ლოგარითმული უტოლობა სხვადასხვა ცვლადი ფუძეებით. მანოვის ნაშრომი "ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ყველა მრავალფეროვნებას შორის ლოგარითმული უტოლობებიცალკე შეისწავლეთ უტოლობები ცვლადი ბაზა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

ჯაკავის "∨"-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დაუდოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ასე რომ, ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათ მოსაწყვეტად საკმარისია არეალის პოვნა დაშვებული ღირებულებები. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან, ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იპოვება, რჩება მისი გადაკვეთა ხსნართან რაციონალური უთანასწორობა- და პასუხი მზადაა.

Დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჯერ დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა შესრულებულია ავტომატურად, ხოლო ბოლო უნდა ჩაიწეროს. რადგან რიცხვის კვადრატი ნულითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი ნულის ტოლია, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, ამიტომ მიღებული უტოლობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით. Ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

ამ გამოხატვის ნულები: x = 3; x = -3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. Ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების ტრანსფორმაცია

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის გამოსწორება ადვილია სტანდარტული წესებიმუშაობა ლოგარითმებთან - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის DPV-ის პოვნა. Ამგვარად, ზოგადი სქემალოგარითმული უტოლობების ამოხსნა შემდეგია:

იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის ODZ;
უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
ამოიღეთ მიღებული უტოლობა ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.

Დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

იპოვეთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (ODZ):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატულ ისარზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ-ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. თუ არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეულები ფუძესთან და ლოგარითმამდე შემცირდა. ჩვენ მივიღეთ ორი ლოგარითმი იგივე ბაზა. მოდით გავაერთიანოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ჩვენ მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველ უთანასწორობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, შედეგად რაციონალური გამოხატულებაასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. Ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
უპასუხეთ კანდიდატს: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების გადაკვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრზე დაჩრდილულ ინტერვალებს. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.

ერთი უთანასწორობის გაკვეთილი აყალიბებს კვლევითი მუშაობის უნარს, აღვიძებს მოსწავლეებს აზროვნებას, ავითარებს გამომგონებლობას და ზრდის მოსწავლეებს მუშაობისადმი ინტერესს. უმჯობესია ჩატარდეს მაშინ, როცა მოსწავლეები ისწავლიან აუცილებელი ცნებებიდა გააანალიზა ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის რამდენიმე კონკრეტული მეთოდი. ამ გაკვეთილზე მოსწავლეები აქტიური მონაწილეები არიან გამოსავლის ძიებაში.

გაკვეთილის ტიპი

. გაკვეთილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების ახალ სიტუაციაში გამოყენების შესახებ. (შესწავლილი მასალის სისტემატიზაციისა და განზოგადების გაკვეთილი).

გაკვეთილის მიზნები

საგანმანათლებლო

სხვადასხვა გზები

საკუთარი საქმიანობა

სასწავლო მასალა

განვითარებადი

საგანმანათლებლო

ჰუმანური ურთიერთობები

გაკვეთილების დროს.

1. საორგანიზაციო მომენტი.

ზეპირი სამუშაო.

2. საშინაო დავალების შემოწმება.

დაწერეთ წინადადებები მათემატიკური ენაზე: „ა და b რიცხვები ერთ მხარეს არის“, „ა და b რიცხვები არიან. სხვადასხვა მხარეებიერთიანობისგან“ და დაამტკიცეთ წარმოქმნილი უთანასწორობები. (დაფაზე ერთ-ერთმა მოსწავლემ წინასწარ მოამზადა გამოსავალი).

3. გაკვეთილის თემის, მისი მიზნებისა და ამოცანების მოხსენება.

მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ვარიანტების გაანალიზებისას შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ გამოცდებში ლოგარითმების თეორიიდან ლოგარითმული უტოლობები ხშირად ჩნდება, რომელიც შეიცავს ცვლადს ლოგარითმის ქვეშ და ლოგარითმის საფუძველი.

