Beim Studium der Algebra in allgemeinbildende Schule(Klasse 9) einer von wichtige Themen ist das Studium Zahlenfolgen, die Progressionen umfassen - geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Progression und Beispiele mit Lösungen.
Was ist eine arithmetische Progression?
Um dies zu verstehen, ist es notwendig, die betreffende Progression sowie zu definieren Grundformeln, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.
Arithmetik oder ist eine solche Menge geordneter rationaler Zahlen, von denen sich jedes Mitglied durch einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird Differenz genannt. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.
Nehmen wir ein Beispiel. Die nächste Zahlenfolge ist eine arithmetische Folge: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 ist (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Aber die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann nicht mehr der betrachteten Progressionsart zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Wichtige Formeln
Wir geben jetzt die grundlegenden Formeln an, die benötigt werden, um Probleme mit einer arithmetischen Progression zu lösen. Bezeichnen Sie mit dem Symbol ein n nte Amtszeit Folgen, bei denen n eine ganze Zahl ist. Lassen Sie uns den Unterschied bezeichnen Lateinischer Buchstabe d. Dann sind die folgenden Ausdrücke wahr:
- Um den Wert des n-ten Terms zu bestimmen, eignet sich die Formel: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n + a 1)*n/2.
Um Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung in Klasse 9 zu verstehen, reicht es aus, sich an diese beiden Formeln zu erinnern, da alle Probleme der betreffenden Art auf ihrer Verwendung aufbauen. Vergessen Sie auch nicht, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel bestimmt wird: d = a n - a n-1 .
Beispiel #1: Suche nach einem unbekannten Mitglied
Wir geben ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln, die zur Lösung verwendet werden müssen.
Sei die Folge 10, 8, 6, 4, ... gegeben, es müssen fünf Terme darin gefunden werden.
Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:
- Lassen Sie uns zuerst die Differenz berechnen. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. In ähnlicher Weise könnte man zwei beliebige andere Terme nehmen, in der Nähe stehen zusammen. Beispiel: d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d \u003d a n - a n-1, dann d \u003d a 5 - a 4, woher wir bekommen: a 5 \u003d a 4 + d. Ersatz bekannte Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Die zweite Methode erfordert ebenfalls die Kenntnis des Unterschieds der betreffenden Progression, also müssen Sie ihn zuerst bestimmen, wie oben gezeigt (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die Zahl n der Folge. Wir haben: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Setzen wir n = 5 in den letzten Ausdruck ein, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Wie Sie sehen, führen beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz d der Progression negativ ist. Solche Folgen werden als abnehmend bezeichnet, weil jeder nachfolgende Term kleiner als der vorherige ist.
Beispiel #2: Progressionsunterschied
Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig und geben ein Beispiel dafür, wie man den Unterschied einer arithmetischen Folge findet.
Es ist bekannt, dass in einigen algebraischen Fortschritten der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Sequenz zum 7. Term wiederherzustellen.
Lassen Sie uns die Formel verwenden, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wir ersetzen die bekannten Daten aus der Bedingung, dh die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 \u003d 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie leicht die Differenz berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit war der erste Teil der Aufgabe gelöst.
Um eine Folge von bis zu 7 Begriffen wiederherzustellen, sollte man die Definition verwenden algebraische Progression, das heißt a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d und so weiter. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 und 7 = 18.
Beispiel Nr. 3: eine Progression machen
Lassen Sie uns die Bedingung des Problems noch komplizierter machen. Jetzt müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie eine arithmetische Progression finden. kann führen nächstes Beispiel: Zwei Zahlen sind gegeben, zum Beispiel - 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Progression zu machen, damit drei weitere Terme dazwischen platziert werden.
Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen in der zukünftigen Progression einnehmen werden. Da es drei weitere Terme zwischen ihnen geben wird, dann eine 1 \u003d -4 und eine 5 \u003d 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit einer Aufgabe fort, die der vorherigen ähnlich ist. Auch hier verwenden wir für den n-ten Term die Formel, wir erhalten: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Aus: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier haben wir keinen ganzzahligen Wert der Differenz erhalten, aber es ist Rationale Zahl, also bleiben die Formeln für die algebraische Progression gleich.
Jetzt addieren wir den gefundenen Unterschied zu einer 1 und stellen die fehlenden Mitglieder der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, was mit der Bedingung des Problems übereinstimmte.
Beispiel #4: Das erste Mitglied der Progression
Wir geben weiterhin Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Gegeben seien zwei Zahlen, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es ist notwendig herauszufinden, ab welcher Zahl diese Folge beginnt.
Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist im Zustand des Problems nichts bekannt. Schreiben wir trotzdem die Ausdrücke für jeden Begriff, über den wir Informationen haben: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen, in denen 2 unbekannte Mengen(a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.
Das angegebene System lässt sich am einfachsten lösen, wenn Sie in jeder Gleichung eine 1 ausdrücken und dann die resultierenden Ausdrücke vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, woraus die Differenz d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (es werden nur 3 Dezimalstellen angegeben).
Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden obigen Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, können Sie es überprüfen, indem Sie beispielsweise das 43. Glied der Progression bestimmen, das in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.
Beispiel #5: Summe
Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.
Lass es dir geben numerischer Verlauf folgende Art: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?
Dank der Entwicklung Computertechnologie Sie können dieses Problem lösen, dh alle Zahlen nacheinander addieren, die Rechenmaschine tun, sobald die Person die Eingabetaste drückt. Das Problem lässt sich jedoch gedanklich lösen, wenn man darauf achtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 ist. Wenden wir die Formel für die Summe an, erhalten wir: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Es ist merkwürdig festzustellen, dass dieses Problem "Gaußsch" genannt wird, weil in Anfang XVIII des Jahrhunderts konnte der berühmte Deutsche es im Alter von nur 10 Jahren in wenigen Sekunden im Kopf lösen. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer dasselbe Ergebnis erhält, wenn man Zahlenpaare addiert, die sich an den Rändern der Folge befinden, nämlich 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) sein werden, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.
Beispiel #6: Summe der Terme von n bis m
Andere ein typisches Beispiel Die Summe einer arithmetischen Folge ist wie folgt: Bei einer Reihe von Zahlen: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie herausfinden, wie die Summe ihrer Terme von 8 bis 14 sein wird.
Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Terme von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Terme gibt, ist diese Methode nicht mühsam genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem durch die zweite Methode zu lösen, die universeller ist.
Die Idee ist, eine Formel für die Summe einer algebraischen Folge zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:
- S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (ein n + ein 1) / 2.
Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2-Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen bilden und den Term a m dazu addieren (im Fall der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + ein n * n / 2 + ein m * (1- m / 2). Es ist notwendig, Formeln für ein n und ein m in diesen Ausdruck einzusetzen. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen einsetzen, erhalten wir: S mn = 301.
Wie aus den obigen Lösungen ersichtlich ist, basieren alle Aufgaben auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, dass Sie die Bedingung sorgfältig lesen, klar verstehen, was Sie finden möchten, und erst dann mit der Lösung fortfahren.
Ein weiterer Tipp ist, sich um Einfachheit zu bemühen, das heißt, wenn Sie die Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Zum Beispiel könnte man im Beispiel einer arithmetischen Progression mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am anhalten, und aufgeteilt gemeinsame Aufgabe in separate Teilaufgaben (in dieser Fall Finden Sie zuerst die Terme a n und a m).
Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, wird empfohlen, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele geschehen ist. Wie man eine arithmetische Progression findet, herausgefunden. Wenn du es einmal herausgefunden hast, ist es nicht so schwer.
Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")
Arithmetische Progression- Dies ist eine Reihe von Zahlen, bei denen jede Zahl um denselben Betrag größer (oder kleiner) als die vorherige ist.
Dieses Thema ist oft schwierig und unverständlich. Buchstabenindizes, das n-te Glied der Progression, der Unterschied der Progression - das alles ist irgendwie verwirrend, ja ... Lassen Sie uns die Bedeutung der arithmetischen Progression herausfinden, und alles wird sofort klappen.)
Das Konzept der arithmetischen Progression.
Arithmetische Progression ist ein sehr einfaches und klares Konzept. Zweifel? Vergebens.) Überzeugen Sie sich selbst.
Ich schreibe eine unvollendete Zahlenreihe:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Kannst du diese Zeile verlängern? Welche Zahlen kommen als nächstes nach der Fünf? Jeder ... äh ..., kurz gesagt, jeder wird herausfinden, dass die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. weiter gehen werden.
Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren. Ich gebe eine unvollendete Zahlenreihe:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Sie können das Muster erfassen, die Reihe erweitern und benennen siebte Zeilennummer?
Wenn Sie herausgefunden haben, dass diese Zahl 20 ist, gratuliere ich Ihnen! Du hast nicht nur gespürt Schlüsselpunkte arithmetische Progression, sondern auch erfolgreich im Business eingesetzt! Wenn Sie es nicht verstehen, lesen Sie weiter.
Lassen Sie uns nun die wichtigsten Punkte von Empfindungen in Mathematik übersetzen.)
Erster wichtiger Punkt.
Arithmetische Progression befasst sich mit Zahlenreihen. Das ist zunächst verwirrend. Wir sind es gewohnt, Gleichungen zu lösen, Graphen zu erstellen und all das ... Und dann die Reihe zu erweitern, die Nummer der Reihe zu finden ...
Nichts Schlimmes. Es ist nur so, dass Progressionen die erste Bekanntschaft mit einem neuen Zweig der Mathematik sind. Die Sektion heißt "Reihen" und arbeitet mit Reihen von Zahlen und Ausdrücken. An etwas gewöhnen.)
Zweiter wichtiger Punkt.
In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen um den gleichen Betrag.
Im ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Welche Zahl Sie auch nehmen, es ist eine mehr als die vorherige. Im zweiten - drei. Jede Zahl ist dreimal größer als die vorherige. Tatsächlich ist es dieser Moment, der uns die Gelegenheit gibt, das Muster zu erfassen und die nachfolgenden Zahlen zu berechnen.
Dritter wichtiger Punkt.
Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... Aber sehr, sehr wichtig. Da ist er: jeder Fortschrittsnummer steht an seinem Platz. Es gibt die erste Zahl, es gibt die siebte, es gibt die fünfundvierzigste und so weiter. Wenn Sie sie willkürlich verwechseln, verschwindet das Muster. Auch die arithmetische Progression verschwindet. Es ist nur eine Reihe von Zahlen.
Das ist der springende Punkt.
Natürlich drin neues Thema neue Begriffe und Notationen erscheinen. Sie müssen es wissen. Sonst verstehst du die Aufgabe nicht. Zum Beispiel müssen Sie etwas entscheiden wie:
Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.
Inspiriert es?) Briefe, einige Indexe ... Und die Aufgabe könnte übrigens nicht einfacher sein. Sie müssen nur die Bedeutung der Begriffe und der Notation verstehen. Jetzt werden wir diese Angelegenheit meistern und zur Aufgabe zurückkehren.
Begriffe und Bezeichnungen.
Arithmetische Progression ist eine Reihe von Zahlen, bei denen sich jede Zahl von der vorherigen unterscheidet um den gleichen Betrag.
Dieser Wert wird aufgerufen . Gehen wir näher auf dieses Konzept ein.
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Arithmetische Progressionsdifferenz ist der Betrag, um den jede Progressionsnummer mehr Der vorherige.
Ein wichtiger Punkt. Bitte achten Sie auf das Wort "mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Progressionsnummer erhalten wird Hinzufügen die Differenz einer arithmetischen Progression zur vorherigen Zahl.
Um zu rechnen, sagen wir zweite Zahlen der Zeile, ist es notwendig Erste Anzahl hinzufügen eben dieser Unterschied einer arithmetischen Progression. Zur Berechnung fünfte- Der Unterschied ist notwendig hinzufügen zu vierte naja usw.
Arithmetische Progressionsdifferenz kann sein positiv dann wird sich jede Zahl der Reihe als echt herausstellen mehr als die vorherige. Diese Progression wird aufgerufen zunehmend. Zum Beispiel:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Hier ist jede Zahl Hinzufügen positive Zahl, +5 zum vorherigen.
Der Unterschied kann sein Negativ dann wird jede Zahl in der Reihe sein weniger als die vorherige. Dieser Fortschritt heißt (Sie werden es nicht glauben!) abnehmend.
Zum Beispiel:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Auch hier wird jede Zahl ermittelt Hinzufügen zur vorherigen, aber bereits negativen Zahl, -5.
Übrigens ist es bei der Arbeit mit einer Progression sehr nützlich, sofort ihre Art zu bestimmen - ob sie zunimmt oder abnimmt. Es hilft sehr, sich in der Entscheidung zurechtzufinden, seine Fehler zu erkennen und zu korrigieren, bevor es zu spät ist.
Arithmetische Progressionsdifferenz normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet d.
