Valori absolute și clasificarea lor.

Valori absolutesunt rezultatele observatii statistice. În statistică, spre deosebire de matematică, toate valorile absolute au o dimensiune (o unitate de măsură) și pot fi, de asemenea, pozitive și negative.

Unitățivalorile absolute reflectă proprietățile unităților populației statistice și pot fi simplu , reflectând 1 proprietate (de exemplu, masa încărcăturii se măsoară în tone) sau complex , reflectând mai multe proprietăți interdependente (de exemplu, tonă-kilometru sau kilowatt-oră).

Unitățivalorile absolute pot fi 3 feluri:

1. natural - sunt folosite pentru a calcula cantități cu proprietăți omogene (de exemplu, bucăți, tone, metri etc.). Dezavantajul lor este că nu permit însumarea unor cantități diferite.
2. Condițional natural- aplicat la valori absolute cu proprietăți omogene, dar exprimându-le în moduri diferite. De exemplu, greutate totală surse de energie (lemn, turba, cărbune, produse petroliere, gaz natural) se măsoară în tce — tone de combustibil de referință, deoarece fiecare dintre tipurile sale are un alt valoare calorica, iar 29,3 mJ/kg a fost luat ca standard. În mod similar total caietele școlare se măsoară în us.sh.t. — condiționată caiete de școală Dimensiunea 12 coli. În mod similar, produsele din conserve sunt măsurate în a.c.b. - bidoane conditionate cu o capacitate de 1/3 litru. La fel produse detergenti este redusă la un conținut condiționat de grăsime de 40%.
3. Cost unitățile de măsură sunt exprimate în ruble sau în altă monedă, reprezentând o măsură a valorii unei valori absolute. Ele fac posibilă rezumarea valorilor chiar și eterogene, dar dezavantajul lor este că este necesar să se ia în considerare factorul inflației, astfel încât statisticile recalculează întotdeauna valorile costurilor în prețuri comparabile.

Valorile absolute pot fi momentane sau interval. Momentan valorile absolute arată nivelul fenomenului sau procesului studiat anumit moment ora sau data (de exemplu, suma de bani din buzunar sau valoarea mijloacelor fixe în prima zi a lunii). Interval valorile absolute sunt rezultatul final acumulat pentru anumită perioadă(interval) de timp (de exemplu, salariu pentru o lună, un trimestru sau un an). Valorile absolute de interval, spre deosebire de cele de moment, permit însumarea ulterioară.

Se notează statistica absolută X , si al lor numărul totalîn agregatul statistic - N.

Numărul de valori cu aceeași valoare semnul este notat f și se numește frecvență (recurență, apariție).

Absolute în sine statistici nu da vedere completă despre fenomenul studiat, deoarece acestea nu arată dinamica, structura, relația dintre părți ale acestuia. În aceste scopuri, se folosesc valori statistice relative.

Kemerovo

MOU „Medie şcoală cuprinzătoare nr. 37"

curs opțional opțional

pentru elevii din clasele 10-11

Ecuații, inegalități și sisteme,

Compilat de:

Kaplunova Zoia Nikolaevna

profesor de matematică

Notă explicativă………………………………………..pagina 2

Plan educațional și tematic…………………………………………...p. 6

Lista de cuvinte cheie……………………………………...pagina 7

Literatură pentru profesor………………………………………..pagina 8

Literatură pentru studenți………………………………...p.8

Notă explicativă.

Sarcina principală a predării matematicii la școală este de a asigura o stăpânire puternică și conștientă de către elevi a sistemului de cunoștințe și abilități matematice necesare în Viata de zi cu ziși activitatea muncii fiecare membru societate modernă, suficient pentru a studia discipline aferenteși educație continuă.

Odată cu rezolvarea sarcinii principale, un studiu mai profund al matematicii prevede formarea interesului durabil al elevilor pentru subiect, identificarea și dezvoltarea lor. abilitate matematică, orientare către profesii care țin în esență de matematică, pregătire pentru studii la universități.

Problema diferențierii predării matematicii rămâne relevantă, permițând, pe de o parte, asigurarea unei pregătiri matematice de bază, iar pe de altă parte, satisfacerea nevoilor tuturor celor interesați de materie.

