ფრაქტალის თვისებები არ არის ახირება და არა მათემატიკოსთა უსაქმური ფანტაზიის ნაყოფი. მათი შესწავლით ვსწავლობთ გარჩევას და წინასწარმეტყველებას მნიშვნელოვანი თვისებებიჩვენს ირგვლივ არსებულ ობიექტებსა და ფენომენებს, რომლებიც ადრე, თუ სრულიად უგულებელყოფილი არ იყო, მხოლოდ დაახლოებით, ხარისხობრივად, თვალით ფასდებოდა. მაგალითად, რთული სიგნალების, ენცეფალოგრამების ან გულის შუილის ფრაქტალური ზომების შედარებით, ექიმებს შეუძლიათ გარკვეული სერიოზული დაავადების დიაგნოსტირება ადრეულ ეტაპზე, როდესაც პაციენტს ჯერ კიდევ შეუძლია დახმარება. ასევე, ანალიტიკოსს, ფასების წინა ქცევის შედარებისას, მოდელის ფორმირების დასაწყისში შეუძლია განჭვრიტოს მისი შემდგომი განვითარება, რითაც თავიდან აიცილებს უხეში შეცდომები პროგნოზირებაში.

ფრაქტალების უწესრიგობა

ფრაქტალების პირველი თვისება მათი უსწორმასწორობაა. თუ ფრაქტალი აღწერილია ფუნქციით, მაშინ მათემატიკური თვალსაზრისით არარეგულარობის თვისება ნიშნავს, რომ ასეთი ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი, ანუ არ არის გლუვი ნებისმიერ წერტილში. რეალურად, ამას ყველაზე პირდაპირი კავშირი აქვს ბაზართან. ფასების მერყეობა ზოგჯერ იმდენად ცვალებადი და ცვალებადია, რომ ბევრ ტრეიდერს აბნევს. ჩვენი ამოცანაა მოვაგვაროთ მთელი ეს ქაოსი და მოვაწესრიგოთ.

Იცი, რომ:ასეთი მრავალფეროვანი საინვესტიციო შესაძლებლობები, რომელსაც Alpari გთავაზობთ, სხვა Forex ბროკერი ვერ დაიკვეხნის.

ფრაქტალების თვითმსგავსება

მეორე თვისება ამბობს, რომ ფრაქტალი არის ობიექტი, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება. ეს არის რეკურსიული მოდელი, რომლის თითოეული ნაწილი იმეორებს თავის განვითარებაში მთლიანი მოდელის განვითარებას და რეპროდუცირებულია სხვადასხვა მასშტაბით ხილული ცვლილებების გარეშე. თუმცა, ცვლილებები მაინც ხდება, რამაც შეიძლება დიდად იმოქმედოს ობიექტის ჩვენს აღქმაზე.

თვითმსგავსება ნიშნავს, რომ ობიექტს არ აქვს დამახასიათებელი მასშტაბი: ასეთი მასშტაბი რომ ჰქონდეს, მაშინვე გამოარჩევდით ფრაგმენტის გადიდებულ ასლს ორიგინალური გამოსახულებისგან. თვით მსგავს ობიექტებს აქვთ უსასრულო რაოდენობის სასწორები ყველა გემოვნებისთვის. თვითმსგავსების არსი შეიძლება აიხსნას შემდეგი მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ "ნამდვილი" გეომეტრიული ხაზის სურათი, "სიგრძე სიგანის გარეშე", როგორც ეს ევკლიდემ განსაზღვრა ხაზი, და თქვენ თამაშობთ მეგობართან ერთად და ცდილობთ გამოიცნოთ ის გიჩვენებთ ორიგინალ სურათს (ორიგინალს) თუ სწორი ხაზის ნებისმიერი ფრაგმენტის სურათი. რაც არ უნდა ეცადო, ვერასდროს ვერ განასხვავებ ორიგინალს ფრაგმენტის გადიდებული ასლისაგან, სწორი ხაზი ყველა ნაწილში ერთნაირადაა მოწყობილი, ის თავის თავს ჰგავს, მაგრამ ეს შესანიშნავი თვისებაა. რამდენადმე იმალება თავად სწორი ხაზის გაურთულებელი აგებულებით, მისი „სისწორით“ (სურ. 7).

თუ თქვენ ასევე ვერ განასხვავებთ რაიმე ობიექტის სნეპშოტს მისი რომელიმე ფრაგმენტის სათანადოდ გაფართოებული სნეპშოტისგან, მაშინ თქვენ გაქვთ საკუთარი თავის მსგავსი ობიექტი. ყველა ფრაქტალი, რომელსაც აქვს სულ მცირე სიმეტრია, საკუთარი თავის მსგავსია. და ეს ნიშნავს, რომ მათი სტრუქტურის ზოგიერთი ფრაგმენტი მკაცრად მეორდება გარკვეული სივრცითი ინტერვალებით. ცხადია, ეს ობიექტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხასიათისა და მათი გარეგნობა და ფორმა უცვლელი რჩება მასშტაბის მიუხედავად. მსგავსი ფრაქტალის მაგალითი:

ფინანსებში, ეს კონცეფცია არ არის უსაფუძვლო აბსტრაქცია, არამედ პრაქტიკული საბაზრო გამონათქვამის თეორიული განმეორება, კერძოდ, რომ აქციების ან ვალუტის მოძრაობები ზედაპირულად მსგავსია, განურჩევლად დროისა და ფასისა. დამკვირვებელი ვერ გეტყვის გარეგნობაგრაფიკი, ეხება თუ არა მონაცემები ყოველკვირეულ, ყოველდღიურ თუ საათობრივ ცვლილებებს.

რა თქმა უნდა, ყველა ფრაქტალს არ აქვს ისეთი რეგულარული, გაუთავებლად განმეორებადი სტრუქტურა, როგორც ფრაქტალის ხელოვნების მომავალი მუზეუმის მშვენიერი ექსპონატები, რომლებიც მათემატიკოსებისა და მხატვრების წარმოსახვით დაიბადა. ბუნებაში ნაპოვნი მრავალი ფრაქტალი (ნაკლოვანების ზედაპირები კლდეებიდა ლითონები, ღრუბლები, ვალუტის ციტატები, ტურბულენტური ნაკადები, ქაფი, გელები, ჭვარტლის ნაწილაკების კონტურები და ა. განვითარების არაწრფივი ფორმის მქონე ფრაქტალები მანდელბროტმა დაასახელა მულტიფრაქტალებად. მულტიფრაქტალი არის კვაზი-ფრაქტალური ობიექტი ცვლადი ფრაქტალური განზომილებით. ბუნებრივია, რეალური ობიექტები და პროცესები ბევრად უკეთ არის აღწერილი მულტიფრაქტალებით.

ასეთი სტატისტიკური თვითმსგავსება, ან საშუალოდ თვითმსგავსება განასხვავებს ფრაქტალებს სიმრავლეს შორის. ბუნებრივი ობიექტები.

განვიხილოთ თვითმსგავსების მაგალითი სავალუტო ბაზარზე:

ამ ფიგურებში ჩვენ ვხედავთ, რომ ისინი მსგავსია, თუმცა აქვთ განსხვავებული დროის მასშტაბი, ნახ. და 15 წუთიანი მასშტაბი, ნახ. b ყოველკვირეული ფასების მასშტაბი. როგორც ხედავთ, ამ ციტატებს არ გააჩნიათ ერთმანეთის სრულყოფილად გამეორების უნარი, თუმცა შეგვიძლია მსგავსებად მივიჩნიოთ.

უმარტივეს ფრაქტალებსაც კი - გეომეტრიულად თვითმსგავს ფრაქტალებს - აქვთ უჩვეულო თვისებები. მაგალითად, ფონ კოხის ფიფქს აქვს უსასრულო სიგრძის პერიმეტრი, თუმცა ის ზღუდავს სასრულ ფართობს (ნახ. 9). გარდა ამისა, ის იმდენად ჩხვლეტაა, რომ შეუძლებელია მასზე ტანგენტის დახატვა კონტურის ნებისმიერ წერტილში (მათემატიკოსი იტყვის, რომ ფონ კოხის ფიფქი არსად განსხვავდება, ანუ არცერთ წერტილში არ არის გლუვი).

მანდელბროტმა აღმოაჩინა, რომ წილადური გაზომვის შედეგები რჩება მუდმივი ობიექტის უწესრიგობის გაძლიერების სხვადასხვა ხარისხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს კანონზომიერება (სისწორე, მოწესრიგება) ნებისმიერი უწესრიგობისთვის. როდესაც რაღაცას შემთხვევით ვთვლით, ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ჩვენ არ გვესმის ამ შემთხვევითობის ბუნება. საბაზრო თვალსაზრისით, ეს ნიშნავს, რომ ერთი და იგივე ტიპიური წარმონაქმნების ფორმირება უნდა მოხდეს სხვადასხვა ვადებში. ერთწუთიანი სქემა აღწერს ფრაქტალის ფორმირებას ისევე, როგორც ყოველთვიური. სასაქონლო და ფინანსური ბაზრების სქემებზე ნაპოვნი ეს „თვითმსგავსება“ აჩვენებს ყველა ნიშანს, რომ ბაზრის მოქმედებები უფრო ახლოსაა „ბუნების“ ქცევით პარადიგმასთან, ვიდრე ეკონომიკური, ფუნდამენტური ანალიზის ქცევა.

ამ ციფრებში შეგიძლიათ იხილოთ ზემოაღნიშნულის დადასტურება. მარცხნივ არის გრაფიკი წუთის მასშტაბით, მარჯვნივ არის ყოველკვირეული. აშშ დოლარი/იენი (ნახ. 9 (ა)) და ევრო/დოლარი (ნახ. 9 (ბ)) სავალუტო წყვილი აქ ნაჩვენებია ფასების სხვადასხვა მასშტაბით. მიუხედავად იმისა, რომ JPY/USD სავალუტო წყვილს აქვს განსხვავებული ცვალებადობა EUR/USD-თან მიმართებაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფასების მოძრაობის იგივე სტრუქტურას.

ფრაქტალური განზომილება

ფრაქტალების მესამე თვისებაა ის, რომ ფრაქტალ ობიექტებს აქვთ განზომილება, გარდა ევკლიდესისა (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტოპოლოგიური განზომილება). ფრაქტალური განზომილება არის მრუდის სირთულის საზომი. სხვადასხვა ფრაქტალური განზომილებების მქონე მონაკვეთების მონაცვლეობის გაანალიზებით და თუ როგორ მოქმედებს სისტემაზე გარე და შიდა ფაქტორები, შეიძლება ვისწავლოთ სისტემის ქცევის პროგნოზირება. და რაც მთავარია, არასტაბილური პირობების დიაგნოსტიკა და პროგნოზირება.

თანამედროვე მათემატიკის არსენალში მანდელბროტმა აღმოაჩინა ობიექტების არასრულყოფილების მოსახერხებელი რაოდენობრივი საზომი - კონტურის სინუსურობა, ზედაპირის ნაოჭი, მოტეხილობა და მოცულობის ფორიანობა. იგი შემოგვთავაზა ორმა მათემატიკოსმა - ფელიქს ჰაუსდორფმა (1868-1942) და აბრამ სამოილოვიჩ ბესიკოვიჩმა (1891-1970). ახლა ის იმსახურებს ტარებას დიდებული სახელებიმათი შემქმნელების (ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება) – ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება. რა არის განზომილება და რატომ გვჭირდება ის ფინანსური ბაზრების ანალიზთან დაკავშირებით? მანამდე ჩვენ ვიცოდით განზომილების მხოლოდ ერთი ტიპი - ტოპოლოგიური (სურ. 11). თავად სიტყვა განზომილება მიუთითებს რამდენ განზომილებაში აქვს საგანს. სეგმენტისთვის, სწორი ხაზისთვის, ის უდრის 1-ს, ე.ი. ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი განზომილება, კერძოდ, სეგმენტის სიგრძე ან სწორი ხაზი. თვითმფრინავისთვის განზომილება იქნება 2, ვინაიდან გვაქვს ორგანზომილებიანი განზომილება, სიგრძე და სიგანე. სივრცისთვის ან მყარი ობიექტებისთვის, განზომილება არის 3: სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე.

ავიღოთ კომპიუტერული თამაშების მაგალითი. თუ თამაში დამზადებულია 3D გრაფიკაში, მაშინ ის არის სივრცითი და მოცულობითი, თუ 2D გრაფიკაში გრაფიკა ნაჩვენებია სიბრტყეზე (სურ. 10).

ყველაზე უჩვეულო (უფრო სწორი იქნება თუ ვიტყვით - უჩვეულო) ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებაში ის იყო, რომ მას შეეძლო არა მხოლოდ მთელი რიცხვების, როგორც ტოპოლოგიური განზომილების მიღება, არამედ წილადური მნიშვნელობებიც. ერთის ტოლია სწორი ხაზისთვის (უსასრულო, ნახევრად უსასრულო ან სასრული სეგმენტისთვის), ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება იზრდება ტორტუოზის მატებასთან ერთად, ხოლო ტოპოლოგიური განზომილება ჯიუტად უგულებელყოფს ყველა ცვლილებას, რაც ხდება წრფესთან.

განზომილება ახასიათებს კომპლექტის (მაგალითად, სწორი ხაზის) გართულებას. თუ ეს არის მრუდი, რომლის ტოპოლოგიური განზომილება ტოლია 1-ის (სწორი ხაზი), მაშინ მრუდი შეიძლება გართულდეს უსასრულო რაოდენობის მოსახვევებითა და ტოტებით, რომ მისი ფრაქტალური განზომილება მიუახლოვდეს ორს, ე.ი. შეავსებს თითქმის მთელ სიბრტყეს (ნახ. 12)

მისი მნიშვნელობის გაზრდით, ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება არ ცვლის მას მკვეთრად, როგორც ამას გააკეთებდა ტოპოლოგიური განზომილება "თავის ადგილას", 1-დან დაუყოვნებლივ 2-ზე გადასვლა. ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილება - და ეს ერთი შეხედვით შეიძლება უჩვეულო ჩანდეს. და გასაკვირია, იღებს წილადის მნიშვნელობებს: ერთის ტოლისწორი ხაზისთვის, ის ხდება 1.15 ოდნავ მოციმციმე ხაზისთვის, 1.2 უფრო მწკრივი ხაზისთვის, 1.5 - ძალიან მოციმციმე ხაზისთვის და ა.შ.

სწორედ იმისათვის, რომ ხაზი გაუსვას ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩის განზომილებას, მიიღოს წილადი, არამთლიანი მნიშვნელობები, მანდელბროტმა გამოიგონა საკუთარი ნეოლოგიზმი და მას ფრაქტალური განზომილება უწოდა. ასე რომ, ფრაქტალური განზომილება (არა მხოლოდ ჰაუსდორფ-ბესიკოვიჩი, არამედ ნებისმიერი სხვა) არის განზომილება, რომელსაც შეუძლია მიიღოს არა აუცილებლად მთელი, არამედ წილადური მნიშვნელობები.

