"Você não pode dividir por zero!" - a maioria dos alunos memoriza esta regra de cor, sem fazer perguntas. Todas as crianças sabem o que é “não” e o que acontecerá se você perguntar em resposta: “Por quê?” Mas, na verdade, é muito interessante e importante saber por que é impossível.
O fato é que as quatro operações da aritmética - adição, subtração, multiplicação e divisão - são na verdade desiguais. Os matemáticos reconhecem apenas dois deles como completos - adição e multiplicação. Essas operações e suas propriedades estão incluídas na própria definição do conceito de número. Todas as outras ações são construídas de uma forma ou de outra a partir dessas duas.
Considere, por exemplo, a subtração. O que significa 5 – 3 ? O aluno responderá de forma simples: você precisa pegar cinco itens, tirar (remover) três deles e ver quantos restam. Mas os matemáticos encaram esse problema de uma maneira completamente diferente. Não há subtração, apenas adição. Portanto, a entrada 5 – 3 significa um número que, quando adicionado a um número 3 vai dar o número 5 . Ou seja 5 – 3 é apenas um atalho para a equação: x + 3 = 5. Não há subtração nesta equação. Há apenas uma tarefa - encontrar número adequado.
O mesmo acontece com a multiplicação e a divisão. Gravação 8: 4 pode ser entendido como o resultado da divisão de oito objetos em quatro pilhas iguais. Mas é realmente apenas uma forma abreviada da equação 4x = 8.
É aqui que fica claro por que é impossível (ou melhor, impossível) dividir por zero. Gravação 5: 0 é uma abreviatura de 0 x = 5. Ou seja, essa tarefa é encontrar um número que, quando multiplicado por 0 darei 5 . Mas sabemos que quando multiplicado por 0 sempre acaba 0 . Esta é uma propriedade inerente do zero, estritamente falando, parte de sua definição.
Um número que, multiplicado por 0 vai dar algo diferente de null, simplesmente não existe. Ou seja, nosso problema não tem solução. (Sim, acontece, nem todo problema tem solução.) 5: 0 não corresponde a nenhum número específico e simplesmente não representa nada e, portanto, não faz sentido. A falta de sentido desta entrada é brevemente expressa dizendo que você não pode dividir por zero.
Os leitores mais atentos a esta altura certamente perguntarão: é possível dividir zero por zero? De fato, uma vez que a equação 0 x = 0 resolvido com sucesso. Por exemplo, você pode pegar x=0, e então obtemos 0 0 = 0. Acontece que 0: 0=0 ? Mas não vamos nos apressar. Vamos tentar pegar x=1. Obter 0 1 = 0. Corretamente? Meios, 0: 0 = 1 ? Mas você pode pegar qualquer número e obter 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.
Mas se algum número for adequado, não temos motivos para optar por nenhum deles. Ou seja, não podemos dizer qual número corresponde à entrada 0: 0 . E se assim for, então somos obrigados a admitir que esse registro também não faz sentido. Acontece que mesmo zero não pode ser dividido por zero. (Na análise matemática, há casos em que, devido a condições adicionais do problema, pode-se dar preferência a uma das opções solução da equação 0 x = 0; em tais casos, os matemáticos falam de "revelação de indeterminação", mas em aritmética tais casos não ocorrem.)
Esta é a característica da operação de divisão. Para ser mais preciso, a operação de multiplicação e o número associado a ela têm zero.
Bem, o mais meticuloso, tendo lido até aqui, pode perguntar: por que é assim que você não pode dividir por zero, mas pode subtrair zero? Em certo sentido, é aqui que começa a verdadeira matemática. Você pode respondê-lo somente depois de se familiarizar com o formal definições matemáticas conjuntos numéricos e operações sobre eles. Não é tão difícil, mas por algum motivo não é estudado na escola. Mas em palestras sobre matemática na universidade, você aprenderá isso em primeiro lugar.
A regra matemática da divisão por zero foi dita a todas as pessoas da primeira série. Ensino Médio. “Não dá para dividir por zero”, ensinaram a todos nós e proibiram, sob pena de um tapa nas costas, dividir por zero e discutir esse assunto em geral. Embora alguns professores do ensino fundamental ainda tentassem explicar por que é impossível dividir por zero usando exemplos simples, esses exemplos eram tão ilógicos que era mais fácil apenas lembrar dessa regra e não fazer muitas perguntas. Mas todos esses exemplos eram ilógicos porque os professores não podiam explicar isso logicamente para nós na primeira série, já que na primeira série não sabíamos nem de perto o que é uma equação, mas logicamente é regra matemática só pode ser explicada por meio de equações.
Todo mundo sabe que ao dividir qualquer número por zero, sairá um vazio. Por que exatamente o vazio, consideraremos mais tarde.
Em geral, em matemática, apenas dois procedimentos com números são reconhecidos como independentes. Isso é adição e multiplicação. Os demais procedimentos são considerados derivados desses dois procedimentos. Vejamos isso com um exemplo.
Diga-me, quanto será, por exemplo, 11-10? Todos responderemos instantaneamente que será 1. E como encontramos essa resposta? Alguém dirá que já está claro que será 1, alguém dirá que pegou 10 de 11 maçãs e calculou que acabou sendo uma maçã. Do ponto de vista da lógica, tudo está correto, mas de acordo com as leis da matemática, esse problema é resolvido de maneira diferente. Deve-se lembrar que a adição e a multiplicação são consideradas os principais procedimentos, então você precisa fazer a seguinte equação: x + 10 \u003d 11 e só então x \u003d 11-10, x \u003d 1. Observe que a adição vem primeiro, e só então, com base na equação, podemos subtrair. Ao que parece, por que tantos procedimentos? Afinal, a resposta é tão óbvia. Mas somente tais procedimentos podem explicar a impossibilidade de dividir por zero.
Por exemplo, fazemos isso problema de matemática: quer dividir 20 por zero. Então 20:0=x. Para descobrir quanto será, você precisa lembrar que o procedimento de divisão segue da multiplicação. Em outras palavras, a divisão é o procedimento derivativo da multiplicação. Portanto, você precisa fazer uma equação a partir da multiplicação. Então, 0*x=20. Aqui é o beco sem saída. Qualquer que seja o número que multiplicarmos por zero, ainda será 0, mas não 20. É aqui que segue a regra: você não pode dividir por zero. Zero pode ser dividido por qualquer número, mas um número não pode ser dividido por zero.
Isso levanta outra questão: é possível dividir zero por zero? Então 0:0=x significa 0*x=0. Esta equação pode ser resolvida. Tomemos, por exemplo, x=4, que significa 0*4=0. Acontece que se você dividir zero por zero, obtém 4. Mas mesmo aqui nem tudo é tão simples. Se tomarmos, por exemplo, x=12 ou x=13, então sairá a mesma resposta (0*12=0). Em geral, não importa o número que substituirmos, ainda sairá 0. Portanto, se 0: 0, o infinito sairá. Aqui está uma matemática simples. Infelizmente, o procedimento para dividir zero por zero também não tem sentido.