Wie findet man d? Sehr einfach. Es ist notwendig, von einer beliebigen Zahl der Reihe zu subtrahieren Bisherige Anzahl. Subtrahieren. Das Ergebnis der Subtraktion heißt übrigens "Differenz".)
Definieren wir zum Beispiel d für eine steigende arithmetische Progression:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Wir nehmen eine beliebige Zahl der gewünschten Zeile, zum Beispiel 11. Subtrahieren Sie davon vorherige Nummer, jene. acht:
Dies ist die richtige Antwort. Für diese arithmetische Progression beträgt die Differenz drei.
Du kannst einfach nehmen beliebig viele Progressionen, da für einen bestimmten Verlauf d-immer gleich. Zumindest irgendwo am Anfang der Reihe, zumindest in der Mitte, zumindest irgendwo. Sie können nicht nur die allererste Nummer nehmen. Nur weil die allererste Nummer Keine vorherige.)
Übrigens, das zu wissen d=3, ist es sehr einfach, die siebte Zahl dieser Progression zu finden. Wir addieren 3 zur fünften Zahl - wir erhalten die sechste, es wird 17. Wir addieren drei zur sechsten Zahl, wir erhalten die siebte Zahl - zwanzig.
Lassen Sie uns definieren d für fallende arithmetische Progression:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ich erinnere Sie daran, dass Sie unabhängig von den Anzeichen feststellen müssen d von einer beliebigen Nummer benötigt den vorherigen wegnehmen. Wir wählen eine beliebige Anzahl von Progressionen, zum Beispiel -7. Seine vorherige Nummer ist -2. Dann:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Die Differenz einer arithmetischen Folge kann eine beliebige Zahl sein: ganzzahlig, gebrochen, irrational, beliebig.
Andere Begriffe und Bezeichnungen.
Jede Nummer in der Reihe wird aufgerufen Mitglied einer arithmetischen Folge.
Jedes Mitglied der Progression hat seine Nummer. Die Zahlen sind streng in Ordnung, ohne irgendwelche Tricks. Erster, zweiter, dritter, vierter usw. Zum Beispiel in der Progression 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei ist das erste Mitglied, fünf ist das zweite, elf ist das vierte, nun, Sie verstehen ...) Bitte verstehen Sie klar - die Zahlen selbst kann absolut alles sein, ganz, gebrochen, negativ, was auch immer, aber Nummerierung- streng in ordnung!
So zeichnen Sie eine Progression in auf Gesamtansicht? Kein Problem! Jede Zahl in der Reihe wird als Buchstabe geschrieben. Zur Bezeichnung einer arithmetischen Folge wird in der Regel der Buchstabe verwendet a. Die Mitgliedsnummer wird durch den Index unten rechts angezeigt. Elemente werden wie folgt durch Kommas (oder Semikolons) getrennt geschrieben:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
eine 1 ist die erste Zahl eine 3- Dritte usw. Nichts kniffliges. Sie können diese Serie kurz so schreiben: (ein).
Es gibt Progressionen endlich und unendlich.
Ultimativ Fortschritt hat limitierte Anzahl Mitglieder. Fünf, achtunddreißig, was auch immer. Aber es ist eine endliche Zahl.
Endlos Progression - hat eine unendliche Anzahl von Mitgliedern, wie Sie sich vorstellen können.)
Sie können eine letzte Progression durch eine Reihe wie diese schreiben, alle Mitglieder und einen Punkt am Ende:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Oder so, wenn es viele Mitglieder gibt:
eine 1 , eine 2 , ... eine 14 , eine 15 .
BEIM Abkürzung müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder) so:
(ein n), n = 20
Eine unendliche Progression ist an den Auslassungspunkten am Ende der Zeile zu erkennen, wie in den Beispielen dieser Lektion.
Jetzt können Sie bereits Aufgaben lösen. Die Aufgaben sind einfach, nur um die Bedeutung der arithmetischen Folge zu verstehen.
Beispiele für Aufgaben zur arithmetischen Progression.
Schauen wir uns die obige Aufgabe genauer an:
1. Schreiben Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.
Wir übertragen die Aufgabe an verständliche Sprache. Gegeben sei eine unendliche arithmetische Progression. Die zweite Zahl dieser Progression ist bekannt: a 2 = 5. Bekannter Progressionsunterschied: d = -2,5. Wir müssen das erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Mitglied dieser Progression finden.
Zur Verdeutlichung werde ich je nach Zustand des Problems eine Reihe aufschreiben. Die ersten sechs Mitglieder, wobei das zweite Mitglied fünf ist:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....
eine 3 = eine 2 + d
Wir ersetzen im Ausdruck a 2 = 5 und d=-2,5. Minus nicht vergessen!
eine 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Der dritte Begriff ist weniger als eine Sekunde. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer als die vorherige ist Negativ Wert, so dass die Zahl selbst kleiner als die vorherige sein wird. Die Progression nimmt ab. Okay, nehmen wir es in Betracht.) Wir betrachten das vierte Mitglied unserer Reihe:
eine 4 = eine 3 + d
eine 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
eine 5 = eine 4 + d
eine 5=0+(-2,5)= - 2,5
eine 6 = eine 5 + d
eine 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Also wurden die Terme vom dritten bis zum sechsten berechnet. Daraus ist eine Reihe entstanden:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Es bleibt der erste Term zu finden eine 1 An berühmte Sekunde. Dies ist ein Schritt in die andere Richtung, nach links.) Daher der Unterschied in der arithmetischen Progression d sollte nicht hinzugefügt werden eine 2, a wegbringen:
eine 1 = eine 2 - d
eine 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Das ist alles dazu. Aufgabenantwort:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Nebenbei stelle ich fest, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Dieses schreckliche Wort bedeutet nur die Suche nach einem Mitglied der Progression durch die vorherige (benachbarte) Zahl. Andere Möglichkeiten, mit der Progression zu arbeiten, werden später besprochen.
Davon einfache Aufgabe Eine wichtige Schlussfolgerung kann gezogen werden.
Erinnern:
Wenn wir mindestens ein Glied und die Differenz einer arithmetischen Folge kennen, können wir jedes Glied dieser Folge finden.
Erinnern? Diese einfache Ableitung ermöglicht es uns, die meisten Probleme zu lösen Schulkurs Zu diesem Thema. Alle Aufgaben drehen sich um Drei Haupt Parameter: Glied einer arithmetischen Folge, Differenz einer Folge, Anzahl eines Gliedes einer Folge. Alles.
