Tänään rationaalista eriarvoisuutta kaikki eivät voi päättää. Tarkemmin sanottuna kaikki eivät voi päättää. Harvat ihmiset voivat tehdä sen.
Klitschko

Tästä oppitunnista tulee kova. Niin kovaa, että vain valitut pääsevät sen loppuun. Siksi suosittelen ennen lukemista poistamaan naiset, kissat, raskaana olevat lapset ja ...

Okei, se on itse asiassa melko yksinkertaista. Oletetaan, että olet oppinut intervallimenetelmän (jos et ole oppinut sitä, suosittelen palaamaan takaisin lukemaan) ja oppinut ratkaisemaan epäyhtälöt muodossa $P\left(x \right) \gt 0$, missä $P \left(x \right)$ on jokin polynomi tai polynomien tulo.

Uskon, että sinun ei ole vaikea ratkaista esimerkiksi tällaista peliä (muuten, kokeile sitä lämmittelyyn):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \oikea)\vasen(x-1 \oikea)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman ja harkitsemme paitsi polynomeja, myös muodon niin sanottuja rationaalisia murto-osia:

missä $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ ovat samat polynomit muodossa $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ tai tällaisten polynomien tulo.

Tämä tulee olemaan rationaalista eriarvoisuutta. Peruskohta on muuttujan $x$ läsnäolo nimittäjässä. Tässä ovat esimerkiksi rationaaliset epätasa-arvot:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\vasen(3-x \oikea))^(2))\vasen(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Ja tämä ei ole rationaalinen, vaan yleisin epäyhtälö, joka ratkaistaan ​​intervallimenetelmällä:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Tulevaisuudessa sanon heti: rationaalisia eriarvoisuuksia voidaan ratkaista ainakin kahdella tavalla, mutta ne kaikki tavalla tai toisella pelkistetään meille jo tuntemamme intervallimenetelmäksi. Siksi ennen näiden menetelmien analysointia muistetaan vanhat tosiasiat, muuten uudesta materiaalista ei ole mitään järkeä.

Mitä sinun on jo tiedettävä

Tärkeitä tosiasioita ei ole paljon. Tarvitsemme vain neljä.

Lyhennetyt kertolaskukaavat

Kyllä, kyllä: he seuraavat meitä koko ajan koulun opetussuunnitelma matematiikka. Ja myös yliopistossa. Näitä kaavoja on useita, mutta tarvitsemme vain seuraavat:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(a+b \oikea); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\vasen(a+b \oikea)\vasen(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\oikea); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\oikea). \\ \end(tasaa)\]

Kiinnitä huomiota kahteen viimeiseen kaavaan - tämä on kuutioiden summa ja erotus (eikä summan tai eron kuutio!). Ne on helppo muistaa, jos huomaat, että ensimmäisessä sulussa oleva merkki on sama kuin alkuperäisen lausekkeen merkki ja toisessa sulussa se on vastapäätä alkuperäisen lausekkeen merkkiä.

Lineaariset yhtälöt

Nämä ovat eniten yksinkertaiset yhtälöt muotoa $ax+b=0$, missä $a$ ja $b$ ovat tavallisia numeroita, ja $a\ne 0$. Tämä yhtälö on helppo ratkaista:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(tasaa)\]

Huomautan, että meillä on oikeus jakaa kertoimella $a$, koska $a\ne 0$. Tämä vaatimus on varsin looginen, koska $a=0$ saamme tämän:

Ensinnäkin tässä yhtälössä ei ole $x$-muuttujaa. Tämän ei yleisesti ottaen pitäisi hämmentää meitä (tätä tapahtuu esimerkiksi geometriassa ja melko usein), mutta silti emme ole enää lineaarinen yhtälö.

Toiseksi tämän yhtälön ratkaisu riippuu yksinomaan kertoimesta $b$. Jos $b$ on myös nolla, yhtälömme on $0=0$. Tämä tasa-arvo on aina totta; joten $x$ on mikä tahansa luku (kirjoitetaan yleensä muodossa $x\in \mathbb(R)$). Jos kerroin $b$ ei ole nolla, silloin yhtälö $b=0$ ei koskaan täyty, ts. ei vastauksia (kirjoitetaan $x\in \varnothing $ ja luetaan "ratkaisujoukko on tyhjä").

Kaikkien näiden monimutkaisuuden välttämiseksi oletamme yksinkertaisesti $a\ne 0$, mikä ei millään tavalla estä meitä pohtimasta jatkossa.

Toisen asteen yhtälöt

Muistutan, että tätä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi:

Tässä vasemmalla on toisen asteen polynomi ja taas $a\ne 0$ (muuten toisen asteen yhtälö saamme lineaarisen). Seuraavat yhtälöt ratkaistaan ​​diskriminantilla:

1. Jos $D \gt 0$, saamme kaksi eri juuria;
2. Jos $D=0$, niin juuri on yksi, mutta toisen kerrannaisuudessa (mikä monikertaisuus se on ja miten se otetaan huomioon - siitä lisää myöhemmin). Tai voimme sanoa, että yhtälöllä on kaksi identtistä juurta;
3. Arvolla $D \lt 0$ ei ole juuria ollenkaan, ja minkä tahansa $x$:n polynomin $a((x)^(2))+bx+c$ etumerkki on sama kuin kertoimen $a etumerkki. $. Tämä on muuten erittäin hyödyllinen tosiasia, josta jostain syystä he unohtavat puhua algebratunneilla.

Itse juuret lasketaan tunnetun kaavan mukaan:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Tästä muuten, syrjintää koskevat rajoitukset. Kuitenkin Neliöjuuri alkaen negatiivinen numero ei ole olemassa. Mitä tulee juuriin, monilla opiskelijoilla on kauhea sotku päässään, joten kirjoitin erikseen koko oppitunti: mikä on algebran juuri ja kuinka se lasketaan - suosittelen sen lukemista. :)

Operaatiot rationaalisilla murtoluvuilla

Kaikki yllä kirjoitettu tiedät jo, jos olet tutkinut intervallimenetelmää. Mutta sillä, mitä analysoimme nyt, ei ole analogeja menneisyydessä - tämä on täysin uusi tosiasia.

Määritelmä. Rationaalinen murtoluku on muodon ilmaus

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

missä $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ ovat polynomeja.

On selvää, että tällaisesta murto-osasta on helppo saada epäyhtälö - riittää, kun merkitsisit oikealle merkin "suurempi kuin" tai "pienempi kuin". Ja hieman kauempana huomaamme, että tällaisten ongelmien ratkaiseminen on ilo, kaikki on siellä hyvin yksinkertaista.

Ongelmat alkavat, kun yhdessä lausekkeessa on useita tällaisia ​​murtolukuja. Ne on tuotava yhteinen nimittäjä- ja se on tällä hetkellä sallittua suuri määrä kiusallisia virheitä.

Siksi varten onnistunut ratkaisu rationaaliset yhtälöt Kaksi taitoa on hallittava lujasti:

1. Polynomin faktorointi $P\left(x \right)$;
2. Itse asiassa tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

Kuinka polynomi kerrotaan kertoimella? Erittäin yksinkertainen. Olkoon muodon polynomi

Verrataan se nollaan. Saamme $n$:nnen asteen yhtälön:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Oletetaan, että ratkaisimme tämän yhtälön ja saimme juuret $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (älä huoli: useimmissa tapauksissa niitä ei ole enemmän kuin kaksi näistä juurista). Tässä tapauksessa alkuperäinen polynomimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\begin(tasaa) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \oikea)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \oikea) \end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Huomaa: alkukerroin $((a)_(n))$ ei ole kadonnut mihinkään - se on erillinen kerroin sulujen edessä, ja se voidaan tarvittaessa lisätä mihin tahansa näistä suluista (harjoitus osoittaa että $((a)_ (n))\ne \pm 1$:lla juurien joukossa on melkein aina murtolukuja).

Tehtävä. Yksinkertaista lauseke:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Ratkaisu. Ensin tarkastellaan nimittäjiä: ne ovat kaikki lineaarisia binomeja, eikä tässä ole mitään tekijöitä. Otetaan siis osoittajat kertoimiin:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vasen(x-\frac(3)(2) \oikea)\vasen(x-1 \oikea)=\vasen(2x- 3\oikea)\vasen(x-1\oikea); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vasen(x+2 \oikea)\vasen(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \oikea)\vasen(2-5x \oikea). \\\end(tasaa)\]

Huomaa: toisessa polynomissa vanhempi kerroin "2", täysin kaaviomme mukaisesti, ilmestyi ensin hakasulkeeseen ja sisällytettiin sitten ensimmäiseen hakasulkeeseen, koska murto-osa pääsi sieltä ulos.

