यह भी देखें: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

अमूर्त का उपयोग गणित में ढाई सहस्राब्दियों से किया जाता रहा है। आयामहीन बिंदु, जो न केवल विरोधाभासी है व्यावहारिक बुद्धि, बल्कि भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान जैसे विज्ञानों द्वारा प्राप्त आसपास की दुनिया के बारे में भी ज्ञान, क्वांटम यांत्रिकीऔर सूचना विज्ञान।

अन्य अमूर्त के विपरीत, एक आयामहीन गणितीय बिंदु का अमूर्तन वास्तविकता को आदर्श नहीं बनाता है, इसकी अनुभूति को सरल करता है, लेकिन जानबूझकर इसे विकृत करता है, इसे विपरीत अर्थ देता है, जो विशेष रूप से, उच्च आयामों के रिक्त स्थान को समझना और अध्ययन करना मौलिक रूप से असंभव बनाता है!

गणित में एक आयामहीन बिंदु के अमूर्त के उपयोग की तुलना मूल के उपयोग से की जा सकती है मौद्रिक इकाईशून्य लागत के साथ। सौभाग्य से, अर्थव्यवस्था ने इसके बारे में नहीं सोचा।

आइए हम एक आयामहीन बिंदु के अमूर्तता की बेरुखी को साबित करें।

प्रमेय। गणितीय बिंदु बड़ा है।

प्रमाण।

चूंकि गणित में

प्वाइंट_साइज = 0,

परिमित (गैर-शून्य) लंबाई के एक खंड के लिए, हमारे पास है

सेगमेंट_साइज़ = 0 + 0 + ... + 0 = 0।

खंड का प्राप्त शून्य आकार, इसके घटक बिंदुओं के अनुक्रम के रूप में, खंड की लंबाई की परिमितता की स्थिति का खंडन करता है। इसके अलावा, शून्य बिंदु आकार बेतुका है कि शून्य का योग शब्दों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, खंड में "शून्य" बिंदुओं की संख्या खंड के आकार को प्रभावित नहीं करती है।

इसलिए, गणितीय बिंदु के शून्य आकार के बारे में मूल धारणा गलत है।

इस प्रकार, यह तर्क दिया जा सकता है कि गणितीय बिंदु का एक गैर-शून्य (परिमित) आकार होता है। चूंकि बिंदु न केवल खंड से संबंधित है, बल्कि उस स्थान से भी है जिसमें खंड स्थित है, इसमें अंतरिक्ष का आयाम है, अर्थात गणितीय बिंदु बड़ा है। क्यू.ई.डी.

परिणाम।

उपरोक्त प्रमाण, गणितीय उपकरण का उपयोग करके किया गया कनिष्ठ समूह बाल विहार"सभी विज्ञानों की रानी" के पुजारियों और निपुणों के असीम ज्ञान पर गर्व करता है, जो सहस्राब्दी के माध्यम से ले जाने और मानव जाति के पुरातन भ्रम को अपने मूल रूप में भावी पीढ़ी के लिए संरक्षित करने में कामयाब रहे।

समीक्षा

प्रिय सिकंदर! मैं गणित में मजबूत नहीं हूं, लेकिन शायद आप मुझे बता सकते हैं कि कहां और किसके द्वारा यह कहा गया है कि बिंदु शून्य के बराबर है? एक और बात, उसके पास अनंत है छोटी राशि, सम्मेलन तक, लेकिन शून्य बिल्कुल नहीं। इस प्रकार, किसी भी खंड को शून्य माना जा सकता है, क्योंकि एक और खंड है जिसमें शामिल है अनंत समुच्चयप्रारंभिक खंड, मोटे तौर पर बोल रहे हैं। शायद हमें गणित और भौतिकी को भ्रमित नहीं करना चाहिए। गणित अस्तित्व का विज्ञान है, भौतिकी अस्तित्व के बारे में है। ईमानदारी से।

मैंने अकिलीज़ का दो बार विस्तार से उल्लेख किया और कई बार पासिंग में:
"अकिलीज़ कछुए को क्यों नहीं पकड़ता"
"अकिलीज़ और कछुआ - एक घन में एक विरोधाभास"

शायद ज़ेनो के विरोधाभास का एक समाधान यह है कि अंतरिक्ष असतत है और समय निरंतर है। उन्होंने माना, जैसा कि आपके लिए संभव है, कि दोनों असतत हैं। शरीर कुछ समय के लिए अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर रह सकता है। लेकिन यह एक ही समय में अलग-अलग जगहों पर नहीं हो सकता। यह सब, ज़ाहिर है, शौकियापन, हमारे पूरे संवाद की तरह। ईमानदारी से।
वैसे, यदि कोई बिंदु 3D है, तो उसके आयाम क्या हैं?

समय की विसंगति इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, एपोरिया "एरो" से। "एक साथ अलग-अलग जगहों पर रहना" केवल भौतिकविदों के लिए एक इलेक्ट्रॉन हो सकता है, जो सिद्धांत रूप में, ईथर की संरचना या 4-आयामी अंतरिक्ष की संरचना को नहीं समझते हैं और स्वीकार नहीं करते हैं। मैं इस घटना के किसी अन्य उदाहरण के बारे में नहीं जानता। मुझे हमारी बातचीत में कोई "शौकियापन" नहीं दिखता। इसके विपरीत, सब कुछ बेहद सरल है: एक बिंदु या तो आयामहीन होता है या उसका आकार होता है; निरंतरता और अनंत या तो मौजूद हैं या नहीं। तीसरा नहीं दिया गया है - या तो TRUE या FALSE! बुनियादी बातोंगणितज्ञ, दुर्भाग्य से, 2500 साल पहले अज्ञानता से स्वीकार किए गए झूठे हठधर्मिता पर बने हैं।

