និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេ - គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ មាននិយមន័យជាច្រើននៃគំនិតនេះ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាលេខដែលកំណត់កម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។

លទ្ធផលតេស្តនីមួយៗដែលអាចធ្វើបានត្រូវបានគេហៅថា លទ្ធផលបឋម (ព្រឹត្តិការណ៍បឋម) ។ការរចនា៖ ...,

លទ្ធផលបឋមទាំងនោះដែលព្រឹត្តិការណ៍នៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងកើតឡើងយើងនឹងហៅ អំណោយផល។

ឧទាហរណ៍៖ក្នុង​កោដ្ឋ ១០ បាល់ដូចគ្នា។ក្នុង​នោះ​មាន​៤​ពណ៌​ខ្មៅ​៦​ពណ៌​ស​។ ព្រឹត្តិការណ៍ - បាល់ពណ៌សមួយត្រូវបានដកចេញពីកោដ្ឋ។ ចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលដែលបាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋគឺ 4 ។

សមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលបឋមដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ទៅនឹងចំនួនសរុបរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍។ កំណត់សំគាល់ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។គឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍នេះទៅនឹងចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមដែលមិនឆបគ្នាដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាដែលបង្កើតបាន។ ក្រុមពេញ,

តើចំនួនលទ្ធផលបឋមដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍នោះនៅឯណា ; ចំនួននៃលទ្ធផលបឋមដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃការធ្វើតេស្ត។

លក្ខណៈសម្បត្តិប្រូបាប៊ីលីតេ៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងមួយ, i.e.

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ, i.e.អ៊ី

3. ប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមាន លេខវិជ្ជមានរវាងសូន្យ និងមួយ, i.e.អ៊ី

ឬ

ដោយគិតពីលក្ខណៈសម្បត្តិ 1 និង 2, ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយបំពេញវិសមភាព

4 . រូបមន្តមូលដ្ឋានបន្សំ

Combinatorics សិក្សាចំនួននៃបន្សំដែលស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ ដែលអាចបង្កើតឡើងពីសំណុំកំណត់នៃធាតុផ្សំនៃធម្មជាតិបំពាន។ នៅពេលគណនាដោយផ្ទាល់ ប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត combinatorics ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ យើងធ្វើបទបង្ហាញអំពីពួកវាដែលប្រើជាទូទៅបំផុត។

ការផ្លាស់ប្តូរហៅថាបន្សំដែលផ្សំឡើងដោយភាពដូចគ្នា។ ធាតុផ្សេងៗនិងខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់ដែលពួកគេមានទីតាំងនៅ។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមាន

កន្លែងណា វាត្រូវបានទទួលយក

ឧទាហរណ៍។ចំនួនលេខបីខ្ទង់នៅពេលដែលខ្ទង់នីមួយៗត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបភាព លេខបីខ្ទង់តែម្តងគត់

ទីតាំងហៅថាបន្សំផ្សំឡើងពីធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុដែលខុសគ្នាទាំងនៅក្នុងសមាសភាពនៃធាតុឬតាមលំដាប់របស់វា។ ចំនួនកន្លែងដែលអាចមានទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍។ចំនួនសញ្ញាពី 6 ទង់ ពណ៌ផ្សេងគ្នាចាប់យកដោយ 2:

បន្សំហៅថាបន្សំដែលបង្កើតឡើងដោយធាតុផ្សេងគ្នាដោយធាតុដែលខុសគ្នាដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ចំនួនបន្សំ

ឧទាហរណ៍។ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសពីរផ្នែកពីប្រអប់ដែលមាន 10 ផ្នែក៖

ចំនួននៃការដាក់ ការផ្លាស់ប្តូរ និងបន្សំត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាព

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា បន្សំប្រើ អនុវត្តតាមច្បាប់:

ច្បាប់បូក. ប្រសិនបើវត្ថុមួយចំនួនអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីសំណុំនៃវត្ថុតាមវិធី ហើយវត្ថុផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី បន្ទាប់មកទាំង ឬអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី។

