ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. სიტყვა fractal მომდინარეობს ლათინური fractus-დან და თარგმანში ნიშნავს ფრაგმენტებისგან შემდგარს. იგი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრიის" გამოქვეყნებასთან. სამეცნიერო შედეგებისხვა მეცნიერები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი). მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი მუშაობის გაერთიანება ერთ სისტემაში.
ფრაქტალების როლი კომპიუტერულ გრაფიკაში დღეს საკმაოდ დიდია. ისინი მოდიან სამაშველოში, მაგალითად, როდესაც საჭიროა, რამდენიმე კოეფიციენტის დახმარებით, ძალიან ხაზები და ზედაპირები დააყენონ. რთული ფორმა. კომპიუტერული გრაფიკის თვალსაზრისით, ფრაქტალის გეომეტრია შეუცვლელია ხელოვნური ღრუბლების, მთებისა და ზღვის ზედაპირის წარმოქმნისთვის. ფაქტობრივად, იპოვეს გზა, რომლითაც ადვილად წარმოადგენენ რთულ არაევკლიდეს ობიექტებს, რომელთა გამოსახულებები ძალიან ჰგავს ბუნებრივებს.
ფრაქტალების ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა თვითმსგავსება. ძალიან მარტივი შემთხვევაფრაქტალის მცირე ნაწილი შეიცავს ინფორმაციას მთელი ფრაქტალის შესახებ. მანდელბროტის მიერ მოცემული ფრაქტალის განმარტება ასეთია: „ფრაქტალი არის სტრუქტურა, რომელიც შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც გარკვეული გაგებით ჰგავს მთლიანს“.

მათემატიკური ობიექტების დიდი რაოდენობაა ფრაქტალები (სიერპინსკის სამკუთხედი, კოხის ფიფქია, პეანოს მრუდი, მანდელბროტის ნაკრები და ლორენცის მიმზიდველები). ფრაქტალები დიდი სიზუსტით აღწერს რეალური სამყაროს ბევრ ფიზიკურ მოვლენას და წარმონაქმნს: მთებს, ღრუბლებს, მღელვარე (მორევის) დინებებს, ფესვებს, ხეების ტოტებსა და ფოთლებს, სისხლძარღვებს, რაც შორს არის მარტივი გეომეტრიული ფორმების შესაბამისი. პირველად ბენუა მანდელბროტმა ისაუბრა ჩვენი სამყაროს ფრაქტალურ ბუნებაზე თავის მთავარ ნაშრომში "ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია".
ტერმინი ფრაქტალი შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1977 წელს თავის ფუნდამენტურ ნაშრომში "ფრაქტალები, ფორმა, ქაოსი და განზომილება". მანდელბროტის თქმით, სიტყვა ფრაქტალი მომდინარეობს ლათინური სიტყვებისგან fractus - fractional და frangere - break, რაც ასახავს ფრაქტალის არსს, როგორც "გატეხილი", არარეგულარული ნაკრები.

ფრაქტალების კლასიფიკაცია.

იმისათვის, რომ წარმოვადგინოთ ფრაქტალების მთელი მრავალფეროვნება, მოსახერხებელია მივმართოთ მათ ზოგადად მიღებულ კლასიფიკაციას. არსებობს ფრაქტალების სამი კლასი.

1. გეომეტრიული ფრაქტალები.

ამ კლასის ფრაქტალები ყველაზე აშკარაა. ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ისინი მიიღება პოლიხაზის (ან ზედაპირის სამგანზომილებიან შემთხვევაში) გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება გენერატორი. ალგორითმის ერთ საფეხურში თითოეული სეგმენტი, რომელიც ქმნიან გაწყვეტილ ხაზს, ჩანაცვლებულია გატეხილი ხაზის გენერატორით შესაბამისი მასშტაბით. ამ პროცედურის გაუთავებელი გამეორების შედეგად მიიღება გეომეტრიული ფრაქტალი.

განვიხილოთ, მაგალითად, ერთ-ერთი ასეთი ფრაქტალური ობიექტი - კოხის ტრიადული მრუდი.

ტრიადული კოხის მრუდის აგება.

ავიღოთ 1 სიგრძის სწორი ხაზის სეგმენტი. მოდით ვუწოდოთ მას თესლი. თესლს ვყოფთ სამ თანაბარ ნაწილად 1/3 სიგრძით, გადააგდეთ შუა ნაწილიდა შეცვალეთ იგი გატეხილი ხაზით ორი ბმული სიგრძით 1/3.

ვიღებთ გაწყვეტილ ხაზს, რომელიც შედგება 4 ბმულისაგან, რომელთა საერთო სიგრძეა 4/3, - ე.წ. პირველი თაობა.

კოხის მრუდის შემდეგ თაობაზე გადასასვლელად აუცილებელია თითოეული რგოლის შუა ნაწილის გაუქმება და შეცვლა. შესაბამისად, მეორე თაობის სიგრძე იქნება 16/9, მესამე - 64/27. თუ ამ პროცესს უსასრულობამდე გააგრძელებთ, შედეგი იქნება ტრიადული კოხის მრუდი.

ახლა განვიხილოთ წმინდა ტრიადული კოხის მრუდი და გავარკვიოთ, რატომ ეძახდნენ ფრაქტალებს "მონსტრები".

ჯერ ერთი, ამ მრუდს სიგრძე არ აქვს - როგორც ვნახეთ, თაობების რაოდენობასთან ერთად მისი სიგრძე უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.

მეორეც, შეუძლებელია ამ მრუდის ტანგენტის აგება - მისი ყოველი წერტილი არის დახრის წერტილი, რომელშიც წარმოებული არ არსებობს - ეს მრუდი არ არის გლუვი.

სიგრძე და სიგლუვე არის მრუდების ფუნდამენტური თვისებები, რომლებიც შესწავლილია როგორც ევკლიდეს გეომეტრიით, ასევე ლობაჩევსკის და რიმანის გეომეტრიით. ტრიადული კოხის მრუდისკენ ტრადიციული მეთოდებიგეომეტრიული ანალიზი გამოუსადეგარი აღმოჩნდა, ამიტომ კოხის მრუდი აღმოჩნდა ურჩხული - "მონსტრი" ტრადიციული გეომეტრიების გლუვ მცხოვრებთა შორის.

"დრაკონის" ჰარტერ-ჰატევეის მშენებლობა.

კიდევ ერთი ფრაქტალის ობიექტის მისაღებად, თქვენ უნდა შეცვალოთ კონსტრუქციის წესები. გამომამუშავებელი ელემენტი იყოს ორი თანაბარი სეგმენტიდაკავშირებულია მარჯვენა კუთხით. ნულოვანი თაობის დროს ჩვენ ვცვლით ერთეულის სეგმენტს ამ წარმომქმნელი ელემენტით ისე, რომ კუთხე ზევით იყოს. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ასეთი ჩანაცვლებით ხდება ბმულის შუაში ცვლა. შემდეგი თაობების აგებისას სრულდება წესი: მარცხნივ პირველივე ბმული ჩანაცვლებულია გენერატორით ისე, რომ რგოლის შუა გადაადგილდეს მოძრაობის მიმართულებიდან მარცხნივ და ჩანაცვლებისას. შემდეგი ბმულები, სეგმენტების შუა წერტილების გადაადგილების მიმართულებები უნდა იცვლებოდეს. ნახატზე ნაჩვენებია ზემოთ აღწერილი პრინციპის მიხედვით აგებული მრუდის პირველი რამდენიმე თაობა და მე-11 თაობა. მრუდს n-ით უსასრულობისკენ მიდრეკილი ჰარტერ-ჰატევეის დრაკონი ეწოდება.
კომპიუტერულ გრაფიკაში ხეების და ბუჩქების გამოსახულების მიღებისას აუცილებელია გეომეტრიული ფრაქტალების გამოყენება. ორგანზომილებიანი გეომეტრიული ფრაქტალები გამოიყენება სამგანზომილებიანი ტექსტურების შესაქმნელად (ნიმუშები საგნის ზედაპირზე).

2. ალგებრული ფრაქტალები

ეს არის ყველაზე დიდი ჯგუფიფრაქტალები. ისინი მიიღება არაწრფივი პროცესების გამოყენებით n-განზომილებიან სივრცეებში. ორგანზომილებიანი პროცესები ყველაზე შესწავლილია. არაწრფივი განმეორებითი პროცესის დისკრეტულ დინამიურ სისტემად ინტერპრეტაციისას, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ სისტემების თეორიის ტერმინოლოგია: ფაზური პორტრეტი, სტაბილური მდგომარეობის პროცესი, მიმზიდველი და ა.შ.
ცნობილია, რომ არაწრფივი დინამიკური სისტემების რამდენიმე სტაბილური მდგომარეობაა. სახელმწიფო რომელშიც იყო დინამიური სისტემაგარკვეული რაოდენობის გამეორების შემდეგ, დამოკიდებულია მის საწყის მდგომარეობაზე. ამრიგად, თითოეულ სტაბილურ მდგომარეობას (ან, როგორც ამბობენ, მიმზიდველს) აქვს საწყისი მდგომარეობის გარკვეული არეალი, საიდანაც სისტემა აუცილებლად მოხვდება განხილულ საბოლოო მდგომარეობებში. ამრიგად, სისტემის ფაზური სივრცე დაყოფილია მიზიდულობის მიზიდულობის სფეროებად. თუ ფაზის სივრცე ორგანზომილებიანია, მაშინ მოზიდვის რეგიონების შეღებვა სხვადასხვა ფერები, შეგიძლიათ მიიღოთ ამ სისტემის ფერადი ფაზის პორტრეტი (იტერატიული პროცესი). ფერის შერჩევის ალგორითმის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ რთული ფრაქტალის ნიმუშები ლამაზი მრავალფეროვანი ნიმუშებით. მათემატიკოსებისთვის სიურპრიზი იყო პრიმიტიული ალგორითმების გამოყენებით ძალიან რთული არატრივიალური სტრუქტურების გენერირების შესაძლებლობა.

მანდელბროტის ნაკრები.

მაგალითად, განიხილეთ მანდელბროტის ნაკრები. მისი აგების ალგორითმი საკმაოდ მარტივია და ემყარება მარტივ განმეორებით გამოხატვას: Z = Z[i] * Z[i] + C, სად ზიდა Cრთული ცვლადებია. გამეორებები შესრულებულია თითოეული საწყისი წერტილისთვის მართკუთხა ან კვადრატული რეგიონიდან - რთული სიბრტყის ქვეჯგუფი. განმეორებითი პროცესი გრძელდება მანამ Z[i]არ გასცდება მე-2 რადიუსის წრეს, რომლის ცენტრი დევს წერტილში (0,0), (ეს ნიშნავს, რომ დინამიური სისტემის მიმზიდველი უსასრულობაშია), ან საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორებების შემდეგ (მაგ. , 200-500) Z[i]ხვდება წრის რაღაც წერტილში. იმის მიხედვით, თუ რა რაოდენობის გამეორებები Z[i]დარჩა წრის შიგნით, შეგიძლიათ დააყენოთ წერტილის ფერი C(თუ Z[i]რჩება წრის შიგნით საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორებისთვის, გამეორების პროცესი ჩერდება და ეს რასტრული წერტილი შავად შეიღებება).

3. სტოქასტური ფრაქტალები

ფრაქტალების კიდევ ერთი ცნობილი კლასი არის სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც მიიღება, თუ მისი რომელიმე პარამეტრი შემთხვევით იცვლება განმეორებით პროცესში. ამის შედეგად წარმოიქმნება ბუნებრივი ობიექტების ძალიან მსგავსი ობიექტები - ასიმეტრიული ხეები, ჩაღრმავებული სანაპირო ზოლები და ა.შ. ორგანზომილებიანი სტოქასტური ფრაქტალები გამოიყენება რელიეფის და ზღვის ზედაპირის მოდელირებისას.
არსებობს ფრაქტალების სხვა კლასიფიკაცია, მაგალითად, ფრაქტალების დაყოფა დეტერმინისტებად (ალგებრულ და გეომეტრიულ) და არადეტერმინისტებად (სტოქასტურად).

ფრაქტალების გამოყენების შესახებ

უპირველეს ყოვლისა, ფრაქტალები არის გასაოცარი მათემატიკური ხელოვნების სფერო, როდესაც უმარტივესი ფორმულებისა და ალგორითმების დახმარებით მიიღება არაჩვეულებრივი სილამაზისა და სირთულის სურათები! აგებული სურათების კონტურებში ხშირად გამოცნობენ ფოთლებს, ხეებს და ყვავილებს.

ფრაქტალების ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი პროგრამა მდგომარეობს კომპიუტერულ გრაფიკაში. პირველ რიგში, ეს არის სურათების ფრაქტალური შეკუმშვა და მეორე, პეიზაჟების, ხეების, მცენარეების აგება და ფრაქტალური ტექსტურების წარმოქმნა. თანამედროვე ფიზიკადა მექანიკა ახლახან იწყებს ფრაქტალური ობიექტების ქცევის შესწავლას. და, რა თქმა უნდა, ფრაქტალები უშუალოდ მათემატიკაში გამოიყენება.
ფრაქტალური გამოსახულების შეკუმშვის ალგორითმების უპირატესობა არის შეფუთული ფაილის ძალიან მცირე ზომა და გამოსახულების აღდგენის მოკლე დრო. ფრაქტალურად შეფუთული სურათების მასშტაბირება შესაძლებელია პიქსელაციის გარეშე. მაგრამ შეკუმშვის პროცესს დიდი დრო სჭირდება და ზოგჯერ საათობით გრძელდება. დაკარგვის ფრაქტალის შეფუთვის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ შეკუმშვის დონე, jpeg ფორმატის მსგავსი. ალგორითმი დაფუძნებულია გამოსახულების დიდი ნაწილების ძიებაზე, რომლებიც მსგავსია ზოგიერთი პატარა ნაწილის. და მხოლოდ რომელი ნაწილის მსგავსია ჩაწერილი გამომავალ ფაილში. შეკუმშვისას ჩვეულებრივ გამოიყენება კვადრატული ბადე (ნაწილები არის კვადრატები), რაც იწვევს სურათის აღდგენისას მცირე კუთხით; ექვსკუთხა ბადე თავისუფალია ასეთი ნაკლისაგან.
Iterated-მა შეიმუშავა გამოსახულების ახალი ფორმატი, "Sting", რომელიც აერთიანებს ფრაქტალსა და "ტალღის" (როგორიცაა jpeg) უზარმაზარ შეკუმშვას. ახალი ფორმატი საშუალებას გაძლევთ შექმნათ სურათები შემდგომი მაღალი ხარისხის სკალირებისა და მოცულობის შესაძლებლობით გრაფიკული ფაილებიარის არაკომპრესირებული სურათების მოცულობის 15-20%.
ფრაქტალების ტენდენცია მთებს, ყვავილებს და ხეებს ჰგავდეს, გამოიყენება ზოგიერთი გრაფიკული რედაქტორის მიერ, მაგალითად, ფრაქტალის ღრუბლები 3D სტუდია MAX-დან, ფრაქტალი მთები World Builder-ში. მოცემულია ფრაქტალური ხეები, მთები და მთელი პეიზაჟები მარტივი ფორმულები, ადვილად პროგრამირებადია და მიახლოებისას არ იშლება ცალკეულ სამკუთხედებად და კუბებად.
თქვენ არ შეგიძლიათ უგულებელყოთ ფრაქტალების გამოყენება მათემატიკაში. სიმრავლეების თეორიაში, კანტორის სიმრავლე ამტკიცებს სრულყოფილი არსად მკვრივი სიმრავლეების არსებობას; ზომების თეორიაში, თვითმიმართული "Cantor ladder" ფუნქცია არის კარგი მაგალითი სინგულარული ზომის განაწილების ფუნქციისა.
მექანიკასა და ფიზიკაში ფრაქტალები გამოიყენება მათი უნიკალური თვისების გამო მრავალი ბუნებრივი ობიექტის კონტურის გასამეორებლად. ფრაქტალები საშუალებას გაძლევთ დააახლოოთ ხეები, მთის ზედაპირები და ნაპრალები უფრო მაღალი სიზუსტით, ვიდრე მიახლოებები ხაზის სეგმენტებით ან მრავალკუთხედებით (შენახული მონაცემების იგივე რაოდენობით). ფრაქტალურ მოდელებს, ისევე როგორც ბუნებრივ ობიექტებს, აქვთ „უხეშობა“ და ეს თვისება შენარჩუნებულია მოდელის თვითნებურად დიდი ზრდით. ფრაქტალებზე ერთიანი საზომის არსებობა შესაძლებელს ხდის ინტეგრაციის, პოტენციალის თეორიის გამოყენებას, მათი გამოყენება უკვე შესწავლილ განტოლებებში სტანდარტული ობიექტების ნაცვლად.
ფრაქტალური მიდგომით, ქაოსი წყვეტს ცისფერ აშლილობას და იძენს ჯარიმა სტრუქტურა. ფრაქტალის მეცნიერება ჯერ კიდევ ძალიან ახალგაზრდაა და წინ დიდი მომავალი აქვს. ფრაქტალების სილამაზე შორს არის ამოწურვისაგან და მაინც მოგვცემს ბევრ შედევრს - ისეთს, რომელიც აღფრთოვანებს თვალს და ისეთებს, რომლებიც ჭეშმარიტ სიამოვნებას მოაქვს გონებაში.

