Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawa variable na paraan karagdagan, kailangan mo:

1) paramihin ang kaliwa at kanang bahagi ng isa o parehong equation sa isang tiyak na numero upang ang mga koepisyent para sa isa sa mga variable sa mga equation ay maging magkasalungat na numero;

2) tiklop termino sa pamamagitan ng termino nakatanggap ng mga equation at hanapin ang halaga ng isa sa mga variable;

3) palitan ang nahanap na halaga ng isang variable sa isa sa mga equation na ito at hanapin ang halaga ng pangalawang variable.

Kung sa sistemang ito ang mga coefficient para sa isang variable ay kabaligtaran ng mga numero, pagkatapos ay sisimulan namin kaagad ang paglutas ng system mula sa punto 2).

Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation na may dalawang variable gamit ang paraan ng pagdaragdag.

Dahil ang mga coefficient sa y ay kabaligtaran ng mga numero (-1 at 1), sinisimulan namin ang solusyon mula sa punto 2). Idinaragdag namin ang equation term sa pamamagitan ng term at makuha ang equation na 8x = 24. Anumang equation ay maaaring isulat bilang pangalawang equation ng system orihinal na sistema.

Hanapin ang x at palitan ang halaga nito sa 2nd equation.

Nalutas namin ang 2nd equation: 9-y \u003d 14, kaya y \u003d -5.

Ating gawin pagpapatunay. Palitan ang mga halaga x = 3 at y = -5 sa orihinal na sistema ng mga equation.

Tandaan. Ang tseke ay maaaring gawin nang pasalita at hindi naitala kung ang tseke ay hindi tinukoy sa kondisyon.

Sagot: (3; -5).

Kung i-multiply natin ang 1st equation sa (-2), ang mga coefficient para sa variable na x ay magiging kabaligtaran na mga numero:

Idinaragdag namin ang mga pagkakapantay-pantay na ito sa bawat termino.

Makakakuha tayo ng katumbas na sistema ng mga equation, kung saan ang 1st equation ay ang kabuuan ng dalawang equation ng nakaraang system, at ang 2nd equation ng system ay isusulat natin ang 1st equation ng orihinal na system ( karaniwang isulat ang equation na may mas maliit na coefficient):

Nahanap namin sa mula sa 1st equation at ang resultang halaga ay pinapalitan sa ika-2.

Malutas namin ang huling equation ng system at makuha ang x = -2.

Sagot: (-2; 1).

Gawin natin ang mga coefficient para sa variable sa magkasalungat na numero. Upang gawin ito, pinarami namin ang lahat ng mga termino ng 1st equation sa pamamagitan ng 5, at ang lahat ng mga termino ng 2nd equation sa pamamagitan ng 2.

I-substitute ang value x=4 sa 2nd equation.

3 · 4 - 5y \u003d 27. Pasimplehin natin: 12 - 5y \u003d 27, kaya -5y \u003d 15, at y \u003d -3.

Sagot: (4; -3).

Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:

1) ipinapahayag namin ang isang variable sa pamamagitan ng isa pa sa isa sa mga equation ng system (x hanggang y o y hanggang x);

2) pinapalitan namin ang resultang expression sa isa pang equation ng system at makuha linear equation na may isang variable;

3) malulutas namin ang nagresultang linear equation na may isang variable at hanapin ang halaga ng variable na ito;

4) ang nahanap na halaga ng variable ay pinapalitan sa expression (1) para sa isa pang variable at nakita namin ang halaga ng variable na ito.

Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagpapalit.

Express X sa pamamagitan ng y mula sa 1st equation. Nakukuha namin ang: x \u003d 7 + y. Pinapalitan namin ang expression (7 + y) sa halip na X sa 2nd equation ng system.

Nakuha namin ang equation: 3 · (7+y)+2y=16. Ito ay isang isang variable na equation sa. Solusyonan natin ito. Buksan natin ang mga bracket: 21+3y+2y=16. Pagkolekta ng mga termino na may variable sa sa kaliwang bahagi, at ang mga libreng termino sa kanan. Kapag naglilipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa, binabago namin ang tanda ng termino sa kabaligtaran.