Program acest curs„Ecuații, inegalități și sisteme care conțin un semn de valoare absolută” oferă studiul unor astfel de probleme care sunt incluse în cursul de matematică al școlii principale nu în în întregime dar necesare pentru studii ulterioare.

Conceptul de valoare absolută (modul) este unul dintre cele mai importante caracteristici numere atât în ​​tărâm cât și în numere complexe. Acest concept este utilizat pe scară largă nu numai în diferite secțiuni ale cursului școlar, ci și în cursuri matematica superioara, fizica si stiinte tehnice studiat în universități. De exemplu, în teoria calculelor aproximative, conceptele de absolut și erori relative număr aproximativ. În mecanică și geometrie sunt studiate conceptele de vector și lungimea acestuia (modul vectorial). În analiza matematică, conceptul de valoare absolută a unui număr este conținut în definițiile unor concepte de bază precum limită, funcție mărginită etc. Problemele asociate cu valorile absolute se găsesc adesea în olimpiade matematice, examen de admitereîn universităţi şi la examen.

LA curiculumul scolar cursul de matematică nu prevede generalizarea și sistematizarea cunoștințelor despre modulele, proprietățile acestora, primite de studenți pe întreaga perioadă de studiu.

Astfel, acest curs „Ecuații, inegalități și sisteme care conțin un semn de valoare absolută” își propune să extindă curs de bază algebra și începutul analizei și oferă studenților posibilitatea de a se familiariza cu tehnicile și metodele de bază pentru finalizarea sarcinilor asociate modulelor. Trezește interesul de cercetare pentru aceste probleme, dezvoltă gandire logica, contribuie la dobandirea de experienta cu o sarcina mai mare decat nivelul de complexitate cerut.

Cursul „Ecuații, inegalități și sisteme care conțin un semn de valoare absolută” este destinat pregătire de specialitate elevilor din clasele 10-11 și este conceput pentru 34 de ore (1 oră pe săptămână).

În procesul de predare a acestui curs, se propune utilizarea diverse metode revitalizare activitate cognitivă elevii, de asemenea diferite forme organizându-le muncă independentă.

Pe parcursul acestui curs, elevii vor învăța material teoretic si executa sarcini practice. Rezultatul stăpânirii programului de curs este prezentarea lucrări creative la lecția finală

La studierea cursului, este oferit un control de testare.

Obiectivele cursului:

* generalizarea si sistematizarea, extinderea si aprofundarea cunostintelor pe tema " Valoare absolută»;

*dobândirea deprinderilor practice pentru realizarea sarcinilor cu modulul;

*creșterea nivelului pregătire matematică elevi.

Obiectivele cursului

* dotați elevii cu un sistem de cunoștințe pe tema „Valoarea absolută”

* să-și formeze abilitățile de aplicare a acestor cunoștințe în rezolvarea unor probleme de complexitate variabilă;

* pregatirea elevilor pentru examen;

* să formeze abilități de muncă independentă, lucru în grup;

* să formeze abilitățile de lucru cu literatura de referință;

Cerințe pentru nivelul de asimilare a materialului educațional

Ca urmare a studierii programului de curs, studenții vor putea

cunoașteți și înțelegeți:

*definiții, concepte și algoritmi de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de inegalități și sisteme cu modul;

*reguli pentru construirea graficelor de funcții care conțin semnul valorii absolute;

A fi capabil să:

*aplica definiție, proprietăți de valoare absolută numar real la rezolvarea unui număr real la rezolvarea unor probleme specifice;

* rezolvarea ecuatiilor, inegalitatilor, sistemelor de ecuatii si inegalitatilor care contin o variabila sub semnul modulului;

* să poată face cercetări mici în mod independent.

1.Introducere 1h.

Scopurile si obiectivele cursului. Întrebări abordate în curs și structura acestuia. Cunoașterea literaturii, teme ale operelor de creație.

24 de ore)

Determinarea valorii absolute. Interpretare geometrică concepte de modul. Operații pe valori absolute. Simplificarea expresiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Aplicarea proprietăților modulelor la rezolvarea problemelor.

