Das Studium der Gleichungen im mittleren Glied beginnt mit der Einführung der Lösung lineare Gleichungen und Gleichungen, die sich auf lineare reduzieren.

Die im allgemeinen Definitionsbereich betrachtete Gleichheit zweier Funktionen wird als Gleichung bezeichnet. Die in der Gleichung enthaltenen Variablen sind bezeichnet mit lateinischen Buchstaben x, y, z, t ... Eine Gleichung mit einer Variablen x in allgemeiner Form wird wie folgt geschrieben f (x) \u003d g (x).

Jeder Wert der Variablen, bei dem die Ausdrücke f(x) und g(x) gleiche numerische Werte annehmen, wird Wurzel der Gleichung genannt.

Das Lösen einer Gleichung bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine gibt.

Beispielsweise hat die Gleichung 3+x=7 eine einzige Wurzel 4, da mit dieser und nur mit diesem Wert der Variablen 3+x=7 die Gleichheit gilt.

Die Gleichung (x-1)(x-2)=0 hat 2 Wurzeln 1 und 2.

Die Gleichung x 2 +1=0 hat keine echten Wurzeln, da die Summe von zwei positive Zahlen ist nicht gleich 0.

Um eine Gleichung mit einer Variablen zu lösen, muss der Schüler wissen: erstens die Regeln, Formeln oder Algorithmen zum Lösen solcher Gleichungen und zweitens die Regeln zum Ausführen identischer und äquivalente Transformationen, mit deren Hilfe diese Gleichung auf die einfachsten reduziert werden kann.

Somit besteht die Lösung jeder Gleichung aus zwei Hauptteilen:

1. Transformationen gegebene Gleichung zum einfachsten
2. Lösen der einfachsten Gleichungen nach bekannten Regeln, Formeln oder Algorithmen.

Wenn der zweite Teil algorithmisch ist, dann ist der erste Teil weitgehend heuristisch, was für Studenten am schwierigsten ist. Beim Lösen der Gleichung versuchen sie, sie durch eine einfachere zu ersetzen, daher ist es wichtig zu wissen, mit welchen Transformationen dies möglich ist. Hier ist es notwendig, den Äquivalenzbegriff in einer dem Kind zugänglichen Form zu vermitteln.

Gleichungen, die die gleichen Wurzeln haben, heißen äquivalent. Gleichungen werden auch als äquivalent angesehen, von denen jede keine Wurzeln hat.

Zum Beispiel sind die Gleichungen x+2=5 und x+5=8 äquivalent, da jede von ihnen eine einzige Wurzel hat – die Zahl 3. Die Gleichungen x 2 +1=0 und 2x 2 +5=0 sind ebenfalls äquivalent - keiner von ihnen hat Wurzeln.

Die Gleichungen x-5=1 und x2=36 sind nicht äquivalent, da erstere nur eine Wurzel x=6 hat, während letztere zwei Wurzeln 6 und -6 hat.

Äquivalente Transformationen umfassen:

1) Wenn wir dieselbe Zahl oder denselben ganzen algebraischen Ausdruck, der die Unbekannte enthält, zu beiden Teilen der Gleichung hinzufügen, dann wird die neue Gleichung der gegebenen äquivalent sein.

2) Wenn beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, wird eine Gleichung erhalten, die der gegebenen entspricht.

Beispielsweise entspricht die Gleichung der Gleichung x 2 - 1 = 6x

3) Wenn in der Gleichung die Klammern erweitern und bringen wie Begriffe, dann erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Das Lösen von Gleichungen beginnt mit den einfachsten linearen Gleichungen und Gleichungen, die sich auf sie reduzieren. Die Definition einer linearen Gleichung wird gegeben und die Fälle, in denen sie eine Lösung hat, werden betrachtet; hat keine Lösungen und hat unendlicher Satz Lösungen.

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen x ist eine Gleichung der Form ax \u003d b, wobei a und b reelle Zahlen sind, a Koeffizient der Variablen genannt wird, b ein freies Mitglied ist.

Für eine lineare Gleichung kann ax = b gelegentlich dargestellt werden:

Viele Gleichungen werden durch Transformationen auf lineare reduziert.

In Klasse 7 können Sie also die folgenden Gleichungen anwenden:

1)

Diese Gleichung reduziert sich auf eine lineare Gleichung.

Multipliziert man beide Teile mit 12 (kleinster gemeinsamer Nenner 3, 4, 6, 12), erhalten wir:

8 + 3x + 2 - 2x = 5x -12,

8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x,

Antwort: 5.5.

2) Zeigen wir, dass die Gleichung 2 (x + 1) - 1 = 3 - (1 - 2x) keine Wurzeln hat.

Vereinfache beide Seiten der Gleichung:

2x + 2 - 1 = 3 - 1 + 2x,

2x + 1 = 2 + 2x,

2x - 2x \u003d 2 - 1,

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, weil die linke Seite von 0 x ist für jedes x 0 und daher ungleich 1.

3) Zeigen wir, dass die Gleichung 3(1 - x) + 2 = 5 - 3x unendlich viele Wurzeln hat.

Beim Durcharbeiten des Themas „Lineare Gleichungen mit zwei Variablen“ können Sie den Schülern eine grafische Möglichkeit zur Lösung der Gleichung anbieten. Dieses Verfahren basiert auf der Verwendung von Graphen von Funktionen, die in der Gleichung enthalten sind. Das Wesentliche der Methode: die Abszissen der Schnittpunkte der Funktionsgraphen auf der linken und rechten Seite der Gleichung zu finden. Basierend auf den folgenden Schritten:

1) Wandeln Sie die ursprüngliche Gleichung in die Form f(x) = g(x) um, wobei f(x) und g(x) Funktionen sind, Graphen, die erstellt werden können.
2) Erstelle Graphen der Funktionen f(x) und g(x)
3) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der konstruierten Graphen.
4) Bestimme die Abszissen der gefundenen Punkte. Sie geben eine Reihe von Lösungen für die ursprüngliche Gleichung an.
5) Schreiben Sie die Antwort auf.

Vorteil diese Methode ist, dass es einfach ist, die Anzahl der Wurzeln der Gleichung zu bestimmen. Der Nachteil ist, dass die Wurzeln im Allgemeinen näherungsweise bestimmt werden.

Der nächste Schritt beim Studium linearer Gleichungen sind Gleichungen mit Modulen, und einige Lösungen werden auf verschiedene Arten durchgeführt.