ფრაქტალების აგების შესახებ

თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი

ამ სურათის დათვალიერებისას, ძნელი არ არის იმის გაგება, თუ როგორ შეიძლება ავაშენოთ საკუთარი თავის მსგავსი ფრაქტალი ( ამ საქმესსიერპინსკის პირამიდა). უნდა ავიღოთ ჩვეულებრივი პირამიდა (ტეტრაედრონი), შემდეგ გამოვჭრათ მისი შუა (რვაედრონი), რის შედეგადაც მივიღებთ ოთხ პატარა პირამიდას. თითოეულ მათგანთან ერთსა და იმავე ოპერაციას ვასრულებთ და ა.შ. ეს გარკვეულწილად გულუბრყვილო, მაგრამ საილუსტრაციო ახსნაა.

მოდით განვიხილოთ მეთოდის არსი უფრო მკაცრად. დაე, იყოს რაღაც IFS სისტემა, ე.ი. შეკუმშვის რუკების სისტემა ს=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (მაგალითად, ჩვენი პირამიდისთვის, რუკების მსგავსია S i (x)=1/2*x+o i , სადაც o i არის ტეტრაედრის წვეროები, i=1,..,4). შემდეგ ვირჩევთ კომპაქტურ A 1 კომპლექტს R n-ში (ჩვენს შემთხვევაში ვირჩევთ ტეტრაედრონს). და ინდუქციით განვსაზღვრავთ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) თანმიმდევრობას. ცნობილია, რომ A k სიმრავლეები k გაზრდით უახლოვდება სისტემის საჭირო მიმზიდველს ს.

გაითვალისწინეთ, რომ თითოეული ეს გამეორება არის მიმზიდველი განმეორებადი ფუნქციების განმეორებითი სისტემა (ინგლისური ტერმინი DigraphIFS, RIFSდა ასევე გრაფიკით მიმართული IFS) და, შესაბამისად, მათი აშენება მარტივია ჩვენი პროგრამით.

კონსტრუქცია წერტილებით ან სავარაუდო მეთოდით

ეს არის ყველაზე მარტივი მეთოდი კომპიუტერზე დასანერგად. სიმარტივისთვის, განიხილეთ ბრტყელი თვითნაკეთი ნაკრების შემთხვევა. მოდით (ს

) არის აფინური შეკუმშვის რაღაც სისტემა. რუკების ს

წარმოდგენილია როგორც: ს

ფიქსირებული მატრიცა ზომით 2x2 და o

ორგანზომილებიანი ვექტორული სვეტი.

• ავიღოთ პირველი S 1 რუკების ფიქსირებული წერტილი, როგორც საწყისი წერტილი:
  x:=o1;
  აქ ჩვენ ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ყველა ფიქსირებული შეკუმშვის წერტილი S 1,..,S m ეკუთვნის ფრაქტალს. საწყის წერტილად შეიძლება აირჩეს თვითნებური წერტილი და მის მიერ წარმოქმნილი წერტილების თანმიმდევრობა შემცირდება ფრაქტალამდე, მაგრამ შემდეგ ეკრანზე გამოჩნდება რამდენიმე დამატებითი წერტილი.
• შენიშნეთ მიმდინარე წერტილი x=(x 1 , x 2) ეკრანზე:
  putpixel(x 1, x 2,15);
• ჩვენ შემთხვევით ვირჩევთ j რიცხვს 1-დან m-მდე და ვიანგარიშებთ x წერტილის კოორდინატებს:
  j:=შემთხვევითი(მ)+1;
  x:=S j (x);
• მივდივართ მე-2 საფეხურზე, ან თუ საკმარისად დიდი რაოდენობის გამეორება გავაკეთეთ, მაშინ ვჩერდებით.

Შენიშვნა.თუ S i შეკუმშვის კოეფიციენტები განსხვავებულია, მაშინ ფრაქტალი არათანაბრად შეივსება წერტილებით. თუ S i მსგავსებაა, ამის თავიდან აცილება შესაძლებელია ალგორითმის ოდნავ გართულებით. ამისათვის ალგორითმის მე-3 საფეხურზე უნდა აირჩეს რიცხვი j 1-დან m-მდე ალბათობით p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , სადაც r i აღნიშნავს S i შეკუმშვის კოეფიციენტებს. , და რიცხვი s (ე.წ. მსგავსების განზომილება) გვხვდება განტოლებიდან r 1 s +...+r m s =1. ამ განტოლების ამოხსნა შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ნიუტონის მეთოდით.

ფრაქტალებისა და მათი ალგორითმების შესახებ

Fractal მოდის ლათინური ზედსართავი სახელიდან "fractus" და თარგმანში ნიშნავს ფრაგმენტებისგან შემდგარს, ხოლო შესაბამისი ლათინური ზმნა "frangere" ნიშნავს გატეხვას, ანუ არარეგულარული ფრაგმენტების შექმნას. ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. ტერმინი შემოგვთავაზა ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიემართა არარეგულარული, მაგრამ თვითმსგავსი სტრუქტურების შესახებ, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" გამოქვეყნებასთან. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების მეცნიერული შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი).

კორექტირება

ნება მომეცით შევიტანო გარკვეული კორექტირება წიგნში შემოთავაზებულ ალგორითმებში H.-O-ს მიერ. პეიტგენი და P.H. Richter "Fractals of Beauty" M. 1993, მხოლოდ იმისთვის, რომ აღმოფხვრას ბეჭდვითი შეცდომები და გააადვილოს პროცესების გაგება, რადგან მათი შესწავლის შემდეგ ბევრი რამ საიდუმლოდ დარჩა ჩემთვის. სამწუხაროდ, ეს "გასაგები" და "მარტივი" ალგორითმები აგრძელებენ ცხოვრებისეულ სტილს.

ფრაქტალების აგება ემყარება რთული პროცესის გარკვეულ არაწრფივ ფუნქციას გამოხმაურებით z \u003d z 2 + c რადგან z და c რთული რიცხვებია, შემდეგ z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, აუცილებელია დაშალეთ ის x და y-ად, რათა გადავიდეთ უფრო რეალურზე ჩვეულებრივი ადამიანის სიბრტყისთვის:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

სიბრტყე, რომელიც შედგება ყველა წყვილისგან (x, y) შეიძლება ჩაითვალოს ფიქსირებული მნიშვნელობებით p და q, ასევე დინამიურისთვის. პირველ შემთხვევაში, სიბრტყის ყველა წერტილის (x, y) დალაგება კანონის მიხედვით და მათი შეღებვა განმეორებითი პროცესიდან გასასვლელად აუცილებელი ფუნქციის გამეორების რაოდენობის მიხედვით ან არ შეღებვა (შავი) დასაშვებ მაქსიმუმზე. გამეორებების რაოდენობა გაიზარდა, ვიღებთ ჯულიას ნაკრების რუკს. თუ პირიქით, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების საწყის წყვილს (x, y) და მივადევნებთ მის კოლორისტულ ბედს p და q პარამეტრების დინამიურად ცვალებადი მნიშვნელობებით, მაშინ მივიღებთ სურათებს, სახელწოდებით Mandelbrot sets.

ფრაქტალის შეღებვის ალგორითმების საკითხზე.

ჩვეულებრივ ნაკრების კორპუსი წარმოდგენილია როგორც შავი ველი, თუმცა აშკარაა, რომ შავი ფერის შეცვლა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვათ, მაგრამ ესეც უინტერესო შედეგია. ყველა ფერში შეღებილი ნაკრების გამოსახულების მიღება არის ამოცანა, რომლის გადაჭრა შეუძლებელია ციკლური ოპერაციების გამოყენებით, რადგან კომპლექტის სხეულის შემადგენელი გამეორებების რაოდენობა უდრის მაქსიმალურ შესაძლოს და ყოველთვის ერთნაირი. შეღებეთ ნაკრები სხვადასხვა ფერებიშესაძლოა, ციკლიდან გამოსასვლელი მდგომარეობის შემოწმების შედეგის (z_magnitude) ფერის ნომრად ან მის მსგავსი, მაგრამ სხვა მათემატიკური ოპერაციების გამოყენებით.

"ფრაქტალური მიკროსკოპის" გამოყენება

სასაზღვრო ფენომენების დემონსტრირება.

ტრაქტორები არის ცენტრები, რომლებიც უძღვებიან ბრძოლას თვითმფრინავში დომინირებისთვის. ატრაქციონებს შორის არის საზღვარი, რომელიც წარმოადგენს მორევის ნიმუშს. ნაკრების საზღვრებში განხილვის მასშტაბის გაზრდით, შეიძლება მივიღოთ არა ტრივიალური შაბლონები, რომლებიც ასახავს დეტერმინისტული ქაოსის მდგომარეობას - ჩვეულებრივი მოვლენა ბუნებრივ სამყაროში.

გეოგრაფების მიერ შესწავლილი ობიექტები ქმნიან სისტემას ძალიან კომპლექსურად ორგანიზებული საზღვრებით, რასთან დაკავშირებითაც მათი განხორციელება რთულ პრაქტიკულ ამოცანად იქცევა. ბუნებრივ კომპლექსებს აქვთ ტიპიური ბირთვები, რომლებიც მოქმედებენ როგორც მიმზიდველები, რომლებიც კარგავენ გავლენის ძალას ტერიტორიის დაშორებისას.

მანდელბროტისა და ჯულიას კომპლექტებისთვის ფრაქტალური მიკროსკოპის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს წარმოდგენა სასაზღვრო პროცესებსა და ფენომენებზე, რომლებიც თანაბრად რთულია განხილვის მასშტაბის მიუხედავად და ამით მოამზადოს სპეციალისტის აღქმა დინამიური და ერთი შეხედვით ქაოტური შეხვედრისთვის. სივრცეში და დროში ბუნებრივ ობიექტში, ფრაქტალის გეომეტრიის ბუნების გასაგებად. ფერების მრავალფეროვნება და ფრაქტალი მუსიკა აუცილებლად დატოვებს ღრმა კვალისტუდენტების გონებაში.

ათასობით პუბლიკაცია და უზარმაზარი ინტერნეტ რესურსი ეთმობა ფრაქტალებს, თუმცა კომპიუტერული მეცნიერებისგან შორს მყოფი მრავალი სპეციალისტისთვის ეს ტერმინი სრულიად ახალი ჩანს. ფრაქტალებმა, როგორც ცოდნის სხვადასხვა დარგის სპეციალისტების ინტერესის ობიექტებმა, სათანადო ადგილი უნდა დაიკავონ კომპიუტერული მეცნიერების კურსში.

მაგალითები

SIERPINSKI GRID

ეს არის ერთ-ერთი ფრაქტალი, რომლითაც მანდელბროტმა ექსპერიმენტი ჩაატარა ფრაქტალის ზომებისა და გამეორებების კონცეფციების შემუშავებისას. სამკუთხედები, რომლებიც წარმოიქმნება დიდი სამკუთხედის შუა წერტილების შეერთებით, იჭრება მთავარი სამკუთხედიდან, რათა შეიქმნას სამკუთხედი, მეტი ხვრელებით. ამ შემთხვევაში, ინიციატორი არის დიდი სამკუთხედი და შაბლონი არის ოპერაცია უფრო დიდის მსგავსი სამკუთხედების ამოჭრისთვის. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ სამკუთხედის 3D ვერსია ჩვეულებრივი ტეტრაედრის გამოყენებით და პატარა ტეტრაედრების ამოჭრით. ასეთი ფრაქტალის განზომილებაა ln3/ln2 = 1.584962501. მისაღებად სიერპინსკის ხალიჩააიღეთ კვადრატი, გაყავით ცხრა კვადრატად და ამოჭერით შუა. იგივეს გავაკეთებთ დანარჩენზე, უფრო პატარა კვადრატებზე. ბოლოს იქმნება ბრტყელი ფრაქტალის ბადე, რომელსაც არ აქვს ფართობი, მაგრამ უსასრულო კავშირებით. სიერპინსკის ღრუბელი თავის სივრცულ ფორმაში გარდაიქმნება ფორმათა სისტემად, რომელშიც ყოველი გამტარი ელემენტი მუდმივად იცვლება საკუთარი სახეობით. ეს სტრუქტურა ძალიან ჰგავს ძვლოვანი ქსოვილის მონაკვეთს. ოდესღაც ასეთი განმეორებადი სტრუქტურები გახდება სამშენებლო სტრუქტურების ელემენტი. მათი სტატიკა და დინამიკა, მანდელბროტის აზრით, იმსახურებს მჭიდრო შესწავლას.

KOCH მრუდი

კოხის მრუდი ერთ-ერთი ყველაზე ტიპიური დეტერმინისტული ფრაქტალია. ის XIX საუკუნეში გამოიგონა გერმანელმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა, რომელიც გეორგ კონტორისა და კარლ ვეიერშტრასეს ნაშრომების შესწავლისას წააწყდა უჩვეულო ქცევის უცნაური მრუდების აღწერას. ინიციატორი - პირდაპირი ხაზი. გენერატორი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდები უდრის უფრო დიდი სეგმენტის სიგრძის მესამედს. ეს სამკუთხედები უსასრულოდ ემატება თითოეული სეგმენტის შუაში. თავის კვლევაში მანდელბროტმა ბევრი ექსპერიმენტი ჩაატარა კოხის მოსახვევებზე და მიიღო ფიგურები, როგორიცაა კოხის კუნძულები, კოხის ჯვრები, კოხის ფიფქები და კოხის მრუდის სამგანზომილებიანი წარმოდგენებიც კი, ტეტრაედრის გამოყენებით და მის თითოეულ სახეზე პატარა ტეტრაედრების დამატებით. კოხის მრუდს აქვს განზომილება ln4/ln3 = 1.261859507.

ფრაქტალი მანდელბროტი

ეს არ არის მანდელბროტის ნაკრები, რომელსაც საკმაოდ ხშირად ხედავთ. მანდელბროტის ნაკრები ეფუძნება არაწრფივ განტოლებებს და წარმოადგენს რთულ ფრაქტალს. ეს ასევე კოხის მრუდის ვარიანტია, მიუხედავად იმისა, რომ ეს ობიექტი მას არ ჰგავს. ინიციატორი და გენერატორი ასევე განსხვავდება კოხის მრუდის პრინციპზე დაფუძნებული ფრაქტალების შესაქმნელად, მაგრამ იდეა იგივე რჩება. მრუდის სეგმენტზე ტოლგვერდა სამკუთხედების მიმაგრების ნაცვლად, კვადრატები მიმაგრებულია კვადრატზე. იმის გამო, რომ ეს ფრაქტალი იკავებს გამოყოფილი სივრცის ზუსტად ნახევარს ყოველ გამეორებაზე, მას აქვს მარტივი ფრაქტალის განზომილება 3/2 = 1,5.

დარერის პენტაგონი

ფრაქტალი ჰგავს ხუთკუთხედების თაიგულს, რომლებიც ერთმანეთთან არის შეკუმშული. სინამდვილეში, იგი წარმოიქმნება პენტაგონის, როგორც ინიციატორის და ტოლფერდა სამკუთხედების გამოყენებით, ყველაზე დიდი გვერდის თანაფარდობა უმცირესთან, რომელშიც ზუსტად უდრის ეგრეთ წოდებულ ოქროს თანაფარდობას (1.618033989 ან 1/(2cos72)), როგორც გენერატორი. . ეს სამკუთხედები ამოჭრილია თითოეული ხუთკუთხედის შუიდან, რის შედეგადაც მიიღება ფორმა, რომელიც ჰგავს 5 პატარა ხუთკუთხედს, რომლებიც ერთ დიდზეა მიბმული. ამ ფრაქტალის ვარიანტის მიღება შესაძლებელია ექვსკუთხედის ინიციატორის გამოყენებით. ამ ფრაქტალს დავითის ვარსკვლავს უწოდებენ და საკმაოდ ჰგავს კოხის ფიფქის ექვსკუთხა ვერსიას. დარერის ხუთკუთხედის ფრაქტალური განზომილებაა ln6/ln(1+g), სადაც g არის სამკუთხედის დიდი გვერდის სიგრძის თანაფარდობა პატარა გვერდის სიგრძესთან. ამ შემთხვევაში, g არის ოქროს თანაფარდობა, ამიტომ ფრაქტალური განზომილება არის დაახლოებით 1.86171596. დავითის ვარსკვლავის ფრაქტალური განზომილებაა ln6/ln3 ან 1.630929754.