बिंदु का आकार समस्या के हल होने की स्थिति और आवश्यक सटीकता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक गियर के लिए डिज़ाइन किया गया है कलाई घड़ी, तो सटीकता को परमाणु के आकार, यानी आठ दशमलव स्थानों तक सीमित किया जा सकता है। यहां परमाणु ही गणितीय बिंदु का भौतिक एनालॉग होगा। आपको कहीं न कहीं 16-वर्ण सटीकता की आवश्यकता हो सकती है; तब एक बिंदु की भूमिका ईथर के एक कण द्वारा निभाई जाएगी। ध्यान दें कि व्यवहार में कथित रूप से "अनंत" सटीकता के बारे में बात करना जंगली बकवास में बदल जाता है, या, इसे हल्के ढंग से, बेतुकापन में बदल जाता है।

मुझे अभी भी समझ नहीं आया: क्या बात मौजूद है? यदि यह वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है, इसलिए इसका एक निश्चित भौतिक मूल्य है, यदि यह व्यक्तिपरक रूप से, हमारे मन के अमूर्त रूप में मौजूद है, तो इसका गणितीय मूल्य है। शून्य में कुछ भी नहीं है, यह अस्तित्व में नहीं है, यह गणित में गैर-अस्तित्व या भौतिकी में शून्यता की अमूर्त परिभाषा है। रिश्ते के बाहर बिंदु अपने आप में मौजूद नहीं है। जैसे ही दूसरा बिंदु प्रकट होता है, एक खंड प्रकट होता है - कुछ, आदि। इस विषय को अंतहीन रूप से विकसित किया जा सकता है। यूवी के साथ

मुझे ऐसा लग रहा था कि मैं लाया हूँ अच्छा उदाहरण, लेकिन शायद पर्याप्त विस्तृत नहीं है। वस्तुनिष्ठ रूप से, एक ऐसी दुनिया है जिसे विज्ञान पहचानता है, और वर्तमान में यह मुख्य रूप से गणितीय तरीकों से पहचानता है। गणित निर्माण करके दुनिया को पहचानता है गणितीय मॉडल. इन मॉडलों के निर्माण के लिए, बुनियादी गणितीय सार, विशेष रूप से, जैसे: बिंदु, रेखा, निरंतरता, अनंत। ये सार तत्व बुनियादी हैं क्योंकि अब उन्हें और उप-विभाजित और सरल बनाना संभव नहीं है। प्रत्येक मूल सार या तो पर्याप्त हो सकता है वस्तुगत सच्चाई(सच) या नहीं (झूठा)। उपरोक्त सभी सार प्रारंभिक रूप से झूठे हैं, क्योंकि वे वास्तविक दुनिया के बारे में नवीनतम ज्ञान का खंडन करते हैं। तो ये अमूर्तन रोकता है सही समझ असली दुनिया. जब विज्ञान त्रि-आयामी दुनिया का अध्ययन कर रहा था, तब कोई इसे किसी भी तरह से रख सकता था। हालांकि, एक आयामहीन बिंदु और निरंतरता के सार सिद्धांत रूप में उच्च आयाम के सभी संसारों को अज्ञेय बनाते हैं!

ब्रह्मांड की ईंट - एक बिंदु - शून्य नहीं हो सकती। सभी जानते हैं कि खालीपन से कुछ नहीं आता। भौतिकविदों ने ईथर को गैर-मौजूद घोषित करते हुए दुनिया को खालीपन से भर दिया। मेरा मानना ​​​​है कि गणित ने अपने खाली बिंदु के साथ उन्हें इस मूर्खता की ओर धकेल दिया। मैं 4D से अधिक आयाम वाले संसार के परमाणुओं-बिंदुओं की बात नहीं कर रहा हूं। तो, प्रत्येक आयाम के लिए एक अविभाज्य (सशर्त) गणितीय बिंदु की भूमिका इस दुनिया (अंतरिक्ष, पदार्थ) के (सशर्त) अविभाज्य परमाणु द्वारा निभाई जाती है। 3D के लिए - एक भौतिक परमाणु, 4D के लिए - एक ईथर कण, 5D के लिए - एक सूक्ष्म परमाणु, 6D के लिए - एक मानसिक परमाणु, और इसी तरह। ईमानदारी से,

तो, फिर भी, ब्रह्मांड की ईंट में कुछ है निरपेक्ष मूल्य? और यह आपकी राय में, ईथर या मानसिक दुनिया में क्या दर्शाता है। मैं खुद दुनिया के बारे में पूछने से डरता हूं। ब्याज के साथ...

ईथर के कण (ये परमाणु नहीं हैं!) इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े हैं, जिनमें कण स्वयं प्रकाश की गति से एक दूसरे के सापेक्ष घूमते हैं। यह पूरी तरह से सभी न्यूक्लियंस की संरचना, प्रसार की व्याख्या करता है विद्युत चुम्बकीय दोलनऔर तथाकथित . के सभी प्रभाव भौतिक निर्वात. विचार के परमाणु की संरचना किसी के लिए भी अज्ञात है। केवल इस बात का प्रमाण है कि सभी उच्च दुनियासामग्री, अर्थात्, उनके अपने परमाणु हैं। निरपेक्ष की बात तक। आप विडंबनापूर्ण हो रहे हैं, यद्यपि। सच में wormholesऔर बिग बैंग्सक्या आपको यह अधिक विश्वसनीय लगता है?

यहां क्या विडंबना है, सूचना के इस तरह के हिमस्खलन के बाद थोड़ा सा अचंभित कर दिया। मैं, आपके विपरीत, एक पेशेवर नहीं हूं और मुझे रिक्त स्थान की पांच या छह-आयामीता के बारे में कुछ भी कहना मुश्किल लगता है। मैं अपने लंबे समय से पीड़ित बिंदु के बारे में हूं ... जहां तक ​​​​मैं समझता हूं, आप भौतिक निरंतरता के खिलाफ हैं, और मुद्दा यह है कि आपके पास वास्तव में एक मौजूदा "लोकतांत्रिक" परमाणु है। "ब्रह्मांड की ईंट"। हो सकता है कि मैं असावधान था, लेकिन फिर भी, इसकी संरचना, भौतिक मापदंडों, आयामों आदि को दोहराने में संकोच न करें।
और यह भी उत्तर दें कि क्या इकाई अपने आप में मौजूद है, जैसे, किसी भी संबंध के बाहर? धन्यवाद।

मकोस्ट सेनेटोरियम स्कूल - बोर्डिंग स्कूल

बिंदु और ज्यामितीय आंकड़े.

