ვექტორი- წმინდად მათემატიკური კონცეფცია, რომელიც გამოიყენება მხოლოდ ფიზიკაში ან სხვა გამოყენებითი მეცნიერებებიდა რაც შესაძლებელს ხდის ზოგიერთი რთული პრობლემის გადაწყვეტის გამარტივებას.
 ვექტორი− მიმართული ხაზის სეგმენტი.
მე ვიცი ელემენტარული ფიზიკაადამიანმა უნდა იმუშაოს რაოდენობების ორი კატეგორიით − სკალარული და ვექტორული.
 Სკალარულირაოდენობა (სკალარები) არის სიდიდეები, რომლებიც ხასიათდება რიცხვითი მნიშვნელობადა მოაწერე ხელი. სკალარები არის სიგრძე − ლ, მასა − მ, ბილიკი − ს, დრო − ტ, ტემპერატურა − თ, ელექტრული მუხტი − ქ, ენერგია − ვ, კოორდინატები და ა.შ.
ყველა ეხება სკალერებს. ალგებრული მოქმედებები(შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და ა.შ.).

 მაგალითი 1.
განსაზღვრეთ სისტემის მთლიანი დატენვა, რომელიც შედგება მასში შემავალი მუხტებისაგან, თუ q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC.
სისტემის სრული დატენვა
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 მაგალითი 2.
ამისთვის კვადრატული განტოლებაკეთილი
ცული 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 ვექტორისიდიდეები (ვექტორები) არის სიდიდეები, რომელთა განსაზღვრისათვის აუცილებელია რიცხვითი მნიშვნელობის გარდა, მიმართულების დაზუსტებაც. ვექტორები − სიჩქარე ვ, ძალა ფ, იმპულსი გვ, დაძაბულობა ელექტრული ველი ე, მაგნიტური ინდუქცია ბდა ა.შ.
ვექტორის (მოდულის) რიცხვითი მნიშვნელობა აღინიშნება ასოთი ვექტორის სიმბოლოს გარეშე ან ვექტორი ჩასმულია ვერტიკალურ ხაზებს შორის. r = |r|.
გრაფიკულად, ვექტორი წარმოდგენილია ისრით (ნახ. 1),

რომლის სიგრძე მოცემულ შკალაში უდრის მის მოდულს და მიმართულება ემთხვევა ვექტორის მიმართულებას.
ორი ვექტორი ტოლია, თუ მათი მოდულები და მიმართულებები ერთნაირია.
ვექტორული სიდიდეები ემატება გეომეტრიულად (ვექტორული ალგებრის წესის მიხედვით).
მოცემული კომპონენტის ვექტორების ვექტორული ჯამის პოვნას ვექტორული შეკრება ეწოდება.
ორი ვექტორის დამატება ხორციელდება პარალელოგრამის ან სამკუთხედის წესის მიხედვით. სულ ვექტორი
c = a + b
ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალის ტოლი ადა ბ. მოდული
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (ნახ. 2).


α = 90°-ისთვის, c = √(a 2 + b 2 ) არის პითაგორას თეორემა.

იგივე ვექტორი c შეიძლება მივიღოთ სამკუთხედის წესით თუ ვექტორის ბოლოდან ავექტორის გადადება ბ. დახურვის ვექტორი c (ვექტორის დასაწყისის დამაკავშირებელი ადა ვექტორის დასასრული ბ) არის ტერმინების (ვექტორების კომპონენტების) ვექტორული ჯამი ადა ბ).
შედეგად მიღებული ვექტორი გვხვდება როგორც დახურული ერთ-ერთი გატეხილი ხაზი, რომლის რგოლი არის შემადგენელი ვექტორები (ნახ. 3).


 მაგალითი 3.
დაამატეთ ორი ძალა F 1 \u003d 3 N და F 2 \u003d 4 N, ვექტორები F1და F2გააკეთეთ კუთხეები α 1 \u003d 10 ° და α 2 \u003d 40 ° ჰორიზონტთან, შესაბამისად
 F = F 1 + F 2(ნახ. 4).

ამ ორი ძალის მიმატების შედეგი არის ძალა, რომელსაც ეწოდება შედეგი. ვექტორი ფმიმართულია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალის გასწვრივ F1და F2, როგორც გვერდები და მოდული მისი სიგრძის ტოლი.
ვექტორული მოდული ფიპოვეთ კოსინუსების კანონით
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Თუ
(α 2 − α 1) = 90°, შემდეგ F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

ამ ვექტორის კუთხე ფარის Ox ღერძით, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულით
α \u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = არქტანი((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = არქტანი0.51, α ≈ 0.47 რად.