Sama tapahtui kolmannessa polynomissa, vain siellä termien järjestys on myös sekaisin. Kerroin ”−5” päätyi kuitenkin toiseen hakasulkeeseen (muista: voit syöttää kertoimen yhteen ja vain yhteen hakasulkeeseen!), mikä säästi meidät murtojuuriin liittyviltä vaivoilta.

Mitä tulee ensimmäiseen polynomiin, siellä kaikki on yksinkertaista: sen juuria etsitään joko tavallisella tavalla diskriminantin kautta tai käyttämällä Vieta-lausetta.

Palataan alkuperäiseen lausekkeeseen ja kirjoitetaan se uudelleen tekijöiksi jaetuilla osoittajilla:

\[\begin(matriisi) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \oikea))(2x-3)-\frac(\vasen(x+2 \oikea)\vasen(2-5x \oikea))(x+2)= \\ =\vasen(x+5) \oikea)-\vasen(x-1 \oikea)-\vasen(2-5x \oikea)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matriisi)\]

Vastaus: $5x+4$.

Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Hieman 7-8 luokan matematiikkaa ja siinä se. Kaikkien muunnosten tarkoitus on muuttaa monimutkainen ja pelottava ilmaus yksinkertaiseksi ja helppokäyttöiseksi.

Näin ei kuitenkaan aina tapahdu. Joten nyt pohditaan vakavampaa ongelmaa.

Mutta ensin selvitetään, kuinka kaksi murtolukua saadaan yhteiseksi nimittäjäksi. Algoritmi on erittäin yksinkertainen:

1. Kerroin molemmat nimittäjät;
2. Harkitse ensimmäistä nimittäjää ja lisää siihen tekijät, jotka ovat toisessa nimittäjässä, mutta eivät ensimmäisessä. Tuloksena oleva tuote on yhteinen nimittäjä;
3. Selvitä, mitä tekijöitä kustakin alkuperäisestä murtoluvusta puuttuu, jotta nimittäjät ovat yhtä suuret kuin yhteinen.

Ehkä tämä algoritmi näyttää sinulle vain tekstiltä, ​​jossa on "paljon kirjaimia". Tarkastellaanpa siis konkreettista esimerkkiä.

Tehtävä. Yksinkertaista lauseke:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Ratkaisu. Tällaiset suuret tehtävät ratkaistaan ​​parhaiten osissa. Kirjoitetaan, mitä ensimmäisessä sulussa on:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Toisin kuin edellisessä ongelmassa, tässä nimittäjät eivät ole niin yksinkertaisia. Lasketaan jokainen niistä.

Neliötrinomia $((x)^(2))+2x+4$ ei voi kertoa, koska yhtälöllä $((x)^(2))+2x+4=0$ ei ole juuria (diskriminantti on negatiivinen) . Jätämme sen ennalleen.

Toinen nimittäjä, kuutiopolynomi $((x)^(3))-8$, lähemmin tarkasteltuna on kuutioiden ero, ja se voidaan helposti jakaa käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x) ^(2))+2x+4 \oikea)\]

Mitään muuta ei voi huomioida, koska ensimmäinen hakasulje sisältää lineaarisen binomilin ja toinen meille jo tutun konstruktion, jolla ei ole varsinaisia ​​juuria.

Lopuksi kolmas nimittäjä on lineaarinen binomi, jota ei voida hajottaa. Siten yhtälömme saa muodon:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \oikea))-\frac(1)(x-2)\]

On aivan selvää, että $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ on yhteinen nimittäjä, ja jos haluat vähentää siihen kaikki murtoluvut, ensimmäinen murtoluku on kerrottava arvolla $\left(x-2 \right)$ ja viimeinen luku $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Sitten jää vain tuoda seuraavat:

\[\begin(matriisi) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ oikea))+\frac(((x)^(2))+8)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x +4 \oikea))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \oikea)-\vasen(((x) )^(2))+2x+4 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen (((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\ vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea)). \\ \end(matriisi)\]

Kiinnitä huomiota toiseen riviin: kun nimittäjä on jo yhteinen, ts. kolmen erillisen murtoluvun sijasta kirjoitimme yhden suuren, sinun ei pitäisi heti päästä eroon suluista. On parempi kirjoittaa ylimääräinen rivi ja huomata, että sanotaan, että ennen kolmatta murtolukua oli miinus - ja se ei mene minnekään, vaan "roikkuu" osoittajassa hakasulkeen edessä. Tämä säästää sinua monilta virheiltä.

No, viimeisellä rivillä on hyödyllistä kertoa osoittaja. Lisäksi tämä on tarkka neliö, ja lyhennetyt kertolaskut tulevat jälleen avuksemme. Meillä on:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \frac(((\vasen(x-2 \oikea))^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Käsitellään nyt toista sulkua samalla tavalla. Kirjoitan tähän yksinkertaisesti tasa-arvoketjun:

\[\begin(matriisi) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((() x)^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea) ). \\ \end(matriisi)\]

Palaamme alkuperäiseen ongelmaan ja katsomme tuotetta:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(1)(x+2)\]

Vastaus: \[\frac(1)(x+2)\].

Tämän ongelman tarkoitus on sama kuin edellisellä: osoittaa, kuinka paljon rationaalisia lausekkeita voidaan yksinkertaistaa, jos lähestyt niiden muuntamista viisaasti.

Ja nyt, kun tiedät kaiken tämän, siirrytään tämän päivän oppitunnin pääaiheeseen - murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Lisäksi tällaisen valmistelun jälkeen epätasa-arvo itse napsahtaa kuin pähkinät. :)

Tärkein tapa ratkaista rationaalinen eriarvoisuus

On olemassa ainakin kaksi lähestymistapaa rationaalisen epätasa-arvon ratkaisemiseen. Nyt tarkastelemme yhtä niistä - sitä, joka on yleisesti hyväksytty koulun kurssi matematiikka.

Mutta ensin huomautetaan tärkeä yksityiskohta. Kaikki epätasa-arvo on jaettu kahteen tyyppiin:

1. Tiukka: $f\left(x \right) \gt 0$ tai $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Ei tiukat: $f\left(x \right)\ge 0$ tai $f\left(x \right)\le 0$.

Toisen tyypin epätasa-arvot pelkistyvät helposti ensimmäiseen, samoin kuin yhtälö:

Tämä pieni "lisäys" $f\left(x \right)=0$ johtaa niin epämiellyttävään asiaan kuin täytetyt pisteet - tapasimme ne takaisin intervallimenetelmässä. Muuten tiukkojen ja ei-tiukkojen epätasa-arvojen välillä ei ole eroja, joten analysoidaan universaalia algoritmia:

1. Kerää kaikki nollasta poikkeavat elementit epäyhtälömerkin yhdelle puolelle. Esimerkiksi vasemmalla;
2. Tuo kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään (jos sellaisia ​​on useita), tuo samanlaiset. Sitten, jos mahdollista, ota huomioon osoittaja ja nimittäjä. Tavalla tai toisella saadaan epäyhtälö muotoa $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, jossa rasti on epäyhtälömerkki.
3. Yhdistä osoittaja nollaan: $P\left(x \right)=0$. Ratkaisemme tämän yhtälön ja saamme juuret $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sitten vaadimme että nimittäjä ei ollut nolla: $Q\left(x \right)\ne 0$. Pohjimmiltaan meidän on tietysti ratkaistava yhtälö $Q\left(x \right)=0$, ja saadaan juuret $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (todellisissa tehtävissä tällaisia ​​juuria tuskin on enemmän kuin kolme).
4. Merkitsemme kaikki nämä juuret (sekä tähdellä että ilman) yhdelle numeroviivalle, ja juuret ilman tähtiä maalataan ja tähdellä varustetut juuret leimataan.
5. Asetamme plus- ja miinusmerkit, valitsemme tarvitsemamme välit. Jos epäyhtälö on muotoa $f\left(x \right) \gt 0$, niin vastaus on "plusilla" merkityt välit. Jos $f\left(x \right) \lt 0$, tarkastelemme aikavälejä "miinuksilla".