शोध करनाअंक शास्त्र।

द्वारा पूरा किया गया: अनातोली वासिलिव, तीसरी कक्षा का छात्र

कार्य प्रबंधक:

डुबोवाया नताल्या लियोनिदोवना,

प्राथमिक विद्यालय शिक्षक।

टॉमोट, 2013

1. संक्षिप्त टिप्पणी। ……………………………………….. ...................2
2. व्याख्या। ……………………………………….. ...................................3
3. शोध आलेख। ……………………………………….. .....................6
4. निष्कर्ष................................................. .........................................................7

ग्रंथ सूची।

संक्षिप्त टिप्पणी।

पेपर बिंदु और ज्यामितीय आकृतियों पर चर्चा करता है: रेखा, किरण, खंड, कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त और वृत्त, साथ ही इन आंकड़ों की संरचना और निर्माण में बिंदु की भूमिका।

व्याख्या।

इस अध्ययन का उद्देश्य:पता लगाएँ कि एक बिंदु की अवधारणाओं का क्या अर्थ है और कौन सी ज्यामितीय आकृतियों से मिलकर बनता है: एक सीधी रेखा, एक किरण, एक कोण, एक चतुर्भुज, एक त्रिभुज, एक वृत्त।

अध्ययन की वस्तु:ज्यामितीय आकृतियों के बिंदु और परिभाषाएँ: रेखा, किरण, कोण, चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त।

अध्ययन का विषय:बिंदु और ज्यामितीय आकार: सीधी रेखा, किरण, कोण, चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त।

शोध परिकल्पना:बिंदु - एकमात्र ज्यामितीय आकृति, और बाकी सभी में कई बिंदु होते हैं।

अनुसंधान के उद्देश्य:

1. विषय पर अध्ययन सामग्री: "बिंदु और ज्यामितीय आकार: सीधी रेखा, किरण, कोण, चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त।";
2. एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक चतुर्भुज, एक त्रिभुज, एक कोण, एक किरण, एक वृत्त की परिभाषाएँ ज्ञात कीजिए;
3. विषय पर अपना विश्लेषण और विचार प्रस्तुत करें;
4. इस शोध पत्र पर आधारित प्रस्तुति प्रस्तुत करें।

तलाश पद्दतियाँ:साहित्य का अध्ययन, शब्दकोशों के साथ काम करना, अध्ययन का विश्लेषण, निष्कर्ष।

शोध आलेख।

गणित की उत्पत्ति . में हुई प्राचीन समयलोगों की व्यावहारिक जरूरतों से। गणित की प्राचीनता के बारे में कोई भी बहस नहीं करेगा, लेकिन लोगों को इसे करने के लिए प्रेरित करने के बारे में एक और राय है। उनके अनुसार, गणित, साथ ही कविता, चित्रकला, संगीत, रंगमंच और कला को सामान्य रूप से मनुष्य की आध्यात्मिक आवश्यकताओं के द्वारा जीवन में लाया गया, उसकी, शायद अभी तक पूरी तरह से महसूस नहीं किया गया, ज्ञान और सौंदर्य की इच्छा।

क्या आपने कभी सोचा है कि बिंदु क्या है और ज्यामितीय आकृतियों से मिलकर बना क्या है?

पहली नज़र में, यहाँ सब कुछ स्पष्ट है: एक बिंदु एक बिंदु है, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा है, यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? खैर, वैसे ही, इसे किसी ऐसे व्यक्ति को कैसे समझाया जाए जो यह बिल्कुल नहीं जानता और इसके अलावा, सब कुछ बहुत ही शाब्दिक रूप से समझता है? क्या यह इतना आसान है? यह बिल्कुल नहीं निकला!

श्रम पाठों में, जब हमने आइसोथ्रेड तकनीक का अध्ययन किया, तो मेरी धारणा थी कि सभी ज्यामितीय आकृतियों में बिंदु होते हैं। इसी विषय पर मैंने अपना शोध कार्य समर्पित करने का निर्णय लिया।

सुकरात ने कहा, "मुझे पता है कि मैं कुछ नहीं जानता," और वार्ताकार के साथ बातचीत के माध्यम से यह पता लगाने की कोशिश की कि वह वास्तव में क्या जानता है। इसलिए, मैंने सबसे पहले यह पता लगाने का फैसला किया कि मैं ज्यामितीय आकृतियों के बारे में क्या जानता हूं।

तो, आइए मेरे शोध कार्य के विषय द्वारा इंगित ज्यामितीय आकृतियों की परिभाषाओं को देखें।

1. दूरसंचार विभाग - यह एक निशान है, एक स्पर्श से एक निशान, कुछ तेज के साथ एक इंजेक्शन; छोटा गोल धब्बा, धब्बा; कुछ बहुत छोटा, मुश्किल से दिखाई देने वाला। एक बिंदु एक बुनियादी ज्यामितीय आकृति है

1. रेखा- यह बिंदुओं का एक सेट है। यदि ज्यामिति के निर्माण का आधार अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी की अवधारणा है, तो एक सीधी रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी सबसे छोटी हो।सीधे - एक रेखा है जो अपने सभी बिंदुओं के संबंध में समान रूप से स्थित है। "लाइन" शब्द की उत्पत्ति लैटिन लिनम से हुई है - "लिनन, लिनन थ्रेड"।