ვექტორის პროექცია a ღერძზე Ox (Oy) არის სკალარული მნიშვნელობა, რომელიც დამოკიდებულია α კუთხეზე ვექტორის მიმართულებას შორის. ადა ცულები Ox (Oy). (ნახ. 5)


ვექტორული პროგნოზები ა Ox და Oy ცულებზე მართკუთხა სისტემაკოორდინატები. (ნახ. 6)


ღერძზე ვექტორული პროექციის ნიშნის განსაზღვრისას შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, სასარგებლოა გახსოვდეთ შემდეგი წესი: თუ კომპონენტის მიმართულება ემთხვევა ღერძის მიმართულებას, მაშინ ვექტორის პროექცია ამ ღერძზე დადებითია, მაგრამ თუ კომპონენტის მიმართულება ღერძის მიმართულების საპირისპიროა, მაშინ ვექტორის პროექცია არის უარყოფითი. (ნახ. 7)


ვექტორული გამოკლება არის დამატება, რომელშიც ვექტორი ემატება პირველ ვექტორს, რიცხობრივად ტოლი მეორეს, საპირისპირო მიმართულების.
a − b = a + (−b) = d(ნახ. 8).

დაე საჭირო იყოს ვექტორიდან აგამოვაკლოთ ვექტორი ბ, მათი განსხვავება − დ. ორი ვექტორის განსხვავების საპოვნელად საჭიროა ვექტორი ადაამატეთ ვექტორი ( −ბ), ანუ ვექტორი d = a − bიქნება ვექტორის დასაწყისიდან მიმართული ვექტორი ავექტორის ბოლოსკენ ( −ბ) (სურ. 9).

ვექტორებზე აგებულ პარალელოგრამში ადა ბორივე მხარე, ერთი დიაგონალი გაქვს ჯამის მნიშვნელობა და მეორე დ− ვექტორული განსხვავებები ადა ბ(ნახ. 9).
ვექტორული პროდუქტი ასკალარზე k უდრის ვექტორს ბ= კ ა, რომლის მოდული არის k ჯერ მეტი მოდულივექტორი ა, და მიმართულება იგივეა, რაც მიმართულება ადადებითი k-სთვის და საპირისპირო უარყოფითი k-სთვის.

 მაგალითი 4.
დაადგინეთ 2 კგ მასის სხეულის იმპულსი, რომელიც მოძრაობს 5 მ/წმ სიჩქარით. (ნახ. 10)

სხეულის იმპულსი გვ= მ ვ; p = 2 კგ.მ/წ = 10 კგ.მ/წმ და მიმართულია სიჩქარისკენ ვ.

 მაგალითი 5.
მუხტი q = −7,5 nC მოთავსებულია ელექტრულ ველში ინტენსივობით E = 400 ვ/მ. იპოვეთ მუხტზე მოქმედი ძალის მოდული და მიმართულება.

ძალა უდრის ფ= q ე. ვინაიდან მუხტი უარყოფითია, ძალის ვექტორი მიმართულია გვერდზე, საპირისპირო ვექტორი ე. (ნახ. 11)


 განყოფილებავექტორი ასკალარულით k უდრის გამრავლებას ა 1/კ-ით.
 წერტილოვანი პროდუქტივექტორები ადა ბდარეკეთ სკალარს "c" პროდუქტის ტოლიამ ვექტორების მოდულები მათ შორის კუთხის კოსინუსით
(ა.ბ) = (ბ.ა) = გ,
с = ab.cosα (ნახ. 12)


 მაგალითი 6.
სამუშაოს მოსაძებნად მუდმივი ძალა F = 20 N თუ გადაადგილება S = 7,5 მ და კუთხე α ძალასა და გადაადგილებას შორის α = 120°.

ძალის მუშაობა განსაზღვრულია წერტილოვანი პროდუქტიძალები და მოძრაობები
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 მ × cos120° = −150 × 1/2 = −75 ჯ.

 ვექტორული ხელოვნებავექტორები ადა ბზარის ვექტორი გ, რიცხობრივად ტოლია a და b ვექტორების მოდულების ნამრავლის, გამრავლებული მათ შორის კუთხის სინუსზე:
c = a × b = ,
c = ab × sinα.
ვექტორი გპერპენდიკულარული სიბრტყის, რომელშიც ვექტორები დევს ადა ბდა მისი მიმართულება დაკავშირებულია ვექტორების მიმართულებასთან ადა ბმარჯვენა ხრახნიანი წესი (სურ. 13).


 მაგალითი 7.
დაადგინეთ ძალა, რომელიც მოქმედებს მაგნიტურ ველში მოთავსებულ 0,2 მ სიგრძის გამტარზე, რომლის ინდუქცია არის 5 ტ, თუ დირიჟორში დენი არის 10 A და ის ქმნის კუთხეს α = 30 ° ველის მიმართულებასთან.

ამპერი სიმძლავრე
dF = I = Idl × B ან F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 მ × 1/2 = 5 N.

 იფიქრეთ პრობლემის გადაჭრაზე.
1. როგორ არის მიმართული ორი ვექტორი, რომელთა მოდულები ერთნაირი და ტოლია a-ს, თუ მათი ჯამის მოდული უდრის: ა) 0-ს; ბ) 2ა; გ) ა; დ) a√(2); ე) a√(3)?

 გადაწყვეტილება.
ა) ორი ვექტორი მიმართულია იმავე სწორი ხაზის გასწვრივ მოპირდაპირე მხარეები. ამ ვექტორების ჯამი ნულის ტოლია.

ბ) ორი ვექტორი მიმართულია ერთი და იგივე სწორი ხაზის გასწვრივ ერთი და იმავე მიმართულებით. ამ ვექტორების ჯამი არის 2a.

