysymystä.

Mikä estää meitä kirjoittamasta $\sin $ ja $\cos $ korjauskertoimen etsimisvaiheessa? – Meitä estää trigonometrinen perusidentiteetti. Tosiasia on, että tuloksena olevien $\sin $ ja $\cos $, kuten minkä tahansa muun, jolla on sama argumentti, summan pitäisi olla täsmälleen "yksi" neliöitäessä. Ratkaisuprosessissa sinun on oltava erittäin varovainen, ettet menetä "kakkosta" X:n edessä.

Apukulmamenetelmä on työkalu, joka auttaa pelkistämään "ruman" yhtälön täysin riittäväksi ja "kauniiksi".

Esimerkki #2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Näemme, että meillä on $((\sin )^(2))x$, joten käytetään pelkistyslaskelmia. Ennen kuin käytät niitä, otetaan ne pois. Tätä varten muista kuinka löytää kaksoiskulman kosini:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Jos kirjoitamme $\cos 2x$ kolmanteen muunnelmaan, saamme:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Kirjoitan erikseen:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Sama voidaan tehdä $((\cos )^(2))x$:lle:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Tarvitsemme vain ensimmäiset laskelmat. Mennään työstämään tehtävää:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Nyt käytämme erotuksen kosinin laskelmia. Mutta ensin lasketaan korjaus $l$:

Kirjoitetaan tämä tosiasia mielessä:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

Tässä tapauksessa voimme kirjoittaa, että $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, ja $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Kirjoitetaan uudestaan:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\teksti(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Laitetaan "miinus" hakasulkeeseen hankalalla tavalla. Ota tämä huomioon seuraavasti:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\teksti( ))(\teksti(3))+2x \oikea)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Palaamme lauseeseemme ja muistamme, että $\varphi $ roolissa meillä on lauseke $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Siksi kirjoitamme:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Samanlaisen ongelman ratkaisemiseksi sinun on muistettava seuraavat asiat:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(tasaa) \oikea.\]

Katsotaanpa esimerkkiämme:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(tasaa) \oikea.\]

Lasketaan jokainen näistä yhtälöistä:

Ja toinen:

Kirjoitetaan lopullinen vastaus:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(tasaa) \oikea.\]

Ratkaisun vivahteet

Itse asiassa tämä lauseke ratkaistaan ​​monilla eri tavoilla, mutta se on apukulmamenetelmä Tämä tapaus optimaalinen. Lisäksi haluan tämän mallin esimerkin avulla kiinnittää huomiosi useisiin mielenkiintoisiin temppuihin ja faktoihin:

• Tutkinnonvähennyskaavat. Näitä kaavoja ei tarvitse opetella ulkoa, mutta sinun on osattava johtaa ne, mistä kerroin sinulle tänään.
• Muodon $\cos \alpha =\cos \beta $ yhtälöiden ratkaisu.
• Lisää "nolla".

Mutta siinä ei vielä kaikki. Tähän asti $\sin$ ja $\cos$, jotka tulostimme lisäargumenttina, ajattelimme, että niiden pitäisi olla positiivisia. Siksi nyt ratkaisemme monimutkaisempia ongelmia.

Monimutkaisempien tehtävien analyysi

Esimerkki #1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Muunnetaan ensimmäinen termi:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

Ja nyt korvaamme tämän kaiken alkuperäisellä rakenteellamme:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operaattorinimi(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Esittelemme korjauksemme:

Kirjoitamme muistiin:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

$\alpha $ siten, että $\sin $ tai $\cos $ olisi yhtä suuri kuin $\frac(3)(5)$ ja $\frac(4)(5)$ trigonometrinen taulukko ei. Siksi kirjoitetaan ja vähennetään lauseke summan siniin:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

se erikoistapaus, yksinkertaisin trigonometrinen rakenne:

On vielä selvitettävä, mikä $\varphi $ on yhtä suuri. Tässä monet opiskelijat menevät pieleen. Tosiasia on, että $\varphi $:lle asetetaan kaksi vaatimusta:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]

Piirretään tutka ja katsotaan missä nämä arvot esiintyvät:

