Conceptul de set este conceptul original nu strict definit. Iată definiția unui set (mai precis, o explicație a ideii de mulțime) aparținând lui G. Cantor: „Prin varietate sau set, mă refer în general la toate multele lucruri care pot fi gândite ca un singur unul, adică o astfel de colecție de anumite elemente care pot fi conectate printr-o singură lege într-un întreg.”

Seturile vor fi, de regulă, notate cu majuscule ale alfabetului latin, iar elementele lor cu litere mici, deși uneori va trebui să se abată de la această convenție, deoarece elementele unei anumite mulțimi pot fi alte mulțimi. Faptul că un element a aparține mulțimii A se scrie ca a\în A .

În matematică, avem de-a face cu o mare varietate de mulțimi. Pentru elementele acestor mulțimi, folosim două tipuri principale de notație: constante și variabile.

O constantă individuală (sau doar o constantă) cu domeniul A denotă un element fix al mulțimii A . Așa sunt, de exemplu, denumirile (înregistrările într-un anumit sistem de numere) ale numerelor reale: 0;\,2;\,7,\!34. Pentru două constante b și b cu intervalul A, vom scrie a=b , adică prin aceasta coincidența elementelor mulțimii A notate de acestea.

O variabilă individuală (sau doar o variabilă) cu domeniul A denotă un element arbitrar, nepredeterminat, al mulțimii A . Aici spunem că variabila x trece prin mulțimea A sau variabila x ia valori arbitrare pe mulțimea A. Puteți fixa valoarea unei variabile x scriind x=a , unde a este o constantă cu același interval ca x . În acest caz, spunem că în locul variabilei x, valoarea ei specifică a a fost înlocuită, sau a fost înlocuită cu x, sau variabila x a luat valoarea a.

Egalitatea variabilelor x=y se înțelege astfel: ori de câte ori variabila x ia o valoare arbitrară a , variabila y ia aceeași valoare a , și invers. Astfel, variabilele egale „sincron” iau întotdeauna aceleași valori.

De obicei, constante și variabile al căror interval este un set numeric, și anume unul dintre mulțimi \mathbb(N),\, \mathbb(Z),\, \mathbb(Q),\, \mathbb(R)și \mathbb(C) se numesc, respectiv, natural, întreg (sau întreg), rațional, real și constante complexeși variabile. În cursul matematicii discrete, vom folosi diverse constante și variabile, al căror interval nu este întotdeauna o mulțime numerică.

Pentru a scurta înregistrarea, vom folosi simbolismul logic, care ne permite să scriem enunțuri pe scurt, precum formule. Conceptul de enunț nu este definit. Se indică doar că orice afirmație poate fi adevărată sau falsă (desigur, nu ambele în același timp!).

Operații logice (legături) pe mulțimi

Pentru a forma noi instrucțiuni din instrucțiunile existente, sunt utilizate următoarele operații logice (sau conexiuni logice).

1. Disjuncția \lor : propoziția P\lor Q (a se citi: „P sau Q”) este adevărată dacă și numai dacă cel puțin una dintre propozițiile P și Q este adevărată.

2. Conjuncția \land: P\land Q (a se citi: „P și Q”) este adevărată dacă și numai dacă atât P, cât și Q sunt adevărate.

3. \lnot negație: \lnot P (a se citi: „nu P”) este adevărat dacă și numai dacă P este fals.

4. Implicație \Rightarrow : propoziția P \Rightarrow Q (a se citi: „dacă P atunci Q” sau „P implică Q”) este adevărată dacă și numai dacă propoziția este adevărată sau ambele propoziții sunt false.

5. Echivalența (sau echivalența) \Leftrightarrow : o propoziție (a se citi: „P dacă și numai dacă Q”) este adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții P și Q sunt fie adevărate, fie ambele false. Oricare două afirmații P și Q astfel încât să fie adevărate P \Leftrightarrow Q, sunt numite logic echivalent sau echivalent.

Scrierea propozițiilor cu operatii logice, presupunem că ordinea de execuție a tuturor operațiilor este determinată de dispunerea parantezelor. Pentru a simplifica notarea, parantezele sunt adesea omise, acceptând în același timp o anumită ordine a operațiilor („convenția de prioritate”).

Operația de negație este întotdeauna efectuată prima și, prin urmare, nu este inclusă în paranteze. Al doilea efectuează operația de conjuncție, apoi de disjuncție și, în final, de implicare și echivalență. De exemplu, afirmația (\lnot P)\lor Q se scrie ca \lnot P\lor Q . Această propoziție este disjuncția a două propoziții: prima este negația lui P și a doua este negația lui Q. În schimb, propoziția \lnot (P\lor Q) este negația disjuncției propozițiilor P și Q .

De exemplu, afirmația \lnu P\land Q\lor\lnu Q\land P \Rightarrow\lnu Q după aşezarea parantezelor în conformitate cu priorităţile, va lua forma

\bigl(((\lnu P)\land Q)\lor ((\lnu Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lnu Q).

Să facem câteva comentarii despre conexiunile logice introduse mai sus. Interpretarea semnificativă a disjuncției, conjuncției și negației nu necesită explicații speciale. Implicația P \Rightarrow Q este adevărată, prin definiție, ori de câte ori Q este adevărat (indiferent dacă P este adevărat) sau P și Q sunt ambele false. Astfel, dacă implicația P\Rightarrow Q este adevărată, atunci când P este adevărată, Q este adevărată, dar inversul poate să nu fie adevărat, adică. când P este fals, Q poate fi adevărat sau fals. Aceasta motivează citirea implicației sub forma „dacă P , atunci Q”. De asemenea, este ușor de înțeles că afirmația P\Rightarrow Q este echivalentă cu afirmația \lnu P\lor Q și astfel, în mod semnificativ, „dacă P , atunci Q” este identificat cu „nu P sau Q”.

Echivalența \Leftrightarrow nu este altceva decât o „implicație cu două fețe”, adică. P\Săgeată stânga la dreapta Q echivalează cu (P \Rightarrow Q)\land (Q \Rightarrow P). Aceasta înseamnă că adevărul lui P implică adevărul lui Q și invers, adevărul lui Q implică adevărul lui P.

Exemplul 1.1. Pentru a determina adevărul sau falsitatea unei afirmații complexe, în funcție de adevărul sau falsitatea afirmațiilor incluse în aceasta, se folosesc tabele de adevăr.

Primele două coloane ale tabelului înregistrează toate seturile posibile de valori pe care declarațiile P și Q le pot lua. Adevărul afirmației este indicat de litera „I” sau de numărul 1, iar falsitatea - de litera „L” sau de cifra 0. Coloanele rămase sunt completate de la stânga la dreapta. Deci, pentru fiecare set de valori P și Q, se găsesc valorile propoziționale corespunzătoare.

Tabelele de adevăr ale operațiilor logice au cea mai simplă formă (Tabelele 1.1-1.5).

Luați în considerare o declarație compusă (\lnu P\land Q)\Rightarrow (\lnu Q\land P). Pentru comoditate de calcul, notăm afirmația \lnot P\land Q cu A , declarația \lnot Q\land P prin B și scriem afirmația inițială ca A \Rightarrow B . Tabelul de adevăr al acestei afirmații este format din coloanele P,\,Q,\,A,\,B și A \Rightarrow B (Tabelul 1.6).

Predicate și cuantificatori

Declarațiile compuse se formează nu numai prin conexiuni logice, ci și cu ajutorul predicatelor și al cuantificatorilor.

Un predicat este o declarație care conține una sau mai multe variabile individuale. De exemplu, „x este număr par" sau "x este student la Universitatea Tehnică de Stat din Moscova. Bauman, primit în 1999". În primul predicat x este o variabilă întreagă, în al doilea - o variabilă care trece prin mulţimea "indivizilor umani". Un exemplu de predicat care conţine mai multe variabile individuale este: „x este fiul lui y”, „x, y și z studiază în același grup”, „x este divizibil cu y”, „x este mai mic decât y”, etc. Vom scrie predicatele sub forma P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z), presupunând că toate variabilele incluse în predicatul dat sunt enumerate între paranteze.

Înlocuind în loc de fiecare variabilă inclusă în predicat P(x_1,\ldots,x_n), valoare specifică, adică fixând valorile, unde a_1,\ldots,a_n sunt niște constante cu intervalul corespunzător de valori, obținem o declarație care nu conține variabile. De exemplu, „2 este un număr par”, „Isaac Newton este un student al Universității Tehnice de Stat din Moscova numit după Bauman, care a intrat în 1999”, „Ivanov este fiul lui Petrov”, „5 este divizibil cu 7”, etc. În funcție de faptul că afirmația astfel obținută este adevărată sau falsă, se spune că predicatul P este satisfăcut sau nemulțumit pe setul de valori ale variabilelor. x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n. Un predicat care este satisfăcut pe orice set de variabile incluse în el se numește identic adevărat, iar un predicat care nu este satisfăcut pe niciun set de valori ale variabilelor sale este numit identic fals.

O afirmație dintr-un predicat poate fi obținută nu numai prin înlocuirea valorilor variabilelor sale, ci și cu ajutorul cuantificatorilor. Se introduc doi cuantificatori - existența și universalitatea, notate \exists și respectiv \forall.

afirmație (\forall x\in A)P(x)(„pentru fiecare element x care aparține mulțimii A, P(x) este adevărat”, sau, mai pe scurt, „pentru toate x\în A, P(x) este adevărat”) este adevărat, prin definiție, dacă și numai dacă se execută predicatul P (x) pentru fiecare valoare a variabilei x .

afirmație (\există x\în A)P(x)("există, sau există, un astfel de element x al mulțimii A încât P(x) este adevărat", de asemenea, "pentru unele x\în A P(x) este adevărat") este adevărat, prin definiție, dacă și numai dacă pe unele valori variabila x, predicatul P(x) este satisfăcut.

Asocierea variabilelor predicate cu cuantificatori

Când un enunț este format dintr-un predicat prin intermediul unui cuantificator, se spune că variabila predicatului este legată de cuantificator. În mod similar, variabilele sunt legate în predicate care conțin mai multe variabile. În cazul general, expresiile formei

(Q_1x_1\in A_1)(Q_2x_2\in A_2)\ldots (Q_nx_n\in A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

unde oricare dintre cuantificatorii \forall sau \exists poate fi înlocuit pentru fiecare litera Q cu index.

De exemplu, afirmația (\forall x\in A)(\există y\în B)P(x,y) se citește astfel: „pentru fiecare x\în A există y\în B astfel încât P(x,y) este adevărată”. Dacă mulțimile care trec prin variabilele predicate sunt fixe (adică „implicit”), atunci cuantificatorii se scriu sub forma prescurtată: (\forall x)P(x) sau (\exists x)P(x) .

Rețineți că mulți teoreme matematice poate fi scris într-o formă asemănătoare cu afirmațiile cuantificatoare tocmai date, de exemplu: „pentru toate f și pentru toate a adevărat: dacă f este o funcție derivabilă la a, atunci funcția f este continuă la a”.

Modalități de specificare a seturilor

După ce am discutat despre trăsăturile utilizării simbolismului logic, să revenim la considerarea mulțimilor.

Două mulțimi A și B sunt considerate egale dacă orice element x al mulțimii A este un element al mulțimii B și invers. Din definiția de mai sus a mulțimilor egale rezultă că o mulțime este complet determinată de elementele sale.

Să luăm în considerare modalități de a specifica seturile de beton. Pentru o mulțime finită, al cărei număr de elemente este relativ mic, se poate folosi metoda de enumerare directă a elementelor. Elementele unei mulțimi finite sunt enumerate în acolade într-un mod arbitrar ordin fix\(1;3;5\) . Subliniem că, deoarece mulțimea este complet determinată de elementele sale, atunci când se specifică o mulțime finită, ordinea în care sunt enumerate elementele sale nu contează. Prin urmare înregistrări \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} etc. toate definesc același set. În plus, uneori se folosesc repetiții ale elementelor în notarea mulțimilor. Vom presupune că notația \(1;3;3;5;5\) definește aceeași mulțime ca și notația \(1;3;5\) .

În cazul general, pentru o mulțime finită se folosește notația. De regulă, se evită repetarea elementelor. Apoi mulțimea finită dată de notație \(a_1,\ldots,a_n\), este format din n elemente. Se mai numește și o mulțime de n elemente.

Cu toate acestea, metoda de specificare a unei mulțimi prin enumerarea directă a elementelor sale este aplicabilă într-un interval foarte restrâns de mulțimi finite. Cea mai generală modalitate de a specifica mulțimi concrete este de a specifica o proprietate pe care trebuie să o aibă toate elementele mulțimii descrise și numai ele.

Această idee este implementată în felul următor. Fie variabila x să treacă printr-o mulțime U, numită mulțime universală. Presupunem că sunt considerate numai astfel de mulțimi ale căror elemente sunt și elemente ale mulțimii U . În acest caz, o proprietate pe care o au doar elementele unei mulțimi date A poate fi exprimată prin intermediul predicatului P(x) , care se execută dacă și numai dacă variabila x ia o valoare arbitrară din mulțimea A . Cu alte cuvinte, P(x) este adevărată dacă și numai dacă constanta individuală a\în A este înlocuită cu x.

Predicatul P se numește în acest caz predicat caracteristic al mulțimii A , iar proprietatea exprimată folosind acest predicat se numește proprietate caracteristică sau proprietate colectivizantă.

Mulțimea definită prin predicatul caracteristic se scrie sub următoarea formă:

A=\bigl\(x\colon~ P(x)\bigr\).

De exemplu, A=\(x\in\mathbb(N)\colon\, 2x\)înseamnă că „A este mulțimea formată din toate elementele x astfel încât fiecare dintre ele este un număr natural par”.

Termenul de „proprietate colectivizantă” este motivat de faptul că această proprietate vă permite să colectați elemente disparate într-un singur întreg. Astfel, proprietatea care definește mulțimea G (vezi mai jos) formează literalmente un fel de „colectiv”:

Dacă ne întoarcem la definiția lui Cantor a unei mulțimi, atunci predicatul caracteristic al unei mulțimi este legea prin care o mulțime de elemente este combinată într-un singur întreg. Un predicat care specifică o proprietate de colectivizare poate fi în mod identic fals. Un set definit în acest fel nu va avea elemente. Se numește mulțime goală și se notează cu \varnothing .

În schimb, un predicat caracteristic identic adevărat definește o mulțime universală.

Rețineți că nu orice predicat exprimă o proprietate de colectivizare.

Observație 1.1. Conținutul specific al conceptului de mulțime universală este determinat de fapt context specific, în care aplicăm idei teoretice de mulțimi. De exemplu, dacă avem de-a face numai cu diverse mulțimi numerice, atunci mulțimea \mathbb(R) a tuturor numerelor reale poate apărea ca una universală. Fiecare ramură a matematicii se ocupă cu un set relativ limitat de mulțimi. Prin urmare, este convenabil să presupunem că elementele fiecăruia dintre aceste seturi sunt și elementele unui set universal care le „îmbrățișează”. Fixând mulțimea universală, fixăm astfel intervalul de valori al tuturor variabilelor și constantelor care apar în raționamentul nostru matematic. În acest caz, este tocmai posibil să nu se indice în cuantificatori mulțimea care trece prin variabila legată de cuantificator. În cele ce urmează, ne vom întâlni cu diverse exemple de mulțimi universale concrete.

TEORIA MULTILOR LUI CANTOR. Kantor a dezvoltat o anumită tehnică de operare cu mulțimi de fapt infinite și a construit un anumit analog al conceptului de cantitate pentru mulțimi infinite. Baza acestei tehnici este conceptul de corespondență unu-la-unu între elementele a două mulțimi. Ei spun că elementele a două seturi pot fi puse într-o corespondență unu-la-unu dacă fiecare element al primului set poate fi asociat cu un element al celui de-al doilea set, diferit - diferit și, în același timp, fiecare element al al doilea set va corespunde unui element din primul. Se spune că astfel de mulțimi sunt echivalente, că au aceeași cardinalitate sau același număr cardinal. Daca se poate dovedi ca elementele multimii A pot fi puse intr-o corespondenta unu-la-unu cu elementele submultimii B1 a multimii B, iar elementele multimii B nu pot fi puse intr-o corespondenta unu-la-unu. -o corespondență cu elementele lui A, apoi se spune că cardinalitatea mulțimii B este mai mare decât cardinalitatea mulțimii A. Aceste definiții se aplică și la mulțimi finite. În acest caz, puterea este analogă numerelor finite. Dar mulțimile infinite au proprietăți paradoxale în acest sens. O mulțime infinită se dovedește a fi echivalentă cu partea sa, de exemplu. felul în care se întâmplă în așa-zisa. Paradoxul lui Galileo:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Aceste paradoxuri sunt cunoscute de mult timp și, în special, ele au servit ca un obstacol în luarea în considerare a mulțimilor de fapt infinite. Bolzano a explicat în Paradoxes of the Infinite că specificitatea infinitului de fapt afectează pur și simplu aici. Dedekind a considerat această proprietate a mulțimilor de fapt infinite ca fiind caracteristică.