გ) ორი ვექტორი მიმართულია ერთმანეთის მიმართ 120° კუთხით. ვექტორების ჯამი უდრის a. მიღებული ვექტორი ნაპოვნია კოსინუსების თეორემით:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2,
cosα = −1/2 და α = 120°.
დ) ორი ვექტორი მიმართულია ერთმანეთის მიმართ 90° კუთხით. ჯამის მოდული არის
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2,
cosα = 0 და α = 90°.

ე) ორი ვექტორი მიმართულია ერთმანეთის მიმართ 60° კუთხით. ჯამის მოდული არის
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 და α = 60°.
 უპასუხე: კუთხე α ვექტორებს შორის უდრის: ა) 180°; ბ) 0; გ) 120°; დ) 90°; ე) 60°.

2. თუ a = a1 + a2ვექტორების ორიენტაცია, რა შეიძლება ითქვას ვექტორების ორმხრივ ორიენტაციაზე a 1და a 2, თუ: ა) a = a 1 + a 2; ბ) a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2; გ) a 1 + a 2 \u003d a 1 - a 2?

 გადაწყვეტილება.
ა) თუ ვექტორების ჯამი აღმოჩნდება ამ ვექტორების მოდულების ჯამად, მაშინ ვექტორები მიმართულია ერთი სწორი ხაზის გასწვრივ, ერთმანეთის პარალელურად. a 1 ||a 2.
ბ) თუ ვექტორები მიმართულია ერთმანეთის მიმართ კუთხით, მაშინ მათი ჯამი იპოვება კოსინუსების კანონით პარალელოგრამისთვის.
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 და α = 90°.
ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია a 1 ⊥ a 2.
გ) მდგომარეობა a 1 + a 2 = a 1 - a 2შეიძლება შესრულდეს თუ a 2− ნულოვანი ვექტორი, შემდეგ a 1 + a 2 = a 1.
 პასუხები. ა) a 1 ||a 2; ბ) a 1 ⊥ a 2; in) a 2− ნულოვანი ვექტორი.

3. 1,42 ნ-იანი ორი ძალა მიემართება სხეულის ერთ წერტილს ერთმანეთის მიმართ 60° კუთხით. რა კუთხით უნდა იქნას გამოყენებული 1,75 ნ-იანი ორი ძალა სხეულის ერთსა და იმავე წერტილზე, რათა მათი მოქმედება დააბალანსოს პირველი ორი ძალის მოქმედებას?

გადაწყვეტილება.
ამოცანის პირობის მიხედვით, 1,75 N-ის ორი ძალა აბალანსებს 1,42 N-ის ორ ძალას, ეს შესაძლებელია, თუ ძალთა წყვილთა ვექტორების მოდულები ტოლია. მიღებული ვექტორი განისაზღვრება პარალელოგრამისთვის კოსინუსების თეორემით. ძალების პირველი წყვილისთვის:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
ძალების მეორე წყვილისთვის, შესაბამისად
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
განტოლებების მარცხენა ნაწილების გათანაბრება
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
იპოვეთ სასურველი კუთხე β ვექტორებს შორის
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
გათვლების შემდეგ,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90,7°.

 გადაჭრის მეორე გზა.
განვიხილოთ ვექტორების პროექცია კოორდინატთა ღერძზე OX (ნახ.).

გვერდებს შორის თანაფარდობის გამოყენებით მართკუთხა სამკუთხედი, ვიღებთ
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
სადაც
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) და β ≈ 90.7°.

4. ვექტორი a = 3i − 4j. რა უნდა იყოს c სკალარული მნიშვნელობა, რომ |c ა| = 7,5?
 გადაწყვეტილება.
გ ა= გ( 3i − 4j) = 7,5
ვექტორული მოდული ატოლი იქნება
a 2 = 3 2 + 4 2 და a = ±5,
შემდეგ დან
c.(±5) = 7.5,
იპოვე
c = ±1.5.

5. ვექტორები a 1და a 2გამოვიდეს წარმოშობიდან და აქვს დეკარტის კოორდინატებიბოლოები (6, 0) და (1, 4), შესაბამისად. იპოვნეთ ვექტორი a 3ისეთი რომ: ა) a 1 + a 2 + a 3= 0; ბ) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 გადაწყვეტილება.
მოდით დავხატოთ ვექტორები დეკარტის სისტემაკოორდინატები (ნახ.)

ა) მიღებული ვექტორი Ox ღერძის გასწვრივ არის
a x = 6 + 1 = 7.
მიღებული ვექტორი Oy ღერძის გასწვრივ არის
a y = 4 + 0 = 4.
იმისათვის, რომ ვექტორთა ჯამი იყოს ნულის ტოლი, აუცილებელია პირობა
a 1 + a 2 = −a 3.
ვექტორი a 3მოდული ტოლი იქნება მთლიან ვექტორთან a1 + a2მაგრამ მიმართული საპირისპირო მიმართულებით. ბოლო ვექტორის კოორდინატი a 3უდრის (−7, −4) და მოდული
a 3 \u003d √ (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1.

