• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების შესწავლას. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლა, ამ პროცესს ე.წ ლოგარითმი. პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ ლოგარითმების გამოთვლას განმარტებით. შემდეგი, განიხილეთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ლოგარითმების მნიშვნელობები მათი თვისებების გამოყენებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმების გაანგარიშებაზე სხვა ლოგარითმების თავდაპირველად მოცემული მნიშვნელობებით. და ბოლოს, მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმების ცხრილების გამოყენება. მთელი თეორია მოცემულია მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია სწრაფად და მარტივად შესრულება ლოგარითმის პოვნა განსაზღვრებით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ხდება ეს პროცესი.

მისი არსი არის b რიცხვის წარმოდგენა a c სახით, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, რიცხვი c არის ლოგარითმის მნიშვნელობა. ანუ, განმარტებით, ლოგარითმის პოვნა შეესაბამება ტოლობების შემდეგ ჯაჭვს: log a b=log a a c =c .

ასე რომ, ლოგარითმის გამოთვლა, განსაზღვრებით, მიდის ისეთი რიცხვის c პოვნამდე, რომ a c \u003d b და თავად რიცხვი c არის ლოგარითმის სასურველი მნიშვნელობა.

წინა აბზაცების ინფორმაციის გათვალისწინებით, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი მოცემულია ლოგარითმის ფუძის გარკვეული ხარისხით, მაშინვე შეგიძლიათ მიუთითოთ რის ტოლია ლოგარითმი - ის უდრის მაჩვენებელს. ვაჩვენოთ მაგალითები.

მაგალითი.

იპოვეთ log 2 2 −3 და ასევე გამოთვალეთ e 5.3-ის ბუნებრივი ლოგარითმი.

გამოსავალი.

ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ log 2 2 −3 = −3. მართლაც, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ფუძე 2-ს −3 ხარისხამდე.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ლოგარითმს: lne 5.3 =5.3.

პასუხი:

log 2 2 −3 = −3 და lne 5.3 =5.3 .

თუ რიცხვი b ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არ არის მოცემული, როგორც ლოგარითმის ფუძის ძალა, მაშინ საჭიროა გულდასმით განიხილოთ შესაძლებელია თუ არა B რიცხვის გამოსახვა a c სახით. ხშირად ეს წარმოდგენა საკმაოდ აშკარაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ფუძის ხარისხს 1, ან 2, ან 3, ...

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმები log 5 25 და .

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ 25=5 2, ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველი ლოგარითმი: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ჩვენ ვაგრძელებთ მეორე ლოგარითმის გამოთვლას. რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 7-ის ხარისხად: (იხილეთ საჭიროების შემთხვევაში). აქედან გამომდინარე, .

გადავიწეროთ მესამე ლოგარითმი შემდეგი ფორმით. ახლა თქვენ ხედავთ ამას , საიდანაც ვასკვნით, რომ . მაშასადამე, ლოგარითმის განმარტებით .

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

პასუხი:

ჟურნალი 5 25=2, და .

როდესაც საკმარისად დიდი ნატურალური რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება, მაშინ მისი დაშლა პირველ ფაქტორებად არ არის საზიანო. ხშირად გვეხმარება ისეთი რიცხვის წარმოდგენაში, როგორიც არის ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე და, შესაბამისად, ამ ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა.

მაგალითი.

იპოვეთ ლოგარითმის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმების მნიშვნელობა. ეს თვისებები მოიცავს ერთის ლოგარითმის თვისებას და ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისებას: log 1 1=log a a 0 =0 და log a=log a 1 =1 . ანუ, როდესაც რიცხვი 1 ან რიცხვი a არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ლოგარითმის ფუძის ტოლი, მაშინ ამ შემთხვევებში ლოგარითმები შესაბამისად არის 0 და 1.

მაგალითი.

რა არის ლოგარითმები და lg10?

გამოსავალი.

ვინაიდან , ეს გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან .

მეორე მაგალითში რიცხვი 10 ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს, ამიტომ ათეულის ათწილადი ლოგარითმი უდრის ერთს, ანუ lg10=lg10 1 =1 .

პასუხი:

და lg10=1.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით (რაზეც წინა აბზაცში ვისაუბრეთ) გულისხმობს ტოლობის log a a p =p , რომელიც ლოგარითმების ერთ-ერთი თვისებაა.

პრაქტიკაში, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძე ადვილად არის წარმოდგენილი, როგორც ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე, ძალიან მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება. , რომელიც შეესაბამება ლოგარითმების ერთ-ერთ თვისებას. განვიხილოთ ლოგარითმის პოვნის მაგალითი, რომელიც ასახავს ამ ფორმულის გამოყენებას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმი .

გამოსავალი.

პასუხი:

.

გამოთვლაში ასევე გამოყენებულია ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ზემოთ არ არის ნახსენები, მაგრამ ამაზე შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ.

ლოგარითმების პოვნა სხვა ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით

ამ პარაგრაფში მოცემული ინფორმაცია აგრძელებს ლოგარითმების თვისებების გამოთვლაში გამოყენების თემას. მაგრამ აქ მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ლოგარითმების თვისებები გამოიყენება ორიგინალური ლოგარითმის სხვა ლოგარითმით გამოხატვისთვის, რომლის მნიშვნელობა ცნობილია. ახსნა-განმარტებისთვის ავიღოთ მაგალითი. ვთქვათ, ვიცით, რომ log 2 3≈1.584963 , შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ, მაგალითად, log 2 6 მცირე ტრანსფორმაციის განხორციელებით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ჩვენთვის საკმარისი იყო პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენება. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმების თვისებების უფრო ფართო არსენალი, რათა გამოთვალოთ ორიგინალური ლოგარითმი მოცემულების მიხედვით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 27-ის ლოგარითმი 60-ის საფუძვლამდე, თუ ცნობილია, რომ log 60 2=a და log 60 5=b.

გამოსავალი.

ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჟურნალი 60 27. ადვილი მისახვედრია, რომ 27=3 3 და ორიგინალური ლოგარითმი, ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამო, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3·log 60 3.

ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება გამოისახოს log 60 3 ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით. ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისება საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ტოლობის ჟურნალი 60 60=1 . მეორეს მხრივ, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5 . ამრიგად, 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5=1. აქედან გამომდინარე, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

დაბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ ლოგარითმს: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ბ.

პასუხი:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ბ.

ცალკე, აღსანიშნავია ფორმის ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მნიშვნელობა. . ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებიდან ნებისმიერი ფუძით ლოგარითმებზე კონკრეტული ფუძის მქონე ლოგარითმებზე, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია ან შესაძლებელია მათი პოვნა. ჩვეულებრივ, ორიგინალური ლოგარითმიდან, გარდამავალი ფორმულის მიხედვით, ისინი გადადიან ლოგარითმებზე ერთ-ერთ 2, e ან 10-ზე, რადგან ამ ბაზებისთვის არის ლოგარითმების ცხრილები, რომლებიც საშუალებას აძლევს მათ გამოთვალონ გარკვეული სიზუსტით. შემდეგ ნაწილში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ლოგარითმების ცხრილები, მათი გამოყენება

ლოგარითმების მნიშვნელობების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ლოგარითმის ცხრილები. ყველაზე ხშირად გამოიყენება ბაზის 2 ლოგარითმის ცხრილი, ბუნებრივი ლოგარითმის ცხრილი და ათობითი ლოგარითმის ცხრილი. ათობითი რიცხვების სისტემაში მუშაობისას მოსახერხებელია ლოგარითმების ცხრილის გამოყენება ათამდე. მისი დახმარებით ჩვენ ვისწავლით ლოგარითმების მნიშვნელობების პოვნას.

