Veja também: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

A abstração tem sido usada em matemática por dois milênios e meio. ponto adimensional, o que contraria não só senso comum, mas também o conhecimento sobre o mundo circundante, obtido por ciências como física, química, mecânica quântica e informática.

Ao contrário de outras abstrações, a abstração de um ponto matemático adimensional não idealiza a realidade, simplificando sua cognição, mas deliberadamente a distorce, dando-lhe o sentido oposto, o que, em particular, torna fundamentalmente impossível compreender e estudar espaços de dimensões superiores!

O uso da abstração de um ponto adimensional em matemática pode ser comparado com o uso do básico. unidade monetária com custo zero. Felizmente, a economia não pensou nisso.

Vamos provar o absurdo da abstração de um ponto adimensional.

Teorema. O ponto matemático é volumoso.

Prova.

Já que na matemática

Tamanho_ponto = 0,

Para um segmento de comprimento finito (diferente de zero), temos

Segment_size = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

O tamanho zero do segmento obtido, como uma sequência de seus pontos constituintes, contradiz a condição de comprimento finito do segmento. Além disso, o tamanho do ponto zero é absurdo, pois a soma dos zeros não depende do número de termos, ou seja, o número de pontos "zero" no segmento não afeta o tamanho do segmento.

Portanto, a suposição original sobre o tamanho zero de um ponto matemático está ERRADA.

Assim, pode-se argumentar que um ponto matemático tem um tamanho diferente de zero (finito). Como o ponto não pertence apenas ao segmento, mas também ao espaço em que o segmento está localizado, ele tem a dimensão do espaço, ou seja, o ponto matemático é volumétrico. Q.E.D.

Consequência.

A prova acima, realizada usando o aparato matemático grupo júnior Jardim da infância infunde orgulho na sabedoria sem limites dos sacerdotes e adeptos da “rainha de todas as ciências”, que conseguiram levar através dos milênios e preservar para a posteridade em sua forma original a antiga ilusão da humanidade.

Avaliações

Caro Alexandre! Eu não sou forte em matemática, mas talvez VOCÊ possa me dizer onde e por quem é afirmado que o ponto é igual a zero? Outra coisa, ela tem infinito Pequena quantidade, até a convenção, mas não zero. Assim, qualquer segmento pode ser considerado zero, pois existe outro segmento que contém conjunto infinito segmentos iniciais, grosso modo. Talvez não devêssemos confundir matemática e física. A matemática é a ciência do ser, a física é sobre o existir. Sinceramente.

Mencionei Aquiles duas vezes em detalhes e muitas vezes de passagem:
"Por que Aquiles não alcança a tartaruga"
"Aquiles e a tartaruga - um paradoxo em um cubo"

Talvez uma solução para o paradoxo de Zenão seja que o espaço é discreto e o tempo é contínuo. Ele considerou, como é possível para você, que ambos são discretos. O corpo pode permanecer em algum ponto do espaço por algum tempo. Mas não pode estar em lugares diferentes ao mesmo tempo ao mesmo tempo. Isso tudo, é claro, amadorismo, como todo o nosso diálogo. Sinceramente.
A propósito, se um ponto é 3D, quais são suas dimensões?

A discrição do tempo decorre, por exemplo, da aporia "Seta". “Ficar simultaneamente em lugares diferentes” só pode ser um elétron para físicos que, em princípio, não entendem e não aceitam nem a estrutura do éter nem a estrutura do espaço quadridimensional. Não conheço nenhum outro exemplo desse fenômeno. Não vejo "amadorismo" em nossa conversa. Ao contrário, tudo é extremamente simples: um ponto ou é adimensional ou tem tamanho; continuidade e infinito existem ou não existem. O terceiro não é dado - VERDADEIRO ou FALSO! Fundamentos os matemáticos, infelizmente, são construídos sobre falsos dogmas, aceitos por ignorância há 2.500 anos.