Natürlich wird nicht die gesamte vorherige Algebra gestrichen.) Ungleichungen, Gleichungen und andere Dinge werden an die Progression angehängt. Aber nach Verlauf- alles dreht sich um drei Parameter.
Betrachten Sie zum Beispiel einige beliebte Aufgaben Zu diesem Thema.
2. Schreiben Sie die endgültige arithmetische Folge als Reihe, wenn n = 5, d = 0,4 und a 1 = 3,6.
Hier ist alles einfach. Alles ist bereits gegeben. Sie müssen sich daran erinnern, wie die Mitglieder einer arithmetischen Folge berechnet, gezählt und aufgeschrieben werden. Es ist ratsam, die Wörter in der Aufgabenbedingung nicht zu überspringen: "final" und " n=5". Um nicht zu zählen, bis Sie ganz blau im Gesicht sind.) Es gibt nur 5 (fünf) Mitglieder in dieser Progression:
ein 2 \u003d ein 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
ein 3 \u003d ein 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
eine 4 = eine 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
eine 5 = eine 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Es bleibt, die Antwort aufzuschreiben:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Eine weitere Aufgabe:
3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 ein Mitglied einer arithmetischen Folge sein wird (a n) if ein 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hm... Wer weiß? Wie definiert man etwas?
How-how ... Ja, schreiben Sie den Verlauf in Form einer Reihe auf und sehen Sie, ob es eine Sieben gibt oder nicht! Wir glauben:
ein 2 \u003d ein 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
ein 3 \u003d ein 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
eine 4 = eine 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Jetzt sieht man deutlich, dass wir nur sieben sind durchgerutscht zwischen 6,5 und 7,7! Die Sieben ist nicht in unsere Zahlenreihe gekommen, und deshalb wird die Sieben kein Mitglied der gegebenen Progression sein.
Antwort: nein.
Und hier ist ein Problem basierend auf echte Version GIA:
4. Mehrere aufeinanderfolgende Glieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:
...; fünfzehn; X; neun; 6; ...
Hier ist eine Serie ohne Ende und Anfang. Keine Mitgliedsnummern, kein Unterschied d. Nichts Schlimmes. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Bedeutung einer arithmetischen Progression zu verstehen. Mal sehen und sehen, was wir können entdecken aus dieser Zeile? Was sind die Parameter der drei wichtigsten?
Mitgliedsnummern? Hier gibt es keine einzige Zahl.
Aber da sind drei Nummern und - Achtung! - Wort "aufeinanderfolgenden" im Zustand. Das bedeutet, dass die Nummern streng geordnet sind, ohne Lücken. Gibt es zwei in dieser Reihe? benachbart bekannte Zahlen? Ja, gibt es! Das sind 9 und 6. Wir können also die Differenz einer arithmetischen Folge berechnen! Wir subtrahieren von der Sechs Bisherige Nummer, d.h. neun:
Es bleiben Leerstellen. Welche Zahl wird die vorherige für x sein? Fünfzehn. X kann also leicht gefunden werden einfache Ergänzung. Zu 15 füge die Differenz einer arithmetischen Folge hinzu:
Das ist alles. Antworten: x=12
Folgende Probleme lösen wir selbst. Hinweis: Diese Rätsel sind nicht für Formeln. Nur um die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen.) Wir schreiben einfach eine Reihe von Zahlenbuchstaben auf, schauen und denken.
5. Finden Sie den ersten positiven Term der arithmetischen Folge, wenn a 5 = -3; d = 1,1.
6. Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist, wobei a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestimmen Sie die Zahl n dieses Terms.
7. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Finde eine 3.
8. Mehrere aufeinanderfolgende Glieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x.
9. Der Zug setzte sich aus dem Bahnhof in Bewegung und erhöhte seine Geschwindigkeit allmählich um 30 Meter pro Minute. Wie schnell wird der Zug in fünf Minuten sein? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
10. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 5; eine 6 = -5. Finde eine 1.
Antworten (in Unordnung): 7,7; 7,5; 9,5; neun; 0,3; 4.
Es hat alles geklappt? Tolle! Sie können die arithmetische Progression für mehr beherrschen hohes Level, in den nächsten Lektionen.
Hat nicht alles geklappt? Kein Problem. In der Sondersektion 555 sind alle diese Rätsel nach Knochen sortiert.) Und natürlich ein einfaches praktische Technik, der die Lösung solcher Aufgaben sofort klar, deutlich, ins Blickfeld rückt!
Übrigens gibt es im Rätsel um den Zug zwei Probleme, über die die Leute oft stolpern. Eine - rein durch Progression und die zweite - gemeinsam mit allen Aufgaben in Mathematik und auch in Physik. Dies ist eine Übersetzung von Dimensionen von einer zur anderen. Es zeigt, wie diese Probleme gelöst werden sollten.
In dieser Lektion haben wir die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge und ihre Hauptparameter untersucht. Dies reicht aus, um fast alle Probleme zu diesem Thema zu lösen. Hinzufügen d zu den Zahlen, schreib eine Serie, alles wird sich entscheiden.
Die Fingerlösung funktioniert gut für sehr kurze Stücke der Serie, wie in den Beispielen in dieser Lektion. Wenn die Reihe länger ist, werden die Berechnungen schwieriger. Zum Beispiel, wenn in Problem 9 in der Frage, ersetzen "fünf Minuten" auf der „fünfunddreißig Minuten“ das Problem wird viel schlimmer.)
Und es gibt auch Aufgaben, die im Grunde einfach, aber rechnerisch völlig absurd sind, zum Beispiel:
Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n). Finden Sie a 121, wenn a 1 = 3 und d = 1/6.
Und was, wir werden viele, viele Male 1/6 hinzufügen?! Kann man sich umbringen!?
Sie können.) Wenn Sie es nicht wissen eine einfache Formel, wonach Sie solche Aufgaben in einer Minute lösen können. Diese Formel finden Sie in der nächsten Lektion. Und dieses Problem ist dort gelöst. In einer Minute.)
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Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Anweisung
Eine arithmetische Folge ist eine Folge der Form a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d Schritt Verläufe.Offensichtlich die Summe eines beliebigen n-ten Gliedes der Arithmetik Verläufe hat die Form: An = A1+(n-1)d. Dann kennen Sie eines der Mitglieder Verläufe, Mitglied Verläufe und Schritt Verläufe, kann , also die Nummer des Progressionsterms sein. Offensichtlich wird es durch die Formel n = (An-A1+d)/d bestimmt.