Nakukuha namin ang: 3y + 2y \u003d 16-21. Ipinepresenta namin tulad ng mga termino sa bawat bahagi ng equation. 5y=-5. Hinahati namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng koepisyent ng variable. y=-5:5; y=-1. Palitan ang halagang ito sa sa expression na x=7+y at hanapin X. Nakukuha namin ang: x=7-1; x=6. Ang isang pares ng mga variable na halaga x=6 at y=-1 ang solusyon sa sistemang ito.

Isulat: (6; -1). Sagot: (6; -1). Maginhawang isulat ang mga argumentong ito tulad ng ipinapakita sa ibaba, ibig sabihin, sistema ng mga equation - sa kaliwa sa ilalim ng bawat isa. Sa kanan - mga kalkulasyon, kinakailangang mga paliwanag, pagpapatunay ng solusyon, atbp.

Pahina 1 ng 1 1

I. Ordinaryong differential equation

1.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang differential equation ay isang equation na nag-uugnay sa isang independent variable x, ang gustong function y at mga derivatives o differentials nito.

Sa simbolikong paraan differential equation ay nakasulat na ganito:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Ang isang differential equation ay tinatawag na ordinaryo kung ang nais na function ay nakasalalay sa isang independent variable.

Sa pamamagitan ng paglutas ng differential equation ay tinatawag na tulad ng isang function na lumiliko ang equation na ito sa isang pagkakakilanlan.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative sa equation na ito

Mga halimbawa.

1. Isaalang-alang ang first order differential equation

Ang solusyon sa equation na ito ay ang function na y = 5 ln x. Sa katunayan, sa pamamagitan ng pagpapalit y" sa equation, makakakuha tayo ng - isang pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang function na y = 5 ln x– ay ang solusyon ng differential equation na ito.

2. Isaalang-alang ang second order differential equation y" - 5y" + 6y = 0. Ang function ay ang solusyon sa equation na ito.

Talaga, .

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation, makakakuha tayo ng: , - pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang function ay ang solusyon ng differential equation na ito.

Pagsasama ng mga differential equation ay ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa mga differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation ay tinatawag na function ng form , na kinabibilangan ng maraming independiyenteng arbitrary na mga pare-pareho bilang ang pagkakasunud-sunod ng equation.

Bahagyang solusyon ng differential equation ay tinatawag na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa iba't ibang mga numerical na halaga ng mga di-makatwirang constants. Ang mga halaga ng di-makatwirang mga pare-pareho ay matatagpuan sa ilang mga paunang halaga ng argumento at pag-andar.

Ang graph ng isang partikular na solusyon ng isang differential equation ay tinatawag integral curve.

Mga halimbawa

1. Humanap ng partikular na solusyon sa isang first-order differential equation

xdx + ydy = 0, kung y= 4 sa x = 3.

Solusyon. Ang pagsasama ng magkabilang panig ng equation, nakukuha natin

Magkomento. Ang isang di-makatwirang pare-parehong C na nakuha bilang resulta ng pagsasama ay maaaring katawanin sa anumang anyo na maginhawa para sa karagdagang mga pagbabago. Sa kasong ito, isinasaalang-alang ang canonical equation ng bilog, ito ay maginhawa upang kumatawan sa isang di-makatwirang pare-pareho С sa form .

ay ang pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Isang partikular na solusyon ng isang equation na nakakatugon sa mga paunang kondisyon y = 4 sa x = 3 ay matatagpuan mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga paunang kondisyon sa pangkalahatang solusyon: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Ang pagpapalit ng C=5 sa pangkalahatang solusyon, nakukuha natin x2+y2 = 5 2 .

Ito ay isang partikular na solusyon ng differential equation na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon sa ilalim ng ibinigay na mga paunang kondisyon.