რთული ფრაქტალები

სინამდვილეში, თუ თქვენ გაადიდებთ რაიმე რთული ფრაქტალის მცირე არეალს და შემდეგ იგივეს გააკეთებთ ამ ტერიტორიის მცირე ფართობზე, ეს ორი გადიდება მნიშვნელოვნად განსხვავდება ერთმანეთისგან. ეს ორი სურათი ძალიან ჰგავს დეტალებს, მაგრამ ისინი არ იქნება სრულიად იდენტური.

ნახ 1. მანდელბროტის ნაკრების მიახლოება

შეადარეთ, მაგალითად, აქ ნაჩვენები მანდელბროტის ნაკრების სურათები, რომელთაგან ერთი მიიღეს მეორის ზოგიერთი ფართობის გაზრდით. როგორც ხედავთ, ისინი აბსოლუტურად არ არიან იდენტური, თუმცა ორივეზე ვხედავთ შავ წრეს, საიდანაც ცეცხლოვანი საცეცები სხვადასხვა მიმართულებით მიდიან. ეს ელემენტები განუსაზღვრელი ვადით მეორდება მანდელბროტის ნაკრებში კლებადობით.

დეტერმინისტული ფრაქტალები წრფივია, ხოლო რთული ფრაქტალები არა. როგორც არაწრფივი, ეს ფრაქტალები წარმოიქმნება იმით, რასაც მანდელბროტმა უწოდა არაწრფივი ალგებრული განტოლებები. კარგი მაგალითია პროცესი Zn+1=ZnІ + C, რომელიც არის განტოლება, რომელიც გამოიყენება მეორე ხარისხის მანდელბროტის და ჯულიას სიმრავლეების ასაგებად. ამათ გადაწყვეტა მათემატიკური განტოლებებიმოიცავს რთულ და წარმოსახვით რიცხვებს. როდესაც განტოლება გრაფიკულად არის ინტერპრეტირებული კომპლექსურ სიბრტყეში, შედეგი არის უცნაური ფიგურა, რომელშიც სწორი ხაზები იქცევა მოსახვევებად, თვითმსგავსების ეფექტები ჩნდება სხვადასხვა მასშტაბის დონეზე, თუმცა არა დეფორმაციების გარეშე. ამავდროულად, მთლიანი სურათი არაპროგნოზირებადი და ძალიან ქაოტურია.

როგორც სურათების ნახვით ხედავთ, რთული ფრაქტალები მართლაც ძალიან რთულია და შეუძლებელია კომპიუტერის დახმარების გარეშე შექმნა. ფერადი შედეგების მისაღებად ამ კომპიუტერს უნდა ჰქონდეს ძლიერი მათემატიკური კოპროცესორი და მონიტორი მაღალი გარჩევადობა. დეტერმინისტული ფრაქტალებისგან განსხვავებით, რთული ფრაქტალები არ გამოითვლება 5-10 გამეორებით. კომპიუტერის ეკრანზე თითქმის ყველა წერტილი ცალკე ფრაქტალს ჰგავს. დროს მათემატიკური დამუშავება, თითოეული წერტილი განიხილება, როგორც ცალკე ფიგურა. თითოეული წერტილი შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობას. განტოლება ჩაშენებულია თითოეული წერტილისთვის და შესრულებულია, მაგალითად, 1000 გამეორება. სახლის კომპიუტერებისთვის მისაღებ დროში შედარებით დამახინჯებული გამოსახულების მისაღებად, შესაძლებელია 250 გამეორება ერთი წერტილისთვის.

ფრაქტალების უმეტესობა, რომლებსაც დღეს ვხედავთ, ლამაზად არის შეღებილი. შესაძლოა, ფრაქტალმა გამოსახულებებმა ასეთი დიდი ესთეტიკური ღირებულება სწორედ მათი ფერის სქემების გამო შეიძინეს. განტოლების გამოთვლის შემდეგ კომპიუტერი აანალიზებს შედეგებს. თუ შედეგები რჩება სტაბილური, ან იცვლება გარშემო გარკვეული ღირებულება, წერტილი ჩვეულებრივ შავია. თუ მნიშვნელობა ამა თუ იმ საფეხურზე მიდრეკილია უსასრულობისკენ, წერტილი შეღებილია სხვა ფერში, შესაძლოა ლურჯი ან წითელი. ამ პროცესის დროს კომპიუტერი ანიჭებს ფერებს მოძრაობის ყველა სიჩქარეს.

ჩვეულებრივ, სწრაფად მოძრავ წერტილებს წითლად ღებავენ, ნელა კი ყვითლად და ა.შ. მუქი წერტილები ალბათ ყველაზე სტაბილურია.

რთული ფრაქტალები განსხვავდებიან დეტერმინისტული ფრაქტალებისგან იმით, რომ ისინი უსასრულოდ რთულია, მაგრამ მათი წარმოქმნა შესაძლებელია ძალიან მარტივი ფორმულით. დეტერმინისტულ ფრაქტალებს არ სჭირდებათ ფორმულები ან განტოლებები. უბრალოდ აიღეთ სახატავი ქაღალდი და შეგიძლიათ ააწყოთ სიერპინსკის საცერი 3 ან 4 გამეორებამდე ყოველგვარი სირთულის გარეშე. სცადეთ ამის გაკეთება ბევრ ჯულიასთან ერთად! ინგლისის სანაპირო ზოლის სიგრძის გაზომვა უფრო ადვილია!

MANDERBROT კომპლექტი

ნახ 2. მანდელბროტის ნაკრები

მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრები ალბათ ორი ყველაზე გავრცელებულია რთულ ფრაქტალებს შორის. მათი ნახვა ბევრში შეიძლება სამეცნიერო ჟურნალები, წიგნის ყდები, ღია ბარათები და კომპიუტერის ეკრანმზოგი. მანდელბროტის ნაკრები, რომელიც ააშენა ბენუა მანდელბროტმა, ალბათ პირველი ასოციაციაა, რომელიც ადამიანებს უჩნდებათ სიტყვა ფრაქტალის მოსმენისას. ეს ფრაქტალი, რომელიც წააგავს ბარათს მბზინავი ხის და მასზე მიმაგრებული წრის უბნებით, წარმოიქმნება მარტივი ფორმულით Zn+1=Zna+C, სადაც Z და C რთული რიცხვებია, ხოლო a დადებითი რიცხვი.

ყველაზე ხშირად ნანახი მანდელბროტის ნაკრები არის მე-2 ხარისხის მანდელბროტის ნაკრები, ანუ a=2. ის ფაქტი, რომ მანდელბროტის სიმრავლე არის არა მხოლოდ Zn+1=ZnІ+C, არამედ ფრაქტალი, რომლის ექსპონატი ფორმულაში შეიძლება იყოს ნებისმიერი. დადებითი რიცხვიბევრი შეცდომაში შეიყვანეს. ამ გვერდზე თქვენ ხედავთ მანდელბროტის ნაკრების მაგალითს a მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.
სურათი 3. ბუშტების გამოჩენა a=3.5-ზე

პროცესი Z=Z*tg(Z+C) ასევე პოპულარულია. ტანგენტის ფუნქციის ჩართვის წყალობით მიიღება მანდელბროტის ნაკრები, რომელიც გარშემორტყმულია ვაშლის მსგავსი ფართობით. კოსინუსური ფუნქციის გამოყენებისას მიიღება ჰაერის ბუშტების ეფექტები. მოკლედ, არსებობს უსასრულო რაოდენობის გზა Mandelbrot-ის ნაკრების შესწორების მიზნით, რათა შეიქმნას სხვადასხვა ლამაზი სურათები.

მრავალჯერადი ჯულია

გასაკვირია, რომ ჯულიას ნაკრები იქმნება იმავე ფორმულის მიხედვით, როგორც მანდელბროტის ნაკრები. ჯულიას ნაკრები გამოიგონა ფრანგმა მათემატიკოსმა გასტონ ჯულიამ, რომლის სახელიც ეწოდა კომპლექტს. პირველი კითხვა, რომელიც ჩნდება მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრების ვიზუალური გაცნობის შემდეგ, არის "თუ ორივე ფრაქტალი ერთი და იგივე ფორმულით არის გენერირებული, რატომ არიან ისინი ასე განსხვავებული?" ჯერ გადახედეთ ჯულიას ნაკრების სურათებს. საკმარისად უცნაურია, მაგრამ არსებობენ განსხვავებული ტიპებიჯულია კომპლექტი. ფრაქტალის დახატვისას სხვადასხვა საწყისი წერტილების გამოყენებით (იტერაციის პროცესის დასაწყებად) წარმოიქმნება სხვადასხვა გამოსახულება. ეს ეხება მხოლოდ ჯულიას კომპლექტს.

ნახ 4. იულია კომპლექტი

მიუხედავად იმისა, რომ სურათზე არ ჩანს, მანდელბროტის ფრაქტალი სინამდვილეში არის ჯულიას ფრაქტალების თაიგული, რომლებიც ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. მანდელბროტის სიმრავლის თითოეული წერტილი (ან კოორდინატი) შეესაბამება ჯულიას ფრაქტალს. ჯულიას კომპლექტების გენერირება შესაძლებელია ამ წერტილების გამოყენებით, როგორც საწყისი მნიშვნელობები განტოლებაში Z=ZI+C. მაგრამ ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მანდელბროტის ფრაქტალზე აირჩევთ წერტილს და გაზრდით, შეგიძლიათ მიიღოთ იულია ფრაქტალი. ეს ორი წერტილი იდენტურია, მაგრამ მხოლოდ მათემატიკური გაგებით. თუ ამ წერტილს ავიღებთ და ამ ფორმულის მიხედვით გამოვთვლით, შეგვიძლია მივიღოთ მანდელბროტის ფრაქტალის გარკვეული წერტილის შესაბამისი ჯულიას ფრაქტალი.

ფრაქტალის თვისებები არ არის ახირება და არა მათემატიკოსთა უსაქმური ფანტაზიის ნაყოფი. მათი შესწავლით ვსწავლობთ გარჩევას და წინასწარმეტყველებას მნიშვნელოვანი თვისებებიჩვენს ირგვლივ არსებულ ობიექტებსა და ფენომენებს, რომლებიც ადრე, თუ სრულიად უგულებელყოფილი არ იყო, მხოლოდ დაახლოებით, ხარისხობრივად, თვალით ფასდებოდა. მაგალითად, რთული სიგნალების, ენცეფალოგრამების ან გულის შუილის ფრაქტალური ზომების შედარებით, ექიმებს შეუძლიათ გარკვეული სერიოზული დაავადების დიაგნოსტირება ადრეულ ეტაპზე, როდესაც პაციენტს ჯერ კიდევ შეუძლია დახმარება. ასევე, ანალიტიკოსს, რომელიც ადარებს ფასების წინა ქცევას, მოდელის ფორმირების დასაწყისში, შეუძლია განჭვრიტოს მისი შემდგომი განვითარება, რითაც თავიდან აიცილებს უხეში შეცდომები პროგნოზირებაში.

ფრაქტალების უწესრიგობა

ფრაქტალების პირველი თვისება მათი უსწორმასწორობაა. თუ ფრაქტალი აღწერილია ფუნქციით, მაშინ უწესრიგობის თვისებაა მათემატიკური ტერმინებიეს ნიშნავს, რომ ასეთი ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი, ანუ არ არის გლუვი ნებისმიერ წერტილში. რეალურად, ამას ყველაზე პირდაპირი კავშირი აქვს ბაზართან. ფასების მერყეობა ზოგჯერ იმდენად ცვალებადი და ცვალებადია, რომ ბევრ ტრეიდერს აბნევს. ჩვენი ამოცანაა მოვაგვაროთ მთელი ეს ქაოსი და მოვაწესრიგოთ.

Იცი, რომ:ასეთი მრავალფეროვანი საინვესტიციო შესაძლებლობები, რომელსაც Alpari გთავაზობთ, სხვა Forex ბროკერი ვერ დაიკვეხნის.

ფრაქტალების თვითმსგავსება

მეორე თვისება ამბობს, რომ ფრაქტალი არის ობიექტი, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება. ეს არის რეკურსიული მოდელი, რომლის თითოეული ნაწილი იმეორებს თავის განვითარებაში მთლიანი მოდელის განვითარებას და რეპროდუცირებულია სხვადასხვა მასშტაბით ხილული ცვლილებების გარეშე. თუმცა, ცვლილებები მაინც ხდება, რამაც შეიძლება დიდად იმოქმედოს ობიექტის ჩვენს აღქმაზე.

თვითმსგავსება ნიშნავს, რომ ობიექტს არ აქვს დამახასიათებელი მასშტაბი: ასეთი მასშტაბი რომ ჰქონდეს, მაშინვე გამოარჩევდით ფრაგმენტის გადიდებულ ასლს ორიგინალური გამოსახულებისგან. თვით მსგავს ობიექტებს აქვთ უსასრულო რაოდენობის სასწორები ყველა გემოვნებისთვის. თვითმსგავსების არსი შეიძლება აიხსნას შემდეგი მაგალითით. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ "ნამდვილი" გეომეტრიული ხაზის სურათი, "სიგრძე სიგანის გარეშე", როგორც ეს ევკლიდემ განსაზღვრა ხაზი, და თქვენ თამაშობთ მეგობართან ერთად და ცდილობთ გამოიცნოთ ის გიჩვენებთ ორიგინალ სურათს (ორიგინალს) თუ სწორი ხაზის ნებისმიერი ფრაგმენტის სურათი. რაც არ უნდა ეცადო, ვერასდროს ვერ განასხვავებ ორიგინალს ფრაგმენტის გადიდებული ასლისაგან, სწორი ხაზი ყველა ნაწილში ერთნაირადაა მოწყობილი, თავისას ჰგავს, მაგრამ ეს შესანიშნავი თვისებაა. რამდენადმე იმალება თავად სწორი ხაზის გაურთულებელი აგებულებით, მისი „სისწორით“ (სურ. 7).

თუ თქვენ ასევე ვერ განასხვავებთ რაიმე ობიექტის სნეპშოტს მისი რომელიმე ფრაგმენტის სათანადოდ გაფართოებული სნეპშოტისგან, მაშინ თქვენ გაქვთ საკუთარი თავის მსგავსი ობიექტი. ყველა ფრაქტალი, რომელსაც აქვს სულ მცირე სიმეტრია, საკუთარი თავის მსგავსია. და ეს ნიშნავს, რომ მათი სტრუქტურის ზოგიერთი ფრაგმენტი მკაცრად მეორდება გარკვეული სივრცითი ინტერვალებით. ცხადია, ეს ობიექტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხასიათისა და მათი გარეგნობა და ფორმა უცვლელი რჩება მასშტაბის მიუხედავად. მსგავსი ფრაქტალის მაგალითი:

ფინანსებში, ეს კონცეფცია არ არის უსაფუძვლო აბსტრაქცია, არამედ პრაქტიკული საბაზრო გამონათქვამის თეორიული განმეორება - კერძოდ, რომ აქციების ან ვალუტის მოძრაობები ზედაპირულად მსგავსია, განურჩევლად დროისა და ფასისა. დამკვირვებელი ვერ გეტყვის გარეგნობაგრაფიკი, ეხება თუ არა მონაცემები ყოველკვირეულ, ყოველდღიურ თუ საათობრივ ცვლილებებს.

რა თქმა უნდა, ყველა ფრაქტალს არ აქვს ისეთი რეგულარული, გაუთავებლად განმეორებადი სტრუქტურა, როგორც ფრაქტალის ხელოვნების მომავალი მუზეუმის მშვენიერი ექსპონატები, რომლებიც მათემატიკოსებისა და მხატვრების ფანტაზიით დაიბადა. ბუნებაში აღმოჩენილ ბევრ ფრაქტალს (ქანებისა და ლითონების რღვევის ზედაპირები, ღრუბლები, ვალუტის ციტატები, მღელვარე ნაკადები, ქაფი, გელები, ჭვარტლის ნაწილაკების კონტურები და ა.შ.) არ გააჩნიათ გეომეტრიული მსგავსება, მაგრამ ჯიუტად ამრავლებენ თითოეულ ფრაგმენტში მთლიანის სტატისტიკურ თვისებებს. განვითარების არაწრფივი ფორმის მქონე ფრაქტალები მანდელბროტმა დაასახელა მულტიფრაქტალებად. მულტიფრაქტალი არის კვაზი-ფრაქტალური ობიექტი ცვლადი ფრაქტალური განზომილებით. ბუნებრივია, რეალური ობიექტები და პროცესები ბევრად უკეთ არის აღწერილი მულტიფრაქტალებით.