ბ) Ox ღერძის გასწვრივ მიღებული ვექტორი ტოლია
a x = 6 − 1 = 5,
და მიღებული ვექტორი Oy ღერძის გასწვრივ
a y = 4 − 0 = 4.
როცა მდგომარეობა
a 1 − a 2 = −a 3,
ვექტორი a 3ექნება ვექტორის ბოლოს კოორდინატები a x = -5 და a y = -4 და მისი მოდული არის
a 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4.

6. მესინჯერი მოძრაობს ჩრდილოეთით 30 მ, აღმოსავლეთით 25 მ, სამხრეთით 12 მ, შემდეგ კი შენობაში ლიფტით ადის 36 მ სიმაღლეზე რა არის მის მიერ გავლილი მანძილი L და გადაადგილება S?

 გადაწყვეტილება.
მოდით გამოვსახოთ პრობლემაში აღწერილი სიტუაცია თვითმფრინავზე თვითნებური მასშტაბით (ნახ.).

ვექტორის დასასრული OAაქვს კოორდინატები აღმოსავლეთით 25 მ, ჩრდილოეთით 18 მ და 36 ზევით (25; 18; 36). ადამიანის მიერ განვლილი გზა არის
L = 30 მ + 25 მ + 12 მ +36 მ = 103 მ.
გადაადგილების ვექტორის მოდული ნაპოვნია ფორმულით
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
სადაც x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47.4 (მ).
 უპასუხე: L = 103 მ, S = 47,4 მ.

7. კუთხე α ორ ვექტორს შორის ადა ბუდრის 60°-ს. განსაზღვრეთ ვექტორის სიგრძე c = a + bდა კუთხე β ვექტორებს შორის ადა გ. ვექტორების სიდიდეებია a = 3.0 და b = 2.0.

 გადაწყვეტილება.
ვექტორის სიგრძე ჯამის ტოლივექტორები ადა ბვადგენთ პარალელოგრამისთვის კოსინუსების თეორემის გამოყენებით (ნახ.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
ჩანაცვლების შემდეგ
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
β კუთხის დასადგენად ვიყენებთ სინუსების თეორემას სამკუთხედი ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
ამავე დროს, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
მარტივის გადაჭრა ტრიგონომეტრიული განტოლება, გამოთქმამდე მივდივართ
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
აქედან გამომდინარე,
β = arctg (bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
მოდით შევამოწმოთ კოსინუსების თეორემის გამოყენებით სამკუთხედისთვის:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2,
სადაც
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
და
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arcos ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
 უპასუხე: c ≈ 4.4; β ≈ 23°.

 Პობლემების მოგვარება.
8. ვექტორებისთვის ადა ბმე-7 მაგალითში განსაზღვრული, იპოვეთ ვექტორის სიგრძე d = a − bინექცია γ შორის ადა დ.

9. იპოვეთ ვექტორის პროექცია a = 4.0i + 7.0jსწორი ხაზისკენ, რომლის მიმართულება ქმნის კუთხეს α = 30° Ox ღერძთან. ვექტორი ადა ხაზი დევს xOy სიბრტყეში.

10. ვექტორი ააკეთებს კუთხეს α = 30° AB სწორი ხაზით, a = 3.0. რა კუთხით β AB წრფესთან უნდა იყოს მიმართული ვექტორი ბ(b = √(3)) ისე, რომ ვექტორი c = a + bიყო AB-ის პარალელურად? იპოვეთ ვექტორის სიგრძე გ.

11. მოცემულია სამი ვექტორი: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. იპოვე ა) a+b; ბ) ა+გ; in) (ა, ბ); გ) (a, c)b − (a, b)c.

12. კუთხე ვექტორებს შორის ადა ბუდრის α = 60°, a = 2.0, b = 1.0. იპოვეთ ვექტორების სიგრძეები c = (a, b)a + bდა d = 2b − a/2.

13. დაამტკიცეთ, რომ ვექტორები ადა ბპერპენდიკულარულია, თუ a = (2, 1, −5) და b = (5, −5, 1).

14. იპოვეთ α კუთხე ვექტორებს შორის ადა ბ, თუ a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. ვექტორი ააკეთებს კუთხეს α = 30° Ox ღერძით, ამ ვექტორის პროექცია Oy ღერძზე არის a y = 2.0. ვექტორი ბვექტორზე პერპენდიკულარული ადა b = 3.0 (იხ. სურათი).

ვექტორი c = a + b. იპოვეთ: ა) ვექტორული პროგნოზები ბ Ox და Oy ცულებზე; ბ) მნიშვნელობა c და კუთხე β ვექტორს შორის გდა ღერძი Ox; ტაქსი); დ) (ა, გ).