2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation

Ang solusyon ng equation na ito ay anumang function ng form , kung saan ang C ay isang arbitrary constant. Sa katunayan, ang pagpapalit sa mga equation, makuha natin ang: , .

Samakatuwid, mayroon itong differential equation walang katapusang set mga solusyon, dahil para sa iba't ibang mga halaga ng pare-pareho ang C, ang pagkakapantay-pantay ay tumutukoy iba't ibang solusyon mga equation.

Halimbawa, sa pamamagitan ng direktang pagpapalit, mapapatunayan ng isa na ang mga function ay mga solusyon ng equation.

Isang problema kung saan kinakailangan na makahanap ng isang partikular na solusyon sa equation y" = f(x, y) nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon y(x0) = y0, ay tinatawag na problemang Cauchy.

Solusyon sa equation y" = f(x, y), nakakatugon sa paunang kondisyon, y(x0) = y0, ay tinatawag na solusyon sa problemang Cauchy.

Ang solusyon ng problemang Cauchy ay may simpleng geometric na kahulugan. Sa katunayan, ayon sa mga kahulugan na ito, upang malutas ang problema ng Cauchy y" = f(x, y) sa kondisyon y(x0) = y0, ay nangangahulugang hanapin ang integral curve ng equation y" = f(x, y) na dumadaan ibinigay na punto M0 (x0,y 0).

II. First order differential equation

2.1. Pangunahing konsepto

Ang first-order differential equation ay isang equation ng form F(x,y,y") = 0.

Kasama sa first order differential equation ang unang derivative at hindi kasama ang higher order derivatives.

Ang equation y" = f(x, y) ay tinatawag na isang first-order equation na nalutas na may kinalaman sa derivative.

Ang isang pangkalahatang solusyon ng isang first-order differential equation ay isang function ng form , na naglalaman ng isang arbitrary constant.

Halimbawa. Isaalang-alang ang isang first order differential equation.

Ang solusyon sa equation na ito ay ang function .

Sa katunayan, ang pagpapalit sa equation na ito ng halaga nito, nakuha namin

yan ay 3x=3x

Samakatuwid, ang function ay isang pangkalahatang solusyon ng equation para sa anumang pare-parehong C.

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng equation na ito na nakakatugon sa paunang kondisyon y(1)=1 Pagpapalit ng mga paunang kondisyon x=1, y=1 sa pangkalahatang solusyon ng equation , nakukuha natin kung saan C=0.

Kaya, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation na ito, ang resultang halaga C=0 ay isang pribadong desisyon.

2.2. Differential equation na may mga separable variable

Ang isang differential equation na may separable variable ay isang equation ng form: y"=f(x)g(y) o sa pamamagitan ng differentials , kung saan f(x) at g(y) ay binibigyan ng mga function.

Para sa mga y, kung saan , ang equation y"=f(x)g(y) ay katumbas ng equation kung saan ang variable y ay naroroon lamang sa kaliwang bahagi, at ang variable na x ay naroroon lamang sa kanang bahagi. Sabi nila, "sa equation y"=f(x)g(y paghihiwalay ng mga variable.

Uri ng equation ay tinatawag na separated variable equation.

Pagkatapos pagsamahin ang parehong bahagi ng equation sa x, nakukuha namin G(y) = F(x) + C ay ang pangkalahatang solusyon ng equation, kung saan G(y) at F(x) ay ilang antiderivatives, ayon sa pagkakabanggit, ng mga function at f(x), C di-makatwirang pare-pareho.