ხაზოვანი გეომეტრიული ფრაქტალებისთვის განზომილება ახასიათებს მათ თვითმსგავსებას. განვიხილოთ ნახ. 17(A), წრფე შედგება N=4 სეგმენტისგან, რომელთაგან თითოეულს აქვს სიგრძე r = 1/3. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თანაფარდობას:

D = logN/log (1/r)

სულ სხვა სიტუაციაა, როცა ვსაუბრობთ მულტიფრაქტალებზე (არაწრფივი). აქ განზომილება კარგავს თავის მნიშვნელობას, როგორც ობიექტის მსგავსების განმარტებას და განისაზღვრება სხვადასხვა განზოგადებით, გაცილებით ნაკლებად ბუნებრივი ვიდრე თვითმსგავსი ობიექტების უნიკალური განზომილება.

სავალუტო ბაზარზე განზომილება შეიძლება ახასიათებდეს ფასების კვოტების ცვალებადობას. თითოეულ სავალუტო წყვილს აქვს თავისი ქცევა ფასების თვალსაზრისით. ფუნტი/დოლარის წყვილისთვის (ნახ. 13(ა)) უფრო მშვიდია, ვიდრე ევრო/დოლარისთვის (ნახ. 13(ბ)). ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ეს ვალუტები ერთი და იგივე სტრუქტურით მოძრაობენ ფასების დონემდე, თუმცა მათ აქვთ განსხვავებული ზომები, რამაც შეიძლება გავლენა მოახდინოს შიდადღიურ ვაჭრობაზე და მოდელების ცვლილებებზე, რომლებიც გამოუცდელ სახეს აცილებენ.

ნახ. 14 გვიჩვენებს განზომილებას მათემატიკური მოდელის მიმართ, რათა უფრო ღრმად შეაღწიოთ მნიშვნელობაში. ეს ტერმინი. გაითვალისწინეთ, რომ სამივე ფიგურა აჩვენებს ერთსა და იმავე ციკლს. ნახ. და განზომილება არის 1.2, ნახ. ბ, განზომილება არის 1.5 და ნახ. 1.9-ში. ჩანს, რომ განზომილების მატებასთან ერთად, ობიექტის აღქმა რთულდება, იზრდება რხევების ამპლიტუდა.

ფინანსურ ბაზრებზე განზომილება აისახება არა მხოლოდ როგორც ფასების ცვალებადობა, არამედ როგორც ციკლების (ტალღების) დეტალი. მისი წყალობით ჩვენ შევძლებთ განვასხვავოთ, ეკუთვნის თუ არა ტალღა დროის გარკვეულ მასშტაბს. ნახ. 15 გვიჩვენებს ევრო/დოლარის წყვილს ყოველდღიური ფასის მასშტაბით. ყურადღება მიაქციეთ, ნათლად ხედავთ ჩამოყალიბებულ ციკლს და ახალი, უფრო დიდი ციკლის დასაწყისს. საათობრივ მასშტაბზე გადართვისა და ერთ-ერთი ციკლის მასშტაბირება, ჩვენ ვხედავთ უფრო მცირე ციკლებს და დიდის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს D1-ზე (ნახ. 16). მარყუჟის დეტალიზაცია, ე.ი. მათი განზომილება საშუალებას გვაძლევს საწყისი პირობებიდან განვსაზღვროთ, თუ როგორ შეიძლება განვითარდეს სიტუაცია მომავალში. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ: ფრაქტალური განზომილება ასახავს განსახილველი ნაკრების მასშტაბის ინვარიანტობის თვისებას.

ინვარიანტობის ცნება მანდელბროტმა შემოიტანა სიტყვიდან „დალუქული“ - მასშტაბირებადი, ე.ი. როდესაც ობიექტს აქვს ინვარიანტობის თვისება, მას აქვს ჩვენების განსხვავებული მასშტაბები.

ნახ. 16 წრე A ხაზს უსვამს მინი ციკლს (დეტალური ტალღა), წრე B - უფრო დიდი ციკლის ტალღას. ზუსტად განზომილების გამო, ჩვენ ყოველთვის არ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ყველა ციკლი ერთი და იგივე ფასის მასშტაბით.

არაპერიოდული ციკლების თვისებების განსაზღვრისა და განვითარების პრობლემებზე ვისაუბრებთ განყოფილებაში „ციკლები სავალუტო ბაზარზე“, ახლა ჩვენთვის მთავარი იყო იმის გაგება, თუ როგორ და სად ვლინდება განზომილება ფინანსურ ბაზრებზე.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები, როგორც მოდელები, გამოიყენება მაშინ, როდესაც რეალური ობიექტი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კლასიკური მოდელების სახით. და ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს არაწრფივ კავშირებთან და მონაცემთა არადეტერმინისტულ (შემთხვევით) ბუნებასთან. არაწრფივიობა იდეოლოგიური გაგებით ნიშნავს განვითარების გზების მრავალვარიანტულობას, არჩევანის ხელმისაწვდომობას. ალტერნატიული გზებიდა ევოლუციის გარკვეული ტემპი, ისევე როგორც შეუქცევადობა ევოლუციური პროცესები. არაწრფივობა მათემატიკური გაგებით ნიშნავს გარკვეული სახისმათემატიკური განტოლებები (არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები), რომლებიც შეიცავს სასურველ რაოდენობებს ერთზე მეტი სიმძლავრით ან კოეფიციენტებით, რომლებიც დამოკიდებულია გარემოს თვისებებზე. არაწრფივი დინამიკური სისტემის მარტივი მაგალითი:

ჯონი წელიწადში 2 ინჩით იზრდება. ეს სისტემა განმარტავს, თუ როგორ იცვლება ჯონის სიმაღლე დროთა განმავლობაში. მოდით x(n) იყოს ჯონის სიმაღლე წელს. დაე, ამოვიდეს მომავალ წელსდაიწერება x (n+1). შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ დინამიური სისტემა განტოლების სახით:

x(n+1) = x(n) + 2.

ნახე? ეს მარტივი მათემატიკა არ არის? თუ შევიყვანთ ჯონის სიმაღლეს დღეს x (n) = 38 ინჩი, მაშინ განტოლების მარჯვენა მხარეს მივიღებთ ჯონის სიმაღლეს მომავალ წელს, x (n+1) = 40 ინჩი:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

განტოლებაში მარჯვნიდან მარცხნივ მოძრაობას იტერაცია (გამეორება) ეწოდება. განტოლება შეგვიძლია ისევ გავიმეოროთ შეყვანით ახალი ზრდაჯონი არის 40 ინჩი განტოლების მარჯვენა მხარეს (ე.ი. x(n) = 40) და მივიღებთ x(n+1) = 42. თუ განტოლებას 3-ჯერ გავიმეორებთ (გავიმეორებთ), მივიღებთ ჯონის სიმაღლეს 3-ის შემდეგ. წლები, კერძოდ 44 ინჩი, დაწყებული 38 ინჩით.

ეს არის დეტერმინისტული დინამიური სისტემა. თუ გვინდა გავხადოთ ის არადეტერმინისტული (სტოქასტური), შეგვიძლია შევქმნათ ასეთი მოდელი: ჯონი იზრდება 2 ინჩით წელიწადში, მეტ-ნაკლებად, და დავწეროთ განტოლება:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

სადაც e არის მცირე შეცდომა (მცირე შედარებით 2), წარმოადგენს ალბათობის გარკვეულ განაწილებას.

დავუბრუნდეთ საწყის დეტერმინისტულ განტოლებას. თავდაპირველი განტოლება, x(n+1) = x(n) + 2, წრფივია. ხაზოვანი ნიშნავს, რომ თქვენ ამატებთ ცვლადებს ან მუდმივებს, ან ამრავლებთ ცვლადებს მუდმივებზე. მაგალითად, განტოლება

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

არის წრფივი. მაგრამ თუ თქვენ გაამრავლებთ ცვლადებს, ან ზრდით მათ ერთზე მეტ ხარისხზე, განტოლება (სისტემა) გახდება არაწრფივი. მაგალითად, განტოლება

x(n+1) = x(n) 2

არის არაწრფივი, რადგან x(n) კვადრატია. განტოლება

არის არაწრფივი, რადგან ორი ცვლადი, x და y, მრავლდება.

როდესაც ვიყენებთ კლასიკურ მოდელებს (მაგალითად, ტენდენცია, რეგრესია და ა.შ.), ჩვენ ვამბობთ, რომ ობიექტის მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული, ე.ი. მთლიანად დამოკიდებულია საწყის პირობებზე და ექვემდებარება მკაფიო პროგნოზს. თქვენ შეგიძლიათ დამოუკიდებლად შეასრულოთ ერთ-ერთი ასეთი მოდელი Excel-ში. მაგალითი კლასიკური მოდელიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მუდმივად კლებადი ან მზარდი ტენდენცია. ჩვენ შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ მისი ქცევა, ვიცოდეთ ობიექტის წარსული (საწყისი მონაცემები მოდელირებისთვის). და ფრაქტალები გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტს აქვს განვითარების რამდენიმე ვარიანტი და სისტემის მდგომარეობა განისაზღვრება იმ პოზიციით, რომელშიც ის ამჟამად მდებარეობს. ანუ ვცდილობთ ქაოტური განვითარების სიმულაციას. ეს სისტემა არის ბანკთაშორისი სავალუტო ბაზარი.

ახლა განვიხილოთ, როგორ შეიძლება სწორი ხაზიდან მივიღოთ ის, რასაც ჩვენ ფრაქტალს ვუწოდებთ, თავისი თანდაყოლილი თვისებებით.

ნახ. 17(A) გვიჩვენებს კოხის მრუდს. აიღეთ ხაზის სეგმენტი, მისი სიგრძე = 1, ე.ი. ჯერ კიდევ ტოპოლოგიური განზომილებაა. ახლა მას გავყოფთ სამ ნაწილად (თითოეული სიგრძის 1/3), ხოლო შუა მესამედს ამოვიღებთ. მაგრამ ჩვენ შევცვლით შუა მესამედს ორი სეგმენტით (თითოეული სიგრძის 1/3), რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ტოლგვერდა სამკუთხედის ორი გვერდი. ეს არის დიზაინის მეორე ეტაპი (ბ) ნახ. 17 (A). ამ მომენტში გვაქვს 4 პატარა ნაწილი, სიგრძის თითოეული 1/3, ასე რომ მთელი სიგრძე არის 4(1/3) = 4/3. ჩვენ ვიმეორებთ ამ პროცესს ხაზის 4 პატარა ლობიდან თითოეულისთვის. ეს არის მესამე ეტაპი (c). ეს მოგვცემს 16 კიდევ უფრო მცირე ხაზის სეგმენტს, სიგრძის თითოეული 1/9. ასე რომ, მთელი სიგრძე ახლა არის 16/9 ან (4/3) 2. შედეგად მივიღეთ წილადი განზომილება. მაგრამ არა მხოლოდ ეს განასხვავებს მიღებულ სტრუქტურას სწორი ხაზისგან. იგი თავისთავად გახდა და მის რომელიმე წერტილზე ტანგენტის დახატვა შეუძლებელია (სურ. 17 (B)).

შინაარსი

მეცნიერების ყველაზე გენიალური აღმოჩენები შეიძლება რადიკალურად შეიცვალოს ადამიანის სიცოცხლე. გამოგონილ ვაქცინას შეუძლია მილიონობით ადამიანის გადარჩენა, იარაღის შექმნა კი, პირიქით, ამ სიცოცხლეს ართმევს. ცოტა ხნის წინ (მასშტაბში ადამიანის ევოლუცია) ჩვენ ვისწავლეთ ელექტროენერგიის „მოთვინიერება“ - და ახლა ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ ცხოვრებას ყველა ამ მოსახერხებელი მოწყობილობის გარეშე, რომლებიც ელექტროენერგიას იყენებენ. მაგრამ არის აღმოჩენებიც, რომლებსაც ცოტა ადამიანი ანიჭებს მნიშვნელობას, თუმცა ისინი ასევე დიდ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე.

ერთ-ერთი ასეთი "შეუმჩნეველი" აღმოჩენა არის ფრაქტალები. ალბათ გსმენიათ ეს ჩამჭრელი სიტყვა, მაგრამ იცით, რას ნიშნავს და რამდენი საინტერესო რამ იმალება ამ ტერმინში?

ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, მის გარშემო არსებული სამყაროს გაცნობის სურვილი. და ამ მისწრაფებაში ადამიანი ცდილობს განსჯებში ლოგიკის დაცვას. მის ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებისას ის ცდილობს მოძებნოს მომხდარის ლოგიკა და გამოიტანოს გარკვეული კანონზომიერება. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ საქმით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, მეცნიერები ეძებენ ნიმუშს, სადაც ის არ უნდა იყოს. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი შეიძლება მოვლენებს შორის კავშირის პოვნა. და ეს კავშირი არის ფრაქტალი.

ჩვენი პატარა ქალიშვილი, ოთხნახევარი წლის, ახლა იმ მშვენიერ ასაკშია, როდესაც უამრავი კითხვაა "რატომ?" ბევრჯერ აღემატება იმ პასუხების რაოდენობას, რომელთა გაცემაც მოზარდებს აქვთ დრო. არც ისე დიდი ხნის წინ, მიწიდან აწეულ ტოტს რომ შევხედე, ჩემმა ქალიშვილმა უცებ შენიშნა, რომ ეს ტოტი, კვანძებითა და ტოტებით, თავად ხეს ჰგავდა. და, რა თქმა უნდა, მოჰყვა ჩვეული კითხვა „რატომ?“, რისთვისაც მშობლებს უნდა ეძიათ მარტივი ახსნა, რომლის გაგებაც ბავშვს შეეძლო.

ბავშვის მიერ აღმოჩენილ მთლიან ხესთან ერთი ტოტის მსგავსება ძალიან ზუსტი დაკვირვებაა, რაც კიდევ ერთხელ მოწმობს ბუნებაში რეკურსიული თვითმსგავსების პრინციპზე. ბუნებაში ძალიან ბევრი ორგანული და არაორგანული ფორმა წარმოიქმნება ანალოგიურად. ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინის "სახლი", ხეების ქერქი და გვირგვინი, სისხლის მიმოქცევის სისტემადა ასე შემდეგ - ყველა ამ ობიექტის შემთხვევითი ფორმები შეიძლება აღწერილი იყოს ფრაქტალის ალგორითმით.

⇡ ბენუა მანდელბროტი: ფრაქტალის გეომეტრიის მამა

თავად სიტყვა „ფრაქტალი“ გაჩნდა ბრწყინვალე მეცნიერის ბენუა ბ. მანდელბროტის წყალობით.

მან ეს ტერმინი თავად გამოიგონა 1970-იან წლებში, ისესხა სიტყვა fractus ლათინურიდან, სადაც სიტყვასიტყვით ნიშნავს "გატეხილი" ან "დამსხვრეული". Რა არის ეს? დღეს ყველაზე ხშირად სიტყვა „ფრაქტალი“ მნიშვნელობით გამოიყენება გრაფიკული გამოსახულებასტრუქტურა, რომელიც მსგავსია საკუთარ თავს უფრო დიდი მასშტაბით.

