Produs de multiplicare. Jocul „Scor rapid”

În acest context, semnul înmulțirii este un operator binar. Semnul de înmulțire nu are o denumire specială, cum ar fi semnul de adunare, care se numește „plus”.

Cel mai vechi simbol folosit este crucea diagonală (×). A fost folosit pentru prima dată de matematicianul englez William Oughtred în Clavis Mathematicae în 1631. Matematicianul german Leibniz a preferat semnul punct ridicat (∙) El a folosit acest simbol într-o scrisoare din 1698. a apărut în Teutsche Algebra din 1659.

În manualele rusești de matematică, se folosește în principal semnul sub forma unui punct ridicat (∙). Asteriscul (∗) este folosit în notația computerizată. Rezultatul se scrie folosind semnul egal " =", De exemplu:

a \cdot b = c ; 6 \cdot 3 = 18(„de șase ori trei este egal cu optsprezece” sau „de șase ori trei este egal cu optsprezece”).

masa înmulțirii sistem zecimal socoteala

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Această procedură este aplicabilă înmulțirii numerelor naturale și întregi (sub rezerva semnului). Pentru alte numere se folosesc algoritmi mai complexi.

Înmulțirea numerelor

numere întregi

Să folosim definiția numerelor naturale \mathbb(N) ca clase de echivalenţă ale mulţimilor finite. Notați clasele de echivalență ale mulțimilor finite TAXI generate de bijecții, folosind paranteze: [TAXI]. Apoi operația aritmetică „înmulțire” este definită după cum urmează:

[C]=[A] \cdot [B] = ;

Unde: A \times B=\((a,b) \mid a \in A , b \in B \) produs direct al mulţimilor - set C, ale căror elemente sunt perechi ordonate (a,b) pentru toate felurile a \in A , b \in B. Această operațiune pe clase este introdus corect, adică nu depinde de alegerea elementelor de clasă și coincide cu definiția inductivă.

Maparea unu-la-unu a unei multimi finite A pentru un segment N / A poate fi înțeles ca numerotarea elementelor unei mulțimi A: \quad A \sim N_a. Acest proces de numerotare se numește „COUNT”. Astfel, „cont” este stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între elementele unei mulțimi și un segment al seriei naturale de numere.

Pentru înmulțire numere naturaleîn notația pozițională a numerelor se folosește un algoritm de multiplicare pe biți. Date două numere naturale AȘi b astfel încât:

a=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0, \quad b=b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0, \quad \forall a_(k),b_(k ) \in \(P \), \quad \forall a_(n-1), b_(n-1) \ne 0, \quad\exists 0\in \N;

Unde a_(0 \dots n-1)=a_k P^k, \quad b_(0 \dots n-1)=b_k P^k; n- numărul de cifre din număr n \in \(1, 2, \dots ,n \); k - număr de serie descărcare (poziție), k \in \(0, 1, \dots ,n-1 \); P- baza sistemului de numere; \(P\) un set de caractere numerice (cifre), un sistem de numere specific: \(P_2 \)= \(0,1 \), \(P_(10) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \), \(P_(16) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \); Apoi:

c=a \sdot b; \quad c_(n-1) c_(n-2)\dots c_0=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0 \sdot b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0 ;

înmulțind puțin cu puțin, obținem n rezultate intermediare:

  • t_(n-1,~0) = mod(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;
  • t_(n-1,~1) = mod(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;
  • ... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...
  • t_(n-1,~k) = mod(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P)~,~~ t_(k) \sdot~ P^k;

unde: r este valoarea de transport, mod() este funcția de găsire a restului diviziunii, div() este funcția de găsire a coeficientului parțial.

Apoi primit n adăugăm rezultatele intermediare: c=t_0+t_1+...+t_(k).

Astfel, operația de înmulțire se reduce la procedura secvenţială înmulțire simplă numere cu o singură cifră a_(k)\sdot b_(k), cu formarea transferului, dacă este necesar, care se realizează fie prin metoda tabulară, fie prin adăugare secvenţială. Și apoi în plus.

Operațiile aritmetice asupra numerelor din orice sistem numeric pozițional sunt efectuate după aceleași reguli ca și în sistemul zecimal, deoarece toate se bazează pe regulile de efectuare a operațiilor pe polinoamele corespunzătoare. În acest caz, trebuie să utilizați tabla înmulțirii corespunzătoare acestei baze. P sisteme de numere.

Un exemplu de înmulțire a numerelor naturale în sisteme de numere binar, zecimal și hexazecimal, pentru comoditate, numerele sunt scrise unul sub celălalt în funcție de cifre, transferul este scris deasupra:

\begin(array)(cccccccccc)

& & & & & & & \\ & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& & &1&1&0&1 \\ \hline & & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &0&0&0&0&0&0&(\color(Gray)0) \\ & &1&1&0&( color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) &(\color(Gray)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0 \end(matrice); \quad \quad \begin(array)(cccccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & &0&8&74&&(8&6&2&(&) color(Gri)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(Gray)0)&(\color(Gray)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(array); \quad \quad

\begin(array)(ccccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \\ &&&&&6&D&E&4&(D&E4) (\culoare(gri)0) &(\color(Gray)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\end(matrice)~~.

Numere întregi

\alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \(a_n\), \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \(b_n\)

definite, respectiv, de secvențe fundamentale de numere raționale (satisfăcând condiția Cauchy), notate astfel: \alpha=Și \beta=, atunci produsul lor se numește număr \gamma=, definit prin produsul secvențelor \(un\)Și \(b_n\):

\gamma = \alpha \cdot \beta \overset(\text(def))(=) \cdot =;

numar real \gamma = \alpha \cdot \beta, îndeplinește următoarea condiție:

\forall a", a ,b",b\in \mathbb(Q); ~~~~ (a" \leqslant \alpha \leqslant a ) \și (b" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​​​\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​​​\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

Astfel, produsul a două numere reale \alfaȘi \beta este un număr atât de real \gamma care este cuprins între toate produsele formei a" \cdot b" pe de o parte și toate produsele din formă A \cdot b pe cealaltă parte.

În practică, pentru a înmulți două numere \alfaȘi \beta, este necesar să le înlocuiți cu precizia necesară cu numere raționale aproximative AȘi b. Pentru valoarea aproximativă a produsului numerelor \alpha \cdot \beta se ia produsul numerelor raționale specificate a\cdot b. În același timp, nu contează ce parte (prin deficiență sau exces) luată numere rationale aduce mai aproape \alfaȘi \beta. Înmulțirea se realizează conform algoritmului de multiplicare pe biți.

Pentru a înmulți două numere complexe în formă trigonometricăînregistrările, trebuie să le multiplicați modulele și să adăugați argumentele:

c=a \cdot b=r_1 (Cos \varphi _1+ iSin \varphi _1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi _2+ iSin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi _1+\varphi _2)+ iSin (\varphi_1+\varphi_2)), Unde: r=|z|=|a+ib|=\sqrt(a^2+b^2);~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl(\frac(b)(a) \biggr) , modulul și argumentul unui număr complex.

Înmulțirea unui număr complex a = r_1 e^ (i\varphi _1) V forma indicativa, la un număr complex b = r_2 e^ (i\varphi _2) se reduce la rotirea vectorului corespunzător numărului A, la colț Arg(b)și schimbându-și lungimea în |b| o singura data. Pentru lucrare numere complexeîn formă exponențială, egalitatea este adevărată:

c=re^ (i\varphi)=a \cdot b = r_1 e^ (i\varphi _1) \cdot r_2 e^ (i\varphi _2)= r_1\cdot r_2\cdot e^ (i(\varphi _1+ \varphi_2)),

Unde: e=2,718281828...- numărul e .

Notă exponențială

De exemplu, dacă înmulțiți viteza V=4~m/s pentru o vreme T=2~s corespunzând unui proces fizic, apoi obțineți un număr numit (cantitate fizică) corespunzătoare aceluiași proces fizic, care se numește „lungime” și se măsoară în metri: L=8~m.

L=V \cdot T = 4~\frac(m)(s) \cdot 2~s =8 ~\frac(m \cdot s)(s)= 8 ~m.

Când descrii mijloace matematice procese fizice un rol important îl joacă conceptul de omogenitate, ceea ce înseamnă, de exemplu, că „1 kg de făină” și „1 kg de cupru” aparțin seturi diferite(făină) și respectiv (cupru). De asemenea, conceptul de omogenitate sugerează că mărimile înmulțite aparțin aceluiași proces fizic.