Palataksemme ilmaisuumme, kirjoitamme seuraavan:

Mutta tätä merkintää voidaan hieman parantaa. Koska tiedämme seuraavat asiat:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

niin meidän tapauksessa voimme kirjoittaa sen näin:

Esimerkki #2

Tämä vaatii vielä syvempää ymmärrystä ratkaisumenetelmistä vakiotehtävät ei trigonometriaa. Mutta tämän esimerkin ratkaisemiseksi käytämme myös apukulmamenetelmää.\[\]

Ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on, että ei ole olemassa ensimmäisiä korkeampia asteita, ja siksi mitään ei voida hajottaa asteiden laajennuskaavojen mukaan. Käyttää käänteisiä:

Miksi levitin 5 dollaria. Kuulehan:

Yksikkö pääasiallisen mukaan trigonometrinen identiteetti voimme kirjoittaa muodossa $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

Mikä antaa meille tällaisen ennätyksen? Tosiasia on, että ensimmäisessä sulussa on tarkka neliö. Kääritään se ja hankitaan:

Ehdotan uuden muuttujan käyttöönottoa:

\[\sin x+\cos x=t\]

Tässä tapauksessa saamme lausekkeen:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Yhteensä saamme:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

Tietysti asiantuntevat opiskelijat sanovat nyt, että tällaiset rakenteet on helppo ratkaista pelkistämällä homogeeniseksi. Ratkaisemme kuitenkin jokaisen yhtälön käyttämällä apukulmamenetelmää. Tätä varten laskemme ensin korjauksen $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Jaa kaikki $\sqrt(2)$:lla:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(tasaa) \oikea.\]

Vähennetään kaikki arvoon $\cos$:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ right)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]

Katsotaanpa kutakin näistä ilmaisuista.

Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole juuria, ja irrationaalisuus nimittäjässä auttaa meitä todistamaan tämän tosiasian. Huomaa seuraavat asiat:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]

Kaiken kaikkiaan olemme selvästi osoittaneet, että $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ vaaditaan on yhtä suuri kuin luku, joka on suurempi kuin "yksi", ja siksi tällä konstruktiolla ei ole juuria.

Käsitellään toista:

Ratkaistaan ​​tämä malli:

Periaatteessa voit jättää vastauksen näin tai maalata sen:

Tärkeitä kohtia

Lopuksi haluan vielä kerran kiinnittää huomionne työhön "rumoilla" argumenteilla, ts. kun $\sin$ ja $\cos$ eivät ole taulukon arvoja. Ongelmana on, että jos sanomme, että yhtälössämme $\frac(3)(5)$ on $\cos $ ja $\frac(4)(5)$ on $\sin $, niin loppujen lopuksi, kun päättää suunnittelusta, meidän on otettava huomioon nämä molemmat vaatimukset. Saamme kahden yhtälön järjestelmän. Jos emme ota tätä huomioon, saamme seuraavan tilanteen. Tässä tapauksessa saamme kaksi pistettä ja $\varphi $:n tilalle tulee kaksi numeroa: $\arcsin \frac(4)(5)$ ja $-\arcsin \frac(4)(5)$, mutta viimeinen ei millään tavalla tyytyväinen. Sama tapahtuu pisteen $\frac(3)(5)$ kanssa.

Tämä ongelma ilmenee vain, kun me puhumme"rumoista" argumenteista. Kun meillä on taulukon arvot, silloin ei ole mitään.

Toivon, että tämän päivän oppitunti auttoi sinua ymmärtämään, mikä apukulmamenetelmä on ja kuinka sitä sovelletaan esimerkkien avulla. eri tasoilla vaikeuksia. Mutta tämä ei ole ainoa oppitunti, joka on omistettu ongelmien ratkaisemiseen apukulmamenetelmällä. Pysy siis kanssamme!

Oppitunnin yhteenveto luokille 10-11

Aihe 1 : Apuargumentin syöttötapa. Kaavojen johtaminen.

