Petunjuk

Integrasi adalah operasi yang merupakan kebalikan dari diferensiasi. Oleh karena itu, jika Anda ingin mempelajari cara mengintegrasikan dengan baik, maka Anda harus terlebih dahulu mempelajari cara mencari turunan dari suatu fungsi. Anda dapat mempelajari ini dengan cukup cepat. Lagi pula, ada turunan khusus. Dengan bantuannya, Anda bisa integral sederhana. Dan ada juga tabel integral tak tentu dasar. Hal ini ditunjukkan pada gambar.

Saat mencari jumlah dari dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menambahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Ketika menemukan turunan dari produk dua fungsi, turunan dari fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan turunan dari fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, dari hasil kali turunan dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangkan produk turunan dari pembagi dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membagi semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi internal dan turunan dari yang terluar. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi dalam poin yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Fungsi F(x ) ditelepon primitif untuk fungsi F(x) pada interval yang diberikan jika untuk semua x dari interval ini persamaan

F"(x ) = F(x ) .

Misalnya, fungsi F(x) = x 2 F(x ) = 2x , karena

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Properti utama antiturunan

Jika F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x) pada interval tertentu, maka fungsi f(x) memiliki banyak antiturunan, dan semua antiturunan ini dapat ditulis sebagai F(x) + C, di mana DARI adalah konstanta arbitrer.

Aturan untuk menghitung antiturunan

1. Jika F(x) - asli untuk f(x) , tetapi G(x) - asli untuk g(x) , kemudian F(x) + G(x) - asli untuk f(x) + g(x) . Dengan kata lain, antiturunan dari jumlah sama dengan jumlah antiturunan .
2. Jika F(x) - asli untuk f(x) , Dan k konstan, maka k · F(x) - asli untuk k · f(x) . Dengan kata lain, faktor konstan dapat diambil dari tanda turunannya .
3. Jika F(x) - asli untuk f(x) , Dan k,B- permanen, dan k 0 , kemudian 1 / k F( k x + B ) - asli untuk F(k x + B) .

integral tak tentu

integral tak tentu dari fungsi f(x) disebut ekspresi F(x) + C, yaitu, himpunan semua antiturunan dari fungsi yang diberikan f(x) . Integral tak tentu dilambangkan sebagai berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- ditelepon integral ;

f(x) dx- ditelepon integral ;

x - ditelepon variabel integrasi ;

F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x) ;

DARI adalah konstanta arbitrer.

Sebagai contoh, ∫ 2 x dx =x 2 + DARI , ∫ karenax dx = dosa x + DARI dll. ◄

Kata "integral" berasal dari kata Latin bilangan bulat , yang berarti "dipulihkan". Mengingat integral tak tentu dari 2 x, kami semacam mengembalikan fungsi x 2 , yang turunannya adalah 2 x. Mengembalikan fungsi dari turunannya, atau, yang sama, menemukan integral tak tentu pada integran tertentu, disebut integrasi fungsi ini. Integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi.Untuk memeriksa apakah integrasi dilakukan dengan benar, cukup dengan mendiferensiasikan hasilnya dan mendapatkan integran.

Sifat dasar integral tak tentu

1. Turunan integral tak tentu sama dengan integral:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Faktor konstanta integran dapat dikeluarkan dari tanda integral:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integral jumlah (selisih) fungsi sama dengan jumlah(selisih) integral dari fungsi-fungsi ini:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Jika k,B- permanen, dan k 0 , kemudian

∫ F( k x + B) dx = 1 / k F( k x + B ) + C .

Tabel integral antiturunan dan integral tak tentu

integral tentu

Biarkan di antara [Sebuah; B] diberikan fungsi kontinu y = f(x) , kemudian integral tertentu dari a ke b fungsi f(x) disebut kenaikan primitif F(x) fungsi ini, yaitu

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

angka Sebuah Dan B dipanggil masing-masing lebih rendah Dan atas batas integrasi.