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Multiplicare”

Note

Literatură

  • Ilyin V.A. si etc.. - Universitatea de Stat din Moscova, 1985. - T. 1. - 662 p.
  • Enderton G. Elements of Set Theory = Elements of Set Theory. - Editura Gulf Professional, 1977. - 279 p. - ISBN 0-12-238440-7.
  • Barsukov A.N.. - Iluminismul, 1966. - 296 p.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G.. - Iluminismul, 1988. - 416 p.
  • Istomina N.B.. - Asociația secolul XXI, 2005. - 272 p. - ISBN 5-89308-193-5.
  • Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
  • IN SI. Igoshin(rusă): articol. - Saratov Universitate de stat numit după N.G. Cernîșevski, 2010.
  • Kononyuk A.E.. - Educația Ucrainei, 2012. - Vol. 2. - 548 p. - ISBN 978-966-7599-50-8.
  • : [24 august 2011] // Conducere / Artemy Lebedev. - 15 ianuarie 2003 - § 97.

Un fragment care caracterizează înmulțirea

„Dacă te rog, schimbă-ți hainele, te rog”, a spus el, plecând.

- Vine! strigă maşinicul în acel moment.
Comandantul de regiment s-a înroșit, a alergat la cal, cu mâinile tremurânde a apucat etrierul, a aruncat trupul peste el, și-a revenit, a scos sabia și, cu o față veselă, hotărâtă, cu gura deschisă într-o parte, s-a pregătit să strigăt. Regimentul a început ca o pasăre care se recupera și a înghețat.
- Smir r r na! strigă comandantul de regiment cu o voce zdrobitoare de suflet, vesel pentru sine, strict în raport cu regimentul și prietenos în raport cu șeful care se apropia.
De-a lungul unui drum lat, mărginit de copaci, înalt, fără autostradă, cu un zgomot ușor de izvoare, o trăsură vieneză înaltă și albastră mergea într-un tren la trap iute. O suită și un convoi de croați au galopat în spatele trăsurii. Lângă Kutuzov stătea un general austriac într-o uniformă albă ciudată, printre rușii de culoare. Trăsura s-a oprit la regiment. Kutuzov și generalul austriac vorbeau în liniște despre ceva, iar Kutuzov zâmbi ușor, în timp ce, pășind greu, își cobora piciorul de pe picior, de parcă nu ar fi fost cei 2.000 de oameni care se uitau la el și la el fără să respire. comandant de regiment.
Se auzi un strigăt de comandă, iar regimentul sună, tremura, făcând pază. Am auzit în tăcere de moarte voce slabă comandant șef. Regimentul urlă: „Îți dorim multă sănătate, domnia ta!” Și din nou totul a înghețat. La început, Kutuzov a stat într-un loc în timp ce regimentul se mișca; apoi Kutuzov, lângă generalul alb, pe jos, însoțit de alaiul său, începu să meargă printre rânduri.
Apropo, comandantul regimentului l-a salutat pe comandantul-șef, uitându-se la el, întinzându-se și ridicându-se, cum, aplecându-se în față, mergea în spatele generalilor de-a lungul rândurilor, abia păstrând o mișcare tremurândă, cum sărea la fiecare cuvânt și mișcarea comandantului șef, era clar că își îndeplinea îndatoririle de subordonat cu o plăcere și mai mare decât îndatoririle unui șef. Regimentul, gratie severitatii si harniciei comandantului de regiment, era intr-o stare excelenta fata de altii veniti in acelasi timp la Braunau. Erau doar 217 retardați și bolnavi. Totul a fost bine, cu excepția pantofilor.
Kutuzov cobora pe rânduri, oprindu-se din când în când și vorbind câteva cuvinte frumoase ofițeri pe care îi cunoștea război turcesc iar uneori soldaţi. Aruncând o privire la pantofi, clătină cu tristețe din cap de mai multe ori și îi arătă pe generalul austriac cu o asemenea expresie, încât părea că nu reproșează nimănui acest lucru, dar nu se putea abține să nu vadă cât de rău era. Comandantul regimentului alerga de fiecare dată înainte, de teamă să nu rateze cuvântul comandantului-șef cu privire la regiment. În spatele lui Kutuzov, la o asemenea distanță încât se auzea orice cuvânt slab rostit, mergea un bărbat de 20 de suită. Domnii aleiului vorbeau între ei și uneori râdeau. Cel mai aproape în spatele comandantului-șef era un adjutant frumos. Era prințul Bolkonski. Alături de el mergea tovarășul său Nesvițki, un ofițer de stat major înalt, extrem de voinic, cu o față frumoasă și zâmbitoare și cu ochi umezi; Nesvitski cu greu se putea abține să nu râdă, stârnit de ofițerul husar negricios care mergea lângă el. Ofițerul de husar, fără să zâmbească, fără să-și schimbe expresia ochilor ținți, se uita cu o față serioasă în spatele comandantului de regiment și-i mima fiecare mișcare. De fiecare dată când comandantul de regiment se înfioră și se apleca în față, exact în același mod, exact în același fel, ofițerul de husar tremura și se apleca în față. Nesvitski a râs și i-a împins pe ceilalți să se uite la omul amuzant.
Kutuzov a trecut încet și nepăsător pe lângă o mie de ochi care le-au rostogolit din orbite, urmărindu-l pe șef. După ce a ajuns la a treia companie, s-a oprit brusc. Suita, neprevăzând această oprire, a înaintat involuntar spre el.
- Ah, Timokhin! – spuse comandantul-șef, recunoscându-l pe căpitanul cu nasul roșu, care suferea pentru un pardesiu albastru.
Părea că nu se poate întinde mai mult decât se întindea Timokhin, în timp ce comandantul regimentului îl mustra. Dar în acel moment i s-a adresat comandantul șef, căpitanul s-a ridicat astfel încât să pară că dacă comandantul șef s-ar fi uitat puțin la el, căpitanul nu ar fi putut să suporte. ; și, prin urmare, Kutuzov, înțelegându-și aparent poziția și dorind, dimpotrivă, toate cele bune pentru căpitan, s-a întors în grabă. Un zâmbet abia perceptibil străbătu chipul plinuț și rănit al lui Kutuzov.
— Un alt tovarăș Izmaylovsky, spuse el. — Ofițer curajos! Ești mulțumit de el? îl întrebă Kutuzov pe comandantul regimentului.
Iar comandantul de regiment, parcă reflectat într-o oglindă, invizibil pentru el însuși, în ofițerul de husar, s-a cutremurat, a mers înainte și a răspuns:
„Foarte mulțumit, Excelența Voastră.
„Nu suntem cu toții lipsiți de slăbiciuni”, a spus Kutuzov, zâmbind și îndepărtându-se de el. „A avut un atașament față de Bacchus.
Comandantul regimentului se temea că nu este de vină pentru asta și nu răspunse. În acel moment, ofițerul a observat fața căpitanului cu nasul roșu și stomacul înfundat și și-a mimat atât de asemănător fața și postura, încât Nesvitsky nu s-a putut abține să râdă.
Kutuzov se întoarse. Era evident că ofițerul își putea stăpâni fața așa cum dorea: în momentul în care Kutuzov s-a întors, ofițerul a reușit să facă o grimasă, iar după aceea să capete expresia cea mai serioasă, respectuoasă și nevinovată.
A treia companie a fost ultima și se gândi Kutuzov, amintindu-și aparent ceva. Printul Andrei a iesit din suita si a spus linistit in franceza:
- Ai ordonat să-ți amintești de Dolokhov retrogradat din acest regiment.
- Unde este Dolokhov? întrebă Kutuzov.
Dolokhov, îmbrăcat deja într-un pardesiu gri de soldat, nu a așteptat să fie chemat. Silueta zveltă a unui blond cu clar ochi albaștrii soldatul a ieşit de pe front. S-a apropiat de comandantul șef și a făcut gardă.
- Revendicare? - Încruntându-se ușor, întrebă Kutuzov.
„Acesta este Dolokhov”, a spus prințul Andrei.
- A! spuse Kutuzov. – Sper că această lecție vă va corecta, serviți bine. Împăratul este milostiv. Și nu te voi uita dacă meriți.
Ochii albaștri limpezi îl priveau pe comandantul șef la fel de îndrăzneț ca și pe comandantul regimentului, de parcă prin expresia lor ar fi smuls vălul convenționalității care despărțea atât de departe comandantul șef de soldat.
— Vă întreb un lucru, Excelență, spuse el cu vocea lui rezonantă, fermă și negrabită. „Îți cer să-mi dai o șansă să-mi repar vinovăția și să-mi dovedesc devotamentul față de împărat și Rusia.
Kutuzov se întoarse. Același zâmbet al ochilor i-a fulgerat pe față ca în momentul în care s-a întors de la căpitanul Timokhin. Se întoarse și se strâmbă, de parcă ar fi vrut să exprime prin asta că tot ce i-a spus Dolokhov și tot ce putea să-i spună, știa de mult, de mult timp că toate acestea îl plictisiseră deja și că toate acestea erau deloc ce avea nevoie... Se întoarse și se îndreptă spre trăsură.
