Faptul că mulți rădăcini pătrate sunteți numere irationale, nu le diminuează semnificația, în special, numărul $\sqrt2$ este foarte des folosit în diverse calcule inginerești și științifice. Acest număr poate fi calculat cu exactitatea necesară în fiecare caz specific. Puteți obține acest număr cu câte zecimale aveți răbdare.
De exemplu, numărul $\sqrt2$ poate fi determinat cu șase zecimale: $\sqrt2=1,414214$. Această valoare nu este foarte diferită de valoare adevarata, deoarece $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Acest răspuns diferă de 2 cu puțin peste o milioneme. Prin urmare, valoarea lui $\sqrt2$, egală cu $1,414214$, este considerată destul de acceptabilă pentru soluția majorității sarcini practice. În cazul în care este necesară o precizie mai mare, nu este dificil să obțineți atâtea cifre semnificative după virgulă, după cum este necesar în acest caz.
Cu toate acestea, dacă dați dovadă de încăpățânare rară și încercați să extrageți Rădăcină pătrată de la numărul $\sqrt2$ până când veți obține rezultatul exact, nu vă veți termina niciodată munca. Este un proces fără sfârșit. Indiferent de câte zecimale ai, vor mai fi întotdeauna câteva.
Acest fapt vă poate uimi la fel de mult ca și transformarea $\frac13$ într-o zecimală infinită $0,333333333…$ și așa mai departe la infinit sau transformarea $\frac17$ în $0,142857142857142857…$ și așa mai departe la infinit. La prima vedere, poate părea că aceste rădăcini pătrate infinite și iraționale sunt fenomene de același ordin, dar nu este deloc așa. La urma urmei, aceste fracții infinite au un echivalent fracțional, în timp ce $\sqrt2$ nu are un astfel de echivalent. Și de ce, mai exact? Ideea este că echivalentul zecimal al $\frac13$ și $\frac17$, precum și un număr infinit celelalte fracții sunt periodice fracții finite.
În același timp, echivalentul zecimal al lui $\sqrt2$ este o fracție neperiodică. Această afirmație este valabilă și pentru orice ir Numar rational.
Problema este că orice zecimală care este o aproximare a rădăcinii pătrate a lui 2 este nu fracție periodică . Indiferent cât de mult avansăm în calcule, orice fracție pe care o obținem va fi neperiodică.
Imaginați-vă o fracțiune sumă uriașă cifre neperiodice după virgulă zecimală. Dacă brusc după miliona cifră se repetă întreaga secvență de zecimale, atunci zecimal- periodic și pentru acesta există un echivalent sub forma unui raport de numere întregi. Dacă o fracție cu un număr mare (miliarde sau milioane) de zecimale neperiodice la un moment dat are o serie nesfârșită de cifre care se repetă, de exemplu $…55555555555…$, aceasta înseamnă, de asemenea, că această fracție este periodică și există un echivalent pentru ea sub forma unui raport de numere întregi.
Cu toate acestea, în cazul echivalentelor lor zecimale sunt complet neperiodice și nu pot deveni periodice.
Desigur, puteți întreba urmatoarea intrebare: „Și cine poate ști și spune cu siguranță ce se întâmplă cu o fracțiune, să zicem, după un semn de trilion? Cine poate garanta că fracția nu va deveni periodică? Există modalități de a demonstra în mod irefutat că numerele iraționale sunt neperiodice, dar astfel de demonstrații necesită un aparat matematic complex. Dar dacă brusc s-a dovedit că număr irațional devine fracție periodică, asta ar însemna o prăbușire completă a fundațiilor stiinte matematice. Și, de fapt, acest lucru este cu greu posibil. Acest lucru nu este doar pentru tine să arunci degetele dintr-o parte în alta, există o teorie matematică complexă aici.
Că dacă ei cunosc teoria seriei, atunci fără ea nu pot fi introduse concepte metamatice. Mai mult, acești oameni cred că cel care nu îl folosește peste tot este ignorant. Să lăsăm părerile acestor oameni în seama conștiinței lor. Să înțelegem mai bine ce este o fracție periodică infinită și cum să ne descurcăm cu ea pentru noi, oameni needucați care nu cunoaștem limite.
Împărțiți 237 la 5. Nu, nu trebuie să rulați Calculatorul. Să ne amintim mai bine de școala medie (sau chiar elementară?) și să împărțim doar coloana:
Ei bine, îți amintești? Atunci poți trece la treabă.