ჩვენი გაკვეთილი არის გაკვეთილი ერთ უთანასწორობაში, შეიცავს ცვლადს ლოგარითმის ქვეშ და ლოგარითმის ბაზაზე,მოგვარებულია სხვადასხვა გზით. ამბობენ, რომ ჯობია ერთი უტოლობის ამოხსნა, მაგრამ სხვადასხვა გზით, ვიდრე რამდენიმე უტოლობა ერთნაირად. მართლაც, თქვენ უნდა შეძლოთ თქვენი გადაწყვეტილებების შემოწმება. ჯობია შეამოწმოარა, ვიდრე ამოცანის სხვაგვარად ამოხსნა და იგივე პასუხის მიღება (შეგიძლიათ მიხვიდეთ ერთსა და იმავე სისტემებთან, ერთსა და იმავე უტოლობამდე, განტოლებამდე სხვადასხვა გზით). მაგრამ არა მხოლოდ ეს მიზანი მიიღწევა ამოცანების სხვადასხვა გზით გადაჭრისას. ვეძებთ სხვადასხვა გადაწყვეტილებებს, ყველა შესაძლო შემთხვევის გათვალისწინებით, კრიტიკული შეფასებამათ, რათა ხაზი გავუსვა ყველაზე რაციონალური, ლამაზი, არის მნიშვნელოვანი ფაქტორიმათემატიკური აზროვნების განვითარება, შაბლონიდან მოშორება. ამიტომ, დღეს ჩვენ მოვაგვარებთ მხოლოდ ერთ უტოლობას, მაგრამ შევეცდებით მოვიძიოთ მისი ამოხსნის რამდენიმე გზა.

4. კრეატიული აპლიკაციადა ცოდნის შეძენა, აქტივობის მეთოდების შემუშავება პრობლემური ამოცანების გადაჭრით, რომელიც აგებულია უთანასწორობის ჟურნალის x (x 2 - 2x - 3) ამოხსნის ადრე შეძენილი ცოდნისა და უნარების საფუძველზე.< 0.

აქ არის ამ უთანასწორობის გამოსავალი, აღებული ერთი საგამოცდო ნაშრომიდან. დააკვირდით მას და შეეცადეთ გააანალიზოთ გამოსავალი. (უტოლობის ამოხსნა წინასწარ იწერება დაფაზე)

ჟურნალი x (x 2 - 2x - 3)< log x 1;

ა) x 2 – 2x – 3 > 0; ბ) x 2 - 2x - 3< 1;

x 2 - 2x - 3 = 0; x 2 - 2x - 4< 0;

x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3; x 2 - 2x - 4 = 0;

გ) სისტემის გადაწყვეტა

სტუდენტის შესაძლო განმარტებები:

ეს არ არის განტოლება, არამედ უტოლობა, ასე რომ, როდესაც გადავდივართ ლოგარითმული უტოლობაზე რაციონალური ნიშანიუთანასწორობა დამოკიდებული იქნება ლოგარითმის საფუძველზე და ერთფეროვნებაზე ლოგარითმული ფუნქცია.

ამ გადაწყვეტილებით შესაძლებელია შეძენა გარე გადაწყვეტილებები, ან გადაწყვეტილებების დაკარგვა და შესაძლებელია, არასწორი გადაწყვეტილებით, სწორი პასუხი იყოს მიღებული.

მაშ, როგორ იყო საჭირო ამ უტოლობის ამოხსნა, რომელშიც ცვლადი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძეზეა?!

ეს უტოლობა უდრის უტოლობათა ორი სისტემის გაერთიანებას.

უთანასწორობის პირველ სისტემას არ აქვს გამოსავალი.

უტოლობების სისტემის გამოსავალი იქნება

საგამოცდო ფურცლიდან უტოლობის შემოთავაზებულ ამოხსნაში პასუხი სწორი იყო. რატომ?

მოსწავლეთა შესაძლო პასუხები:

ვინაიდან ფუნქციის დომენი უტოლობის მარცხენა მხარეს შედგება 3-ზე მეტი რიცხვებისგან, შესაბამისად, ფუნქცია y = log x t იზრდება. ასე რომ პასუხი სწორია.

როგორ შეიძლება მათემატიკურად სწორი ამოხსნის ჩაწერა საგამოცდო ფურცელში?

II გზა.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს უტოლობის მარცხენა მხარეს და შემდეგ, განსაზღვრების დომენის გათვალისწინებით, განვიხილავთ მხოლოდ ერთ შემთხვევას.

