Pokračujeme v rozprávaní o riešenie rovníc. V tomto článku sa zameriame na racionálne rovnice a princípy rozhodovania racionálne rovnice s jednou premennou. Po prvé, poďme zistiť, aké druhy rovníc sa nazývajú racionálne, uveďte definíciu celočíselných racionálnych a zlomkových racionálnych rovníc a uveďte príklady. Ďalej získame algoritmy na riešenie racionálnych rovníc a samozrejme zvážime riešenia charakteristické príklady so všetkými potrebnými vysvetleniami.

Navigácia na stránke.

Na základe odznených definícií uvádzame niekoľko príkladov racionálnych rovníc. Napríklad x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , sú všetky racionálne rovnice.

Z uvedených príkladov je vidieť, že racionálne rovnice, ako aj rovnice iných typov, môžu byť buď s jednou premennou, alebo s dvoma, tromi atď. premenné. AT nasledujúce odseky budeme hovoriť o riešení racionálnych rovníc v jednej premennej. Riešenie rovníc s dvoma premennými a oni Vysoké číslo si zaslúžia osobitnú pozornosť.

Okrem delenia racionálnych rovníc počtom neznámych premenných sa delia aj na celočíselné a zlomkové. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Racionálna rovnica sa nazýva celý, ak jeho ľavá aj pravá časť sú celočíselnými racionálnymi výrazmi.

Definícia.

Ak aspoň jedna z častí racionálnej rovnice je zlomkový výraz, potom sa táto rovnica nazýva čiastočne racionálne(alebo zlomkové racionálne).

Je jasné, že celočíselné rovnice neobsahujú delenie premennou, naopak zlomkové racionálne rovnice nutne obsahujú delenie premennou (alebo premennou v menovateli). Takže 3 x + 2 = 0 a (x+y) (3x2-1)+x=-y+0,5 sú celé racionálne rovnice, obe ich časti sú celočíselné výrazy. A a x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sú príklady zlomkových racionálnych rovníc.

Na záver tohto odseku venujme pozornosť skutočnosti, že lineárne rovnice a kvadratické rovnice známe v tomto okamihu sú celé racionálne rovnice.

Riešenie celočíselných rovníc

Jedným z hlavných prístupov k riešeniu celých rovníc je ich redukcia na ekvivalent algebraické rovnice. To sa dá vždy urobiť vykonaním nasledujúcich ekvivalentných transformácií rovnice:

• najprv sa výraz z pravej strany pôvodnej celočíselnej rovnice prenesie na ľavú stranu s opačné znamenie dostať nulu na pravú stranu;
• potom, na ľavej strane rovnice, výsledný štandardný pohľad.

Výsledkom je algebraická rovnica, čo je ekvivalentné pôvodnej celej rovnici. Teda vo väčšine jednoduché prípady riešenie celých rovníc sa redukuje na riešenie lineárnych alebo kvadratických rovníc a v všeobecný prípad– k riešeniu algebraickej rovnice stupňa n. Pre názornosť rozoberme riešenie príkladu.

Príklad.

Nájdite korene celej rovnice 3 (x+1) (x-3)=x (2 x-1)-3.

rozhodnutie.

Zredukujme riešenie celej tejto rovnice na riešenie ekvivalentnej algebraickej rovnice. Aby sme to dosiahli, najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, čím sa dostaneme k rovnici 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. A po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane na polynóm štandardného tvaru vykonaním potrebných krokov: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Riešenie pôvodnej celočíselnej rovnice sa teda redukuje na riešenie kvadratická rovnica x 2 -5 x -6 = 0 .

Vypočítajte jeho diskriminant D = (-5)2-41 (-6) = 25 + 24 = 49, je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene, ktoré zistíme podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice:

Pre úplná dôvera urob to kontrola nájdených koreňov rovnice. Najprv skontrolujeme koreň 6, dosadíme ho namiesto premennej x v pôvodnej celočíselnej rovnici: 3 (6+1) (6-3)=6 (26-1)-3, čo je rovnaké, 63=63 . To je správne číselná rovnosť, preto x=6 je skutočne koreňom rovnice. Teraz skontrolujeme koreň −1 , máme 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odkiaľ, 0=0 . Pre x=−1 sa pôvodná rovnica tiež zmenila na skutočnú číselnú rovnosť, preto je x=−1 tiež koreňom rovnice.

odpoveď:

6 , −1 .

Tu je tiež potrebné poznamenať, že výraz „mocnosť celej rovnice“ je spojený so zobrazením celej rovnice vo forme algebraickej rovnice. Uvádzame zodpovedajúcu definíciu:

Definícia.

Stupeň celej rovnice nazývame stupeň algebraickej rovnice jej ekvivalentný.

Podľa tejto definície má celá rovnica z predchádzajúceho príkladu druhý stupeň.

