Practica USE și GIA de anul trecut arată că problemele de geometrie provoacă dificultăți pentru mulți studenți. Le poți face față cu ușurință dacă memorezi totul formulele necesareși exersați rezolvarea problemelor.

În acest articol, veți vedea formule pentru găsirea zonei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Aceleași vă pot întâlni în KIM-uri la examenele de certificare sau la olimpiade. Prin urmare, tratați-le cu atenție.

Ce trebuie să știi despre trapez?

Pentru început, să ne amintim asta trapez numit patrulater care are două părți opuse, se mai numesc si baze, sunt paralele, iar celelalte doua nu.

Într-un trapez, înălțimea (perpendiculară pe bază) poate fi, de asemenea, omisă. Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele care se pot intersecta, formând ascuțite și unghiuri obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, în el poate fi înscris un cerc. Și descrie un cerc în jurul lui.

Formulele zonei trapezului

Pentru a începe, luați în considerare formule standard găsirea ariei unui trapez. Modalitățile de calculare a aria trapezelor isoscele și curbilinie vor fi luate în considerare mai jos.

Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în ​​care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calcularea ariei unei figuri în acest caz este ușor. Trebuie doar să împărțiți cu două suma lungimilor bazelor și să înmulțiți ceea ce se întâmplă cu înălțimea: S = 1/2(a + b)*h.

Să luăm un alt caz: să presupunem că pe lângă înălțime, trapezul are o linie mediană m. Cunoaștem formula pentru aflarea lungimii liniei mediane: m = 1/2(a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următorul fel: S = m * h. Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să înmulțiți linia mediană cu înălțimea.

Să luăm în considerare încă o opțiune: diagonalele d 1 și d 2 sunt desenate într-un trapez, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să înjumătățiți produsul diagonalelor și să înmulțiți ceea ce obțineți cu păcatul unghiului dintre ele: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Este voluminos și formula complexa, dar vă va fi util să vă amintiți pentru orice eventualitate: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula zonei trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură se învecinează cu bazele în unghi drept.

Trapez isoscel

Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe variante ale formulei zonei trapez isoscel.

Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în interiorul unui trapez isoscel, iar latura laterală și baza mai mare formează colt ascutit A. Un cerc poate fi înscris într-un trapez cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți totul cu sinα: S = 4r2/sinα. O altă formulă de zonă este un caz special pentru opțiunea când unghiul dintre baza mare și latură este 30 0: S = 8r2.

A doua variantă: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care, în plus, sunt desenate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2(a + b). Știind acest lucru, este ușor să convertiți formula zonei trapezoidale deja cunoscute în această formă: S = h2.

Formula pentru aria unui trapez curbiliniu

Să începem prin a înțelege: ce este un trapez curbiliniu. Imaginează-ți o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și nenegative f care nu își schimbă semnul în un segment dat pe axa x. Un trapez curbiliniu este format din graficul funcției y \u003d f (x) - în partea de sus, axa x - în partea de jos (segment), iar pe laturi - linii drepte trasate între punctele a și b și grafic a functiei.

Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de figuri nestandard folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplici analiză matematicăși folosiți integrala. Și anume, formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). În această formulă, F este antiderivată a funcției noastre pe intervalul selectat. Și pătratul trapez curbiliniu corespunde incrementului antiderivatei pe segmentul dat.

Exemple de sarcini

Pentru a face toate aceste formule mai bune în capul tău, iată câteva exemple de probleme pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine ar fi să încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi să verificați răspunsul primit cu soluția gata făcută.

Sarcina 1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, cealaltă de 9 cm.

Soluție: Construiți un AMRS trapez. Desenați o linie PX prin vârful P, astfel încât să fie diagonală paralelă MC și a trecut linia AC în punctul X. Obțineți triunghiul ARCH.

Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMPX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MP = 4 cm. Unde putem calcula latura AX a triunghiului ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

De asemenea, putem demonstra că triunghiul ARCH este dreptunghic (pentru a face acest lucru, aplicați teorema lui Pitagora - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Și calculați aria sa: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

În continuare, trebuie să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale ca suprafață. Baza va fi egalitatea laturilor MP și CX (deja demonstrată mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.

Toate acestea vă vor permite să afirmați că S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Sarcina #2: Având în vedere un KRMS trapez. Punctele O și E sunt situate pe laturile sale laterale, în timp ce OE și KS sunt paralele. De asemenea, se știe că zonele trapezului ORME și OXE sunt în raport de 1:5. PM = a și KS = b. Trebuie să găsești un OE.