 პასუხები:
9. a 1 \u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β = 300°; c = 3.5.
11. ა) 5i + j; ბ) i + 3j − 2k; გ) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2.6; d = 1.7.
14. α = 44.4°.
15. ა) b x \u003d -1,5; b y = 2.6; ბ) c = 5; β ≈ 67°; გ) 0; დ) 16.0.
ფიზიკის შესწავლით, თქვენ გაქვთ დიდი შესაძლებლობებიგანაგრძეთ სწავლა ტექნიკურ უნივერსიტეტში. ამას დასჭირდება ცოდნის პარალელურად გაღრმავება მათემატიკაში, ქიმიაში, ენაში და ნაკლებად ხშირად სხვა საგნებში. რესპუბლიკური ოლიმპიადის გამარჯვებული ეგორ სავიჩი მოსკოვის ფიზიკა-ტექნიკური ინსტიტუტის ერთ-ერთ განყოფილებას ამთავრებს, სადაც დიდი მოთხოვნებია ქიმიის ცოდნაზე. თუ დაგჭირდებათ დახმარება GIA-ში ქიმიაში, მაშინ დაუკავშირდით პროფესიონალებს, აუცილებლად მოგეწოდებათ კვალიფიციური და დროული დახმარება.

 Იხილეთ ასევე:

ვექტორის მიხედვით ჩვეულებრივ უნდა გავიგოთ რაოდენობა, რომელსაც აქვს 2 ძირითადი მახასიათებელი:

1. მოდული;
2. მიმართულება.

ასე რომ, ორი ვექტორი აღიარებულია, როგორც თანაბარი, თუ მოდულები, ისევე როგორც ორივეს მიმართულებები ემთხვევა. განსახილველი მნიშვნელობა ყველაზე ხშირად იწერება ასოს სახით, რომელზედაც დახატულია ისარი.

შესაბამისი ტიპის ყველაზე გავრცელებულ რაოდენობებს შორის არის სიჩქარე, ძალა და ასევე, მაგალითად, აჩქარება.

თან გეომეტრიული წერტილითვალსაზრისით, ვექტორი შეიძლება იყოს მიმართული სეგმენტი, რომლის სიგრძე დაკავშირებულია მის მოდულთან.

თუ გავითვალისწინებთ ვექტორული რაოდენობამიმართულების გარდა, პრინციპში შესაძლებელია მისი გაზომვა. მართალია, ეს იქნება, ასე თუ ისე, შესაბამისი მნიშვნელობის ნაწილობრივი მახასიათებელი. სრული - მიიღწევა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იგი დამატებულია მიმართული სეგმენტის პარამეტრებით.

რა არის სკალარული მნიშვნელობა?

სკალარული წესით ჩვეულებრივ უნდა გავიგოთ მნიშვნელობა, რომელსაც აქვს მხოლოდ 1 მახასიათებელი, კერძოდ - რიცხვითი მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, განხილულმა მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს დადებითი ან უარყოფითი მნიშვნელობა.

საერთო სკალარული სიდიდეები მოიცავს მასას, სიხშირეს, ძაბვას, ტემპერატურას. მათთან ერთად შესაძლებელია სხვადასხვას წარმოება მათემატიკური ოპერაციები- შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

მიმართულება (როგორც მახასიათებელი) არ არის დამახასიათებელი სკალარული სიდიდეებისთვის.

შედარება

მთავარი განსხვავება ვექტორულ რაოდენობასა და სკალარულ რაოდენობას შორის არის პირველი ძირითადი მახასიათებლები- მოდული და მიმართულება, მეორე - რიცხვითი მნიშვნელობა. აღსანიშნავია, რომ ვექტორული რაოდენობა, ისევე როგორც სკალარული, პრინციპში შეიძლება გაიზომოს, თუმცა, ამ შემთხვევაში, მისი მახასიათებლები განისაზღვრება მხოლოდ ნაწილობრივ, რადგან იქნება მიმართულების ნაკლებობა.

იმის დადგენის შემდეგ, თუ რა განსხვავებაა ვექტორსა და სკალარულ რაოდენობას შორის, ჩვენ ასახავს დასკვნებს პატარა ცხრილში.

ორი სიტყვა, რომელიც აშინებს სკოლის მოსწავლეს - ვექტორი და სკალარი - ნამდვილად არ არის საშინელი. თუ თემას ინტერესით მიუდგები, მაშინ ყველაფრის გაგება შეიძლება. ამ სტატიაში განვიხილავთ, რომელი რაოდენობა არის ვექტორი და რომელი სკალარული. უფრო ზუსტად, მოვიყვანოთ მაგალითები. თითოეულმა სტუდენტმა, ალბათ, ყურადღება მიაქცია იმ ფაქტს, რომ ფიზიკაში ზოგიერთი სიდიდე მითითებულია არა მხოლოდ სიმბოლოთი, არამედ ისრითაც ზემოდან. რას იცავენ ისინი? ეს ქვემოთ იქნება განხილული. შევეცადოთ გაერკვნენ, თუ რით განსხვავდება ის სკალარულისგან.

ვექტორული მაგალითები. როგორ აწერიათ ისინი

რა იგულისხმება ვექტორში? რაც ახასიათებს მოძრაობას. არ აქვს მნიშვნელობა კოსმოსშია თუ თვითმფრინავში. რა არის ვექტორული რაოდენობა? მაგალითად, თვითმფრინავი დაფრინავს გარკვეული სიჩქარით გარკვეულ სიმაღლეზე, აქვს კონკრეტული მასა და იწყებს მოძრაობას აეროპორტიდან საჭირო აჩქარებით. როგორია თვითმფრინავის მოძრაობა? რამ აიძულა ის გაფრინდეს? რა თქმა უნდა, აჩქარება, სიჩქარე. ვექტორული სიდიდეები ფიზიკის კურსიდან არის კარგი მაგალითები. პირდაპირ რომ ვთქვათ, ვექტორული სიდიდე ასოცირდება მოძრაობასთან, გადაადგილებასთან.

