"ნულის გაყოფა არ შეიძლება!" - სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე იმახსოვრებს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის „არა“ და რა მოხდება, თუ ამის პასუხად ჰკითხავთ: „რატომ? მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არის ეს შეუძლებელია.
საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი მოქმედება - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ სრულფასოვანად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.
განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. Რას ნიშნავს 5 – 3 ? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ნივთი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვაგვარად უყურებენ. არ არის გამოკლება, მხოლოდ შეკრება. ამიტომ, შესვლა 5 – 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც რიცხვს დაემატება 3 მისცემს ნომერს 5 . ანუ 5 – 3 არის მხოლოდ განტოლების სტენოგრამა: x + 3 = 5. ამ განტოლებაში არ არის გამოკლება. მხოლოდ ერთი ამოცანაა - პოვნა შესაფერისი ნომერი.
იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩაწერა 8: 4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ობიექტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ ეს ნამდვილად განტოლების მხოლოდ შემოკლებული ფორმაა 4 x = 8.
სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელია (უფრო სწორად შეუძლებელი) გაყოფა ნულზე. ჩაწერა 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5. ანუ, ეს ამოცანაა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს 5 . მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ გამრავლებისას 0 ყოველთვის გამოდის 0 . ეს არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.
რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს რაიმეს გარდა null, უბრალოდ არ არსებობს. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება, ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) 5: 0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და, შესაბამისად, აზრი არ აქვს. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.
ამ ეტაპზე ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის ნულზე გაყოფა? მართლაც, განტოლებიდან 0 x = 0წარმატებით გადაწყდა. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ x=0და შემდეგ მივიღებთ 0 0 = 0. თურმე 0: 0=0 ? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ აღება x=1. მიიღეთ 0 1 = 0. სწორად? ნიშნავს, 0: 0 = 1 ? მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნომერი და მიიღოთ 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 და ა.შ.
მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, რომ რომელიმე მათგანს ავირჩიოთ. ანუ ვერ გეტყვით რომელი რიცხვი შეესაბამება ჩანაწერს 0: 0 . და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობებიდან გამომდინარე, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს ერთ-ერთს. პარამეტრებიგანტოლების ამოხსნა 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ "გაურკვევლობის გამჟღავნებაზე", მაგრამ არითმეტიკაში ასეთი შემთხვევები არ ხდება.)
ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.
მაშ, ყველაზე ზედმიწევნით, ამ მომენტამდე წაკითხვის შემდეგ, შეიძლება იკითხოს: რატომ არის ასე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შეგიძლიათ მხოლოდ ფორმალურის გაცნობის შემდეგ მათემატიკური განმარტებებირიცხვითი კომპლექტები და მათზე მოქმედებები. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ სწავლობენ. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე პირველ რიგში სწორედ ამას გასწავლიან.
ნულზე გაყოფის მათემატიკური წესი პირველ კლასში ყველა ადამიანს ეუბნებოდა. საშუალო სკოლა. „ნულზე გაყოფა არ შეიძლება“, - გვასწავლეს ყველას და ზურგში დარტყმის ტკივილის გამო აუკრძალეს ნულზე გაყოფა და ზოგადად ამ თემის განხილვა. მიუხედავად იმისა, რომ დაწყებითი სკოლის ზოგიერთი მასწავლებელი მაინც ცდილობდა აეხსნა, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა მარტივი მაგალითების გამოყენებით, ეს მაგალითები იმდენად ალოგიკური იყო, რომ უფრო ადვილი იყო უბრალოდ ამ წესის დამახსოვრება და ზედმეტი კითხვების დასმა. მაგრამ ყველა ეს მაგალითი ალოგიკური იყო იმ მიზეზით, რომ მასწავლებლებმა ეს ლოგიკურად ვერ აგვიხსნეს პირველ კლასში, რადგან პირველ კლასში ჩვენ არც კი ვიცოდით ახლოს რა არის განტოლება, მაგრამ ლოგიკურად ასეა. მათემატიკური წესიახსნა შესაძლებელია მხოლოდ განტოლებების გამოყენებით.
ყველამ იცის, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნულზე გაყოფისას სიცარიელე გამოვა. რატომ არის ზუსტად სიცარიელე, მოგვიანებით განვიხილავთ.
ზოგადად, მათემატიკაში დამოუკიდებლად აღიარებულია მხოლოდ ორი პროცედურა რიცხვებით. ეს არის შეკრება და გამრავლება. დარჩენილი პროცედურები განიხილება ამ ორი პროცედურის წარმოებულებად. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.
მითხარი რამდენი იქნება მაგ 11-10? ჩვენ ყველანი მომენტალურად გიპასუხებთ, რომ ეს იქნება 1. და როგორ ვიპოვეთ ასეთი პასუხი? ვიღაც იტყვის, რომ უკვე გასაგებია, რომ ეს იქნება 1, ვიღაც იტყვის, რომ მან აიღო 10 11 ვაშლიდან და გამოთვალა, რომ ეს იყო ერთი ვაშლი. ლოგიკის თვალსაზრისით ყველაფერი სწორია, მაგრამ მათემატიკის კანონების მიხედვით ეს პრობლემა სხვაგვარად წყდება. უნდა გვახსოვდეს, რომ შეკრება და გამრავლება განიხილება მთავარ პროცედურებად, ასე რომ თქვენ უნდა შეადგინოთ შემდეგი განტოლება: x + 10 \u003d 11 და მხოლოდ ამის შემდეგ x \u003d 11-10, x \u003d 1. გაითვალისწინეთ, რომ შეკრება პირველ რიგში მოდის და მხოლოდ ამის შემდეგ, განტოლებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვაკლოთ. როგორც ჩანს, რატომ ამდენი პროცედურა? ყოველივე ამის შემდეგ, პასუხი აშკარაა. მაგრამ მხოლოდ ასეთ პროცედურებს შეუძლიათ ახსნან ნულზე გაყოფის შეუძლებლობა.
მაგალითად, ჩვენ ამას ვაკეთებთ მათემატიკის პრობლემა: მინდა გავყო 20 ნულზე. ანუ 20:0=x. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი იქნება ეს, უნდა გახსოვდეთ, რომ გაყოფის პროცედურა გამომდინარეობს გამრავლებიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაყოფა არის გამრავლების წარმოებული პროცედურა. ამიტომ, თქვენ უნდა გააკეთოთ განტოლება გამრავლებისგან. ასე რომ, 0*x=20. აქ არის ჩიხი. რა რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ნულზე, ის მაინც იქნება 0, მაგრამ არა 20. აქ არის წესი: არ შეიძლება ნულზე გაყოფა. ნული შეიძლება გაიყოს ნებისმიერ რიცხვზე, მაგრამ რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს ნულზე.
ეს კიდევ ერთ კითხვას ბადებს: შესაძლებელია თუ არა ნულის ნულზე გაყოფა? ასე რომ 0:0=x ნიშნავს 0*x=0. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას. ავიღოთ, მაგალითად, x=4, რაც ნიშნავს 0*4=0. გამოდის, რომ თუ ნულს გაყოფთ ნულზე, მიიღებთ 4-ს. მაგრამ აქაც ყველაფერი ასე მარტივი არ არის. თუ ავიღებთ, მაგალითად, x=12 ან x=13, მაშინ იგივე პასუხი გამოვა (0*12=0). ზოგადად, რა რიცხვიც არ უნდა ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა 0, ამიტომ თუ 0:0, მაშინ უსასრულობა გამოვა. აქ არის რამდენიმე მარტივი მათემატიკა. სამწუხაროდ, ნულის ნულზე გაყოფის პროცედურაც უაზროა.
ზოგადად, რიცხვი ნული მათემატიკაში ყველაზე საინტერესოა. მაგალითად, ყველამ იცის, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვან ხარისხზე იძლევა ერთს. რა თქმა უნდა, ასეთი მაგალითით ნამდვილი ცხოვრებაჩვენ არ ვხვდებით, მაგრამ გაყოფით ნულზე ცხოვრებისეული სიტუაციებიძალიან ხშირად გვხვდება. ასე რომ, გახსოვდეთ, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.
ძალიან ხშირად, ბევრს აინტერესებს, რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფის გამოყენება? ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ, თუ საიდან გაჩნდა ეს წესი, ასევე რა ქმედებები შეიძლება შესრულდეს ნულით.
კონტაქტში
ნულს შეიძლება ეწოდოს ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო რიცხვი. ამ რიცხვს აზრი არ აქვს, ეს ნიშნავს სიცარიელეს ფაქტიურადსიტყვები. თუმცა, თუ რომელიმე ციფრს დაუსვამთ ნულს, მაშინ ამ ციფრის მნიშვნელობა რამდენჯერმე დიდი გახდება.
რიცხვი თავისთავად ძალიან იდუმალია. ასევე გამოყენებულია უძველესი ხალხიმაიას. მაიასთვის ნული ნიშნავდა "დაწყებას" და ათვლას კალენდარული დღეებიასევე დაიწყო ნულიდან.
უაღრესად საინტერესო ფაქტიარის ის, რომ ნულის ნიშანი და გაურკვევლობის ნიშანი მსგავსი იყო. ამით მაიას სურდა ეჩვენებინა, რომ ნული იგივეა იდენტური ნიშანიისევე როგორც გაურკვევლობა. ევროპაში ნულის აღნიშვნა შედარებით ცოტა ხნის წინ გამოჩნდა.
ასევე, ბევრმა იცის ნულთან დაკავშირებული აკრძალვა. ამას ნებისმიერი ადამიანი იტყვის არ შეიძლება გაიყოს ნულზე. ამას სკოლაში მასწავლებლები ამბობენ და ბავშვები, როგორც წესი, სიტყვას იღებენ. ჩვეულებრივ, ბავშვებს ან უბრალოდ არ აინტერესებთ ამის ცოდნა, ან იციან, რა მოხდება, თუ მნიშვნელოვანი აკრძალვის მოსმენისთანავე დაუყოვნებლივ იკითხავენ: „რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?“. მაგრამ როცა დაბერდები, ინტერესი იღვიძებს და გსურს მეტი იცოდე ასეთი აკრძალვის მიზეზების შესახებ. თუმცა, არსებობს გონივრული მტკიცებულება.