Das Lösen von Gleichungen, die das Vorzeichen des Moduls enthalten, und von Gleichungen mit Parametern kann als forschungsnahe Tätigkeit bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass die Wahl der Lösungsmethode, des Lösungsprozesses und der Aufzeichnung der Antwort ein gewisses Maß an Bildung der Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Analysieren, Aufstellen und Testen einer Hypothese sowie zum Verallgemeinern der erhaltenen Ergebnisse voraussetzen .

Von besonderem Interesse sind Gleichungen, die das Modulzeichen enthalten.

Nach Definition des Moduls der Zahl a haben wir:

Die Zahl –a kann negativ sein, wenn a>0; -a positiv für a<0. из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Оно же показывает, как избавиться от модуля в алгебраических выражениях.

Daher x=5 oder x=-5.

Betrachten Sie die Gleichung.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Gleichung zu lösen.

1 Weg. Nach Definition des Moduls einer Zahl gilt:

Also x - 3 = 7 oder –x + 3 = 7,

x=10 oder x=-4.

Antwort: 10; -vier.

2 Wege - Grafik. Die Gleichung kann als System aus zwei Gleichungen geschrieben werden:

Wir konstruieren Graphen von Funktionen und .

Die Abszissen der Schnittpunkte dieser Graphen sind die Lösung der Gleichung.

Antwort: -4; zehn.

Lösen Sie eine Gleichung, die mehr als ein Modul enthält

Lassen Sie uns den folgenden Algorithmus verwenden.

1. Markieren Sie alle Nullen von Submodulausdrücken auf einem in Intervalle unterteilten Zahlenstrahl, auf dem alle Submodulausdrücke ein konstantes Vorzeichen haben.
2. Nehmen Sie aus jedem Intervall eine beliebige Zahl und bestimmen Sie das Vorzeichen des submodularen Ausdrucks durch Zählen, öffnen Sie die Module.
3. Lösen Sie die Gleichung und wählen Sie eine Lösung, die zu dem gegebenen Intervall gehört.

So, Submodulausdrücke verschwinden bei x = -1 und x = -3.

Ich intervall. Sei x < - 3, dann in diesem Intervall , und die Gleichung nimmt die Form an

- x - 1 - x - 3 \u003d 4,

und damit die Wurzel der Gleichung.

II Intervall. Lassen Sie -3< х < -1, тогда , , erhalten wir die Gleichung –x – 1 + x + 3 = 4,

Auf dem Intervall (-3; -1) hat die Gleichung also keine Wurzeln.

III-Intervall. Sei x > -1 dann

x + 1 + x + 3 = 4,

Wir sehen, dass die Zahl 0 zum Intervall gehört. Ebenso die Wurzel. Also die Gleichung hat zwei Wurzeln: 0 und -4.

Auf der einfache Beispiele Betrachten Sie einen Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mit Parametern: Fläche zulässige Werte, Definitionsbereich, allgemeine Lösungen, Kontrollwerte von Parametern, Arten bestimmter Gleichungen. Die Wege, sie zu finden, werden in jedem Gleichungstyp separat festgelegt.

Basierend auf den eingeführten Konzepten definieren wir das allgemeine Schema zum Lösen einer beliebigen Gleichung F(a;x)=0 mit Parameter a (für den Fall von zwei Parametern ist das Schema ähnlich):

• der Bereich der zulässigen Werte des Parameters und der Definitionsbereich werden festgelegt;
• Kontrolle Parameterwerte, Unterteilen des Bereichs zulässiger Werte des Parameters in Bereiche der Einheitlichkeit von Teilgleichungen;
• für die Kontrollwerte des Parameters werden die entsprechenden Teilgleichungen separat untersucht;
• allgemeine Lösungen x=f 1 (a),…, f k (a) der Gleichung F(a;x)=0 findet man auf den entsprechenden Mengen À f1 ,…, À fk von Parameterwerten;
• ein Modell allgemeiner Lösungen, Kontrollwerte des Parameters werden zusammengestellt;
• Intervalle von Parameterwerten mit dem gleichen gemeinsame Lösungen(Bereiche der Einheitlichkeit);
• Für die Kontrollwerte des Parameters und ausgewählte Gleichmäßigkeitsbereiche werden die Eigenschaften aller Arten bestimmter Gleichungen geschrieben
• Spezieller Ort wird in der Algebra linearen Gleichungen mit Parametern zugeordnet.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

1.	2x - 3 \u003d m + 1, 2x - 3 \u003d + 4 m + 1,	wobei m ein unbekannter Parameter ist. Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit 3 multiplizieren, erhalten wir
	6x - 9 \u003d m x + 12m +3, 6x - mx + 12m + 12,	Nehmen wir heraus gemeinsamer Faktor Klammern, bekommen wir
	x (6-m) = 12(m+1), , 6 – m? 0,m? 6.	weil es im Nenner eines Bruches steht.
Antwort: , für m 6.

Die Gleichung 2x - 3 + m (x / 3 + 4) + 1 hat viele Lösungen, durch die Formel gegeben für alle Werte von m außer 6.

2. , für m 2, x 1, n 0.

mx - n = 2x - 2 + 2n + 3xn,

mx - 2x - 3xn = - 2 + 2n + n,

mx - 2x - 3xn = 3n - 2,

x (m - 2 - 3n) = 3n - 2, mit m 2, x 1, n 0.

Betrachten Sie dann den Fall, wo a = 0 ist

m - 2 - 3n = 0,

m = 3n +2, für n 0

0 x \u003d 3n - 2,

a) 3n ​​​​- 2 = 0,

x(4 - 2 - 3) = 3 - 2,

x ist eine beliebige Zahl außer x = 1.

0 x = b. In diesem Fall hat die Gleichung keine Lösungen.

m – 2 – 3n 0

x = , wenn x ? eines,

3n - 2m - 2 - 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

In diesem Fall hat die Gleichung keine Lösungen.

Daher ist x für n = und m = 4 eine beliebige Zahl außer 1; für n = 0, m = 6n

(n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2, die Gleichung hat keine Lösungen. Für alle anderen Parameterwerte x = .

Antwort: 1. n = , m = 4 - x? R\.

2. n \u003d 0, m \u003d 6n (n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2 - es gibt keine Lösungen.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

In Zukunft wird vorgeschlagen, die Lösung von Problemen durch die Methode der Erstellung linearer Gleichungen zu betrachten. Das schwieriger Prozess wo Sie in der Lage sein müssen, zu denken, zu raten, den tatsächlichen Stoff gut zu kennen.

