C 31 definisi derajat dengan eksponen rasional. Kekuatan dengan eksponen rasional

Dari eksponen bilangan bulat dari bilangan a transisi ke indikator rasional. Di bawah ini kita akan mendefinisikan derajat dengan eksponen rasional, dan kita akan melakukannya sedemikian rupa sehingga semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat dipertahankan. Hal ini diperlukan karena bilangan bulat merupakan bagian dari bilangan rasional.

Diketahui himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan masing-masing bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai positif atau negatif pecahan biasa. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pada derajat bilangan tersebut. A Dengan indikator pecahan M N, Di mana M adalah bilangan bulat, dan N- alami. Ayo lakukan.

Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita menentukan akar ke-n dari derajat tersebut, maka masuk akal untuk menerimanya, asalkan diberikan M, N Dan A ungkapan itu masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan data M, N Dan A ungkapannya masuk akal, lalu pangkat bilangannya A dengan indikator pecahan M N disebut akar N derajat ke- A sampai tingkat tertentu M.

Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan apa M, N Dan A ungkapan itu masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang diberlakukan M, N Dan A Ada dua pendekatan utama.

1. Cara termudah adalah dengan menerapkan pembatasan A, setelah menerima a≥0 untuk positif M Dan sebuah>0 untuk negatif M(sejak kapan m≤0 derajat 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.

Definisi.

Kekuatan bilangan positif A dengan indikator pecahan M N , Di mana M- utuh, dan N – bilangan asli, disebut akar N-th dari nomor tersebut A sampai tingkat tertentu M, itu adalah, .

Juga didefinisikan kekuatan pecahan nol dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan M N , Di mana M adalah bilangan bulat positif, dan N– bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Bila derajatnya tidak ditentukan, yaitu derajat bilangan nol dengan pecahan indikator negatif tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu peringatan: untuk beberapa negatif A dan beberapa M Dan N ungkapan tersebut masuk akal, namun kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisinya a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.

2. Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan M N terdiri dari mempertimbangkan secara terpisah eksponen akar genap dan ganjil. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat A, yang eksponennya merupakan pecahan biasa yang dapat direduksi, dianggap sebagai pangkat suatu bilangan A, yang indikatornya sesuai pecahan yang tidak dapat direduksi(Pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika M N adalah pecahan tak tersederhanakan, maka untuk bilangan asli apa pun k gelar sebelumnya digantikan oleh .

Bahkan N dan positif M ungkapan tersebut masuk akal untuk semua non-negatif A(akar gelar genap dari angka negatif tidak masuk akal), dengan negatif M nomor A tetap harus berbeda dari nol (jika tidak maka akan terjadi pembagian dengan nol). Dan anehnya N dan positif M nomor A bisa apa saja (akar ganjil didefinisikan untuk apa saja bilangan real), dan untuk negatif M nomor A harus bukan nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Membiarkan M N– pecahan tak tersederhanakan, M- utuh, dan N- bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Derajat A dengan eksponen pecahan yang tidak dapat direduksi M N- ini untuk

o bilangan real apa pun A, semuanya positif M dan aneh alami N, Misalnya, ;

o bilangan real apa pun yang bukan nol A, bilangan bulat negatif M dan aneh N, Misalnya, ;

o bilangan non-negatif apa pun A, semuanya positif M dan bahkan N, Misalnya, ;

o ada yang positif A, bilangan bulat negatif M dan bahkan N, Misalnya, ;

o dalam kasus lain, derajat dengan indikator pecahan tidak ditentukan, misalnya derajat tidak ditentukan .a kami tidak memberikan arti apa pun pada entri tersebut; kami mendefinisikan pangkat angka nol untuk eksponen pecahan positif M N Bagaimana , untuk eksponen pecahan negatif pangkat angka nol tidak ditentukan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau nomor campuran, Misalnya, . Untuk menghitung nilai ekspresi jenis ini, Anda perlu menuliskan eksponennya sebagai pecahan biasa, lalu menggunakan definisi eksponen dengan eksponen pecahan. Untuk contoh di atas yang kami miliki Dan

MBOU "Sidorskaya"

sekolah yang komprehensif»

Pengembangan rencana garis besar pelajaran terbuka

dalam aljabar di kelas 11 dengan topik:

Disiapkan dan dilaksanakan

guru matematika

Iskhakova E.F.

Garis besar pelajaran terbuka aljabar di kelas 11.

Subjek : “Gelar dengan eksponen rasional.”

Jenis pelajaran : Mempelajari materi baru

Tujuan Pelajaran:

Memperkenalkan siswa pada konsep derajat dengan eksponen rasional dan sifat-sifat dasarnya, berdasarkan materi yang telah dipelajari sebelumnya (derajat dengan eksponen bilangan bulat).