წყალიც გარკვეული სიჩქარით მოძრაობს მთის სიმაღლიდან. ნახე? მოძრაობა ხორციელდება არა მოცულობის ან მასის, კერძოდ სიჩქარის გამო. ჩოგბურთელი საშუალებას აძლევს ბურთს გადაადგილდეს რაკეტის დახმარებით. ის ადგენს აჩქარებას. სხვათა შორის, ერთვის ამ საქმესძალა ასევე არის ვექტორული სიდიდე. რადგან იგი მიღებულია მოცემული სიჩქარისა და აჩქარების შედეგად. ძალას ასევე შეუძლია შეიცვალოს, კონკრეტული ქმედებები. ასევე მაგალითად შეიძლება მივიჩნიოთ ქარი, რომელიც ხეებზე ფოთლებს აკანკალებს. რადგან არის სიჩქარე.

დადებითი და უარყოფითი ღირებულებები

ვექტორული რაოდენობა არის სიდიდე, რომელსაც აქვს მიმართულება მიმდებარე სივრცეში და მოდულში. საშინელი სიტყვა კვლავ გამოჩნდა, ამჯერად მოდული. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ უნდა გადაჭრათ პრობლემა, სადაც დაფიქსირდება აჩქარების უარყოფითი მნიშვნელობა. Ბუნებაში უარყოფითი მნიშვნელობებიროგორც ჩანს არ არსებობს. როგორ შეიძლება სიჩქარე იყოს უარყოფითი?

ვექტორს აქვს ასეთი კონცეფცია. ეს ეხება, მაგალითად, ძალებს, რომლებიც ვრცელდება სხეულზე, მაგრამ აქვთ სხვადასხვა მიმართულებები. გაიხსენეთ მესამე, სადაც მოქმედება უდრის რეაქციას. ბიჭები თოკს ჭიმობენ. ერთი გუნდი ლურჯ მაისურებშია, მეორე კი ყვითელ მაისურებში. მეორეები უფრო ძლიერები არიან. დავუშვათ, რომ მათი ძალის ვექტორი დადებითად არის მიმართული. ამავდროულად, პირველები ვერ ახერხებენ თოკს, ​​მაგრამ ცდილობენ. არსებობს მოწინააღმდეგე ძალა.

ვექტორული თუ სკალარული რაოდენობა?

მოდით ვისაუბროთ განსხვავებაზე ვექტორულ რაოდენობასა და სკალარულ რაოდენობას შორის. რომელ პარამეტრს არ აქვს მიმართულება, მაგრამ აქვს თავისი მნიშვნელობა? ჩამოვთვალოთ რამდენიმე სკალარებიქვევით:

ყველას აქვს მიმართულება? არა. რომელი სიდიდე არის ვექტორული და რომელი სკალარული, მხოლოდ საილუსტრაციო მაგალითებით შეგვიძლია აჩვენოთ. ფიზიკაში არის ასეთი ცნებები არა მხოლოდ განყოფილებაში "მექანიკა, დინამიკა და კინემატიკა", არამედ პუნქტში "ელექტროენერგია და მაგნეტიზმი". ლორენცის ძალა ასევე არის ვექტორული სიდიდე.

ვექტორი და სკალარი ფორმულებში

ფიზიკის სახელმძღვანელოებში ხშირად არის ფორმულები, რომლებშიც ზემოდან არის ისარი. გაიხსენეთ ნიუტონის მეორე კანონი. ძალა („F“ ისრით ზემოთ) უდრის მასის („m“) და აჩქარების ნამრავლს („a“ ისრით ზემოთ). როგორც ზემოთ აღინიშნა, ძალა და აჩქარება არის ვექტორული სიდიდეები, მაგრამ მასა სკალარულია.

სამწუხაროდ, ყველა პუბლიკაციას არ აქვს ამ რაოდენობის აღნიშვნა. ალბათ ეს გაკეთდა გასამარტივებლად, რათა შეცდომაში არ შეიყვანოთ სკოლის მოსწავლეები. უმჯობესია შეიძინოთ ის წიგნები და საცნობარო წიგნები, რომლებიც მიუთითებენ ვექტორებს ფორმულებში.

ილუსტრაცია აჩვენებს, თუ რომელი რაოდენობაა ვექტორი. ფიზიკის გაკვეთილებზე მიზანშეწონილია ყურადღება მიაქციოთ სურათებს და დიაგრამებს. ვექტორულ სიდიდეებს აქვთ მიმართულება. სად არის მიმართული რა თქმა უნდა, ქვემოთ. ასე რომ, ისარი ნაჩვენები იქნება იმავე მიმართულებით.