სხვაგვარად როგორ შეიძლება ამ უთანასწორობის გადაჭრა? რა ფორმულების გამოყენება შეიძლება?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა a > 0, a 1

III გზა.

IV გზა.

შესაძლებელია თუ არა თავად უტოლობაზე გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ლოგარითმი ნულზე ნაკლებია?

დიახ. ლოგარითმის ქვემოთ გამოსახული და ლოგარითმის საფუძველი არის ერთიანობის საპირისპირო მხარეს, მაგრამ დადებითი!

ანუ, ჩვენ კვლავ ვიღებთ უტოლობათა ორი სისტემის იგივე სიმრავლეს:

ყველა განხილული მეთოდი იწვევს უტოლობების ორი სისტემის ერთობლიობას. ყველა შემთხვევაში ერთი და იგივე პასუხი მიიღება. ყველა მეთოდი თეორიულად გამართლებულია.

კითხვა მოსწავლეებს: როგორ ფიქრობთ, რატომ დაისვა საშინაო დავალებაში შეკითხვა, რომელიც არ იყო დაკავშირებული მე-11 კლასში შესწავლილ მასალასთან?

ლოგარითმის თვისებების ცოდნა რომ შესვლა a ბ< 0 , თუ ადა ბ 1-ის მოპირდაპირე მხარეს

შესვლა a b > 0 თუ ადა ბერთ მხარეს 1, შეგიძლიათ მიიღოთ ძალიან საინტერესო და მოულოდნელი გზაუთანასწორობის გადაწყვეტილებები. ეს მეთოდი აღწერილია სტატიაში „ზოგიერთი სასარგებლო ლოგარითმული ურთიერთობა“ ჟურნალ Kvant No10, 1990 წ.

log g(x) f(x) > 0 თუ

ჟურნალი g(x) f(x)< 0, если

(რატომ მდგომარეობა g(x) 1 არ არის საჭირო დაწერა?)

უტოლობის ამოხსნა ჟურნალი x (x 2 - 2x - 3)< 0 ასე გამოიყურება:

ა) x 2 – 2x – 3 > 0; ბ) (x - 1) (x 2 - 2x - 4)< 0;

გ) უტოლობის სისტემის ამოხსნა

VI გზა.

ინტერვალის მეთოდი. („ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით“ შემდეგი გაკვეთილის თემაა).

5. შესრულებული სამუშაოს შედეგი.

1. რა გზებით მოგვარდა უთანასწორობა? ამის გადაჭრის რამდენი გზაა

ვიპოვეთ უთანასწორობა?

2. რომელია ყველაზე რაციონალური? Ლამაზი?

3. რა დაეფუძნა უტოლობის ამოხსნას თითოეულ შემთხვევაში?

4. რატომ არის ეს უთანასწორობა საინტერესო?

მასწავლებლის მიერ კლასის მუშაობის თვისობრივი მახასიათებლები.

6. შესწავლილი მასალის განზოგადება.

შესაძლებელია თუ არა ამ უთანასწორობის მიჩნევა განსაკუთრებული შემთხვევაუფრო ზოგადი პრობლემა?

ფორმის უთანასწორობა ჟურნალი g(x) f(x)<(>) ჟურნალი g(x) h(x)შეიძლება შემცირდეს უთანასწორობამდე ჟურნალი g(x)p(x)<(>) 0 ლოგარითმების და უტოლობების თვისებების გამოყენებით.

ამოხსენით უტოლობა

ჟურნალი x (x 2 + 3x - 3) > 1

რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდით.

7. Საშინაო დავალებაინსტრუქციები მისი განხორციელებისთვის
.

1. ამოხსენით უტოლობები (მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ვარიანტებიდან):

2. მომდევნო გაკვეთილზე განვიხილავთ ლოგარითმულ უტოლობებს, რომლებიც ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით. გაიმეორეთ უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ინტერვალის მეთოდით.

3. დაალაგეთ რიცხვები ზრდადი მიმდევრობით (ახსნათ რატომ ეს წყობა):

ჟურნალი 0,35; ; ; ჟურნალი 0.5 3 (გაიმეორეთ შემდეგი გაკვეთილისთვის).