Aturan dasar untuk menghitung integral tertentu

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) di mana k - konstan;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), di mana f(x) adalah fungsi genap;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), di mana f(x) adalah fungsi ganjil.

Komentar . Dalam semua kasus, diasumsikan bahwa fungsi integral integral pada interval numerik yang batas-batasnya adalah batas-batas integrasi.

Arti geometris dan fisika dari integral tertentu

pengertian geometris integral tertentu	arti fisik integral tertentu
Daerah S trapesium lengkung(gambar dibatasi oleh grafik positif kontinu pada interval [Sebuah; B] fungsi f(x) , sumbu Sapi dan langsung x=a , x=b ) dihitung dengan rumus $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Cara S yang telah mengatasi poin materi, bergerak dalam garis lurus dengan kecepatan yang berubah-ubah menurut hukum v(t) , untuk selang waktu a ; B], maka luas gambar yang dibatasi oleh grafik fungsi dan garis lurus ini x = , x = b , dihitung dengan rumus $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Sebagai contoh. Hitunglah luas bangun tersebut dibatasi oleh garis y=x 2 Dan y= 2-x . Kami akan menggambarkan grafik fungsi-fungsi ini secara skematis dan menyoroti gambar yang areanya perlu ditemukan dalam warna yang berbeda. Untuk mencari limit integrasi, kita selesaikan persamaan: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-xx^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \kanan )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volume tubuh revolusi

	Jika benda diperoleh sebagai hasil rotasi terhadap sumbu Sapi trapesium lengkung dibatasi oleh grafik kontinu dan non-negatif pada interval [Sebuah; B] fungsi y = f(x) dan langsung x = Dan x = b , maka disebut tubuh revolusi . Volume tubuh revolusi dihitung dengan rumus $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jika benda revolusi diperoleh sebagai hasil rotasi dari suatu gambar yang dibatasi di atas dan di bawah oleh grafik fungsi y = f(x) Dan y = g(x) , masing-masing, maka $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Sebagai contoh. Hitung volume kerucut dengan jari-jari R dan tinggi H . Mari kita tempatkan kerucut di sistem persegi panjang koordinat sehingga sumbunya berimpit dengan sumbu Sapi , dan pusat alas terletak di titik asal koordinat. Rotasi generator AB mendefinisikan kerucut. Karena persamaan AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
dan untuk volume kerucut yang kita miliki $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2j\kiri (0-\frac(1)(3) \kanan)=\frac(\pi r^2j)(3).$$ ◄

Kata "integral" berasal dari bahasa Latin integralis - integral. Nama ini diusulkan pada abad ke-17. murid Leibniz yang hebat (dan juga matematikawan luar biasa) I. Bernoulli. Apa yang dimaksud dengan integral dalam pemahaman modern? Di bawah ini kami akan mencoba memberikan jawaban yang komprehensif untuk pertanyaan ini.

Prasyarat sejarah munculnya konsep integral

Pada awal abad ke-17. dalam pertimbangan ilmuwan terkemuka adalah jumlah besar masalah fisik (terutama mekanik) di mana perlu untuk menyelidiki ketergantungan beberapa kuantitas pada yang lain. Yang paling terlihat dan masalah mendesak adalah penentuan kecepatan sesaat dari gerakan tubuh yang tidak seragam setiap saat dan masalah kebalikan dari menemukan besarnya jalur yang ditempuh oleh tubuh di interval tertentu waktu selama gerakan ini. Hari ini kita sudah tahu apa integral dari kecepatan gerakan - ini adalah jalur yang dilalui. Tetapi pemahaman tentang cara menghitungnya, mengetahui kecepatan pada setiap saat, tidak segera muncul.

Pada awalnya, dari pertimbangan ketergantungan seperti itu besaran fisika, misalnya, jalur dari kecepatan, dibentuk konsep matematika fungsi y = f(x). Riset properti berbagai fungsi menyebabkan lahirnya analisis matematika. Para ilmuwan telah secara aktif mencari cara untuk mempelajari sifat-sifat berbagai fungsi.