Em geral, o número zero em matemática é o mais interessante. Por exemplo, todo mundo sabe que qualquer número elevado a zero dá um. É claro que, com um exemplo como esse em Vida real não nos encontramos, mas com divisão por zero situações da vida se deparar com muita frequência. Então lembre-se que você não pode dividir por zero.
Muitas vezes, muitas pessoas se perguntam por que é impossível usar a divisão por zero? Neste artigo, entraremos em detalhes sobre de onde veio essa regra, bem como quais ações podem ser executadas com zero.
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Zero pode ser chamado de um dos números mais interessantes. Este número não tem significado, significa vazio literalmente as palavras. No entanto, se você colocar zero ao lado de qualquer dígito, o valor desse dígito se tornará várias vezes maior.
O número é muito misterioso em si. Também tem sido usado povos antigos Maia. Para os maias, zero significava "começo", e a contagem regressiva dias do calendário também começou do zero.
Altamente fato interessanteé que o sinal de zero e o sinal de incerteza eram semelhantes. Com isso, os maias queriam mostrar que zero é o mesmo sinal idêntico assim como a incerteza. Na Europa, a designação de zero surgiu há relativamente pouco tempo.
Além disso, muitas pessoas conhecem a proibição associada ao zero. Qualquer pessoa vai dizer isso não pode ser dividido por zero. Isso é dito pelos professores na escola, e as crianças geralmente aceitam sua palavra. Normalmente, as crianças ou simplesmente não estão interessadas em saber disso, ou sabem o que acontecerá se, ao ouvir uma proibição importante, perguntarem imediatamente “Por que você não pode dividir por zero?”. Mas quando você envelhece, o interesse desperta e você quer saber mais sobre os motivos dessa proibição. No entanto, há evidências razoáveis.
Ações com zero
Primeiro você precisa determinar quais ações podem ser executadas com zero. Existir vários tipos de atividades:
- Adição;
- Multiplicação;
- Subtração;
- Divisão (zero por número);
- Exponenciação.
Importante! Se zero for adicionado a qualquer número ao adicionar, esse número permanecerá o mesmo e não alterará sua valor numérico. A mesma coisa acontece se você subtrair zero de qualquer número.
Com multiplicação e divisão, as coisas são um pouco diferentes. Se um multiplique qualquer número por zero, então o produto também se tornará zero.
Considere um exemplo:
Vamos escrever isso como uma adição:
Há cinco zeros adicionados no total, então acontece que
Vamos tentar multiplicar um por zero. O resultado também será nulo.
Zero também pode ser dividido por qualquer outro número que não seja igual a ele. Nesse caso, acontecerá, cujo valor também será zero. A mesma regra vale para números negativos. Se você dividir zero por um número negativo, obtém zero.
Você também pode aumentar qualquer número dentro grau zero . Neste caso, você obtém 1. É importante lembrar que a expressão "zero elevado a zero" é absolutamente sem sentido. Se você tentar elevar zero a qualquer potência, obtém zero. Exemplo:
Usamos a regra da multiplicação, obtemos 0.
É possível dividir por zero
Então, aqui chegamos à questão principal. É possível dividir por zero geralmente? E por que é impossível dividir um número por zero, dado que todas as outras operações com zero existem e se aplicam? Para responder a esta pergunta, você precisa recorrer à matemática superior.
Vamos começar com a definição do conceito, o que é zero? professores de escola dizer que zero não é nada. Vazio. Ou seja, quando você diz que tem 0 canetas, significa que você não tem caneta nenhuma.
Na matemática superior, o conceito de "zero" é mais amplo. Isso não significa vazio. Aqui zero é chamado de incerteza, pois se desenharmos um pouco de pesquisa, acontece que ao dividir zero por zero, podemos obter como resultado qualquer outro número, que pode não ser necessariamente zero.
Você sabia que aqueles simples operaçoes aritimeticas que você estudou na escola não são tão iguais entre si? Os passos mais básicos são adição e multiplicação.
Para os matemáticos, os conceitos de "" e "subtração" não existem. Suponha: se três forem subtraídos de cinco, então restarão dois. É assim que a subtração se parece. No entanto, os matemáticos escreveriam assim:
Assim, verifica-se que a diferença desconhecida é um determinado número que precisa ser somado a 3 para obter 5. Ou seja, você não precisa subtrair nada, basta encontrar um número adequado. Esta regra se aplica à adição.
As coisas são um pouco diferentes com regras de multiplicação e divisão. Sabe-se que a multiplicação por zero leva ao resultado zero. Por exemplo, se 3:0=x, se você virar o registro, obtém 3*x=0. E o número que é multiplicado por 0 dará zero no produto. Acontece que um número que daria qualquer valor diferente de zero no produto com zero não existe. Isso significa que a divisão por zero não tem sentido, ou seja, se encaixa na nossa regra.
Mas o que acontece se você tentar dividir zero por si mesmo? Vamos tomar x como um número indefinido. Acontece que a equação 0 * x \u003d 0. Pode ser resolvido.
Se tentarmos tomar zero em vez de x, obtemos 0:0=0. Parece lógico? Mas se tentarmos pegar qualquer outro número em vez de x, por exemplo, 1, acabamos com 0:0=1. A mesma situação será se você pegar qualquer outro número e coloque na equação.
Nesse caso, verifica-se que podemos tomar qualquer outro número como fator. O resultado será um número infinito números diferentes. Às vezes, no entanto, a divisão por 0 na matemática superior faz sentido, mas geralmente há uma certa condição devido à qual ainda podemos escolher um número adequado. Essa ação é chamada de "divulgação de incerteza". Na aritmética comum, a divisão por zero perderá novamente seu significado, pois não poderemos escolher nenhum número do conjunto.
Importante! Zero não pode ser dividido por zero.
Zero e infinito
O infinito é muito comum na matemática superior. Uma vez que simplesmente não é importante que os alunos saibam que ainda existem operações matemáticas com infinito, os professores não podem explicar adequadamente às crianças por que é impossível dividir por zero.
Principal segredos matemáticos os alunos começam a aprender apenas no primeiro ano do instituto. A matemática superior fornece um grande conjunto de problemas que não têm solução. Os problemas mais famosos são os problemas com o infinito. Eles podem ser resolvidos com analise matemática.
Você também pode aplicar ao infinito operações matemáticas elementares: adição, multiplicação por um número. A subtração e a divisão também são comumente usadas, mas no final ainda se resumem a duas operações simples.
Mesmo na escola, os professores tentavam martelar a regra mais simples em nossas cabeças: "Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero!", - mas ainda muita controvérsia surge constantemente em torno dele. Alguém acabou de memorizar a regra e não se incomoda com a pergunta “por quê?”. “Você não pode fazer tudo aqui, porque na escola eles diziam, a regra é a regra!” Alguém pode preencher metade de um caderno com fórmulas, comprovando essa regra ou, inversamente, sua falta de lógica.