Cantor dezvoltă aritmetica numerelor cardinale. Suma a două numere cardinale este cardinalitatea unirii mulțimilor corespunzătoare acestora, produsul este cardinalitatea așa-zisului. multimi-produse a doua multimi date si asa mai departe. Cea mai importantă este trecerea de la mulțimea dată la gradul de mulțime, adică, prin definiție, la mulțimea tuturor submulților din mulțimea originală. Cantor demonstrează o teoremă fundamentală pentru teoria sa: cardinalitatea unui grad de mulțime este mai mare decât cardinalitatea mulțimii inițiale. Dacă puterea mulțimii inițiale este scrisă în termeni de a, atunci, în conformitate cu aritmetica numerelor cardinale, puterea gradului mulțimii va fi 2a și avem, prin urmare, 2a >a.

Deci, trecând dintr-o mulțime infinită, de ex. din toti multi numere naturale cu cardinalitatea ℵα (notația lui Cantor) la mulțimea tuturor submulțimii acestei mulțimi, la mulțimea tuturor submulțimii acestei noi mulțimi etc., vom obține o serie de mulțimi de cardinalitate din ce în ce mai mare. Există vreo limită pentru această creștere? La această întrebare se poate răspunde doar prin introducerea unor concepte suplimentare.

În general, este imposibil să se opereze cu seturi infinite lipsite de orice structură suplimentară. Prin urmare, Cantor a introdus în considerare seturile ordonate, i.e. seturi, pentru oricare două elemente ale căror relație „mai mare decât” > (sau „mai puțin decât”<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (ordinale)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ (cardinali „tau”)

Conform teoremelor teoriei mulțimilor, orice „segment” al scalei Ω de numere ordinale, el însuși ca o mulțime complet ordonată, va avea un ordinal mai mare decât toate conținute în acest segment. Aceasta implică faptul că este imposibil să se considere toți Ω ca o mulțime, deoarece altfel Ω ar avea ca ordinal β, care este mai mare decât toate ordinalele din Ω, dar deoarece acesta din urmă conține toate ordinalele, i.e. și β, atunci ar fi: β > β (paradoxul Burali–Forti, 1897). Kantor a căutat să ocolească acest paradox introducând (din anii 1880) conceptul de consistență. Nu orice pluralitate (Vielheit) este o pluralitate (Menge). O pluralitate se numește consistentă, sau o pluralitate dacă poate fi considerată ca un întreg. Dacă ipoteza „existenței în comun” a tuturor elementelor multiplicității conduce la o contradicție, atunci multiplicitatea se dovedește a fi inconsecventă și, de fapt, nu poate fi luată în considerare în teoria mulțimilor. Astfel de mulțimi inconsistente sunt, în special, Ω, mulțimea tuturor numerelor ordinale și τ („tau”), mulțimea tuturor cardinalelor („alefs”). Astfel, ne întoarcem din nou la infinit ca proces. După cum scrie matematicianul secolului al XX-lea, P. Vopenka: „Teoria mulțimilor, ale cărei eforturi au fost îndreptate spre actualizarea potențialului infinit, s-a dovedit a fi incapabilă de a elimina potențialul, ci a reușit doar să o mute într-o sferă superioară” (Vopenka P. Mathematics in alternative set theory). .- „Nou în știința străină. Matematică”, 1983, nr. 31, p. 124.) Acest lucru nu l-a stânjenit însă pe Kantor însuși. El credea că scara „alephs” se ridică la infinitul lui Dumnezeu însuși și, prin urmare, faptul că acesta din urmă se dovedește a fi inexprimabil din punct de vedere matematic era pentru el de la sine înțeles: „Nu am plecat niciodată de la niciun „Genus supremum” al infinitului actual. . Dimpotrivă, am dovedit riguros inexistența absolută a „Genus supremum” pentru infinitul real. Ceea ce transcende tot ceea ce este infinit și transfinit nu este „Genul”; este singura unitate extrem de individuală în care este inclus totul, care include „Absolutul”, de neînțeles pentru înțelegerea umană. Acesta este „Actus Purissimus”, care este numit de mulți Dumnezeu” (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. - „Der Mathematilkuntemcht”, 1971, nr. 4, S. 30–34).

B. H. Katasonov

Noua Enciclopedie Filosofică. În patru volume. / Institutul de Filosofie RAS. ed. științifică. sfat: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin. M., Gândirea, 2010, vol. I, A - D, p. 249-250.

Sunt un fizician teoretician din punct de vedere al educației, dar am o pregătire bună în matematică. În magistratură una dintre subiecte a fost filosofia, a fost necesar să se aleagă o temă și să depună o lucrare pe aceasta. Deoarece majoritatea opțiunilor au fost de mai multe ori obmusoleny, am decis să aleg ceva mai exotic. Nu pretind noutate, doar am reușit să acumulez toată / aproape toată literatura disponibilă pe această temă. Filosofii și matematicienii pot arunca cu pietre în mine, nu voi fi recunoscător decât pentru criticile constructive.

P.S. Foarte „limbaj uscat”, dar destul de lizibil după programul universitar. În cea mai mare parte, definițiile paradoxurilor au fost preluate de pe Wikipedia (formulare simplificată și markup TeX gata făcut).

Introducere

Atât teoria mulțimilor în sine, cât și paradoxurile inerente acesteia au apărut nu cu mult timp în urmă, cu puțin peste o sută de ani în urmă. Totuși, în această perioadă s-a parcurs un drum lung, teoria mulțimilor, într-un fel sau altul, a devenit de fapt baza majorității secțiunilor de matematică. Paradoxurile sale, legate de infinitul lui Cantor, au fost explicate cu succes literal într-o jumătate de secol.

Ar trebui să începeți cu o definiție.

Ce este o multitudine? Întrebarea este destul de simplă, răspunsul la ea este destul de intuitiv. O mulțime este o mulțime de elemente reprezentate de un singur obiect. Cantor în lucrarea sa Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre dă o definiție: prin „mult” înțelegem combinarea într-un anumit întreg M a anumitor obiecte bine definite m ale contemplației noastre sau ale gândirii noastre (care vor fi numite „elemente” ale setul M). După cum puteți vedea, esența nu s-a schimbat, diferența este doar în partea care depinde de viziunea asupra lumii a determinantului. Istoria teoriei mulțimilor, atât în ​​logică, cât și în matematică, este foarte controversată. De fapt, Kantor a pus bazele acesteia în secolul al XIX-lea, apoi Russell și ceilalți au continuat munca.

Paradoxuri (logica și teoria mulțimilor) - (greacă - neașteptat) - contradicții logice formale care apar în teoria mulțimilor semnificative și logica formală, păstrând în același timp corectitudinea logică a raționamentului. Paradoxurile apar atunci când două propoziții care se exclud reciproc (contradictorii) sunt la fel de demonstrate. Paradoxurile pot apărea atât în ​​cadrul teoriei științifice, cât și în raționamentul obișnuit (de exemplu, paradoxul lui Russell cu privire la setul tuturor seturilor normale este dat de Russell: „Bărbierul satului îi rade pe toți cei și numai pe acei locuitori ai satului său care nu se rad. se rade singur?"). Întrucât o contradicție formal-logică distruge raționamentul ca mijloc de descoperire și demonstrare a adevărului (într-o teorie în care apare un paradox, orice propoziție, atât adevărată cât și falsă, este dovedibilă), se pune problema identificării surselor unor astfel de contradicții și găsirea modalităților de a le elimina. Problema înțelegerii filozofice a soluțiilor specifice la paradoxuri este una dintre problemele metodologice importante logica formalăși fundamentele logice ale matematicii.

Scopul acestei lucrări este de a studia paradoxurile teoriei mulțimilor ca moștenitori ai antinomiilor antice și consecințele destul de logice ale trecerii la un nou nivel de abstractizare - infinitul. Sarcina este de a lua în considerare principalele paradoxuri, interpretarea lor filozofică.

Paradoxurile de bază ale teoriei mulțimilor

Frizerul rade doar oamenii care nu se rad singuri. Se rade singur?

Să continuăm cu o scurtă excursie în istorie.

Unele dintre paradoxurile logice sunt cunoscute încă din cele mai vechi timpuri, dar datorită faptului că teoria matematică era limitată doar la aritmetică și geometrie, a fost imposibil să le coreleze cu teoria mulțimilor. În secolul al XIX-lea, situația s-a schimbat radical: Kantor a atins un nou nivel de abstractizare în lucrările sale. El a introdus conceptul de infinit, creând astfel noua sectiune matematică și permițând astfel compararea diferitelor infinitate folosind conceptul de „putere a unei mulțimi”. Cu toate acestea, făcând acest lucru, el a creat multe paradoxuri. Primul este așa-numitul Paradoxul Burali-Forti. În literatura matematică, există diverse formulări bazate pe terminologii diferite și un set presupus de teoreme binecunoscute. Iată una dintre definițiile formale.

Se poate dovedi că dacă x este o mulțime arbitrară de ordinale, atunci suma este un ordinal mai mare sau egal cu fiecare dintre elemente. X. Să presupunem acum că este mulțimea tuturor numerelor ordinale. Atunci este un număr ordinal mai mare sau egal cu oricare dintre numerele din . Dar atunci și este un număr ordinal, în plus, este deja strict mai mare și, prin urmare, nu este egal cu niciunul dintre numerele din . Dar aceasta contrazice condiția care este mulțimea tuturor numerelor ordinale.

Esența paradoxului este că atunci când se formează mulțimea tuturor numerelor ordinale, se formează una nouă. tip ordinal, care nu era încă printre „toate” numerele ordinale transfinite care existau înainte de formarea mulțimii tuturor numerelor ordinale. Acest paradox a fost descoperit chiar de Cantor, descoperit și publicat independent de matematicianul italian Burali-Forti, erorile acestuia din urmă fiind corectate de Russell, după care formularea a căpătat forma finală.

Dintre toate încercările de a evita astfel de paradoxuri și de a încerca într-o oarecare măsură să le explice, ideea deja menționatului Russell merită cea mai mare atenție. El a propus excluderea din matematică și logică a propozițiilor impredicative în care definiția unui element al unei mulțimi depinde de aceasta din urmă, ceea ce provoacă paradoxuri. Regula sună așa: „nici o mulțime C nu poate conține elemente m, definite doar în termenii mulțimii C, precum și elemente n, presupunând această mulțime în definiția lor” . O astfel de restricție asupra definiției unei mulțimi ne permite să evităm paradoxurile, dar în același timp restrânge semnificativ domeniul de aplicare a acesteia în matematică. În plus, acest lucru nu este suficient pentru a explica natura și motivele apariției lor, înrădăcinate în dihotomia gândire și limbaj, în trăsăturile logicii formale. Într-o oarecare măsură, această restricție poate fi urmărită o analogie cu ceea ce într-o perioadă ulterioară psihologii cognitivi și lingviștii au început să numească „categorizare la nivel de bază”: definiția se reduce la cel mai ușor de înțeles și de studiat concept.

Să presupunem că mulțimea tuturor mulțimilor există. În acest caz, este adevărat, adică orice mulțime t este o submulțime a lui V. Dar de aici rezultă că puterea oricărei mulțimi nu depășește puterea lui V. Dar în virtutea axiomei mulțimii tuturor submulțimi, pentru V, precum și orice mulțime, există o mulțime de toate submulțimile , iar prin teorema lui Cantor, care contrazice afirmația anterioară. Prin urmare, V nu poate exista, ceea ce contrazice ipoteza „naivă” că orice corectă sintactic condiție booleană definește o mulțime, adică aceea pentru orice formulă A care nu conține y liber. O dovadă remarcabilă a absenței unor astfel de contradicții pe baza teoriei axiomatizate a mulțimilor Zermelo-Fraenkel este dată de Potter.

Din punct de vedere logic, ambele paradoxuri de mai sus sunt identice cu „Mincinosul” sau „Bărbierul”: judecata exprimată este îndreptată nu numai către ceva obiectiv în raport cu el, ci și către el însuși. Cu toate acestea, ar trebui să acordați atenție nu numai laturii logice, ci și conceptului de infinit, care este prezent aici. Literatura se referă la opera lui Poincaré, în care el scrie: „credința în existența infinitului actual... face necesare aceste definiții nepredicative””.
În general, punctele principale sunt:

• în aceste paradoxuri, se încalcă regula de a separa clar „sferele” predicatului și subiectului; gradul de confuzie este apropiat de substituirea unui concept cu altul;
• de obicei în logică se presupune că în procesul de raționament subiectul și predicatul își păstrează sfera și conținutul, în acest caz
  trecerea de la o categorie la alta, rezultând o nepotrivire;
• prezența cuvântului „toate” are sens pentru un număr finit de elemente, dar în cazul unui număr infinit de elemente, este posibil să existe unul care
  pentru a se defini ar fi nevoie de definirea unui set;
• legile logice de bază sunt încălcate:
  • legea identității este încălcată când se dezvăluie neidentitatea subiectului și a predicatului;
  • legea contradictiei - cand doua judecati contradictorii sunt derivate cu acelasi drept;
  • legea treimii excluse - când această treime trebuie recunoscută și nu exclusă, deoarece nici primul, nici al doilea nu pot fi recunoscuti unul fără celălalt, pentru că sunt la fel de valabile.

Al treilea paradox poartă numele lui Russell.. O definiție este dată mai jos.
Fie K mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin ca element al lor.Se conține K ca element? Dacă da, atunci, prin definiția lui K, nu ar trebui să fie un element al lui K - o contradicție. Dacă nu - atunci, prin definiția lui K, trebuie să fie un element al lui K - din nou o contradicție. Aceasta afirmatie este derivat logic din paradoxul lui Cantor, care arată relația lor. Cu toate acestea, esența filozofică se manifestă mai clar, deoarece „auto-mișcarea” conceptelor are loc chiar „în fața ochilor noștri”.

Paradoxul lui Tristram Shandy:
În Viața și opiniile lui Tristram Shandy, Gentleman, de Stern, eroul descoperă că avea nevoie de tot anul pentru a descrie evenimentele din prima zi a vieții sale și a fost nevoie de încă un an pentru a descrie a doua zi. În acest sens, eroul se plânge că materialul biografiei sale se va acumula mai repede decât îl poate procesa și nu îl va putea finaliza niciodată. „Acum susțin,” obiectează Russell, „că dacă ar trăi pentru totdeauna și munca lui nu ar deveni o povară pentru el, chiar dacă viața lui ar continua să fie la fel de plină de evenimente ca la început, atunci nici o parte din biografia lui nu ar fi să nu rămână nescris.
Într-adevăr, Shandy ar putea descrie evenimentele din a n-a zi pentru al n-lea an și, astfel, în autobiografia sa, fiecare zi ar fi surprinsă.

Cu alte cuvinte, dacă viața ar dura la infinit, atunci ar avea tot atâtea ani cât și zile.

Russell face o analogie între acest roman și Zeno cu broasca țestoasă. În opinia sa, soluția constă în faptul că întregul este echivalent cu partea sa la infinit. Acestea. duce la o contradicție doar „axiomă bun simț» . Cu toate acestea, soluția problemei se află în domeniul matematicii pure. Evident, există două seturi - ani și zile, între elementele cărora există o corespondență unu-la-unu - o bijecție. Apoi sub condiția viata fara sfarsit personajul principal are două seturi infinite de putere egală, care, dacă considerăm puterea ca o generalizare a conceptului de număr de elemente dintr-o mulțime, rezolvă paradoxul.

Paradoxul (teorema) lui Banach-Tarski sau paradoxul dublării mingii- o teoremă în teoria mulțimilor care afirmă că o minge tridimensională este compusă în mod egal din două dintre copiile sale.
Două submulțimi ale spațiului euclidian se numesc compuse egal dacă una poate fi împărțită într-un număr finit de părți, le-a mutat și a fost alcătuită din ele a doua.
Mai precis, două mulțimi A și B sunt compuse în mod egal dacă pot fi reprezentate ca o uniune finită de submulțimi disjunse astfel încât pentru fiecare i submulțimea să fie congruentă.

Dacă folosim teorema alegerii, atunci definiția sună astfel:
Axioma alegerii implică faptul că există o împărțire a suprafeței unei sfere unitare într-un număr finit de părți, care, prin transformări ale spațiului euclidian tridimensional care nu schimbă forma acestor componente, pot fi asamblate în două sfere cu raza unitară.

Evident, având în vedere cerința ca aceste părți să fie măsurabile, această afirmație nu este fezabilă. Faimosul fizician Richard Feynman a povestit în biografia sa cum a reușit la un moment dat să câștige disputa despre împărțirea unei portocale într-un număr finit de părți și recompunerea acesteia.