Käytäntö osoittaa, että kohdat 2 ja 4 aiheuttavat suurimmat vaikeudet - pätevät muunnokset ja numeroiden oikea järjestys nousevassa järjestyksessä. No, viimeisessä vaiheessa ole äärimmäisen varovainen: asetamme opasteet aina perustuen viimeinen kirjoitettu epäyhtälö ennen siirtymistä yhtälöihin. se universaali sääntö, peritty intervallimenetelmästä.

Joten, on olemassa kaava. Harjoitellaan.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Ratkaisu. Meillä on tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right) \lt 0$. Ilmeisesti kaaviomme kohdat 1 ja 2 ovat jo valmiit: kaikki eriarvoisuuden elementit on koottu vasemmalle, mitään ei tarvitse pelkistää yhteiseksi nimittäjäksi. Joten siirrytään kolmanteen kohtaan.

Aseta osoittaja nollaan:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(tasaa)\]

Ja nimittäjä:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(tasaa)\]

Tässä paikassa monet ihmiset juuttuvat, koska teoriassa sinun on kirjoitettava muistiin $x+7\ne 0$, kuten ODZ vaatii (et voi jakaa nollalla, siinä kaikki). Mutta loppujen lopuksi tulemme jatkossa esiin nimittäjästä tulleet pisteet, joten sinun ei pitäisi monimutkaista laskelmiasi jälleen kerran - kirjoita yhtäläisyysmerkki kaikkialle ja älä huoli. Tästä ei kukaan vähennä pisteitä. :)

Neljäs kohta. Merkitsemme saadut juuret numeroriville:

Kaikki pisteet on pisteytetty, koska epätasa-arvo on tiukka

merkintä: kaikki pisteet on pisteytetty, koska alkuperäinen epäyhtälö on tiukka. Ja tässä ei ole enää väliä: nämä pisteet tulivat osoittajasta tai nimittäjästä.

No katso merkkejä. Ota mikä tahansa luku $((x)_(0)) \gt 3$. Esimerkiksi $((x)_(0))=100$ (mutta olisit voinut yhtä hyvin ottaa $((x)_(0))=3.1$ tai $((x)_(0)) = 1 000 000 $). Saamme:

Joten kaikkien juurien oikealla puolella meillä on positiivinen alue. Ja jokaisen juuren läpi kulkiessaan merkki muuttuu (tämä ei aina tule olemaan, mutta siitä lisää myöhemmin). Siksi siirrymme viidenteen kohtaan: asetamme merkit ja valitsemme oikean:

Palataan viimeiseen epäyhtälöön, joka oli ennen yhtälöiden ratkaisemista. Itse asiassa se on sama kuin alkuperäinen, koska emme tehneet mitään muunnoksia tässä tehtävässä.

Koska on tarpeen ratkaista epäyhtälö muotoon $f\left(x \right) \lt 0$, varjostin välin $x\in \left(-7;3 \right)$ - se on ainoa merkitty miinusmerkillä. Tämä on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-7;3 \right)$

Siinä kaikki! Se on vaikeaa? Ei, se ei ole vaikeaa. Itse asiassa se oli helppo tehtävä. Monimutkaistakaamme nyt tehtävää hieman ja harkitsemme "upeampaa" eriarvoisuutta. Kun ratkaisen sen, en enää anna niin yksityiskohtaisia ​​laskelmia - ilmoitan vain avainkohdat. Yleensä järjestämme sen niin kuin järjestäisimme sen itsenäinen työ tai tentti. :)

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Ratkaisu. Tämä on ei-tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right)\ge 0$. Kaikki nollasta poikkeavat elementit kerätään vasemmalle, eri nimittäjiä ei. Siirrytään yhtälöihin.

Osoittaja:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Oikeanuoli ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(tasaa)\]

Nimittäjä:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(tasaa)\]

En tiedä, millainen perverssi tämän ongelman keksi, mutta juuret eivät selvinneet kovin hyvin: niitä on vaikea järjestää numeroviivalle. Ja jos kaikki on enemmän tai vähemmän selvää juurilla $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (tämä on ainoa positiivinen luku - se on oikealla), niin $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ ja $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ vaativat lisätutkimuksia: kumpi on suurempi?

Voit selvittää tämän esimerkiksi:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Toivottavasti ei tarvitse selittää, miksi murtoluku $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Tarvittaessa suosittelen muistamaan, kuinka toimia murtoluvuilla.

Ja merkitsemme kaikki kolme juuria numeroriville:

Osoittimen pisteet varjostetaan, nimittäjästä ne leikataan pois

Laitoimme kylttejä. Voit esimerkiksi ottaa $((x)_(0))=1$ ja selvittää merkin tässä vaiheessa:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Viimeinen epäyhtälö ennen yhtälöitä oli $f\left(x \right)\ge 0$, joten olemme kiinnostuneita plusmerkistä.

Saimme kaksi joukkoa: toinen on tavallinen segmentti ja toinen on avoin säde numeroviivalla.

Vastaus: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \oikea )$

Tärkeä huomautus numeroista, jotka korvaamme saadaksemme selville oikeanpuoleisimman välin etumerkin. Ei ole tarpeen korvata lukua, joka on lähellä oikeanpuoleista juuria. Voit ottaa miljardeja tai jopa "plus-ääretön" - tässä tapauksessa polynomin etumerkki suluissa, osoittajassa tai nimittäjässä määräytyy yksinomaan johtavan kertoimen etumerkillä.

Katsotaanpa vielä funktiota $f\left(x \right)$ viimeisestä epäyhtälöstä:

Se sisältää kolme polynomia:

\[\begin(tasaa) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(tasaa)\]

Kaikki ne ovat lineaarisia binomeja, ja niillä kaikilla on positiiviset kertoimet (luvut 7, 11 ja 13). Siksi, kun korvataan erittäin suuria lukuja itse polynomit ovat myös positiivisia. :)

Tämä sääntö saattaa tuntua liian monimutkaiselta, mutta vain aluksi, kun analysoimme erittäin helppoja ongelmia. Vakavissa epätasa-arvoissa "plus-ääretön" substituutio antaa meille mahdollisuuden selvittää merkit paljon nopeammin kuin standardi $((x)_(0))=100$.

Kohtaamme tällaisia ​​haasteita hyvin pian. Mutta ensin tarkastellaan vaihtoehtoista tapaa ratkaista murto-rationaaliset epätasa-arvot.

Vaihtoehtoinen tapa

Tätä tekniikkaa ehdotti minulle yksi oppilaistani. Itse en ole koskaan käyttänyt sitä, mutta käytäntö on osoittanut, että monille opiskelijoille on todella kätevämpää ratkaista eriarvoisuudet tällä tavalla.

Alkuperäiset tiedot ovat siis samat. Pitää päättää murto-osainen rationaalinen epätasa-arvo:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Ajatellaanpa: miksi polynomi $Q\left(x \right)$ on "huonompi" kuin polynomi $P\left(x \right)$? Miksi meidän pitää harkita yksittäisiä ryhmiä juuret (tähdellä ja ilman), ajattele leimattuja pisteitä jne.? Se on yksinkertaista: murtoluvulla on määritelmäalue, jonka mukaan murtoluvulla on järkeä vain, kun sen nimittäjä on eri kuin nolla.

Muuten osoittajan ja nimittäjän välillä ei ole eroja: rinnastamme sen myös nollaan, etsimme juuret ja merkitsemme ne sitten numeroriville. Joten miksi et korvaa murtopalkkia (itse asiassa jakomerkkiä) tavallinen kertolasku, ja kirjoita kaikki ODZ:n vaatimukset erilliseksi epätasa-arvoksi? Esimerkiksi näin:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Huomaa: tämän lähestymistavan avulla voit vähentää ongelman intervallimenetelmäksi, mutta se ei vaikeuta ratkaisua ollenkaan. Loppujen lopuksi, me samastamme polynomin $Q\left(x \right)$ nollaan.