მოქმედებები ნულით
ჯერ უნდა დაადგინოთ რა ქმედებები შეიძლება შესრულდეს ნულით. არსებობს რამდენიმე სახის აქტივობა:
- დამატება;
- გამრავლება;
- გამოკლება;
- გაყოფა (ნული რიცხვით);
- ექსპონენტაცია.
Მნიშვნელოვანი!თუ შეკრებისას რომელიმე რიცხვს დაემატება ნული, მაშინ ეს რიცხვი იგივე დარჩება და არ შეცვლის მას რიცხვითი მნიშვნელობა. იგივე ხდება, თუ რომელიმე რიცხვს გამოაკლებ ნულს.
გამრავლებითა და გაყოფით, ყველაფერი ცოტა განსხვავებულია. Თუ გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ნულზე, მაშინ პროდუქტიც ნული გახდება.
განვიხილოთ მაგალითი:
მოდით დავწეროთ ეს, როგორც დამატება:
სულ არის ხუთი დამატებული ნული, ასე გამოდის
შევეცადოთ გავამრავლოთ ერთი ნულზე. შედეგიც ნული იქნება.
ნული ასევე შეიძლება გაიყოს ნებისმიერ სხვა რიცხვზე, რომელიც არ არის მისი ტოლი. ამ შემთხვევაში გამოვა, რომლის ღირებულებაც ნული იქნება. იგივე წესი ვრცელდება უარყოფითი რიცხვები. თუ ნულს გაყოფთ უარყოფით რიცხვზე, მიიღებთ ნულს.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ აწიოთ ნებისმიერი რიცხვი in ნულოვანი ხარისხი . ამ შემთხვევაში მიიღებთ 1-ს. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამოთქმა "ნული ნულოვან სიმძლავრემდე" აბსოლუტურად უაზროა. თუ თქვენ ცდილობთ ნულის ამაღლებას ნებისმიერ სიმძლავრემდე, მიიღებთ ნულს. მაგალითი:
ვიყენებთ გამრავლების წესს, მივიღებთ 0-ს.
შესაძლებელია თუ არა გაყოფა ნულზე
ასე რომ, აქ მივედით მთავარ კითხვამდე. შესაძლებელია თუ არა გაყოფა ნულზეზოგადად? და რატომ არის შეუძლებელი რიცხვის ნულზე გაყოფა, თუ გავითვალისწინებთ, რომ ყველა სხვა ოპერაცია ნულთან ერთად სრულად არსებობს და გამოიყენება? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა მიმართოთ უმაღლეს მათემატიკას.
დავიწყოთ ცნების განმარტებით, რა არის ნული? სკოლის მასწავლებლებითქვი, რომ ნული არაფერია. Სიცარიელე. ანუ, როცა ამბობ, რომ 0 კალამი გაქვს, ეს ნიშნავს, რომ საერთოდ არ გაქვს კალმები.
უმაღლეს მათემატიკაში „ნულის“ ცნება უფრო ფართოა. ეს სულაც არ ნიშნავს ცარიელი. აქ ნულს გაურკვევლობა ეწოდება, რადგან თუ დავხატავთ პატარა კვლევა, გამოდის, რომ ნულის ნულზე გაყოფის შედეგად შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი სხვა რიცხვი, რომელიც შეიძლება სულაც არ იყოს ნული.
იცოდით, რომ ეს მარტივია არითმეტიკული მოქმედებებირომ სკოლაში სწავლობდით, არც თუ ისე თანასწორნი არიან ერთმანეთთან? ყველაზე ძირითადი ნაბიჯებია შეკრება და გამრავლება.
მათემატიკოსებისთვის "" და "გამოკლების" ცნებები არ არსებობს. დავუშვათ: თუ სამს გამოვაკლებთ ხუთს, მაშინ ორი დარჩება. ასე გამოიყურება გამოკლება. თუმცა მათემატიკოსები ამას ასე დაწერენ:
ამრიგად, გამოდის, რომ უცნობი სხვაობა არის გარკვეული რიცხვი, რომელიც უნდა დაემატოს 3-ს 5-ის მისაღებად. ანუ, თქვენ არ გჭირდებათ რაიმეს გამოკლება, თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ შესაფერისი რიცხვი. ეს წესი ვრცელდება დამატებით.
საქმეები ცოტა განსხვავებულია გამრავლებისა და გაყოფის წესები.ცნობილია, რომ ნულზე გამრავლება იწვევს ნულ შედეგს. მაგალითად, თუ 3:0=x, მაშინ თუ გადაატრიალებთ ჩანაწერს, მიიღებთ 3*x=0. და რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია 0-ზე, მისცემს ნულს ნამრავლში. გამოდის, რომ რიცხვი, რომელიც მისცემს რაიმე სხვა მნიშვნელობას ნულის გარდა ნამრავლში ნულთან ერთად, არ არსებობს. ეს ნიშნავს, რომ ნულზე გაყოფა უაზროა, ანუ ერგება ჩვენს წესს.
მაგრამ რა მოხდება, თუ ცდილობთ ნულის თავისთავად გაყოფას? ავიღოთ x, როგორც რაღაც განუსაზღვრელი რიცხვი. გამოდის განტოლება 0 * x \u003d 0. მისი მოგვარება შესაძლებელია.
თუ x-ის ნაცვლად ნულის აღებას ვცდილობთ, მივიღებთ 0:0=0. ლოგიკური ჩანს? მაგრამ თუ ვცდილობთ ავიღოთ სხვა რიცხვი x-ის ნაცვლად, მაგალითად, 1, მაშინ მივიღებთ 0:0=1. იგივე სიტუაცია იქნება, თუ აიღებთ სხვა ნომერს და შეაერთეთ იგი განტოლებაში.
ამ შემთხვევაში გამოდის, რომ ფაქტორად ნებისმიერი სხვა რიცხვი შეგვიძლია ავიღოთ. შედეგი იქნება უსასრულო რიცხვი სხვადასხვა ნომრები. ზოგჯერ, მიუხედავად ამისა, უმაღლეს მათემატიკაში 0-ზე გაყოფა აზრი აქვს, მაგრამ მაშინ, როგორც წესი, არის გარკვეული პირობა, რომლის გამო მაინც შეგვიძლია ავირჩიოთ ერთი შესაფერისი რიცხვი. ამ ქმედებას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება". ჩვეულებრივ არითმეტიკაში ნულზე გაყოფა კვლავ დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან სიმრავლიდან ვერ შევძლებთ რომელიმე ერთის არჩევას.
Მნიშვნელოვანი!ნულის გაყოფა არ შეიძლება.
ნული და უსასრულობა
უსასრულობა ძალიან გავრცელებულია უმაღლეს მათემატიკაში. ვინაიდან სკოლის მოსწავლეებისთვის უბრალოდ არ არის მნიშვნელოვანი იმის ცოდნა, რომ ჯერ კიდევ არსებობს მათემატიკური მოქმედებები უსასრულობასთან, მასწავლებლებს არ შეუძლიათ სწორად აუხსნან ბავშვებს, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა.
მთავარი მათემატიკური საიდუმლოებებისტუდენტები იწყებენ სწავლას მხოლოდ ინსტიტუტის პირველ წელს. უმაღლესი მათემატიკა იძლევა ამოცანების დიდ კრებულს, რომლებსაც არ აქვთ გადაწყვეტა. ყველაზე ცნობილი პრობლემები უსასრულობის პრობლემებია. მათი მოგვარება შესაძლებელია მათემატიკური ანალიზი.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიმართოთ უსასრულობას ელემენტარული მათემატიკური ოპერაციები:შეკრება, რიცხვით გამრავლება. გამოკლება და გაყოფა ასევე ხშირად გამოიყენება, მაგრამ საბოლოოდ ისინი მაინც ორ მარტივ ოპერაციამდე მოდის.
სკოლაშიც კი მასწავლებლები ცდილობდნენ უმარტივესი წესის ჩაქუჩით ჩვენს თავში: "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე უდრის ნულს!", - მაგრამ მაინც ბევრი პოლემიკა მუდმივად ჩნდება მის გარშემო. ვიღაცამ უბრალოდ დაიმახსოვრა წესი და არ აწუხებს კითხვა "რატომ?". ”აქ ყველაფერს ვერ გააკეთებ, რადგან სკოლაში ასე თქვეს, წესი წესია!” ვინმეს შეუძლია ნახევარი რვეული შეავსოს ფორმულებით, ამ წესის დამადასტურებელი ან, პირიქით, მისი არალოგიკურობის დამადასტურებელი.
ვინ არის საბოლოოდ მართალი
ამ კამათის დროს ორივე ადამიანს აქვს საპირისპირო წერტილებიხედვა, ვერძივით შეხედეთ ერთმანეთს და მთელი ძალით დაამტკიცეთ, რომ მართლები არიან. თუმცა, გვერდიდან რომ შეხედო, დაინახავ არა ერთ, არამედ ორ ვერძს, რომლებიც რქებით ერთმანეთს ეყრდნობიან. მათ შორის განსხვავება მხოლოდ ისაა, რომ ერთი მეორეზე ოდნავ ნაკლებად განათლებულია. ყველაზე ხშირად, ისინი, ვინც ამ წესს არასწორად თვლიან, ცდილობენ ლოგიკას მოითხოვონ ამ გზით:
მაგიდაზე მაქვს ორი ვაშლი, თუ მათ ნულოვანი ვაშლი დავდე, ანუ არც ერთს არ დავდებ, მაშინ ჩემი ორი ვაშლი აქედან არ გაქრება! წესი ალოგიკურია!
მართლაც, ვაშლები არსად არ გაქრება, მაგრამ არა იმიტომ, რომ წესი ალოგიკურია, არამედ იმიტომ, რომ აქ ოდნავ განსხვავებული განტოლებაა გამოყენებული: 2 + 0 \u003d 2. ასე რომ, მოდით, სასწრაფოდ უარვყოთ ეს დასკვნა - ეს ალოგიკურია, თუმცა მას აქვს საპირისპირო. მიზანი - ლოგიკისკენ მოწოდება.
საინტერესოა: როგორ მოვძებნოთ რიცხვთა განსხვავება მათემატიკაში?
რა არის გამრავლება
ორიგინალური გამრავლების წესიგანისაზღვრა მხოლოდ ნატურალური რიცხვებისთვის: გამრავლება არის რიცხვი, რომელიც დაემატა საკუთარ თავს რამდენჯერმე, რაც გულისხმობს რიცხვის ბუნებრიობას. ამრიგად, ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებით შეიძლება შემცირდეს ამ განტოლებამდე:
ამ განტოლებიდან გამომდინარეობს დასკვნა, რომ გამრავლება გამარტივებული შეკრებაა.
