Kapag nag-aaral ng algebra sa paaralan ng pangkalahatang edukasyon(Grade 9) isa sa mahahalagang paksa ay ang pag-aaral pagkakasunud-sunod ng mga numero, na kinabibilangan ng mga progression - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.
Ano ang isang arithmetic progression?
Upang maunawaan ito, kinakailangan upang tukuyin ang pag-unlad na pinag-uusapan, pati na rin mga pangunahing pormula, na higit pang gagamitin sa paglutas ng mga problema.
Arithmetic o isang set ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng arithmetic.
Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang susunod na sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa itinuturing na uri ng pag-unlad, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Mahahalagang Formula
Ibinibigay na namin ngayon ang mga pangunahing formula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang isang pag-unlad ng arithmetic. Tukuyin sa pamamagitan ng simbolo a n nth term mga sequence kung saan ang n ay isang integer. Ipahiwatig natin ang pagkakaiba Latin na titik d. Kung gayon ang mga sumusunod na expression ay totoo:
- Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang formula ay angkop: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n + a 1)*n/2.
Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na pinag-uusapan ay binuo sa kanilang paggamit. Gayundin, huwag kalimutan na ang pagkakaiba sa pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1 .
Halimbawa #1: Paghahanap ng Hindi Kilalang Miyembro
Nagbibigay kami ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na dapat gamitin upang malutas.
Hayaang ibigay ang pagkakasunod-sunod na 10, 8, 6, 4, ..., kailangan na makahanap ng limang termino dito.
Ito ay sumusunod na mula sa mga kondisyon ng problema na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:
- Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Sa katulad na paraan, maaaring kunin ng isa ang alinmang dalawa pang termino, nakatayo sa malapit magkasama. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d \u003d a n - a n-1, pagkatapos ay d \u003d a 5 - a 4, mula sa kung saan kami makakakuha ng: a 5 \u003d a 4 + d. Kapalit kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Ang pangalawang paraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-usad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang matukoy ito, tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humahantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba d ng pag-unlad ay negatibo. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na bumababa dahil ang bawat sunud-sunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad
Ngayon pasimplehin natin ang gawain nang kaunti, magbigay ng isang halimbawa kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.
Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pinapalitan namin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.
Upang maibalik ang isang pagkakasunud-sunod hanggang sa 7 termino, dapat gamitin ng isa ang kahulugan algebraic progression, ibig sabihin, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 at 7 = 18.
Halimbawa #3: paggawa ng progreso
Lalo pa nating gawing kumplikado ang kalagayan ng problema. Ngayon ay kailangan mong sagutin ang tanong kung paano makahanap ng isang pag-unlad ng aritmetika. maaaring humantong susunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinibigay, halimbawa, - 4 at 5. Kinakailangang gumawa ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.
Bago simulan ang paglutas ng problemang ito, kinakailangang maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy kami sa isang gawain na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d isang 1 + 4 * d. Mula sa: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Dito kami nakatanggap ng hindi isang integer na halaga ng pagkakaiba, ngunit ito ay makatwirang numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.
Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang miyembro ng progression. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0,0 na kasabay ng kalagayan ng problema.
Halimbawa #4: Ang unang miyembro ng progression
Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap mula sa kung anong numero ang sequence na ito ay nagsisimula.
Ang mga formula na ginamit hanggang ngayon ay may kaalaman sa isang 1 at d. Walang nalalaman tungkol sa mga numerong ito sa kondisyon ng problema. Gayunpaman, isulat natin ang mga expression para sa bawat termino kung saan mayroon tayong impormasyon: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan 2 hindi kilalang dami(a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.
Ang tinukoy na sistema ay pinakamadaling lutasin kung nagpapahayag ka ng 1 sa bawat equation, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 decimal na lugar lamang ang ibinigay).
Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1 . Halimbawa, una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na miyembro ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.
Halimbawa #5: Sum
Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Hayaan itong ibigay numerical progression ang sumusunod na uri: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?