_________________________________________________

1. रे एक रेखा का एक भाग है जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु होते हैं जो इसके दिए गए बिंदु के एक तरफ स्थित होते हैं।

1. रेखा खंड एक रेखा का वह भाग है जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु होते हैं जो उस पर दिए गए दो बिंदुओं के बीच स्थित होते हैं।

1. इंजेक्शन- यह एक आकृति है जिसमें एक कोण का शीर्ष बिंदु और इस बिंदु से उतरने वाली दो अलग-अलग अर्ध-रेखाएं होती हैं, कोण की भुजाएं।

1. चतुष्कोषएक आकृति है जिसमें चार अंकऔर उन्हें जोड़ने वाले लगातार चार खंड।

1. त्रिकोण - तीन बिंदुओं से बनी एक आकृति जो खंडों से जुड़ी एक सीधी रेखा पर नहीं होती है।

1. एक क्षेत्र में -

घेरा एक आकृति है जिसमें किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर विमान के सभी बिंदु होते हैं। एक वृत्त के चारों ओर एक बंद रेखा।

निष्कर्ष।

एक बिंदु और एक सीधी रेखा की अवधारणा हमारे जीवन में हर जगह और हर जगह पाई जाती है। उदाहरण के लिए, यदि आप रूसी भाषा में देखते हैं, तो एक अवधि एक विराम चिह्न (.) है जो एक पूर्ण वाक्य को अलग करती है। इसके अलावा रूसी में अर्धविराम, बृहदान्त्र, दीर्घवृत्त जैसे विराम चिह्न हैं।

भौतिकी में बिंदु - निश्चित मूल्यमात्रा।

भूगोल में, एक बिंदु को अंतरिक्ष में एक विशिष्ट स्थान माना जाता है।

जीव विज्ञान में, यह पौधों का विकास बिंदु है।

रसायन विज्ञान में - हिमांक, क्वथनांक, गलनांक।

संगीत में, एक बिंदु एक संकेत है जो संगीत संकेतन के मूल तत्वों में से एक है।

गणित में, एक बिंदु एक बुनियादी ज्यामितीय आकृति है; दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन, एक रेखाखंड की सीमा, एक किरण की शुरुआत आदि।

किसी भी आकृति को बनाने के लिए हमें एक बिंदु की आवश्यकता होती है। एक सीधी रेखा की परिभाषा के आधार पर,एक लाइन बहुत सारे बिंदु होती है, और परिभाषाओं से, हम जानते हैं कि कोई भी आकृति एक बिंदु और एक रेखा का उपयोग करके बनाई जाती है, इसलिए सभी आंकड़े बिंदुओं से मिलकर बने होते हैं।

हमारे जीवन में, एक बिंदु एक इंजेक्शन बैज है, एक छोटा सा धब्बा है।

मेरा शोध कार्य इस निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि बिंदु ही एकमात्र ज्यामितीय आकृति है। सब कुछ एक बिंदु से शुरू होता है और उसी पर समाप्त होता है, और यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि यह किस उद्घाटन से शुरुआत के रूप में कार्य करेगा।

साहित्य:

1 अक्सेनोवा एम.डी. बच्चों के लिए विश्वकोश। टी.11. - गणित, एम।: अवंता +, 1999। पी। 575।

2 .अतानास्यान एल.एस., ज्यामिति, 7-9: पाठ्यपुस्तक के लिए शिक्षण संस्थान/ 12वां संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2002. पीपी। 5, 146, 177,178।

3. अतानासियन एल.एस., ज्योमेट्री, 10-11: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / 15वां संस्करण।, जोड़ें। - एम .: शिक्षा, 2006. पीपी.5-7।

4 .विनोग्रादोव आई.एम., गणितीय विश्वकोश / एम .: सोवियत विश्वकोश। पीपी. 410, 722.

5 .एवगेनेवा ए.पी. रूसी भाषा का शब्दकोश। - एम .: ज्ञानोदय, 1984।

6 कबार्डिन ओ.एफ. भौतिक विज्ञान: संदर्भ वस्तु. - एम।: शिक्षा, 1991।

7 क्रेमर जी. गणितीय तरीकेसांख्यिकी, अंग्रेजी से अनुवादित, दूसरा संस्करण।, एम।, 1975।

8 लापटुखिन एम.एस. विद्यालय शब्दकोशरूसी भाषा। - एम .: शिक्षा, 1981।

9 .प्रोखोरोव ए.एम. बड़ा विश्वकोश शब्दकोश। - एम।: शिक्षा, 1998।

10. प्रोखोरोव यू.वी. गणितीय विश्वकोश शब्दकोश। - एम।: शिक्षा, 1998।

11 सविन ए.पी. विश्वकोश शब्दकोश युवा गणितज्ञ. - एम.: शिक्षाशास्त्र, 1985, पृष्ठ 69।

12 शैरगिन आई.एफ. दृश्य ज्यामिति। - एम।: शिक्षा, 1995।

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, बिंदु देखें। एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट

दूरसंचार विभाग - सार वस्तुअंतरिक्ष में जिसमें कोई मापने योग्य विशेषता नहीं है (शून्य-आयामी वस्तु)। बिंदु में से एक है बुनियादी सिद्धांतगणित में।

यूक्लिडियन ज्यामिति में बिंदु

यूक्लिड ने एक बिंदु को "बिना भागों वाली वस्तु" के रूप में परिभाषित किया। यूक्लिडियन ज्यामिति के आधुनिक स्वयंसिद्धों में, एक बिंदु एक प्राथमिक अवधारणा है, जिसे केवल इसके गुणों की एक सूची द्वारा दिया जाता है - स्वयंसिद्ध।

चयनित समन्वय प्रणाली में, द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के किसी भी बिंदु को एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है ( एक्स; आप) वास्तविक संख्या. इसी तरह, बिंदु एन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस (साथ ही वेक्टर या एफ़िन स्पेस) को ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है ( ए 1 , ए 2 , … , ए एन) से एनसंख्याएं।