ច្បាប់ផលិតផល. ប្រសិនបើវត្ថុអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីបណ្តុំនៃវត្ថុតាមវិធី ហើយបន្ទាប់ពីការជ្រើសរើសនីមួយៗ វត្ថុអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី បន្ទាប់មកវត្ថុមួយគូនៅក្នុងលំដាប់នោះអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី។

ប្រេកង់ដែលទាក់ទងផងដែរ។ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រេកង់ដែលទាក់ទងព្រឹត្តិការណ៍គឺជាសមាមាត្រនៃចំនួននៃការសាកល្បងដែលព្រឹត្តិការណ៍នេះបានបង្ហាញខ្លួនទៅនឹងចំនួនសរុបនៃការសាកល្បងដែលបានអនុវត្តជាក់ស្តែង ហើយត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

,

តើចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងនៅឯណា? ចំនួនសរុបការធ្វើតេស្ត។

ការប្រៀបធៀបនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ និង ប្រេកង់ដែលទាក់ទងយើងសន្និដ្ឋានថាការកំណត់នៃប្រូបាប៊ីលីតេមិនតម្រូវឱ្យមានការធ្វើតេស្តទេ ហើយការកំណត់នៃប្រេកង់ដែលទាក់ទងពាក់ព័ន្ធនឹងការធ្វើតេស្តជាក់ស្តែង។

ការសង្កេតរយៈពេលវែងបង្ហាញថានៅពេលធ្វើការពិសោធន៍នៅក្នុង លក្ខខណ្ឌដូចគ្នា។ប្រេកង់ដែលទាក់ទងមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃស្ថេរភាព។ លក្ខណៈសម្បត្តិនេះមាននៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងស៊េរីផ្សេងគ្នានៃការពិសោធន៍ ប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃការធ្វើតេស្តប្រែប្រួលតិចតួចពីស៊េរីមួយទៅស៊េរី ដោយប្រែប្រួលជុំវិញចំនួនថេរជាក់លាក់មួយ។ វា។ ចំនួនថេរហើយមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍។

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ មានគុណវិបត្តិមួយចំនួន៖

1) ចំនួននៃលទ្ធផលបឋមនៃការធ្វើតេស្តនេះគឺមានកំណត់, នៅក្នុងការអនុវត្តចំនួននេះអាចគ្មានកំណត់;

2) ជាញឹកញាប់ណាស់ លទ្ធផលតេស្តមិនអាចត្រូវបានតំណាងជាសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម;

សម្រាប់ហេតុផលទាំងនេះ រួមជាមួយនឹងនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ មនុស្សម្នាក់ប្រើ និយមន័យស្ថិតិ: ក្នុងគុណភាព ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ ព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងលើប្រេកង់ដែលទាក់ទង។

វាត្រូវបានគេដឹងថាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដោយសារតែការសាកល្បងអាចឬមិនអាចកើតឡើង។ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយសម្រាប់ ព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងគ្នាមានលទ្ធភាពផ្សេងគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងដូចគ្នា។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។ ប្រសិនបើមានបាល់ដូចគ្នាចំនួនមួយរយដែលលាយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ននៅក្នុងកោដ្ឋ ហើយក្នុងចំណោមនោះមានតែដប់ប៉ុណ្ណោះដែលមានពណ៌ខ្មៅ ហើយនៅសល់គឺពណ៌ស នោះនៅពេលដែលបាល់មួយត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ។ លទ្ធភាពកាន់តែច្រើនដែលនឹងលេចឡើងគឺពិតជាពណ៌ស។ លទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើងនៅក្នុង ការធ្វើតេស្តនេះ។មានរង្វាស់ជាលេខ ដែលត្រូវបានគេហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ ហើយយោងទៅតាមទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ អ្នកអាចគណនានូវអ្វីដែលជាឱកាសនៃការឃើញបាល់ខ្មៅ ឬស។