Conceptul de „fracție” în matematică are două semnificații:
- Non-întreg.
- Forma de notare a unui număr non-întreg.
- Simplu (sau vertical) fracții precum 1/2 sau 237/5.
- Decimale, cum ar fi 0,5 sau 47,4.
În matematică, în general, din timpuri imemoriale, un cont zecimal a fost acceptat și, prin urmare, fracțiile zecimale sunt mai convenabile decât cele simple, adică o fracție cu numitor zecimal(Vladimir Dal. Dicţionarîn viaţă Limba rusă grozavă. "Zece").Și dacă da, atunci vreau să fac orice fracție verticală zecimală („orizontală”). Și pentru aceasta trebuie doar să împărțiți numărătorul la numitor. Luați, de exemplu, fracția 1/3 și încercați să faceți o zecimală.
Chiar și o persoană complet needucată va observa: indiferent de cât timp va dura, nu se vor despărți: așa vor apărea triplele la infinit. Așa că să-l notăm: 0,33... Ne referim la „numărul care se obține când împărțiți 1 la 3”, sau, pe scurt, „o treime”. Desigur, o treime este o fracție în primul sens al cuvântului, iar „1/3” și „0,33 ...” sunt fracții în al doilea sens al cuvântului, adică formulare de înregistrare un număr care se află pe linia numerică la o astfel de distanță de zero încât dacă îl amâni de trei ori, obțineți unul.
Acum să încercăm să împărțim 5 la 6:
Să-l notăm din nou: 0,833 ... Ne referim la „numărul care se obține când împărțiți 5 la 6”, sau, pe scurt, „cinci șesime”. Totuși, aici apare confuzie: înseamnă 0,83333 (și apoi triplele se repetă) sau 0,833833 (și apoi 833 se repetă). Prin urmare, înregistrarea cu puncte suspensive nu ne convine: nu este clar de unde începe partea care se repetă (se numește „perioada”). Prin urmare, vom lua perioada între paranteze, astfel: 0, (3); 0,8(3).
0,(3) nu doar egală o treime este există o treime, pentru că am venit în mod special cu această notație pentru a reprezenta acest număr în formă fracție zecimală.
Această intrare este numită o fracție periodică infinită, sau doar o fracție periodică.
Ori de câte ori împărțim un număr la altul, dacă nu obținem o fracție finită, atunci obținem o fracție periodică infinită, adică uneori șirurile de numere vor începe să se repete. De ce este așa poate fi înțeles pur speculativ, analizând cu atenție algoritmul de împărțire după o coloană:
În locurile marcate cu bifă, acestea nu pot fi obținute tot timpul cupluri diferite numere (deoarece există, în principiu, o mulțime finită de astfel de perechi). Și de îndată ce o astfel de pereche apare acolo, care exista deja, diferența va fi și ea aceeași - și atunci întregul proces va începe să se repete. Nu este nevoie să verificați acest lucru, deoarece este destul de evident că atunci când se repetă aceleași acțiuni, rezultatele vor fi aceleași.
Acum că înțelegem bine esență fracție periodică, să încercăm să înmulțim o treime cu trei. Da, se va dovedi, desigur, unul, dar să scriem această fracție în formă zecimală și să înmulțim cu o coloană (ambiguitatea datorată elipsei nu apare aici, deoarece toate numerele după virgulă zecimală sunt aceleași):
Și din nou observăm că nouă, nouă și nouă vor apărea tot timpul după virgulă. Adică, folosind, invers, notația paranteze, obținem 0, (9). Deoarece știm că produsul dintre o treime și trei este o unitate, atunci 0, (9) este o formă atât de bizară de a scrie o unitate. Cu toate acestea, nu este recomandabil să folosiți această formă de notație, deoarece unitatea este scrisă perfect fără a folosi punct, astfel: 1.
După cum puteți vedea, 0,(9) este unul dintre acele cazuri în care un întreg este scris ca o fracție, cum ar fi 3/3 sau 7,0. Adică, 0, (9) este o fracție numai în al doilea sens al cuvântului, dar nu și în primul.
Deci, fără limite și rânduri, ne-am dat seama ce este 0, (9) și cum să-i facem față.
