Când studiezi algebra în scoala de invatamant general(Clasa 9) unul dintre subiecte importante este studiul secvențe de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și formule de bază, care va fi folosit în continuare în rezolvarea problemelor.

Aritmetică sau este un astfel de set de numere raționale ordonate, fiecare membru al cărora diferă de cel precedent printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să luăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Vom oferi acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind o progresie aritmetică. Notează prin simbol a n al-lea membru secvențe în care n este un număr întreg. Să notăm diferența Literă latină d. Atunci următoarele expresii sunt adevărate:

1. Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1)*n/2.

Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul în cauză sunt construite pe utilizarea lor. De asemenea, nu uitați că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1 .

Exemplul #1: Găsirea unui membru necunoscut

Dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru rezolvare.

Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să găsim cinci termeni în ea.

Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

1. Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, s-ar putea lua oricare alți doi termeni, stând în apropiereîmpreună. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d \u003d a n - a n-1, apoi d \u003d a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 \u003d a 4 + d. Substitui valori cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați, așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele soluții duc la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare deoarece fiecare termen succesiv este mai mic decât cel anterior.

Exemplul #2: diferența de progresie

Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu despre cum să găsim diferența unei progresii aritmetice.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să se găsească diferența și să se restabilească această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Înlocuim datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 \u003d 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, s-a răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili o secvență de până la 7 termeni, ar trebui să folosiți definiția progresie algebrică, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 și 7 = 18.

Exemplul #3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum trebuie să răspundeți la întrebarea cum să găsiți o progresie aritmetică. poate conduce exemplul următor: se dau două numere, de exemplu, - 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică astfel încât să se mai pună trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Deoarece vor mai exista trei termeni între ei, apoi un 1 \u003d -4 și un 5 \u003d 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la o sarcină similară celei anterioare. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De la: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aici nu am primit o valoare întreagă a diferenței, dar este Numar rational, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u, 50 care a coincis cu starea problemei.

Exemplul #4: primul membru al progresiei

Continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să aflăm de la ce număr începe această succesiune.

Formulele care au fost folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste cifre în starea problemei. Cu toate acestea, să scriem expresiile pentru fiecare termen despre care avem informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Avem două ecuații în care 2 cantități necunoscute(a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Sistemul specificat este cel mai ușor de rezolvat dacă exprimați un 1 în fiecare ecuație și apoi comparați expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de unde diferența d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru a 1 . De exemplu, mai întâi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea membru al progresiei, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. O mică eroare se datorează faptului că în calcule a fost utilizată rotunjirea la miimi.

Exemplul #5: Sumă

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să fie dat progresie numerică următorul fel: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologia calculatoarelor puteți rezolva această problemă, adică adăugați secvențial toate numerele, care Mașină de calcul va face de îndată ce persoana apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece în începutul XVIII al secolului, celebrul german, încă la vârsta de doar 10 ani, a putut să o rezolve în minte în câteva secunde. Băiatul nu știa formula sumei unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adaugi perechi de numere situate la marginile șirului, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul #6: suma termenilor de la n la m

O alta un exemplu tipic suma unei progresii aritmetice este următoarea: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați care va fi suma membrilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvenţial. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma unei progresii algebrice între termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce doriți să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, și despărțit sarcină comunăîn subsarcini separate (în acest caz mai întâi găsiți termenii a n și a m).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea acestuia, așa cum s-a procedat în unele dintre exemplele date. Cum să găsești o progresie aritmetică, am aflat. Odată ce îți dai seama, nu este atât de greu.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Progresie aritmetică- aceasta este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât precedentul cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indici de litere, al n-lea membru al progresiei, diferența progresiei - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie progresie aritmetica, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât cel precedent. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Aici era: fiecare numărul de progresie stă la locul ei. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le încurci la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în subiect nou apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.

unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga la Al patrulea bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică poate pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 la precedentul.

Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior, acestea. opt:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!

Cum să înregistrați o progresie în vedere generala? Nici o problemă! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).

Sunt progresii finit și infinit.

final progresia are cantitate limitata membrii. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

LA abreviere va trebui să specificați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.

Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:

1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Transferăm sarcina către limbaj inteligibil. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Inlocuim in expresie a 2 = 5și d=-2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai puțin de o secundă. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 pe celebru secund. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă, doar, căutarea unui membru al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această derivare simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor curs şcolar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul trei principale parametri: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Tot.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, luați în considerare unele sarcini populare pe această temă.

2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.

Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne de scris răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?

Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.

Raspuns: nu.