În anumite puncte, acest paradox este folosit pentru a respinge axioma alegerii, dar problema este că ceea ce considerăm geometrie elementară nu este esențială. Acele concepte pe care le considerăm intuitive ar trebui extinse la nivelul proprietăților funcțiilor transcendentale.

Pentru a slăbi și mai mult încrederea celor care cred că axioma alegerii este greșită, ar trebui menționat teorema lui Mazurkiewicz și Sierpinski, care afirmă că există o submulțime E nevide a planului euclidian care are două submulțimi disjunse, fiecare dintre ele. care pot fi împărțite într-un număr finit de părți, astfel încât să poată fi traduse prin izometrii într-o acoperire a mulțimii E.
Dovada nu necesită utilizarea axiomei alegerii.
Construcțiile ulterioare bazate pe axioma certitudinii oferă o rezoluție paradoxului Banach-Tarski, dar nu prezintă un asemenea interes.

• Paradoxul lui Richard: se cere să numești „ cel mai mic număr nu este numit în această carte. Contradicția este că, pe de o parte, acest lucru se poate face, deoarece există cel mai mic număr numit în această carte. Pornind de la ea, se poate numi și pe cel mai mic fără nume. Dar aici apare o problemă: continuum-ul este nenumărabil, între oricare două numere puteți introduce un număr infinit de numere intermediare. Pe de altă parte, dacă am putea numi acest număr, s-ar muta automat din clasa nemenționată în carte în clasa menționată.
• Paradoxul Grelling-Nilson: cuvintele sau semnele pot denota o proprietate și, în același timp, o au sau nu. Cea mai banală formulare sună astfel: cuvântul „eterologic” (care înseamnă „nu se aplică la sine”) este heterologic?.. Este foarte asemănător cu paradoxul lui Russell datorită prezenței unei contradicții dialectice: dualitatea formei și conținutului. este încălcat. În cazul cuvintelor care au un nivel ridicat de abstractizare, este imposibil să se decidă dacă aceste cuvinte sunt heterologice.
• Paradoxul lui Skolem: folosind teorema de completitudine a lui Godel și teorema Löwenheim-Skolem, obținem că teoria axiomatică a mulțimilor rămâne adevărată chiar și atunci când doar o mulțime numărabilă de mulțimi este asumată (disponibilă) pentru interpretarea ei. În același timp
  teoria axiomatică include deja menționată teorema lui Cantor, care ne aduce la nenumărate mulțimi infinite.

Rezolvarea paradoxurilor

Crearea teoriei mulțimilor a dat naștere a ceea ce este considerată a treia criză a matematicii, care nu a fost încă rezolvată satisfăcător pentru toată lumea.
Din punct de vedere istoric, prima abordare a fost teoretică a seturilor. S-a bazat pe folosirea infinitului actual, când se considera că orice succesiune infinită este completată în infinit. Ideea a fost că în teoria mulțimilor trebuia adesea să se opereze pe mulțimi care ar putea fi părți ale altor mulțimi mai mari. Acțiunile de succes în acest caz au fost posibile doar într-un singur caz: mulțimile date (finite și infinite) sunt finalizate. Un anumit succes a fost evident: teoria axiomatică a mulțimilor a lui Zermelo-Fraenkel, o întreagă școală de matematică a lui Nicolas Bourbaki, care există de mai bine de jumătate de secol și provoacă încă multe critici.

Logicismul a fost o încercare de a reduce toată matematica cunoscută la termenii aritmeticii și apoi de a reduce termenii de aritmetică la concepte. logica matematica. Frege a preluat acest lucru îndeaproape, dar după ce a terminat lucrul la lucrare, a fost nevoit să-și sublinieze inconsecvența, după ce Russell a subliniat contradicțiile din teorie. Același Russell, așa cum am menționat mai devreme, a încercat să elimine utilizarea definițiilor impredicative cu ajutorul „teoriei tipurilor”. Cu toate acestea, conceptele sale de mulțime și infinit, precum și axioma reductibilității, s-au dovedit a fi ilogice. Problema principală a fost că nu au fost luate în considerare diferențele calitative dintre logica formală și cea matematică, precum și prezența conceptelor superflue, inclusiv a celor de natură intuitivă.
Ca urmare, teoria logicismului nu a putut elimina contradicțiile dialectice ale paradoxurilor asociate infinitului. Au existat doar principii și metode care au făcut posibilă scăparea de definiții cel puțin nepredicative. În propriul său raționament, Russell a fost moștenitorul lui Cantor.

La sfârșitul secolului XIX - începutul secolului XX. răspândirea punctului de vedere formalist asupra matematicii a fost asociată cu dezvoltarea metodei axiomatice și a programului de fundamentare a matematicii, care a fost propus de D. Hilbert. Importanța acestui fapt este indicată de faptul că prima dintre cele douăzeci și trei de probleme pe care le-a pus-o comunității matematice a fost problema infinitului. Formalizarea a fost necesară pentru a dovedi consistența matematicii clasice, „excluzând în același timp toată metafizica din ea”. Având în vedere mijloacele și metodele folosite de Hilbert, scopul său s-a dovedit a fi fundamental imposibil, dar programul său a avut un impact uriaș asupra întregii dezvoltări ulterioare a fundamentelor matematicii. Hilbert a lucrat la această problemă mult timp, după ce a construit mai întâi axiomatica geometriei. Deoarece rezolvarea problemei s-a dovedit a fi destul de reușită, el a decis să aplice metoda axiomatică la teoria numerelor naturale. Iată ce a scris el în legătură cu aceasta: „Urmez obiectiv important: eu sunt cel care aș dori să mă ocup de întrebările fundamentului matematicii ca atare, transformând fiecare enunț matematic într-o formulă strict derivabilă. În același timp, s-a planificat să scape de infinit prin reducerea lui la un anumit număr finit de operații. Pentru a face acest lucru, a apelat la fizică cu atomismul ei, pentru a arăta întreaga inconsecvență a cantităților infinite. De fapt, Hilbert a pus problema relației dintre teorie și realitatea obiectivă.

Mai mult sau mai putin vedere completă Metodele finite sunt date de studentul lui Hilbert J. Herbran. Prin raționament finit, el înțelege un astfel de raționament care îndeplinește următoarele condiții: paradoxuri logice„- numai un număr finit și definit de obiecte și funcții este întotdeauna luat în considerare;

Funcţiile au definiție precisă, iar această definiție ne permite să calculăm valoarea acestora;

Nu afirmă niciodată „Acest obiect există” decât dacă este cunoscută o modalitate de a-l construi;

Mulțimea tuturor obiectelor X din orice colecție infinită nu este niciodată luată în considerare;

Dacă se știe că orice raționament sau teoremă este adevărată pentru toți acești X, atunci aceasta înseamnă că acest raționament general poate fi repetat pentru fiecare X specific, iar acest raționament general în sine ar trebui considerat doar ca un model pentru un astfel de raționament specific.

Cu toate acestea, la momentul ultimei publicații în acest domeniu, Gödel primise deja rezultatele sale, în esență el a descoperit și a aprobat din nou prezența dialecticii în procesul cunoașterii. În esență, dezvoltarea ulterioară a matematicii a demonstrat eșecul programului lui Hilbert.

Ce anume a dovedit Gödel? Există trei rezultate principale:

1. Gödel a arătat imposibilitatea unei dovezi matematice a consistenței oricărui sistem suficient de mare pentru a include toată aritmetica, o dovadă care nu ar folosi alte reguli de inferență decât cele găsite în sistemul însuși. O astfel de dovadă, care folosește o regulă de inferență mai puternică, poate fi utilă. Dar dacă aceste reguli de inferență sunt mai puternice decât mijloacele logice ale calculului aritmetic, atunci nu va exista încredere în consistența ipotezelor utilizate în demonstrație. În orice caz, dacă metodele folosite nu sunt finitiste, atunci programul lui Hilbert se va dovedi a fi impracticabil. Gödel arată doar inconsecvența calculelor pentru a găsi o demonstrație finitistă a consistenței aritmeticii.
2. Godel a subliniat limitările fundamentale ale posibilităților metodei axiomatice: sistemul Principia Mathematica, ca orice alt sistem cu care se construiește aritmetica, este în esență incomplet, adică pentru orice sistem consistent de axiome aritmetice există propoziții aritmetice adevărate care sunt nu derivat din axiomele acestui sistem.
3. Teorema lui Gödel arată că nicio extensie a unui sistem aritmetic nu îl poate face complet și chiar dacă îl umplem cu un set infinit de axiome, atunci în noul sistem va exista întotdeauna adevărat, dar nu deductibil prin intermediul acestui sistem, pozitii. Abordarea axiomatică a aritmeticii numerelor naturale nu poate acoperi întregul domeniu al propozițiilor aritmetice adevărate, iar ceea ce înțelegem prin procesul de demonstrare matematică nu se limitează la utilizarea metodei axiomatice. După teorema lui Godel, a devenit lipsit de sens să ne așteptăm ca conceptul de demonstrație matematică convingătoare să poată fi dat o dată pentru totdeauna forme delimitate.

Cel mai recent din această serie de încercări de a explica teoria mulțimilor a fost intuiționismul.

A parcurs o serie de etape în evoluția sa - semi-intuiționism, intuiționism propriu-zis, ultra-intuiționism. În diferite etape, matematicienii au fost îngrijorați de diferite probleme, dar una dintre principalele probleme ale matematicii este problema infinitului. Conceptele matematice de infinit și continuitate au făcut obiectul analizei filozofice încă de la începuturi (ideile atomiștilor, aporii lui Zenon din Elea, metodele infinitezimale din antichitate, calculul infinitezimalelor în timpurile moderne etc.). Cea mai mare controversă a fost cauzată de utilizarea diferitelor tipuri de infinit (potențial, actual) ca obiecte matematice și interpretarea lor. Toate aceste probleme, în opinia noastră, au fost generate de o problemă mai profundă - rolul subiectului în cunoașterea științifică. Cert este că starea de criză în matematică este generată de incertitudinea epistemologică a comparației dintre lumea obiectului (infinitul) și lumea subiectului. Matematicianul ca subiect are posibilitatea de a alege mijloacele de cunoaștere – fie infinitate potențiale, fie actuale. Folosirea infinitului potențial ca devenire îi oferă posibilitatea de a realiza, de a construi un set infinit de construcții care se pot construi deasupra unora finite, fără a avea un pas finit, fără a finaliza construcția, este doar posibil. Utilizarea infinitului actual îi oferă posibilitatea de a lucra cu infinitul ca deja realizabil, finalizat în construcția lui, așa cum este dat de fapt în același timp.

În stadiul de semi-intuiționism, problema infinitului nu era încă independentă, ci a fost țesut în problema construcției obiectelor matematice și a modalităților de a o justifica. Semiintuiționismul lui A. Poincaré și reprezentanții școlii pariziene a teoriei funcțiilor Baire, Lebesgue și Borel a fost îndreptat împotriva acceptării axiomei liberei alegeri, cu ajutorul căreia se demonstrează teorema lui Zermelo, afirmând că orice multimea poate fi facuta complet ordonata, dar fara a indica o modalitate teoretica de a determina elementele oricarei submultimi din multimile dorite. Nu există nicio modalitate de a construi un obiect matematic și nu există nici un obiect matematic în sine. Matematicienii credeau că prezența sau absența unei metode teoretice de construire a unei secvențe de obiecte de studiu poate servi drept bază pentru fundamentarea sau infirmarea acestei axiome. În versiunea rusă, conceptul semi-intuiționist din fundamentele filozofice ale matematicii a fost dezvoltat într-o direcție precum efectismul dezvoltat de N.N. Luzin. Eficacismul este o opoziție cu principalele abstracții ale doctrinei lui Cantor despre infinit - actualitatea, alegerea, inducția transfinită etc.

Pentru efectism, abstracția fezabilității potențiale este mai valoroasă din punct de vedere epistemologic decât abstracția infinitului actual. Datorită acestui fapt, devine posibilă introducerea conceptului de ordinale transfinite (numere ordinale infinite) pe baza conceptului efectiv de creștere a funcțiilor. Setarea epistemologică a efectivismului pentru afișarea continuului (continuum) s-a bazat pe medii discrete (aritmetică) și pe teoria descriptivă a mulțimilor (funcțiilor) creată de N.N. Luzin. Intuiționismul olandezului L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heyting vede secvențele care apar liber de diferite tipuri ca un obiect tradițional de studiu. În această etapă, rezolvând problemele matematice propriu-zise, ​​inclusiv restructurarea întregii matematici pe o bază nouă, intuiționiștii au ridicat problema filozofică a rolului matematicianului ca subiect de cunoaștere. Care este poziția sa, unde este mai liber și mai activ în alegerea mijloacelor de cunoaștere? Intuiționiștii au fost primii (și în stadiul de semi-intuiționism) care au criticat conceptul de infinit real, teoria mulțimilor a lui Cantor, văzând în aceasta încălcarea capacității subiectului de a influența procesul de căutare științifică a unei soluții la o problemă constructivă. . În cazul utilizării infinitului potențial, subiectul nu se înșală, deoarece pentru el ideea de infinit potențial este intuitiv mult mai clară decât ideea de infinit real. Pentru un intuitionist, un obiect este considerat ca exista daca este dat direct unui matematician sau daca este cunoscuta metoda de construire a lui. În orice caz, subiectul poate începe procesul de finalizare a construcției unui număr de elemente ale setului său. Obiectul neconstruit nu există pentru intuiţionişti. În același timp, subiectul care lucrează cu infinitul actual va fi lipsit de această oportunitate și va simți dubla vulnerabilitate a poziției adoptate:

1) nu este niciodată posibil să se realizeze această construcție infinită;
2) el decide să opereze cu infinitul actual ca și cu un obiect finit, și în acest caz își pierde specificul conceptului de infinit. Intuiționismul limitează în mod conștient posibilitățile unui matematician prin faptul că poate construi obiecte matematice exclusiv prin mijloace care, deși obținute cu ajutorul conceptelor abstracte, sunt eficiente, convingătoare, demonstrabile, constructive din punct de vedere funcțional tocmai practic și sunt ele însele intuitiv clare ca construcții, construcții, a căror fiabilitate în practică, nu există nicio îndoială. Intuiționismul, bazându-se pe conceptul de infinit potențial și pe metode de cercetare constructivă, se ocupă de matematica devenirii, teoria mulțimilor se referă la matematica ființei.

Pentru intuiționistul Brouwer, ca reprezentant al empirismului matematic, logica este secundară; el o critică și legea mijlocului exclus.

În lucrările sale parțial mistice, el nu neagă existența infinitului, dar nu permite actualizarea lui, ci doar potențializarea. Principalul lucru pentru el este interpretarea și justificarea mijloacelor logice utilizate practic și a raționamentului matematic. Restricţia adoptată de intuiţionişti depăşeşte incertitudinea utilizării conceptului de infinit în matematică şi exprimă dorinţa de a depăşi criza în fundamentul matematicii.

Ultraintuiționismul (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov ș.a.) este ultima etapă a dezvoltării intuiționismului, la care ideile sale principale sunt modernizate, suplimentate și transformate semnificativ, fără a-i schimba esența, ci depășind neajunsurile și consolidând aspectele pozitive, ghidate de criteriile de rigoare matematică. Slăbiciunea abordării intuiționiste a fost o înțelegere îngustă a rolului intuiției ca singura sursă de justificare a corectitudinii și eficacității metodelor matematice. Luând „claritatea intuitivă” drept criteriu al adevărului în matematică, intuiţioniştii au sărăcit metodologic posibilităţile unui matematician ca subiect de cunoaştere, şi-au redus activitatea doar la operaţii mentale bazate pe intuiţie şi nu au inclus practica în procesul cunoaşterii matematice. Programul ultra-intuiționist de fundamentare a matematicii este o prioritate a Rusiei. De aceea, matematicienii domestici, depășind limitările intuiționismului, au adoptat metodologia eficientă a dialecticii materialiste, recunoscând practica umană ca sursă de formare atât a conceptelor matematice, cât și a metodelor matematice (inferențe, construcții). Ultraintuiționiștii au rezolvat problema existenței obiectelor matematice, bazându-se nu pe conceptul subiectiv nedefinit al intuiției, ci pe practica matematică și pe un mecanism specific de construire a unui obiect matematic - un algoritm exprimat printr-o funcție computabilă, recursivă.

Ultraintuiționismul sporește avantajele intuiționismului, care constau în posibilitatea ordonării și generalizării metodelor de rezolvare a problemelor constructive folosite de matematicienii de orice direcție. Prin urmare, intuiționismul din ultima etapă (ultraintuiționismul) este aproape de constructivism în matematică. Sub aspectul epistemologic, principalele idei şi principii ale ultraintuiţionismului sunt următoarele: critica axiomaticii clasice a logicii; utilizarea și întărirea semnificativă (pe instrucțiunile explicite ale lui A.A. Markov) a rolului abstracției identificării (abstracția mentală din proprietățile diferite ale obiectelor și izolarea simultană proprietăți comune obiecte) ca modalitate de construire și înțelegere constructivă a conceptelor abstracte, judecăților matematice; dovada consistentei teoriilor consistente. LA aspect formal utilizarea abstracției identificării este justificată de cele trei proprietăți (axiome) ale egalității - reflexivitate, tranzitivitate și simetrie.