Katsotaan kuinka se toimii todellisissa tehtävissä.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Ratkaisu. Joten siirrytään intervallimenetelmään:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Ensimmäinen epäyhtälö on ratkaistu alkeellisesti. Aseta vain jokainen sulku nollaan:

\[\begin(align) & x+8=0\Oikeanuoli ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Oikeanuoli ((x)_(2))=11. \\ \end(tasaa)\]

Toisella epätasa-arvolla kaikki on myös yksinkertaista:

Merkitsemme pisteet $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$ reaaliviivalle. Ne kaikki ovat rei'itettyjä, koska epätasa-arvo on tiukka:

Oikea kohta osoittautui kahdesti puhjenneeksi. Tämä on hyvä.

Kiinnitä huomiota kohtaan $x=11$. Osoittautuu, että se on "kahdesti taltettu": toisaalta me taltimme sen pois epätasa-arvon vakavuuden vuoksi, toisaalta, koska lisävaatimus ODZ.

Joka tapauksessa se on vain puhjennut kohta. Siksi laitamme merkit epäyhtälölle $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - viimeinen, jonka näimme ennen yhtälöiden ratkaisemista:

Olemme kiinnostuneita positiivisista alueista, koska ratkaisemme epäyhtälöä muodossa $f\left(x \right) \gt 0$ ja väritämme ne. Jää vain kirjoittaa vastaus ylös.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Käyttämällä tätä ratkaisua esimerkkinä haluan varoittaa aloittelevien opiskelijoiden yleisestä virheestä. Nimittäin: älä koskaan avaa sulkuja eriarvoisuuksissa! Päinvastoin, yritä ottaa kaikki huomioon - tämä yksinkertaistaa ratkaisua ja säästää paljon ongelmia.

Kokeillaan nyt jotain vaikeampaa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Ratkaisu. Tämä on ei-tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right)\le 0$, joten tässä on tarkkailtava täytettyjä pisteitä.

Siirrytään intervallimenetelmään:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ei 0. \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Siirrytään yhtälöön:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Oikeanuoli ((x )_(1)) = 6,5; \\ & 12x-9=0\Nuoli oikealle ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\nuoli oikealle ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(tasaa)\]

Otamme huomioon lisävaatimuksen:

Merkitsemme kaikki saadut juuret numeroriville:

Jos piste rei'itetään ja täytetään samanaikaisesti, se katsotaan rei'itetyksi.

Jälleen kaksi pistettä "päällekkäin" - tämä on normaalia, se tulee aina olemaan niin. On vain tärkeää ymmärtää, että sekä rei'itetyksi että täytetyksi merkitty kohta on itse asiassa rei'itetty piste. Nuo. "Talttaus" on vahvempi toiminta kuin "ylimaalaaminen".

Tämä on ehdottoman loogista, sillä punkturoinnilla merkitsemme pisteitä, jotka vaikuttavat funktion etumerkkiin, mutta eivät itse osallistu vastaukseen. Ja jos numero ei jossain vaiheessa sovi meille (esimerkiksi se ei kuulu ODZ: hen), poistamme sen tarkastelusta tehtävän loppuun asti.

Yleensä lopeta filosofointi. Järjestämme merkit ja maalaamme ne välit, jotka on merkitty miinusmerkillä:

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Ja jälleen halusin kiinnittää huomionne tähän yhtälöön:

\[\vasen(2x-13 \oikea)\vasen(12x-9 \oikea)\vasen(15x+33 \oikea)=0\]

Vielä kerran: älä koskaan avaa sulkuja sellaisissa yhtälöissä! Teet siitä vain vaikeampaa itsellesi. Muista: tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Näin ollen annettu yhtälö se yksinkertaisesti "hajoaa" useiksi pienemmiksi, jotka ratkaisimme edellisessä tehtävässä.

Ottaen huomioon juurten moninaisuus

Aiemmista ongelmista se on helppo nähdä suurin vaikeus edustavat täsmälleen ei-tiukkoja eriarvoisuuksia, koska niiden on seurattava täytettyjä pisteitä.

Mutta maailmassa on vielä suurempi pahuus - nämä ovat eriarvoisuuksien monia juuria. Täällä on jo seurattava, ei joitain täytettyjä pisteitä - tässä epätasa-arvomerkki ei välttämättä muutu yhtäkkiä näiden samojen pisteiden läpi kulkiessa.

Emme ole vielä pohtineet mitään tällaista tällä oppitunnilla (vaikka samanlainen ongelma esiintyy usein intervallimenetelmässä). Esittelemme siis uuden määritelmän:

Määritelmä. Yhtälön $((\left(x-a \right))^(n))=0$ juuri on yhtä suuri kuin $x=a$ ja sitä kutsutaan $n$:nnen kerrannaisuuden juureksi.

Itse asiassa emme ole erityisen kiinnostuneita tarkka arvo moninaisuus. Ainoa tärkeä asia on, onko tämä luku $n$ parillinen vai pariton. Koska:

1. Jos $x=a$ on parillisen monikertaisuuden juuri, niin funktion etumerkki ei muutu sen läpi kulkiessaan;
2. Ja päinvastoin, jos $x=a$ on parittoman monikertaisuuden juuri, funktion etumerkki muuttuu.

Kaikki tässä oppitunnissa käsitellyt edelliset ongelmat ovat parittoman moninkertaisuuden juuren erikoistapaus: siellä moninkertaisuus on yhtä suuri kuin yksi kaikkialla.

Ja kauemmas. Ennen kuin aloitamme ongelmien ratkaisemisen, haluaisin kiinnittää huomionne yhteen hienovaraisuuteen, joka näyttää kokeneelle opiskelijalle itsestään selvältä, mutta ajaa monet aloittelijat tyrmistöön. Nimittäin:

Moninkertaisuusjuuri $n$ esiintyy vain, kun koko lauseke nostetaan tähän potenssiin: $((\left(x-a \right))^(n))$, ei $\left(((x)^( n) )-a\oikea)$.

Jälleen kerran: hakasulke $((\left(x-a \right))^(n))$ antaa meille $n$-kertoimen juuren $x=a$, mutta hakasulke $\left(((x)^( n)) -a \oikea)$ tai, kuten usein tapahtuu, $(a-((x)^(n)))$ antaa meille juuren (tai kaksi juuria, jos $n$ on parillinen) , riippumatta siitä, mikä on yhtä suuri kuin $n$.

Vertailla:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Täällä kaikki on selvää: koko haarukka nostettiin viidenteen potenssiin, joten lähdössä saimme viidennen asteen juuren. Ja nyt:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Meillä on kaksi juuria, mutta molemmilla on ensimmäinen monikertaisuus. Tai tässä toinen:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Ja älkää olko hämmentyneet kymmenennessä asteessa. Pääasia, että 10 on tasaluku, joten lähdössä on kaksi juuria, ja molemmilla on jälleen ensimmäinen monikerta.

Yleisesti ottaen ole varovainen: moninkertaisuus tapahtuu vain silloin, kun aste koskee koko hakasulkua, ei vain muuttujaa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(((x)^(2))((\vasen(6-x \oikea))^(3))\vasen(x+4 \oikea))(((\vasen(x+7) \oikea))^(5)))\ge 0\]

Ratkaisu. Yritetään ratkaista se vaihtoehtoinen tapa- siirtymällä tietystä tuotteesta:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(tasaa )\oikea.\]

Käsittelemme ensimmäistä epäyhtälöä intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \oikea))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Oikea nuoli x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Oikeanuoli x=-7\vasen(5k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

Lisäksi ratkaisemme toisen epäyhtälön. Itse asiassa olemme jo ratkaisseet sen, mutta jotta arvioijat eivät löydä vikaa ratkaisussa, on parempi ratkaista se uudelleen:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Huomaa, että viimeisessä epäyhtälössä ei ole kertoimia. Todellakin: mitä eroa sillä on, kuinka monta kertaa numeroviivan piste $x=-7$ yliviivataan? Ainakin kerran, vähintään viisi kertaa - tulos on sama: puhjennut piste.

Huomioikaa kaikki, mitä saimme numerorivillä:

Kuten sanoin, $x=-7$ piste lyödään lopulta pois. Kertoimet järjestetään epäyhtälön ratkaisun perusteella intervallimenetelmällä.