რა არის ნული
ნებისმიერმა ადამიანმა ბავშვობიდან იცის: ნული არის სიცარიელე, მიუხედავად იმისა, რომ ამ სიცარიელეს აქვს დანიშნულება, ის საერთოდ არაფერს ატარებს. ძველი აღმოსავლელი მეცნიერები სხვაგვარად ფიქრობდნენ - ისინი საკითხს ფილოსოფიურად მიუდგნენ და რაღაც პარალელები გაავლეს სიცარიელესა და უსასრულობას შორის და დაინახეს. ღრმა მნიშვნელობაამ რიცხვში. ყოველივე ამის შემდეგ, ნული, რომელსაც აქვს სიცარიელის მნიშვნელობა, ნებისმიერის გვერდით დგას ბუნებრივი რიცხვი, ამრავლებს მას ათჯერ. აქედან გამომდინარეობს გამრავლების თაობაზე მთელი დაპირისპირება - ეს რიცხვი იმდენ შეუსაბამობას ატარებს, რომ ძნელია არ დაბნეულიყო. გარდა ამისა, ნული მუდმივად გამოიყენება ცარიელი ბიტების იდენტიფიცირებისთვის ათობითი წილადები, ეს კეთდება როგორც მძიმის წინ, ასევე მის შემდეგ.
შესაძლებელია თუ არა სიცარიელეზე გამრავლება
ნულზე გამრავლება შესაძლებელია, მაგრამ უსარგებლოა, რადგან, რაც არ უნდა თქვას, მაგრამ უარყოფითი რიცხვების გამრავლების დროსაც კი, ნული მაინც მიიღება. საკმარისია დაიმახსოვროთ ეს უმარტივესი წესი და აღარასოდეს დაუსვათ ეს შეკითხვა. სინამდვილეში, ყველაფერი უფრო მარტივია, ვიდრე ერთი შეხედვით ჩანს. არ არსებობს ფარული მნიშვნელობებიდა საიდუმლოებები, როგორც ძველ მეცნიერებს სჯეროდათ. ყველაზე ლოგიკური ახსნა ქვემოთ მოგეცემათ, რომ ეს გამრავლება უსარგებლოა, რადგან რიცხვის მასზე გამრავლებისას მაინც იგივე იქნება - ნული.
საინტერესოა: რა არის რიცხვის მოდული?
თავიდანვე დავუბრუნდეთ, არგუმენტი ორ ვაშლზე, 2-ჯერ 0 ასე გამოიყურება:
ბოლოს და ბოლოს, ვაშლის 0-ჯერ ჭამა ნიშნავს ერთის არჭამას. გასაგები იქნება კიდეც პატარა ბავშვს. მოგწონს არ მოგწონს, 0 გამოვა, ორი ან სამი შეიძლება შეიცვალოს აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვით და აბსოლუტურად იგივე გამოვა. და მარტივად რომ ვთქვათ, ნული არაფერიადა როცა გაქვს იქ არაფერია, მერე რამდენიც არ უნდა გაამრავლო - სულ ერთია იქნება ნული. ჯადოქრობა არ არსებობს და ვაშლს ვერაფერი გამოადგება, თუნდაც 0 მილიონზე გაამრავლო. ეს არის ნულზე გამრავლების წესის უმარტივესი, გასაგები და ლოგიკური ახსნა. ყოველგვარი ფორმულისა და მათემატიკისგან შორს მყოფი ადამიანისთვის ასეთი ახსნა საკმარისი იქნება იმისათვის, რომ თავში არსებული დისონანსი მოგვარდეს და ყველაფერი თავის ადგილზე დადგეს.
ყოველივე ზემოთქმულიდან გამომდინარეობს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წესი:
ნულზე ვერ გაყოფ!
ეს წესიც ბავშვობიდანვე ჯიუტად გვიტრიალებდა თავში. ჩვენ უბრალოდ ვიცით, რომ ეს შეუძლებელია და ეს ყველაფერი ჩვენი თავის შეშფოთების გარეშე დამატებითი ინფორმაცია. თუ მოულოდნელად დაგისვათ კითხვა, რა მიზეზით არის აკრძალული ნულზე გაყოფა, მაშინ უმრავლესობა დაიბნევა და ვერ შეძლებს მკაფიო პასუხის გაცემას. უმარტივესი კითხვასაწყისი სკოლის სასწავლო გეგმა, რადგან ამ წესის ირგვლივ არც თუ ისე დიდი კამათი და პოლემიკაა.
ყველამ უბრალოდ დაიმახსოვრა წესი და არ იყოფა ნულზე, არ ეჭვობს, რომ პასუხი ზედაპირზე დევს. შეკრება, გამრავლება, გაყოფა და გამოკლება არათანაბარია, მხოლოდ გამრავლება და შეკრება სავსეა ზემოაღნიშნულით და მათგან აგებულია ყველა სხვა მანიპულაცია რიცხვებით. ანუ, ჩანაწერი 10: 2 არის 2 * x = 10 განტოლების აბრევიატურა. მაშასადამე, ჩანაწერი 10: 0 არის იგივე შემოკლება 0 * x = 10-ისთვის. გამოდის, რომ ნულზე გაყოფა არის ამოცანა, რომ იპოვოთ. რიცხვი, 0-ზე გამრავლებით მიიღებთ 10-ს და ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ ასეთი რიცხვი არ არსებობს, რაც ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი და ის აპრიორი არასწორი იქნება.
ნება მომეცით გითხრათ
რომ არ გავყოთ 0-ზე!
დაჭერით 1 როგორც გინდათ, თან,
უბრალოდ ნუ გაყოფ 0-ზე!
obrazovanie.გურუ
გაყოფა ნულზე. მომხიბლავი მათემატიკა
რიცხვი 0 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთგვარი საზღვარი, რომელიც ყოფს რეალური რიცხვების სამყაროს წარმოსახვითი ან უარყოფითიდან. ორაზროვანი პოზიციის გამო, ბევრი ოპერაცია ამით რიცხვითი მნიშვნელობაარ დაემორჩილო მათემატიკური ლოგიკა. ნულზე გაყოფის შეუძლებლობა ნათელი რომმაგალითი. და დაშვებული არითმეტიკული ოპერაციები ნულთან შეიძლება შესრულდეს ზოგადად მიღებული განმარტებების გამოყენებით.
ნულის ისტორია
ნული არის საცნობარო წერტილი ყველაში სტანდარტული სისტემებიგაანგარიშება. ევროპელებმა ამ ნომრის გამოყენება შედარებით ცოტა ხნის წინ დაიწყეს, მაგრამ ბრძენებმა ძველი ინდოეთიიყენებდნენ ნულს ათასი წლის განმავლობაში, სანამ ცარიელ რიცხვს რეგულარულად იყენებდნენ ევროპელი მათემატიკოსები. ინდიელებამდეც კი, ნული იყო სავალდებულო მნიშვნელობა მაიას რიცხვითი სისტემაში. ეს ამერიკელი ხალხი იყენებდა თორმეტგოჯა ნაწლავის სისტემას და ყოველი თვის პირველ დღეს იწყებდნენ ნულით. საინტერესოა, რომ მაიას შორის „ნულოვანი“ ნიშანი მთლიანად ემთხვეოდა „უსასრულობის“ ნიშანს. ამრიგად, ძველმა მაიამ დაასკვნა, რომ ეს რაოდენობები იდენტური და შეუცნობელი იყო.
მათემატიკური მოქმედებები ნულით
სტანდარტული მათემატიკური ოპერაციებინულთან ერთად შეიძლება შემცირდეს რამდენიმე წესით.
მიმატება: თუ დაუმატებთ ნულს თვითნებურ რიცხვს, მაშინ ის არ შეცვლის მის მნიშვნელობას (0+x=x).
გამოკლება: რომელიმე რიცხვს ნულის გამოკლებისას გამოკლებულის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება (x-0=x).
გამრავლება: 0-ზე გამრავლებული ნებისმიერი რიცხვი ნამრავლში იძლევა 0-ს (a*0=0).
გაყოფა: ნული შეიძლება დაიყოს ნებისმიერ არანულოვან რიცხვზე. ამ შემთხვევაში ასეთი წილადის მნიშვნელობა იქნება 0. ხოლო ნულზე გაყოფა აკრძალულია. 
ექსპონენტაცია. ეს მოქმედება შეიძლება შესრულდეს ნებისმიერი ნომრით. ნულის ხარისხზე გაზრდილი თვითნებური რიცხვი მისცემს 1-ს (x 0 =1).
ნებისმიერი სიმძლავრის ნული უდრის 0-ს (0 a \u003d 0).
ამ შემთხვევაში, წინააღმდეგობა მაშინვე ჩნდება: გამოთქმას 0 0 აზრი არ აქვს.
მათემატიკის პარადოქსები
ის, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია, ბევრმა იცის სკოლის სკამი. მაგრამ რატომღაც შეუძლებელია ასეთი აკრძალვის მიზეზის ახსნა. მართლაც, რატომ არ არსებობს ნულზე გაყოფის ფორმულა, მაგრამ ამ რიცხვით სხვა ქმედებები საკმაოდ გონივრული და შესაძლებელია? ამ კითხვაზე პასუხს მათემატიკოსები იძლევიან.
საქმე იმაშია, რომ ჩვეულებრივი არითმეტიკული მოქმედებები, რომლებშიც სკოლის მოსწავლეები სწავლობენ დაწყებითი სკოლასინამდვილეში არ არიან ისეთი თანაბარი, როგორც ჩვენ გვგონია. ყველა მარტივი ოპერაცია რიცხვებით შეიძლება შემცირდეს ორამდე: შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები არის რიცხვის კონცეფციის არსი, დანარჩენი ოპერაციები კი ამ ორის გამოყენებას ეფუძნება.