Quem está certo no final
Durante essas disputas, ambas as pessoas, tendo pontos opostos visão, olhem um para o outro como um carneiro, e provem com todas as suas forças que estão certos. Embora, se você olhar para eles de lado, você pode ver não um, mas dois carneiros descansando um contra o outro com seus chifres. A única diferença entre eles é que um é um pouco menos educado do que o outro. Na maioria das vezes, aqueles que consideram essa regra errada tentam chamar a lógica desta maneira:
Eu tenho duas maçãs na minha mesa, se eu colocar zero maçãs nelas, ou seja, eu não colocar uma única, então minhas duas maçãs não desaparecerão disso! A regra é ilógica!
De fato, as maçãs não desaparecerão em nenhum lugar, mas não porque a regra é ilógica, mas porque uma equação ligeiramente diferente é usada aqui: 2 + 0 \u003d 2. Então, vamos descartar essa conclusão imediatamente - é ilógica, embora tenha o oposto objetivo - para chamar a lógica.
Isso é interessante: como encontrar a diferença de números em matemática?
O que é multiplicação
A regra de multiplicação original foi definido apenas para números naturais: a multiplicação é um número adicionado a si mesmo um certo número de vezes, o que implica a naturalidade do número. Assim, qualquer número com multiplicação pode ser reduzido a esta equação:
Desta equação segue a conclusão, que a multiplicação é uma adição simplificada.
O que é zero
Qualquer pessoa sabe desde a infância: zero é o vazio. Apesar de esse vazio ter uma designação, ele não carrega nada. Cientistas do antigo Oriente pensavam de outra forma - eles abordaram a questão filosoficamente e traçaram alguns paralelos entre o vazio e o infinito e viram significado profundo neste número. Afinal, zero, que tem o valor do vazio, ao lado de qualquer número natural, multiplica dez vezes. Daí toda a polêmica sobre a multiplicação - esse número carrega tanta inconsistência que fica difícil não se confundir. Além disso, zero é constantemente usado para identificar bits vazios em frações decimais, isso é feito antes e depois da vírgula.
É possível multiplicar por vazio
É possível multiplicar por zero, mas é inútil, porque, não importa o que se diga, mas mesmo multiplicando números negativos, o zero ainda será obtido. Basta lembrar-se dessa regra mais simples e nunca mais fazer essa pergunta. Na verdade, tudo é mais simples do que parece à primeira vista. Não há significados ocultos e mistérios, como acreditavam os antigos estudiosos. A explicação mais lógica será dada abaixo de que essa multiplicação é inútil, porque ao multiplicar um número por ele, a mesma coisa ainda será obtida - zero.
Isso é interessante: qual é o módulo de um número?
Voltando ao início, o argumento sobre duas maçãs, 2 vezes 0 é assim:
Afinal, comer uma maçã 0 vezes significa não comer uma única. Vai ficar claro mesmo para uma criança pequena. Goste ou não, 0 sairá, dois ou três podem ser substituídos por absolutamente qualquer número e absolutamente a mesma coisa sairá. E para simplificar, zero não é nada e quando você tem não há nada, então não importa o quanto você multiplique - é tudo a mesma coisa será zero. Não há mágica, e nada fará uma maçã, mesmo que você multiplique 0 por um milhão. Esta é a explicação mais simples, mais compreensível e lógica da regra da multiplicação por zero. Para uma pessoa que está longe de todas as fórmulas e matemáticas, tal explicação será suficiente para a dissonância na cabeça se resolver e tudo se encaixar.
De todos os itens acima segue outra regra importante:
Você não pode dividir por zero!
Essa regra também foi teimosamente martelada em nossas cabeças desde a infância. Nós apenas sabemos que é impossível e isso é tudo sem preocupar nossas cabeças informação extra. Se de repente você fizer a pergunta, por que razão é proibido dividir por zero, a maioria ficará confusa e não poderá responder claramente a pergunta mais simples a partir de currículo escolar, porque não há tanta controvérsia e controvérsia em torno dessa regra.
Todo mundo acabou de memorizar a regra e não divide por zero, não suspeitando que a resposta esteja na superfície. Adição, multiplicação, divisão e subtração são desiguais, apenas a multiplicação e a adição estão cheias do acima, e todas as outras manipulações com números são construídas a partir delas. Ou seja, a entrada 10: 2 é uma abreviação da equação 2 * x = 10. Portanto, a entrada 10: 0 é a mesma abreviação de 0 * x = 10. Acontece que a divisão por zero é uma tarefa para encontrar um número, multiplicando por 0, você obtém 10 E já descobrimos que esse número não existe, o que significa que essa equação não tem solução e será a priori incorreta.
Deixe-me dizer-lhe
Para não dividir por 0!
Corte 1 como quiser, junto,
Só não divida por 0!
obrazovanie.guru
Divisão por zero. Matemática fascinante
O número 0 pode ser representado como uma espécie de fronteira que separa o mundo dos números reais dos imaginários ou negativos. Devido à posição ambígua, muitas operações com este valor numérico não obedeça lógica matemática. A impossibilidade de dividir por zero brilhante para isso exemplo. E as operações aritméticas permitidas com zero podem ser realizadas usando definições geralmente aceitas.
História do Zero
Zero é o ponto de referência em todos os sistemas padrão cálculo. Os europeus começaram a usar esse número há relativamente pouco tempo, mas os sábios Índia antiga usado zero por mil anos antes que o número vazio fosse usado regularmente por matemáticos europeus. Mesmo antes dos índios, o zero era um valor obrigatório no sistema numérico maia. Esse povo americano usava o sistema duodecimal e começava o primeiro dia de cada mês com zero. Curiosamente, entre os maias, o sinal de "zero" coincidia completamente com o sinal de "infinito". Assim, os antigos maias concluíram que essas quantidades eram idênticas e incognoscíveis.
Operações matemáticas com zero
Padrão operações matemáticas com zero pode ser reduzido a várias regras.
Adição: se você adicionar zero a um número arbitrário, ele não alterará seu valor (0+x=x).
Subtração: ao subtrair zero de qualquer número, o valor do subtraído permanece inalterado (x-0=x).
Multiplicação: qualquer número multiplicado por 0 dá 0 no produto (a*0=0).
Divisão: Zero pode ser dividido por qualquer número diferente de zero. Neste caso, o valor de tal fração será 0. E a divisão por zero é proibida. 
Exponenciação. Esta ação pode ser realizada com qualquer número. Um número arbitrário elevado à potência de zero dará 1 (x 0 = 1).
Zero para qualquer potência é igual a 0 (0 a \u003d 0).
Nesse caso, surge imediatamente uma contradição: a expressão 0 0 não faz sentido.
Paradoxos da matemática
O fato de que a divisão por zero é impossível, muitas pessoas sabem por banco da escola. Mas por algum motivo não é possível explicar o motivo de tal proibição. De fato, por que a fórmula da divisão por zero não existe, mas outras ações com esse número são bastante razoáveis e possíveis? A resposta a esta pergunta é dada por matemáticos.