Și aici este o problemă bazată pe versiune reală GIA:

4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; cincisprezece; X; 9; 6; ...

Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem a sti din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da este! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci X poate fi găsit cu ușurință simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.

7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.

8. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.

10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; patru.

S-a rezolvat totul? Minunat! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai multe nivel inalt, în lecțiile următoare.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În secțiunea specială 555, toate aceste puzzle-uri sunt sortate după oase.) Și, desigur, un simplu tehnica practica, care evidentiaza imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, la vedere!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - pur prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Acesta arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai dificile. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?

Poţi.) Dacă nu ştii o formulă simplă, conform căruia puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Instruire

O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Pasul numărul d progresii.Evident, totalul unui n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresii are forma: An = A1+(n-1)d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresii, membru progresii si pas progresii, poate fi , adică numărul termenului de progresie. Evident, acesta va fi determinat prin formula n = (An-A1+d)/d.

Să fie cunoscut al-lea termen acum progresiiși un alt membru progresii- n-a, dar n , ca în cazul precedent, dar se știe că n și m nu se potrivesc.Pas progresii poate fi calculată prin formula: d = (An-Am)/(n-m). Atunci n = (An-Am+md)/d.

Dacă suma mai multor elemente ale unei aritmetici progresii, precum și primul și ultimul său , atunci se poate determina și numărul acestor elemente.Suma aritmeticii progresii va fi egal cu: S = ((A1+An)/2)n. Atunci n = 2S/(A1+An) sunt chdenov progresii. Folosind faptul că An = A1+(n-1)d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Din aceasta se poate exprima n prin rezolvare ecuație pătratică.

O secvență aritmetică este un astfel de set ordonat de numere, fiecare membru al căruia, cu excepția primului, diferă de cel precedent cu aceeași cantitate. Acest constant se numește diferența progresiei sau pasul acesteia și poate fi calculată din membrii cunoscuți ai progresiei aritmetice.

Instruire

Dacă din condițiile problemei se cunosc valorile primului și celui de-al doilea sau a oricărei alte perechi de termeni învecinați, pentru a calcula diferența (d), pur și simplu scădeți termenul anterior din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie pozitivă, fie număr negativ- depinde dacă progresia este în creștere. LA forma generala scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de membri vecini ai progresiei astfel: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pentru o pereche de membri ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este oricare altul ales arbitrar, se poate face și o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, numărul de serie (i) al unui membru arbitrar ales al secvenței trebuie să fie cunoscut. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unu. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Dacă, pe lângă un membru arbitrar al progresiei aritmetice cu numărul ordinal i, se cunoaște un alt membru cu numărul ordinal u, modificați în mod corespunzător formula din pasul anterior. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțită la diferența lor numere de serie: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula de calcul a diferenței (d) devine ceva mai complicată dacă, în condițiile problemei, se dă valoarea primului său membru (a₁) și suma (Sᵢ) unui număr dat (i) al primilor membri. succesiune aritmetică. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de termeni care o compun, scădeți valoarea primului număr din succesiune și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de termeni care au alcătuit suma redusă cu unu. În general, notați formula de calcul a discriminantului după cum urmează: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ce punctul principal formule?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Desigur, trebuie să știi primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri, nu puteți nota o anumită progresie.

Nu este suficient să memorezi (sau să înșeli) această formulă. Este necesar să-i asimilezi esența și să aplici formula în diverse probleme. Și nu uitați momentul potrivit, Dar cum nu uita- Nu stiu. Dar cum să-ți amintești Dacă este nevoie, vă dau un indiciu. Pentru cei care stăpânesc lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne ocupăm de formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general - ne imaginăm.) Ce este o progresie aritmetică, un număr de membru, o diferență de progresie - este clar menționat în lecția anterioară. Aruncă o privire dacă nu l-ai citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce al-lea membru.

Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - din un 120.

Cum se definește în general orice membru al unei progresii aritmetice, s orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta e al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Sub litera n toate numerele de membri sunt ascunse simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...

Această intrare ne oferă Unealtă puternică pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și o grămadă de sarcini de rezolvat în progresie. Vei vedea mai departe.

În formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- primul membru al progresiei aritmetice;

n- numarul membrului.

Formula leagă parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dși n. În jurul acestor parametri, toate puzzle-urile se învârt în progresie.

Formula a n-a termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, în problemă se poate spune că progresia este dată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate chiar deruta... Nu există serie, nicio diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor să ne dăm seama că în această progresie a 1 \u003d 5 și d \u003d 2.

