În această lecție, veți învăța cum să transformați o expresie care conține paranteze într-o expresie care nu conține paranteze. Veți învăța cum să deschideți paranteze precedate de un semn plus și un semn minus. Ne vom aminti cum să deschidem paranteze folosind legea distributivă a înmulțirii. Exemplele luate în considerare vor permite legarea materialelor noi și studiate anterior într-un singur întreg.
Subiect: Rezolvarea ecuațiilor
Lecția: Extinderea parantezelor
Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „+”. Utilizarea legii asociative a adunării.
Dacă trebuie să adăugați suma a două numere la un număr, atunci puteți adăuga primul termen la acest număr și apoi al doilea.
În stânga semnului egal este o expresie cu paranteze, iar în dreapta este o expresie fără paranteze. Aceasta înseamnă că la trecerea din partea stângă a egalității în partea dreaptă, parantezele au fost deschise.
Luați în considerare exemple.
Exemplul 1 
Lărgând parantezele, am schimbat ordinea operațiilor. Numărarea a devenit mai convenabilă.
Exemplul 2 
Exemplul 3
Rețineți că în toate cele trei exemple, pur și simplu am eliminat parantezele. Să formulăm regula:
Cometariu.
Dacă primul termen dintre paranteze este nesemnat, atunci trebuie scris cu semnul plus.
Puteți urma exemplul pas cu pas. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune mentală poate fi efectuată, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că ordinea schimbată a operațiilor va simplifica foarte mult calculele.
Dacă urmați ordinea indicată a acțiunilor, atunci trebuie mai întâi să scădeți 345 din 512, apoi să adăugați la rezultat 1345. Prin extinderea parantezelor, vom schimba ordinea acțiunilor și vom simplifica foarte mult calculele.
Exemplu și regulă ilustrative.
Luați în considerare un exemplu: . Puteți găsi valoarea expresiei adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Primim -7.
Pe de altă parte, același rezultat poate fi obținut prin adăugarea numerelor opuse.
Să formulăm regula:
Exemplul 1 
Exemplul 2
Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze.
Exemplul 3 
Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor.
Pentru a deschide paranteze, acest caz amintiți-vă proprietatea distributivă.
În primul rând, înmulțiți prima paranteză cu 2 și a doua cu 3.
Prima paranteză este precedată de semnul „+”, ceea ce înseamnă că semnele trebuie lăsate neschimbate. Al doilea este precedat de un semn „-”, prin urmare, toate semnele trebuie inversate
Bibliografie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
- Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Indemnizatie pentru elevii de clasa a VI-a scoala de corespondenta MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual interlocutor pentru clasele 5-6 liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.
- Teste online de matematică ().
- Le puteți descărca pe cele specificate în clauza 1.2. cărți ().
Teme pentru acasă
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vezi linkul 1.2)
- Tema pentru acasă: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
- Alte sarcini: nr. 1258(c), nr. 1248
În această lecție, veți învăța cum să transformați o expresie care conține paranteze într-o expresie care nu conține paranteze. Veți învăța cum să deschideți paranteze precedate de un semn plus și un semn minus. Ne vom aminti cum să deschidem paranteze folosind legea distributivă a înmulțirii. Exemplele luate în considerare vor permite legarea materialelor noi și studiate anterior într-un singur întreg.
Subiect: Rezolvarea ecuațiilor
Lecția: Extinderea parantezelor
Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „+”. Utilizarea legii asociative a adunării.
Dacă trebuie să adăugați suma a două numere la un număr, atunci puteți adăuga primul termen la acest număr și apoi al doilea.
În stânga semnului egal este o expresie cu paranteze, iar în dreapta este o expresie fără paranteze. Aceasta înseamnă că la trecerea din partea stângă a egalității în partea dreaptă, parantezele au fost deschise.
Luați în considerare exemple.
Exemplul 1
Lărgând parantezele, am schimbat ordinea operațiilor. Numărarea a devenit mai convenabilă.
Exemplul 2
Exemplul 3
Rețineți că în toate cele trei exemple, pur și simplu am eliminat parantezele. Să formulăm regula:
Cometariu.
Dacă primul termen dintre paranteze este nesemnat, atunci trebuie scris cu semnul plus.
Puteți urma exemplul pas cu pas. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune mentală poate fi efectuată, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că ordinea schimbată a operațiilor va simplifica foarte mult calculele.
Dacă urmați ordinea indicată a acțiunilor, atunci trebuie mai întâi să scădeți 345 din 512, apoi să adăugați la rezultat 1345. Prin extinderea parantezelor, vom schimba ordinea acțiunilor și vom simplifica foarte mult calculele.
