Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus, Graph, Definitionsbereich, Wertemenge, Grundformeln, Ableitung, Integral, Erweiterung in Power-Reihe und Darstellen der Funktion ln x durch komplexe Zahlen.

Definition

natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = In x, invers zum Exponenten, x \u003d e y , und das ist der Logarithmus zur Basis der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus ist in der Mathematik weit verbreitet, weil seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = In x.

Graph des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = In x) wird aus dem Exponentendiagramm erhalten Spiegelbild relativ zur Geraden y = x .

Der natürliche Logarithmus ist mit definiert positive Werte Variable x. Es wächst monoton auf seinem Definitionsbereich.

Als x → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( - ∞ ).

Da x → + ∞ ist, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus unendlich ( + ∞ ). Für große x steigt der Logarithmus eher langsam an. Irgendein Machtfunktion x a mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion, hat also keine Extrema. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

Protokoll 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann in natürlichen Logarithmen ausgedrückt werden, indem die Basisänderungsformel verwendet wird:

Die Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt "Logarithmus" vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann .

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus von Modulo x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
So,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie eine Funktion einer komplexen Variablen z :
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul r und Argument φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus haben wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn wir setzen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es dieselbe Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Wie Sie wissen, addieren sich beim Multiplizieren von Ausdrücken mit Potenzen ihre Exponenten immer (a b * a c = a b + c). Dies mathematisches Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet, und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle mit ganzzahligen Indikatoren. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Anwendungsbeispiele für diese Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen zu einfachen Additionen zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie Sie damit arbeiten. Einfache und zugängliche Sprache.

Definition in der Mathematik

Der Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, also der Logarithmus von any nicht negative Zahl(d. h. jedes positive) „b“ zu seiner Basis „a“ wird als die Potenz von „c“ betrachtet, zu der die Basis „a“ erhoben werden muss, um schließlich den Wert „b“ zu erhalten. Analysieren wir den Logarithmus anhand von Beispielen, sagen wir, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist sehr einfach, Sie müssen einen solchen Abschluss finden, dass Sie von 2 bis zum erforderlichen Abschluss 8 erhalten. Nachdem Sie einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das zu Recht, denn 2 hoch 3 ergibt die Zahl 8 in der Antwort.

Sorten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten scheint dieses Thema kompliziert und unverständlich zu sein, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich an ihre Eigenschaften und einige Regeln zu erinnern. Dort sind drei bestimmte Typen logarithmische Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, dessen Basis die Euler-Zahl ist (e = 2,7).
2. Dezimal a, wobei die Basis 10 ist.
3. Der Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen ist entschieden auf übliche Weise, die Vereinfachung, Reduzierung und anschließende Reduzierung auf einen Logarithmus mit einschließt logarithmische Sätze. Zum bekommen richtige Werte Logarithmen, sollten Sie sich bei ihren Entscheidungen deren Eigenschaften und die Abfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regelbeschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie sind nicht diskussionswürdig und wahr. Zum Beispiel können Sie Zahlen nicht durch Null teilen, und es ist auch nicht möglich, die Wurzel zu ziehen sogar Grad aus negative Zahlen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• die Basis "a" muss immer größer als Null und gleichzeitig ungleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, weil "1" und "0" in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass "c" größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wurde die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x \u003d 100 zu finden. Es ist sehr einfach, Sie müssen eine solche Potenz wählen und die Zahl zehn auf 100 erhöhen. Dies ist natürlich 10 2 \u003d 100.