ლოგარითმული უთანასწორობა გამოყენებაში

სეჩინი მიხაილ ალექსანდროვიჩი

მეცნიერებათა მცირე აკადემია ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის "მაძიებელი"

MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1", კლასი 11, ქ. საბჭოეთის საბჭოთა ოლქი

გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, MBOU მასწავლებელი"საბჭოთა სკოლა No1"

საბჭოთა ოლქი

მიზანი:არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით ლოგარითმული C3 უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, იდენტიფიცირება საინტერესო ფაქტებილოგარითმი.

კვლევის საგანი:

3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული C3 უტოლობების ამოხსნა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

შინაარსი

შესავალი ………………………………………………………………………………….4

თავი 1. ფონი……………………………………………………………………………………

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………………… 7

2.1. ექვივალენტური გადასვლები და განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი…………… 7

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი ………………………………………………… 15

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4. ამოცანები ხაფანგებით……………………………………………………………………………………………………………

დასკვნა ………………………………………………………………… 30

ლიტერატურა …………………………………………………………………………. 31

შესავალი

მე-11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩაბარებას, სადაც პროფილის საგანიარის მათემატიკა. და ამიტომ ბევრს ვმუშაობ C ნაწილის ამოცანებთან. C3 ამოცანაში უნდა გადაჭრა არასტანდარტული უთანასწორობაან უტოლობების სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ ასოცირდება ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადებისას დამხვდა C3-ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის ნაკლებობის პრობლემა. მეთოდები, რომლებიც შესწავლილია სკოლის სასწავლო გეგმაამ თემაზე არ იძლევა საფუძველს C3 ამოცანების ამოხსნისათვის. მათემატიკის მასწავლებელმა შემომთავაზა დამოუკიდებლად მემუშავა C3 დავალებები მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: არის თუ არა ლოგარითმები ჩვენს ცხოვრებაში?

ამის გათვალისწინებით შეირჩა თემა:

"ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"

მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ამოცანების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

1) იპოვნეთ საჭირო ინფორმაციაშესახებ არასტანდარტული მეთოდებილოგარითმული უტოლობების ამონახსნები.

2) იპოვნეთ დამატებითი ინფორმაციალოგარითმების შესახებ.

3) ისწავლეთ გადაწყვეტილების მიღება კონკრეტული ამოცანები C3 არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

პრაქტიკული მნიშვნელობაარის C3 ამოცანების გადაჭრის აპარატის გაფართოება. ეს მასალაშეიძლება გამოყენებულ იქნას ზოგიერთ გაკვეთილზე, წრეების ჩასატარებლად, კლასგარეშე საქმიანობამათემატიკა.

პროექტის პროდუქტიიქნება კრებული „ლოგარითმული უტოლობა C3 ამონახსნებით“.

თავი 1. ფონი

მე-16 საუკუნის განმავლობაში, სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად გაიზარდა, პირველ რიგში ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტების მოძრაობის შესწავლა და სხვა სამუშაოები მოითხოვდა კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს. ასტრონომიას დაუსრულებელი გათვლებით დახრჩობის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სირთულეები წარმოიშვა სხვა სფეროებშიც, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, საჭირო იყო ცხრილები საერთო ინტერესიამისთვის სხვადასხვა მნიშვნელობაპროცენტი. მთავარი სირთულე იყო გამრავლება, გაყოფა მრავალნიშნა რიცხვებიგანსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული სიდიდეები.

ლოგარითმების აღმოჩენა მე-16 საუკუნის ბოლოსათვის პროგრესირების ცნობილ თვისებებს ეფუძნებოდა. წევრებს შორის კომუნიკაციის შესახებ გეომეტრიული პროგრესია q, q2, q3, ... და არითმეტიკული პროგრესიამათი მაჩვენებლებია 1, 2, 3, ... არქიმედეს ლაპარაკობდა „ფსალმუნში“. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების უარყოფით და ფრაქციული მაჩვენებლები. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, ხარისხზე აწევა და ფესვის ამოღება ექსპონენციალურად შეესაბამება არითმეტიკაში - იგივე თანმიმდევრობით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.

აქ იყო ლოგარითმის, როგორც მაჩვენებლის იდეა.

ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გაიარა.