Să rezolve principala contradicție din matematică cu privire la problema infinitului, care a dat naștere unei crize a fundamentelor sale, în stadiul de ultra-intuiționism în lucrările lui A.N. Kolmogorov a sugerat căi de ieșire din criză prin rezolvarea problemei relațiilor dintre logica clasică și intuiționistă, matematica clasică și intuiționistă. Intuiționismul lui Brouwer în ansamblu a negat logica, dar întrucât orice matematician nu se poate lipsi de logică, practica raționamentului logic era încă păstrată în intuiționism, au fost permise unele principii ale logicii clasice, care aveau ca bază axiomatica. S.K. Kleene, R. Wesley notează chiar că matematica intuiționistă poate fi descrisă ca un fel de calcul, iar calculul este o modalitate de organizare a cunoștințelor matematice pe baza logicii, a formalizării și a formei sale - algoritmizarea. O nouă versiune a relației dintre logică și matematică în cadrul cerințelor intuiționiste pentru claritatea intuitivă a judecăților, în special a celor care includeau negația, A.N. Kolmogorov a propus astfel: el a prezentat logica intuiționistă, strâns legată de matematica intuiționistă, sub forma unui calcul minimal implicativ axiomatic de propoziții și predicate. Astfel, omul de știință a prezentat un nou model de cunoaștere matematică, depășind limitările intuiționismului în recunoașterea doar a intuiției ca mijloc de cunoaștere și a limitărilor logicismului, care absolutizează posibilitățile logicii în matematică. Această poziție a făcut posibilă demonstrarea în formă matematică a sintezei intuitivului și logicului ca bază a raționalității flexibile și a eficacității sale constructive.

Constatări. Astfel, aspectul epistemologic al cunoștințelor matematice ne permite să evaluăm schimbari revolutionareîn stadiul crizei fundamentelor matematicii pe rândul XIX-XX secole din noi poziții în înțelegerea procesului de cunoaștere, a naturii și a rolului subiectului în acesta. Subiect gnoseologic teoria tradițională cunoașterea, corespunzătoare perioadei de dominare a demersului teoretic multimilor în matematică, este un subiect abstract, incomplet, „parțial”, reprezentat în relații subiect-obiect, rupt de abstracțiuni, logică, formalism din realitate, cunoaștere rațional, teoretic. obiectul său și înțeles ca o oglindă, reflectând și reproducând cu exactitate realitatea. De fapt, subiectul a fost exclus de la cunoaștere ca proces real și rezultat al interacțiunii cu obiectul. Intrarea intuiționismului în arena luptei tendințelor filozofice din matematică a condus la o nouă înțelegere a matematicianului ca subiect al cunoașterii - o persoană care știe, a cărei abstracție filosofică trebuie construită, parcă, din nou. Matematicianul a apărut ca subiect empiric, înțeles deja ca persoană reală integrală, incluzând toate acele proprietăți din care au fost abstrase în subiectul epistemologic - concretețe empirică, variabilitate, istoricitate; este o acțiune și o cunoaștere în cunoașterea reală, un subiect creativ, intuitiv, inventiv. Filosofia matematicii intuiționiste a devenit baza, fundamentul paradigmei epistemologice moderne, construită pe conceptul de raționalitate flexibilă, în care o persoană este subiect integral (holistic) al cunoașterii, posedând noi calități cognitive, metode, proceduri; el își sintetizează natura și forma abstract-epistemologică și logico-metodologică și primește în același timp o înțelegere existențial-antropologică și „istoric-metafizică”.

Un punct important este și intuiția în cunoaștere și, în special, în formarea conceptelor matematice. Din nou, există o luptă cu filozofia, încercări de a exclude legea mijlocului exclus, ca neavând sens în matematică și venind în ea din filozofie. Cu toate acestea, prezența unui accent excesiv pe intuiție și lipsa unor justificări matematice clare nu au permis transferul matematicii pe o bază solidă.

Cu toate acestea, după apariția în anii 1930 concept strict algoritm, ștafeta de la intuiționism a fost preluată de constructivismul matematic, ai cărui reprezentanți au adus o contribuție semnificativă la teoria modernă a computabilității. În plus, în anii 1970 și 1980, s-au descoperit conexiuni semnificative între unele dintre ideile intuiționiştilor (chiar și cele care păreau anterior absurde) și teoria matematică a toposului. Matematica găsită în unele topoi este foarte asemănătoare cu cea pe care intuiționiștii încercau să o creeze.

Ca rezultat, se poate face o afirmație: majoritatea paradoxurilor de mai sus pur și simplu nu există în teoria mulțimilor cu proprietăți de sine. Este o astfel de abordare finală - problema controversata, munca in continuareîn această zonă va arăta.

Concluzie

Analiza dialectico-materialistă arată că paradoxurile sunt o consecință a dihotomiei limbaj și gândire, o expresie a dialecticii profunde (teorema lui Gödel a făcut posibilă manifestarea dialecticii în procesul de cunoaștere) și a dificultăților epistemologice asociate conceptelor de obiect și subiect. zonă în logica formală, o mulțime (clasă) în logică și teoria mulțimilor, cu utilizarea principiului abstracției, care permite introducerea de noi obiecte (abstracte) (infinit), cu metode de definire a obiectelor abstracte în știință etc. Prin urmare, o nu poate fi dat un mod universal de a elimina toate paradoxurile.

Fie că a treia criză a matematicii s-a încheiat (pentru că era într-o relație cauzală cu paradoxurile; acum paradoxurile sunt o parte integrantă) - opiniile diferă aici, deși paradoxurile cunoscute formal au fost eliminate până în 1907. Cu toate acestea, acum în matematică există și alte circumstanțe care pot fi considerate fie criză, fie prefigurează o criză (de exemplu, absența unei justificări riguroase pentru integrala căii).

În ceea ce privește paradoxurile, cunoscutul paradox al mincinosului a jucat un rol foarte important în matematică, precum și o serie întreagă de paradoxuri în așa-numita teorie a mulțimilor naive (precedente axiomatice) care au provocat o criză de fundamente (unul dintre aceste paradoxuri a jucat). un rol fatal în viaţa lui G. Frege) . Dar, poate, unul dintre cele mai subestimate fenomene din matematica modernă, care poate fi numit atât paradoxal, cât și criză, este soluția lui Paul Cohen în 1963 a primei probleme a lui Hilbert. Mai exact, nu chiar faptul deciziei, ci natura acestei decizii.

Literatură

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. ÎN. Burova. Paradoxurile teoriei mulțimilor și ale dialecticii. Știință, 1976.
3. M.D. Olar. Teoria mulțimilor și filosofia ei: o introducere critică. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Jukov N.I. Fundamentele filozofice ale matematicii. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Desigur, glumesti, domnule Feynman!: aventurile unui om uimitor, povestite de el lui R. Layton. Pasărea colibri, 2008.
6. O. M. Mijevici. Două moduri de a depăși paradoxurile în teoria mulțimilor a lui G. Kantor. Studii logice și filozofice, (3):279--299, 2005.
7. S. I. Masalova. FILOZOFIA MATEMATICII INTUITIONISTE. Buletinul DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teoria multimilor cu auto-proprietate (fundamente si unele aplicatii). Permanent. stat un-t. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Un scurt rezumat al prelegerilor la disciplina „"Filosofia matematicii"". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Studii în teoria mulțimilor și logica neclasică. Știință, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: această ghirlandă nesfârșită. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Introducere în logica matematică. Editura „Nauka”, 1976.
13. DA. Bochvar. Pe problema paradoxurilor logicii matematice și teoriei mulțimilor. Colecția matematică, 57(3):369--384, 1944.

În loc de adnotare:

„... Dovada diagonală a lui Cantor este o activitate pentru idioți care nu are nimic de-a face cu ceea ce se numește de obicei deducție în logica clasică”.

L. Wittgenstein

„... Teoria lui Cantor prezintă un incident patologic din istorie matematica, din care provine generațiile vor fi pur și simplu îngrozite”

K. Bauer, fondatorul topologiei

1. Criza cunoștințelor matematice moderne.

Matematica joacă un rol principal în procesul de transformare a nuka antică și medievală în una europeană modernă, deoarece știința naturală teoretică este imposibilă fără matematică. În știința naturală europeană modernă, nu este întâmplător faptul că matematica este numită „regina științelor”. Dacă în epoca antichității era separată de științele naturii și subiectul său era sfera idealului entitati matematice, apoi în vremurile moderne situația se schimbă dramatic. Matematica se apropie de științele naturii și începe să le dicteze propriile reguli de conviețuire. În acest sens, știința naturală conceptuală modernă primește definiția matematicii. Științele naturii moderne datorează o mare parte din succesul lor matematicii europene moderne. Cu toate acestea, ultima, a treia criză, care durează de mai bine de o sută de ani, indică existența unor probleme serioase în temelii.

Există un punct de vedere tradițional că la începutul secolelor XIX-XX. a existat o a 3-a criză în fundamentele matematicii, ale cărei cauze sunt asociate cu convergența matematicii cu logica, precum și cu necesitatea clarificării unor astfel de concepte matematice precum număr, mulțime, limită, funcții etc.

Originile acestei crize datează din secolele XVII-XVIII, când matematica a dezvoltat metode de rezolvare a problemelor din științele naturii. Matematicienilor de atunci nu le păsa în mod deosebit rațiunea propriilor metode [L.S. Freynman. Creatori ai matematicii superioare. M., 1968. S. 83-84]

În secolul 19 are loc o revizuire a conceptelor fundamentale şi formarea matematicii teoretice. Aceasta duce la formarea teoriei mulțimilor și la aritmetizarea matematicii.

Cei mai mari matematicieni ai secolului al XIX-lea au căutat să reducă toate faptele matematicii la numărși dezvoltă intens, începând cu Investigațiile aritmetice ale lui Gauss (1801), teoria numărului [F.A.Medvedev. Dezvoltarea teoriei multimilor în secolul al XIX-lea. M., 1965. S. 35-36.]. În primul rând, s-a aplicat analizei matematice. Cele mai problematice au fost fundamentele sale logice. În acest sens, în secolul al XIX-lea. începe dezvoltarea fundamentelor matematicii și a metodelor mai riguroase pentru definițiile și demonstrațiile acesteia.

În procesul de restructurare a analizei matematice, există convingerea că teoremele de algebră și analiză matematică pot fi formulate ca o teoremă asupra numerelor naturale [Dedekind R. Ce sunt numerele și la ce servesc ele. Kazan: Ed. Universitatea Imperială, 1905. S. 5].

Rezultatul acestui proces a fost realizarea numărului ca concept fundamental al întregii matematici și construirea teoriei numerelor reale de către matematicieni precum Bolzano, Weierstrass, Dedekind și Kantor.

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea se pune deja problema fundamentarii matematicii. Un rol deosebit în soluționarea sa l-a jucat construcția teoriei mulțimilor de către G. Kantor. Ca urmare, conceptele de analiză și teoria funcției sunt formulate în termeni de teoria mulțimilor. Conceptul fundamental pentru acesta din urmă a fost conceptul unui set de fapt infinit.

Dezvoltarea teoriei mulțimilor prin încorporarea conceptului de infinit real a însemnat, de fapt, o revoluție în istoria matematicii, comparabilă cu revoluția lui Copernic, teoria relativității și mecanica cuantică. Teoria multimilor a dat o metodă universală, care a devenit baza dezvoltare ulterioară matematică.

Următoarea etapă în dezvoltarea matematicii a fost asociată cu convergența algebrei, a logicii și a teoriei mulțimilor. Matematica capătă o formă abstractă fără precedent. Aceasta a însemnat o tranziție la baza logică a matematicii. O contribuție remarcabilă la fundamentele matematicii a avut-o G. Frege („Fundamentals of Arithmetic” și „Basic Laws of Arithmetic Obtained by Calculus of Concepts”). Realizează construcția deductivă axiomatică a logicii matematice (calcul propozițional, calculul predicatelor). Problema fundamentării logice a numărului, independenței, consistenței și completității sistemelor de axiome este în curs de rezolvare. „Logistica” apare ca o prezentare a matematicii în limbajul logicii. Există un proces de dezvoltare a unui puternic analiza logicași formalizarea logicii.

Ideea deductibilității matematicii din logică câștigă teren. Frege, după ce a definit conceptele de „număr” și „cantitate” în termenii logici de „clasă” și „relație”, reușește să formalizeze teoria mulțimilor și să prezinte matematica ca o extensie a logicii.

Acest proces se încheie cu crearea lucrării fundamentale în trei volume Principia Mathematica (1910-1913) de Russell și Whitehead.

La sfârșitul secolului al XIX-lea s-a dezvoltat o situație în matematică foarte asemănătoare cu cea din fizică până la începutul anilor 1990, când s-a stabilit ideea completității fizicii clasice. Și apoi au urmat evenimentele dramatice, asupra cărora ne-am oprit mai devreme.

La începutul secolelor XIX-XX. matematica intră într-o perioadă de criză acută cauzată de apariția unei serii de paradoxuri matematice, logice și semantice de nerezolvat care pun la îndoială teoria mulțimilor a lui Cantor și fundamentele matematicii clasice. Acest lucru i-a cufundat în disperare chiar și pe matematicieni proeminenți precum Cantor, Frege și alții. G. Weyl, chiar și după mulți ani, a scris următoarele rânduri despre această perioadă din istoria cunoștințelor matematice: „ Acum suntem mai puțin siguri ca niciodată de bazele primare ale matematicii și logicii. Ne trăim „criza” în același mod în care toată lumea și totul în lumea modernă o trăiesc. Această criză durează deja de cincizeci de ani (aceste rânduri au fost scrise în 1946). La prima vedere, se pare că nu interferează în mod deosebit cu munca noastră zilnică. Cu toate acestea, trebuie să mărturisesc imediat că al meu munca matematica această criză a avut un impact practic notabil: mi-a îndreptat interesele către domenii pe care le consideram relativ „sigure” și a subminat constant entuziasmul și determinarea cu care mi-am continuat cercetările. Experiența mea a fost probabil împărtășită de alți matematicieni care nu sunt indiferenți față de locul pe care îl ocupă propria lor activitate științifică în această lume în contextul general de a fi o persoană care se interesează, suferă și creează.» [M. Kline. Matematică. Pierderea certitudinii. M.: Mir, 1984. S. 387]. „... Starea în care ne aflăm acum cu privire la paradoxuri”, scrie D. Gilbert, „pe perioadă lungă de timp insuportabil. Gândiți-vă: în matematică - acel model de certitudine și adevăr - formarea conceptelor și cursul inferențelor, pe măsură ce toată lumea le studiază, le învață și le aplică, duce la absurd. Unde să cauți fiabilitatea și adevărul, dacă chiar și gândirea matematică în sine nu se aprinde? [D. Gilbert. Bazele geometriei. M.-L., 1948. S.349].

Încercările nereușite de a rezolva paradoxurile i-au determinat pe matematicieni să creadă că cauzele crizei se află în domeniul conceptelor și metodelor fundamentale de raționament. Este nevoie să regândim principiile matematicii și să renunțăm la unele dintre conceptele vechi. Și aceasta, în primul rând, a vizat restructurarea teoriei mulțimilor și rafinarea însuși conceptului de mulțime pe o bază cu totul nouă [S. Kleene. Introducere în metamatematică. M., 1957. S. 42.]. Însuși idealul logicii ca criteriu pentru rigoarea demonstrației matematice a fost distrus. Prin urmare, matematica s-a confruntat cu sarcina de a restabili fiabilitatea anterioară și fiabilitatea cunoștințelor matematice. Natura intuitivă a raționamentului logic și limbajul corespunzător nu se mai potriveau oamenilor de știință [Kh. Curry. Bazele logicii matematice. M., 1969. S. 26.]. Apar trei programe de cercetare: logicism, formalism și intuiționism.

O scurtă digresiune în istoria matematicii moderne arată că la baza ei, și, în consecință, întreaga științe matematice ale naturii se află teorie fundamentală Cantor stabilește conceptul științific de bază al infinitului real. Și matematica în sine este atât de strâns legată de conceptul de infinit, încât este adesea definită ca știința infinitului.