Tavoitteet:

Tiedon muodostus uudesta menetelmästä trigonometrian tehtävien ratkaisemiseksi, jossa sen soveltaminen on mahdollista tai tarpeellista;

Taitojen muodostuminen analysoida ongelman tilaa, vertailla ja löytää eroja;

Ajattelun, logiikan ja väittämien paikkansapitävyyden kehittäminen, kyky tehdä johtopäätöksiä ja yleistää;

Puheen kehittäminen, rikastuminen ja komplikaatio sanastoa, oppilaiden kielen ilmaisuominaisuuksien hallitseminen;

Asenteen muodostuminen aiheeseen, intohimo tietoon, edellytysten luominen luovalle epätyypilliselle lähestymistavalle tiedon hallitsemiseen.

Vaaditut tiedot, taidot ja kyvyt:

Osaat johtaa trigonometrisiä kaavoja ja käyttää niitä jatkotyötä;

Pystyy ratkaisemaan tai sinulla on idea ratkaisusta trigonometriset tehtävät;

Tunne trigonometriset peruskaavat.

Opiskelijoiden valmiusaste tietoiseen havaintoon:

Laitteet: AWP, esitys tehtävän ehdoilla, ratkaisuilla ja tarvittavat kaavat, kortit tehtäviä ja vastauksia.

Oppitunnin rakenne:

1. Oppitunnin tavoitteen asettaminen (2

Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun (12 min).

Tutustuminen uuteen materiaaliin (15 min).

Ensisijainen opitun ymmärtäminen ja soveltaminen (10 min).

Kotitehtävän tekeminen (3 min).

Oppitunnin yhteenveto (3 min).

Tuntien aikana.

1. Oppitunnin tavoitteen asettaminen.

Tarkista oppilaiden ja laitteiden valmius oppitunnille. On suositeltavaa valmistautua etukäteen kotitehtävät pöydälle keskustelemaan ratkaisusta. Huomaa, että oppitunnin tarkoituksena on laajentaa tietoa joidenkin trigonometrian tehtävien ratkaisumenetelmistä ja kokeilla niiden hallitsemista.

2. Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun.

Keskustele kotitehtävistä: muista perustrigonometriset kaavat, trigonometristen funktioiden arvot yksinkertaisimpia argumentteja varten. Tarkista kotitehtävä.

Kaavat:

; ;

; ;

Tehtävä: Ilmaise ilmaisu tuotteena.

Opiskelijat todennäköisesti tarjoavat seuraava ratkaisu:

Koska he tuntevat kaavat trigonometristen funktioiden summan muuntamiseksi tuloksi.

Ehdotamme toista ratkaisua ongelmaan: . Tässä ratkottaessa käytettiin kahden argumentin erotuksen kosinin kaavaa, jossa on apu. Huomaa, että jokaisessa näistä menetelmistä voidaan käyttää muita samanlaisia ​​kaavoja.

3. Tutustuminen uuteen materiaaliin.

Herää kysymys, mistä apuväite tuli?

Saadaksesi vastauksen, harkitse yhteinen päätös ongelma, muunnamme lausekkeen tuloksi, jossa ja ovat mielivaltaisia ​​nollasta poikkeavia lukuja.

otamme käyttöön lisäkulman (apuargumentti), jossa , , niin lausekkeemme tulee muotoon:

Näin saimme kaavan: .

Jos kulma syötetään kaavojen mukaan, lauseke saa muodon ja saamme kaavan erilaisen muodon: .

Olemme johtaneet kaavat lisäkulmalle, joita kutsutaan apuargumentin kaavoiksi:

Kaavoilla voi myös olla eri muoto (tähän on kiinnitettävä huomiota Erityistä huomiota ja näytä esimerkein).

Huomaa, että yksinkertaisimmissa tapauksissa apuargumentin lisäämismenetelmä pelkistetään numeroiden korvaamiseen; ; ; ; yksi; trigonometriset funktiot vastaavat kulmat.

4. Ensisijainen opitun ymmärtäminen ja soveltaminen .

Materiaalin vahvistamiseksi ehdotetaan harkitsemaan vielä muutamia esimerkkejä tehtävistä:

Express lausekkeen tuotteena:

Tehtävät 3 ja 4 kannattaa analysoida tunnilla (tehtävien analyysi löytyy tuntien materiaaleista). Tehtävät 1, 2 ja 5 voidaan ottaa vastaan itsenäinen päätös(vastaukset annettu).