लिंक

• बिंदु(अंग्रेज़ी) PlanetMath वेबसाइट पर।
• वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू।वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड वेबसाइट पर इंगित करें।

मुद्दा यह है:

डॉट डॉट संज्ञा, कुंआ।, उपयोग अक्सर आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? डॉट्स, क्या? दूरसंचार विभाग, (क्या देखूं? दूरसंचार विभाग, कैसे? दूरसंचार विभाग, किस बारे में? बिंदु के बारे में; कृपया क्या? डॉट्स, (नहीं क्या? अंक, क्या? अंक, (क्या देखूं? डॉट्स, कैसे? डॉट्स, किस बारे में? अंक के बारे में 1. दूरसंचार विभाग- यह एक छोटा गोल धब्बा है, जो किसी नुकीली चीज या किसी चीज के स्पर्श से होने वाला निशान है।

डॉट पैटर्न। | पंचर बिंदु। | मानचित्र पर शहर को एक छोटे से बिंदु और उपलब्धता द्वारा दर्शाया गया है बाईपास रोडकोई केवल अनुमान लगा सकता है।

2. दूरसंचार विभाग- यह बहुत छोटा है, दूर से या अन्य कारणों से खराब दिखाई देता है।

क्षितिज पर इंगित करें। | जैसे-जैसे गेंद आकाश के पश्चिमी भाग में क्षितिज के पास पहुंची, यह आकार में धीरे-धीरे कम होने लगी जब तक कि यह एक बिंदु में बदल नहीं गई।

3. दूरसंचार विभाग- एक विराम चिह्न जो वाक्य के अंत में या शब्दों को संक्षिप्त करते समय लगाया जाता है।

एक बिंदु रखो। | वाक्य के अंत में बिंदी लगाना न भूलें

4. गणित, ज्यामिति और भौतिकी में दूरसंचार विभागएक इकाई है जो अंतरिक्ष में स्थित है, एक रेखा खंड की सीमा है।

गणित बिंदु।

5. दूरसंचार विभागबुलाया निश्चित स्थानअंतरिक्ष में, जमीन पर या किसी चीज की सतह पर।

नियुक्ति बिंदु। | दर्द का स्थान।

6. दूरसंचार विभागउस स्थान को नाम दें जहां कुछ स्थित है या किया जाता है, सिस्टम या किसी बिंदु के नेटवर्क में एक निश्चित नोड।

प्रत्येक आउटलेट का अपना संकेत होना चाहिए।

7. दूरसंचार विभागवे किसी चीज के विकास की सीमा, विकास में एक निश्चित स्तर या क्षण कहते हैं।

नई उच्चतम बिंदु. | विकास में बिंदु। | स्थिति नाजुक बिंदु पर पहुंच गई है। | यह मनुष्य की आध्यात्मिक शक्ति की अभिव्यक्ति का उच्चतम बिंदु है।

8. दूरसंचार विभागउस तापमान सीमा को कहते हैं जिस पर किसी पदार्थ का एक से परिवर्तन होता है एकत्रीकरण की स्थितिदूसरे में।

क्वथनांक। | हिमांक बिन्दू। | गलनांक। | कैसे अधिक ऊंचाईपानी का क्वथनांक जितना कम होगा।

9. अर्धविराम (;)एक विराम चिह्न कहा जाता है जो आम को अलग करने के लिए प्रयोग किया जाता है, अधिक स्वतंत्र भागसंयुक्त वाक्य।

पर अंग्रेजी भाषाव्यावहारिक रूप से उसी विराम चिह्न का उपयोग रूसी में किया जाता है: डॉट, कॉमा, अर्धविराम, डैश, एपोस्ट्रोफ, ब्रैकेट, इलिप्सिस, पूछताछ और विस्मयादिबोधक चिह्न, हाइफ़न।

10. जब वे बात करते हैं दृष्टिकोण, मतलब किसी समस्या के बारे में किसी की राय, चीजों पर एक नजर।

कम लोकप्रिय अब एक और दृष्टिकोण है, जिसे पहले लगभग सार्वभौमिक मान्यता प्राप्त थी। | आज कोई भी इस दृष्टिकोण को साझा नहीं करता है।

11. अगर लोगों को कहा जाता है संपर्क के बिंदुइसलिए उनके समान हित हैं।

हम आम जमीन खोजने में सक्षम हो सकते हैं।

12. अगर कुछ कहा जाता है बिंदु से बिंदु, जिसका अर्थ बिल्कुल सटीक मिलान है।

जिस जगह पर इशारा किया गया था, वहां एक कॉफी रंग की कार थी।

13. यदि किसी व्यक्ति को कहा जाता है बिंदु पर पहुंच गया, जिसका अर्थ है कि वह कुछ नकारात्मक गुणों के प्रकटीकरण में चरम सीमा पर पहुंच गया है।

हम बिंदु पर पहुंच गए हैं! तुम अब इस तरह नहीं जी सकते! | आप उसे यह नहीं बता सकते कि उनके बुद्धिमान नेतृत्व में गुप्त सेवाएं चरम पर पहुंच गई हैं।

14. अगर कोई अंत करता हैकिसी व्यवसाय में, इसका अर्थ है कि वह इसे रोक देता है।

फिर वह उत्प्रवास से अपनी मातृभूमि रूस लौट आया, to सोवियत संघ, और इसने उसकी सभी खोजों और विचारों को समाप्त कर दिया।

15. अगर कोई डॉट "और"(या मैं के ऊपर), जिसका अर्थ है कि वह मामले को उसके तार्किक निष्कर्ष पर लाता है, कुछ भी अनकहा नहीं छोड़ता है।

आइए डॉट द आई. मुझे आपकी पहल के बारे में कुछ नहीं पता था।

16. अगर कोई एक बिंदु हिट, जिसका अर्थ है कि उसने अपनी सारी शक्ति एक लक्ष्य को प्राप्त करने पर केंद्रित कर दी।

इसलिए उनके चित्र इतने अलग हैं। वह हमेशा एक बिंदु पर हिट करता है, कभी भी मामूली विवरणों से दूर नहीं होता है। | वह अच्छी तरह से समझता है कि उसके व्यवसाय का कार्य क्या है, और उद्देश्यपूर्ण ढंग से एक बिंदु पर हिट करता है।

17. अगर कोई एकदम सही, जिसका अर्थ है कि उसने ठीक वही कहा या किया जिसकी आवश्यकता थी, इसका अनुमान लगाया।

प्रतियोगिता के अगले दौर में आए पहले अक्षर ने संपादकों को सुखद आश्चर्यचकित किया - सूचीबद्ध विकल्पों में से एक में, हमारे पाठक ने तुरंत छाप छोड़ी!