ფრაქტალების თეორიის გაჩენის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ბენუა მანდელბროტის დაბადებამდე მრავალი წლით ადრე, მაგრამ მისი განვითარება მხოლოდ გამოთვლითი მოწყობილობების გამოჩენით შეიძლებოდა. დასაწყისში მისი სამეცნიერო მოღვაწეობაბენოისტი მუშაობდა IBM Research Center-ში. ამ დროს ცენტრის თანამშრომლები მონაცემთა დისტანციურ გადაცემაზე მუშაობდნენ. კვლევის დროს მეცნიერებს შეექმნათ ხმაურის ჩარევის შედეგად წარმოქმნილი დიდი დანაკარგების პრობლემა. სანამ ბენუა იდგა რთული და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანა- გაიგეთ, როგორ გამოიცნოთ ხმაურის ჩარევის წარმოშობა ელექტრონულ სქემებში, როდესაც სტატისტიკური მეთოდი არაეფექტურია.

ხმაურის გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მანდელბროტმა ყურადღება მიიპყრო ერთ უცნაურ ნიმუშზე - სხვადასხვა მასშტაბის ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა. იდენტური ნიმუში დაფიქსირდა იმისდა მიუხედავად, იყო თუ არა ეს ხმაურის გრაფიკი ერთი დღის, კვირის ან საათის განმავლობაში. ღირდა გრაფიკის მასშტაბის შეცვლა და სურათი ყოველ ჯერზე მეორდებოდა.

სიცოცხლის განმავლობაში ბენუა მანდელბროტმა არაერთხელ თქვა, რომ მას საქმე არ ჰქონდა ფორმულებთან, არამედ უბრალოდ თამაშობდა ნახატებთან. ეს ადამიანი ძალიან გადატანითი მნიშვნელობით ფიქრობდა და ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გეომეტრიის ველში გადაიტანა, სადაც, მისი თქმით, სწორი პასუხი ყოველთვის აშკარაა.

გასაკვირი არ არის, რომ ასეთი მდიდარი კაცია სივრცითი წარმოსახვაგახდა ფრაქტალის გეომეტრიის მამა. ყოველივე ამის შემდეგ, ფრაქტალების არსის გაცნობიერება ხდება ზუსტად მაშინ, როდესაც დაიწყებთ ნახატების შესწავლას და ფიქრობთ უცნაური მორევის ნიმუშების მნიშვნელობაზე.

ფრაქტალ ნიმუშს არ აქვს იდენტური ელემენტები, მაგრამ აქვს მსგავსება ნებისმიერი მასშტაბით. შექმენით ეს სურათი მაღალი ხარისხიხელით დეტალების დახატვა ადრე უბრალოდ შეუძლებელი იყო, საჭირო იყო დიდი თანხაგამოთვლა. მაგალითად, ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ ჟოზეფ ლუი ფატუმ აღწერა ეს ნაკრები ბენუა მანდელბროს აღმოჩენამდე სამოცდაათი წლით ადრე. თუ ვსაუბრობთ თვითმსგავსების პრინციპებზე, მაშინ ისინი ნახსენები იყო ლაიბნიცისა და გეორგ კანტორის ნაშრომებში.

ფრაქტალის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო მანდელბროტის ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც წარმოიშვა გასტონ მორის ჯულიას კვლევის შედეგად.

გასტონ ჯულია (ყოველთვის ნიღბიანი - პირველი მსოფლიო ომის ტრავმა)

ამ ფრანგ მათემატიკოსს აინტერესებდა, როგორი იქნებოდა ნაკრები, თუ იგი აგებული იქნებოდა მარტივი ფორმულისგან, რომელიც იმეორებს მარყუჟს. უკუკავშირი. თუ ახსნილია „თითებზე“, ეს ნიშნავს, რომ კონკრეტული რიცხვისთვის ჩვენ ვპოულობთ ახალ მნიშვნელობას ფორმულის გამოყენებით, რის შემდეგაც მას კვლავ ჩავცვლით ფორმულაში და ვიღებთ სხვა მნიშვნელობას. შედეგი არის რიცხვების დიდი თანმიმდევრობა.

ასეთი ნაკრების სრული სურათის მისაღებად, თქვენ უნდა გააკეთოთ უზარმაზარი გამოთვლები - ასობით, ათასობით, მილიონობით. უბრალოდ შეუძლებელი იყო ამის ხელით გაკეთება. მაგრამ როდესაც მათემატიკოსების განკარგულებაში გამოჩნდა ძლიერი გამოთვლითი მოწყობილობები, მათ შეძლეს ახალი დათვალიერება ფორმულებსა და გამონათქვამებზე, რომლებიც დიდი ხანია იწვევდა ინტერესს. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი კლასიკური ფრაქტალის გამოსათვლელად. დიდი რაოდენობით მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობის დამუშავების შემდეგ, ბენუამ შედეგები გადაიტანა გრაფიკზე. აი რა მიიღო მან.

შემდგომში, ეს გამოსახულება შეღებილი იქნა (მაგალითად, შეღებვის ერთ-ერთი გზა გამეორებების რაოდენობის მიხედვით) და გახდა ადამიანის მიერ ოდესმე შექმნილ ერთ-ერთ ყველაზე პოპულარულ სურათად.

როგორც ნათქვამია უძველესი გამონათქვამიმიეწერება ჰერაკლიტე ეფესელს: „ერთ მდინარეში ორჯერ ვერ შეხვალ“. ის საუკეთესოდ შეეფერება ფრაქტალების გეომეტრიის ინტერპრეტაციას. რაც არ უნდა დეტალურად განვიხილოთ ფრაქტალის სურათი, ჩვენ ყოველთვის დავინახავთ მსგავს ნიმუშს.

მათ, ვისაც სურს ნახოს, როგორ გამოიყურება მანდელბროტის სივრცის გამოსახულება მრავალჯერ გადიდებისას, შეუძლიათ ამის გაკეთება ანიმაციური GIF-ის ატვირთვით.

⇡ ლორენ კარპენტერი: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორია მალევე იქნა ნაპოვნი პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ეს მჭიდროდ არის დაკავშირებული საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, გასაკვირი არ არის, რომ პირველებმა გამოიყენეს ალგორითმები და პრინციპები უჩვეულო ფორმების ასაგებად, იყვნენ მხატვრები.

ლეგენდარული Pixar სტუდიის მომავალმა თანადამფუძნებელმა, ლორენ კარპენტერმა 1967 წელს დაიწყო მუშაობა Boeing Computer Services-ში, რომელიც იყო ცნობილი კორპორაციის ერთ-ერთი განყოფილება, რომელიც დაკავებული იყო ახალი თვითმფრინავების შემუშავებით.

1977 წელს მან შექმნა პრეზენტაციები მფრინავი მოდელების პროტოტიპებით. ლორენი პასუხისმგებელი იყო შემუშავებული თვითმფრინავის სურათების შემუშავებაზე. მას უნდა შეექმნა ახალი მოდელების სურათები, რომლებიც აჩვენებდნენ მომავალ თვითმფრინავებს სხვადასხვა პარტიები. რაღაც მომენტში Pixar Animation Studios-ის მომავალ დამფუძნებელს გაუჩნდა კრეატიული იდეა მთების გამოსახულების ფონად გამოსაყენებლად. დღეს ნებისმიერ სკოლის მოსწავლეს შეუძლია ასეთი პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ გასული საუკუნის სამოცდაათიანი წლების ბოლოს კომპიუტერები ვერ უმკლავდებოდნენ ასეთ რთულ გამოთვლებს - გრაფიკული რედაქტორებიარ იყო, რომ აღარაფერი ვთქვათ სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციებზე. 1978 წელს ლორენმა შემთხვევით ნახა ბენუა მანდელბროტის წიგნი ფრაქტალები: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება მაღაზიაში. ამ წიგნში მისი ყურადღება მიიპყრო ის იყო, რომ ბენოისტმა მოიყვანა ფრაქტალის ფორმების მრავალი მაგალითი ნამდვილი ცხოვრებადა დაამტკიცა, რომ მათი აღწერა შესაძლებელია მათემატიკური გამოსახულებით.

ეს ანალოგია მათემატიკოსმა შემთხვევით არ აირჩია. ფაქტია, რომ როგორც კი მან გამოაქვეყნა თავისი კვლევა, მას კრიტიკის მთელი აურზაური მოუხდა. მთავარი, რითაც კოლეგებმა საყვედურობდნენ, შემუშავებული თეორიის უსარგებლობა იყო. - დიახ, - უთხრეს, - ეს ლამაზი სურათებია, მაგრამ მეტი არაფერი. პრაქტიკული ღირებულებაფრაქტალების თეორიას არ გააჩნია. იყვნენ ისეთებიც, რომლებსაც ზოგადად სჯეროდათ, რომ ფრაქტალის შაბლონები უბრალოდ „ეშმაკის მანქანების“ მუშაობის გვერდითი პროდუქტი იყო, რომელიც სამოცდაათიანი წლების ბოლოს ბევრს ეჩვენებოდა, რომ ძალიან რთული და შეუსწავლელი იყო, რომ სრულად ენდობოდა. მანდელბროტი ცდილობდა ეპოვა ფრაქტალების თეორიის აშკარა გამოყენება, მაგრამ, ზოგადად, მას ამის გაკეთება არ სჭირდებოდა. ბენუა მანდელბროტის მიმდევრები მომდევნო 25 წლის განმავლობაში დიდად გამოიყენეს ასეთი „მათემატიკური ცნობისმოყვარეობისთვის“ და ლორენ კარპენტერი იყო ერთ-ერთი პირველი, ვინც პრაქტიკაში გამოიყენა ფრაქტალის მეთოდი.

წიგნის შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორი სერიოზულად შეისწავლა ფრაქტალის გეომეტრიის პრინციპები და დაიწყო მისი განხორციელების გზის ძებნა. კომპიუტერული გრაფიკა. მხოლოდ სამ დღეში მუშაობისას ლორენმა შეძლო ვიზუალიზაცია რეალისტური გამოსახულება მთის სისტემათქვენს კომპიუტერში. ანუ ფორმულების დახმარებით მან სრულიად ცნობადი მთის პეიზაჟი დახატა.

პრინციპი, რომელიც ლორენმა გამოიყენა თავისი მიზნის მისაღწევად, ძალიან მარტივი იყო. იგი შედგებოდა უფრო დიდი გეომეტრიული ფიგურის წვრილ ელემენტებად დაყოფაში და ისინი, თავის მხრივ, იყოფა უფრო მცირე ზომის მსგავს ფიგურებად.

უფრო დიდი სამკუთხედების გამოყენებით, კარპენტერმა დაყო ისინი ოთხ მცირედ და შემდეგ გაიმეორა ეს პროცედურა უსასრულოდ, სანამ მას რეალისტური მთის პეიზაჟი არ ჰქონდა. ამრიგად, მან მოახერხა გამხდარიყო პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში სურათების შესაქმნელად. როგორც კი ცნობილი გახდა შესრულებული სამუშაოს შესახებ, ენთუზიასტებმა მთელ მსოფლიოში აითვისეს ეს იდეა და დაიწყეს ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენება რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

ერთ-ერთი პირველი 3D რენდერი ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით

სულ რამდენიმე წლის შემდეგ ლორენ კარპენტერმა შეძლო თავისი მიღწევების გამოყენება ბევრად უფრო დიდ პროექტში. ანიმატორმა ისინი დააფუძნა ორწუთიან დემო ვერსიაზე, Vol Libre, რომელიც აჩვენეს Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ შოკში ჩააგდო ყველა, ვინც ნახა და ლორენმა მიიღო მოწვევა Lucasfilm-ისგან.

ანიმაცია გადაღებულია VAX-11/780 კომპიუტერზე Digital Equipment Corporation-ის საათის სიჩქარით ხუთი მეგაჰერცი, და თითოეული კადრის დახატვას დაახლოებით ნახევარი საათი დასჭირდა.

Lucasfilm Limited-ში მუშაობისას ანიმატორმა შექმნა იგივე 3D პეიზაჟები Star Trek საგის მეორე ფუნქციისთვის. ხანის რისხვაში კარპენტერმა შეძლო მთელი პლანეტის შექმნა ფრაქტალური ზედაპირის მოდელირების იგივე პრინციპის გამოყენებით.

ამჟამად, ყველა პოპულარული აპლიკაცია 3D ლანდშაფტების შესაქმნელად იყენებს ბუნებრივი ობიექტების გენერირების იმავე პრინციპს. Terragen, Bryce, Vue და სხვა 3D რედაქტორები ეყრდნობიან ფრაქტალური ზედაპირისა და ტექსტურის მოდელირების ალგორითმს.

⇡ ფრაქტალური ანტენები: ნაკლები უკეთესია, მაგრამ უკეთესი

ბოლო ნახევარი საუკუნის განმავლობაში ცხოვრება სწრაფად შეიცვალა. უმეტესობა ჩვენგანს მიაჩნია მიღწეულ მიღწევებს თანამედროვე ტექნოლოგიებში. ყველაფერს, რაც ცხოვრებას უფრო კომფორტულს ხდის, ძალიან სწრაფად ეჩვევი. იშვიათად ვინმე სვამს კითხვებს "საიდან გაჩნდა ეს?" და "როგორ მუშაობს?". მიკროტალღური ღუმელი ათბობს საუზმეს - კარგი, მშვენიერია, სმარტფონი საშუალებას გაძლევთ ისაუბროთ სხვა ადამიანთან - შესანიშნავია. ეს ჩვენთვის აშკარა შესაძლებლობად გვეჩვენება.

მაგრამ ცხოვრება შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული, თუ ადამიანი არ ეძებს ახსნას მომხდარ მოვლენებს. აიღეთ, მაგალითად, მობილური ტელეფონები. გახსოვთ დასაკეცი ანტენები პირველ მოდელებზე? ისინი ერეოდნენ, გაზარდეს მოწყობილობის ზომა, საბოლოოდ, ხშირად იშლებოდა. ჩვენ გვჯერა, რომ ისინი სამუდამოდ დაივიწყეს და ნაწილობრივ ამის გამო ... ფრაქტალები.

ფრაქტალური ნახატები ხიბლავს მათი ნიმუშებით. ისინი ნამდვილად ჰგავს სურათებს. კოსმოსური ობიექტები- ნისლეულები, გალაქტიკების გროვები და ა.შ. ამიტომ, სავსებით ბუნებრივია, რომ როდესაც მანდელბროტმა გააჟღერა თავისი ფრაქტალების თეორია, მისმა კვლევამ გაზარდა ინტერესი მათ შორის, ვინც ასტრონომიას სწავლობდა. ერთ-ერთი ასეთი მოყვარული, სახელად ნათან კოენი, ბუდაპეშტში ბენუა მანდელბროტის ლექციაზე დასწრების შემდეგ, შთაგონებული იყო მიღებული ცოდნის პრაქტიკული გამოყენების იდეით. მართალია, მან ეს ინტუიციურად გააკეთა და შემთხვევითობამ მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მის აღმოჩენაში. როგორც რადიომოყვარული, ნათანი ცდილობდა შეექმნა ანტენა მაქსიმალური მგრძნობელობით.

