დღეს რაციონალური უთანასწორობებიყველას არ შეუძლია გადაწყვიტოს. უფრო ზუსტად, არა მხოლოდ ყველას შეუძლია გადაწყვიტოს. ცოტას შეუძლია ამის გაკეთება.
კლიჩკო

ეს გაკვეთილი რთული იქნება. იმდენად მკაცრი, რომ მხოლოდ რჩეული მიაღწევს მის დასასრულს. ამიტომ, წაკითხვამდე გირჩევთ ამოიღოთ ქალები, კატები, ორსული ბავშვები და ...

კარგი, სინამდვილეში საკმაოდ მარტივია. დავუშვათ, რომ აითვისეთ ინტერვალის მეთოდი (თუ არ გაქვთ ათვისებული, გირჩევთ დაბრუნდეთ და წაიკითხოთ) და ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ $P\left(x \right) \gt 0$ ფორმის უტოლობები, სადაც $P \left(x \right)$ არის პოლინომი ან მრავალწევრების ნამრავლი.

მე მჯერა, რომ არ გაგიჭირდებათ, მაგალითად, ასეთი თამაშის გადაჭრა (სხვათა შორის, სცადეთ გახურებისთვის):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \მარჯვნივ)((\left(x-5 \მარჯვნივ))^(6))\le 0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება და განვიხილოთ არა მხოლოდ მრავალწევრები, არამედ ფორმის ეგრეთ წოდებული რაციონალური წილადები:

სადაც $P\left(x \right)$ და $Q\left(x \right)$ არის $((a)_(n))((x)^(n))+( ფორმის იგივე პოლინომები. (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ან ასეთი მრავალწევრების ნამრავლი.

ეს იქნება რაციონალური უთანასწორობა. ფუნდამენტური წერტილი არის $x$ ცვლადის არსებობა მნიშვნელში. მაგალითად, აქ არის რაციონალური უტოლობები:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \მარჯვნივ)\left(11x+2 \მარჯვნივ))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\მარცხნივ(3-x \მარჯვნივ))^(2))\მარცხნივ(4-((x)^( 2)) \მარჯვნივ))\ge 0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ეს არ არის რაციონალური, არამედ ყველაზე გავრცელებული უტოლობა, რომელიც წყდება ინტერვალის მეთოდით:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

წინ რომ ვუყურებ, მაშინვე ვიტყვი: რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მინიმუმ ორი გზა არსებობს, მაგრამ ყველა მათგანი ამა თუ იმ გზით დაყვანილია ჩვენთვის უკვე ცნობილ ინტერვალების მეთოდზე. ამიტომ, სანამ ამ მეთოდებს გავაანალიზებთ, გავიხსენოთ ძველი ფაქტები, წინააღმდეგ შემთხვევაში ახალი მასალისგან აზრი არ იქნება.

რაც უკვე უნდა იცოდეთ

ბევრი მნიშვნელოვანი ფაქტი არ არის. ჩვენ ნამდვილად მხოლოდ ოთხი გვჭირდება.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

დიახ, დიახ: ისინი მოგვყვებიან მთელს მსოფლიოში სკოლის სასწავლო გეგმამათემატიკა. და უნივერსიტეტშიც. ამ ფორმულებიდან საკმაოდ ბევრია, მაგრამ ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ შემდეგი:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((ბ)^(2))=\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(a+b \მარჯვნივ); \\ & ((ა)^(3))+((ბ)^(3))=\მარცხნივ(a+b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((a)^(2))-ab+(ბ) ^(2))\მარჯვნივ); \\ & ((ა)^(3))-((ბ)^(3))=\მარცხნივ(ა-ბ \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((ა)^(2))+აბ+(ბ)^( 2))\მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ყურადღება მიაქციეთ ბოლო ორ ფორმულას - ეს არის კუბების ჯამი და სხვაობა (და არა ჯამის ან სხვაობის კუბი!). მათი დამახსოვრება ადვილია, თუ შეამჩნევთ, რომ პირველი ფრჩხილის ნიშანი იგივეა, რაც ორიგინალური გამონათქვამის ნიშანი, ხოლო მეორე ფრჩხილში ორიგინალური გამოხატვის ნიშნის საპირისპიროა.

წრფივი განტოლებები

ესენი არიან ყველაზე მარტივი განტოლებები$ax+b=0$ სახით, სადაც არის $a$ და $b$ რეგულარული ნომრებიდა $a\ne 0$. ეს განტოლება ადვილად ამოსახსნელია:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

აღვნიშნავ, რომ გვაქვს უფლება გავყოთ $a$ კოეფიციენტზე, რადგან $a\ne 0$. ეს მოთხოვნა საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან $a=0$-ით ვიღებთ ამას:

პირველი, ამ განტოლებაში არ არის $x$ ცვლადი. ამან, ზოგადად, არ უნდა დაგვაბნევოს (ეს ხდება, ვთქვათ, გეომეტრიაში და საკმაოდ ხშირად), მაგრამ მაინც აღარ ვართ წრფივი განტოლება.

მეორეც, ამ განტოლების ამოხსნა დამოკიდებულია მხოლოდ კოეფიციენტზე $b$. თუ $b$ ასევე არის ნული, მაშინ ჩვენი განტოლება არის $0=0$. ეს თანასწორობა ყოველთვის მართალია; აქედან გამომდინარე, $x$ არის ნებისმიერი რიცხვი (ჩვეულებრივ იწერება როგორც $x\in \mathbb(R)$). თუ კოეფიციენტი $b$ არ არის ნული, მაშინ $b=0$ ტოლობა არასოდეს დაკმაყოფილდება, ე.ი. პასუხი არ არის (დაიწერება $x\in \varnothing $ და წაიკითხეთ "გადაწყვეტილების ნაკრები ცარიელია").

ყველა ამ სირთულის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ უბრალოდ ვივარაუდებთ $a\ne 0$-ს, რაც არანაირად არ გვზღუდავს შემდგომი ასახვისგან.

კვადრატული განტოლებები

შეგახსენებთ, რომ ამას ეწოდება კვადრატული განტოლება:

აქ მარცხნივ არის მეორე ხარისხის პოლინომი და ისევ $a\ne 0$ (წინააღმდეგ შემთხვევაში, ნაცვლად კვადრატული განტოლებავიღებთ წრფივ). შემდეგი განტოლებები იხსნება დისკრიმინანტის საშუალებით:

1. თუ $D \gt 0$, მივიღებთ ორ განსხვავებულ ფესვს;
2. თუ $D=0$, მაშინ ფესვი იქნება ერთი, მაგრამ მეორე სიმრავლის (როგორი სიმრავლეა და როგორ გავითვალისწინოთ - ამის შესახებ მოგვიანებით). ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს;
3. $D \lt 0$-სთვის საერთოდ არ არსებობს ფესვები და $a((x)^(2))+bx+c$ ნებისმიერი $x$-ისთვის პოლინომის ნიშანი ემთხვევა $a კოეფიციენტის ნიშანს. $. სხვათა შორის, ეს ძალიან სასარგებლო ფაქტი, რაზეც რატომღაც ავიწყდებათ ლაპარაკი ალგებრის გაკვეთილებზე.

თავად ფესვები გამოითვლება ცნობილი ფორმულის მიხედვით:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

აქედან გამომდინარე, სხვათა შორის, შეზღუდვები დისკრიმინატორზე. Ყველაფრის შემდეგ Კვადრატული ფესვიდან უარყოფითი რიცხვიარ არსებობს. რაც შეეხება ფესვებს, ბევრ სტუდენტს თავში საშინელი არეულობა აქვს, ამიტომ კონკრეტულად დავწერე მთელი გაკვეთილი: რა არის ფესვი ალგებრაში და როგორ გამოვთვალოთ იგი - გირჩევთ წაიკითხოთ. :)

მოქმედებები რაციონალური წილადებით

ყველაფერი, რაც ზემოთ იყო დაწერილი, თქვენ უკვე იცით, შეისწავლეთ თუ არა ინტერვალების მეთოდი. მაგრამ რასაც ახლა გავაანალიზებთ, ანალოგი არ აქვს წარსულში - ეს სრულიად ახალი ფაქტია.

განმარტება. რაციონალური წილადი არის ფორმის გამოხატულება

\[\frac(P\მარცხნივ(x \მარჯვნივ))(Q\მარცხნივ(x \მარჯვნივ))\]

სადაც $P\left(x \right)$ და $Q\left(x \right)$ არის პოლინომები.

აშკარაა, რომ ასეთი წილადიდან უტოლობის მიღება მარტივია - საკმარისია მხოლოდ მარჯვნივ მივაწეროთ ნიშანი "ზე მეტი" ან "ნაკლები". და ცოტა უფრო შორს აღმოვაჩენთ, რომ ასეთი პრობლემების მოგვარება სიამოვნებაა, იქ ყველაფერი ძალიან მარტივია.

პრობლემები იწყება მაშინ, როდესაც ერთ გამოსახულებაში რამდენიმე ასეთი წილადია. ისინი უნდა მიიყვანონ საერთო მნიშვნელი- და სწორედ ამ მომენტშია დასაშვები დიდი რიცხვიუხერხული შეცდომები.

ამიტომ, ამისთვის წარმატებული გადაწყვეტა რაციონალური განტოლებებიმტკიცედ უნდა აითვისოთ ორი უნარი:

1. $P\left(x \right)$ მრავალწევრის ფაქტორიზაცია;
2. სინამდვილეში, წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

როგორ გავამრავლოთ მრავალწევრი? Ძალიან მარტივი. მოდით გვქონდეს ფორმის მრავალწევრი

გავუტოლოთ ნულს. ჩვენ ვიღებთ $n$-th ხარისხის განტოლებას:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( ა)_(1))x+((a)_(0))=0\]

ვთქვათ, გადავწყვიტეთ ეს განტოლება და მივიღეთ ფესვები $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (არ ინერვიულოთ: უმეტეს შემთხვევაში არ იქნება ამ ფესვებიდან ორზე მეტი). ამ შემთხვევაში, ჩვენი ორიგინალური პოლინომი შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & P\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))(x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\მარცხნივ(x -((x)_(1)) \მარჯვნივ)\cdot \left(x-((x)_(2)) \მარჯვნივ)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \მარჯვნივ) \ბოლო(გასწორება)\]

Სულ ეს არის! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: წამყვანი კოეფიციენტი $((a)_(n))$ არსად არ გაქრა - ის იქნება ცალკე ფაქტორი ფრჩხილების წინ და საჭიროების შემთხვევაში შეიძლება ჩასვათ რომელიმე ამ ფრჩხილში (პრაქტიკა გვიჩვენებს. რომ $((a)_ (n))\ne \pm 1$-ით თითქმის ყოველთვის არის წილადები ფესვებს შორის).