Tyypillisten tehtävien olosuhteiden piirteiden analysoimiseksi, joissa harkittua ratkaisumenetelmää voidaan käyttää, voidaan käyttää erilaisia ​​menetelmiä. Huomaa, että tehtävä 1. voidaan suorittaa useilla tavoilla ja tehtävien 2 - 5 suorittamiseen on kätevämpää käyttää apukulman käyttöönottotapaa

Frontaalikeskustelun aikana tulee pohtia, kuinka nämä tehtävät ovat samanlaisia ​​kuin oppitunnin alussa käsitelty esimerkki, mitä eroja niillä on, voidaanko ehdotettua menetelmää soveltaa niiden ratkaisemiseen ja miksi sen käyttö on kätevämpää .

Samankaltaisuus: kaikissa ehdotetuissa esimerkeissä on mahdollista soveltaa apuargumentin käyttöönoton menetelmää, ja tämä on kätevämpi menetelmä, joka johtaa välittömästi tulokseen.

Ero: ensimmäisessä esimerkissä erilainen lähestymistapa on mahdollista, ja kaikissa muissa tapa käyttää apuargumenttia käyttämällä ei yhtä, vaan useita kaavoja.

Tehtävistä keskusteltuasi voit kutsua kaverit ratkaisemaan loput itse kotona.

5. Lausunto kotitehtävistä.

Kotona sinua pyydetään tutkimaan huolellisesti oppitunnin yhteenvetoa ja yrittämään ratkaista seuraavat harjoitukset.

Oppitunnin aihe: Menetelmä apukulman tuomiseksi trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Toteuttaminen.

Opettaja.

Kaverit! Tutustuimme erilaisiin trigonometrisiin yhtälöihin ja opimme ratkaisemaan niitä. Tänään yleistämme tietoa trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmistä monenlaisia. Tätä varten pyydän teitä työskentelemään teille ehdotettujen yhtälöiden luokittelun parissa (katso liitteen yhtälöt 1-10 - abstraktin lopussa PDF-muodossa)

Täytä taulukko: ilmoita yhtälön tyyppi, sen ratkaisutapa ja yhdistä yhtälöiden numerot siihen tyyppiin, johon ne kuuluvat.

Opiskelijat. Täytä taulukko.

Yhtälön tyyppi	Ratkaisumenetelmä	Yhtälöt
Alkueläimet	Juurikaavat	№1
Pienennettävä neliöiksi	Muuttuva korvausmenetelmä	№2,3
Monimutkainen trigonometrinen näkymä	Yksinkertaista tunnettuun muotoon käyttämällä trigonometriakaavoja	№4,5
Homogeeninen ensimmäinen aste	Jaa yhtälön termi muuttujan kosinilla	№6
Homogeeninen toinen aste	Jaa yhtälö termillä muuttujan kosinin neliöllä	№7

Problematisointi.

Täyttäessään taulukkoa opiskelijat kohtaavat ongelman. He eivät voi määrittää kolmen yhtälön tyyppiä ja ratkaisutapaa: Nro 8,9,10.

Opettaja. Oletko onnistunut luokittelemaan kaikki yhtälöt ratkaisumuodon ja -menetelmän mukaan?

Opiskelijoiden vastaus. Ei, kolmea yhtälöä ei voitu sijoittaa taulukkoon.

Opettaja. Miksi?

Opiskelijoiden vastaus. Ne eivät näytä tunnetut lajit. Ratkaisumenetelmä ei ole selvä.

Tavoitteiden asettaminen.

Opettaja. Miten sitten muotoilemme oppitunnimme tarkoituksen?

Vastaa opiskelijoille. Määrittele löydetty uusi tyyppi yhtälöt ja löydä menetelmä niiden ratkaisemiseksi.

Opettaja. Onko oppitunnin aihetta mahdollista muotoilla, jos emme tiedä löydettyjen yhtälöiden tyyppiä ja menetelmää niiden ratkaisemiseksi?