Matematica, ca și alte științe (și filozofie), este destul de profund determinată de paradigmele spirituale și istorice fundamentale. Această credință este confirmată de lucrările lui P.P. Gaidenko, dedicate evoluției conceptului de știință în contextul istoriei filozofiei [P.P. Gaidenko. Evoluția conceptului de știință (formarea și dezvoltarea primelor programe științifice științifice). M. „Știință”, 1980. – (fără note de subsol) – [ Resursa electronica]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]. Și deși în cercetările sale autorul se concentrează pe interacțiunea cunoștințelor științifice și filozofice, cu toate acestea, impactul contextului religios asupra programelor științifice poate fi urmărit în acestea nu mai puțin clar. Influența premiselor religioase, teologice asupra conținutului matematicii moderne este prezentată în mod convingător și în lucrările lui V.N. Katasonova [V.N. Katasonov. Concepte științifice și filozofice ale infinitului și creștinismului. - [Resursă electronică]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html] și A.A. Zenkin [A.A. Zenkin. Paradisul Transfinit de Georg Cantor: Povești bibliceîn ajunul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/] etc.

Astfel, ideea că matematica este o știință liberă (independentă) și universală care se dezvoltă după propriile legi este mult exagerată.

2. Rezumatul teoriei multimilor a lui G. Kantor.

G. Kantor consideră programul științific pitagoreo-platonic drept bază a teoriei mulțimilor, a cărei critică a fost dată de Aristotel, dar care este din nou reînviată în filosofia Renașterii. Pentru a o fundamenta, sunt folosite argumente teologice ale învățăturii catolice. Gândirea filozofică și matematică, începând din secolul al XV-lea, a pregătit treptat crearea acestei teorii.

Georg Cantor este creatorul teoriei mulțimilor și al teoriei numerelor transfinite. Ideea principală a teoriei sale a mulțimilor infinite a constat într-o respingere decisivă a tezei lui Aristotel despre mulțimile de fapt infinite. Kantor și-a bazat studiul mulțimilor infinite pe ideea unei corespondențe unu-la-unu între elementele mulțimilor comparate. Dacă se poate stabili o astfel de corespondență între elementele a două mulțimi, atunci se spune că mulțimile au aceeași cardinalitate, adică sunt echivalente sau echivalente. „În cazul mulțimilor finite”, a scris Kantor, „cardinalitatea este aceeași cu numărul de elemente”. De aceea puterea se mai numește și număr cardinal (cantitativ) al unei mulțimi date [P. Stahov. Sub semnul „Secțiunii de aur”: Mărturisirea fiului unui elev student.Capitolul 5. Teoria algoritmică a măsurării. 5.5. Problema infinitului în matematică. - [Resursă electronică]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

În 1874, a stabilit existența unor mulțimi neechivalente, adică infinite cu cardinalități diferite; în 1878, a introdus concept general cardinalități de mulțimi (în denumirea de cardinalități de mulțimi propuse de el și acceptate în matematică de literele alfabetului ebraic, originea lui evreiască, potrivit tatălui său, probabil afectată). În lucrarea principală „On infinite linear point forms” (1879–84), Kantor a expus în mod sistematic doctrina mulțimilor și a completat-o ​​prin construirea unui exemplu de mulțime perfectă (așa-numita mulțime Cantor) [Kantor G. On infinite linear formațiuni punctuale. // Idei noi în matematică, 1994, nr. 6, Sankt Petersburg].

Kantor a dat conținut matematic ideii de infinit real. Kantor s-a gândit la teoria sa ca la un calcul complet nou al matematicii infinite, „transfinite” (adică „superfinite”). Infinitul real este, așa cum ar fi, un „receptacol” în care se desfășoară o serie de infinitate potențiale, iar acest recipient trebuie să fie deja date reale.

Conform ideii sale, crearea unui astfel de calcul trebuia să revoluționeze nu numai matematica, ci și metafizica și teologia, care l-au interesat pe Cantor aproape mai mult decât cercetarea științifică în sine. A fost singurul matematician și filozof care credea că infinitul actual nu numai că există, ci este și înțeles de om în sensul deplin, iar această înțelegere îi va ridica pe matematicieni, iar după ei pe teologi, mai sus și mai aproape de Dumnezeu.. Și-a dedicat viața acestei sarcini. Omul de știință credea ferm că a fost ales de Dumnezeu pentru a face o mare revoluție în știință, iar această credință era susținută de viziuni mistice.

Această abordare l-a condus pe Cantor la multe descoperiri paradoxale care contrazic puternic intuiția noastră. Deci, spre deosebire de mulțimile finite, care sunt supuse axiomei euclidiene „Întregul este mai mare decât partea”, mulțimile infinite nu se supun acestei axiome. Este ușor, de exemplu, să se stabilească echivalența mulțimii numerelor naturale și a părții sale - mulțimea numerelor pare prin stabilirea următoarei corespondențe unu-la-unu: [P. Stahov. Sub semnul „Secțiunii de aur”: Mărturisirea fiului unui elev student.Capitolul 5. Teoria algoritmică a măsurării. 5.5. Problema infinitului în matematică. - [Resursă electronică]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

O mulțime, conform lui Cantor, se numește infinită dacă este echivalentă cu una dintre submulțimile sale. O mulțime se numește finită dacă nu este echivalentă cu niciuna dintre submulțimile sale. O mulțime numărabilă este o mulțime echivalentă cu mulțimea numerelor naturale, deoarece elementele sale pot fi enumerate [Ibid.].

Kantor credea că mulțimile numerelor naturale, raționale și algebrice au aceeași cardinalitate, adică. sunt numărabile [Ibid.].

Cantor a încercat de asemenea să demonstreze că mulțimea N de numere naturale poate fi mapată la o parte a mulțimii R de numere reale, în timp ce cardinalitatea numerelor reale este mai mare decât cardinalitatea mulțimii numerelor naturale [Ibid.].

În 1886, Kantor a încercat să demonstreze că nu există mai multe puncte într-un pătrat unitar decât într-un segment unitar. Prin urmare, puterea continuumului bidimensional este egală cu puterea continuumului unei dimensiuni [Ibid.].

Ideile lui Cantor s-au dovedit a fi atât de neașteptate și contraintuitive încât celebrul matematician francez Henri Poincaré a numit teoria numerelor transfinite o „boală” de care matematica trebuie să se vindece cândva. Leopold Kronecker - profesorul lui Kantor și unul dintre cei mai respectați matematicieni din Germania - l-a atacat chiar și personal pe Kantor, numindu-l „șarlatan”, „renegat” și „pătrunitor al tinereții” [În lumea științei. Scientific American · Ediția Rusă Nr. 8 · August 1983 · P. 76–86 / Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory].

Teoria mulțimilor a deschis și o nouă pagină în studiul fundamentelor matematicii - lucrarea lui Kantor a făcut posibilă pentru prima dată formularea clară a ideilor generale moderne despre subiectul matematicii, structura teoriilor matematice, rolul axiomaticii și conceptul. de izomorfism al sistemelor de obiecte, dat împreună cu relațiile care le leagă. Teoria lui multimi este una dintre pietrele de temelie ale matematicii.

În filosofia matematicii, Kantor a analizat problema infinitului. Distingând două tipuri de infinit matematic - impropriu (potențial) și propriu (actual, înțeles ca un întreg), - Kantor, spre deosebire de predecesorii săi, a insistat asupra legalității operațiunii în matematică cu conceptul de infinit de fapt. Susținător al platonismului, Kantor a văzut în actualul-infinitul matematic una dintre formele infinitului actual în general, dobândind cea mai înaltă completitudine în ființa divină absolută.

3. Marea confruntare dintre cantoriani si anticantorieni.

Critica de A.A. Zenkin a teoriei abstracte a mulțimilor

G. Kantor și „Învățături despre transfinit”.

Dintre numeroasele literaturi critice consacrate teoriei multimilor a lui G. Kantor, studiile matematicianului rus A. A. Zenkin merita o atentie deosebita. Potrivit celebrului matematician A.P.Stakhov, poate că el (Zenkin) va pune ultimul punct în disputa cu Kantor și în rezolvarea crizei matematice din matematica modernă.[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

În articolul original „Paradisul transfinit al lui George Kantor. Povești biblice în pragul Apocalipsei „Omul de știință rus A.A. Zenkin analizează defectele epistemologice din logica dovezii lui Cantor a nenumărabilității continuumului, bazată pe conceptul de infinit actual[A.A. Zenkin. Paradisul transfinit al lui Georg Kantor: Povești biblice în pragul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Timp de milenii, - notează A.A. Zenkin, - astfel de oameni de știință și filozofi remarcabili precum Aristotel, Euclid, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Kant, Spinoza, Lagrange, Gauss, Kronecker, Lobachevsky au susținut și împărtășit o atitudine negativă față de conceptul de AB, Cauchy, F. Klein, Hermite, Poincare, Baer, ​​​​Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weil, Luzin și deja astăzi - Erret Bishop, Solomon Feferman, Yaroslav Peregrin, Vladimir Turchin, Pyotr Vopenka și mulți alții.

Începând cu anii 70 ai secolului al XIX-lea, a existat o atitudine puternic negativă față de teoria mulțimilor a lui Georg Cantor, bazată pe conceptul de AB. A.A. Zenkin dă exemple ale celor mai categorice declarații adresate ei. Așadar, Henri Poincaré a ajuns la concluzia că „nu există infinitate efectivă; cantorianii au uitat de asta și au căzut în controverse. Generațiile viitoare vor vedea teoria seturilor lui Cantor ca pe o boală care a fost în sfârșit vindecată.”[A.Poincaré, Despre știință. – M.: Nauka, 1983]. Fondatorul topologiei moderne, L. Brouwer, nu este mai puțin radical în afirmațiile sale: „ Teoria lui Cantor în ansamblu este un incident patologic din istoria matematicii, de care generațiile viitoare vor fi pur și simplu îngrozite.[A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Bazele teoriei multimilor. - M.: „Mir”].

„Cu toate acestea, și astăzi”, scrie matematicianul rus, „la fel ca la începutul secolului al XX-lea, există o „mare confruntare” între logica meta-matematică a cantorianilor, care recunosc legitimitatea „Doctrinei lui Cantor”. Transfinit” sub forma versiunilor „non-naive” (vezi. mai jos) ale acestei „Învățături”, adică. sub forma teoriei axiomatice moderne a multimilor (in continuare - ATM), bazata pe folosirea (tacita - vezi mai jos) a conceptului de AB, si intuitia matematica a anti-cantorienilor care resping conceptul de AB si „Doctrina lui G. Cantor”. al Transfinitului" bazat pe acest concept" [ A.A. Zenkin. Paradisul transfinit al lui Georg Kantor: Povești biblice în pragul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Utilizarea conceptului AB duce la paradoxuri ale logicii și matematicii, ale căror mecanisme de generare rămân nedescoperite până în prezent. În acest sens, dezvăluirea naturii logice a paradoxurilor și a legitimității utilizării conceptului AB în matematică sunt relevante astăzi. Frenkel și Bahr-Hillel subliniază că nu există absolut nimic în interpretarea tradițională a logicii și matematicii care ar putea servi drept bază pentru eliminarea antinomiei lui Russell.<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Considerăm că orice încercare de a ieși din situație cu ajutorul modalităților tradiționale... de gândire, până acum invariabil eșuate, sunt în mod evident insuficiente în acest scop. O oarecare abatere de la modurile obișnuite de gândire este în mod clar necesară, deși locul acestei plecări nu este clar dinainte” [A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Bazele teoriei multimilor. - M.: „Mir”].

Teoria abstractă a seturilor și afirmarea ei în știința modernă, conform lui A.A. Zenkin, este un exemplu viu de pseudo-știință, un caz fără precedent de creare a unui mit fals în știință prin utilizarea tehnologiilor PR.

Mai mult, A.A. Zenkin dezvăluie involuntar adevărata esență imparțială a științei moderne ca instituție socială: „ATM - inițiativa a dat naștere unui fenomen negativ la scară atât de mare precum burbakismul, i.e. formalizarea excesivă, inutilă, fără sens, stupefiantă, stupefiantă și zombificatoare a matematicii și a educației matematice. Descriind consecințele negative ale unei astfel de burbakizări, un remarcabil matematician și profesor rus, academicianul V.I. Arnold scrie: „La mijlocul secolului al XX-lea, mafia „matematicienilor din emisfera stângă”, care a avut o mare influență, a reușit să excludă geometria din matematică. educație ... înlocuirea întregii părți de conținut a acestei discipline cu pregătire în manipularea formală a conceptelor abstracte. O astfel de descriere abstractă a matematicii nu este potrivită pentru predare sau pentru orice aplicație practică. Educație modernă formalizată (burbakizată) în matematică - total opus predarea abilității de a gândi și a elementelor de bază ale științei. Este periculos pentru întreaga omenire. Viitorul matematicii infectate cu această boală pare destul de sumbru” [A.A. Zenkin. Paradisul transfinit al lui Georg Kantor: Povești biblice în pragul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Matematicianul rus formulează patru exemple de „minciună pentru a salva bancomatul lui H. Kantor”:

Minti mai intai. „Matematica este regina tuturor științelor, iar ATM este regina matematicii”! Cu această ocazie, A.A. Zenkin scrie că ATM-ul modern păcălește comunitatea profesionistă a matematicienilor și zombifică tânăra generație de matematicieni. Cantorianii susțin că, dacă la începutul secolului al XX-lea mulți matematicieni remarcabili au respins categoric ATM-ul ca pseudoștiință, astăzi, „matematicienii moderni, în sfârșit, luminat despre asta că toate infinitările sunt relevante s-au răzgândit cu privire la subiectul că teoria final numerele naturale este „derivabilă” din teorie transfinit numere, că conceptul de mulțime goală este dedus din conceptul de mulțime de fapt infinită, că toată matematica modernă poate fi derivată din ATMși a recunoscut oficial că „Matematica este regina tuturor științelor, iar ATM este regina matematicii”! Toți oponenții de ieri ai ATM-ului de astăzi sunt de acord că ATM-ul este realizare remarcabilă matematica modernă, o realizare care a schimbat fața întregii matematici în secolul al XX-lea” [Ibid.].

„Acesta este un fapt empiric”, Martin Davis și Reuben Hersh zombifică deja comunitatea științifică astăzi, „ că aproximativ 90% dintre matematicienii care lucrează a acceptat teoria mulțimilor a lui Cantor, atât în ​​teorie, cât și în practică, într-o oarecare măsură» [Ibid.].

Apoi, ca de fapt, notează A.A. Zenkin, cantorianii sunt în mod deliberat vicleni și nu fac o diferență semnificativă între limbajul teoriei abstracte a mulțimilor și doctrina lui Cantor despre ordinale și cardinale transfinite. Într-adevăr, limbajul teoriei mulțimilor a devenit un limbaj matematic universal. În timp ce doctrina ordinalelor și cardinalelor transfinite, din cauza inutilității lor absolute, 90% dintre matematicienii care lucrează cu adevărat nu se aplică nicăieri. Din restul, 9% dintre matematicieni nu acceptă categoric această doctrină și doar 1% sunt adepți de ATM sau Bourbakiști.

A doua minciună. Baza ATM-ului modern este o „metodă” flagrantă pseudo-științifică, semi-criminală de a rezolva problema fundamentală. întrebare științifică despre natura logica infinitul matematic . Esența ei constă în faptul că teoria mulțimilor a lui Cantor, bazată pe conceptul de AB, a fost declarată „naivă”, iar termenul însuși AB a fost scos din limitele unei științe meta-matematice respectabile. A fost una dintre cele mai eficiente campanii de PR implementate vreodată în istoria științei.

Cu toate acestea, teoria modernă a ATM a împrumutat din teoria „naivă” teorema privind nenumărabilitatea continuumului, a cărei demonstrație se bazează pe utilizarea conceptului evident contradictoriu de AB. În acest sens, A.A. Zenkin consideră teoria mulțimilor a lui Cantor drept una dintre principalele surseA treia mare criză a fundamentelor matematicii, care continuă până în zilele noastre.

A treia minciună. Condițiile pentru dovedirea ATM nu sunt formulate explicit, ci sunt subînțelese la nivelul prevederilor filozofice. Din punctul de vedere al logicii și matematicii clasice, „presupunerea AB” este o condiție necesară pentru deducerea majorității teoremelor ATM.

A patra minciună. Teoria mulţimilor nu a reuşit, în cele din urmă, să elimine potenţialitatea prin metodologia stiintifica, adică demonstra inconsecvența conceptului PB. ATM-ul a mers în sens invers. Ea a declarat problema legitimității utilizării AB ca una filozofică. A.A. Zenkin vede acest lucru ca fiind instinctul de auto-conservare al suporterilor ATM, deoarece o încercare de a da o definiție strictă a conceptului de AB va duce la o înțelegere evidentă a inconsecvenței acestuia. Și acest lucru va pune în pericol cei bine finanțați și obișnuiți bunăstarea obișnuiților bancomatelor din „paradisul transfinit” al lui Cantor. Într-un asemenea mod semi-criminal și pseudoștiințific, ATM-ul - „clan”, s-a ocupat de oponenții săi.