შეკრება და გამრავლება
Მოდი ავიღოთ სტანდარტული მაგალითიგამოკლებისთვის: 10-2=8. სკოლაში უბრალოდ განიხილება: თუ ათ საგანს ორს წაართმევენ, რვა რჩება. მაგრამ მათემატიკოსები ამ ოპერაციას სულ სხვანაირად უყურებენ. ბოლოს და ბოლოს, მათთვის არ არსებობს ისეთი ოპერაცია, როგორიცაა გამოკლება. ეს მაგალითიშეიძლება ჩაიწეროს სხვანაირად: x + 2 = 10. მათემატიკოსებისთვის უცნობი განსხვავებაუბრალოდ ის რიცხვია, რომელიც ორს უნდა დაემატოს რვის მისაღებად. და აქ არ არის საჭირო გამოკლება, თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ შესაფერისი რიცხვითი მნიშვნელობა.
გამრავლება და გაყოფა ასევე განიხილება. 12:4=3-ის მაგალითში შეიძლება გავიგოთ, რომ ჩვენ ვსაუბრობთრვა ობიექტის ორ თანაბარ გროვად დაყოფის შესახებ. მაგრამ სინამდვილეში, ეს მხოლოდ ინვერსიული ფორმულაა 3x4 \u003d 12-ის დასაწერად. გაყოფის ასეთი მაგალითები შეიძლება იყოს უსასრულოდ მოყვანილი. 
0-ზე გაყოფის მაგალითები
აქ ცოტათი ცხადი ხდება, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. ნულზე გამრავლებასა და გაყოფას თავისი წესები აქვს. ამ რაოდენობის ყველა მაგალითი შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც 6:0=x. მაგრამ ეს არის 6 * x = 0 გამოხატვის ინვერსიული გამოხატულება. მაგრამ, მოგეხსენებათ, 0-ზე გამრავლებული ნებისმიერი რიცხვი ნამრავლში იძლევა მხოლოდ 0-ს. ეს თვისება თანდაყოლილია თავად ნულოვანი მნიშვნელობის კონცეფციაში.
გამოდის, რომ ისეთი რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას რაიმე მატერიალურ მნიშვნელობას იძლევა, არ არსებობს, ე.ი. მოცემული დავალებაგამოსავალი არ აქვს. არ უნდა შეგეშინდეთ ასეთი პასუხის, ეს ბუნებრივი პასუხია ამ ტიპის პრობლემებზე. უბრალოდ 6:0-ის დაწერას აზრი არ აქვს და ვერაფერს ხსნის. მოკლედ, ეს გამოთქმა შეიძლება აიხსნას უკვდავი „ნულზე გაყოფის გარეშე“.
არის 0:0 ოპერაცია? მართლაც, თუ 0-ზე გამრავლების ოპერაცია ლეგალურია, შეიძლება ნულის გაყოფა ნულზე? ყოველივე ამის შემდეგ, 0x5=0 ფორმის განტოლება საკმაოდ კანონიერია. რიცხვის 5-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დააყენოთ 0, აქედან პროდუქტი არ შეიცვლება. 
მართლაც, 0x0=0. მაგრამ მაინც ვერ გაყოფთ 0-ზე. როგორც აღვნიშნეთ, გაყოფა არის მხოლოდ გამრავლების ინვერსია. ამრიგად, თუ მაგალითში 0x5=0, თქვენ უნდა განსაზღვროთ მეორე ფაქტორი, მივიღებთ 0x0=5. ან 10. ან უსასრულობა. უსასრულობის გაყოფა ნულზე - როგორ მოგწონთ?
მაგრამ თუ რომელიმე რიცხვი ჯდება გამოთქმაში, მაშინ აზრი არ აქვს, ჩვენ არ შეგვიძლია უსასრულო რიცხვიაირჩიეთ ერთი ნომერი. და თუ ასეა, ეს ნიშნავს, რომ გამოთქმას 0:0 აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ თვით ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე.
უმაღლესი მათემატიკა
ნულზე გაყოფა თავის ტკივილია სკოლის მათემატიკა. სწავლობდა ტექნიკური უნივერსიტეტებიმათემატიკური ანალიზი ოდნავ აფართოებს ამოცანების კონცეფციას, რომლებსაც არ აქვთ გადაწყვეტა. მაგალითად, უკვე ცნობილი გამოთქმა 0:0 ემატება ახლები, რომლებსაც გამოსავალი არ აქვთ სკოლის კურსებიმათემატიკა:
ასეთი გამონათქვამების ამოხსნა ელემენტარული მეთოდებით შეუძლებელია. მაგრამ უმაღლესი მათემატიკამადლობა დამატებითი ფუნქციებინომრისთვის მსგავსი მაგალითებიიძლევა საბოლოო გადაწყვეტილებებს. ეს განსაკუთრებით აშკარაა ლიმიტების თეორიიდან ამოცანების განხილვისას.
გაურკვევლობის გამჟღავნება
ლიმიტების თეორიაში მნიშვნელობა 0 იცვლება პირობითი უსასრულოდ ცვლადი. და გამონათქვამები, რომლებშიც ჩანაცვლებისას სასურველი ღირებულებაგაყოფა ნულზე მიიღება, გარდაიქმნება. ქვემოთ მოცემულია ლიმიტის გაფართოების სტანდარტული მაგალითი ჩვეულებრივი გამოყენებით ალგებრული გარდაქმნები:
როგორც მაგალითში ხედავთ, წილადის მარტივი შემცირება მის მნიშვნელობას მოაქვს სრულიად რაციონალურ პასუხამდე.
საზღვრების განხილვისას ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიმათი გამონათქვამები პირველზე მცირდება მშვენიერი ლიმიტი. იმ ზღვრების განხილვისას, რომლებშიც მნიშვნელი მიდის 0-მდე ლიმიტის ჩანაცვლებისას, გამოიყენება მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი.
L'Hopital მეთოდი
ზოგიერთ შემთხვევაში, გამონათქვამების საზღვრები შეიძლება შეიცვალოს მათი წარმოებულების ლიმიტით. გიომ ლოპიტალი - ფრანგი მათემატიკოსი, დამფუძნებელი ფრანგული სკოლამათემატიკური ანალიზი. მან დაამტკიცა, რომ გამონათქვამების საზღვრები ტოლია ამ გამონათქვამების წარმოებულების საზღვრებთან. AT მათემატიკური აღნიშვნამისი წესი ასეთია. 
ამჟამად L'Hopital მეთოდი წარმატებით გამოიყენება 0:0 ან ∞:∞ ტიპის გაურკვევლობების გადასაჭრელად.
მათემატიკა: გრძელი გაყოფა და გამრავლება
ერთნიშნა რიცხვების გამრავლება და გაყოფა არ გაუჭირდება არცერთ მოსწავლეს, ვინც გამრავლების ცხრილი ისწავლა. შესულია მე-2 კლასის მათემატიკის სასწავლო გეგმაში. სხვა საქმეა, როცა საჭიროა მრავალნიშნა რიცხვებით მათემატიკური მოქმედებების შესრულება. ისინი იწყებენ ასეთ მოქმედებებს მათემატიკის გაკვეთილებზე მე -3 კლასში. გარჩევა ახალი თემა"გაყოფა და გამრავლება სვეტში"
მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლება
გაყოფა და გამრავლება რთული რიცხვებიუმარტივესი გზა არის სვეტი. ამისათვის საჭიროა რიცხვის ციფრები: ასეულები, ათეულები, ერთეულები:
235 = 200 (ასობით) + 30 (ათეული) + 5 (ერთი).
ჩვენ ეს დაგვჭირდება სწორი აღნიშვნარიცხვები გამრავლებისას.
ორი რიცხვის დაწერისას, რომლებიც უნდა გამრავლდეს, ისინი იწერება ერთმანეთის ქვეშ, ათავსებენ რიცხვებს ციფრებში (ერთეულები ერთეულებში, ათეულები ათეულებში). მრავალნიშნა რიცხვის ერთნიშნა რიცხვზე გამრავლებისას სირთულეები არ იქნება:
ჩაწერა ხდება ასე: 
გაანგარიშება ხორციელდება ბოლოდან - ერთეულების კატეგორიიდან. პირველ ციფრზე გამრავლებისას - ერთეულების კატეგორიიდან - ჩანაწერი ასევე ხორციელდება ბოლოდან:
- 3 x 5 = 15, ჩაწერეთ 5 (ერთი), ათეული (1) დაიმახსოვრეთ;
- 2 x 5 \u003d 10 და 1 ათეული, რომელიც გვახსოვს, მხოლოდ 11, ჩვენ ვწერთ 1 (ათეულს), გვახსოვს ასობით (1);
- ვინაიდან მაგალითში არ გვაქვს დამატებითი ციფრები, ჩვენ ვწერთ ასეულებს (1 - რაც დაიმახსოვრა).
შემდეგი ნაბიჯი არის მეორე ციფრის გამრავლება (ათეული ადგილი):
ვინაიდან რიცხვზე გავამრავლეთ ათეულების ადგილიდან, დავიწყებთ წერას იმავე გზით, ბოლოდან, მარჯვნივ მეორე ადგილიდან (სადაც ათეულების ადგილია).
1. უნდა ჩაწეროთ გამრავლება სვეტში ციფრებით;
2. ერთეულებიდან დაწყებული გამოთვლების გაკეთება;
3. ჩაწერეთ ჯამი ციფრებით - თუ გავამრავლებთ ფიგურაზე ერთეულების რანგიდან - ჩაწერას ვიწყებთ ბოლო სვეტიდან, რიგიდან - ათეულებიდან - ამ სვეტიდან და ვაწარმოებთ ჩანაწერს.
წესი, რომელიც ვრცელდება სვეტში ორნიშნა რიცხვზე გამრავლებაზე, ასევე ეხება რიცხვებს დიდი რაოდენობითგამონადენები.
გამრავლების მაგალითების დაწერის წესების გასაადვილებლად მრავალნიშნა რიცხვებისვეტში შეგიძლიათ გააკეთოთ ბარათები ხაზგასმით სხვადასხვა ფერებისხვადასხვა წოდებები.
თუ რიცხვები მრავლდება სვეტში ბოლოში ნულებით, ისინი არ მიიღება ანგარიშში და ჩანაწერი ინახება ისე, რომ მნიშვნელოვანი ფიგურაიყო აღმნიშვნელის ქვეშ, ხოლო ნულები მარჯვნივ რჩება. გამოთვლების შემდეგ მათი რიცხვი ემატება მარჯვნივ:
მათემატიკოსმა იაკოვ ტრახტენბერგმა შეიმუშავა სწრაფი დათვლის სისტემა. ტრახტენბერგის მეთოდი აადვილებს გამრავლებას, თუ გამოიყენება გამოთვლების გარკვეული სისტემა. მაგალითად, გამრავლება 11-ზე. შედეგის მისაღებად, თქვენ უნდა დაამატოთ რიცხვი შემდეგს:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
ჭეშმარიტების დამტკიცება მარტივია: 11 = 10 + 1
2.253 x 10 + 2.253 = 22.530 + 2.253 = 24.783.