ასეთი სტატისტიკური თვითმსგავსება, ან საშუალოდ თვითმსგავსება განასხვავებს ფრაქტალებს სიმრავლეს შორის. ბუნებრივი ობიექტები.

განვიხილოთ თვითმსგავსების მაგალითი სავალუტო ბაზარი:

ამ ფიგურებში ჩვენ ვხედავთ, რომ ისინი მსგავსია, თუმცა აქვთ განსხვავებული დროის მასშტაბი, ნახ. და 15 წუთიანი მასშტაბი, ნახ. b ყოველკვირეული ფასების მასშტაბი. როგორც ხედავთ, ამ ციტატებს არ აქვთ ერთმანეთის სრულყოფილად გამეორების უნარი, თუმცა, შეგვიძლია მსგავსებად მივიჩნიოთ.

უმარტივეს ფრაქტალებსაც კი - გეომეტრიულად თვითმსგავს ფრაქტალებს - აქვთ უჩვეულო თვისებები. მაგალითად, ფონ კოხის ფიფქს აქვს უსასრულო სიგრძის პერიმეტრი, თუმცა ის ზღუდავს სასრულ ფართობს (ნახ. 9). გარდა ამისა, ის იმდენად ჩხვლეტაა, რომ შეუძლებელია მასზე ტანგენტის დახატვა კონტურის ნებისმიერ წერტილში (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ფონ კოხის ფიფქი არსად განსხვავდება, ანუ არცერთ წერტილში არ არის გლუვი).

მანდელბროტმა აღმოაჩინა, რომ წილადური გაზომვის შედეგები რჩება მუდმივი ობიექტის უწესრიგობის გაძლიერების სხვადასხვა ხარისხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს კანონზომიერება (სისწორე, მოწესრიგება) ნებისმიერი უწესრიგობისთვის. როდესაც რაღაცას შემთხვევით ვთვლით, ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ჩვენ არ გვესმის ამ შემთხვევითობის ბუნება. საბაზრო თვალსაზრისით, ეს ნიშნავს, რომ ერთი და იგივე ტიპიური წარმონაქმნების ფორმირება უნდა მოხდეს სხვადასხვა ვადებში. ერთწუთიანი სქემა აღწერს ფრაქტალის ფორმირებას ისევე, როგორც ყოველთვიური. სასაქონლო და ფინანსური ბაზრების სქემებზე ნაპოვნი ეს „თვითმსგავსება“ აჩვენებს ყველა ნიშანს, რომ ბაზრის ქმედებები უფრო ახლოსაა „ბუნების“ ქცევით პარადიგმასთან, ვიდრე ეკონომიკური, ფუნდამენტური ანალიზის ქცევა.

ამ ციფრებში შეგიძლიათ იხილოთ ზემოაღნიშნულის დადასტურება. მარცხნივ არის გრაფიკი წუთის მასშტაბით, მარჯვნივ არის ყოველკვირეული. აშშ დოლარი/იენი (ნახ. 9 (ა)) და ევრო/დოლარი (ნახ. 9 (ბ)) სავალუტო წყვილი აქ ნაჩვენებია ფასების სხვადასხვა მასშტაბით. მიუხედავად იმისა, რომ JPY/USD სავალუტო წყვილს აქვს განსხვავებული ცვალებადობა EUR/USD-თან მიმართებაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფასების მოძრაობის იგივე სტრუქტურას.

ფრაქტალური განზომილება

ფრაქტალების მესამე თვისება არის ის, რომ ფრაქტალ ობიექტებს აქვთ განზომილება, გარდა ევკლიდესისა (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტოპოლოგიური განზომილება). ფრაქტალური განზომილება არის მრუდის სირთულის საზომი. სხვადასხვა ფრაქტალური განზომილებების მქონე მონაკვეთების მონაცვლეობის გაანალიზებით და თუ როგორ მოქმედებს სისტემაზე გარე და შიდა ფაქტორები, შეიძლება ვისწავლოთ სისტემის ქცევის პროგნოზირება. და რაც მთავარია, არასტაბილური პირობების დიაგნოსტიკა და პროგნოზირება.

თანამედროვე მათემატიკის არსენალში მანდელბროტმა აღმოაჩინა ობიექტების არასრულყოფილების მოსახერხებელი რაოდენობრივი საზომი - კონტურის სინუსურობა, ზედაპირის ნაოჭი, მოტეხილობა და მოცულობის ფორიანობა. იგი შემოგვთავაზა ორმა მათემატიკოსმა - ფელიქს ჰაუსდორფმა (1868-1942) და აბრამ სამოილოვიჩ ბესიკოვიჩმა (1891-1970). ახლა ის იმსახურებს ტარებას დიდებული სახელებიმათი შემქმნელების (ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება) – ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება. რა არის განზომილება და რატომ გვჭირდება ის ფინანსური ბაზრების ანალიზთან დაკავშირებით? მანამდე ჩვენ ვიცოდით განზომილების მხოლოდ ერთი ტიპი - ტოპოლოგიური (სურ. 11). თავად სიტყვა განზომილება მიუთითებს რამდენ განზომილებაში აქვს საგანს. სეგმენტისთვის, სწორი ხაზისთვის, ის უდრის 1-ს, ე.ი. ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი განზომილება, კერძოდ, სეგმენტის სიგრძე ან სწორი ხაზი. თვითმფრინავისთვის განზომილება იქნება 2, ვინაიდან გვაქვს ორგანზომილებიანი განზომილება, სიგრძე და სიგანე. სივრცისთვის ან მყარი ობიექტებისთვის, განზომილება არის 3: სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე.

ავიღოთ კომპიუტერული თამაშების მაგალითი. თუ თამაში დამზადებულია 3D გრაფიკაში, მაშინ ის არის სივრცითი და მოცულობითი, თუ 2D გრაფიკაში გრაფიკა ნაჩვენებია სიბრტყეზე (სურ. 10).

ყველაზე უჩვეულო (უფრო სწორი იქნება თუ ვიტყვით - უჩვეულო) ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებაში ის იყო, რომ მას შეეძლო არა მხოლოდ მთელი რიცხვების, როგორც ტოპოლოგიური განზომილების მიღება, არამედ წილადური მნიშვნელობებიც. ერთის ტოლია სწორი ხაზისთვის (უსასრულო, ნახევრად უსასრულო ან სასრული სეგმენტისთვის), ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება იზრდება ბრუნვის მატებასთან ერთად, ხოლო ტოპოლოგიური განზომილება ჯიუტად უგულებელყოფს ყველა ცვლილებას, რაც ხდება წრფესთან.

განზომილება ახასიათებს კომპლექტის (მაგალითად, სწორი ხაზის) გართულებას. თუ ეს არის მრუდი, რომლის ტოპოლოგიური განზომილება ტოლია 1-ის (სწორი ხაზი), მაშინ მრუდი შეიძლება გართულდეს უსასრულო რაოდენობის მოსახვევებითა და ტოტებით, რომ მისი ფრაქტალური განზომილება მიუახლოვდეს ორს, ე.ი. შეავსებს თითქმის მთელ თვითმფრინავს (ნახ. 12)

მისი მნიშვნელობის გაზრდით, ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება არ ცვლის მას მკვეთრად, როგორც ამას გააკეთებდა ტოპოლოგიური განზომილება "თავის ადგილას", 1-დან დაუყოვნებლივ 2-ზე გადასვლა. ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება - და ეს ერთი შეხედვით შეიძლება უჩვეულო ჩანდეს. და გასაკვირია, რომ იღებს წილადის მნიშვნელობებს: ერთის ტოლი სწორი ხაზისთვის, ის ხდება 1.15 ოდნავ მოციმციმე ხაზისთვის, 1.2 უფრო მწკრივი ხაზისთვის, 1.5 ძალიან მკვეთრი ხაზისთვის და ა.შ.

სწორედ იმისათვის, რომ ხაზი გაუსვას ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებას, მიიღოს წილადი, არამთლიანი მნიშვნელობები, მანდელბროტმა გამოიგონა საკუთარი ნეოლოგიზმი და მას ფრაქტალური განზომილება უწოდა. ასე რომ, ფრაქტალური განზომილება (არა მხოლოდ ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩი, არამედ ნებისმიერი სხვა) არის განზომილება, რომელსაც შეუძლია მიიღოს არა აუცილებლად მთელი მნიშვნელობები, არამედ წილადი.

ხაზოვანი გეომეტრიული ფრაქტალებისთვის განზომილება ახასიათებს მათ თვითმსგავსებას. განვიხილოთ ნახ. 17(A), წრფე შედგება N=4 სეგმენტისგან, რომელთაგან თითოეულს აქვს სიგრძე r = 1/3. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თანაფარდობას:

D = logN/log (1/r)

სულ სხვა სიტუაციაა, როცა ვსაუბრობთ მულტიფრაქტალებზე (არაწრფივი). აქ განზომილება კარგავს თავის მნიშვნელობას, როგორც ობიექტის მსგავსების განმარტებას და განისაზღვრება სხვადასხვა განზოგადებით, გაცილებით ნაკლებად ბუნებრივი, ვიდრე თვითმსგავსი ობიექტების უნიკალური განზომილება.

სავალუტო ბაზარზე განზომილება შეიძლება ახასიათებდეს ფასების კვოტების ცვალებადობას. თითოეულ სავალუტო წყვილს აქვს თავისი ქცევა ფასების თვალსაზრისით. ფუნტი/დოლარის წყვილისთვის (ნახ. 13(ა)) უფრო მშვიდია, ვიდრე ევრო/დოლარისთვის (ნახ. 13(ბ)). ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ეს ვალუტები ერთი და იგივე სტრუქტურით მოძრაობენ ფასების დონემდე, თუმცა მათ აქვთ განსხვავებული ზომები, რამაც შეიძლება გავლენა მოახდინოს შიდადღიურ ვაჭრობაზე და მოდელების ცვლილებებზე, რომლებიც გამოუცდელ სახეს აცილებენ.

ნახ. სურათი 14 გვიჩვენებს განზომილებას მათემატიკური მოდელის მიმართ, რათა უფრო ღრმად შეაღწიოთ ამ ტერმინის მნიშვნელობას. გაითვალისწინეთ, რომ სამივე ფიგურა აჩვენებს ერთსა და იმავე ციკლს. ნახ. და განზომილება არის 1.2, ნახ. ბ, განზომილება არის 1.5 და ნახ. 1.9-ში. ჩანს, რომ განზომილების მატებასთან ერთად, ობიექტის აღქმა რთულდება, იზრდება რხევების ამპლიტუდა.

ფინანსურ ბაზრებზე განზომილება აისახება არა მხოლოდ როგორც ფასების ცვალებადობა, არამედ როგორც ციკლების (ტალღების) დეტალი. მისი წყალობით ჩვენ შევძლებთ განვასხვავოთ, ეკუთვნის თუ არა ტალღა დროის გარკვეულ მასშტაბს. ნახ. 15 გვიჩვენებს ევრო/დოლარის წყვილს ყოველდღიური ფასის მასშტაბით. ყურადღება მიაქციეთ, ნათლად ხედავთ ჩამოყალიბებულ ციკლს და ახალი, უფრო დიდი ციკლის დასაწყისს. საათობრივ მასშტაბზე გადართვისა და ერთ-ერთი ციკლის მასშტაბირება, ჩვენ ვხედავთ უფრო მცირე ციკლებს და დიდის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს D1-ზე (ნახ. 16). მარყუჟის დეტალიზაცია, ე.ი. მათი განზომილება საშუალებას გვაძლევს საწყისი პირობებიდან განვსაზღვროთ, თუ როგორ შეიძლება განვითარდეს სიტუაცია მომავალში. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ: ფრაქტალური განზომილება ასახავს განსახილველი ნაკრების მასშტაბის ინვარიანტობის თვისებას.

ინვარიანტობის ცნება მანდელბროტმა შემოიტანა სიტყვიდან „დალუქული“ - მასშტაბირებადი, ე.ი. როდესაც ობიექტს აქვს ინვარიანტობის თვისება, მას აქვს ჩვენების განსხვავებული მასშტაბები.

ნახ. 16 წრე A ხაზს უსვამს მინი ციკლს (დეტალური ტალღა), წრე B - უფრო დიდი ციკლის ტალღას. ზუსტად განზომილების გამო, ჩვენ ყოველთვის არ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ყველა ციკლი ერთი და იგივე ფასის მასშტაბით.

არაპერიოდული ციკლების თვისებების განსაზღვრისა და განვითარების პრობლემებზე ვისაუბრებთ განყოფილებაში „ციკლები სავალუტო ბაზარზე“, ახლა ჩვენთვის მთავარი იყო იმის გაგება, თუ როგორ და სად ვლინდება განზომილება ფინანსურ ბაზრებზე.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები, როგორც მოდელები, გამოიყენება მაშინ, როდესაც რეალური ობიექტი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კლასიკური მოდელების სახით. და ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს არაწრფივ კავშირებთან და მონაცემთა არადეტერმინისტულ (შემთხვევით) ბუნებასთან. არაწრფივიობა იდეოლოგიური გაგებით ნიშნავს განვითარების გზების მრავალვარიანტულობას, ალტერნატიული გზებიდან არჩევანის ხელმისაწვდომობას და ევოლუციის გარკვეულ ტემპს, ასევე შეუქცევადობას. ევოლუციური პროცესები. არაწრფივობა მათემატიკური გაგებით ნიშნავს გარკვეული სახისმათემატიკური განტოლებები (არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები) შეიცავს სასურველ მნიშვნელობებს ერთზე მეტი სიმძლავრით ან კოეფიციენტებით, რაც დამოკიდებულია საშუალების თვისებებზე. არაწრფივი დინამიკური სისტემის მარტივი მაგალითი:

ჯონი წელიწადში 2 ინჩით იზრდება. ეს სისტემა განმარტავს, თუ როგორ იცვლება ჯონის სიმაღლე დროთა განმავლობაში. მოდით x(n) იყოს ჯონის სიმაღლე წელს. დაე, მისი ზრდა მომავალ წელს ჩაიწეროს x (n + 1). შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ დინამიური სისტემა განტოლების სახით:

x(n+1) = x(n) + 2.

ნახე? ეს მარტივი მათემატიკა არ არის? თუ შევიყვანთ ჯონის ამჟამინდელ სიმაღლეს x (n) = 38 ინჩი, მაშინ ერთად მარჯვენა მხარეგანტოლებაში ვიღებთ ჯონის სიმაღლეს მომავალ წელს, x (n+1) = 40 ინჩი:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

განტოლებაში მარჯვნიდან მარცხნივ მოძრაობას იტერაცია (გამეორება) ეწოდება. განტოლების გამეორება შეგვიძლია განტოლების სწორ მხარეს ჯონის ახალი სიმაღლის 40 ინჩის შეყვანით (ე.ი. x(n) = 40) და მივიღებთ x(n+1) = 42. თუ გავიმეორებთ (ვიმეორებთ) განტოლებას. 3-ჯერ ვიღებთ ჯონის სიმაღლეს 3 წელიწადში, კერძოდ 44 ინჩს, დაწყებული 38 ინჩის სიმაღლით.

ეს არის დეტერმინისტული დინამიური სისტემა. თუ ჩვენ გვინდა გავხადოთ ის არადეტერმინისტული (სტოქასტური), შეგვიძლია შევქმნათ ასეთი მოდელი: ჯონი იზრდება 2 ინჩით წელიწადში, მეტ-ნაკლებად, და დავწეროთ განტოლება:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

სადაც e არის მცირე შეცდომა (მცირე შედარებით 2), წარმოადგენს ალბათობის გარკვეულ განაწილებას.

დავუბრუნდეთ საწყის დეტერმინისტულ განტოლებას. თავდაპირველი განტოლება, x(n+1) = x(n) + 2, წრფივია. ხაზოვანი ნიშნავს, რომ თქვენ ამატებთ ცვლადებს ან მუდმივებს, ან ამრავლებთ ცვლადებს მუდმივებზე. მაგალითად, განტოლება

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

არის წრფივი. მაგრამ თუ თქვენ გაამრავლებთ ცვლადებს, ან ზრდით მათ ერთზე მეტ ხარისხზე, განტოლება (სისტემა) გახდება არაწრფივი. მაგალითად, განტოლება

x(n+1) = x(n) 2

არის არაწრფივი, რადგან x(n) კვადრატია. განტოლება

არის არაწრფივი, რადგან ორი ცვლადი, x და y, მრავლდება.