ანტენის პარამეტრების გაუმჯობესების ერთადერთი გზა, რაც იმ დროისთვის იყო ცნობილი, იყო მისი გეომეტრიული ზომების გაზრდა. თუმცა, ნათანის ბოსტონის ცენტრში ბინის მფლობელი კატეგორიულად ეწინააღმდეგებოდა სახურავის დიდი მოწყობილობების დაყენებას. შემდეგ ნათანმა დაიწყო ექსპერიმენტები სხვადასხვა ფორმებიანტენები, ცდილობს მიიღოს მაქსიმალური შედეგიმინიმალური ზომებით. ფრაქტალური ფორმების იდეით გაშეშებულმა კოენმა, როგორც ამბობენ, შემთხვევით გააკეთა მავთულისგან ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალი - "კოხის ფიფქი". შვედმა მათემატიკოსმა ჰელგე ფონ კოხმა ეს მრუდი ჯერ კიდევ 1904 წელს გამოიგონა. იგი მიიღება სეგმენტის სამ ნაწილად დაყოფით და შუა სეგმენტის ჩანაცვლებით ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტთან დამთხვევის გვერდის გარეშე. განმარტება ცოტა რთული გასაგებია, მაგრამ ფიგურა ნათელი და მარტივია.

ასევე არსებობს "კოხის მრუდის" სხვა სახეობები, მაგრამ მრუდის სავარაუდო ფორმა მსგავსი რჩება.

როდესაც ნათანმა ანტენა რადიოს მიმღებს დაუკავშირა, ძალიან გაუკვირდა - მგრძნობელობა მკვეთრად გაიზარდა. ექსპერიმენტების სერიის შემდეგ, ბოსტონის უნივერსიტეტის მომავალმა პროფესორმა გააცნობიერა, რომ ფრაქტალის ნიმუშის მიხედვით დამზადებულ ანტენას აქვს მაღალი ეფექტურობა და კლასიკურ გადაწყვეტილებებთან შედარებით გაცილებით ფართო სიხშირის დიაპაზონს მოიცავს. გარდა ამისა, ანტენის ფორმამ ფრაქტალური მრუდის სახით შეიძლება მნიშვნელოვნად შეამციროს გეომეტრიული ზომები. ნათან კოენმა თეორემაც კი შეიმუშავა, რომელიც ამტკიცებს, რომ ფართოზოლოვანი ანტენის შესაქმნელად საკმარისია მას მივცეთ მსგავსი ფრაქტალური მრუდის ფორმა.

ავტორმა დააპატენტა თავისი აღმოჩენა და დააარსა ფირმა ფრაქტალური ანტენების განვითარებისა და დიზაინისთვის Fractal Antenna Systems, მართებულად თვლიდა, რომ მომავალში, მისი აღმოჩენის წყალობით, მობილურ ტელეფონებს შეეძლებათ თავი დაეღწია ნაყარი ანტენებისგან და გახდნენ უფრო კომპაქტური.

ძირითადად, ასეც მოხდა. მართალია, დღემდე ნათანი სასამართლოშია მსხვილ კორპორაციებთან, რომლებიც უკანონოდ იყენებენ მის აღმოჩენას კომპაქტური საკომუნიკაციო მოწყობილობების დასამზადებლად. ზოგიერთი ცნობილი მწარმოებელი მობილური მოწყობილობები, როგორიცაა Motorola, უკვე მიაღწიეს სამშვიდობო შეთანხმებას ფრაქტალური ანტენის გამომგონებელთან.

⇡ ფრაქტალური ზომები: გონება არ ესმის

ბენუამ ეს კითხვა ცნობილი ამერიკელი მეცნიერის ედვარდ კასნერისგან ისესხა.

ამ უკანასკნელს, ისევე როგორც ბევრ სხვა ცნობილ მათემატიკოსს, ძალიან უყვარდა ბავშვებთან ურთიერთობა, მათთვის კითხვების დასმა და მოულოდნელი პასუხების მიღება. ზოგჯერ ეს იწვევს გასაოცარ შედეგებს. ასე, მაგალითად, ედვარდ კასნერის ცხრა წლის ძმისშვილმა მოიფიქრა ახლა კარგად ცნობილი სიტყვა "გუგოლი", რომელიც აღნიშნავს ერთეულს ასი ნულით. მაგრამ დავუბრუნდეთ ფრაქტალებს. ამერიკელ მათემატიკოსს მოსწონდა კითხვა, რა არის სიგრძე სანაპირო ზოლიᲐᲨᲨ. თანამოსაუბრის აზრის მოსმენის შემდეგ ედვარდმა თავად თქვა სწორი პასუხი. თუ გაზომავთ სიგრძეს რუკაზე გატეხილი სეგმენტებით, მაშინ შედეგი იქნება არაზუსტი, რადგან სანაპირო ზოლს აქვს დიდი რიცხვიდარღვევები. და რა მოხდება, თუ მაქსიმალურად ზუსტად გაზომავთ? თქვენ მოგიწევთ თითოეული უთანასწორობის სიგრძის გათვალისწინება - თქვენ უნდა გაზომოთ თითოეული კონცხი, თითოეული ყურე, კლდე, კლდოვანი რაფის სიგრძე, მასზე ქვა, ქვიშის მარცვალი, ატომი და ა.შ. ვინაიდან დარღვევების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, სანაპირო ზოლის გაზომილი სიგრძე უსასრულობამდე გაიზრდება ყოველი ახალი დარღვევით.

რაც უფრო მცირეა ზომა გაზომვისას, მით მეტია გაზომილი სიგრძე

საინტერესოა, რომ ედვარდის მოთხოვნის შემდეგ ბავშვები უფროსებზე ბევრად სწრაფად ამბობდნენ სწორ პასუხს, ხოლო ამ უკანასკნელებს უჭირდათ ასეთი წარმოუდგენელი პასუხის მიღება.

ამ პრობლემის მაგალითის გამოყენებით მანდელბროტმა შესთავაზა გაზომვების ახალი მიდგომის გამოყენება. ვინაიდან სანაპირო ზოლი ახლოს არის ფრაქტალ მრუდთან, ეს ნიშნავს, რომ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას დამახასიათებელი პარამეტრი, ეგრეთ წოდებული ფრაქტალური განზომილება.

რა არის ჩვეულებრივი განზომილება, ყველასთვის გასაგებია. თუ განზომილება ერთის ტოლია, მივიღებთ სწორ ხაზს, თუ ორი - ბრტყელი ფიგურა, სამი არის მოცულობა. თუმცა, განზომილების ასეთი გაგება მათემატიკაში არ მუშაობს ფრაქტალური მრუდებით, სადაც ამ პარამეტრს აქვს წილადური მნიშვნელობა. მათემატიკაში ფრაქტალის განზომილება პირობითად შეიძლება ჩაითვალოს „უხეშობად“. რაც უფრო მაღალია მრუდის უხეშობა, მით მეტია მისი ფრაქტალური განზომილება. მრუდს, რომელსაც მანდელბროტის მიხედვით აქვს ფრაქტალური განზომილება უფრო მაღალი ვიდრე მისი ტოპოლოგიური განზომილება, აქვს სავარაუდო სიგრძე, რომელიც არ არის დამოკიდებული განზომილებების რაოდენობაზე.

მეცნიერები ახლა უფრო და უფრო მეტს პოულობენ მეტი სფეროგამოიყენოს ფრაქტალების თეორია. ფრაქტალების დახმარებით შეგიძლიათ გააანალიზოთ აქციების ფასების რყევები, შეისწავლოთ ყველა სახის ბუნებრივი პროცესი, როგორიცაა სახეობების რაოდენობის რყევები, ან ნაკადების დინამიკის სიმულაცია. ფრაქტალური ალგორითმები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მონაცემთა შეკუმშვისთვის, მაგალითად გამოსახულების შეკუმშვისთვის. სხვათა შორის, კომპიუტერის ეკრანზე ლამაზი ფრაქტალის მისაღებად, არ არის აუცილებელი გქონდეთ დოქტორის ხარისხი.

⇡ ფრაქტალი ბრაუზერში

შესაძლოა, ფრაქტალის ნიმუშის მისაღებად ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზაა ახალგაზრდა ნიჭიერი პროგრამისტის ტობი შაჩმანის ონლაინ ვექტორული რედაქტორის გამოყენება. ამ მარტივი გრაფიკული რედაქტორის ინსტრუმენტთა ნაკრები ეფუძნება თვითმსგავსების იმავე პრინციპს.

თქვენს განკარგულებაშია მხოლოდ ორი მარტივი ფორმა - კვადრატი და წრე. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ისინი ტილოზე, გააფართოვოთ (ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ მასშტაბირება, დააჭიროთ Shift ღილაკს) და დაატრიალოთ. ლოგიკური მიმატების ოპერაციების პრინციპის გადაფარვით, ეს უმარტივესი ელემენტები ქმნიან ახალ, ნაკლებად ტრივიალურ ფორმებს. გარდა ამისა, ეს ახალი ფორმები შეიძლება დაემატოს პროექტს და პროგრამა განუსაზღვრელი ვადით გაიმეორებს ამ სურათების გენერაციას. ფრაქტალზე მუშაობის ნებისმიერ ეტაპზე შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ ნებისმიერ კომპონენტს რთული ფორმადა შეცვალეთ მისი პოზიცია და გეომეტრია. ეს ძალიან სახალისოა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც თვლით, რომ ერთადერთი ინსტრუმენტი, რომელიც გჭირდებათ კრეატიულობისთვის, არის ბრაუზერი. თუ არ გესმით ამ რეკურსიულ ვექტორულ რედაქტორთან მუშაობის პრინციპი, გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს პროექტის ოფიციალურ ვებგვერდზე, სადაც დეტალურად არის ნაჩვენები ფრაქტალის შექმნის მთელი პროცესი.

⇡ XaoS: ფრაქტალები ყველა გემოვნებისთვის

ბევრ გრაფიკულ რედაქტორს აქვს ჩაშენებული ხელსაწყოები ფრაქტალის შაბლონების შესაქმნელად. თუმცა, ეს ხელსაწყოები, როგორც წესი, მეორეხარისხოვანია და არ გაძლევენ გენერირებული ფრაქტალის ნიმუშის დაზუსტების საშუალებას. იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია მათემატიკურად ზუსტი ფრაქტალის შექმნა, XaoS კროს პლატფორმის რედაქტორი მოვა სამაშველოში. ეს პროგრამა შესაძლებელს ხდის არა მხოლოდ საკუთარი თავის მსგავსი სურათის შექმნას, არამედ მასთან ერთად სხვადასხვა მანიპულაციების შესრულებას. მაგალითად, რეალურ დროში შეგიძლიათ „გაიაროთ“ ფრაქტალში მისი მასშტაბის შეცვლით. ანიმაციური მოძრაობა ფრაქტალის გასწვრივ შეიძლება შეინახოს როგორც XAF ფაილი და შემდეგ დაკვრა თავად პროგრამაში.

XaoS-ს შეუძლია პარამეტრების შემთხვევითი ნაკრების ჩატვირთვა, ასევე გამოსახულების შემდგომი დამუშავების სხვადასხვა ფილტრების გამოყენება - ბუნდოვანი მოძრაობის ეფექტის დამატება, ფრაქტალ წერტილებს შორის მკვეთრი გადასვლების გამარტივება, 3D გამოსახულების სიმულაცია და ა.შ.

⇡ ფრაქტალის ზუმერი: კომპაქტური ფრაქტალის გენერატორი

სხვა ფრაქტალური გამოსახულების გენერატორებთან შედარებით, მას აქვს რამდენიმე უპირატესობა. ჯერ ერთი, ის საკმაოდ მცირე ზომისაა და არ საჭიროებს ინსტალაციას. მეორეც, ის ახორციელებს სურათის ფერთა პალიტრის განსაზღვრის უნარს. თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ჩრდილები RGB, CMYK, HVS და HSL ფერის მოდელებში.

ასევე ძალიან მოსახერხებელია ფერთა ჩრდილების შემთხვევითი შერჩევის და სურათზე ყველა ფერის ინვერსიის ფუნქციის გამოყენება. ფერის დასარეგულირებლად არის ჩრდილების ციკლური შერჩევის ფუნქცია - შესაბამისი რეჟიმის ჩართვისას პროგრამა აცოცხლებს სურათს, ციკლურად ცვლის მასზე ფერებს.

Fractal Zoomer-ს შეუძლია 85 სხვადასხვა ფრაქტალის ფუნქციის ვიზუალიზაცია და ფორმულები ნათლად არის ნაჩვენები პროგრამის მენიუში. პროგრამაში არის ფილტრები სურათების შემდგომი დამუშავებისთვის, თუმცა მცირე რაოდენობით. თითოეული მინიჭებული ფილტრი შეიძლება ნებისმიერ დროს გაუქმდეს.

⇡ Mandelbulb3D: 3D ფრაქტალის რედაქტორი

როდესაც ტერმინი "ფრაქტალი" გამოიყენება, ის ყველაზე ხშირად ნიშნავს ბრტყელ ორგანზომილებიან გამოსახულებას. თუმცა, ფრაქტალის გეომეტრია სცილდება 2D განზომილებას. ბუნებაში შეგიძლიათ იპოვოთ ბრტყელი ფრაქტალის ფორმების ორივე მაგალითი, მაგალითად, ელვის გეომეტრია და სამგანზომილებიანი სამგანზომილებიანი ფიგურები. ფრაქტალის ზედაპირები შეიძლება იყოს 3D და 3D ფრაქტალების ერთ-ერთი ძალიან საილუსტრაციო ილუსტრაცია Ყოველდღიური ცხოვრების- კომბოსტოს თავი. ალბათ ფრაქტალების სანახავად საუკეთესო საშუალებაა რომანესკოში, ყვავილოვანი კომბოსტოს და ბროკოლის ჰიბრიდი.

და ამ ფრაქტალის ჭამა შეიძლება

Mandelbulb3D პროგრამას შეუძლია შექმნას მსგავსი ფორმის სამგანზომილებიანი ობიექტები. 3D ზედაპირის მისაღებად ფრაქტალის ალგორითმის გამოყენებით, ამ აპლიკაციის ავტორებმა, დენიელ უაიტმა და პოლ ნილანდერმა, მანდელბროტის ნაკრები გადააკეთეს სფერულ კოორდინატებად. მათ მიერ შექმნილი Mandelbulb3D პროგრამა არის ნამდვილი სამგანზომილებიანი რედაქტორი, რომელიც აყალიბებს სხვადასხვა ფორმის ფრაქტალურ ზედაპირებს. ვინაიდან ბუნებაში ხშირად ვაკვირდებით ფრაქტალის ნიმუშებს, ხელოვნურად შექმნილი ფრაქტალის სამგანზომილებიანი ობიექტი წარმოუდგენლად რეალისტური და თუნდაც „ცოცხალი“ ჩანს.

შეიძლება მცენარეს ჰგავდეს, უცნაურ ცხოველს, პლანეტას ან სხვა რამეს დაემსგავსოს. ამ ეფექტს აძლიერებს რენდერის გაფართოებული ალგორითმი, რომელიც შესაძლებელს ხდის რეალისტური ასახვის მიღებას, გამჭვირვალობისა და ჩრდილების გამოთვლას, ველის სიღრმის ეფექტის სიმულაციას და ა.შ. Mandelbulb3D-ს აქვს უამრავი პარამეტრი და რენდერის პარამეტრები. თქვენ შეგიძლიათ აკონტროლოთ სინათლის წყაროების ჩრდილები, აირჩიოთ მოდელირებული ობიექტის ფონი და დეტალების დონე.