Rezolvare: Desenați o dreaptă prin punctul M paralel cu RK și desemnați punctul său de intersecție cu OE ca T. A - punctul de intersecție al dreptei trasate prin punctul E paralel cu RK cu baza lui KS.

Să mai introducem o notație - OE = x. La fel și înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți demonstra în mod independent asemănarea acestor triunghiuri).

Vom presupune că b > a. Aricele trapezelor ORME și OXE sunt legate ca 1:5, ceea ce ne dă dreptul de a elabora următoarea ecuație: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combinați ambele intrări și obțineți: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Astfel, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Concluzie

Geometria nu este cea mai ușoară dintre științe, dar cu siguranță poți face față sarcini de examen. Este nevoie doar de puțină răbdare pentru pregătire. Și, bineînțeles, amintiți-vă de toate formulele necesare.

Am încercat să colectăm într-un singur loc toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și repetați materialul.

Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor despre acest articol în retele sociale. Lăsa note bune vor fi mai multe pentru USE și GIA!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

În viața noastră, de foarte multe ori trebuie să ne confruntăm cu aplicarea geometriei în practică, de exemplu, în construcții. Printre cele mai comune forme geometrice se numără un trapez. Și pentru ca proiectul să fie de succes și frumos, este necesar un calcul corect și precis al elementelor pentru o astfel de cifră.

Ce este patrulater convex, care are o pereche de laturi paralele, numite bazele unui trapez. Dar există alte două părți care leagă aceste baze. Se numesc laterale. Una dintre întrebările referitoare la această cifră este: „Cum să găsim înălțimea trapezului?” Este imediat necesar să acordați atenție faptului că înălțimea este un segment care determină distanța de la o bază la alta. Există mai multe modalități de a determina această distanță, în funcție de valorile cunoscute.

1. Sunt cunoscute valorile ambelor baze, le notăm b și k, precum și aria acestui trapez. Folosind valori cunoscute, este foarte ușor să găsiți înălțimea trapezului în acest caz. După cum se știe din geometrie, se calculează ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea. Din această formulă, puteți obține cu ușurință valoarea dorită. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți zona la jumătate din suma bazelor. Sub formă de formulă, ar arăta astfel:

S=((b+k)/2)*h, deci h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Se cunoaște lungimea liniei mediane, să o notăm d, și aria. Pentru cei care nu știu, numesc linia de mijloc distanța dintre punctele de mijloc ale laturilor. Cum să găsiți înălțimea trapezului în acest caz? După proprietatea trapezului, linia de mijloc corespunde cu jumătate din suma bazelor, adică d=(b+k)/2. Din nou, folosim formula zonei. Înlocuind jumătate din suma bazelor cu valoarea liniei mediane, obținem următoarele:

După cum puteți vedea, este foarte ușor să obțineți înălțimea din formula rezultată. Împărțind zona la valoarea liniei mediane, găsim valoarea dorită. Să scriem această formulă:

3. Se cunosc lungimea unei laturi (b) si unghiul format intre aceasta latura si cea mai mare baza. Răspunsul la întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez este și în acest caz. Să considerăm un trapez ABCD, unde AB și CD sunt laturi și AB=b. Cel mai mare motiv este AD. Unghiul format de AB și AD va fi notat cu α. Din punctul B coborâm înălțimea h până la baza AD. Acum luați în considerare triunghiul rezultat ABF, care este un triunghi dreptunghic. Latura AB este ipotenuza iar BF este catetul. Din proprietatea unui triunghi dreptunghic, raportul dintre valoarea catetei și valoarea ipotenuzei corespunde sinusului unghiului opus catetei (BF). Prin urmare, pe baza celor de mai sus, pentru a calcula înălțimea trapezului, înmulțim valoarea latura cunoscuta iar sinusul unghiului α. Sub formă de formulă, arată astfel:

4. În mod similar, se consideră cazul dacă se cunosc mărimea laturii și unghiul, să o notăm cu β, care se formează între această latură și baza mai mică. La rezolvarea unei astfel de probleme, unghiul dintre latura laterală cunoscută și înălțimea desenată va fi de 90 ° - β. Din proprietățile triunghiurilor - raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza corespunde cosinusului unghiului situat între ele. Din această formulă este ușor de obținut valoarea înălțimii:

h = b *cos(β-90°)