Jää vielä laittaa kyltit:

Koska piste $x=0$ on parillisen monikertaisuuden juuri, etumerkki ei muutu sen läpi kulkiessaan. Jäljellä olevilla pisteillä on pariton moninkertaisuus, ja kaikki on yksinkertaista niiden kanssa.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Huomioi jälleen $x=0$. Tasaisen moninaisuuden vuoksi syntyy mielenkiintoinen vaikutus: kaikki sen vasemmalla puolella on maalattu päälle, oikealle - myös, ja itse piste on kokonaan maalattu.

Tämän seurauksena sitä ei tarvitse eristää vastausta tallennettaessa. Nuo. sinun ei tarvitse kirjoittaa jotain kuten $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (vaikka muodollisesti tällainen vastaus olisi myös oikea). Sen sijaan kirjoitamme välittömästi $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tällaiset vaikutukset ovat mahdollisia vain parillisen moninkertaisuuden juurille. Ja seuraavassa tehtävässä kohtaamme tämän vaikutuksen käänteisen "ilmentymän". Valmis?

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(((\vasen(x-3 \oikea))^(4))\vasen(x-4 \oikea))(((\vasen(x-1 \oikea))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Ratkaisu. Tällä kertaa noudatamme vakiomallia. Aseta osoittaja nollaan:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Nuoli oikealle ((x)_(2))=4. \\ \end(tasaa)\]

Ja nimittäjä:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Nuoli oikealle x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(tasaa)\]

Koska ratkaisemme ei-tiukkaa epäyhtälöä muodossa $f\left(x \right)\ge 0$, nimittäjän juuret (joissa on tähti) leikataan pois ja osoittajan juuret maalataan päälle. .

Järjestämme kyltit ja silitämme "plusilla" merkityt alueet:

Piste $x=3$ on eristetty. Tämä on osa vastausta

Ennen kuin kirjoitat lopullisen vastauksen, katso tarkkaan kuvaa:

1. Pisteellä $x=1$ on parillinen monikerta, mutta se on itse pisteytetty. Siksi se on eristettävä vastauksessa: sinun on kirjoitettava $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, eikä $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Pisteellä $x=3$ on myös parillinen monikerta ja se on varjostettu. Kylttien sijoittelu osoittaa, että piste itse sopii meille, mutta askel vasemmalle ja oikealle - ja löydämme itsemme alueelle, joka ei todellakaan sovi meille. Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan eristetyiksi ja ne kirjoitetaan muodossa $x\in \left\(3 \right\)$.

Yhdistämme kaikki saadut palaset yhteiseksi joukoksi ja kirjoitamme vastauksen ylös.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Määritelmä. Eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa löytää kaikki sen ratkaisut tai todista, että tämä joukko on tyhjä.

Vaikuttaa: mikä tässä voi olla käsittämätöntä? Kyllä, tosiasia on, että joukkoja voidaan määrittää eri tavoin. Kirjoitetaan vastaus viimeiseen tehtävään uudelleen:

Luemme kirjaimellisesti, mitä on kirjoitettu. Muuttuja "x" kuuluu tiettyyn joukkoon, joka saadaan neljän erillisen joukon yhdistämisellä (symboli "U"):

• Väli $\left(-\infty ;1 \right)$, joka tarkoittaa kirjaimellisesti "kaikki luvut pienempiä kuin yksi, mutta ei yksi itse";
• Väli on $\left(1;2 \right)$, ts. "kaikki luvut välillä 1 ja 2, mutta eivät itse numerot 1 ja 2";
• Joukko $\left\( 3 \right\)$, joka koostuu yhdestä numerosta - kolme;
• Väli $\left[ 4;5 \right)$ sisältää kaikki luvut välillä 4 ja 5 sekä itse 4, mutta ei 5.

Kolmas kohta kiinnostaa tässä. Toisin kuin intervallit, jotka määrittelevät äärettömät lukujoukot ja osoittavat vain näiden joukkojen rajoja, joukko $\left\(3 \right\)$ määrittää täsmälleen yhden luvun luetteloimalla.

Ymmärtääksemme, että luettelemme sarjaan sisältyvät tietyt numerot (eikä aseta rajoja tai mitään muuta), käytetään kiharoita. Esimerkiksi merkintä $\left\( 1;2 \right\)$ tarkoittaa täsmälleen "joukkoa, joka koostuu kahdesta luvusta: 1 ja 2", mutta ei segmenttiä 1 - 2. Älä missään tapauksessa sekoita näitä käsitteitä .

Moninkertaisuuden lisäyssääntö

No, tämän päivän oppitunnin lopussa vähän tinaa Pavel Berdovilta. :)

Huomaavaiset opiskelijat ovat luultavasti jo esittäneet itselleen kysymyksen: mitä tapahtuu, jos osoittajasta ja nimittäjästä löytyy samat juuret? Joten seuraava sääntö toimii:

Monimuotoisuudet identtiset juuret laskea yhteen. On aina. Vaikka tämä juuri esiintyisi sekä osoittajassa että nimittäjässä.

Joskus on parempi päättää kuin puhua. Siksi ratkaisemme seuraavan ongelman:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\vasen(((x)^(2))-16 \oikea)\vasen(((x)^(2))+ 9x+14 \oikea))\ge 0\]

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= - neljä. \\ \end(tasaa)\]

Toistaiseksi ei mitään erikoista. Aseta nimittäjä nollaan:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Nuoli oikealle x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Nuoli oikealle x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(tasaa)\]

Löytyy kaksi identtistä juuria: $((x)_(1))=-2$ ja $x_(4)^(*)=-2$. Molemmilla on ensimmäinen moninkertaisuus. Siksi korvaamme ne yhdellä juurella $x_(4)^(*)=-2$, mutta kerrannaisuudella 1+1=2.

Lisäksi on olemassa myös identtiset juuret: $((x)_(2))=-4$ ja $x_(2)^(*)=-4$. Ne ovat myös ensimmäisen kerrannaisuudessa, joten vain $x_(2)^(*)=-4$ moninkertaisuudesta 1+1=2 jää jäljelle.

Huomaa: molemmissa tapauksissa jätimme tarkalleen "leikatun" juuren ja jätimme "maalatun" pois harkinnasta. Sillä jo oppitunnin alussa olimme samaa mieltä: jos piste on sekä rei'itetty että maalattu samaan aikaan, niin katsomme sen silti rei'itetyksi.

Seurauksena on, että meillä on neljä juuria, ja ne kaikki osoittautuivat kaivetuiksi:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \oikea); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

Merkitsemme ne numeroriville ottaen huomioon moninkertaisuuden:

Asetamme kyltit ja maalaamme meitä kiinnostavien alueiden päälle:

Kaikki. Ei yksittäisiä pisteitä ja muita vääristymiä. Voit kirjoittaa vastauksen muistiin.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

kertolasku sääntö

Joskus tapahtuu vielä epämiellyttävämpi tilanne: yhtälö, jolla on useita juuria, nostetaan itse tiettyyn potenssiin. Tämä muuttaa kaikkien alkuperäisten juurien monikertoja.

Tämä on harvinaista, joten useimmilla opiskelijoilla ei ole kokemusta tällaisten ongelmien ratkaisemisesta. Ja sääntö tässä on:

Kun yhtälö nostetaan potenssiin $n$, myös sen kaikkien juurien monikerta kasvaa kertoimella $n$.

Toisin sanoen potenssiin nostaminen johtaa kertoimien kertomiseen samalla potenssilla. Otetaan tämä sääntö esimerkkinä:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x((\vasen(((x)^(2))-6x+9 \oikea))^(2))((\vasen(x-4 \oikea))^(5)) )(((\vasen(2-x \oikea))^(3))((\vasen(x-1 \oikea))^(2)))\le 0\]

Ratkaisu. Aseta osoittaja nollaan:

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Kaikki on selvää ensimmäisellä kertoimella: $x=0$. Ja tästä ongelmat alkavat:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\vasen(2k \oikea); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vasen(2k \oikea)\vasen(2k \oikea) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Kuten näet, yhtälöllä $((x)^(2))-6x+9=0$ on toisen kerrannaisuudessa ainutlaatuinen juuri: $x=3$. Sitten koko yhtälö neliötetään. Siksi juuren moninkertaisuus on $2\cdot 2=4$, jonka kirjoitimme lopulta muistiin.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Myöskään nimittäjässä ei ole ongelmaa:

\[\begin(tasaa) & ((\vasen(2-x \oikea))^(3))((\vasen(x-1 \oikea))^(2))=0; \\ & ((\vasen(2-x \oikea))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\vasen(3k \oikea); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Oikeanuoli x_(2)^(*)=1\vasen(2k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

Yhteensä saimme viisi pistettä: kaksi rei'itettyä ja kolme täytettyä. Osoittajassa ja nimittäjässä ei ole yhteneviä juuria, joten merkitsemme ne vain numeroriville:

Järjestämme kyltit moninkertaisuudet huomioiden ja maalaamme meitä kiinnostavat aikavälit:

Jälleen yksi eristetty piste ja yksi puhjennut

Tasaisen moninaisuuden juurten vuoksi saimme jälleen pari "epästandardista" elementtiä. Tämä on $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, ei $x\in \left[ 0;2 \right)$, ja myös eristetty piste $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Vastaus. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Kuten näette, kaikki ei ole niin vaikeaa. Pääasia on tarkkaavaisuus. Viimeinen jakso Tämän oppitunnin osa on omistettu transformaatioille - juuri niihin, joista keskustelimme aivan alussa.