Dar amintiți-vă că, de fapt, suntem deștepți și studiati analize. Într-adevăr, este greu să negi că:
Dar, poate, nimeni nu va contesta faptul că:
Toate acestea sunt, desigur, adevărate. Într-adevăr, 0,(9) este atât suma seriei reduse, cât și a sinusului dublat al unghiului specificat și logaritmul natural numerele lui Euler.
Dar nici una, nici alta, nici a treia nu este o definiție.
A spune că 0,(9) este suma seriei infinite 9/(10 n), când n este mai mare decât unu, este același lucru cu a spune că sinusul este suma seriei infinite Taylor:
Aceasta este destul de bine, și asta este fapt important pentru matematica computațională, dar aceasta nu este o definiție și, cel mai important, nu aduce o persoană mai aproape de înțelegere esență sinusurilor. Esența sinusului unui anumit unghi este că este doar atitudine colțul opus cateter la ipotenuză.
Ei bine, fracția periodică este doar fracție zecimală care rezultă când la împărțirea la o coloană se va repeta același set de numere. Nu există nicio analiză aici.
Și aici se pune întrebarea: unde în general am luat numărul 0,(9)? Ce împărțim la o coloană pentru a obține? Într-adevăr, nu există astfel de numere, la împărțirea între ele într-o coloană, am avea nouă care apar la infinit. Dar am reușit să obținem acest număr înmulțind coloana 0, (3) cu 3? Nu chiar. La urma urmei, trebuie să înmulțiți de la dreapta la stânga pentru a ține cont corect de transferurile de cifre, iar noi am făcut acest lucru de la stânga la dreapta, profitând inteligent de faptul că oricum transferurile nu au loc nicăieri. Prin urmare, legitimitatea scrierii 0,(9) depinde dacă recunoaștem legitimitatea unei astfel de înmulțiri cu o coloană sau nu.
Prin urmare, se poate spune în general că notația 0,(9) este incorectă - și într-o anumită măsură este corectă. Cu toate acestea, deoarece notația a ,(b ) este acceptată, este doar urât să o renunți când b = 9; este mai bine să decideți ce înseamnă o astfel de înregistrare. Deci, dacă acceptăm notația 0,(9), atunci această notație, desigur, înseamnă numărul unu.
Rămâne doar să adăugăm că dacă am folosi, să zicem, un sistem de numere ternar, atunci când împărțim o coloană unitară (1 3) la un triplu (10 3), am obține 0,1 3 (se citește „punctul zero o treime”). , iar când împărțim 1 la 2 ar fi 0,(1) 3 .
Deci periodicitatea unei înregistrări de fracții nu este un fel de caracteristică obiectivă a unui număr de fracții, ci doar prin efect folosind unul sau altul sistem numeric.
După cum se știe, mulțimea numerelor raționale (Q) include mulțimile numerelor întregi (Z), care, la rândul lor, include mulțimea numerelor naturale (N). Pe lângă numerele întregi, numerele raționale includ fracții.
De ce, atunci, întregul set de numere raționale este uneori considerat fracții periodice zecimale infinite? La urma urmei, pe lângă fracții, ele includ numere întregi, precum și fracții neperiodice.
Faptul este că toate numerele întregi, precum și orice fracție, pot fi reprezentate ca o fracție zecimală periodică infinită. Adică, pentru toate numerele raționale, puteți folosi aceeași notație.
Cum este reprezentată o zecimală periodică infinită? În ea, un grup de numere care se repetă după punctul zecimal este luat între paranteze. De exemplu, 1,56(12) este o fracție în care grupul de cifre 12 se repetă, adică fracția are o valoare de 1,561212121212... și așa mai departe fără sfârșit. Un grup repetat de cifre se numește punct.
Totuși, în această formă, putem reprezenta orice număr dacă considerăm ca fiind perioada sa numărul 0, care se repetă și fără sfârșit. De exemplu, numărul 2 este același cu 2,00000.... Prin urmare, poate fi scris ca o fracție periodică infinită, adică 2,(0).
Același lucru se poate face cu orice fracție finită. De exemplu:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Cu toate acestea, în practică, transformarea unei fracții finite într-o fracție periodică infinită nu este utilizată. Prin urmare, fracțiile finite și fracțiile periodice infinite sunt separate. Astfel, este mai corect să spunem că numerele raționale includ
- toate numerele întregi,
- fracții finale,
- fracții periodice infinite.