Regimentul s-a aranjat în companii și s-a îndreptat spre apartamentele alocate nu departe de Brăunau, unde spera să se încalțe, să se îmbrace și să se odihnească după tranziții grele.
- Nu te prefaci cu mine, Prokhor Ignatich? - spuse comandantul regimentului, înconjurând compania a 3-a îndreptându-se spre loc și conducând până la căpitanul Timokhin, care mergea în fața acesteia. Fața comandantului de regiment, după o revizuire fericită plecată, exprima o bucurie ireprimabilă. - Serviciul regal... nu poți... altă dată te vei tăia din față... Eu voi fi primul care își cere scuze, mă cunoști... Mulțumesc mult! Și a întins mâna către comandant.
„Scuzați-mă, generale, îndrăznesc!” – răspunse căpitanul, înroșindu-se cu nasul, zâmbind și dezvăluind cu un zâmbet lipsa celor doi dinți din față, doborâți de un cap lângă Ismael.
- Da, spune-i domnului Dolokhov că nu-l voi uita, ca să fie liniştit. Da, te rog spune-mi, am tot vrut să întreb, ce este, cum se comportă? Si totul...
„Este foarte util în serviciul său, Excelența Voastră... dar carakhterul...” a spus Timokhin.
- Și ce, care este personajul? întrebă comandantul regimentului.
„Găsește, Excelență, de zile întregi”, a spus căpitanul, „e deștept, învățat și amabil. Și asta e o fiară. În Polonia, a ucis un evreu, dacă știi, te rog...
- Păi, da, păi, da, - spuse comandantul de regiment, - mai trebuie să-ţi fie milă de tânărul din nenorocire. La urma urmelor conexiuni mari… Deci tu…
— Ascult, Excelența Voastră, spuse Timokhin, cu un zâmbet făcând să simtă că a înțeles dorințele șefului.
- Da Da.
Comandantul regimentului l-a găsit pe Dolokhov în rânduri și și-a frânat calul.
„Înainte de primul caz, epoleți”, îi spuse el.
Dolokhov se uită în jur, nu spuse nimic și nu schimbă expresia gurii lui zâmbitoare batjocoritoare.
„Ei bine, asta e bine”, a continuat comandantul regimentului. „Oamenii iau un pahar de votcă de la mine”, a adăugat el, pentru ca soldații să audă. - Va multumesc tuturor! Dumnezeu să ajute! - Și el, după ce a depășit o companie, s-a dus la alta.
„Ei bine, chiar este un om bun; Poți sluji cu el, îi spuse subalternul Timokhin ofițerului care mergea lângă el.
- Un cuvânt, roşu!... (comandantul regimentului era supranumit regele roşu) - spuse râzând ofiţerul subaltern.
Dispoziţia fericită a autorităţilor după revizuire a trecut la soldaţi. Rota se distra. Vocile soldaților vorbeau din toate părțile.
- Cum au spus, Kutuzov strâmb, despre un ochi?
- Dar nu! Total strâmb.
- Nu... frate, cu ochi mai mari decât tine. Cizme și gulere - am privit totul în jur...
- Cum se uită el, fratele meu, la picioarele mele... ei bine! Gândi…
- Iar celălalt e austriac, era cu el, parcă mânjit cu cretă. Ca făina, albă. Sunt ceai, cum curăță muniția!
- Ce, Fedeshow!... spuse el, poate, când încep gărzile, ai stat mai aproape? Au spus totul, Bunaparte însuși stă în Brunov.
- Bunaparte stă în picioare! minti, prostule! Ce nu stie! Acum prusacul este în revoltă. Austriecul, așadar, îl liniștește. De îndată ce se va împăca, atunci războiul se va deschide cu Bounaparte. Și atunci, spune el, în Brunov, Bunaparte stă în picioare! Este evident că e un idiot. Ascultă mai mult.
„Uite, naibii de chiriași! A cincea companie, uite, deja se transformă în sat, vor găti terci și nu vom ajunge încă la locul.
- Dă-mi un biscuit, la naiba.
— Ai dat tutun ieri? Asta e, frate. Ei bine, Dumnezeu este cu tine.
- Dacă s-ar opri, altfel nu vei mânca încă cinci mile de proprem.
- A fost frumos cum ne-au dat nemții cărucioare. Du-te, știi: este important!
- Și iată, frate, oamenii s-au înnebunit complet. Acolo totul părea a fi polonez, totul era din coroana rusă; iar acum, frate, un german solid a plecat.
- Compozitorii înainte! - Am auzit strigătul căpitanului.
Și douăzeci de oameni au fugit în fața companiei din diferite grade. Toboșarul cântă întoarse cu fața la cărțile de cântece și, făcându-și mâna, a început un cântec de soldat întins, începând cu: „Nu-i așa că răsare soarele...” și terminând cu cuvintele: „Asta. , fraților, ne va fi slavă cu tatăl Kamensky...” în Turcia și acum se cânta în Austria, doar cu schimbarea că în locul „tatălui Kamensky” s-au introdus cuvintele: „tatăl lui Kutuzov”.
Rupând aceste soldați ultimele cuvinteși fluturând brațele de parcă ar arunca ceva pe pământ, toboșarul, uscat și soldat frumosîn vârstă de vreo patruzeci de ani, soldatul compozitorului s-a uitat cu severitate și și-a înșurubat ochii. Apoi, asigurându-se că toate privirile erau ațintite asupra lui, păru că ridică cu atenție cu ambele mâini un lucru invizibil și prețios deasupra capului său, îl ținu așa câteva secunde și îl aruncă deodată cu disperare:
O, tu, baldachinul meu, baldachinul meu!
„Canopy my new...”, s-au ridicat douăzeci de voci, iar spoonmanul, în ciuda greutății muniției, a sărit vioi înainte și a mers înapoi în fața companiei, mișcându-și umerii și amenințând pe cineva cu linguri. Soldații, legănându-și brațele în ritmul cântecului, mergeau cu un pas încăpător, lovind involuntar piciorul. În spatele companiei se auzea zgomotele roților, zgomotul arcurilor și zgomotul cailor.
Kutuzov cu alaiul său se întorcea în oraș. Comandantul-șef a făcut semn că poporul trebuie să continue să meargă în voie, iar pe chipul lui și pe toate fețele alaiului s-a exprimat plăcere la sunetul cântecului, la vederea soldatului care dansează și a celui vesel și vioi. soldații de marș ai companiei. În al doilea rând, din flancul drept, din care trăsura a depășit companiile, a atras involuntar în ochi un soldat cu ochi albaștri, Dolokhov, care a mers deosebit de vioi și grațios în ritmul cântecului și a privit chipurile trecători cu o asemenea expresie de parcă i-ar fi milă de toți cei care nu mergeau în acest moment cu o companie. Un cornet de husar din alaiul lui Kutuzov, mimându-l pe comandantul regimentului, a rămas în urmă trăsurii și a condus până la Dolokhov.
Husarul cornet Jherkov la un moment dat din Sankt Petersburg a aparținut acelei societăți violente conduse de Dolokhov. Jherkov l-a întâlnit pe Dolokhov în străinătate ca soldat, dar nu a considerat necesar să-l recunoască. Acum, după conversația lui Kutuzov cu cel retrogradat, s-a întors către el cu bucuria unui vechi prieten:
- Dragă prietene, ce mai faci? – spuse el la sunetul cântecului, egalând pasul calului său cu pasul companiei.
- Sunt ca? - răspunse Dolohov rece, - după cum vezi.
Cântecul plin de viață a dat sens special tonul de veselie obraznică cu care vorbea Jherkov și răceala deliberată a răspunsurilor lui Dolokhov.
- Deci, cum vă înțelegeți cu autoritățile? întrebă Jherkov.
- Nimic, oameni buni. Cum ai intrat în sediu?
- Detaşat, sunt de serviciu.
Au tăcut.
„Am lăsat șoimul din mâneca mea dreaptă”, a spus cântecul, stârnind involuntar un sentiment vesel, vesel. Conversația lor ar fi fost probabil diferită dacă nu ar fi vorbit la sunetul unui cântec.
- Ce este adevărat, austriecii au fost bătuţi? întrebă Dolokhov.
„Diavolul știe, spun ei.
„Mă bucur”, a răspuns Dolokhov scurt și clar, așa cum cerea cântecul.
- Ei bine, vino la noi când seara, faraonul va amanet, - a spus Jherkov.
Sau ai multi bani?
- Vino.
- Este interzis. A făcut un jurământ. Nu beau și nu mă joc până nu se termină.
Ei bine, înainte de primul lucru...
- O să vezi acolo.
Din nou au tăcut.
„Intră, dacă ai nevoie de ceva, toți cei de la sediu te vor ajuta...”, a spus Jherkov.
Dolohov chicoti.
„Ar fi bine să nu-ți faci griji. Ce am nevoie, nu o să întreb, o să-mi iau eu.
„Da, bine, sunt atât de...
- Ei bine, la fel sunt.
- La revedere.
- Fii sănătos…
... și sus și departe,
Pe partea gazdă...
Jherkov și-a atins calul cu pintenii, care de trei ori, emoționat, a dat cu piciorul, neștiind de unde să înceapă, a făcut față și a galopat, depășind compania și ajungând din urmă trăsura, tot în timp cu cântecul.