Esikonversiot

Eriarvoisuudet, joista keskustelemme tässä osiossa, eivät ole monimutkaisia. Toisin kuin aikaisemmissa tehtävissä, tässä joudut kuitenkin soveltamaan taitoja teoriasta rationaaliset murtoluvut— tekijät ja pelkistys yhteiseksi nimittäjäksi.

Keskustelimme tästä aiheesta yksityiskohtaisesti aivan tämän päivän oppitunnin alussa. Jos et ole varma, että ymmärrät mistä on kyse, suosittelen, että palaat takaisin ja toistat. Koska ei ole mitään järkeä tukahduttaa epäyhtälöiden ratkaisumenetelmiä, jos "ui" murtolukujen muuntamisessa.

AT kotitehtävät Vastaavia tehtäviä tulee muuten olemaan monia. Ne on sijoitettu erilliseen alaosioon. Ja sieltä löydät hyvin ei-triviaaleja esimerkkejä. Mutta tämä tulee olemaan kotitehtävissä, mutta analysoidaan nyt pari tällaista epätasa-arvoa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Ratkaisu. Kaiken siirtäminen vasemmalle:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Saavutetaan yhteinen nimittäjä, avataan sulut, annetaan kuten termit osoittajassa:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ oikea))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\vasen(((x)^(2))-2x-x+2 \oikea))(x\vasen(x-1 \oikea)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Nyt meillä on klassinen murto-rationaalinen epäyhtälö, jonka ratkaiseminen ei ole enää vaikeaa. Ehdotan sen ratkaisemista vaihtoehtoisella menetelmällä - intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(tasaa)\]

Älä unohda rajoitusta, joka tulee nimittäjästä:

Merkitsemme kaikki numerot ja rajoitukset numeroriville:

Kaikilla juurilla on ensimmäinen moninaisuus. Ei ongelmaa. Asetamme vain kyltit ja maalaamme tarvitsemamme alueet:

Se on kaikki. Voit kirjoittaa vastauksen muistiin.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \oikea)$.

Tämä oli tietysti hyvin yksinkertainen esimerkki. Tarkastellaanpa nyt siis ongelmaa tarkemmin. Ja muuten, tämän tehtävän taso on melko yhdenmukainen riippumattomien ja valvoa työtä tästä aiheesta 8. luokalla.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Ratkaisu. Kaiken siirtäminen vasemmalle:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Ennen kuin tuomme molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään, jaamme nämä nimittäjät tekijöiksi. Yhtäkkiä samat sulut tulevat ulos? Ensimmäisellä nimittäjällä se on helppoa:

\[((x)^(2))+8x-9=\vasen(x-1 \oikea)\vasen(x+9 \oikea)\]

Toinen on hieman vaikeampi. Voit vapaasti lisätä vakiokertoimen hakasulkeeseen, josta murtoluku löydettiin. Muista: alkuperäisessä polynomissa oli kokonaislukukertoimia, joten on erittäin todennäköistä, että tekijöihin jakamisessa on myös kokonaislukukertoimia (itse asiassa se tulee aina olemaan, paitsi jos diskriminantti on irrationaalinen).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\vasen(x-1 \oikea)\vasen(3x-2 \oikea) \end(tasaa)\]

Kuten näemme, on olemassa yhteinen sulkumerkki: $\left(x-1\right)$. Palaamme epätasa-arvoon ja tuomme molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ vasen(3x-2\oikea))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(tasaa)\]

Aseta nimittäjä nollaan:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( kohdistaa)\]

Ei moninaisuutta eikä yhteensopivia juuria. Merkitsemme neljä numeroa suoralle viivalle:

Laitamme merkit:

Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ oikea) $.

Anna sen löytyä numeerisia arvoja x, jolloin ne muuttuvat todeksi numeeriset epäyhtälöt useita rationaalisia epätasa-arvoja samanaikaisesti. Tällaisissa tapauksissa sanomme, että meidän on ratkaistava rationaalinen epäyhtälöjärjestelmä yhdellä tuntemattomalla x:llä.

Rationaalisten epätasa-arvojen järjestelmän ratkaisemiseksi on löydettävä kaikki ratkaisut järjestelmän jokaiseen epätasa-arvoon. Silloin kaikkien löydettyjen ratkaisujen yhteinen osa on järjestelmän ratkaisu.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

(x -1) (x - 5) (x - 7)< 0,

Ensin ratkaistaan ​​eriarvoisuus

(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.

Intervallimenetelmää (kuva 1) soveltamalla havaitaan, että epäyhtälön (2) ratkaisujen joukko koostuu kahdesta intervallista: (-, 1) ja (5, 7).

Kuva 1

Ratkaistaan ​​nyt eriarvoisuus

Intervallimenetelmällä (kuva 2) havaitaan, että myös epäyhtälön (3) ratkaisujen joukko koostuu kahdesta intervallista: (2, 3) ja (4, +).

Nyt meidän on löydettävä yleinen osa eriarvoisuuksien (2) ja (3) ratkaiseminen. Piirretään koordinaattiakseli x ja merkitse siihen löydetyt ratkaisut. Nyt se on selvää yhteinen osa epäyhtälöiden (2) ja (3) ratkaisu on väli (5, 7) (kuva 3).

Tästä johtuen epäyhtälöjärjestelmän (1) kaikkien ratkaisujen joukko on väli (5, 7).

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

x2 - 6x + 10< 0,

Ratkaistaan ​​ensin epätasa-arvo

x 2 - 6x + 10< 0.

Valintamenetelmän soveltaminen täysi neliö, sen voi kirjoittaa

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Siksi epäyhtälö (2) voidaan kirjoittaa muodossa

(x - 3) 2 + 1< 0,

mikä osoittaa, ettei siihen ole ratkaisua.

Nyt et voi ratkaista eriarvoisuutta

koska vastaus on jo selvä: järjestelmällä (1) ei ole ratkaisua.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

Harkitse ensin ensimmäistä epätasa-arvoa; meillä on

1 < 0, < 0.

Käytämme merkkikäyrää ratkaisuja tähän epäyhtälöyn: x< -2; 0 < x < 2.

Ratkaiskaamme nyt annetun järjestelmän toinen epäyhtälö. Meillä on x 2-64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Merkittyämme ensimmäisen ja toisen epäyhtälön löydetyt ratkaisut yhteiselle reaaliviivalle (kuva 6), löydämme sellaiset välit, joissa nämä ratkaisut ovat samat (ratkaisusuppressio): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä

Muutamme järjestelmän ensimmäisen epätasa-arvon:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0 tai x (x - 10) (x + 10) 0

(koska parittomien potenssien tekijät voidaan korvata vastaavilla ensimmäisen asteen tekijöillä); intervallimenetelmällä löydämme ratkaisut viimeiselle epäyhtälölle: -10 x 0, x 10.

Harkitse järjestelmän toista epätasa-arvoa; meillä on

Löydämme (kuva 8) x -9; 3< x < 15.

Yhdistämällä löydetyt ratkaisut saadaan (kuva 9) x 0; x > 3.