გაანგარიშების ალგორითმები სხვადასხვა რიცხვისთვის განსხვავებულია, მაგრამ ისინი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად განახორციელოთ გამოთვლები.
ვიდეო "სვეტების გამრავლება"
მრავალნიშნა რიცხვების გაყოფა
სვეტებზე დაყოფა შეიძლება ბავშვებისთვის რთული ჩანდეს, მაგრამ ალგორითმის დამახსოვრება რთული არ არის. განვიხილოთ მრავალნიშნა რიცხვების გაყოფა ერთნიშნა:
215: 5 = ?
გაანგარიშება იწერება შემდეგნაირად: 
გამყოფის ქვეშ დავწერთ შედეგს. გაყოფა ხდება შემდეგნაირად: დივიდენდის ყველაზე მარცხენა ციფრს ვადარებთ გამყოფს: 2 ნაკლებია 5-ზე, 2-ს ვერ გავყოფთ 5-ზე, ამიტომ ვიღებთ კიდევ ერთ ციფრს: 21 მეტია 5-ზე, გაყოფისას გამოდის. : 20: 5 = 4 (დარჩენილი 1)
შედეგად ნაშთს ვანგრევთ შემდეგ ფიგურას: მივიღებთ 15. 15 არის 5-ზე მეტი, ვყოფთ: 15: 5 = 3.
გამოსავალი ასე გამოიყურება:
ასე ხდება გაყოფა ნარჩენების გარეშე. იმავე ალგორითმის მიხედვით, სვეტად დაყოფა ნაშთით ხორციელდება მხოლოდ იმ განსხვავებით, რომ ქ ბოლო შესვლაეს იქნება არა ნული, არამედ დარჩენილი.
თუ საჭიროა სვეტის სამნიშნა რიცხვების ორნიშნა რიცხვის გაყოფა, პროცედურა იგივე იქნება, რაც ერთნიშნა რიცხვზე გაყოფისას.
აქ მოცემულია გაყოფის რამდენიმე მაგალითი:
ანალოგიურად, გამოთვლა ხორციელდება მრავალნიშნა რიცხვის გაყოფისას ნაშთით ორნიშნა რიცხვზე: 853: 15 = 50 და (3) ნაშთი. 
ყურადღება მიაქციეთ ამ ჩანაწერს: თუ შუალედური გამოთვლებიშედეგი არის 0, მაგრამ მაგალითი ბოლომდე არ არის ამოხსნილი, ნული არ იწერება, მაგრამ შემდეგი ციფრი მაშინვე იშლება და გაანგარიშება გრძელდება.
ეს დაგეხმარებათ ვისწავლოთ ვიდეო გაკვეთილის სვეტში მრავალნიშნა რიცხვების გაყოფის წესები. ალგორითმის დამახსოვრების შემდეგ და გამოთვლების ჩაწერის თანმიმდევრობის დაცვით, მე-4 კლასში სვეტში გამრავლებისა და გაყოფის მაგალითები აღარ გამოიყურება ასე რთული.
Მნიშვნელოვანი! მიჰყევით ჩანაწერს: ციფრები უნდა ჩაიწეროს ციფრების ქვეშ, სვეტში.
ვიდეო "გაყოფა სვეტში"
თუ მე-2 კლასში ბავშვმა ისწავლა გამრავლების ცხრილი, გამრავლებისა და გაყოფის მაგალითები ორნიშნა ან სამნიშნა რიცხვიმე-4 კლასის მათემატიკის გაკვეთილებზე მას რაიმე სირთულე არ შეუქმნის.
www.razvitiedetei.info
გამრავლებისა და გაყოფის წესები
გამრავლების ცხრილის შესწავლის შემდეგ მოსწავლეებს უხსნიან გამრავლებისა და გაყოფის წესებს, ასწავლიან მათ გამოყენებას მათემატიკური გამოთვლების გამოთვლისას.
რა არის გამრავლება? ჭკვიანი დამატებაა
რიცხვების შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფისას მარტივი გამონათქვამებიბავშვებს არ აქვთ სირთულეები:
ასეთ გამოთვლებში თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ შეკრების და გამოკლების წესები და გამრავლების ცხრილი.
როცა მეტი დაიწყება კომპლექსური ვარჯიშებიმაგალითები შედგება ორი ან მეტი მოქმედებისგან და ფრჩხილებშიც კი ბავშვებს აქვთ შეცდომები ამოხსნისას. და მთავარი ის არის არასწორი შეკვეთამოქმედებები.
Რა განსხვავებაა?
მართლაც, არის თუ არა ეს ასე მნიშვნელოვანი - მაგალითში რომელი მოქმედება უნდა შეასრულოთ ჯერ, რომელი მეორე?
თუ ნაბიჯებს თანმიმდევრობით შევასრულებთ, მივიღებთ:
მივიღეთ ორი განსხვავებული პასუხი. მაგრამ ეს ასე არ უნდა იყოს, ამიტომ მნიშვნელოვანია მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა. მით უმეტეს, თუ გამონათქვამი შეიცავს ფრჩხილებს:
ჩვენ ვცდილობთ მისი გადაჭრას ორი გზით:
პასუხები განსხვავებულია და მოქმედებების თანმიმდევრობის დასადგენად გამოთქმაში არის ფრჩხილები - ისინი აჩვენებენ, თუ რომელი მოქმედება უნდა შესრულდეს პირველი. ასე რომ, სწორი გამოსავალი იქნება:
მაგალითში პასუხის სხვა გამოსავალი არ უნდა იყოს.
რომელი უფრო მნიშვნელოვანია, გამრავლება თუ შეკრება?
მაგალითების ამოხსნისას
მოაწყეთ მოქმედების კურსი.
გამრავლება ან გაყოფა - პირველ რიგში.
გამონათქვამებისთვის, რომლებშიც არ არის შეკრება ან გამოკლება, არამედ გამრავლება ან გაყოფა, მოქმედებს იგივე წესი: რიცხვებით ყველა ოპერაცია შესრულებულია თანმიმდევრობით, დაწყებული მარცხნიდან:
უფრო რთული შემთხვევაა, როდესაც გამრავლება ან გაყოფა შეკრებით ან გამოკლებით ხდება ერთ ამოცანაში. მაშინ როგორია გამოთვლების თანმიმდევრობა?
თუ თქვენ შეასრულებთ ყველა ნაბიჯს თანმიმდევრობით, ჯერ გაყოფა, შემდეგ დამატება. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
ასე რომ, მაგალითი სწორია. რა მოხდება, თუ ის შეიცავს ფრჩხილებს?
ფრჩხილებში ჩადებულ ყველაფერს ყოველთვის უპირატესობა ენიჭება.ამიტომაც დგანან გამოთქმაში. აქედან გამომდინარე, გამოთვლების თანმიმდევრობა მსგავსი გამონათქვამებიიქნება შემდეგი:
მაგალითი:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
და რა იქნება პრიორიტეტი: გამრავლება - ან გაყოფა, გამოკლება - თუ შეკრება, თუ ორივე მოქმედება ხდება ამოცანაში? არაფერი, თანაბარია, ამ შემთხვევაში მოქმედებს პირველი წესი - მოქმედებები სრულდება ერთმანეთის მიყოლებით, მარცხნიდან დაწყებული.
გამონათქვამის ამოხსნის ალგორითმი:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
პასუხი: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Მნიშვნელოვანი! თუ გამოხატულება შეიცავს ასოებს, პროცედურა იგივე რჩება.
ნულოვანი რაუნდი ძალიან ლამაზია
მაგრამ ეს არაფერს ნიშნავს.
მაგალითებში ნული არ არის რიცხვი, მაგრამ ეს შეიძლება იყოს გარკვეული შუალედური მოქმედების შედეგი, მაგალითად:
0-ზე გამრავლებისას წესი ამბობს, რომ შედეგი ყოველთვის იქნება 0. რატომ? ეს შეიძლება მარტივად აიხსნას: რა არის გამრავლება? ეს არის იგივე რიცხვი, რამდენჯერმე დაემატა თავის ტიპს. წინააღმდეგ შემთხვევაში:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
0-ზე გაყოფა უაზროა და ნულის ნებისმიერ რიცხვზე გაყოფა ყოველთვის მიგვიყვანს 0-ზე:
0: 5 = 0.
გაიხსენეთ სხვა არითმეტიკული მოქმედებები ნულით:
გამრავლება და გაყოფა ერთზე
მათემატიკური მოქმედებები ერთით განსხვავდება ოპერაციებისგან ნულთან. როდესაც რიცხვი მრავლდება ან იყოფა 1-ზე, თავად საწყისი რიცხვი მიიღება:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
რა თქმა უნდა, თუ გყავთ 7 მეგობარი და თითოეულმა მოგცათ ტკბილეული, გექნებათ 7 კანფეტი, და თუ მათ შეჭამთ მარტო, ანუ მხოლოდ საკუთარ თავს გააზიარეთ, მაშინ ყველა მათგანი თქვენს კუჭში აღმოჩნდა.
გამოთვლები წილადებით, სიმძლავრით და რთული ფუნქციებით
ის რთული შემთხვევებიგამოთვლები, რომლებიც არ ვრცელდება დაწყებით სკოლაში.
გამრავლება მარტივი წილადებიერთმანეთი არ არის რთული, საკმარისია მხოლოდ მრიცხველი გავამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე.
მაგალითი:
შემცირების შემდეგ ვიღებთ: \(\) = \(\).
მარტივი წილადების დაყოფა არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. საკმარისია პრობლემის გარდაქმნა - მაგალითში გადაქცევა გამრავლებით. ამის გაკეთება მარტივია - თქვენ უნდა გადაატრიალოთ წილადი ისე, რომ მნიშვნელი გახდეს მრიცხველი, ხოლო მრიცხველი გახდეს მნიშვნელი.
მაგალითი:
თუ პრობლემაში ხვდება რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია სიმძლავრის სახით, მისი მნიშვნელობა გამოითვლება ყველა დანარჩენზე ადრე (შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ, რომ ის ჩასმულია ფრჩხილებში - და მოქმედებები ფრჩხილებში შესრულებულია ჯერ).