Și în sfârșit, a cincea minciună. Impunerea unei „poveste de groază” asupra comunității matematice că demonstrarea Teoremei Continuului Nenumărabil este atât de dificilă încât este disponibilă doar pentru specialiști selectați . Mulți matematicieni au crezut în acest mit și și-au recunoscut incompetența atunci când au discutat teorema fundamentală a lui Cantor despre nenumărabilitatea continuumului. Ca dovadă a falsității flagrante a acestui mit, A.A. Zenkin își propune să compare metodologia dovedirii teoremei Cantor și binecunoscuta teoremă a lui Pitagora.

În teorema lui Pitagora, notează A.A. Zenkin, trei (!) concepte elementare matematică (concept triunghi dreptunghic, se efectuează conceptul de asemănare a triunghiurilor, conceptul de proporție) și trei (!) operații matematice: două înmulțiri și o adunare. expresii algebrice. Dovada în sine (fără poză) are 5 (cinci!) rânduri. Demonstrarea lui Cantor folosește trei (!) concepte elementare ale matematicii (conceptul de număr natural, conceptul de număr real și conceptul de succesiune infinită de numere reale enumerate) și nu se efectuează o singură (!) operaţie matematică. Dovada în sine are 5 (cinci!) rânduri, scrise în limbajul logicii elementare din a doua jumătate a secolului al XIX-lea.[Ibid].

Corectitudinea acestei dovezi se întâlnește cu obiecții serioase din partea matematicienilor, logicienilor și filosofilor eminenți. " În implicațiile sale paradigmatice pentru filozofie, logică, matematică și psihologia cunoașterii, teorema lui Cantor este de neegalat. O „soartă” epistemologică atât de diferită a acestor teoreme, atât de asemănătoare ca criterii formale (și în ceea ce privește trivialitatea „urlătoare” a demonstrațiilor), se explică prin faptul că demonstrarea teoremei lui Cantor folosește conceptul (implicit) contradictoriu de infinitul real» [Ibid.].

A.A.Zenkin nu se oprește la acest argument și trece direct la analiza metodei diagonale (DM) ca o dovadă a teoremei lui Cantor asupra nenumărabilității continuumului.

Având în vedere forma canonică a DM, omul de știință rus ajunge la concluzia că „dovada sa diagonală (a lui Cantor) a incomensurabilității cantitative a două mulțimi infinite X și N se bazează pe faptul că o mulțime infinită X conține întotdeauna un element în plus (a lui Cantor). nou AD-d.h. x*), pentru enumerarea cărora, „ca întotdeauna”, lipsește un element din mulțimea infinită N, sau, formal, din faptul că mulțimea infinită X are un element în plus decât mulțimea infinită. N. Cred că acesta este - tocmai acel loc în demonstrația lui Cantor a provocat întotdeauna respingere (respingere) categorică din partea intuiției științifice a profesioniștilor matematici remarcabili (vezi Lista-1)” [Ibid.]. A.A. Zenkin oferă o evaluare a unor astfel de dovezi de către Wittgenstein: „O persoană lucrează zi de zi în sudoarea sprâncenei - face o listă cu toate numerele reale, iar acum, când lista este în sfârșit terminată, apare un magician, ia diagonală a acestei liste și în fața ochilor publicului uluit, cu ajutorul unui algoritm destul de „ezoteric”, îl transformă într-o... o antidiagonală, i.e. la un nou număr AD-real care nu este inclus în lista originală . De asemenea felDovada diagonală a lui Cantor este o activitate pentru idioți care nu are nimic de-a face cu ceea ce se numește deducție în logica clasică..

Mai mult, matematicianul rus descoperă pentru prima dată fapt unicîn dovada lui Cantor. Punctul cheie al demonstrației lui Cantor este utilizarea explicită a metodei contra-exemplului. Și „contra-exemplul în sine nu se găsește în ansamblul tuturor realizărilor posibile ale unui dat general afirmații, dar algoritmic dedusă din afirmația generală că acest contraexemplu este destinat să infirme (sub forma deductiv output , aici B= "lista (1) conține toate d.h. din X”)” [A.A. Zenkin. Paradisul transfinit al lui Georg Kantor: Povești biblice în pragul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

În urma cunoașterii profesioniștilor ATM-ului cu descoperirea lui A.A. Zenkin, a apărut o controversă ascuțită, în care „tot profesionalismul fals al unui număr de autorități ATM recunoscute s-a manifestat tocmai în domeniul logicii elementare” [Ibid.].

Rezumând rezultatele controversei, A.A. Zenkin ajunge la următoarea concluzie neașteptată: „Apare o situație scandaloasă! – De mai bine de o sută de ani, profesioniști remarcabili (și nu chiar așa) în domeniul meta-matematicii, logicii matematice, teoriei axiomatice a mulțimilor și alți Bourbakiști predau (mai corect, zombifiind) noile generații de studenți în fiecare an, „cum pentru a demonstra corect” nenumărabilitatea continuumului folosind celebra metodă diagonală Cantor, neînțelegând absolut natura logică a acestei metode!

Cu adevărat, „un incident patologic de care, potrivit lui Brouwer, generațiile viitoare vor fi îngrozite”! – Sau, mai degrabă, vor râde „din adâncul sufletului”, dar... „până căd cu totul”. - Peste cine? - Mă gândesc la acei 90% dintre matematicienii „lucrători” care timp de un secol întreg și-au recunoscut „complet dezinteresat” „regina tuturor științelor” pentru „folosirea necorespunzătoare” de către „pacienții cu creierul stâng”. Căci să râzi de bolnavi, chiar și de cei cu creierul stâng, este păcătos și fără rost.[Ibid].

Matematicianul rus completează analiza critică a dovezii DMC cu povestea paradoxului dramatic al lui David Hilbert propusă acum aproximativ 80 de ani. În anii 1920, D. Hilbert, pentru a demonstra diferențele fundamentale dintre mulțimile finite și infinite în teoria mulțimilor lui Cantor, a propus un paradox popular sub numele de „Grand Hotel”. Prezentarea paradoxului în sine este destul de greoaie, așa că haideți să formulăm esența lui. Paradoxul „Marelui Hotel” demonstrează o proprietate fundamentală a mulțimilor infinite: „... dacă o mulțime finită sau numărabil infinită este adăugată la o mulțime infinită, atunci cardinalitatea primei mulțimi nu se va schimba” [Ibid.].

Comparând demonstrația DMC cu paradoxul lui D. Hilbert, A. A. Zenkin ajunge la o concluzie remarcabilă: dovada DMC a nenumărabilității continuumului este un model deductiv (în sensul lui Tarski) al paradoxului „Grand Hotel” al lui D. Hilbert.

În paradoxul lui D. Hilbert, avem de-a face cu un proces potențial infinit, care are următoarea proprietate fundamentală: până la încheierea acestui proces, „Nu există niciun motiv (logic și matematic) pentru a afirma că ipoteza „X este numărabil” este falsă. Prin urmare, în cazul în care mulțimea Y ​​1 este infinită numărabil, enunțul teoremei lui Cantor „X este nenumărabil” este de nedemonstrat”[Ibid].

Argumentele de mai sus, concluzionează A.A. Zenkin, indică faptul că „Teorema lui Cantor privind nenumărabilitatea continuumului este de nedemonstrat. Aceasta înseamnă că distincția dintre infinitate după numărul de elemente este o creație de mituri. Dar dacă nenumărabilitatea continuumului este de nedemonstrat, atunci teoria mulțimilor transfinite a lui G. Cantor nu este doar „naivă”, ci o pseudo-știință sinceră și, prin urmare, „paradisul” transfinit al lui G. Cantor poate fi închis fără nicio deteriorare a „funcționării” cu adevărat. "matematica"[Ibid].

Încheind prezentarea studiilor critice ale lui A.A. Zenkin asupra teoriei mulțimilor infinite a lui Georg Kantor, aș dori să subliniez importanța următoarei concluzii. Teorema lui Cantor este incorectă din punctul de vedere al logicii clasice a lui Aristotel.

4. Critica abordării axiomatice a lui A.A. Zenkin

Abordarea axiomatică propusă de A. Zenkin pentru conceptul de AB și PB este, din punctul nostru de vedere, incorectă metodologic.

Axioma lui Aristotel și axioma lui Cantor sunt formulate prin conceptul de infinit, care nu este definit strict și formal. Pe baza formulării axiomelor, rezultă că PB și AB sunt tipuri de infinit ca atare, i.e. drăguț.

Al doilea moment. Conceptul de PB și AB Aristotel considerat pe baza propriei doctrine a ființei și esenței bazate pe legile logicii clasice (tradiționale). În timp ce Cantor, în teoria sa a mulțimilor, a pornit din programul de cercetare pitagoreo-platonic. Doctrina lui Platon despre ființă și esență este alternativă la filozofia peripatetică și este în concordanță cu logica dialectică și principiul coincidenței contrariilor.

Aristotel nu a considerat conceptele de AB și PB ca fiind contradictorii, în primul rând pentru că conceptul de infinit este foarte specific, iar principiile și legile logicii tradiționale îi sunt inaplicabile. Aristotel l-a numit un concept ilegitim, care în general nu este dat nici sentimentului, nici gândirii noastre. Infinitul există doar în posibilitate, nu în realitate. Căci dacă ar exista în realitate, ar fi o anumită (cert) cantitate, sau o valoare finită. Prin urmare, infinitul există ca proprietate.

Infinitul, după Aristotel, este locul în care, luând o anumită cantitate, poți oricând să iei ceva după el. Și acolo unde nu este nimic afară, este întregul. Infinitul este ceea ce este absent din ceva, fiind în afara lui. „Întregul și limitat (infinitul] nu este în sine, ci în relație cu altul; și, deoarece este infinit, el nu îmbrățișează, ci este îmbrățișat. Prin urmare, nu este cognoscibil ca infinit, deoarece materia [ca atare] are nici o formă. Astfel, este clar că infinitul se potrivește mai degrabă cu definiția unei părți decât a unui întreg, deoarece materia este o parte a întregului, ca cuprul pentru o statuie de cupru. Dacă îmbrățișează obiecte sensibile, atunci în domeniul inteligibilul „mare” și „mic” trebuie să îmbrățișeze inteligibile [ideile], dar este absurd și imposibil ca incognoscibilul și nedefinitul să cuprindă și să determine” [Aristotel. Lucrări adunate în 4 volume. V.3, Moscova, „Gândirea”. ", 1981, p.120 ].

În consecință, la Aristotel, conceptul de infinit este considerat în strânsă legătură cu categoriile cheie ale filozofiei sale: forme - materie, posibilități - realitate, părți - întreg. În acest context, conceptul de AB nu este contradictoriu cu PB, ci complet de neconceput din punctul de vedere al logicii lui Aristotel. PB contradictoriu este mai degrabă conceptul de finit, ca relație dintre indefinit și definit. Dacă PB este considerată în contextul unei părți - un întreg, atunci definiția unei părți este mai potrivită pentru acesta. Apoi, în raport cu acesta, infinitul real corespunde mai mult conceptului de întreg. În acest caz, PB este un concept subordonat conceptului de AB. Exact așa a interpretat-o ​​însuși G. Kantor.

Astfel, pentru Aristotel, se poate vorbi de infinit numai în sensul unic de PB. Un concept nu poate fi legat de acesta, care nu este recunoscut ca concept, adică. AB. Și însuși conceptul de PB este nedefinit, de necunoscut și nu are realitate.

Acest statut special al conceptului de infinit, despre care vorbește Aristotel, este cel care nu ne permite să-i aplicăm operațiunile tradiționale ale logicii formale. Conceptul de PB nu este un obiect matematic în sensul strict al cuvântului.

Că conceptul de infinit nu aparține, în sens strict, matematicii rezultă din definițiile numărului și mărimii. Iată, încă o dată, definiția lui Aristotel. „Cantitatea este ceea ce este divizibil în părți componente, fiecare dintre ele, fie că sunt două sau mai multe, este prin natură ceva unul și ceva definit. Fiecare cantitate este o mulțime dacă este numărabilă și magnitudine dacă este măsurabilă. O mulțime este aceea care, în posibilitate, este divizibil în părți care nu sunt continue, o cantitate - în părți care sunt continue... Dintre toate aceste cantități limitat setul este un număr limitat lungimea liniei, limitat lățime - plat, limitat adâncimea este trupul” [Aristotel. op. în 4 volume. Volumul 1. M.: Gândirea, 1976, p.164]. Din pasajul de mai sus al lui Aristotel rezultă că subiectul principal al matematicii este conceptul de mărime și număr. Numărul este un set limitat, valoarea este un spațiu geometric limitat (linie, plan, corp). Setul nelimitat și spațiul nelimitat sunt infinit, ca două forme de cantitate, fără granițe, sfârșit sau limită. Prin urmare, ele sunt nedefinite și, prin urmare, de necunoscut.

În plus, infinitul pentru Aristotel este o proprietate a gândirii,în primul rând, și nu materia de fizică sau matematică. « A avea încredere în gândire în problema infinitului este absurd, întrucât excesul și deficiența (în acest caz) nu sunt în obiect, ci în gândire. La urma urmei, fiecare dintre noi poate fi imaginat mental de multe ori mai mult decât el, crescându-l la infinit, totuși, nu pentru că cineva se află în afara orașului sau are o anumită dimensiune pentru că cineva gândește așa, ci pentru că este așa [de fapt] ; iar faptul [că cineva gândește astfel] va fi [pentru el] o împrejurare întâmplătoare” [Ibid.]. Dacă infinitul nu există în obiect, atunci ce axiomatizăm - activitatea gândirii?Și ce legătură are matematica cu asta? Căci subiectul său este cantitatea pură: număr și mărime?

Conceptul de infinitate reală îl construiește Cantor, urmând tradiția pitagoreenilor, care, așa cum mărturisește Aristotel, „au compus mărimi din numere”. Kantor crede că o cantitate continuă poate fi măsurată printr-un număr ca un adevărat set de unități indivizibile. Este clar că o astfel de abordare este complet inacceptabilă pentru Aristotel. Pentru el, valoarea este împărțită doar în părți divizibile. Prin urmare, o cantitate nu poate fi compusă din indivizibili. Altfel, aporii lui Zenon despre contradicția mișcării nu vor fi rezolvate și, de asemenea, va fi imposibil de explicat posibilitatea mișcării, continuitatea timpului și spațiului.

Conform axiomei lui Kantor, după Zenkin, rezultă că el neagă potențialul infinit. Kantor nu numai că nu a negat PB, dar nu l-a considerat deloc ca fiind de fapt infinit. Pentru el, PB este o mărime variabilă finită. Mai mult, el credea că dacă iei PB, cu atât mai mult ar trebui să iei AB.

Concluzia este următoarea. Axiomele lui Aristotel și Cantor, formulate de Zenkin, nu reflectă atitudinea actuală față de conceptul de PB și AB a lui Aristotel și Cantor. În ambele axiome, în axioma lui Aristotel (secolul al IV-lea î.Hr.): „Toate mulțimile infinite sunt mulțimi potențial infinite”, iar în mai bine de o sută de ani de axioma de facto existentă și contradictorie a lui Cantor (sec. XIX d.Hr.): „Toate mulțimile infinite sunt seturi actual-infinite” [vezi A.A. Zenkin. Paradisul transfinit al lui Georg Kantor: Povești biblice în pragul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], conceptul generic de „mult infinit” este definit prin tipul său. În axioma lui Aristotel - prin mulțimi potențial infinite, în axioma lui Cantor - prin mulțimi de fapt infinite. Nici conceptul de PB și nici AB nu sunt obiecte matematice în sensul strict al cuvântului, deoarece ele există doar în posibilitate, sunt de necognoscibil și nedeterminate. Conceptul de AB și PB nu este nici un număr, nici o mărime, ci este o proprietate a gândirii noastre raționale abstracte.

Toate cele de mai sus nu au nimic de-a face cu acea parte a lucrării lui Zenkin, în care acesta demonstrează, pe baza logicii clasice, că teorema lui Cantor privind nenumărabilitatea continuumului este nedemonstrabilă. Zenkin a arătat că Metoda Diagonală a lui Cantor (DMC), care stă la baza demonstrației teoremei, este o versiune specifică a unui contra-exemplu bine cunoscut lui Pitagora și Euclid. Iar celebrul paradox „Grand Hotel” de D. Hilbert este un model deductiv (în sensul lui A. Tarsky) al DMC-dovada nenumărabilității continuumului de G. Kantor. Pe baza acestui model, Zenkin concluzionează că demonstrația DMC este incorectă din punctul de vedere al logicii clasice. Prin urmare, nu există mulțimi nenumărate și toate mulțimile infinite au aceeași cardinalitate. Astfel, întregul grandios „Învățătură despre transfinit” de G. Kantor se prăbușește.