Nun stellen wir uns vor gegebenen Ausdruck in logarithmischer Form. Wir erhalten log 10 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen darauf, den Grad zu finden, in dem die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Für eine fehlerfreie Ermittlung des Wertes unbekannter Grad Sie müssen lernen, wie man mit einer Gradtabelle arbeitet. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen können, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über eine technische Denkweise und Kenntnisse des Einmaleins verfügen. Allerdings z große Werte Sie brauchen eine Gradtabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die überhaupt nichts in Komplexen verstehen mathematische Themen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, zu der die Zahl a erhoben wird. An der Kreuzung in den Zellen werden die Werte der Zahlen ermittelt, die die Antwort sind (a c = b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, erhalten wir den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der echteste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen Zahlenausdrücke als logarithmische Gleichung geschrieben werden. Zum Beispiel kann 3 4 = 81 als Logarithmus von 81 zur Basis 3 geschrieben werden, was vier ist (log 3 81 = 4). Zum negative Kräfte Die Regeln sind die gleichen: 2 -5 \u003d 1/32 schreiben wir in Form eines Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) \u003d -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema "Logarithmen". Wir werden Beispiele und Lösungen von Gleichungen etwas weiter unten betrachten, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Ein Ausdruck der folgenden Form ist gegeben: log 2 (x-1) > 3 - es ist logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert "x" unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gesuchten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus von 2 x = √9) eine oder mehrere Besonderheiten implizieren Zahlenwerte, während beim Lösen die Ungleichungen als Fläche definiert werden zulässige Werte, und die Unstetigkeitspunkte dieser Funktion. Folglich ist die Antwort keine einfache Menge einzelne Nummern wie in der Lösung der Gleichung, und a fortlaufende Reihe oder eine Reihe von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Beim Lösen primitiver Aufgaben zum Ermitteln der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später mit Beispielen für Gleichungen vertraut machen, lassen Sie uns zuerst jede Eigenschaft genauer analysieren.

1. Die grundlegende Identität sieht so aus: a logaB =B. Es gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins, und B größer als null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Außerdem gilt Voraussetzung ist: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Du kannst einen Beweis für diese Logarithmenformel geben, mit Beispielen und einer Lösung. Seien log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2 , dann a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1+f2 (Gradeigenschaften ) und weiter per Definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was zu beweisen war.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht so aus: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel erwirbt nächste Ansicht: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird "Eigenschaft des Grades des Logarithmus" genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und es ist nicht überraschend, da alle Mathematik auf regelmäßigen Postulaten beruht. Schauen wir uns den Beweis an.

Lassen Sie log a b \u003d t, es stellt sich heraus, dass a t \u003d b. Potenziert man beide Teile mit m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n , also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmusproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Problembüchern und sind auch enthalten in obligatorischer Teil mathematische Prüfungen. Für die Zulassung zur Universität oder das Bestehen Aufnahmeprüfungen in Mathematik muss man wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es jedoch keinen einzelnen Plan oder Schema zum Lösen und Bestimmen des unbekannten Werts des Logarithmus für jeden mathematische Ungleichheit oder die logarithmische Gleichung kann angewendet werden bestimmte Regeln. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder reduziert werden kann Gesamtansicht. Lange vereinfachen logarithmische Ausdrücke Sie können, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie bald kennen.

Beim Lösen von logarithmischen Gleichungen muss festgestellt werden, welche Art von Logarithmus wir vor uns haben: Ein Beispiel für einen Ausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass Sie bestimmen müssen, inwieweit die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen Natürliche Logarithmen bewerben müssen logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften. Schauen wir uns die Lösung anhand von Beispielen an. Logarithmische Probleme Anderer Typ.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Anwendung der Hauptsätze auf Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - wie Sie sehen können, ist es uns mit der vierten Eigenschaft des Grads des Logarithmus gelungen, auf den ersten Blick einen komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Es muss lediglich die Basis faktorisiert werden und anschließend die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden.

Aufgaben aus der Klausur

Logarithmen findet man oft in Aufnahmeprüfungen, vor allem viele logarithmische Probleme in der Klausur ( Staatsexamen für alle Abiturienten). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Testteil Prüfung), sondern auch in Teil C (die schwierigsten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung setzt eine genaue und perfekte Kenntnis des Themas "Natürliche Logarithmen" voraus.

Beispiele und Problemlösungen sind amtlichen entnommen USE-Optionen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2 , durch die Definition des Logarithmus erhalten wir, dass 2x-1 = 2 4 , also 2x = 17; x = 8,5.