O tamanho do ponto depende da condição do problema que está sendo resolvido e da precisão necessária. Por exemplo, se uma engrenagem for projetada para relógio de pulso, então a precisão pode ser limitada pelo tamanho do átomo, ou seja, oito casas decimais. O próprio átomo aqui será o análogo físico do ponto matemático. Você pode precisar de precisão de 16 caracteres em algum lugar; então o papel de um ponto será desempenhado por uma partícula de éter. Observe que falar sobre precisão supostamente "infinita" na prática se transforma em um absurdo ou, para dizer o mínimo, em um absurdo.

Eu ainda não entendo: o ponto existe? Se existe objetivamente, portanto tem um certo valor físico, se existe subjetivamente, na forma de uma abstração de nossa mente, então tem um valor matemático. Zero não tem NADA, não existe, esta é a definição abstrata de Não-existência na matemática ou vazio na física. O ponto não existe por si só fora do relacionamento. Assim que o segundo ponto aparece, aparece um segmento - Algo, etc. Este tópico pode ser desenvolvido infinitamente. Com uv.

Pareceu-me que eu trouxe bom exemplo, mas provavelmente não detalhado o suficiente. Objetivamente, há um mundo que a ciência conhece, e atualmente ela conhece principalmente por métodos matemáticos. A matemática conhece o mundo construindo modelos matemáticos. Para construir esses modelos, o básico abstrações matemáticas, em particular, tais como: ponto, linha, continuidade, infinito. Essas abstrações são básicas porque não é mais possível subdividi-las e simplificá-las. Cada uma das abstrações básicas pode ser adequada realidade objetiva(verdadeiro) ou não (falso). Todas as abstrações acima são inicialmente falsas, porque contradizem o conhecimento mais recente sobre o mundo real. Então essas abstrações impedem compreensão correta mundo real. Alguém poderia, de alguma forma, tolerar isso enquanto a ciência estudava o mundo tridimensional. No entanto, as abstrações de um ponto adimensional e continuidade tornam todos os mundos de dimensão superior incognoscíveis em princípio!

O tijolo do universo - um ponto - não pode ser um vazio. Todo mundo sabe que nada vem do vazio. Os físicos, declarando o éter inexistente, encheram o mundo de vazio. Acredito que a matemática com seu ponto vazio os empurrou para essa estupidez. Não estou falando de átomos-pontos de mundos de dimensão superior a 4D. Assim, para cada dimensão o papel de um ponto matemático indivisível (condicionalmente) é desempenhado pelo átomo (condicionalmente) indivisível deste mundo (espaço, matéria). Para 3D - um átomo físico, para 4D - uma partícula de éter, para 5D - um átomo astral, para 6D - um átomo mental e assim por diante. Sinceramente,

Então, no entanto, o tijolo do universo tem alguns valor absoluto? E o que representa, na sua opinião, no mundo etéreo ou mental. Tenho medo de perguntar sobre os próprios mundos. Com interesse...

As partículas de éter (não são átomos!) são pares elétron-pósitron, nos quais as próprias partículas giram uma em relação à outra na velocidade da luz. Isso explica completamente a estrutura de todos os nucleons, a propagação oscilações eletromagnéticas e todos os efeitos do chamado vácuo físico. A estrutura do átomo do pensamento é desconhecida para qualquer um. Há apenas evidências de que TODOS os mais mundos superiores material, isto é, eles têm seus próprios átomos. Até a questão do Absoluto. Você está sendo irônico, no entanto. Sério buracos de minhoca e big bang Você acha mais crível?

Qual é a ironia aqui, apenas um pouco surpreso depois de uma avalanche de informações. Eu, ao contrário de você, não sou profissional e acho difícil dizer qualquer coisa sobre a cinco ou seis dimensões dos espaços. Eu sou totalmente a favor do nosso ponto de sofrimento... Até onde eu entendo, você é contra a continuidade material, e o ponto é que você tem um átomo "democrático" realmente existente. "Tijolo do Universo". Talvez eu estivesse desatento, mas ainda assim, não hesite em repetir quais são sua estrutura, parâmetros físicos, dimensões, etc.
E também responder, a unidade existe em si mesma, como tal, fora de quaisquer relações? Obrigada.