A coisa é que as operações aritméticas usuais que os alunos estudam em escola primaria na verdade não são tão iguais quanto pensamos. Todas as operações simples com números podem ser reduzidas a duas: adição e multiplicação. Essas operações são a essência do próprio conceito de número, e o restante das operações é baseado no uso desses dois.
Adição e multiplicação
Vamos levar exemplo padrão para subtração: 10-2=8. Na escola, é considerado simplesmente: se dois são tirados de dez objetos, oito permanecem. Mas os matemáticos encaram essa operação de maneira bem diferente. Afinal, não existe operação como subtração para eles. Este exemplo pode ser escrito de outra forma: x + 2 = 10. Para matemáticos diferença desconhecidaé simplesmente o número que deve ser adicionado a dois para fazer oito. E nenhuma subtração é necessária aqui, você só precisa encontrar um valor numérico adequado.
A multiplicação e a divisão são tratadas da mesma maneira. No exemplo de 12:4=3 pode-se entender que nós estamos falando sobre a divisão de oito objetos em duas pilhas iguais. Mas, na realidade, esta é apenas uma fórmula invertida para escrever 3x4 \u003d 12. Esses exemplos de divisão podem ser dados infinitamente. 
Exemplos de divisão por 0
É aqui que fica um pouco claro por que é impossível dividir por zero. A multiplicação e a divisão por zero têm suas próprias regras. Todos os exemplos por divisão desta quantidade podem ser formulados como 6:0=x. Mas esta é uma expressão invertida da expressão 6 * x = 0. Mas, como você sabe, qualquer número multiplicado por 0 dá no produto apenas 0. Essa propriedade é inerente ao próprio conceito de valor zero.
Acontece que tal número, que, quando multiplicado por 0, dá qualquer valor tangível, não existe, ou seja, determinada tarefa não tem solução. Não se deve ter medo de tal resposta, é uma resposta natural para problemas desse tipo. Apenas escrever 6:0 não faz nenhum sentido, e não pode explicar nada. Em suma, esta expressão pode ser explicada pelo imortal "sem divisão por zero".
Existe uma operação 0:0? De fato, se a operação de multiplicação por 0 é legal, zero pode ser dividido por zero? Afinal, uma equação da forma 0x5=0 é bastante legal. Em vez do número 5, você pode colocar 0, o produto não mudará a partir disso. 
De fato, 0x0=0. Mas você ainda não pode dividir por 0. Como mencionado, a divisão é apenas o inverso da multiplicação. Assim, se no exemplo 0x5=0, você precisa determinar o segundo fator, obtemos 0x0=5. Ou 10. Ou infinito. Dividindo o infinito por zero - como você gosta?
Mas se qualquer número se encaixa na expressão, então não faz sentido, não podemos um número infinito escolha um número. E se sim, significa que a expressão 0:0 não faz sentido. Acontece que mesmo zero em si não pode ser dividido por zero.
matemática superior
Divisão por zero é uma dor de cabeça para matemática escolar. Estudou em universidades técnicas a análise matemática expande ligeiramente o conceito de problemas que não têm solução. Por exemplo, para já expressão famosa 0:0 novos são adicionados que não têm solução em cursos escolares matemática:
É impossível resolver tais expressões por métodos elementares. Mas matemática superior graças a características adicionais para um número exemplos semelhantes dá soluções finais. Isso é especialmente evidente na consideração de problemas da teoria dos limites.
Divulgação de incerteza
Na teoria dos limites, o valor 0 é substituído pelo condicional infinitesimal variável. E as expressões em que, ao substituir Valor desejado divisão por zero é obtida, são convertidos. Abaixo está um exemplo padrão de expansão de limite usando o usual transformações algébricas:
Como você pode ver no exemplo, uma simples redução de uma fração traz seu valor para uma resposta completamente racional.
Ao considerar os limites funções trigonométricas suas expressões tendem a ser reduzidas ao primeiro limite maravilhoso. Ao considerar os limites em que o denominador vai para 0 quando o limite é substituído, utiliza-se o segundo limite notável.
Método L'Hopital
Em alguns casos, os limites das expressões podem ser substituídos pelo limite de suas derivadas. Guilherme Lopital - matemático francês, fundador escola francesa analise matemática. Ele provou que os limites das expressões são iguais aos limites das derivadas dessas expressões. NO notação matemática sua regra é a seguinte. 
Atualmente, o método L'Hopital é usado com sucesso na resolução de incertezas do tipo 0:0 ou ∞:∞.
Matemática: divisão longa e multiplicação
A multiplicação e divisão de números de um dígito não será difícil para qualquer aluno que tenha aprendido a tabuada. Está incluído no currículo de matemática da 2ª série. Outra coisa é quando é necessário realizar operações matemáticas com números de vários dígitos. Eles começam tais ações nas aulas de matemática na 3ª série. Análise novo topico"Divisão e multiplicação em uma coluna"
Multiplicação de números de vários dígitos
Dividir e multiplicar números complexos a maneira mais fácil é uma coluna. Para fazer isso, você precisa dos dígitos do número: centenas, dezenas, unidades:
235 = 200 (centenas) + 30 (dezenas) + 5 (unidades).
Vamos precisar disso para notação correta números quando multiplicados.
Ao escrever dois números que precisam ser multiplicados, eles são escritos um sob o outro, colocando os números em dígitos (unidades sob unidades, dezenas sob dezenas). Ao multiplicar um número de vários dígitos por um número de um dígito, não haverá dificuldades:
A gravação é feita assim: 
O cálculo é realizado a partir do final - da categoria de unidades. Ao multiplicar pelo primeiro dígito - da categoria de unidades - o registro também é realizado a partir do final:
- 3 x 5 = 15, escreva 5 (unidades), dezenas (1) lembre-se;
- 2 x 5 \u003d 10 e 1 dez que lembramos, apenas 11, escrevemos 1 (dezenas), lembramos centenas (1);
- como não temos mais dígitos no exemplo, anotamos centenas (1 - que foi lembrado).
O próximo passo é multiplicar pelo segundo dígito (dezena):
Como multiplicamos por um número da casa das dezenas, começaremos a escrever da mesma forma, a partir do final, começando pela segunda casa à direita (onde está a casa das dezenas).
1. você precisa escrever a multiplicação em uma coluna por dígitos;
2. fazer cálculos a partir de unidades;
3. anote o total por algarismos - se multiplicarmos por um algarismo do posto das unidades - iniciamos o registro a partir da última coluna, do posto - dezenas - desta coluna e mantemos o registro.
A regra que se aplica à multiplicação em uma coluna por um número de dois dígitos também se aplica a números com grande quantidade descargas.
Para facilitar a memorização das regras para escrever exemplos de multiplicação números de vários dígitos em uma coluna, você pode fazer cartões destacando Cores diferentes diferentes escalões.