Na tomto by sa dalo skončiť riešením celých racionálnych rovníc, ak nie jednej, ale .... Ako je známe, riešenie algebraických rovníc vyššieho stupňa ako druhého je spojené so značnými ťažkosťami a pre rovnice vyššieho stupňa ako štvrté takéto rovnice vôbec neexistujú. všeobecné vzorce korene. Preto riešiť celé rovnice tretieho, štvrtého a ďalších vysoké stupnečasto sa musia uchýliť k iným metódam riešenia.

V takýchto prípadoch je niekedy prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc založený na faktorizačná metóda. Súčasne sa postupuje podľa nasledujúceho algoritmu:

• najprv sa snažia mať nulu na pravej strane rovnice, preto prenesú výraz z pravej strany celej rovnice na ľavú;
• potom je výsledný výraz na ľavej strane prezentovaný ako súčin niekoľkých faktorov, čo umožňuje prejsť na súbor niekoľkých jednoduchších rovníc.

Vyššie uvedený algoritmus na riešenie celej rovnice pomocou faktorizácie vyžaduje podrobné vysvetlenie na príklade.

Príklad.

Vyriešte celú rovnicu (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13)= 2 x (x 2 -10 x + 13) .

rozhodnutie.

Najprv, ako obvykle, prenesieme výraz z pravej strany na ľavú stranu rovnice, pričom nezabudneme zmeniť znamienko, dostaneme (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) − 2 x (x 2 -10 x + 13) = 0 . Tu je celkom zrejmé, že nie je vhodné transformovať ľavú stranu výslednej rovnice na polynóm štandardného tvaru, pretože tak vznikne algebraická rovnica štvrtého stupňa tvaru. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ktorého riešenie je náročné.

Na druhej strane je zrejmé, že x 2 −10·x+13 možno nájsť na ľavej strane výslednej rovnice, čím ju predstavujeme ako súčin. Máme (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej celej rovnici a môže byť nahradená súborom dvoch kvadratických rovníc x 2 −10·x+13=0 a x 2 −2·x−1=0 . Hľadanie ich koreňov známe vzorce korene cez diskriminant nie je ťažké, korene sú rovnaké. Sú to požadované korene pôvodnej rovnice.

odpoveď:

Je tiež užitočný pri riešení celých racionálnych rovníc. metóda na zavedenie novej premennej. V niektorých prípadoch umožňuje prejsť na rovnice, ktorých stupeň je nižší ako stupeň pôvodnej celočíselnej rovnice.

Príklad.

Nájsť skutočné korene racionálna rovnica (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).

rozhodnutie.

Redukovať celú túto racionálnu rovnicu na algebraickú rovnicu nie je, mierne povedané, veľmi dobrý nápad, keďže v tomto prípade dôjdeme k potrebe vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa, ktorá nemá racionálne korene. Preto budete musieť hľadať iné riešenie.

Tu je ľahké vidieť, že môžete zaviesť novú premennú y a nahradiť ňou výraz x 2 +3 x. Takáto zámena nás vedie k celej rovnici (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , ktorá po prenesení výrazu −2 (y−4) na ľavú stranu a následnej transformácii vzniknutého výrazu tam sa redukuje na rovnicu y 2 +4 y+3=0 . Korene tejto rovnice y=−1 a y=−3 sa dajú ľahko nájsť, možno ich napríklad nájsť na základe inverznej vety Vietovej vety.

Teraz prejdime k druhej časti metódy zavedenia novej premennej, teda k vykonaniu spätnej substitúcie. Po vykonaní obrátenej substitúcie dostaneme dve rovnice x 2 +3 x=−1 a x 2 +3 x=−3 , ktoré možno prepísať ako x 2 +3 x+1=0 a x 2 +3 x+3 =0. Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice nájdeme korene prvej rovnice. A druhá kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, pretože jej diskriminant je záporný (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

odpoveď:

Vo všeobecnosti, keď máme čo do činenia s celočíselnými rovnicami vysokých stupňov, musíme byť vždy pripravení hľadať neštandardná metóda alebo umelé zariadenie na ich riešenie.

Riešenie zlomkovo racionálnych rovníc

Najprv bude užitočné pochopiť, ako riešiť zlomkovo racionálne rovnice tvaru , kde p(x) a q(x) sú racionálne celočíselné výrazy. A potom si ukážeme, ako zredukovať riešenie zvyšných zlomkovo racionálnych rovníc na riešenie rovníc uvedeného tvaru.

Jeden z prístupov k riešeniu rovnice je založený na nasledujúcom tvrdení: číselný zlomok u/v, kde v je nenulové číslo (inak sa stretneme s , ktoré nie je definované), sa rovná nule práve vtedy, ak jeho čitateľa nula, teda vtedy a len vtedy, ak u=0 . Na základe tohto tvrdenia sa riešenie rovnice redukuje na splnenie dvoch podmienok p(x)=0 a q(x)≠0 .