Esimerkki: löytö kokonaislukuratkaisut epätasa-arvojärjestelmät:

x + y< 2,5,

Ratkaisu: Tuodaan järjestelmä muotoon

Kun lisätään ensimmäinen ja toinen epäyhtälö, saadaan y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

mistä -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Käyttämällä tämä oppitunti opit rationaalisista epätasa-arvoista ja niiden systeemeistä. Rationaalinen epäyhtälöjärjestelmä ratkaistaan ​​ekvivalenttien muunnosten avulla. Tarkastellaan ekvivalenssin määritelmää, menetelmää murto-rationaalisen epäyhtälön korvaamiseksi neliöllä, ja ymmärtää myös, mikä on ero epäyhtälön ja yhtälön välillä ja kuinka vastaavat muunnokset suoritetaan.

Algebra luokka 9

9. luokan algebran kurssin viimeinen toisto

Rationaaliset epätasa-arvot ja niiden järjestelmät. Rationaalisen epätasa-arvon järjestelmät.

1.1 Abstrakti.

1. Vastaavat muunnokset rationaalista eriarvoisuutta.

Päättää rationaalinen eriarvoisuus tarkoittaa löytää kaikki sen ratkaisut. Toisin kuin yhtälö, epäyhtälöä ratkaistaessa ratkaisuja on yleensä ääretön määrä. Loputonta määrää ratkaisuja ei voida varmistaa korvaamalla. Siksi alkuperäinen epäyhtälö on muutettava siten, että jokaisella seuraavalla rivillä saadaan epäyhtälö samalla ratkaisujoukolla.

Rationaaliset eriarvoisuudet ratkaistaan ​​vain vastaava tai vastaavat muunnokset. Tällaiset muunnokset eivät vääristä ratkaisujoukkoa.

Määritelmä. Rationaaliset eriarvoisuudet nimeltään vastaava jos niiden ratkaisujoukot ovat samat.

Nimeämään vastaavuus käytä merkkiä

2. Epäyhtälöjärjestelmän ratkaisu

Ensimmäinen ja toinen epäyhtälö ovat murto-osallisia rationaalisia epäyhtälöitä. Niiden ratkaisumenetelmät ovat luonnollista jatkoa lineaaristen ja neliöllisen epäyhtälöiden ratkaisumenetelmille.

Siirretään oikealla puolella olevia numeroita vasemmalle vastakkaisella merkillä.

Tämän seurauksena oikealle puolelle jää 0. Tämä muunnos on ekvivalentti. Tämä osoitetaan kyltillä

Suoritetaan ne toiminnot, jotka algebra määrää. Vähennä "1" ensimmäisessä epäyhtälössä ja "2" toisessa.

3. Epäyhtälön ratkaiseminen intervallimenetelmällä

1) Esitetään funktio. Meidän on tiedettävä, kun tämä funktio on pienempi kuin 0.

2) Etsi funktion toimialue: nimittäjä ei saa olla 0. "2" on taitepiste. Kun x=2 funktio on epämääräinen.

3) Etsi funktion juuret. Funktio on 0, jos osoittaja on 0.

Asetuspisteet rikkoutuvat numeerinen akseli kolmeen väliin - nämä ovat merkin pysyvyyden välejä. Jokaisella aikavälillä funktio säilyttää etumerkkinsä. Määritetään ensimmäisen intervallin etumerkki. Korvaa jokin arvo. Esimerkiksi 100. On selvää, että sekä osoittaja että nimittäjä ovat suurempia kuin 0. Tämä tarkoittaa, että koko murto-osa on positiivinen.

Määritetään merkit jäljellä oleville intervalleille. Kun kuljetaan pisteen x=2 läpi, vain nimittäjä vaihtaa etumerkkiä. Tämä tarkoittaa, että koko murtoluku muuttaa etumerkkiä ja on negatiivinen. Käydään samanlainen keskustelu. Kun kuljetaan pisteen x=-3 kautta, vain osoittaja vaihtaa etumerkkiä. Tämä tarkoittaa, että murtoluku muuttaa etumerkkiä ja on positiivinen.

Valitsemme epäyhtälöehtoa vastaavan välin. Varjosta se ja kirjoita se epätasa-arvoksi

4. Epäyhtälön ratkaiseminen toisen asteen epäyhtälöllä

Tärkeä tosiasia.

Verrattuna 0:aan (tapauksessa tiukkaa eriarvoisuutta) murto-osa voidaan korvata osoittajan ja nimittäjän tulolla, tai osoittaja tai nimittäjä voidaan vaihtaa.

Tämä johtuu siitä, että kaikki kolme epäyhtälöä pätevät, jos u ja v eri merkki. Nämä kolme eriarvoisuutta ovat samanarvoisia.

Käytämme tätä tosiasiaa ja korvaamme murto-rationaalisen epäyhtälön neliöllä.

Ratkaistaan ​​neliöllinen epäyhtälö.

Esittelemme neliöfunktio. Etsitään sen juuret ja rakennetaan luonnos sen kaaviosta.

Joten paraabelin oksat ovat ylhäällä. Juurivälin sisällä funktio säilyttää merkin. Hän on negatiivinen.

Juurivälin ulkopuolella funktio on positiivinen.

Ensimmäisen epäyhtälön ratkaisu:

5. Epäyhtälön ratkaisu

Esitellään funktio:

Etsitään sen vakiovälit:

Tätä varten löydämme funktion toimialueen juuret ja epäjatkuvuuspisteet. Leikkaamme aina taukopisteet pois. (x \u003d 3/2) Leikkaamme juuret pois epätasa-arvomerkistä riippuen. Eriarvoisuutemme on tiukkaa. Siksi leikkaamme juuren pois.

Laitetaan merkit:

Kirjoitetaan ratkaisu:

Viimeistetään järjestelmän ratkaisu. Etsitään ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukon ja toisen epäyhtälön ratkaisujoukon leikkauspiste.

Epäyhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukon ja toisen epäyhtälön ratkaisujoukon leikkauskohdan löytämistä. Siksi, kun ensimmäinen ja toinen epäyhtälö on ratkaistu erikseen, on välttämätöntä kirjoittaa saadut tulokset yhteen järjestelmään.

Kuvataan ensimmäisen epäyhtälön ratkaisu x-akselin yli.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynneissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuuden, lainvalvonta- tai muiden julkisten tärkeitä tilaisuuksia.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

>>Matematiikka: Rationaaliset eriarvoisuudet

Rationaalinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x on muodon epäyhtälö - rationaaliset lausekkeet, ts. algebrallisia lausekkeita, joka koostuu luvuista ja muuttujasta x käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja nostotoimintoja luonnolliseen potenssiin. Tietenkin muuttuja voidaan merkitä millä tahansa muulla kirjaimella, mutta matematiikassa x-kirjain on useimmiten parempi.

Rationaalisia epäyhtälöitä ratkaistaessa käytetään kolmea sääntöä, jotka on muotoiltu edellä kohdassa 1. Näiden sääntöjen avulla tietty rationaalinen epäyhtälö muunnetaan yleensä muotoon / (x) > 0, missä / (x) on algebrallinen murto-osa (tai polynomi). Jaa seuraavaksi murtoluvun f (x) osoittaja ja nimittäjä muotoa x - a oleviksi tekijöiksi (jos tämä on tietysti mahdollista) ja käytä intervallimenetelmää, jonka jo mainitsimme yllä (katso esimerkki 3 edellisestä). kohta).

Esimerkki 1 Ratkaise epäyhtälö (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Ratkaisu. Tarkastellaan lauseketta f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Se muuttuu 0:ksi kohdissa 1,-1,2; merkitse nämä kohdat numeroviivalle. Numeroviiva on jaettu osoitetuilla pisteillä neljään väliin (kuva 6), joista jokaisessa säilyy lauseke f (x) pysyvä merkki. Tämän tarkistamiseksi suoritamme neljä argumenttia (jokaiselle näille intervalleille erikseen).

Ota mikä tahansa piste x väliltä (2, Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen -1 oikealla puolella, pisteen 1 oikealla puolella ja pisteen 2 oikealla puolella. Tämä tarkoittaa, että x> -1, x> 1, x> 2 (kuva 7). Mutta sitten x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0 ja siten f (x) > 0 (kolmen rationaalisen epäyhtälön tulona positiivisia lukuja). Eli epäyhtälö f (x) > 0 pätee koko välissä.