5. Cum se află înălțimea unui trapez dacă se cunoaște doar raza cercului înscris? Din definiția unui cerc, atinge un punct pe fiecare bază. În plus, aceste puncte sunt pe aceeași linie cu centrul cercului. De aici rezultă că distanța dintre ele este diametrul și, în același timp, înălțimea trapezului. Arata asa:

6. Adesea există probleme în care este necesar să se găsească înălțimea unui trapez isoscel. Amintiți-vă că un trapez cu laturile egale se numește isoscel. Cum se află înălțimea unui trapez isoscel? La diagonale perpendiculareînălțimea este jumătate din suma bazelor.

Dar dacă diagonalele nu sunt perpendiculare? Să considerăm un trapez isoscel ABCD. După proprietățile sale, bazele sunt paralele. De aici rezultă că și unghiurile de la baze vor fi egale. Să desenăm două înălțimi BF și CM. Pe baza celor de mai sus, se poate argumenta că triunghiurile ABF și DCM sunt egale, adică AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Acum, pe baza condiției problemei, vom va decide cantități cunoscute, și numai atunci găsim înălțimea, ținând cont de toate proprietățile unui trapez isoscel.

Trapez se numeste patrulater doar doi laturile sunt paralele între ele.

Ele sunt numite bazele figurii, restul - părțile laterale. Un paralelogram este considerat un caz special al unei figuri. Există, de asemenea, un trapez curbiliniu, care include un grafic al funcției. Formulele pentru aria unui trapez includ aproape toate elementele sale și Cea mai bună decizie selectate în funcție de valorile date.
Rolurile principale în trapez sunt atribuite înălțimii și liniei mediane. linia de mijloc- aceasta este o linie care leagă punctele medii ale laturilor. Înălţime trapezul este ținut în unghi drept de colțul de sus până la bază.
Aria unui trapez prin înălțime este egală cu produsul dintre jumătate din suma lungimilor bazelor, înmulțit cu înălțimea:

Dacă linia mediană este cunoscută în funcție de condiții, atunci această formulă este mult simplificată, deoarece este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor:

Dacă, conform condițiilor, sunt date lungimile tuturor laturilor, atunci putem lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez prin aceste date:

Să presupunem că ni se oferă un trapez cu bazele a = 3 cm, b = 7 cm și laturile c = 5 cm, d = 4 cm. găsiți zona cifre:

Aria unui trapez isoscel

Un caz separat este un trapez isoscel sau, așa cum se mai numește, un trapez isoscel.
Un caz special este, de asemenea, găsirea ariei unui trapez isoscel (isoscel). Formula derivată căi diferite- prin diagonale, prin unghiurile adiacente bazei și raza cercului înscris.
Dacă lungimea diagonalelor este specificată de condiții și unghiul dintre ele este cunoscut, puteți folosi următoarea formulă:

Amintiți-vă că diagonalele unui trapez isoscel sunt egale între ele!

Adică, cunoscând una dintre bazele, latura și unghiul lor, puteți calcula cu ușurință aria.

Aria unui trapez curbiliniu

Un caz separat este trapez curbiliniu. Este situat pe axa de coordonate și este limitat la un grafic al unei funcții pozitive continue.

Baza sa este situată pe axa X și este limitată la două puncte:
Integrale ajută la calcularea ariei unui trapez curbiliniu.
Formula se scrie astfel:

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez curbiliniu. Formula necesită anumite cunoștințe pentru a lucra cu anumite integrale. Mai întâi, să analizăm valoarea integralei definite:

Aici F(a) este valoarea funcția antiderivată f(x) la punctul a , F(b) este valoarea aceleiași funcții f(x) la punctul b .

Acum să rezolvăm problema. Figura prezintă un trapez curbiliniu mărginit de o funcție. Funcţie
Trebuie să găsim aria figurii selectate, care este un trapez curbiliniu, mărginit în partea de sus de un grafic, în dreapta este o linie dreaptă x = (-8), în stânga este o linie dreaptă x = ( -10) iar axa OX este mai jos.
Vom calcula aria acestei figuri folosind formula:

Ni se oferă o funcție de condițiile problemei. Potrivit ei noi afla valorile antiderivat la fiecare dintre punctele noastre:


Acum
Răspuns: aria unui trapez curbiliniu dat este 4.