Astfel, principala concluzie care se sugerează în urma studiului atent al teoremei privind nenumărabilitatea continuumului și a teoriei numerelor transfinite ale lui Cantor bazată pe acesta este că falsitatea sa este destul de ușor (după cum a arătat A.A. Zenkin) infirmată pe baza lui Aristotel. logica clasica.

Și nu mai puțin importantă, ultima concluzie. Teoria lui Cantor nu este un fenomen întâmplător în matematica europeană, ci un rezultat firesc al identificării conceptelor de număr și mărime, care a dus la aritmetizarea treptată a matematicii, la speculativitatea ei și la abstractitatea nemoderată.

5. Misterul infinitului potențial

O întrebare la fel de importantă, pe care Zenkin a ridicat-o involuntar atunci când a demonstrat inconsecvența teoremei lui Cantor asupra nenumărabilității continuumului, este direct legată de esența infinitului potențial recunoscut în matematică.

În anii 1920, David Hilbert a propus un paradox popular numit „Grand Hotel” (în continuare, pentru concizie, GO), care ilustrează diferența fundamentală dintre mulțimile finite și infinite în teoria mulțimilor a lui Cantor (precum și în teoria axiomatică modernă). Nu vom prezenta paradoxul în sine, deoarece este destul de greoi. Conținutul său este că demonstrează foarte clar proprietatea principală a mulțimilor infinite: dacă o mulțime finită sau numărabil infinită este adăugată la o mulțime infinită, atunci cardinalitatea primei mulțimi nu se va schimba.

Zenkin arată că dovada DMC a nenumărabilității continuumului este un model deductiv (în sensul lui Tarski) al paradoxului GO al lui D. Hilbert [A.A. Zenkin. Paradisul transfinit al lui Georg Kantor: Povești biblice în pragul Apocalipsei. - [Resursă electronică]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

După ce a stabilit că în metoda ADN-ului Kantor nu folosește procesul AB, ci procesul PB, Zenkin constată că nimeni nu va cunoaște adevărul afirmației acestei teoreme, întrucât procesul infinit nu are ultimul element.

Zenkin a arătat că infinitul real al lui Cantor, ființa necesar condiția dovezii DMC a nenumărabilității continuumului, de fapt, este potenţial- discuție nesfârșită. "Asta dovedește că" de actualitate" și "infinit" în cadrul demonstrației lui Cantor. Teoremele privind nenumărabilitatea continuumului sunt (logic și algoritmic) contradictoriu concepte și, în consecință, conceptele de „ de actualitate" și " final» sunt algoritmic identic» [Ibid.]. Și dacă aceasta este o afirmație potențial infinită, atunci adevărul ei nu poate fi stabilit, deoarece un proces infinit nu are un ultim element. Această concluzie a lui Zenkin confirmă presupunerea noastră că noțiunea de finit, și nu AB, contrazice noțiunea de PB.

Astfel, Zenkin scrie, prima dată dovedit mare providență intuitivă (și avertisment!) a lui Aristotel, Euclid, Leibniz și a multor alți (vezi Lista-1) logicieni, matematicieni și filozofi remarcabili care „ infinitul real" este un contradictoriu intern concept (ceva de genul „ terminat(de Cantor) infinit”) și, prin urmare, utilizarea sa în matematică este inacceptabilă” [Ibid.].

Din nefericire, a dovedi inconsecvența internă a conceptului de infinit actual (finalizat, adică completat, finit) este, într-o anumită măsură, o muncă zadarnică, datorită inconsecvenței sale directe evidente. În cadrul logicii aristotelice clasice, acest lucru este pur și simplu imposibil. În contextul logicii speculative (dialectice), care neagă legea contradicției, acest lucru este destul de acceptabil.

Zenkin descoperă, de asemenea, că forma canonică a dovezii „diagonale” a lui Cantor a teoremei continuumului nenumărabil este identică cu forma infinită canonică (P2) a paradoxului „Mincinosului”:

„Cineva spune „Sunt un mincinos”. - Este un mincinos? Dacă este un mincinos, atunci minte, pretinzând că este un mincinos; de aceea nu este un mincinos. Dar dacă nu este un mincinos, atunci spune adevărul, pretinzând că este un mincinos; prin urmare, el este un ticălos, sau, pe scurt (aici A = „Sunt un ticălos”): și [ØA ® A] (P1)” [Ibid.]

Zenkin mai notează: „Ceea ce simularea paradoxului mincinos nu este pentru un computer analog, demonstrează. Că acest paradox nu are o formă finită, ci următorul infinit A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) și nu există motive, motive sau motive logice și matematice pentru completarea acestui paradox. potenţial-proces infinit” [Ibid.].

Drept urmare, matematicianul rus face o concluzie interesantă. „Trebuie subliniat că este forma infinită (P2) care implementează necesarul și suficient condiţiile (în sensul strict logic şi matematic) ale însuşi fenomenului paradoxalităţii. În acest caz, adevărata „semantică” a acestui paradox nu este deloc că afirmația „Sunt un mincinos” „nu poate fi nici adevărată, nici falsă”, ci că această afirmație, dimpotrivă, este atât atât adevărat cât și fals„în același timp, în același loc și în același sens.” Cu alte cuvinte, în paradoxul „Mincinos” în forma (P2), adevărul și minciuna sunt amestecate-mixte, ceea ce înseamnă că adevărul și minciuna devin indistinguibile” [Ibid.].

Este greu să nu fii de acord cu asta. Potrivit lui Platon, infinitul este ceea ce are o caracteristică cantitativă nedefinit și nu permite o definiție strictă. El numește infinitul „dualitate nedefinită”, acesta are întotdeauna două semnificații și nu poate lua un sens, nu poate fi determinat.„... infinitul poate exista așa cum există o zi sau ca o competiție – în sensul că acesta devine mereu diferită și diferită» [P.P. Gaidenko. Istoria filozofiei grecești în legătură cu știința. - [Resursă electronică]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

Se pune întrebarea, care este sensul logic al conceptului platonic de infinit ca proces de „a deveni mereu diferit și diferit”? În opinia noastră, însuși conceptul de infinit potențial conține implicit un principiu care neagă legea contradicției. Acest „altul și altul”, în loc de „altceva”, este principiul incertitudinii. Dacă legea contradicției în interpretarea lui Aristotel este formulată astfel: „Este imposibil ca același lucru să fie și să nu fie inerent în același lucru și în același sens”, atunci, în cazul nostru, cu definiția lui PB, „unul și același lucru” are sensul identic cu conceptul de „altul” din Platon. Prin urmare, în definiția lui Platon, avem de-a face cu o afirmație care neagă legea contradicției. De exemplu, luați în considerare o serie de numere naturale: 1, 2, 3, 4, 5... ca exemplu de infinit potențial. Dacă luăm orice pereche de numere învecinate, atunci este imposibil ca toate cele trei tipuri de rapoarte ale acestora să fie adevărate ca mărime: 3 > 4, 4 > 3 sau 3 = 4. Dacă luăm un număr finit 4, atunci, de exemplu, în raport cu mărimea lui, nu poate fi mai mare decât el însuși. În timp ce, într-o serie infinită de numere, valoarea unui număr este mereu în schimbare și nu putem aplica legea contradicției ca lege a certitudinii. Prin urmare, infinitul potențial este în mod egal inerent tuturor numerelor din seria naturală: 1 și altele (2), și altele (3) și altele (4). Prin urmare, semnul disjuncției trebuie înlocuit cu conjuncția. Iar introducerea legii coincidentia oppositorum în locul legii contradicției duce la paradoxuri. Ce este un paradox? Aceasta este o afirmație contradictorie.

Și în sfârșit, un exemplu de paradox al mincinosului. Cineva spune: „Mint”. Dacă minte, atunci ceea ce a spus este o minciună, și de aceea nu minte. Dacă nu minte, ceea ce spune el este adevărul și, prin urmare, minte. În orice caz, se dovedește că minte și nu minte în același timp [Dicționar logic-Referință. N.I. Kondakov. Știința. M., 1976. S.433]. În acest paradox, avem de-a face cu o încălcare deliberată a legii contradicției. Este imposibil ca cineva să mintă și să nu mintă în același sens. Și această încălcare este inerentă structurii paradoxului.

Astfel, așa cum arată Zenkin, și aceasta rezultă din analiza acestui paradox bazată pe logica clasică, încălcarea legii contradicției este implicit inerentă conținutului conceptului de infinitate potențială, ceea ce duce la fenomenul paradoxului.. Dacă vorbim despre o serie de numere naturale, atunci fiecare dintre numerele naturale care alcătuiesc seria este atât inclus, cât și neinclus în seria infinită de numere naturale. Mai întâi, intră un număr, de exemplu 5, când am ajuns la el în timpul calculului, apoi, numărul 6 îl schimbă și așa mai departe. Certitudinea este în continuă schimbare și, prin urmare, poate imposibilă, apariția paradoxurilor.

Dacă în conceptul de AB inconsistența și natura paradoxală a acestui concept este evidentă, atunci în conceptul de PB este ascunsă.

Înțelegerea naturii PB, nu se poate ignora conceptele de infinitate aritmetică și geometrică. Să luăm în considerare aceste concepte mai detaliat.

Sirul numerelor naturale 1, 2, 3, ..., (1)

reprezintă primul și cel mai important exemplu de mulțime infinită. Din vremea lui Hegel, infinitul aritmetic al seriei naturale 1 + 1 + 1 + ..., din cauza lipsei de speranță, a fost numit infinit „rău” sau „rău”.

Infinitul geometric constă în împărțirea nelimitată a segmentului în jumătate. Pascal a scris următoarele despre infinitul geometric: „Nu există geometru care să nu creadă că spațiul este divizibil la infinit. El nu se poate descurca fără ea, la fel cum un om nu poate fi fără suflet. Și totuși nu există om care să înțeleagă divizibilitatea infinită...” [ A.P. Stakhov Sub semnul „Secțiunii de Aur”: Mărturisirea fiului unui batalion studențesc. Capitolul 5. Teoria măsurării algoritmice. 5.5. Problema infinitului în matematică. Infinitul potențial și actual. - [Resursă electronică]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Într-adevăr, aceasta este o întrebare extrem de importantă care nu poate fi rezolvată în cadrul paradigmei antropocentrice dominante în prezent.

„Prima impresie naivă produsă de fenomenele naturale și materie”, scrie D. Gilbert, „este impresia a ceva continuu, continuu. Dacă avem în față o bucată de metal sau un anumit volum de lichid, atunci ni se impune ideea că sunt divizibile la infinit, că o bucată arbitrar de mică din ele are din nou aceleași proprietăți. Dar oriunde metodele de investigare în fizica materiei sunt suficient de îmbunătățite, întâlnim limitele acestei divizibilitati, care nu constă în imperfecțiunea experienței noastre, ci în natura lucrului în sine, astfel încât se poate percepe direct tendință a științei moderne ca eliberare de micul infinit; acum s-ar putea contracara vechea teză „natura non facit saltus” (natura nu face salturi) cu antiteza: „natura face salturi” [Gilbert D. On the Infinite. Sursă scanare: Gilbert D. Pe Infinit // El. Bazele geometriei. - M.-L., 1948. 491 p. (articol prescurtat din Mathematischen Annalen, v. 95.) - [Resursă electronică]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm].

„Divizibilitatea infinită există doar în matematică. În natură, experimentele de fizică și chimie nu se găsesc nicăieri - prin urmare, aceasta este doar o idee matematică - un produs al gândirii matematice! Idee univers infinit dominată multă vreme înainte de Kant şi după. Dar această idee este reversul limitărilor experienței noastre și ale procesului de cunoaștere” [Ibid.].

Proprietatea infinitului geometric ca divizibilitate nelimitată a unui segment în jumătate este de nerezolvat în cadrul geometriei și necesită implicarea filozofiei și a teologiei.

În primul rând, procesul de divizare a segmentelor exprimă proprietatea fundamentală a gândirii raționale - distrugerea (diviziunea) obiectului studiat. Intelegerea actioneaza in mod divizionar in raport cu obiectele sale, datorita caruia se obtine certitudinea.

În al doilea rând. Divizibilitatea infinită a unui segment se datorează faptului că un segment geometric este o formă de mărime continuă. Iar cantitatea însăși este o abstracție a lucrurilor sensibile, indiferente față de calitate.

În lumea materială obiectivă nu există o cantitate pură, toate lucrurile au o măsură și datorită ei sunt identice cu ele însele și diferă de ceilalți. Măsura este unitatea directă a calității și cantității. Într-un segment geometric, avem de-a face cu imensitatea, adică. măsura depăşind limitele certitudinii sale calitative. Orice lucru obiectiv are limitele ființei sale calitative. Dacă sunt distruse, atunci lucrul în sine este distrus. Prin urmare, un lucru sensibil (finit) nu poate fi împărțit la starea de infinit potențial (rău). Definitivitatea calitativă a unui lucru se opune acestui proces de divizare. De exemplu, o bucată dintr-un copac poate fi împărțită atâta timp cât bucățile din divizare păstrează proprietățile acestui arbore, adică. până la limita moleculară a moleculei de celuloză. Diviziunea ulterioară a moleculei de celuloză este un proces de divizare a altui lucru, prin urmare, procesul de diviziune a lemnului are o limită inferioară - moleculele de celuloză. Diviziunea moleculară va avea o limită inferioară la nivel atomic. Divizia atomi specifici elementele vor duce la diviziunea la nivelul părților subatomice etc. În consecință, orice împărțire a lucrurilor obiective este finită. Dacă luăm în considerare procesul de divizare fără a ține cont de calitate și măsură, atunci procesul de divizare devine într-adevăr infinit. Dar ce măsurăm atunci? Abstracția lucrurilor finite - materie. Materia ca lucru sensibil obiectiv (într-o realitate naturală, nativă, nealterată) nu există, este același produs al unei gândiri abstracte ca și segmentul geometric însuși.

Astfel, atât segmentul geometric, cât și materia sunt divizibile până la un infinit (potențial) rău. Dar aici nu avem de-a face cu lucruri sensibile reale, ci cu cantitatea pură, care nu are măsură în sine și, prin urmare, depășește constant limitele ei. Nu este o coincidență că Hegel a scris în Science of Logic că conceptul de cantitate conține nevoia de a depăși granițele sale.

Revenind la definiția lui Aristotel: „Cantitatea este ceea ce este divizibil în părțile sale componente, fiecare dintre acestea, fie că sunt două sau mai multe dintre ele, este prin natură un lucru și un anume ceva...” [Aristotel. op. în 4 volume. Volumul 1. M .: Gândirea, 1976, p. 164], este evident că matematica se ocupă de cantitatea pură, i.e. nu cu cantitatea sensibilă de lucruri finite pe care o studiază fizica, ci cu cantitatea abstractă pură nemăsurabilă - număr și mărime. Prin urmare, în natura sensibilă ca subiect al fizicii, nu există doar infinitul actual sau potențial. Lumea este finită atât în ​​sens extensiv, cât și în sens intensiv. Deloc surprinzător, Aristotel a remarcat asta infinitul nu este dat nici sentimentului, nici minții și l-a numit concept ilegal. Dumnezeu a aranjat totul în lumea creată după măsură, număr și mărime (Sfânta Scriptură).

În ierarhia sa a formelor de cunoaștere, Aristotel, după metafizica (prin care în sens strict înțelegea teologia ca știință a eternului) ca primă filozofie, a pus fizica și abia apoi matematica. Și acest lucru este absolut adevărat, deoarece materia matematică - cantitatea pură, își are rădăcinile în natura materială sensibilă. Subiectul său este numărul și mărimea ca forme ale cantității abstracte. Dezvoltare istorica formă abstractăîn matematică a condus la faptul că subiectul principal al studiului său a fost sfera obiectelor matematice ideale: număr, mărime, punct, linie, mulțime etc., care în mare măsură nu coincide cu lumea obiectelor fizice reale. Conceptul de infinit potențial este unul dintre ele. Prin urmare, concluzia care se sugerează aici este, în primul rând, că este necesar să recunoaștem clar trăsăturile și limitele matematicii și științelor naturii. Și, în al doilea rând, în studiul naturii (fizică, biologie etc.) este necesar să ne bazăm și să pornim din conținutul subiectului imediat, și nu pe modele matematice a priori. Și deși istoria matematicii are multe exemple de interacțiune inversă, totuși, această practică are multe excepții fundamentale.

6. Teoria numerelor și teoria mulțimilor G. Kantor

„Subiectul teoriei numerelor coincide cu

subiect (studiu) tuturor matematicii.

A.M. Vinogradov

Din punct de vedere istoric, formarea conceptului de număr a avut loc pe baza unei operații formale de generalizare (extindere) a volumului datorită includerii de noi tipuri de numere (mulțimi) în componența sa.

Primele idei despre număr au apărut din numărarea oamenilor, animalelor, fructelor, diverselor produse etc. Rezultatul sunt numere naturale: 1, 2, 3, 4, ...