დავალება. გამოთქმის გამარტივება:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ ფრაკ(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

გადაწყვეტილება. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ მნიშვნელებს: ისინი ყველა წრფივი ბინომია და აქ გასაქირავებელი არაფერია. მოდით, მრიცხველების ფაქტორიზაცია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+x-20=\მარცხნივ(x+5 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-4 \მარჯვნივ); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\მარცხნივ(x-\frac(3)(2) \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(2x- 3\მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-1\მარჯვნივ); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-\frac(2)(5) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ (2-5x \მარჯვნივ). \\\ბოლო (გასწორება)\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მეორე პოლინომში უფროსი კოეფიციენტი "2", ჩვენი სქემის სრული შესაბამისად, ჯერ გამოჩნდა ფრჩხილის წინ, შემდეგ კი პირველ ფრჩხილში ჩაერთო, რადგან იქ გამოვიდა წილადი.

იგივე მოხდა მესამე მრავალწევრში, მხოლოდ იქ ტერმინების თანმიმდევრობაც აირია. თუმცა, კოეფიციენტი „−5“ დასრულდა მეორე ფრჩხილში (გახსოვდეთ: თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ კოეფიციენტი ერთ და მხოლოდ ერთ ფრჩხილში!), რამაც გადაგვარჩინა წილადი ფესვებთან დაკავშირებული უხერხულობისგან.

რაც შეეხება პირველ პოლინომს, აქ ყველაფერი მარტივია: მისი ფესვები სტანდარტული გზით არის მოძიებული დისკრიმინანტის მეშვეობით, ან ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამონათქვამს და გადავიწეროთ მრიცხველებით დაშლილი ფაქტორებად:

\[\ დასაწყისი (მატრიცა) \frac(\ მარცხნივ(x+5 \მარჯვნივ)\მარცხენა(x-4 \მარჯვნივ))(x-4)-\frac(\ მარცხენა (2x-3 \მარჯვნივ)\ მარცხენა( x-1 \მარჯვნივ))(2x-3)-\frac(\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2-5x \მარჯვნივ))(x+2)= \\ =\მარცხნივ(x+5 \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(2-5x \მარჯვნივ)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

პასუხი: $5x+4$.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ცოტა 7-8 კლასის მათემატიკა და ეგაა. ყველა ტრანსფორმაციის მიზანია რთული და საშინელი გამონათქვამის გადაქცევა უბრალო და ადვილად სამუშაოდ.

თუმცა, ეს ყოველთვის ასე არ იქნება. ამიტომ ახლა უფრო სერიოზულ პრობლემას განვიხილავთ.

მაგრამ ჯერ გავარკვიოთ, როგორ მივიყვანოთ ორი წილადი საერთო მნიშვნელთან. ალგორითმი ძალიან მარტივია:

1. ორივე მნიშვნელის ფაქტორიზაცია;
2. განვიხილოთ პირველი მნიშვნელი და დაამატეთ მას მეორე მნიშვნელში არსებული ფაქტორები, მაგრამ არა პირველში. შედეგად მიღებული პროდუქტი იქნება საერთო მნიშვნელი;
3. გაარკვიეთ რა ფაქტორები აკლია თითოეულ თავდაპირველ წილადს, რათა მნიშვნელები საერთოს ტოლი გახდეს.

შესაძლოა, ეს ალგორითმი მოგეჩვენოთ მხოლოდ ტექსტი, რომელშიც არის "ბევრი ასო". მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითს.

დავალება. გამოთქმის გამარტივება:

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \მარჯვნივ)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \მარჯვნივ)\]

გადაწყვეტილება. ასეთი მოცულობითი ამოცანები საუკეთესოდ წყდება ნაწილებად. მოდით დავწეროთ რა არის პირველ ფრჩხილში:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

წინა პრობლემისგან განსხვავებით, აქ მნიშვნელები არც ისე მარტივია. მოდით თითოეული მათგანის ფაქტორიზირება.

$((x)^(2))+2x+4$ კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, რადგან განტოლებას $((x)^(2))+2x+4=0$ არ აქვს ფესვები (დისკრიმინანტი უარყოფითია) . ჩვენ მას უცვლელად ვტოვებთ.

მეორე მნიშვნელი, კუბური პოლინომი $((x)^(3))-8$, უფრო დეტალური შემოწმებისას არის კუბების სხვაობა და ადვილად დაიშლება გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x) ^(2))+2x+4 \მარჯვნივ)\]

სხვა არაფრის გათვალისწინება არ შეიძლება, რადგან პირველი ფრჩხილი შეიცავს წრფივ ბინომალს, მეორე კი ჩვენთვის უკვე ნაცნობი კონსტრუქციაა, რომელსაც რეალური ფესვები არ აქვს.

დაბოლოს, მესამე მნიშვნელი არის წრფივი ბინომი, რომლის დაშლა შეუძლებელია. ამრიგად, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ (((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))-\frac(1)(x-2)\]

აშკარაა, რომ $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ იქნება საერთო მნიშვნელი და რომ ყველა წილადი შევამციროთ მასზე, თქვენ უნდა გავამრავლოთ პირველი წილადი $\left(x-2 \right)$-ზე, ხოლო ბოლო $\left(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ)$-ზე. შემდეგ რჩება მხოლოდ შემდეგის მოტანა:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) \frac(x\cdot \მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))(\left(x-2 \მარჯვნივ)\left(((x)^(2))+2x+4 \ მარჯვნივ))+\frac(((x)^(2))+8)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))(\left(x-2 \მარჯვნივ)\left(((x)^(2))+2x +4 \მარჯვნივ))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \მარჯვნივ)+\left(((x)^(2))+8 \მარჯვნივ)-\მარცხნივ((x )^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))= \\ =\ფრაქ (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ (((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ)). \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

ყურადღება მიაქციეთ მეორე სტრიქონს: როცა მნიშვნელი უკვე საერთოა, ე.ი. სამი ცალკეული წილადის ნაცვლად, ჩვენ დავწერეთ ერთი დიდი, დაუყოვნებლივ არ უნდა მოიშოროთ ფრჩხილები. უმჯობესია დაწეროთ დამატებითი სტრიქონი და გაითვალისწინოთ, რომ, ვთქვათ, იყო მინუსი მესამე წილადამდე - და ის არსად წავა, მაგრამ "ჩამოკიდებული" მრიცხველში ფრჩხილის წინ. ეს დაზოგავს უამრავ შეცდომას.

ისე, ბოლო სტრიქონში სასარგებლოა მრიცხველის ფაქტორიზირება. უფრო მეტიც, ეს არის ზუსტი კვადრატი და შემოკლებული გამრავლების ფორმულები კვლავ გვეხმარება. Ჩვენ გვაქვს:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \მარჯვნივ)\left(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))= \frac(((\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))^(2)))(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ახლა ანალოგიურად გავუმკლავდეთ მეორე ფრჩხილსაც. აქ მე უბრალოდ დავწერ თანასწორობის ჯაჭვს:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) \frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\ მარცხნივ (x-2 \მარჯვნივ)\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))+\frac(2\cdot \მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ )\cdot \left(x+2 \მარჯვნივ))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \მარჯვნივ))(\left(x-2) \მარჯვნივ)\მარცხენა(x+2 \მარჯვნივ))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ) ). \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

ჩვენ ვუბრუნდებით საწყის პრობლემას და ვუყურებთ პროდუქტს:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))=\frac(1)(x+2)\]

პასუხი: \[\frac(1)(x+2)\].

ამ პრობლემის მნიშვნელობა იგივეა, რაც წინა: იმის ჩვენება, თუ რამდენად შეიძლება რაციონალური გამონათქვამები გამარტივდეს, თუ გონივრულად მიუდგებით მათ ტრანსფორმაციას.

ახლა კი, როცა ეს ყველაფერი გეცოდინებათ, გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის მთავარ თემაზე - წილადი რაციონალური უტოლობების ამოხსნაზე. უფრო მეტიც, ასეთი მომზადების შემდეგ, თავად უთანასწორობები თხილივით დაწკაპუნება. :)

რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მთავარი გზა

რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მინიმუმ ორი მიდგომა არსებობს. ახლა განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს - ის, რაც ზოგადად მიღებულია სკოლის კურსიმათემატიკა.

მაგრამ პირველ რიგში, მოდით აღვნიშნოთ მნიშვნელოვანი დეტალი. ყველა უტოლობა იყოფა ორ ტიპად:

1. მკაცრი: $f\left(x \right) \gt 0$ ან $f\left(x \right) \lt 0$;
2. არა მკაცრი: $f\left(x \right)\ge 0$ ან $f\left(x \მარჯვნივ)\le 0$.

მეორე ტიპის უტოლობები ადვილად მცირდება პირველზე, ისევე როგორც განტოლებაზე:

ეს პატარა "დამატება" $f\left(x \right)=0$ იწვევს ისეთ უსიამოვნო ფაქტს, როგორიცაა შევსებული ქულები - ჩვენ მათ შევხვდით ინტერვალის მეთოდით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არ არსებობს განსხვავებები მკაცრ და არამკაცრ უტოლობებს შორის, ასე რომ, მოდით გავაანალიზოთ უნივერსალური ალგორითმი:

1. შეაგროვეთ ყველა არანულოვანი ელემენტი უტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს. მაგალითად, მარცხნივ;
2. მიიტანეთ ყველა წილადი საერთო მნიშვნელთან (თუ რამდენიმე ასეთი წილადია), მოიყვანეთ მსგავსი. შემდეგ, თუ ეს შესაძლებელია, გადაანაწილეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. ასეა თუ ისე, ვიღებთ $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ ფორმის უტოლობას, სადაც ტიკი არის უტოლობის ნიშანი.
3. მრიცხველი გაუტოლეთ ნულს: $P\left(x \right)=0$. ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას და ვიღებთ ფესვებს $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... შემდეგ მოვითხოვთ რომ მნიშვნელი არ იყო ნულის ტოლი: $Q\left(x \right)\ne 0$. რა თქმა უნდა, არსებითად, ჩვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება $Q\left(x \right)=0$ და მივიღებთ ფესვებს $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (რეალურ პრობლემებში ძნელად თუ იქნება სამზე მეტი ასეთი ფესვი).
4. ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა ამ ფესვს (როგორც ვარსკვლავებით, ასევე მის გარეშე) ერთ რიცხვოვან ხაზზე და ფესვები ვარსკვლავების გარეშე მოხატულია ზემოდან, ხოლო ვარსკვლავები ამოღებულია.
5. ჩვენ ვათავსებთ პლიუს და მინუს ნიშნებს, ვირჩევთ ინტერვალებს, რომლებიც გვჭირდება. თუ უტოლობას აქვს ფორმა $f\left(x \right) \gt 0$, მაშინ პასუხი იქნება "პლუს"-ით მონიშნული ინტერვალები. თუ $f\left(x \right) \lt 0$, მაშინ ჩვენ ვუყურებთ ინტერვალებს "მინუსებით".

პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ 2 და 4 პუნქტები იწვევს უდიდეს სირთულეებს - კომპეტენტურ გარდაქმნებს და რიცხვების სწორად განლაგებას აღმავალი წესით. ისე, ბოლო ეტაპზე, იყავით ძალიან ფრთხილად: ჩვენ ყოველთვის ვათავსებთ ნიშნებს საფუძველზე განტოლებებზე გადასვლამდე დაწერილი ბოლო უტოლობა. Ეს არის უნივერსალური წესი, მემკვიდრეობით მიღებული ინტერვალის მეთოდით.

ასე რომ, არსებობს სქემა. Მოდი ვივარჯიშოთ.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

გადაწყვეტილება. გვაქვს $f\left(x \right) \lt 0$ ფორმის მკაცრი უტოლობა. ცხადია, ჩვენი სქემიდან 1 და 2 პუნქტები უკვე დასრულებულია: უთანასწორობის ყველა ელემენტი გროვდება მარცხნივ, არაფერია საჭირო საერთო მნიშვნელამდე დაყვანა. ასე რომ, გადავიდეთ მესამე პუნქტზე.

დააყენეთ მრიცხველი ნულზე:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x-3=0; \\ &x=3. \ბოლო(გასწორება)\]

და მნიშვნელი:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამ ადგილას ბევრი ადამიანი იჭედება, რადგან თეორიულად თქვენ უნდა ჩაწეროთ $x+7\ne 0$, როგორც ამას მოითხოვს ODZ (თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე, ეს ყველაფერია). ყოველივე ამის შემდეგ, მომავალში ჩვენ გამოვყოფთ მნიშვნელიდან მოსულ ქულებს, ასე რომ, კიდევ ერთხელ არ უნდა გაართულოთ თქვენი გამოთვლები - დაწერეთ ყველგან თანაბარი ნიშანი და არ ინერვიულოთ. ამისთვის ქულებს არავინ დააკლებს. :)

მეოთხე წერტილი. მიღებულ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვით ხაზზე:

ყველა წერტილი პუნქციაა, რადგან უთანასწორობა მკაცრია

Შენიშვნა: ყველა წერტილი პუნქციაა, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრია. და აქ აღარ აქვს მნიშვნელობა: ეს პუნქტები მრიცხველიდან მოვიდა თუ მნიშვნელიდან.

აბა, შეხედე ნიშნებს. აიღეთ ნებისმიერი რიცხვი $((x)_(0)) \gt 3$. მაგალითად, $((x)_(0))=100$ (მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ $((x)_(0))=3.1$ ან $((x)_(0)) = 1\000\000$). ჩვენ ვიღებთ:

ასე რომ, ყველა ფესვის მარჯვნივ გვაქვს დადებითი არე. და თითოეულ ფესვზე გავლისას, ნიშანი იცვლება (ეს ყოველთვის ასე არ იქნება, უფრო მოგვიანებით). ამიტომ, გადავდივართ მეხუთე პუნქტზე: ვათავსებთ ნიშანს და ვირჩევთ სწორს:

ჩვენ ვუბრუნდებით ბოლო უტოლობას, რომელიც იყო განტოლებების ამოხსნამდე. ფაქტობრივად, ის ემთხვევა თავდაპირველს, რადგან ჩვენ ამ ამოცანაში არანაირი ტრანსფორმაცია არ განვახორციელეთ.

ვინაიდან აუცილებელია $f\left(x \right) \lt 0$ ფორმის უტოლობის ამოხსნა, მე დავჩრდილე $x\in \left(-7;3 \right)$ - ის ერთადერთია. აღინიშნება მინუს ნიშნით. ეს არის პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-7;3 \მარჯვნივ)$

Სულ ეს არის! რთულია? არა, არ არის რთული. მართლაც, ადვილი საქმე იყო. ახლა ცოტა გავართულოთ მისია და განვიხილოთ უფრო „ფანტასტიკური“ უთანასწორობა. ამოხსნისას აღარ მივცემ ასეთ დეტალურ გამოთვლებს - უბრალოდ მივუთითებ ძირითადი პუნქტები. ზოგადად, ისე მოვაწყობთ, როგორც მოვაწყობთ დამოუკიდებელი მუშაობაან გამოცდა. :)

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(\ მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(11x+2 \მარჯვნივ))(13x-4)\ge 0\]

გადაწყვეტილება. ეს არის $f\left(x \right)\ge 0$ ფორმის არა მკაცრი უტოლობა. ყველა არანულოვანი ელემენტი გროვდება მარცხნივ, სხვადასხვა მნიშვნელიარა. გადავიდეთ განტოლებებზე.

მრიცხველი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(11x+2 \მარჯვნივ)=0 \\ & 7x+1=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(1))=-\ ფრაკი (1) (7); \\ & 11x+2=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მნიშვნელი:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

არ ვიცი, როგორი გარყვნილი შეადგინა ეს პრობლემა, მაგრამ ფესვები არც თუ ისე კარგად აღმოჩნდა: ძნელი იქნება მათი დალაგება რიცხვთა ხაზზე. და თუ ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ეს არის ერთადერთი დადებითი რიცხვი - ის იქნება მარჯვნივ), მაშინ $. ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ და $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ საჭიროებს დამატებით შესწავლას: რომელი უფრო დიდია?

ამის გარკვევა შეგიძლიათ, მაგალითად:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

ვიმედოვნებ, რომ არ იქნება საჭირო იმის ახსნა, თუ რატომ არის რიცხვითი წილადი $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? საჭიროების შემთხვევაში, გირჩევთ გახსოვდეთ, თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მოქმედებები წილადებთან.

და ჩვენ აღვნიშნავთ სამივე ფესვს რიცხვით ხაზზე:

მრიცხველიდან წერტილები დაჩრდილულია, მნიშვნელიდან ამოჭრილია

ჩვენ დავაყენეთ ნიშნები. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ $((x)_(0))=1$ და გაიგოთ ნიშანი ამ ეტაპზე:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \მარჯვნივ))(13x-4); \\ & f\ მარცხნივ(1 \მარჯვნივ)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \მარჯვნივ)\left(11\cdot 1+2 \მარჯვნივ))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end (გასწორება)\]

ბოლო უტოლობა განტოლებამდე იყო $f\left(x \right)\ge 0$, ამიტომ ჩვენ გვაინტერესებს პლუსის ნიშანი.

ჩვენ მივიღეთ ორი კომპლექტი: ერთი არის ჩვეულებრივი სეგმენტი, ხოლო მეორე არის ღია სხივი რიცხვთა წრფეზე.

პასუხი: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

მნიშვნელოვანი შენიშვნა რიცხვების შესახებ, რომლებსაც ჩვენ ვცვლით, რომ გავიგოთ ნიშანი ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე. არ არის აუცილებელი ყველაზე მარჯვენა ფესვთან ახლოს რიცხვის ჩანაცვლება. შეგიძლიათ აიღოთ მილიარდები ან თუნდაც „პლუს-უსასრულობა“ - ამ შემთხვევაში ფრჩხილში, მრიცხველში ან მნიშვნელში პოლინომის ნიშანი განისაზღვრება მხოლოდ წამყვანი კოეფიციენტის ნიშნით.

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ $f\left(x \right)$ ფუნქციას ბოლო უტოლობიდან:

იგი შეიცავს სამ მრავალწევრს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((P)_(1))\მარცხნივ(x \მარჯვნივ)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\ მარცხენა (x \მარჯვნივ)=11x+2; \\ & Q\ მარცხენა (x\ მარჯვენა) = 13x-4. \ბოლო(გასწორება)\]

ყველა მათგანი წრფივი ბინომია და ყველა მათგანს აქვს დადებითი კოეფიციენტები (რიცხვები 7, 11 და 13). ამიტომ, როდესაც ჩანაცვლება ძალიან დიდი რიცხვებითავად პოლინომებიც დადებითი იქნება. :)

ეს წესი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს, მაგრამ მხოლოდ თავიდან, როცა ძალიან მარტივ ამოცანებს ვაანალიზებთ. სერიოზულ უტოლობაში, „პლუს-უსასრულობის“ ჩანაცვლება საშუალებას მოგვცემს გავიგოთ ნიშნები ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე სტანდარტული $((x)_(0))=100$.

ასეთი გამოწვევების წინაშე ძალიან მალე ვიქნებით. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ალტერნატიულ გზას წილადი რაციონალური უტოლობების გადასაჭრელად.

ალტერნატიული გზა

ეს ტექნიკა შემომთავაზა ჩემმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა. მე თვითონ არასოდეს გამომიყენებია, მაგრამ პრაქტიკამ აჩვენა, რომ უტოლობების ამ გზით ამოხსნა მართლაც უფრო მოსახერხებელია ბევრი მოსწავლისთვის.