Mengembangkan keterampilan komputasi dan kemampuan untuk mengubah dan membandingkan angka dengan eksponen rasional.

Untuk mengembangkan literasi matematika dan minat matematika siswa.

Peralatan : Kartu tugas, presentasi siswa berdasarkan derajat dengan indikator bilangan bulat, presentasi guru berdasarkan derajat dengan indikator rasional, laptop, proyektor multimedia, layar.

Selama kelas:

Waktu pengorganisasian.

Memeriksa penguasaan topik yang dibahas menggunakan kartu tugas individu.

Tugas No.1.

=2;

B) =x + 5;

Selesaikan sistem persamaan irasional: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tugas No.2.

Selesaikan persamaan irasional: = - 3;

B) = x - 2;

Memecahkan sistem persamaan irasional: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Komunikasikan topik dan tujuan pelajaran.

Topik pelajaran kita hari ini adalah “ Kekuatan dengan eksponen rasional».

Penjelasan materi baru dengan menggunakan contoh materi yang telah dipelajari sebelumnya.

Anda sudah familiar dengan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat. Siapa yang akan membantu saya mengingatnya?

Pengulangan menggunakan presentasi" Derajat dengan eksponen bilangan bulat».

Untuk bilangan apa pun a, b, dan bilangan bulat m dan n, persamaannya valid:

am * an =am+n ;

am: an =a m-n (a ≠ 0);

(am) n = amn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

sebuah 1 =sebuah ; Sebuah 0 = 1(Sebuah ≠ 0)

Hari ini kita akan menggeneralisasi konsep pangkat suatu bilangan dan memberi makna pada ekspresi yang memiliki eksponen pecahan. Mari kita perkenalkan definisi derajat dengan eksponen rasional (Presentasi “Gelar dengan eksponen rasional”):

Kekuatan a > 0 dengan eksponen rasional R = , Di mana M adalah bilangan bulat, dan N - alami ( N > 1), memanggil nomor tersebut M .

Jadi, menurut definisi kita mengerti = M .

Mari kita coba menerapkan definisi ini saat menyelesaikan suatu tugas.

CONTOH No.1

Saya menyajikan ekspresi sebagai akar suatu bilangan:

A) B) DI DALAM) .

Sekarang mari kita coba menerapkan definisi ini secara terbalik

II Nyatakan ekspresi sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

A) 2 B) DI DALAM) 5 .

Pangkat 0 didefinisikan hanya untuk eksponen positif.

0 R= 0 untuk apa pun R> 0.

Menggunakan definisi ini, Rumah Anda akan menyelesaikan #428 dan #429.

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen rasional yang dirumuskan di atas, sifat-sifat dasar derajat, yang berlaku untuk eksponen apa pun, dipertahankan.

Untuk sembarang bilangan rasional r dan s serta sembarang bilangan positif a dan b, persamaan berikut berlaku:

1 0 . A R A S =a r+s ;

CONTOH: *

20. sebuah r: a s =a r-s ;

CONTOH: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

CONTOH: ( -2/3

4 0 . ( ab) R = A R B R ; 5 0 . ( = .

CONTOH: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

CONTOH penggunaan beberapa properti sekaligus: * : .

menit pendidikan jasmani.

Kami meletakkan pulpen di atas meja, meluruskan punggung, dan sekarang kami mengulurkan tangan ke depan, kami ingin menyentuh papan. Sekarang kita sudah menaikkannya dan mencondongkannya ke kanan, kiri, depan, belakang. Kamu tunjukkan tanganmu padaku, sekarang tunjukkan padaku bagaimana jarimu bisa menari.

Mengerjakan materi

Mari kita perhatikan dua lagi sifat pangkat dengan eksponen rasional:

6 0 . Membiarkan r adalah bilangan rasional dan 0< a < b . Тогда

A R < b R pada R> 0,

A R < b R pada R< 0.

7 0 . Untuk bilangan rasional apa punR Dan S dari ketimpangan R> S mengikuti itu

A R>a R untuk > 1,

A R < а R pada 0< а < 1.

CONTOH: Bandingkan angka-angkanya:

DAN ; 2 300 dan 3 200 .