ეტაპი 1

ლოგარითმები არაუგვიანეს 1594 წელს გამოიგონა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617), ხოლო ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა ახალი მოსახერხებელი საშუალების მიცემა არითმეტიკული გამოთვლებიმიუხედავად იმისა, რომ ისინი ამ პრობლემას სხვადასხვა გზით მიუდგნენ. ნაპიერმა კინემატიკურად გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და, ამრიგად, შევიდა ახალი ტერიტორიაფუნქციის თეორია. ბურგი დარჩა დისკრეტული პროგრესირების განხილვის საფუძველზე. თუმცა, ორივეს ლოგარითმის განმარტება არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი „ლოგარითმი“ (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. იგი წარმოიშვა კომბინაციით ბერძნული სიტყვები: logos – „კავშირი“ და არიყმო – „რიცხვი“, რაც „ურთიერთობების რაოდენობას“ ნიშნავდა. თავდაპირველად, ნაპიერმა გამოიყენა განსხვავებული ტერმინი: numeri artificiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით numeri naturalts - "ნატურალური რიცხვები".

1615 წელს, ლონდონის გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბარში, ნაპიერმა შესთავაზა ნულის აღება ერთის ლოგარითმისთვის და 100-ის ათეულის ლოგარითმისთვის, ანუ რა არის იგივე. , მხოლოდ 1. აი როგორ ათობითი ლოგარითმებიდა დაიბეჭდა პირველი ლოგარითმული ცხრილები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილები დაემატა ჰოლანდიელმა წიგნის გამყიდველმა და მათემატიკოსმა ანდრიან ფლაკმა (1600-1667). ნეპიერმა და ბრიგსმა, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ლოგარითმებზე ადრე მივიდნენ, თავიანთი ცხრილები სხვებზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ნიშნები log და Log შემოიღო 1624 წელს ი.კეპლერმა. ტერმინი „ბუნებრივი ლოგარითმი“ შემოიღო მენგოლიმ 1659 წელს, შემდეგ ნ.მერკატორმა 1668 წელს, ხოლო ლონდონელმა მასწავლებელმა ჯონ სპადელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სახელწოდებით „ახალი ლოგარითმები“.

რუსულად, პირველი ლოგარითმული ცხრილები გამოქვეყნდა 1703 წელს. მაგრამ ყველა ლოგარითმულ ცხრილებში დაშვებული იყო შეცდომები გაანგარიშებაში. პირველი უშეცდომო ცხრილები გამოქვეყნდა 1857 წელს ბერლინში გერმანელი მათემატიკოსის კ.ბრემიკერის (1804-1877) დამუშავებაში.

ეტაპი 2

ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია უფრო ფართო აპლიკაცია ანალიტიკური გეომეტრიადა უსასრულოდ მცირე გაანგარიშება. იმ დროისთვის, კავშირის დამყარება ტოლგვერდა ჰიპერბოლის კვადრატსა და ბუნებრივი ლოგარითმი. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია დაკავშირებულია არაერთი მათემატიკოსის სახელთან.

გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი თავის ნარკვევში

"ლოგარითმოტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln(x + 1) გაფართოებას

სიმძლავრე x:

ეს გამოთქმა ზუსტად შეესაბამება მისი აზროვნების მსვლელობას, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., არამედ უფრო შრომატევადი სიმბოლოები. ლოგარითმული სერიების აღმოჩენით შეიცვალა ლოგარითმების გამოთვლის ტექნიკა: დაიწყო მათი დადგენა უსასრულო სერიების გამოყენებით. თავის ლექციებში „დაწყებითი მათემატიკა უმაღლესი წერტილიხედვა“, წაკითხული 1907-1908 წლებში, ფ. კლაინმა შესთავაზა ფორმულის გამოყენება, როგორც საწყისი წერტილი ლოგარითმების თეორიის ასაგებად.

ეტაპი 3

ლოგარითმული ფუნქციის განმარტება, როგორც ინვერსიის ფუნქცია

ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც ექსპონენტი ამ ნიადაგს

დაუყოვნებლივ არ იყო ჩამოყალიბებული. ლეონჰარდ ეილერის ნაშრომი (1707-1783)

შემდგომში „შესავალი უსასრულო მცირეთა ანალიზში“ (1748 წ.).

