Beispiele:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Gleichungen:

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen, müssen Sie versuchen, sie in die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) umzuwandeln und dann den Übergang zu \(f( x)=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Beispiel:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Entscheidung: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Untersuchung:\(10>2\) - geeignet für ODZ Antworten:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sehr wichtig! Dieser Übergang ist nur möglich, wenn:

Sie haben für die ursprüngliche Gleichung geschrieben und prüfen am Ende, ob die gefundenen im DPV enthalten sind. Wenn dies nicht getan wird, können zusätzliche Wurzeln erscheinen, was eine falsche Entscheidung bedeutet.

Die Zahl (oder der Ausdruck) ist links und rechts gleich;

Die Logarithmen links und rechts sind "rein", d.h. es dürfen keine Multiplikationen, Divisionen etc. - nur einsame Logarithmen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Zum Beispiel:

Beachten Sie, dass die Gleichungen 3 und 4 durch Anwendung leicht gelöst werden können gewünschte Eigenschaften Logarithmen.

Beispiel . Löse die Gleichung \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Entscheidung :

		Schreiben wir ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Links vor dem Logarithmus steht der Koeffizient, rechts die Summe der Logarithmen. Das stört uns. Übertragen wir die beiden auf den Exponenten \(x\) durch die Eigenschaft: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Wir stellen die Summe der Logarithmen als einen einzigen Logarithmus dar durch die Eigenschaft: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Wir haben die Gleichung auf die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) gebracht und die ODZ aufgeschrieben, was bedeutet, dass wir den Übergang zur Form \(f (x)=g(x)\ ).
		Passiert . Wir lösen es und finden die Wurzeln.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Wir prüfen, ob die Wurzeln unter die ODZ passen. Dazu ersetzen wir in \(x>0\) statt \(x\) \(5\) und \(-5\). Diese Operation kann oral durchgeführt werden.
\(5>0\), \(-5>0\)		Die erste Ungleichung ist wahr, die zweite nicht. Also ist \(5\) die Wurzel der Gleichung, aber \(-5\) ist es nicht. Wir schreiben die Antwort auf.

Antworten : \(5\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Entscheidung :

		Schreiben wir ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Typische Gleichung, gelöst mit . Ersetzen Sie \(\log_2⁡x\) durch \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Das Übliche erhalten. Auf der Suche nach seinen Wurzeln.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Eine umgekehrte Substitution vornehmen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Wir transformieren die rechten Teile und stellen sie als Logarithmen dar: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) und \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Jetzt sind unsere Gleichungen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) und wir können zu \(f(x)=g(x)\) springen.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Wir überprüfen die Übereinstimmung der Wurzeln der ODZ. Dazu setzen wir statt \(x\) \(4\) und \(2\) in die Ungleichung \(x>0\) ein.
\(4>0\) \(2>0\)		Beide Ungleichungen sind wahr. Also sind sowohl \(4\) als auch \(2\) die Wurzeln der Gleichung.

Antworten : \(4\); \(2\).

Heute lernen wir, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, die keine vorläufigen Transformationen und keine Auswahl von Wurzeln erfordern. Aber wenn Sie lernen, wie man solche Gleichungen löst, wird es viel einfacher.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form log a f (x) \u003d b, wobei a, b Zahlen sind (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) eine Funktion ist.

Eine Besonderheit aller logarithmischen Gleichungen ist das Vorhandensein der Variablen x unter dem Vorzeichen des Logarithmus. Wenn eine solche Gleichung anfänglich in der Aufgabe angegeben ist, wird sie als die einfachste bezeichnet. Alle anderen logarithmischen Gleichungen werden durch spezielle Transformationen auf die einfachsten reduziert (siehe "Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen"). Allerdings müssen zahlreiche Feinheiten berücksichtigt werden: Es können zusätzliche Wurzeln auftreten, sodass komplexe logarithmische Gleichungen separat betrachtet werden.

Wie löst man solche Gleichungen? Es reicht aus, die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen durch einen Logarithmus mit der gleichen Basis wie links zu ersetzen. Dann kannst du das Vorzeichen des Logarithmus loswerden. Wir bekommen:

log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b

Wir haben die übliche Gleichung. Seine Wurzeln sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

Verkündung der Abschlüsse

Logarithmische Gleichungen, die äußerlich kompliziert und bedrohlich aussehen, werden oft in nur wenigen Zeilen gelöst, ohne einzubeziehen komplexe Formeln. Heute werden wir genau solche Probleme betrachten, bei denen Sie nur die Formel sorgfältig auf die kanonische Form reduzieren müssen und sich nicht verwirren lassen, wenn Sie nach dem Definitionsbereich von Logarithmen suchen.

Heute werden wir, wie Sie wahrscheinlich aus dem Titel erraten haben, logarithmische Gleichungen mit den Formeln für den Übergang in die kanonische Form lösen. Der wichtigste „Trick“ dieser Videolektion besteht darin, mit Graden zu arbeiten, oder besser gesagt, den Grad aus der Basis und dem Argument zu ziehen. Schauen wir uns die Regel an:

Ebenso können Sie den Abschluss von der Basis nehmen:

Wie Sie sehen können, haben wir einfach, wenn wir den Grad aus dem Logarithmus-Argument entfernen zusätzlicher Multiplikator vorne, dann beim Abziehen des Grades aus der Basis - nicht nur ein Faktor, sondern ein invertierter Faktor. Daran muss erinnert werden.