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

សន្មតថាក្នុងអំឡុងពេលការធ្វើតេស្តជាក់លាក់មួយ $n$ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលទំនងដូចគ្នាបឋមអាចកើតឡើង។ នៃចំនួននេះ លេខ $m$ គឺជាចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមទាំងនោះ ដែលអនុគ្រោះដល់រូបរាងនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់ $A$ ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ គឺជាទំនាក់ទំនង $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $។

ឧទាហរណ៍ #1 ។

កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស ៣ និង​ខ្មៅ ៥ ដែល​ខុស​គ្នា​តែ​ពណ៌​ប៉ុណ្ណោះ។ ការធ្វើតេស្តគឺដើម្បីគូរបាល់មួយដោយចៃដន្យពីកោដ្ឋ។ ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ត្រូវបានចាត់ទុកថាជា "រូបរាងនៃបាល់ពណ៌ស" ។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ។

ក្នុងអំឡុងពេលធ្វើតេស្ត បាល់ណាមួយក្នុងចំណោមបាល់ទាំងប្រាំបីអាចត្រូវបានយកចេញ។ ព្រឹត្តិការណ៍​ទាំង​អស់​នេះ​គឺ​ជា​រឿង​បឋម ដោយ​សារ​តែ​វា​មិន​ត្រូវ​គ្នា និង​បង្កើត​ជា​ក្រុម​ពេញលេញ។ វាក៏ច្បាស់ដែរថាព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នេះគឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(A\right)$ យើងអាចអនុវត្តនិយមន័យបុរាណរបស់វា។ ជាដំណោះស្រាយ យើងមាន៖ $n=8$, $m=3$ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងការស្រង់ចេញពណ៌សពិតចេញពីបាល់នឹងស្មើនឹង $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមធ្វើតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖

• ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់ $V$ គឺតែងតែស្មើនឹងមួយ ពោលគឺ $P\left(V\right)=1$; នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយត្រូវបានពេញចិត្តដោយព្រឹត្តិការណ៍បឋមទាំងអស់ ពោលគឺ $m=n$;
• ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច $H$ តែងតែស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺ $P\left(H\right)=0$; នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមបឋមសិក្សាដែលពេញចិត្តនឹងព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចនោះទេ ពោលគឺ $m=0$;
• ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យណាមួយ $A$ តែងតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ $0

ដូច្នេះនៅក្នុង ករណីទូទៅប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយបំពេញនូវវិសមភាព $0\le P\left(A\right)\le 1$ ។

ប្រេកង់ដែលទាក់ទងនិងស្ថេរភាពរបស់វា។

និយមន័យ ១

ឧបមាថាវាច្បាស់ណាស់។ មួយ​ចំនួន​ធំ​នៃការធ្វើតេស្តនីមួយៗអាចឬមិនកើតឡើង ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់$A$ ។ ការធ្វើតេស្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាស៊េរីនៃការធ្វើតេស្ត។

សន្មតថាស៊េរីនៃការសាកល្បង $n$ ត្រូវបានដំណើរការដែលព្រឹត្តិការណ៍ $A$ កើតឡើង $m$ ដង។ នៅទីនេះលេខ $m$ ត្រូវបានគេហៅថាប្រេកង់ដាច់ខាតនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ហើយសមាមាត្រ $\frac(m)(n) $ ត្រូវបានគេហៅថាប្រេកង់ទាក់ទងនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ។ ឧទាហរណ៍ ចេញពី $n=20$ បំពង់ពន្លត់អគ្គីភ័យដែលប្រើកំឡុងពេលឆេះនោះ $m=3$ បំពង់ពន្លត់អគ្គីភ័យមិនដំណើរការទេ (ព្រឹត្តិការណ៍ $A$)។ នៅទីនេះ $m=3$ គឺជាប្រេកង់ដាច់ខាតនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ហើយ $\frac(m)(n) =\frac(3)(20)$ គឺជាប្រេកង់ដែលទាក់ទង។