Revenind de la recenzie, Kutuzov, însoțit de un general austriac, s-a dus la biroul său și, chemându-l pe adjutant, a poruncit să-și dea niște hârtii legate de starea trupelor sosite și scrisori primite de la arhiducele Ferdinand, care comanda. armata avansata. Prințul Andrei Bolkonsky cu actele necesare a intrat în biroul comandantului șef. În fața planului întins pe masă stăteau Kutuzov și un membru austriac al Hofkriegsrat-ului.
— Ah... spuse Kutuzov, uitându-se înapoi la Bolkonsky, ca și cum prin acest cuvânt l-ar fi invitat pe adjutant să aștepte, și a continuat conversația începută în franceză.
„Spun un singur lucru, domnule general”, a spus Kutuzov cu o eleganță plăcută a expresiei și a intonației, forțându-l să asculte fiecare cuvânt rostit pe îndelete. Era evident că Kutuzov se asculta cu plăcere. - Un singur lucru spun, domnule general, că dacă problema ar depinde de dorința mea personală, atunci voința Majestății Sale împăratului Franz s-ar fi împlinit de mult. M-aș fi alăturat Arhiducelui de mult. Și credeți onoarea mea, că pentru mine personal să transfer comanda superioară a armatei mai mult decât sunt la un general priceput și priceput, cum ar fi Austria este atât de abundent, și să-mi depun toată această grea responsabilitate pentru mine personal ar fi o bucurie. . Dar circumstanțele sunt mai puternice decât noi, generale.
Și Kutuzov a zâmbit cu o asemenea expresie de parcă ar fi spus: „Ai tot dreptul să nu mă crezi și nici măcar mie nu-mi pasă dacă mă crezi sau nu, dar nu ai de ce să-mi spui asta. Și asta este ideea.”
Generalul austriac părea nemulțumit, dar nu a putut să-i răspundă lui Kutuzov pe același ton.
„Dimpotrivă”, a spus el pe un ton morocănos și furios, atât de contrar sensului măgulitor al cuvintelor pe care le rostea, „dimpotrivă, participarea Excelenței Voastre la cauza comuna foarte apreciat de maiestatea sa; dar credem că o adevărată încetinire îi privează pe glorioasele trupe rusești și pe comandanții lor de acei lauri pe care sunt obișnuiți să-i culeagă în lupte ”, a încheiat el fraza aparent pregătită.
Kutuzov se înclină fără să-și schimbe zâmbetul.
- Și sunt atât de convins și, pe baza ultimei scrisori pe care Alteța Sa Arhiducele Ferdinand mi-a onorat-o, presupun că trupele austriece, sub comanda unui asistent atât de priceput precum generalul Mack, au câștigat acum deja o victorie decisivă și nu mai sunt. am nevoie de ajutorul nostru, - a spus Kutuzov.
Generalul se încruntă. Deși nu au existat vești pozitive despre înfrângerea austriecilor, au fost prea multe împrejurări care au confirmat zvonurile generale nefavorabile; și de aceea presupunerea lui Kutuzov despre victoria austriecilor era foarte asemănătoare cu o batjocură. Dar Kutuzov a zâmbit blând, tot cu aceeași expresie care spunea că are dreptul să-și asume asta. Într-adevăr, ultima scrisoare, primit de el de la armata lui Mack, l-a informat despre victoria si pozitia strategica cea mai avantajoasa a armatei.
„Dă-mi această scrisoare aici”, a spus Kutuzov, întorcându-se către prințul Andrei. - Aici ești, dacă vrei să-l vezi. - Iar Kutuzov, cu un zâmbet batjocoritor pe vârfurile buzelor, a citit următorul pasaj din scrisoarea arhiducelui Ferdinand de la generalul germano-austriac: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu know. Wir know, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mitin ganzer Machtabald sewenden mitin auch jeden Augenblick . Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Avem o forță complet concentrată, aproximativ 70.000 de oameni, astfel încât să putem ataca și învinge inamicul dacă trece Lech. Deoarece deținem deja Ulm, putem păstra avantajul de a comanda ambele maluri ale Dunării, prin urmare, în fiecare minut, dacă inamicul nu trece Lech, trece Dunărea, se grăbește la linia lui de comunicație, trece Dunărea mai jos și inamicul. , dacă se hotărăște să-și îndrepte toată puterea asupra aliaților noștri credincioși, pentru a preveni împlinirea intenției sale. Astfel, vom aștepta cu bucurie momentul în care imperialul armata rusă complet gata, iar apoi împreună putem găsi cu ușurință o oportunitate de a pregăti soarta inamicului, pe care o merită.
Kutuzov a oftat din greu, după ce a terminat această perioadă și s-a uitat cu atenție și cu afecțiune la membrul Hofkriegsrat-ului.
„Dar știți, Excelența Voastră, regulă înțeleaptă prescriind să ne asumăm ce e mai rău ”, a spus generalul austriac, dorind aparent să pună capăt glumelor și să se apuce de treabă.
Îi aruncă o privire involuntară spre adjutant.
„Scuzați-mă, generale”, îl întrerupse Kutuzov și se întoarse, de asemenea, către prințul Andrei. - Asta, draga mea, iei toate rapoartele de la cercetașii noștri de la Kozlovsky. Iată două scrisori de la Contele Nostitz, iată o scrisoare de la Înălțimea Sa Arhiducele Ferdinand, iată o alta”, a spus el, întinzându-i niște hârtii. - Și din toate astea curat, mai departe limba franceza, întocmește un memoriu, o notă, pentru vizibilitatea tuturor acelor știri pe care le avem despre acțiuni armata austriacă a avut. Ei bine, atunci și prezentați-i Excelenței Sale.
Prințul Andrei și-a plecat capul în semn că a înțeles din primele cuvinte nu doar ce s-a spus, ci și ce ar vrea să-i spună Kutuzov. A adunat hârtiile și, făcând o plecăciune generală, mergând în liniște de-a lungul covorului, a ieșit în sala de așteptare.
În ciuda faptului că nu a trecut mult timp de când prințul Andrei a părăsit Rusia, el s-a schimbat foarte mult în acest timp. În expresia feței, în mișcările sale, în mersul lui, aproape că nu se observase pretenții, oboseală și lene; avea înfățișarea unui om care nu are timp să se gândească la impresia pe care o face altora și este ocupat cu afaceri plăcute și interesante. Fața lui exprima mai multă satisfacție față de sine și de cei din jur; zâmbetul și privirea lui erau mai vesele și mai atrăgătoare.
Kutuzov, pe care l-a prins din urmă în Polonia, l-a primit cu multă afecțiune, i-a promis că nu-l va uita, l-a distins de alți adjutanți, l-a luat cu el la Viena și i-a dat sarcini mai serioase. Din Viena, Kutuzov i-a scris vechiului său tovarăș, tatăl prințului Andrei:
„Fiul tău”, a scris el, „dă speranță de a fi un ofițer care excelează în studii, fermitate și sârguință. Mă consider norocos să am un asemenea subordonat la îndemână.”
La sediul lui Kutuzov, printre tovarășii săi, și în armată în general, prințul Andrei, ca și în societatea din Sankt Petersburg, avea două reputații complet opuse.
Singur minoritate, l-au recunoscut pe principele Andrei ca ceva deosebit de la ei înșiși și de la toți ceilalți oameni, aștepta mare succes de la el, îl ascultau, îl admirau și îl imitau; iar cu acești oameni, prințul Andrei era simplu și plăcut. Alții, majoritatea, nu le-a plăcut prințului Andrei, l-au considerat umflat, rece și persoană neplăcută. Dar cu acești oameni, prințul Andrei a știut să se poziționeze în așa fel încât să fie respectat și chiar de temut.
Ieșind din biroul lui Kutuzov în sala de așteptare, prințul Andrei cu acte s-a apropiat de tovarășul său, adjutant de serviciu Kozlovsky, care stătea lângă fereastră cu o carte.
- Ei bine, ce, printe? întrebă Kozlovski.
- Am ordonat să întocmească o notă, de ce să nu mergem înainte.
- Și de ce?
Prințul Andrew a ridicat din umeri.
- Niciun cuvânt de la Mac? întrebă Kozlovski.
- Nu.
- Dacă ar fi adevărat că a fost învins, atunci ar veni vestea.
„Probabil”, spuse prințul Andrei și se duse la ușa de ieșire; dar în același timp pentru a-l întâlni, trântind ușa, în sala de așteptare a intrat repede un general înalt, evident nou venit, în redingotă, cu capul legat cu o batistă neagră și cu Ordinul Maria Tereza la gât. . Prințul Andrew se opri.
- Generalul Anshef Kutuzov? – spuse repede generalul vizitator cu un ascuțit accent german, privind în jur de ambele părți și fără să se oprească din mers spre ușa biroului.
— Generalul este ocupat, spuse Kozlovsky, apropiindu-se grăbit de generalul necunoscut și blocându-i drumul de la ușă. - Cum ai vrea să raportezi?
Generalul necunoscut s-a uitat disprețuitor la scurtul Kozlovsky, parcă surprins că s-ar putea să nu fie cunoscut.
— Șeful general este ocupat, repetă Kozlovsky calm.
Chipul generalului s-a încruntat, buzele lui s-au zvâcnit și au tremurat. A scos un caiet, a desenat repede ceva cu un creion, a rupt o bucată de hârtie, a dat-o, s-a dus cu pași repezi la fereastră, și-a aruncat corpul pe un scaun și s-a uitat în jur la cei din cameră, de parcă ar fi întrebat. : de ce se uita la el? Atunci generalul a ridicat capul, și-a întins gâtul, de parcă ar fi intenționat să spună ceva, dar imediat, parcă ar fi început neglijent să fredoneze pentru el însuși, a făcut sunet ciudat, care s-a oprit imediat. Ușa biroului s-a deschis, iar Kutuzov a apărut în prag. Generalul cu capul bandajat, parcă fugind de pericol, aplecat, cu pași mari, repezi, de picioare subțiri, se apropie de Kutuzov.
- Vous voyez le malheureux Mack, [Îl vezi pe nefericitul Mack.] - spuse el cu vocea frântă.
Chipul lui Kutuzov, care stătea în pragul biroului, a rămas complet nemișcat câteva clipe. Apoi, ca un val, o ridă i-a trecut pe față, cu fruntea netezită; și-a plecat capul respectuos, a închis ochii, l-a lăsat în tăcere pe Mack pe lângă el și a închis ușa în urma lui.
Zvonul, deja răspândit înainte, despre înfrângerea austriecilor și predarea întregii armate la Ulm, s-a dovedit a fi adevărat. Deja o jumătate de oră mai târziu directii diferite au fost trimiși adjutanți cu ordine care dovedesc că în curând trupele ruse, încă inactive, vor trebui să se întâlnească cu inamicul.
Prințul Andrei a fost unul dintre acei ofițeri rari din personal care au considerat principalul său interes curs general afaceri militare. Văzându-l pe Mack și auzind detaliile morții sale, și-a dat seama că jumătate din campanie era pierdută, a înțeles întreaga dificultate a poziției trupelor ruse și și-a imaginat viu ce îi aștepta pe armata și rolul pe care va trebui să-l joace în ea. .
În mod involuntar, a experimentat un sentiment de bucurie incitantă la gândul că ar face de rușine pe prezumția Austrie și că peste o săptămână, poate, va trebui să vadă și să ia parte la o ciocnire între ruși și francezi, pentru prima dată după Suvorov.
Dar îi era frică de geniul lui Bonaparte, care putea fi mai puternic decât tot curajul trupelor rusești și, în același timp, nu putea permite rușine eroului său.
Emoționat și iritat de aceste gânduri, prințul Andrei a mers în camera lui să-i scrie tatălui său, căruia îi scria în fiecare zi. S-a întâlnit pe coridor cu colegul său de cameră Nesvitsky și cu jokerul Jherkov; ei, ca întotdeauna, râdeau de ceva.