Zum Schluss das Interessanteste. Diese Formeln können kombiniert werden, dann erhalten wir:

Natürlich sind bei der Durchführung dieser Übergänge bestimmte Fallstricke damit verbunden mögliche Erweiterung Definitionsbereich oder umgekehrt durch Einengung des Definitionsbereichs. Urteile selbst:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Wenn im ersten Fall x eine beliebige Zahl ungleich 0 sein könnte, also die Forderung x ≠ 0, dann werden wir uns im zweiten Fall nur mit x zufrieden geben, die nicht nur ungleich, sondern strikt größer als 0 sind, denn der Definitionsbereich des Logarithmus ist, dass das Argument strikt größer als 0 ist. Deshalb erinnere ich Sie an eine wunderbare Formel aus dem Algebra-Kurs der Klassen 8-9:

Das heißt, wir müssen unsere Formel wie folgt schreiben:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Dann tritt keine Einengung des Definitionsbereichs ein.

Im heutigen Video-Tutorial gibt es jedoch keine Quadrate. Wenn Sie sich unsere Aufgaben ansehen, sehen Sie nur die Wurzeln. Bewerben Sie sich daher diese Regel Wir werden es nicht tun, aber es muss immer noch im Hinterkopf behalten werden, um es zu tun richtiger Moment Wenn du siehst quadratische Funktion im Argument oder in der Basis des Logarithmus werden Sie sich an diese Regel erinnern und alle Transformationen korrekt durchführen.

Die erste Gleichung lautet also:

Um dieses Problem zu lösen, schlage ich vor, jeden der in der Formel enthaltenen Terme sorgfältig zu betrachten.

Schreiben wir den ersten Term als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

Wir betrachten den zweiten Term: log 3 (1 − x ). Sie müssen hier nichts tun, alles wird bereits transformiert.

Schließlich 0, 5. Wie ich in früheren Lektionen sagte, empfehle ich beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Formeln dringend, von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen überzugehen. Lass uns das machen:

0,5 = 5/10 = 1/2

Schreiben wir unsere ursprüngliche Formel unter Berücksichtigung der erhaltenen Terme um:

log 3 (1 − x ) = 1

Kommen wir nun zur kanonischen Form:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Beseitigen Sie das Vorzeichen des Logarithmus, indem Sie die Argumente gleichsetzen:

1 − x = 3

-x = 2

x = −2

Das ist es, wir haben die Gleichung gelöst. Lassen Sie uns dennoch auf Nummer sicher gehen und den Definitionsbereich finden. Gehen wir dafür zurück zu ursprüngliche Formel und sehen:

1 − x > 0

-x > -1

x< 1

Unsere Nullstelle x = −2 erfüllt diese Anforderung, also ist x = −2 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Jetzt haben wir eine strenge klare Rechtfertigung. Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Lassen Sie uns jeden Begriff einzeln behandeln.

Wir schreiben die erste aus:

Wir haben den ersten Term modifiziert. Wir arbeiten mit dem zweiten Term:

Schließlich der letzte Term, der rechts vom Gleichheitszeichen steht:

Wir ersetzen die resultierenden Ausdrücke durch die Terme in der resultierenden Formel:

log 3 x = 1

Wir gehen zur kanonischen Form über:

log 3 x = log 3 3

Wir beseitigen das Vorzeichen des Logarithmus, indem wir die Argumente gleichsetzen, und erhalten:

x=3

Nochmals, nur für den Fall, lassen Sie uns auf Nummer sicher gehen, gehen Sie zurück zur ursprünglichen Gleichung und sehen Sie nach. In der ursprünglichen Formel ist die Variable x nur im Argument vorhanden, daher

x > 0

Im zweiten Logarithmus steht x unter der Wurzel, aber wieder im Argument, daher muss die Wurzel größer als 0 sein, d.h. radikaler Ausdruck muss größer als 0 sein. Wir betrachten unsere Wurzel x = 3. Offensichtlich erfüllt sie diese Anforderung. Daher ist x = 3 die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Im heutigen Video-Tutorial gibt es zwei wichtige Punkte:

1) Scheuen Sie sich nicht, Logarithmen umzurechnen, und scheuen Sie sich insbesondere nicht davor, Grade aus dem Vorzeichen des Logarithmus zu entfernen, während Sie sich an unsere erinnern Grundformel: Beim Herausnehmen des Grades aus dem Argument wird es einfach unverändert als Faktor herausgenommen, und beim Herausnehmen des Grades aus der Basis wird dieser Grad umgekehrt.

2) Der zweite Punkt bezieht sich auf die selbstkanonische Form. Wir haben den Übergang zur kanonischen Form ganz am Ende der Transformation der Formel der logarithmischen Gleichung durchgeführt. Erinnern Sie sich an die folgende Formel:

a = log b b a

Natürlich meine ich mit dem Ausdruck "beliebige Zahl b" solche Zahlen, die die Anforderungen erfüllen, die an die Basis des Logarithmus gestellt werden, d.h.

1 ≠ b > 0

Für solche b und da wir die Basis bereits kennen, wird diese Bedingung automatisch erfüllt. Aber für solche b - alle, die befriedigen diese Anforderung- Dieser Übergang kann durchgeführt werden, und wir erhalten eine kanonische Form, in der wir das Vorzeichen des Logarithmus loswerden können.

Erweiterung des Definitionsbereichs und zusätzliche Wurzeln

Bei der Transformation logarithmischer Gleichungen kann es zu einer impliziten Erweiterung des Definitionsbereichs kommen. Oft merken die Studierenden dies gar nicht, was zu Fehlern und falschen Antworten führt.

Beginnen wir mit den einfachsten Designs. Die einfachste logarithmische Gleichung lautet wie folgt:

loga f(x) = b

Beachten Sie, dass x nur in einem Argument eines Logarithmus vorhanden ist. Wie löst man solche Gleichungen? Wir verwenden die kanonische Form. Dazu stellen wir die Zahl b \u003d log a a b dar und unsere Gleichung wird in der folgenden Form umgeschrieben:

log a f(x) = log a a b

Diese Notation wird als kanonische Form bezeichnet. Für sie sollte jede logarithmische Gleichung, die Sie nicht nur in der heutigen Lektion, sondern auch in jeder unabhängigen und kontrollierenden Arbeit treffen, reduziert werden.