Ringkasan pelajaran:

Hari ini dalam pelajaran kita mengingat sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, mempelajari definisi dan sifat dasar derajat dengan eksponen rasional, dan mempertimbangkan penerapannya materi teori dalam latihan saat melakukan latihan. Saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta bahwa topik "Eksponen dengan eksponen rasional" adalah wajib Tugas Ujian Negara Bersatu. Saat menyiapkan pekerjaan rumah ( Nomor 428 dan Nomor 429

Video pembelajaran “Eksponen dengan eksponen rasional” berisi visual materi pendidikan untuk memberikan pelajaran tentang topik ini. Video pembelajaran berisi informasi tentang konsep derajat dengan eksponen rasional, sifat-sifat derajat tersebut, serta contoh-contoh yang menjelaskan penggunaan materi pendidikan untuk menyelesaikannya. masalah praktis. Tujuan dari video pembelajaran ini adalah untuk menyajikan materi pendidikan secara jelas dan jelas, memudahkan siswa untuk mengembangkan dan menghafalkannya, serta mengembangkan kemampuan memecahkan masalah dengan menggunakan konsep-konsep yang dipelajari.

Keunggulan utama video pembelajaran adalah kemampuan melakukan transformasi dan perhitungan secara visual, kemampuan menggunakan efek animasi untuk meningkatkan efisiensi pembelajaran. Panduan suara membantu mengembangkan yang benar pidato matematika, dan juga memungkinkan untuk menggantikan penjelasan guru, sehingga memberikan kebebasan untuk melaksanakan pekerjaan individu.

Video pembelajaran dimulai dengan pengenalan topik. Menghubungkan studi topik baru dengan materi yang telah dipelajari sebelumnya, disarankan untuk mengingat bahwa n √a dinyatakan dengan a 1/n untuk n natural dan a positif. Presentasi ini n-root ditampilkan di layar. Selanjutnya, kami mengusulkan untuk mempertimbangkan apa arti ekspresi a m/n, di mana a berada nomor positif, dan m/n adalah pecahan tertentu. Definisi derajat dengan eksponen rasional sebagai a m/n = n √a m diberikan, disorot dalam bingkai. Diketahui bahwa n dapat berupa bilangan asli, dan m dapat berupa bilangan bulat.

Setelah menentukan derajat dengan eksponen rasional, maknanya terungkap melalui contoh: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Sebuah contoh juga ditunjukkan di mana derajat diwakili oleh desimal, diubah menjadi pecahan biasa untuk direpresentasikan sebagai akar: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 dan contoh dengan nilai negatif derajat: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Keunikan kasus khusus ketika basis derajatnya nol ditunjukkan secara terpisah. Perlu dicatat bahwa derajat ini hanya masuk akal jika eksponen pecahan positif. Dalam hal ini, nilainya nol: 0 m/n =0.

Ciri lain dari derajat dengan eksponen rasional dicatat - bahwa derajat dengan eksponen pecahan tidak dapat dianggap dengan eksponen pecahan. Contoh notasi derajat yang salah diberikan: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Selanjutnya pada video pembelajaran kita membahas tentang sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen rasional. Perlu dicatat bahwa sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat juga berlaku untuk derajat dengan eksponen rasional. Diusulkan untuk mengingat kembali daftar properti yang juga valid pada kasus ini:

Saat mengalikan kekuatan dengan dengan alasan yang sama indikatornya bertambah: a p a q =a p+q.
Pembagian derajat dengan basis yang sama direduksi menjadi derajat dengan basis tertentu dan selisih eksponennya: a p:a q =a p-q.
Jika kita menaikkan derajat ke pangkat tertentu, maka kita akan mendapatkan derajat dengan basis tertentu dan hasil kali eksponen: (ap) q =a pq.

Semua properti ini berlaku untuk pangkat dengan eksponen rasional p, q dan basis positif a>0. Selain itu, transformasi derajat saat membuka tanda kurung tetap berlaku:

(ab) p =a p b p - menaikkan pangkat tertentu dengan eksponen rasional, hasil kali dua bilangan direduksi menjadi hasil kali bilangan, yang masing-masing dipangkatkan.
(a/b) p =a p /b p - menaikkan pecahan dengan eksponen rasional direduksi menjadi pecahan yang pembilang dan penyebutnya dipangkatkan.

Video tutorial membahas contoh penyelesaian yang menggunakan sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional. Contoh pertama meminta Anda mencari nilai ekspresi yang berisi variabel x dalam pangkat pecahan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Terlepas dari kerumitan ungkapannya, dengan menggunakan sifat-sifat kekuatan, hal ini dapat diselesaikan dengan cukup sederhana. Penyelesaian masalah dimulai dengan menyederhanakan ekspresi, yang menggunakan aturan menaikkan pangkat dengan eksponen rasional menjadi pangkat, serta mengalikan pangkat dengan basis yang sama. Setelah substitusi menetapkan nilai x=8 dalam ekspresi sederhana x 1/3 +48, mudah untuk mendapatkan nilai - 50.