Bagaimana cara menghitung integral dan turunan?

Setelah Descartes meletakkan fondasinya geometri analitik dan munculnya kemampuan untuk menggambarkan dependensi fungsional secara grafis dalam sumbu sistem kartesius koordinat, para peneliti menghadapi dua masalah besar baru: cara menggambar garis singgung pada garis lengkung di salah satu titiknya dan bagaimana menemukan luas bangun yang dibatasi di atas kurva ini dan garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat. . Tanpa diduga, ternyata yang pertama setara dengan menemukan kecepatan sesaat, dan yang kedua - untuk menemukan jarak yang ditempuh. Lagipula, dia adalah gerakan tidak merata digambarkan dalam sumbu koordinat Cartesian "jarak" dan "waktu" oleh beberapa garis lengkung.

Jenius Leibniz dan Newton di pertengahan abad ke-17. metode telah dikembangkan untuk memecahkan kedua masalah ini. Ternyata untuk menggambar garis singgung kurva pada suatu titik, perlu untuk menemukan nilai yang disebut turunan dari fungsi yang menggambarkan kurva ini pada titik yang sedang dipertimbangkan, dan nilai ini ternyata menjadi kecepatan yang sama perubahan fungsi, yaitu dalam kaitannya dengan ketergantungan "jalur pada kecepatan" sebenarnya kecepatan instan tubuh.

Untuk menemukan area yang dibatasi oleh garis lengkung, perlu untuk menghitung integral tertentu, yang memberikan nilai eksaknya. Turunan dan integral - konsep dasar diferensial dan kalkulus integral, yang merupakan dasar dari analisis matematika modern - bagian terpenting dari matematika tingkat tinggi.

Luas di bawah kurva

Jadi, bagaimana menentukan nilai yang tepat? Mari kita coba mengungkap proses perhitungannya melalui integral secara rinci, dari awal.

Misalkan f adalah fungsi kontinu pada interval. Pertimbangkan kurva y \u003d f (x), yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Bagaimana cara mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva), sumbu x, dan garis x = a dan x = b? Artinya, luas gambar yang diarsir pada gambar.

Kasus paling sederhana adalah ketika f adalah fungsi konstan; yaitu, kurva adalah garis horizontal f(X) = k, di mana k konstan dan k 0, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.

Dalam hal ini, luas di bawah kurva hanyalah persegi panjang dengan tinggi k dan lebar (b - a), sehingga luasnya didefinisikan sebagai: k · (b - a).

Area beberapa lainnya angka sederhana, seperti segitiga, trapesium dan setengah lingkaran, diberikan oleh rumus dari planimetri.

Area di bawah kurva kontinu y = f(x) diberikan oleh integral tertentu, yang ditulis dengan cara yang sama seperti integral biasa.

Jumlah Riemann

Sebelum menyelami jawaban terperinci atas pertanyaan tentang apa itu integral, mari kita soroti beberapa ide dasar.

Pertama, daerah di bawah kurva dibagi menjadi sejumlah n garis vertikal dengan lebar x yang cukup kecil. Selanjutnya, setiap garis vertikal diganti dengan persegi panjang vertikal dengan tinggi f(x), lebar x, dan luas f(x)dx. langkah berikutnya adalah untuk membentuk jumlah luas dari semua persegi panjang ini, yang disebut jumlah Riemann (lihat gambar di bawah).

Dengan menggambar persegi panjang kita dengan lebar x, kita dapat mengambil tinggi mereka, sama dengan nilai fungsi di tepi kiri setiap strip, yaitu, titik paling kiri atas mereka sisi pendek lebar x. Pada saat yang sama, di bagian di mana fungsi tumbuh dan kurvanya cembung, semua persegi panjang berada di bawah kurva ini, yaitu, jumlah mereka jelas akan kurang dari nilai eksak area di bawah kurva di bagian ini (lihat gambar di bawah). Metode pendekatan ini disebut kidal.