Wie man zur kanonischen Form kommt, welche Techniken man anwendet – das ist schon Übungssache. Das Wichtigste zum Verständnis: Sobald Sie eine solche Aufzeichnung erhalten, können wir davon ausgehen, dass das Problem gelöst ist. Weil nächster Schritt Es wird einen Eintrag geben:

f(x) = ein b

Mit anderen Worten, wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los und setzen die Argumente einfach gleich.

Warum all das Gerede? Tatsache ist, dass die kanonische Form nicht nur auf die einfachsten Probleme anwendbar ist, sondern auch auf alle anderen. Insbesondere zu denen, die wir heute ansprechen werden. Werfen wir einen Blick darauf.

Erste Aufgabe:

Was ist das Problem mit dieser Gleichung? Die Tatsache, dass die Funktion gleichzeitig in zwei Logarithmen ist. Das Problem lässt sich auf das einfachste reduzieren, indem man einfach einen Logarithmus von einem anderen subtrahiert. Es gibt jedoch Probleme mit dem Definitionsbereich: Es können zusätzliche Wurzeln auftreten. Verschieben wir also einfach einen der Logarithmen nach rechts:

Hier ist eine solche Aufzeichnung der kanonischen Form schon viel ähnlicher. Aber es gibt noch eine Nuance: In der kanonischen Form müssen die Argumente dieselben sein. Und wir haben den Logarithmus zur Basis 3 auf der linken Seite und den Logarithmus zur Basis 1/3 auf der rechten Seite. Weißt du, du musst diese Basen auf die gleiche Zahl bringen. Erinnern wir uns zum Beispiel daran, was negative Exponenten sind:

Und dann verwenden wir den Exponenten "-1" außerhalb des Protokolls als Multiplikator:

Bitte beachten Sie: Die Gradzahl, die an der Basis stand, wird umgedreht und verwandelt sich in einen Bruch. Wir haben eine fast kanonische Notation erhalten, indem wir verschiedene Basen losgeworden sind, aber stattdessen haben wir rechts den Faktor „−1“ erhalten. Lassen Sie uns diesen Faktor in das Argument einbringen, indem wir ihn in eine Potenz umwandeln:

Nachdem wir die kanonische Form erhalten haben, streichen wir natürlich mutig das Vorzeichen des Logarithmus und setzen die Argumente gleich. Lassen Sie mich Sie gleichzeitig daran erinnern, dass sich der Bruch, wenn er mit „−1“ potenziert wird, einfach umdreht - ein Anteil wird erhalten.

Nutzen wir die Haupteigenschaft des Anteils und multiplizieren sie kreuzweise:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

Vor uns liegt die quadratische Gleichung, also lösen wir es mit den Vieta-Formeln:

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8; x2 = 2

Das ist alles. Glaubst du, die Gleichung ist gelöst? Nein! Für eine solche Lösung erhalten wir 0 Punkte, weil in der ursprünglichen Gleichung zwei Logarithmen mit der Variablen x gleichzeitig vorkommen. Daher ist es notwendig, den Definitionsbereich zu berücksichtigen.

Und hier beginnt der Spaß. Die meisten Schüler sind verwirrt: Was ist der Definitionsbereich des Logarithmus? Natürlich müssen alle Argumente (wir haben zwei) größer als Null sein:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Jede dieser Ungleichungen muss gelöst, auf einer Geraden markiert, gekreuzt werden – und erst dann sehen, welche Wurzeln am Schnittpunkt liegen.

Ich bin ehrlich: Diese Technik hat das Recht zu existieren, sie ist zuverlässig und Sie werden die richtige Antwort bekommen, aber es sind zu viele zusätzliche Schritte darin. Lassen Sie uns also unsere Lösung noch einmal durchgehen und sehen: Wo genau möchten Sie Geltungsbereich anwenden? Mit anderen Worten, Sie müssen genau verstehen, wann zusätzliche Wurzeln erscheinen.

1. Anfangs hatten wir zwei Logarithmen. Dann haben wir einen davon nach rechts verschoben, was aber den Definitionsbereich nicht beeinflusst hat.
2. Dann entfernen wir die Potenz von der Basis, aber es gibt immer noch zwei Logarithmen, und jeder von ihnen enthält die Variable x .
3. Schließlich streichen wir die Zeichen des Protokolls und erhalten den Klassiker gebrochene rationale Gleichung.

Erst im letzten Schritt wird der Definitionsbereich erweitert! Sobald wir zu einer gebrochenen rationalen Gleichung übergingen und die Vorzeichen von log beseitigten, änderten sich die Anforderungen an die x-Variable dramatisch!

Daher kann der Definitionsbereich nicht ganz am Anfang der Lösung betrachtet werden, sondern erst beim erwähnten Schritt - bevor wir die Argumente direkt gleichsetzen.

Hier liegt die Chance zur Optimierung. Einerseits müssen beide Argumente größer als Null sein. Andererseits setzen wir diese Argumente weiter gleich. Wenn also mindestens einer davon positiv ist, dann ist auch der zweite positiv!

Es stellt sich also heraus, dass es ein Overkill ist, die Erfüllung von zwei Ungleichungen gleichzeitig zu fordern. Es genügt, nur einen dieser Brüche zu betrachten. Welcher? Die, die einfacher ist. Schauen wir uns zum Beispiel den rechten Bruch an:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Das ist typisch fraktionale rationale Ungleichheit, wir lösen es mit der Intervallmethode:

Wie platziert man Schilder? Nehmen wir eine Zahl, offensichtlich größer als alle unsere Wurzeln. Zum Beispiel 1 Milliarde und wir ersetzen seinen Bruchteil. Wir erhalten eine positive Zahl, d.h. rechts von der Wurzel x = 5 steht ein Pluszeichen.