Tento záver je v súlade s nasledujúcim algoritmus na riešenie zlomkovo racionálnej rovnice. Vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru

• vyriešiť celú racionálnu rovnicu p(x)=0 ;
• a skontrolujte, či je splnená podmienka q(x)≠0 pre každý nájdený koreň, zatiaľ čo
• ak je pravda, potom tento koreň je koreňom pôvodnej rovnice;
• ak nie, potom je tento koreň cudzí, to znamená, že nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Poďme analyzovať príklad použitia hlasového algoritmu pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

rozhodnutie.

Toto je zlomkovo racionálna rovnica tvaru , kde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Podľa algoritmu na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc tohto druhu musíme najskôr vyriešiť rovnicu 3·x−2=0 . Toto je lineárna rovnica, ktorého koreň je x=2/3 .

Zostáva skontrolovať tento koreň, teda skontrolovať, či spĺňa podmienku 5·x 2 −2≠0 . Do výrazu 5 x 2 −2 dosadíme namiesto x číslo 2/3, dostaneme . Podmienka je splnená, takže x=2/3 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

2/3 .

K riešeniu zlomkovej racionálnej rovnice možno pristupovať z trochu inej pozície. Táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 na premennej x pôvodnej rovnice. To znamená, že toto môžete sledovať algoritmus na riešenie zlomkovo racionálnej rovnice :

• vyriešiť rovnicu p(x)=0 ;
• nájsť premennú ODZ x ;
• vziať korene patriace do oblasti povolené hodnoty, - sú želanými koreňmi pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad pomocou tohto algoritmu vyriešme zlomkovú racionálnu rovnicu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie.

Najprv vyriešime kvadratickú rovnicu x 2 −2·x−11=0 . Jeho korene sa dajú vypočítať pomocou koreňového vzorca pre párny druhý koeficient, máme D1 = (-1)2-1 (-11)=12 a .

Po druhé, nájdeme ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu. Pozostáva zo všetkých čísel, pre ktoré x 2 +3 x≠0 , čo je rovnaké x (x+3)≠0 , odkiaľ x≠0 , x≠−3 .

Zostáva skontrolovať, či korene nájdené v prvom kroku sú zahrnuté v ODZ. Očividne áno. Preto má pôvodná zlomkovo racionálna rovnica dva korene.

odpoveď:

Všimnite si, že tento prístup je výnosnejší ako prvý, ak sa ODZ dá ľahko nájsť, a je obzvlášť výhodný, ak sú korene rovnice p(x)=0 iracionálne, napríklad , alebo racionálne, ale s pomerne veľkým čitateľ a/alebo menovateľ, napríklad 127/1101 a -31/59. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch bude kontrola podmienky q(x)≠0 vyžadovať značné výpočtové úsilie a je jednoduchšie vylúčiť cudzie korene z ODZ.

V iných prípadoch pri riešení rovnice, najmä ak sú korene rovnice p(x)=0 celé čísla, je výhodnejšie použiť prvý z vyššie uvedených algoritmov. To znamená, že je vhodné okamžite nájsť korene celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolovať, či je pre nich splnená podmienka q(x)≠0, a nie nájsť ODZ a potom rovnicu vyriešiť p(x)=0 na tomto ODZ . Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je väčšinou jednoduchšie vykonať kontrolu ako nájsť ODZ.

Zvážte riešenie dvoch príkladov na ilustráciu stanovených nuancií.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

rozhodnutie.

Najprv nájdeme korene celej rovnice (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zostavený pomocou čitateľa zlomku. Ľavá strana tejto rovnice je súčin a pravá strana je nula, preto podľa spôsobu riešenia rovníc rozkladom na rozklad je táto rovnica ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 -5 x+ 14=0, x+1=0. Tri z týchto rovníc sú lineárne a jedna kvadratická, môžeme ich vyriešiť. Z prvej rovnice nájdeme x=1/2, z druhej - x=6, z tretej - x=7, x=−2, zo štvrtej - x=−1.

S nájdenými koreňmi je celkom ľahké ich skontrolovať, či menovateľ zlomku na ľavej strane pôvodnej rovnice nezmizne, a nie je také ľahké určiť ODZ, pretože to bude musieť vyriešiť algebraická rovnica piateho stupňa. Preto sa vzdávajme nález ODZ v prospech kontroly koreňov. Aby sme to dosiahli, dosadíme ich postupne namiesto premennej x vo výraze x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, získané po substitúcii a porovnajte ich s nulou: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(-1)+112=0.

1/2, 6 a -2 sú teda požadované korene pôvodnej zlomkovo racionálnej rovnice a 7 a -1 sú cudzie korene.

odpoveď:

1/2 , 6 , −2 .

Príklad.

Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice.

rozhodnutie.

Najprv nájdeme korene rovnice (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc: štvorcová 5·x 2 −7·x−1=0 a lineárna x−2=0 . Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice nájdeme dva korene a z druhej rovnice máme x=2.