Pada prinsipnya, dimungkinkan untuk menggambar persegi panjang yang mendekati sedemikian rupa sehingga titik paling kanan dari sisi pendek atas dengan lebar x terletak pada kurva. Kemudian mereka akan berada di atas kurva, dan perkiraan area di area ini akan lebih besar dari nilai eksaknya, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Metode ini disebut tangan kanan.

Tetapi kita juga dapat mengambil tinggi dari masing-masing persegi panjang yang mendekati hanya sebagai beberapa nilai fungsi dalam titik sewenang-wenang x* i di dalam strip yang sesuai x i (lihat gambar di bawah). Pada saat yang sama, kita bahkan mungkin tidak mengambil lebar yang sama dari semua strip.

Mari kita buat jumlah Riemann:

Bagian dari jumlah Riemann ke integral tertentu

DI DALAM matematika yang lebih tinggi teorema terbukti yang mengatakan bahwa jika, dengan peningkatan tak terbatas dalam jumlah n persegi panjang yang mendekati, lebar terbesarnya cenderung nol, maka jumlah Riemann A n cenderung ke batas tertentu A. Angka A adalah sama untuk metode apa pun membentuk aproksimasi persegi panjang dan untuk setiap titik pilihan x* i .

Penjelasan visual teorema diberikan oleh gambar di bawah ini.

Dapat dilihat dari sini bahwa semakin sempit persegi panjang, semakin dekat area gambar yang diinjak ke area di bawah kurva. Jika jumlah persegi panjang adalah n→∞, lebarnya adalah x i →0, dan limit A dari jumlah A n secara numerik sama dengan luas yang diinginkan. Limit ini adalah integral tentu dari fungsi f (x):

Simbol integral, yang merupakan huruf miring S yang dimodifikasi, diperkenalkan oleh Leibniz. J.B. Fourier menyarankan untuk meletakkan notasi integral di atas dan di bawah limitnya. Ini dengan jelas menunjukkan inisial dan nilai akhir x.

Interpretasi geometris dan mekanik dari integral tertentu

Mari kita coba memberikan jawaban terperinci untuk pertanyaan apa itu integral? Mari kita perhatikan integral pada segmen fungsi f(x) positif di dalamnya, dan kita asumsikan bahwa batas atas lebih besar dari batas bawah a

Jika ordinat fungsi f(x) negatif di dalam, maka nilai mutlak integralnya sama dengan luas antara sumbu x dan grafik y=f(x), sedangkan integral itu sendiri negatif.

Dalam kasus persimpangan tunggal atau berulang oleh grafik y \u003d f (x) dari sumbu absis pada segmen, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah, untuk menghitung integral, Anda perlu menentukan perbedaan di mana pengurangan akan sama dengan luas total bagian yang terletak di atas sumbu absis, dan subtrahend - total luas tanah di bawahnya.

Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, integral tentu dari a ke b akan sama dengan (S1 + S3) - (S2+S4).

Interpretasi mekanis dari integral tentu sangat erat hubungannya dengan integral geometris. Mari kembali ke bagian "Jumlah Riemann" dan bayangkan bahwa grafik yang ditunjukkan pada gambar menyatakan fungsi kecepatan v=f(t) untuk gerakan tidak seragam dari suatu titik material (sumbu absis adalah sumbu waktu). Maka luas dari sembarang persegi panjang yang mendekati lebar t, yang kita bangun saat membentuk jumlah Riemann, akan secara kira-kira menyatakan jalur titik dalam waktu t, yaitu v(t*)Δt.

Jumlah total area persegi panjang pada segmen dari t 1 \u003d a hingga t 2 \u003d b kira-kira akan menyatakan jalur s dalam waktu t 2 - t 1, dan batasnya, yaitu, integral (didefinisikan) dari a ke b dari fungsi v \u003d f (t ) di atas dt akan memberikan nilai yang tepat dari jalur s.