Nu este nimic dificil în calcularea acestei valori. Doar cea mai mare grijă în calcule este importantă.

ȘI . Acum putem începe să luăm în considerare întrebarea cum să găsim aria unui trapez. Această sarcină în viața de zi cu zi apare foarte rar, dar uneori se dovedește a fi necesar, de exemplu, să găsiți zona unei camere sub formă de trapez, care este din ce în ce mai folosită în construcția de apartamente moderne, sau în proiecte de proiectare de renovare.

Trapezul este figură geometrică, format din patru segmente care se intersectează, dintre care două sunt paralele între ele și se numesc bazele unui trapez. Celelalte două segmente se numesc laturile trapezului. În plus, vom avea nevoie de o altă definiție mai târziu. Aceasta este linia mediană a trapezului, care este un segment care leagă punctele medii ale laturilor și înălțimea trapezului, care este egală cu distanța dintre baze.
La fel ca triunghiurile, un trapez are anumite tipuri sub forma unui trapez isoscel (isoscel), în care lungimile laturilor sunt aceleași, și a unui trapez dreptunghiular, în care una dintre laturi formează un unghi drept cu bazele.

Trapezele au câteva proprietăți interesante:

1. Linia mediană a unui trapez este jumătate din suma bazelor și este paralelă cu acestea.
   
2. Trapezele isoscele au laturile și unghiurile egale pe care le formează cu bazele.
   
3. Punctele medii ale diagonalelor unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt pe aceeași linie dreaptă.
   
4. Dacă suma laturilor unui trapez este egală cu suma bazelor, atunci poate fi înscris un cerc în el
   
5. Dacă suma unghiurilor formate de laturile unui trapez la oricare dintre bazele sale este 90, atunci lungimea segmentului care leagă punctele medii ale bazelor este egală cu jumătatea diferenței acestora.
   
6. Un trapez isoscel poate fi descris printr-un cerc. Si invers. Dacă un trapez este înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
   
7. Segmentul care trece prin punctele medii ale bazelor unui trapez isoscel va fi perpendicular pe bazele acestuia și reprezintă axa de simetrie.
   

Cum să găsiți aria unui trapez.

Aria unui trapez va fi jumătate din suma bazelor sale înmulțită cu înălțimea sa. Sub forma unei formule, aceasta este scrisă ca o expresie:

unde S este aria trapezului, a,b este lungimea fiecărei baze ale trapezului, h este înălțimea trapezului.

Puteți înțelege și aminti această formulă după cum urmează. După cum rezultă din figura de mai jos, un trapez folosind linia mediană poate fi transformat într-un dreptunghi, a cărui lungime va fi egală cu jumătate din suma bazelor.

De asemenea, puteți descompune orice trapez în mai multe figuri simple: un dreptunghi și unul sau două triunghiuri, iar dacă vă este mai ușor, atunci găsiți aria trapezului ca suma ariilor figurilor sale constitutive.

Mai este unul formulă simplă pentru a-i calcula aria. Potrivit acestuia, aria trapezului este egală cu produsul liniei sale mediane și înălțimea trapezului și se scrie astfel: S \u003d m * h, unde S este aria, m este lungimea lui linia mediană, h este înălțimea trapezului. Această formulă mai potrivit pentru probleme de matematică decât pentru sarcinile de zi cu zi, deoarece în conditii reale nu veți ști lungimea liniei mediane fără calcule preliminare. Și veți ști doar lungimile bazelor și laturilor.

În acest caz, aria trapezului poate fi găsită folosind formula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

unde S-area, a,b-baze, laturile c,d trapez.

Există mai multe moduri de a găsi aria unui trapez. Dar, sunt la fel de incomod ca ultima formulă, ceea ce înseamnă că nu are sens să ne oprim asupra lor. Prin urmare, vă recomandăm să utilizați prima formulă din articol și să vă dorim să obțineți întotdeauna rezultate exacte.

Un trapez este un patrulater de relief, în care două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două sunt neparalele. Dacă toate laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, atunci acesta este un paralelogram.

Vei avea nevoie

• - toate laturile trapezului (AB, BC, CD, DA).

Instruire

1. neparalelă laturi trapez se numesc laturi laterale, iar paralele - baze. Linia dintre baze, perpendiculară pe acestea - înălțimea trapez. Dacă partea laturi trapez egal, se numește isoscel. Să ne uităm mai întâi la soluția pentru trapez, care nu este isoscel.