Bei der Lösung jedes Problems müssen vier Phasen klar gekennzeichnet sein:

1. Studieren der Bedingung des Problems;
2. Suche nach einem Lösungsplan und dessen Erstellung;
3. Ausführung der gefundenen Lösung;
4. kritische Analyse Entscheidungsergebnis.

Betrachten Sie nun die Probleme, bei deren Lösung lineare Gleichungen verwendet werden.

1. Eine Legierung aus Kupfer und Zink enthält 640 g mehr Kupfer als Zink. Nachdem 6/7 des darin enthaltenen Kupfers und 60 % Zink aus der Legierung isoliert wurden, ergab sich eine Masse der Legierung von 200 g Welche Masse hatte die Legierung ursprünglich?

Es seien x g Zink in der Legierung, dann Kupfer (640 + x) g. 0,4 Teile. Da wir wissen, dass die Masse der Legierung 200 g beträgt, stellen wir eine Gleichung auf.

1/7 (x + 640) + 0,4 x \u003d 200,

x + 640 + 2,8 x \u003d 1400,

3,8x \u003d 1400 - 640,

Zink war also 200 g und Kupfer 840 g.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (g) - Gewicht der Legierung. Antwort: Die Anfangsmasse der Legierung beträgt 1040 g.

2. Wie viel Liter 60 %ige Schwefelsäure müssen 10 Litern 30 %iger Säure zugesetzt werden, um eine 40 %ige Lösung zu erhalten?

Lassen Sie die Literzahl der 60%igen Säure, die wir x l hinzufügen, dann die Lösung reine Säure wird l sein. Und in 10 Liter einer 30% igen Lösung reiner Säure gibt es l. Da wir wissen, dass in der resultierenden (10 + x)-Mischung eine reine Säure l vorhanden ist, stellen wir eine Gleichung auf.

60x + 300 = 40x + 400,

60x - 40x \u003d 400 - 300,

Sie müssen also 5 Liter 60%ige Säure hinzufügen.

Antwort: 5 Liter.

Beim Studium des Themas „Lösung linearer Gleichungen“ empfiehlt sich ein geschichtlicher Hintergrund.

Probleme zum Lösen von Gleichungen ersten Grades finden sich in den babylonischen Keilschrifttexten. Sie haben auch einige Probleme, die zu quadratischen und sogar kubischen Gleichungen führen (letztere wurden anscheinend durch die Auswahl von Wurzeln gelöst). Altgriechische Mathematiker gefunden Geometrische Figur Lösung einer quadratischen Gleichung. In geometrischer Form untersuchte der arabische Mathematiker Omar Khayyam (spätes 11. – frühes 12. Jahrhundert n. Chr.) die kubische Gleichung, obwohl er sie nicht fand allgemeine Formel um es zu lösen. Lösung kubische gleichung wurde Anfang des 16. Jahrhunderts in Italien gefunden. Nach Scipian entschied sich del Ferro für eines private Ansicht Solche Gleichungen 1535 fand der Italiener Tartaglia eine allgemeine Formel. Er bewies, dass die Wurzeln der Gleichung x 3 + px + q = 0 die Form x = haben .

Dieser Ausdruck wird normalerweise Cardanos Formel genannt, nach dem Wissenschaftler, der sie von Tartaglia gelernt und 1545 in seinem Buch The Great Art of Algebraic Rules veröffentlicht hat. Ein Schüler von Cardano, einem jungen Mathematiker Ferrari, löste die allgemeine Gleichung vierten Grades. Danach wurde zweieinhalb Jahrhunderte lang nach einer Formel zur Lösung von Gleichungen fünften Grades gesucht. 1823 bewies der bemerkenswerte norwegische Mathematiker Niels Hendrik Abel (1802-1829), dass es eine solche Formel nicht gab. Genauer gesagt bewies er, dass die Wurzeln allgemeine Gleichung fünften Grades kann nicht durch Rechen- und Wurzelziehoperationen in seinen Koeffizienten ausgedrückt werden. Eine eingehende Untersuchung der Frage nach den Bedingungen für die Lösbarkeit von Gleichungen in Radikalen wurde von dem französischen Mathematiker Evariste Galois (1811-1832) durchgeführt, der im Alter von 21 Jahren in einem Duell starb. Einige Probleme der Galois-Theorie wurden vom sowjetischen Algebraiker I. T. Shafarevich gelöst.

Neben der Suche nach einer Formel zur Lösung einer Gleichung fünften Grades wurden auch weitere Untersuchungen auf dem Gebiet der Theorie algebraischer Gleichungen durchgeführt. Vieta stellte eine Verbindung zwischen den Koeffizienten von Gleichungen und ihren Wurzeln her. Er bewies, dass wenn x 1 ,…,x n die Wurzeln der Gleichung x n + a 1 x n-1 +…+a n =0 sind, dann die Formeln stattfinden:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a,
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n = a 2
……………………………
x 1 x 2 … x n = (-1) n d n .

Literatur:

1. Zeitschrift „Mathematik in der Schule“ 6, 1999
2. Beilage zur Zeitung "Erster September" - Mathematik 20, 1999.
3. S.I. Tumanov "Algebra", ein Handbuch für Schüler der Klassen 6-8.
4. N.I. Alexandrow; I. P. Yarandai „Wörterbuch-Nachschlagewerk zur Mathematik“.
5. UM. Epischew; IN UND. Krupych „Schulkindern das Mathematiklernen beibringen“.
6. E.I.Yamshchenko „Untersuchung der Funktionen“.
7. KI Khudobin; M.F. Shurshalov „Sammlung von Problemen in Algebra und elementaren Funktionen“.
8. Sh. A. Alimov, V.A. Iljin "Algebra Klasse 6-8".

1. Allgemeine Bestimmungen

1.1. Zur Aufrechterhaltung geschäftlicher Ruf und Gewährleistung der Einhaltung der Normen der Bundesgesetzgebung FGAU GNII ITT "Informika" (im Folgenden als das Unternehmen bezeichnet). die wichtigste Aufgabe Gewährleistung der Rechtmäßigkeit der Verarbeitung und Sicherheit personenbezogener Daten von Subjekten in den Geschäftsprozessen des Unternehmens.

1.2. Um dieses Problem zu lösen, hat das Unternehmen ein System zum Schutz personenbezogener Daten eingeführt, betreibt und unterzieht sich einer regelmäßigen Überprüfung (Kontrolle).