ლოგარითმული ფუნქციის თეორიის შემუშავება. Ამგვარად,

134 წელი გავიდა მას შემდეგ, რაც ლოგარითმები პირველად შემოიღეს

(ითვლის 1614 წლიდან) სანამ მათემატიკოსები გამოვიდნენ განსაზღვრებამდე

ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სასკოლო კურსის საფუძველია.

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი.

ექვივალენტური გადასვლები

თუ a > 1

თუ 0 < а < 1

განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი

ეს მეთოდიყველაზე უნივერსალური თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების ამოხსნისას. გადაწყვეტის სქემა ასე გამოიყურება:

1. მიიტანეთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, სადაც ფუნქცია მდებარეობს მარცხენა მხარეს
, და 0 მარჯვნივ.

2. იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები
.

3. იპოვეთ ფუნქციის ნულები
, ანუ ამოხსენი განტოლება
(და განტოლების ამოხსნა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია, ვიდრე უტოლობის ამოხსნა).

4. დახატეთ ფუნქციის განსაზღვრების დომენი და ნულები რეალურ ხაზზე.

5. ფუნქციის ნიშნების დადგენა
მიღებულ ინტერვალებში.

6. აირჩიეთ ინტერვალები, სადაც ფუნქცია ხდება საჭირო ღირებულებებიდა ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი

სადაც

ამ მნიშვნელობებისთვის, ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნების ქვეშ არის დადებითი.

პასუხი:

მაგალითი 2

გამოსავალი:

1-ლი გზა . ODZ განისაზღვრება უტოლობით x> 3. ლოგარითმების აღება ასეთებისთვის xმე-10 ბაზაში ვიღებთ

ბოლო უტოლობის ამოხსნა შეიძლებოდა დაშლის წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების შედარება ნულთან. თუმცა, in ამ საქმესფუნქციის ნიშნების მუდმივობის ინტერვალების დადგენა ადვილია

ასე რომ, ინტერვალის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ უწყვეტია ამისთვის x> 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებს ვ(x):

პასუხი:

მე-2 გზა . მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალების მეთოდის იდეები პირდაპირ თავდაპირველ უტოლობაზე.

ამისთვის გავიხსენებთ, რომ გამონათქვამები აბ- აგ და ( ა - 1)(ბ- 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა ამისთვის x> 3 უდრის უტოლობას

ან

ბოლო უტოლობა ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით

პასუხი:

მაგალითი 3

გამოსავალი:

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი

პასუხი:

მაგალითი 4

გამოსავალი:

2 წლიდან x 2 - 3x+ 3 > 0 ყველა რეალურისთვის x, მაშინ

მეორე უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს

პირველ უთანასწორობაში ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას

მაშინ მივდივართ უტოლობამდე 2y 2 - წ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те წ, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0,5< წ < 1.

საიდან იმიტომ

ვიღებთ უთანასწორობას

რომელიც ხორციელდება x, რისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ახლა, სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ

პასუხი:

მაგალითი 5

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემების ნაკრების ტოლფასია

ან

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი ან

უპასუხე:

მაგალითი 6

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია

დაე

მაშინ წ > 0,

და პირველი უტოლობა

სისტემა იღებს ფორმას

ან გაფართოება

კვადრატული ტრინომიალიმულტიპლიკატორებისთვის,

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უტოლობაზე,

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს მდგომარეობას წ> 0 იქნება ყველაფერი წ > 4.

ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის:

ასე რომ, უტოლობის ამონახსნები არის ყველა

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.

მანამდე უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი არ იყო ამოხსნილი, ცნობილი არ იყო. ეს არის ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდიექსპონენციური და ლოგარითმული უტოლობების ამონახსნები" (ციტატა კოლესნიკოვა S.I. წიგნიდან)
და მაშინაც კი, თუ მასწავლებელი იცნობდა მას, იყო შიში - მაგრამ მან იცის გამოყენების ექსპერტირატომ არ აძლევენ სკოლაში? იყო სიტუაციები, როცა მასწავლებელმა ეუბნება მოსწავლეს: "საიდან მოიტანე? დაჯექი - 2".
ახლა ყველგან ხდება მეთოდის პოპულარიზაცია. და ექსპერტებისთვის არის გაიდლაინებიასოცირდება ამ მეთოდთან და „ყველაზე სრული გამოცემები სტანდარტული პარამეტრები..." ხსნარი C3 იყენებს ამ მეთოდს.
მეთოდი შესანიშნავია!