Lassen Sie den m-ten Term jetzt bekannt sein Verläufe und ein anderes Mitglied Verläufe- n-ten, aber n , wie im vorherigen Fall, aber es ist bekannt, dass n und m nicht übereinstimmen.Schritt Verläufe kann nach folgender Formel berechnet werden: d = (An-Am)/(n-m). Dann ist n = (An-Am+md)/d.
Ist die Summe mehrerer Elemente einer Arithmetik Verläufe, sowie dessen erstes und letztes , dann kann auch die Anzahl dieser Elemente bestimmt werden Die Summe der Arithmetik Verläufe gleich: S = ((A1+An)/2)n. Dann sind n = 2S/(A1+An) chdenov Verläufe. Unter Verwendung der Tatsache, dass An = A1+(n-1)d, kann diese Formel umgeschrieben werden als: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Daraus kann man n durch Lösen ausdrücken quadratische Gleichung.
Eine arithmetische Folge ist eine solche geordnete Menge von Zahlen, von denen sich jedes Glied bis auf das erste um den gleichen Betrag von dem vorherigen unterscheidet. Das Konstante wird als Differenz der Progression oder ihrer Stufe bezeichnet und kann aus den bekannten Gliedern der arithmetischen Progression berechnet werden.
Anweisung
Wenn die Werte des ersten und zweiten oder eines anderen Paares benachbarter Terme aus den Bedingungen des Problems bekannt sind, subtrahieren Sie zur Berechnung der Differenz (d) einfach den vorherigen Term vom nächsten Term. Der resultierende Wert kann entweder positiv oder sein negative Zahl- es kommt darauf an, ob die Progression zunimmt. BEIM generelle Form schreibe die Lösung für ein beliebiges Paar (aᵢ und aᵢ₊₁) benachbarter Glieder der Folge wie folgt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Für ein Paar von Gliedern einer solchen Progression, von denen eines das erste (a&sub1;) und das andere irgendein anderes willkürlich gewähltes ist, kann man auch eine Formel zum Auffinden der Differenz (d) aufstellen. Allerdings muss in diesem Fall die Seriennummer (i) eines willkürlich gewählten Glieds der Sequenz bekannt sein. Um die Differenz zu berechnen, addieren Sie beide Zahlen und dividieren das Ergebnis durch die um eins verringerte Ordnungszahl eines beliebigen Terms. Schreiben Sie diese Formel im Allgemeinen wie folgt: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Wenn neben einem beliebigen Glied der arithmetischen Folge mit der Ordnungszahl i ein weiteres Glied mit der Ordnungszahl u bekannt ist, ändern Sie die Formel aus dem vorherigen Schritt entsprechend ab. In diesem Fall ist die Differenz (d) der Progression die Summe dieser beiden Terme dividiert durch ihre Differenz Seriennummer: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Die Formel zur Berechnung der Differenz (d) wird etwas komplizierter, wenn in den Bedingungen des Problems der Wert ihres ersten Gliedes (a₁) und die Summe (Sᵢ) einer gegebenen Anzahl (i) der ersten Glieder angegeben sind Arithmetische Sequenz. Um den gewünschten Wert zu erhalten, teilen Sie die Summe durch die Anzahl der Terme, aus denen sie besteht, subtrahieren Sie den Wert der ersten Zahl in der Folge und verdoppeln Sie das Ergebnis. Teilen Sie den resultierenden Wert durch die Anzahl der Terme, aus denen die um eins reduzierte Summe besteht. Schreiben Sie im Allgemeinen die Formel zur Berechnung der Diskriminante wie folgt auf: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Worin Hauptpunkt Formeln?
Mit dieser Formel können Sie finden irgendein NACH SEINER NUMMER" n" .
Natürlich müssen Sie den ersten Term kennen eine 1 und Verlaufsunterschied d Nun, ohne diese Parameter können Sie keinen bestimmten Verlauf aufschreiben.
Es reicht nicht, diese Formel auswendig zu lernen (oder zu betrügen). Es ist notwendig, seine Essenz zu assimilieren und die Formel bei verschiedenen Problemen anzuwenden. Und nicht vergessen richtiger Moment, aber wie nicht vergessen- Ich weiß nicht. Und hier wie man sich erinnert Bei Bedarf gebe ich dir einen Tipp. Für diejenigen, die die Lektion bis zum Ende meistern.)
Beschäftigen wir uns also mit der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Was ist eine Formel im Allgemeinen - stellen wir uns vor.) Was eine arithmetische Progression, eine Elementnummer, eine Progressionsdifferenz ist - wurde in der vorherigen Lektion klar dargelegt. Schau mal rein, falls du es nicht gelesen hast. Da ist alles einfach. Es bleibt herauszufinden, was ntes Mitglied.
Die Progression im Allgemeinen kann als eine Reihe von Zahlen geschrieben werden:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
eine 1- bezeichnet den ersten Term einer arithmetischen Folge, eine 3- drittes Mitglied eine 4- vierte, und so weiter. Wenn wir an der fünften Amtszeit interessiert sind, nehmen wir an, wir arbeiten mit eine 5, wenn einhundertzwanzigste - von eine 120.
Wie allgemein definieren irgendein Mitglied einer arithmetischen Folge, s irgendein Anzahl? Sehr einfach! So:
ein
Das ist es n-tes Glied einer arithmetischen Folge. Unter dem Buchstaben n sind alle Mitgliedernummern auf einmal versteckt: 1, 2, 3, 4 und so weiter.
Und was gibt uns ein solcher Rekord? Denken Sie nur, statt einer Zahl haben sie einen Buchstaben aufgeschrieben ...
Dieser Eintrag gibt uns leistungsfähiges Werkzeug mit arithmetischer Progression zu arbeiten. Verwendung der Notation ein, können wir schnell finden irgendein Mitglied irgendein arithmetische Progression. Und eine Reihe von Aufgaben, die nach und nach gelöst werden müssen. Sie werden weiter sehen.
In der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge:
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
eine 1- das erste Glied der arithmetischen Folge;
n- Mitgliedsnummer.
Die Formel verbindet die Schlüsselparameter jeder Progression: ein ; a 1 ; d und n. Um diese Parameter drehen sich alle Rätsel nacheinander.
Die n-te Termformel kann auch verwendet werden, um eine bestimmte Progression zu schreiben. Beispielsweise kann in der Aufgabe gesagt werden, dass die Progression durch die Bedingung gegeben ist:
ein n = 5 + (n-1) 2.