ასე რომ, ორიგინალური მონაცემები იგივეა. უნდა გადაწყვიტოს წილადი რაციონალური უტოლობა:

\[\frac(P\მარცხნივ(x \მარჯვნივ))(Q\მარცხნივ(x \მარჯვნივ)) \gt 0\]

მოდით დავფიქრდეთ: რატომ არის პოლინომი $Q\left(x \right)$ "უარესი" ვიდრე პოლინომი $P\left(x \right)$? რატომ უნდა განვიხილოთ ცალკეული ჯგუფებიფესვები (ვარსკვლავით და მის გარეშე), იფიქრეთ დარტყმულ წერტილებზე და ა.შ.? ეს მარტივია: წილადს აქვს განსაზღვრების დომენი, რომლის მიხედვითაც წილადს აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როცა მისი მნიშვნელი განსხვავდება ნულისაგან.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, მრიცხველსა და მნიშვნელს შორის განსხვავება არ არის: ჩვენ ასევე ვატოლებთ ნულს, ვეძებთ ფესვებს, შემდეგ ვნიშნავთ მათ რიცხვით წრფეზე. რატომ არ შეცვალოთ წილადი ზოლი (ფაქტობრივად, გაყოფის ნიშანი) ჩვეულებრივი გამრავლება, და დაწერე ODZ-ის ყველა მოთხოვნა ცალკე უტოლობად? მაგალითად, ასე:

\[\frac(P\მარცხნივ(x \მარჯვნივ))(Q\მარცხნივ(x \მარჯვნივ)) \gt 0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & P\ მარცხნივ (x \მარჯვნივ)\cdot Q \left(x \მარჯვნივ) \gt 0, \\ & Q\left(x \მარჯვნივ)\ne 0. \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს მიდგომა საშუალებას მოგცემთ შეამციროთ პრობლემა ინტერვალების მეთოდამდე, მაგრამ ეს საერთოდ არ გაართულებს გამოსავალს. ბოლოს და ბოლოს, ყოველ შემთხვევაში, ჩვენ გავატოლებთ პოლინომს $Q\left(x \right)$ ნულამდე.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს რეალურ ამოცანებზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

გადაწყვეტილება. მოდით გადავიდეთ ინტერვალის მეთოდზე:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & \მარცხნივ(x+8 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-11 \მარჯვნივ) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

პირველი უტოლობა ამოხსნილია ელემენტარულად. უბრალოდ დააყენეთ თითოეული ფრჩხილები ნულზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x+8=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(2))=11. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მეორე უტოლობით, ყველაფერი ასევე მარტივია:

რეალურ ხაზზე აღვნიშნავთ $((x)_(1))$ და $((x)_(2))$ წერტილებს. ყველა მათგანი პუნქციაა, რადგან უთანასწორობა მკაცრია:

მარჯვენა წერტილი ორჯერ იყო პუნქცია. Ეს კარგია.

ყურადღება მიაქციეთ $x=11$ წერტილს. გამოდის, რომ ის „ორჯერ ამოწურულია“: ერთის მხრივ, უთანასწორობის სიმძიმის გამო ვჭრით, მეორე მხრივ, იმის გამო. დამატებითი მოთხოვნაოძ.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ეს იქნება მხოლოდ პუნქციური წერტილი. მაშასადამე, ჩვენ ვაყენებთ უტოლობის ნიშნებს $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ბოლო, რაც ვნახეთ, სანამ განტოლებების ამოხსნას დავიწყებდით:

ჩვენ გვაინტერესებს დადებითი რეგიონები, რადგან ვხსნით $f\left(x \right) \gt 0$ ფორმის უტოლობას და გავაფერადებთ მათ. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \მარჯვნივ)$

ამ გადაწყვეტის მაგალითის გამოყენებით, მინდა გაგაფრთხილოთ ახალბედა სტუდენტებს შორის გავრცელებული შეცდომის შესახებ. კერძოდ: არასოდეს გახსენით ფრჩხილები უტოლობაში! პირიქით, შეეცადეთ ყველაფერი ფაქტორზე მოაქციოთ – ეს გამოსავალს გაამარტივებს და უამრავ პრობლემას გიშველის.

ახლა ვცადოთ რაღაც უფრო რთული.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(\ მარცხენა (2x-13 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(12x-9 \მარჯვნივ))(15x+33)\le 0\]

გადაწყვეტილება. ეს არის $f\left(x \right)\le 0$ ფორმის არამკაცრი უტოლობა, ამიტომ აქ თქვენ უნდა ყურადღებით დააკვირდეთ შევსებულ წერტილებს.

მოდით გადავიდეთ ინტერვალის მეთოდზე:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & \ მარცხნივ (2x-13 \მარჯვნივ)\ მარცხნივ (12x-9 \მარჯვნივ)\ მარცხნივ(15x+33 \მარჯვნივ)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

გადავიდეთ განტოლებაზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(2x-13 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(12x-9 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(15x+33 \მარჯვნივ)=0 \\ & 2x-13=0\მარჯვენა ისარი ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(3))=-2,2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ გავითვალისწინებთ დამატებით მოთხოვნას:

ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა მიღებულ ფესვს რიცხვით ხაზზე:

თუ წერტილი ერთდროულად ამოღებულია და შევსებულია, ის ჩაითვლება მუშტით.

ისევ და ისევ, ორი წერტილი ერთმანეთს „ეფარება“ – ეს ნორმალურია, ასე იქნება ყოველთვის. მნიშვნელოვანია მხოლოდ იმის გაგება, რომ წერტილი, რომელიც მონიშნულია როგორც ამოჭრილი, ისე შევსებული, რეალურად არის დარტყმული წერტილი. იმათ. „გაჟონვა“ უფრო ძლიერი მოქმედებაა, ვიდრე „დახატვა“.

ეს აბსოლუტურად ლოგიკურია, რადგან პუნქციის საშუალებით ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილებს, რომლებიც გავლენას ახდენენ ფუნქციის ნიშანზე, მაგრამ თავად არ მონაწილეობენ პასუხში. და თუ რაღაც მომენტში რიცხვი შეწყვეტს ჩვენთან შესაბამისობას (მაგალითად, ის არ მოხვდება ODZ-ში), ჩვენ ვშლით მას განხილვიდან ამოცანის ბოლომდე.

ზოგადად, შეწყვიტე ფილოსოფია. ჩვენ ვაწყობთ ნიშნებს და ვხატავთ იმ ინტერვალებს, რომლებიც აღინიშნება მინუს ნიშნით:

უპასუხე. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \მარჯვნივ]$.

და კიდევ ერთხელ მინდოდა თქვენი ყურადღება მიმექცია ამ განტოლებაზე:

\[\მარცხნივ(2x-13 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(12x-9 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(15x+33 \მარჯვნივ)=0\]

კიდევ ერთხელ: არასოდეს გახსენით ფრჩხილები ასეთ განტოლებებში! თქვენ მხოლოდ საკუთარ თავს ართულებთ. დაიმახსოვრეთ: პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულია. აქედან გამომდინარე, მოცემული განტოლებაის უბრალოდ "იშლება" რამდენიმე მცირედ, რაც ჩვენ გადავწყვიტეთ წინა პრობლემაში.

ფესვების სიმრავლის გათვალისწინებით

წინა პრობლემებიდან ამის დანახვა ადვილია ყველაზე დიდი სირთულეწარმოადგენს ზუსტად არამკაცრ უტოლობას, რადგან მათ უნდა აკონტროლონ შევსებული ქულები.

მაგრამ მსოფლიოში არის კიდევ უფრო დიდი ბოროტება - ეს არის მრავალი ფესვი უთანასწორობაში. აქ უკვე აუცილებელია იქ შევსებული პუნქტების მიყოლა - აქ უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება უცებ არ შეიცვალოს იმავე წერტილებში გავლისას.

ჩვენ ჯერ არ განვიხილეთ მსგავსი რამ ამ გაკვეთილზე (თუმცა მსგავსი პრობლემახშირად გვხვდება ინტერვალების მეთოდში). მოდით შემოვიტანოთ ახალი განმარტება:

განმარტება. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ განტოლების ფესვი $x=a$-ის ტოლია და მას $n$th სიმრავლის ფესვი ეწოდება.

სინამდვილეში, ჩვენ არ ვართ განსაკუთრებით დაინტერესებული ზუსტი ღირებულებასიმრავლე. ერთადერთი მნიშვნელოვანი ის არის, ეს $n$ რიცხვი ლუწია თუ კენტი. იმიტომ რომ:

1. თუ $x=a$ არის ლუწი სიმრავლის ფესვი, მაშინ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება;
2. და პირიქით, თუ $x=a$ არის კენტი სიმრავლის ფესვი, მაშინ ფუნქციის ნიშანი შეიცვლება.

კენტი სიმრავლის ფესვის განსაკუთრებული შემთხვევაა ამ გაკვეთილზე განხილული ყველა წინა პრობლემა: იქ სიმრავლე ყველგან ერთის ტოლია.

და შემდგომ. სანამ პრობლემების გადაჭრას დავიწყებთ, მსურს თქვენი ყურადღება გავამახვილო ერთ დახვეწილობაზე, რომელიც აშკარად ჩანს გამოცდილი სტუდენტისთვის, მაგრამ ბევრ დამწყებს უბიძგებს სისულელეში. კერძოდ:

სიმრავლის ფესვი $n$ ჩნდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც მთელი გამოხატულება ამაღლებულია ამ ხარისხზე: $((\left(x-a \right))^(n))$, და არა $\left(((x)^(n) )-a\right)$.

კიდევ ერთხელ: $((\left(x-a \right))^(n))$ გვაძლევს $x=a$ სიმრავლის ფუძეს $n$, მაგრამ ფრჩხილი $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ან, როგორც ხშირად ხდება, $(a-((x)^(n)))$ გვაძლევს პირველი სიმრავლის ფესვს (ან ორ ფესვს, თუ $n$ ლუწი). , რაც არ უნდა უდრის $n$-ს.

შეადარეთ:

\[((\მარცხნივ(x-3 \მარჯვნივ))^(5))=0\მარჯვენა ისარი x=3\მარცხნივ(5k \მარჯვნივ)\]

აქ ყველაფერი ნათელია: მთელი ფრჩხილი მეხუთე ხარისხზე იყო აყვანილი, ამიტომ გამომავალზე მივიღეთ მეხუთე ხარისხის ფესვი. Და ახლა:

\[\ მარცხენა (((x)^(2))-4 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))=4\მარჯვენა ისარი x=\pm 2\]

ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი, მაგრამ ორივეს აქვს პირველი სიმრავლე. ან აი კიდევ ერთი:

\[\ მარცხენა(((x)^(10))-1024 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი ((x)^(10))=1024\მარჯვენა ისარი x=\pm 2\]

და მეათე ხარისხში არ აგერიოთ. მთავარია 10 არის ლუწი რიცხვი, ანუ გამომავალზე გვაქვს ორი ფესვი და ორივეს ისევ აქვს პირველი სიმრავლე.