Exemplu și regulă ilustrative.
Luați în considerare un exemplu: . Puteți găsi valoarea expresiei adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Primim -7.
Pe de altă parte, același rezultat poate fi obținut prin adăugarea numerelor opuse.
Să formulăm regula:
Exemplul 1
Exemplul 2
Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze.
Exemplul 3
Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor.
Pentru a deschide parantezele, în acest caz, trebuie să reamintim proprietatea distributivă.
În primul rând, înmulțiți prima paranteză cu 2 și a doua cu 3.
Prima paranteză este precedată de semnul „+”, ceea ce înseamnă că semnele trebuie lăsate neschimbate. Al doilea este precedat de un semn „-”, prin urmare, toate semnele trebuie inversate
Bibliografie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
- Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.
- Teste online de matematică ().
- Le puteți descărca pe cele specificate în clauza 1.2. cărți ().
Teme pentru acasă
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vezi linkul 1.2)
- Tema pentru acasă: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
- Alte sarcini: nr. 1258(c), nr. 1248
Extinderea bracket-ului este un tip de transformare a expresiei. În această secțiune, vom descrie regulile de extindere a parantezelor și vom lua în considerare cele mai comune exemple de probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ce este extinderea parantezei?
Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii numerice și alfabetice, precum și în expresii cu variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la identic expresie egală fara paranteze. De exemplu, înlocuiți expresia 2 (3 + 4) cu o expresie ca 2 3 + 2 4 fara paranteze. Această tehnică se numește deschidere a parantezei.
Definiția 1
Sub deschiderea parantezelor, ne referim la metodele de a scăpa de paranteze și sunt de obicei luate în considerare în raport cu expresii care pot conține:
- semnele „+” sau „-” în fața parantezelor care conțin sume sau diferențe;
- produsul unui număr, literă sau mai multor litere și suma sau diferența, care este plasată între paranteze.
Acesta este modul în care obișnuiam să luăm în considerare procesul de extindere a parantezelor în curs curiculumul scolar. Cu toate acestea, nimeni nu ne împiedică să privim această acțiune mai larg. Putem numi extinderea parantezei tranziția de la o expresie care conține numere negative în paranteze la o expresie care nu are paranteze. De exemplu, putem trece de la 5 + (− 3) − (− 7) la 5 − 3 + 7 . De fapt, aceasta este și extinderea parantezei.
În același mod, putem înlocui produsul expresiilor din paranteze de forma (a + b) · (c + d) cu suma a · c + a · d + b · c + b · d . De asemenea, această tehnică nu contrazice sensul extinderii parantezelor.
Iată un alt exemplu. Putem presupune că în expresii, în loc de numere și variabile, se pot folosi orice expresii. De exemplu, expresia x 2 1 a - x + sin (b) va corespunde unei expresii fără paranteze de forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .
Încă un punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile soluțiilor de scriere la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca egalitate. De exemplu, după deschiderea parantezelor, în locul expresiei 3 − (5 − 7) obținem expresia 3 − 5 + 7 . Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
Efectuarea de acțiuni cu expresii greoaie poate necesita scris rezultate intermediare. Atunci soluția va avea forma unui lanț de egalități. De exemplu, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 sau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Reguli pentru deschiderea parantezelor, exemple
Să începem cu regulile de deschidere a parantezelor.
Numerele simple între paranteze
Numerele negative dintre paranteze apar adesea în expresii. De exemplu, (− 4) și 3 + (− 4) . Au loc și numere pozitive între paranteze.
Să formulăm regula pentru deschiderea parantezelor care conțin numere pozitive simple. Să presupunem că a este orice număr pozitiv. Apoi putem înlocui (a) cu a, + (a) cu + a, - (a) cu - a. Dacă în loc de a luăm un anumit număr, atunci conform regulii: numărul (5) se va scrie ca 5 , expresia 3 + (5) fără paranteze va lua forma 3 + 5 , deoarece + (5) este înlocuit cu + 5 , iar expresia 3 + (− 5) este echivalentă cu expresia 3 − 5 , deoarece + (− 5) este înlocuit cu − 5 .
Numerele pozitive sunt scrise de obicei fără a folosi paranteze, deoarece parantezele sunt redundante în acest caz.
Acum luați în considerare regula pentru deschiderea parantezelor care conțin un singur număr negativ. + (−a) inlocuim cu − a, − (− a) se înlocuiește cu + a . Dacă expresia începe cu un număr negativ (-A), care este scris între paranteze, apoi parantezele sunt omise și în loc de (-A) ramane − a.