3. Grafice ale funcțiilor care conțin un semn de valoare absolută (8 ore)

Reguli și algoritmi pentru trasarea graficelor de funcții. Definiție chiar funcția. Transformări geometrice ale graficelor funcțiilor care conțin semnul modulului. Trasare de bază pe exemple ale celor mai simple funcții. Grafice de ecuații: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),unde f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Ecuații care conțin valori absolute.(10 ore)

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor cu modul. Dezvăluirea modulului prin definiție, tranziția de la ecuația originală la un sistem echivalent, punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației, metoda intervalelor, metoda grafica, folosind proprietățile valorii absolute. Ecuații de forma: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Metoda de modificare a variabilelor, la rezolvarea ecuatiilor care contin valori absolute. Metoda intervalului pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Ecuații de forma:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

O metodă de dezvăluire succesivă a unui modul atunci când se rezolvă ecuații care conțin un „modul într-un modul”. Soluție grafică ecuații care conțin valori absolute.

5. Inegalități care conțin valori absolute (10 ore)

Inegalități cu o necunoscută. Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților

cu modulul |f(x)|>a. Inegalitati de forma a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6. Lecția finală (1 oră)

Prezentarea lucrărilor de creație.

Secțiunea III. Plan educațional și tematic

	Titluri ale secțiunilor și subiectelor			Practică	Formular de conduită	formă de control
	Introducere				Licitație de cunoștințe	Chestionar, înregistrări
	Valoarea absolută a unui număr real
	Valoarea absolută a unui număr real				Prelegere, atelier	Rezumat de referință, rezolvarea problemelor
	Simplificarea expresiilor care conțin o variabilă sub semnul modulo				atelier	Rezolvarea problemelor
	Grafice ale ecuațiilor care conțin semnul modulului
	Reguli și algoritmi pentru trasarea graficelor				Atelier	Memo cu regulile și algoritmii construcțiilor
	Definiția unei funcții pare. Transformări ale diagramei geometrice				Seminar - atelier	Rezumatul referințelor, soluția sarcinii
	Grafice de ecuații: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),unde f(x)≥0; |y|=|f(x)|					Verificarea execuției plotului
	Ecuații care conțin valori absolute
	Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor cu modul					Rezumate, algoritmi
	Ecuații de forma: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;				atelier	Verificarea sarcinilor rezolvate
	Metoda intervalelor în rezolvarea ecuațiilor care conțin semnul modulului. Ecuații de forma:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).				Atelier	Rezumat de referință, verificarea sarcinilor rezolvate
	Metoda dezvăluirii succesive a modulului la rezolvarea ecuațiilor care conțin „modulul în modul”				atelier	Rezumat, notă, verifică sarcinile
	Rezolvarea grafică a ecuațiilor care conțin valori absolute.				Atelier	Testul graficului
	Inegalități care conțin valori absolute
	Inegalități cu o necunoscută. Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților cu modul					abstract
	Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților cu modul				atelier	Rezumat, verificarea soluției
	Inegalitati de forma a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.				atelier
	Metoda intervalelor în rezolvarea inegalităților care conțin semnul modulului.				atelier	Controlul de testare
	Lecția finală				conferinţă	rezumate

Secțiunea IV. Lista de cuvinte cheie.

Algoritm, ecuație, inegalitate, modul, grafic, axe de coordonate, transfer paralel, centrală și simetrie axială, metoda intervalului, trinom pătrat, polinom, factorizarea unui polinom, formule de înmulțire prescurtate, ecuații simetrice, ecuații reciproce, proprietăți de valoare absolută, domeniu de definiție, domeniu valori admise.

Secţiunea V. Literatură pentru profesor.

1. Bashmakov M.I. Ecuații și inegalități. (Text) / M.I. Bashmakov.-M.: VZMSh

la Universitatea de Stat din Moscova, 1983.-138s.

2. Vilenkin N. Ya și alții.Algebră și analiză matematică Clasa 11. (Text) / N.Ya.

Vilenkin-M.: Iluminismul, 2007.-280.