ზოგადად, ფრთხილად იყავით: სიმრავლე ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ხარისხი ვრცელდება მთელ ფრჩხილზე და არა მხოლოდ ცვლადზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(((x)^(2))((\მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ))^(3))\მარცხნივ(x+4 \მარჯვნივ))(((\მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ))^(5)))\ge 0\]

გადაწყვეტილება. ვცადოთ მისი მოგვარება ალტერნატიული გზა- კონკრეტულიდან პროდუქტზე გადასვლის გზით:

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))((\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ))^(3))\მარცხნივ(x+4 \მარჯვნივ)\cdot ( (\left(x+7 \მარჯვნივ))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \მარჯვნივ))^(5))\ne 0. \\ \end (გასწორება ) \ მართალია. \]

პირველ უტოლობასთან გვაქვს საქმე ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))((\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ))^(3))\მარცხნივ(x+4 \მარჯვნივ)\cdot ((\ მარცხნივ( x+7 \მარჯვნივ))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\მარჯვენა ისარი x=0\მარცხნივ(2k \მარჯვნივ); \\ & ((\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ))^(3))=0\მარჯვენა ისარი x=6\მარცხნივ(3k \მარჯვნივ); \\ & x+4=0\მარჯვენა ისარი x=-4; \\ & ((\ მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ))^(5))=0\მარჯვენა ისარი x=-7\მარცხნივ(5k \მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

დამატებით ვხსნით მეორე უტოლობას. ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ, მაგრამ იმისათვის, რომ რეცენზენტებმა გამოსავალში ბრალი არ აღმოაჩინონ, სჯობს ისევ მოაგვარონ:

\[((\მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ))^(5))\ne 0\მარჯვენა ისარი x\ne -7\]

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო უტოლობაში არ არის სიმრავლე. მართლაც: რა განსხვავებაა რამდენჯერ გადაკვეთა $x=-7$ წერტილი რიცხვით წრფეზე? ერთხელ მაინც, ხუთჯერ მაინც - შედეგი იგივე იქნება: პუნქციური წერტილი.

მოდით აღვნიშნოთ ყველაფერი, რაც მივიღეთ ნომრის ხაზზე:

როგორც ვთქვი, $x=-7$ წერტილი საბოლოოდ ამოიწურება. სიმრავლეები დალაგებულია უტოლობის ამოხსნის საფუძველზე ინტერვალის მეთოდით.

რჩება ნიშნების განთავსება:

ვინაიდან წერტილი $x=0$ არის ლუწი სიმრავლის ფესვი, ნიშანი არ იცვლება მასში გავლისას. დარჩენილ ქულებს აქვთ უცნაური სიმრავლე და მათთან ყველაფერი მარტივია.

უპასუხე. $x\in \left(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \მარჯვნივ]$

კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება $x=0$-ს. თანაბარი სიმრავლის გამო წარმოიქმნება საინტერესო ეფექტი: ყველაფერი მისგან მარცხნივ არის მოხატული, მარჯვნივ - ასევე და თავად წერტილი მთლიანად დახატულია.

შედეგად, მას არ სჭირდება იზოლირება პასუხის ჩაწერისას. იმათ. თქვენ არ გჭირდებათ დაწეროთ რაღაც $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (თუმცა ფორმალურად ასეთი პასუხი ასევე სწორი იქნება). ამის ნაცვლად, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ $x\in \left[ -4;6 \right]$.

ასეთი ეფექტები შესაძლებელია მხოლოდ თუნდაც სიმრავლის ფესვებისთვის. შემდეგ ამოცანაში კი ამ ეფექტის საპირისპირო „გამოვლინებას“ შევხვდებით. მზადაა?

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(((\ მარცხნივ(x-3 \მარჯვნივ))^(4))\მარცხნივ(x-4 \მარჯვნივ))(((\ მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \მარჯვნივ))\ge 0\]

გადაწყვეტილება. ამჯერად სტანდარტულ სქემას მივყვებით. დააყენეთ მრიცხველი ნულზე:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \მარჯვნივ))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \მარჯვნივ); \\ & x-4=0\მარჯვენა ისარი ((x)_(2))=4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და მნიშვნელი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2))\მარცხნივ(7x-10-((x)^(2)) \მარჯვნივ)=0; \\ & ((\left(x-1 \მარჯვნივ))^(2))=0\მარჯვენა arrow x_(1)^(*)=1\left(2k \მარჯვნივ); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\მარჯვენა ისარი x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ვინაიდან ჩვენ ვხსნით $f\left(x \right)\ge 0$ ფორმის არამკაცრ უტოლობას, ფესვები მნიშვნელიდან (რომლებსაც აქვთ ვარსკვლავი) ამოიჭრება, ხოლო მრიცხველის ფესვები მოხატული იქნება. .

ჩვენ ვაწყობთ ნიშანს და ვსვამთ "პლუს"-ით მონიშნულ უბნებს:

წერტილი $x=3$ იზოლირებულია. ეს პასუხის ნაწილია

სანამ საბოლოო პასუხს ჩაწერთ, ყურადღებით დააკვირდით სურათს:

1. $x=1$ წერტილს აქვს ლუწი სიმრავლე, მაგრამ თავად არის პუნქცია. ამიტომ, ის უნდა იყოს იზოლირებული პასუხში: თქვენ უნდა დაწეროთ $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ და არა $x\in. \left(-\ infty ;2\right)$.
2. წერტილი $x=3$ ასევე აქვს ლუწი სიმრავლე და დაჩრდილულია. ნიშნების განლაგება მიუთითებს იმაზე, რომ წერტილი თავად გვერგება, მაგრამ ნაბიჯი მარცხნივ და მარჯვნივ - და ჩვენ აღმოვჩნდებით ისეთ მხარეში, რომელიც ნამდვილად არ გვიწყობს. ასეთ წერტილებს უწოდებენ იზოლირებულს და იწერება როგორც $x\in \left\( 3 \right\)$.

ყველა მიღებულ ნაწილს ვაერთებთ საერთო ნაკრებში და ვწერთ პასუხს.

პასუხი: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\(3 \მარჯვნივ\)\bigcup \left[ 4;5 \მარჯვნივ) $

განმარტება. უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს იპოვნეთ მისი ყველა გადაწყვეტილებების ნაკრებიან დაამტკიცეთ, რომ ეს ნაკრები ცარიელია.

როგორც ჩანს: რა შეიძლება იყოს აქ გაუგებარი? დიახ, საქმე იმაშია, რომ კომპლექტების დაზუსტება შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. მოდით გადავიწეროთ პასუხი ბოლო პრობლემაზე:

ჩვენ სიტყვასიტყვით ვკითხულობთ რაც წერია. ცვლადი "x" ეკუთვნის გარკვეულ სიმრავლეს, რომელიც მიიღება ოთხი ცალკეული სიმრავლის გაერთიანებით (სიმბოლო "U"):

• ინტერვალი $\left(-\infty ;1 \right)$, რაც სიტყვასიტყვით ნიშნავს "ყველა რიცხვს ერთზე ნაკლები, მაგრამ არა თავად ერთზე";
• ინტერვალი არის $\left(1;2 \right)$, ე.ი. "ყველა რიცხვი 1-დან 2-მდე, მაგრამ არა თავად რიცხვები 1 და 2";
• ნაკრები $\left\( 3 \right\)$, რომელიც შედგება ერთი რიცხვისაგან - სამი;
• ინტერვალი $\left[4;5 \მარჯვნივ)$ შეიცავს ყველა რიცხვს 4-დან 5-მდე, პლუს 4-ს, მაგრამ არა 5-ს.

მესამე პუნქტი აქ არის საინტერესო. ინტერვალებისგან განსხვავებით, რომლებიც განსაზღვრავენ რიცხვთა უსასრულო სიმრავლეს და მხოლოდ ამ სიმრავლეების საზღვრებს აღნიშნავენ, სიმრავლე $\left\( 3 \right\)$ განსაზღვრავს ზუსტად ერთ რიცხვს ჩამოთვლით.

იმის გასაგებად, რომ ჩვენ ჩამოვთვლით კომპლექტში შემავალ კონკრეტულ ნომრებს (და არ ვადგენთ საზღვრებს ან სხვა რამეს), გამოიყენება ხვეული ბრეკეტები. მაგალითად, აღნიშვნა $\left\( 1;2 \right\)$ ნიშნავს ზუსტად "კომპლექტს, რომელიც შედგება ორი რიცხვისგან: 1 და 2", მაგრამ არა სეგმენტი 1-დან 2-მდე. არავითარ შემთხვევაში არ აურიოთ ეს ცნებები. .

სიმრავლის მიმატების წესი

ისე, დღევანდელი გაკვეთილის ბოლოს, პატარა კალა პაველ ბერდოვისგან. :)

ყურადღებიანმა მოსწავლეებმა ალბათ უკვე დაუსვეს საკუთარ თავს კითხვა: რა მოხდება, თუ მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფესვები აღმოჩნდება? ასე რომ, შემდეგი წესი მუშაობს:

სიმრავლეები იდენტური ფესვებიდაამატე. ყოველთვის. მაშინაც კი, თუ ეს ფესვი გვხვდება როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

ზოგჯერ ჯობია გადაწყვიტო, ვიდრე ლაპარაკი. ამიტომ, ჩვენ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემას:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \მარჯვნივ)\მარცხნივ((x)^(2))+ 9x+14 \მარჯვნივ))\ge 0\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ჯერჯერობით არაფერი განსაკუთრებული. დააყენეთ მნიშვნელი ნულზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(((x)^(2))-16 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+9x+14 \მარჯვნივ)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\მარჯვენა ისარი x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\მარჯვენა ისარი x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ნაპოვნია ორი იდენტური ფესვი: $((x)_(1))=-2$ და $x_(4)^(*)=-2$. ორივეს აქვს პირველი სიმრავლე. მაშასადამე, მათ ვანაცვლებთ ერთი ფესვით $x_(4)^(*)=-2$, მაგრამ სიმრავლით 1+1=2.

გარდა ამისა, არსებობს ასევე იდენტური ფესვები: $((x)_(2))=-4$ და $x_(2)^(*)=-4$. ისინიც პირველი სიმრავლის არიან, ამიტომ რჩება მხოლოდ $x_(2)^(*)=-4$ სიმრავლე 1+1=2.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ორივე შემთხვევაში ჩვენ დავტოვეთ ზუსტად „ამოჭრილი“ ფესვი, ხოლო „გადაღებული“ გადავაგდეთ განხილვისგან. იმიტომ, რომ გაკვეთილის დასაწყისშიც კი შევთანხმდით: თუ პუნქტი ერთდროულად ამოიჭრება და მოხატულია, მაშინ ჩვენ მაინც მიგვაჩნია, რომ ის ამოჭრილია.