Aici sunt cateva exemple: (− 5) poate fi scris ca − 5 , (− 3) + 0 , 5 devine − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) devine 4 − 3 , iar − (− 4) − (− 3) după deschiderea parantezelor ia forma 4 + 3 , deoarece − (− 4) și − (− 3) se înlocuiește cu + 4 și + 3 .
Trebuie înțeles că expresia 3 · (− 5) nu poate fi scrisă ca 3 · − 5. Acest lucru va fi discutat în paragrafele următoare.
Să vedem pe ce se bazează regulile de extindere a parantezei.
Conform regulii, diferența a − b este egală cu a + (− b) . Pe baza proprietăților acțiunilor cu numere, putem face un lanț de egalități (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a care va fi corect. Acest lanț de egalități, în virtutea sensului de scădere, demonstrează că expresia a + (− b) este diferența a-b.
Pe baza proprietăților numere opuseși regulile de scădere numere negative putem afirma că − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Există expresii care sunt formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Utilizarea regulilor de mai sus vă permite să scăpați secvențial de paranteze, trecând de la parantezele interioare la cele exterioare sau în direcție inversă. Un exemplu de astfel de expresie ar fi − (− ((− (5)))) . Să deschidem parantezele, deplasându-ne din interior spre exterior: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Acest exemplu poate fi analizat și invers: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Sub Ași b poate fi înțeles nu numai ca numere, ci și ca numeric arbitrar sau expresii literale cu un „+” în față care nu sunt sume sau diferențe. În toate aceste cazuri, puteți aplica regulile în același mod ca și noi numere simpleîn paranteze.
De exemplu, după deschiderea parantezelor, expresia − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) ia forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Cum am făcut-o? Știm că − (− 2 x) este + 2 x , și deoarece această expresie vine mai întâi, atunci + 2 x poate fi scris ca 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x și − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
În produsele a două numere
Să începem cu regula pentru extinderea parantezelor în produsul a două numere.
Să ne prefacem că A iar b este doi numere pozitive. În acest caz, produsul a două numere negative − ași − b de forma (− a) (− b) poate fi înlocuit cu (a b) , iar produsele a două numere cu semne opuse de forma (− a) b şi a (− b) se înlocuiesc cu (− a b). Înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus, dă un minus.
Corectitudinea primei părți a regulii scrise este confirmată de regula de înmulțire a numerelor negative. Pentru a confirma a doua parte a regulii, putem folosi regulile de înmulțire a numerelor cu semne diferite.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1
Se consideră algoritmul de deschidere a parantezelor în produsul a două numere negative - 4 3 5 și - 2 , de forma (- 2) · - 4 3 5 . Pentru a face acest lucru, înlocuim expresia originală cu 2 · 4 3 5 . Să extindem parantezele și să obținem 2 · 4 3 5 .
Și dacă luăm câtul numerelor negative (− 4) : (− 2) , atunci înregistrarea după deschiderea parantezelor va arăta ca 4: 2
În loc de numere negative − ași − b pot fi orice expresii cu semnul minus care nu sunt sume sau diferențe. De exemplu, acestea pot fi produse, parțiale, fracții, grade, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometrice etc.
Să deschidem parantezele din expresia - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Conform regulii, putem face următoarele transformări: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Expresie (− 3) 2 poate fi convertit la expresia (− 3 2) . După aceea, puteți deschide parantezele: − 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
Împărțirea numerelor cu semne diferite poate necesita, de asemenea, extinderea preliminară a parantezelor: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 și 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
Regula poate fi folosită pentru a efectua înmulțirea și împărțirea expresiilor cu semne diferite. Să dăm două exemple.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2
În produsele a trei sau mai multe numere
Să trecem la produs și la coeficienti, care conțin cantitate mare numerele. Pentru extinderea parantezei, aici se va acționa următoarea regulă. Cu un număr par de numere negative, puteți omite parantezele, înlocuind numerele cu opuse. După aceea, trebuie să includeți expresia rezultată între paranteze noi. Pentru un număr impar de numere negative, omițând parantezele, înlocuiți numerele cu opuse. După aceea, expresia rezultată trebuie luată între paranteze noi și pune semnul minus în fața ei.
Exemplul 2
De exemplu, să luăm expresia 5 · (− 3) · (− 2) , care este produsul a trei numere. Există două numere negative, așa că putem scrie expresia ca (5 3 2) și apoi deschideți în cele din urmă parantezele, obținând expresia 5 3 2 .
În produsul (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinci numere sunt negative. deci (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . În cele din urmă, deschizând parantezele, obținem −2,5 3:2 4:1.25:1.