បទពិសោធន៍ជាក់ស្តែង និង ធម្មតាណែនាំថាសម្រាប់ $n$ តូច តម្លៃនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទងមិនអាចមានស្ថេរភាព ប៉ុន្តែប្រសិនបើចំនួននៃការធ្វើតេស្តត្រូវបានកើនឡើង នោះតម្លៃនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទងគួរមានស្ថេរភាព។

ឧទាហរណ៍ #2 ។

ដើម្បី​ចូល​រួម​ក្នុង​ក្រុម គ្រូ​បង្វឹក​ជ្រើស​រើស​ក្មេង​ប្រុស​ប្រាំ​នាក់​ក្នុង​ចំណោម​ដប់​នាក់។ តើ​គាត់​អាច​បង្កើត​ក្រុម​បាន​ប៉ុន្មាន​របៀប​ប្រសិនបើ​ក្មេងប្រុស​ជាក់លាក់​ពីរ​នាក់​ដែល​បង្កើត​ជា​ឆ្អឹងខ្នង​ក្រុម​ត្រូវតែ​នៅក្នុង​ក្រុម?

ស្របតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាក្មេងប្រុសពីរនាក់នឹងចូលក្នុងក្រុមភ្លាមៗ។ ដូច្នេះហើយ វានៅតែត្រូវជ្រើសរើសក្មេងប្រុសបីនាក់ក្នុងចំណោមប្រាំបីនាក់។ ក្នុងករណីនេះមានតែសមាសភាពប៉ុណ្ណោះដែលមានសារៈសំខាន់ព្រោះតួនាទីរបស់សមាជិកក្រុមទាំងអស់មិនខុសគ្នាទេ។ នេះមានន័យថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយបន្សំ។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ $n$ ដោយ $m$ គឺជាបន្សំដែលមានធាតុ $m$ ហើយខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ ប៉ុន្តែមិនមែនតាមលំដាប់នៃធាតុនោះទេ។

ចំនួនបន្សំត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

ដូច្នេះបរិមាណ វិធីផ្សេងៗបង្កើតក្រុមមួយក្នុងចំនួនក្មេងប្រុសបីនាក់ដោយជ្រើសរើសពួកគេពីក្មេងប្រុសប្រាំបី - នេះគឺជាចំនួនបន្សំនៃ 8 ធាតុនៃ 3:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

ឧទាហរណ៍ #3

សៀវភៅចំនួន 15 ក្បាលត្រូវបានដាក់ដោយចៃដន្យនៅលើធ្នើក្នុងការិយាល័យ ដែល 5 ក្បាលនោះស្ថិតក្នុងពិជគណិត។ គ្រូយកសៀវភៅបីក្បាលដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់សៀវភៅមួយក្បាលដែលបានយកជាពិជគណិត។

ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ (យ៉ាងហោចណាស់សៀវភៅមួយក្នុងចំណោមសៀវភៅទាំងបីដែលបានយកគឺជាសៀវភៅពិជគណិត) និង $\bar(A)$ (គ្មានសៀវភៅណាមួយក្នុងចំណោមសៀវភៅទាំងបីដែលបានយកជាសៀវភៅពិជគណិត) គឺផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះ P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. ហេតុនេះ P(A) = 1-P($\bar(A)$) ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ P(A) = 1 - $C_(10)^(3) \\, /C_(15)^(3) \\, $= 1 - 24/91 = 67/91 ។

ឧទាហរណ៍ #4

ក្នុង​ចំណោម​ក្រុមហ៊ុន​ភាគហ៊ុន​រួម​ទាំង​២០ មាន​ក្រុមហ៊ុន​បរទេស​ចំនួន ៤។ ពលរដ្ឋ​ម្នាក់​បាន​ទិញ​ភាគហ៊ុន​មួយ​នៃ​ក្រុមហ៊ុន​ភាគហ៊ុន​រួម​ចំនួន​ប្រាំមួយ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលភាគហ៊ុនដែលបានទិញពីរនឹងក្លាយជាភាគហ៊ុនរបស់ក្រុមហ៊ុនភាគហ៊ុនរួមបរទេស?