3. Gaidukov I.I. Valoare absolută. (Text)/ Gaidukov I.I. –M.: Iluminismul, 1968.-96 p.

4. Gelfand I. M. et al. Funcții și grafice.(Text) / I. M. Gelfand- M .: MTsNMO,

5. Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 de probleme în algebră (Text) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350s.

6. Kolesnikova S.I. Matematica. Curs intensiv pregătirea pentru Unul

Examen de stat. (Text) / Kolesnikova S.I. - M .: Iris-press 2004.-299s.

7. Nikolskaya I.L. Curs optional matematică. (Text) / I.L. Nikolskaya-

M.: Iluminismul, 1995.-80.

8.Olekhnik S.N. etc.Ecuaţii şi inegalităţi. Metode non-standard solutii.

(Text) / .Olekhnik S.N.-M.: Butarda, 2002.-219p.

Secțiunea VI. Literatură pentru studenți

1. Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 de probleme în algebră (Text) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350s.

2. Kolesnikova S.I. Matematica. Curs intensiv de pregătire pentru Unul

Document

... pentrualegere unul sau altul subiect(în curriculum, capitol: " electivăcursuri") în 10 -11 clase...si de asemenea in sistem educatie suplimentara. Pentru aceste categorii elevi a dezvoltat și implementat instruire în rețea cursuripe toata lumea...

Activitatea H 4 51-1 „Îmbunătățirea metodelor de predare în școala gimnazială bazată pe crearea de module orientate pe materii la cel puțin 18 discipline pe baza implementării tehnologiei informației dezvoltarea științifice și educaționale.

Raport

... elevi. LA acest studiu prezentat electivăbinepe matematică „Începuturi analiză matematicăși aplicațiile lor" pentru10 - 11 de specialitate clase... dependențe și relații (funcții, ecuații, inegalităților etc.). De obicei se determină mai întâi...

La rezolvarea inegalităților care conțin necunoscutul sub semnul valorii absolute se folosește aceeași tehnică ca și la rezolvarea ecuațiilor care conțin necunoscutul sub semnul valorii absolute și anume: soluția inegalității inițiale se reduce la rezolvarea mai multor inegalități considerate pe intervalele de constanţă de semn ale expresiilor sub semnele valorii absolute mărite.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea

x 2 - 2 + x< 0. (*)

Rezolvare: Să considerăm intervalele de semn constant ale expresiei x 2 - 2, care se află sub semnul valorii absolute.

1) Să presupunem că

atunci inegalitatea (*) ia forma

x 2 + x -2< 0.

Intersectia multimii de solutii la aceasta inegalitate si inegalitatea x 2 -2 0 este prima multime de solutii la inegalitatea initiala (Fig. 1): x (-2; -].

• 2) Să presupunem că x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

Intersecția mulțimii de soluții ale acestei inegalități și inegalitatea x 2 - 2< 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Răspuns: x(-2; -1).

Spre deosebire de ecuații, inegalitățile nu permit verificarea directă. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor este posibil să se verifice corectitudinea rezultatelor obținute. grafic. Într-adevăr, scriem inegalitatea exemplului în formă

x - 2< -х.

Construim funcțiile y 1 =x 2 - 2 și y 2 = -x incluse în stânga și partea dreapta considerată inegalitatea și găsiți acele valori ale argumentului pentru care y 1

Pe fig. 3, zona umbrită a axei x conține valorile x dorite. Soluția inegalităților care conțin semnul valorii absolute poate fi uneori redusă semnificativ folosind egalitatea x 2 \u003d x 2.

Figura 3

Exemplu: Rezolvați inegalitatea

Soluție: Inegalitatea inițială pentru toate x -2 este echivalentă cu inegalitatea

x - 1 > x + 2. (**)

Punând la pătrat ambele părți ale inegalității (**), după reducerea termenilor similari, obținem inegalitatea

6x< -3, т.е. х < -1/2.

Ținând cont de mulțimea valorilor admisibile ale inegalității inițiale determinate de condiția x -2, obținem în final că inegalitatea (*) este satisfăcută pentru toate x(-; -2)(-2; -1/2). ).

Răspuns: (-; -2)(-2; -1/2).