Ein solches Problem kann sogar verwirren ... Es gibt keine Reihe, keinen Unterschied ... Aber wenn man die Bedingung mit der Formel vergleicht, kann man das in dieser Progression leicht herausfinden a 1 \u003d 5 und d \u003d 2.
Und es kann noch wütender sein!) Wenn wir die gleiche Bedingung nehmen: ein n = 5 + (n-1) 2, ja, öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche ein? Wir erhalten eine neue Formel:
an = 3 + 2n.
Das Nur nicht allgemein, sondern für einen bestimmten Verlauf. Hier liegt die Falle. Manche Leute denken, dass das erste Glied eine Drei ist. Obwohl das erste Mitglied in Wirklichkeit eine Fünf ist ... Etwas niedriger werden wir mit einer solchen modifizierten Formel arbeiten.
Bei Aufgaben zum Fortschreiten gibt es eine andere Notation - ein n+1. Dies ist, Sie haben es erraten, der „n plus das erste“ Glied der Progression. Seine Bedeutung ist einfach und harmlos.) Dies ist ein Mitglied der Progression, deren Anzahl um eins größer ist als die Anzahl n. Zum Beispiel, wenn wir bei einem Problem für ein fünfte Amtszeit also ein n+1 wird das sechste Mitglied. Und dergleichen.
Meistens die Bezeichnung ein n+1 kommt in rekursiven Formeln vor. Hab keine Angst davor schreckliches Wort!) Dies ist nur eine Art, einen Term einer arithmetischen Folge auszudrücken durch das vorherige. Angenommen, wir erhalten eine arithmetische Progression in dieser Form unter Verwendung der wiederkehrenden Formel:
ein n+1 = ein n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Vom vierten bis zum dritten, vom fünften bis zum vierten und so weiter. Und wie man sofort zählt, sagen wir den zwanzigsten Begriff, eine 20? Aber auf keinen Fall!) Während das 19. Semester nicht bekannt ist, kann das 20. nicht gezählt werden. Dies ist der grundlegende Unterschied zwischen der rekursiven Formel und der Formel des n-ten Terms. Rekursiv funktioniert nur durch Bisherige Begriff und die Formel des n-ten Begriffs - durch Erste und erlaubt sofort Finden Sie jedes Mitglied anhand seiner Nummer. Nicht die ganze Reihe von Zahlen der Reihe nach zählen.
In einer arithmetischen Folge kann eine rekursive Formel leicht in eine reguläre umgewandelt werden. Zählen Sie ein Paar aufeinanderfolgender Begriffe, berechnen Sie die Differenz d, Finden Sie ggf. den ersten Term eine 1, schreibe die Formel in der üblichen Form und arbeite damit. Im GIA sind solche Aufgaben oft zu finden.
Anwendung der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Überlegen Sie zunächst direkte Anwendung Formeln. Am Ende der vorherigen Lektion gab es ein Problem:
Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n). Finden Sie a 121, wenn a 1 = 3 und d = 1/6.
Dieses Problem lässt sich ganz ohne Formeln lösen, einfach anhand der Bedeutung der arithmetischen Folge. Füge hinzu, ja füge hinzu ... Ein oder zwei Stunden.)
Und laut Formel dauert die Lösung weniger als eine Minute. Sie können es timen.) Wir entscheiden.
Die Bedingungen liefern alle Daten für die Anwendung der Formel: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Es bleibt abzuwarten, was n. Kein Problem! Wir müssen finden eine 121. Hier schreiben wir:
Bitte pass auf! Anstelle eines Index n eine bestimmte Zahl erschien: 121. Was ziemlich logisch ist.) Uns interessiert das Glied der arithmetischen Folge Nummer einhunderteinundzwanzig. Das wird unser sein n. Es ist diese Bedeutung n= 121 setzen wir weiter in die Formel ein, in Klammern. Ersetzen Sie alle Zahlen in der Formel und berechnen Sie:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Das ist alles dazu. Genauso schnell konnte man das fünfhundertzehnte Mitglied und das tausenddrittste Mitglied finden. Wir setzen stattdessen n gewünschte Zahl am Index des Briefes " a" und in Klammern, und wir betrachten.
Lassen Sie mich Sie an die Essenz erinnern: Diese Formel ermöglicht es Ihnen, zu finden irgendein Term einer arithmetischen Progression NACH SEINER NUMMER" n" .
Lassen Sie uns das Problem intelligenter lösen. Nehmen wir an, wir haben folgendes Problem:
Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge (a n), wenn a 17 =-2; d=-0,5.
Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, werde ich den ersten Schritt vorschlagen. Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf! Ja Ja. Schreiben Sie handschriftlich direkt in Ihr Notizbuch:
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Und jetzt, wenn wir uns die Buchstaben der Formel ansehen, verstehen wir, welche Daten wir haben und was fehlt? Erhältlich d=-0,5, es gibt ein siebzehntes Mitglied ... Alles? Wenn Sie denken, das ist alles, dann können Sie das Problem nicht lösen, ja ...
Wir haben auch eine Nummer n! Im Zustand a 17 = –2 versteckt zwei Optionen. Dies ist sowohl der Wert des siebzehnten Elements (-2) als auch seine Nummer (17). Jene. n = 17. Diese „Kleinigkeit“ rutscht oft am Kopf vorbei, und ohne sie (ohne die „Kleinigkeit“, nicht den Kopf!) ist das Problem nicht zu lösen. Obwohl ... und auch ohne Kopf.)
Jetzt können wir unsere Daten einfach dumm in die Formel einsetzen:
ein 17 \u003d ein 1 + (17-1) (-0,5)
Oh ja, eine 17 wir wissen, dass es -2 ist. Okay, setzen wir es ein:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Das ist im Wesentlichen alles. Es bleibt, den ersten Term der arithmetischen Folge aus der Formel auszudrücken und zu berechnen. Sie erhalten die Antwort: eine 1 = 6.
Eine solche Technik – das Schreiben einer Formel und das einfache Ersetzen bekannter Daten – hilft sehr einfache Aufgaben. Nun, Sie müssen natürlich in der Lage sein, eine Variable aus einer Formel auszudrücken, aber was tun!? Ohne diese Fähigkeit kann Mathematik überhaupt nicht studiert werden ...
Ein weiteres beliebtes Problem:
Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge (a n), wenn a 1 =2; a 15 = 12.
Was machen wir? Sie werden überrascht sein, wir schreiben die Formel!)