Se os números são multiplicados em uma coluna com zeros no final, eles não são levados em consideração no cálculo e o registro é mantido de forma que figura significante estava sob o significante, e os zeros permanecem à direita. Após os cálculos, seu número é adicionado à direita:
O matemático Yakov Trakhtenberg desenvolveu um sistema de contagem rápida. O método de Trachtenberg facilita a multiplicação se um determinado sistema de cálculos for aplicado. Por exemplo, multiplicando por 11. Para obter o resultado, você precisa adicionar um número ao próximo:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Provar verdade é simples: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Os algoritmos de cálculo para números diferentes são diferentes, mas permitem realizar cálculos rapidamente.
Vídeo "Multiplicação de colunas"
Divisão de números de vários dígitos
Dividir por uma coluna pode parecer difícil para crianças, mas lembrar do algoritmo não é difícil. Considere a divisão de números de vários dígitos por dígito único:
215: 5 = ?
O cálculo é escrito da seguinte forma: 
Sob o divisor vamos escrever o resultado. A divisão é realizada da seguinte forma: comparamos o dígito mais à esquerda do dividendo com o divisor: 2 é menor que 5, não podemos dividir 2 por 5, então pegamos mais um dígito: 21 é maior que 5, ao dividir resulta : 20: 5 = 4 (restante 1)
Demolimos a seguinte figura para o resto resultante: obtemos 15. 15 é mais que 5, dividimos: 15: 5 = 3
A solução ficará assim:
É assim que a divisão é feita sem resto. De acordo com o mesmo algoritmo, a divisão em uma coluna com resto é realizada com a única diferença de que em Última entrada não será zero, mas o resto.
Se for necessário dividir números de três dígitos em uma coluna por dois dígitos, o procedimento será o mesmo da divisão por um número de um dígito.
Seguem alguns exemplos de divisão:
Da mesma forma, o cálculo é realizado ao dividir um número de vários dígitos por um número de dois dígitos com resto: 853: 15 = 50 e (3) o resto 
Preste atenção a esta entrada: se cálculos intermediários o resultado é 0, mas o exemplo não é resolvido até o fim, o zero não é escrito, mas o próximo dígito é imediatamente demolido e o cálculo é realizado ainda mais.
Ajudará a aprender as regras para dividir números de vários dígitos em uma coluna de tutorial em vídeo. Tendo memorizado o algoritmo e seguindo a sequência de cálculos de registro, os exemplos de multiplicação e divisão em uma coluna na 4ª série não parecerão mais tão complicados.
Importante! Segue o registro: os dígitos devem ser escritos embaixo dos dígitos, em uma coluna.
Vídeo "Divisão em uma coluna"
Se na 2ª série uma criança aprendeu a tabuada, exemplos de multiplicação e divisão de um número de dois dígitos ou número de três dígitos nas aulas de matemática para o 4º ano não lhe causará nenhuma dificuldade.
www.razvitiedetei.info
Regras de multiplicação e divisão
Depois que a tabuada é aprendida, os alunos são explicados as regras de multiplicação e divisão, ensinadas a usá-las no cálculo de expressões matemáticas.
O que é multiplicação? É adição inteligente
Ao adicionar e subtrair, multiplicar e dividir números em expressões simples as crianças não têm dificuldades:
Nesses cálculos, você só precisa conhecer as regras de adição e subtração e a tabuada de multiplicação.
Quando mais começar exercícios complexos, os exemplos consistem em duas ou mais ações e, mesmo com colchetes, as crianças apresentam erros na hora de resolver. E o principal é ordem errada ações.
Qual é a diferença?
De fato, é tão importante - qual ação no exemplo executar primeiro, qual segundo?
Se executarmos as etapas em ordem, obteremos:
Temos duas respostas diferentes. Mas não deveria ser assim, portanto, a ordem em que as ações são executadas importa. Especialmente se a expressão contiver parênteses:
Estamos tentando resolver de duas maneiras:
As respostas são diferentes e, para determinar a ordem das ações, há colchetes na expressão - eles mostram qual ação deve ser executada primeiro. Então a solução correta seria:
Não deve haver outra solução para a resposta no exemplo.
O que é mais importante, multiplicação ou adição?
Ao resolver exemplos
Organizar o curso de ação.
Multiplique ou divida - em primeiro lugar.
Para expressões em que não há adição ou subtração, mas sim multiplicação ou divisão, aplica-se a mesma regra: todas as operações com números são realizadas em ordem, começando pela esquerda:
Um caso mais difícil é quando a multiplicação ou divisão com adição ou subtração ocorre em um problema. Qual é a ordem dos cálculos então?
Se você executar todas as etapas em ordem, primeira divisão e depois adição. Como resultado, obtemos:
Então o exemplo está correto. E se contiver parênteses?
Qualquer coisa entre parênteses sempre tem precedência.É por isso que eles estão na expressão. Portanto, a ordem dos cálculos em expressões semelhantes será o seguinte:
Exemplo:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
E qual será a prioridade: multiplicação - ou divisão, subtração - ou adição, se ambas as ações ocorrerem na tarefa? Nada, eles são iguais, neste caso a primeira regra se aplica - as ações são executadas uma após a outra, começando pela esquerda.
Algoritmo para resolver a expressão:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Resposta: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Importante! Se a expressão contiver letras, o procedimento permanece o mesmo.
A rodada zero é tão bonita
Mas isso não significa nada.
Nos exemplos, o zero não ocorre como número, mas pode ser resultado de alguma ação intermediária, por exemplo:
Ao multiplicar por 0, a regra diz que o resultado será sempre 0. Por quê? Pode ser explicado simplesmente: o que é multiplicação? Este é o mesmo número, adicionado ao seu próprio tipo várias vezes. Por outro lado:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Dividir por 0 não tem sentido, e dividir zero por qualquer número sempre resultará em 0:
0: 5 = 0.
Lembre-se de outras operações aritméticas com zero:
Multiplicação e divisão por um
As operações matemáticas com um são diferentes das operações com zero. Quando um número é multiplicado ou dividido por 1, o próprio número original é obtido:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
Claro, se você tem 7 amigos, e cada um lhe deu um doce, você terá 7 doces, e se você os comeu sozinho, ou seja, compartilhado apenas com você mesmo, todos eles acabaram no seu estômago.
Cálculos com frações, potências e funções complexas
Isso é casos difíceis computação, que não são abordados no ensino fundamental.
Multiplicação frações simples um ao outro não é difícil, basta multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
Exemplo:
Após a redução temos: \(\) = \(\).
Dividir frações simples não é tão difícil quanto parece à primeira vista. Basta transformar o problema - transformá-lo em um exemplo com multiplicação. Para fazer isso é simples - você precisa inverter a fração para que o denominador se torne o numerador e o numerador se torne o denominador.
Exemplo:
Se um número for encontrado no problema, representado como uma potência, seu valor é calculado antes de todos os outros (você pode imaginar que ele está entre colchetes - e as ações entre colchetes são executadas primeiro).
Exemplo:
Ao converter o número representado como uma potência em uma expressão regular com a ação da multiplicação, resolver o exemplo ficou simples: primeiro a multiplicação, depois a subtração (porque está entre colchetes) e a divisão.