Dann wechseln sich die Zeichen ab, weil es nirgendwo Wurzeln gleichmäßiger Vielheit gibt. Wir interessieren uns für Intervalle, in denen die Funktion positiv ist. Also x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Jetzt erinnern wir uns an die Antworten: x = 8 und x = 2. Genau genommen sind das noch keine Antworten, sondern nur Kandidaten für eine Antwort. Welcher gehört angegebenen Satz? Natürlich ist x = 8. Aber x = 2 passt nicht zu uns in Bezug auf den Definitionsbereich.

Insgesamt lautet die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung x = 8. Jetzt haben wir eine kompetente, vernünftige Lösung unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs.

Kommen wir zur zweiten Gleichung:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Ich erinnere Sie daran, dass Sie ihn loswerden sollten, wenn die Gleichung einen Dezimalbruch enthält. Mit anderen Worten, wir schreiben 0,5 um als gewöhnlicher Bruchteil. Wir bemerken sofort, dass der Logarithmus, der diese Basis enthält, leicht betrachtet werden kann:

Dies ist ein sehr wichtiger Moment! Wenn wir Grade sowohl in der Basis als auch im Argument haben, können wir die Indikatoren dieser Grade mit der Formel herausnehmen:

Wir kehren zu unserer ursprünglichen logarithmischen Gleichung zurück und schreiben sie um:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Wir haben eine Konstruktion, die der kanonischen Form ziemlich nahe kommt. Allerdings verwirren uns die Begriffe und das Minuszeichen rechts vom Gleichheitszeichen. Stellen wir die Einheit als Logarithmus zur Basis 5 dar:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Subtrahiere die Logarithmen auf der rechten Seite (während ihre Argumente geteilt werden):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Perfekt. Wir haben also die kanonische Form! Wir streichen die Logzeichen durch und setzen die Argumente gleich:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Dies ist ein Verhältnis, das leicht durch Kreuzmultiplikation gelöst werden kann:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

Offensichtlich haben wir eine gegebene quadratische Gleichung. Es lässt sich leicht mit den Vieta-Formeln lösen:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Wir haben zwei Wurzeln. Aber das sind keine endgültigen Antworten, sondern nur Kandidaten, denn die logarithmische Gleichung erfordert auch die Überprüfung des Definitionsbereichs.

Ich erinnere Sie daran: Schauen Sie nicht wann jedermann der Argumente wird größer als Null sein. Es genügt zu verlangen, dass ein Argument, entweder x − 9 oder 5/(x − 5) größer als Null ist. Betrachten Sie das erste Argument:

x − 9 > 0

x > 9

Offensichtlich erfüllt diese Bedingung nur x = 10. Dies ist die endgültige Antwort. Alle Probleme gelöst.

Noch einmal Schlüsselgedanken die heutige Lektion:

1. Sobald die Variable x in mehreren Logarithmen auftritt, ist die Gleichung nicht mehr elementar, und dafür muss der Definitionsbereich berechnet werden. Andernfalls können Sie als Antwort leicht zusätzliche Wurzeln schreiben.
2. Die Arbeit mit dem Definitionsbereich selbst kann stark vereinfacht werden, wenn die Ungleichung nicht sofort geschrieben wird, sondern genau in dem Moment, in dem wir die Zeichen von log loswerden. Wenn die Argumente miteinander gleichgesetzt werden, reicht es schließlich aus, zu verlangen, dass nur eines von ihnen größer als Null ist.

Natürlich wählen wir selbst aus, aus welchem ​​Argument wir eine Ungleichung machen, also ist es logisch, das einfachste zu wählen. In der zweiten Gleichung haben wir beispielsweise das Argument (x − 9) − gewählt lineare Funktion, im Gegensatz zum fraktional rationalen zweiten Argument. Stimmen Sie zu, das Lösen der Ungleichung x − 9 > 0 ist viel einfacher als 5/(x − 5) > 0. Obwohl das Ergebnis dasselbe ist.

Diese Bemerkung vereinfacht die Suche nach ODZ erheblich, aber Vorsicht: Sie können nur eine Ungleichung anstelle von zwei verwenden, wenn die Argumente genau sind einander gleich!

Natürlich wird jetzt jemand fragen: Was passiert anders? Ja manchmal. Wenn wir beispielsweise im Schritt selbst zwei Argumente multiplizieren, die eine Variable enthalten, besteht die Gefahr von zusätzlichen Wurzeln.

Überzeugen Sie sich selbst: Zunächst muss jedes der Argumente größer als Null sein, aber nach der Multiplikation reicht es aus, dass ihr Produkt größer als Null ist. Als Ergebnis wird der Fall übersehen, wenn jeder dieser Brüche negativ ist.

Wenn Sie also gerade anfangen, sich mit komplexen logarithmischen Gleichungen zu befassen, multiplizieren Sie auf keinen Fall Logarithmen, die die Variable x enthalten - allzu oft führt dies zu zusätzlichen Wurzeln. Machen Sie lieber einen Extraschritt, übertragen Sie einen Begriff auf die andere Seite, bilden Sie die kanonische Form.

Nun, was zu tun ist, wenn Sie nicht darauf verzichten können, solche Logarithmen zu multiplizieren, werden wir im nächsten Video-Tutorial besprechen. :)

Noch einmal zu den Potenzen in der Gleichung

Heute werden wir ein ziemlich schlüpfriges Thema in Bezug auf logarithmische Gleichungen analysieren, oder besser gesagt, das Entfernen von Potenzen aus den Argumenten und Basen von Logarithmen.

Ich würde sogar sagen, dass wir über das Herausnehmen gerader Potenzen sprechen werden, denn gerade Potenzen ergeben die meisten Schwierigkeiten beim Lösen reeller logarithmischer Gleichungen.