შედეგად, ჩვენ გვაქვს ოთხი ფესვი და ყველა მათგანი ამოღებული აღმოჩნდა:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\მარცხნივ(2k \მარჯვნივ); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\მარცხნივ(2k \მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით ხაზზე, სიმრავლის გათვალისწინებით:

ჩვენ ვათავსებთ ნიშანს და ვხატავთ ჩვენთვის საინტერესო უბნებს:

ყველაფერი. არ არის იზოლირებული წერტილები და სხვა გარყვნილები. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

უპასუხე. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

გამრავლების წესი

ზოგჯერ კიდევ უფრო უსიამოვნო სიტუაცია ხდება: განტოლება, რომელსაც მრავალი ფესვი აქვს, თავისთავად ამაღლებულია გარკვეულ ძალამდე. ეს ცვლის ყველა თავდაპირველი ფესვის სიმრავლეს.

ეს იშვიათია, ამიტომ სტუდენტების უმეტესობას არ აქვს მსგავსი პრობლემების გადაჭრის გამოცდილება. და აქ წესი ასეთია:

როდესაც განტოლება იზრდება $n$-მდე სიმძლავრემდე, მისი ყველა ფესვის სიმრავლე ასევე იზრდება $n$-ის კოეფიციენტით.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ხარისხზე აწევა იწვევს სიმრავლეების გამრავლებას იმავე ძალაზე. ავიღოთ ეს წესი მაგალითად:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(x((\ მარცხნივ(((x)^(2))-6x+9 \მარჯვნივ))^(2))((\ მარცხენა(x-4 \მარჯვნივ))^(5)) )(((\მარცხნივ(2-x \მარჯვნივ))^(3))((\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2)))\le 0\]

გადაწყვეტილება. დააყენეთ მრიცხველი ნულზე:

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ყველაფერი ნათელია პირველი მამრავლით: $x=0$. და აი, საიდან იწყება პრობლემები:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \მარჯვნივ))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\მარცხნივ(2k \მარჯვნივ); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2k \მარჯვნივ) \ \ & ((x)_(2))=3\მარცხნივ(4k \მარჯვნივ) \\ \ბოლო(გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, განტოლებას $((x)^(2))-6x+9=0$ აქვს მეორე სიმრავლის უნიკალური ფესვი: $x=3$. მაშინ მთელი განტოლება კვადრატშია. მაშასადამე, ფესვის სიმრავლე იქნება $2\cdot 2=4$, რომელიც საბოლოოდ ჩავწერეთ.

\[((\მარცხნივ(x-4 \მარჯვნივ))^(5))=0\მარჯვენა ისარი x=4\მარცხნივ(5k \მარჯვნივ)\]

მნიშვნელთანაც არ არის პრობლემა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2-x \მარჯვნივ))^(3))((\left(x-1 \მარჯვნივ))^(2))=0; \\ & ((\ მარცხნივ(2-x \მარჯვნივ))^(3))=0\მარჯვენა ისარი x_(1)^(*)=2\მარცხნივ(3k \მარჯვნივ); \\ & ((\ მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2))=0\მარჯვენა ისარი x_(2)^(*)=1\მარცხნივ(2k \მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ჯამში ხუთი ქულა ავიღეთ: ორი ამოღებული და სამი შევსებული. მრიცხველსა და მნიშვნელში არ არსებობს თანხვედრი ფესვები, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით წრფეზე:

ჩვენ ვაწყობთ ნიშნებს სიმრავლის გათვალისწინებით და ვხატავთ ჩვენთვის საინტერესო ინტერვალებს:

ისევ ერთი იზოლირებული წერტილი და ერთი პუნქცია

თანაბარი სიმრავლის ფესვების გამო, ჩვენ კვლავ მივიღეთ რამდენიმე "არასტანდარტული" ელემენტი. ეს არის $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, არა $x\in \left[ 0;2 \მარჯვნივ)$ და ასევე იზოლირებული წერტილი $ x\in \მარცხნივ\( 3 \მარჯვნივ\)$.

უპასუხე. $x\in \left[ 0;1 \მარჯვნივ)\bigcup \left(1;2 \მარჯვნივ)\bigcup \left\(3 \მარჯვნივ)\bigcup \left[ 4;+\infty \მარჯვნივ)$

როგორც ხედავთ, ყველაფერი არც ისე რთულია. მთავარია ყურადღება. ბოლო განყოფილებაამ გაკვეთილი ეძღვნება გარდაქმნებს - სწორედ მათ, რაც თავიდანვე განვიხილეთ.

წინასწარი კონვერტაციები

უთანასწორობები, რომლებსაც ამ ნაწილში განვიხილავთ, არ არის რთული. თუმცა, წინა ამოცანებისგან განსხვავებით, აქ მოგიწევთ თეორიული უნარების გამოყენება რაციონალური წილადები— ფაქტორიზაცია და საერთო მნიშვნელამდე შემცირება.

ეს საკითხი დეტალურად განვიხილეთ დღევანდელი გაკვეთილის დასაწყისშივე. თუ არ ხართ დარწმუნებული, რომ გესმით, რაზეა საუბარი, გირჩევთ, დაბრუნდეთ და გაიმეოროთ. იმის გამო, რომ აზრი არ აქვს უტოლობების ამოხსნის მეთოდების შეფუთვას, თუ "ცურავ" წილადების გადაქცევაში.

AT საშინაო დავალებასხვათა შორის, ასევე ბევრი მსგავსი დავალება იქნება. ისინი მოთავსებულია ცალკეულ ქვეგანყოფილებაში. და იქ ნახავთ ძალიან არატრივიალურ მაგალითებს. მაგრამ ეს იქნება საშინაო დავალება, მაგრამ ახლა მოდით გავაანალიზოთ რამდენიმე ასეთი უთანასწორობა.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

გადაწყვეტილება. ყველაფრის მარცხნივ გადატანა:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

მივყავართ საერთო მნიშვნელთან, ვხსნით ფრჩხილებს, ვაძლევთ ტერმინების მსგავსადმრიცხველში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \მარჯვნივ)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-1 \ მარჯვნივ))(x\cdot \left(x-1 \მარჯვნივ))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \მარჯვნივ))(x\left(x-1 \მარჯვნივ)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \მარჯვნივ))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))\le 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ახლა გვაქვს კლასიკური წილადი რაციონალური უტოლობა, რომლის ამოხსნაც აღარ არის რთული. მე ვთავაზობ მის გადაჭრას ალტერნატიული მეთოდით - ინტერვალების მეთოდით:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

არ დაივიწყოთ შეზღუდვა, რომელიც მოდის მნიშვნელიდან:

ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა რიცხვს და შეზღუდვას ნომრის ხაზზე:

ყველა ფესვს აქვს პირველი სიმრავლე. Არაა პრობლემა. ჩვენ უბრალოდ ვათავსებთ ნიშანს და ვხატავთ საჭირო უბნებს:

ეს ყველაფერი. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

უპასუხე. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \მარჯვნივ)$.

რა თქმა უნდა, ეს იყო ძალიან მარტივი მაგალითი. ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ პრობლემას. და სხვათა შორის, ამ ამოცანის დონე საკმაოდ შეესაბამება დამოუკიდებელ და საკონტროლო სამუშაოამ თემაზე მე-8 კლასში.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

გადაწყვეტილება. ყველაფრის მარცხნივ გადატანა:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

სანამ ორივე წილადს მივიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, ჩვენ ამ მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად. უცებ იგივე ფრჩხილი გამოვა? პირველი მნიშვნელით ადვილია:

\[((x)^(2))+8x-9=\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+9 \მარჯვნივ)\]

მეორე ცოტა უფრო რთულია. თავისუფლად შეგიძლიათ დაამატოთ მუდმივი მულტიპლიკატორი იმ ფრჩხილში, სადაც წილადი იქნა ნაპოვნი. დაიმახსოვრეთ: თავდაპირველ მრავალწევრს ჰქონდა მთელი რიცხვი კოეფიციენტები, ასე რომ, დიდი ალბათობით, ფაქტორიზაციას ასევე ექნება მთელი კოეფიციენტები (სინამდვილეში, ყოველთვის იქნება, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც დისკრიმინანტი ირაციონალურია).

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 3((x)^(2))-5x+2=3\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-\frac(2)(3) \მარჯვნივ)= \\ & =\ მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ (3x-2 \მარჯვნივ) \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ვხედავთ, არსებობს საერთო ფრჩხილები: $\მარცხნივ(x-1\მარჯვნივ)$. ვუბრუნდებით უტოლობას და ორივე წილადს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \frac (1) (\ მარცხნივ (x-1 \მარჯვნივ)\ მარცხნივ (x+9 \მარჯვნივ)) -\frac (1) (\ მარცხნივ (x-1 \მარჯვნივ)\ მარცხენა(3x-2\მარჯვნივ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \მარცხნივ(3x-2 \მარჯვნივ)-1\cdot \left(x+9 \მარჯვნივ))(\left(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+9 \მარჯვნივ )\left(3x-2 \მარჯვნივ))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\ მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხენა(x+9 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-2 \მარჯვნივ))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \მარჯვნივ))\ge 0; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

დააყენეთ მნიშვნელი ნულზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+9 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-2 \მარჯვნივ)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( გასწორება)\]

არავითარი სიმრავლე და არა დამთხვევა ფესვები. ჩვენ ვნიშნავთ ოთხ რიცხვს სწორ ხაზზე:

ჩვენ ვათავსებთ ნიშნებს:

ჩვენ ვწერთ პასუხს.

პასუხი: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ მარჯვენა) $.

დაე, მოიძებნოს რიცხვითი მნიშვნელობები x, სადაც ისინი გადაიქცევა ჭეშმარიტად რიცხვითი უტოლობებირამდენიმე რაციონალური უტოლობა ერთდროულად. ასეთ შემთხვევებში ჩვენ ვამბობთ, რომ რაციონალური უტოლობების სისტემა უნდა ამოხსნათ ერთი უცნობი x-ით.

რაციონალური უტოლობების სისტემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა გამოსავალი სისტემაში არსებული თითოეული უტოლობისთვის. მაშინ ყველა ნაპოვნი გადაწყვეტის საერთო ნაწილი იქნება სისტემის გადაწყვეტა.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

ჯერ ვხსნით უტოლობას

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით (ნახ. 1) აღმოვაჩენთ, რომ (2) უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე შედგება ორი ინტერვალისაგან: (-, 1) და (5, 7).

სურათი 1

ახლა მოვაგვაროთ უტოლობა

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით (ნახ. 2) აღმოვაჩენთ, რომ უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე (3) ასევე შედგება ორი ინტერვალისაგან: (2, 3) და (4, +).