Kontrola, či menovateľ nezmizne pri zistených hodnotách x, je dosť nepríjemná. A určiť rozsah prijateľných hodnôt premennej x v pôvodnej rovnici je pomerne jednoduché. Preto budeme konať cez ODZ.

V našom prípade je ODZ premennej x pôvodnej zlomkovo racionálnej rovnice tvorená všetkými číslami, okrem tých, pre ktoré je splnená podmienka x 2 +5·x−14=0. Korene tejto kvadratickej rovnice sú x=−7 a x=2, z čoho vyvodíme záver o ODZ: skladá sa zo všetkých x takých, že .

Zostáva skontrolovať, či nájdené korene a x=2 patria do oblasti prípustných hodnôt. Korene - patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice, a x=2 nepatrí, teda ide o cudzí koreň.

odpoveď:

Bude tiež užitočné zaoberať sa oddelene prípadmi, keď je číslo v čitateli v zlomkovej racionálnej rovnici tvaru, to znamená, keď p (x) je reprezentované nejakým číslom. V čom

• ak je toto číslo iné ako nula, potom rovnica nemá korene, pretože zlomok je nula práve vtedy, ak je jej čitateľ nula;
• ak je toto číslo nula, potom koreňom rovnice je ľubovoľné číslo z ODZ.

Príklad.

rozhodnutie.

Keďže v čitateli zlomku na ľavej strane rovnice je nenulové číslo, pre žiadne x sa hodnota tohto zlomku nemôže rovnať nule. teda daná rovnica nemá korene.

odpoveď:

žiadne korene.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie.

Čitateľ zlomku na ľavej strane tejto zlomkovej racionálnej rovnice je nula, takže hodnota tohto zlomku je nula pre ľubovoľné x, pre ktoré to dáva zmysel. Inými slovami, riešením tejto rovnice je ľubovoľná hodnota x z DPV tejto premennej.

Zostáva určiť tento rozsah prijateľných hodnôt. Zahŕňa všetky hodnoty x, pre ktoré x 4 +5 x 3 ≠0. Riešenia rovnice x 4 + 5 x 3 \u003d 0 sú 0 a -5, pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) \u003d 0 a je zase ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc x 3 \u003d 0 a x +5=0 , odkiaľ sú tieto korene viditeľné. Preto je požadovaný rozsah prijateľných hodnôt ľubovoľné x okrem x=0 a x=−5.

Zlomkovo racionálna rovnica má teda nekonečne veľa riešení, ktorými sú ľubovoľné čísla okrem nuly a mínus päť.

odpoveď:

Nakoniec je čas porozprávať sa o riešení zlomkových racionálnych rovníc ľubovoľný typ. Možno ich zapísať ako r(x)=s(x) , kde r(x) a s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Pri pohľade do budúcnosti hovoríme, že ich riešenie je redukované na riešenie rovníc v nám už známej forme.

Je známe, že prenos člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom vedie k ekvivalentné rovnici, takže rovnica r(x)=s(x) je ekvivalentná rovnici r(x)−s(x)=0 .

Vieme tiež, že ktorýkoľvek sa môže identicky rovnať tomuto výrazu. Racionálny výraz na ľavej strane rovnice r(x)−s(x)=0 teda môžeme vždy transformovať na identicky rovnaký racionálny zlomok tvaru .

Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) k rovnici a jej riešenie, ako sme zistili vyššie, sa zredukuje na vyriešenie rovnice p(x)=0 .

Tu je však potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že pri nahradení r(x)−s(x)=0 za a potom za p(x)=0 sa rozsah prípustných hodnôt premennej x môže rozšíriť. .

Preto pôvodná rovnica r(x)=s(x) a rovnica p(x)=0 , ku ktorej sme dospeli, nemusia byť ekvivalentné a riešením rovnice p(x)=0 môžeme získať korene to budú cudzie korene pôvodnej rovnice r(x)=s(x) . Je možné identifikovať a nezahrnúť cudzie korene do odpovede buď vykonaním kontroly, alebo kontrolou, že patria do ODZ pôvodnej rovnice.

Tieto informácie zhrnieme v algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x). Na vyriešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) je potrebné

• Získajte nulu vpravo posunutím výrazu z pravej strany s opačným znamienkom.
• Vykonajte akcie so zlomkami a polynómami na ľavej strane rovnice, čím ju prevediete na racionálny zlomok tvaru.
• Riešte rovnicu p(x)=0 .
• Identifikujte a vylúčte cudzie korene, čo sa robí ich dosadením do pôvodnej rovnice alebo kontrolou ich príslušnosti k ODZ pôvodnej rovnice.

Pre väčšiu prehľadnosť ukážeme celý reťazec riešenia zlomkových racionálnych rovníc:
.

Poďme si prejsť riešenia niekoľkých príkladov s podrobným vysvetlením riešenia, aby sme daný blok informácií objasnili.

Príklad.

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu.

rozhodnutie.

Budeme konať v súlade s práve získaným algoritmom riešenia. A najprv prenesieme pojmy z pravej strany rovnice na ľavú stranu, čím prejdeme na rovnicu .