În același timp, pur și simplu își amintesc că numerele întregi și fracțiile finite pot fi reprezentate teoretic ca fracții periodice infinite.
Pe de altă parte, conceptele de fracții finite și infinite sunt aplicabile fracțiilor zecimale. Dacă vorbim despre fracții obișnuite, atunci atât fracțiile zecimale finite, cât și cele infinite pot fi reprezentate în mod unic ca o fracție obișnuită. Deci, din punctul de vedere al fracțiilor obișnuite, fracțiile periodice și finite sunt una și aceeași. În plus, numerele întregi pot fi reprezentate și ca o fracție comună dacă ne imaginăm că împărțim acest număr la 1.
Cum se reprezintă o fracție periodică infinită zecimală sub forma unui ordinar? Algoritmul cel mai des folosit este:
- Ei aduc fracția la forma astfel încât după virgulă să existe doar o perioadă.
- Înmulțiți o fracție periodică infinită cu 10 sau 100 sau ... astfel încât virgula să se miște la dreapta cu o perioadă (adică o perioadă este în partea întreagă).
- Fracția inițială (a) este echivalată cu variabila x, iar fracția (b) obținută prin înmulțirea cu numărul N este egală cu Nx.
- Scădeți x din Nx. Scădeți a din b. Adică, ele alcătuiesc ecuația Nx - x \u003d b - a.
- La rezolvarea ecuației, se dovedește fracție comună.
Un exemplu de conversie a unei fracții zecimale periodice infinite într-o fracție obișnuită:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x=102
x=
Există o altă reprezentare a numărului rațional 1/2, diferită de reprezentările de forma 2/4, 3/6, 4/8 etc. Ne referim la reprezentarea ca o fracție zecimală de 0,5. Unele fracții au reprezentări zecimale finite, de exemplu,
în timp ce reprezentările zecimale ale altor fracții sunt infinite:
Aceste zecimale infinite pot fi obținute din fracțiile raționale corespunzătoare prin împărțirea numărătorului la numitor. De exemplu, în cazul fracției 5/11, împărțirea a 5.000... la 11 dă 0,454545...
Ce fracții raționale au reprezentări zecimale finite? Înainte de a răspunde la această întrebare în cazul general, luați în considerare exemplu concret. Luați, să zicem, fracția zecimală finală 0,8625. Noi stim aia
și că orice zecimală finită poate fi scrisă ca o zecimală rațională cu un numitor egal cu 10, 100, 1000 sau o altă putere a lui 10.
Reducând fracția de pe dreapta la o fracție ireductibilă, obținem
Numitorul 80 se obține prin împărțirea a 10.000 la 125 - cel mai mare divizor comun 10 000 și 8625. Prin urmare, în extinderea în factori primi numerele 80, ca și numerele 10.000, includ doar doi factori primi: 2 și 5. Dacă am începe nu cu 0,8625, ci cu orice altă fracție zecimală finită, atunci și fracția rațională ireductibilă rezultată ar avea această proprietate. Cu alte cuvinte, descompunerea numitorului b în factori primi ar putea include doar numere prime 2 și 5, deoarece b este un divizor al unei puteri de 10 și . Această împrejurare se dovedește a fi decisivă, și anume, următoarea afirmație generală susține:
O fracție rațională ireductibilă are o reprezentare zecimală finită dacă și numai dacă numărul b nu are divizori primi, personal de la 2 și 5.
Rețineți că în acest caz b nu trebuie să aibă atât 2, cât și 5 printre divizorii primi: poate fi divizibil doar cu unul dintre ei sau nu poate fi divizibil cu ei deloc. De exemplu,
aici b este egal cu 25, 16 și, respectiv, 1. Esențial este că b nu are alți divizori decât 2 și 5.
Propoziția de mai sus conține o expresie dacă și numai dacă. Până acum, doar atunci am dovedit partea care se aplică cifrei de afaceri. Noi am fost cei care am arătat că extinderea unui număr rațional într-o fracție zecimală va fi finită numai dacă b nu are divizori primi alții decât 2 și 5.
(Cu alte cuvinte, dacă b este divizibil cu un număr prim, altul decât 2 și 5, atunci fracție ireductibilă nu are o expresie zecimală finală.)