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ზოგადი ნაწილი(2) და (3) უტოლობების ამოხსნა. დავხატოთ კოორდინატთა ღერძი x და მონიშნეთ მასზე ნაპოვნი ამონახსნები. ახლა გასაგებია, რომ საერთო ნაწილი(2) და (3) უტოლობების ამოხსნა არის ინტერვალი (5, 7) (ნახ. 3).

შესაბამისად, უტოლობების სისტემის ყველა ამონახსნის სიმრავლე (1) არის ინტერვალი (5, 7).

მაგალითი: ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

x2 - 6x + 10< 0,

ჯერ გადავჭრათ უტოლობა

x 2 - 6x + 10< 0.

შერჩევის მეთოდის გამოყენება სრული მოედანიამის დაწერა შეიძლება

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

ამრიგად, უტოლობა (2) შეიძლება დაიწეროს როგორც

(x - 3) 2 + 1< 0,

რაც აჩვენებს, რომ მას არ აქვს გამოსავალი.

ახლა თქვენ ვერ გადაჭრით უთანასწორობას

რადგან პასუხი უკვე ნათელია: სისტემას (1) არ აქვს გამოსავალი.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

განვიხილოთ ჯერ პირველი უტოლობა; ჩვენ გვაქვს

1 < 0, < 0.

ნიშნების მრუდის გამოყენებით ვპოულობთ ამონახსნებს ამ უტოლობაზე: x< -2; 0 < x < 2.

ახლა ამოვხსნათ მოცემული სისტემის მეორე უტოლობა. გვაქვს x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

პირველი და მეორე უტოლობების ნაპოვნი ამონახსნები საერთო რეალურ წრფეზე (ნახ. 6) რომ მოვნიშნეთ, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ ინტერვალებს, სადაც ეს ამონახსნები ემთხვევა (ამოხსნის ჩახშობა): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

ჩვენ გარდაქმნით სისტემის პირველ უტოლობას:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0, ან x (x - 10) (x + 10) 0

(რადგან კენტი სიმძლავრეების ფაქტორები შეიძლება შეიცვალოს პირველი ხარისხის შესაბამისი ფაქტორებით); ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით ვპოულობთ ამონახსნებს ბოლო უტოლობაზე: -10 x 0, x 10.

განვიხილოთ სისტემის მეორე უტოლობა; ჩვენ გვაქვს

ვპოულობთ (სურ. 8) x -9; 3< x < 15.

ნაპოვნი ამონახსნები გავაერთიანოთ, მივიღებთ (ნახ. 9) x 0; x > 3.

მაგალითი:Პოვნა მთელი რიცხვი გადაწყვეტილებებიუტოლობების სისტემები:

x + y< 2,5,

გამოსავალი: მოდით მივიყვანოთ სისტემა ფორმაში

პირველი და მეორე უტოლობების მიმატებით, გვაქვს y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

საიდანაც -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

მეშვეობით ეს გაკვეთილითქვენ გაეცნობით რაციონალურ უთანასწორობებს და მათ სისტემებს. რაციონალური უტოლობების სისტემა წყდება ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით. განიხილება ეკვივალენტობის განმარტება, წილადი-რაციონალური უტოლობის კვადრატით ჩანაცვლების მეთოდი და ასევე გაიგებს რა განსხვავებაა უტოლობასა და განტოლებას შორის და როგორ ხდება ეკვივალენტური გარდაქმნები.

ალგებრა მე-9 კლასი

მე-9 კლასის ალგებრის კურსის დასკვნითი გამეორება

რაციონალური უტოლობები და მათი სისტემები. რაციონალური უტოლობების სისტემები.

1.1 Აბსტრაქტული.

1. ექვივალენტური გარდაქმნებირაციონალური უთანასწორობები.

გადაწყვიტე რაციონალური უთანასწორობანიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის პოვნას. განტოლებისგან განსხვავებით, უტოლობის ამოხსნისას, როგორც წესი, არის ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები ვერ დადასტურდება ჩანაცვლებით. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია თავდაპირველი უტოლობის გარდაქმნა ისე, რომ ყოველ მომდევნო სტრიქონში მიიღება უტოლობა ამონახსნების იგივე სიმრავლით.

რაციონალური უტოლობებიმოგვარებულია მხოლოდ ექვივალენტიან ექვივალენტური გარდაქმნები. ასეთი გარდაქმნები არ ამახინჯებს გადაწყვეტილებების კომპლექტს.

განმარტება. რაციონალური უტოლობებიდაურეკა ექვივალენტითუ მათი ამონახსნები ერთნაირია.

დანიშნოს ეკვივალენტობაგამოიყენეთ ნიშანი

2. უტოლობათა სისტემის ამოხსნა

პირველი და მეორე უტოლობები არის წილადი რაციონალური უტოლობა. მათი ამოხსნის მეთოდები წრფივი და კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდების ბუნებრივი გაგრძელებაა.

გადავიტანოთ რიცხვები მარჯვენა მხარეს მარცხნივ საპირისპირო ნიშნით.

შედეგად მარჯვენა მხარეს 0 დარჩება.ეს ტრანსფორმაცია ექვივალენტურია. ეს მითითებულია ნიშნით

შევასრულოთ ის მოქმედებები, რომლებსაც ალგებრა განსაზღვრავს. პირველ უტოლობაში გამოვაკლოთ "1" და მეორეში "2".

3. უტოლობის ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით

1) შემოვიღოთ ფუნქცია. ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, როდის არის ეს ფუნქცია 0-ზე ნაკლები.

2) იპოვეთ ფუნქციის დომენი: მნიშვნელი არ უნდა იყოს 0. „2“ არის წყვეტის წერტილი. x=2-ისთვის ფუნქცია განუსაზღვრელია.

3) იპოვეთ ფუნქციის ფესვები. ფუნქცია არის 0, თუ მრიცხველი არის 0.

მითითებული ქულები იშლება რიცხვითი ღერძისამ ინტერვალად - ეს არის ნიშნების მუდმივობის ინტერვალები. თითოეულ ინტერვალზე ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს. განვსაზღვროთ ნიშანი პირველ ინტერვალზე. შეცვალეთ გარკვეული მნიშვნელობა. მაგალითად, 100. გასაგებია, რომ მრიცხველიც და მნიშვნელიც 0-ზე მეტია. ეს ნიშნავს, რომ მთელი წილადი დადებითია.

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები დანარჩენ ინტერვალებზე. x=2 წერტილის გავლისას მხოლოდ მნიშვნელი ცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ მთელი ფრაქცია შეიცვლის ნიშანს და იქნება უარყოფითი. მოდით გავაკეთოთ მსგავსი დისკუსია. x=-3 წერტილის გავლისას მხოლოდ მრიცხველი ცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ წილადი შეიცვლება ნიშანი და იქნება დადებითი.

ვირჩევთ უტოლობის პირობის შესაბამის ინტერვალს. დაჩრდილეთ იგი და ჩაწერეთ უტოლობად

4. უტოლობის ამოხსნა კვადრატული უტოლობის გამოყენებით

მნიშვნელოვანი ფაქტი.

როდესაც შევადარებთ 0-ს (შემთხვევაში მკაცრი უთანასწორობა) წილადი შეიძლება შეიცვალოს მრიცხველისა და მნიშვნელის ნამრავლით, ან შეიძლება შეიცვალოს მრიცხველი ან მნიშვნელი.

ეს იმიტომ ხდება, რომ სამივე უტოლობა მოქმედებს იმ პირობით, რომ u და v განსხვავებული ნიშანი. ეს სამი უტოლობა ტოლია.

ვიყენებთ ამ ფაქტს და ვცვლით წილად-რაციონალურ უტოლობას კვადრატით.

მოვაგვაროთ კვადრატული უტოლობა.

წარმოვიდგინოთ კვადრატული ფუნქცია. ვიპოვოთ მისი ფესვები და ავაშენოთ მისი გრაფიკის ესკიზი.

ასე რომ, პარაბოლას ტოტები მაღლა დგას. ფესვების ინტერვალის შიგნით ფუნქცია ინარჩუნებს ნიშანს. ის უარყოფითია.

ფესვების ინტერვალის გარეთ ფუნქცია დადებითია.

პირველი უტოლობის ამოხსნა:

5. უტოლობის ამოხსნა

შემოვიტანოთ ფუნქცია:

მოდით ვიპოვოთ მისი მუდმივობის ინტერვალები:

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენის ფესვებს და შეწყვეტის წერტილებს. ჩვენ ყოველთვის ვჭრით შესვენების წერტილებს. (x \u003d 3/2) ჩვენ ვჭრით ფესვებს უთანასწორობის ნიშნის მიხედვით. ჩვენი უთანასწორობა მკაცრია. ამიტომ, ჩვენ ამოვჭრათ ფესვი.

დავდოთ ნიშნები:

მოდით დავწეროთ გამოსავალი:

მოდით დავასრულოთ სისტემის გადაწყვეტა. ვიპოვოთ პირველი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთა.

უტოლობათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს პირველი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლისა და მეორე უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის კვეთის პოვნას. ამიტომ, პირველი და მეორე უტოლობა ცალ-ცალკე ამოხსნის შემდეგ, საჭიროა მიღებული შედეგების ჩაწერა ერთ სისტემაში.

გამოვსახოთ პირველი უტოლობის ამონახსნი x-ღერძზე.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოებისთვის, სამართალდამცავი ორგანოებისთვის ან სხვა საზოგადოებისთვის. მნიშვნელოვანი შემთხვევები.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

>> მათემატიკა: რაციონალური უტოლობები

რაციონალური უტოლობა ერთ x ცვლადთან არის ფორმა - რაციონალური გამონათქვამების უტოლობა, ე.ი. ალგებრული გამონათქვამები, შედგება რიცხვებისა და x ცვლადისაგან, შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფისა და ბუნებრივ ხარისხამდე აწევის მოქმედებების გამოყენებით. რა თქმა უნდა, ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი სხვა ასოთი, მაგრამ მათემატიკაში ყველაზე ხშირად ასო x ენიჭება უპირატესობას.

რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას გამოიყენება სამი წესი, რომლებიც ჩამოყალიბდა ზემოთ § 1-ში. ამ წესების დახმარებით მოცემული რაციონალური უტოლობა ჩვეულებრივ გარდაიქმნება ფორმაში / (x) > 0, სადაც / (x) არის ალგებრული. წილადი (ან მრავალწევრი). შემდეგ, დაშალეთ f (x) წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი x - a ფორმის ფაქტორებად (თუ, რა თქმა უნდა, ეს შესაძლებელია) და გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი, რომელიც ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ (იხილეთ მაგალითი 3 წინაში. აბზაცი).

მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობა (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

გადაწყვეტილება.განვიხილოთ გამონათქვამი f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

1,-1,2 წერტილებში ის 0-ზე უბრუნდება; მონიშნეთ ეს წერტილები რიცხვით ხაზზე. რიცხვითი წრფე მითითებული წერტილებით იყოფა ოთხ ინტერვალად (ნახ. 6), რომელთაგან თითოეულზე დაცულია გამოხატულება f (x). მუდმივი ნიშანი. ამის გადასამოწმებლად ჩვენ განვახორციელებთ ოთხ არგუმენტს (თითოეული ამ ინტერვალისთვის ცალკე).

აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (2, ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარჯვნივ და 2 წერტილიდან მარჯვნივ. ეს ნიშნავს, რომ x > -1, x > 1, x > 2 (ნახ. 7). მაგრამ შემდეგ x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0 და აქედან გამომდინარე f (x) > 0 (როგორც სამს რაციონალური უტოლობის ნამრავლი დადებითი რიცხვები). ასე რომ, უტოლობა f (x) > 0 მოქმედებს მთელ ინტერვალზე.

აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (1,2). ეს წერტილი განლაგებულია რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარჯვნივ, მაგრამ 2 წერტილიდან მარცხნივ. აქედან გამომდინარე, x\u003e -1, x\u003e 1, მაგრამ x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (-1,1). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარცხნივ და 2 წერტილიდან მარცხნივ. ასე რომ x > -1, მაგრამ x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (როგორც ორი უარყოფითი და ერთი დადებითი რიცხვის ნამრავლი). ასე რომ, (-1,1) ინტერვალზე მოქმედებს უტოლობა f (x)> 0.

და ბოლოს, აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ღია სხივიდან (-oo, -1). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარცხნივ, 1 წერტილიდან მარცხნივ და 2 წერტილიდან მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

შევაჯამოთ. გამონათქვამის f (x) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებში ნაჩვენებია ნახ. 11. ჩვენ გვაინტერესებს ისინი, რომლებზეც დაკმაყოფილებულია უტოლობა f (x) > 0. ნახზე წარმოდგენილი გეომეტრიული მოდელის გამოყენებით. 11, ჩვენ ვადგენთ, რომ უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია ინტერვალზე (-1, 1) ან ღია სხივზე
პასუხი: -1 < х < 1; х > 2.

მაგალითი 2უტოლობის ამოხსნა
გადაწყვეტილება.როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ ვხატავთ საჭირო ინფორმაციალეღვიდან 11, მაგრამ ორი ცვლილებით მაგალით 1-თან შედარებით. პირველი, რადგან ჩვენ გვაინტერესებს x-ის რომელი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს უტოლობას f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки მეორეც, ჩვენ ასევე კმაყოფილი ვართ იმ წერტილებით, რომლებზეც დაკმაყოფილებულია ტოლობა f (x) = 0. ეს არის წერტილები -1, 1, 2, მათ ფიგურაში მოვნიშნავთ მუქი წრეებით და ჩავრთავთ პასუხში. ნახ. 12 გვიჩვენებს პასუხის გეომეტრიულ მოდელს, საიდანაც არ არის რთული ანალიტიკურ ჩანაწერზე გადასვლა.
პასუხი:
მაგალითი 3.უტოლობის ამოხსნა
გადაწყვეტილება. მოდით ფაქტორზე გავხადოთ უტოლობის მარცხენა მხარეს შემავალი ალგებრული წილადის fx მრიცხველი და მნიშვნელი. მრიცხველში გვაქვს x 2 - x \u003d x (x - 1).

წილადის მნიშვნელში შემავალი x 2 - bx ~ 6 კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციისთვის, ვიპოვით მის ფესვებს. განტოლებიდან x 2 - 5x - 6 \u003d 0 ვპოულობთ x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. აქედან გამომდინარე, (გამოვიყენეთ ფაქტორიზაციის ფორმულა კვადრატული ტრინომიალი: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
ამგვარად, მოცემული უტოლობა ფორმად გადავაქციეთ

განვიხილოთ გამოთქმა:

ამ წილადის მრიცხველი 0-ზე და 1-ზე უბრუნდება 0-ს, ხოლო -1-სა და 6-ზე - 0-ს. ეს წერტილები აღვნიშნოთ რიცხვით წრფეზე (სურ. 13). რიცხვითი წრფე მითითებული წერტილებით იყოფა ხუთ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოხატულება fx) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. კამათით ისევე, როგორც მაგალით 1-ში, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გამოთქმის fx) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებში ისეთია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 13. ჩვენ გვაინტერესებს სად არის უტოლობა f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 პასუხი: -1

მაგალითი 4უტოლობის ამოხსნა

გადაწყვეტილება.რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას, როგორც წესი, ურჩევნიათ დატოვონ მხოლოდ რიცხვი 0 უტოლობის მარჯვენა მხარეს, ამიტომ უტოლობას ვაქცევთ ფორმაში.

Უფრო:

როგორც გამოცდილება გვიჩვენებს, თუ უტოლობის მარჯვენა მხარე შეიცავს მხოლოდ რიცხვს 0, უფრო მოსახერხებელია მსჯელობა, როდესაც მის მარცხენა მხარეს მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც აქვს დადებითი წამყვანი კოეფიციენტი და რა გვაქვს? ჩვენ გვაქვს ყველაფერი წილადის მნიშვნელი ამ თვალსაზრისით თანმიმდევრობით (წამყვანი კოეფიციენტი, ანუ კოეფიციენტი x 2-ზე არის 6 - დადებითი რიცხვი), მაგრამ მრიცხველში ყველაფერი რიგზე არ არის - უფროსი კოეფიციენტი (კოეფიციენტი x-ზე) არის - 4 (უარყოფითი რიცხვი) უტოლობის ორივე მხარის გამრავლებით -1-ზე და უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით, მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას.

გავაფართოვოთ მრიცხველი და მნიშვნელი ალგებრული წილადიმულტიპლიკატორებისთვის. მრიცხველში ყველაფერი მარტივია:
წილადის მნიშვნელში შემავალი კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება

(ჩვენ კვლავ გამოვიყენეთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა).
ამგვარად, მოცემული უტოლობა ფორმამდე შევამცირეთ

განიხილეთ გამოხატულება

ამ წილადის მრიცხველი წერტილში უხვევს 0-ს, ხოლო მნიშვნელს - წერტილებში, ამ წერტილებს აღვნიშნავთ რიცხვით წრფეზე (სურ. 14), რომელიც მითითებული წერტილებით იყოფა ოთხ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოსახულებას. f (x) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს (ეს ნიშნები მითითებულია სურ. 14-ზე). ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებზეც არის უტოლობა fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ გადავაქციეთ მოცემული უტოლობა ფორმის ეკვივალენტურ უტოლობად f (x) > 0 ან f (x)<0,где
ამ შემთხვევაში, წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. შემდეგ რიცხვით წრფეზე აღინიშნა a, b, c, e წერტილები. და განსაზღვრა f (x) გამოხატვის ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებზე. ჩვენ შევამჩნიეთ, რომ შერჩეული ინტერვალების მარჯვნივ, უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია, შემდეგ კი გამოხატვის f (x) ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება ინტერვალების გასწვრივ (იხ. სურ. 16a). ეს მონაცვლეობა მოხერხებულად არის ილუსტრირებული ტალღოვანი მრუდის დახმარებით, რომელიც დახატულია მარჯვნიდან მარცხნივ და ზემოდან ქვევით (სურ. 166). იმ ინტერვალებზე, სადაც ეს მრუდი (მას ზოგჯერ ნიშანთა მრუდსაც უწოდებენ) მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ, დაკმაყოფილებულია უტოლობა f (x) > 0; სადაც ეს მრუდი მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, უტოლობა f (x)< 0.

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობა

გადაწყვეტილება.Ჩვენ გვაქვს

(წინა უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლდა 6-ზე).
ინტერვალის მეთოდის გამოსაყენებლად, მონიშნეთ წერტილები რიცხვთა წრფეზე (ამ წერტილებში ქრება უტოლობის მარცხენა მხარეს არსებული წილადის მრიცხველი) და ქულები (ამ წერტილებში ქრება მითითებული წილადის მნიშვნელი). ჩვეულებრივ, წერტილები სქემატურად არის მონიშნული, იმის გათვალისწინებით, თუ რა თანმიმდევრობით მიჰყვებიან (რომელი არის მარჯვნივ, რომელი მარცხნივ) და განსაკუთრებით არ აქცევენ ყურადღებას მასშტაბს. გასაგებია რომ ციფრებთან სიტუაცია უფრო რთულია, პირველი შეფასებით ჩანს, რომ ორივე რიცხვი ოდნავ აღემატება 2,6-ს, საიდანაც შეუძლებელია დავასკვნათ, რომელია მითითებულ რიცხვებში უფრო დიდი და რომელი უფრო მცირე. დავუშვათ (შემთხვევით) რომ მაშინ
აღმოჩნდა სწორი უთანასწორობა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენი ვარაუდი დადასტურდა: ფაქტობრივად
Ისე,

მითითებულ 5 წერტილს მითითებული თანმიმდევრობით ვნიშნავთ რიცხვით ხაზზე (სურ. 17ა). დაალაგეთ გამოხატვის ნიშნები
მიღებულ ინტერვალებზე: ძალიან მარჯვნივ - ნიშანი +, შემდეგ კი ნიშნები მონაცვლეობით (სურ. 176). დავხატოთ ნიშნების მრუდი და ავირჩიოთ (დაჩრდილვით) ის ინტერვალები, რომლებზეც ჩვენთვის საინტერესო უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია (სურ. 17c). დაბოლოს, მხედველობაში გვაქვს, რომ საუბარია არამკაცრ უტოლობაზე f (x) > 0, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე გვაინტერესებს ის წერტილები, რომლებშიც გამოსახულება f (x) ქრება. ეს არის f (x) წილადის მრიცხველის ფესვები, ე.ი. ქულები ჩვენ აღვნიშნავთ მათ ნახ. 17 მუქ წრეებში (და, რა თქმა უნდა, შეიტანეთ პასუხში). ახლა აქ არის სურათი. 17c იძლევა სრულ გეომეტრიულ მოდელს მოცემული უტოლობის ამოხსნისთვის.