Opiskelijan vastaus. Ei, mutta voimme tehdä sen myöhemmin, kun ymmärrämme, mitä olemme tekemisissä.

Toiminnan suunnittelu.

Opettaja. Suunnitellaan toimintaamme. Yleensä määrittelemme tyypin ja etsimme sitten menetelmää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Onko nykytilanteessamme mahdollista antaa löydetylle yhtälötyypille tietty nimi? Ja yleensä, kuuluvatko ne samaan lajiin?

Opiskelijoiden vastaus. Sitä on vaikea tehdä.

Opettaja. Ajattele sitten, ehkä jokin yhdistää heitä, vai ovatko he samanlaisia ​​jonkin tyypin kanssa?

Opiskelijoiden vastaus. Näiden yhtälöiden vasen puoli on sama kuin homogeenisten, mutta niiden oikea puoli ei ole nolla. Joten kosinilla jakaminen vain mutkistaa ratkaisua.

Opettaja. Ehkä aloitamme etsimällä ratkaisumenetelmää ja määritämme sitten yhtälön tyypin? Mikä kolmesta yhtälöstä on mielestäsi yksinkertaisin?

Oppilaat vastaavat mutta yksimielisyyttä ei ole. Ehkä joku arvaa, että yhtälön nro 8 kertoimet tulisi ilmaista taulukon kulman sininä ja kosinina. Ja sitten luokka määrittää ensin yhtälön, joka voidaan ratkaista. Jos ei, opettaja ehdottaa harkitsemista lisäyhtälö (katso liitteen yhtälö nro 11 - abstraktin lopussa PDF-muodossa). Siinä kertoimet ovat yhtä suuria kuin tunnetun kulman sini ja kosini, ja opiskelijoiden tulee huomata tämä.

Opettaja antaa toimintojen järjestyksen. ( Katso yhtälöt liitteessä - PDF-muodossa abstraktin lopussa).

1. Ratkaise ensimmäinen yhtälö (№11), korvaamalla kertoimet tunnetun kulman sinin ja kosinin arvoilla ja soveltamalla summan sinin kaavaa.
2. Yritä muuntaa muut yhtälöt ensimmäisen muotoon ja käytä samaa menetelmää. ( katso yhtälö #8,9,12)
3. Yleistä ja laajenna menetelmä kaikkiin kertoimiin ja rakenna yleinen toimintojen algoritmi (katso yhtälö 10).
4. Käytä menetelmää muiden samantyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen. (katso yhtälöt 12, 13, 14).

Suunnitelman toteuttaminen.

Opettaja. No, olemme tehneet suunnitelman. Aloitetaan sen toteuttaminen.

Taululla opiskelija ratkaisee yhtälön nro 11.

Toinen opiskelija ratkaisee seuraavan yhtälön nro 8 jaettuaan sen vakio numero ja näin ollen tilanne jo löydetty ratkaisu.

Opettaja ehdottaa yhtälöiden nro 9.12 ratkaisemista itsenäisesti. Tarkistaa muunnosten oikeellisuuden ja ratkaisujoukon.

Opettaja. Kaverit, kuinka voit kutsua kulmaa, joka ilmestyy yhtälön kertoimien sijaan ja auttaa meitä löytämään ratkaisun?

Opiskelijoiden vastaus. Lisätiedot. (Vaihtoehto: apu).

Opettaja. Tällaista apukulmaa ei ole aina helppo löytää. Onko mahdollista löytää se, jos kertoimet eivät ole sini ja kosini tunnetut kulmat? Mitä identiteettiä tällaisten kertoimien tulee täyttää, jos haluamme esittää ne apukulman sininä ja kosinina?

Vastaus. Trigonometrinen perusidentiteetti.

Opettaja. Hyvin tehty! oikein! Tehtävämme on siis saada kertoimet, joiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi! Yritä keksiä luku, jolla sinun on jaettava yhtälö niin, että osoittamamme ehto täyttyy.

Opiskelijat ajattelevat ja ehkä ehdottavat jakavansa kaiken yhtälön kertoimien neliösumman neliöjuurella. Jos ei, opettaja johdattaa heidät tähän ajatukseen.