1.3. Die Verarbeitung personenbezogener Daten im Unternehmen basiert auf folgenden Grundsätzen:

Die Rechtmäßigkeit der Zwecke und Methoden der Verarbeitung personenbezogener Daten und Treu und Glauben;

Übereinstimmung der Zwecke der Verarbeitung personenbezogener Daten mit den bei der Erhebung personenbezogener Daten festgelegten und erklärten Zwecken sowie den Befugnissen des Unternehmens;

Übereinstimmung des Umfangs und der Art der verarbeiteten personenbezogenen Daten, Methoden der Verarbeitung personenbezogener Daten mit den Zwecken der Verarbeitung personenbezogener Daten;

Zuverlässigkeit personenbezogener Daten, ihre Relevanz und Hinlänglichkeit für die Zwecke der Verarbeitung, Unzulässigkeit der Verarbeitung, die in Bezug auf die Zwecke der Erhebung personenbezogener Daten übermäßig ist;

Legitimität organisatorischer und technischer Maßnahmen zur Gewährleistung der Sicherheit personenbezogener Daten;

Kontinuierliche Verbesserung des Wissensstands der Mitarbeiter des Unternehmens im Bereich der Gewährleistung der Sicherheit personenbezogener Daten während ihrer Verarbeitung;

Streben nach kontinuierlicher Verbesserung des Systems zum Schutz personenbezogener Daten.

2. Zwecke der Verarbeitung personenbezogener Daten

2.1. In Übereinstimmung mit den Grundsätzen der Verarbeitung personenbezogener Daten definiert das Unternehmen die Zusammensetzung und Zwecke der Verarbeitung.

Zwecke der Verarbeitung personenbezogener Daten:

Abschluss, Wartung, Änderung, Beendigung Arbeitsverträge, die die Grundlage für die Entstehung oder Beendigung von Arbeitsverhältnissen zwischen der Gesellschaft und ihren Mitarbeitern sind;

Bereitstellung eines Portals, Dienstleistungen persönliches Konto für Schüler, Eltern und Lehrer;

Speicherung von Lernergebnissen;

Erfüllung von Pflichten aus Bundesgesetzen und anderen behördlichen Rechtsakten;

3. Regeln für die Verarbeitung personenbezogener Daten

3.1. Das Unternehmen verarbeitet nur die personenbezogenen Daten, die in der genehmigten Liste der verarbeiteten personenbezogenen Daten im FSAI GNII ITT „Informika“ aufgeführt sind.

3.2. Das Unternehmen gestattet die Verarbeitung der folgenden Kategorien personenbezogener Daten nicht:

Wettrennen;

Politische Sichten;

Philosophische Überzeugungen;

Über den Gesundheitszustand;

Bundesland intimes Leben;

Staatsangehörigkeit;

Religiöse Ansichten.

3.3. Das Unternehmen verarbeitet keine biometrischen personenbezogenen Daten (Informationen, die die physiologischen und biologischen Merkmale einer Person charakterisieren, anhand derer ihre Identität festgestellt werden kann).

3.4. Das Unternehmen nicht grenzüberschreitende Übermittlung personenbezogene Daten (Übermittlung personenbezogener Daten in das Gebiet ausländischer Staat Behörde eines fremden Staates, fremd zu einer Person oder ausländische juristische Person).

3.5. Das Unternehmen verbietet es, Entscheidungen in Bezug auf Personen mit personenbezogenen Daten ausschließlich auf der Grundlage einer automatisierten Verarbeitung ihrer personenbezogenen Daten zu treffen.

3.6. Das Unternehmen verarbeitet keine Daten zu Strafregistern von Personen.

3.7. Das Unternehmen stellt die personenbezogenen Daten des Subjekts nicht ohne seine vorherige Zustimmung in öffentliche Quellen.

4. Umgesetzte Anforderungen zur Gewährleistung der Sicherheit personenbezogener Daten

4.1. Um die Sicherheit personenbezogener Daten während ihrer Verarbeitung zu gewährleisten, setzt das Unternehmen die folgenden Anforderungen um normative Dokumente Russische Föderation im Bereich der Verarbeitung und Gewährleistung der Sicherheit personenbezogener Daten:

das Bundesgesetz vom 27. Juli 2006 Nr. 152-FZ „Über personenbezogene Daten“;

Regierungsdekret Russische Föderation vom 1. November 2012 N 1119 "Über die Genehmigung der Anforderungen zum Schutz personenbezogener Daten während ihrer Verarbeitung in Informationssysteme persönliche Daten";

Dekret der Regierung der Russischen Föderation vom 15. September 2008 Nr. 687 „Über die Genehmigung der Verordnungen über die Besonderheiten der Verarbeitung personenbezogener Daten, die ohne den Einsatz von Automatisierungstools durchgeführt wird“;

Verordnung des FSTEC Russlands vom 18. Februar 2013 N 21 "Über die Genehmigung der Zusammensetzung und des Inhalts organisatorischer und technischer Maßnahmen zur Gewährleistung der Sicherheit personenbezogener Daten während ihrer Verarbeitung in Informationssystemen für personenbezogene Daten";

Grundlegendes Modell der Sicherheitsbedrohungen personenbezogener Daten während ihrer Verarbeitung in Informationssystemen personenbezogener Daten (genehmigt vom stellvertretenden Direktor des FSTEC Russlands am 15. Februar 2008);

Methodik zur Bestimmung tatsächlicher Bedrohungen der Sicherheit personenbezogener Daten während ihrer Verarbeitung in Informationssystemen für personenbezogene Daten (genehmigt vom stellvertretenden Direktor des FSTEC Russlands am 14. Februar 2008).

4.2. Das Unternehmen bewertet den Schaden, der personenbezogenen Datensubjekten zugefügt werden kann, und ermittelt Bedrohungen für die Sicherheit personenbezogener Daten. In Übereinstimmung mit den identifizierten tatsächlichen Bedrohungen wendet das Unternehmen die notwendigen und ausreichenden organisatorischen und technischen Maßnahmen an, einschließlich des Einsatzes von Informationssicherheitsinstrumenten, der Erkennung unbefugten Zugriffs, der Wiederherstellung personenbezogener Daten, der Festlegung von Regeln für den Zugriff auf personenbezogene Daten sowie Überwachung und Bewertung der Wirksamkeit der getroffenen Maßnahmen.

4.3. Das Unternehmen hat Personen ernannt, die für die Organisation der Verarbeitung und die Gewährleistung der Sicherheit personenbezogener Daten verantwortlich sind.