Salamat sa pag-unlad teknolohiya ng kompyuter maaari mong malutas ang problemang ito, iyon ay, sunud-sunod na idagdag ang lahat ng mga numero, kung saan Makina sa pagkalkula gagawin sa sandaling pinindot ng tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay malulutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makukuha natin: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Nakakagulat na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian" dahil sa maagang XVIII ng siglo, ang tanyag na Aleman, na nasa edad na 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang isipan sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung magdadagdag ka ng mga pares ng mga numero na matatagpuan sa mga gilid ng sequence, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon upang makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.
Halimbawa #6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m
Isa pa isang tipikal na halimbawa ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng isang serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.
Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi sapat na matrabaho. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.
Ang ideya ay upang makakuha ng formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Dahil n > m, halatang kasama sa 2 sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito, at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), pagkatapos ay makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.
Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman ng expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago mo simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang gusto mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.
Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hati karaniwang gawain sa magkahiwalay na mga subtask (sa kasong ito hanapin muna ang mga terminong a n at a m).
Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kapag naisip mo na, hindi na mahirap.
Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")
Arithmetic progression- ito ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa naunang isa sa parehong halaga.
Ang paksang ito ay kadalasang mahirap at hindi maintindihan. Ang mga index ng titik, ang ika-1 miyembro ng progression, ang pagkakaiba ng progression - lahat ng ito ay nakakalito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng arithmetic progression at lahat ay gagana kaagad.)
Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.
Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Maaari mo bang pahabain ang linyang ito? Anong mga numero ang susunod na pupunta, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh ..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp.
Gawin nating kumplikado ang gawain. Nagbibigay ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Maaari mong makuha ang pattern, pahabain ang serye, at pangalanan ikapito numero ng hilera?
Kung naisip mo na ang numerong ito ay 20 - binabati kita! Hindi mo lang naramdaman pangunahing puntos pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo maintindihan, basahin mo.
Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)
Unang mahalagang punto.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...
ayos lang. Ang mga pag-unlad lamang ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)
Pangalawang mahalagang punto.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nauna sa parehong halaga.
Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anuman ang bilang na kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang mga kasunod na numero.
Pangatlong pangunahing punto.
Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Narito siya: bawat isa numero ng pag-unlad nakatayo sa pwesto nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, at iba pa. Kung malito mo sila nang biglaan, mawawala ang pattern. Mawawala din ang arithmetic progression. Ito ay isang serye lamang ng mga numero.
Iyon ang buong punto.
Siyempre, sa bagong paksa lalabas ang mga bagong termino at notasyon. Kailangan nilang malaman. Kung hindi, hindi mo mauunawaan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:
Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n) kung a 2 = 5, d = -2.5.
Nakaka-inspire ba ito?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at notasyon. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.
Mga tuntunin at pagtatalaga.
Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.
Ang halagang ito ay tinatawag . Pag-usapan natin ang konseptong ito nang mas detalyado.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa ang nauna.
Isa mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression sa nakaraang numero.
Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng hilera, ito ay kinakailangan upang una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag sa pang-apat mabuti, atbp.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika maaaring positibo pagkatapos ang bawat numero ng serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Narito ang bawat numero pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.
Halimbawa:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Dito nakuha din ang bawat numero pagdaragdag sa dati, ngunit negatibong numero na, -5.
Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa isang pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang maitutulong upang mahanap ang iyong mga paniniwala sa desisyon, upang makita ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.
Pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.
Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang bilang ng mga serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)
Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kinukuha namin ang anumang numero ng row na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas dito nakaraang numero, mga. walo:
Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, tatlo ang pagkakaiba.
Maaari mo lamang kunin anumang bilang ng mga pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero walang nauna.)
Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Nagdaragdag kami ng 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Nagdaragdag kami ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu't.
Tukuyin natin d para sa isang bumababang pag-unlad ng aritmetika:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pinipili namin ang anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, any.
Iba pang mga termino at pagtatalaga.
Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.
Ang bawat miyembro ng pag-unlad may number niya. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo ...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero- mahigpit na pagkakasunud-sunod!