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Bedenken Sie, was wir wissen: a 1 = 2; a 15 = 12; und (besonderes Highlight!) n = 15. Fühlen Sie sich frei, in der Formel zu ersetzen:
12=2 + (15-1)d
Rechnen wir mal.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Dies ist die richtige Antwort.
Also Aufgaben ein n, eine 1 und d beschlossen. Es bleibt zu lernen, wie man die Nummer findet:
Die Zahl 99 ist Mitglied einer arithmetischen Folge (a n), wobei a 1 = 12; d=3. Finden Sie die Nummer dieses Mitglieds.
Wir setzen die bekannten Größen in die Formel des n-ten Terms ein:
ein n = 12 + (n-1) 3
Hier gibt es auf den ersten Blick zwei Unbekannte: ein n und n. Aber ein ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer n... Und dieses Mitglied der Progression kennen wir! Es ist 99. Wir kennen seine Nummer nicht. n, also muss diese Nummer auch gefunden werden. Setzen Sie den Progressionsterm 99 in die Formel ein:
99 = 12 + (n-1) 3
Wir drücken aus der Formel aus n, wir denken. Wir bekommen die Antwort: n = 30.
Und jetzt ein Problem zum gleichen Thema, aber kreativer):
Bestimmen Sie, ob die Zahl 117 ein Mitglied einer arithmetischen Folge ist (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Schreiben wir die Formel noch einmal. Was, es gibt keine Optionen? Hm ... Warum brauchen wir Augen?) Sehen wir das erste Mitglied der Progression? Wir sehen. Dies ist -3,6. Sie können sicher schreiben: ein 1 \u003d -3,6. Unterschied d kann aus der Serie bestimmt werden? Es ist einfach, wenn Sie wissen, was der Unterschied einer arithmetischen Progression ist:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Ja, wir haben das Einfachste gemacht. Es bleibt, sich mit einer unbekannten Nummer zu befassen n und eine unverständliche Zahl 117. Bei der vorherigen Aufgabe war zumindest bekannt, dass es sich um den Begriff der Progression handelte, der angegeben wurde. Aber hier wissen wir das nicht einmal ... How to be!? Nun, wie zu sein, wie zu sein ... Schalten Sie ein Kreative Fähigkeiten!)
Wir annehmen dass 117 schließlich ein Mitglied unserer Progression ist. Mit unbekannter Nummer n. Und, genau wie im vorigen Problem, versuchen wir, diese Nummer zu finden. Jene. wir schreiben die Formel (ja-ja!)) und ersetzen unsere Zahlen:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Wieder drücken wir aus der Formel ausn, wir zählen und erhalten:
Hoppla! Die Nummer stellte sich heraus Bruchteil! Einhunderteineinhalb. Und Bruchzahlen in Progressionen kann nicht sein. Welches Fazit ziehen wir? Ja! Nummer 117 ist nicht Mitglied unserer Progression. Es liegt irgendwo zwischen dem 101. und 102. Mitglied. Wenn sich herausstellte, dass die Zahl natürlich ist, d.h. positive ganze Zahl, dann wäre die Zahl ein Mitglied der Progression mit der gefundenen Zahl. Und in unserem Fall lautet die Antwort auf das Problem: Nein.
Aufgabe basierend auf einer realen Version des GIA:
Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:
ein n \u003d -4 + 6,8n
Finde den ersten und zehnten Term der Progression.
Hier wird die Progression auf ungewöhnliche Weise gesetzt. Eine Art Formel ... Es passiert.) Diese Formel (wie ich oben geschrieben habe) - auch die Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge! Sie lässt es auch zu Finden Sie jedes Mitglied der Progression anhand seiner Nummer.
Wir suchen das erste Mitglied. Der, der denkt. dass der erste Term minus vier ist, ist ein fataler Irrtum!) Weil die Formel in der Aufgabe modifiziert wird. Das erste Glied einer arithmetischen Progression darin versteckt. Nichts, wir werden es jetzt finden.)
Genau wie in den vorherigen Aufgaben ersetzen wir n=1 in diese Formel:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Hier! Der erste Term ist 2,8, nicht -4!
Ebenso suchen wir nach dem zehnten Term:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Das ist alles dazu.
Und jetzt, für diejenigen, die bis zu diesen Zeilen gelesen haben, der versprochene Bonus.)
Angenommen, Sie haben in einer schwierigen Kampfsituation das GIA oder die Einheitliche Staatsprüfung vergessen nützliche Formel n-tes Glied einer arithmetischen Folge. Etwas fällt mir ein, aber irgendwie unsicher... Ob n dort, bzw n+1, bzw n-1... Wie sein!?
Ruhig! Diese Formel lässt sich leicht ableiten. Nicht sehr streng, aber sicher und richtige Entscheidung das reicht!) Für den Schluss genügt es, sich an die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge zu erinnern und ein paar Minuten Zeit zu haben. Sie müssen nur ein Bild zeichnen. Zur Klarheit.
Wir zeichnen numerische Achse und markieren Sie das erste darauf. zweite, dritte usw. Mitglieder. Und beachten Sie den Unterschied d zwischen Mitgliedern. So:
Wir sehen uns das Bild an und denken: Was ist der zweite Term gleich? Zweite ein d:
a 2 = a 1 + 1 d
Was ist der dritte Begriff? Der dritte Term ist gleich erster Term plus zwei d.
a 3 = a 1 + 2 d
Verstehst du es? Ich bin nicht umsonst, einige Wörter hervorzuheben in fett. Okay, noch ein Schritt.)
Was ist der vierte Begriff? Vierte Term ist gleich erster Term plus drei d.
a 4 = a 1 + 3 d
Es ist Zeit zu erkennen, dass die Anzahl der Lücken, d.h. d, stets eins weniger als die Nummer des gesuchten Mitglieds n. Das heißt, bis auf die Zahl n, Anzahl der Lücken Wille n-1. Die Formel lautet also (keine Optionen!):
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Im Allgemeinen sind visuelle Bilder sehr hilfreich bei der Lösung vieler Probleme in der Mathematik. Vernachlässigen Sie die Bilder nicht. Aber wenn es schwierig ist, ein Bild zu zeichnen, dann ... nur eine Formel!) Darüber hinaus können Sie mit der Formel des n-ten Begriffs das gesamte mächtige Arsenal der Mathematik mit der Lösung verbinden - Gleichungen, Ungleichungen, Systeme usw. Man kann kein Bild in eine Gleichung einfügen...
Aufgaben zur selbstständigen Entscheidung.