MKOOST SANATORIUM SCHOOL - ESCOLA DE INTERNET

ponto e figuras geométricas.

Pesquisar matemática.

Preenchido por: Anatoly Vasiliev, aluno da 3ª série

Gerente de obra:

Dubovaya Natalya Leonidovna,

Professor de escola primária.

Tom, 2013

1. Breve anotação. .................................................. . ................... 2
2. Anotação. .................................................. . ......................... 3
3. Artigo de Pesquisa. .................................................. . ....................... 6
4. Conclusão................................................. .............................................. 7

Bibliografia.

Breve anotação.

O trabalho discute o ponto e as formas geométricas: reta, semirreta, segmento, ângulo, triângulo, quadrilátero, círculo e círculo, bem como o papel do ponto na composição e construção dessas figuras.

Anotação.

Propósito do estudo:descubra o que se entende pelos conceitos de ponto e em que consistem as formas geométricas: uma linha reta, um raio, um ângulo, um quadrilátero, um triângulo, um círculo.

Objeto de estudo:ponto e definições de formas geométricas: linha, raio, ângulo, quadrilátero, triângulo, círculo.

Objeto de estudo:ponto e formas geométricas: linha reta, raio, ângulo, quadrilátero, triângulo, círculo.

Pesquisar hipóteses:ponto - a única figura geométrica e todo o resto consistindo de muitos pontos.

Objetivos de pesquisa:

1. materiais de estudo sobre o tema: “Ponto e formas geométricas: linha reta, raio, ângulo, quadrilátero, triângulo, círculo.”;
2. encontre as definições de um ponto, uma linha reta, um quadrilátero, um triângulo, um ângulo, um raio, um círculo;
3. apresentar suas análises e reflexões sobre o tema;
4. apresentar uma apresentação baseada neste trabalho de pesquisa.

Métodos de pesquisa:estudo da literatura, trabalho com dicionários, análise do estudo, conclusão.

Artigo de Pesquisa.

A matemática surgiu em tempos antigos das necessidades práticas das pessoas. Ninguém discutirá sobre a antiguidade da matemática, mas há outra opinião sobre o que levou as pessoas a fazê-lo. Segundo ele, a matemática, assim como a poesia, a pintura, a música, o teatro e a arte em geral, foram trazidas à vida pelas necessidades espirituais do homem, seu desejo, talvez ainda não totalmente realizado, de conhecimento e beleza.

Você já pensou no que é um ponto e em que consistem as formas geométricas?

À primeira vista, tudo está claro aqui: um ponto é um ponto, uma linha reta é uma linha reta, o que poderia ser incompreensível aqui? Bem, mesmo assim, como explicar isso para alguém que não sabe nada disso e, além disso, entende tudo muito literalmente? É tão simples? Acontece que não!

Nas aulas de trabalho, quando estudamos a técnica de isotread, eu tinha a suposição de que todas as formas geométricas consistem em pontos. É a este tema que decidi dedicar o meu trabalho de investigação.

“Sei que não sei de nada”, disse Sócrates, e tentou descobrir por meio do diálogo com o interlocutor o que exatamente ele sabe. Por isso, decidi primeiro descobrir o que sei sobre formas geométricas.

Então, vejamos as definições de formas geométricas indicadas pelo tema do meu trabalho de pesquisa.

1. Ponto - esta é uma marca, um traço de um toque, uma injeção com algo afiado; pequena mancha redonda, mancha; algo muito pequeno, pouco visível. Um ponto é uma figura geométrica básica

1. Linha- são muitos pontos. Se a base para a construção da geometria é o conceito de distância entre pontos no espaço, então uma linha reta pode ser definida como uma linha ao longo da qual a distância entre dois pontos é a menor. Direto - existe uma linha que está igualmente localizada em relação a todos os seus pontos. O termo "linha" originou-se do latim linum - "linho, fio de linho".

_________________________________________________

1. Raio é uma parte de uma linha que consiste em todos os pontos desta linha que se encontram em um lado de seu ponto dado.