ចំនួនសរុបនៃការរួមបញ្ចូលគ្នានៃការជ្រើសរើសក្រុមហ៊ុនរួមគ្នាគឺស្មើនឹងចំនួនបន្សំពី 20 ដល់ 6 ពោលគឺ $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $។ ចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលត្រូវបានកំណត់ជាផលិតផលនៃ $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^( (\rm 4) ) $ ដែលកត្តាទីមួយបង្ហាញពីចំនួននៃការបញ្ចូលគ្នានៃជម្រើសរបស់ក្រុមហ៊ុនភាគហ៊ុនរួមបរទេសក្នុងចំណោមបួន។ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នាបែបនេះ ក្រុមហ៊ុនភាគហ៊ុនរួមគ្នាដែលមិនមែនជាបរទេសអាចជួបបាន។ ចំនួននៃការបញ្ចូលគ្នានៃក្រុមហ៊ុនភាគហ៊ុនរួមគ្នាបែបនេះនឹងជា $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានត្រូវបានសរសេរជា $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\ rm 16 ))^((\rm 4)))((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$។

ឧទាហរណ៍ #5

មានផ្នែកមិនស្តង់ដារចំនួន 4 ក្នុងមួយបាច់នៃ 18 ផ្នែក។ 5 បំណែកត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកទាំងពីរក្នុងចំណោម 5 ផ្នែកនេះមិនមានលក្ខណៈស្តង់ដារ។

ចំនួននៃលទ្ធផលដែលមិនឆបគ្នាដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នា $n$ គឺស្មើនឹងចំនួនបន្សំពី 18 ដល់ 5, i.e. $n=C_(18)^(5) =8568$។

ចូររាប់ចំនួនលទ្ធផល $m$ ដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍ A. ក្នុងចំណោមព័ត៌មានលម្អិតទាំង 5 ដែលធ្វើឡើងដោយចៃដន្យ គួរតែមាន 3 ស្តង់ដារ និង 2 ដែលមិនស្តង់ដារ។ ចំនួននៃវិធីដើម្បីយកគំរូពីរគឺមិនមែនទេ។ ផ្នែកស្តង់ដារក្នុងចំណោម 4 ដែលមិនមានស្តង់ដារដែលមានគឺស្មើនឹងចំនួនបន្សំពី 4 ទៅ 2: $C_(4)^(2) =6$ ។

ចំនួនវិធីដើម្បីជ្រើសរើសផ្នែកស្តង់ដារចំនួនបីពី 14 ផ្នែកស្តង់ដារដែលមានគឺ $C_(14)^(3) = 364$ ។

ក្រុមនៃផ្នែកស្តង់ដារណាមួយអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយក្រុមនៃផ្នែកដែលមិនស្តង់ដារណាមួយ ដូច្នេះចំនួនសរុបនៃបន្សំ $m$ គឺ $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$ ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាននៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផល $m$ ដែលអនុគ្រោះព្រឹត្តិការណ៍ទៅចំនួន $n$ នៃប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នាទាំងអស់ និង ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។$P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$

ឧទាហរណ៍ #6 ។

កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ខ្មៅ​ចំនួន​៥ និង​គ្រាប់​ស​ចំនួន​៦ ។ បាល់ចំនួន 4 ត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់មានបាល់ពណ៌សមួយក្នុងចំនោមពួកគេ។

អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ $$ យ៉ាងហោចណាស់មួយពណ៌សក្នុងចំណោមបាល់ដែលបានគូរ។

ពិចារណា ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ$\bar()$ - គ្មានបាល់ណាមួយដែលគូរមានពណ៌សទេ។ ដូច្នេះបាល់ទាំង 4 ដែលគូរគឺខ្មៅ។