2. Desenați linia BE de la punctul B la baza inferioară AD paralel cu latura trapez CD. Deoarece BE și CD sunt paralele și desenate între baze paralele trapez BC și DA, atunci BCDE este un paralelogram și contrariile lui laturi BE și CD sunt egale. BE=CD.

3. Luați în considerare triunghiul ABE. Calculați partea AE. AE=AD-ED. Fundamente trapez BC și AD sunt cunoscute, iar în paralelogram BCDE sunt opuse laturi ED și BC sunt egale. ED=BC, deci AE=AD-BC.

4. Acum aflați aria triunghiului ABE folosind formula lui Heron calculând semiperimetrul. S=rădăcină(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). În această formulă, p este semiperimetrul triunghiului ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Pentru a calcula suprafața, cunoașteți toate datele necesare: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Exprimați din această formulă înălțimea triunghiului, care este și înălțimea trapez. BH=2*S/AE. Calculați-o.

7. Dacă trapezul este isoscel, decizia poate fi executată într-un mod diferit. Luați în considerare triunghiul ABH. Este dreptunghiular deoarece unul dintre colțuri, BHA, este drept.

8. Desenați înălțimea CF de la vârful C.

9. Examinați cifra HBCF. Dreptunghi HBCF, din faptul că sunt două laturi sunt înălțimile și celelalte două sunt bazele trapez, adică unghiurile sunt drepte și opuse laturi sunt paralele. Aceasta înseamnă că BC=HF.

10. Uita-te la triunghiuri dreptunghiulare ABH și FCD. Colțurile la înălțimile BHA și CFD sunt drepte, iar colțurile laterale laturi x BAH și CDF sunt egale deoarece trapezul ABCD este isoscel, deci triunghiurile sunt similare. Deoarece înălțimile BH și CF sunt fie laterale laturi isoscel trapez AB și CD sunt egale, apoi triunghiuri similare sunt de asemenea egale. Deci lor laturi AH și FD sunt de asemenea egale.

11. Detectează AH. AH+FD=AD-HF. Deoarece dintr-un paralelogram HF=BC, iar din triunghiuri AH=FD, atunci AH=(AD-BC)*1/2.

Un trapez este o figură geometrică, care este un patrulater în care două laturi, numite baze, sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele. Se numesc laturi. trapez. Segmentul trasat prin punctele medii ale laturilor se numește linie mediană. trapez. Trapezul poate avea diverse lungimi laturi sau identice, caz în care se numește isoscel. Dacă una dintre laturi este perpendiculară pe bază, atunci trapezul va fi dreptunghiular. Dar este mult mai practic să știi să detectezi pătrat trapez .

Vei avea nevoie

• Riglă cu diviziuni milimetrice

Instruire

1. Măsurați toate părțile trapez: AB, BC, CD și DA. Notați rezultatele măsurătorilor dvs.

2. Pe segmentul AB, marcați mijlocul - punctul K. Pe segmentul DA, marcați punctul L, care se află și în mijlocul segmentului AD. Combinați punctele K și L, segmentul rezultat KL va fi linia de mijloc trapez ABCD. Măsurați segmentul KL.

3. De sus trapez- dor C, coboară perpendiculara pe baza sa AD sau segmentul CE. El va fi înălțimea trapez ABCD. Măsurați segmentul CE.

4. Numim segmentul KL litera m, iar segmentul CE litera h, atunci pătrat S trapez Calculați ABCD folosind formula: S=m*h, unde m este linia mediană trapez ABCD, h - înălțime trapez ABCD.

5. Există o altă formulă care vă permite să calculați pătrat trapez ABCD. Baza de jos trapez Să numim AD litera b, iar baza superioară BC - litera a. Aria este determinată de formula S=1/2*(a+b)*h, unde a și b sunt baze trapez, h - înălțime trapez .

Videoclipuri asemănătoare

Sfat 3: Cum să găsiți înălțimea unui trapez dacă cunoașteți zona

Un trapez este un patrulater în care două din cele patru laturi sunt paralele între ele. Laturile paralele sunt baza pentru aceasta trapez, în timp ce celelalte două sunt laturi laterale ale datei trapez. descoperi înălţime trapez, dacă se cunoaște zona lui, va fi foarte ușor.