बिंदु विशेषण

एक्यूप्रेशर।

रूसी भाषा दिमित्रीव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.वी. दिमित्रीव। 2003.

दूरसंचार विभाग

दूरसंचार विभागमतलब हो सकता है:

विक्षनरी में एक लेख है "डॉट"

• एक बिंदु अंतरिक्ष में एक अमूर्त वस्तु है जिसमें निर्देशांक के अलावा कोई मापन योग्य विशेषता नहीं होती है।
• डॉट - स्वरों का विशिष्ट चिह्न, जिसे अक्षर के ऊपर, नीचे या बीच में रखा जा सकता है।
• बिंदु - रूसी में दूरी माप की एक इकाई और अंग्रेजी प्रणालीपैमाने।
• डॉट दशमलव विभाजक के प्रतिनिधित्व में से एक है।
• डॉट (नेटवर्क प्रौद्योगिकियां) - वैश्विक नेटवर्क डोमेन के पदानुक्रम में रूट डोमेन का पदनाम।
• Tochka - इलेक्ट्रॉनिक्स और मनोरंजन स्टोर की श्रृंखला
• Tochka - समूह "लेनिनग्राद" का एल्बम
• प्वाइंट - 2006 की रूसी फिल्म ग्रिगोरी रियाज़्स्की द्वारा इसी नाम की कहानी पर आधारित
• डॉट रैपर स्टेन का दूसरा स्टूडियो एलबम है।
• Tochka एक डिवीजनल मिसाइल सिस्टम है।
• Tochka - क्रास्नोयार्स्क यूथ एंड सबकल्चरल जर्नल।
• Tochka मास्को में एक क्लब और संगीत कार्यक्रम स्थल है।
• डॉट मोर्स कोड में वर्णों में से एक है।
• बिंदु युद्ध कर्तव्य का स्थान है।
• बिंदु (प्रसंस्करण) - मशीनिंग, मोड़, तेज करने की प्रक्रिया।
• सूत्री - एनटीवी पर सूचना और विश्लेषणात्मक कार्यक्रम।
• Tochka 2012 में स्थापित नोरिल्स्क शहर का एक रॉक बैंड है।

शीर्षनाम

कजाखस्तान

• दूरसंचार विभाग- 1992 तक, पूर्वी कजाकिस्तान क्षेत्र के उलान जिले के बयाश उटेपोव गांव का नाम।

रूस

• तोचका वोलोग्दा क्षेत्र के शेक्सनिंस्की जिले का एक गाँव है।
• तोचका नोवगोरोड क्षेत्र के वोलोतोव्स्की जिले का एक गाँव है।
• तोचका पेन्ज़ा क्षेत्र के लोपतिंस्की जिले का एक गाँव है।

क्या आप बिंदु और रेखा जैसी अवधारणाओं की परिभाषा दे सकते हैं?

हमारे स्कूलों और विश्वविद्यालयों में ये परिभाषाएँ नहीं थीं, हालाँकि वे मेरी राय में महत्वपूर्ण हैं (मुझे नहीं पता कि यह अन्य देशों में कैसा है)। हम इन अवधारणाओं को "सफल और असफल" के रूप में परिभाषित कर सकते हैं और विचार कर सकते हैं कि क्या यह सोच के विकास के लिए उपयोगी है।

पहलवान

अजीब है, लेकिन हमें एक बिंदु की परिभाषा दी गई थी। यह अंतरिक्ष में स्थित एक अमूर्त वस्तु (सम्मेलन) है, जिसका कोई आयाम नहीं है। यह पहली चीज है जिसे स्कूल में हमारे सिर में ठोका गया था - एक बिंदु का कोई आयाम नहीं है, यह एक "शून्य-आयामी" वस्तु है। एक सशर्त अवधारणा, ज्यामिति में बाकी सब कुछ की तरह।

सीधी रेखाएँ और भी कठिन हैं। सबसे पहले, यह एक पंक्ति है। दूसरे, यह एक निश्चित तरीके से अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं का एक समूह है। बहुत में सरल परिभाषायह दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित एक रेखा है जिसके माध्यम से यह गुजरती है।

मेदिविह

एक बिंदु किसी प्रकार की अमूर्त वस्तु है। एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं लेकिन कोई द्रव्यमान या आयाम नहीं होता है। ज्यामिति में, सब कुछ ठीक एक बिंदु से शुरू होता है, यह अन्य सभी आंकड़ों की शुरुआत है (लेखन में, वैसे, भी, एक बिंदु के बिना एक शब्द की शुरुआत नहीं होगी)। एक सीधी रेखा दो बिंदुओं के बीच की दूरी है।