Algorithm para sa paglutas ng isang first-order differential equation na may mga separable variable

Halimbawa 1

lutasin ang equation y" = xy

Solusyon. Derivative ng isang function y" palitan ng

pinaghihiwalay namin ang mga variable

Pagsamahin natin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 2

2yy" = 1- 3x 2, kung y 0 = 3 sa x0 = 1

Ito ay isang pinaghiwalay na variable equation. Irepresenta natin ito sa differentials. Upang gawin ito, muling isulat namin ang equation na ito sa form Mula rito

Ang pagsasama ng parehong bahagi ng huling pagkakapantay-pantay, nakita namin

Pagpapalit ng mga paunang halaga x 0 = 1, y 0 = 3 hanapin MULA SA 9=1-1+C, ibig sabihin. C = 9.

Samakatuwid, ang nais na bahagyang integral ay magiging o

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang kurba na dumadaan sa isang punto M(2;-3) at pagkakaroon ng padaplis na may slope

Solusyon. Ayon sa kondisyon

Ito ay isang separable variable equation. Ang paghahati ng mga variable, nakukuha namin:

Pagsasama ng parehong bahagi ng equation, nakukuha natin ang:

Gamit ang mga paunang kondisyon, x=2 at y=-3 hanapin C:

Samakatuwid, ang nais na equation ay may anyo

2.3. Mga linear differential equation ng unang order

Ang isang first-order linear differential equation ay isang equation ng form y" = f(x)y + g(x)

saan f(x) at g(x)- ilang ibinigay na mga function.

Kung ang g(x)=0 pagkatapos ang linear differential equation ay tinatawag na homogenous at may anyo: y" = f(x)y

Kung gayon ang equation y" = f(x)y + g(x) tinatawag na heterogenous.

Pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous differential equation y" = f(x)y ibinigay ng pormula: saan MULA SA ay isang arbitrary na pare-pareho.

Sa partikular, kung C \u003d 0, kung gayon ang solusyon ay y=0 Kung linear homogenous equation may porma y" = ky saan k ay ilang pare-pareho, kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay may anyo: .

Pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation y" = f(x)y + g(x) ibinigay ng formula ,

mga. ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na linear homogenous equation at ang partikular na solusyon ng equation na ito.

Para sa isang linear inhomogeneous equation ng form y" = kx + b,

saan k at b- ang ilang mga numero at isang partikular na solusyon ay magiging isang pare-parehong function. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo .

Halimbawa. lutasin ang equation y" + 2y +3 = 0

Solusyon. Kinakatawan namin ang equation sa form y" = -2y - 3 saan k=-2, b=-3 Ang pangkalahatang solusyon ay ibinibigay ng formula.

Samakatuwid, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

2.4. Solusyon ng mga linear differential equation ng unang order sa pamamagitan ng Bernoulli method

Paghahanap ng Pangkalahatang Solusyon sa isang First-Order Linear Differential Equation y" = f(x)y + g(x) bumababa sa paglutas ng dalawang differential equation na may pinaghiwalay na variable gamit ang substitution y=uv, saan u at v- hindi kilalang mga function mula sa x. Ang pamamaraang ito ng solusyon ay tinatawag na Bernoulli method.

Algorithm para sa paglutas ng isang first-order linear differential equation

y" = f(x)y + g(x)

1. Maglagay ng kapalit y=uv.

2. Pag-iba-ibahin ang pagkakapantay-pantay na ito y"=u"v + uv"

3. Kapalit y at y" sa ibinigay na equation: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) o u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Pangkatin ang mga tuntunin ng equation upang u alisin ito sa mga bracket:

5. Mula sa bracket, equating ito sa zero, hanapin ang function

Ito ay isang separable equation:

Hatiin ang mga variable at makuha ang:

saan . .