Instruire

1. Trebuie să ne dăm seama cum este permis să calculăm aria inițialei trapez. Există mai multe formule pentru aceasta, în funcție de datele inițiale: S = ((a + b) * h) / 2, unde a și b sunt lungimile bazelor trapez, iar h este înălțimea sa (Înălțimea trapez- o perpendiculară căzută de la o bază trapez la altul); S \u003d m * h, unde m este linia de mijloc trapez(Linia de mijloc este un segment paralel cu bazele trapezși conectând punctele medii ale laturilor sale).

2. Acum, știind formulele de calcul al suprafeței trapez, este permis să se extragă altele noi din ele, să se găsească înălțimea trapez:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Pentru a fi mai clar cum se rezolvă probleme similare, este permis să vedem exemple: Exemplul 1: Având în vedere un trapez a cărui aria este de 68 cm ?, a cărui linie medie este de 8 cm înălţime dat trapez. Pentru a decide aceasta sarcina, trebuie să utilizați formula derivată anterior: h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 8,5 cm Exemplul 2: Fie trapez aria este de 120 cm ?, lungimile bazelor unui dat trapez sunt de 8 cm, respectiv 12 cm, este necesar să se detecteze înălţime acest trapez. Pentru a face acest lucru, aplicați una dintre formulele derivate: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Răspuns: înălțimea datei trapez egal cu 12 cm

Videoclipuri asemănătoare

Notă!
Orice trapez are un număr de proprietăți: - linia de mijloc a trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor sale; - segmentul care leagă diagonalele trapezului este egal cu jumătate din diferența bazelor sale; - dacă o linie dreaptă este trasat prin punctele medii ale bazelor, apoi va intersecta punctul de intersecție al diagonalelor trapezului; - este permisă înscrierea unui cerc într-un trapez dacă suma bazelor acestui trapez este egală cu suma acestuia. laturi.Utilizați aceste proprietăți atunci când rezolvați probleme.

Sfat 4: Cum să găsiți înălțimea unui triunghi având în vedere coordonatele punctelor

Înălțimea într-un triunghi este un segment de linie dreaptă care leagă partea de sus a figurii cu latura opusă. Acest segment trebuie să fie cu siguranță perpendicular pe latură, în consecință, din orice vârf este permis să se deseneze doar unul înălţime. Din faptul că există trei vârfuri în această figură, există tot atâtea înălțimi în ea. Dacă triunghiul este dat de coordonatele vârfurilor sale, calculul lungimii oricăreia dintre înălțimi se poate face, să zicem, folosind formula pentru găsirea ariei și calcularea lungimii laturilor.

Instruire

1. Pe baza calculelor, aria triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii fiecăreia dintre laturile sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură. Din această definiție rezultă că, pentru a găsi înălțimea, trebuie să cunoașteți aria figurii și lungimea laturii.

2. Începeți prin a calcula lungimile laturilor triunghi. Desemnați coordonatele vârfurilor figurii după cum urmează: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) și C(X?,Y?,Z?). Apoi puteți calcula lungimea laturii AB folosind formula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Pentru celelalte 2 laturi, aceste formule vor arata astfel: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) si AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Să zicem pentru triunghi cu coordonatele A(3,5,7), B(16,14,19) și C(1,2,13) ​​​​lungimea laturii AB este ?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Lungimile laturilor BC și AC, calculate prin aceeași metodă, vor fi egale cu? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 și ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. Abilitățile lungimilor de 3 laturi obținute în pasul anterior sunt suficiente pentru a calcula suprafața triunghi(S) după formula lui Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Să spunem, după înlocuirea valorilor obținute din coordonatele în această formulă triunghi-exemplu din pasul anterior, această formulă va da următoarea valoare: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ??*75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. În funcție de zonă triunghi, calculate în pasul precedent, iar lungimile laturilor obținute în pasul al doilea, se calculează înălțimile pentru fiecare dintre laturi. Deoarece aria este egală cu jumătate din produsul înălțimii și lungimea laturii pe care este desenată, pentru a găsi înălțimea, împărțiți de două ori suprafața la lungimea laturii dorite: H \u003d 2 * S / a. Pentru exemplul folosit mai sus, înălțimea coborâtă pe latura AB va fi 2 * 68,815 / 16,09? 8.55, înălțimea până la latura BC va avea o lungime de 2 * 68.815 / 20.12? 6,84, iar pentru partea AC, această valoare va fi egală cu 2 * 68,815 / 7? 19.66.