Zum Aufwärmen:
1. In arithmetischer Folge (a n) a 2 =3; ein 5 \u003d 5.1. Finde eine 3.
Hinweis: Laut Bild ist das Problem in 20 Sekunden gelöst ... Laut Formel gestaltet es sich schwieriger. Aber zum Beherrschen der Formel ist es nützlicher.) In Abschnitt 555 wird dieses Problem sowohl durch das Bild als auch durch die Formel gelöst. Spüre den Unterschied!)
Und das ist kein Aufwärmen mehr.)
2. In arithmetischer Progression (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finde a 3 .
Was, Zurückhaltung, ein Bild zu zeichnen?) Immer noch! Es ist besser in der Formel, ja ...
3. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:ein 1 \u003d -5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finden Sie das einhundertfünfundzwanzigste Glied dieser Progression.
Bei dieser Aufgabe wird die Progression wiederkehrend vorgegeben. Aber bis zum einhundertfünfundzwanzigsten Term hochzählen... Nicht jeder kann so etwas vollbringen.) Aber die Formel des n-ten Terms liegt in der Macht eines jeden!
4. Gegeben eine arithmetische Progression (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Finden Sie die Nummer des kleinsten positiven Glieds der Progression.
5. Finden Sie gemäß der Bedingung von Aufgabe 4 die Summe der kleinsten positiven und größten negativen Glieder der Progression.
6. Das Produkt des fünften und zwölften Glieds einer ansteigenden arithmetischen Folge ist -2,5, und die Summe des dritten und elften Glieds ist Null. Finden Sie eine 14 .
Nicht die einfachste Aufgabe, ja ...) Hier funktioniert die Methode "an den Fingern" nicht. Sie müssen Formeln schreiben und Gleichungen lösen.
Antworten (durcheinander):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Passiert? Es ist schön!)
Nicht alles klappt? Es passiert. Übrigens drin letzter Auftrag Es gibt einen subtilen Punkt. Aufmerksamkeit beim Lesen des Problems ist erforderlich. Und Logik.
Die Lösung all dieser Probleme wird in Abschnitt 555 ausführlich besprochen. Und das Fantasieelement für das vierte und das subtile Moment für das sechste sowie allgemeine Ansätze zur Lösung von Problemen für die Formel des n-ten Begriffs - alles ist gemalt. Empfehlen.
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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)
Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)
Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Das Motto unserer Lektion werden die Worte des russischen Mathematikers V.P. Ermakova: „In der Mathematik sollte man sich nicht an Formeln erinnern, sondern an Denkprozesse.“
Während des Unterrichts
Formulierung des Problems
Auf der Tafel ist ein Porträt von Gauß. Ein Lehrer oder Schüler, der im Voraus die Aufgabe hatte, eine Botschaft vorzubereiten, sagt, als Gauß in der Schule war, bat der Lehrer die Schüler, alles zu addieren ganze Zahlen von 1 bis 100. Der kleine Gauss löste dieses Problem in einer Minute.
Frage . Wie kam Gauß auf die Antwort?
Suchen Sie nach Lösungen
Die Schüler drücken ihre Vermutungen aus und fassen dann zusammen: Erkennen, dass die Summen 1 + 100, 2 + 99 usw. gleich sind, Gauß multipliziert 101 mit 50, also mit der Anzahl solcher Summen. Mit anderen Worten, er bemerkte ein Muster, das einer arithmetischen Progression innewohnt.
Herleitung der Summenformel n die ersten Terme einer arithmetischen Folge
Schreiben Sie das Thema der Lektion an die Tafel und in Ihre Hefte. Die Schüler schreiben zusammen mit dem Lehrer die Herleitung der Formel auf:
Lassen a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; ein – 2 ; ein – 1 ; ein- Arithmetische Progression.
Primärbefestigung
1. Lösen wir mit Formel (1) das Gauß-Problem:
2. Lösen Sie die Aufgaben mit Formel (1) mündlich (ihre Bedingungen werden an die Tafel geschrieben oder positiv codiert), ( ein) - arithmetische Progression:
a) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?
b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]
in) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]
G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?
3. Beenden Sie die Aufgabe.
Gegeben :( ein) - arithmetische Progression;
a 1 = 3, a 60 = 57.
Finden: S 60 .
Entscheidung. Verwenden wir die Summenformel n die ersten Terme einer arithmetischen Folge
Antworten: 1800.
Zusatzfrage. Wie viele verschiedene Probleme können mit dieser Formel gelöst werden?
Antworten. Vier Arten von Aufgaben:
Finden Sie den Betrag Sn;
Finde den ersten Term einer arithmetischen Folge a 1 ;
Finden n-tes Glied einer arithmetischen Folge ein;
Finden Sie die Anzahl der Glieder einer arithmetischen Folge.
4. Erledige Aufgabe: Nr. 369(b).
Finden Sie die Summe der einundsechzigsten Terme einer arithmetischen Folge ( ein), Wenn a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.
Entscheidung. 
Antworten: 1230.
Zusatzfrage. Schreibe die Formel auf n Glied einer arithmetischen Folge.
Antworten: ein = a 1 + d(n – 1).
5. Berechnen Sie die Formel für die ersten neun Terme einer arithmetischen Folge ( b n),
Wenn b 1 = –17, d =
6.
Kann man mit einer Formel sofort rechnen?
Nein, da der neunte Term unbekannt ist.
Wie finde ich es?
Nach der Formel n Glied einer arithmetischen Folge.
Entscheidung. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;
Antworten: 63.
Frage. Ist es möglich, die Summe zu finden, ohne den neunten Term der Progression zu berechnen?
Formulierung des Problems
Problem: Summenformel erhalten n die ersten Terme einer arithmetischen Folge, wobei ihr erster Term und die Differenz bekannt sind d.
(Die Ausgabe der Formel an der Tafel durch den Schüler.)
Entscheide Nr. 371(a) an neue Formel (2):
Formeln verbal konsolidieren (2) ( Aufgabenbedingungen werden an die Tafel geschrieben).
(ein
1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?
2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]
Stellen Sie den Schülern Fragen, die sie nicht verstehen.
Selbstständige Arbeit
Variante 1
Gegeben: (ein) ist eine arithmetische Folge.1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?
2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?
Option 2
Gegeben: (ein) ist eine arithmetische Folge.
1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]
2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?
Die Schüler wechseln die Notizbücher und überprüfen die Lösungen der anderen.
Fassen Sie die Assimilation des Materials auf der Grundlage der Ergebnisse der unabhängigen Arbeit zusammen.