Regula de mai sus poate fi justificată după cum urmează. În primul rând, putem rescrie astfel de expresii ca un produs, înlocuind prin înmulțirea cu număr reciproc Divizia. Reprezentăm fiecare număr negativ ca produs al unui multiplicator și înlocuim - 1 sau - 1 cu (− 1) a.
Folosind proprietatea comutativă a înmulțirii, schimbăm factorii și transferăm toți factorii egali cu − 1 , până la începutul expresiei. Produsul unui număr par minus uni este egal cu 1, iar un număr impar este egal cu − 1 , care ne permite să folosim semnul minus.
Dacă nu am folosi regula, atunci lanțul de acțiuni pentru deschiderea parantezelor în expresia - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 ar arăta astfel:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Regula de mai sus poate fi folosită la extinderea parantezelor în expresii care sunt produse și coeficiente cu semnul minus care nu sunt sume sau diferențe. Luați de exemplu expresia
x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .
Poate fi redusă la o expresie fără paranteze x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Paranteze de deschidere precedate de semnul +
Luați în considerare o regulă care poate fi aplicată pentru a extinde parantezele care sunt precedate de un semn plus, iar „conținutul” acestor paranteze nu este înmulțit sau împărțit cu niciun număr sau expresie.
Conform regulii, parantezele împreună cu semnul din fața lor sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt păstrate. Dacă nu există niciun semn în fața primului termen între paranteze, atunci trebuie să puneți un semn plus.
Exemplul 3
De exemplu, dăm expresia (12 − 3 , 5) − 7 . Omitând parantezele, păstrăm semnele termenilor din paranteze și punem semnul plus înaintea primului termen. Intrarea va arăta ca (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . În exemplul de mai sus, nu este necesar să puneți un semn în fața primului termen, deoarece + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Exemplul 4
Să luăm în considerare încă un exemplu. Luați expresia x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x și efectuați acțiuni cu ea x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Iată un alt exemplu de extindere a parantezei:
Exemplul 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
Cum se extinde parantezele precedate de un semn minus
Luați în considerare cazurile în care există un semn minus în fața parantezelor și care nu sunt înmulțite (sau împărțite) cu niciun număr sau expresie. Conform regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul „-”, parantezele cu semnul „-” sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt inversate.
Exemplul 6
De exemplu:
1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
Expresiile variabile pot fi convertite folosind aceeași regulă:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
obținem x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .
Deschiderea parantezelor la înmulțirea unui număr cu o paranteză, expresii cu o paranteză
Aici vom lua în considerare cazurile în care este necesar să deschidem paranteze care sunt înmulțite sau împărțite cu orice număr sau expresie. Aici formule de forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) sau b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), Unde a 1 , a 2 , … , a nși b sunt niște numere sau expresii.
Exemplul 7
De exemplu, să extindem parantezele din expresie (3 − 7) 2. Conform regulii, putem face următoarele transformări: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Se obține 3 · 2 − 7 · 2 .
Extinderea parantezelor din expresia 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obținem 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Înmulțiți o paranteză cu o paranteză
Se consideră produsul a două paranteze de forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Acest lucru ne va ajuta să obținem o regulă pentru extinderea parantezelor atunci când înmulțim o paranteză cu o paranteză.
Pentru a rezolva exemplul de mai sus, notăm expresia (b 1 + b 2) ca b. Acest lucru ne va permite să folosim regula de multiplicare a parantezei-expresie. Se obține (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Făcând o înlocuire inversă b pe (b 1 + b 2), se aplică din nou regula de înmulțire a expresiei cu paranteză: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Datorită unui număr de trucuri simple, putem ajunge la suma produselor fiecăruia dintre termenii din prima paranteză și fiecare dintre termenii din a doua paranteză. Regula poate fi extinsă la orice număr de termeni dintre paranteze.
Să formulăm regulile de înmulțire a parantezelor cu paranteze: pentru a înmulți două sume între ele, este necesar să înmulțim fiecare dintre termenii primei sume cu fiecare dintre termenii celei de-a doua sume și să adunăm rezultatele.
Formula va arăta astfel:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Să extindem parantezele din expresia (1 + x) · (x 2 + x + 6) Este un produs al două sume. Să scriem soluția: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Separat, merită să insistăm asupra cazurilor în care există un semn minus între paranteze împreună cu semnele plus. De exemplu, să luăm expresia (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
În primul rând, reprezentăm expresiile dintre paranteze ca sume: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Acum putem aplica regula: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3))) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))
Să extindem parantezele: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
Extinderea parantezelor în produse din mai multe paranteze și expresii
Dacă există trei sau mai multe expresii între paranteze în expresie, este necesar să extindeți parantezele succesiv. Este necesar să începem transformarea cu faptul că primii doi factori sunt luați între paranteze. În interiorul acestor paranteze, putem efectua transformări conform regulilor discutate mai sus. De exemplu, parantezele din expresia (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .
Expresia conține trei factori simultan (2 + 4) , 3 și (5 + 7 8) . Vom extinde parantezele secvenţial. Închidem primii doi factori în încă una dintre paranteze, pe care le vom face roșu pentru claritate: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
În conformitate cu regula înmulțirii unei paranteze cu un număr, putem efectua următoarele acțiuni: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Înmulțiți paranteză cu paranteză: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Paranteză în natură
Puteri ale căror baze sunt niște expresii scrise între paranteze, cu indicatori naturali poate fi gândit ca un produs al mai multor paranteze. Mai mult, conform regulilor din cele două paragrafe precedente, acestea pot fi scrise fără aceste paranteze.
Luați în considerare procesul de transformare a expresiei (a + b + c) 2 . Poate fi scris ca un produs din două paranteze (a + b + c) (a + b + c). Înmulțim paranteză cu paranteză și obținem a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .
Să luăm un alt exemplu:
Exemplul 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Împărțirea unei paranteze la un număr și a unei paranteze la o paranteză
Împărțirea unei paranteze cu un număr sugerează că trebuie să împărțiți la număr toți termenii cuprinsi între paranteze. De exemplu, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Împărțirea poate fi înlocuită preliminar prin înmulțire, după care puteți folosi regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor din produs. Aceeași regulă se aplică la împărțirea unei paranteze la o paranteză.
De exemplu, trebuie să deschidem parantezele din expresia (x + 2): 2 3 . Pentru a face acest lucru, înlocuiți mai întâi împărțirea prin înmulțirea cu reciproca lui (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Înmulțiți paranteza cu numărul (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Iată un alt exemplu de împărțire în paranteză:
Exemplul 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Să înlocuim împărțirea cu înmulțirea: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Să facem înmulțirea: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Ordinea de extindere a suportului
Acum luați în considerare ordinea de aplicare a regulilor discutate mai sus în expresii vedere generala, adică în expresii care conţin sume cu diferenţe, produse cu câte, paranteze în natură.
Ordinea acțiunilor:
- primul pas este ridicarea parantezelor la o putere naturală;
- la a doua etapă, parantezele sunt deschise în lucrări și private;
- pasul final este deschiderea parantezelor în sume și diferențe.
Luați în considerare ordinea acțiunilor folosind exemplul expresiei (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Să transformăm din expresiile 3 (− 2) : (− 4) și 6 (− 7) , care ar trebui să ia forma (3 2:4)și (− 6 7) . Înlocuind rezultatele obținute în expresia originală, obținem: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Extindeți parantezele: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Când aveți de-a face cu expresii care conțin paranteze în paranteze, este convenabil să efectuați transformări din interior spre exterior.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Continui o serie de articole metodologice pe tema predării. Este timpul să luăm în considerare caracteristicile munca individuala tutore de matematică cu elevi de clasa a VII-a. Cu mare plăcere îmi voi împărtăși gândurile despre formele de depunere a unuia dintre subiecte majore curs de algebră în clasa a 7-a - „paranteze de deschidere”. Pentru a nu încerca să îmbrățișăm imensitatea, să ne concentrăm asupra ei scoala elementarași analizați metodologia tutorelui cu înmulțirea unui polinom cu un polinom. Cum profesor de matematică valabil în situatii dificile, când student slab nu percepe formă clasică explicatii? Ce sarcini ar trebui pregătite pentru un elev puternic de clasa a șaptea? Să luăm în considerare aceste și alte întrebări.
S-ar părea, ei bine, ce este atât de dificil? „Parantezele sunt ușoare”, va spune orice student bun. „Există o lege distributivă și proprietăți ale gradelor pentru lucrul cu monomii, un algoritm general pentru orice număr de termeni. Înmulțiți fiecare cu fiecare și aduceți similar. Cu toate acestea, nu totul este atât de simplu în a lucra cu cei care au rămas în urmă. În ciuda eforturilor profesorului de matematică, elevii reușesc să facă greșeli de diferite calibre chiar și în cele mai simple transformări. Natura erorilor este izbitoare prin diversitatea sa: de la mici omisiuni de litere și semne, până la „erori de oprire” grave.
Ce îl împiedică pe elev să efectueze corect transformările? De ce există neînțelegeri?