Incendia ფრაქტალის რედაქტორი მხარს უჭერს გამოსახულების ორმაგ გამარტივებას, შეიცავს ორმოცდაათი სხვადასხვა სამგანზომილებიანი ფრაქტალის ბიბლიოთეკას და აქვს ცალკე მოდული ძირითადი ფორმების რედაქტირებისთვის.

აპლიკაცია იყენებს ფრაქტალ სკრიპტირებას, რომლითაც შეგიძლიათ დამოუკიდებლად აღწეროთ ფრაქტალის სტრუქტურების ახალი ტიპები. Incendia-ს აქვს ტექსტურის და მასალის რედაქტორები და რენდერის ძრავა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ მოცულობითი ნისლის ეფექტები და სხვადასხვა შადერები. პროგრამას აქვს შესაძლებლობა შეინახოს ბუფერი გრძელვადიანი რენდერის დროს, მხარდაჭერილია ანიმაციის შექმნა.

Incendia საშუალებას გაძლევთ ექსპორტი გააკეთოთ ფრაქტალის მოდელი პოპულარულ 3D გრაფიკულ ფორმატებში - OBJ და STL. Incendia მოიცავს პატარა Geometrica-ს - სპეციალურ ხელსაწყოს ფრაქტალური ზედაპირის სამგანზომილებიან მოდელზე ექსპორტის დასაყენებლად. ამ პროგრამის გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ 3D ზედაპირის გარჩევადობა, მიუთითოთ ფრაქტალის გამეორებების რაოდენობა. ექსპორტირებული მოდელების გამოყენება შესაძლებელია 3D პროექტებში 3D რედაქტორებთან მუშაობისას, როგორიცაა Blender, 3ds max და სხვა.

AT ბოლო დროს Incendia პროექტზე მუშაობა გარკვეულწილად შენელდა. ამ დროისთვის ავტორი ეძებს სპონსორებს, რომლებიც დაეხმარებიან მას პროგრამის განვითარებაში.

თუ თქვენ არ გაქვთ საკმარისი ფანტაზია ამ პროგრამაში ლამაზი სამგანზომილებიანი ფრაქტალის დახატვისთვის, არ აქვს მნიშვნელობა. გამოიყენეთ პარამეტრების ბიბლიოთეკა, რომელიც მდებარეობს INCENDIA_EX\parameters საქაღალდეში. PAR ფაილების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ ყველაზე უჩვეულო ფრაქტალის ფორმები, მათ შორის ანიმაციური.

⇡ ხმოვანი: როგორ მღერიან ფრაქტალები

ჩვენ ჩვეულებრივ არ ვსაუბრობთ პროექტებზე, რომლებზეც ახლახან მიმდინარეობს მუშაობა, მაგრამ ამ შემთხვევაში გამონაკლისი უნდა გავაკეთოთ, ეს ძალიან უჩვეულო აპლიკაციაა. პროექტი სახელწოდებით Aural გამოვიდა იმავე ადამიანთან ერთად, როგორც Incendia. მართალია, ამჯერად პროგრამა არ ახდენს ფრაქტალის ნაკრების ვიზუალიზაციას, არამედ ახმოვანებს მას, აქცევს მას ელექტრონულ მუსიკად. იდეა ძალიან საინტერესოა, განსაკუთრებით ფრაქტალების უჩვეულო თვისებების გათვალისწინებით. Aural არის აუდიო რედაქტორი, რომელიც ქმნის მელოდიებს ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით, ანუ, ფაქტობრივად, ის არის აუდიო სინთეზატორი-სექვენერატორი.

ამ პროგრამის მიერ გაცემული ბგერების თანმიმდევრობა უჩვეულო და ... ლამაზია. ის შეიძლება კარგად გამოდგეს თანამედროვე რიტმების დასაწერად და, ჩვენი აზრით, განსაკუთრებით შესაფერისია შექმნისთვის აუდიო ჩანაწერებისატელევიზიო და რადიო გადაცემების სქრინსეივერებზე, ასევე კომპიუტერული თამაშების ფონური მუსიკის "მარყუჟებზე". რამიროს ჯერ არ მიუწოდებია დემო ვერსიამისი პროგრამის, მაგრამ გვპირდება, რომ როდესაც ის ამას გააკეთებს, Aural-თან მუშაობისთვის, მას არ დასჭირდება ფრაქტალების თეორიის შესწავლა - უბრალოდ ითამაშებს ალგორითმის პარამეტრებს ნოტების თანმიმდევრობის შესაქმნელად. მოუსმინეთ როგორ ჟღერს ფრაქტალები და.

ფრაქტალები: მუსიკალური პაუზა

სინამდვილეში, ფრაქტალებს შეუძლიათ დაგეხმარონ მუსიკის დაწერაში პროგრამული უზრუნველყოფის გარეშეც კი. მაგრამ ეს შეიძლება გააკეთოს მხოლოდ იმ ადამიანს, რომელიც ნამდვილად არის გაჟღენთილი ბუნებრივი ჰარმონიის იდეით და ამავე დროს არ გადაიქცა უბედურ „ნერდად“. აზრი აქვს მუსიკოსისგან, სახელად ჯონათან კულტონისგან, რომელიც, სხვა საკითხებთან ერთად, წერს კომპოზიციებს ჟურნალის Popular Science-ისთვის. და სხვა მხატვრებისგან განსხვავებით, კოლტონი აქვეყნებს თავის ყველა ნამუშევარს Creative Commons Attribution-არაკომერციული ლიცენზიით, რომელიც (არაკომერციული მიზნებისთვის გამოყენებისას) ითვალისწინებს ნამუშევრის უფასო კოპირებას, გავრცელებას, სხვებისთვის გადაცემას, ასევე მის მოდიფიკაციას (შექმნას). წარმოებული სამუშაოების) თქვენს საჭიროებებზე მორგების მიზნით.

ჯონათან კოლტონს, რა თქმა უნდა, აქვს სიმღერა ფრაქტალებზე.

⇡ დასკვნა

ყველაფერში, რაც ჩვენს გარშემოა, ჩვენ ხშირად ვხედავთ ქაოსს, მაგრამ სინამდვილეში ეს არ არის შემთხვევითი, არამედ იდეალური ფორმა, რომლის ამოცნობაშიც ფრაქტალები გვეხმარება. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ სადმე ვერ ვხედავთ შაბლონებს, ეს ნიშნავს, რომ ის სხვა მასშტაბით უნდა ვეძებოთ. ხალხი ამას უკეთესად და უკეთესად ესმის, ცდილობს მრავალი გზით მიბაძოს ბუნებრივი ფორმები. ინჟინრები ქმნიან დინამიკების სისტემებს გარსის სახით, ქმნიან ანტენებს ფიფქის გეომეტრიით და ა.შ. დარწმუნებული ვართ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ბევრ საიდუმლოს ინახავს და ბევრი მათგანი ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი ადამიანმა.

რას აკეთებს ხე, ზღვის ნაპირი, ღრუბელი თუ სისხლძარღვებიჩვენს ხელში? ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველა ამ ობიექტს საერთო არაფერი აქვს. თუმცა, ფაქტობრივად, არსებობს სტრუქტურის ერთი თვისება, რომელიც თანდაყოლილია ყველა ჩამოთვლილ ობიექტში: ისინი საკუთარი თავის მსგავსია. ტოტიდან, ისევე როგორც ხის ღეროდან, უფრო მცირე პროცესები გამოდის, მათგან - უფრო პატარა და ა.შ., ანუ ტოტი მთელი ხის მსგავსია. სისხლის მიმოქცევის სისტემაც ანალოგიურადაა მოწყობილი: არტერიოლები გამოდიან არტერიებიდან, მათგან კი - უმცირესი კაპილარები, რომლებითაც ჟანგბადი შედის ორგანოებსა და ქსოვილებში. მოდით შევხედოთ სივრცის სურათები ზღვის სანაპირო: დავინახავთ ყურეებს და ნახევარკუნძულებს; მოდით შევხედოთ მას, ოღონდ ჩიტის თვალთახედვით: დავინახავთ ყურეებს და კონცხებს; ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ვდგავართ სანაპიროზე და ვუყურებთ ჩვენს ფეხებს: ყოველთვის იქნება კენჭები, რომლებიც დანარჩენზე უფრო შორს ამოდიან წყალში. ანუ, გადიდებისას სანაპირო ზოლი თავის მსგავსი რჩება. ამერიკელმა მათემატიკოსმა ბენუა მანდელბროტმა საგნების ამ თვისებას ფრაქტალობა უწოდა, ხოლო თავად ასეთ ობიექტებს - ფრაქტალები (ლათინური fractus - გატეხილი).

ამ კონცეფციას არ აქვს მკაცრი განმარტება. ამიტომ სიტყვა „ფრაქტალი“ არ არის მათემატიკური ტერმინი. ჩვეულებრივ, ფრაქტალი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ ან მეტ შემდეგ თვისებებს: რთული სტრუქტურანებისმიერი მასშტაბით (განსხვავებით, მაგალითად, სწორი ხაზისგან, რომლის ნებისმიერი ნაწილი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა - სეგმენტი). ეს არის (დაახლოებით) საკუთარი თავის მსგავსი. მას აქვს ფრაქციული ჰაუსდორფის (ფრაქტალური) განზომილება, რომელიც ტოპოლოგიურზე დიდია. შეიძლება აშენდეს რეკურსიული პროცედურებით.

გეომეტრია და ალგებრა

ფრაქტალების შესწავლა XIX წლის მხრივდა XX საუკუნე უფრო ეპიზოდური იყო, ვიდრე სისტემატური, რადგან ადრინდელი მათემატიკოსები ძირითადად სწავლობდნენ „კარგ“ ობიექტებს, რომელთა გამოკვლევაც შეიძლებოდა გამოყენებით. საერთო მეთოდებიდა თეორიები. 1872 წელს გერმანელი მათემატიკოსი კარლ ვაიერშტრასი აყალიბებს მაგალითს უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც არსად განსხვავდება. თუმცა, მისი კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და ძნელად გასაგები იყო. ამიტომ, 1904 წელს შვედმა ჰელგე ფონ კოხმა გამოავლინა უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი და მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია. აღმოჩნდა, რომ მას აქვს ფრაქტალის თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიაციას კოხის ფიფქი ეწოდება.

ფიგურების თვითმსგავსების იდეები აიტაცა ფრანგმა პოლ პიერ ლევიმ, ბენუა მანდელბროს მომავალმა მენტორმა. 1938 წელს გამოქვეყნდა მისი სტატია „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანის მსგავსი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“, რომელშიც აღწერილია კიდევ ერთი ფრაქტალი - ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი პირობითად შეიძლება მივაკუთვნოთ კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალების ერთ კლასს.

კიდევ ერთი კლასი არის დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები, რომლებიც მოიცავს მანდელბროტის კომპლექტს. პირველი კვლევა ამ მიმართულებით მე-20 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო და დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსების გასტონ ჯულიას და პიერ ფატუს სახელებთან. 1918 წელს ჯულიამ გამოაქვეყნა თითქმის ორასი გვერდიანი მემუარები, რომლებიც ეძღვნებოდა კომპლექსის გამეორებას რაციონალური ფუნქციები, რომელიც აღწერს ჯულიას ნაკრებებს, ფრაქტალების მთელ ოჯახს, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული მანდელბროტის ნაკრებთან. ეს ნამუშევარი დაჯილდოვდა საფრანგეთის აკადემიის პრიზით, მაგრამ ის არ შეიცავდა არც ერთ ილუსტრაციას, ამიტომ შეუძლებელი იყო აღმოჩენილი ობიექტების სილამაზის დაფასება. იმისდა მიუხედავად, რომ ამ ნამუშევარმა ჯულია ცნობილი გახადა იმდროინდელ მათემატიკოსთა შორის, ის სწრაფად დავიწყებას მიეცა. ისევ მასზე ყურადღება მიიპყრო მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად: სწორედ მათ გახადეს თვალსაჩინო ფრაქტალების სამყაროს სიმდიდრე და სილამაზე.

ფრაქტალური ზომები

მოგეხსენებათ, გეომეტრიული ფიგურის განზომილება (გაზომვების რაოდენობა) არის კოორდინატების რაოდენობა, რომელიც აუცილებელია ამ ფიგურაზე მდებარე წერტილის პოზიციის დასადგენად.
მაგალითად, წერტილის პოზიცია მრუდზე განისაზღვრება ერთი კოორდინატით, ზედაპირზე (აუცილებლად სიბრტყეზე) ორი კოორდინატით, სამგანზომილებიან სივრცეში სამი კოორდინატით.
უფრო გენერალთან ერთად მათემატიკური წერტილიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ განზომილება: წრფივი ზომების ზრდა, ვთქვათ, ორჯერ, ერთგანზომილებიანი (ტოპოლოგიური თვალსაზრისით) ობიექტებისთვის (სეგმენტი) იწვევს ზომის (სიგრძის) ზრდას ფაქტორზე. ორი, ორგანზომილებიანი (კვადრატისთვის) წრფივი ზომების იგივე მატება იწვევს ზომის (ფართის) გაზრდას 4-ჯერ, სამგანზომილებიანი (კუბისთვის) - 8-ჯერ. ანუ „რეალური“ (ე.წ. ჰაუსდორფი) განზომილება შეიძლება გამოითვალოს, როგორც ობიექტის „ზომის“ გაზრდის ლოგარითმის თანაფარდობა მისი ხაზოვანი ზომის გაზრდის ლოგარითმთან. ანუ სეგმენტისთვის D=log (2)/log (2)=1, სიბრტყისთვის D=log (4)/log (2)=2, მოცულობისთვის D=log (8)/log (2 )=3.
ახლა გამოვთვალოთ კოხის მრუდის განზომილება, რომლის ასაგებადაც ერთეული სეგმენტი იყოფა სამ თანაბარ ნაწილად და შუა ინტერვალი ჩანაცვლებულია ტოლგვერდა სამკუთხედით ამ სეგმენტის გარეშე. მინიმალური სეგმენტის ხაზოვანი ზომების სამჯერ გაზრდით, კოხის მრუდის სიგრძე იზრდება ჟურნალში (4) / ჟურნალში (3) ~ 1.26. ანუ კოხის მრუდის განზომილება წილადია!