Și poate fi și mai supărat!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, da, deschide parantezele si da altele asemanatoare? Obținem o nouă formulă:

an = 3 + 2n.

aceasta Numai că nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se află capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul membru este un cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În sarcinile pentru progresie, există o altă notație - un n+1. Acesta este, ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei, al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm pentru un n al cincilea termen, atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 apare în formule recursive. Nu-ți fie frică de asta cuvânt groaznic!) Acesta este doar un mod de a exprima un termen al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind formula recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Și cum să numărăm imediat, să spunem al douăzecilea termen, un 20? Dar în niciun caz!) În timp ce al 19-lea termen nu este cunoscut, al 20-lea nu poate fi numărat. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recursivă și formula celui de-al n-lea termen. Recursivul funcționează numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen - prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Nu numărând întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, o formulă recursivă poate fi ușor transformată într-una obișnuită. Numără o pereche de termeni consecutivi, calculează diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma obișnuită și lucrați cu ea. În GIA, astfel de sarcini sunt adesea găsite.

Aplicarea formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Pentru a începe, luați în considerare aplicare directă formule. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației progresiei aritmetice. Adăugați, da adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. O poți cronometra.) Noi decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Rămâne de văzut ce n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Aici scriem:

Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuiți toate numerele din formulă și calculați:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Cam despre asta e. La fel de repede s-ar putea găsi al cinci sute al zecelea membru și al miei și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit la indexul literei " A"și între paranteze și luăm în considerare.

Permiteți-mi să vă reamintesc esența: această formulă vă permite să găsiți orice termenul unei progresii aritmetice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Să rezolvăm problema mai inteligent. Să presupunem că avem următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n) dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă propun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți de mână, chiar în caiet:

a n = a 1 + (n-1)d

Și acum, uitându-ne la literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Totul? Dacă crezi că asta e tot, atunci nu poți rezolva problema, da...

Avem și un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doua variante. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea membru (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „lucru” alunecă adesea pe lângă cap, iar fără el, (fără „lucru”, nu cap!) Problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să-l punem în:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Asta, în esență, este tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să calculați. Primești răspunsul: a 1 = 6.

O astfel de tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - ajută foarte mult la sarcini simple. Ei bine, trebuie, desigur, să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...

O altă problemă populară:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n) dacă a 1 =2; a 15 =12.

Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Luați în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (evidențiere specială!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți în formula:

12=2 + (15-1)d

Să facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcini a n, a 1și d hotărât. Rămâne să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este membru al unei progresii aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n este un membru al progresiei cu numărul n... Și acest membru al progresiei îl cunoaștem! Este 99. Nu-i știm numărul. n, deci trebuie găsit și acest număr. Înlocuiți termenul de progresie 99 în formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe aceeași temă, dar mai creativă):

Determinați dacă numărul 117 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există opțiuni? Hm... De ce avem nevoie de ochi?) Vedem primul membru al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 \u003d -3,6. Diferență d se poate determina din serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de a face cu un număr necunoscut nși un număr de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul de progresie. Dar aici nici nu știm că... Cum să fim!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Pornește Abilități creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da-da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie tragem? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între al 101-lea și al 102-lea membru. Dacă numărul s-a dovedit a fi natural, de ex. întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

Sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

Progresia aritmetică este dată de condiția:

a n \u003d -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru, se înșeală fatal!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al unei progresii aritmetice în el ascuns. Nimic, îl vom găsi acum.)

La fel ca în sarcinile anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

În mod similar, căutăm al zecelea termen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Cam despre asta e.

Și acum, pentru cei care au citit până la aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă, GIA sau Examenul Unificat de Stat, ai uitat formula utila al-lea membru al unei progresii aritmetice. Ceva îmi vine în minte, dar cumva nesigur... Fie n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar sigur și decizia corectă este suficient!) Pentru concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a progresiei aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Noi desenăm axa numericași marcați-l pe primul. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notează diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: cu ce este egal al doilea termen? Al doilea unu d:

A 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.

A 3 =a 1 + 2 d

Ai inteles? Nu degeaba scot în evidență câteva cuvinte cu aldine. Bine, încă un pas.)

Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.

A 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică până la număr n, numărul de goluri va fi n-1. Deci, formula va fi (fără opțiuni!):

a n = a 1 + (n-1)d

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci ... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți pune o imagine într-o ecuație...

Sarcini pentru decizie independentă.

Pentru încălzire:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema este rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată atât prin imagine, cât și prin formulă. Simte diferenta!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, reticența de a face o imagine?) Totuși! E mai bine in formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este dată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de mandat... Nu oricine poate face o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condiției sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici membri pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da ...) Aici metoda „pe degete” nu va funcționa. Trebuie să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

S-a întâmplat? E dragut!)