AT ტექნიკური უნივერსიტეტებისიღრმისეულად შეისწავლეთ ფიზიკა. ბევრ დისციპლინაში მასწავლებლები საუბრობენ იმაზე, თუ რომელი რაოდენობაა სკალარული და ვექტორული. ასეთი ცოდნა საჭიროა სფეროებში: მშენებლობა, ტრანსპორტი, საბუნებისმეტყველო მეცნიერებები.

სიდიდეებს ეწოდება სკალარული (სკალარები), თუ საზომი ერთეულის არჩევის შემდეგ ისინი მთლიანად ხასიათდებიან ერთი რიცხვით. სკალარული სიდიდეების მაგალითებია კუთხე, ზედაპირი, მოცულობა, მასა, სიმკვრივე, ელექტრული მუხტი, წინააღმდეგობა, ტემპერატურა.

უნდა განვასხვავოთ სკალარების ორი ტიპი: სუფთა სკალარი და ფსევდოსკალარი.

3.1.1. სუფთა სკალარები.

სუფთა სკალარები მთლიანად განისაზღვრება ერთი რიცხვით, საცნობარო ღერძების არჩევისგან დამოუკიდებლად. ტემპერატურა და მასა არის სუფთა სკალარების მაგალითები.

3.1.2. ფსევდოსკალარები.

სუფთა სკალარების მსგავსად, ფსევდოსკალარები განისაზღვრება ერთი რიცხვით, აბსოლუტური მნიშვნელობარომელიც არ არის დამოკიდებული საცნობარო ღერძების არჩევანზე. თუმცა, ამ რიცხვის ნიშანი დამოკიდებულია კოორდინატთა ღერძებზე დადებითი მიმართულებების არჩევაზე.

განვიხილოთ, მაგალითად, კუბოიდური, რომლის კიდეების პროექციები მართკუთხა კოორდინატულ ღერძებზე შესაბამისად ტოლია ამ პარალელეპიპედის მოცულობა განისაზღვრება განმსაზღვრელით

რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული მართკუთხა კოორდინატთა ღერძების არჩევანზე. თუმცა, თუ თქვენ შეცვლით დადებით მიმართულებას ერთ-ერთ კოორდინატთა ღერძზე, მაშინ განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს. მოცულობა არის ფსევდოსკალარი. ფსევდოსკალარები ასევე არის კუთხე, ფართობი, ზედაპირი. ქვემოთ (სექცია 5.1.8) დავინახავთ, რომ ფსევდოკალარი რეალურად არის განსაკუთრებული სახის ტენსორი.

ვექტორული რაოდენობები

3.1.3. ღერძი.

ღერძი არის უსასრულო სწორი ხაზი, რომელზეც არჩეულია დადებითი მიმართულება. მოდით ასეთი სწორი ხაზი და მიმართულება

დადებითად ითვლება. განვიხილოთ სეგმენტი ამ სწორ ხაზზე და ჩავთვალოთ, რომ სიგრძის საზომი რიცხვია a (ნახ. 3.1). მაშინ სეგმენტის ალგებრული სიგრძე უდრის a-ს, სეგმენტის ალგებრული სიგრძე უდრის - a.

თუ ავიღებთ რამდენიმე პარალელურ ხაზს, მაშინ, როდესაც დავადგინეთ დადებითი მიმართულება ერთ-ერთ მათგანზე, ამით განვსაზღვრავთ მას დანარჩენზე. სიტუაცია განსხვავებულია, თუ ხაზები არ არის პარალელური; მაშინ აუცილებელია სპეციალური ღონისძიებების გატარება თითოეული სწორი ხაზისთვის დადებითი მიმართულების არჩევასთან დაკავშირებით.

3.1.4. ბრუნვის მიმართულება.

დაუშვით ღერძი. ღერძის გარშემო ბრუნვას დავარქმევთ დადებითს ან პირდაპირს, თუ იგი ხორციელდება ღერძის დადებითი მიმართულებით მდგომი დამკვირვებლისთვის, მარჯვნივ და მარცხნივ (ნახ. 3.2). წინააღმდეგ შემთხვევაში, მას უწოდებენ უარყოფით ან შებრუნებულს.

3.1.5. პირდაპირი და ინვერსიული ტრიედრონები.

მოდით ზოგიერთი trihedron (მართკუთხა ან არამართკუთხა). დადებითი მიმართულებები არჩეულია ღერძებზე შესაბამისად O-დან x-მდე, O-დან y-მდე და O-დან z-მდე.

ფიზიკაში არსებობს სიდიდეების რამდენიმე კატეგორია: ვექტორული და სკალარული.

რა არის ვექტორული რაოდენობა?

ვექტორულ რაოდენობას აქვს ორი ძირითადი მახასიათებელი: მიმართულება და მოდული. ორი ვექტორი ერთნაირი იქნება, თუ მათი მოდულის მნიშვნელობა და მიმართულება იგივეა. ვექტორული სიდიდის დასანიშნად, ყველაზე ხშირად გამოიყენება ასოები, რომლებზედაც ნაჩვენებია ისარი. ვექტორული სიდიდის მაგალითია ძალა, სიჩქარე ან აჩქარება.