យើងប្រើរូបមន្តផ្សំ។

ចំនួនវិធីដើម្បីយកបាល់ចំនួនបួនចេញពីដប់មួយ៖

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

ចំនួនវិធីដើម្បីយកបាល់ខ្មៅចំនួនបួនចេញពីដប់មួយ៖

$m=!_(5)^(4)=\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

យើងទទួលបាន៖ $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330)=\frac(1)(66)$; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $។

ចម្លើយ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានបាល់ពណ៌សក្នុងចំនោមបាល់ទាំងបួនដែលគូរគឺស្មើនឹង $\frac(65)(66) $។

និយមន័យ. អនុញ្ញាតឱ្យចូល ន ការពិសោធន៍ម្តងហើយម្តងទៀត (ការធ្វើតេស្ត) ព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន ប៉ុន្តែ មក n ក ម្តង។

ចំនួន n ក ហៅថាភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ , និងសមាមាត្រ

ត្រូវបានគេហៅថាប្រេកង់ទាក់ទង (ឬប្រេកង់) នៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ នៅក្នុងស៊េរីនៃការធ្វើតេស្តនេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិប្រេកង់ដែលទាក់ទង

ប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃព្រឹត្តិការណ៍មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម។

1. ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពីសូន្យទៅមួយ ពោលគឺឧ។

2. ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ, i.e.

3. ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺ 1, i.e.

4. ប្រេកង់នៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រេកង់ (ប្រេកង់) នៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ i.e. ប្រសិនបើ = Ø បន្ទាប់មក

ប្រេកង់មាន ទ្រព្យសម្បត្តិ ហៅថាទ្រព្យ ស្ថេរភាពស្ថិតិ : ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួននៃការពិសោធន៍ (ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការកើនឡើង ន ) ប្រេកង់នៃព្រឹត្តិការណ៍មួយយកតម្លៃជិតទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ រ .

និយមន័យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ Aលេខជុំវិញដែលប្រេកង់ទាក់ទងនៃព្រឹត្តិការណ៍ប្រែប្រួលត្រូវបានគេហៅថា ប៉ុន្តែ នៅគ្រប់គ្រាន់ លេខធំការធ្វើតេស្ត (ការពិសោធន៍) ន .

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ តំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា រ (ប៉ុន្តែ ) ឬ រ (ប៉ុន្តែ ) រូបរាងនៃអក្សរជានិមិត្តសញ្ញានៃគំនិតនៃ "ប្រូបាប៊ីលីតេ" រ កំណត់ដោយវត្តមានរបស់វានៅក្នុងកន្លែងដំបូងនៅក្នុង ពាក្យអង់គ្លេស ប្រូបាប៊ីលីតេ - ប្រូបាប៊ីលីតេ។

យោង​ទៅ​តាម និយមន័យនេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ

1. ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ប៉ុន្តែគឺនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ ឧ.

2. ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច ( ប៉ុន្តែ= Ø) ស្មើនឹងសូន្យ, i.e.

3. ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ ( ប៉ុន្តែ= Ω) ស្មើនឹងមួយ ឧ.

4. ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ មិនឆបគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ i.e. ប្រសិនបើ ក ខ= Ø បន្ទាប់មក

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

អនុញ្ញាតឱ្យការពិសោធន៍ត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ ន លទ្ធផល​ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ថា​ជា​ក្រុម​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​ទំនង​ជា​មិន​ត្រូវ​គ្នា​។ ករណី​ដែល​បង្ក​ឱ្យ​មាន​ហេតុការណ៍​កើតឡើង ប៉ុន្តែ , ត្រូវបានគេហៅថាអំណោយផលឬអំណោយផល, i.e. កើតឡើង វ បណ្តាលឱ្យព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែ , វ៉ា .

និយមន័យ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែ ហៅថាសមាមាត្រនៃចំនួន ម ករណីអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍នេះ ដល់ចំនួនសរុប ន ករណី, i.e.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រូបាប៊ីលីតេ "បុរាណ"

1. Axiom ភាពមិនអវិជ្ជមាន ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ប៉ុន្តែគឺមិនអវិជ្ជមាន, i.e.

រ(ប៉ុន្តែ) ≥ 0.