Nu merge totul? S-a întâmplat. Apropo, în ultima misiune există un punct subtil. Va fi necesară atenție la citirea problemei. Și logica.

Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în secțiunea 555. Și elementul fantezie pentru al patrulea și momentul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme pentru formula celui de-al n-lea termen - totul este pictat. Vă recomand.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Motto-ul lecției noastre vor fi cuvintele matematicianului rus V.P. Ermakova: „În matematică, ar trebui să ne amintim nu formulele, ci procesele gândirii.”

În timpul orelor

Formularea problemei

Pe tablă este un portret al lui Gauss. Un profesor sau un elev căruia i s-a dat în avans sarcina de a pregăti un mesaj spune că atunci când Gauss era la școală, profesorul le-a cerut elevilor să adună totul. numere întregi de la 1 la 100. Micul Gauss a rezolvat această problemă într-un minut.

Întrebare . Cum a primit Gauss răspunsul?

Caută soluții

Elevii își exprimă ipotezele, apoi însumează: realizând că sumele 1 + 100, 2 + 99 etc. sunt egale, Gauss a înmulțit 101 cu 50, adică cu numărul de astfel de sume. Cu alte cuvinte, el a observat un model care este inerent unei progresii aritmetice.

Derivarea formulei sumei n primii termeni ai unei progresii aritmetice

Scrieți subiectul lecției pe tablă și în caiete. Elevii, împreună cu profesorul, notează derivarea formulei:

Lăsa A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; ...; un n – 2 ; un n – 1 ; un n- progresia aritmetica.

Fixare primară

1. Să rezolvăm, folosind formula (1), problema lui Gauss:

2. Folosind formula (1), rezolvați oral problemele (condițiile lor sunt scrise pe tablă sau cod pozitiv), ( un n) - progresie aritmetică:

A) A 1 = 2, A 10 = 20. S 10 - ?

b) A 1 = –5, A 7 = 1. S 7 - ? [–14]

în) A 1 = –2, A 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) A 1 = –5, A 11 = 5. S 11 - ?

3. Finalizați sarcina.

Dat :( un n) - progresie aritmetică;

A 1 = 3, A 60 = 57.

Găsi: S 60 .

Soluţie. Să folosim formula sumei n primii termeni ai unei progresii aritmetice

Răspuns: 1800.

Întrebare suplimentară. Câte tipuri de probleme diferite pot fi rezolvate prin această formulă?

Răspuns. Patru tipuri de sarcini:

Găsiți suma S n;

Găsiți primul termen al unei progresii aritmetice A 1 ;

Găsi n-al-lea membru al unei progresii aritmetice un n;

Aflați numărul de membri ai unei progresii aritmetice.

4. Completați sarcina: nr. 369(b).

Aflați suma celor șaizeci și unu de termeni ai unei progresii aritmetice ( un n), dacă A 1 = –10,5, A 60 = 51,5.

Soluţie.

Răspuns: 1230.

Întrebare suplimentară. Scrieți formula n al-lea membru al unei progresii aritmetice.

Răspuns: un n = A 1 + d(n – 1).

5. Calculați formula pentru primii nouă termeni ai unei progresii aritmetice ( b n),
dacă b 1 = –17, d = 6.

Este posibil să se calculeze imediat folosind o formulă?

Nu, pentru că al nouălea termen este necunoscut.

Cum să-l găsesc?

Conform formulei n al-lea membru al unei progresii aritmetice.

Soluţie. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Răspuns: 63.

Întrebare. Este posibil să găsiți suma fără a calcula al nouălea termen al progresiei?

Formularea problemei

Problemă: obțineți formula sumei n primii termeni ai unei progresii aritmetice, cunoscându-i primul termen și diferența d.

(Ieșirea formulei la tablă de către student.)

Decizia nr. 371(a) cu privire la formula noua (2):

Consolidați verbal formulele (2) ( condițiile sarcinii sunt scrise pe tablă).

(un n

1. A 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. A 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Întrebați elevii ce întrebări nu înțeleg.

Muncă independentă

Opțiunea 1

Dat: (un n) este o progresie aritmetică.

1. A 1 = –3, A 6 = 21. S 6 - ?

2. A 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Opțiunea 2

Dat: (un n) este o progresie aritmetică.

1.A 1 = 2, A 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.A 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Elevii schimbă caietele și verifică reciproc soluțiile.

Rezumați asimilarea materialului pe baza rezultatelor muncii independente.