4.4. Das Management des Unternehmens ist sich der Notwendigkeit bewusst und daran interessiert sicherzustellen, dass sowohl im Hinblick auf die Anforderungen der behördlichen Dokumente der Russischen Föderation als auch im Hinblick auf die Risikobewertung für Unternehmen das Sicherheitsniveau der verarbeiteten personenbezogenen Daten gerechtfertigt ist des Kerngeschäfts des Unternehmens.

Wenn wir Gleichungen lösen, führen wir sie aus, um sie zu vereinfachen identische Transformationen Ausdrücke. In Gleichungen mit einer Variablen kann die Lösung einer Gleichung manchmal auf die Lösung einer äquivalenten linearen Gleichung mit einer Variablen reduziert werden.

Schauen wir uns Beispiele an. Lösen Sie die Gleichung (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x. Multiplizieren Sie auf der linken Seite der Gleichung das Polynom 2x+1 mit dem Polynom 3x-2 und auch das Monom 6x mit dem Polynom x+4. Nach der Multiplikation des Polynoms 2x + 1 mit dem Polynom 3x-2 erhalten wir das Polynom 6x 2 + 3x-4x-2, und nach der Multiplikation des Monoms 6x mit dem Polynom x + 4 erhalten wir das Polynom 6x 2 + 24x. Unsere Gleichung hat die Form (6x 2 + 3x-4x-2) - (6x 2 + 24x) \u003d 67-2x. Danach öffnen wir die Klammern und erhalten 6x 2 + 3x-4x-2-6x 2 -24x \u003d 67-2x. Wir verschieben die Terme mit dem Unbekannten nach links und ohne das Unbekannte nach rechts. Die neue äquivalente Gleichung sieht so aus: 6x 2 -6x 2 +3x-4x+2x-24x=67+2. Wir stellen ähnliche vor. Wir erhalten -23x=69. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch -23. Wir erhalten x=-3. Wir haben die Gleichungen sukzessive durch äquivalente ersetzt. Die ursprüngliche Gleichung entspricht also der Gleichung -23x=69 und hat eine einzelne Wurzel - die Zahl -3.

Zweites Beispiel. Lösen wir die Gleichung (x+2)/3-(3x-1)/4=-2. Auf der linken Seite dieser Gleichung stehen die Brüche (x+2)/3 und (3x-1)/4. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamer Nenner dieser Brüche - die Zahl 12. [(x+2)/3-(3x-1)4].12=-2.12. Lassen Sie uns die Klammern öffnen und jeden Bruch mit 12 multiplizieren. Wir erhalten (x+2)12/3-(3x-1)12/4+-24. Im ersten Bruchteil werden 12 und 3 reduziert und im zweiten 12 und 4. Nach der Reduktion wird unsere Gleichung zu 4 (x + 2) -3 (3x-1) \u003d -24. Damit sind wir die Nenner losgeworden. Nach dem Öffnen der Klammern erhalten wir 4x + 8-9x + 3 \u003d -24. Alles, was eine Variable enthält, wird auf die linke Seite verschoben, und alles, was keine Variable enthält, wird auf die rechte Seite verschoben. Die Gleichung wird 4x-9x=-24-8-3. Wir geben ähnliche und erhalten -5x \u003d -35. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch -5 und es stellt sich heraus, dass x = 7. Durch schrittweises Ersetzen der Gleichung durch einen äquivalenten Parameter haben wir eine lineare Gleichung -5x=-35 erhalten, die der gegebenen äquivalent ist. Diese lineare Gleichung hat eine einzige Wurzel - die Zahl 7.

In den betrachteten Beispielen wurde die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung einer linearen Gleichung der Form ax=b reduziert, bei der der Koeffizient a ungleich 0 ist.

Es kann jedoch auch vorkommen, dass wir durch Ersetzen einer Gleichung durch eine andere Äquivalente eine lineare Gleichung der Form 0x=b erhalten, wobei b ungleich 0 oder 0x=0 ist. Im ersten Fall können wir schlussfolgern, dass die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln hat, da auf der linken Seite der Gleichung 0 steht und auf der rechten Seite die Zahl ungleich 0. Im zweiten Fall hat die Gleichung Unendliche Nummer Wurzeln, weil die linke Seite der Gleichung immer 0 ist und die rechte Seite auch 0. Gleichheit wird immer wahr sein, unabhängig vom Wert der Variablen.

Beispiel drei. Lösen wir die Gleichung (2x-7)/2-(4x-1)/4=0. Auch hier enthält unsere Gleichung Brüche, also multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner. Diese Zahl ist 4. Wir erhalten [(2x-7)/2-(4x-1)/4].4=0,4. Öffnen wir die Klammern: 4(2x-7)/2-4(4x-1)/4=0. Wir reduzieren die Faktoren und erhalten die Gleichung 2(2x-7)-(4x-1)=0. Öffne die Klammern wieder: 4x-14-4x+1=0. Lassen Sie uns die Terme mit dem Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung und ohne das Unbekannte nach rechts verschieben. Die Gleichung hat die Form 4x-4x=14-1. Wir geben ähnliche und erhalten 0x \u003d 13. Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da 0x für jeden Wert von x gleich 0 ist. Es stellt sich heraus, dass für alle Werte von x niemals Gleichheit erreicht wird. Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung, die ihr entspricht, keine Wurzeln hat.

Beispiel vier. Lösen Sie die Gleichung (5x-1)-2(3x-6)=11-x. Öffnen wir die Klammern: 5x-1-6x+12=11-x. Lassen Sie uns die Terme, die x enthalten, auf die linke Seite verschieben, und die, die kein x enthalten, nach rechte Seite Gleichungen. Wir erhalten 5x-6x+x=11+1-12. Geben wir ähnliche an: 0x=0. Diese Gleichung 0x=0 und damit die äquivalente ursprüngliche Gleichung hat unendlich viele Wurzeln. Da 0 multipliziert mit einer beliebigen Zahl gleich 0 ist, gilt die Gleichheit für jeden Wert von x.

Und so weiter, es ist logisch, sich mit Gleichungen anderer Art vertraut zu machen. Als nächstes in der Reihe sind lineare Gleichungen, deren zielgerichtetes Studium im Algebraunterricht der 7. Klasse beginnt.