2. Axiom ការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតា។ ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់ ( ប៉ុន្តែ= Ω) ស្មើនឹងមួយ៖

3. Axiom ការបន្ថែម ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូក មិនឆបគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ (ឬប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាមួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរ) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើ ក ខ= Ø បន្ទាប់មក

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ រ() = 1 – រ(ប៊ុត)

សម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលជាផលបូក ណាមួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ប៉ុន្តែនិង AT,រូបមន្តត្រឹមត្រូវគឺ៖

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេមិនអាចកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមួយក្នុងពេលតែមួយ, i.e. នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រសិនបើ ក ខ – ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចបន្ទាប់មកពួកគេត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ ឬ មិនឆបគ្នា។ , ហើយ​បន្ទាប់​មក រ(ក ខ) = 0 និងរូបមន្តសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងលើទម្រង់សាមញ្ញពិសេសមួយ៖

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេអាចកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមួយ ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា ឆបគ្នា។ .

ក្បួនដោះស្រាយមានប្រយោជន៍

នៅពេលស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដោយប្រើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមគួរតែត្រូវបានអនុវត្តតាម។

1. ចាំបាច់ត្រូវយល់ច្បាស់ថាការពិសោធន៍គឺជាអ្វី។

2. បញ្ជាក់ឱ្យបានច្បាស់ថាព្រឹត្តិការណ៍ជាអ្វី ប៉ុន្តែ, ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវបានរកឃើញ។

3. បង្កើតឱ្យបានច្បាស់លាស់នូវអ្វីដែលនឹងបង្កើតជាព្រឹត្តិការណ៍បឋមនៅក្នុងបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា។ ដោយបានបង្កើត និងកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍បឋមមួយ គួរតែពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌចំនួនបីដែលត្រូវតែពេញចិត្តដោយសំណុំនៃលទ្ធផល ពោលគឺឧ។ Ω

6. តាម និយមន័យបុរាណប្រូបាប៊ីលីតេ, កំណត់

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា កំហុសទូទៅបំផុត គឺ​ជា​ការ​យល់​មិន​ច្បាស់​អំពី​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បាន​យក​ជា​ព្រឹត្តិការណ៍​បឋម វ និងភាពត្រឹមត្រូវនៃការសាងសង់សំណុំ និងភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យលើនេះ។ ជាធម្មតា នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង លទ្ធផលដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺត្រូវបានយកជាព្រឹត្តិការណ៍បឋម ដែលមិនអាច "បំបែក" ទៅជាអ្វីដែលសាមញ្ញជាងនេះបានទេ។

ប្រេកង់ដែលទាក់ទង។ ស្ថេរភាពប្រេកង់ដែលទាក់ទង

ប្រេកង់ដែលទាក់ទង រួមជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រេកង់ដែលទាក់ទងព្រឹត្តិការណ៍សំដៅទៅលើសមាមាត្រនៃចំនួននៃការសាកល្បងដែលព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើងចំពោះចំនួនសរុបនៃការសាកល្បងដែលបានអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

ដែល m ជាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ n គឺជាចំនួនសរុបនៃការសាកល្បង។

ដោយប្រៀបធៀបនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងប្រេកង់ដែលទាក់ទង យើងសន្និដ្ឋាន៖ និយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេមិនតម្រូវឱ្យការធ្វើតេស្តត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងការពិតទេ។ ការ​កំណត់​នៃ​ប្រេកង់​ដែល​ទាក់ទង​នឹង​សន្មត​ថា​ការ​ធ្វើ​តេស្ត​ពិត​ជា​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគណនាមុនពេលបទពិសោធន៍ និងប្រេកង់ដែលទាក់ទងបន្ទាប់ពីបទពិសោធន៍។