Când numărați obiectele individuale, unul este cel mai mic număr și nu este necesar, și uneori imposibil, să îl împărțiți în părți, cu toate acestea, chiar și cu măsurători aproximative ale cantităților, trebuie să împărțiți 1 în părți. Din punct de vedere istoric, prima extensie a conceptului de număr este adăugarea numerelor fracționale la un număr natural. Introducerea numerelor fracționale este asociată cu necesitatea de a face măsurători. Măsurarea oricărei valori constă în a o compara cu o alta, omogenă calitativ cu aceasta și luată ca unitate de măsură. Această comparație se realizează prin intermediul unei operații specifice metodei de „retragere” a unității de măsură pe măsurand și numărarea numărului de astfel de retrageri. Așa se măsoară lungimea punând deoparte un segment luat ca unitate de măsură, se măsoară cantitatea de lichid cu ajutorul unui vas de măsurare etc.

O fracție este o parte (cota-parte) a unei unități sau mai multe părți egale ale acesteia.

Desemnate: unde m și n sunt numere întregi; - reducerea fractiei; - extensie. Fracțiile cu numitorul de 10 n, unde n este un număr întreg, se numesc zecimală.

Printre fracții zecimale loc special ocupă fracții periodice: - fracție periodică pură, - fracție periodică mixtă

Extinderea în continuare a conceptului de număr este deja cauzată de dezvoltarea matematicii în sine (algebra). Descartes în secolul al XVII-lea introduce conceptul număr negativ, care și-a dat interpretarea geometrică ca direcție a segmentelor. Creație de Descartes geometrie analitică, ceea ce a făcut posibil să se considere rădăcinile ecuației ca fiind coordonatele punctelor de intersecție ale unei curbe cu axa absciselor, a șters în cele din urmă diferența fundamentală dintre rădăcinile pozitive și negative ale ecuației, interpretarea lor s-a dovedit a fi în esență aceeași.

Se numesc numere întregi (pozitive și negative), fracționale (pozitive și negative) și zero numere rationale. Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție finită și periodică.

Setul de numere raționale s-a dovedit a fi insuficient pentru studierea variabilelor în continuă schimbare. Aici s-a dovedit a fi necesară o nouă extindere a conceptului de număr, constând în trecerea de la mulțimea numerelor raționale la mulțimea numerelor reale (reale). Introducerea numerelor reale s-a produs prin adăugarea numerelor iraționale la numerele raționale: numerele iraționale sunt fracții zecimale neperiodice nesfârșite.

Numerele iraționale au apărut la măsurarea segmentelor incomensurabile (latura și diagonala unui pătrat), în algebră - la extragerea rădăcinilor, un exemplu de număr transcendental, irațional este π, e.

O definiție clară a conceptului de număr real este dată de I. Newton, unul dintre fondatorii analizei matematice, în „Aritmetica generală”: „Prin număr, înțelegem nu atât un set de unități, cât un raport abstract de o cantitate la o altă cantitate de același fel, pe care o luăm ca unitate.” Această formulare oferă o singură definiție a unui număr real, rațional sau irațional. Mai târziu, în anii 70. al XIX-lea, conceptul de număr real a fost rafinat pe baza unei analize profunde a conceptului de continuitate în lucrările lui R. Dedekind, G. Kantor și K. Weierstrass.

Potrivit lui Dedekind, proprietatea de continuitate a unei linii drepte este aceea că dacă toate punctele care alcătuiesc o linie dreaptă sunt împărțite în două clase, astfel încât fiecare punct din prima clasă să se afle la stânga fiecărui punct din a doua clasă („rupere ” linia dreaptă în două părți), atunci fie în prima clasă există punctul cel mai din dreapta, fie în a doua - punctul cel mai din stânga, adică punctul în care a avut loc „ruperea” liniei.

Mulțimea tuturor numerelor raționale nu are proprietatea de continuitate. Dacă mulțimea tuturor numerelor raționale este împărțită în două clase, astfel încât fiecare număr din prima clasă să fie mai mic decât fiecare număr din a doua clasă, atunci cu o astfel de partiție („secțiunea” lui Dedekind) se poate dovedi că în prima clasă nu va exista un număr cel mai mare, iar în al doilea - cel mai mic. Așa va fi, de exemplu, dacă toate numerele raționale negative, zero și toate numerele pozitive al căror pătrat este mai mic de doi, sunt atribuite primei clase, iar toate numerele pozitive al căror pătrat este mai mare de doi sunt atribuite celei de-a doua. O astfel de tăiere se numește irațională. Apoi este dată următoarea definiție a unui număr irațional: fiecare secțiune irațională din mulțimea numerelor raționale este asociată cu un număr irațional, care este considerat mai mare decât orice număr din prima clasă și mai mic decât orice număr din clasa superioară. Totalitatea tuturor numerelor reale, raționale și iraționale, are deja proprietatea continuității.

Rațiunea lui Cantor pentru conceptul de număr real diferă de cea a lui Dedekind, dar se bazează și pe o analiză a conceptului de continuitate. Atât definiția lui Dedekind, cât și definiția lui Cantor folosesc abstractizarea infinitului actual. Astfel, în teoria lui Dedekind, un număr irațional este determinat prin intermediul unei secțiuni în totalitatea tuturor numerelor raționale, care este concepută ca dată ca un întreg.

Toate numere reale poate fi afișat pe linia numerică. Axa numerică (linia numerică):

a) o linie dreaptă orizontală cu direcția aleasă pe ea;

b) punctul de referință - punctul 0;

c) unitate de scară

[Marea Enciclopedie Sovietică. - [Resursă electronică]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number].

Până în prezent, există șapte niveluri general acceptate de generalizare a numerelor: numere naturale, raționale, reale, complexe, vectoriale, matrice și transfinite. Unii oameni de știință propun să considere funcțiile ca numere funcționale și să extindă gradul de generalizare a numerelor la douăsprezece niveluri.

[Anishcenko Evgheni Alexandrovici. „Numărul ca concept de bază al matematicii”. - [Resursă electronică]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401].

Omul de știință rus Ozolin E.E. a exprimat un gând important care transmite foarte exact atmosfera intelectuală modernă din comunitatea matematică. Toată lumea știe că teoria numerelor este cea mai complexă și importantă ramură a matematicii. Cu toate acestea, teoria numerelor pare a fi trecută cu vederea. În timp ce cele mai nesemnificative schimbări din această teorie pot provoca o „furtună” în toate secțiunile matematicii [Ozolin E.E. (Ozes) octombrie 2004. Conceptul de număr. - [Resursă electronică]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Mai mult, - scrie cu surprindere E.E. Ozolin, - în ciuda faptului că grecii antici știau departe de orice despre numere, mai trist este faptul că „matematicienii moderni (să nu mai vorbim de toți ceilalți) au concepte și cunoștințe, numărul este uneori inferior. la greaca veche.

Acest lucru, vedeți, este deja o prostie” [Ibid.].

Ca o confirmare a acestei considerații, E.E. Ozolin realizează o analiză istorică a principiilor de construire a conceptului de număr și ajunge la următoarea concluzie. Matematica europeană, mai ales încă din secolul al XIII-lea, construiește conceptul de număr după principiul cuibării sferelor Thales, „adică mulțimea numerelor naturale este investită în mulțimea numerelor întregi, mulțimea numerelor întregi este investită în mulțime. a numerelor raționale, mulțimea numerelor raționale este investită în mulțimea numerelor reale, mulțimea numerelor reale numerele sunt încorporate în mulțimea numerelor complexe etc.)” [Ibid.]. „Și, în ciuda faptului că atât Kurt Gödel din punctul de vedere al logicii formale (în 1931), cât și eu din punctul de vedere al metamatematicii, am dovedit de mult timp și am demonstrat că structura pe cinci straturi a sferelor imbricate nu poate fi completă și corect din punct de vedere logic, întâlnim din nou și din nou „dogme școlare” eronate sub forma unor afirmații presupuse corecte că, de exemplu, numerele naturale sunt o submulțime a numerelor raționale.

Prin urmare, încă o dată vreau să vă atrag atenția asupra faptului că acest lucru nu poate fi. De exemplu, în cadrul matematicii, putem vorbi doar despre egalitatea formală a numărului natural 1 (unu) cu numărul rațional 1.00(0) la unu. În același timp, sensul logic, matematic (și fizic!) al acestor numere este complet diferit. De exemplu, o unitate naturală este un număr care, adăugat la cel existent, dă următorul număr, o unitate rațională este un număr, atunci când este înmulțit cu care număr dat nu schimba sensul! Cum poate o unitate să schimbe sensul” [Ibid.] ???

„În plus, - continuă E.E. Ozolin, - numerele naturale și raționale aparțin unor structuri metalogice complet diferite. Prin urmare, nici măcar nu putem vorbi despre relația matematică formală a acestor numere.

La prima vedere, poate părea că problema diferenței logice dintre numerele naturale și cele raționale pe care am indicat-o este „nu merită deloc”. Și majoritatea matematicienilor, chiar dacă sunt de acord cu mine, vor spune cu siguranță că „unitățile sunt, de asemenea, unități în Africa și ce diferență are ce semnificație matematică și logică să le pun, același sau diferit” [Ibid.] .

Dar o astfel de viziune este o mare concepție greșită - un „mit dăunător al educației școlare”, care nu are nicio bază matematică și logică. „Și după o analiză mai atentă și mai detaliată, se dovedește că diferența în sensul logic al numerelor naturale și raționale implică consecințe destul de grave. aplicație practică matematică” [ibid.].

Și în concluzie, E.E. Ozolin face următoarea concluzie sinceră: „ ... matematica este o știință foarte liberă, iar rigoarea matematicii este doar aparentă. În matematică, puteți construi orice, cele mai incredibile structuri axiomatice și le puteți explora, oricât de lipsite de sens și de abstracte sunt acestea din realitate. Cu alte cuvinte, inventează și încearcă după pofta inimii. În metamatematică, este practic imposibil să faci asta și toate structurile metamatematicii, într-un fel sau altul, sunt conectate cu realitatea. Oricât de paradoxal ar părea, realitatea se dovedește a fi mult mai bogată decât „imaginația noastră”.„[Ibid.].

Revenind la subiectul imediat al studiului nostru, putem trage următoarea concluzie. Toate tipurile de numere (multimi numerice) au o natura logica diferita si proprietăți matematice. Prin urmare, este incorect din punct de vedere metodologic să construim teoria numerelor prin generalizare directă. Relația primordială a acestei concluzii se referă la numerele naturale și reale. Unitatea numerelor naturale și unitatea numerelor reale au origini complet diferite și proprietăți matematice diferite. Nu puteți măsura numărul de mere cu o riglă; în egală măsură, este imposibil, doar știind să numere și neavând riglă la îndemână, să măsori lungimea mesei. Unul nu poate fi redus la celălalt. Unitatea primei este indivizibilă, în timp ce unitatea celui din urmă este în mod necesar divizibilă. Numerele întregi naturale sunt de fapt numere în sens strict, în timp ce numerele reale aparțin unei forme de mărime precum mărimea. Confuzia formei numărului și mărimii, care se întoarce la pitagoreici, este principala sursă a crizei moderne a matematicii și cea mai importantă condiție prealabilă pentru aritmetizarea geometriei și a teoriei mulțimilor a lui G. Kantor, încă de la ideea de construirea obiectelor matematice divizibile din cele indivizibile stă la baza construcției conceptului de infinit actual al lui G. Kantor.

Încă o notă. Matematicienii moderni nu numai că nu înțeleg natura unui număr, așa cum a remarcat corect E. Ozolin, dar nici nu înțeleg natura logică și matematică a unei cantități și a altor concepte fundamentale ale matematicii (de exemplu, o mulțime).

Iată, de exemplu, ceea ce scriu matematicieni celebri despre valoare:

„Valoarea este unul dintre conceptele matematice de bază, al cărui sens, odată cu dezvoltarea matematicii, a fost supus unui număr de generalizări”, scrie A.N. Kolmogorov [Kolmogorov A.N. Valoare. - TSB. - T. 7. - M., 1951. C. 340]. „Această... teorie – doctrina mărimii – cu greu joacă rol esentialîn materie de fundamentare a întregii matematici”, a scris proeminentul matematician sovietic V.F. Kagan [Kagan V.F. Eseuri despre geometrie. - M.: Universitatea din Moscova, 1963. S. 109].

Să ne oprim asupra celui din urmă, în care sensul conceptului de cantitate este cel mai consistent și clar. „... pentru un matematician”, scria V.F. Kagan, „valoarea este complet determinată atunci când se indică setul de elemente și criteriile de comparație” [Ibid., p. 107]. Cu alte cuvinte, o cantitate este un set de obiecte omogene, a căror comparare a elementelor ne permite să folosim termenii „egal”, „mai mare”, „mai puțin”. Apare o întrebare contrară, dacă comparăm un anumit set de numere naturale cu un alt anumit set de aceleași numere naturale, de exemplu, numerele 5 și numerele 7, le putem aplica termenii de mai sus? Întrebarea este retorică. Definiția propusă a conceptului de mărime, de fapt, indică faptul că autorul său nu distinge deloc între acestea două. concepte fundamentale(numere și mărimi). Susținătorii teoriei mulțimilor și Cantor însuși au deplâns, de asemenea, că conceptul de bază al acestei teorii este, de asemenea, greu de definit. E. Ozolin în articolul său notează că este foarte greu de definit matematica ca subiect [Ozolin E.E. (Ozes) octombrie 2004. Conceptul de număr. - [Resursă electronică]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Pentru a ne asigura că toate aceste îndoieli sunt nefondate, este necesar să revenim din nou la Aristotel, care, în mai multe definiții, dă răspunsuri exhaustive la întrebările noastre.

„Cantitatea este ceea ce este divizibil în părți componente, fiecare dintre ele, fie că sunt două sau mai multe, este prin natură ceva unul și ceva definit. Fiecare cantitate este o mulțime dacă este numărabilă, iar magnitudinea este dacă este măsurabilă. Un set este ceea ce este divizibil în părți necontinue, o cantitate - în părți continue... Dintre toate aceste cantități, un set limitat este un număr, o lungime limitată este o linie, o lățime limitată este un plan, o adâncime limitată este un trup ”[Aristotel. op. în patru volume. T.1. Metafizică. P.164].

Din acest fragment al lui Aristotel. Obținem următoarele definiții riguroase.

Matematica este o știință al cărei subiect este cantitatea pură.

Cantitatea este ceea ce este divizibil în părțile sale componente, fiecare dintre ele, fie că sunt două sau mai multe, este prin natură ceva unul și ceva definit.

Un set este o cantitate care poate fi numărată, adică divizibil în părți necontinue.

O cantitate este o cantitate măsurabilă, adică împărțiți în părți continue

Numărul este un set limitat.

Linia este limitată în lungime.

Avionul are o lățime limitată.

Corpul are o adâncime limitată.

Din aceste prevederi rezultă:

Unitatea unui număr nu are dimensiune, este o unitate de cont, adică. indivizibil, deoarece numărăm numai în numere întregi.

Unitatea de mărime este întotdeauna divizibilă.

Unitatea numărului este cea mai pură formă a mărimii abstracte, adică. este o formă indiferentă spațiului geometric.

Unitatea de mărime este mărimea pură plus spațiul geometric.

Spațiul geometric este o abstractizare a realității fizice. Realitatea fizică are o certitudine și o extensie calitativă. Dacă facem abstracție de certitudinea calitativă a realității fizice, obținem un spațiu geometric.

Formal, atât unitatea unui număr, cât și unitatea de mărime sunt un număr, dar esența și proprietățile matematice ale acestor numere sunt diferite. Din unitatea unui număr este imposibil să se obțină o unitate de mărime. În timp ce din valoare puteți obține un număr pur. Pentru a face acest lucru, este necesar să faceți abstracție din spațiul geometric - dimensiunea. Aceste puncte sunt bine analizate în Fizica lui Aristotel.

Prin urmare, dintr-un număr (în sens strict) este imposibil să se obțină o valoare. Și întrucât subiectul aritmeticii este conceptul de număr, iar subiectul geometriei este mărimea, atunci geometria nu poate fi redusă la aritmetică. Acestea sunt moduri diferite de existență a certitudinii cantitative a lumii materiale.

Astfel, în centrul matematicii moderne se află o amăgire profundă - identificarea ilegală a numărului și a mărimii, a aritmeticii și a geometriei. Conceptul de mărime este mai fundamental, deoarece din el putem deriva conceptul de număr. În plus, acest concept „conectează” matematica cu fizica, creează obstacole pentru formalizări nejustificate și construcții speculative. Prin urmare, aritmetizarea geometriei a dus la degenerarea disciplinei matematică, la formalizarea acesteia (Bourbakizare) și la teoria numerelor transfinite. Aritmetizarea matematicii este, de fapt, procesul de reducere a subiectului matematicii la un număr.