Diferensial integral tertentu

Jika kita kembali ke penunjukannya, maka sangat mungkin untuk mengasumsikan bahwa a = const, dan b adalah nilai spesifik dari beberapa variabel independen x. Kemudian integral tertentu dengan batas atas x̃ berubah dari bilangan tertentu menjadi fungsi dari x̃. Integral seperti itu sama dengan luas gambar di bawah kurva yang ditunjukkan oleh titik-titik aABb pada gambar di bawah ini.

Dengan garis tetap aA dan Bb yang bergerak, luas ini menjadi fungsi f(x̃), dan pertambahan x̃ masih diplot sepanjang sumbu x, dan pertambahan fungsi f(x̃) adalah pertambahan luas di bawah melengkung.

Misalkan kita telah memberikan variabel x̃ = b beberapa kenaikan kecil x̃. Maka pertambahan luas gambar aABb adalah jumlah dari luas persegi panjang (yang diarsir pada gambar) Bb∙Δx̃ dan luas gambar BDC di bawah kurva. Luas persegi panjang sama dengan Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, yaitu merupakan fungsi linier dari kenaikan variabel bebas. Luas gambar BDC jelas lebih kecil dari luas persegi panjang BDCK = x̃∙Δy, dan karena x̃ → 0 semakin berkurang. Jadi, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ adalah diferensial luas variabel aABb, yaitu diferensial integral tertentu

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa perhitungan integral terdiri dalam menemukan fungsi dengan ekspresi yang diberikan untuk diferensialnya. Kalkulus integral hanyalah sistem cara untuk mencari fungsi-fungsi tersebut dengan diferensial yang diketahui.

Hubungan dasar kalkulus integral

Ini menghubungkan hubungan antara diferensiasi dan integrasi dan menunjukkan bahwa ada operasi kebalikan dari diferensiasi fungsi - integrasinya. Ini juga menunjukkan bahwa jika ada fungsi f(x) kontinu, kemudian menerapkan operasi matematika ini padanya, Anda dapat menemukan seluruh ansambel (set, himpunan) fungsi yang merupakan antiturunan untuknya (atau sebaliknya, temukan integral tak tentu darinya ).

Biarkan fungsi F(x) menjadi notasi untuk hasil integrasi fungsi f(x). Korespondensi antara kedua fungsi ini sebagai hasil dari integrasi yang kedua dilambangkan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat, tidak ada batas integrasi untuk simbol integral. Ini berarti bahwa ia telah diubah dari integral tertentu menjadi integral tak tentu. Kata “tak tentu” berarti bahwa hasil operasi integrasi dalam hal ini bukan satu, melainkan banyak fungsi. Lagi pula, selain fungsi F(x) itu sendiri, setiap fungsi F(x)+С, di mana = const, juga memenuhi ekspresi terakhir. Ini menyiratkan bahwa suku konstan dalam ansambel antiturunan dapat ditetapkan secara sewenang-wenang.

Harus ditekankan bahwa jika integral yang didefinisikan dari suatu fungsi adalah bilangan, maka yang tak tentu adalah fungsi, lebih tepatnya, himpunannya. Istilah "integrasi" digunakan untuk mendefinisikan operasi pencarian kedua jenis integral.

Aturan dasar integrasi

Ini adalah kebalikan dari aturan yang sesuai untuk diferensiasi. Bagaimana integral tak tentu diambil? Kami akan mempertimbangkan contoh prosedur ini pada fungsi tertentu.

Mari kita lihat fungsi daya umum:

Setelah kami melakukan ini dengan setiap suku dalam ekspresi fungsi yang dapat diintegralkan (jika ada lebih dari satu), kami menambahkan konstanta di akhir. Ingatlah bahwa mengambil turunan dari suatu konstanta akan menghancurkannya, jadi mengambil integral dari fungsi apa pun akan memberi kita rekonstruksi konstanta ini. Kami menamakannya C, karena konstanta tidak diketahui - bisa berapa saja! Oleh karena itu, kita dapat memiliki banyak ekspresi untuk integral tak tentu.

Mari kita lihat integral tak tentu sederhana, contohnya ditunjukkan di bawah ini.