V druhom kroku musíme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane výslednej rovnice previesť do tvaru zlomku. Za týmto účelom vykonávame obsadenie racionálne zlomky do spoločný menovateľ a zjednodušiť výsledný výraz: . Takže sa dostávame k rovnici.

V ďalšom kroku musíme vyriešiť rovnicu −2·x−1=0 . Nájdite x=−1/2 .

Zostáva skontrolovať, či nájdené číslo −1/2 je cudzí koreň pôvodnej rovnice. Ak to chcete urobiť, môžete skontrolovať alebo nájsť premennú ODZ x pôvodnej rovnice. Ukážme si oba prístupy.

Začnime šekom. Do pôvodnej rovnice dosadíme namiesto premennej x číslo −1/2, dostaneme , ktoré je rovnaké, −1=−1. Substitúcia dáva správnu číselnú rovnosť, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

Teraz si ukážeme, ako sa cez ODZ vykonáva posledný krok algoritmu. Rozsah prípustných hodnôt pôvodnej rovnice je množina všetkých čísel okrem −1 a 0 (pre x=−1 a x=0 menovatele zlomkov miznú). Koreň x=−1/2 nájdený v predchádzajúcom kroku patrí do ODZ, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

−1/2 .

Uvažujme o ďalšom príklade.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

rozhodnutie.

Potrebujeme vyriešiť zlomkovo racionálnu rovnicu, prejdeme si všetky kroky algoritmu.

Najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, dostaneme .

Po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane: . Výsledkom je, že sa dostaneme k rovnici x=0.

Jeho koreň je zrejmý - je nulový.

V štvrtom kroku zostáva zistiť, či nájdený koreň nie je vonkajším koreňom pre pôvodnú zlomkovo racionálnu rovnicu. Keď sa dosadí do pôvodnej rovnice, získa sa výraz. Očividne to nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Z toho sme dospeli k záveru, že 0 je cudzí koreň. Preto pôvodná rovnica nemá korene.

7, čo vedie k rovnici. Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany sa musí rovnať z pravej strany, teda . Teraz od oboch častí trojky odčítame: . Analogicky, odkiaľ a ďalej.

Kontrola ukazuje, že obidva nájdené korene sú koreňmi pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

odpoveď:

Bibliografia.

• algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre žiaka vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Doteraz sme riešili len celočíselné rovnice vzhľadom na neznámu, teda také rovnice, v ktorých menovatele (ak nejaké sú) neznámu neobsahovali.

Často musíte riešiť rovnice, ktoré obsahujú neznámu v menovateľoch: takéto rovnice sa nazývajú zlomkové.

Aby sme túto rovnicu vyriešili, vynásobíme jej obe strany, to znamená polynómom obsahujúcim neznámu. Bude nová rovnica ekvivalentná danej rovnici? Aby sme odpovedali na otázku, vyriešme túto rovnicu.

Vynásobením oboch jeho strán číslom dostaneme:

Vyriešením tejto rovnice prvého stupňa zistíme:

Takže rovnica (2) má jeden koreň

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Preto je tiež koreňom rovnice (1).

Rovnica (1) nemá žiadne iné korene. V našom príklade je to vidieť napríklad z toho, že v rovnici (1)

ako neznámy deliteľ sa musí rovnať dividende 1 vydelenej podielom 2, t.j.

Takže rovnice (1) a (2) majú jeden koreň, a preto sú ekvivalentné.

2. Teraz riešime nasledujúcu rovnicu:

Najjednoduchší spoločný menovateľ: ; vynásobte ním všetky členy rovnice:

Po redukcii dostaneme:

Rozšírime zátvorky:

Prinášame podobné výrazy a máme:

Vyriešením tejto rovnice zistíme:

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Na ľavej strane sme dostali výrazy, ktoré nedávajú zmysel.

Koreň rovnice (1) teda nie je. To znamená, že rovnice (1) a nie sú ekvivalentné.

V tomto prípade hovoríme, že rovnica (1) získala cudzí koreň.

Porovnajme riešenie rovnice (1) s riešením rovníc, ktoré sme uvažovali skôr (pozri § 51). Pri riešení tejto rovnice sme museli vykonať dve také operácie, ktoré sme doteraz nevideli: po prvé sme obe strany rovnice vynásobili výrazom obsahujúcim neznámu (spoločný menovateľ) a po druhé sme algebraické zlomky zredukovali o faktory obsahujúce neznámy.

Pri porovnaní rovnice (1) s rovnicou (2) vidíme, že nie všetky hodnoty x platné pre rovnicu (2) sú platné pre rovnicu (1).

Práve čísla 1 a 3 nie sú prípustnými hodnotami neznámej pre rovnicu (1) a v dôsledku transformácie sa stali prípustnými pre rovnicu (2). Jedno z týchto čísel sa ukázalo byť riešením rovnice (2), ale, samozrejme, nemôže byť riešením rovnice (1). Rovnica (1) nemá žiadne riešenia.

