Printre diverse expresii, care sunt considerate în algebră, loc important sunt sume de monomii. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pe gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Cu unele expresii în transformări algebrice trebuie să se ocupe de mai mult decât alții. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele expresiilor indicate par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - suma pătratului este egală cu suma pătrate și produs dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Acum vom trece doar la deschiderea parantezelor în expresiile în care expresia dintre paranteze este înmulțită cu un număr sau expresie. Să formulăm regula pentru deschiderea parantezelor precedate de semnul minus: parantezele împreună cu semnul minus sunt omise, iar semnele tuturor termenilor din paranteze sunt înlocuite cu semne opuse.

Un tip de transformare a expresiei este extinderea parantezelor. Expresiile numerice, literale și variabile sunt compuse folosind paranteze, care pot indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile, conțin un număr negativ etc. Să presupunem că în expresiile descrise mai sus, în loc de numere și variabile, pot exista orice expresii.

Și să fim atenți la încă un punct referitor la particularitățile scrierii soluției la deschiderea parantezelor. În paragraful anterior, ne-am ocupat de ceea ce se numește extinderea parantezei. Pentru a face acest lucru, există reguli pentru deschiderea parantezelor, pe care acum le revizuim. Această regulă este dictată de faptul că se obișnuiește să scrieți numere pozitive fără paranteze, parantezele în acest caz nu sunt necesare. Expresia (−3,7)−(−2)+4+(−9) poate fi scrisă fără paranteze ca −3,7+2+4−9.

În cele din urmă, a treia parte a regulii se datorează pur și simplu particularităților scrierii numerelor negative în stânga în expresie (pe care am menționat-o în secțiunea paranteze pentru scrierea numerelor negative). Puteți întâlni expresii formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Dacă extindeți parantezele, trecând de la interior la exterior, atunci soluția va fi: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Cum se deschide paranteze?

Iată o explicație: −(−2 x) este +2 x și, deoarece această expresie vine mai întâi, atunci +2 x poate fi scris ca 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x și −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prima parte a regulii scrise pentru deschiderea parantezelor decurge direct din regula pentru înmulțirea numerelor negative. A doua parte a acesteia este o consecință a regulii de înmulțire a numerelor cu semne diferite. Să trecem la exemple de paranteze extinse în produse și câte a două numere cu semne diferite.

Deschiderea parantezei: reguli, exemple, soluții.

Regula de mai sus ia în considerare întregul lanț al acestor acțiuni și accelerează semnificativ procesul de deschidere a parantezelor. Aceeași regulă vă permite să deschideți paranteze în expresii care sunt produse și expresii private cu semnul minus care nu sunt sume și diferențe.

Luați în considerare exemple de aplicare a acestei reguli. Dăm regula corespunzătoare. Mai sus, am întâlnit deja expresii de forma −(a) și −(−a), care fără paranteze sunt scrise ca −a și, respectiv, a. De exemplu, −(3)=3 și. Acestea sunt cazuri speciale ale regulii enunțate. Acum luați în considerare exemple de paranteze de deschidere când sume sau diferențe sunt incluse în ele. Vom arăta exemple de utilizare a acestei reguli. Notăm expresia (b1+b2) ca b, după care folosim regula de înmulțire a parantezei cu expresia din paragraful anterior, avem (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Prin inducție, această afirmație poate fi extinsă la un număr arbitrar de termeni din fiecare paranteză. Rămâne să deschidem parantezele în expresia rezultată, folosind regulile din paragrafele anterioare, ca rezultat, obținem 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Regula la matematică este deschiderea parantezelor dacă există (+) și (-) în fața parantezelor, o regulă foarte necesară

Această expresie este produsul a trei factori (2+4), 3 și (5+7 8). Parantezele trebuie deschise secvenţial. Acum folosim regula pentru înmulțirea unei paranteze cu un număr, avem ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Puteri ale căror baze sunt niște expresii scrise între paranteze, cu indicatori naturali poate fi gândit ca un produs al mai multor paranteze.

De exemplu, să transformăm expresia (a+b+c)2. În primul rând, îl scriem ca produs a două paranteze (a + b + c) (a + b + c), acum înmulțim paranteza cu paranteză, obținem a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a+c b+c c.

Să mai spunem că pentru a ridica sumele și diferențele a două numere în grad natural este recomandabil să se folosească formula binomială a lui Newton. De exemplu, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nu este mai puțin convenabil să înlocuiți în mod preliminar diviziunea cu înmulțirea și apoi să utilizați regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor în produs.

Rămâne să ne dăm seama de ordinea deschiderii parantezelor folosind exemple. Luați expresia (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Înlocuiți aceste rezultate în expresia originală: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Rămâne doar să finalizam deschiderea parantezelor, ca rezultat avem −5+3 2:4+6 7. Aceasta înseamnă că la trecerea din partea stângă a egalității în partea dreaptă, parantezele au fost deschise.

Rețineți că în toate cele trei exemple, pur și simplu am eliminat parantezele. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune mentală poate fi efectuată, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că ordinea schimbată a operațiilor va simplifica foarte mult calculele.