Paano magtala ng pag-unlad sa pangkalahatang pananaw? Walang problema! Ang bawat numero sa serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, bilang panuntunan, ginagamit ang titik a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinulat na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 ay ang unang numero a 3- pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito nang maikli tulad nito: (isang n).
May mga pag-unlad may hangganan at walang katapusan.
Ultimate may pag-unlad limitadong dami mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.
Walang katapusang progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)
Maaari kang magsulat ng panghuling pag-unlad sa pamamagitan ng isang seryeng tulad nito, lahat ng miyembro at isang tuldok sa dulo:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
O tulad nito, kung maraming miyembro:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
AT pagdadaglat kailangan mong tukuyin ang bilang ng mga miyembro bilang karagdagan. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:
(a n), n = 20
Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.
Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.
Mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-unlad ng aritmetika.
Tingnan natin ang gawain sa itaas:
1. Isulat ang unang anim na miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.
Inilipat namin ang gawain sa naiintindihan na wika. Dahil sa walang katapusang pag-unlad ng aritmetika. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Kilalang pagkakaiba sa pag-unlad: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na miyembro ng pag-unlad na ito.
Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang pangalawang miyembro ay lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Pinapalitan namin sa expression a 2 = 5 at d=-2.5. Huwag kalimutan ang minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Ang ikatlong termino ay wala pang isang segundo. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo halaga, kaya ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ikaapat na miyembro ng aming serye:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
isang 5 = a 4 + d
isang 5=0+(-2,5)= - 2,5
isang 6 = isang 5 + d
isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang sa ikaanim ay nakalkula. Nagresulta ito sa isang serye:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Ito ay nananatili upang mahanap ang unang termino a 1 sa sikat na pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika d hindi dapat idagdag sa a 2, a alisin:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hanggang dito na lang. Tugon sa gawain:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Sa pagpasa, tandaan ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugang, tanging, ang paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng nakaraang (katabing) numero. Ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad ay tatalakayin sa ibang pagkakataon.
Mula dito simpleng gawain isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha.
Tandaan:
Kung alam natin ang kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng progression na ito.
Tandaan? Ang simpleng derivation na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema kurso sa paaralan sa paksang ito. Lahat ng gawain ay umiikot tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang arithmetic progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng isang progression. Lahat.
Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.
Halimbawa, isaalang-alang ang ilan mga tanyag na gawain sa paksang ito.
2. Isulat ang huling pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye kung n=5, d=0.4, at isang 1=3.6.
Simple lang ang lahat dito. Lahat binigay na. Kailangan mong tandaan kung paano kinakalkula, binibilang, at isinulat ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maipapayo na huwag laktawan ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Upang hindi na mabilang hanggang sa ikaw ay ganap na bughaw sa mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa pag-unlad na ito:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Ito ay nananatiling isulat ang sagot:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Isa pang gawain:
3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hmm... Sinong nakakaalam? Paano tukuyin ang isang bagay?
Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito o wala! Naniniwala kami:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ngayon ay malinaw na nakikita na kami ay pito lamang nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.
Sagot: hindi.
At narito ang isang problema batay sa tunay na bersyon GIA:
4. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; labinlimang; X; 9; 6; ...
Narito ang isang serye na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang magagawa natin para malaman mula sa linyang ito? Ano ang mga parameter ng tatlong pangunahing mga?
Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.
Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "magkasunod" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba sa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron! Ito ay 9 at 6. Para makalkula natin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic! Ibawas namin sa anim dati numero, i.e. siyam:
May natitira pang mga bakanteng espasyo. Anong numero ang magiging nauna para sa x? labinlima. Kaya madaling mahanap ang X simpleng karagdagan. Sa 15 idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Iyon lang. Sagot: x=12
Kami mismo ang nagresolba sa mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga puzzle na ito ay hindi para sa mga formula. Purely for understanding the meaning of an arithmetic progression.) Nagsusulat lang kami ng serye ng mga numero-titik, tingnan at isipin.
5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.
6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng miyembrong ito.
7. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng 3.
8. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.
9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, unti-unting tumataas ang bilis nito ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
10. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.
Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; apat.
Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Maaari mong master ang arithmetic progression para sa higit pa mataas na lebel, sa susunod na mga aralin.
Hindi ba natuloy ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga puzzle na ito ay pinagsunod-sunod ayon sa mga buto.) At, siyempre, isang simple praktikal na pamamaraan, na agad na nagha-highlight sa solusyon ng naturang mga gawain nang malinaw, malinaw, sa buong view!
Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Isa - puro sa pamamagitan ng pag-unlad, at ang pangalawa - karaniwan sa anumang mga gawain sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.
Sa araling ito, sinuri namin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, ang lahat ay magpapasya.
Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng serye, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas kumplikado ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" lalala ang problema.)
At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit lubos na walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
At ano, dadagdagan natin ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Posible bang magpakamatay!?
Kaya mo.) Kung hindi mo alam isang simpleng formula, ayon sa kung saan maaari mong malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang iyon ay nalutas doon. Sa isang minuto.)
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Pagtuturo
Ang arithmetic progression ay isang sequence ng form na a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Bilang d hakbang mga pag-unlad.Malinaw, ang kabuuan ng isang arbitrary nth term ng arithmetic mga pag-unlad ay may anyong: An = A1+(n-1)d. Pagkatapos ay kilala ang isa sa mga miyembro mga pag-unlad, miyembro mga pag-unlad at hakbang mga pag-unlad, ay maaaring , iyon ay, ang bilang ng termino ng pag-unlad. Malinaw, ito ay matutukoy sa pamamagitan ng formula n = (An-A1+d)/d.
Hayaan ang mth term na malaman ngayon mga pag-unlad at ilang iba pang miyembro mga pag-unlad- n-th, ngunit n , tulad ng sa nakaraang kaso, ngunit ito ay kilala na ang n at m ay hindi magkatugma.Hakbang mga pag-unlad maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula: d = (An-Am)/(n-m). Pagkatapos n = (An-Am+md)/d.
Kung ang kabuuan ng ilang elemento ng isang arithmetic mga pag-unlad, pati na rin ang una at huli nito , pagkatapos ay maaari ding matukoy ang bilang ng mga elementong ito. Ang kabuuan ng arithmetic mga pag-unlad ay magiging katumbas ng: S = ((A1+An)/2)n. Pagkatapos n = 2S/(A1+An) ay chdenov mga pag-unlad. Gamit ang katotohanan na An = A1+(n-1)d, ang formula na ito ay maaaring muling isulat bilang: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Mula sa isang ito ay maaaring ipahayag n sa pamamagitan ng paglutas quadratic equation.
Ang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay isang nakaayos na hanay ng mga numero, na ang bawat miyembro nito, maliban sa una, ay naiiba sa nauna sa parehong halaga. Ito pare-pareho ay tinatawag na pagkakaiba ng progression o hakbang nito at maaaring kalkulahin mula sa mga kilalang miyembro ng arithmetic progression.