Și înmulțirea. Doar despre operația de înmulțire și va fi discutată în acest articol.

Înmulțirea numerelor

Înmulțirea numerelor este stăpânită de copiii din clasa a doua și nu este nimic complicat în asta. Acum ne vom uita la înmulțirea prin exemple.

Exemplul 2*5. Aceasta înseamnă fie 2+2+2+2+2, fie 5+5. Luăm 5 de două ori sau 2 de cinci ori. Răspunsul este, respectiv, 10.

Exemplul 4*3. În mod similar, 4+4+4 sau 3+3+3+3. De trei ori de 4 sau de patru ori 3. Răspuns 12.

Exemplul 5*3. Facem la fel ca în exemplele anterioare. 5+5+5 sau 3+3+3+3+3. Răspunsul 15.

Formule de multiplicare

Înmulțirea este suma aceleasi numere, de exemplu, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 sau 2 * 5 = 5 + 5. Formula de înmulțire:

Unde, a este orice număr, n este numărul de termeni a. Să spunem a=2, apoi 2+2+2=6, apoi n=3 înmulțind 3 cu 2, obținem 6. Luați în considerare ordine inversă. De exemplu, dat: 3 * 3, adică. 3 înmulțit cu 3 - aceasta înseamnă că cele trei trebuie luate de 3 ori: 3 + 3 + 3 \u003d 9. 3 * 3 \u003d 9.

Înmulțirea prescurtată

Înmulțirea prescurtată este o abreviere a operației de înmulțire în anumite cazuri, iar formulele pentru înmulțirea abreviată au fost dezvoltate special pentru aceasta. Ceea ce va ajuta să faceți calculele cele mai raționale și mai rapide:

Formule de înmulțire prescurtate

Fie că a, b aparțin lui R, atunci:

    Pătratul sumei a două expresii este pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii. Formulă: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

    Pătratul diferenței a două expresii este pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii. Formulă: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

    Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul dintre diferența acestor expresii și suma lor. Formulă: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

    cub suma două expresii este egal cu un cub al primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii cu a doua plus triplul produsului primei expresii cu pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii. Formulă: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

    cub de diferență a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii. Formulă: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

    Suma de cuburi a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

    Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul sumei primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al diferenței acestor expresii. Formulă: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Înscrie-te la cursul „Grăbim calculul mental, NU aritmetica mentala„pentru a învăța cum să adunăm, să scădeți, să înmulțiți, să împărțiți, să pătrați și chiar să luați rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, veți învăța cum să folosiți trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție are trucuri noi, exemple clare și utile sarcini.

Înmulțirea fracțiilor

Având în vedere adunarea și scăderea fracțiilor, a sunat regula, aducând fracțiile la numitor comun pentru a efectua calculul. Când înmulțiți acest lucru, faceți Nu este nevoie! La înmulțirea a două fracții, numitorul este înmulțit cu numitorul și numărătorul cu numărătorul.

De exemplu, (2/5) * (3 * 4). Înmulțiți două treimi cu un sfert. Înmulțim numitorul cu numitorul, iar numărătorul cu numărătorul: (2 * 3) / (5 * 4), apoi 6/20, facem o reducere, obținem 3/10.

Înmulțirea gradul 2

Clasa a II-a este doar începutul învățării înmulțirii, așa că elevii de clasa a II-a rezolvă cele mai simple sarcini pentru a înlocui adunarea cu înmulțirea, înmulțirea numerelor, învață tabla înmulțirii. Să ne uităm la sarcinile de înmulțire la nivelul clasei a doua:

    Oleg locuiește într-o clădire cu cinci etaje, la ultimul etaj. Înălțimea unui etaj este de 2 metri. Care este inaltimea casei?

    Cutia contine 10 pachete de biscuiti. Fiecare pachet contine 7 bucati. Câte fursecuri sunt în cutie?

    Misha și-a aranjat mașinile de jucărie la rând. Sunt 7 pe fiecare rând și sunt doar 8. Câte mașini are Misha?

    În sala de mese sunt 6 mese, iar în spatele fiecărei mese sunt împinse 5 scaune. Câte scaune sunt în sala de mese?

    Mama a adus 3 pungi de portocale din magazin. Pachetele contin 22 de portocale. Câte portocale a adus mama?

    În grădină cresc 9 tufe de căpșuni și 11 fructe de pădure cresc pe fiecare tufiș. Câte fructe de pădure cresc pe toate tufișurile?

    Roma a pus 8 piese de țeavă una după alta, de aceeași dimensiune de 2 metri. Care este lungimea conductei pline?

    Părinții și-au adus copiii la școală pe 1 septembrie. Au sosit 12 mașini, fiecare cu 2 copii. Câți copii au adus părinții lor în aceste mașini?

Înmulțirea gradul 3

În clasa a treia se dau sarcini mai serioase. Pe lângă înmulțire, se va trece și împărțirea.