1. Segmento de linha é a parte de uma linha que consiste em todos os pontos desta linha que se encontram entre dois pontos dados sobre ela.

1. Injeção- esta é uma figura que consiste em um ponto de vértice de um ângulo e duas meias-linhas diferentes descendo deste ponto, os lados do ângulo.

1. Quadriláteroé uma figura que consiste quatro pontos e quatro segmentos consecutivos conectando-os.

1. Triângulo - uma figura composta por três pontos que não se encontram em uma linha reta, conectados por segmentos.

1. Um círculo -

Círculo é uma figura que consiste em todos os pontos do plano equidistantes de um ponto dado. Uma linha fechada em torno de um círculo.

CONCLUSÃO.

Os conceitos de ponto e linha reta são encontrados em nossa vida em todos os lugares e em todos os lugares. Por exemplo, se você olhar para o idioma russo, um ponto é um sinal de pontuação (.) que separa uma frase completa. Também em russo existem sinais de pontuação como ponto e vírgula, dois pontos, reticências.

Em física, ponto - determinado valor quantidades.

Na geografia, um ponto é considerado como um lugar específico no espaço.

Na biologia, este é o ponto de crescimento das plantas.

Em química - ponto de congelamento, ponto de ebulição, ponto de fusão.

Na música, um ponto é um sinal que é um dos elementos básicos da notação musical.

Em matemática, um ponto é uma figura geométrica básica; a interseção de duas linhas, o limite de um segmento de linha, o início de um raio, etc.

Para construir qualquer figura, precisamos de um ponto. Com base na definição de uma linha reta,UMA LINHA É MUITOS PONTOS, e pelas definições, sabemos que qualquer figura é construída usando um ponto e uma linha, portanto, todas as figuras consistem em pontos.

Em nossa vida, um ponto é um crachá de injeção, uma pequena mancha.

Meu trabalho de pesquisa leva à conclusão de que o ponto é a única figura geométrica. Tudo começa com um ponto e termina com ele, e ainda não se sabe qual abertura servirá de começo.

Literatura:

1 .Aksenova M.D. Enciclopédia para crianças. T.11. - Matemática, M.: Avanta+, 1999. P. 575.

2 .Atanasyan L.S., geometria, 7-9: livro para instituições educacionais/ 12ª edição. - M.: Iluminismo, 2002. Pp. 5.146.177.178.

3. Atanasyan L.S., geometria, 10-11: um livro didático para instituições educacionais / 15ª ed., add. - M.: Educação, 2006. Pp.5-7.

4 .Vinogradov I.M., enciclopédia matemática / M.: enciclopédia soviética. págs. 410, 722.

5 .Evgenyeva A.P. Dicionário da língua russa. - M.: Iluminismo, 1984.

6 .Kabardin O.F. Física: Materiais de referência. - M.: Educação, 1991.

7 .Kramer G. Métodos matemáticos estatísticas, traduzidas do inglês, 2ª ed., M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Escola dicionário Língua russa. - M.: Educação, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Grande dicionário enciclopédico. - M.: Educação, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Dicionário Enciclopédico de Matemática. - M.: Educação, 1998.

11 .Savin A.P. dicionário enciclopédico jovem matemático. - M.: Pedagogia, 1985, p.69.

12 .Sharygin I.F. geometria visual. - M.: Educação, 1995.

Este termo tem outros significados, ver ponto. Um conjunto de pontos em um plano

Ponto - objeto abstrato no espaço que não possui nenhuma característica mensurável (um objeto de dimensão zero). O ponto é um dos conceitos fundamentais Na matemática.

Ponto na geometria euclidiana

Euclides definiu um ponto como "um objeto sem partes". Na axiomática moderna da geometria euclidiana, um ponto é um conceito primário, dado apenas por uma lista de suas propriedades - axiomas.

No sistema de coordenadas escolhido, qualquer ponto do espaço euclidiano bidimensional pode ser representado como um par ordenado ( x; y) numeros reais. Da mesma forma, ponto n O espaço euclidiano dimensional (assim como o espaço vetorial ou afim) pode ser representado como uma tupla ( uma 1 , uma 2 , … , uma n) a partir de n números.