Uma vez que tais funções são estudadas apenas dentro da estrutura de ensino médio, não as consideraremos, basta dizer que, como no caso das potências, elas têm prioridade no cálculo: primeiro, o valor dessa expressão é encontrado, depois a ordem de cálculo é normal - colchetes, multiplicação por divisão, então na ordem da esquerda para a direita.
Principais regras sobre o tema
Falando sobre maiores e menores operações matemáticas, deve-se dizer que as quatro operações básicas podem ser reduzidas a duas: adição e multiplicação. Se a subtração e a divisão parecem difíceis para as crianças em idade escolar, elas se lembram das regras de adição e multiplicação mais rapidamente. De fato, a expressão 5 - 2 pode ser escrita de maneira diferente:
Nos casos com multiplicação, aplicam-se regras semelhantes às propriedades da adição: o produto não mudará a partir de um rearranjo de fatores:
Ao decidir Tarefas desafiantes a primeira ação é a destacada entre colchetes, depois a divisão ou multiplicação, depois todas as outras ações em ordem.
Quando você precisa resolver exemplos sem colchetes, primeiro é realizada a multiplicação ou divisão, depois a subtração ou adição.
Multiplicação e divisão de inteiros
Ao multiplicar e dividir números inteiros, várias regras se aplicam. NO esta lição veremos cada um deles.
Ao multiplicar e dividir números inteiros, preste atenção aos sinais dos números. Vai depender deles qual regra aplicar. Você também precisa aprender algumas leis de multiplicação e divisão. Aprender essas regras o ajudará a evitar alguns erros embaraçosos no futuro.
Leis da multiplicação
Algumas das leis da matemática consideramos na lição as leis da matemática. Mas não consideramos todas as leis. Existem muitas leis na matemática, e seria mais sensato estudá-las sequencialmente conforme necessário.
Primeiro, vamos lembrar em que consiste a multiplicação. A multiplicação consiste em três parâmetros: multiplicando, multiplicador e funciona. Por exemplo, na expressão 3 × 2 = 6, o número 3 é o multiplicando, o número 2 é o multiplicador e o número 6 é o produto.
Multiplicando mostra exatamente o que estamos aumentando. Em nosso exemplo, aumentamos o número 3.
Fator Mostra quantas vezes você precisa aumentar o multiplicando. No nosso exemplo, o multiplicador é o número 2. Este multiplicador mostra quantas vezes você precisa aumentar o multiplicador 3. Ou seja, durante a operação de multiplicação, o número 3 será duplicado.
Trabalhar este é realmente o resultado da operação de multiplicação. No nosso exemplo, o produto é o número 6. Este produto é o resultado da multiplicação de 3 por 2.
A expressão 3 × 2 também pode ser entendida como a soma de dois trigêmeos. Multiplicador 2 em este caso vai mostrar quantas vezes você precisa pegar o número 3:
Assim, se você pegar o número 3 duas vezes seguidas, obtém o número 6.
Lei comutativa da multiplicação
O multiplicador e o multiplicador são chamados de um palavra comum – fatores. A lei comutativa da multiplicação fica assim:
Da permutação dos lugares dos fatores, o produto não muda.
Vamos verificar se este é o caso. Multiplique por exemplo 3 por 5. Aqui 3 e 5 são fatores.
Agora vamos trocar os fatores:
Em ambos os casos, obtemos a resposta 15, o que significa que podemos colocar um sinal de igual entre as expressões 3 × 5 e 5 × 3, pois são iguais ao mesmo valor:
E com a ajuda de variáveis lei de deslocamento a multiplicação pode ser escrita assim:
Onde uma e b- fatores
Lei associativa da multiplicação
Esta lei diz que se uma expressão consiste em vários fatores, então o produto não dependerá da ordem das operações.
Por exemplo, a expressão 3 × 2 × 4 consiste em vários fatores. Para calculá-lo, você pode multiplicar 3 e 2 e, em seguida, multiplicar o produto resultante pelo número restante 4. Ficará assim:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
Esta foi a primeira solução. A segunda opção é multiplicar 2 e 4 e, em seguida, multiplicar o produto resultante pelo número 3 restante. Ficará assim:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
Em ambos os casos, obtemos a resposta 24. Portanto, entre as expressões (3 × 2) × 4 e 3 × (2 × 4) podemos colocar um sinal de igual, pois são iguais ao mesmo valor:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
e com a ajuda de variáveis, a lei associativa da multiplicação pode ser escrita da seguinte forma:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
onde em vez de a, b, c pode ser qualquer número.
Lei distributiva da multiplicação
A lei distributiva da multiplicação permite que você multiplique uma soma por um número. Para fazer isso, cada termo dessa soma é multiplicado por esse número e, em seguida, os resultados são somados.
Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão (2 + 3) × 5
A expressão entre parênteses é a soma. Esse valor deve ser multiplicado pelo número 5. Para isso, cada termo dessa soma, ou seja, os números 2 e 3, deve ser multiplicado pelo número 5, depois somar os resultados:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Portanto, o valor da expressão (2 + 3) × 5 é 25 .
Com a ajuda de variáveis, a lei distributiva da multiplicação é escrita da seguinte forma:
(a + b) × c = a × c + b × c
onde em vez de a, b, c pode ser qualquer número.
A lei da multiplicação por zero
Esta lei diz que se em qualquer multiplicação houver pelo menos um zero, então a resposta será zero.
O produto é zero se pelo menos um dos fatores zero.
Por exemplo, a expressão 0 × 2 é zero
Nesse caso, o número 2 é um multiplicador e mostra quantas vezes você precisa aumentar o multiplicando. Ou seja, quantas vezes aumentar zero. Literalmente, esta expressão é lida como "aumentar zero duas vezes". Mas como você pode dobrar zero se é zero?
Em outras palavras, se “nada” for duplicado, ou mesmo um milhão de vezes, ainda será “nada”.
E se na expressão 0 × 2 trocamos os fatores, novamente obtemos zero. Sabemos isso da lei de deslocamento anterior:
Exemplos de aplicação da lei da multiplicação por zero:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
Nos dois últimos exemplos, há vários fatores. Vendo zero neles, imediatamente colocamos zero na resposta, aplicando a lei da multiplicação por zero.
Consideramos as leis básicas da multiplicação. Em seguida, considere a multiplicação de inteiros.
Multiplicação de inteiros
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão -5 × 2
Esta é a multiplicação de números com sinais diferentes. -5 é negativo e 2 é positivo. Para esses casos, a seguinte regra deve ser aplicada:
Para multiplicar números com sinais diferentes, você precisa multiplicar seus módulos e colocar um menos antes da resposta recebida.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Geralmente escrito mais curto: −5 × 2 = −10
Qualquer multiplicação pode ser representada como uma soma de números. Por exemplo, considere a expressão 2 × 3. É igual a 6.
multiplicador em dada expressãoé o número 3. Este multiplicador mostra quantas vezes você precisa aumentar os dois. Mas a expressão 2 × 3 também pode ser entendida como a soma de três deuces:
A mesma coisa acontece com a expressão −5 × 2. Esta expressão pode ser representada como uma soma
E a expressão (-5) + (-5) é igual a -10, e sabemos disso na última lição. Esta é a adição de números negativos. Lembre-se de que o resultado da adição de números negativos é um número negativo.