Există probleme individuale mare multime iar unul dintre principalele obstacole în calea asimilării și consolidării materialului este dificultatea de a comuta în timp util și rapid a atenției, dificultatea de a procesa o cantitate mare de informații. Ar putea părea ciudat pentru unii despre care vorbesc volum mare, dar un elev slab din clasa a 7-a poate să nu aibă suficiente resurse de memorie și atenție nici măcar pentru patru trimestre. Coeficienții, variabilele, grade (indicatorii) interferează. Elevul confundă succesiunea operațiilor, uită care monomii au fost deja înmulțite și care au rămas neatinse, nu-și poate aminti cum sunt înmulțite etc.
Abordarea numerică a profesorului de matematică
Desigur, trebuie să începeți cu o explicație a logicii construirii algoritmului în sine. Cum să o facă? Trebuie să setăm sarcina: cum să schimbăm ordinea acțiunilor în expresie 
fara a schimba rezultatul? Destul de des dau exemple care explică funcționarea anumitor reguli pe anumite numere. Și apoi le înlocuiesc cu litere. Tehnica de utilizare abordare numerică vor fi descrise mai jos.
Probleme de motivare.
La începutul lecției, un tutore de matematică este dificil să adune un elev dacă nu înțelege relevanța a ceea ce se studiază. În cadrul programului pentru clasele 6-7, este greu de găsit exemple de utilizare a regulii înmulțirii polinomiale. Aș sublinia nevoia de a învăța schimba ordinea acțiunilor în expresii Faptul că acest lucru ajută la rezolvarea problemelor, studentul ar trebui să știe din experiența adăugării. termeni similari. De asemenea, a trebuit să le adauge la rezolvarea ecuațiilor. De exemplu, în 2x+5x+13=34 el folosește acel 2x+5x=7x. Un profesor de matematică trebuie doar să concentreze atenția elevului asupra acestui lucru.
Profesorii de matematică numesc adesea tehnica de deschidere a parantezei regulă fântână.
Această imagine este bine amintită și trebuie folosită. Dar cum se dovedește această regulă? Amintiți-vă forma clasică folosind transformări evidente de identitate:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Este dificil pentru un profesor de matematică să comenteze ceva aici. Scrisorile vorbesc de la sine. Da, și nu este nevoie de un elev puternic de clasa a 7-a explicatii detaliate. Totuși, ce să faci cu cei slabi, care nu vede niciun conținut în această „mișcătură alfabetică”?
Principala problemă care împiedică perceperea justificării matematice clasice a „fântânii” este forma neobișnuită de a scrie primul factor. Nici în clasa a V-a, nici în clasa a VI-a elevul nu a fost nevoit să tragă prima paranteză la fiecare trimestru al celui de-al doilea. Copiii s-au ocupat doar de numere (coeficienți), situate, cel mai adesea, în stânga parantezelor, de exemplu:
Până la sfârșitul clasei a VI-a, elevul se dezvoltă Imagine vizuală obiect - o anumită combinație de semne (acțiuni) asociate cu paranteze. Și orice abatere de la privirea obișnuită către ceva nou poate dezorienta un elev de clasa a șaptea. Este imaginea vizuală a perechii „număr + paranteză” pe care profesorul de matematică o ia în circulație atunci când explică.
Se poate oferi următoarea explicație. Tutorul argumentează: „Dacă în fața parantezei era un număr, de exemplu 5, atunci am putea schimba cursul acțiuniiîn această expresie? Desigur. Hai să o facem atunci 
. Gândiți-vă dacă rezultatul său se va schimba dacă în loc de numărul 5 introducem suma 2 + 3 cuprinsă între paranteze? Orice student îi va spune tutorelui: „Ce diferență are cum se scrie: 5 sau 2 + 3”. Minunat. Obțineți o înregistrare. Profesorul de matematică face o scurtă pauză, astfel încât elevul să-și amintească vizual imaginea-imagine a obiectului. Apoi îi atrage atenția asupra faptului că paranteza, ca și numărul, „s-a distribuit” sau „a sărit” la fiecare termen. Ce inseamna asta? Înseamnă că această operațiune poate fi efectuat nu numai cu un număr, ci și cu o paranteză. Avem două perechi de factori și . Cu ei majoritatea elevii pot face față cu ușurință singuri și pot scrie rezultatul tutorelui. Este important să comparați perechile rezultate cu conținutul parantezelor 2+3 și 6+4 și va deveni clar cum se deschid.
Dacă este necesar, după exemplul cu numere, profesorul de matematică efectuează o demonstrație literală. Se dovedește a fi o plimbare prin aceleași părți ale algoritmului anterior.