Opettaja. Meidän tehtävämme on valita, mikä uusista kertoimista nimetään apukulman siniksi ja mikä kosiniksi. Vaihtoehtoja on kaksi. Siirtyminen yksinkertaisimpaan yhtälöön, jossa on sini tai kosini, riippuu valinnasta.

Opiskelijat he tarjoavat ratkaisun, ja opettaja täydentää sen kiinnittäen huomiota päättelyn ja vastauksen kirjaamismuotoon. Ratkaise yhtälö 10.

Opettaja. Olemmeko löytäneet menetelmän uudenlaisen yhtälön ratkaisemiseksi? Miksi me kutsumme tätä tyyppiä?

Vastaus. Työskentelimme apukulman löytämismenetelmällä. Ehkä yhtälöitä pitäisi kutsua yhtälöiksi, jotka ratkaistaan ​​apukulmien avulla?

Opettaja. Kyllä, voit varmasti. Voitko keksiä niille kaavan? Siitä tulee lyhyempi.

Vastaus. Joo. Yhtälöt kertoimilla A, B ja C.

Opettaja. Yleistetään menetelmä mielivaltaisille kertoimille.

Opettaja keskustelee ja kirjoittaa taululle yleistettujen kertoimien apukulman sinin ja kosinin kaavat. Sitten hän ratkaisee heidän avullaan yhtälöt 13 ja 14.

Opettaja. Olemmeko hallitseneet menetelmän tarpeeksi hyvin?

Vastaus. Ei. On tarpeen ratkaista tällaiset yhtälöt ja vahvistaa kykyä käyttää apukulmamenetelmää.

Opettaja. Mistä tiedämme, että menetelmä on hallittu?

Vastaus. Jos ratkaisemme itse useita yhtälöitä.

Opettaja. Perustetaan laadullinen asteikko menetelmän hallitsemiseksi.

Tutustu tasojen ominaisuuksiin ja aseta ne asteikolle, joka heijastaa tämän taidon hallintaa. Korreloi tason ja pistemäärän ominaispiirteet (0-3)

• Osaan ratkaista yhtälöitä eri kertoimilla
• Ei pysty ratkaisemaan yhtälöitä
• Osaan ratkaista monimutkaisia ​​yhtälöitä
• Osaan ratkaista yhtälöitä taulukkokertoimilla

Opettaja.(Kun opiskelijat ovat vastanneet) Luokitusasteikkomme on siis seuraava:

Samalla periaatteella arvioimme itsenäinen työ aihe seuraavalla oppitunnilla.

Ja nyt, ratkaise yhtälöt nro 1148 g, 1149 g, 1150 g ja määritä aiheen assimilaatiotasosi.

Muista täyttää taulukon merkinnät ja nimetä aihe: "Apukulman käyttöönotto trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa."

Heijastus tavasta saavuttaa tavoite.

Opettaja. Kaverit, olemmeko saavuttaneet oppitunnin tavoitteen?

Opiskelijoiden vastaukset. Kyllä, olemme oppineet tunnistamaan uudenlaisen yhtälön.

Löysimme menetelmän niiden ratkaisemiseksi apukulman avulla.

Opi soveltamaan menetelmää käytännössä.

Opettaja. Miten toimimme? Kuinka tulimme ymmärtämään, mitä meidän on tehtävä?

Vastaus. Harkitsimme useita erityistapauksia yhtälöistä, joissa on "tunnistettavia" kertoimia, ja laajensimme tämän logiikan kaikkiin A-, B- ja C-arvoihin.

Opettaja. Tämä on induktiivinen ajattelutapa: olemme johtaneet menetelmän useista tapauksista ja soveltaneet sitä vastaaviin tapauksiin.

Perspektiivi. Missä voimme soveltaa tätä ajattelutapaa? (opiskelija vastaa)

Teit hyvää työtä tänään luokassa. Lue kotona apukulmamenetelmän kuvaus oppikirjasta ja ratkaise nro 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Toivon, että seuraavalla oppitunnilla osaatte kaikki käyttää tätä menetelmää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Kiitos oppitunnista!