Exemplu: Găsiți cel mai mic număr întreg x care satisface inegalitatea:

Rezolvare: Deoarece x +1 0 și, prin condiție, x +1 0, atunci această inegalitate este echivalentă cu următoarea: 2x + 5 > x +1. Acesta din urmă, la rândul său, este echivalent cu sistemul de inegalități - (2x + 5)< х + 1 < 2х + 5,

• -(2x + 5)
• 2x + 5 > x +1,

Cel mai mic număr întreg x care satisface acest sistem de inegalități este 0. Rețineți că x -1, altfel expresia din partea stângă a acestei inegalități nu are sens.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea:

Raspunsul 1; unu].

Exemplu: Rezolvați inegalitatea

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Soluţie. x 2 - 3x + 2 este negativ la 1< x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

• 2. - S? X? 1. Avem inegalitatea x2 - x - 2? 0. Soluția lui este -1 ? X? 2. Prin urmare, întregul segment -S? X? 1 satisface inegalitatea.
• 4. x? 2. Inegalitatea este aceeași ca în cazul 2. Doar x = 2 este potrivit.

Raspuns: 5 - 41 2 ? X? 2.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Soluţie. Să rezolvăm această inegalitate într-un mod non-standard.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 - x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Fără soluție de interval. Dacă sunt luate în considerare ecuațiile și inegalitățile cu două sau mai multe module.

Ecuații și inegalități care conțin semnul valorii absolute în curs şcolar matematica ca subiect separat nefiind studiat. Pentru prima dată, conceptul de modul apare în clasa a VI-a, unde este dată definiția modulului unui număr. Dar în manuale diferiți autori date în diferite capitole. În manualele G.V. Modulul lui Dorofeev al unui număr este dat prin comparare numere rationale de exemplu: modulul numărului -6,5 este 6,5, modulul numărului -4 este 4.

Apoi se introduce o explicație a originii modulului și după aceea se introduce denumirea |a|.

În manualul N.Ya. Vilenkin este dat în studiul pozitiv și numere negative ca element separat „Modul”.

Conceptul de modul al unui număr este introdus ca distanța de la punctul care reprezintă acest număr până la punctul de plecare pe linia de coordonate.

Apoi se formulează regula pentru găsirea modulului unui număr. Se explică că modulul unui număr nu poate fi negativ, deoarece modulul unui număr este distanța, că modulul unui număr pozitiv și zero este egal cu numărul însuși, iar pentru opus - cu numărul opus și opus numerele au module egale |-a|=|a|.

Potrivit manualului Yu.N. Makarychev, modulul se găsește în exercițiile suplimentare din capitolul 7 „Grafe”, paragraful „Funcții și graficele lor”.

De exemplu: definiți domeniul y=10/(|x|-1)

Și în clasa a VIII-a la rezolvarea inegalităților cu o variabilă și sistemele lor.

În manualul lui Nikolsky de clasa a VIII-a, funcția y=|x| iar graficul său y= x dacă x≥0

X dacă x≤0

Cursul școlii de nouă ani are în vedere cele mai simple ecuații cu o variabilă, conținând o variabilă sub semnul modulului. Acestea includ ecuații de forma |ax+b|=c.

La rezolvarea unor astfel de ecuații, este necesar să se facă distincția între cazuri:

Dacă cu< 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

Dacă c = 0, atunci ecuația |ax+b|=c este echivalentă cu ecuația ax+b=0.

Dacă c > 0, atunci ecuația |ax+b|=c este echivalentă cu ax+b= -c sau ax+b=c.

Pe lângă tipul indicat de ecuații care conțin o variabilă sub semnul modulului, elevii clasei a VIII-a întâlnesc și ecuații de forma |ax+b|= ax+b sau |ax+b|= -(ax+b) . De exemplu, ecuațiile √ x²=x, √x²-4x+4=2-x sunt reduse la astfel de ecuații.

Deoarece egalitatea |m|=m este adevărată dacă și numai dacă m≥0,

iar egalitatea |m|=-m este adevărată dacă și numai dacă m ≤ 0,

atunci ecuația |ax+b|= ax+b este echivalentă cu inegalitatea ax+b≥0,

iar ecuația |ax+b| = -(ax+b) este echivalent cu inegalitatea ax+b≤0.

