Tipuri de numere. Naturale, întregi, raționale și reale Numărul este o abstractizare folosită pentru caracteristici cantitative obiecte. Numerele au originea în societate primitivăîn legătură cu nevoia oamenilor de a număra obiectele. De-a lungul timpului, odată cu dezvoltarea științei, numărul a devenit cel mai important concept matematic.

Pentru rezolvarea problemelor și dovezi diverse teoreme trebuie să înțelegeți ce tipuri de numere sunt. Principalele tipuri de numere includ: numere naturale, numere întregi, numere raționale, numere reale.

numere întregi- acestea sunt numerele obținute prin numărarea naturală a obiectelor, sau mai bine zis, cu numerotarea lor („primul”, „al doilea”, „al treilea” ...). O multime de numere naturale notat Literă latină N(poate fi amintit pe baza cuvânt englezesc natural). Se poate spune că N ={1,2,3,....}

Numere întregi sunt numere din mulțime (0, 1, -1, 2, -2, ....). Această mulțime este formată din trei părți - numere naturale, numere întregi negative (opusul numerelor naturale) și numărul 0 (zero). Numerele întregi sunt notate cu o literă latină Z. Se poate spune că Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}.

Numere rationale sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. În acest caz, se numește numărul m numărător, iar numărul n - numitor fractii. O astfel de fracție ar trebui înțeleasă ca rezultat al împărțirii m la n, chiar dacă nu poate fi împărțită complet. Litera latină este folosită pentru a desemna numerele raționale Q. Q={... ;-3;-2,5;-2;-1;0; ;1;2;3;3,5....}. Toate numerele naturale și întregi sunt raționale. De asemenea, ca exemple de numere raționale, puteți da: , , . LA viata reala numerele raționale sunt folosite pentru a număra părțile unor obiecte întregi, dar divizibile, cum ar fi prăjiturile sau alte alimente care sunt tăiate în mai multe bucăți, sau pentru a estima aproximativ relațiile spațiale ale obiectelor extinse.

Numerele reale (reale). sunt numerele folosite pentru a măsura cantități continue. O multime de numere reale notate cu litera latină R. Numerele reale includ numerele raționale și numerele iraționale. Numere irationale- acestea sunt numere care se obțin în urma efectuării diverselor operații cu numere raționale (de exemplu, extragerea unei rădăcini, calcularea logaritmilor), dar nu sunt raționale. Exemple de numere iraționale sunt , , .

Pe linia numerică poate fi afișat orice număr real:

Pentru seturile de numere enumerate mai sus, următoarea afirmație este adevărată:

Adică, mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi. Mulțimea numerelor întregi este inclusă în mulțimea numerelor raționale. Și mulțimea numerelor raționale este inclusă în mulțimea numerelor reale. Această afirmație poate fi ilustrată folosind cercuri Euler.

Definiția numerelor naturale sunt numere întregi numere pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Aceste numere sunt: ​​1; 2; 3; 4;...

Aceasta este o serie naturală de numere.
Zero este un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Exista set infinit numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.
Care este cel mai mare număr natural? Nu poate fi specificat, deoarece există o mulțime infinită de numere naturale.

Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunarea numerelor naturale a și b:

Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:

c este întotdeauna un număr natural.

Diferența numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă minuend este mai mare decât subtraend, atunci diferența numerelor naturale este un număr natural, altfel nu este.

Coeficientul numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b

unde c este un număr natural, înseamnă că a este divizibil egal cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este coeficientul.

Împărțitorul unui număr natural este numărul natural cu care primul număr este divizibil egal.

Fiecare număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numerele naturale simple sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Aici, înseamnă că sunt complet împărțiți. Exemplu, numerele 2; 3; 5; 7 este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.

Unul nu este considerat număr prim.

Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple numere compuse: 4; 6; 8; 9; 10

Unul nu este considerat un număr compus.

Mulțimea numerelor naturale este unul, numere primeși numere compuse.

Mulțimea numerelor naturale este notă cu litera latină N.

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:

proprietate comutativă a adunării

Proprietate asociativă adaosuri

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietatea comutativă a înmulțirii

proprietatea asociativă a înmulțirii

(ab)c = a(bc);

proprietate distributivă multiplicare

a (b + c) = ab + ac;

Numere întregi

Numerele întregi sunt numere naturale, zero și opusul numerelor naturale.

Numerele care sunt opuse numerelor naturale sunt numere întregi. numere negative, de exemplu: -1; -2; -3; -4;...

Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.

Numere rationale

Numerele raționale sunt numere întregi și fracții.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple: -1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Din exemple este clar că orice număr întreg este fracție periodică cu perioada zero.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m întreg, n numar natural. Să reprezentăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție: 22/6 = 3,(6);

Un alt exemplu: numărul rațional 9 poate fi reprezentat ca o fracție simplă ca 18/2 sau ca 36/4.

Un alt exemplu: numărul rațional -9 poate fi reprezentat ca o fracție simplă ca -18/2 sau ca -72/8.

Mulțimea numerelor raționale este notă cu litera latină Q.

Numere irationale

Numerele iraționale sunt infinite zecimale nerecurente.