Es ist klar, dass Sie zuerst erklären müssen, was eine lineare Gleichung ist, eine Definition einer linearen Gleichung und ihrer Koeffizienten geben und sie zeigen müssen generelle Form. Dann können Sie herausfinden, wie viele Lösungen eine lineare Gleichung in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten hat und wie die Wurzeln gefunden werden. Dies ermöglicht es Ihnen, mit der Lösung von Beispielen fortzufahren und dadurch die erlernte Theorie zu festigen. In diesem Artikel werden wir dies tun: Wir werden ausführlich auf alle theoretischen und praktischen Punkte in Bezug auf lineare Gleichungen und ihre Lösung eingehen.

Nehmen wir gleich an, dass wir hier nur lineare Gleichungen mit einer Variablen betrachten und in einem separaten Artikel die Lösungsprinzipien untersuchen werden lineare Gleichungen in zwei Variablen.

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Was ist eine lineare Gleichung?

Die Definition einer linearen Gleichung ist durch die Form ihrer Notation gegeben. Darüber hinaus weisen die Formulierungen der Definitionen linearer Gleichungen in verschiedenen Lehrbüchern der Mathematik und Algebra einige Unterschiede auf, die den Kern des Problems nicht beeinträchtigen.

Beispielsweise wird in einem Algebra-Lehrbuch für die 7. Klasse von Yu. N. Makarycheva und anderen eine lineare Gleichung wie folgt definiert:

Definition.

Gleichung eingeben ax=b, wobei x eine Variable ist, a und b Zahlen sind, heißt lineare Gleichung mit einer Variablen.

Lassen Sie uns Beispiele für lineare Gleichungen geben, die der stimmhaften Definition entsprechen. Zum Beispiel ist 5 x=10 eine lineare Gleichung mit einer Variablen x , hier ist der Koeffizient a 5 und die Zahl b ist 10 . Ein weiteres Beispiel: −2.3 y=0 ist ebenfalls eine lineare Gleichung, aber mit der Variablen y , wobei a=−2.3 und b=0 . Und in den linearen Gleichungen x=−2 und −x=3.33 ist a nicht explizit vorhanden und gleich 1 bzw. −1, während in der ersten Gleichung b=−2 und in der zweiten - b=3.33 .

Und ein Jahr zuvor wurden im Lehrbuch der Mathematik von N. Ya Vilenkin neben Gleichungen der Form a x = b auch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten als Gleichungen betrachtet, die durch Übertragen von Termen von einer auf diese Form reduziert werden können Teil der Gleichung zu einem anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen, sowie durch Reduktion gleicher Terme. Nach dieser Definition sind Gleichungen der Form 5 x=2 x+6 usw. sind ebenfalls linear.

Im Algebra-Lehrbuch für 7 Klassen von A. G. Mordkovich findet sich wiederum die folgende Definition:

Definition.

Lineare Gleichung mit einer Variablen x ist eine Gleichung der Form a x+b=0 , wobei a und b Zahlen sind, die als Koeffizienten der linearen Gleichung bezeichnet werden.

Beispielsweise sind solche linearen Gleichungen 2 x−12=0, hier ist der Koeffizient a gleich 2 und b gleich −12 und 0,2 y+4,6=0 mit den Koeffizienten a=0,2 und b=4,6. Aber gleichzeitig gibt es Beispiele für lineare Gleichungen, die nicht die Form a x+b=0 haben, sondern a x=b , zum Beispiel 3 x=12 .

Damit wir in Zukunft keine Unstimmigkeiten haben, verstehen wir unter einer linearen Gleichung mit einer Variablen x und den Koeffizienten a und b eine Gleichung der Form a x+b=0 . Diese Art von linearer Gleichung scheint am ehesten gerechtfertigt zu sein, da es lineare Gleichungen sind algebraische Gleichungen erster Abschluss. Und alle anderen oben angegebenen Gleichungen sowie Gleichungen, die mit Hilfe von äquivalenten Transformationen auf die Form a x + b = 0 gebracht werden, werden aufgerufen Gleichungen, die auf lineare Gleichungen reduziert werden. Bei diesem Ansatz ist die Gleichung 2 x+6=0 eine lineare Gleichung und 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 usw. sind lineare Gleichungen.

Wie löst man lineare Gleichungen?

Jetzt ist es an der Zeit herauszufinden, wie die linearen Gleichungen a x+b=0 gelöst werden. Mit anderen Worten, es ist Zeit herauszufinden, ob die lineare Gleichung Wurzeln hat, und wenn ja, wie viele und wie man sie findet.

Das Vorhandensein von Wurzeln einer linearen Gleichung hängt von den Werten der Koeffizienten a und b ab. In diesem Fall hat die lineare Gleichung a x+b=0

• die einzige Wurzel bei a≠0 ,
• hat keine Wurzeln für a=0 und b≠0 ,
• hat unendlich viele Wurzeln für a=0 und b=0 , in diesem Fall ist jede Zahl eine Wurzel einer linearen Gleichung.

Lassen Sie uns erklären, wie diese Ergebnisse erzielt wurden.

Wir wissen, dass man zur Lösung von Gleichungen von der ursprünglichen Gleichung zu äquivalenten Gleichungen übergehen kann, also zu Gleichungen mit denselben Wurzeln oder, wie die ursprüngliche, ohne Wurzeln. Dazu können Sie die folgenden äquivalenten Transformationen verwenden:

• Übertragung eines Terms von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen,
• und auch das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten der Gleichung mit derselben Nicht-Null-Zahl.

Also in einer linearen Gleichung mit eins Variable eingeben a x+b=0 können wir den Term b mit umgekehrtem Vorzeichen von der linken auf die rechte Seite verschieben. In diesem Fall nimmt die Gleichung die Form a x=−b an.

Und dann bietet sich die Division beider Gleichungsteile durch die Zahl a an. Aber es gibt eine Sache: Die Zahl a kann gleich Null sein, dann ist eine solche Division unmöglich. Um dieses Problem zu lösen, nehmen wir zunächst an, dass die Zahl a von Null verschieden ist, und den Fall gleich Null a wird später gesondert betrachtet.

Also, wenn a ungleich Null ist, dann können wir beide Teile der Gleichung a x=−b durch a dividieren, danach wird es in die Form x=(−b) umgewandelt: a , dieses Ergebnis kann mit a geschrieben werden durchgezogene Linie als .

Somit ist für a≠0 die lineare Gleichung a·x+b=0 äquivalent zur Gleichung , aus der ihre Wurzel ersichtlich ist.