როდესაც ვიყენებთ კლასიკურ მოდელებს (მაგალითად, ტენდენცია, რეგრესია და ა.შ.), ჩვენ ვამბობთ, რომ ობიექტის მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული, ე.ი. მთლიანად დამოკიდებულია საწყის პირობებზე და ექვემდებარება მკაფიო პროგნოზს. თქვენ შეგიძლიათ დამოუკიდებლად შეასრულოთ ერთ-ერთი ასეთი მოდელი Excel-ში. მაგალითი კლასიკური მოდელიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მუდმივად კლებადი ან მზარდი ტენდენცია. ჩვენ შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ მისი ქცევა, ვიცოდეთ ობიექტის წარსული (საწყისი მონაცემები მოდელირებისთვის). და ფრაქტალები გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტს აქვს განვითარების რამდენიმე ვარიანტი და სისტემის მდგომარეობა განისაზღვრება იმ პოზიციით, რომელშიც ის ამჟამად მდებარეობს. ანუ ვცდილობთ ქაოტური განვითარების სიმულაციას. ეს სისტემა არის ბანკთაშორისი სავალუტო ბაზარი.

ახლა განვიხილოთ, როგორ მივიღოთ ის, რასაც ჩვენ ფრაქტალს ვუწოდებთ, თავისი თანდაყოლილი თვისებებით, სწორი ხაზიდან.

ნახ. 17(A) გვიჩვენებს კოხის მრუდს. აიღეთ ხაზის სეგმენტი, მისი სიგრძე = 1, ე.ი. ჯერ კიდევ ტოპოლოგიური განზომილებაა. ახლა მას გავყოფთ სამ ნაწილად (თითოეული სიგრძის 1/3), ხოლო შუა მესამედს ამოვიღებთ. მაგრამ ჩვენ შევცვლით შუა მესამედს ორი სეგმენტით (თითოეული სიგრძის 1/3), რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ტოლგვერდა სამკუთხედის ორი გვერდი. ეს არის დიზაინის მეორე ეტაპი (ბ) ნახ. 17 (A). ამ მომენტში გვაქვს 4 პატარა ნაწილი, სიგრძის თითოეული 1/3, ასე რომ მთელი სიგრძე არის 4(1/3) = 4/3. ჩვენ ვიმეორებთ ამ პროცესს ხაზის 4 პატარა ლობიდან თითოეულისთვის. ეს არის მესამე ეტაპი (c). ეს მოგვცემს 16 კიდევ უფრო მცირე ხაზის სეგმენტს, სიგრძის თითოეული 1/9. ასე რომ, მთელი სიგრძე ახლა არის 16/9 ან (4/3) 2. შედეგად მივიღეთ წილადი განზომილება. მაგრამ არა მხოლოდ ეს განასხვავებს მიღებულ სტრუქტურას სწორი ხაზისგან. იგი თავისთავად გახდა და მის რომელიმე წერტილზე ტანგენტის დახატვა შეუძლებელია (სურ. 17 (B)).

შინაარსი

მეცნიერების ყველაზე გენიალური აღმოჩენები შეიძლება რადიკალურად შეიცვალოს ადამიანის სიცოცხლე. გამოგონილ ვაქცინას შეუძლია მილიონობით ადამიანის გადარჩენა, იარაღის შექმნა კი, პირიქით, ამ სიცოცხლეს ართმევს. ცოტა ხნის წინ (მასშტაბში ადამიანის ევოლუცია) ჩვენ ვისწავლეთ ელექტროენერგიის „მოთვინიერება“ - და ახლა ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ ცხოვრებას ყველა ამ მოსახერხებელი მოწყობილობის გარეშე, რომლებიც ელექტროენერგიას იყენებენ. მაგრამ არის აღმოჩენებიც, რომლებსაც ცოტა ადამიანი ანიჭებს მნიშვნელობას, თუმცა ისინი ასევე დიდ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე.

ერთ-ერთი ასეთი "შეუმჩნეველი" აღმოჩენა არის ფრაქტალები. ალბათ გსმენიათ ეს ჩამჭრელი სიტყვა, მაგრამ იცით, რას ნიშნავს და რამდენი საინტერესო რამ იმალება ამ ტერმინში?

ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, მის გარშემო არსებული სამყაროს გაცნობის სურვილი. და ამ მისწრაფებაში ადამიანი ცდილობს განსჯებში ლოგიკის დაცვას. მის ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებისას ის ცდილობს მოძებნოს მომხდარის ლოგიკა და გამოიტანოს გარკვეული კანონზომიერება. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ საქმით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, მეცნიერები ეძებენ ნიმუშს, სადაც ის არ უნდა იყოს. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი შეიძლება მოვლენებს შორის კავშირის პოვნა. და ეს კავშირი არის ფრაქტალი.

ჩვენი პატარა ქალიშვილი, ოთხნახევარი წლის, ახლა იმ მშვენიერ ასაკშია, როდესაც უამრავი კითხვაა "რატომ?" ბევრჯერ აღემატება იმ პასუხების რაოდენობას, რომელთა გაცემაც მოზარდებს აქვთ დრო. არც ისე დიდი ხნის წინ, მიწიდან აწეულ ტოტს რომ შევხედე, ჩემმა ქალიშვილმა უცებ შენიშნა, რომ ეს ტოტი, კვანძებითა და ტოტებით, თავად ხეს ჰგავდა. და, რა თქმა უნდა, მოჰყვა ჩვეული კითხვა „რატომ?“, რისთვისაც მშობლებს უნდა ეძიათ მარტივი ახსნა, რომლის გაგებაც ბავშვს შეეძლო.

ბავშვის მიერ აღმოჩენილ მთლიან ხესთან ერთი ტოტის მსგავსება ძალიან ზუსტი დაკვირვებაა, რაც კიდევ ერთხელ მოწმობს ბუნებაში რეკურსიული თვითმსგავსების პრინციპზე. ბუნებაში ძალიან ბევრი ორგანული და არაორგანული ფორმა წარმოიქმნება ანალოგიურად. ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინის "სახლი", ხეების ქერქი და გვირგვინი, სისხლის მიმოქცევის სისტემადა ასე შემდეგ - ყველა ამ ობიექტის შემთხვევითი ფორმები შეიძლება აღწერილი იყოს ფრაქტალის ალგორითმით.

⇡ ბენუა მანდელბროტი: ფრაქტალის გეომეტრიის მამა

თავად სიტყვა „ფრაქტალი“ გაჩნდა ბრწყინვალე მეცნიერის ბენუა ბ. მანდელბროტის წყალობით.

მან ეს ტერმინი თავად გამოიგონა 1970-იან წლებში, ისესხა სიტყვა fractus ლათინურიდან, სადაც სიტყვასიტყვით ნიშნავს "გატეხილი" ან "დამსხვრეული". Რა არის ეს? დღეს სიტყვა "ფრაქტალი" ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებაზე, რომელიც მსგავსია უფრო დიდი მასშტაბით.

ფრაქტალების თეორიის გაჩენის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ბენუა მანდელბროტის დაბადებამდე მრავალი წლით ადრე, მაგრამ მისი განვითარება მხოლოდ გამოთვლითი მოწყობილობების გამოჩენით შეიძლებოდა. სამეცნიერო კარიერის დასაწყისში ბენუა მუშაობდა IBM კვლევით ცენტრში. ამ დროს ცენტრის თანამშრომლები მონაცემთა დისტანციურ გადაცემაზე მუშაობდნენ. კვლევის დროს მეცნიერებს შეექმნათ ხმაურის ჩარევის შედეგად წარმოქმნილი დიდი დანაკარგების პრობლემა. სანამ ბენუა იდგა რთული და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანა- გაიგეთ, როგორ გამოიცნოთ ხმაურის ჩარევის წარმოშობა ელექტრონულ სქემებში, როდესაც სტატისტიკური მეთოდი არაეფექტურია.

ხმაურის გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მანდელბროტმა ყურადღება მიიპყრო ერთ უცნაურ ნიმუშზე - სხვადასხვა მასშტაბის ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა. იდენტური ნიმუში დაფიქსირდა იმისდა მიუხედავად, იყო თუ არა ეს ხმაურის ნაკვეთი ერთი დღის, კვირის ან საათის განმავლობაში. ღირდა გრაფიკის მასშტაბის შეცვლა და სურათი ყოველ ჯერზე მეორდებოდა.

ზე ბენუას ცხოვრებამანდელბროტმა არაერთხელ თქვა, რომ ის არ ეხება ფორმულებს, არამედ უბრალოდ თამაშობს სურათებს. ეს კაცი ძალიან გადატანითი მნიშვნელობით ფიქრობდა და ნებისმიერი ალგებრული პრობლემაითარგმნა გეომეტრიის სფეროში, სადაც, მისი თქმით, სწორი პასუხი ყოველთვის აშკარაა.

გასაკვირი არ არის, რომ სწორედ ასეთი მდიდარი სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი გახდა ფრაქტალის გეომეტრიის მამა. ყოველივე ამის შემდეგ, ფრაქტალების არსის გაცნობიერება ხდება ზუსტად მაშინ, როდესაც დაიწყებთ ნახატების შესწავლას და ფიქრობთ უცნაური მორევის ნიმუშების მნიშვნელობაზე.

ფრაქტალ ნიმუშს არ აქვს იდენტური ელემენტები, მაგრამ აქვს მსგავსება ნებისმიერი მასშტაბით. შექმენით ეს სურათი მაღალი ხარისხიხელით დეტალების დახატვა ადრე უბრალოდ შეუძლებელი იყო, მას დიდი გამოთვლები სჭირდებოდა. Მაგალითად, ფრანგი მათემატიკოსიპიერ ჯოზეფ ლუი ფატუმ აღწერა ეს ნაკრები ბენუა მანდელბროტის აღმოჩენამდე სამოცდაათი წლით ადრე. თუ ვსაუბრობთ თვითმსგავსების პრინციპებზე, მაშინ ისინი ნახსენები იყო ლაიბნიცისა და გეორგ კანტორის ნაშრომებში.

ფრაქტალის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო მანდელბროტის ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც წარმოიშვა გასტონ მორის ჯულიას კვლევის შედეგად.

გასტონ ჯულია (ყოველთვის ნიღბიანი - პირველი მსოფლიო ომის ტრავმა)

ამ ფრანგ მათემატიკოსს აინტერესებდა როგორ გამოიყურებოდა ნაკრები, თუ იგი აგებული იქნებოდა უკუკავშირის მარყუჟის მიერ განმეორებადი მარტივი ფორმულისგან. თუ ახსნილია „თითებზე“, ეს ნიშნავს, რომ კონკრეტული რიცხვისთვის ჩვენ ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობას ფორმულის გამოყენებით, რის შემდეგაც მას კვლავ ჩავცვლით ფორმულაში და ვიღებთ სხვა მნიშვნელობას. შედეგი არის რიცხვების დიდი თანმიმდევრობა.

ასეთი ნაკრების სრული სურათის მისაღებად, თქვენ უნდა გააკეთოთ უზარმაზარი გამოთვლები - ასობით, ათასობით, მილიონობით. უბრალოდ შეუძლებელი იყო ამის ხელით გაკეთება. მაგრამ როდესაც მათემატიკოსების განკარგულებაში გამოჩნდა ძლიერი გამოთვლითი მოწყობილობები, მათ შეძლეს ახალი დათვალიერება ფორმულებსა და გამონათქვამებზე, რომლებიც დიდი ხნის განმავლობაში იწვევდა ინტერესს. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი კლასიკური ფრაქტალის გამოსათვლელად. დიდი რაოდენობით მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობის დამუშავების შემდეგ, ბენუამ შედეგები გადაიტანა გრაფიკზე. აი რა მიიღო მან.

შემდგომში, ეს სურათი შეღებილი იქნა (მაგალითად, შეღებვის ერთ-ერთი გზა არის გამეორებების რაოდენობა) და გახდა ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარული სურათი, რომელიც ოდესმე შექმნილა ადამიანის მიერ.

როგორც ჰერაკლიტე ეფესელს მიეწერება უძველესი გამონათქვამი ამბობს: „ერთ მდინარეში ორჯერ ვერ შეხვალ“. ის საუკეთესოდ შეეფერება ფრაქტალების გეომეტრიის ინტერპრეტაციას. რაც არ უნდა დეტალურად განვიხილოთ ფრაქტალის სურათი, ჩვენ ყოველთვის დავინახავთ მსგავს ნიმუშს.

მათ, ვისაც სურს ნახოს, როგორ გამოიყურება მანდელბროტის სივრცის გამოსახულება მრავალჯერ გადიდებისას, შეუძლიათ ამის გაკეთება ანიმაციური GIF-ის ატვირთვით.

⇡ ლორენ კარპენტერი: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორიამ მალევე იპოვა პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ის მჭიდროდ არის დაკავშირებული საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, გასაკვირი არ არის, რომ პირველებმა გამოიყენეს ალგორითმები და პრინციპები უჩვეულო ფორმების ასაგებად, იყვნენ მხატვრები.

ლეგენდარული Pixar სტუდიის მომავალმა თანადამფუძნებელმა, ლორენ კარპენტერმა 1967 წელს დაიწყო მუშაობა Boeing Computer Services-ში, რომელიც იყო ცნობილი კორპორაციის ერთ-ერთი განყოფილება, რომელიც დაკავებული იყო ახალი თვითმფრინავების შემუშავებით.

1977 წელს მან შექმნა პრეზენტაციები მფრინავი მოდელების პროტოტიპებით. ლორენი პასუხისმგებელი იყო შემუშავებული თვითმფრინავის სურათების შემუშავებაზე. მას უნდა შეექმნა ახალი მოდელების სურათები, რომლებიც აჩვენებდნენ მომავალ თვითმფრინავებს სხვადასხვა პარტიები. რაღაც მომენტში Pixar Animation Studios-ის მომავალ დამფუძნებელს გაუჩნდა კრეატიული იდეა მთების გამოსახულების ფონად გამოსაყენებლად. დღეს ნებისმიერ სკოლის მოსწავლეს შეუძლია ასეთი პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ გასული საუკუნის სამოცდაათიანი წლების ბოლოს კომპიუტერები ვერ უმკლავდებოდნენ ასეთ რთულ გამოთვლებს - არ იყო გრაფიკული რედაქტორები, რომ აღარაფერი ვთქვათ სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციებზე. 1978 წელს ლორენმა შემთხვევით ნახა ბენუა მანდელბროტის წიგნი ფრაქტალები: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება მაღაზიაში. ამ წიგნში მისი ყურადღება მიიპყრო ის იყო, რომ ბენოისტმა მოიყვანა ფრაქტალის ფორმების მრავალი მაგალითი ნამდვილი ცხოვრებადა დაამტკიცა, რომ მათი აღწერა შესაძლებელია მათემატიკური გამოსახულებით.

ეს ანალოგია მათემატიკოსმა შემთხვევით არ აირჩია. ფაქტია, რომ როგორც კი მან გამოაქვეყნა თავისი კვლევა, მას კრიტიკის მთელი აურზაური მოუხდა. მთავარი, რითაც კოლეგებმა საყვედურობდნენ, შემუშავებული თეორიის უსარგებლობა იყო. - დიახ, - უთხრეს, - ეს ლამაზი სურათებია, მაგრამ მეტი არაფერი. პრაქტიკული ღირებულებაფრაქტალების თეორიას არ გააჩნია. იყვნენ ისეთებიც, რომლებსაც ზოგადად სჯეროდათ, რომ ფრაქტალის შაბლონები უბრალოდ "ეშმაკის მანქანების" მუშაობის გვერდითი პროდუქტი იყო, რომელიც სამოცდაათიანი წლების ბოლოს ბევრს ეჩვენებოდა, რომ ძალიან რთული და შეუსწავლელი იყო, რომ სრულად ენდობოდა. მანდელბროტი ცდილობდა ეპოვა ფრაქტალების თეორიის აშკარა გამოყენება, მაგრამ, ზოგადად, მას ამის გაკეთება არ სჭირდებოდა. ბენუა მანდელბროტის მიმდევრებმა მომდევნო 25 წლის განმავლობაში დაამტკიცა დიდი სარგებელიასეთი „მათემატიკური ცნობისმოყვარეობიდან“ და ლორენ კარპენტერი იყო ერთ-ერთი პირველი, ვინც პრაქტიკაში გამოიყენა ფრაქტალის მეთოდი.