Cum să deschideți parantezele într-un grad diferit

Exemplu și regulă ilustrative. Luați în considerare un exemplu: . Puteți găsi valoarea expresiei adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze. Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor. Pentru a deschide paranteze, acest caz amintiți-vă proprietatea distributivă.

Numerele simple între paranteze

Eroarea ta nu constă în semne, ci în lucru greșit cu fractii? În clasa a VI-a ne-am întâlnit cu pozitive și numere negative. Cum vom rezolva exemple și ecuații?

Cât este între paranteze? Ce se poate spune despre aceste expresii? Desigur, rezultatul primului și celui de-al doilea exemplu este același, așa că puteți pune un semn egal între ele: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Deci, ce am făcut cu parantezele?

Demonstrarea slide 6 cu regulile de deschidere a parantezelor. Astfel, regulile pentru deschiderea parantezelor ne vor ajuta să rezolvăm exemple, să simplificăm expresiile. În continuare, elevii sunt invitați să lucreze în perechi: este necesar să legați expresia care conține paranteze cu expresia corespunzătoare fără paranteze cu săgeți.

Slide 11 Once Upon a Time Oraș însorit Znayka și Dunno au argumentat care dintre ei a rezolvat corect ecuația. În continuare, elevii rezolvă în mod independent ecuația, aplicând regulile pentru deschiderea parantezelor. Rezolvarea ecuațiilor „Obiectivele lecției: educaționale (fixarea ZUN-urilor pe tema:“ Deschiderea parantezelor.

Subiectul lecției: „Parantezele de deschidere. În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. În primul rând, sunt luați primii doi factori, încadrați într-un singur parantez, iar în interiorul acestor paranteze, parantezele sunt deschise conform uneia dintre regulile deja cunoscute.

rawalan.freezeet.ru

Deschiderea parantezei: reguli și exemple (clasa a 7-a)

Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor expresii numerice . De exemplu, în în termeni numerici\(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea din paranteză și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Totuşi, dacă avem de-a face cu expresie algebrica conținând variabil- de exemplu, așa: \ (2 (x-3) \) - atunci este imposibil să se calculeze valoarea din paranteză, variabila interferează. Prin urmare, în acest caz, parantezele sunt „deschise”, folosind regulile adecvate pentru aceasta.

Reguli de extindere a parantezei

Dacă există un semn plus înaintea parantezei, atunci paranteza este pur și simplu eliminată, expresia din el rămâne neschimbată. Cu alte cuvinte:

Aici este necesar să lămurim că la matematică, pentru a reduce intrările, se obișnuiește să nu se scrie semnul plus dacă este primul din expresie. De exemplu, dacă adunăm două numere pozitive, de exemplu, șapte și trei, atunci nu scriem \(+7+3\), ci pur și simplu \(7+3\), în ciuda faptului că șapte este, de asemenea, număr pozitiv. În mod similar, dacă vedeți, de exemplu, expresia \((5+x)\) - știți că in fata parantezei este un plus, care nu este scris.

Exemplu . Deschideți paranteza și dați termeni similari: \((x-11)+(2+3x)\).
Soluţie : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Dacă există un semn minus în fața parantezei, atunci când paranteza este îndepărtată, fiecare membru al expresiei din interiorul său își schimbă semnul în opus:

Aici este necesar să clarificăm faptul că a, în timp ce era între paranteze, avea un semn plus (pur și simplu nu l-au scris), iar după eliminarea parantezei, acest plus s-a schimbat în minus.

Exemplu : Simplificați expresia \(2x-(-7+x)\).
Soluţie : există doi termeni în interiorul parantezei: \(-7\) și \(x\), iar înaintea parantezei există un minus. Aceasta înseamnă că semnele se vor schimba - iar cele șapte vor fi acum cu un plus, iar x cu un minus. deschide suportul și aduceți condiții asemănătoare .

Exemplu. Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Dacă există un factor în fața parantezei, atunci fiecare membru al parantezei este înmulțit cu acesta, adică:

Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie : Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și un cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.

Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).

Rămâne de luat în considerare ultima situație.

Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie : Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtăm primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:

Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
- primul primul...

Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:

Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.

Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

paranteză în paranteză

Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:

Să începem sarcina prin deschiderea suportului interior (cel din interior). Deschizând-o, ne ocupăm doar de faptul că este direct legată de el - acesta este paranteza în sine și minusul din fața lui (evidențiat cu verde). Orice altceva (neselectat) este rescris așa cum a fost.

Rezolvarea problemelor de matematică online

Calculator online.
Simplificare polinomială.
Înmulțirea polinoamelor.

Cu acest program de matematică, puteți simplifica un polinom.
În timp ce programul rulează:
- multiplica polinoamele
- însumează monomii (dau acelea asemănătoare)
- deschide paranteze
- Ridică un polinom la o putere

Programul de simplificare polinomială nu dă doar răspunsul problemei, ci conduce soluție detaliată cu explicații, adică afișează procesul de rezolvare, astfel încât să vă puteți verifica cunoștințele de matematică și/sau algebră.