Tento príklad ukazuje, že keď sú obe strany rovnice vynásobené faktorom obsahujúcim neznámu a keď algebraické zlomky možno získať rovnicu, ktorá nie je ekvivalentná danej rovnici, a to: môžu sa objaviť cudzie korene.

Preto vyvodíme nasledujúci záver. Pri riešení rovnice obsahujúcej v menovateli neznámu treba výsledné korene skontrolovať dosadením do pôvodnej rovnice. cudzie korene treba zlikvidovať.

Samotné rovnice so zlomkami nie sú ťažké a veľmi zaujímavé. Zvážte typy zlomkových rovníc a spôsoby ich riešenia.

Ako riešiť rovnice so zlomkami - x v čitateli

V danom prípade zlomková rovnica, kde je neznáma v čitateli, riešenie nevyžaduje ďalšie podmienky a je vyriešené bez zbytočných problémov. Všeobecná forma taká rovnica je x/a + b = c, kde x je neznáma, a, b a c sú obyčajné čísla.

Nájdite x: x/5 + 10 = 70.

Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte sa zbaviť zlomkov. Vynásobte každý člen rovnice 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x a 5 sa zmenší, 10 a 70 vynásobíme 5 a dostaneme: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Nájdite x: x/5 + x/10 = 90.

Tento príklad je o niečo komplikovanejšou verziou prvého. Tu sú dve riešenia.

• Možnosť 1: Zbavte sa zlomkov vynásobením všetkých členov rovnice väčším menovateľom, teda číslom 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Možnosť 2: Pridajte ľavú stranu rovnice. x/5 + x/10 = 90. Spoločný menovateľ je 10. Vydeľte 10 5, vynásobte x, dostaneme 2x. 10 delené 10, vynásobené x, dostaneme x: 2x+x/10 = 90. Preto 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Často existujú zlomkové rovnice, v ktorých sú x rôzne strany rovnaké znamienko. V takejto situácii je potrebné preniesť všetky zlomky s x jedným smerom a čísla iným smerom.

• Nájsť x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Presuňte sa 2x/5 doprava s opačným znamienkom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmenšíme 5x/5 a dostaneme: x = 130.

Ako vyriešiť rovnicu so zlomkami - x v menovateli

Tento typ zlomkových rovníc vyžaduje písanie ďalších podmienok. Uvedenie týchto podmienok je povinnou a neoddeliteľnou súčasťou správne rozhodnutie. Ak ich nepriradíte, riskujete, pretože odpoveď (aj keď je správna) sa jednoducho nemusí započítať.

Všeobecný tvar zlomkových rovníc, kde x je v menovateli, je: a/x + b = c, kde x je neznáma, a, b, c sú obyčajné čísla. Upozorňujeme, že x nemusí byť žiadne číslo. Napríklad x nemôže byť nula, pretože nemôžete deliť 0. Toto je to, čo je dodatočná podmienka, ktorú musíme špecifikovať. Toto sa nazýva rozsah prijateľných hodnôt, skrátene - ODZ.

Nájdite x: 15/x + 18 = 21.

Okamžite zapíšeme ODZ pre x: x ≠ 0. Teraz, keď je označená ODZ, riešime rovnicu podľa štandardnej schémy, pričom sa zbavíme zlomkov. Všetky členy rovnice vynásobíme x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Často existujú rovnice, kde menovateľ obsahuje nielen x, ale aj nejakú inú operáciu s ním, napríklad sčítanie alebo odčítanie.

Nájdite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Už vieme, že menovateľ nemôže byť nula, čo znamená x-3 ≠ 0. -3 prenesieme na pravá strana, pričom znamienko „-“ zmeníme na „+“ a dostaneme, že x ≠ 3. Zobrazí sa ODZ.

Vyriešte rovnicu, všetko vynásobte x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Posuňte x doprava, čísla doľava: 24 = 3x => x = 8.

Poučenie

Snáď najzrejmejším bodom tu je, samozrejme, . Číselné zlomky nepredstavujú žiadne nebezpečenstvo (zlomkové rovnice, kde sú vo všetkých menovateľoch len čísla, budú vo všeobecnosti lineárne), ale ak je v menovateli premenná, tak to treba brať do úvahy a predpísať. Jednak je to tak, že x, ktoré mení menovateľa na 0, nemôže byť a vo všeobecnosti je potrebné samostatne registrovať skutočnosť, že x sa nemôže rovnať tomuto číslu. Ak sa vám aj podarí, pri dosadzovaní do čitateľa všetko dokonale konverguje a spĺňa podmienky. Po druhé, nemôžeme vynásobiť ani jednu, ani obe strany rovnice nulou.

Potom sa takáto rovnica zredukuje na prenesenie všetkých jej členov na ľavú stranu, takže 0 zostane na pravej strane.