წიგნის შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორი სერიოზულად შეისწავლა ფრაქტალის გეომეტრიის პრინციპები და დაიწყო კომპიუტერულ გრაფიკაში მისი განხორციელების გზის ძიება. სულ რაღაც სამ დღეში მუშაობისას ლორენმა შეძლო რეალისტური გამოსახულების შექმნა. მთის სისტემათქვენს კომპიუტერში. ანუ ფორმულების დახმარებით მან სრულიად ცნობადი მთის პეიზაჟი დახატა.

პრინციპი, რომელიც ლორენმა გამოიყენა თავისი მიზნის მისაღწევად, ძალიან მარტივი იყო. იგი შედგებოდა უფრო დიდი გეომეტრიული ფიგურის წვრილ ელემენტებად დაყოფაში და ისინი, თავის მხრივ, იყოფა მსგავს პატარა ფიგურებად.

უფრო დიდი სამკუთხედების გამოყენებით, კარპენტერმა დაყო ისინი ოთხ მცირედ და შემდეგ გაიმეორა ეს პროცედურა უსასრულოდ, სანამ რეალისტური მთის პეიზაჟი არ გამოირჩეოდა. ამრიგად, მან მოახერხა გამხდარიყო პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში სურათების შესაქმნელად. როგორც კი ცნობილი გახდა შესრულებული სამუშაოს შესახებ, ენთუზიასტებმა მთელ მსოფლიოში აითვისეს ეს იდეა და დაიწყეს ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენება რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

ერთ-ერთი პირველი 3D რენდერი ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით

სულ რამდენიმე წლის შემდეგ ლორენ კარპენტერმა შეძლო თავისი მიღწევების გამოყენება ბევრად უფრო დიდ პროექტში. ანიმატორმა ისინი დააფუძნა ორწუთიან დემო ვერსიაზე, Vol Libre, რომელიც აჩვენეს Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ შოკში ჩააგდო ყველა, ვინც ნახა და ლორენმა მიიღო მოწვევა Lucasfilm-ისგან.

ანიმაცია გადაღებულია VAX-11/780 კომპიუტერზე Digital Equipment Corporation-ის საათის სიჩქარით ხუთი მეგაჰერცი, და თითოეული კადრის დახატვას დაახლოებით ნახევარი საათი დასჭირდა.

Lucasfilm Limited-ში მუშაობისას ანიმატორმა შექმნა იგივე 3D პეიზაჟები Star Trek საგის მეორე მხატვრული ფილმისთვის. ხანის რისხვაში კარპენტერმა შეძლო მთელი პლანეტის შექმნა ფრაქტალური ზედაპირის მოდელირების იგივე პრინციპის გამოყენებით.

ამჟამად, ყველა პოპულარული აპლიკაცია 3D ლანდშაფტების შესაქმნელად იყენებს ბუნებრივი ობიექტების გენერირების იმავე პრინციპს. Terragen, Bryce, Vue და სხვა 3D რედაქტორები ეყრდნობიან ფრაქტალური ზედაპირისა და ტექსტურის მოდელირების ალგორითმს.

⇡ ფრაქტალური ანტენები: ნაკლები უკეთესია, მაგრამ უკეთესი

ბოლო ნახევარი საუკუნის განმავლობაში ცხოვრება სწრაფად შეიცვალა. უმეტესობა ჩვენგანს მიაჩნია მიღწეულ მიღწევებს თანამედროვე ტექნოლოგიებში. ყველაფერს, რაც ცხოვრებას უფრო კომფორტულს ხდის, ძალიან სწრაფად ეჩვევი. იშვიათად ვინმე სვამს კითხვებს "საიდან გაჩნდა ეს?" და "როგორ მუშაობს?". მიკროტალღური ღუმელი ათბობს საუზმეს - კარგი, მშვენიერია, სმარტფონი საშუალებას გაძლევთ ისაუბროთ სხვა ადამიანთან - შესანიშნავია. ეს ჩვენთვის აშკარა შესაძლებლობად გვეჩვენება.

მაგრამ ცხოვრება შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული, თუ ადამიანი არ ეძებს ახსნას მომხდარ მოვლენებს. აიღეთ, მაგალითად, მობილური ტელეფონები. გახსოვთ დასაკეცი ანტენები პირველ მოდელებზე? ისინი ერეოდნენ, გაზარდეს მოწყობილობის ზომა, საბოლოოდ, ხშირად იშლებოდა. ჩვენ გვჯერა, რომ ისინი სამუდამოდ დაივიწყეს და ნაწილობრივ ამის გამო ... ფრაქტალები.

ფრაქტალური ნახატები ხიბლავს მათი ნიმუშებით. ისინი ნამდვილად წააგავს კოსმოსური ობიექტების გამოსახულებებს - ნისლეულებს, გალაქტიკათა გროვას და ა.შ. ამიტომ, სავსებით ბუნებრივია, რომ როდესაც მანდელბროტმა გააჟღერა თავისი ფრაქტალების თეორია, მისმა კვლევამ გაზარდა ინტერესი მათ შორის, ვინც ასტრონომიას სწავლობდა. ერთ-ერთი ასეთი მოყვარული, სახელად ნათან კოენი, ბუდაპეშტში ბენუა მანდელბროტის ლექციაზე დასწრების შემდეგ, შთაგონებული იყო მიღებული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენების იდეით. მართალია, მან ეს ინტუიციურად გააკეთა და შემთხვევითობამ მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მის აღმოჩენაში. როგორც რადიომოყვარული, ნათანი ცდილობდა შეექმნა ანტენა მაქსიმალური მგრძნობელობით.

ანტენის პარამეტრების გაუმჯობესების ერთადერთი გზა, რაც იმ დროისთვის იყო ცნობილი, იყო მისი გეომეტრიული ზომების გაზრდა. თუმცა, ნათანის ბოსტონის ცენტრში ბინის მფლობელი კატეგორიულად ეწინააღმდეგებოდა სახურავის დიდი მოწყობილობების დაყენებას. შემდეგ ნათანმა დაიწყო ექსპერიმენტები სხვადასხვა ფორმის ანტენებით, ცდილობდა მაქსიმალური შედეგი მიეღო მინიმალური ზომით. ფრაქტალური ფორმების იდეით გაჩაღებულმა კოენმა, როგორც ამბობენ, შემთხვევით გააკეთა მავთულისგან ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალი - "კოხის ფიფქი". შვედმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა ეს მრუდი ჯერ კიდევ 1904 წელს გამოიგონა. იგი მიიღება სეგმენტის სამ ნაწილად დაყოფით და შუა სეგმენტის ჩანაცვლებით ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტთან დამთხვევის გვერდის გარეშე. განმარტება ცოტა რთული გასაგებია, მაგრამ ფიგურა ნათელი და მარტივია.

ასევე არსებობს "კოხის მრუდის" სხვა სახეობები, მაგრამ მრუდის სავარაუდო ფორმა მსგავსი რჩება.

როდესაც ნათანმა ანტენა რადიოს მიმღებს დაუკავშირა, ძალიან გაუკვირდა - მგრძნობელობა მკვეთრად გაიზარდა. ექსპერიმენტების სერიის შემდეგ, ბოსტონის უნივერსიტეტის მომავალმა პროფესორმა გააცნობიერა, რომ ფრაქტალის ნიმუშის მიხედვით დამზადებულ ანტენას აქვს მაღალი ეფექტურობა და კლასიკურ გადაწყვეტილებებთან შედარებით გაცილებით ფართო სიხშირის დიაპაზონს მოიცავს. გარდა ამისა, ანტენის ფორმამ ფრაქტალური მრუდის სახით შეიძლება მნიშვნელოვნად შეამციროს გეომეტრიული ზომები. ნათან კოენმა თეორემაც კი შეიმუშავა, რომელიც ამტკიცებს, რომ ფართოზოლოვანი ანტენის შესაქმნელად, საკმარისია მას მივცეთ მსგავსი ფრაქტალის მრუდის ფორმა.

ავტორმა დააპატენტა თავისი აღმოჩენა და დააარსა ფირმა ფრაქტალური ანტენების განვითარებისა და დიზაინისთვის Fractal Antenna Systems, მართებულად თვლიდა, რომ მომავალში, მისი აღმოჩენის წყალობით, მობილურ ტელეფონებს შეეძლებათ თავი დაეღწია ნაყარი ანტენებისგან და გახდნენ უფრო კომპაქტური.

ძირითადად, ასეც მოხდა. მართალია, დღემდე ნათანი სასამართლოშია მსხვილ კორპორაციებთან, რომლებიც უკანონოდ იყენებენ მის აღმოჩენას კომპაქტური საკომუნიკაციო მოწყობილობების დასამზადებლად. ზოგიერთი ცნობილი მწარმოებელი მობილური მოწყობილობები, როგორიცაა Motorola, უკვე მიაღწიეს სამშვიდობო შეთანხმებას ფრაქტალური ანტენის გამომგონებელთან.

⇡ ფრაქტალური ზომები: გონება არ ესმის

ბენუამ ეს კითხვა ცნობილი ამერიკელი მეცნიერის ედვარდ კასნერისგან ისესხა.

ამ უკანასკნელს, ისევე როგორც ბევრ სხვა ცნობილ მათემატიკოსს, ძალიან უყვარდა ბავშვებთან ურთიერთობა, მათთვის კითხვების დასმა და მოულოდნელი პასუხების მიღება. ზოგჯერ ეს იწვევს გასაოცარ შედეგებს. ასე, მაგალითად, ედვარდ კასნერის ცხრა წლის ძმისშვილმა მოიფიქრა ახლა კარგად ცნობილი სიტყვა "გუგოლი", რომელიც აღნიშნავს ერთეულს ასი ნულით. მაგრამ დავუბრუნდეთ ფრაქტალებს. ამერიკელ მათემატიკოსს მოსწონდა კითხვა, რამდენი ხანია აშშ-ს სანაპირო ზოლი. თანამოსაუბრის აზრის მოსმენის შემდეგ ედვარდმა თავად თქვა სწორი პასუხი. თუ გაზომავთ სიგრძეს რუკაზე გატეხილი სეგმენტებით, მაშინ შედეგი იქნება არაზუსტი, რადგან სანაპირო ზოლს აქვს დიდი რაოდენობით დარღვევები. და რა მოხდება, თუ მაქსიმალურად ზუსტად გაზომავთ? თქვენ მოგიწევთ თითოეული უთანასწორობის სიგრძის გათვალისწინება - თქვენ უნდა გაზომოთ თითოეული კონცხი, თითოეული ყურე, კლდე, კლდოვანი რაფის სიგრძე, მასზე ქვა, ქვიშის მარცვალი, ატომი და ა.შ. ვინაიდან დარღვევების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, სანაპირო ზოლის გაზომილი სიგრძე უსასრულობამდე გაიზრდება ყოველი ახალი დარღვევით.

რაც უფრო მცირეა ზომა გაზომვისას, მით მეტია გაზომილი სიგრძე

საინტერესოა, რომ ედვარდის მოთხოვნის შემდეგ ბავშვები უფროსებზე ბევრად სწრაფად ამბობდნენ სწორ პასუხს, ამ უკანასკნელებს კი უჭირდათ ასეთი წარმოუდგენელი პასუხის მიღება.

ამ პრობლემის მაგალითის გამოყენებით მანდელბროტმა შესთავაზა გაზომვების ახალი მიდგომის გამოყენება. ვინაიდან სანაპირო ზოლი ახლოს არის ფრაქტალ მრუდთან, ეს ნიშნავს, რომ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას დამახასიათებელი პარამეტრი, ე.წ. ფრაქტალური განზომილება.

რა არის ჩვეულებრივი განზომილება, ყველასთვის გასაგებია. თუ განზომილება ერთის ტოლია, მივიღებთ სწორ ხაზს, თუ ორი - ბრტყელი ფიგურა, სამი არის მოცულობა. თუმცა, განზომილების ეს გაგება მათემატიკაში არ მუშაობს ფრაქტალ მრუდებით, სადაც ეს პარამეტრია წილადი მნიშვნელობა. მათემატიკაში ფრაქტალის განზომილება პირობითად შეიძლება ჩაითვალოს „უხეშობად“. რაც უფრო მაღალია მრუდის უხეშობა, მით მეტია მისი ფრაქტალური განზომილება. მრუდს, რომელსაც მანდელბროტის აზრით, აქვს ფრაქტალური განზომილება უფრო მაღალი ვიდრე მისი ტოპოლოგიური განზომილება, აქვს სავარაუდო სიგრძე, რომელიც არ არის დამოკიდებული განზომილებების რაოდენობაზე.

ამჟამად მეცნიერები სულ უფრო მეტ სფეროს პოულობენ ფრაქტალის თეორიის გამოყენებისთვის. ფრაქტალების დახმარებით შეგიძლიათ გააანალიზოთ აქციების ფასების რყევები, შეისწავლოთ ყველა სახის ბუნებრივი პროცესი, როგორიცაა სახეობების რაოდენობის რყევები, ან ნაკადების დინამიკის სიმულაცია. ფრაქტალური ალგორითმები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მონაცემთა შეკუმშვისთვის, მაგალითად გამოსახულების შეკუმშვისთვის. სხვათა შორის, კომპიუტერის ეკრანზე ლამაზი ფრაქტალის მისაღებად, არ არის აუცილებელი გქონდეთ დოქტორის ხარისხი.

⇡ ფრაქტალი ბრაუზერში

შესაძლოა, ფრაქტალის ნიმუშის მისაღებად ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზაა ახალგაზრდა ნიჭიერი პროგრამისტის ტობი შაჩმანის ონლაინ ვექტორული რედაქტორის გამოყენება. ამ მარტივი გრაფიკული რედაქტორის ინსტრუმენტთა ნაკრები ეფუძნება თვითმსგავსების იმავე პრინციპს.

თქვენს განკარგულებაშია მხოლოდ ორი მარტივი ფორმა - კვადრატი და წრე. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ისინი ტილოზე, გააფართოვოთ (ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ მასშტაბირება, დააჭიროთ Shift ღილაკს) და დაატრიალოთ. ლოგიკური მიმატების ოპერაციების პრინციპის გადაფარვით, ეს უმარტივესი ელემენტები ქმნიან ახალ, ნაკლებად ტრივიალურ ფორმებს. გარდა ამისა, ეს ახალი ფორმები შეიძლება დაემატოს პროექტს და პროგრამა განუსაზღვრელი ვადით გაიმეორებს ამ სურათების გენერაციას. ფრაქტალზე მუშაობის ნებისმიერ ეტაპზე შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ რთული ფორმის ნებისმიერ კომპონენტს და შეცვალოთ მისი პოზიცია და გეომეტრია. მომხიბლავი აქტივობა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც თვლით, რომ ერთადერთი ინსტრუმენტი, რომელიც გჭირდებათ კრეატიულობისთვის, არის ბრაუზერი. თუ არ გესმით ამ რეკურსიულ ვექტორულ რედაქტორთან მუშაობის პრინციპი, გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს პროექტის ოფიციალურ ვებგვერდზე, სადაც დეტალურად არის ნაჩვენები ფრაქტალის შექმნის მთელი პროცესი.

⇡ XaoS: ფრაქტალები ყველა გემოვნებისთვის

ბევრ გრაფიკულ რედაქტორს აქვს ჩაშენებული ხელსაწყოები ფრაქტალის შაბლონების შესაქმნელად. თუმცა, ეს ხელსაწყოები, როგორც წესი, მეორეხარისხოვანია და არ გაძლევენ გენერირებული ფრაქტალის ნიმუშის დაზუსტების საშუალებას. იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია მათემატიკურად ზუსტი ფრაქტალის შექმნა, XaoS კროს პლატფორმის რედაქტორი მოვა სამაშველოში. ეს პროგრამა შესაძლებელს ხდის არა მხოლოდ საკუთარი თავის მსგავსი სურათის შექმნას, არამედ მასთან ერთად სხვადასხვა მანიპულაციების შესრულებას. მაგალითად, რეალურ დროში შეგიძლიათ „გაიაროთ“ ფრაქტალში მისი მასშტაბის შეცვლით. ანიმაციური მოძრაობა ფრაქტალის გასწვრივ შეიძლება შეინახოს როგორც XAF ფაილი და შემდეგ დაკვრა თავად პროგრამაში.

XaoS-ს შეუძლია პარამეტრების შემთხვევითი ნაკრების ჩატვირთვა, ასევე გამოსახულების შემდგომი დამუშავების სხვადასხვა ფილტრების გამოყენება - ბუნდოვანი მოძრაობის ეფექტის დამატება, ფრაქტალ წერტილებს შორის მკვეთრი გადასვლების გამარტივება, 3D გამოსახულების სიმულაცია და ა.შ.