Pagtuturo
Kung ang mga halaga ng una at pangalawa o anumang iba pang pares ng mga kalapit na termino ay kilala mula sa mga kondisyon ng problema, upang kalkulahin ang pagkakaiba (d), ibawas lamang ang nakaraang termino mula sa susunod na termino. Ang resultang halaga ay maaaring maging positibo o negatibong numero- ito ay depende sa kung ang pag-unlad ay tumataas. AT pangkalahatang anyo isulat ang solusyon para sa isang di-makatwirang pares (aᵢ at aᵢ₊₁) ng mga kalapit na miyembro ng progression gaya ng sumusunod: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Para sa isang pares ng mga miyembro ng naturang pag-unlad, ang isa sa mga ito ay ang una (a₁), at ang isa pa ay anumang iba pang arbitraryong pinili, maaari ding gumawa ng isang pormula para sa paghahanap ng pagkakaiba (d). Gayunpaman, sa kasong ito, dapat na malaman ang serial number (i) ng isang arbitraryong napiling miyembro ng sequence. Upang kalkulahin ang pagkakaiba, idagdag ang parehong mga numero, at hatiin ang resulta sa ordinal na numero ng isang arbitrary na termino na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula na ito tulad ng sumusunod: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Kung, bilang karagdagan sa isang di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na may ordinal na numero i, ang isa pang miyembro na may ordinal na numerong u ay kilala, baguhin ang formula mula sa nakaraang hakbang nang naaayon. Sa kasong ito, ang pagkakaiba (d) ng pag-unlad ay ang kabuuan ng dalawang terminong ito na hinati sa kanilang pagkakaiba serial number: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Ang pormula para sa pagkalkula ng pagkakaiba (d) ay nagiging mas kumplikado kung, sa mga kondisyon ng problema, ang halaga ng unang miyembro nito (a₁) at ang kabuuan (Sᵢ) ng isang naibigay na numero (i) ng mga unang miyembro ay ibinigay pagkakasunud-sunod ng aritmetika. Upang makuha ang nais na halaga, hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga terminong bumubuo nito, ibawas ang halaga ng unang numero sa pagkakasunud-sunod, at i-double ang resulta. Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga termino na bumubuo sa kabuuan na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula para sa pagkalkula ng discriminant gaya ng sumusunod: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Ano pangunahing punto mga formula?
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .
Siyempre, kailangan mong malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.
Hindi sapat na kabisaduhin (o dayain) ang formula na ito. Kinakailangang i-assimilate ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang problema. At huwag kalimutan na tamang sandali, pero paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. Pero paano maalala Kung kinakailangan, bibigyan kita ng pahiwatig. Para sa mga nakakabisado ng aralin hanggang sa wakas.)
Kaya, harapin natin ang formula ng n-th miyembro ng isang arithmetic progression.
Ano ang isang pormula sa pangkalahatan - iniisip natin.) Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika, isang numero ng miyembro, isang pagkakaiba sa pag-unlad - ay malinaw na nakasaad sa nakaraang aralin. Tingnan mo kung hindi mo pa nababasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ika-na miyembro.
Ang pag-unlad sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro a 4- pang-apat, at iba pa. Kung kami ay interesado sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan kami isang 5, kung isandaan at dalawampu - mula sa isang 120.
Paano tukuyin sa pangkalahatan anuman miyembro ng isang arithmetic progression, s anuman numero? Napakasimple! Ganito:
isang n
Iyon na iyon n-th miyembro ng isang arithmetic progression. Sa ilalim ng letrang n lahat ng bilang ng mga miyembro ay nakatago nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.
At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong talaan? Isipin na lang, sa halip na isang numero, nagsulat sila ng isang liham ...
Ang entry na ito ay nagbibigay sa amin makapangyarihang kasangkapan upang gumana sa pag-unlad ng aritmetika. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At isang grupo ng mga gawain upang malutas sa pagpapatuloy. Makikita mo pa.
Sa formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ang unang miyembro ng arithmetic progression;
n- numero ng miyembro.
Iniuugnay ng formula ang mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d at n. Sa paligid ng mga parameter na ito, ang lahat ng mga puzzle ay umiikot sa pagpapatuloy.
Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, sa problema masasabi na ang pag-unlad ay ibinibigay ng kondisyon:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ang ganitong problema ay maaari pang malito ... Walang serye, walang pagkakaiba ... Ngunit, paghahambing ng kondisyon sa formula, madaling malaman na sa pag-unlad na ito isang 1 \u003d 5, at d \u003d 2.
At maaari itong maging mas galit!) Kung gagawin natin ang parehong kondisyon: a n = 5 + (n-1) 2, oo, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:
isang = 3 + 2n.
ito Tanging hindi pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakasalalay ang patibong. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagaman sa katotohanan ang unang miyembro ay isang limang ... Medyo mas mababa kami ay gagana sa tulad ng isang binagong formula.