მეცნიერება და ხელოვნება

1982 წელს გამოიცა მანდელბროტის წიგნი „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“, რომელშიც ავტორმა შეაგროვა და სისტემატიზირებული თითქმის ყველა ინფორმაცია იმ დროისთვის ხელმისაწვდომი ფრაქტალების შესახებ და მარტივად და ხელმისაწვდომად წარმოადგინა. მანდელბროტმა თავის პრეზენტაციაში მთავარი აქცენტი გააკეთა არა მძიმე ფორმულებზე და მათემატიკურ კონსტრუქციებზე, არამედ მკითხველთა გეომეტრიულ ინტუიციაზე. კომპიუტერული გენერირებული ილუსტრაციებისა და ისტორიული ისტორიების წყალობით, რომლითაც ავტორი ოსტატურად აზავებდა მონოგრაფიის სამეცნიერო კომპონენტს, წიგნი გახდა ბესტსელერი, ხოლო ფრაქტალები ცნობილი გახდა ფართო საზოგადოებისთვის. მათი წარმატება არამათემატიკოსებს შორის დიდწილად განპირობებულია იმით, რომ ძალიან მარტივი კონსტრუქციებისა და ფორმულების დახმარებით, რომელთა გაგებაც საშუალო სკოლის მოსწავლესაც კი შეუძლია, საოცარი სირთულის და სილამაზის გამოსახულებები მიიღება. Როდესაც პერსონალური კომპიუტერებისაკმაოდ მძლავრი გახდა, ხელოვნების მთელი ტენდენციაც კი გამოჩნდა - ფრაქტალის მხატვრობა და ამის გაკეთება თითქმის ნებისმიერ კომპიუტერის მფლობელს შეეძლო. ახლა ინტერნეტში შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ამ თემისადმი მიძღვნილი მრავალი საიტი.

კოხის მრუდის მიღების სქემა

Ომი და მშვიდობა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ერთ-ერთი ბუნებრივი ობიექტი, რომელსაც აქვს ფრაქტალური თვისებები, არის სანაპირო ზოლი. მას უკავშირდება ერთი საინტერესო ამბავი, უფრო სწორად, მისი სიგრძის გაზომვის მცდელობა, რაც მანდელბროტის სამეცნიერო სტატიას დაედო საფუძვლად და ასევე აღწერილია მის წიგნში „ბუნების ფრაქტალური გეომეტრია“. ჩვენ ვსაუბრობთ ექსპერიმენტზე, რომელიც მოაწყო ლუის რიჩარდსონმა, ძალიან ნიჭიერმა და ექსცენტრიულმა მათემატიკოსმა, ფიზიკოსმა და მეტეოროლოგმა. მისი კვლევის ერთ-ერთი მიმართულება იყო ორ ქვეყანას შორის შეიარაღებული კონფლიქტის მიზეზებისა და ალბათობის მათემატიკური აღწერის მცდელობა. პარამეტრებს შორის, რომელიც მან გაითვალისწინა, იყო ორ მეომარ ქვეყანას შორის საერთო საზღვრის სიგრძე. როდესაც მან შეაგროვა მონაცემები რიცხვითი ექსპერიმენტებისთვის, მან აღმოაჩინა, რომ ქ სხვადასხვა წყაროებიმონაცემების შესახებ საერთო საზღვარიესპანეთი და პორტუგალია ძალიან განსხვავდებიან. ამან მიიყვანა იგი შემდეგ აღმოჩენამდე: ქვეყნის საზღვრების სიგრძე დამოკიდებულია მმართველზე, რომლითაც გავზომავთ მათ. Როგორ უფრო მცირე მასშტაბი, რაც უფრო გრძელი ხდება საზღვარი. ეს იმის გამო ხდება, რომ უფრო მაღალი გადიდებისას შესაძლებელი ხდება სანაპიროს უფრო და უფრო მეტი მოსახვევების გათვალისწინება, რომლებიც ადრე იგნორირებული იყო გაზომვების უხეშობის გამო. და თუ ყოველი გადიდებისას იხსნება ხაზების მანამდე გაუთვალისწინებელი მოხვევები, გამოდის, რომ საზღვრების სიგრძე უსასრულოა! მართალია, სინამდვილეში ეს არ ხდება - ჩვენი გაზომვების სიზუსტეს აქვს სასრული ზღვარი. ამ პარადოქსს რიჩარდსონის ეფექტს უწოდებენ.

კონსტრუქციული (გეომეტრიული) ფრაქტალები

ზოგად შემთხვევაში კონსტრუქციული ფრაქტალის აგების ალგორითმი შემდეგია. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გვჭირდება ორი შესაფერისი გეომეტრიული ფორმა, დავარქვათ მათ საფუძველი და ფრაგმენტი. პირველ ეტაპზე გამოსახულია მომავალი ფრაქტალის საფუძველი. შემდეგ მის ზოგიერთ ნაწილს ცვლის შესაფერისი მასშტაბით აღებული ფრაგმენტი - ეს კონსტრუქციის პირველი გამეორებაა. შემდეგ მიღებულ ფიგურაში ზოგიერთი ნაწილი ისევ იცვლება ფრაგმენტის მსგავს ფიგურებად და ა.შ.. თუ ამ პროცესს განუსაზღვრელი ვადით გავაგრძელებთ, ლიმიტში მივიღებთ ფრაქტალს.

განვიხილოთ ეს პროცესი კოხის მრუდის მაგალითის გამოყენებით (იხილეთ გვერდითი ზოლი წინა გვერდზე). ნებისმიერი მრუდი შეიძლება მივიღოთ კოხის მრუდის საფუძვლად (კოხის ფიფქისთვის ეს არის სამკუთხედი). მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით - სეგმენტით. ფრაგმენტი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურის თავზე. ალგორითმის პირველი გამეორების შემდეგ, ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი სეგმენტი დაემთხვევა ფრაგმენტს, შემდეგ მისი თითოეული შემადგენელი სეგმენტი თავად შეიცვლება ფრაგმენტის მსგავსი გატეხილი ხაზით და ა.შ. ნახატზე ნაჩვენებია პირველი ოთხი. ამ პროცესის ნაბიჯები.

მათემატიკის ენა: დინამიური (ალგებრული) ფრაქტალები

ამ ტიპის ფრაქტალები წარმოიქმნება არაწრფივი დინამიკური სისტემების შესწავლისას (აქედან სახელწოდებაც). ასეთი სისტემის ქცევა შეიძლება აღწერილი იყოს რთული არაწრფივი ფუნქციით (პოლინომი) f(z). ავიღოთ საწყისი z0 წერტილი კომპლექსურ სიბრტყეზე (იხ. გვერდითი ზოლი). ახლა განვიხილოთ რიცხვების ასეთი უსასრულო თანმიმდევრობა კომპლექსურ სიბრტყეზე, რომელთაგან თითოეული მიღებულია წინადან: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). z0 საწყისი წერტილიდან გამომდინარე, ასეთი მიმდევრობა შეიძლება განსხვავებულად იქცეს: მიდრეკილება უსასრულობისკენ, როგორც n -> ∞; მიახლოება რაღაც ბოლო წერტილში; ციკლურად მიიღოს მთელი რიგი ფიქსირებული მნიშვნელობები; შესაძლებელია უფრო რთული ვარიანტები.

რთული რიცხვები

რთული რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ორი ნაწილისგან - რეალური და წარმოსახვითი, ანუ ფორმალური ჯამი x + iy (x და y აქ - რეალური რიცხვები). მე ვარ ე.წ. წარმოსახვითი ერთეული, ანუ რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას მე ^ 2 = -1. კომპლექსურ რიცხვებზე, მთავარი მათემატიკური ოპერაციები- შეკრება, გამრავლება, გაყოფა, გამოკლება (მხოლოდ შედარების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული). ხშირად გამოიყენება რთული რიცხვების საჩვენებლად გეომეტრიული გამოსახულება- სიბრტყეზე (მას კომპლექსს უწოდებენ), რეალური ნაწილი გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, ხოლო კომპლექსური რიცხვი შეესაბამება წერტილს დეკარტის კოორდინატების x და y.

ამრიგად, რთული სიბრტყის ნებისმიერ z წერტილს აქვს ქცევის საკუთარი ხასიათი f (z) ფუნქციის გამეორებისას და მთელი სიბრტყე იყოფა ნაწილებად. უფრო მეტიც, ამ ნაწილების საზღვრებზე მდებარე წერტილებს აქვთ შემდეგი თვისება: თვითნებურად მცირე გადაადგილებისთვის, მათი ქცევის ბუნება მკვეთრად იცვლება (ასეთ წერტილებს უწოდებენ ბიფურკაციის წერტილებს). ასე რომ, გამოდის, რომ წერტილების სიმრავლეებს, რომლებსაც აქვთ ქცევის ერთი კონკრეტული ტიპი, ისევე როგორც ბიფურკაციის წერტილების სიმრავლე, ხშირად აქვთ ფრაქტალური თვისებები. ეს არის ჯულიას კომპლექტები f(z) ფუნქციისთვის.

დრაკონების ოჯახი

ბაზისა და ფრაგმენტის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ კონსტრუქციული ფრაქტალების განსაცვიფრებელი მრავალფეროვნება.
უფრო მეტიც, ასეთი ოპერაციების შესრულება შესაძლებელია სამგანზომილებიანი სივრცე. მოცულობითი ფრაქტალების მაგალითებია „მენგერის ღრუბელი“, „სიერპინსკის პირამიდა“ და სხვა.
დრაკონების ოჯახს ასევე მოიხსენიებენ კონსტრუქციულ ფრაქტალებს. მათ ზოგჯერ აღმომჩენთა სახელით მოიხსენიებენ, როგორც "ჰეივეი-ჰარტერის დრაკონებს" (ისინი თავიანთი ფორმით ჩინურ დრაკონებს ჰგვანან). ამ მრუდის აგების რამდენიმე გზა არსებობს. მათგან უმარტივესი და აშკარაა: თქვენ უნდა აიღოთ საკმარისად გრძელი ქაღალდის ზოლი (რაც უფრო თხელია ქაღალდი, მით უკეთესი) და გახეხეთ შუაზე. შემდეგ კვლავ მოხარეთ იგი შუაზე იმავე მიმართულებით, როგორც პირველად. რამდენიმე გამეორების შემდეგ (ჩვეულებრივ, ხუთი ან ექვსი დაკეცვის შემდეგ ზოლი ძალიან სქელი ხდება შემდგომი ფრთხილად მოსახვევისთვის), თქვენ უნდა გაასწოროთ ზოლი უკან და შეეცადოთ ჩამოაყალიბოთ 90˚ კუთხეები ნაკეცებთან. შემდეგ დრაკონის მრუდი აღმოჩნდება პროფილში. რა თქმა უნდა, ეს იქნება მხოლოდ მიახლოება, ისევე როგორც ფრაქტალური ობიექტების გამოსახვის ყველა ჩვენი მცდელობა. კომპიუტერი საშუალებას გაძლევთ ასახოთ ბევრი მეტი ნაბიჯიეს პროცესი და შედეგი არის ძალიან ლამაზი ფიგურა.

მანდელბროტის ნაკრები გარკვეულწილად განსხვავებულად არის აგებული. განვიხილოთ ფუნქცია fc (z) = z 2 +c, სადაც c არის რთული რიცხვი. ავაშენოთ ამ ფუნქციის თანმიმდევრობა z0=0-ით, c პარამეტრიდან გამომდინარე, ის შეიძლება განსხვავდებოდეს უსასრულობამდე ან დარჩეს შეზღუდული. უფრო მეტიც, c-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლითაც ეს თანმიმდევრობა შემოიფარგლება, ქმნის მანდელბროტის სიმრავლეს. იგი დეტალურად შეისწავლა თავად მანდელბროტმა და სხვა მათემატიკოსებმა, რომლებმაც ბევრი აღმოაჩინეს საინტერესო თვისებებიეს ნაკრები.

ჩანს, რომ ჯულია და მანდელბროტის კომპლექტების განმარტებები ერთმანეთის მსგავსია. სინამდვილეში, ეს ორი ნაკრები მჭიდრო კავშირშია. კერძოდ, მანდელბროტის სიმრავლე არის c კომპლექსური პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც დაკავშირებულია ჯულიას სიმრავლე fc (z) (კომპლექტს უწოდებენ დაკავშირებულს, თუ ის არ შეიძლება დაიყოს ორ გადამკვეთ ნაწილად, გარკვეული დამატებითი პირობებით).

ფრაქტალები და სიცოცხლე

დღესდღეობით ფრაქტალის თეორია პოულობს ფართო აპლიკაციასხვადასხვა სფეროში ადამიანის საქმიანობა. კვლევისთვის წმინდა სამეცნიერო ობიექტისა და უკვე ნახსენები ფრაქტალის ფერწერის გარდა, ფრაქტალები გამოიყენება ინფორმაციის თეორიაში გრაფიკული მონაცემების შეკუმშვისთვის (აქ ძირითადად გამოიყენება ფრაქტალების თვითმსგავსების თვისება - ბოლოს და ბოლოს, მცირე ფრაგმენტის დასამახსოვრებლად. ნახატისა და გარდაქმნების, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ დანარჩენი ნაწილები, გაცილებით ნაკლები მეხსიერება სჭირდება, ვიდრე მთლიანი ფაილის შესანახად). შემთხვევითი არეულობა ფორმულებში, რომლებიც განსაზღვრავენ ფრაქტალს, შეიძლება მივიღოთ სტოქასტური ფრაქტალები, რომლებიც ძალიან დამაჯერებლად გადმოგვცემენ ზოგიერთ რეალურ ობიექტს - რელიეფის ელემენტებს, წყლის ობიექტების ზედაპირს, ზოგიერთ მცენარეს, რაც წარმატებით გამოიყენება ფიზიკაში, გეოგრაფიაში და კომპიუტერულ გრაფიკაში. სიმულირებული ობიექტების უფრო დიდი მსგავსება რეალურთან. რადიო ელექტრონიკაში, ბოლო ათწლეულში, მათ დაიწყეს ანტენების წარმოება, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური ფორმა. მცირე ადგილს იკავებენ, ისინი საკმაოდ უზრუნველყოფენ ხარისხიანი მიღებასიგნალი. ეკონომისტები იყენებენ ფრაქტალებს ვალუტის რყევების მრუდების აღსაწერად (ეს თვისება მანდელბროტმა აღმოაჩინა 30 წელზე მეტი ხნის წინ). ამით დასრულდა ეს მოკლე ექსკურსია ფრაქტალების სამყაროში, საოცარი სილამაზითა და მრავალფეროვნებით.

ხშირად მეცნიერებაში გაკეთებულმა ბრწყინვალე აღმოჩენებმა შეიძლება რადიკალურად შეცვალოს ჩვენი ცხოვრება. ასე, მაგალითად, ვაქცინის გამოგონებას ბევრი ადამიანის გადარჩენა შეუძლია, ახალი იარაღის შექმნას კი მკვლელობამდე მივყავართ. ფაქტიურად გუშინ (ისტორიის მასშტაბით) ადამიანმა ელექტროენერგია „მოათვინიერა“ და დღეს მის გარეშე ცხოვრება ვეღარ წარმოუდგენია. თუმცა არის ისეთი აღმოჩენებიც, რომლებიც, როგორც ამბობენ, ჩრდილში რჩებიან და მიუხედავად იმისა, რომ ისინიც გარკვეულ გავლენას ახდენენ ჩვენს ცხოვრებაზე. ერთ-ერთი ასეთი აღმოჩენა იყო ფრაქტალი. ადამიანთა უმრავლესობას არც კი სმენია ასეთი კონცეფციის შესახებ და ვერ ახსნის მის მნიშვნელობას. ამ სტატიაში შევეცდებით გაუმკლავდეთ კითხვას, რა არის ფრაქტალი, განვიხილოთ ამ ტერმინის მნიშვნელობა მეცნიერებისა და ბუნების თვალსაზრისით.