लियोनिद कुटनी

आप कुछ भी और कुछ भी परिभाषित कर सकते हैं। लेकिन एक सवाल है: क्या यह परिभाषा किसी विशेष विज्ञान में "काम" करेगी? हमारे पास जो है उसके आधार पर एक बिंदु, एक रेखा और एक तल को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। मुझे आर्थर की टिप्पणी वास्तव में पसंद आई। मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि एक बिंदु में कई गुण होते हैं: इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई, कोई द्रव्यमान और वजन नहीं होता है, आदि। लेकिन एक बिंदु की मुख्य संपत्ति यह है कि यह स्पष्ट रूप से एक के स्थान को इंगित करता है वस्तु, विमान पर एक वस्तु, अंतरिक्ष में। इसलिए हमें एक बिंदु की आवश्यकता है!लेकिन, एक चतुर पाठक कहेगा कि फिर एक किताब, एक कुर्सी, एक घड़ी और अन्य चीजों को एक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है। बिल्कुल सही! इसलिए, एक बिंदु को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। साभार, एल.ए. कुटनीयू

एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है।

अवधि कई भाषाओं में लेखन में विराम चिह्न है।

साथ ही, बिंदु मोर्स कोड के प्रतीकों में से एक है

इतनी सारी परिभाषाएँ :D

एक बिंदु, एक रेखा, एक विमान की परिभाषा मेरे द्वारा 80 के दशक के अंत में और 20वीं सदी के 90 के दशक की शुरुआत में दी गई थी। मैं एक लिंक देता हूं:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328-पृष्ठ की मात्रा एक पूरी तरह से नए पहलू में इन अवधारणाओं के संज्ञानात्मक सार का वर्णन करती है, जिसे वास्तविक भौतिक विश्वदृष्टि और मेरे अस्तित्व की भावना के आधार पर समझाया गया है, जिसका अर्थ है कि "मैं" मौजूद है, ठीक उसी तरह जैसे ब्रह्मांड स्वयं मैं मौजूद हूं।

सब कुछ . में लिखा है इस कामप्रकृति और उसके गुणों के बारे में मानव जाति के ज्ञान से पुष्टि होती है जो बहुत पहले खोजी गई थी और अभी भी अध्ययन किया जा रहा है इस पलसमय। तकनीकी सफलताओं के अभ्यास के लिए अपनी अमूर्त छवियों को लागू करने के लिए गणित को समझना और समझना इतना जटिल हो गया है। नींव का खुलासा करने के बाद, जो कि मौलिक सिद्धांत हैं, एक छात्र को भी समझाना संभव है प्राथमिक स्कूलब्रह्मांड के अस्तित्व के अंतर्निहित कारण। पढ़ें और सच्चाई के करीब आएं। हिम्मत करो, जिस दुनिया में हम मौजूद हैं, वह आपके सामने एक नई रोशनी में खुलती है।

क्या गणित, ज्यामिति में "बिंदु" की अवधारणा की परिभाषा है।

मिखाइल लेविन

"अनिश्चित अवधारणा" एक परिभाषा है?

वास्तव में, यह अवधारणाओं की अनिश्चितता है जो गणित को विभिन्न वस्तुओं पर लागू करना संभव बनाती है।

एक गणितज्ञ यह भी कह सकता है कि "एक बिंदु से मेरा मतलब एक यूक्लिडियन विमान से होगा, एक विमान से - एक यूक्लिडियन बिंदु" - सभी स्वयंसिद्धों की जांच करें और प्राप्त करें नई ज्यामितिया नए प्रमेय।

मुद्दा यह है कि शब्द ए को परिभाषित करने के लिए, आपको बी शब्द का उपयोग करने की आवश्यकता है। बी को परिभाषित करने के लिए, आपको सी शब्द की आवश्यकता है। और इसी तरह विज्ञापन infinitum पर। और इस अनंत से बचने के लिए कुछ शब्दों को बिना परिभाषा के स्वीकार करना पड़ता है और उन पर दूसरों की परिभाषाएं बनानी पड़ती हैं। ©

ग्रिगोरी पिवेन

गणित में, पिवेन ग्रिगोरी ए बिंदु अंतरिक्ष का एक हिस्सा है जिसे अमूर्त रूप से (प्रतिबिंबित) 1 के बराबर न्यूनतम लंबाई खंड के रूप में लिया जाता है, जिसका उपयोग अंतरिक्ष के अन्य भागों को मापने के लिए किया जाता है। इसलिए, एक व्यक्ति उत्पादक माप प्रक्रिया के लिए सुविधा के लिए एक बिंदु का पैमाना चुनता है: 1 मिमी, 1 सेमी, 1 मीटर, 1 किमी, 1 ए। ई।, 1 सेंट। साल। आदि।

एक महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा को अलग-अलग मैपिंग के मामले में और मनमाने ढंग से अलग-अलग मैपिंग के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। किस्मों f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). इस मामले में, एक महत्वपूर्ण बिंदु की परिभाषा यह है कि पद जैकोबियन मैट्रिसेसदिखाना एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)इसमें अधिकतम से कम है संभावित मूल्य, के बराबर ।

महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शंस और मैपिंग प्ले महत्वपूर्ण भूमिकागणित के क्षेत्रों में जैसे विभेदक समीकरण , विविधताओं की गणना , स्थिरता सिद्धांतसाथ ही यांत्रिकी और भौतिकी में। सुचारू मानचित्रण के महत्वपूर्ण बिंदुओं का अध्ययन मुख्य प्रश्नों में से एक है आपदा सिद्धांत. एक महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा को भी मामले के लिए सामान्यीकृत किया जाता है कार्यात्मकअनंत-आयामी फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर परिभाषित। ऐसे कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं की खोज है महत्वपूर्ण भाग विविधताओं की गणना. कार्यात्मक के महत्वपूर्ण बिंदु (जो बदले में, कार्य हैं) कहलाते हैं चरमपंथी.