⇡ ფრაქტალის ზუმერი: კომპაქტური ფრაქტალის გენერატორი

სხვა ფრაქტალური გამოსახულების გენერატორებთან შედარებით, მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა. ჯერ ერთი, ის საკმაოდ მცირე ზომისაა და არ საჭიროებს ინსტალაციას. მეორეც, ის ახორციელებს სურათის ფერთა პალიტრის განსაზღვრის უნარს. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ჩრდილები RGB, CMYK, HVS და HSL ფერის მოდელებში.

ასევე ძალიან მოსახერხებელია ფერთა ჩრდილების შემთხვევითი შერჩევის და სურათზე ყველა ფერის ინვერსიის ფუნქციის გამოყენება. ფერის დასარეგულირებლად არის ჩრდილების ციკლური შერჩევის ფუნქცია - როდესაც ჩართულია შესაბამისი რეჟიმი, პროგრამა აცოცხლებს სურათს, ციკლურად ცვლის მასზე ფერებს.

Fractal Zoomer-ს შეუძლია 85 სხვადასხვა ფრაქტალის ფუნქციის ვიზუალიზაცია და ფორმულები ნათლად არის ნაჩვენები პროგრამის მენიუში. პროგრამაში არის ფილტრები სურათების შემდგომი დამუშავებისთვის, თუმცა მცირე რაოდენობით. თითოეული მინიჭებული ფილტრი შეიძლება ნებისმიერ დროს გაუქმდეს.

⇡ Mandelbulb3D: 3D ფრაქტალის რედაქტორი

როდესაც ტერმინი "ფრაქტალი" გამოიყენება, ის ყველაზე ხშირად ნიშნავს ბრტყელ ორგანზომილებიან გამოსახულებას. თუმცა, ფრაქტალის გეომეტრია სცილდება 2D განზომილებას. ბუნებაში შეგიძლიათ იპოვოთ ბრტყელი ფრაქტალის ფორმების ორივე მაგალითი, მაგალითად, ელვის გეომეტრია და სამგანზომილებიანი სამგანზომილებიანი ფიგურები. ფრაქტალის ზედაპირები შეიძლება იყოს 3D და 3D ფრაქტალების ერთ-ერთი ძალიან საილუსტრაციო ილუსტრაცია Ყოველდღიური ცხოვრების- კომბოსტოს თავი. ალბათ ფრაქტალების სანახავად საუკეთესო საშუალებაა რომანესკოში, ყვავილოვანი კომბოსტოს და ბროკოლის ჰიბრიდი.

და ამ ფრაქტალის ჭამა შეიძლება

Mandelbulb3D პროგრამას შეუძლია შექმნას მსგავსი ფორმის სამგანზომილებიანი ობიექტები. 3D ზედაპირის მისაღებად ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით, ამ აპლიკაციის ავტორებმა, დენიელ უაიტმა და პოლ ნილანდერმა, მანდელბროტის ნაკრები გადააკეთეს სფერულ კოორდინატებად. მათ მიერ შექმნილი Mandelbulb3D პროგრამა არის ნამდვილი სამგანზომილებიანი რედაქტორი, რომელიც აყალიბებს სხვადასხვა ფორმის ფრაქტალურ ზედაპირებს. ვინაიდან ბუნებაში ხშირად ვაკვირდებით ფრაქტალის ნიმუშებს, ხელოვნურად შექმნილი ფრაქტალის სამგანზომილებიანი ობიექტი წარმოუდგენლად რეალისტური და თუნდაც „ცოცხალი“ ჩანს.

შეიძლება მცენარეს ჰგავდეს, უცნაურ ცხოველს, პლანეტას ან სხვა რამეს დაემსგავსოს. ამ ეფექტს აძლიერებს რენდერის გაფართოებული ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს ხდის რეალისტური ასახვის მიღებას, გამჭვირვალობისა და ჩრდილების გამოთვლას, ველის სიღრმის ეფექტის სიმულაციას და ა.შ. Mandelbulb3D-ს აქვს უამრავი პარამეტრი და რენდერის პარამეტრები. თქვენ შეგიძლიათ აკონტროლოთ სინათლის წყაროების ჩრდილები, აირჩიოთ მოდელირებული ობიექტის ფონი და დეტალების დონე.

Incendia ფრაქტალის რედაქტორი მხარს უჭერს გამოსახულების ორმაგ გამარტივებას, შეიცავს ორმოცდაათი სხვადასხვა სამგანზომილებიანი ფრაქტალის ბიბლიოთეკას და აქვს ცალკე მოდული ძირითადი ფორმების რედაქტირებისთვის.

აპლიკაცია იყენებს ფრაქტალ სკრიპტირებას, რომლითაც შეგიძლიათ დამოუკიდებლად აღწეროთ ფრაქტალის სტრუქტურების ახალი ტიპები. Incendia-ს აქვს ტექსტურის და მასალის რედაქტორები და რენდერის ძრავა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ მოცულობითი ნისლის ეფექტები და სხვადასხვა ჩრდილები. პროგრამას აქვს შესაძლებლობა შეინახოს ბუფერი გრძელვადიანი რენდერის დროს, მხარდაჭერილია ანიმაციის შექმნა.

Incendia საშუალებას გაძლევთ ექსპორტი გააკეთოთ ფრაქტალის მოდელი პოპულარულ 3D გრაფიკულ ფორმატებში - OBJ და STL. Incendia მოიცავს პატარა Geometrica-ს - სპეციალურ ხელსაწყოს ფრაქტალური ზედაპირის სამგანზომილებიან მოდელზე ექსპორტის დასაყენებლად. ამ პროგრამის გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ 3D ზედაპირის გარჩევადობა, მიუთითოთ ფრაქტალის გამეორებების რაოდენობა. ექსპორტირებული მოდელების გამოყენება შესაძლებელია 3D პროექტებში ასეთებთან მუშაობისას 3D რედაქტორები, როგორიცაა Blender, 3ds max და სხვები.

AT ბოლო დროს Incendia პროექტზე მუშაობა გარკვეულწილად შენელდა. ამ დროისთვის ავტორი ეძებს სპონსორებს, რომლებიც დაეხმარებიან მას პროგრამის განვითარებაში.

თუ თქვენ არ გაქვთ საკმარისი ფანტაზია ამ პროგრამაში ლამაზი სამგანზომილებიანი ფრაქტალის დახატვისთვის, არ აქვს მნიშვნელობა. გამოიყენეთ პარამეტრების ბიბლიოთეკა, რომელიც მდებარეობს INCENDIA_EX\parameters საქაღალდეში. PAR ფაილების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ყველაზე უჩვეულო ფრაქტალის ფორმები, მათ შორის ანიმაციური.

⇡ ხმოვანი: როგორ მღერიან ფრაქტალები

ჩვენ ჩვეულებრივ არ ვსაუბრობთ პროექტებზე, რომლებზეც ახლახან მიმდინარეობს მუშაობა, მაგრამ ამ შემთხვევაში გამონაკლისი უნდა გავაკეთოთ, ეს ძალიან უჩვეულო აპლიკაციაა. პროექტი სახელწოდებით Aural გამოვიდა იმავე ადამიანთან ერთად, როგორც Incendia. მართალია, ამჯერად პროგრამა არ ახდენს ფრაქტალის ნაკრების ვიზუალიზაციას, არამედ ახმოვანებს მას, აქცევს მას ელექტრონულ მუსიკად. იდეა ძალიან საინტერესოა, განსაკუთრებით ფრაქტალების უჩვეულო თვისებების გათვალისწინებით. Aural არის აუდიო რედაქტორი, რომელიც ქმნის მელოდიებს ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით, ანუ, ფაქტობრივად, ის არის აუდიო სინთეზატორი-სექვენერატორი.

ამ პროგრამის მიერ გაცემული ბგერების თანმიმდევრობა უჩვეულო და ... ლამაზია. ის შეიძლება კარგად გამოდგეს თანამედროვე რიტმების დასაწერად და, ჩვენი აზრით, განსაკუთრებით შესაფერისია ტელევიზორისა და რადიო სქრინსეივერებისთვის საუნდტრეკის შესაქმნელად, ასევე "მარყუჟების" შესაქმნელად. მუსიკალური ფონირომ კომპიუტერული თამაშები. რამიროს ჯერ არ გაუკეთებია თავისი პროგრამის დემო ვერსია, მაგრამ გვპირდება, რომ როცა ამას აკეთებს, აურალთან მუშაობისთვის, მას არ დასჭირდება ფრაქტალების თეორიის სწავლა - უბრალოდ ითამაშე ალგორითმის პარამეტრებთან ნოტების თანმიმდევრობის შესაქმნელად. . მოუსმინეთ როგორ ჟღერს ფრაქტალები და.

ფრაქტალები: მუსიკალური პაუზა

სინამდვილეში, ფრაქტალებს შეუძლიათ დაგეხმარონ მუსიკის დაწერაში პროგრამული უზრუნველყოფის გარეშეც კი. მაგრამ ეს შეიძლება გააკეთოს მხოლოდ მას, ვინც ნამდვილად არის გაჟღენთილი ბუნებრივი ჰარმონიის იდეით და ამავე დროს არ გადაიქცა უბედურ „ნერდად“. აზრი აქვს მუსიკოსისგან, სახელად ჯონათან კულტონისგან, რომელიც, სხვა საკითხებთან ერთად, წერს კომპოზიციებს ჟურნალის Popular Science-ისთვის. და სხვა მხატვრებისგან განსხვავებით, კოლტონი აქვეყნებს თავის ყველა ნამუშევარს Creative Commons Attribution-არაკომერციული ლიცენზიით, რომელიც (არაკომერციული მიზნებისთვის გამოყენებისას) ითვალისწინებს ნამუშევრის უფასო კოპირებას, გავრცელებას, სხვებისთვის გადაცემას, ასევე მის მოდიფიკაციას (შექმნას). წარმოებული სამუშაოების) თქვენს საჭიროებებზე მორგების მიზნით.

ჯონათან კოლტონს, რა თქმა უნდა, აქვს სიმღერა ფრაქტალებზე.

⇡ დასკვნა

ყველაფერში, რაც ჩვენს გარშემოა, ჩვენ ხშირად ვხედავთ ქაოსს, მაგრამ სინამდვილეში ეს არ არის უბედური შემთხვევა, მაგრამ იდეალური ფორმა, რომლის დანახვაში ფრაქტალები გვეხმარება. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ სადმე ვერ ვხედავთ შაბლონებს, ეს ნიშნავს, რომ ის სხვა მასშტაბით უნდა ვეძებოთ. ხალხი ამას უკეთესად და უკეთესად ესმის, ცდილობს მრავალი გზით მიბაძოს ბუნებრივი ფორმები. ინჟინრების დიზაინი აკუსტიკური სისტემებიჭურვის სახით შექმენით ანტენები ფიფქების გეომეტრიით და ა.შ. დარწმუნებული ვართ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ბევრ საიდუმლოს ინახავს და ბევრი მათგანი ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი ადამიანმა.

NNN-ის რედაქტორები შემთხვევით წააწყდნენ ძალიან საინტერესო მასალა, წარმოდგენილია მომხმარებლის xtsarx-ის ბლოგში, რომელიც ეძღვნება თეორიის ელემენტებს ფრაქტალებიდა ის პრაქტიკული გამოყენება. როგორც ცნობილია, ფრაქტალების თეორია მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ნანოსისტემების ფიზიკასა და ქიმიაში. ჩვენი წვლილი შევიტანოთ ამ მყარ მასალაში, რომელიც წარმოდგენილია მკითხველთა ფართო სპექტრისთვის ხელმისაწვდომ ენაზე და მხარდაჭერილია უხვი გრაფიკული და თუნდაც ვიდეო მასალებით, წარმოგიდგენთ მას თქვენს ყურადღებას. ვიმედოვნებთ, რომ NNN მკითხველს ეს მასალა საინტერესო იქნება.

ბუნება იმდენად იდუმალია, რომ რაც უფრო მეტს სწავლობ, მით უფრო მეტი კითხვა ჩნდება... ღამის ელვა - განშტოებული გამონადენის ლურჯი "ნაკადები", ფანჯარაზე ყინვაგამძლე ნიმუშები, ფიფქები, მთები, ღრუბლები, ხის ქერქი - ეს ყველაფერი სცილდება ჩვეულებრივს. ევკლიდეს გეომეტრია. ჩვენ არ შეგვიძლია აღვწეროთ ქვა ან კუნძულის საზღვრები ხაზებით, წრეებით და სამკუთხედებით. და აი, ჩვენ მოვედით სამაშველოში ფრაქტალები. რა არის ეს ნაცნობი უცნობები?

„მიკროსკოპის ქვეშ მან აღმოაჩინა ეს რწყილზე
ნაკბენი რწყილი რწყილზე ცხოვრობს;
ამ რწყილზე არის პატარა რწყილი,
გაბრაზებული კბილს რწყილს აკრავს
რწყილი და ასე უსასრულოდ. დ.სვიფტი.

ცოტა ისტორია

პირველი იდეები ფრაქტალის გეომეტრიაწარმოიშვა მე-19 საუკუნეში. კანტორმა, მარტივი რეკურსიული (განმეორებითი) პროცედურის გამოყენებით, ხაზი გადააქცია დაუკავშირებელ წერტილებად (ე.წ. Cantor Dust). მან აიღო ხაზი და ამოიღო ცენტრალური მესამედი და შემდეგ იგივე გაიმეორა დანარჩენ სეგმენტებთან ერთად.

ბრინჯი. 1. პეანოს მრუდი 1.2–5 გამეორება.

პეანომ განსაკუთრებული სახის ხაზი დახატა. პეანომ შემდეგი გააკეთა: პირველ ნაბიჯზე მან აიღო სწორი ხაზი და შეცვალა 9 სეგმენტით 3-ჯერ უფრო მოკლე, ვიდრე საწყისი ხაზის სიგრძე. შემდეგ მან იგივე გააკეთა მიღებული ხაზის თითოეულ სეგმენტთან. და ასე უსასრულოდ. მისი უნიკალურობა მდგომარეობს იმაში, რომ იგი ავსებს მთელ თვითმფრინავს. დადასტურებულია, რომ სიბრტყის ყველა წერტილისთვის შეიძლება იპოვოთ წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება Peano ხაზს. პეანოს მრუდი და კანტორის მტვერი გასცდა ჩვეულებრივ გეომეტრიულ ობიექტებს. ისინი არ იყვნენ მკაფიო ზომები.. კანტორის მტვერი აგებული იყო, როგორც ჩანს, ერთგანზომილებიანი სწორი ხაზის საფუძველზე, მაგრამ შედგებოდა წერტილებისგან (განზომილება 0). და პეანოს მრუდი აშენდა ერთგანზომილებიანი ხაზის საფუძველზე და შედეგი იყო თვითმფრინავი. მეცნიერების ბევრ სხვა სფეროში გაჩნდა პრობლემები, რამაც გამოიწვია უცნაური შედეგები, როგორიცაა ზემოთ აღწერილი (ბრაუნის მოძრაობა, აქციების ფასები). თითოეულ ჩვენგანს შეუძლია ამ პროცედურის გაკეთება...

ფრაქტალების მამა

მე-20 საუკუნემდე ასეთ უცნაურ ობიექტებზე მონაცემების დაგროვება ხდებოდა მათი სისტემატიზაციის მცდელობის გარეშე. ასე იყო სანამ არ აიღეს ბენუა მანდელბროტი – თანამედროვე ფრაქტალის გეომეტრიის მამა და სიტყვა ფრაქტალი.

ბრინჯი. 2. ბენუა მანდელბროტი.

IBM-ში მათემატიკურ ანალიტიკოსად მუშაობისას, ის სწავლობდა ხმაურს ელექტრონულ სქემებში, რომლის აღწერა შეუძლებელია სტატისტიკის გამოყენებით. თანდათანობით ფაქტების შედარებისას მივიდა მათემატიკაში ახალი მიმართულების აღმოჩენამდე - ფრაქტალის გეომეტრია.

ტერმინი „ფრაქტალი“ შემოიღო ბ. მანდელბროტმა 1975 წელს. მანდელბროტის მიხედვით, ფრაქტალი(ლათინური "fractus"-დან - წილადი, გატეხილი, გატეხილი) ე.წ სტრუქტურა, რომელიც შედგება მთლიანი ნაწილებისგან. თვითმსგავსების თვისება მკვეთრად განასხვავებს ფრაქტალებს კლასიკური გეომეტრიის ობიექტებისგან. ვადა თვითმსგავსებანიშნავს თხელი, განმეორებადი სტრუქტურის არსებობა, როგორც ობიექტის უმცირეს მასშტაბებზე, ასევე მაკრო მასშტაბებზე.