წარმოდგენილი ცხრილი საშუალებას იძლევა, ათიათასიანი სიზუსტით, ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები 1000-დან 9999-მდე (სამი ათობითი ადგილით). ჩვენ გავაანალიზებთ ლოგარითმის მნიშვნელობის პოვნის პრინციპს ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით - ეს უფრო ნათელია. მოდი ვიპოვოთ lg1,256.

ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მარცხენა სვეტში ვხვდებით 1.256 რიცხვის პირველ ორ ციფრს, ანუ ვპოულობთ 1.2-ს (სიცხადისთვის ეს რიცხვი შემოხაზულია ლურჯად). 1.256 რიცხვის მესამე ციფრი (ნომერი 5) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარცხნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია წითლად). ორიგინალური ნომრის 1.256 მეოთხე ციფრი (ნომერი 6) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარჯვნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია მწვანეში). ახლა ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს ლოგარითმების ცხრილის უჯრედებში მონიშნული მწკრივისა და მონიშნული სვეტების კვეთაზე (ეს რიცხვები მონიშნულია ნარინჯისფრად). მონიშნული რიცხვების ჯამი იძლევა ათობითი ლოგარითმის სასურველ მნიშვნელობას მეოთხე ათწილადამდე, ანუ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

შესაძლებელია თუ არა ზემოთ მოყვანილი ცხრილის გამოყენებით ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ და ასევე სცილდებიან საზღვრებს 1-დან 9.999-მდე? Დიახ, შეგიძლია. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ კეთდება ეს მაგალითით.

გამოვთვალოთ lg102.76332. ჯერ უნდა დაწერო ნომერი სტანდარტული ფორმით: 102.76332=1.0276332 10 2 . ამის შემდეგ მანტისა უნდა დამრგვალდეს მესამე ათწილადამდე, გვაქვს 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, მაშინ როცა თავდაპირველი ათობითი ლოგარითმი დაახლოებით უდრის მიღებული რიცხვის ლოგარითმს, ანუ ვიღებთ lg102.76332≈lg1.028·10 2 . ახლა გამოიყენეთ ლოგარითმის თვისებები: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ბოლოს, lg1.028 ლოგარითმის მნიშვნელობას ვპოულობთ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მიხედვით lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. შედეგად, ლოგარითმის გამოთვლის მთელი პროცესი ასე გამოიყურება: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი ლოგარითმის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ გარდამავალი ფორმულა, რომ გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმებზე, იპოვოთ მათი მნიშვნელობები ცხრილში და შეასრულოთ დარჩენილი გამოთვლები.

მაგალითად, გამოვთვალოთ ჟურნალი 2 3 . ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ათობითი ლოგარითმების ცხრილიდან ვხვდებით lg3≈0.4771 და lg2≈0.3010. ამრიგად, .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b * a c = a b + c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა და მოგვიანებით, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების ინდიკატორების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც საჭიროა რთული გამრავლების გამარტივება მარტივ შეკრებამდე. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენა.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მისი ფუძის "a" მიხედვით ითვლება "c"-ის ხარისხად. ", რომელზედაც აუცილებელია "a" ფუძის აწევა, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა "b". გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი ხარისხი, რომ 2-დან საჭირო ხარისხამდე მიიღოთ 8. რამდენიმე გამოთვლების შემდეგ თქვენს გონებაში მივიღებთ რიცხვს 3! და მართალიც ასეა, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხში 8 რიცხვს.