მაგალითი:
გამრავლების მოქმედებით ხარისხად წარმოდგენილი რიცხვის რეგულარულ გამოხატულებად გადაქცევით, მაგალითის ამოხსნა მარტივი აღმოჩნდა: ჯერ გამრავლება, შემდეგ გამოკლება (რადგან ფრჩხილებშია) და გაყოფა.
ვინაიდან ასეთი ფუნქციები შესწავლილია მხოლოდ ფარგლებში უმაღლესი სკოლა, ჩვენ არ განვიხილავთ მათ, საკმარისია მხოლოდ იმის თქმა, რომ, როგორც ძალაუფლების შემთხვევაში, მათ აქვთ პრიორიტეტი გამოთვლაში: ჯერ იპოვება ამ გამოხატვის მნიშვნელობა, შემდეგ გამოთვლის რიგი ნორმალურია - ფრჩხილებში, გამრავლება. გაყოფა, შემდეგ თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ.
თემის ძირითადი წესები
მაიორზე და მინორზეა საუბარი მათემატიკური ოპერაციები, უნდა ითქვას, რომ ოთხი ძირითადი ოპერაცია შეიძლება შემცირდეს ორამდე: შეკრება და გამრავლება. თუ გამოკლება და გაყოფა სკოლის მოსწავლეებს რთულად ეჩვენებათ, მათ უფრო სწრაფად ახსოვთ შეკრებისა და გამრავლების წესები. მართლაც, გამოთქმა 5 - 2 შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:
გამრავლების შემთხვევაში გამოიყენება მიმატების თვისებების მსგავსი წესები: პროდუქტი არ შეიცვლება ფაქტორების გადალაგებიდან:
როცა გადაწყვეტს რთული ამოცანებიპირველი მოქმედება არის ფრჩხილებში მონიშნული, შემდეგ გაყოფა ან გამრავლება, შემდეგ ყველა სხვა მოქმედება თანმიმდევრობით.
როდესაც მაგალითების ამოხსნა გჭირდებათ ფრჩხილების გარეშე, ჯერ ხდება გამრავლება ან გაყოფა, შემდეგ გამოკლება ან შეკრება.
მთელი რიცხვების გამრავლება და გაყოფა
მთელი რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას გამოიყენება რამდენიმე წესი. AT ეს გაკვეთილიჩვენ გადავხედავთ თითოეულ მათგანს.
მთელი რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას ყურადღება მიაქციეთ რიცხვების ნიშნებს. მათზე იქნება დამოკიდებული რომელი წესი გამოიყენონ. თქვენ ასევე უნდა ისწავლოთ გამრავლებისა და გაყოფის რამდენიმე კანონი. ამ წესების შესწავლა დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ უხერხული შეცდომები მომავალში.
გამრავლების კანონები
მათემატიკის ზოგიერთი კანონი განვიხილეთ გაკვეთილზე მათემატიკის კანონები. მაგრამ ჩვენ არ განვიხილავთ ყველა კანონს. მათემატიკაში ბევრი კანონია და გონივრული იქნება მათი თანმიმდევრობით შესწავლა საჭიროებისამებრ.
ჯერ გავიხსენოთ რისგან შედგება გამრავლება. გამრავლება შედგება სამი პარამეტრი: მრავლდება, მულტიპლიკატორიდა მუშაობს. მაგალითად, გამონათქვამში 3 × 2 = 6, რიცხვი 3 არის მამრავლი, რიცხვი 2 არის მამრავლი და რიცხვი 6 არის ნამრავლი.
მრავლობითიგვიჩვენებს, თუ რას ვიმატებთ. ჩვენს მაგალითში ჩვენ გავზრდით რიცხვს 3.
ფაქტორიგვიჩვენებს რამდენჯერ გჭირდებათ გამრავლების გაზრდა. ჩვენს მაგალითში მამრავლი არის რიცხვი 2. ეს მულტიპლიკატორი გვიჩვენებს რამდენჯერ უნდა გაზარდოთ მამრავლი 3. ანუ გამრავლების ოპერაციის დროს რიცხვი 3 გაორმაგდება.
მუშაობაეს რეალურად გამრავლების ოპერაციის შედეგია. ჩვენს მაგალითში ნამრავლი არის რიცხვი 6. ეს ნამრავლი არის 3-ის 2-ზე გამრავლების შედეგი.
გამოთქმა 3 × 2 ასევე შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი სამეულის ჯამი. მულტიპლიკატორი 2 ინჩი ამ საქმესგაჩვენებთ რამდენჯერ უნდა აიღოთ ნომერი 3:
ამრიგად, თუ ზედიზედ ორჯერ აიღებთ რიცხვს 3, მიიღებთ რიცხვს 6.
გამრავლების კომუტაციური კანონი
მამრავლსა და მამრავლს ერთი ეწოდება საერთო სიტყვა – ფაქტორები. გამრავლების კომუტაციური კანონი ასე გამოიყურება:
ფაქტორების ადგილების პერმუტაციიდან პროდუქტი არ იცვლება.
მოდით შევამოწმოთ ეს ასეა თუ არა. გაამრავლეთ მაგალითად 3 5-ზე. აქ 3 და 5 არის ფაქტორები.
ახლა მოდით გავცვალოთ ფაქტორები:
ორივე შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ პასუხს 15, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ტოლობის ნიშანი გამონათქვამებს შორის 3 × 5 და 5 × 3, რადგან ისინი უდრის იგივე მნიშვნელობას:
და ცვლადების დახმარებით გადაადგილების კანონიგამრავლება შეიძლება დაიწეროს ასე:
სადაც ადა ბ- ფაქტორები
გამრავლების ასოციაციური კანონი
ეს კანონი ამბობს, რომ თუ გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან, მაშინ პროდუქტი არ იქნება დამოკიდებული ოპერაციების თანმიმდევრობაზე.
მაგალითად, გამოხატულება 3 × 2 × 4 შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან. მის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გაამრავლოთ 3 და 2, შემდეგ გაამრავლოთ მიღებული ნამრავლი დარჩენილი რიცხვით 4. ასე გამოიყურება:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
ეს იყო პირველი გამოსავალი. მეორე ვარიანტია გავამრავლოთ 2 და 4, შემდეგ გავამრავლოთ მიღებული ნამრავლი დარჩენილი რიცხვით 3. ასე გამოიყურება:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
ორივე შემთხვევაში ვიღებთ პასუხს 24. მაშასადამე, გამონათქვამებს (3 × 2) × 4 და 3 × (2 × 4) შორის შეგვიძლია დავაყენოთ ტოლობის ნიშანი, რადგან ისინი ტოლია იგივე მნიშვნელობის:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
ხოლო ცვლადების დახმარებით გამრავლების ასოციაციური კანონი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
სადაც ნაცვლად ა, ბ, გშეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი.
გამრავლების განაწილების კანონი
გამრავლების განაწილების კანონი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ ჯამი რიცხვზე. ამისათვის ამ ჯამის თითოეული წევრი მრავლდება ამ რიცხვზე, შემდეგ ემატება შედეგები.
მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა (2 + 3) × 5
ფრჩხილებში გამოხატული არის ჯამი. ეს თანხა უნდა გავამრავლოთ რიცხვზე 5. ამისათვის ამ ჯამის თითოეული წევრი, ანუ რიცხვები 2 და 3, უნდა გავამრავლოთ 5-ზე, შემდეგ დავამატოთ შედეგები:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
ასე რომ, გამოხატვის (2 + 3) × 5 მნიშვნელობა არის 25.
ცვლადების დახმარებით გამრავლების გამანაწილებელი კანონი იწერება შემდეგნაირად:
(a + b) × c = a × c + b × c
სადაც ნაცვლად ა, ბ, გშეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი.
ნულზე გამრავლების კანონი
ეს კანონი ამბობს, რომ თუ რომელიმე გამრავლებაში არის ერთი ნული მაინც, მაშინ პასუხი იქნება ნული.
პროდუქტი ნულოვანია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნული.
მაგალითად, გამოხატულება 0 × 2 არის ნული
ამ შემთხვევაში, რიცხვი 2 არის მულტიპლიკატორი და გვიჩვენებს რამდენჯერ გჭირდებათ გამრავლების გაზრდა. ანუ რამდენჯერ გავზარდოთ ნული. სიტყვასიტყვით, ეს გამოთქმა იკითხება როგორც "ნული ორჯერ გაზრდა". მაგრამ როგორ შეგიძლიათ გააორმაგოთ ნული, თუ ის ნულის ტოლია?
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ "არაფერი" გაორმაგდა, ან თუნდაც მილიონჯერ, ის მაინც "არაფერი" იქნება.
და თუ გამოსახულებაში 0 × 2 გავცვლით ფაქტორებს, ისევ მივიღებთ ნულს. ჩვენ ვიცით ეს წინა გადაადგილების კანონიდან:
ნულზე გამრავლების კანონის გამოყენების მაგალითები:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
ბოლო ორ მაგალითში რამდენიმე ფაქტორია. მათში ნულის დანახვისას, პასუხში მაშინვე ვსვამთ ნულს, ნულზე გამრავლების კანონის გამოყენებით.
ჩვენ განვიხილეთ გამრავლების ძირითადი კანონები. შემდეგი, განიხილეთ მთელი რიცხვების გამრავლება.
მთელი რიცხვის გამრავლება
მაგალითი 1იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −5 × 2
ეს არის რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნები. −5 არის უარყოფითი და 2 დადებითი. ასეთ შემთხვევებში უნდა იქნას გამოყენებული შემდეგი წესი:
სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გასამრავლებლად საჭიროა მათი მოდულების გამრავლება და მიღებულ პასუხამდე დადეთ მინუსი.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
ჩვეულებრივ იწერება მოკლედ: −5 × 2 = −10
ნებისმიერი გამრავლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიცხვების ჯამის სახით. მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 2 × 3. ის უდრის 6-ს.
მულტიპლიკატორი შიგნით მოცემული გამოხატულებაარის რიცხვი 3. ეს მულტიპლიკატორი გვიჩვენებს რამდენჯერ გჭირდებათ ამ ორის გაზრდა. მაგრამ გამოთქმა 2 × 3 ასევე შეიძლება გავიგოთ როგორც სამის ჯამი deuces:
იგივე ხდება გამოსახულებაში −5 × 2. ეს გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჯამის სახით
და გამოთქმა (-5) + (-5) უდრის -10-ს და ეს ვიცით ბოლო გაკვეთილიდან. ეს არის უარყოფითი რიცხვების დამატება. შეგახსენებთ, რომ უარყოფითი რიცხვების დამატების შედეგი არის უარყოფითი რიცხვი.