Dintre inegalitățile care conțin variabila sub semnul modulului, numai inegalitățile de forma |ax+b|>b și |ax+b|<в.

Ca sarcini suplimentare, sarcinile mai complexe sunt date, de exemplu, o dublă inegalitate<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| >la

|ax+v|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

Modalități de rezolvare a inegalităților:

1. Soluția este asociată cu conceptul de distanță dintre punctele dreptei de coordonate.

2. Pe baza definirii modulului.

3. Vizual – tehnică grafică.

4. În alte cazuri, este util să stabilim mai întâi în ce puncte dispar expresiile sub semnul modulului. Aceste puncte împart axa numerică în intervale, în cadrul cărora expresiile păstrează un semn constant (intervale de semn constant). Acest lucru ne permite să scăpăm de semnul modulului pe fiecare dintre aceste intervale și să reducem problema la rezolvarea mai multor ecuații - câte una pentru fiecare interval. Această metodă se numește metoda intervalului.

Instituție de învățământ municipală

școală secundară din satul Oshtorma Yumya

De acord Aprobat

la o reuniune a UMO la o întâlnire a expertului

comisia profesorilor de matematică

Protocolul nr. 1 din _________ Protocolul nr. __________

Șeful UMO: Președintele expertului

Gilyazeva M.M. grupuri:

Sadikova A.R.
curs opțional

„Valoare absolută (modul)”

(Curs de formare profesională pentru elevii clasei a X-a, 34 de ore)

Profesor de matematică Vasilyeva V.A.

2008
Notă explicativă

Conceptul de valoare absolută (modul) este una dintre cele mai importante caracteristici ale unui număr atât în ​​domeniul realului, cât și în cel al numerelor complexe.

Acest concept este utilizat pe scară largă nu numai în diferitele secțiuni ale cursului de matematică școlară, ci și în cursurile de matematică, fizică și științe tehnice studiate la universități. De exemplu, în teoria calculelor aproximative se folosesc conceptele de erori absolute și relative ale unui număr aproximativ. În mecanică și geometrie sunt studiate conceptele de vector și lungimea acestuia (modul vectorial). În analiza matematică, conceptul de valoare absolută a unui număr este conținut în definițiile unor astfel de concepte de bază, cum ar fi o limită, o funcție mărginită etc. Probleme legate de valorile absolute se găsesc adesea la olimpiadele de matematică, examenele de admitere la universități. , și examenul de stat unificat.

Programul cursului școlar de matematică nu prevede generalizarea și sistematizarea cunoștințelor despre modulele, proprietățile acestora, primite de elevi pe întreaga perioadă de studiu. Acest lucru va face ca programul să fie „”.

Cursul este conceput pentru formarea de profil a elevilor din clasele a 10-a ale școlilor de învățământ general care sunt interesați să studieze matematica.

Cursul va permite școlarilor să sistematizeze, să extindă și să consolideze cunoștințele legate de valoarea absolută, să se pregătească pentru studierea ulterioară a subiectelor folosind acest concept, să învețe să rezolve diverse probleme de complexitate diferită și să contribuie la dezvoltarea și consolidarea abilităților de calculator.

Cursul va ajuta profesorul să pregătească studenții în cel mai calitativ mod pentru olimpiadele de matematică, promovarea examenului, examenele de admitere la universități.

Programul cursului opțional implică familiaritatea cu teoria și practica problemelor luate în considerare și este conceput pentru 34 de ore.

În procesul de studiere a acestui curs, se presupune că se utilizează diverse metode de activare a activității cognitive a școlarilor, precum și diferite forme de organizare a muncii lor independente.

Rezultatul însușirii programului de curs este prezentarea de către școlari a lucrărilor creative individuale și de grup la lecția finală.

Obiectivele cursului:generalizarea și sistematizarea, extinderea și aprofundarea cunoștințelor pe tema valorii absolute, dobândirea deprinderilor practice pentru finalizarea sarcinilor cu un modul, creșterea nivelului de pregătire matematică a școlarilor.