Es ist leicht zu zeigen, dass diese Wurzel eindeutig ist, das heißt, die lineare Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Auf diese Weise können Sie die umgekehrte Methode ausführen.

Lassen Sie uns die Wurzel als x 1 bezeichnen. Angenommen, es gibt eine andere Wurzel der linearen Gleichung, die wir mit x 2 und x 2 ≠ x 1 bezeichnen, was aufgrund von Definitionen gleiche Zahlen durch den Unterschied ist äquivalent zur Bedingung x 1 − x 2 ≠0 . Da x 1 und x 2 die Wurzeln der linearen Gleichung a x+b=0 sind, ergeben sich die Zahlengleichungen a x 1 +b=0 und a x 2 +b=0. Wir können die entsprechenden Teile dieser Gleichungen subtrahieren, was uns die Eigenschaften numerischer Gleichungen erlauben, wir haben a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , womit a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 und dann a (x 1 − x 2)=0 . Und diese Gleichheit ist unmöglich, da sowohl a≠0 als auch x 1 − x 2 ≠0. Damit sind wir auf einen Widerspruch gestoßen, der die Eindeutigkeit der Wurzel der linearen Gleichung a·x+b=0 für a≠0 beweist.

Wir haben also die lineare Gleichung a x+b=0 mit a≠0 gelöst. Das erste Ergebnis zu Beginn dieses Unterabschnitts ist gerechtfertigt. Es gibt noch zwei weitere, die die Bedingung a=0 erfüllen.

Für a=0 wird die lineare Gleichung a·x+b=0 zu 0·x+b=0 . Aus dieser Gleichung und der Eigenschaft, Zahlen mit Null zu multiplizieren, folgt, dass wir, egal welche Zahl wir als x nehmen, wenn wir sie in die Gleichung 0 x+b=0 einsetzen, die numerische Gleichheit b=0 erhalten. Diese Gleichheit ist wahr, wenn b=0 ist, und in anderen Fällen, wenn b≠0, ist diese Gleichheit falsch.

Daher ist bei a=0 und b=0 eine beliebige Zahl die Wurzel der linearen Gleichung a x+b=0, da unter diesen Bedingungen das Ersetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x die korrekte numerische Gleichheit 0=0 ergibt. Und für a = 0 und b ≠ 0 hat die lineare Gleichung a x + b = 0 keine Wurzeln, da unter diesen Bedingungen das Einsetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x zu einer falschen führt zahlenmäßige Gleichheit b=0 .

Die obigen Begründungen ermöglichen es, eine Abfolge von Aktionen zu bilden, die das Lösen einer beliebigen linearen Gleichung ermöglichen. So, Algorithmus zum Lösen einer linearen Gleichung ist:

• Zuerst finden wir durch Schreiben einer linearen Gleichung die Werte der Koeffizienten a und b.
• Wenn a=0 und b=0 , dann hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, nämlich jede Zahl ist eine Wurzel dieser linearen Gleichung.
• Wenn a von Null verschieden ist, dann
• der Koeffizient b wird mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite übertragen, während die lineare Gleichung in die Form a x=−b transformiert wird,
• Danach werden beide Teile der resultierenden Gleichung durch eine Zahl a dividiert, die nicht Null ist, was die gewünschte Wurzel der ursprünglichen linearen Gleichung ergibt.

Der geschriebene Algorithmus ist eine erschöpfende Antwort auf die Frage, wie man lineare Gleichungen löst.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist es erwähnenswert, dass ein ähnlicher Algorithmus verwendet wird, um Gleichungen der Form a x=b zu lösen. Der Unterschied liegt darin, dass bei a≠0 beide Gleichungsteile sofort durch diese Zahl dividiert werden, hier steht b bereits im gewünschten Gleichungsteil und muss nicht übertragen werden.

Um Gleichungen der Form a x=b zu lösen, wird der folgende Algorithmus verwendet:

• Wenn a=0 und b=0 , dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln, die beliebige Zahlen sind.
• Wenn a=0 und b≠0 , dann hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.
• Wenn a nicht null ist, werden beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl a geteilt, die nicht null ist, woraus die einzige Wurzel der Gleichung gleich b / a gefunden wird.

Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen

Fahren wir mit der Praxis fort. Lassen Sie uns analysieren, wie der Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen angewendet wird. Hier sind die Lösungen charakteristische Beispiele dazugehörigen unterschiedliche Bedeutungen Koeffizienten linearer Gleichungen.

Beispiel.

Lösen Sie die lineare Gleichung 0 x−0=0 .

Lösung.

In dieser linearen Gleichung ist a=0 und b=−0 , was dasselbe ist wie b=0 . Daher hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, jede Zahl ist die Wurzel dieser Gleichung.

Antworten:

x ist eine beliebige Zahl.

Beispiel.

Hat die lineare Gleichung 0 x+2.7=0 Lösungen?

Lösung.

BEI dieser Fall der Koeffizient a ist gleich Null, und der Koeffizient b dieser linearen Gleichung ist gleich 2,7, das heißt, er ist von Null verschieden. Daher hat die lineare Gleichung keine Wurzeln.

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe von linearen Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Lassen Sie uns zunächst definieren: Was ist eine lineare Gleichung und welche davon sollte als die einfachste bezeichnet werden?

Eine lineare Gleichung ist eine, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

1. Offene Klammern, falls vorhanden;
2. Verschieben Sie Terme, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Terme ohne Variable auf die andere;
3. Bringen Sie gleiche Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen;
4. Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$ .

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise etwas wie $0\cdot x=8$ erhalten, d.h. auf der linken Seite ist Null und auf der rechten Seite ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns einige Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass egal, was $x$ wir ersetzen, es immer noch herauskommt „Null ist gleich Null“, d.h. korrekte numerische Gleichheit.

Und nun schauen wir uns am Beispiel echter Probleme an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns mit linearen Gleichungen, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichung, die genau eine Variable enthält, und sie geht nur bis zum ersten Grad.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zuerst müssen Sie die Klammern öffnen, falls vorhanden (wie in unserer letztes Beispiel);
2. Dann ähnliches mitbringen
3. Isolieren Sie schließlich die Variable, d.h. alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – wird auf die eine Seite übertragen, und alles, was ohne sie bleibt, wird auf die andere Seite übertragen.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Ergebnisse erzielen, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten bei "x" dividieren, und wir erhalten die endgültige Antwort.

Theoretisch sieht das nett und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten in ziemlich einfachen linearen Gleichungen anstößige Fehler machen. Normalerweise werden Fehler entweder beim Öffnen von Klammern oder beim Zählen von "Plus" und "Minus" gemacht.