ឧទាហរណ៍ ១. នាយកដ្ឋានត្រួតពិនិត្យបច្ចេកទេសបានរកឃើញផ្នែកមិនស្តង់ដារចំនួន 3 នៅក្នុងក្រុមនៃ 80 ផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃផ្នែកដែលមិនមានលក្ខណៈស្តង់ដារ

ឧទាហរណ៍ ២ការបាញ់ប្រហារចំនួន 24 ត្រូវបានបាញ់ទៅគោលដៅហើយ 19 គ្រាប់ត្រូវបានចុះឈ្មោះ។ អត្រាការប៉ះទង្គិចដែលទាក់ទង

ការសង្កេតរយៈពេលវែងបានបង្ហាញថាប្រសិនបើការពិសោធន៍ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នាដែលនីមួយៗនៃការធ្វើតេស្តមានទំហំធំគ្រប់គ្រាន់នោះប្រេកង់ដែលទាក់ទងបង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃស្ថេរភាព។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺ តើមានអ្វីនៅក្នុង បទពិសោធន៍ផ្សេងៗប្រេកង់ដែលទាក់ទងផ្លាស់ប្តូរតិចតួច (តិច ការធ្វើតេស្តកាន់តែច្រើនត្រូវបានធ្វើឡើង) ប្រែប្រួលជុំវិញចំនួនថេរជាក់លាក់។. វាបានប្រែក្លាយថាចំនួនថេរនេះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ ជាក់ស្តែងប្រេកង់ដែលទាក់ទងត្រូវបានកំណត់ បន្ទាប់មកលេខលទ្ធផលអាចត្រូវបានយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ទំនាក់ទំនងរវាងប្រេកង់ទាក់ទង និងប្រូបាប៊ីលីតេនឹងត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិត និងច្បាស់លាស់ជាងនេះនៅខាងក្រោម។ ឥឡូវ​នេះ​សូម​ឲ្យ​យើង​បង្ហាញ​អំពី​លក្ខណៈ​ស្ថិរភាព​ជាមួយ​នឹង​ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ៣យោងតាមស្ថិតិស៊ុយអែតប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃកំណើតរបស់ក្មេងស្រីនៅឆ្នាំ 1935 ដោយខែត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយលេខខាងក្រោម (លេខត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់នៃខែចាប់ពីខែមករា): 0.486; ០.៤៨៩; ០.៤៩០; ០.៤៧១; ០.៤៧៨; ០.៤៨២; ០.៤៦២; ០.៤៨៤; ០.៤៨៥; ០.៤៩១; ០.៤៨២; ០.៤៧៣.

ប្រេកង់ទាក់ទងប្រែប្រួលជុំវិញលេខ 0.482 ដែលអាចយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមានក្មេងស្រី។

ចំណាំថាស្ថិតិ ប្រទេសផ្សេងៗផ្តល់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទង។

ឧទាហរណ៍ 4. ការពិសោធន៍ម្តងហើយម្តងទៀតត្រូវបានអនុវត្តដោយបោះកាក់ដែលរាប់ចំនួននៃការលេចឡើងនៃ "អាវធំ" ។ លទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ជាច្រើនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង។ មួយ។

នៅទីនេះ ហ្វ្រេកង់ដែលទាក់ទងខុសគ្នាបន្តិចពីលេខ 0.5 ហើយចរន្តគឺតិចជាង ចំនួនច្រើនទៀតការធ្វើតេស្ត។ ជាឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងការសាកល្បង 4040 គម្លាតគឺ 0.0069 ហើយជាមួយនឹងការសាកល្បង 24,000 វាគឺត្រឹមតែ 0.0005 ។ ដោយពិចារណាថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "អាវធំ" ដែលលេចឡើងនៅពេលដែលកាក់ត្រូវបានបោះចោលគឺ 0.5 យើងឃើញម្តងទៀតថាប្រេកង់ដែលទាក់ទង។ ប្រែប្រួលជុំវិញប្រូបាប៊ីលីតេ។