Mari kita cari integral dari fungsi:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Mari kita mulai dengan istilah pertama. Kami melihat eksponen 2 dan meningkatkannya dengan 1, kemudian membagi suku pertama dengan eksponen 3. Kami mendapatkan: 4(x 3) / 3.

Kemudian kita melihat anggota berikutnya dan melakukan hal yang sama. Karena memiliki eksponen 1, eksponen yang dihasilkan adalah 2. Jadi kita membagi suku ini dengan 2: 2(x 2) / 2 = x 2 .

Suku terakhir memiliki faktor x, tetapi kami tidak melihatnya. Kita dapat menganggap suku terakhir sebagai (-3x 0). Ini setara dengan (-3)∙(1). Jika kita menggunakan aturan integrasi, kita akan menambahkan 1 ke eksponen untuk menaikkannya ke pangkat pertama, dan kemudian membagi suku terakhir dengan 1. Kita mendapatkan 3x.

Aturan integrasi ini berlaku untuk semua nilai n kecuali n = - 1 (karena kita tidak dapat membagi dengan 0).

Kami telah mempertimbangkan contoh paling sederhana untuk menemukan integral. Secara umum, solusi integral bukanlah tugas yang mudah, dan pengalaman yang telah dikumpulkan dalam matematika adalah bantuan yang baik di dalamnya.

Tabel integral

Pada bagian di atas, kita melihat bahwa setiap rumus diferensiasi menghasilkan rumus integrasi yang sesuai. Oleh karena itu, semua kemungkinan variannya telah lama diperoleh dan dirangkum dalam tabel yang sesuai. Tabel integral di bawah ini berisi rumus untuk mengintegrasikan fungsi aljabar dasar. Rumus-rumus ini perlu diketahui dengan hati, menghafalnya secara bertahap, karena dikonsolidasikan dengan latihan.

Tabel integral lain berisi fungsi trigonometri dasar:

Bagaimana cara menghitung integral tertentu?

Ternyata sangat mudah untuk melakukan ini, karena dapat mengintegrasikan, yaitu, menemukan integral tak tentu. Dan rumus pendiri kalkulus integro-diferensial Newton dan Leibniz membantu dalam hal ini

Menurutnya, perhitungan integral yang diinginkan terdiri pada tahap pertama dalam menemukan yang tak tentu, kemudian menghitung nilai antiturunan yang ditemukan F(x) ketika mensubstitusi x, yang pertama sama dengan batas atas, kemudian yang lebih rendah , dan, akhirnya, dalam menentukan perbedaan nilai-nilai ini. Dalam hal ini, konstanta C dapat dihilangkan. karena itu menghilang ketika pengurangan dilakukan.

Pertimbangkan beberapa integral dengan solusi rinci.

Temukan luas plot di bawah satu sinusoidal setengah gelombang.

Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah hiperbola.

Pertimbangkan sekarang integral dengan solusi rinci , menggunakan sifat aditif pada contoh pertama, dan substitusi variabel integrasi antara pada contoh kedua. Mari kita hitung integral tentu dari fungsi pecahan-rasional:

y=(1+t)/t 3 dari t=1 ke t=2.

Sekarang kita tunjukkan bagaimana kita dapat menyederhanakan pengambilan integral dengan memasukkan variabel perantara. Biarkan perlu untuk menghitung integral dari (x+1) 2 .

Pada integral tak wajar

Kami berbicara tentang integral tertentu untuk interval hingga fungsi f(x) kontinu di atasnya. Tetapi sejumlah masalah khusus mengarah pada kebutuhan untuk memperluas konsep integral ke kasus ketika batas (satu atau keduanya) sama dengan tak terhingga, atau ketika fungsi tidak kontinu. Misalnya, saat menghitung area di bawah kurva yang mendekati sumbu koordinat secara asimtotik. Untuk memperluas konsep integral ke kasus ini, selain bagian ke limit saat menghitung jumlah Riemann dari aproksimasi persegi panjang, satu lagi dilakukan. Dengan bagian ganda seperti itu ke batas, integral yang tidak tepat diperoleh. Berbeda dengan itu, semua integral yang disebutkan di atas disebut yang tepat.