იმისათვის, რომ გავიგოთ ვექტორული სიდიდის არსი, უნდა განვიხილოთ იგი გეომეტრიული თვალსაზრისით. ვექტორი არის ხაზის სეგმენტი, რომელსაც აქვს მიმართულება. ასეთი სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება მისი მოდულის მნიშვნელობას. ფიზიკური მაგალითივექტორული რაოდენობა არის გადაადგილება მატერიალური წერტილისივრცეში გადაადგილება. პარამეტრები, როგორიცაა ამ წერტილის აჩქარება, სიჩქარე და მასზე მოქმედი ძალები, ელექტრომაგნიტური ველიასევე ნაჩვენები იქნება ვექტორული რაოდენობით.

თუ განვიხილავთ ვექტორულ რაოდენობას მიმართულების მიუხედავად, მაშინ ასეთი სეგმენტი შეიძლება გავზომოთ. მაგრამ შედეგი აჩვენებს მნიშვნელობის მხოლოდ ნაწილობრივ მახასიათებლებს. Მისთვის სრული გაზომვამნიშვნელობა უნდა დაემატოს მიმართული სეგმენტის სხვა პარამეტრებს.

ვექტორულ ალგებრაში არის ცნება ნულოვანი ვექტორი . ამ კონცეფციის ქვეშ იგულისხმება წერტილი. რაც შეეხება ნულოვანი ვექტორის მიმართულებას, ის განუსაზღვრელია. ნულოვანი ვექტორი აღინიშნება არითმეტიკული ნულით, აკრეფილი თამამად.

თუ ყოველივე ზემოთქმულს გავაანალიზებთ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ყველა მიმართული სეგმენტი განსაზღვრავს ვექტორებს. ორი სეგმენტი განსაზღვრავს ერთ ვექტორს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ტოლია. ვექტორების შედარებისას მოქმედებს იგივე წესი, რაც სკალარული სიდიდეების შედარებისას. თანასწორობა ნიშნავს სრულ მატჩს ყველა თვალსაზრისით.

რა არის სკალარული მნიშვნელობა?

ვექტორისგან განსხვავებით, სკალარული სიდიდე აქვს მხოლოდ ერთი პარამეტრი - ეს არის მისი რიცხვითი მნიშვნელობა. უნდა აღინიშნოს, რომ გაანალიზებულ მნიშვნელობას შეიძლება ჰქონდეს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვითი მნიშვნელობა.

მაგალითები მოიცავს მასას, ძაბვას, სიხშირეს ან ტემპერატურას. ამ მნიშვნელობებით შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები: შეკრება, გაყოფა, გამოკლება, გამრავლება. სკალარული სიდიდისთვის, ისეთი მახასიათებელი, როგორიცაა მიმართულება, არ არის დამახასიათებელი.

სკალარული სიდიდე იზომება რიცხვითი მნიშვნელობით, ამიტომ მისი ჩვენება შესაძლებელია კოორდინატთა ღერძი. მაგალითად, ძალიან ხშირად ისინი აშენებენ გავლილი მანძილის, ტემპერატურის ან დროის ღერძს.

ძირითადი განსხვავებები სკალარულ და ვექტორულ რაოდენობებს შორის

ზემოთ მოცემული აღწერებიდან ჩანს, რომ ძირითადი განსხვავება ვექტორულ სიდიდეებსა და სკალარ სიდიდეებს შორის მდგომარეობს მათში. მახასიათებლები. ვექტორულ სიდიდეს აქვს მიმართულება და მოდული, ხოლო სკალარულ რაოდენობას აქვს მხოლოდ რიცხვითი მნიშვნელობა. რა თქმა უნდა, ვექტორული სიდიდე, ისევე როგორც სკალარული, შეიძლება გაიზომოს, მაგრამ ასეთი მახასიათებელი არ იქნება სრული, რადგან არ არსებობს მიმართულება.

იმისათვის, რომ უფრო მკაფიოდ წარმოვაჩინოთ განსხვავება სკალარულ რაოდენობასა და ვექტორულ რაოდენობას შორის, მაგალითი უნდა იყოს მოყვანილი. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ ცოდნის ისეთ სფეროს, როგორიცაა კლიმატოლოგია. თუ ვიტყვით, რომ ქარი ქრის წამში 8 მეტრი სიჩქარით, მაშინ დაინერგება სკალარული მნიშვნელობა. მაგრამ, თუ ვიტყვით, რომ ჩრდილოეთის ქარი უბერავს წამში 8 მეტრი სიჩქარით, მაშინ ვისაუბრებთ ვექტორულ მნიშვნელობაზე.

ვექტორები თამაშობენ უზარმაზარი როლითანამედროვე მათემატიკაში, ასევე მექანიკისა და ფიზიკის ბევრ სფეროში. უმრავლესობა ფიზიკური რაოდენობითშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორების სახით. ეს შესაძლებელს ხდის გამოყენებული ფორმულებისა და შედეგების განზოგადებას და არსებითად გამარტივებას. ხშირად ვექტორული მნიშვნელობები და ვექტორები იდენტიფიცირებულია ერთმანეთთან. მაგალითად, ფიზიკაში ისმის, რომ სიჩქარე ან ძალა არის ვექტორი.