ლოგარითმების ჯიშები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. ლოგარითმული გამოსახულებების სამი განსხვავებული ტიპი არსებობს:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1 ფუძესთან.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა მათ გადაწყვეტილებებში.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ განხილვას არ ექვემდებარება და ჭეშმარიტია. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება უარყოფითი რიცხვებიდან. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ თუნდაც გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებით:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და ამავე დროს არ იყოს 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის ტოლია მათი მნიშვნელობების;
• თუ a > 0, მაშინ a b > 0, გამოდის, რომ "c" უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მიეცა პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x \u003d 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ ასეთი სიმძლავრე, აწიოთ რიცხვი ათი, რომელზეც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10. 2 \u003d 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი, როგორც ლოგარითმული. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა ქმედება პრაქტიკულად ემთხვევა იმ ხარისხს, რომლითაც უნდა იყოს შეყვანილი ლოგარითმის საფუძველი მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური აზროვნება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, უფრო დიდ მნიშვნელობებს დასჭირდება დენის მაგიდა. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც კი, ვისაც საერთოდ არაფერი ესმის რთულ მათემატიკური თემებში. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. უჯრედებში კვეთაზე განისაზღვრება რიცხვების მნიშვნელობები, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ნამდვილი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში, მაჩვენებელი არის ლოგარითმი. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული განტოლების სახით. მაგალითად, 3 4 =81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის ლოგარითმი 3-ის ბაზაზე, რომელიც არის ოთხი (log 3 81 = 4). უარყოფითი ძალებისთვის წესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებათა მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ოდნავ უფრო დაბალი, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორი ფუძეში მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს პასუხში ერთ ან მეტ კონკრეტულ რიცხვობრივ მნიშვნელობას, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას ორივე დიაპაზონი. მისაღები მნიშვნელობები და ამ ფუნქციის დამრღვევი წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით გავეცნობით, ჯერ თითოეული თვისება უფრო დეტალურად გავაანალიზოთ.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში წინაპირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. თქვენ შეგიძლიათ დაასაბუთოთ ლოგარითმების ამ ფორმულის მაგალითები და ამონახსნები. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2 , შემდეგ a f1 = s 1 , a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ხარისხის თვისებები ), და შემდგომ განმარტებით: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებელი იყო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება რეგულარულ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b \u003d t, გამოდის t \u003d b. თუ ორივე ნაწილს ამაღლებთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n , შესაბამისად log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმის ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში, ასევე შედის მათემატიკაში გამოცდების სავალდებულო ნაწილში. უნივერსიტეტში ჩასასვლელად ან მათემატიკაში მისაღები ტესტების ჩასაბარებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ ამოხსნათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთიანი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, თუმცა, გარკვეული წესები შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგად ფორმამდე. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ მალე.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განვსაზღვროთ როგორი ლოგარითმი გვაქვს ჩვენს წინაშე: გამოხატვის მაგალითი შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათწილადს.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გადაწყვეტა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თქვენ უნდა დაადგინოთ ის ხარისხი, რომლითაც ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამონახსნებისთვის საჭიროა ლოგარითმული იდენტობების ან მათი თვისებების გამოყენება. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმებზე ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ხარისხის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამონათქვამის ამოხსნა. საჭიროა მხოლოდ ბაზის ფაქტორიზაცია და შემდეგ მაჩვენებლების გამოტანა ლოგარითმის ნიშნიდან.

ამოცანები გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). ჩვეულებრივ, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა გულისხმობს თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“ ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას.

მაგალითები და პრობლემის გადაჭრა აღებულია გამოცდის ოფიციალური ვერსიებიდან. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტათი log 2 (2x-1) = 2 2 , ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4 , შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• ყველა ლოგარითმი საუკეთესოდ შემცირდება ერთსა და იმავე ფუძემდე, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია დადებითად, შესაბამისად, გამონათქვამის მაჩვენებლის მაჩვენებლის ამოღებისას, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და როგორც მისი საფუძველი, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

მისი განმარტებიდან გამომდინარე. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებლით, რომელზედაც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას ცული=ბ.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდრო კავშირშია რიცხვის სიმძლავრის თემასთან.

ლოგარითმებით, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

აიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: ჟურნალი xდა შესვლა y. შემდეგ ამოღება შესაძლებელია შეკრების და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ჟურნალი x 1 + ჟურნალი x 2 + ჟურნალი x 3 + ... + log a x k.

დან კოეფიციენტის ლოგარითმის თეორემებიშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად,

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.

ასე რომ, არის თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ლოგარითმები ორი ურთიერთშებრუნებული რიცხვისაიმავე საფუძველზე ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.