Obiectivele cursului

Să doteze elevii cu un sistem de cunoștințe pe tema valorii absolute;

Să-și formeze abilitățile de aplicare a acestor cunoștințe în rezolvarea diverselor probleme de complexitate variată;

Pentru a forma abilitățile de muncă independentă, lucrați în grupuri mici;

Să-și formeze abilitățile de a lucra cu literatură de referință, cu un computer;

Să formeze abilitățile și abilitățile muncii de cercetare;

Contribuie la dezvoltarea gândirii algoritmice a elevilor;

Contribuie la formarea interesului cognitiv pentru

matematică.

Cerințe pentru nivelul de asimilare a materialului educațional

Ca urmare a studierii programului cursului opțional „Valoare absolută (modul)”, studenții au ocazia cunoașteți și înțelegeți:

Determinarea valorii absolute a unui număr real;

operații de bază și proprietăți de valoare absolută;

Reguli pentru construirea graficelor de funcții care conțin semnul valorii absolute;

Algoritmi de rezolvare a ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații și inegalităților care conțin o variabilă sub semnul modulului.

A fi capabil să:

aplicați definiția, proprietățile valorii absolute ale unui număr real la rezolvarea unor probleme specifice;

Planificare tematică

№	Numele subiectului	Număr de ore	Forma de ocupatie	Suport metodologic	Control
	Introducere	1	lectura	prezentare
	Valoarea absolută a unui număr real A	4
2	Valoarea absolută a unui număr real A. Teoreme de bază	1	lectura	carduri de referință
3	Operații pe valori absolute	1		carduri de referință
4	Simplificarea expresiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului.	1	atelier
5	Aplicarea proprietăților modulelor în rezolvarea problemelor olimpiadei.	1	atelier	Carduri de sarcini	independent nu munca
	Grafice de funcții, expresie analitică care contine semnul valorii absolute	5
6	Reguli și algoritmi pentru construirea graficelor de funcții a căror expresie analitică conține semnul modulului	1	prelegere, atelier	carduri de referință
7-8	Grafice ale funcțiilor y=f |х|, y=f(-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |y| =f(x), unde f(x) ≥ 0, | y| = |f(x)|	2	atelier	Carduri de sarcini	independent nu munca
9	Grafice ale unora dintre cele mai simple funcții, date explicit și implicit, a căror expresie analitică conține semnul modulului	1	atelier	Carduri individuale
10	Grafice de funcții, a căror expresie analitică conține semnul valorii absolute în sarcinile olimpiadei	1	atelier	pretentia
	Ecuații care conțin valori absolute	11
11-13	Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor cu modul	3	lectura	carduri de referință
14	Ecuații de tip | f(x)| = A, f\ X\ = a, Unde A R; |f(x)| = g(x) și f(x)| = | g(x)|.	1	atelier	Carduri de sarcini	independent nu munca
15	Metoda de schimbare a variabilelor pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute	1	atelier	carduri de referință
16-17	Metoda intervalului pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Ecuații de forma |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .±|f n (x)| = A, Unde A e R, = =g(x)	2	prelegere, atelier	Carduri de sarcini	independent nu munca
18	Metoda dezvăluirii succesive a modulului la rezolvarea ecuațiilor care conțin „modulul în modul”	1	prelegere, atelier	carduri de referință
19	Rezolvarea grafică a ecuațiilor care conțin valori absolute.	1	atelier
20	Ecuații cu parametri care conțin valori absolute	1	atelier
21	Protejarea sarcinilor rezolvate ale examenului	1	protectia deciziei	Masa	protectia deciziei
		7
22-23	Inegalități cu o necunoscută. Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților cu modul	2	lectura	carduri de referință
24	Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților cu modul	1	seminar
25	Inegalitățile de formă |f(x)| >  ≥ ≤ a, unde A R..	1	atelier
26-27	Inegalitățile de formă |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|.	2	atelier	Carduri de sarcini	independent nu munca
28	Inegalități cu parametrii care conțin valori absolute	1	atelier
29-32		4	prelegere, atelier
33		1	atelier
34	Lecția finală	1		Carduri de sarcini	tăiere de control
	Total	34

1. Introducere(1 oră).

Scopurile și obiectivele cursului opțional. Întrebări abordate în curs și structura acestuia. Cunoașterea literaturii, teme ale operelor de creație. Cerințe pentru participanții la curs. Licitație „Ceea ce știu despre valoarea absolută”.