Acest program poate fi util pentru studenți scoli de invatamant generalîn pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau vă puteți antrena frati mai mici sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor în curs de rezolvare crește.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Vă rugăm să așteptați sec.

Un pic de teorie.

Produsul unui monom și al unui polinom. Conceptul de polinom

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:

Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pe gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, un binom are un al treilea grad, iar un trinom are un al doilea.

De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt și, adică pătratul sumei, pătratul diferenței și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, - acesta, desigur, nu este doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame:

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

- pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și de două ori produsul.

- pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublu.

- diferența de pătrate este egală cu produsul diferenței cu suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Cărți (manale) Rezumate ale examenului și teste OGE Jocuri online, puzzle Funcții de plotare dicţionar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor din Rusia Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților din Rusia Lista sarcinilor Găsirea GCD și LCM Simplificarea unui polinom (înmulțirea polinoamelor) Împărțirea unui polinom cu un polinom cu o coloană Calcularea fracțiilor numerice Rezolvarea problemelor pentru procente Numere complexe: suma, diferența, produsul și câtul sistemului lui 2 ecuatii lineare cu doi variabile Soluţie ecuație pătratică Pătratarea unui binom și factorizarea trinom pătrat Rezolvarea inegalităților Rezolvarea sistemelor de inegalități Graficare funcţie pătratică Trasarea unei funcții liniar-fracționale Rezolvarea unei aritmetici și progresie geometrică Rezolvarea trigonometrică, exponențială, ecuații logaritmice Calculul limitelor, derivate, tangente Integrale, Soluție antiderivată triunghiuri Calcule acțiuni cu vectori Calcule acțiuni cu drepte și plane Aria forme geometrice Perimetrul formelor geometrice Volumul corpuri geometrice Suprafața corpurilor geometrice
Constructor de situații de trafic
Vremea - știri - horoscoape

www.mathsolution.ru

Extindere suport

Continuăm să studiem elementele de bază ale algebrei. LA această lecție vom învăța cum să deschidem paranteze în expresii. A extinde paranteze înseamnă a elimina expresia acestor paranteze.

Pentru a deschide paranteze, trebuie să înveți pe de rost doar două reguli. Cu antrenament regulat, puteți deschide paranteze cu cu ochii inchisi, iar acele reguli care trebuiau memorate pot fi uitate în siguranță.

Prima regulă de extindere a parantezei

Luați în considerare următoarea expresie:

Valoarea acestei expresii este 2 . Să deschidem parantezele din această expresie. A extinde parantezele înseamnă a scăpa de ele fără a afecta sensul expresiei. Adică, după ce am scăpat de paranteze, valoarea expresiei 8+(−9+3) ar trebui să fie în continuare egal cu doi.

Prima regulă de extindere a parantezei arată astfel:

La deschiderea parantezelor, dacă există un plus înainte de paranteze, atunci acest plus este omis împreună cu parantezele.

Deci vedem asta în expresie 8+(−9+3) există un plus în fața parantezelor. Acest plus trebuie omis împreună cu parantezele. Cu alte cuvinte, parantezele vor dispărea împreună cu plusul care stătea în fața lor. Și ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:

8−9+3 . Această expresie egală 2 , ca și expresia anterioară între paranteze a fost egală cu 2 .

8+(−9+3) și 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Exemplul 2 Extinde paranteze într-o expresie 3 + (−1 − 4)

Există un plus în fața parantezelor, așa că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce era între paranteze va rămâne neschimbat:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Exemplul 3 Extinde paranteze într-o expresie 2 + (−1)

LA acest exemplu deschiderea parantezelor a devenit un fel de operație inversă de înlocuire a scăderii cu adunarea. Ce înseamnă?

În expresie 2−1 are loc scăderea, dar poate fi înlocuită prin adunare. Apoi obțineți expresia 2+(−1) . Dar dacă în expresie 2+(−1) deschide parantezele, primești originalul 2−1 .

Prin urmare, prima regulă de extindere a parantezei poate fi utilizată pentru a simplifica expresiile după unele transformări. Adică, scăpați de paranteze și faceți-l mai ușor.

De exemplu, să simplificăm expresia 2a+a−5b+b .

Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari. Amintiți-vă că pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții termenilor similari și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei:

Am o expresie 3a+(−4b). În această expresie, deschideți parantezele. Există un plus înainte de paranteze, așa că folosim prima regulă pentru deschiderea parantezelor, adică omitem parantezele împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze:

Deci expresia 2a+a−5b+b simplificat la 3a−4b .

După ce a deschis unul dintre paranteze, alții se pot întâlni pe parcurs. Le aplicăm aceleași reguli ca și prima. De exemplu, să extindem parantezele din următoarea expresie:

Există două locuri în care trebuie să extindeți parantezele. În acest caz, se aplică prima regulă pentru extinderea parantezelor, și anume, omiterea parantezelor împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Exemplul 3 Extinde paranteze într-o expresie 6+(−3)+(−2)

În ambele locuri unde există paranteze, acestea sunt precedate de un semn plus. Din nou, se aplică prima regulă de extindere a parantezei:

Uneori, primul termen dintre paranteze este scris fără semn. De exemplu, în expresia 1+(2+3−4) primul termen între paranteze 2 scris fără semn. Se pune întrebarea, ce semn va veni înainte de doi după ce sunt omise parantezele și plusul din fața parantezelor? Răspunsul sugerează de la sine - va fi un plus în fața celor doi.