Pada contoh kedua, Anda perlu mereduksi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung pangkat dengan eksponen rasional. Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kita mengekstrak faktor x 1/3 dari selisihnya, yang kemudian dikurangi pembilang dan penyebutnya, dan menggunakan rumus selisih kuadrat, pembilangnya difaktorkan, yang menghasilkan pengurangan lebih lanjut dari bilangan identik. faktor pembilang dan penyebutnya. Hasil transformasi tersebut adalah pecahan pendek x 1/4 +3.

Video pelajaran “Eksponen dengan eksponen rasional” dapat digunakan sebagai pengganti guru menjelaskan topik pelajaran baru. Juga panduan ini berisi cukup informasi lengkap Untuk Belajar sendiri murid. Materinya juga dapat berguna untuk pembelajaran jarak jauh.

Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi pangkat suatu bilangan, sementara kami akan mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen natural dan diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Pangkat dengan eksponen alami, kuadrat suatu bilangan, pangkat tiga suatu bilangan

Mari kita mulai dengan. Ke depan, misalkan definisi pangkat suatu bilangan a dengan indikator alami n diberikan untuk a, yang akan kita panggil dasar gelar, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Perlu kita ketahui juga bahwa derajat dengan eksponen natural ditentukan melalui suatu perkalian, sehingga untuk memahami materi di bawah ini anda perlu memiliki pemahaman tentang perkalian bilangan.

Definisi.

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami n adalah ekspresi bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu .
Secara khusus, pangkat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Perlu segera disebutkan tentang aturan membaca gelar. Cara universal membaca notasi a n adalah: “a pangkat n”. Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: “a pangkat ke-n” dan “pangkat ke-n dari a”. Misalnya, mari kita pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "pangkat dua belas dari delapan".

Pangkat kedua suatu bilangan, serta pangkat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri-sendiri. Pangkat kedua suatu bilangan disebut kuadratkan angkanya, misalnya, 7 2 dibaca sebagai “tujuh kuadrat” atau “kuadrat dari angka tujuh”. Pangkat ketiga suatu bilangan disebut angka potong dadu, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai “lima pangkat tiga” atau Anda dapat mengucapkan “kubus angka 5”.

Saatnya untuk membawa contoh derajat dengan eksponen natural. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis derajat, dan 7 adalah eksponen. Mari kita beri contoh lain: 4.32 adalah bilangan pokok, dan bilangan asli 9 adalah eksponennya (4.32) 9 .

Harap dicatat bahwa di contoh terakhir Basis derajat 4,32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan memasukkan semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan eksponen natural , basisnya bukan bilangan asli, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, agar lebih jelas, pada kali ini kami akan menunjukkan perbedaan yang terdapat pada rekaman bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat −2 dengan eksponen natural 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai −(2 3) ) sesuai dengan bilangan tersebut, nilai pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a^n. Apalagi jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut beberapa contoh penulisan derajat lagi dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi derajat dalam bentuk a n .

Salah satu soal kebalikan dari menaikkan pangkat dengan eksponen alami adalah soal mencari basis pangkat dengan nilai yang diketahui derajat dan indikator yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan, dan setiap pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pada derajat bilangan a dengan eksponen pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita menentukan , maka logis untuk menerimanya asalkan untuk m, n dan a ekspresi yang diberikan masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan m, n dan a ekspresi tersebut masuk akal, maka pangkat a dengan eksponen pecahan m/n disebut akar ke-n dari a pangkat m.

Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan pada m, n dan a ekspresi mana yang masuk akal. Bergantung pada batasan yang diterapkan pada m, n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah adalah dengan memberikan batasan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 dari m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Pangkat pecahan dari nol juga ditentukan dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Jika derajatnya tidak ditentukan, maka derajat bilangan nol dengan eksponen pecahan negatif tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu peringatan: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi tersebut masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan m/n adalah dengan mempertimbangkan eksponen akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah , dianggap sebagai pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah pecahan tak tersederhanakan (kami akan menjelaskan pentingnya kondisi ini di bawah ). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya diganti terlebih dahulu dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi tersebut masuk akal untuk sembarang a yang non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal); untuk m negatif, bilangan a harus tetap berbeda dari nol (jika tidak, akan ada pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar pangkat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Misalkan m/n adalah pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m/n adalah untuk

Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan tereduksi terlebih dahulu diganti dengan derajat dengan eksponen tak tereduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajatnya sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang tak tereduksinya pecahan m/n, maka kita akan dihadapkan pada situasi seperti berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaannya harus berlaku , Tetapi , A .