Formarea abilității de a deschide paranteze
Formarea abilității de a înmulți paranteze este una dintre repere munca unui tutore la matematică cu o temă. Și chiar mai important decât etapa explicării logicii regulii „fântânii”. De ce? Justificările transformărilor vor fi uitate chiar a doua zi, iar priceperea, dacă se formează și se fixează în timp, va rămâne. Elevii efectuează operația mecanic, ca și cum ar extrage din memorie tabla înmulțirii. Acesta este ceea ce trebuie realizat. De ce? Dacă de fiecare dată când elevul deschide parantezele, își va aminti de ce o deschide așa și nu altfel, va uita de problema pe care o rezolvă. De aceea, profesorul de matematică petrece restul lecției pentru a transforma înțelegerea în memorare. Această strategie este adesea folosită și în alte subiecte.
Cum poate un profesor să dezvolte abilitatea de a deschide paranteze la un student? Pentru a face acest lucru, un elev de clasa a VII-a trebuie să efectueze o serie de exerciții în cantitate suficientă pentru a se consolida. Acest lucru ridică o altă problemă. Un elev slab de clasa a șaptea nu poate face față numărului crescut de transformări. Chiar și cele mici. Și greșelile continuă să vină una după alta. Ce ar trebui să facă un profesor de matematică? În primul rând, este necesar să recomandăm să pictați săgeți de la fiecare termen fiecăruia. Dacă elevul este foarte slab și nu este capabil să treacă rapid de la un tip de lucru la altul, își pierde concentrarea atunci când execută comenzi simple de la profesor, atunci profesorul de matematică desenează el însuși aceste săgeți. Și nu toate deodată. În primul rând, tutorele conectează primul termen din paranteza stângă cu fiecare termen din paranteza dreaptă și cere să efectueze înmulțirea corespunzătoare. Abia după aceea, săgețile trec de la al doilea termen la aceeași paranteză dreaptă. Cu alte cuvinte, tutorele împarte procesul în două etape. Este mai bine să mențineți o mică pauză temporară (5-7 secunde) între prima și a doua operație.
1) Un set de săgeți trebuie trasat deasupra expresiilor și un alt set sub ele.
2) Este important să săriți cel puțin între rânduri două celule. În caz contrar, înregistrarea va fi foarte densă, iar săgețile nu numai că vor urca pe linia anterioară, ci se vor amesteca și cu săgețile de la următorul exercițiu.
3) În cazul înmulțirii parantezelor în format 3 cu 2, se trasează săgeți de la paranteza scurtă la cea lungă. Altfel, aceste „fântâni” nu vor fi două, ci trei. Implementarea celui de-al treilea este vizibil mai complicată din cauza lipsei de spațiu liber pentru săgeți.
4) săgețile sunt întotdeauna îndreptate dintr-un punct. Unul dintre elevii mei a tot încercat să le pună unul lângă altul și iată ce a făcut:
Un astfel de aranjament nu permite evidențierea și fixarea termenului curent, cu care studentul lucrează la fiecare dintre etape.
Munca degetelor tutorelui
4) Pentru a menține atenția un cuplu separat termeni înmulțiți, profesorul de matematică pune două degete pe ei. Acest lucru trebuie făcut în așa fel încât să nu blocheze vederea elevului. Pentru elevii cei mai neatenți, puteți folosi metoda „pulsării”. Profesorul de matematică aduce primul deget la începutul săgeții (la unul dintre termeni) și îl fixează, iar cu al doilea „ciocăni” la capăt (la al doilea termen). Pulsația ajută la concentrarea atenției asupra termenului prin care elevul se înmulțește. După ce se face prima înmulțire cu paranteza dreaptă, profesorul de matematică spune: „Acum lucrăm cu un alt termen”. Profesorul mută un „deget fix” pe acesta, iar „pulsând” trece peste termenii dintr-o altă paranteză. Pulsația funcționează ca un „semnal de direcție” într-o mașină și vă permite să adunați atenția unui elev absent asupra operației pe care o conduce. Dacă copilul scrie mic, atunci se folosesc două creioane în loc de degete.
Optimizarea repetitiei
Ca și în studiul oricărui alt subiect în cursul algebrei, înmulțirea polinoamelor poate și ar trebui să fie integrată cu materialul tratat anterior. Pentru a face acest lucru, profesorul de matematică folosește sarcini speciale de tip punte care vă permit să găsiți aplicarea celor studiate în diverse obiecte matematice. Ele nu numai că conectează subiectele într-un singur întreg, ci și organizează foarte eficient repetarea întregului curs de matematică. Și cu cât tutorul construiește mai multe punți, cu atât mai bine.