Außerdem kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, oder dass die Lösung der ganze Zahlenstrahl ist, also irgendeine Nummer. Wir werden diese Feinheiten in der heutigen Lektion analysieren. Aber wir werden, wie Sie bereits verstanden haben, mit den meisten beginnen einfache Aufgaben.

Schema zum Lösen einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen aufschreiben:

1. Erweitern Sie die Klammern, falls vorhanden.
2. Trennen Sie Variablen, d.h. alles, was "x" enthält, wird auf die eine Seite übertragen und ohne "x" - auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es hat gewisse Feinheiten und Tricks, die wir jetzt kennenlernen werden.

Reale Beispiele einfacher linearer Gleichungen lösen

Aufgabe 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Aber sie sind nicht in diesem Beispiel, also überspringen wir diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden nur über einzelne Komponenten. Lass uns schreiben:

Wir geben links und rechts ähnliche Begriffe, aber dies wurde hier bereits getan. Deshalb fahren wir mit dem vierten Schritt fort: Dividieren durch einen Faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

In dieser Aufgabe können wir die Klammern beobachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr die gleiche Konstruktion, aber handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Sequester-Variablen:

Hier sind einige wie:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für alle. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Es gibt hier ein paar Klammern, aber sie werden mit nichts multipliziert, sie stehen nur davor verschiedene Zeichen. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Rechnen wir:

Wir führen den letzten Schritt aus - wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Was Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir zu einfache Aufgaben ignorieren, dann möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Nullstellen;
• Auch wenn es Wurzeln gibt, kann Null dazwischen kommen - daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest, Sie sollten sie nicht irgendwie diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Ein weiteres Merkmal bezieht sich auf die Erweiterung von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn ein „Minus“ davor steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Zeichen in Gegenteil. Und dann können wir es nach Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Dies verstehen einfache Tatsache wird Sie davon abhalten, dumme und verletzende Fehler in der High School zu machen, wenn solche Dinge für selbstverständlich gehalten werden.

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Gehen wir zu mehr über komplexe Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplizierter und es erscheint eine quadratische Funktion, wenn verschiedene Transformationen durchgeführt werden. Sie sollten sich davor jedoch nicht fürchten, denn wenn wir nach der Absicht des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden im Transformationsprozess zwangsläufig alle Monome reduziert, die eine quadratische Funktion enthalten.

Beispiel 1

Offensichtlich ist der erste Schritt, die Klammern zu öffnen. Gehen wir sehr vorsichtig vor:

Kommen wir nun zum Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, also schreiben wir in der Antwort wie folgt:

\[\Vielfalt \]

oder keine Wurzeln.

Beispiel #2

Wir führen die gleichen Schritte aus. Erster Schritt:

Lassen Sie uns alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts verschieben:

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke haben wir noch einmal darauf geachtet, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein kann: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, in beiden gibt es einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern arbeitet und wie man sie erweitert, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit "x" multiplizieren. Achtung: multiplizieren jeden einzelnen Begriff. Darin befinden sich zwei Terme - bzw. zwei Terme und wird multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, darf die Klammer unter dem Gesichtspunkt geöffnet werden, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter nur das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem verschwindet auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementare Transformationen wo die Unfähigkeit, klar und kompetent durchzuführen einfache Schritte führt dazu, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten zum Automatismus verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, Sie schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir ein Retreat:

Hier sind einige wie:

Machen wir den letzten Schritt:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere letzte Antwort. Und obwohl wir beim Lösen Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, heben sie sich gegenseitig auf, wodurch die Gleichung genau linear und nicht quadratisch wird.

Aufgabe Nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Machen wir den ersten Schritt vorsichtig: Multiplizieren Sie jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten. Insgesamt sollten nach Transformationen vier neue Terme erhalten werden:

Und jetzt führen Sie die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Terme mit "x" nach links und ohne - nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir haben eine definitive Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Bemerkung zu diesen beiden Gleichungen ist folgende: Sobald wir anfangen, Klammern zu multiplizieren, in denen ein größerer Term steht, dann geschieht dies entsprechend nächste Regel: wir nehmen den ersten Term aus dem ersten und multiplizieren mit jedem Element aus dem zweiten; dann nehmen wir das zweite Element aus dem ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element aus dem zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Terme.

Über die algebraische Summe

Mit dem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit $1-7$ eine einfache Konstruktion: Wir subtrahieren sieben von eins. In der Algebra verstehen wir darunter folgendes: Zu der Zahl „eins“ fügen wir eine weitere Zahl hinzu, nämlich „minus sieben“. Diese algebraische Summe unterscheidet sich von der üblichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei allen Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie oben beschrieben sehen, werden Sie in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben, wenn Sie mit Polynomen und Gleichungen arbeiten.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir uns gerade angesehen haben, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, muss unserem Algorithmus ein weiterer Schritt hinzugefügt werden. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus daran erinnern:

1. Klammern öffnen.
2. Separate Variablen.
3. Ähnliches mitbringen.
4. Teile durch einen Faktor.

Leider ist dieser wunderbare Algorithmus bei aller Effizienz nicht ganz angemessen, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen links und rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion ausgeführt werden kann, nämlich Brüche loszuwerden. Somit wird der Algorithmus wie folgt sein:

1. Befreien Sie sich von Brüchen.
2. Klammern öffnen.
3. Separate Variablen.
4. Ähnliches mitbringen.
5. Teile durch einen Faktor.

Was bedeutet es, "Brüche loszuwerden"? Und warum ist dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt möglich? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche in Bezug auf den Nenner numerisch, d.h. überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Teile der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot vier\]

Achtung: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d.h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede von ihnen mit "vier" multiplizieren müssen. Lass uns schreiben:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Jetzt öffnen wir es:

Wir führen eine Absonderung einer Variablen durch:

Wir führen die Reduzierung ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir haben bekommen endgültige Entscheidung, gehen wir zur zweiten Gleichung über.

Beispiel #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir dieselben Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem gelöst.

Das ist eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse lauten wie folgt:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Fähigkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo haben quadratische Funktionen, höchstwahrscheinlich werden sie im Verlauf weiterer Transformationen reduziert.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst die einfachsten: eine einzelne Wurzel, der gesamte Zahlenstrahl ist eine Wurzel, es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es warten noch viele weitere interessante Dinge auf Sie!