2. Valoarea absolută a numărului real a (4 h).

Valoarea absolută a unui număr real A. Module de numere opuse. Interpretarea geometrică a conceptului | A|. Modulul sumei și modulul diferenței unui număr finit de numere reale. Modulul diferenței de modul a două numere. Modul produs și modul coeficient. Operații pe valori absolute. Simplificarea expresiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Aplicarea proprietăților modulelor în rezolvarea problemelor olimpiadei.

3. Grafice ale funcțiilor a căror expresie analitică conține semnul valorii absolute(5 ore).

Reguli și algoritmi pentru construirea graficelor de funcții a căror expresie analitică conține semnul modulului. Grafice ale funcțiilor y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |x||, |y| =f(x), unde f(x) ≥ 0, | y| = |f(x)|. Grafice ale unora dintre cele mai simple funcții, definite explicit și implicit, a căror expresie analitică conține semnul modulului. Grafice de funcții, a căror expresie analitică conține semnul valorii absolute în sarcinile olimpiadei.

4. Ecuații care conțin valori absolute (11 h).

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor cu modul. Dezvăluirea modulului prin definiție, trecerea de la ecuația originală la un sistem echivalent, pătrarea ambelor părți ale ecuației, metoda intervalelor, metoda grafică, folosind proprietățile unei valori absolute. Ecuații de tip | f(x)| = A, f\ X\ = a, Unde A R; |f(x)| = g(x) și | f(x)| = | g(x)|. Metoda de schimbare a variabilelor pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Metoda intervalului pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute. Ecuații de forma |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .±|f n (x)| = A, Unde A e R, |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .± |f n (x)| = g (X). O metodă de dezvăluire succesivă a unui modul atunci când se rezolvă ecuații care conțin un „modul într-un modul”. Rezolvarea grafică a ecuațiilor care conțin valori absolute. Utilizarea proprietăților unei valori absolute în rezolvarea ecuațiilor. Ecuații cu parametri care conțin valori absolute. Protejarea sarcinilor rezolvate ale examenului.

5. Inegalități care conțin valori absolute (7 ore).

Inegalități cu o necunoscută. Metode de bază pentru rezolvarea inegalităților cu un modul. Inegalitati de forma |f(x)| >  ≥ ≤ a, unde A R.. Inegalitati de forma |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|. Metoda intervalelor în rezolvarea inegalităților care conțin semnul modulului. Inegalități cu parametrii care conțin valori absolute.

6. Sisteme de ecuații și inegalități care conțin valori absolute(4 ore).

7. Alte probleme în soluţionarea cărora se foloseşte conceptul de valoare absolută(1 oră).

8. Lecția finală(1 oră).

Rezultate asteptate
După finalizarea cursului, studenții ar trebui:

Pentru a putea aplica definiția, proprietățile valorii absolute ale unui număr real la rezolvarea unor probleme specifice;

Rezolvați ecuații, inegalități, sisteme de ecuații și inegalități care conțin o variabilă sub semnul modulului.

Literatura pentru profesor

1. 
   S.I. Kolesnikova „Soluția complexului UTILIZAȚI sarcini» 300 de sarcini cu soluție detaliată. Editura Moscova Iris Press 2005.
2. 
   G.A.Voronina Ghid practic pentru profesorul „Cursuri opționale” Editura Moscova Iris Press 2006
3. 
   M.I.Skanavi Culegere de probleme de matematică M.: ONIKS, 2006
4. 
   Manual electronic "Algebra 7 - 11"
5. 
   Olehnik S.N. etc.Ecuaţii şi inegalităţi. Metode non-standard

solutii. 10 - 11 celule. – M.: Dropia, 1995.

Literatură pentru studenți
1. M.I.Skanavi Culegere de probleme de matematică, M.: ONIKS, 2006

2. A.G. Mordkovici. Algebra 9. Invatare profunda. Manual.