Printre sarcinile de înmulțire se vor număra: înmulțirea numerelor din două cifre, înmulțirea cu o coloană, înlocuirea adunării cu înmulțirea și invers.

Înmulțirea coloanelor:

Înmulțirea pe coloane este cea mai simplă modalitate de a înmulți numere mari. Considera aceasta metoda pe exemplul a două numere 427 * 36.

1 pas. Să scriem numerele unul sub celălalt, astfel încât 427 să fie în partea de sus și 36 să fie în jos, adică 6 sub 7, 3 sub 2.

2 pas. Începem înmulțirea cu cifra din dreapta a numărului de jos. Adică, ordinea înmulțirii este: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, apoi la fel cu triplul: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

Deci, înmulțiți mai întâi 6 cu 7, răspunsul este: 42. O scriem astfel: din moment ce a ieșit 42, atunci 4 sunt zeci și 2 sunt unu, înregistrarea este similară cu adunarea, ceea ce înseamnă că scriem 2 sub șase, iar 4 se adaugă la două din numărul 427. .

3 pas. Apoi facem același lucru cu 6 * 2. Răspuns: 12. Primul zece, care se adaugă celor patru din numărul 427, iar al doilea - unități. Adunăm cele două rezultate cu cele patru din înmulțirea anterioară.

4 pas. Înmulțiți 6 cu 4. Răspunsul este 24 și adăugați 1 din înmulțirea anterioară. Primim 25.

Deci, înmulțind 427 cu 6, răspunsul este 2562

TINE MINTE! Rezultatul celei de-a doua înmulțiri trebuie notat sub AL DOILEA numărul primului rezultat!

5 pas. Efectuăm acțiuni similare cu numărul 3. Obținem răspunsul înmulțirii 427 * 3 = 1281

6 pas. Apoi adunăm răspunsurile primite la înmulțire și obținem răspunsul final al înmulțirii 427 * 36. Răspuns: 15372.

Înmulțirea gradul 4

Clasa a patra este deja doar înmulțire numere mari. Calculul se face prin metoda înmulțirii într-o coloană. Metoda este descrisă mai sus într-un limbaj accesibil.

De exemplu, găsiți produsul următoarelor perechi de numere:

  1. 988 * 98 =
  2. 99 * 114 =
  3. 17 * 174 =
  4. 164 * 19 =

Prezentare înmulțire

Descărcați o prezentare despre înmulțire cu cele mai simple sarcini pentru elevii de clasa a doua. Prezentarea îi va ajuta pe copii să navigheze mai bine în această operație, deoarece este plină de culoare și în interior stil de joc- cea mai bună opțiune pentru a învăța un copil!

Tabelul înmulțirii

Tabla înmulțirii este studiată de fiecare elev din clasa a II-a. Toată lumea trebuie să știe!

Înscrieți-vă la cursul „Accelerează numărarea mentală, NU aritmetica mentală” pentru a învăța cum să adunăm, să scădeți, să înmulțiți, să împărțiți, să pătrați și chiar să luați rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, vei învăța cum să folosești trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție conține tehnici noi, exemple clare și sarcini utile.

Exemple de multiplicare

Înmulțirea prin lipsă de ambiguitate

  1. 9 * 5 =
  2. 9 * 8 =
  3. 8 * 4 =
  4. 3 * 9 =
  5. 7 * 4 =
  6. 9 * 5 =
  7. 8 * 8 =
  8. 6 * 9 =
  9. 6 * 7 =
  10. 9 * 2 =
  11. 8 * 5 =
  12. 3 * 6 =

Înmulțirea cu două cifre

  1. 4 * 16 =
  2. 11 * 6 =
  3. 24 * 3 =
  4. 9 * 19 =
  5. 16 * 8 =
  6. 27 * 5 =
  7. 4 * 31 =
  8. 17 * 5 =
  9. 28 * 2 =
  10. 12 * 9 =

Înmulțirea cu două cifre cu două cifre

  1. 24 * 16 =
  2. 14 * 17 =
  3. 19 * 31 =
  4. 18 * 18 =
  5. 10 * 15 =
  6. 15 * 40 =
  7. 31 * 27 =
  8. 23 * 25 =
  9. 17 * 13 =

Înmulțirea numerelor din trei cifre

  1. 630 * 50 =
  2. 123 * 8 =
  3. 201 * 18 =
  4. 282 * 72 =
  5. 96 * 660 =
  6. 910 * 7 =
  7. 428 * 37 =
  8. 920 * 14 =

Jocuri pentru dezvoltarea numărării mentale

Jocurile educaționale speciale dezvoltate cu participarea oamenilor de știință ruși de la Skolkovo vor ajuta la îmbunătățirea abilităților de numărare orală într-o formă de joc interesantă.

Jocul „Scor rapid”

Jocul „numărătoare rapidă” vă va ajuta să vă îmbunătățiți gândire. Esența jocului este că în imaginea care ți se prezintă, va trebui să alegi răspunsul „da” sau „nu” la întrebarea „există 5 fructe identice?”. Urmează-ți obiectivul și acest joc te va ajuta în acest sens.

Jocul „Matrici matematice”

„Matrici matematice” grozav exerciții pentru creier pentru copii, care te va ajuta să-i dezvolți munca mentală, numărarea mentală, căutarea rapidă a componentelor potrivite, atenția. Esența jocului este că jucătorul trebuie să găsească o pereche dintre cele 16 numere propuse, care în total va da număr dat, de exemplu, în imaginea de mai jos, numărul dat este „29”, iar perechea dorită este „5” și „24”.

Jocul „Acoperire numerică”

Jocul „acoperire număr” vă va încărca memoria în timp ce exersați cu acest exercițiu.

Esența jocului este să vă amintiți numărul, care durează aproximativ trei secunde pentru a fi memorat. Atunci trebuie să-l joci. Pe măsură ce progresați prin etapele jocului, numărul de numere crește, începeți cu două și continuați.

Jocul „Ghicește operațiunea”

Jocul „Ghicește operația” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală jocuri de ales semn matematic pentru ca egalitatea să fie adevărată. Pe ecran se dau exemple, se uită cu atenție și se pun semnul dorit„+” sau „-”, astfel încât egalitatea să fie adevărată. Semnele „+” și „-” sunt situate în partea de jos a imaginii, selectați semnul dorit și faceți clic pe butonul dorit. Dacă răspundeți corect, câștigați puncte și continuați să jucați.

Jocul „Simplificați”

Jocul „Simplificați” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este efectuarea rapidă a unei operații matematice. Un elev este desenat pe ecran la tablă și dat acţiune matematică, elevul trebuie să calculeze acest exemplu și să scrie răspunsul. Mai jos sunt trei răspunsuri, numărați și faceți clic pe numărul de care aveți nevoie cu mouse-ul. Dacă răspundeți corect, câștigați puncte și continuați să jucați.

Jocul „Adăugare rapidă”

Un joc " Adăugare rapidă» dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să alegeți numere, a căror sumă este egală cu un număr dat. Acest joc are o matrice de la unu la șaisprezece. Un anumit număr este scris deasupra matricei, trebuie să selectați numerele din matrice, astfel încât suma acestor numere să fie egală cu numărul dat. Dacă răspundeți corect, câștigați puncte și continuați să jucați.

Jocul „Geometrie vizuală”

Un joc " geometria vizuală» dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este să numărați rapid numărul de obiecte umbrite și să îl selectați din lista de răspunsuri. În acest joc, pătratele albastre sunt afișate pe ecran pentru câteva secunde, acestea trebuie numărate rapid, apoi se închid. Sub tabel sunt scrise patru numere, trebuie să selectați un număr corect și să faceți clic pe el cu mouse-ul. Dacă răspundeți corect, câștigați puncte și continuați să jucați.

Jocul „Comparații matematice”

Jocul „Comparații matematice” dezvoltă gândirea și memoria. Esența principală a jocului este compararea numerelor și operatii matematice. În acest joc, trebuie să compari două numere. În partea de sus este scrisă o întrebare, citiți-o și răspundeți corect la întrebarea pusă. Puteți răspunde folosind butoanele de mai jos. Există trei butoane „stânga”, „egal” și „dreapta”. Dacă răspundeți corect, câștigați puncte și continuați să jucați.

Dezvoltarea aritmeticii mentale fenomenale

Am luat în considerare doar vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrieți-vă la cursul nostru: Accelerarea numărării mentale.

Din curs, nu vei învăța doar zeci de trucuri pentru simplificat și înmulțire rapidă, adunare, înmulțire, împărțire, calcul de procente, dar și rezolvați-le în misiuni speciale si jocuri educative! Numărarea mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ în rezolvarea problemelor. sarcini interesante.