De fapt, chiar fiind între paranteze, este un plus în fața zeului, dar nu îl vedem din cauza faptului că nu este scris. Am spus deja că notația completă a numerelor pozitive arată ca +1, +2, +3. Dar plusurile nu sunt în mod tradițional notate, așa că vedem numerele pozitive care ne sunt familiare. 1, 2, 3 .

Prin urmare, pentru a deschide paranteze într-o expresie 1+(2+3−4) , trebuie să omiteți parantezele, ca de obicei, împreună cu plusul din fața acestor paranteze, dar scrieți primul termen care a fost între paranteze cu semnul plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Exemplul 4 Extinde paranteze într-o expresie −5 + (2 − 3)

Există un plus în fața parantezelor, așa că aplicăm prima regulă pentru deschiderea parantezelor, și anume, omitem parantezele împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze. Dar primul termen, care este scris între paranteze cu semnul plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Exemplul 5 Extinde paranteze într-o expresie (−5)

Există un plus înaintea parantezelor, dar nu este scris pentru că nu erau alte numere sau expresii înaintea lui. Sarcina noastră este de a elimina parantezele prin aplicarea primei reguli pentru extinderea parantezelor, și anume, să omitem parantezele împreună cu acest plus (chiar dacă este invizibil)

Exemplul 6 Extinde paranteze într-o expresie 2a + (−6a + b)

Există un plus în fața parantezelor, așa că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Exemplul 7 Extinde paranteze într-o expresie 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

În această expresie, există două locuri în care trebuie să deschideți paranteze. În ambele secțiuni, în fața parantezelor există un plus, ceea ce înseamnă că acest plus este omis împreună cu parantezele. Ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

A doua regulă pentru deschiderea parantezelor

Acum să ne uităm la a doua regulă de extindere a parantezei. Se folosește când există un minus înaintea parantezei.

Dacă există un minus înainte de paranteze, atunci acest minus este omis împreună cu parantezele, dar termenii care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus.

De exemplu, să extindem parantezele din următoarea expresie

Vedem că există un minus înaintea parantezelor. Deci, trebuie să aplicați a doua regulă de extindere, și anume, omiteți parantezele împreună cu minusul din fața acestor paranteze. În acest caz, termenii care erau între paranteze își vor schimba semnul în sens invers:

Avem o expresie fără paranteze 5+2+3 . Această expresie este egală cu 10, la fel cum expresia anterioară cu paranteze a fost egală cu 10.

Astfel, între expresii 5−(−2−3) și 5+2+3 puteți pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Exemplul 2 Extinde paranteze într-o expresie 6 − (−2 − 5)

Există un minus înainte de paranteze, așa că aplicăm a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, și anume, omitem parantezele împreună cu minusul care vine înaintea acestor paranteze. În acest caz, termenii care erau între paranteze sunt scriși cu semne opuse:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Exemplul 3 Extinde paranteze într-o expresie 2 − (7 + 3)

Există un minus înainte de paranteze, așa că aplicăm a doua regulă pentru deschiderea parantezelor:

Exemplul 4 Extinde paranteze într-o expresie −(−3 + 4)

Exemplul 5 Extinde paranteze într-o expresie −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Există două locuri în care trebuie să extindeți parantezele. În primul caz, trebuie să aplicați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, iar când vine rândul expresiei +(−9−2) trebuie să aplicați prima regulă:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Exemplul 6 Extinde paranteze într-o expresie −(−a−1)

Exemplul 7 Extinde paranteze într-o expresie −(4a + 3)

Exemplul 8 Extinde paranteze într-o expresie A −(4b + 3) + 15

Exemplul 9 Extinde paranteze într-o expresie 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Există două locuri în care trebuie să extindeți parantezele. În primul caz, trebuie să aplicați prima regulă pentru deschiderea parantezelor, iar când vine rândul expresiei −(3c+5) trebuie să aplicați a doua regulă:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Exemplul 10 Extinde paranteze într-o expresie -A − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Există trei locuri în care trebuie să extindeți parantezele. Mai întâi trebuie să aplicați a doua regulă pentru extinderea parantezelor, apoi prima și apoi din nou a doua:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mecanismul de extindere a parantezelor

Regulile pentru deschiderea parantezelor, pe care le-am luat în considerare acum, se bazează pe legea distributivă a înmulțirii:

De fapt paranteze de deschidere apelează procedura când factor comunînmulțiți cu fiecare termen din paranteze. Ca urmare a unei astfel de înmulțiri, parantezele dispar. De exemplu, să extindem parantezele din expresie 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Prin urmare, dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o expresie între paranteze (sau să înmulțiți o expresie între paranteze cu un număr), trebuie să spuneți deschide parantezele.

Dar cum este legea distributivă a înmulțirii legată de regulile de deschidere a parantezelor pe care le-am considerat mai devreme?