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão 12 × (−5)
Esta é a multiplicação de números com sinais diferentes. 12 - número positivo, (−5) é negativo. Novamente, aplicamos a regra anterior. Multiplicamos os módulos de números e colocamos um menos antes da resposta recebida:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Geralmente escrito mais curto: 12 × (−5) = −60
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 10 × (−4) × 2
Essa expressão consiste em vários fatores. Primeiro, multiplique 10 e (−4), depois multiplique o número resultante por 2. Ao longo do caminho, aplique as regras estudadas anteriormente:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Segunda ação:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Portanto, o valor da expressão 10 × (−4) × 2 é −80
Geralmente escrito mais curto: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Exemplo 4 Encontre o valor da expressão (−4) × (−2)
Esta é a multiplicação de números negativos. Nesses casos, a seguinte regra deve ser aplicada:
Para multiplicar números negativos, você precisa multiplicar seus módulos e colocar um sinal de mais na frente da resposta recebida.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Além disso, por tradição, não escrevemos, então apenas escrevemos a resposta 8.
Geralmente escrito mais curto (−4) × (−2) = 8
Surge a pergunta por que, ao multiplicar números negativos, um número positivo resulta de repente. Vamos tentar provar que (−4) × (−2) é igual a 8 e nada mais.
Primeiro, escrevemos a seguinte expressão:
Vamos colocá-lo entre parênteses:
Vamos adicionar nossa expressão (−4) × (−2) a essa expressão. Vamos colocar entre parênteses também:
Igualamos tudo isso a zero:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Agora começa a diversão. A linha inferior é que devemos calcular o lado esquerdo desta expressão e, como resultado, obter 0.
Portanto, o primeiro produto (4 × (−2)) é −8. Vamos escrever o número −8 em nossa expressão em vez do produto (4 × (−2))
Agora, em vez do segundo produto, colocamos temporariamente reticências
Agora vamos olhar atentamente para a expressão −8 + […] = 0. Que número deve ser usado no lugar das reticências para que a igualdade seja observada? A resposta sugere-se. Em vez de reticências, deve haver um número 8 positivo e nenhum outro. Só assim a igualdade será mantida. Porque −8 + 8 é igual a 0.
Voltamos à expressão −8 + ((−4) × (−2)) = 0 e em vez do produto ((−4) × (−2)) escrevemos o número 8
Exemplo 5 Encontre o valor da expressão −2 × (6 + 4)
Aplicamos a lei distributiva da multiplicação, ou seja, multiplicamos o número -2 por cada termo da soma (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Agora vamos avaliar as expressões entre colchetes. Em seguida, somamos os resultados. Ao longo do caminho, aplique as regras aprendidas anteriormente. A entrada com módulos pode ser omitida para não confundir a expressão
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
Terceira ação:
Portanto, o valor da expressão −2 × (6 + 4) é −20
Geralmente escrito mais curto: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Exemplo 6 Encontre o valor da expressão (−2) × (−3) × (−4)
A expressão consiste em vários fatores. Primeiro, multiplicamos os números -2 e -3, e o produto resultante é multiplicado pelo número restante -4. Pulamos a entrada com módulos para não confundir a expressão
Portanto, o valor da expressão (−2) × (−3) × (−4) é −24
Geralmente escrito mais curto: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Leis de divisão
Antes de dividir números inteiros, é necessário estudar duas leis de divisão.
Antes de tudo, vamos lembrar em que consiste a divisão. A divisão consiste em três parâmetros: divisível, divisor e privado. Por exemplo, na expressão 8: 2 = 4, 8 é o dividendo, 2 é o divisor, 4 é o quociente.
Dividendo mostra exatamente o que compartilhamos. Em nosso exemplo, estamos dividindo o número 8.
Divisor Mostra quantas partes dividir o dividendo. No nosso exemplo, o divisor é o número 2. Esse divisor mostra em quantas partes dividir o dividendo 8. Ou seja, durante a operação de divisão, o número 8 será dividido em duas partes.
Privadoé o resultado real da operação de divisão. Em nosso exemplo, o quociente é 4. Esse quociente é o resultado da divisão de 8 por 2.
Não pode dividir por zero
Qualquer número não pode ser dividido por zero. Isso ocorre porque a divisão é o inverso da multiplicação. Por exemplo, se 2 × 6 = 12, então 12:6 = 2
Pode-se ver que a segunda expressão está escrita em ordem reversa.
Agora faremos o mesmo para a expressão 5 × 0. Sabemos pelas leis da multiplicação que o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Então a expressão 5 × 0 também é zero
Se escrevermos esta expressão na ordem inversa, teremos:
A resposta que imediatamente chama a atenção é 5, que é o resultado da divisão de zero por zero. É impossível e estúpido.
Outra expressão semelhante pode ser escrita em ordem inversa, por exemplo 2 × 0 = 0
No primeiro caso, dividindo zero por zero, temos 5, e no segundo caso, 2. Ou seja, cada vez que dividimos zero por zero, podemos obter Significados diferentes, o que é inaceitável.
A segunda explicação é que dividir o dividendo pelo divisor significa encontrar um número que, quando multiplicado pelo divisor, dará o dividendo.
Por exemplo, a expressão 8:2 significa encontrar um número que, quando multiplicado por 2, dará 8
Aqui, em vez das reticências, deve haver um número que, multiplicado por 2, dê a resposta 8. Para encontrar esse número, basta escrever esta expressão na ordem inversa:
Agora imagine que você precisa encontrar o valor da expressão 5: 0. Nesse caso, 5 é o dividendo, 0 é o divisor. Dividir 5 por 0 significa encontrar um número que, quando multiplicado por 0, dará 5
Aqui, em vez das reticências, deve haver um número que, multiplicado por 0, dê 5 como resposta. Mas não há número que, multiplicado por zero, dê 5.
A expressão […] × 0 = 5 contraria a lei da multiplicação por zero, que afirma que o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Então escrever a expressão […] × 0 = 5 na ordem inversa, dividindo 5 por 0 não faz sentido. É por isso que dizem que você não pode dividir por zero.
Usando variáveis esta leié escrito da seguinte forma:
No b ≠ 0
Número uma pode ser dividido por um número b, providenciou que b não igual a zero.
propriedade privada
Esta lei diz que se o dividendo e o divisor forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número, o quociente não mudará.
Por exemplo, considere a expressão 12: 4. O valor desta expressão é 3
Vamos tentar multiplicar o dividendo e o divisor pelo mesmo número, por exemplo, pelo número 4. Se acreditarmos na propriedade do quociente, devemos novamente obter o número 3 na resposta
(12×4): (4×4)
(12 × 4): (4 × 4) = 48: 16 = 3
Agora vamos tentar não multiplicar, mas dividir o dividendo e o divisor pelo número 4
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
Recebeu uma resposta 3.