Citire rapidă în 30 de zile

Creșteți viteza de citire de 2-3 ori în 30 de zile. De la 150-200 la 300-600 wpm sau de la 400 la 800-1200 wpm. Cursul folosește exerciții tradiționale pentru dezvoltarea citirii rapide, tehnici care accelerează activitatea creierului, o metodă de creștere progresivă a vitezei de citire, înțelege psihologia citirii rapide și întrebările participanților la curs. Potrivit pentru copii și adulți care citesc până la 5.000 de cuvinte pe minut.

Dezvoltarea memoriei și a atenției la un copil de 5-10 ani

Cursul include 30 de lecții cu sfaturi utile și exerciții pentru dezvoltarea copiilor. În fiecare lecție sfaturi utile, niste exerciții interesante, sarcină pentru lecție și un bonus suplimentar la final: un mini-joc educațional de la partenerul nostru. Durata cursului: 30 zile. Cursul este util nu numai copiilor, ci și părinților lor.

Super memorie în 30 de zile

Tine minte informatie necesara rapid si permanent. Vă întrebați cum să deschideți ușa sau să vă spălați părul? Sunt sigur că nu, pentru că face parte din viața noastră. Lumină și exerciții simple pentru antrenamentul memoriei, îl puteți face parte din viață și puteți face puțin în timpul zilei. Dacă mănâncă indemnizație zilnică mese la un moment dat, sau puteți mânca în porții pe parcursul zilei.

Secretele fitness-ului creierului, antrenăm memoria, atenția, gândirea, numărarea

Creierul, ca și corpul, are nevoie de exerciții fizice. Exercițiile fizice întăresc corpul, exercițiile mentale dezvoltă creierul. 30 de zile exerciții utileși jocurile educaționale pentru dezvoltarea memoriei, concentrarea, inteligența rapidă și lectura rapidă vor întări creierul, transformându-l într-o nucă greu de spart.

Bani și mentalitatea unui milionar

De ce sunt probleme cu banii? În acest curs, vom răspunde în detaliu la această întrebare, vom analiza în profunzime problema, vom analiza relația noastră cu banii din punct de vedere psihologic, economic și puncte emoționale viziune. Din curs, vei afla ce trebuie să faci pentru a-ți rezolva toate problemele financiare, a începe să economisești bani și a-i investi în viitor.

Cunoașterea psihologiei banilor și a modului de lucru cu aceștia face ca o persoană să fie milionară. 80% dintre persoanele cu venituri crescute iau mai multe credite, devenind și mai sărace. Milionarii auto-făcuți, pe de altă parte, vor câștiga din nou milioane în 3-5 ani dacă vor începe de la zero. Acest curs învață distribuirea corectă a veniturilor și reducerea costurilor, te motivează să înveți și să atingi obiectivele, te învață să investești bani și să recunoști o înșelătorie.

Pentru a multiplica un număr întreg cu altul înseamnă să repetați un număr de atâtea ori câte unități conține celălalt. A repeta un număr înseamnă a lua suma lui de mai multe ori și a determina suma.

Definiţia multiplication

Înmulțirea numerelor întregi este o astfel de operație în care trebuie să luați un număr ca termeni de câte ori conține celălalt unități și să găsiți suma acestor termeni.

Înmulțirea a 7 cu 3 înseamnă a lua de trei ori numărul 7 și a găsi suma. Suma dorită este 21.

Înmulțirea este adunarea de termeni egali.

Datele în multiplicare se numesc multiplicator și multiplicator, și dorit - muncă.

În exemplul propus, datele vor fi multiplicatorul 7, multiplicatorul 3 și produsul dorit 21.

Deînmulţit. Multiplicand este numărul care este înmulțit sau repetat de sumand. Multiplicatorul exprimă mărimea termenilor egali.

Factor. Multiplicatorul arată de câte ori se repetă multiplicandu-ul de către termen. Multiplicatorul arată numărul de termeni egali.

Muncă. Produsul este numărul care rezultă din înmulțire. Este suma termenilor egali.

Multiplicatorul și multiplicatorul împreună sunt numite producatori.

La înmulțirea numerelor întregi, un număr crește de câte ori conține celălalt unități.

semn de înmulțire. Operația de înmulțire se notează prin semnul × (cruce indirectă) sau. (punct). Semnul înmulțirii este plasat între multiplicand și multiplicator.

Repetați numărul 7 de trei ori ca sumand și găsiți că suma înseamnă de 7 ori 3. În loc să scrieți

scrie folosind semnul înmulțitor pe scurt:

7 × 3 sau 7 3

Înmulțirea este o adunare prescurtată a termenilor egali.

Semn ( × ) a fost introdus de Oughtred (1631), iar semnul. Christian Wolff (1752).

Relația dintre date și numărul dorit se exprimă prin înmulțire

în scris:

7 × 3 = 21 sau 7 3 = 21

verbal:

șapte ori trei este 21.

Pentru a face un produs de 21, trebuie să repetați 7 de trei ori

Pentru a face un factor de 3, trebuie să repetați unitatea de trei ori

Prin urmare avem o altă definiție a înmulțirii: Înmulțirea este o operație în care produsul este format din multiplicand exact în același mod în care multiplicatorul este format din unitate.

Proprietatea principală a lucrării

Produsul nu se modifică dintr-o modificare a ordinii producătorilor.

Dovada. Înmulțirea a 7 cu 3 înseamnă a repeta 7 de trei ori. Înlocuind 7 cu suma a 7 unități și cuibându-le pe verticală, avem:

Astfel, atunci când înmulțim două numere, putem considera oricare dintre cei doi producători drept multiplicator. Pe această bază, sunt chemați producătorii factori sau pur și simplu multiplicatori.

Cel mai receptie generalaînmulțirea constă în adunarea de termeni egali; dar dacă producătorii sunt mari, acest truc duce la calcule lungi, deci calculul în sine este aranjat diferit.

Înmulțirea numerelor cu o singură cifră. Masa lui Pitagora

Pentru a înmulți două numere cu o singură cifră, trebuie să repetați un număr cu termenii de atâtea ori câte unități conține celălalt și să găsiți suma acestora. Deoarece înmulțirea numerelor întregi se reduce la înmulțirea numerelor cu o singură cifră, ele alcătuiesc un tabel de produse ale tuturor numerelor cu o singură cifră în perechi. Un astfel de tabel al tuturor produselor numerelor cu o singură cifră în perechi este numit masa înmulțirii.

Invenția sa este atribuită filozofului grec Pitagora, după care se numește. Masa lui Pitagora. (Pitagora s-a născut în jurul anului 569 î.Hr.).

Pentru a compila acest tabel, trebuie să scrieți primele 9 numere într-un rând orizontal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Apoi, sub această linie, trebuie să semnați o serie de numere care exprimă produsul acestor numere cu 2. Această serie de numere se va dovedi când vom adăuga fiecare număr la sine în prima linie. Din a doua linie de numere trecem succesiv la 3, 4 etc. Fiecare linie ulterioara se obtine de la precedenta prin adaugarea numerelor primei linii la ea.

Continuând să facem acest lucru până la linia 9, obținem tabelul lui Pitagora în următoarea formă

Pentru a găsi produsul a două numere cu o singură cifră din acest tabel, trebuie să găsiți un producător în primul rând orizontal, iar celălalt în prima coloană verticală; atunci produsul dorit va fi la intersecția coloanei și rândului corespunzătoare. Astfel, produsul 6 × 7 = 42 se află la intersecția celui de-al 6-lea rând și a 7-a coloană. Produsul dintre zero ori un număr și un număr cu zero dă întotdeauna zero.

Deoarece produsul unui număr cu 1 dă numărul în sine, iar inversarea ordinii factorilor nu schimbă produsul, atunci toate produsele diferite a două numere cu o singură cifră la care ar trebui să acordați atenție sunt în următorul tabel:

Produsele numerelor cu o singură cifră care nu sunt cuprinse în acest tabel sunt obținute din date, dacă în ele se modifică numai ordinea multiplicatorului; deci 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Înmulțirea unui număr format din mai multe cifre cu un număr format dintr-o singură cifră

Înmulțirea numărului 8094 cu 3 este indicată prin semnarea multiplicatorului sub multiplicand, punând semnul înmulțirii în stânga și trasând o linie pentru a separa produsul.

Înmulțirea numărului cu mai multe cifre 8094 cu 3 înseamnă găsirea sumei a trei termeni egali

prin urmare, pentru înmulțire, trebuie să repetați toate ordinele unui număr cu mai multe cifre de trei ori, adică să înmulțiți cu 3 unități, zeci, sute etc. Adunarea începe de la unu, prin urmare, înmulțirea trebuie să înceapă și de la unu și apoi merge de la mana dreapta la stânga la unități de ordin superior.