Links

• apontar(Inglês) no site PlanetMath.
• WeissteinEric W. Aponte no site da Wolfram MathWorld.

o ponto é:

ponto ponto substantivo, Nós vamos., usar Frequentemente Morfologia: (não) o quê? pontos, que? ponto, (Veja o que? ponto, Como as? ponto, sobre o que? sobre o ponto; pl. que? pontos, (não o quê? pontos, que? pontos, (Veja o que? pontos, Como as? pontos, sobre o que? sobre pontos 1. Ponto- esta é uma pequena mancha redonda, um traço de um toque com algo afiado ou escrito.

Padrão de ponto. | Ponto de punção. | A cidade no mapa é indicada por um pequeno ponto e a disponibilidade estrada de desvio só se pode adivinhar.

2. Ponto- isso é algo muito pequeno, pouco visível devido ao afastamento ou por outros motivos.

Ponto no horizonte. | À medida que a bola se aproximava do horizonte na parte oeste do céu, começou a diminuir lentamente de tamanho até se transformar em um ponto.

3. Ponto- um sinal de pontuação que é colocado no final de uma frase ou ao abreviar palavras.

Coloque um ponto. | Não se esqueça de colocar um ponto no final da frase

4. Em matemática, geometria e física pontoé uma unidade que tem uma posição no espaço, o limite de um segmento de linha.

Ponto de matemática.

5. ponto chamado certo lugar no espaço, no chão ou na superfície de algo.

ponto de colocação. | Ponto de dor.

6. ponto nomear o local onde algo está localizado ou realizado, um determinado nó no sistema ou rede de quaisquer pontos.

Cada saída deve ter seu próprio sinal.

7. ponto eles chamam o limite do desenvolvimento de algo, um certo nível ou momento do desenvolvimento.

Nai Ponto mais alto. | ponto no desenvolvimento. | A situação atingiu um ponto crítico. | Este é o ponto mais alto de manifestação do poder espiritual do homem.

8. ponto chamado de limite de temperatura no qual a transformação de uma substância de uma estado de agregação em outro.

Ponto de ebulição. | Ponto de congelamento. | Ponto de fusão. | Quão mais altura quanto menor o ponto de ebulição da água.

9. Ponto e vírgula (;) chamado de sinal de pontuação usado para separar comuns, mais partes independentes frase composta.

NO língua Inglesa praticamente os mesmos sinais de pontuação são usados ​​como em russo: ponto, vírgula, ponto e vírgula, traço, apóstrofo, colchetes, reticências, interrogativo e pontos de exclamação, hífen.

10. Quando eles falam sobre ponto de vista, significa a opinião de alguém sobre um determinado problema, um olhar para as coisas.

Menos popular agora é outro ponto de vista, anteriormente quase universalmente reconhecido. | Ninguém compartilha desse ponto de vista hoje.

11. Se se diz que as pessoas têm pontos de contato então eles têm interesses comuns.

Podemos ser capazes de encontrar um terreno comum.

12. Se algo for dito ponto a ponto, significando uma correspondência absolutamente exata.

Ponto a ponto no local onde estava indicado, havia um carro cor de café.

13. Se se diz que uma pessoa é chegou ao ponto, o que significa que ele atingiu o limite extremo na manifestação de algumas qualidades negativas.

Chegamos ao ponto! Você não pode mais viver assim! | Você não pode dizer a ele que os serviços secretos chegaram ao ponto sob sua sábia liderança.

14. Se alguém coloca um fim em alguns negócios, isso significa que ele para.

Então ele voltou da emigração para sua terra natal, para a Rússia, para União Soviética, e isso pôs fim a todas as suas buscas e pensamentos.

15. Se alguém ponto o "e"(ou sobre eu), o que significa que ele leva o assunto à sua conclusão lógica, não deixa nada por dizer.

Vamos pontilhar os i's. Eu não sabia nada sobre sua iniciativa.