"ჯადოსნური მაგიდა"

სხვა წყაროებში

თუ a >1 და b >1, შემდეგ log a b >0 და (a -1)(b -1)>0;

თუ a > 1 და 0

თუ 0<ა<1 и b >1, შემდეგ შედით a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)>0.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მარტივია, მაგრამ შესამჩნევად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას.

მაგალითი 4

ჟურნალი x (x 2 -3)<0

გამოსავალი:

მაგალითი 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

გამოსავალი:

უპასუხე. (0; 0.5) U.

მაგალითი 6

ამ უტოლობის ამოსახსნელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1) (x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად ნამრავლს (x-1) (x-3-9 + x).

უპასუხე : (3;6)

მაგალითი 7

მაგალითი 8

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება.

მაგალითი 1

მაგალითი 2

მაგალითი 3

მაგალითი 4

მაგალითი 5

მაგალითი 6

მაგალითი 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=3 x -1; მაშინ ეს უტოლობა იღებს ფორმას

log 4 log 0.25
.

იმიტომ რომ ჟურნალი 0.25 = -ლოგი 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, შემდეგ გადავწერთ ბოლო უტოლობას, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

გავაკეთოთ ჩანაცვლება t =log 4 y და მივიღოთ უტოლობა t 2 -2t +≥0, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალები - .

ამრიგად, y-ის მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ გვაქვს ორი უმარტივესი უტოლობის ნაკრები
ამ კოლექციის გამოსავალი არის ინტერვალები 0<у≤2 и 8≤у<+.

მაშასადამე, საწყისი უტოლობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობის სიმრავლეს,
ანუ აგრეგატები

ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა მოქმედებს x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის 0-ის ინტერვალებიდან<х≤1 и 2≤х<+.

მაგალითი 8

გამოსავალი:

უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია

მეორე უტოლობის ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრავს ODZ-ს, იქნება მათთა სიმრავლე x,

რისთვისაც x > 0.

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას

შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

ან

ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ნაპოვნია მეთოდით

ინტერვალები: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ვიღებთ

ან

ბევრი მათგანი x, რომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უტოლობას

ეკუთვნის ODZ-ს ( x> 0), შესაბამისად, არის სისტემის გამოსავალი,

და აქედან გამომდინარე ორიგინალური უთანასწორობა.

პასუხი:

2.4. ამოცანები ხაფანგებით.

მაგალითი 1

.

გამოსავალი.უტოლობის ODZ არის ყველა x, რომელიც აკმაყოფილებს 0 პირობას . მაშასადამე, ყველა x 0 ინტერვალიდან
მაგალითი 2

ჟურნალი 2 (2x +1-x 2)>ლოგი 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? საქმე იმაშია, რომ მეორე რიცხვი აშკარად მეტია

დასკვნა

იოლი არ იყო C3 ამოცანების გადაჭრის სპეციალური მეთოდების პოვნა სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროებიდან. შესრულებული სამუშაოს დროს მოვახერხე რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ-ზე. ეს მეთოდები არ არის სასკოლო სასწავლო გეგმაში.

სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით, მე ამოვხსენი 27 უტოლობა, რომელიც შესთავაზა USE-ში C ნაწილში, კერძოდ, C3. ეს უტოლობები ამონახსნებით მეთოდებით დაედო საფუძველი კრებულს „ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით“, რომელიც ჩემი საქმიანობის საპროექტო პროდუქტი გახდა. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 პრობლემების ეფექტურად გადაჭრა შესაძლებელია, თუ ეს მეთოდები ცნობილია.

გარდა ამისა, აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი პროექტის პროდუქტები სასარგებლო იქნება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.

დასკვნები:

ამრიგად, პროექტის მიზანი მიღწეულია, პრობლემა მოგვარებულია. და მივიღე ყველაზე სრულყოფილი და მრავალმხრივი გამოცდილება პროექტის აქტივობებში მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობისას ჩემი ძირითადი განმავითარებელი გავლენა იყო გონებრივ კომპეტენციაზე, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებულ აქტივობებზე, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარებაზე, პიროვნულ ინიციატივაზე, პასუხისმგებლობაზე, შეუპოვრობაზე და აქტიურობაზე.