Sa mga gawain para sa pag-unlad, mayroong isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, nahulaan mo, ang "n plus ang unang" termino ng pag-unlad. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng pag-unlad, ang bilang nito ay mas malaki kaysa sa bilang n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino, pagkatapos isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.
Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 nangyayari sa recursive formula. Huwag kang matakot dito kakila-kilabot na salita!) Isa lamang itong paraan ng pagpapahayag ng termino ng isang pag-unlad ng arithmetic sa pamamagitan ng nauna. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang pag-unlad ng aritmetika sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:
isang n+1 = isang n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. At kung paano magbilang kaagad, sabihin ang ikadalawampung termino, isang 20? Ngunit hindi!) Habang ang ika-19 na termino ay hindi alam, ang ika-20 ay hindi mabibilang. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng recursive formula at ang formula ng ika-n term. Gumagana lamang ang recursive sa pamamagitan ng dati term, at ang formula ng ika-n term - hanggang ang una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Hindi binibilang ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.
Sa isang arithmetic progression, ang isang recursive formula ay madaling gawing regular. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo, at gawin ito. Sa GIA, madalas na matatagpuan ang mga ganitong gawain.
Application ng formula ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.
Upang magsimula, isaalang-alang direktang aplikasyon mga formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Idagdag, oo idagdag ... Isang oras o dalawa.)
At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) We decide.
Ang mga kondisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: isang 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ito ay nananatiling upang makita kung ano n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Dito kami sumulat:
Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n lumitaw ang isang tiyak na numero: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ang magiging atin n. Ito ang kahulugang ito n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Palitan ang lahat ng mga numero sa formula at kalkulahin:
isang 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Hanggang dito na lang. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung miyembro, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n gustong numero sa index ng liham" a" at sa mga bracket, at isinasaalang-alang namin.
Hayaan akong ipaalala sa iyo ang kakanyahan: pinapayagan ka ng formula na ito na mahanap ka anuman termino ng isang pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .
Mas matalinong lutasin natin ang problema. Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na problema:
Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n) kung a 17 =-2; d=-0.5.
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, imumungkahi ko ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Magsulat ng kamay, sa iyong kuwaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may ikalabing pitong miyembro ... Lahat? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo ...
May number din kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang pagpipilian. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong miyembro (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "maliit na bagay" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "maliit na bagay", hindi ang ulo!) Ang problema ay hindi malulutas. Bagaman ... at walang ulo din.)
Ngayon ay maaari lamang nating palitan ang ating data sa formula:
isang 17 \u003d isang 1 + (17-1) (-0.5)
oo, isang 17 alam namin na ito ay -2. Okay, ilagay natin ito sa:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Iyon, sa esensya, ay lahat. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula, at kalkulahin. Makukuha mo ang sagot: a 1 = 6.
Ang ganitong pamamaraan - pagsulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay nakakatulong nang malaki mga simpleng gawain. Buweno, dapat, siyempre, makapagpahayag ng isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, ang matematika ay hindi maaaring pag-aralan sa lahat ...
Isa pang tanyag na problema:
Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n) kung a 1 =2; a 15 =12.
Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Isaalang-alang ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (espesyal na highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan sa formula:
12=2 + (15-1)d
Gawin natin ang aritmetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ito ang tamang sagot.
Kaya, mga gawain isang n, isang 1 at d nagpasya. Ito ay nananatiling matutunan kung paano hanapin ang numero:
Ang bilang na 99 ay miyembro ng isang arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.
Pinapalitan namin ang mga kilalang dami sa formula ng ika-n na termino:
a n = 12 + (n-1) 3
Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n ay ilang miyembro ng progression na may numero n... At ang miyembrong ito ng pag-unlad ay kilala natin! It's 99. Hindi namin alam ang number niya. n, kaya kailangan ding mahanap ang numerong ito. Palitan ang termino ng pag-usad 99 sa formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.
At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):
Tukuyin kung ang bilang na 117 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga pagpipilian? Hm... Why do we need eyes?) Nakikita ba natin ang unang miyembro ng progression? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: isang 1 \u003d -3.6. Pagkakaiba d maaaring matukoy mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Oo, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa isang hindi kilalang numero n at isang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam na ... How to be!? Well, how to be, how to be... I-on Mga malikhaing kasanayan!)
Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo-oo!)) at palitan ang aming mga numero:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Muli naming ipinapahayag mula sa pormulan, binibilang namin at nakukuha namin:
Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga pag-unlad Hindi maaaring. Anong konklusyon ang gagawin natin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng ika-101 at ika-102 na miyembro. Kung ang numero ay naging natural, i.e. positive integer, kung gayon ang numero ay magiging miyembro ng progression na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: hindi.
Gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng kondisyon:
isang n \u003d -4 + 6.8n
Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.
Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula ... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - din ang formula ng n-th miyembro ng isang arithmetic progression! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.
Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat, ay fatally nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng isang arithmetic progression dito nakatago. Wala, hahanapin natin ngayon.)
Tulad ng sa mga nakaraang gawain, pinapalitan natin n=1 sa ang formula na ito:
isang 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!
Katulad nito, hinahanap namin ang ikasampung termino:
isang 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Hanggang dito na lang.
At ngayon, para sa mga nakabasa hanggang sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)
Kumbaga, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan, ang GIA o ang Unified State Examination, nakalimutan mo kapaki-pakinabang na pormula nth miyembro ng isang arithmetic progression. May pumapasok sa isip, ngunit sa paanuman ay hindi tiyak ... Kung n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?
Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Hindi masyadong mahigpit, ngunit upang makatiyak at tamang desisyon sapat na iyan!) Para sa konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.
Gumuhit kami numerical axis at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At tandaan ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:
Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng pangalawang termino? Pangalawa isa d:
a 2 =a 1 + 1 d
Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.
a 3 =a 1 + 2 d
Nakuha mo ba? Hindi ako walang kabuluhan sa pag-highlight ng ilang mga salita naka-bold. Okay, isang hakbang pa.)
Ano ang pang-apat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.
a 4 =a 1 + 3 d
Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga gaps, i.e. d, palagi mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, hanggang sa bilang n, bilang ng mga puwang magiging n-1. Kaya, ang formula ay magiging (walang mga pagpipilian!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay lubhang nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon ... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring maglagay ng larawan sa isang equation...
Mga gawain para sa malayang desisyon.
Para sa warm-up:
1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; isang 5 \u003d 5.1. Maghanap ng 3.
Hint: ayon sa larawan, ang problema ay nalutas sa loob ng 20 segundo ... Ayon sa formula, ito ay nagiging mas mahirap. Ngunit para sa mastering ang formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay malulutas pareho ng larawan at ng formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)
At hindi na ito isang warm-up.)
2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .
Ano, pag-aatubili na gumuhit ng larawan?) Pa! Mas maganda sa formula, oo...
3. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:isang 1 \u003d -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay ibinibigay sa paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa isandaan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay makakagawa ng ganoong gawain.) Ngunit ang pormula ng ika-10 termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!
4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.
5. Ayon sa kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong miyembro ng pag-unlad.
6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika ay -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay zero. Maghanap ng 14 .
Hindi ang pinakamadaling gawain, oo ...) Dito ang paraan "sa mga daliri" ay hindi gagana. Kailangan mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.
Mga sagot (magulo):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Nangyari? Maayos!)
Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari ito. Siyanga pala, sa huling assignment mayroong isang banayad na punto. Ang pagiging maasikaso kapag nagbabasa ng problema ay kinakailangan. At lohika.
Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasya para sa ikaapat, at ang banayad na sandali para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema para sa formula ng ika-10 termino - lahat ay pininturahan. Nirerekomenda ko.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Ang motto ng aming aralin ay ang mga salita ng Russian mathematician na si V.P. Ermakova: "Sa matematika, hindi dapat tandaan ang mga formula, ngunit ang mga proseso ng pag-iisip."