Je potrebné uviesť všetky pojmy do spoločného menovateľa, pričom v prípade potreby vynásobíme čitateľa chýbajúcimi výrazmi.
Ďalej riešime obvyklú rovnicu zapísanú v čitateli. Vieme vydržať spoločné faktory zo zátvoriek, použiť skrátené násobenie, dať podobné, vypočítať korene kvadratickej rovnice cez diskriminant atď.

Výsledkom by mala byť faktorizácia vo forme súčinu zátvoriek (x-(i-tá odmocnina)). Môže zahŕňať aj polynómy, ktoré nemajú korene, napr. štvorcový trojčlen s diskriminantom menším ako nula (pokiaľ, samozrejme, v probléme nie sú len skutočné korene, ako sa to najčastejšie stáva).
Uistite sa, že faktorizujte a menovateľ z umiestnenia zátvoriek, ktoré sú už obsiahnuté v čitateli. Ak menovateľ obsahuje výrazy ako (x-(číslo)), potom je lepšie pri redukovaní na spoločného menovateľa nenásobiť zátvorky v ňom „hlavou“, ale nechať ich vo forme súčinu pôvodné jednoduché výrazy.
Rovnaké zátvorky v čitateli a menovateli je možné zmenšiť predpísaním podmienok na x, ako je uvedené vyššie.
Odpoveď je napísaná v zložených zátvorkách, ako množina hodnôt x, alebo jednoducho enumeráciou: x1=..., x2=..., atď.

Zdroje:

• Zlomkové racionálne rovnice

Niečo, čo sa nedá obísť vo fyzike, matematike, chémii. Najmenej. Učíme sa základy ich riešenia.

Poučenie

V najvšeobecnejšej a najjednoduchšej klasifikácii ju možno rozdeliť podľa počtu premenných, ktoré obsahujú, a podľa stupňa, v ktorom tieto premenné stoja.

Vyriešte všetky jej korene rovnice alebo dokážte, že neexistujú.

Každá rovnica má najviac P koreňov, kde P je maximum danej rovnice.

Ale niektoré z týchto koreňov sa môžu zhodovať. Takže napríklad rovnica x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, kde ^ je ikona umocnenia, sa zloží do druhej mocniny výrazu (x + 1), teda do súčinu dvoch rovnakých zátvoriek, z ktorých každá dáva x = - 1 ako riešenie.

Ak je v rovnici iba jedna neznáma, znamená to, že budete môcť explicitne nájsť jej korene (skutočné alebo komplexné).

Na to budete s najväčšou pravdepodobnosťou potrebovať rôzne transformácie: skrátené násobenie, výpočet diskriminantu a koreňov kvadratickej rovnice, prenos členov z jednej časti do druhej, redukciu na spoločného menovateľa, násobenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom, kvadratúra a tak ďalej.

Transformácie, ktoré neovplyvňujú korene rovnice, sú identické. Používajú sa na zjednodušenie procesu riešenia rovnice.

Môžete tiež použiť namiesto tradičného analytického grafická metóda a napíšte túto rovnicu do tvaru , po vykonaní jej štúdie.

Ak je v rovnici viac ako jedna neznáma, potom budete môcť vyjadriť iba jednu z nich ako druhú, čím sa zobrazí súbor riešení. Takými sú napríklad rovnice s parametrami, v ktorých je neznáma x a parameter a. Rozhodnite sa parametrická rovnica- znamená pre všetky a vyjadriť x cez a, teda zvážiť všetky možné prípady.

Ak rovnica obsahuje derivácie alebo diferenciály neznámych (pozri obrázok), gratulujeme, je to tak Diferenciálnej rovnice, a tu sa nezaobídete bez vyššia matematika).

Zdroje:

• Transformácie identity

Ak chcete vyriešiť problém s zlomky treba sa s nimi naučiť robiť aritmetické operácie. Môžu byť desatinné, ale najčastejšie sa používajú prírodné frakcie s čitateľom a menovateľom. Až potom môžete prejsť k riešeniam. matematické problémy s zlomkové hodnoty.

Budete potrebovať

• - kalkulačka;
• - znalosť vlastností zlomkov;
• - Schopnosť pracovať so zlomkami.

Poučenie

Zlomok je záznam delenia jedného čísla druhým. Často sa to nedá urobiť úplne, a preto táto akcia zostáva „nedokončená. Číslo, ktoré je deliteľné (je nad alebo pred zlomkom), sa nazýva čitateľ a druhé číslo (pod alebo za zlomkom) sa nazýva menovateľ. Ak je čitateľ väčší ako menovateľ, zlomok sa nazýva nesprávny zlomok a dá sa z neho získať celá časť. Ak je čitateľ menej ako menovateľ, potom sa takýto zlomok nazýva vlastný a jeho celá časť rovná sa 0.