În acest caz, cursul calculelor este exprimat verbal:

    Începem înmulțirea cu unități: 3 × 4 este 12, semnăm sub unitățile 2 și aplicăm unitatea (1 zece) la produsul comenzii următoare prin factor (sau amintiți-l în minte).

    Înmulțirea zecilor: 3 × 9 este 27, da 1 în minte este 28; semnăm sub zecile 8 și 2 în minte.

    Înmulțirea sutelor: Zero înmulțit cu 3 dă zero, da 2 în minte va fi 2, semnăm sub sute 2.

    Înmulțirea miilor: 3 × 8 = 24, semnăm complet 24, deoarece nu avem următoarele ordine.

Această acțiune va fi exprimată în scris:

Din exemplul anterior, deducem următoarea regulă. Pentru a înmulți un număr cu mai multe cifre cu un număr dintr-o singură cifră, aveți nevoie:

    Semnează multiplicatorul sub unitățile multiplicandului, pune semnul înmulțirii în stânga și trage o linie.

    Înmulțirea începe de la unități simple, apoi, deplasându-se de la mâna dreaptă la stânga, se înmulțesc succesiv zeci, sute, mii etc.

    Dacă în timpul înmulțirii produsul este exprimat ca un număr cu o singură cifră, atunci este semnat sub cifra multiplicată a multiplicandului.

    Dacă produsul este exprimat ca un număr din două cifre, atunci cifra unităților este semnată sub aceeași coloană, iar cifra zecilor este adăugată la produsul următoarei comenzi prin factor.

    Înmulțirea continuă până când se obține produsul complet.

Înmulțirea numerelor cu 10, 100, 1000...

Înmulțirea numerelor cu 10 înseamnă transformarea unităților simple în zeci, zeci în sute etc., adică mărirea ordinii tuturor cifrelor cu una. Acest lucru se realizează prin adăugarea unui zero la dreapta. A înmulți cu 100 înseamnă a crește toate ordinele multiplicatorului cu două unități, adică a transforma unitățile în sute, zeci în mii etc.

Acest lucru se realizează prin atribuirea a două zerouri numărului.

Prin urmare concluzionăm:

Pentru a înmulți un număr întreg cu 10, 100, 1000 și, în general, cu 1 cu zerouri, trebuie să atribuiți la dreapta câte zerouri există în multiplicator.

Înmulțirea numărului 6035 cu 1000 se va exprima în scris:

Când multiplicatorul este un număr care se termină cu zerouri, numai cifrele semnificative sunt semnate sub multiplicand, iar zerourile multiplicatorului sunt atribuite în dreapta.

Pentru a înmulți 2039 cu 300, trebuie să luați numărul 2029 în termeni de 300 de ori. A lua 300 de termeni este la fel cu a lua de trei ori 100 de termeni sau de 100 de ori trei termeni. Pentru a face acest lucru, înmulțim numărul cu 3, apoi cu 100, sau mai întâi înmulțim cu 3 și apoi atribuim două zerouri la dreapta.

Cursul de calcul va fi exprimat în scris:

regulă. Pentru a înmulți un număr cu altul, reprezentat printr-o cifră cu zerouri, trebuie mai întâi să înmulțiți multiplicatorul cu numărul exprimat printr-o cifră semnificativă, apoi să atribuiți atâtea zerouri câte sunt în factor.

Înmulțirea unui număr din mai multe cifre cu un număr din mai multe cifre

Pentru a înmulți numărul cu mai multe cifre 3029 cu numărul cu mai multe cifre 429 sau pentru a găsi produsul 3029 * 429, trebuie să repetați 3029 termeni de 429 de ori și să găsiți suma. A repeta 3029 de termeni de 429 de ori înseamnă a-i repeta termenii mai întâi de 9, apoi de 20 și în final de 400 de ori. Prin urmare, pentru a înmulți 3029 cu 429, trebuie să înmulțiți 3029 mai întâi cu 9, apoi cu 20 și în final cu 400 și să găsiți suma acestor trei produse.

Trei lucrări

numit lucrări private.

Produsul complet de 3029 × 429 este egal cu suma a trei câte:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Să găsim valorile acestor trei produse parțiale.

    Înmulțind 3029 cu 9, găsim:

    3029 ×9 27261 prima lucrare privată

    Înmulțind 3029 cu 20, găsim:

    3029 × 20 60580 a doua lucrare privată

    Înmulțind 3026 cu 400, găsim:

    3029 ×400 1211600 a treia lucrare privată

Adăugând aceste produse parțiale, obținem produsul 3029 × 429:

Nu este greu de observat că toate aceste produse parțiale sunt produse de numărul 3029 de o singură cifră 9, 2, 4 și un zero este atribuit celui de-al doilea produs, care provine din înmulțirea cu zeci, și două zerouri celui de-al treilea.

Zerourile atribuite produselor parțiale sunt omise în timpul înmulțirii, iar procesul de calcul este exprimat în scris:

În acest caz, la înmulțirea cu 2 (cifra zecilor multiplicatorului), ei semnează 8 sub zeci, sau se retrag la stânga cu o cifră; atunci când este înmulțit cu cifra sutelor 4, semnați 6 în a treia coloană sau retrageți la stânga cu 2 cifre. În general, fiecare lucrare privată începe să fie semnată de la dreapta la stânga sub ordinea căreia îi aparține cifra multiplicatorului.

Căutând produsul 3247 cu 209, avem:

Aici începem să semnăm al doilea produs parțial sub a treia coloană, deoarece exprimă produsul lui 3247 cu 2, a treia cifră a multiplicatorului.

Am omis aici doar cele două zerouri care ar fi trebuit să apară în al doilea produs parțial, deoarece exprimă produsul unui număr cu 2 sute sau cu 200.

Din cele spuse, deducem regula. Pentru a înmulți un număr din mai multe cifre cu un număr din mai multe cifre,

    trebuie să semnați multiplicatorul sub multiplicator, astfel încât numerele de aceeași ordine să fie în aceeași coloană verticală, puneți semnul înmulțirii în stânga și trageți o linie.

    Înmulțirea începe cu unități simple, apoi se deplasează de la mâna dreaptă la stânga, înmulțesc multiplicatorul consecutiv cu cifra zecilor, sutelor etc. și alcătuiesc cât mai multe produse parțiale. cifre semnificativeîn multiplicator.

    Unitățile fiecărui produs privat sunt semnate sub coloana căreia îi aparține cifra multiplicatorului.

    Toate lucrările private găsite în acest fel se adună și primesc un produs în total.

Pentru a înmulți un număr cu mai multe cifre cu un factor care se termină cu zerouri, trebuie să aruncați zerourile din factor, să înmulțiți cu numărul rămas și apoi să adăugați la produs câte zerouri există în factor.

Exemplu. Găsiți produsul 342 cu 2700.

Dacă multiplicandu-ul și multiplicatorul ambii se termină cu zerouri, ele sunt aruncate în timpul înmulțirii și apoi se adaugă la produs atâtea zerouri câte sunt la ambii producători.

Exemplu. Calculând produsul lui 2700 cu 35000, înmulțim 27 cu 35

Atribuind cinci zerouri la 945, obținem produsul dorit:

2700 × 35000 = 94500000.

Numărul de cifre ale produsului. Numărul de cifre ale produsului 3728 × 496 poate fi determinat după cum urmează. Acest produs este mai mare de 3728 × 100 și mai mic de 3728 × 1000. Numărul de cifre al primului produs 6 este egal cu numărul de cifre din multiplicatorul 3728 și din multiplicatorul 496 fără unitate. Numărul de cifre al celui de-al doilea produs 7 este egal cu numărul de cifre din multiplicand și din multiplicator. Un produs dat de 3728 × 496 nu poate avea mai puțin de 6 cifre (numărul de cifre al produsului este 3728 × 100 și mai mult de 7 (numărul de cifre al produsului este 3728 × 1000).

Unde tragem concluzia: numărul de cifre al oricărui produs este fie egal cu numărul de cifre din multiplicand și din factor, fie egal cu acest număr fără unitate.

Produsul nostru poate conține fie 7, fie 6 cifre.

Grade

Între diferite lucrări merită atentie speciala unde producătorii sunt egali. De exemplu:

2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9.

pătrate. Produsul a doi factori egali se numește pătratul unui număr.

În exemplele noastre 4 este pătratul 2, 9 este pătratul 3.

Cuba. Produsul a trei factori egali se numește cubul unui număr.

Deci, în exemplele 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, numărul 8 este cubul lui 2, 27 este cubul lui 3.

Deloc produsul mai multor factori egali se numestegrad de număr . Gradele își iau numele din numărul de factori egali.

Produsele a doi factori egali sau pătrate numit gradele II.

Produsele a trei factori egali sau cuburi numit gradele trei, etc.

ARTICOLE SIMILARE