Beginnen wir mit der kanonischen Form. Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung wie log a f (x) = b. In diesem Fall schreiben wir die Zahl b nach der Formel b = log a a b um. Es stellt sich folgendes heraus:

log a f(x) = log a a b

Dann setzen wir die Argumente gleich:

f(x) = ein b

Die vorletzte Formel wird als kanonische Form bezeichnet. Für sie versuchen sie, jede logarithmische Gleichung zu reduzieren, egal wie kompliziert und schrecklich sie auf den ersten Blick erscheinen mag.

Hier, versuchen wir es. Beginnen wir mit der ersten Aufgabe:

Vorbemerkung: wie gesagt, alle Dezimalstellen In einer logarithmischen Gleichung ist es besser, sie in gewöhnliche zu übersetzen:

0,5 = 5/10 = 1/2

Lassen Sie uns unsere Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache umschreiben. Beachten Sie, dass sowohl 1/1000 als auch 100 Potenzen von 10 sind, und dann nehmen wir die Potenzen heraus, wo immer sie sind: von den Argumenten und sogar von der Basis der Logarithmen:

Und hier stellt sich für viele Studierende die Frage: „Wo kommt das Modul rechts her?“ Warum schreiben Sie nicht einfach (x − 1)? Natürlich werden wir jetzt (x − 1) schreiben, aber das Recht auf eine solche Aufzeichnung gibt uns die Erklärung des Definitionsbereichs. Schließlich enthält der andere Logarithmus bereits (x − 1), und dieser Ausdruck muss größer als Null sein.

Aber wenn wir das Quadrat von der Basis des Logarithmus abziehen, müssen wir das Modul an der Basis belassen. Ich werde erklären, warum.

Tatsache ist, dass ein Studium aus mathematischer Sicht gleichbedeutend mit einer Verwurzelung ist. Insbesondere wenn der Ausdruck (x − 1) 2 quadriert wird, ziehen wir im Wesentlichen eine Wurzel zweiten Grades. Aber die Quadratwurzel ist nichts anderes als ein Modul. Genau Modul, denn selbst wenn der Ausdruck x - 1 negativ ist, brennt beim Quadrieren immer noch "minus". Eine weitere Extraktion der Wurzel ergibt eine positive Zahl - bereits ohne Minuspunkte.

Um beleidigende Fehler zu vermeiden, denken Sie im Allgemeinen ein für alle Mal daran:

Die Wurzel eines geraden Grades aus jeder Funktion, die zur gleichen Potenz erhoben wird, ist nicht gleich der Funktion selbst, sondern ihrem Modul:

Wir kehren zu unserer logarithmischen Gleichung zurück. Als ich über das Modul sprach, argumentierte ich, dass wir es schmerzlos entfernen können. Es stimmt. Jetzt erkläre ich warum. Genau genommen mussten wir zwei Optionen in Betracht ziehen:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Jede dieser Optionen müsste angegangen werden. Aber es gibt einen Haken: Die ursprüngliche Formel enthält bereits die Funktion (x − 1) ohne Modul. Und nach dem Definitionsbereich von Logarithmen haben wir das Recht, sofort aufzuschreiben, dass x − 1 > 0.

Diese Anforderung muss unabhängig von Modulen und anderen Transformationen, die wir im Lösungsprozess durchführen, erfüllt werden. Daher ist es sinnlos, die zweite Option in Betracht zu ziehen - sie wird niemals auftreten. Selbst wenn wir beim Lösen dieses Zweigs der Ungleichung einige Zahlen erhalten, werden sie immer noch nicht in die endgültige Antwort aufgenommen.

Jetzt sind wir buchstäblich einen Schritt von der kanonischen Form der logarithmischen Gleichung entfernt. Stellen wir die Einheit wie folgt dar:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Zusätzlich führen wir den rechts stehenden Faktor −4 in das Argument ein:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung. Werde das Vorzeichen des Logarithmus los:

10 − 4 = x − 1

Da die Basis aber eine Funktion (und keine Primzahl) war, verlangen wir zusätzlich, dass diese Funktion größer Null und ungleich Eins ist. Holen Sie sich das System:

Da die Bedingung x − 1 > 0 automatisch erfüllt ist (weil x − 1 = 10 −4), kann eine der Ungleichungen aus unserem System gelöscht werden. Die zweite Bedingung kann auch gestrichen werden, weil x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Dies ist die einzige Wurzel, die automatisch alle Anforderungen für den Definitionsbereich des Logarithmus erfüllt (allerdings wurden alle Anforderungen als wissentlich erfüllt in den Bedingungen unseres Problems eliminiert).

Die zweite Gleichung lautet also:

3 Log 3 x x = 2 Log 9 x x 2

Wie unterscheidet sich diese Gleichung grundlegend von der vorherigen? Schon zumindest die Tatsache, dass die Basen von Logarithmen - 3x und 9x - es nicht sind natürliche Abschlüsse einander. Daher ist der Übergang, den wir in der vorherigen Lösung verwendet haben, nicht möglich.

Lassen Sie uns wenigstens die Grade loswerden. In unserem Fall liegt die einzige Macht im zweiten Argument:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Allerdings kann das Modulzeichen entfernt werden, da die Variable x auch in der Basis steht, also x > 0 ⇒ |x| = x. Schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Wir haben Logarithmen, bei denen die Argumente dieselben sind, aber verschiedene Gründe. Wie geht es weiter? Hier gibt es viele Möglichkeiten, aber wir werden nur zwei davon betrachten, die am logischsten sind, und vor allem sind dies schnelle und verständliche Tricks für die meisten Schüler.