Kekuatan dengan eksponen rasional

Khasyanova T.G.,

guru matematika

Materi yang disampaikan akan bermanfaat bagi guru matematika ketika mempelajari topik “Eksponen dengan eksponen rasional”.

Tujuan materi yang disampaikan: untuk mengungkapkan pengalaman saya melakukan pembelajaran dengan topik “Eksponen dengan eksponen rasional” program kerja disiplin "Matematika".

Metodologi pelaksanaan pembelajaran sesuai dengan jenisnya - pembelajaran dalam mempelajari dan pada awalnya mengkonsolidasikan pengetahuan baru. Diperbarui latar belakang pengetahuan dan keterampilan berdasarkan pengalaman yang diperoleh sebelumnya; menghafal utama, konsolidasi dan penerapan informasi baru. Konsolidasi dan penerapan materi baru terjadi dalam bentuk penyelesaian masalah yang saya uji dari kompleksitas yang berbeda-beda, memberikan hasil positif dalam penguasaan topik.

Di awal pelajaran, saya menetapkan tujuan berikut untuk siswa: pendidikan, perkembangan, pendidikan. Selama pelajaran saya menggunakan berbagai cara kegiatan: frontal, individu, berpasangan, mandiri, tes. Tugas-tugasnya dibedakan dan memungkinkan untuk mengidentifikasi, pada setiap tahap pembelajaran, tingkat perolehan pengetahuan. Volume dan kompleksitas tugas sesuai karakteristik usia siswa. Dari pengalaman saya - pekerjaan rumah, mirip dengan masalah yang diselesaikan di ruang belajar, memungkinkan Anda mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan andal. Di akhir pembelajaran dilakukan refleksi dan penilaian hasil karya masing-masing siswa.

Tujuannya tercapai. Siswa mempelajari konsep dan sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen rasional, dan belajar menggunakan sifat-sifat tersebut ketika memecahkan masalah praktis. Di belakang pekerjaan mandiri Nilai akan diumumkan pada pelajaran berikutnya.

Saya yakin metodologi yang saya gunakan dalam pengajaran matematika dapat digunakan oleh guru matematika.

Topik pelajaran: Kekuatan dengan eksponen rasional

Tujuan pelajaran:

Identifikasi tingkat penguasaan siswa atas suatu kompleks pengetahuan dan keterampilan dan, berdasarkan itu, penerapannya keputusan tertentu untuk meningkatkan proses pendidikan.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: membentuk pengetahuan baru di kalangan siswa tentang konsep dasar, kaidah, hukum penentuan derajat dengan indikator rasional, kemampuan menerapkan pengetahuan secara mandiri dalam kondisi standar, dalam kondisi yang dimodifikasi dan tidak standar;

mengembangkan: berpikir logis dan menerapkannya Keterampilan kreatif;

pemeliharaan: untuk mengembangkan minat pada matematika, untuk mengisi kembali kosakata istilah baru, dapatkan Informasi tambahan tentang dunia di sekitar kita. Kembangkan kesabaran, ketekunan, dan kemampuan mengatasi kesulitan.

Waktu pengorganisasian

Memperbarui pengetahuan referensi

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya ditambahkan, tetapi basisnya tetap sama:

Misalnya,

2. Saat membagi derajat dengan basis yang sama, eksponen derajatnya dikurangi, tetapi basisnya tetap sama:

Misalnya,

3. Saat menaikkan derajat ke pangkat, eksponennya dikalikan, tetapi basisnya tetap sama:

Misalnya,

4. Derajat hasil kali sama dengan hasil kali derajat faktor-faktornya:

Misalnya,

5. Derajat hasil bagi sama dengan hasil bagi derajat pembagi dan pembagi:

Misalnya,

Latihan dengan solusi

Temukan arti dari ungkapan:

Larutan:

Dalam hal ini, tidak ada satupun sifat derajat dengan eksponen natural yang dapat diterapkan secara eksplisit, karena semua derajat memilikinya alasan-alasan berbeda. Mari kita tuliskan beberapa pangkat dalam bentuk yang berbeda:

(derajat hasil kali sama dengan hasil kali derajat faktor-faktornya);

(saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya ditambahkan, tetapi basisnya tetap sama; saat menaikkan derajat ke suatu pangkat, eksponennya dikalikan, tetapi basisnya tetap sama).

Kemudian kita mendapatkan:

DI DALAM dalam contoh ini Empat sifat derajat pertama dengan eksponen natural digunakan.

Akar kuadrat aritmatika
- Ini Bukan angka negatif, yang kuadratnya sama denganA,
. Pada
- ekspresi
tidak didefinisikan, karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya sama dengan bilangan negatifA.