Úlohy sú rozdelené do niekoľkých typov. Určite, ktorá z nich je úlohou. Najjednoduchšia možnosť- nájdenie zlomku čísla vyjadreného zlomkom. Na vyriešenie tohto problému stačí toto číslo vynásobiť zlomkom. Napríklad sa doviezlo 8 ton zemiakov. V prvom týždni jej 3/4 Celkom. Koľko zemiakov zostalo? Ak chcete vyriešiť tento problém, vynásobte číslo 8 3/4. Ukáže sa 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Ak potrebujete nájsť číslo podľa jeho časti, vynásobte známu časť čísla prevrátenou časťou zlomku, ktorý ukazuje, aký podiel tejto časti je v čísle. Napríklad 8 z 1/3 z celkového počtu študentov. koľko v ? Keďže 8 ľudí predstavuje časť, ktorá predstavuje 1/3 z celkového počtu, potom nájdite recipročné, čo sa rovná 3/1 alebo len 3. Potom získate počet žiakov v triede 8∙3=24 žiakov.

Keď potrebujete zistiť, ktorá časť čísla je jedno číslo od druhého, vydeľte číslo, ktoré predstavuje časť, číslom, ktoré je celým číslom. Ak je napríklad vzdialenosť 300 km a auto prešlo 200 km, koľko z toho bude z celkovej cesty? Časť cesta rozdeľte 200 krát plná cesta 300, po zmenšení zlomku dostanete výsledok. 200/300 = 2/3.

Ak chcete nájsť časť neznámeho zlomku čísla, ak existuje nejaký známy, vezmite celé číslo ako konvenčnú jednotku a odčítajte od neho známy zlomok. Napríklad, ak už prešli 4/7 hodiny, zostáva ešte? Berte celú lekciu ako konvenčnú jednotku a odpočítajte od nej 4/7. Získajte 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Riešenie rovníc so zlomkami pozrime sa na príklady. Príklady sú jednoduché a názorné. S ich pomocou môžete pochopiť tým najzrozumiteľnejším spôsobom.
Napríklad potrebujete vyriešiť jednoduchú rovnicu x/b + c = d.

Rovnica tohto typu sa nazýva lineárna, pretože menovateľ obsahuje iba čísla.

Riešenie sa vykoná vynásobením oboch strán rovnice b, potom rovnica nadobudne tvar x = b*(d – c), t.j. menovateľ zlomku na ľavej strane sa zníži.

Napríklad, ako vyriešiť zlomkovú rovnicu:
x/5+4=9
Obe časti vynásobíme 5. Dostaneme:
x+20=45
x=45-20=25

Ďalší príklad, kde je neznáma v menovateli:

Rovnice tohto typu sa nazývajú zlomkové racionálne alebo jednoducho zlomkové.

Zlomkovú rovnicu by sme riešili zbavením sa zlomkov, potom sa táto rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú, ktorá sa rieši bežným spôsobom. Mali by ste vziať do úvahy iba nasledujúce body:

• hodnota premennej, ktorá zmení menovateľa na 0, nemôže byť koreň;
• rovnicu nemôžete deliť ani násobiť výrazom =0.

Tu vstupuje do platnosti taká koncepcia, ako je oblasť prípustných hodnôt (ODZ) - to sú hodnoty koreňov rovnice, pre ktoré má rovnica zmysel.

Preto pri riešení rovnice je potrebné nájsť korene a potom ich skontrolovať, či sú v súlade s ODZ. Tie korene, ktoré nezodpovedajú nášmu DHS, sú z odpovede vylúčené.

Napríklad musíte vyriešiť zlomkovú rovnicu:

Na základe vyššie uvedeného pravidla x nemôže byť = 0, t.j. ODZ v tento prípad: x - akákoľvek hodnota iná ako nula.

Menovateľa sa zbavíme vynásobením všetkých členov rovnice x

A vyriešte obvyklú rovnicu

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odpoveď: x = 1/3

Poďme riešiť rovnicu zložitejšie:

Nachádza sa tu aj ODZ: x -2.

Pri riešení tejto rovnice neprenesieme všetko jedným smerom a zlomky privedieme do spoločného menovateľa. Okamžite vynásobíme obe strany rovnice výrazom, ktorý zredukuje všetky menovatele naraz.

Ak chcete zmenšiť menovateľov, musíte vynásobiť ľavú stranu x + 2 a pravú stranu 2. Obidve strany rovnice teda musia byť vynásobené 2 (x + 2):

Presne toto obyčajné násobenie zlomky, o ktorých sme už hovorili vyššie

Napíšeme rovnakú rovnicu, ale trochu iným spôsobom.

Ľavá strana sa zmenší o (x + 2) a pravá o 2. Po zmenšení dostaneme obvyklú lineárnu rovnicu:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, čo zodpovedá našej ODZ

Odpoveď: x = 2.

Riešenie rovníc so zlomkami nie také ťažké, ako by sa mohlo zdať. V tomto článku sme si to ukázali na príkladoch. Ak máte nejaké ťažkosti s ako riešiť rovnice so zlomkami, potom sa v komentároch odhláste.