औपचारिक परिभाषा

गंभीर(या विशेषया अचल) लगातार अलग-अलग मैपिंग का एक बिंदु f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))वह बिंदु है जिस पर अंतरयह मानचित्रण f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x)))एक पतित रैखिक परिवर्तनसंबंधित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))और T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), अर्थात आयाम छविपरिवर्तनों f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))छोटे मिनट ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). समन्वय संकेतन में n = m (\displaystyle n=m)इसका मतलब है कि जैकोबियन- निर्धारक जैकोबियन मैट्रिसेसदिखाना एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ), सभी आंशिक डेरिवेटिव से बना है f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- एक बिंदु पर गायब हो जाता है। रिक्त स्थान और आर एम (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एम))इस परिभाषा में द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है विविधता एन एन (\displaystyle एन^(एन))और एम एम (\displaystyle एम^(एम))समान आयाम।

सार्ड की प्रमेय

क्रिटिकल पॉइंट पर डिस्प्ले वैल्यू को इसका कहा जाता है गंभीर. इसके अनुसार सार्ड की प्रमेय, किसी के महत्वपूर्ण मूल्यों का सेट काफी चिकनादिखाना f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))शून्य है लेबेस्गु उपाय(यद्यपि कई महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक समान मानचित्रण के लिए, कोई भी बिंदु महत्वपूर्ण है)।

लगातार रैंक मैपिंग

यदि बिंदु के आसपास x 0 R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))लगातार अलग-अलग मैपिंग की रैंक f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))एक ही संख्या के बराबर है r (\displaystyle r), तो इस बिंदु के आसपास के क्षेत्र में x 0 (\displaystyle x_(0))पर केंद्रित स्थानीय निर्देशांक हैं x 0 (\displaystyle x_(0)), और उसकी छवि के पड़ोस में - अंक y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- स्थानीय निर्देशांक हैं (y 1 ,… , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))पर केन्द्रित एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)संबंधों द्वारा दिया जाता है:

वाई 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

विशेष रूप से, यदि r = n = m (\displaystyle r=n=m), तो स्थानीय निर्देशांक हैं (x 1 ,… , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))पर केन्द्रित x 0 (\displaystyle x_(0))और स्थानीय निर्देशांक (y 1 ,… , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))पर केन्द्रित y 0 (\displaystyle y_(0)), जैसे कि वे प्रदर्शित करते हैं एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)समान है।

हो रहा एम = 1

कब यह परिभाषामतलब कि ढाल f = (f x 1 , … , f x n ) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) )कम से कम की एक चिकनाई वर्ग है सी 3 (\displaystyle सी^(3)). फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु एफबुलाया गैर पतितअगर इसमें हेस्सियन | 2 एफ ∂ एक्स 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))शून्य से भिन्न। एक गैर-अपक्षयी महत्वपूर्ण बिंदु के पड़ोस में, ऐसे निर्देशांक होते हैं जिनमें फ़ंक्शन एफएक द्विघात सामान्य रूप है ( मोर्स लेम्मा) .

महत्वपूर्ण बिंदुओं को खराब करने के लिए मोर्स लेम्मा का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है टौज्रॉन का प्रमेय:समारोह के एक पतित महत्वपूर्ण बिंदु के पड़ोस में एफ, अवकलनीय असीमित संख्याटाइम्स () अंतिम बहुलता µ (\displaystyle \mu )एक समन्वय प्रणाली है जिसमें सुचारू कार्यडिग्री के बहुपद का रूप है μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(जैसा P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x))कोई फ़ंक्शन का टेलर बहुपद ले सकता है f (x) (\displaystyle f(x))मूल निर्देशांक में एक बिंदु पर)।

पर एम = 1 (\displaystyle एम=1)किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम के बारे में पूछना समझ में आता है। प्रसिद्ध कथन के अनुसार गणितीय विश्लेषण, एक निरंतर भिन्न कार्य एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ), पूरे अंतरिक्ष में परिभाषित आर एन (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एन))या इसके खुले उपसमुच्चय में पहुँच सकते हैं स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) केवल महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, और यदि बिंदु गैर-डीजेनरेट है, तो मैट्रिक्स (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x_(i)\आंशिक x_(j)))(\Bigr)),) मैं , j = 1 ,… , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)यह नकारात्मक होना चाहिए (सकारात्मक) निश्चित. बाद वाला भी है पर्याप्त स्थितिस्थानीय अधिकतम (क्रमशः, न्यूनतम)।

हो रहा एन = एम = 2

कब एन = एम = 2हमारे पास एक मैपिंग है एफएक विमान पर विमान (या द्वि-आयामी कई गुना एक और दो-आयामी कई गुना)। मान लेते हैं कि डिस्प्ले एफअलग-अलग अनंत बार ( सी (\displaystyle सी^(\infty ))) इस मामले में ठेठमहत्वपूर्ण प्रदर्शन बिंदु एफवे हैं जिनमें जैकोबी मैट्रिक्स के निर्धारक हैं शून्य, लेकिन इसकी रैंक 1 है, और इसलिए मानचित्रण अंतर एफऐसे बिंदुओं पर एक आयामी है सार. विशिष्टता की दूसरी शर्त यह है कि प्रतिलोम-छवि तल पर विचार किए गए बिंदु के पड़ोस में, महत्वपूर्ण बिंदुओं का समूह एक नियमित वक्र बनाता है एस, और वक्र के लगभग सभी बिंदुओं पर एससार केर एफ (\displaystyle \ker \,f_(*))कोई सरोकार नहीं एस, जबकि जिन बिंदुओं पर यह मामला नहीं है वे अलग-थलग हैं और उन पर स्पर्शरेखा पहले क्रम की है। प्रथम प्रकार के क्रांतिक बिन्दु कहलाते हैं क्रीज अंक, और दूसरा प्रकार संयोजन बिंदु. प्लीट्स और इकट्ठा ही एकमात्र प्रकार हैं विशेषताएँप्लेन-टू-प्लेन मैपिंग जो छोटे गड़बड़ी के संबंध में स्थिर हैं: एक छोटे से गड़बड़ी के लिए, वक्र के विरूपण के साथ गुना और गुना बिंदु केवल थोड़ा सा चलते हैं एस, लेकिन गायब न हों, पतित न हों, और अन्य विलक्षणताओं में न पड़ें।