Exemple: pi = 3,141592... e = 2,718281...

Numere reale

Numerele reale sunt toate numerele raționale și toate numerele iraționale.

Mulțimea numerelor reale se notează cu litera latină R.

Scop: A ști ce este un număr natural, întreg, rațional, o fracție periodică; să poată scrie la nesfârșit zecimal sub forma unui ordinar, să poată efectua acțiuni cu fracții zecimale și ordinare.

1. Să consolideze materialul studiat, schimbând tipurile de lucru, pe această temă „Numere întregi și raționale”.
2. Dezvoltați abilitățile și abilitățile în efectuarea acțiunilor cu fracții zecimale și ordinare, dezvoltați gandire logica, vorbire matematică corectă și competentă, dezvoltarea independenței și a încrederii în cunoștințele și abilitățile lor atunci când execută tipuri diferite lucrări.
3. Creșteți interesul pentru matematică prin introducerea diferitelor tipuri de consolidare a materialului: munca orală, lucru cu un manual, lucru la tablă, răspuns la întrebări și capacitatea de a face introspecție, muncă independentă; stimularea şi încurajarea activităţilor elevilor.

eu. Organizarea timpului.
II. Subiect nou:
„Numere întregi și numere raționale”.
1.Partea teoretică.
2. Partea practică.
3. Lucrați conform manualului și la tablă.
4. Muncă independentă prin opțiuni.
III. Rezultat.
1. Pentru întrebări.
IV. Teme pentru acasă.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Starea emoțională și pregătirea profesorului și a elevilor pentru lecție. Comunicarea scopurilor și obiectivelor.

II. Subiect nou: „Numere întregi și numere raționale”:

Partea teoretică.

1. Inițial, numărul a fost înțeles doar ca numere naturale. Ceea ce este suficient pentru a număra articolele individuale.

Set N = (1; 2; 3...) numere naturale este închisă sub operaţiile de adunare şi înmulţire. Aceasta înseamnă că suma și produsul numerelor naturale sunt numere naturale.

2. Totuși, diferența dintre două numere naturale nu mai este întotdeauna un număr natural.

(Dați exemple: 5 - 5 = 0; 5 - 7 = - 2, numerele 0 și - 2 nu sunt naturale).

Astfel, rezultatul scăderii a două numere naturale identice duce la conceptul de zero și introducere seturi de numere întregi nenegative

Z0 = (0; 1; 2;...).

3. Pentru a face operația de scădere fezabilă, introduceți numere întregi negative, adică numere opuse celor naturale. Astfel, se obține o mulțime de numere întregi Z={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.

Pentru a face operația de împărțire la orice număr diferit de zero posibilă, este necesar să adăugați la mulțimea tuturor numerelor întregi mulțimea tuturor pozitive și fracții negative. Rezultatul este set de numere raționale Q=.

Când faci patru operatii aritmetice(cu excepția împărțirii la zero) peste numere raționale, se obțin întotdeauna numere raționale.

4. Fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică.

Să ne amintim ce este fracție periodică. Aceasta este o fracție zecimală infinită, în care, începând de la o anumită zecimală, se repetă aceeași cifră sau mai multe cifre - perioada fracției. De exemplu, 0,3333…= 0,(3);

1,057373…=1,05(73).

Aceste fracții se citesc astfel: „0 întreg și 3 în perioadă”, „1 întreg, 5 sutimi și 73 în perioadă”.

Scriem numere raționale ca o fracție zecimală periodică infinită:

numărul natural 25 = 25,00…= 25,(0);

întreg -7 = -7,00…= -7,(0);

(folosim algoritmul de împărțire a colțurilor).

5. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: fiecare fracție zecimală periodică infinită este Numar rational, deoarece poate fi reprezentat ca o fracție, unde m este un număr întreg, n este un număr natural.

Luați în considerare un exemplu:

1) Fie x \u003d 0,2 (18) înmulțind cu 10, obținem 10x \u003d 2,1818 ... (Trebuie să înmulțiți fracția cu 10 n, unde n este numărul de zecimale conținute în înregistrarea acestei fracții în sus la perioada: x10 n).

2) Înmulțind ambele părți ale ultimei egalități cu 100, găsim

1000x = 218,1818…(Înmulțirea cu 10 k , unde k este numărul de cifre din perioada x10 n 10 k = x10 n+k).

3) Scăzând din egalitatea (2) egalitatea (1), obținem 990x = 216, x = .

Partea practică.

1. Scrieți ca fracție zecimală:

1) - pe tablă;

3) - la tablă un elev notează decizia, restul decid pe teren, apoi se verifică între ei;

4) - sub dictare, toată lumea îndeplinește sarcina, iar cineva vorbește cu voce tare.

2. Efectuați acțiuni și scrieți rezultatul ca fracție zecimală:

1) - pe tablă;

3) - sub dictare, fiecare îndeplinește sarcina, iar unul vorbește cu voce tare;

5) - independent cu verificarea ulterioară.

3. Scrie ca fracție comună zecimală infinită:

6) -2.3(82) - profesorul arată soluția pe tablă, pe baza algoritmului.