16. Se alguém bate um ponto, o que significa que ele concentrou todas as suas forças em alcançar um objetivo.

É por isso que suas imagens são tão distintas; ele sempre acerta um ponto, nunca se deixando levar por detalhes secundários. | Ele entende muito bem qual é a tarefa de seu negócio e, propositalmente, atinge um ponto.

17. Se alguém acertar o local, o que significa que ele disse ou fez exatamente o que era necessário, adivinhou.

A primeira carta que chegou à próxima rodada do concurso surpreendeu agradavelmente os editores - em uma das opções listadas, nosso leitor acertou imediatamente!

apontar adj.

Acupressão.

Dicionário explicativo da língua russa Dmitriev. D. V. Dmitriev. 2003.

Ponto

Ponto Pode significar:

O Wikcionário tem um artigo "ponto"

• Um ponto é um objeto abstrato no espaço que não possui outras características mensuráveis ​​além de coordenadas.
• Ponto - diacrítico, que pode ser colocado acima, abaixo ou no meio da carta.
• Ponto - uma unidade de medida de distância em russo e sistemas ingleses medidas.
• O ponto é uma das representações do separador decimal.
• Dot (tecnologias de rede) - designação do domínio raiz na hierarquia dos domínios de rede global.
• Tochka - cadeia de lojas de eletrônicos e entretenimento
• Tochka - álbum do grupo "Leningrado"
• Point - filme russo de 2006 baseado na história de mesmo nome de Grigory Ryazhsky
• Dot é o segundo álbum de estúdio do rapper Sten.
• Tochka é um sistema de mísseis divisionais.
• Tochka - Krasnoyarsk Youth and Subcultural Journal.
• Tochka é um clube e local de concertos em Moscou.
• O ponto é um dos caracteres do código Morse.
• O ponto é o lugar do dever de combate.
• Ponto (processamento) - o processo de usinagem, torneamento, afiação.
• PONTO - Programa informativo e analítico na NTV.
• Tochka é uma banda de rock da cidade de Norilsk, fundada em 2012.

Topônimo

Cazaquistão

• Ponto- até 1992, o nome da aldeia Bayash Utepov no distrito de Ulan da região leste do Cazaquistão.

Rússia

• Tochka é uma vila no distrito de Sheksninsky da região de Vologda.
• Tochka é uma vila no distrito de Volotovsky da região de Novgorod.
• Tochka é uma vila no distrito de Lopatinsky da região de Penza.

Você pode dar uma definição de conceitos como um ponto e uma linha?

Nossas escolas e universidades não tinham essas definições, embora sejam fundamentais na minha opinião (não sei como isso é em outros países). Podemos definir esses conceitos como "bem-sucedidos e malsucedidos" e considerar se isso é útil para o desenvolvimento do pensamento.

lutador

Estranho, mas nos foi dada a definição de um ponto. Este é um objeto abstrato (convenção) localizado no espaço, que não tem dimensões. Esta é a primeira coisa que foi martelada em nossas cabeças na escola - um ponto não tem dimensões, é um objeto "zero-dimensional". Um conceito condicional, como tudo na geometria.

Linhas retas são ainda mais difíceis. Em primeiro lugar, é uma linha. Em segundo lugar, é um conjunto de pontos localizados no espaço de uma determinada maneira. No muito definição simplesé uma linha definida pelos dois pontos por onde passa.

Medivh

Um ponto é algum tipo de objeto abstrato. Um ponto tem coordenadas, mas não tem massa ou dimensões. Na geometria, tudo começa precisamente a partir de um ponto, este é o início de todas as outras figuras (na escrita, aliás, também sem ponto não haverá início de palavra). Uma linha reta é a distância entre dois pontos.