Faptul este că înaintea oricăror paranteze există un factor comun. În exemplu 3×(4+5) factorul comun este 3 . Și în exemplu a(b+c) factorul comun este o variabilă A.

Dacă nu există numere sau variabile înainte de paranteze, atunci factorul comun este 1 sau −1 , în funcție de caracterul care apare înaintea parantezelor. Dacă există un plus în fața parantezelor, atunci factorul comun este 1 . Dacă există un minus înaintea parantezelor, atunci factorul comun este −1 .

De exemplu, să extindem parantezele din expresie −(3b−1). Există un minus înaintea parantezelor, așa că trebuie să utilizați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, adică omiteți parantezele împreună cu minusul dinaintea parantezelor. Și expresia care era între paranteze, scrieți cu semne opuse:

Am extins parantezele folosind regula de extindere a parantezei. Dar aceleași paranteze pot fi deschise folosind legea distributivă a înmulțirii. Pentru a face acest lucru, scriem mai întâi factorul comun 1 în fața parantezelor, care nu a fost notat:

Minusul care obișnuia să stea în fața parantezelor se referea la această unitate. Acum puteți deschide parantezele aplicând legea distributivă a înmulțirii. Pentru aceasta, factorul comun −1 trebuie să înmulțiți cu fiecare termen din paranteze și să adăugați rezultatele.

Pentru comoditate, înlocuim diferența dintre paranteze cu suma:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Ca în ultima data avem expresia −3b+1. Toată lumea va fi de acord că de data aceasta s-a petrecut mai mult timp pentru a rezolva un exemplu atât de simplu. Prin urmare, este mai rezonabil să folosim regulile gata făcute pentru deschiderea parantezelor, pe care le-am luat în considerare în această lecție:

Dar nu strică să știi cum funcționează aceste reguli.

În această lecție, am învățat o altă transformare identică. Împreună cu deschiderea parantezelor, scoaterea generalului din paranteze și aducerea unor termeni similari, se poate extinde ușor gama de sarcini de rezolvat. De exemplu:

Aici trebuie să efectuați două acțiuni - mai întâi deschideți parantezele, apoi aduceți termeni similari. Deci, in ordine:

1) Extindeți parantezele:

2) Oferim termeni similari:

În expresia rezultată −10b+(−1) poti deschide parantezele:

Exemplul 2 Deschideți parantezele și adăugați termeni similari în următoarea expresie:

1) Extindeți parantezele:

2) Prezentăm termeni similari. De data aceasta, pentru a economisi timp și spațiu, nu vom nota modul în care coeficienții sunt înmulțiți cu partea comună a literei

Exemplul 3 Simplificați expresia 8m+3mși găsiți-i valoarea la m=−4

1) Să simplificăm mai întâi expresia. Pentru a simplifica expresia 8m+3m, puteți elimina factorul comun din el m pentru paranteze:

2) Aflați valoarea expresiei m(8+3) la m=−4. Pentru aceasta, în expresia m(8+3)în loc de o variabilă mînlocuiți numărul −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

În acest articol, vom arunca o privire mai atentă asupra regulilor de bază ale acestora subiect important curs de matematică, ca deschiderea parantezelor. Trebuie să cunoașteți regulile de deschidere a parantezelor pentru a rezolva corect ecuațiile în care sunt utilizate.

Cum să deschideți corect parantezele atunci când adăugați

Extindeți parantezele precedate de semnul „+”.

Acesta este cel mai simplu caz, deoarece dacă în fața parantezelor există un semn de adunare, atunci când parantezele sunt deschise, semnele din interiorul lor nu se schimbă. Exemplu:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „-”.

În acest caz, trebuie să rescrieți toți termenii fără paranteze, dar în același timp să schimbați toate semnele din interiorul lor cu cele opuse. Semnele se schimbă numai pentru termenii din acele paranteze care au fost precedate de semnul „-”. Exemplu:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cum să deschideți parantezele la înmulțire

Parantezele sunt precedate de un multiplicator

În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu un factor și să deschideți parantezele fără a schimba semnele. Dacă multiplicatorul are semnul „-”, atunci la înmulțire, semnele termenilor sunt inversate. Exemplu:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cum să deschideți două paranteze cu un semn de înmulțire între ele

În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. Exemplu:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Cum să deschideți paranteze într-un pătrat

Dacă suma sau diferența dintre doi termeni este pătrată, parantezele trebuie extinse conform următoarei formule:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

În cazul unui minus între paranteze, formula nu se modifică. Exemplu:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Cum să deschideți parantezele într-un grad diferit

Dacă suma sau diferența termenilor este ridicată, de exemplu, la a 3-a sau a 4-a putere, atunci trebuie doar să spargeți gradul parantezei în „pătrate”. Se adună puterile acelorași factori, iar la împărțire se scade gradul divizorului din gradul dividendului. Exemplu:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Cum se deschide 3 paranteze

Există ecuații în care 3 paranteze sunt înmulțite deodată. În acest caz, trebuie să înmulțiți mai întâi termenii primelor două paranteze între ei, apoi să înmulțiți suma acestei înmulțiri cu termenii celui de-al treilea paranteză. Exemplu:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Aceste reguli de deschidere a parantezei se aplică în mod egal atât ecuațiilor liniare, cât și trigonometrice.

Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care se efectuează operațiile numerice și expresii literale, precum și în expresii cu variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la o expresie identică egală fără paranteze. Această tehnică se numește deschidere a parantezei.

A extinde paranteze înseamnă a elimina expresia acestor paranteze.

Un alt punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile soluțiilor de scriere la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca egalitate. De exemplu, după deschiderea parantezelor, în locul expresiei
3−(5−7) obținem expresia 3−5+7. Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3−(5−7)=3−5+7.

Și încă unul punct important. La matematică, pentru a reduce intrările, se obișnuiește să nu se scrie semnul plus dacă este primul într-o expresie sau între paranteze. De exemplu, dacă adăugăm două numere pozitive, de exemplu, șapte și trei, atunci scriem nu +7 + 3, ci pur și simplu 7 + 3, în ciuda faptului că șapte este și un număr pozitiv. În mod similar, dacă vedeți, de exemplu, expresia (5 + x) - știți că există un plus în fața parantezei, care nu este scris, și există un plus + (+5 + x) în fața parantezei. cinci.

Regula de extindere a parantezei pentru adăugare

La deschiderea parantezelor, dacă există un plus înainte de paranteze, atunci acest plus este omis împreună cu parantezele.

Exemplu. Deschideți parantezele din expresia 2 + (7 + 3) Înainte de paranteze plus, apoi caracterele din fața numerelor din paranteze nu se schimbă.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regula pentru extinderea parantezelor la scădere

Dacă există un minus înainte de paranteze, atunci acest minus este omis împreună cu parantezele, dar termenii care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus. Absența unui semn înaintea primului termen între paranteze implică un semn +.

Exemplu. Deschideți paranteze în expresia 2 − (7 + 3)

Există un minus înaintea parantezelor, așa că trebuie să schimbați semnele înaintea numerelor din paranteze. Nu există niciun semn între paranteze înaintea numărului 7, ceea ce înseamnă că șapte este pozitiv, se consideră că semnul + este în fața lui.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Când deschidem parantezele, eliminăm minusul din exemplu, care era înainte de paranteze, și parantezele în sine 2 − (+ 7 + 3) și schimbăm semnele care erau în paranteze cu cele opuse.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Parantezele extinse la înmulțire

Dacă există un semn de înmulțire în fața parantezelor, atunci fiecare număr din paranteze este înmulțit cu factorul din fața parantezelor. În același timp, înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus, dă un minus.

Astfel, parantezele din lucrări sunt extinse în conformitate cu proprietate distributivă multiplicare.

Exemplu. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua paranteză.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

De fapt, nu este nevoie să ne amintim toate regulile, este suficient să ne amintim doar una, aceasta: c(a−b)=ca−cb. De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula (a−b)=a−b. Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula −(a−b)=−a+b. Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

Extindeți parantezele la împărțire

Dacă există un semn de împărțire după paranteze, atunci fiecare număr din paranteze este divizibil cu divizorul după paranteze și invers.

Exemplu. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Cum să extindeți parantezele imbricate

Dacă expresia conține paranteze imbricate, atunci acestea sunt extinse în ordine, începând cu externe sau interne.

În același timp, la deschiderea unuia dintre paranteze, este important să nu atingeți celelalte paranteze, doar rescriindu-le așa cum sunt.

Exemplu. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Continui o serie de articole metodologice pe tema predării. Este timpul să luăm în considerare caracteristicile munca individuala tutore de matematică cu elevi de clasa a VII-a. Cu mare plăcere îmi voi împărtăși gândurile despre formele de depunere a unuia dintre subiecte majore curs de algebră în clasa a 7-a - „paranteze de deschidere”. Pentru a nu încerca să îmbrățișăm imensitatea, să ne concentrăm asupra ei scoala elementarași analizați metodologia tutorelui cu înmulțirea unui polinom cu un polinom. Cum profesor de matematică valabil în situatii dificile, când student slab nu percepe formă clasică explicatii? Ce sarcini ar trebui pregătite pentru un elev puternic de clasa a șaptea? Să luăm în considerare aceste și alte întrebări.

S-ar părea, ei bine, ce este atât de dificil? „Parantezele sunt ușoare”, va spune orice student bun. „Există o lege distributivă și proprietăți ale gradelor pentru lucrul cu monomii, un algoritm general pentru orice număr de termeni. Înmulțiți fiecare cu fiecare și aduceți similar. Cu toate acestea, nu totul este atât de simplu în a lucra cu cei care au rămas în urmă. În ciuda eforturilor profesorului de matematică, elevii reușesc să facă greșeli de diferite calibre chiar și în cele mai simple transformări. Natura erorilor este izbitoare prin diversitatea sa: de la mici omisiuni de litere și semne, până la „erori de oprire” grave.

Ce îl împiedică pe elev să efectueze corect transformările? De ce există neînțelegeri?