• Alle Logarithmen werden am besten auf dieselbe Basis reduziert, damit die Lösung nicht umständlich und verwirrend wird.
• Alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden als positiv angezeigt. Wenn Sie also den Exponenten des Exponenten des Ausdrucks herausnehmen, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht und als Basis dient, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Logarithmische Ausdrücke, Lösung von Beispielen. In diesem Artikel werden wir Probleme im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen betrachten. Die Aufgaben werfen die Frage auf, den Wert des Ausdrucks zu finden. Es sollte beachtet werden, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Wie bei der USE wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen verwendet, in angewandte Aufgaben, auch bei Aufgaben rund um das Studium von Funktionen.

Hier sind Beispiele, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Logarithmische Grundidentität:

Eigenschaften von Logarithmen, die Sie sich immer merken müssen:

*Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe die Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz der Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Logarithmus des Grades ist gleich dem Produkt Exponent zum Logarithmus seiner Basis.

* * *

*Übergang zur neuen Basis

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Das Berechnen von Logarithmen ist eng mit der Verwendung der Eigenschaften von Exponenten verbunden.

Wir listen einige davon auf:

Wesen gegebenes Eigentum ist, dass sich beim Übertragen des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten ins Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Folge dieser Eigenschaft:

* * *

Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis gleich, aber die Exponenten werden multipliziert.

* * *

Wie Sie sehen können, ist das eigentliche Konzept des Logarithmus einfach. Hauptsache es wird gebraucht gute Übung, was eine bestimmte Fertigkeit verleiht. Formelkenntnisse sind natürlich obligatorisch. Wenn die Fähigkeit zur Transformation elementarer Logarithmen nicht gebildet wird, dann beim Lösen einfache Aufgaben es ist leicht, einen Fehler zu machen.

Übe, löse zuerst die einfachsten Beispiele aus dem Mathekurs und gehe dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie die „hässlichen“ Logarithmen gelöst werden, solche wird es bei der Klausur nicht geben, aber sie sind interessant, nicht verpassen!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz finden, mit der Sie eine Zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei in die vierte Potenz erheben. Und um 64 zu bekommen, musst du zwei hoch sechs potenzieren. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und jetzt - tatsächlich die Definition des Logarithmus:

Der Logarithmus zur Basis a des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a potenziert werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Notation: log a x \u003d b, wobei a die Basis ist, x das Argument ist, b eigentlich gleich dem Logarithmus ist.

Zum Beispiel 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Könnte auch 2 64 = 6 protokollieren, weil 2 6 = 64 .

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu finden, wird Logarithmus genannt. Also fügen wir unserer Tabelle eine neue Zeile hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	Protokoll 2 4 = 2	Protokoll 2 8 = 3	Protokoll 2 16 = 4	Protokoll 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider werden nicht alle Logarithmen so einfach berücksichtigt. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik diktiert, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Denn 2 2< 5 < 2 3 , а чем mehr Grad zwei, desto größer wird die Zahl sein.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können unbegrenzt geschrieben werden, und sie wiederholen sich nie. Wenn sich herausstellt, dass der Logarithmus irrational ist, belassen Sie ihn besser so: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Es ist wichtig zu verstehen, dass der Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen ist (Basis und Argument). Zuerst verwechseln viele Leute, wo die Basis und wo das Argument ist. Vermeiden bedauerliche Missverständnisse schau dir einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition des Logarithmus. Denken Sie daran: Der Logarithmus ist die Potenz, auf die Sie die Basis erhöhen müssen, um das Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die potenziert wird – im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Diese wunderbare Regel sage ich meinen Schülern in der allerersten Stunde – und es gibt keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden - es bleibt zu lernen, wie man Logarithmen zählt, d.h. das "log"-Zeichen loswerden. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies ergibt sich aus der Definition des Abschlusses rationaler Indikator, auf die sich die Definition des Logarithmus reduziert.
2. Die Basis muss sich von der Einheit unterscheiden, da eine Einheit für jede Macht immer noch eine Einheit ist. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Potenz muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen werden genannt gültiger Bereich(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Beachten Sie, dass der Zahl b (dem Wert des Logarithmus) keine Beschränkungen auferlegt werden. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 \u003d -1, weil 0,5 = 2 −1 .