Leonid Kutny

Você pode definir qualquer coisa e qualquer coisa. Mas há uma pergunta: essa definição "funcionará" em uma determinada ciência? Com base no que temos, não faz sentido definir um ponto, uma linha e um plano. Gostei muito das observações de Arthur. Gostaria de acrescentar que um ponto tem muitas propriedades: não tem comprimento, largura, altura, massa e peso, etc. objeto, um objeto no plano, no espaço. É por isso que precisamos de um ponto!Mas, um leitor esperto dirá que então um livro, uma cadeira, um relógio e outras coisas podem ser tomados como ponto. Absolutamente certo! Portanto, não faz sentido definir um ponto. Atenciosamente, L.A. Kutniy

Uma linha reta é um dos conceitos básicos da geometria.

O período é um sinal de pontuação na escrita em muitas línguas.

Além disso, o ponto é um dos símbolos do código Morse

Tantas definições :D

As definições de ponto, linha, plano foram dadas por mim no final dos anos 80 e início dos anos 90 do século XX. dou um link:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Em um volume de 328 páginas, a essência cognitiva desses conceitos é descrita em um aspecto completamente novo, que é explicado com base em uma visão de mundo física real e um senso de eu existo, o que significa que "eu" existo, assim como o Universo própria a que pertenço existe.

Tudo escrito em Este trabalhoé confirmado pelo conhecimento da humanidade sobre a natureza e suas propriedades há muito descobertas e ainda sendo estudadas este momento Tempo. A matemática tornou-se tão complexa de entender e compreender para aplicar suas imagens abstratas à prática de avanços tecnológicos. Tendo revelado os Fundamentos, que são os princípios fundamentais, é possível explicar até mesmo a um estudante escola primária razões subjacentes à existência do universo. Leia e aproxime-se da Verdade. Ouse, o mundo em que existimos se abre diante de você sob uma nova luz.

Existe uma definição do conceito de "ponto" em matemática, geometria.

Mikhail Levin

"conceito indefinível" é uma definição?

Na verdade, é a incerteza dos conceitos que torna possível aplicar a matemática a diferentes objetos.

Um matemático pode até dizer "por um ponto quero dizer um plano euclidiano, por um plano - um ponto euclidiano" - verifique todos os axiomas e obtenha nova geometria ou novos teoremas.

A questão é que para definir o termo A, você precisa usar o termo B. Para definir B, você precisa do termo C. E assim por diante, ad infinitum. E para ser salvo desse infinito, é preciso aceitar alguns termos sem definições e construir neles definições de outros. ©

Grigory Piven

Em matemática, Piven Grigory Um ponto é uma parte do espaço que é abstratamente (espelhada) tomada como o segmento de comprimento mínimo igual a 1, que é usado para medir outras partes do espaço. Portanto, uma pessoa escolhe a escala de um ponto por conveniência, para um processo produtivo de medição: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. ano. etc.

O conceito de ponto crítico pode ser generalizado para o caso de mapeamentos diferenciáveis ​​, e para o caso de mapeamentos diferenciáveis ​​de valores arbitrários . variedades f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Nesse caso, a definição de ponto crítico é que classificação Matrizes Jacobianas mostrar f (\displaystyle f) tem menos do que o máximo valor possível, igual a .

Pontos críticos funções e mapeamentos jogam papel importante em áreas da matemática como equações diferenciais , cálculo de variações , teoria da estabilidade assim como em mecânica e física. O estudo de pontos críticos de mapeamentos suaves é uma das principais questões teoria da catástrofe. O conceito de ponto crítico também é generalizado para o caso funcionais definido em espaços de função de dimensão infinita. A busca por pontos críticos de tais funcionais é parte importante cálculo de variações. Pontos críticos de funcionais (que, por sua vez, são funções) são chamados extremos.

Definição formal

crítico(ou especial ou estacionário) um ponto de um mapeamento continuamente diferenciável f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))é o ponto em que diferencial esta exibição f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))))é um degenerar transformação linear espaços tangentes correspondentes T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) e T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0))))\mathbb (R) ^(m)), ou seja dimensão imagem transformações f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) menor min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Na notação de coordenadas para n = m (\displaystyle n=m) significa que jacobiano- determinante Matrizes Jacobianas mostrar f (\displaystyle f), composto por todas as derivadas parciais ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i)))))- desaparece em um ponto. Espaços e R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) nesta definição pode ser substituído por diversidade N n (\estilo de exibição N^(n)) e M m (\estilo de exibição M^(m)) as mesmas dimensões.