Wir haben bereits die erste Option in Betracht gezogen: in jedem unverständlicher Zustand Logarithmen übersetzen aus variable Basis zu einer dauerhaften Grundlage. Zum Beispiel zu einer Zwei. Die Umrechnungsformel ist einfach:

Natürlich sollte eine normale Zahl als Variable c fungieren: 1 ≠ c > 0. In unserem Fall sei c = 2. Jetzt haben wir eine gewöhnliche gebrochene rationale Gleichung. Wir sammeln alle Elemente auf der linken Seite:

Offensichtlich ist es besser, den Faktor log 2 x herauszunehmen, da er sowohl in der ersten als auch in der zweiten Fraktion vorhanden ist.

log 2 x = 0;

3 Log 2 9x = 4 Log 2 3x

Wir unterteilen jedes Protokoll in zwei Begriffe:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichheit unter Berücksichtigung dieser Tatsachen umschreiben:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 Log 2 3 = Log 2 x

Jetzt muss noch eine Zwei unter dem Vorzeichen des Logarithmus hinzugefügt werden (es wird zu einer Potenz: 3 2 \u003d 9):

log 2 9 = log 2 x

Vor uns liegt die klassische kanonische Form, wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten:

Wie erwartet stellte sich heraus, dass diese Wurzel größer als Null war. Es bleibt der Definitionsbereich zu überprüfen. Schauen wir uns die Grundlagen an:

Aber die Wurzel x = 9 erfüllt diese Anforderungen. Daher ist es die endgültige Lösung.

Fazit aus diese Entscheidung Ganz einfach: Keine Angst vor langen Berechnungen! Es ist nur so, dass wir ganz am Anfang zufällig eine neue Basis ausgewählt haben - und das hat den Prozess erheblich erschwert.

Aber dann stellt sich die Frage: was Basis ist optimal? Ich werde darüber in der zweiten Weise sprechen.

Gehen wir zurück zu unserer ursprünglichen Gleichung:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Lassen Sie uns nun ein wenig nachdenken: Welche Zahl oder Funktion wird die optimale Basis sein? Es ist klar, dass Die beste Option wird c = x - was bereits in den Argumenten steht. In diesem Fall Log-Formel a b = log c b /log c a wird zu:

Mit anderen Worten, der Ausdruck wird einfach umgekehrt. In diesem Fall werden das Argument und die Basis vertauscht.

Diese Formel ist sehr nützlich und wird sehr oft beim Lösen komplexer logarithmischer Gleichungen verwendet. Bei der Verwendung dieser Formel gibt es jedoch einen sehr ernsten Fallstrick. Wenn wir anstelle der Basis die Variable x ersetzen, werden ihr Einschränkungen auferlegt, die zuvor nicht beachtet wurden:

In der ursprünglichen Gleichung gab es keine solche Einschränkung. Daher sollten wir den Fall x = 1 separat prüfen. Setzen Sie diesen Wert in unsere Gleichung ein:

3 Log 3 1 = 4 Log 9 1

Wir bekommen das Recht zahlenmäßige Gleichheit. Also ist x = 1 eine Wurzel. Wir haben genau die gleiche Wurzel in der vorherigen Methode ganz am Anfang der Lösung gefunden.

Aber jetzt, wo wir das gesondert betrachteten besonderer Fall, nehmen wir sicher an, dass x ≠ 1. Dann wird unsere logarithmische Gleichung in die folgende Form umgeschrieben:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Wir entwickeln beide Logarithmen nach der gleichen Formel wie zuvor. Beachten Sie, dass log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Hier kommen wir zur kanonischen Form:

log x 9 = log x x 1

x=9

Wir haben die zweite Wurzel. Es erfüllt die Anforderung x ≠ 1. Daher ist x = 9 zusammen mit x = 1 die endgültige Antwort.

Wie Sie sehen können, hat sich das Berechnungsvolumen leicht verringert. Aber wenn Sie eine reelle logarithmische Gleichung lösen, ist die Anzahl der Schritte viel geringer, auch weil Sie nicht jeden Schritt so detailliert beschreiben müssen.

Die Schlüsselregel der heutigen Lektion lautet wie folgt: Wenn die Aufgabe enthält sogar Grad, aus der eine Wurzel gleichen Grades gezogen wird, erhalten wir am Ausgang ein Modul. Dieses Modul kann jedoch entfernt werden, wenn Sie auf den Definitionsbereich von Logarithmen achten.

Aber Vorsicht: Die meisten Schüler glauben nach dieser Lektion, alles verstanden zu haben. Aber bei der Entscheidung echte Aufgaben sie können nicht die gesamte logische Kette reproduzieren. Infolgedessen erhält die Gleichung zusätzliche Wurzeln, und die Antwort ist falsch.

Grundeigenschaften.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, werden Sie wissen und genauer Wert Aussteller und das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.

3.

4. wo .

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Aber da sind Logarithmen nicht exakt regelmäßige Nummern, hier gibt es Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kein einziger Ernst Logarithmisches Problem. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment hier - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine Einzelteile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Basierend auf dieser Tatsache, viele Prüfungsunterlagen. Ja, was sind die Kontroll- ähnliche Ausdrücke allen Ernstes (manchmal praktisch unverändert) bei der Prüfung angeboten werden.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Das ist leicht zu sehen letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

ich denke an letztes Beispiel Klärung erforderlich. Wo sind die Logarithmen geblieben? Den ganzen Weg letzter Moment Wir arbeiten nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Jetzt lass uns loswerden dezimaler Logarithmus, Umzug in eine neue Basis:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die Formeln für den Umzug in eine neue Basis, die wichtigsten logarithmische Identität manchmal ist es die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit dieselbe Basis, wir bekommen:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist - der Logarithmus Null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele auf Basis von Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei ist

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu verstehen, werde ich nur einige gängige Beispiele geben Lehrplan und Universitäten.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

4. wo .