Partea de propoziție care se referă la cuvânt afirmă atunci că, dacă întregul b nu are alți divizori primi f alții decât 2 și 5, atunci o fracție rațională ireductibilă poate fi reprezentată printr-o fracție zecimală finită. Pentru a demonstra acest lucru, trebuie să luăm un ireductibil arbitrar fracție rațională, pentru care b nu are alți divizori primi în afară de 2 și 5 și asigurați-vă că fracția zecimală corespunzătoare este finită. Să luăm mai întâi un exemplu. Lasa
Pentru a obține o expansiune zecimală, convertim această fracție într-o fracție al cărei numitor este o putere întreagă de zece. Acest lucru se poate realiza prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu:
Discuția de mai sus poate fi extinsă la caz generalîn felul următor. Să presupunem că b are forma , unde tipul este numere întregi nenegative (adică, numere pozitive sau zero). Sunt posibile două cazuri: fie mai puțin decât sau egal (această condiție este scrisă) sau mai mare (care este scrisă). Când înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu
Deja inauntru școală primară elevii au de-a face cu fracțiile. Și apoi apar în fiecare subiect. Este imposibil să uiți acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte sunt simple, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.
De ce sunt necesare fracții?
Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viata de zi cu ziîmpinge în mod constant oamenii să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.
De exemplu, ciocolata constă din mai multe felii. Luați în considerare situația în care țigla sa este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Va fi bine împărțit în trei. Dar cei cinci nu vor putea da un număr întreg de felii de ciocolată.
Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.
Ce este o „fracție”?
Acesta este un număr format din părți ale unuia. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Cel de jos (dreapta) este numitorul.
De fapt, bara fracțională se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.
Care sunt fracțiile?
În matematică, există doar două tipuri de ele: fracții ordinare și zecimale. Scolarii sunt prezentati pentru prima data școală primară, numindu-le pur și simplu „fracții”. Al doilea învață în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.
Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o bară. De exemplu, 4/7. Decimalul este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de întreg printr-o virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să fie clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.
Fiecare fracție simplă poate fi scris ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată în direcție inversă. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca o fracție obișnuită.
Ce subspecii au aceste tipuri de fracții?
Mai bine începe de la ordine cronologica pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.
Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul.
Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul.
Reductibil / ireductibil. Poate fi fie corect, fie greșit. Un alt lucru este important, dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci ar trebui să împartă ambele părți ale fracției, adică să o reducă.
Amestecat. Un număr întreg este atribuit părții sale fracționale obișnuite corecte (incorecte). Și stă mereu în stânga.
Compozit. Este format din două fracții împărțite una în cealaltă. Adică are trei caracteristici fracționale simultan.
Decimalele au doar două subspecii:
finală, adică una în care partea fracționată este limitată (are un capăt);
infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (se pot scrie la nesfârșit).
Cum se transformă zecimal în obișnuit?
Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere bazată pe regulă - după cum aud, așa că scriu. Adică trebuie să-l citiți corect și să îl scrieți, dar fără virgulă, dar cu o linie fracțională.
Ca un indiciu despre numitorul necesar, amintiți-vă că este întotdeauna un unu și câteva zerouri. Acestea din urmă trebuie să fie scrise la fel de multe câte cifrele din partea fracționară a numărului în cauză.
Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă lipsește întreaga lor parte, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Rămâne să notăm doar părțile fracționale. Pentru primul număr, numitorul va fi 10, pentru al doilea - 100. Adică exemplele indicate vor avea numere drept răspunsuri: 9/10, 5/100. Mai mult, acesta din urmă se dovedește a fi posibil să fie redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris 1/20.
Cum se face o fracție obișnuită dintr-o zecimală dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. Ambele exemple citesc partea întreagă și scriu valoarea acesteia. În primul caz, acesta este 5, în al doilea, 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Cu ele este necesar să se efectueze aceeași operațiune. Primul număr are 23/100, al doilea are 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul este așa fractii mixte: 5 23/100 si 13 27/25000.
Cum se transformă o zecimală infinită într-o fracție comună?
Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu poate fi efectuată. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită în finală sau periodică.
Singurul lucru care poate fi făcut cu o astfel de fracție este rotunjirea acesteia. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: conversia în zecimală - nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt traduse în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.
Cum se scrie o fracție periodică infinită sub forma unui ordinar?
În aceste numere, una sau mai multe cifre apar întotdeauna după virgulă, care se repetă. Se numesc perioade. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” în perioada. Ele sunt clasificate ca fiind raționale, deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.
Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracționară începe cu orice numere, iar apoi începe repetarea.
Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită sub forma unei fracții obișnuite va fi diferită pentru aceste două tipuri de numere. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finale, acestea trebuie convertite: scrieți perioada la numărător, iar numărul 9 va fi numitorul, repetându-se de câte ori există cifre în perioadă.
De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să treceți imediat la partea fracțională. Scrieți la numărător 5 și la numitor 9. Adică răspunsul va fi fracția 5/9.
O regulă despre cum să scrieți o fracție zecimală comună care este o fracție mixtă.
Uită-te la durata perioadei. Atât de mult 9 va avea un numitor.
Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.
Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența a două numere. Toate cifrele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Scădere - este fără punct.
De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului este de o cifră. Deci zero va fi unul. Există, de asemenea, o singură cifră în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.
Pentru a determina numărătorul de la 58, trebuie să scădeți 5. Rezultă 53. De exemplu, va trebui să scrieți 53/90 ca răspuns.
Cum sunt convertite fracțiile comune în zecimale?
cu cel mai mult varianta simpla se dovedește că numărul la numitorul căruia este numărul 10, 100 și așa mai departe. Apoi numitorul este pur și simplu aruncat, iar între fracțional și părți întregi se pune o virgulă.
Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Numai că este necesar să înmulțim nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.
Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă va fi utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri: o fracție zecimală finală sau o fracție zecimală periodică.
Operații cu fracții comune
Adunare si scadere
Elevii îi cunosc mai devreme decât alții. Și mai întâi cu fracții aceiași numitori si apoi diferit. Reguli generale poate fi redusă la un astfel de plan.
Aflați cel mai mic multiplu comun al numitorilor.
a arde multiplicatori suplimentari la toate fracțiile obișnuite.
Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii definiți pentru ei.
Adăugați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.
Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflați dacă avem un număr mixt sau o fracție adecvată.
În primul caz, partea întreagă trebuie să ia unul. Adăugați un numitor la numărătorul unei fracții. Și apoi faceți scăderea.
În al doilea - este necesar să se aplice regula scăderii de la un număr mai mic la unul mai mare. Adică, scădeți modulul minuendului din modulul subtraendului și puneți semnul „-” ca răspuns.
Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci ar trebui să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.
Înmulțirea și împărțirea
Pentru implementarea lor, fracțiile nu trebuie reduse la numitor comun. Acest lucru face mai ușor să luați măsuri. Dar ei trebuie să respecte regulile.
La înmulțirea fracțiilor obișnuite, este necesar să se ia în considerare numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au factor comun, atunci ele pot fi reduse.
Înmulțiți numărătorii.
Înmulțiți numitorii.
Dacă obțineți o fracție reductibilă, atunci ar trebui să fie simplificată din nou.
Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu reciproc(schimbați numărătorul și numitorul).
Apoi procedați ca la înmulțire (începând cu pasul 1).
În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris sub forma fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.
Operații cu zecimale
Adunare si scadere
Desigur, puteți transforma întotdeauna o zecimală într-o fracție comună. Și acționează conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.
Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Atribuiți numărul de zerouri lipsă din el.
Scrieți fracții astfel încât virgula să fie sub virgulă.
Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.
Eliminați virgula.
Înmulțirea și împărțirea
Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Se presupune că fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.
Pentru înmulțire, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, fără să acordați atenție virgulelor.
Înmulțiți ca numere naturale.
Puneți o virgulă în răspuns, numărând din partea dreaptă a răspunsului câte cifre sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.
Pentru a împărți, trebuie mai întâi să convertiți divizorul: faceți-l numar natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.
Înmulțiți dividendul cu același număr.
Împărțiți o zecimală la un număr natural.
Puneți o virgulă în răspuns în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.
Ce se întâmplă dacă într-un exemplu există ambele tipuri de fracții?
Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. Există două soluții posibile la aceste probleme. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv numerele și să alegeți cel mai bun.
Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite
Este potrivit dacă, la împărțire sau conversie, se obțin fracții finale. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.
A doua modalitate: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite
Această tehnică este convenabilă dacă există 1-2 cifre în partea de după virgulă zecimală. Dacă sunt mai multe, puteți obține o fracție obișnuită foarte mare și intrări zecimale vă va permite să calculați sarcina mai rapid și mai ușor. Prin urmare, este întotdeauna necesar să evaluăm cu seriozitate sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.