Teorema de Sard

O valor exibido no ponto crítico é chamado de crítico. De acordo com Teorema de Sard, o conjunto de valores críticos de qualquer suave o suficiente mostrar f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) tem zero Medida de Lebesgue(embora possa haver qualquer número de pontos críticos, por exemplo, para um mapeamento idêntico, qualquer ponto é crítico).

Mapeamentos de classificação constante

Se nas proximidades do ponto x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) classificação de um mapeamento continuamente diferenciável f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))é igual ao mesmo número r (\displaystyle r), então nas proximidades deste ponto x 0 (\displaystyle x_(0)) existem coordenadas locais centradas em x 0 (\displaystyle x_(0)), e na vizinhança de sua imagem - pontos y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- existem coordenadas locais (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))) centrado em f (\displaystyle f)é dado pelas relações:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

Em particular, se r = n = m (\displaystyle r=n=m), então existem coordenadas locais (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))) centrado em x 0 (\displaystyle x_(0)) e coordenadas locais (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))) centrado em y 0 (\displaystyle y_(0)), de modo que exibem f (\displaystyle f)é idêntico.

Acontecendo m = 1

Quando esta definição significa que gradiente ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))) desaparece neste momento.

Vamos supor que a função f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) tem uma classe de suavidade de pelo menos C 3 (\displaystyle C^(3)). Ponto crítico de uma função f chamado não degenerado se nele juta | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) diferente de zero. Em uma vizinhança de um ponto crítico não degenerado, existem coordenadas nas quais a função f tem uma forma normal quadrática ( lema morse) .

Uma generalização natural do lema de Morse para pontos críticos degenerados é Teorema de Toujron: na vizinhança de um ponto crítico degenerado da função f, diferenciável número infinito vezes() final multiplicidades µ (\displaystyle \mu ) existe um sistema de coordenadas no qual função suave tem a forma de um polinômio de grau μ + 1 (\estilo de exibição \mu +1)(como P μ + 1 (x) (\estilo de exibição P_(\mu +1)(x)) pode-se tomar o polinômio de Taylor da função f (x) (\displaystyle f(x)) em um ponto nas coordenadas originais).

No m = 1 (\displaystyle m=1) faz sentido perguntar sobre o máximo e o mínimo de uma função. De acordo com a famosa declaração analise matemática, uma função continuamente diferenciável f (\displaystyle f), definido em todo o espaço R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) ou em seu subconjunto aberto, pode atingir máximo local(mínimo) apenas em pontos críticos, e se o ponto não for degenerado, então a matriz (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j), (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) deve ser negativo (positivo) certo. Este último também é condição suficiente máximo local (respectivamente, mínimo).

Acontecendo n = m = 2

Quando n=m=2 temos um mapeamento f plano em um plano (ou variedade bidimensional em outra variedade bidimensional). Vamos supor que a tela f diferenciável um número infinito de vezes ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Nesse caso típica pontos críticos de exibição f são aqueles em que o determinante da matriz de Jacobi zero, mas sua classificação é 1 e, portanto, o diferencial de mapeamento f nesses pontos tem uma dimensão testemunho. A segunda condição de tipicidade é que em uma vizinhança do ponto considerado no plano da imagem inversa, o conjunto de pontos críticos forma uma curva regular S, e em quase todos os pontos da curva S testemunho ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) não se preocupa S, enquanto os pontos onde isso não ocorre são isolados e a tangência neles é de primeira ordem. Os pontos críticos do primeiro tipo são chamados pontos de dobra, e o segundo tipo pontos de montagem. Pregas e pregas são os únicos tipos recursos mapeamentos plano-a-plano que são estáveis ​​em relação a pequenas perturbações: para uma pequena perturbação, os pontos de dobra e dobra se movem apenas ligeiramente junto com a deformação da curva S, mas não desapareça, não degenere e não se desfaça em outras singularidades.