Nach dem Aussehen komplexer Ausdruck Die Verwendung einer Reihe von Regeln wird zum Formular vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Entscheidung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen werden Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen benötigen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, werden wir Ihr Wissen um nicht weniger erweitern wichtiges Thema- logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Betrachten wir einige Arten von logarithmischen Gleichungen, die im Mathematikunterricht in der Schule nicht so oft berücksichtigt werden, aber bei der Vorbereitung von Wettbewerbsaufgaben, einschließlich für den USE, weit verbreitet sind.

1. Durch die Logarithmusmethode gelöste Gleichungen

Beim Lösen von Gleichungen, die eine Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten enthalten, wird die Logarithmusmethode verwendet. Enthält der Exponent zusätzlich einen Logarithmus, müssen beide Seiten der Gleichung zur Basis dieses Logarithmus logarithmiert werden.

Beispiel 1

Lösen Sie die Gleichung: x log 2 x + 2 = 8.

Entscheidung.

Wir nehmen den Logarithmus der linken und rechten Seite der Gleichung in Basis 2. Wir erhalten

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Sei log 2 x = t.

Dann ist (t + 2)t = 3.

t2 + 2t – 3 = 0.

D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.

Loggen Sie also 2 x \u003d 1 und x 1 \u003d 2 oder loggen Sie 2 x \u003d -3 und x 2 \u003d 1/8

Antwort: 1/8; 2.

2. Homogene logarithmische Gleichungen.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

Entscheidung.

Gleichungsbereich

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 für x = -4. Durch Prüfung stellen wir das fest gegebenen Wert x nicht ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung. Daher können wir beide Seiten der Gleichung durch log 2 3 (x + 5) dividieren.

Wir erhalten log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Sei log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Dann ist t 2 - 3 t + 2 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind 1; 2. Wenn wir zur ursprünglichen Variablen zurückkehren, erhalten wir einen Satz von zwei Gleichungen

Unter Berücksichtigung der Existenz des Logarithmus sollten jedoch nur die Werte von (0; 9] berücksichtigt werden. Dies bedeutet, dass der Ausdruck auf der linken Seite gilt Höchster Wert 2 für x = 1. Betrachten Sie nun die Funktion y = 2 x-1 + 2 1-x. Wenn wir t \u003d 2 x -1 nehmen, hat es die Form y \u003d t + 1 / t, wobei t\u003e 0 ist. Unter solchen Bedingungen hat es eine Einzigartigkeit kritischer Punkt t = 1. Dies ist der Minimalpunkt. Y vin \u003d 2. Und es wird bei x \u003d 1 erreicht.

Es ist nun offensichtlich, dass sich die Graphen der betrachteten Funktionen nur einmal im Punkt (1; 2) schneiden können. Es stellt sich heraus, dass x \u003d 1 die einzige Wurzel der zu lösenden Gleichung ist.

Antwort: x = 1.

Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

Entscheidung.

Wir werden entscheiden gegebene Gleichung relativ zu log 2 x. Sei log 2 x = t. Dann t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.

D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.

Wir erhalten die Gleichung log 2 x \u003d -2 oder log 2 x \u003d 3 - x.

Die Wurzel der ersten Gleichung ist x 1 = 1/4.

Die Wurzel der Gleichung log 2 x \u003d 3 - x wird durch Auswahl gefunden. Diese Zahl ist 2. Diese Wurzel ist eindeutig, da die Funktion y \u003d log 2 x über den gesamten Definitionsbereich zunimmt und die Funktion y \u003d 3 - x abnimmt.

Durch Ankreuzen können Sie leicht sicherstellen, dass beide Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind

Antwort: 1/4; 2.

Site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Algebra Klasse 11

Thema: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen"

Unterrichtsziele:

pädagogisch: die Bildung von Wissen über verschiedene Wege Lösen von logarithmischen Gleichungen, die Fähigkeit, sie in jedem anzuwenden spezifische Situation und wählen Sie eine beliebige Lösungsmethode;

Entwickeln: Entwicklung von Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Anwenden von Wissen in einer neuen Situation, Erkennen von Mustern, Verallgemeinern; Bildung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle;

erzieherisch: Bildung einer verantwortungsvollen Einstellung zu pädagogische Arbeit, sorgfältige Wahrnehmung des Unterrichtsstoffs, Genauigkeit der Aufzeichnungen.

Unterrichtsart: eine Lektion zur Einarbeitung in neues Material.

"Die Erfindung des Logarithmus hat die Arbeit des Astronomen verkürzt und sein Leben verlängert."
Französischer Mathematiker und Astronom P.S. Laplace

Während des Unterrichts

I. Festlegung des Unterrichtsziels

Die untersuchte Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen und die logarithmische Funktion ermöglichen es uns, logarithmische Gleichungen zu lösen. Alle logarithmischen Gleichungen, egal wie komplex sie sind, werden mit gelöst Einheitliche Algorithmen. Wir werden diese Algorithmen heute in der Lektion betrachten. Es gibt wenige von ihnen. Wenn Sie sie beherrschen, ist jede Gleichung mit Logarithmen für jeden von Ihnen machbar.

Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihr Notizbuch: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen". Ich lade alle zur Zusammenarbeit ein.

II. Aktualisieren Grundwissen

Machen wir uns bereit, das Thema der Lektion zu studieren. Sie lösen jede Aufgabe und schreiben die Antwort auf, Sie können die Bedingung nicht schreiben. Partnerarbeit.

1) Für welche Werte von x macht die Funktion Sinn:

(Antworten werden für jede Folie überprüft und Fehler werden aussortiert)

2) Stimmen die Funktionsgraphen überein?

3) Schreiben Sie die Gleichungen in logarithmische Gleichungen um:

4) Schreiben Sie die Zahlen als Logarithmen zur Basis 2:

5) Berechnen:

6) Versuchen Sie, die fehlenden Elemente in diesen Gleichheiten wiederherzustellen oder zu ergänzen.