Derzeit überlegen wir jedoch nur numerische Ausdrücke, wobei es nicht erforderlich ist, die ODZ des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden bereits von den Compilern der Probleme berücksichtigt. Aber wenn sie gehen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten werden DHS-Anforderungen obligatorisch. Tatsächlich kann es in der Grundlage und Argumentation sehr starke Konstruktionen geben, die nicht unbedingt den obigen Einschränkungen entsprechen.

Jetzt bedenke allgemeines Schema logarithmische Berechnungen. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, wobei die kleinstmögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, Dezimalbrüche loszuwerden;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b ist die Antwort.

Das ist alles! Erweist sich der Logarithmus als irrational, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr relevant: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich zu Dezimalstellen: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche übersetzen, treten um ein Vielfaches weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Eine Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Fünferpotenz dar: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Antwort erhalten: 2.

Eine Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Eine Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Antwort erhalten: 3.

Eine Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Antwort erhalten: 0.

Eine Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Potenz von sieben dar: 7 = 7 1 ; 14 wird nicht als Siebenerpotenz dargestellt, weil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird;
3. Die Antwort ist keine Änderung: log 7 14.

Eine kleine Anmerkung dazu letztes Beispiel. Wie kann man sicherstellen, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Ganz einfach - erweitern Sie es einfach in Hauptfaktoren. Wenn es mindestens zwei unterschiedliche Faktoren in der Erweiterung gibt, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Eine Aufgabe. Finden Sie heraus, ob die genauen Potenzen der Zahl sind: 8; 48; 81; 35; vierzehn .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - der genaue Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - genauer Grad;
35 = 7 5 - wieder kein exakter Grad;
14 \u003d 7 2 - wieder kein genauer Grad;

Wir stellen auch fest, dass wir Primzahlen sind immer exakte Potenzen ihrer selbst.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so verbreitet, dass sie einen besonderen Namen und eine besondere Bezeichnung haben.

Der dezimale Logarithmus des x-Arguments ist der Basis-10-Logarithmus, d.h. die Potenz, mit der Sie die Zahl 10 erhöhen müssen, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x .

Zum Beispiel log 10 = 1; Protokoll 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ im Lehrbuch erscheint, wissen Sie, dass dies kein Tippfehler ist. Das dezimaler Logarithmus. Wenn Sie eine solche Bezeichnung jedoch nicht gewohnt sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für Dezimalzahlen.

natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus mit eigener Notation. In gewisser Weise ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Es geht umüber den natürlichen Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Basis-e-Logarithmus, d.h. die Potenz, mit der die Zahl e potenziert werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e noch? Das irrationale Zahl, seine genauer Wert unmöglich zu finden und aufzuzeichnen. Hier nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht näher darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Also ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus von jedem Rationale Zahl irrational. Außer natürlich Eins: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen gelten.

aus seiner Definition abgeleitet. Und damit der Logarithmus der Zahl b aus grund a definiert als der Exponent, zu dem eine Zahl erhöht werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung ax=b. Zum Beispiel, Protokoll 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das zu begründen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich Mit. Es ist auch klar, dass das Thema des Logarithmus eng mit dem Thema der Potenz einer Zahl zusammenhängt.

Mit Logarithmen kannst du, wie mit allen Zahlen, durchführen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise umwandeln. Aber in Anbetracht der Tatsache, dass Logarithmen keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gelten hier eigene Sonderregeln, die genannt werden Grundeigenschaften.

Addition und Subtraktion von Logarithmen.

Nehmen wir zwei Logarithmen die gleichen Gründe: Protokoll x und log a y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = Protokoll x 1 + Protokoll x 2 + Protokoll x 3 + ... + Log a x k.

Aus Quotienten-Logarithmus-Theoreme Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann erhalten werden. Es ist bekannt, dass log a 1 = 0, also

Protokoll a 1 /b= anmelden a 1 - Protokoll ein b= -log ein b.

Es gibt also eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen auf der gleichen Basis unterscheiden sich nur im Vorzeichen. So:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.