Vemos que se o dividendo e o divisor são multiplicados ou divididos pelo mesmo número, o quociente não muda.
Divisão de inteiros
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão 12: (−2)
Esta é a divisão de números com sinais diferentes. 12 é um número positivo, (-2) é negativo. Nesses casos, você precisa
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Geralmente escrito menor que 12: (−2) = −6
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão -24: 6
Esta é a divisão de números com sinais diferentes. −24 é negativo, 6 é positivo. Nesses casos, novamente, divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e coloque um sinal de menos na frente da resposta recebida.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Geralmente escrito com menos de -24: 6 = -4
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão (−45) : (−5)
Esta é a divisão de números negativos. Nesses casos, você precisa divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e coloque um sinal de mais na frente da resposta recebida.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Geralmente escrito mais curto (−45): (−5) = 9
Exemplo 4 Encontre o valor da expressão (−36) : (−4) : (−3)
De acordo com a ordem das operações, se a expressão contiver apenas multiplicação ou divisão, todas as ações devem ser executadas da esquerda para a direita na ordem em que aparecem.
Divida (−36) por (−4) e divida o número resultante por (−3)
Primeira ação:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Geralmente escrito mais curto (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
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Todos se lembram da escola que não se pode dividir por zero. Os alunos mais jovens nunca são informados por que não devem fazê-lo. Eles apenas se oferecem para aceitar isso junto com outras proibições como “você não pode colocar os dedos nas órbitas” ou “você não deve fazer perguntas estúpidas para adultos”.
O número 0 pode ser representado como uma espécie de fronteira que separa o mundo dos números reais dos imaginários ou negativos. Devido à posição ambígua, muitas operações com este valor numérico não obedecem à lógica matemática. A impossibilidade de dividir por zero é um excelente exemplo disso. E as operações aritméticas permitidas com zero podem ser realizadas usando definições geralmente aceitas.
Explicação algébrica para a impossibilidade de dividir por zero
Algebricamente, você não pode dividir por zero porque não faz sentido. Vamos pegar dois números arbitrários, aeb, e multiplicá-los por zero. a × 0 é zero e b × 0 é zero. Acontece que a × 0 e b × 0 são iguais, porque o produto em ambos os casos é igual a zero. Assim, podemos escrever a equação: 0 × a = 0 × b. Agora suponha que podemos dividir por zero: dividimos ambos os lados da equação por zero e obtemos que a = b. Acontece que, se permitirmos a operação de divisão por zero, todos os números serão iguais. Mas 5 não é igual a 6, e 10 não é igual a ½. Surge a incerteza, sobre a qual os professores preferem não contar aos alunos curiosos do ensino fundamental.
Existe uma operação 0:0?
De fato, se a operação de multiplicação por 0 é legal, zero pode ser dividido por zero? Afinal, uma equação da forma 0x5=0 é bastante legal. Em vez do número 5, você pode colocar 0, o produto não mudará a partir disso. De fato, 0x0=0. Mas você ainda não pode dividir por 0. Como disse, a divisão é apenas o inverso da multiplicação. Assim, se no exemplo 0x5=0, você precisa determinar o segundo fator, obtemos 0x0=5. Ou 10. Ou infinito. Dividindo o infinito por zero - como você gosta? Mas se qualquer número se encaixa na expressão, então não faz sentido, não podemos escolher um de um conjunto infinito de números. E se sim, significa que a expressão 0:0 não faz sentido. Acontece que mesmo zero em si não pode ser dividido por zero.
Explicação da impossibilidade de dividir por zero em termos de análise matemática
No ensino médio, eles estudam a teoria dos limites, que também fala da impossibilidade de dividir por zero. Esse número é interpretado lá como “indefinidamente indefinidamente pequeno valor". Então, se considerarmos a equação 0 × X = 0 dentro da estrutura dessa teoria, descobriremos que X não pode ser encontrado porque para isso teríamos que dividir zero por zero. E isso também não faz sentido, pois tanto o dividendo quanto o divisor neste caso são quantidades indefinidas, portanto, é impossível tirar uma conclusão sobre sua igualdade ou desigualdade.
Quando você pode dividir por zero?
Ao contrário dos escolares, os alunos das universidades técnicas podem dividir por zero. Uma operação impossível em álgebra pode ser realizada em outras áreas do conhecimento matemático. Eles têm novos termos adicionais tarefas que permitem esta ação. A divisão por zero será possível para quem assistir a um curso de palestras sobre análise não padronizada, estudar a função delta de Dirac e se familiarizar com o plano complexo estendido.
História do Zero
Zero é o ponto de referência em todos os sistemas numéricos padrão. O uso do número pelos europeus é relativamente recente, mas os sábios da Índia antiga usaram o zero por mil anos antes que o número vazio fosse usado regularmente pelos matemáticos europeus. Mesmo antes dos índios, o zero era um valor obrigatório no sistema numérico maia. Esse povo americano usava o sistema duodecimal e começava o primeiro dia de cada mês com zero. Curiosamente, entre os maias, o sinal de "zero" coincidia completamente com o sinal de "infinito". Assim, os antigos maias concluíram que essas quantidades eram idênticas e incognoscíveis.
matemática superior
A divisão por zero é uma dor de cabeça para a matemática do ensino médio. A análise matemática estudada em universidades técnicas expande ligeiramente o conceito de problemas que não têm solução. Por exemplo, à já conhecida expressão 0:0, acrescentam-se novas que não têm solução nos cursos de matemática escolar: infinito dividido por infinito: ∞:∞; infinito menos infinito: ∞−∞; unidade elevada a uma potência infinita: 1∞; infinito multiplicado por 0: ∞*0; alguns outros.
É impossível resolver tais expressões por métodos elementares. Mas a matemática superior, graças a possibilidades adicionais para vários exemplos semelhantes, fornece soluções finais. Isso é especialmente evidente na consideração de problemas da teoria dos limites.
Divulgação de incerteza
Na teoria dos limites, o valor 0 é substituído por uma variável condicional infinitesimal. E expressões em que a divisão por zero é obtida ao substituir o valor desejado são convertidas.
Abaixo está um exemplo padrão de expansão do limite usando as transformações algébricas usuais: Como você pode ver no exemplo, uma simples redução de uma fração traz seu valor para uma resposta completamente racional.
Ao considerar os limites das funções trigonométricas, suas expressões tendem a ser reduzidas ao primeiro limite notável. Ao considerar os limites em que o denominador vai para 0 quando o limite é substituído, utiliza-se o segundo limite notável.
Método L'Hopital
Em alguns casos, os limites das expressões podem ser substituídos pelo limite de suas derivadas. Guillaume Lopital - matemático francês, fundador da escola francesa de análise matemática. Ele provou que os limites das expressões são iguais aos limites das derivadas dessas expressões.
Em notação matemática, sua regra é a seguinte.