III. Einführung in neues Material

Die Anweisung wird auf dem Bildschirm angezeigt:

"Die Gleichung ist der goldene Schlüssel, der alles mathematische Sesam aufschließt."
Der moderne polnische Mathematiker S. Koval

Versuchen Sie, die Definition einer logarithmischen Gleichung zu formulieren. (Eine Gleichung, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus enthält).

Prüfen die einfachste logarithmische Gleichung:Protokollax = b(wobei a>0, a ≠ 1). Als Logarithmische Funktion am Set zunimmt (oder abnimmt). positive Zahlen und nimmt alle reellen Werte an, so folgt aus dem Wurzelsatz, dass diese Gleichung für jedes b und zwar nur eine Lösung hat, und zwar eine positive.

Erinnere dich an die Definition eines Logarithmus. (Der Logarithmus der Zahl x zur Basis a ist der Exponent, mit dem die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten). Aus der Definition des Logarithmus folgt sofort, dass ain ist so eine Lösung.

Schreiben Sie den Titel auf: Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen

1. Per Definition des Logarithmus.

So werden einfache Gleichungen der Form gelöst.

Prüfen Nr. 514 (a): Löse die Gleichung

Wie schlagen Sie vor, es zu lösen? (Nach Definition des Logarithmus)

Entscheidung. , Also 2x - 4 = 4; x = 4.

In dieser Aufgabe ist also 2x - 4 > 0, da > 0 fremde Wurzeln kann nicht angezeigt werden und muss nicht überprüft werden. Die Bedingung 2x - 4 > 0 muss in dieser Aufgabe nicht ausgeschrieben werden.

2. Potenzierung(Übergang von Logarithmus gegebenen Ausdruck zu diesem Ausdruck).

Prüfen Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Welche Funktion ist Ihnen aufgefallen? (Die Basen sind gleich und die Logarithmen der beiden Ausdrücke sind gleich). Was kann getan werden? (potenzieren).

Dabei ist zu berücksichtigen, dass jede Lösung unter allen x enthalten ist, für die die Logarithmusausdrücke positiv sind.

Lösung: ODZ:

X2+8>0 zusätzliche Ungleichheit

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potenzieren Sie die ursprüngliche Gleichung

wir erhalten die Gleichung x2+8= 8x+8

Wir lösen es: x2-8x=0

Antwort: 0; acht

BEIM Gesamtansicht Übergang zu einem gleichwertigen System:

Die gleichung

(Das System enthält eine redundante Bedingung - eine der Ungleichungen kann ignoriert werden).

Frage an die Klasse: Welche dieser drei Lösungen hat Ihnen am besten gefallen? (Methodendiskussion).

Sie haben das Recht, in irgendeiner Weise zu entscheiden.

3. Einführung einer neuen Variablen.

Prüfen Nr. 520(g). .

Was haben Sie bemerkt? (Dies ist eine quadratische Gleichung für log3x) Irgendwelche Vorschläge? (Neue Variable einführen)

Entscheidung. ODZ: x > 0.

Sei , dann nimmt die Gleichung die Form an:. Diskriminante D > 0. Wurzeln nach Satz von Vieta:.

Kehren wir zum Ersatz zurück: oder .

Lösen wir die einfachsten logarithmischen Gleichungen, erhalten wir:

Antwort: 27;

4. Logarithmus beider Seiten der Gleichung.

Löse die Gleichung:.

Lösung: ODZ: x>0, beide Seiten der Gleichung zur Basis 10 logarithmieren:

Wenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus des Grades an:

(lgx + 3) lgx = 4

Sei lgx = y, dann ist (y + 3)y = 4

, (D > 0) die Nullstellen nach dem Satz von Vieta: y1 = -4 und y2 = 1.

Kehren wir zur Ersetzung zurück, wir erhalten: lgx = -4,; log x = 1, .

Antwort: 0,0001; zehn.

5. Reduktion auf eine Base.

Nr. 523(c). Löse die Gleichung:

Lösung: ODZ: x>0. Kommen wir zu Basis 3.

6. Funktional-grafische Methode.

№ 509(d). Lösen Sie grafisch die Gleichung: = 3 - x.

Wie schlägst du vor zu lösen? (Erstellen Sie Graphen von zwei Funktionen y \u003d log2x und y \u003d 3 - x nach Punkten und suchen Sie nach der Abszisse der Schnittpunkte der Graphen).

Sehen Sie Ihre Lösung auf der Folie.

Gibt es eine Möglichkeit, das Plotten zu vermeiden? . Es ist wie folgt : wenn eine der Funktionen y = f(x) erhöht und die andere y = g(x) auf dem Intervall X abnimmt, dann die Gleichung f(x)=g(x) hat höchstens eine Nullstelle auf dem Intervall X.

Wenn es eine Wurzel gibt, dann kann sie erraten werden.

In unserem Fall steigt die Funktion für x>0 und die Funktion y \u003d 3 - x nimmt für alle Werte von x ab, einschließlich x>0, was bedeutet, dass die Gleichung nicht mehr als eine Wurzel hat. Beachten Sie, dass sich die Gleichung für x = 2 in eine echte Gleichheit verwandelt, da .

« Richtige Anwendung Methoden sind erlernbar
wende sie einfach an verschiedene Beispiele».
Dänischer Mathematikhistoriker G. G. Zeiten

ichv. Hausaufgaben

S. 39 Betrachte Beispiel 3, löse Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Zusammenfassung der Lektion

Welche Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen haben wir in der Lektion betrachtet?

In der nächsten Lektion werden wir uns mehr ansehen komplexe Gleichungen. Um sie zu lösen, sind die untersuchten Methoden nützlich.

Anzeige der letzten Folie:

„Was ist mehr als alles andere auf der Welt?
Platz.
Was ist am klügsten?
Zeit.
Was macht am meisten Spaß?
Erreiche, was du willst."
Thales

Ich möchte, dass jeder das erreicht, was er will. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit und Ihr Verständnis.