მაგალითი 2იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 12 × (−5)
ეს არის რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. 12 - დადებითი რიცხვი, (−5) უარყოფითია. კვლავ ვიყენებთ წინა წესს. ვამრავლებთ რიცხვების მოდულებს და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
ჩვეულებრივ უფრო მოკლედ იწერება: 12 × (−5) = −60
მაგალითი 3იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 10 × (−4) × 2
ეს გამოთქმა რამდენიმე ფაქტორისგან შედგება. ჯერ გავამრავლოთ 10 და (−4), შემდეგ მიღებული რიცხვი გავამრავლოთ 2-ზე. გზად გამოიყენეთ ადრე შესწავლილი წესები:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
მეორე მოქმედება:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
ასე რომ, 10 × (−4) × 2 გამოხატვის მნიშვნელობა არის −80
ჩვეულებრივ უფრო მოკლედ იწერება: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
მაგალითი 4იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (−4) × (−2)
ეს არის უარყოფითი რიცხვების გამრავლება. ასეთ შემთხვევებში უნდა მოქმედებდეს შემდეგი წესი:
უარყოფითი რიცხვების გასამრავლებლად საჭიროა მათი მოდულების გამრავლება და მიღებული პასუხის წინ პლუსი.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
გარდა ამისა, ტრადიციულად, ჩვენ არ ვწერთ, ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ ვწერთ პასუხს 8.
ჩვეულებრივ იწერება უფრო მოკლე (−4) × (−2) = 8
ჩნდება კითხვა, უარყოფითი რიცხვების გამრავლებისას რატომ ჩნდება მოულოდნელად დადებითი რიცხვი. შევეცადოთ დავამტკიცოთ, რომ (−4) × (−2) უდრის 8-ს და სხვა არაფერი.
პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ შემდეგ გამონათქვამს:
ჩავსვათ იგი ფრჩხილებში:
ამ გამოსახულებას დავუმატოთ ჩვენი გამონათქვამი (−4) × (−2). ისიც ფრჩხილებში ჩავსვათ:
ამ ყველაფერს ვატოლებთ ნულს:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
ახლა გართობა იწყება. დასკვნა ის არის, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ამ გამოხატვის მარცხენა მხარე და შედეგად მივიღოთ 0.
ასე რომ, პირველი ნამრავლი (4 × (−2)) არის −8. მოდით ჩავწეროთ რიცხვი −8 ჩვენს გამოსახულებაში ნამრავლის ნაცვლად (4 × (−2))
ახლა, მეორე პროდუქტის ნაცვლად, დროებით ვაყენებთ ელიფსისს
ახლა ყურადღებით დავაკვირდეთ გამოთქმას −8 + […] = 0. რა რიცხვი უნდა გამოვიყენოთ ელიფსის ნაცვლად, რომ თანასწორობა დავიცვათ? პასუხი თავისთავად გვთავაზობს. ელიფსის ნაცვლად უნდა იყოს დადებითი რიცხვი 8 და სხვა არა. მხოლოდ ამ გზით შენარჩუნდება თანასწორობა. რადგან −8 + 8 უდრის 0-ს.
ვუბრუნდებით გამოთქმას −8 + ((−4) × (−2)) = 0 და ნამრავლის ნაცვლად ((−4) × (−2)) ვწერთ რიცხვს 8.
მაგალითი 5იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −2 × (6 + 4)
ჩვენ ვიყენებთ გამრავლების კანონს, ანუ ვამრავლებთ რიცხვს −2 ჯამის თითოეულ წევრზე (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
ახლა შევაფასოთ გამონათქვამები ფრჩხილებში. შემდეგ ჩვენ ვამატებთ შედეგებს. გზაში გამოიყენეთ ადრე ნასწავლი წესები. მოდულებით ჩანაწერი შეიძლება გამოტოვოთ ისე, რომ არ მოხდეს გამოთქმა
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
მესამე მოქმედება:
ასე რომ, −2 × (6 + 4) გამოხატვის მნიშვნელობა არის −20
ჩვეულებრივ უფრო მოკლედ იწერება: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
მაგალითი 6იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (−2) × (−3) × (−4)
გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან. ჯერ ვამრავლებთ რიცხვებს -2 და -3 და მიღებული ნამრავლი მრავლდება დარჩენილი რიცხვით -4. ჩვენ გამოვტოვებთ ჩანაწერს მოდულებით, რათა არ მოხდეს გამოთქმის არევა
ასე რომ, (−2) × (−3) × (−4) გამოხატვის მნიშვნელობა არის −24
ჩვეულებრივ უფრო მოკლედ იწერება: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
სამმართველოს კანონები
მთელი რიცხვების გაყოფამდე აუცილებელია გაყოფის ორი კანონის შესწავლა.
პირველ რიგში გავიხსენოთ რისგან შედგება დაყოფა. განყოფილება შედგება სამი პარამეტრისგან: გაყოფადი, გამყოფიდა კერძო. მაგალითად, გამონათქვამში 8: 2 = 4, 8 არის დივიდენდი, 2 არის გამყოფი, 4 არის კოეფიციენტი.
Დივიდენდიზუსტად აჩვენებს რას ვიზიარებთ. ჩვენს მაგალითში ჩვენ ვყოფთ რიცხვს 8.
Გამყოფიგვიჩვენებს რამდენ ნაწილად უნდა გაიყოს დივიდენდი. ჩვენს მაგალითში გამყოფი არის რიცხვი 2. ეს გამყოფი გვიჩვენებს რამდენ ნაწილად უნდა გაიყოს დივიდენდი 8. ანუ გაყოფის ოპერაციის დროს რიცხვი 8 დაიყოფა ორ ნაწილად.
კერძოარის გაყოფის ოპერაციის რეალური შედეგი. ჩვენს მაგალითში კოეფიციენტი არის 4. ეს კოეფიციენტი არის 8-ის 2-ზე გაყოფის შედეგი.
ნულზე გაყოფა არ შეიძლება
ნებისმიერი რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს ნულზე. ეს იმიტომ ხდება, რომ გაყოფა არის გამრავლების ინვერსია. მაგალითად, თუ 2 × 6 = 12, მაშინ 12: 6 = 2
ჩანს, რომ მეორე გამოთქმა დაწერილია საპირისპირო მიზნით.
ახლა ჩვენ იგივეს გავაკეთებთ გამოსახულებისთვის 5 × 0. გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ასე რომ, გამოხატულება 5 × 0 ასევე ნულია
თუ ამ გამოთქმას საპირისპირო მიმდევრობით დავწერთ, მივიღებთ:
პასუხი მაშინვე იპყრობს თვალს არის 5, რაც არის ნულის ნულზე გაყოფის შედეგი. ეს შეუძლებელია და სულელური.
სხვა მსგავსი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს საპირისპირო თანმიმდევრობით, მაგალითად 2 × 0 = 0
პირველ შემთხვევაში ნულის ნულზე გაყოფით მივიღებთ 5-ს, ხოლო მეორე შემთხვევაში 2-ს. ანუ ყოველ ჯერზე ნულის ნულზე გაყოფისას შეგვიძლია მივიღოთ. სხვადასხვა მნიშვნელობა, რაც მიუღებელია.
მეორე ახსნა არის ის, რომ დივიდენდის გამყოფზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას მისცემს დივიდენდს.
მაგალითად, გამოთქმა 8: 2 ნიშნავს იპოვო რიცხვი, რომელიც 2-ზე გამრავლებისას მისცემს 8-ს.
აქ ელიფსის ნაცვლად უნდა იყოს რიცხვი, რომელიც 2-ზე გამრავლებისას იძლევა პასუხს 8. ამ რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ეს გამოთქმა საპირისპირო თანმიმდევრობით დაწეროთ:
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა 5: 0. ამ შემთხვევაში, 5 არის დივიდენდი, 0 არის გამყოფი. 5-ის 0-ზე გაყოფა ნიშნავს იპოვო რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს.
აქ ელიფსის ნაცვლად უნდა იყოს რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას იძლევა პასუხს 5. მაგრამ არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ნულზე გამრავლებისას იძლევა 5-ს.
გამოთქმა […] × 0 = 5 ეწინააღმდეგება ნულზე გამრავლების კანონს, რომელიც ამბობს, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.
ასე რომ, გამოთქმის […] × 0 = 5 საპირისპირო თანმიმდევრობით დაწერა, 5-ის 0-ზე გაყოფა აზრი არ აქვს. ამიტომ ამბობენ, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.
ცვლადების გამოყენება ეს კანონიიწერება შემდეგნაირად:
ზე ბ ≠ 0
ნომერი აშეიძლება დაიყოს რიცხვზე ბ, იმ პირობით, რომ ბარ არის ნულის ტოლი.
კერძო საკუთრება
ეს კანონი ამბობს, რომ თუ დივიდენდი და გამყოფი გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე, მაშინ კოეფიციენტი არ შეიცვლება.
მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 12: 4. ამ გამოხატვის მნიშვნელობა არის 3
შევეცადოთ გავამრავლოთ დივიდენდი და გამყოფი ერთსა და იმავე რიცხვზე, მაგალითად, რიცხვზე 4. თუ დავაჯერებთ კოეფიციენტის თვისებას, პასუხში კვლავ უნდა მივიღოთ რიცხვი 3.
(12×4) : (4×4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3
ახლა ვცადოთ არა გავამრავლოთ, არამედ დივიდენდი და გამყოფი გავყოთ რიცხვზე 4-ზე
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
მიიღო პასუხი 3.
ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ დივიდენდი და გამყოფი გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე, მაშინ კოეფიციენტი არ იცვლება.