ბრინჯი. 3. „ფრაქტალის“ ცნების განმარტებას.

თვით მსგავსების მაგალითებია: კოხი, ლევი, მინკოვსკის მოსახვევები, სიერპინსკის სამკუთხედი, მენგერის ღრუბელი, პითაგორას ხე და ა.შ.

მათემატიკური თვალსაზრისით, ფრაქტალიარის, პირველ რიგში, კომპლექტი წილადი (შუალედური, „არა მთელი რიცხვი“) განზომილებით. მაშინ, როცა გლუვი ევკლიდური ხაზი ავსებს ზუსტად ერთგანზომილებიან სივრცეს, ფრაქტალის მრუდი სცილდება ერთგანზომილებიან სივრცეს, შემოიჭრება საზღვრებს მიღმა ორგანზომილებიან სივრცეში. ამრიგად, კოხის მრუდის ფრაქტალური განზომილება იქნება 1-დან 2-მდე. უპირველეს ყოვლისა, ეს ნიშნავს, რომ ფრაქტალ ობიექტს არ შეუძლია ზუსტად გაზომოს მისი სიგრძე! ამ გეომეტრიული ფრაქტალებიდან პირველი ძალიან საინტერესო და საკმაოდ ცნობილი - კოხის ფიფქია.

ბრინჯი. 4. „ფრაქტალის“ ცნების განმარტებას.

იგი აგებულია ბაზაზე ტოლგვერდა სამკუთხედი. რომლის თითოეული ხაზი ჩანაცვლებულია 4 სტრიქონით, თითოეული 1/3 ორიგინალური სიგრძით. ამრიგად, ყოველი გამეორებით, მრუდის სიგრძე მესამედით იზრდება. და თუ ჩვენ გავაკეთებთ უსასრულო რაოდენობის გამეორებას, მივიღებთ ფრაქტალს - უსასრულო სიგრძის კოხის ფიფქს. გამოდის, რომ ჩვენი უსასრულო მრუდი მოიცავს შეზღუდულ ფართობს. სცადეთ იგივე გააკეთოთ ევკლიდეს გეომეტრიის მეთოდებით და ფიგურებით.
კოხის ფიფქის ზომა(როდესაც ფიფქი 3-ჯერ იზრდება, მისი სიგრძე 4-ჯერ იზრდება) D=log(4)/log(3)=1,2619.

ფრაქტალის შესახებ

ფრაქტალები სულ უფრო მეტ გამოყენებას პოულობენ მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში. ამის მთავარი მიზეზი ის არის, რომ ისინი აღწერენ რეალურ სამყაროს ზოგჯერ უფრო კარგად ვიდრე ტრადიციული ფიზიკა ან მათემატიკა. თქვენ შეგიძლიათ უსასრულოდ მოიყვანოთ ბუნებაში ფრაქტალური ობიექტების მაგალითები - ეს არის ღრუბლები, თოვლის ფანტელები და მთები, და ელვისებური ელვა და ბოლოს, ყვავილოვანი კომბოსტო. ფრაქტალი, როგორც ბუნებრივი ობიექტი, მარადიულია უწყვეტი მოძრაობა, ახალი ფორმირება და განვითარება.

ბრინჯი. 5. ფრაქტალები ეკონომიკაში.

გარდა ამისა, ფრაქტალები გამოყენებას პოულობენ დეცენტრალიზებულში კომპიუტერული ქსელები და "ფრაქტალური ანტენები" . ძალიან საინტერესო და პერსპექტიული სხვადასხვა სტოქასტური (არადეტერმინისტული) „შემთხვევითი“ პროცესების მოდელირებისთვის არის ე.წ. „ბრაუნის ფრაქტალები“. ნანოტექნოლოგიის შემთხვევაში ფრაქტალებიც თამაშობენ მნიშვნელოვანი როლი , ვინაიდან, მათი იერარქიული თვითორგანიზების გამო, ბევრი ნანოსისტემებს აქვთ არა მთელი განზომილება, ანუ ისინი არიან ფრაქტალები თავიანთი გეომეტრიული, ფიზიკურ-ქიმიური ან ფუნქციური ბუნებით. Მაგალითად, მთავარი მაგალითიქიმიური ფრაქტალური სისტემები არის მოლეკულები "დენდრიმერები" . გარდა ამისა, ფრაქტალობის პრინციპი (თვითმსგავსი, მასშტაბური სტრუქტურა) არის სისტემის იერარქიული სტრუქტურის ასახვა და, შესაბამისად, უფრო ზოგადი და უნივერსალურია, ვიდრე სტანდარტული მიდგომები ნანოსისტემების სტრუქტურისა და თვისებების აღწერისთვის.

ბრინჯი. 6. „დენდრიმერების“ მოლეკულები.

ბრინჯი. 7. კომუნიკაციის გრაფიკული მოდელი არქიტექტურულ და სამშენებლო პროცესში. ურთიერთქმედების პირველი დონე მიკროპროცესების თვალსაზრისით.

ბრინჯი. 8. კომუნიკაციის გრაფიკული მოდელი არქიტექტურულ და სამშენებლო პროცესში. ურთიერთქმედების მეორე დონე მაკროპროცესების პოზიციებიდან (მოდელის ფრაგმენტი).

ბრინჯი. 9. კომუნიკაციის გრაფიკული მოდელი არქიტექტურულ და სამშენებლო პროცესში. ურთიერთქმედების მეორე დონე მაკროპროცესების თვალსაზრისით (მთელი მოდელი)

ბრინჯი. 10. გრაფიკული მოდელის გეგმური განვითარება. პირველი ჰომეოსტატიკური მდგომარეობა.

ფრაქტალები და ოქროს თანაფარდობა "ფრაქტალები" ნაწილი 1 "ფრაქტალები" ნაწილი 2 "ფრაქტალები" ნაწილი 3 "ფრაქტალები" ნაწილი 4 "ფრაქტალები" ნაწილი 5

ლამაზი და უჩვეულო ფრაქტალების ფოტო გალერეა

ბრინჯი. თერთმეტი.

ბრინჯი. 12.

ბრინჯი. ცამეტი.

ბრინჯი. თოთხმეტი.

ბრინჯი. თხუთმეტი.

ბრინჯი. თექვსმეტი.

ბრინჯი. 17.

ბრინჯი. თვრამეტი.

ბრინჯი. ცხრამეტი.

ბრინჯი. 20.

ბრინჯი. 21.

ბრინჯი. 22.

ბრინჯი. 23.

ბრინჯი. 24.

ბრინჯი. 25.

ბრინჯი. 26.

ბრინჯი. 27.

ბრინჯი. 28.

ბრინჯი. 29.

ბრინჯი. ოცდაათი.

ბრინჯი. 31.

ბრინჯი. 32.

ბრინჯი. 33.

ბრინჯი. 34.

ბრინჯი. 35.

შესწორება და რედაქტირება გაკეთდა ფილიპოვი იუ.პ.

Ყველას მოგესალმებით! Მე მქვია, რიბენეკ ვალერია,ულიანოვსკი და დღეს მე გამოვაქვეყნებ ჩემს რამდენიმე სამეცნიერო სტატიას LCI-ის ვებგვერდზე.

ამ ბლოგში ჩემი პირველი სამეცნიერო სტატია დაეთმობა ფრაქტალები. მაშინვე ვიტყვი, რომ ჩემი სტატიები განკუთვნილია თითქმის ნებისმიერი აუდიტორიისთვის. იმათ. იმედი მაქვს, ისინი დააინტერესებს როგორც სკოლის მოსწავლეებს, ასევე სტუდენტებს.

ახლახან გავიგე მათემატიკური სამყაროს ისეთი საინტერესო ობიექტების შესახებ, როგორიცაა ფრაქტალები. მაგრამ ისინი არსებობენ არა მხოლოდ მათემატიკაში. ისინი ყველგან გარს გვიხვევენ. ფრაქტალები ბუნებრივია. იმის შესახებ, თუ რა არის ფრაქტალები, ფრაქტალების ტიპები, ამ ობიექტების მაგალითები და მათი გამოყენება, მე გეტყვით ამ სტატიაში. დასაწყისისთვის მოკლედ გეტყვით რა არის ფრაქტალი.

ფრაქტალი(ლათ. fractus - დამსხვრეული, გატეხილი, გატეხილი) - ეს არის კომპლექსი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება, ანუ შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან, რომელთაგან თითოეული მთლიანი ფიგურის მსგავსია. უფრო ფართო გაგებით, ფრაქტალები გაგებულია, როგორც ევკლიდური სივრცის წერტილების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ წილადური მეტრული განზომილება (მინკოვსკის ან ჰაუსდორფის გაგებით), ან ტოპოლოგიური გარდა მეტრული განზომილების. მაგალითად, ჩავსვამ ოთხი განსხვავებული ფრაქტალის სურათს.

ცოტას მოგიყვებით ფრაქტალების ისტორიაზე. ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსთა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. სიტყვა "ფრაქტალი" შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიუთითებდეს არარეგულარულ, მაგრამ საკუთარი თავის მსგავს სტრუქტურებზე, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის The Fractal Geometry of Nature გამოქვეყნებასთან. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების მეცნიერული შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი). მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი მუშაობის გაერთიანება ერთ სისტემაში.

ფრაქტალების მაგალითები ბევრია, რადგან, როგორც ვთქვი, ისინი ყველგან გარს გვიხვევენ. ჩემი აზრით, მთელი ჩვენი სამყაროც კი არის ერთი უზარმაზარი ფრაქტალი. ყოველივე ამის შემდეგ, მასში ყველაფერი, ატომის სტრუქტურიდან თავად სამყაროს სტრუქტურამდე, ზუსტად იმეორებს ერთმანეთს. მაგრამ არის, რა თქმა უნდა, მეტი კონკრეტული მაგალითებიფრაქტალები სხვადასხვა სფეროდან. მაგალითად, ფრაქტალები წარმოდგენილია კომპლექსურ დინამიკაში. იქ ისინი ბუნებრივად ჩნდებიან არაწრფივი შესწავლისას დინამიური სისტემები. ყველაზე შესწავლილი შემთხვევაა, როდესაც დინამიური სისტემა განსაზღვრულია გამეორებებით მრავალწევრიან ჰოლომორფული ცვლადების კომპლექსის ფუნქციაზედაპირზე. ამ ტიპის ზოგიერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალია ჯულიას ნაკრები, მანდელბროტის ნაკრები და ნიუტონის აუზები. ქვემოთ, თანმიმდევრობით, სურათებში ნაჩვენებია თითოეული ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი.

ფრაქტალების კიდევ ერთი მაგალითია ფრაქტალის მრუდები. უმჯობესია აგიხსნათ როგორ ავაშენოთ ფრაქტალი ფრაქტალის მრუდების მაგალითის გამოყენებით. ერთ-ერთი ასეთი მრუდი არის ეგრეთ წოდებული კოხის ფიფქია. სიბრტყეზე ფრაქტალის მოსახვევების მიღების მარტივი პროცედურა არსებობს. ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ გაწყვეტილ ხაზს ბმულების სასრული რაოდენობით, რომელსაც გენერატორი ეწოდება. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით მასში არსებულ თითოეულ სეგმენტს გენერატორით (უფრო ზუსტად, გენერატორის მსგავსი გატეხილი ხაზი). შედეგად გატეხილი ხაზი, ჩვენ კვლავ ვცვლით თითოეულ სეგმენტს გენერატორით. ვაგრძელებთ უსასრულობას, ლიმიტში ვიღებთ ფრაქტალ მრუდს. ქვემოთ ნაჩვენებია კოხის ფიფქი (ან მრუდი).

ასევე ბევრია ფრაქტალის მრუდი. მათგან ყველაზე ცნობილია უკვე ნახსენები კოხის ფიფქია, ასევე ლევის მრუდი, მინკოვსკის მრუდი, გატეხილი დრაკონი, პიანინოს მრუდი და პითაგორას ხე. ამ ფრაქტალების გამოსახულება და მათი ისტორია, ვფიქრობ, სურვილის შემთხვევაში ადვილად იპოვით ვიკიპედიაში.

მესამე მაგალითი ან სახის ფრაქტალები არის სტოქასტური ფრაქტალები. ასეთი ფრაქტალები მოიცავს ტრაექტორიას ბრაუნის მოძრაობათვითმფრინავში და კოსმოსში, შრამ-ლოუნერის ევოლუცია, განსხვავებული სახეობებირანდომიზებული ფრაქტალები, ანუ გამოყენებით მიღებული ფრაქტალები რეკურსიული პროცედურა, რომელშიც ყოველ საფეხურზე შემოდის შემთხვევითი პარამეტრი.

ასევე არსებობს წმინდა მათემატიკური ფრაქტალები. ესენია, მაგალითად, კანტორის ნაკრები, მენგერის ღრუბელი, სიერპინსკის სამკუთხედი და სხვა.

მაგრამ, ალბათ, ყველაზე საინტერესო ფრაქტალები ბუნებრივია. ბუნებრივი ფრაქტალები არის ობიექტები ბუნებაში, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური თვისებები. და უკვე დიდი სიაა. ყველაფერს არ ჩამოვთვლი, რადგან, ალბათ, ყველა ვერ ჩამოვთვლი, მაგრამ ზოგიერთზე გეტყვით. მაგალითად, ცოცხალ ბუნებაში, ასეთი ფრაქტალები მოიცავს ჩვენს სისხლის მიმოქცევის სისტემას და ფილტვებს. და ასევე ხეების გვირგვინები და ფოთლები. ასევე აქ შეგიძლიათ შეიტანოთ ვარსკვლავური თევზი, ზღვის ჭინკები, მარჯანი, ზღვის ჭურვი, ზოგიერთი მცენარე, როგორიცაა კომბოსტო ან ბროკოლი. ქვემოთ ნათლად არის ნაჩვენები რამდენიმე ასეთი ბუნებრივი ფრაქტალი ველური ბუნებიდან.

თუ გავითვალისწინებთ უსულო ბუნებას, მაშინ ბევრად უფრო საინტერესო მაგალითებია, ვიდრე ცოცხალ ბუნებაში. ელვა, ფიფქები, ყველასთვის ცნობილი ღრუბლები, შაბლონები ფანჯრებზე ყინვაგამძლე დღეებში, კრისტალები, მთის ქედები - ეს ყველაფერი ბუნებრივი ფრაქტალების მაგალითებია უსულო ბუნებიდან.

ჩვენ განვიხილეთ ფრაქტალების მაგალითები და ტიპები. რაც შეეხება ფრაქტალების გამოყენებას, ისინი ყველაზე მეტად გამოიყენება სხვადასხვა სფეროებშიცოდნა. ფიზიკაში ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი პროცესების მოდელირებისას, როგორიცაა ტურბულენტური სითხის ნაკადი, რთული დიფუზია-ადსორბციული პროცესები, ალი, ღრუბლები და ა.შ. ფრაქტალები გამოიყენება ფოროვანი მასალების მოდელირებისას, მაგალითად, ნავთობქიმიაში. ბიოლოგიაში ისინი გამოიყენება პოპულაციების მოდელირებისთვის და შინაგანი ორგანოების სისტემების (სისტემა სისხლძარღვები). კოხის მრუდის შექმნის შემდეგ შემოთავაზებული იქნა მისი გამოყენება სანაპირო ზოლის სიგრძის გამოსათვლელად. ასევე, ფრაქტალები აქტიურად გამოიყენება რადიოინჟინერიაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში და კომპიუტერულ ტექნოლოგიებში, ტელეკომუნიკაციებში და ეკონომიკაშიც კი. და, რა თქმა უნდა, ფრაქტალური ხედვა აქტიურად გამოიყენება თანამედროვე ხელოვნებასა და არქიტექტურაში. აქ არის ფრაქტალის ნახატების ერთი მაგალითი:

ასე რომ, ვფიქრობ, რომ დავასრულო ჩემი ამბავი ისეთი უჩვეულო მათემატიკური ფენომენის შესახებ, როგორიცაა ფრაქტალი. დღეს გავიგეთ რა არის ფრაქტალი, როგორ გაჩნდა, ფრაქტალების ტიპებსა და მაგალითებზე. მე ასევე ვისაუბრე მათ გამოყენებაზე და ნათლად ვაჩვენე ზოგიერთი ფრაქტალი. იმედი მაქვს მოგეწონათ ეს მოკლე ექსკურსია საოცარი და მომხიბვლელი ფრაქტალის ობიექტების სამყაროში.