Sa panahon ng mga klase
Pagbubuo ng problema
Sa pisara ay isang larawan ni Gauss. Sinabi ng isang guro o mag-aaral na binigyan ng gawain nang maaga upang maghanda ng isang mensahe na noong nasa paaralan si Gauss, hiniling ng guro sa mga mag-aaral na pagsamahin ang lahat. mga integer mula 1 hanggang 100. Nalutas ni Little Gauss ang problemang ito sa isang minuto.
Tanong . Paano nakuha ni Gauss ang sagot?
Maghanap ng mga solusyon
Ipinapahayag ng mga mag-aaral ang kanilang mga pagpapalagay, pagkatapos ay buod: napagtatanto na ang mga kabuuan ay 1 + 100, 2 + 99, atbp. ay pantay, pinarami ng Gauss ang 101 sa 50, iyon ay, sa bilang ng mga naturang kabuuan. Sa madaling salita, napansin niya ang isang pattern na likas sa isang arithmetic progression.
Derivation ng sum formula n ang mga unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika
Isulat ang paksa ng aralin sa pisara at sa iyong mga kuwaderno. Ang mga mag-aaral, kasama ang guro, ay isulat ang pinagmulan ng pormula:
Hayaan a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; isang n – 2 ; isang n – 1 ; isang n- pag-unlad ng aritmetika.
Pangunahing pangkabit
1. Lutasin natin, gamit ang formula (1), ang problemang Gauss:
2. Gamit ang formula (1), lutasin ang mga problema nang pasalita (nakasulat sa pisara o code positive ang kanilang mga kondisyon), ( isang n) - pag-unlad ng aritmetika:
a) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?
b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]
sa) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]
G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?
3. Tapusin ang gawain.
binigay :( isang n) - pag-unlad ng aritmetika;
a 1 = 3, a 60 = 57.
Hanapin: S 60 .
Solusyon. Gamitin natin ang sum formula n ang mga unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika
Sagot: 1800.
Karagdagang tanong. Ilang uri ng iba't ibang suliranin ang maaaring malutas ng formula na ito?
Sagot. Apat na uri ng mga gawain:
Hanapin ang halaga S n;
Hanapin ang unang termino ng isang arithmetic progression a 1 ;
Hanapin n-ika-miyembro ng isang arithmetic progression isang n;
Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression.
4. Kumpletuhin ang gawain: Blg. 369(b).
Hanapin ang kabuuan ng animnapu't isang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ( isang n), kung a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.
Solusyon. 
Sagot: 1230.
Karagdagang tanong. Isulat ang formula n ika-isang miyembro ng isang arithmetic progression.
Sagot: isang n = a 1 + d(n – 1).
5. Kalkulahin ang formula para sa unang siyam na termino ng isang arithmetic progression ( b n),
kung b 1 = –17, d =
6.
Posible bang kalkulahin kaagad gamit ang isang formula?
Hindi, dahil hindi alam ang ikasiyam na termino.
Paano ito mahahanap?
Ayon sa formula n ika-isang miyembro ng isang arithmetic progression.
Solusyon. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;
Sagot: 63.
Tanong. Posible bang mahanap ang kabuuan nang hindi kinakalkula ang ikasiyam na termino ng pag-unlad?
Pagbubuo ng problema
Problema: kumuha ng sum formula n ang mga unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, alam ang unang termino nito at ang pagkakaiba d.
(Ang output ng formula sa pisara ng mag-aaral.)
Magpasya No. 371(a) sa bagong formula (2):
Pasalitang pagsama-samahin ang mga formula (2) ( Ang mga kondisyon ng gawain ay nakasulat sa pisara).
(isang n
1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?
2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]
Itanong sa mga estudyante kung anong mga tanong ang hindi nila naiintindihan.
Pansariling gawain
Pagpipilian 1
Ibinigay: (isang n) ay isang arithmetic progression.1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?
2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?
Opsyon 2
Ibinigay: (isang n) ay isang arithmetic progression.
1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]
2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?
Ang mga mag-aaral ay nagpapalit ng mga notebook at nagsusuri ng mga solusyon ng bawat isa.
Ibuod ang asimilasyon ng materyal batay sa mga resulta ng malayang gawain.