6. Palitan ang natanggap na halaga v sa equation (mula sa aytem 4):

at hanapin ang function Ito ay isang separable equation:

7. Isulat ang pangkalahatang solusyon sa anyo: , ibig sabihin. .

Halimbawa 1

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa equation y" = -2y +3 = 0 kung y=1 sa x=0

Solusyon. Solusyonan natin ito ng substitution y=uv,.y"=u"v + uv"

Pagpapalit y at y" sa equation na ito, nakukuha natin

Pagpapangkat ng pangalawa at pangatlong termino sa kaliwang bahagi ng equation, kinuha namin ang karaniwang kadahilanan u wala sa mga bracket

Itinutumbas namin ang expression sa mga bracket sa zero at, nang malutas ang nagresultang equation, nakita namin ang function v = v(x)

Nakakuha kami ng isang equation na may mga pinaghiwalay na variable. Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation na ito: Hanapin ang function v:

Palitan ang resultang halaga v sa equation Nakukuha namin:

Ito ay isang pinaghiwalay na variable equation. Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation: Hanapin natin ang function u = u(x,c) Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon: Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon ng equation na nakakatugon sa mga paunang kondisyon y=1 sa x=0:

III. Mas mataas na pagkakasunud-sunod na kaugalian equation

3.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang second-order differential equation ay isang equation na naglalaman ng derivatives na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang order. Sa pangkalahatang kaso, ang second-order differential equation ay nakasulat bilang: F(x,y,y",y") = 0

Ang pangkalahatang solusyon ng isang second-order differential equation ay isang function ng form , na kinabibilangan ng dalawang arbitrary constants C1 at C2.

Ang isang partikular na solusyon ng isang second-order differential equation ay isang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatan para sa ilang mga halaga ng mga arbitrary constants C1 at C2.

3.2. Linear homogenous differential equation ng pangalawang order na may pare-pareho ang mga ratio.

Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient ay tinatawag na equation ng anyo y" + py" + qy = 0, saan p at q ay pare-pareho ang mga halaga.

Algorithm para sa paglutas ng second-order homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient

1. Isulat ang differential equation sa anyo: y" + py" + qy = 0.

2. Buuin ang katangiang equation nito, na nagsasaad y" sa pamamagitan ng r2, y" sa pamamagitan ng r, y sa 1: r2 + pr +q = 0

1. Pamamaraan ng pagpapalit: mula sa anumang equation ng system ipinapahayag namin ang isang hindi alam sa mga tuntunin ng isa pa at pinapalitan ito sa pangalawang equation ng system.

Isang gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Solusyon. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin sa sa pamamagitan ng X at palitan sa pangalawang equation ng system. Kunin natin ang sistema katumbas ng orihinal.

Pagkatapos dalhin ang mga naturang termino, kukuha ang system ng form:

Mula sa pangalawang equation nakita namin ang: . Ang pagpapalit ng halagang ito sa equation sa = 2 - 2X, nakukuha namin sa= 3. Samakatuwid, ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga numero .

2. Pamamaraan algebraic na karagdagan : sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation, kumuha ng equation na may isang variable.

Isang gawain. Lutasin ang system equation:

Solusyon. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng pangalawang equation sa pamamagitan ng 2, makuha natin ang sistema katumbas ng orihinal. Ang pagdaragdag ng dalawang equation ng system na ito, dumating tayo sa system

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, ang sistemang ito ay kukuha ng anyo: Mula sa pangalawang equation nakita namin. Ang pagpapalit ng halagang ito sa Equation 3 X + 4sa= 5, nakukuha namin , saan . Samakatuwid, ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga numero .

3. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable: naghahanap kami ng ilang paulit-ulit na mga expression sa system, na aming tutukuyin sa pamamagitan ng mga bagong variable, sa gayon ay pinapasimple ang anyo ng system.

Isang gawain. Lutasin ang sistema ng mga equation:

Solusyon. Isulat natin ang sistemang ito kung hindi:

Hayaan x + y = ikaw, hu = v. Pagkatapos makuha namin ang sistema

Solusyonan natin ito sa pamamagitan ng substitution method. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin u sa pamamagitan ng v at palitan sa pangalawang equation ng system. Kunin natin ang sistema mga.