Mari kita kembali ke masalah luas trapesium lengkung dan definisi integral tertentu. Kita lihat bahwa luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y=f(x), dimana f(x)0 pada ruas , sumbu x dan garis lurus x = a dan x = b secara numerik sama ke integral tertentu, yaitu

Sejauh ini, kita telah mempertimbangkan integral tertentu dengan batas-batas konstan integrasi a dan b. Jika Anda mengubah, misalnya, batas atas tanpa meninggalkan interval , nilai integralnya akan berubah. Dengan kata lain, integral dengan batas atas variabel adalah fungsi dari batas atasnya. Jadi, jika kita memiliki integral

dengan batas bawah konstan tetapi dan suatu variabel batas atas x, maka nilai integral ini merupakan fungsi dari batas atas x. Kami menyatakan fungsi ini dengan (x), yaitu, kami menetapkan

(2.1)

dan menyebutnya integral tertentu dengan batas atas variabel. Secara geometris, fungsi (х) adalah luas trapesium lengkung yang diarsir jika f(x)0 (Gbr. 2)

Sekarang mari kita perhatikan bukti teorema, salah satu teorema utama analisis matematika.

Dalil 3 . Jika f(t) adalah fungsi kontinu dan

maka persamaan

atau
(2.2)

Dengan kata lain, turunan integral tertentu dari fungsi kontinu terhadap batas atas variabel ada dan sama dengan nilai integral pada batas atas.

Bukti. Ambil sembarang nilai x dan berikan kenaikan x 0 sehingga x + x , mis.
. Maka fungsi (х) akan mendapatkan nilai baru:

Kami menemukan kenaikan fungsi (x):

= (x+x) – (x) =

Menerapkan teorema nilai rata-rata ke integral terakhir, kita mendapatkan:

di mana C adalah bilangan yang berada di antara bilangan x dan x + x. Dari sini

Jika sekarang x 0, maka c x dan f(c) f(x) (karena kontinuitas f(x) pada ). Oleh karena itu, melewati batas dalam persamaan terakhir, kami memperoleh

F ( x ) atau
,

Q.E.D.

Konsekuensi. Integral tentu dengan batas atas variabel adalah salah satu antiturunan untuk integran kontinu. Dengan kata lain, untuk Setiap fungsi kontinu memiliki antiturunan,

Komentar. Integral dengan batas atas variabel integrasi digunakan dalam definisi banyak fungsi baru, misalnya:

.

3. Rumus Newton - Leibniz

Seperti yang telah kita catat, perhitungan integral tertentu dengan metode yang didasarkan pada pencarian batas jumlah integral, sebagai suatu peraturan, dikaitkan dengan kesulitan besar. Oleh karena itu, ada metode lain yang biasanya lebih mudah untuk menghitung integral tertentu, yang didasarkan pada hubungan erat yang ada antara konsep integral tertentu dan integral tak tentu. Keterkaitan ini diekspresikan sebagai berikut:

Teorema 4 . Integral tentu dari suatu fungsi kontinu sama dengan selisih antara nilai-nilai dari setiap antiturunannya untuk batas integrasi atas dan bawah.

Bukti. Kami telah menetapkan bahwa fungsi f(x) yang kontinu pada segmen ini memiliki antiturunan, dan salah satu antiturunannya adalah fungsi

.

Biarkan F(x) menjadi antiturunan lainnya untuk fungsi f(x) pada segmen yang sama . Karena antiturunan (х) dan F(х) berbeda dengan konstanta (lihat sifat antiturunan), kita memiliki persamaan berikut

dimana C adalah suatu bilangan. Substitusikan ke dalam persamaan ini nilainya x = Sebuah akan memiliki 0 = F(Sebuah) + C, C = - F(Sebuah), yaitu untuk x kita punya

Pengaturan x = b, kami memperoleh hubungan

(3.1)

Rumus (3.1) disebut rumus Newton-Leibniz. Perbedaan F(B) – F(Sebuah) konvensional ditulis dalam bentuk

dan kemudian rumus (3.1) mengambil bentuk

Jadi, rumus (3.1) yang kami peroleh, di satu sisi, membuat hubungan antara integral tertentu dan tak tentu, di sisi lain, memberikan metode sederhana untuk menghitung integral tertentu:

integral tertentu dari suatu fungsi kontinu sama dengan selisih antara nilai dari setiap antiturunannya yang dihitung untuk batas atas dan batas bawah integrasi.