წარმატების გარანტია კვლევის პროექტის შექმნისას მე გავხდი: მნიშვნელოვანი სასკოლო გამოცდილება, სხვადასხვა წყაროდან ინფორმაციის ამოღების, სანდოობის შემოწმების, მნიშვნელობის მიხედვით დახარისხების უნარი.

მათემატიკაში უშუალოდ საგნობრივი ცოდნის გარდა, მან გააფართოვა პრაქტიკული უნარები კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, შეიძინა ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დაამყარა კონტაქტები თანაკლასელებთან და ისწავლა უფროსებთან თანამშრომლობა. პროექტის აქტივობების მსვლელობისას განვითარდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადსაგანმანათლებლო უნარები და უნარები.

ლიტერატურა

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. უტოლობების სისტემები ერთი ცვლადით (ტიპიური ამოცანები C3).

2. Malkova A. G. მზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის.

3. ს.ს. სამაროვა, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.

4. მათემატიკა. სასწავლო სამუშაოების კრებული, რედაქტორი ა.ლ. სემიონოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 გვ.-

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში. პრეზენტაციაში წარმოდგენილია ამოცანების გადაწყვეტა C3 USE - 2014 მათემატიკაში.
ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:
პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:
ლოგარითმის საფუძველში ცვლადის შემცველი ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა: მეთოდები, ტექნიკა, ეკვივალენტური გადასვლები მათემატიკის მასწავლებელი MBOU საშუალო სკოლა No 143 კნიაზკინა ტ.ვ.
ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k ( x) − 1) ∨ 0 „∨“ ჩამრთველის ნაცვლად, შეგიძლიათ დააყენოთ ნებისმიერი უტოლობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია. ასე რომ, ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. არ დაგავიწყდეთ ლოგარითმის ODZ! ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან, უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს ცალკე: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იპოვება, რჩება მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის გადაწყვეტით - და პასუხი მზად არის.
ამოხსენით უტოლობა: ამოხსნა დასაწყისისთვის, მოდით, ჩამოვწეროთ ლოგარითმის ODZ, პირველი ორი უტოლობა შესრულებულია ავტომატურად, ბოლო კი უნდა დახატოს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი ნულის ტოლია, გვაქვს: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას: ვასრულებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, ამიტომ მიღებული უტოლობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით.
გვაქვს: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)
ლოგარითმული უტოლობების ტრანსფორმაცია ხშირად თავდაპირველი უტოლობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის გამოსწორება ადვილია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების გამოყენებით. კერძოდ: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით; ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით. ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის DPV-ის პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია: იპოვეთ ODZ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმისთვის; უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით; ამოიღეთ მიღებული უტოლობა ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.
ამოხსენით უტოლობა: ამოხსნა ვიპოვოთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (ODZ): ვხსნით ინტერვალების მეთოდით. იპოვეთ მრიცხველის ნულები: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. მაშინ - მნიშვნელი ნულები: x − 1 = 0; x = 1. კოორდინატთა ხაზზე ვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს:
ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). ODZ-ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. თუ არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა მოდით გადავცვალოთ მეორე ლოგარითმი ისე, რომ ფუძეზე იყოს 2: როგორც ხედავთ, 3-ები ფუძესთან და ლოგარითმის წინ შემცირდა. მიიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. დაამატეთ ისინი: ჟურნალი 2 (x − 1) 2
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების გადაკვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრზე დაჩრდილულ ინტერვალებს. ვიღებთ: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა. პასუხი: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-2014 ტიპის C3 ამოცანების ამოხსნა
უტოლობების სისტემის ამოხსნა ამოხსნა. ODZ:  1) 2)
ამოხსენით უტოლობების სისტემა 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (გაგრძელება)
ამოხსენით უტოლობათა სისტემა 4) ზოგადი ამონახსნები: და -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (გაგრძელება)
ამოხსენით უტოლობა (გაგრძელება) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
უტოლობის ამოხსნა ამოხსნა. ოძ: 
უტოლობის ამოხსნა (გაგრძელება)
უტოლობის ამოხსნა ამოხსნა. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2