În mod tradițional, în manualele de algebră pentru clasa a 7-a, deschiderea parantezelor este integrată cu soluția ecuatii lineare. La sfârșitul listei de numere există întotdeauna sarcini de următoarea ordine: rezolvarea ecuației. La deschiderea parantezelor, pătratele sunt reduse, iar ecuația se rezolvă ușor cu ajutorul clasei 7. Cu toate acestea, dintr-un motiv oarecare, autorii manualelor uită în siguranță despre trasarea unui grafic al unei funcții liniare. Pentru a corecta acest neajuns, aș sfătui profesorii de matematică să includă paranteze expresii analitice funcții liniare, de exemplu . În astfel de exerciții, elevul nu numai că își antrenează abilitățile de conducere transformări identice, dar repetă și graficele. Puteți cere să găsiți punctul de intersecție a doi „monstri”, determinați aranjament reciproc linii, găsiți punctele de intersecție a acestora cu axele etc.
Kolpakov A.N. Profesor de matematică în Strogino. Moscova
A + (b + c) poate fi scris fără paranteze: a + (b + c) \u003d a + b + c. Această operație se numește extindere a parantezei.
Exemplul 1 Să deschidem parantezele din expresia a + (- b + c).
Soluţie. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
Dacă există un semn „+” înainte de paranteze, atunci puteți omite parantezele și acest semn „+”, păstrând semnele termenilor din paranteze. Dacă primul termen dintre paranteze este scris fără semn, atunci trebuie scris cu semnul „+”.
Exemplul 2 Să găsim valoarea expresii -2,87+ (2,87-7,639).
Soluţie. Deschizând parantezele, obținem - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.
Pentru a găsi valoarea expresiei - (- 9 + 5), trebuie să adăugați numerele-9 și 5 și găsiți numărul opus sumei primite: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Aceeași valoare poate fi obținută într-un mod diferit: mai întâi scrieți numerele opuse acestor termeni (adică schimbați-le semnele), apoi adăugați: 9 + (- 5) = 4. Astfel, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Pentru a scrie suma opusă sumei mai multor termeni, este necesară schimbarea semnelor acestor termeni.
Deci - (a + b) \u003d - a - b.
Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 16 - (10 -18 + 12).
Soluţie. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, trebuie să înlocuiți acest semn cu „+”, schimbând semnele tuturor termenilor din paranteze cu cele opuse, apoi deschideți parantezele.
Exemplul 4 Să găsim valoarea expresiei 9,36-(9,36 - 5,48).
Soluţie. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.
Parantezele de deschidere și utilizarea comutativelor și proprietăți asociative adaosuri ușurează calculele.
Exemplul 5 Aflați valoarea expresiei (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Soluţie. Mai întâi, deschidem parantezele, apoi găsim separat suma tuturor numerelor pozitive și separat suma tuturor numerelor negative și, în final, adunăm rezultatele:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Exemplul 6 Găsiți valoarea expresiei
Soluţie.În primul rând, reprezentăm fiecare termen ca suma părților lor întregi și fracționale, apoi deschidem parantezele, apoi adăugăm întregul și separat fracționat părți și, în final, rezumă rezultatele:
Cum deschizi parantezele precedate de semnul „+”? Cum puteți găsi valoarea unei expresii care este opusă sumei mai multor numere? Cum se deschide parantezele precedate de semnul „-”?
1218. Extindeți parantezele:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Aflați valoarea expresiei:
1220. Extindeți parantezele:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a + (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Extindeți parantezele și găsiți valoarea expresiei:
1222. Simplificați expresia:
1223. Scrie Cantitate două expresii și simplificați-l:
a) - 4 - m și m + 6,4; d) a + b și p - b
b) 1,1+a şi -26-a; e) - m + n și -k - n;
c) a + 13 şi -13 + b; e)m - n și n - m.
1224. Scrieți diferența dintre două expresii și simplificați-o:
1226. Folosiți ecuația pentru a rezolva problema:
a) Pe un raft sunt 42 de cărți, iar pe celălalt 34. Mai multe cărți au fost scoase de pe al doilea raft, și câte au rămas pe al doilea din primul. După aceea, pe primul raft au rămas 12 cărți. Câte cărți au fost luate de pe al doilea raft?
b) La clasa I sunt 42 de elevi, cu 3 elevi mai puțin la a doua decât la a treia. Câți elevi sunt în clasa a treia dacă sunt 125 de elevi în aceste trei clase?
1227. Aflați valoarea expresiei:
1228. Calculați oral:
1229. Găsiţi cea mai mare valoare expresii:
1230. Introduceți 4 numere întregi consecutive dacă:
a) cel mai mic dintre ele este egal cu -12; c) cel mai mic dintre ele este egal cu n;
b) cea mai mare dintre ele este egală cu -18; d) cel mai mare dintre ele este egal cu k.