Proses penyelesaian integral dalam sains disebut “matematika” disebut integrasi. Dengan bantuan integrasi, Anda dapat menemukan beberapa kuantitas fisik: luas, volume, massa benda, dan banyak lagi.

Integral tidak tentu dan pasti. Perhatikan bentuk integral tertentu dan cobalah untuk memahaminya arti fisik. Muncul sebagai berikut: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ciri khas penulisan integral tak tentu dari integral tak tentu adalah adanya batas-batas integrasi a dan b. Sekarang kita akan mencari tahu untuk apa mereka, dan apa arti integral tertentu. Dalam pengertian geometris, integral seperti itu sama dengan luas gambar yang dibatasi oleh kurva f(x), garis a dan b, dan sumbu Ox.

Dapat dilihat dari Gambar 1 bahwa integral tertentu adalah daerah yang diarsir abu-abu. Mari kita periksa dengan contoh sederhana. Mari kita cari luas gambar pada gambar di bawah ini menggunakan integrasi, lalu menghitungnya dengan cara biasa mengalikan panjang dengan lebar.

Gambar 2 menunjukkan bahwa $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sekarang kita substitusikan ke dalam definisi integral, kita peroleh bahwa $$ S=\int _a ^bf(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Mari kita periksa dengan cara biasa. Dalam kasus kita, panjang = 3, lebar gambar = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ As Anda dapat melihat, semuanya sangat cocok.

Timbul pertanyaan: bagaimana menyelesaikan integral tak tentu dan apa artinya? Solusi dari integral tersebut adalah menemukan fungsi antiturunan. Proses ini merupakan kebalikan dari mencari turunan. Untuk menemukan antiturunan, Anda dapat menggunakan bantuan kami dalam memecahkan masalah dalam matematika, atau Anda harus secara mandiri menghafal sifat-sifat integral dan tabel integrasi dari fungsi dasar yang paling sederhana. Mencari terlihat seperti ini $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ adalah antiturunan dari $ f(x), C = const $.

Untuk menyelesaikan integral, Anda perlu mengintegrasikan fungsi $ f(x) $ terhadap variabel. Jika fungsinya berbentuk tabel, maka jawabannya ditulis dalam bentuk yang sesuai. Jika tidak, maka proses direduksi untuk mendapatkan fungsi tabel dari fungsi $ f(x) $ dengan transformasi matematika yang rumit. Ada berbagai metode dan properti untuk ini, yang akan kita bahas di bawah ini.

Jadi, sekarang mari kita membuat algoritma bagaimana menyelesaikan integral untuk boneka?

Algoritma untuk menghitung integral

1. Tentukan integral tentu atau tidak.
2. Jika tidak terdefinisi, maka Anda perlu mencari fungsi antiturunan $ F(x) $ dari integral $ f(x) $ menggunakan transformasi matematis yang membawa fungsi $ f(x) $ ke bentuk tabel.
3. Jika didefinisikan, maka langkah 2 harus dilakukan, dan kemudian mensubstitusi limit $a$ dan $b$ ke dalam fungsi antiturunan $F(x)$. Dengan rumus apa untuk melakukan ini, Anda akan belajar di artikel "Rumus Newton Leibniz".

Contoh solusi

Jadi, Anda telah belajar bagaimana menyelesaikan integral untuk boneka, contoh pemecahan integral telah diurutkan di rak. Mereka belajar arti fisik dan geometris mereka. Metode penyelesaian akan dibahas di artikel lain.