მთელი რიცხვების დაყოფა
მაგალითი 1იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 12: (−2)
ეს არის რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. 12 დადებითი რიცხვია, (−2) უარყოფითი. ასეთ შემთხვევებში საჭიროა
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
ჩვეულებრივ იწერება 12-ზე მოკლედ: (−2) = −6
მაგალითი 2იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა −24: 6
ეს არის რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. −24 არის უარყოფითი, 6 დადებითი. ასეთ შემთხვევებში ისევ გაყავით დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე და მიღებული პასუხის წინ დაადეთ მინუს ნიშანი.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
ჩვეულებრივ იწერება -24-ზე მოკლე: 6 = -4
მაგალითი 3იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (−45) : (−5)
ეს არის უარყოფითი რიცხვების დაყოფა. ასეთ შემთხვევებში საჭიროა გაყავით დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე და მიღებული პასუხის წინ დადეთ პლუს ნიშანი.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
ჩვეულებრივ იწერება უფრო მოკლე (−45) : (−5) = 9
მაგალითი 4იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (−36) : (−4) : (−3)
ოპერაციების თანმიმდევრობის მიხედვით, თუ გამოხატულება შეიცავს მხოლოდ გამრავლებას ან გაყოფას, მაშინ ყველა მოქმედება უნდა შესრულდეს მარცხნიდან მარჯვნივ იმ თანმიმდევრობით, რომელშიც ისინი გამოჩნდება.
გავყოთ (−36) (−4-ზე) და მიღებული რიცხვი გავყოთ (−3-ზე)
პირველი მოქმედება:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
ჩვეულებრივ იწერება უფრო მოკლე (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოგვიერთდით ახალი ჯგუფი Vkontakte და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ
სკოლიდან ყველას ახსოვს, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება. ახალგაზრდა სტუდენტებს არასოდეს ეუბნებიან, რატომ არ უნდა გააკეთონ ეს. ისინი უბრალოდ სთავაზობენ ამას თავისთავად მიიჩნიონ სხვა აკრძალვებთან ერთად, როგორიცაა: „არ შეიძლება თითების ჩასმა ბუდეებში“ ან „სულელური კითხვების დასმა უფროსებს“.
რიცხვი 0 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთგვარი საზღვარი, რომელიც ყოფს რეალური რიცხვების სამყაროს წარმოსახვითი ან უარყოფითიდან. ორაზროვანი პოზიციის გამო, ამ რიცხვითი მნიშვნელობის მრავალი ოპერაცია არ ემორჩილება მათემატიკურ ლოგიკას. ნულზე გაყოფის შეუძლებლობა ამის ნათელი მაგალითია. და დაშვებული არითმეტიკული ოპერაციები ნულთან შეიძლება შესრულდეს ზოგადად მიღებული განმარტებების გამოყენებით.
ნულზე გაყოფის შეუძლებლობის ალგებრული ახსნა
ალგებრულად ნულზე გაყოფა არ შეიძლება, რადგან აზრი არ აქვს. ავიღოთ ორი თვითნებური რიცხვი a და b და გავამრავლოთ ნულზე. a × 0 არის ნული და b × 0 არის ნული. გამოდის, რომ a × 0 და b × 0 ტოლია, რადგან ნამრავლი ორივე შემთხვევაში ნულის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება: 0 × a = 0 × b. ახლა დავუშვათ, რომ შეგვიძლია გავყოთ ნულზე: განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ ნულზე და მივიღებთ, რომ a = b. გამოდის, რომ თუ დავუშვებთ გაყოფის მოქმედებას ნულზე, მაშინ ყველა რიცხვი ერთნაირია. მაგრამ 5 არ არის 6-ის ტოლი და 10 არ არის ½-ის ტოლი. ჩნდება გაურკვევლობა, რომლის შესახებაც მასწავლებლებს ურჩევნიათ არ უთხრან ცნობისმოყვარე დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებს.
არის 0:0 ოპერაცია?
მართლაც, თუ 0-ზე გამრავლების ოპერაცია ლეგალურია, შეიძლება ნულის გაყოფა ნულზე? ყოველივე ამის შემდეგ, 0x5=0 ფორმის განტოლება საკმაოდ კანონიერია. რიცხვის 5-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დააყენოთ 0, აქედან პროდუქტი არ შეიცვლება. მართლაც, 0x0=0. მაგრამ მაინც ვერ გაყოფთ 0-ზე. როგორც ითქვა, გაყოფა არის მხოლოდ გამრავლების ინვერსია. ამრიგად, თუ მაგალითში 0x5=0, თქვენ უნდა განსაზღვროთ მეორე ფაქტორი, მივიღებთ 0x0=5. ან 10. ან უსასრულობა. უსასრულობის გაყოფა ნულზე - როგორ მოგწონთ? მაგრამ თუ რომელიმე რიცხვი ჯდება გამოთქმაში, მაშინ აზრი არ აქვს, რიცხვთა უსასრულო სიმრავლიდან ერთს ვერ ავირჩევთ. და თუ ასეა, ეს ნიშნავს, რომ გამოთქმას 0:0 აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ თვით ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე.
ნულზე გაყოფის შეუძლებლობის ახსნა მათემატიკური ანალიზის თვალსაზრისით
საშუალო სკოლაში სწავლობენ ლიმიტების თეორიას, სადაც ასევე საუბარია ნულზე გაყოფის შეუძლებლობაზე. ეს რიცხვი იქ ინტერპრეტირებულია, როგორც „განუსაზღვროდ განუსაზღვრელი ვადით მცირე ღირებულება". ასე რომ, თუ განვიხილავთ განტოლებას 0 × X = 0 ამ თეორიის ფარგლებში, აღმოვაჩენთ, რომ X ვერ მოიძებნება, რადგან ამისათვის ჩვენ უნდა გავყოთ ნული ნულზე. და ამას ასევე არავითარი აზრი არ აქვს, ვინაიდან დივიდენდიც და გამყოფიც ამ შემთხვევაში განუსაზღვრელი სიდიდეებია, შესაბამისად, შეუძლებელია დასკვნის გაკეთება მათი თანასწორობის ან უთანასწორობის შესახებ.
როდის შეიძლება გაყოფა ნულზე?
სკოლის მოსწავლეებისგან განსხვავებით, ტექნიკური უნივერსიტეტების სტუდენტებს შეუძლიათ ნულზე გაყოფა. ოპერაცია, რომელიც შეუძლებელია ალგებრაში, შეიძლება შესრულდეს მათემატიკური ცოდნის სხვა სფეროებში. ახლები აქვთ დამატებითი პირობებიამოცანები, რომლებიც ამ მოქმედების საშუალებას იძლევა. ნულზე გაყოფა შესაძლებელი იქნება მათთვის, ვინც მოისმენს ლექციების კურსს არასტანდარტულ ანალიზზე, შეისწავლის დირაკის დელტას ფუნქციას და გაეცნობა გაფართოებულ კომპლექსურ სიბრტყეს.
ნულის ისტორია
ნული არის მითითების წერტილი ყველა სტანდარტული რიცხვების სისტემაში. ევროპელების მიერ რიცხვის გამოყენება შედარებით გვიანდელია, მაგრამ ძველი ინდოეთის ბრძენები ნულს იყენებდნენ ათასი წლის განმავლობაში, სანამ ცარიელ რიცხვს რეგულარულად იყენებდნენ ევროპელი მათემატიკოსები. ინდიელებამდეც კი, ნული იყო სავალდებულო მნიშვნელობა მაიას რიცხვითი სისტემაში. ეს ამერიკელი ხალხი იყენებდა თორმეტგოჯა ნაწლავის სისტემას და ყოველი თვის პირველ დღეს იწყებდნენ ნულით. საინტერესოა, რომ მაიას შორის „ნულოვანი“ ნიშანი მთლიანად ემთხვეოდა „უსასრულობის“ ნიშანს. ამრიგად, ძველმა მაიამ დაასკვნა, რომ ეს რაოდენობები იდენტური და შეუცნობელი იყო.
უმაღლესი მათემატიკა
ნულზე გაყოფა თავის ტკივილია საშუალო სკოლის მათემატიკისთვის. ტექნიკურ უნივერსიტეტებში შესწავლილი მათემატიკური ანალიზი ოდნავ აფართოებს ამოცანების კონცეფციას, რომლებსაც არ აქვთ გადაწყვეტა. მაგალითად, უკვე ცნობილ გამოსახულებას 0:0 ემატება ახლები, რომლებსაც არ აქვთ ამონახსნი სასკოლო მათემატიკის კურსებში: უსასრულობა გაყოფილი უსასრულობაზე: ∞:∞; უსასრულობა მინუს უსასრულობა: ∞−∞; უსასრულო სიმძლავრემდე ამაღლებული ერთეული: 1∞; უსასრულობა გამრავლებული 0-ზე: ∞*0; ზოგიერთი სხვა.
ასეთი გამონათქვამების ამოხსნა ელემენტარული მეთოდებით შეუძლებელია. მაგრამ უმაღლესი მათემატიკა, მრავალი მსგავსი მაგალითის დამატებითი შესაძლებლობების წყალობით, იძლევა საბოლოო ამონახსნებს. ეს განსაკუთრებით აშკარაა ლიმიტების თეორიიდან ამოცანების განხილვისას.
გაურკვევლობის გამჟღავნება
ლიმიტების თეორიაში მნიშვნელობა 0 იცვლება პირობითი უსასრულო ცვლადით. და გამონათქვამები, რომლებშიც გაყოფა ნულზე მიიღება სასურველი მნიშვნელობის ჩანაცვლებისას, გარდაიქმნება.
ქვემოთ მოცემულია ლიმიტის გაფართოების სტანდარტული მაგალითი ჩვეულებრივი ალგებრული გარდაქმნების გამოყენებით: როგორც მაგალითში ხედავთ, წილადის მარტივი შემცირება მის მნიშვნელობას სრულიად რაციონალურ პასუხამდე მოაქვს.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების საზღვრების განხილვისას, მათი გამონათქვამები მცირდება პირველ შესანიშნავ ზღვარამდე. იმ ზღვრების განხილვისას, რომლებშიც მნიშვნელი მიდის 0-მდე ლიმიტის ჩანაცვლებისას, გამოიყენება მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი.
L'Hopital მეთოდი
ზოგიერთ შემთხვევაში, გამონათქვამების საზღვრები შეიძლება შეიცვალოს მათი წარმოებულების ლიმიტით. გიომ ლოპიტალი - ფრანგი მათემატიკოსი, ფრანგული მათემატიკური ანალიზის სკოლის დამფუძნებელი. მან დაამტკიცა, რომ გამონათქვამების საზღვრები ტოლია ამ გამონათქვამების წარმოებულების საზღვრებთან.
მათემატიკური აღნიშვნით მისი წესი ასეთია.