წესრიგი ქაოსში

იმისათვის, რომ გავიგოთ რა არის ფრაქტალი, დებრიფინგი უნდა დაიწყოს მათემატიკის პოზიციიდან, თუმცა, სანამ ჩავუღრმავდებით, ცოტას ფილოსოფოსობთ. ყველა ადამიანს აქვს ბუნებრივი ცნობისმოყვარეობა, რომლის წყალობითაც ის სწავლობს მის გარშემო არსებულ სამყაროს. ხშირად, ცოდნის სურვილით, ის ცდილობს ლოგიკით იმოქმედოს განსჯებში. ასე რომ, ირგვლივ მიმდინარე პროცესების გაანალიზებით, ის ცდილობს გამოთვალოს ურთიერთობები და გამოიტანოს გარკვეული შაბლონები. პლანეტის ყველაზე დიდი გონება ამ პრობლემების გადაჭრით არის დაკავებული. უხეშად რომ ვთქვათ, ჩვენი მეცნიერები ეძებენ შაბლონებს, სადაც ისინი არ არიან და არ უნდა იყვნენ. მიუხედავად ამისა, ქაოსშიც კი არის კავშირი გარკვეულ მოვლენებს შორის. ეს კავშირი არის ფრაქტალი. მაგალითად, განვიხილოთ გზაზე გატეხილი ტოტი. თუ კარგად დავაკვირდებით, დავინახავთ, რომ ის, მთელი თავისი ტოტებითა და კვანძებით, თვითონაც ხეს ჰგავს. ცალკეული ნაწილის ეს მსგავსება ერთ მთლიანობასთან მოწმობს რეკურსიული თვითმსგავსების ე.წ. ბუნებაში ფრაქტალები ყოველთვის გვხვდება, რადგან მრავალი არაორგანული და ორგანული ფორმა წარმოიქმნება მსგავსი გზით. ეს არის ღრუბლები, ზღვის ჭურვები, ლოკოკინების ჭურვები, ხეების გვირგვინები და სისხლის მიმოქცევის სისტემაც კი. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს შემთხვევითი ფორმა მარტივად არის აღწერილი ფრაქტალის ალგორითმით. აქ ჩვენ განვიხილავთ რა არის ფრაქტალი ზუსტი მეცნიერებების თვალსაზრისით.

რამდენიმე მშრალი ფაქტი

თავად სიტყვა „ფრაქტალი“ ლათინურიდან ითარგმნება როგორც „ნაწილობრივი“, „გაყოფილი“, „ფრაგმენტირებული“ და რაც შეეხება ამ ტერმინის შინაარსს, როგორც ასეთი ფორმულირება არ არსებობს. ჩვეულებრივ, მას განიხილავენ როგორც თვითმსგავს კომპლექტს, მთლიანის ნაწილს, რომელიც მეორდება მისი სტრუქტურით მიკრო დონეზე. ეს ტერმინი დამკვიდრდა მეოცე საუკუნის სამოცდაათიან წლებში მამად აღიარებულ ბენუა მანდელბროტმა, დღესდღეობით ფრაქტალის ცნება ნიშნავს გარკვეული სტრუქტურის გრაფიკულ გამოსახულებას, რომელიც გადიდებისას თავის მსგავსი იქნება. თუმცა, ამ თეორიის შექმნის მათემატიკური საფუძველი ჩაეყარა ჯერ კიდევ მანდელბროტის დაბადებამდე, მაგრამ ის ვერ განვითარდა, სანამ ელექტრონული კომპიუტერები არ გამოჩნდნენ.

ისტორიული ცნობა, ან როგორ დაიწყო ეს ყველაფერი

მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე ფრაქტალების ბუნების შესწავლა ეპიზოდური იყო. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მათემატიკოსები ამჯობინებდნენ ისეთი ობიექტების შესწავლას, რომელთა გამოკვლევა შესაძლებელია ზოგადი თეორიებისა და მეთოდების საფუძველზე. 1872 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.ვაიერშტრასმა შექმნა უწყვეტი ფუნქციის მაგალითი, რომელიც არსად დიფერენცირებადია. თუმცა ეს კონსტრუქცია სრულიად აბსტრაქტული და რთულად გასაგები აღმოჩნდა. შემდეგ მოვიდა შვედი ჰელგე ფონ კოხი, რომელმაც 1904 წელს ააგო უწყვეტი მრუდი, რომელსაც არსად არ აქვს ტანგენსი. მისი დახატვა საკმაოდ მარტივია და, როგორც აღმოჩნდა, ახასიათებს ფრაქტალური თვისებები. ამ მრუდის ერთ-ერთ ვარიანტს მისი ავტორის სახელი ეწოდა - „კოხის ფიფქი“. გარდა ამისა, ფიგურების თვითმსგავსების იდეა შეიმუშავა ბ. მანდელბროტის მომავალმა მენტორმა, ფრანგმა პოლ ლევიმ. 1938 წელს გამოაქვეყნა ნაშრომი „სიბრტყე და სივრცითი მრუდები და მთლიანი ნაწილებისგან შემდგარი ზედაპირი“. მასში მან აღწერა ახალი სახეობა- ლევის C-მრუდი. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფიგურა პირობითად ეხება ისეთ ფორმას, როგორიცაა გეომეტრიული ფრაქტალები.

დინამიური ან ალგებრული ფრაქტალები

მანდელბროტის ნაკრები მიეკუთვნება ამ კლასს. ამ მიმართულებით პირველი მკვლევარები გახდნენ ფრანგი მათემატიკოსები პიერ ფატუ და გასტონ ჯულია. 1918 წელს ჯულიამ გამოაქვეყნა ნაშრომი, რომელიც დაფუძნებული იყო რაციონალური რთული ფუნქციების გამეორებების შესწავლაზე. აქ მან აღწერა ფრაქტალების ოჯახი, რომლებიც მჭიდრო კავშირშია მანდელბროტის ნაკრებთან. Მიუხედავად იმისა, რომ ეს სამუშაოგანადიდა ავტორი მათემატიკოსთა შორის, იგი სწრაფად დაივიწყეს. და მხოლოდ ნახევარი საუკუნის შემდეგ, კომპიუტერების წყალობით, ჯულიას ნამუშევრებმა მეორე სიცოცხლე მიიღო. კომპიუტერებმა შესაძლებელი გახადა ყოველი ადამიანისთვის თვალსაჩინო ყოფილიყო ფრაქტალების სამყაროს სილამაზე და სიმდიდრე, რომლის „დანახვა“ მათემატიკოსებს შეეძლოთ მათი ფუნქციების ჩვენებით. მანდელბროტმა პირველმა გამოიყენა კომპიუტერი გამოთვლების შესასრულებლად (ხელით ასეთი მოცულობის შესრულება შეუძლებელია), რამაც შესაძლებელი გახადა ამ ფიგურების გამოსახულების აგება.

სივრცითი წარმოსახვის მქონე ადამიანი

მანდელბროტმა სამეცნიერო კარიერა დაიწყო IBM Research Center-ში. გრძელ დისტანციებზე მონაცემთა გადაცემის შესაძლებლობის შესწავლისას, მეცნიერები წააწყდნენ დიდი დანაკარგების ფაქტს, რომელიც წარმოიშვა ხმაურის ჩარევის გამო. ბენუა ამ პრობლემის გადაჭრის გზებს ეძებდა. გაზომვის შედეგების დათვალიერებისას მან ყურადღება მიიპყრო უცნაურ ნიმუშზე, კერძოდ: ხმაურის გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურებოდა დროის სხვადასხვა მასშტაბებზე.

მსგავსი სურათი დაფიქსირდა როგორც ერთი დღის განმავლობაში, ასევე შვიდი დღის განმავლობაში ან ერთი საათის განმავლობაში. თავად ბენუა მანდელბროტი ხშირად იმეორებდა, რომ ის არ მუშაობს ფორმულებით, არამედ თამაშობს ნახატებს. ეს მეცნიერი გამოირჩეოდა წარმოსახვითი აზროვნებით, მან თარგმნა ნებისმიერი ალგებრული პრობლემა გეომეტრიულ არეალში, სადაც სწორი პასუხი აშკარაა. ასე რომ, გასაკვირი არაა, რომ მდიდრებით გამორჩეული და ფრაქტალის გეომეტრიის მამა გახდა. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ ფიგურის გაცნობიერება შეიძლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც თქვენ შეისწავლით ნახატებს და ფიქრობთ ამ უცნაური მორევების მნიშვნელობაზე, რომლებიც ქმნიან ნიმუშს. ფრაქტალ ნახატებს არ აქვთ იდენტური ელემენტები, მაგრამ ისინი მსგავსია ნებისმიერი მასშტაბით.

ჯულია - მანდელბროტი

ამ ფიგურის ერთ-ერთი პირველი ნახატი იყო ნაკრების გრაფიკული ინტერპრეტაცია, რომელიც გასტონ ჯულიას ნამუშევრის წყალობით დაიბადა და მანდელბროტმა დაასრულა. გასტონი ცდილობდა წარმოედგინა, როგორ გამოიყურება ნაკრები, როდესაც ის აგებულია მარტივი ფორმულისგან, რომელიც იმეორებს უკუკავშირის მარყუჟს. ვეცადოთ, ადამიანურ ენაზე, ასე ვთქვათ, თითებზე ავხსნათ. კონკრეტულისთვის რიცხვითი მნიშვნელობაფორმულის გამოყენებით ახალი მნიშვნელობის მოსაძებნად. ჩვენ ვცვლით მას ფორმულაში და ვპოულობთ შემდეგს. შედეგი არის დიდი. ასეთი ნაკრების წარმოსადგენად, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს ოპერაცია რამდენჯერმე: ასობით, ათასობით, მილიონობით. ეს არის ის, რაც ბენუამ გააკეთა. მან დაამუშავა თანმიმდევრობა და შედეგები გრაფიკულ ფორმაში გადაიტანა. შემდგომში მან გააფერადა მიღებული ფიგურა (თითოეული ფერი შეესაბამება გამეორებების გარკვეულ რაოდენობას). ამ გრაფიკულ გამოსახულებას მანდელბროტის ფრაქტალი ჰქვია.

L. Carpenter: ბუნების მიერ შექმნილი ხელოვნება

ფრაქტალების თეორიამ სწრაფად იპოვა პრაქტიკული გამოყენება. ვინაიდან ეს ძალიან მჭიდრო კავშირშია საკუთარი თავის მსგავსი სურათების ვიზუალიზაციასთან, პირველებმა მიიღეს ამ უჩვეულო ფორმების აგების პრინციპები და ალგორითმები, იყვნენ მხატვრები. პირველი მათგანი იყო Pixar სტუდიის მომავალი დამფუძნებელი ლორენ კარპენტერი. თვითმფრინავების პროტოტიპების პრეზენტაციაზე მუშაობისას მას გაუჩნდა იდეა, რომ ფონად მთების გამოსახულება გამოეყენებინა. დღეს კომპიუტერის თითქმის ყველა მომხმარებელს შეუძლია გაუმკლავდეს ასეთ ამოცანას და გასული საუკუნის სამოცდაათიან წლებში კომპიუტერებს არ შეეძლოთ ასეთი პროცესების შესრულება, რადგან იმ დროს არ არსებობდა გრაფიკული რედაქტორები და სამგანზომილებიანი გრაფიკის აპლიკაციები. ლორენი წააწყდა მანდელბროტის ფრაქტალებს: ფორმა, შემთხვევითობა და განზომილება. მასში ბენოისმა მრავალი მაგალითი მოიყვანა და აჩვენა, რომ ბუნებაში არსებობს ფრაქტალები (fyva), მან აღწერა მათი სხვადასხვა ფორმები და დაამტკიცა, რომ ისინი ადვილად აღწერენ. მათემატიკური გამონათქვამები. ეს ანალოგიამათემატიკოსმა არგუმენტად დაასახელა თეორიის სარგებლიანობა, რომელსაც იგი ავითარებდა კოლეგების კრიტიკის აურზაურის საპასუხოდ. ისინი ამტკიცებდნენ, რომ ფრაქტალი არის მხოლოდ მშვენიერი სურათი, რომელსაც არ აქვს მნიშვნელობა, რაც ნაწარმოების გვერდითი პროდუქტია ელექტრონული მანქანები. კარპენტერმა გადაწყვიტა ეს მეთოდი პრაქტიკაში გამოეცადა. წიგნის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, მომავალმა ანიმატორმა დაიწყო კომპიუტერულ გრაფიკაში ფრაქტალური გეომეტრიის განხორციელების გზის ძიება. მას მხოლოდ სამი დღე დასჭირდა კომპიუტერზე მთის ლანდშაფტის სრულიად რეალისტური გამოსახულების გადასაღებად. და დღეს ეს პრინციპი ფართოდ გამოიყენება. როგორც გაირკვა, ფრაქტალების შექმნას დიდი დრო და ძალისხმევა არ სჭირდება.

კარპენტერის ხსნარი

ლორენის მიერ გამოყენებული პრინციპი მარტივი აღმოჩნდა. იგი შედგება უფრო დიდის უფრო მცირე ელემენტებად დაყოფაში, ხოლო მსგავს პატარაებად და ა.შ. კარპენტერმა დიდი სამკუთხედების გამოყენებით გაანადგურა ისინი 4 წვრილად და ასე გააგრძელა მანამ, სანამ არ მიიღო რეალისტური მთის ლანდშაფტი. ამრიგად, ის გახდა პირველი მხატვარი, რომელმაც გამოიყენა ფრაქტალის ალგორითმი კომპიუტერულ გრაფიკაში საჭირო გამოსახულების ასაგებად. დღეს ეს პრინციპი გამოიყენება სხვადასხვა რეალისტური ბუნებრივი ფორმების სიმულაციისთვის.

პირველი 3D ვიზუალიზაცია ფრაქტალის ალგორითმის საფუძველზე

რამდენიმე წლის შემდეგ, ლორენმა გამოიყენა თავისი ნამუშევარი ფართომასშტაბიან პროექტში - ანიმაციური ვიდეო Vol Libre, რომელიც ნაჩვენებია Siggraph-ზე 1980 წელს. ამ ვიდეომ ბევრი შოკში ჩააგდო და მისი შემქმნელი Lucasfilm-ში სამუშაოდ მიიწვიეს. აქ ანიმატორმა შეძლო საკუთარი თავის სრულად რეალიზება, მან შექმნა სამგანზომილებიანი პეიზაჟები (მთელი პლანეტა) მხატვრული ფილმისთვის „ვარსკვლავური გზა“. ნებისმიერი თანამედროვე პროგრამა("ფრაქტალები") ან 3D გრაფიკული აპლიკაციები (Terragen, Vue, Bryce) კვლავ იყენებენ იგივე ალგორითმს ტექსტურებისა და ზედაპირების მოდელირებისთვის.