Sunt probleme individuale mare multime iar unul dintre principalele obstacole în calea asimilării și consolidării materialului este dificultatea de comutare la timp și rapidă a atenției, dificultatea de a procesa o cantitate mare de informații. Ar putea părea ciudat pentru unii despre care vorbesc volum mare, dar un elev slab din clasa a 7-a poate să nu aibă suficiente resurse de memorie și atenție nici măcar pentru patru trimestre. Coeficienții, variabilele, grade (indicatorii) interferează. Elevul confundă succesiunea operațiilor, uită care monomii au fost deja înmulțite și care au rămas neatinse, nu-și poate aminti cum sunt înmulțite etc.

Abordarea numerică a profesorului de matematică

Desigur, trebuie să începeți cu o explicație a logicii construirii algoritmului în sine. Cum să o facă? Trebuie să setăm sarcina: cum să schimbăm ordinea acțiunilor în expresie fara a schimba rezultatul? Destul de des dau exemple care explică funcționarea anumitor reguli pe anumite numere. Și apoi le înlocuiesc cu litere. Tehnica de utilizare a abordării numerice va fi descrisă mai jos.

Probleme de motivare.
La începutul lecției, un tutore de matematică este dificil să adune un elev dacă nu înțelege relevanța a ceea ce se studiază. În cadrul programului pentru clasele 6-7, este greu de găsit exemple de utilizare a regulii înmulțirii polinomiale. Aș sublinia nevoia de a învăța schimba ordinea acțiunilor în expresii Faptul că acest lucru ajută la rezolvarea problemelor, studentul ar trebui să știe din experiența de a adăuga termeni similari. De asemenea, a trebuit să le adauge la rezolvarea ecuațiilor. De exemplu, în 2x+5x+13=34 el folosește acel 2x+5x=7x. Un profesor de matematică trebuie doar să concentreze atenția elevului asupra acestui lucru.

Profesorii de matematică numesc adesea tehnica de deschidere a parantezei regulă fântână.

Această imagine este bine amintită și trebuie folosită. Dar cum se dovedește această regulă? Amintiți-vă forma clasică folosind transformări evidente de identitate:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Este dificil pentru un profesor de matematică să comenteze ceva aici. Scrisorile vorbesc de la sine. Da, și nu este nevoie de un elev puternic de clasa a 7-a explicatii detaliate. Totuși, ce să facă cu cei slabi, care nu vede niciun conținut în această „mișcătură alfabetică”?

Principala problemă care împiedică perceperea justificării matematice clasice a „fântânii” este forma neobișnuită de a scrie primul factor. Nici în clasa a V-a, nici în clasa a VI-a elevul nu a fost nevoit să tragă prima paranteză la fiecare trimestru al celui de-al doilea. Copiii s-au ocupat doar de numere (coeficienți), situate, cel mai adesea, în stânga parantezelor, de exemplu:

Până la sfârșitul clasei a VI-a, elevul se dezvoltă Imagine vizuală obiect - o anumită combinație de semne (acțiuni) asociate cu paranteze. Și orice abatere de la privirea obișnuită către ceva nou poate dezorienta un elev de clasa a șaptea. Este imaginea vizuală a perechii „număr + paranteză” pe care profesorul de matematică o ia în circulație atunci când o explică.

Se poate oferi următoarea explicație. Tutorul argumentează: „Dacă ar fi un număr în fața parantezei, de exemplu 5, atunci am putea schimba cursul acțiuniiîn această expresie? Desigur. Hai să o facem atunci . Gândiți-vă dacă rezultatul său se va schimba dacă în loc de numărul 5 introducem suma 2 + 3 cuprinsă între paranteze? Orice student îi va spune tutorelui: „Ce diferență are cum se scrie: 5 sau 2 + 3”. Minunat. Obțineți o înregistrare. Profesorul de matematică face o scurtă pauză, astfel încât elevul să-și amintească vizual imaginea-imagine a obiectului. Apoi îi atrage atenția asupra faptului că paranteza, ca și numărul, „s-a distribuit” sau „a sărit” la fiecare termen. Ce inseamna asta? Înseamnă că această operațiune poate fi efectuat nu numai cu un număr, ci și cu o paranteză. Avem două perechi de factori și . Cu ei majoritatea elevii pot face față cu ușurință singuri și pot scrie rezultatul tutorelui. Este important să comparați perechile rezultate cu conținutul parantezelor 2+3 și 6+4 și va deveni clar cum se deschid.

Dacă este necesar, după exemplul cu numere, profesorul de matematică efectuează o demonstrație literală. Se dovedește a fi o plimbare prin aceleași părți ale algoritmului anterior.

Formarea abilității de a deschide paranteze

Formarea abilității de a înmulți paranteze este una dintre repere munca unui tutore la matematică cu o temă. Și chiar mai important decât etapa explicării logicii regulii „fântânii”. De ce? Justificările transformărilor vor fi uitate chiar a doua zi, iar priceperea, dacă se formează și se fixează în timp, va rămâne. Elevii efectuează operația mecanic, ca și cum ar extrage din memorie tabla înmulțirii. Acesta este ceea ce trebuie realizat. De ce? Dacă de fiecare dată când elevul deschide parantezele, își va aminti de ce o deschide așa și nu altfel, va uita de problema pe care o rezolvă. De aceea, profesorul de matematică petrece restul lecției pentru a transforma înțelegerea în memorare. Această strategie este adesea folosită și în alte subiecte.