Ota mikä tahansa piste x väliltä (1,2). Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen 1 oikealla puolella, pisteen 1 oikealla puolella, mutta pisteen 2 vasemmalla puolella. Näin ollen x\u003e -1, x\u003e 1, mutta x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ota mikä tahansa piste x väliltä (-1,1). Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen -1 oikealla puolella, pisteen 1 vasemmalla ja pisteen 2 vasemmalla puolella. Joten x > -1, mutta x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (kahden negatiivisen ja yhden positiivisen luvun tulona). Joten välillä (-1,1) epäyhtälö f (x)> 0 pätee.

Ota lopuksi mikä tahansa piste x avoimesta säteestä (-oo, -1). Tämä piste sijaitsee numeroviivalla pisteen -1 vasemmalla puolella, pisteen 1 vasemmalla puolella ja pisteen 2 vasemmalla puolella. Tämä tarkoittaa, että x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Tehdään yhteenveto. Lausekkeen f (x) etumerkit valituilla aikaväleillä ovat kuvan 1 mukaiset. 11. Olemme kiinnostuneita niistä, joissa epäyhtälö f (x) > 0 toteutuu. 11, todetaan, että epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy välillä (-1, 1) tai avoimella säteellä
Vastaus: -1 < х < 1; х > 2.

Esimerkki 2 Ratkaise epätasa-arvo
Ratkaisu. Kuten edellisessä esimerkissä, piirrämme tarvittavat tiedot kuvasta 11, mutta kahdella muutoksella verrattuna esimerkkiin 1. Ensinnäkin, koska olemme kiinnostuneita siitä, mitkä x:n arvot täyttävät epäyhtälön f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Toiseksi olemme tyytyväisiä myös niihin pisteisiin, joissa yhtälö f (x) = 0. Nämä ovat pisteet -1, 1, 2, ne merkitään kuvioon tummilla ympyröillä ja sisällytetään vastaukseen. Kuvassa Kuvassa 12 on esitetty geometrinen malli vasteesta, josta ei ole vaikeaa siirtyä analyyttiseen tietueeseen.
Vastaus:
ESIMERKKI 3. Ratkaise epätasa-arvo
Ratkaisu. Otetaan tekijöihin epäyhtälön vasemmalla puolella olevan algebrallisen murtoluvun fx osoittaja ja nimittäjä. Osoittimessa on x 2 - x \u003d x (x - 1).

Murtoluvun nimittäjään sisältyvän neliötrinomin x 2 - bx ~ 6 kertoimeksi etsitään sen juuret. Yhtälöstä x 2 - 5x - 6 \u003d 0 löydämme x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. (käytimme faktorointikaavaa neliön trinomi: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Näin ollen olemme muuntaneet annetun epäyhtälön muotoon

Harkitse ilmaisua:

Tämän murtoluvun osoittaja muuttuu 0:ksi pisteissä 0 ja 1 ja muuttuu 0:ksi pisteissä -1 ja 6. Merkitään nämä pisteet numeroviivalle (kuva 13). Numeroviiva jaetaan osoitetuilla pisteillä viiteen intervalliin, ja jokaisella välillä lauseke fx) säilyttää vakiomerkin. Väittelemällä samalla tavalla kuin esimerkissä 1, tulemme siihen johtopäätökseen, että lausekkeen fx) merkit valituilla aikaväleillä ovat kuvan 1 mukaiset. 13. Meitä kiinnostaa missä epäyhtälö f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 vastausta: -1

Esimerkki 4 Ratkaise epätasa-arvo

Ratkaisu. Rationaalisia epäyhtälöitä ratkottaessa halutaan yleensä jättää epäyhtälön oikealle puolelle vain luku 0. Siksi epäyhtälö muunnetaan muotoon

Edelleen:

Kokemus osoittaa, että jos epäyhtälön oikealla puolella on vain luku 0, on helpompi päätellä, kun sekä osoittajalla että nimittäjällä sen vasemmalla puolella on positiivinen seniorikerroin. Ja mitä meillä on? Meillä on kaikki murto-osan nimittäjä tässä mielessä järjestyksessä (johtava kerroin eli kerroin kohdassa x 2, on 6 - positiivinen luku), mutta kaikki ei ole järjestyksessä osoittajassa - vanhempi kerroin (kerroin kohdassa x) on - 4 (negatiivinen luku) Kertomalla epäyhtälön molemmat puolet -1:llä ja muuttamalla epätasa-arvon merkki päinvastaiseksi, saadaan ekvivalentti epäyhtälö

Laajennamme osoittajaa ja nimittäjää algebrallinen murtoluku kertoimia varten. Osoittimessa kaikki on yksinkertaista:
Murtoluvun nimittäjään sisältyvän neliön trinomin kertominen

(käytimme jälleen kaavaa neliötrinomin laskemiseen).
Näin ollen olemme vähentäneet annetun epäyhtälön muotoon

Harkitse ilmaisua

Tämän murtoluvun osoittaja muuttuu pisteessä 0:ksi ja pisteissä nimittäjä. Merkitsemme nämä pisteet numeroviivalle (kuva 14), joka jaetaan annetuilla pisteillä neljään väliin ja jokaisella välillä lauseke f (x) säilyttää vakiomerkin (nämä merkit on esitetty kuvassa 14). Olemme kiinnostuneita niistä intervalleista, joilla epäyhtälö fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä muunnosimme annetun epäyhtälön ekvivalentiksi epäyhtälöksi muotoa f (x) > 0 tai f (x)<0,где
Tässä tapauksessa tekijöiden lukumäärä murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä voi olla mikä tahansa. Sitten numeroviivalle merkittiin pisteet a, b, c, e. ja määritti lausekkeen f (x) etumerkit valituilla aikaväleillä. Huomasimme, että valittujen intervallien oikealla puolella epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy, jolloin lausekkeen f (x) merkit vuorottelevat intervalleilla (ks. kuva 16a). Tämä vuorottelu on havainnollistettu kätevästi aaltoilevan käyrän avulla, joka piirretään oikealta vasemmalle ja ylhäältä alas (kuva 166). Niillä aikaväleillä, joissa tämä käyrä (jota kutsutaan joskus merkkikäyräksi) sijaitsee x-akselin yläpuolella, epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy; missä tämä käyrä sijaitsee x-akselin alapuolella, epäyhtälö f (x)< 0.

Esimerkki 5 Ratkaise epätasa-arvo

Ratkaisu. Meillä on

(molemmat edellisen epätasa-arvon osat kerrottiin 6:lla).
Käytä intervallimenetelmää merkitsemällä pisteet numeroviivalle (näissä pisteissä epäyhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja häviää) ja pisteet (näissä pisteissä osoitetun murtoluvun nimittäjä häviää). Yleensä pisteet on merkitty kaavamaisesti ottaen huomioon niiden seuraamisjärjestys (joka on oikealla, mikä on vasemmalla) ja kiinnittämättä erityistä huomiota mittakaavaan. Se on selvää Luvuilla tilanne on monimutkaisempi.Ensimmäinen arvio osoittaa, että molemmat luvut ovat hieman suurempia kuin 2,6, josta on mahdotonta päätellä kumpi annetuista luvuista on suurempi ja mikä pienempi. Oletetaan (satunnaisesti), että Sitten
Se osoittautui oikeaksi epätasa-arvoksi, mikä tarkoittaa, että arvauksemme vahvistettiin: itse asiassa
Niin,

Merkitsemme merkityt 5 pistettä ilmoitetussa järjestyksessä numeroriville (kuva 17a). Järjestä ilmaisun merkit
saaduilla aikaväleillä: aivan oikealla - merkki + ja sitten merkit vuorottelevat (kuva 176). Piirretään merkkikäyrä ja valitaan (varjostuksella) ne intervallit, joilla meitä kiinnostava epäyhtälö f (x) > 0 täyttyy (kuva 17c). Lopuksi otetaan huomioon, että kyseessä on ei-tiukka epäyhtälö f (x) > 0, mikä tarkoittaa, että olemme kiinnostuneita myös niistä kohdista, joissa lauseke f (x) katoaa. Nämä ovat murtoluvun f (x) osoittajan juuret, ts. pisteitä merkitsemme ne kuvassa. 17 tummissa ympyröissä (ja tietysti sisällytä vastaukseen). Tässä nyt kuva. Kuva 17c antaa täydellisen geometrisen mallin annetun epäyhtälön ratkaisuille.