ტომ ბედდარდი

ყოფილმა ლაზერულმა ფიზიკოსმა და ახლა უკვე ციფრულმა მხატვარმა და მხატვარმა, ბედდარმა შექმნა უაღრესად დამაინტრიგებელი გეომეტრიული ფორმების სერია, რომელსაც მან უწოდა ფაბერჟეს ფრაქტალები. გარეგნულად ისინი წააგავს რუსი იუველირის დეკორატიულ კვერცხებს, მათ აქვთ იგივე ბრწყინვალე რთული ნიმუში. ბედარდმა გამოიყენა შაბლონის მეთოდი მოდელების ციფრული რენდერების შესაქმნელად. შედეგად მიღებული პროდუქტები გასაოცარია მათი სილამაზით. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრი უარს ამბობს პროდუქტის შედარებაზე ხელნაკეთიკომპიუტერული პროგრამით, თუმცა, უნდა ვაღიაროთ, რომ მიღებული ფორმები უჩვეულოდ ლამაზია. მთავარი ის არის, რომ ყველას შეუძლია შექმნას ასეთი ფრაქტალი WebGL პროგრამული ბიბლიოთეკის გამოყენებით. ის საშუალებას გაძლევთ რეალურ დროში შეისწავლოთ სხვადასხვა ფრაქტალის სტრუქტურა.

ფრაქტალები ბუნებაში

ცოტა ადამიანი აქცევს ყურადღებას, მაგრამ ეს საოცარი ფიგურები ყველგანაა. ბუნება შედგება საკუთარი თავის მსგავსი ფიგურებისგან, ჩვენ ამას უბრალოდ ვერ ვამჩნევთ. საკმარისია გამადიდებელი შუშით შევხედოთ ჩვენს კანს ან ხის ფოთოლს და დავინახავთ ფრაქტალებს. ან აიღეთ, მაგალითად, ანანასი ან თუნდაც ფარშევანგის კუდი - ისინი შედგება მსგავსი ფიგურებისგან. და რომანესკუს ბროკოლის ჯიში ზოგადად გასაოცარია თავისი გარეგნობით, რადგან მას ნამდვილად შეიძლება ეწოდოს ბუნების სასწაული.

მუსიკალური პაუზა

გამოდის, რომ ფრაქტალები არ არის მხოლოდ გეომეტრიული ფორმები, ისინი შეიძლება იყოს ბგერებიც. ასე რომ, მუსიკოსი ჯონათან კოლტონი წერს მუსიკას ფრაქტალის ალგორითმების გამოყენებით. ის ამტკიცებს, რომ შეესაბამება ბუნებრივ ჰარმონიას. კომპოზიტორი თავის ყველა ნაწარმოებს აქვეყნებს CreativeCommons Attribution-Noncommercial ლიცენზიით, რომელიც ითვალისწინებს სხვა პირების მიერ ნაწარმოებების უფასო გავრცელებას, კოპირებას, გადაცემას.

ფრაქტალის მაჩვენებელი

ამ ტექნიკამ იპოვა ძალიან მოულოდნელი გამოყენება. მის საფუძველზე შეიქმნა საფონდო ბირჟის ანალიზის ინსტრუმენტი და, შედეგად, დაიწყო მისი გამოყენება ფორექსის ბაზარზე. ახლა ფრაქტალის ინდიკატორი გვხვდება ყველა სავაჭრო პლატფორმაზე და გამოიყენება სავაჭრო ტექნიკაში, რომელსაც ფასის გარღვევა ეწოდება. ბილ უილიამსმა შეიმუშავა ეს ტექნიკა. როგორც ავტორი კომენტარს აკეთებს თავის გამოგონებაზე, ამ ალგორითმსარის რამდენიმე „სანთლის“ კომბინაცია, რომელშიც ცენტრალური ასახავს მაქსიმალურ ან, პირიქით, მინიმალურ უკიდურეს წერტილს.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ რა არის ფრაქტალი. გამოდის, რომ ჩვენს გარშემო არსებულ ქაოსში, ფაქტობრივად, იდეალური ფორმებია. ბუნება არის საუკეთესო არქიტექტორი, იდეალური მშენებელი და ინჟინერი. ის ძალიან ლოგიკურად არის მოწყობილი და თუ ჩვენ ვერ ვპოულობთ შაბლონს, ეს არ ნიშნავს რომ ის არ არსებობს. იქნებ სხვა მასშტაბით უნდა შეხედოთ. დარწმუნებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფრაქტალები ჯერ კიდევ ინახავს უამრავ საიდუმლოს, რომელიც ჯერ კიდევ არ არის აღმოჩენილი.

Ყველას მოგესალმებით! Მე მქვია, რიბენეკ ვალერია,ულიანოვსკი და დღეს მე გამოვაქვეყნებ ჩემს რამდენიმე სამეცნიერო სტატიას LCI-ის ვებგვერდზე.

Ჩემი პირველი კვლევითი სტატიაეს ბლოგი ყურადღებას გაამახვილებს ფრაქტალები. მაშინვე ვიტყვი, რომ ჩემი სტატიები განკუთვნილია თითქმის ნებისმიერი აუდიტორიისთვის. იმათ. იმედი მაქვს, ისინი დააინტერესებს როგორც სკოლის მოსწავლეებს, ასევე სტუდენტებს.

ცოტა ხნის წინ გავიგე ასეთი საინტერესო ობიექტების შესახებ მათემატიკური სამყაროფრაქტალების მსგავსად. მაგრამ ისინი არსებობენ არა მხოლოდ მათემატიკაში. ისინი ყველგან გარს გვიხვევენ. ფრაქტალები ბუნებრივია. იმის შესახებ, თუ რა არის ფრაქტალები, ფრაქტალების ტიპები, ამ ობიექტების მაგალითები და მათი გამოყენება, მე გეტყვით ამ სტატიაში. დასაწყისისთვის მოკლედ გეტყვით რა არის ფრაქტალი.

ფრაქტალი(ლათ. fractus - დამსხვრეული, გატეხილი, გატეხილი) - ეს არის კომპლექსი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს თვითმსგავსების თვისება, ანუ შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან, რომელთაგან თითოეული მთლიანი ფიგურის მსგავსია. უფრო მეტში ფართო გაგებითფრაქტალები გაგებულია, როგორც წერტილების ერთობლიობა ევკლიდეს სივრცეში, რომლებსაც აქვთ წილადი მეტრული განზომილება (მინკოვსკის ან ჰაუსდორფის გაგებით), ან ტოპოლოგიური გარდა სხვა მეტრული განზომილება. მაგალითად, ჩავსვამ ოთხი განსხვავებული ფრაქტალის სურათს.

ცოტას მოგიყვებით ფრაქტალების ისტორიაზე. ფრაქტალისა და ფრაქტალის გეომეტრიის ცნებები, რომლებიც გაჩნდა 70-იანი წლების ბოლოს, მტკიცედ დამკვიდრდა მათემატიკოსებისა და პროგრამისტების ყოველდღიურ ცხოვრებაში 80-იანი წლების შუა ხანებიდან. სიტყვა "ფრაქტალი" შემოიღო ბენუა მანდელბროტმა 1975 წელს, რათა მიუთითებდეს არარეგულარულ, მაგრამ თვითმსგავს სტრუქტურებზე, რომლებიც მან შეისწავლა. ფრაქტალური გეომეტრიის დაბადება ჩვეულებრივ ასოცირდება 1977 წელს მანდელბროტის წიგნის The Fractal Geometry of Nature გამოქვეყნებასთან. მის ნაშრომებში გამოყენებული იყო სხვა მეცნიერების სამეცნიერო შედეგები, რომლებიც მუშაობდნენ 1875-1925 წლებში იმავე სფეროში (პუანკარე, ფატუ, ჯულია, კანტორი, ჰაუსდორფი). მაგრამ მხოლოდ ჩვენს დროში იყო შესაძლებელი მათი მუშაობის გაერთიანება ერთ სისტემაში.

ფრაქტალების მაგალითები ბევრია, რადგან, როგორც ვთქვი, ისინი ყველგან გარს გვიხვევენ. ჩემი აზრით, მთელი ჩვენი სამყაროც კი არის ერთი უზარმაზარი ფრაქტალი. ყოველივე ამის შემდეგ, მასში ყველაფერი, ატომის სტრუქტურიდან დაწყებული, თავად სამყაროს სტრუქტურამდე, ზუსტად იმეორებს ერთმანეთს. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არსებობს ფრაქტალების უფრო კონკრეტული მაგალითები სხვადასხვა სფეროდან. მაგალითად, ფრაქტალები წარმოდგენილია კომპლექსურ დინამიკაში. იქ ისინი ბუნებრივად ჩნდებიან არაწრფივი შესწავლისას დინამიური სისტემები. ყველაზე შესწავლილი შემთხვევაა, როდესაც დინამიური სისტემა განსაზღვრულია გამეორებებით მრავალწევრიან ჰოლომორფული ცვლადების კომპლექსის ფუნქციაზედაპირზე. ამ ტიპის ზოგიერთი ყველაზე ცნობილი ფრაქტალია ჯულიას ნაკრები, მანდელბროტის ნაკრები და ნიუტონის აუზები. ქვემოთ, თანმიმდევრობით, სურათებში ნაჩვენებია თითოეული ზემოთ ჩამოთვლილი ფრაქტალი.

ფრაქტალების კიდევ ერთი მაგალითია ფრაქტალის მრუდები. უმჯობესია აგიხსნათ როგორ ავაშენოთ ფრაქტალი ფრაქტალის მრუდების მაგალითის გამოყენებით. ერთ-ერთი ასეთი მრუდი არის ეგრეთ წოდებული კოხის ფიფქია. სიბრტყეზე ფრაქტალის მოსახვევების მიღების მარტივი პროცედურა არსებობს. ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ გაწყვეტილ ხაზს ბმულების სასრული რაოდენობით, რომელსაც გენერატორი ეწოდება. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით მასში არსებულ თითოეულ სეგმენტს გენერატორით (უფრო ზუსტად, გენერატორის მსგავსი გატეხილი ხაზი). შედეგად გატეხილი ხაზი, ჩვენ კვლავ ვცვლით თითოეულ სეგმენტს გენერატორით. ვაგრძელებთ უსასრულობას, ლიმიტში ვიღებთ ფრაქტალ მრუდს. ქვემოთ ნაჩვენებია კოხის ფიფქი (ან მრუდი).

ასევე არსებობს ფრაქტალური მრუდები დიდი სიმრავლე. მათგან ყველაზე ცნობილია უკვე ნახსენები კოხის ფიფქია, ასევე ლევის მრუდი, მინკოვსკის მრუდი, გატეხილი დრაკონი, პიანინოს მრუდი და პითაგორას ხე. ამ ფრაქტალების გამოსახულება და მათი ისტორია, ვფიქრობ, სურვილის შემთხვევაში ადვილად იპოვით ვიკიპედიაში.

მესამე მაგალითი ან სახის ფრაქტალები არის სტოქასტური ფრაქტალები. ასეთი ფრაქტალები მოიცავს ტრაექტორიას ბრაუნის მოძრაობასიბრტყეზე და სივრცეში, შრამ-ლოუნერის ევოლუციები, სხვადასხვა ტიპის რანდომიზებული ფრაქტალები, ანუ ფრაქტალები, რომლებიც მიღებულია რეკურსიული პროცედურის გამოყენებით, რომელშიც ყოველ საფეხურზე შემოდის შემთხვევითი პარამეტრი.

ასევე არსებობს წმინდა მათემატიკური ფრაქტალები. ეს, მაგალითად, კანტორის ნაკრები, მენგერის ღრუბელი, სიერპინსკის სამკუთხედი და სხვა.

მაგრამ, ალბათ, ყველაზე საინტერესო ფრაქტალები ბუნებრივია. ბუნებრივი ფრაქტალები არის ობიექტები ბუნებაში, რომლებსაც აქვთ ფრაქტალური თვისებები. და უკვე დიდი სიაა. ყველაფერს არ ჩამოვთვლი, რადგან, ალბათ, ყველა ვერ ჩამოვთვლი, მაგრამ ზოგიერთზე გეტყვით. მაგალითად, ცოცხალ ბუნებაში, ასეთი ფრაქტალები მოიცავს ჩვენს სისხლის მიმოქცევის სისტემას და ფილტვებს. და ასევე ხეების გვირგვინები და ფოთლები. ასევე აქ შეგიძლიათ შეიტანოთ ვარსკვლავი, ზღვის ზღარბი, მარჯანი, ზღვის ჭურვი, ზოგიერთი მცენარე, როგორიცაა კომბოსტო ან ბროკოლი. ქვემოთ ნათლად არის ნაჩვენები რამდენიმე ასეთი ბუნებრივი ფრაქტალი ველური ბუნებიდან.

თუ გავითვალისწინებთ უსულო ბუნება, მაშინ იქ საინტერესო მაგალითებიბევრად მეტი ვიდრე ცოცხალი. ელვა, ფიფქები, ყველასთვის ცნობილი ღრუბლები, შაბლონები ფანჯრებზე ყინვაგამძლე დღეებში, კრისტალები, მთის ქედები - ეს ყველაფერი ბუნებრივი ფრაქტალების მაგალითებია უსულო ბუნებიდან.

ჩვენ განვიხილეთ ფრაქტალების მაგალითები და ტიპები. რაც შეეხება ფრაქტალების გამოყენებას, ისინი ყველაზე მეტად გამოიყენება სხვადასხვა სფეროებშიცოდნა. ფიზიკაში ფრაქტალები ბუნებრივად წარმოიქმნება არაწრფივი პროცესების მოდელირებისას, როგორიცაა ტურბულენტური სითხის ნაკადი, რთული პროცესებიდიფუზია-ადსორბცია, ალი, ღრუბლები და ა.შ. ფრაქტალები გამოიყენება ფოროვანი მასალების მოდელირებაში, მაგალითად, ნავთობქიმიაში. ბიოლოგიაში ისინი გამოიყენება პოპულაციების მოდელირებისთვის და სისტემების აღწერისთვის. შინაგანი ორგანოები(სისხლძარღვების სისტემა). კოხის მრუდის შექმნის შემდეგ შემოთავაზებული იქნა მისი გამოყენება სანაპირო ზოლის სიგრძის გამოსათვლელად. ასევე, ფრაქტალები აქტიურად გამოიყენება რადიოინჟინერიაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში და კომპიუტერულ ტექნოლოგიებში, ტელეკომუნიკაციებში და ეკონომიკაშიც კი. და, რა თქმა უნდა, ფრაქტალური ხედვა აქტიურად გამოიყენება თანამედროვე ხელოვნებადა არქიტექტურა. აქ არის ფრაქტალის ნახატების ერთი მაგალითი:

ასე რომ, ვფიქრობ, რომ დავასრულო ჩემი ისტორია ისეთი უჩვეულო მათემატიკური ფენომენის შესახებ, როგორიცაა ფრაქტალი. დღეს გავიგეთ რა არის ფრაქტალი, როგორ გაჩნდა ის, ფრაქტალების ტიპებსა და მაგალითებზე. მე ასევე ვისაუბრე მათ გამოყენებაზე და ნათლად ვაჩვენე ზოგიერთი ფრაქტალი. იმედი მაქვს მოგეწონათ ეს მოკლე ექსკურსია საოცარი და მომხიბვლელი ფრაქტალის ობიექტების სამყაროში.