Cum poate un profesor să dezvolte abilitatea de a deschide paranteze la un student? Pentru a face acest lucru, un elev de clasa a VII-a trebuie să efectueze o serie de exerciții în cantitate suficientă pentru a se consolida. Acest lucru ridică o altă problemă. Un elev slab de clasa a șaptea nu poate face față numărului crescut de transformări. Chiar și cele mici. Și greșelile continuă să vină una după alta. Ce ar trebui să facă un profesor de matematică? În primul rând, este necesar să recomandăm să pictați săgeți de la fiecare termen fiecăruia. Dacă elevul este foarte slab și nu este capabil să treacă rapid de la un tip de muncă la altul, își pierde concentrarea atunci când execută comenzi simple de la profesor, atunci profesorul de matematică desenează el însuși aceste săgeți. Și nu toate deodată. În primul rând, tutorele conectează primul termen din paranteza stângă cu fiecare termen din paranteza dreaptă și cere să efectueze înmulțirea corespunzătoare. Abia după aceea, săgețile trec de la al doilea termen la aceeași paranteză dreaptă. Cu alte cuvinte, tutorele împarte procesul în două etape. Este mai bine să mențineți o mică pauză temporară (5-7 secunde) între prima și a doua operație.

1) Un set de săgeți trebuie trasat deasupra expresiilor și un alt set sub ele.
2) Este important să săriți cel puțin între rânduri două celule. În caz contrar, înregistrarea va fi foarte densă, iar săgețile nu numai că vor urca pe linia anterioară, ci se vor amesteca și cu săgețile de la exercițiul următor.

3) În cazul înmulțirii parantezelor în format 3 cu 2, se trasează săgeți de la paranteza scurtă la cea lungă. Altfel, aceste „fântâni” nu vor fi două, ci trei. Implementarea celui de-al treilea este vizibil mai complicată din cauza lipsei de spațiu liber pentru săgeți.
4) săgețile sunt întotdeauna îndreptate dintr-un punct. Unul dintre elevii mei a tot încercat să le pună unul lângă altul și iată ce a făcut:

Un astfel de aranjament nu permite evidențierea și fixarea termenului curent, cu care studentul lucrează la fiecare dintre etape.

Munca degetelor tutorelui

4) Pentru a menține atenția un cuplu separat termeni înmulțiți, profesorul de matematică pune două degete pe ei. Acest lucru trebuie făcut în așa fel încât să nu blocheze vederea elevului. Pentru elevii cei mai neatenți, puteți folosi metoda „pulsării”. Profesorul de matematică aduce primul deget la începutul săgeții (la unul dintre termeni) și îl fixează, iar cu al doilea „ciocăni” la capăt (la al doilea termen). Pulsația ajută la concentrarea atenției asupra termenului prin care elevul se înmulțește. După ce se face prima înmulțire cu paranteza dreaptă, profesorul de matematică spune: „Acum lucrăm cu un alt termen”. Profesorul mută un „deget fix” pe acesta, iar „pulsând” trece peste termenii dintr-o altă paranteză. Pulsația funcționează ca un „semnalizator” într-o mașină și vă permite să adunați atenția unui elev absent asupra operației pe care o conduce. Dacă copilul scrie mic, atunci se folosesc două creioane în loc de degete.

Optimizarea repetitiei

Ca și în studiul oricărui alt subiect în cursul algebrei, înmulțirea polinoamelor poate și ar trebui să fie integrată cu materialul tratat anterior. Pentru a face acest lucru, profesorul de matematică folosește sarcini speciale de tip punte care vă permit să găsiți aplicarea celor studiate în diverse obiecte matematice. Ele nu numai că conectează subiectele într-un singur întreg, ci și organizează foarte eficient repetarea întregului curs de matematică. Și cu cât tutorul construiește mai multe punți, cu atât mai bine.

În mod tradițional, în manualele de algebră pentru clasa a 7-a, deschiderea parantezelor este integrată cu soluția ecuațiilor liniare. La sfârșitul listei de numere există întotdeauna sarcini de următoarea ordine: rezolvarea ecuației. La deschiderea parantezelor, pătratele sunt reduse, iar ecuația se rezolvă ușor cu ajutorul clasei 7. Cu toate acestea, dintr-un motiv oarecare, autorii manualelor uită în siguranță despre trasarea unui grafic al unei funcții liniare. Pentru a corecta acest neajuns, aș sfătui profesorii de matematică să includă paranteze expresii analitice funcții liniare, de exemplu . Pe astfel de exerciții, elevul nu numai că își antrenează abilitățile de a efectua transformări identice, ci și repetă graficele. Puteți cere să găsiți punctul de intersecție a doi „monstri”, determinați aranjament reciproc linii, găsiți punctele de intersecție a acestora cu axele etc.

Kolpakov A.N. Profesor de matematică în Strogino. Moscova