Mula sa pangalawang equation ng system nahanap namin v 1 = 2, v 2 = 3.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa equation u = 5 - v, nakukuha namin u 1 = 3,
u 2 = 2. Pagkatapos ay mayroon tayong dalawang sistema

Ang paglutas ng unang sistema, nakakakuha tayo ng dalawang pares ng mga numero (1; 2), (2; 1). Ang pangalawang sistema ay walang solusyon.

Mga ehersisyo para sa malayang gawain

1. Lutasin ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit.

Mga equation at sistema ng mga equation ng unang antas

Dalawang numero o ilang expression na konektado ng sign na "=" form pagkakapantay-pantay. Kung ang ibinigay na mga numero o expression ay pantay-pantay para sa anumang mga halaga ng mga titik, kung gayon ang naturang pagkakapantay-pantay ay tinatawag pagkakakilanlan.

Halimbawa, kapag ito ay nakasaad na para sa anumang a wasto:

a + 1 = 1 + a, dito ang pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan.

Equation ay tinatawag na pagkakapantay-pantay na naglalaman hindi kilalang mga numero may marka ng mga titik. Ang mga titik na ito ay tinatawag hindi kilala. Maaaring mayroong higit sa isang hindi alam sa isang equation.

Halimbawa, sa equation 2 X + sa = 7X– 3 dalawang hindi alam: X at sa.

Ang expression sa kaliwang bahagi ng equation (2 X + sa) ay tinatawag na kaliwang bahagi ng equation, at ang expression sa kanang bahagi ng equation (7 X– 3) ay tinatawag na kanang bahagi nito.

Ang halaga ng hindi alam kung saan ang equation ay nagiging isang pagkakakilanlan ay tinatawag desisyon o ugat mga equation.

Halimbawa, kung sa equation 3 X+ 7=13 sa halip na hindi kilala X palitan ang numero 2, makuha namin ang pagkakakilanlan. Samakatuwid, ang halaga X= 2 ay nakakatugon sa ibinigay na equation at ang bilang 2 ay ang solusyon o ugat ng ibinigay na equation.

Tinatawag ang dalawang equation katumbas(o katumbas), kung ang lahat ng mga solusyon ng unang equation ay mga solusyon ng pangalawa at kabaligtaran, ang lahat ng mga solusyon ng pangalawang equation ay mga solusyon ng una. Upang katumbas na equation isama rin ang mga equation na walang solusyon.

Halimbawa Equation 2 X– 5 = 11 at 7 X+ 6 = 62 ay katumbas dahil pareho sila ng ugat X= 8; mga equation X + 2 = X+ 5 at 2 X + 7 = 2X ay katumbas dahil parehong walang solusyon.

Mga katangian ng mga katumbas na equation

1. Sa magkabilang panig ng equation, maaari kang magdagdag ng anumang expression na makatuwiran para sa lahat pinahihintulutang halaga hindi kilala; ang resultang equation ay magiging katumbas ng ibinigay.

Halimbawa. Equation 2 X– 1 = 7 ay may ugat X= 4. Pagdaragdag ng 5 sa magkabilang panig, makukuha natin ang equation 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 o 2 X+ 4 = 12 na may parehong ugat X = 4.

2. Kung ang parehong bahagi ng equation ay may parehong mga termino, maaari silang alisin.

Halimbawa. Equation 9 x + 5X = 18 + 5X may isang ugat X= 2. Pag-alis sa parehong bahagi 5 X, nakukuha namin ang equation 9 X= 18 na may parehong ugat X = 2.

3. Ang anumang termino ng equation ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign nito sa kabaligtaran.

Halimbawa. Equation 7 X - Ang 11 = 3 ay may isang ugat X= 2. Kung ililipat natin ang 11 sa kanang bahagi Sa kabaligtaran ng tanda, nakukuha namin ang equation 7 X= 3 + 11 na may parehong solusyon X = 2.

4. Ang parehong bahagi ng equation ay maaaring i-multiply sa anumang expression (numero) na may katuturan at hindi zero para sa lahat ng tinatanggap na halaga ng hindi alam, ang resultang equation ay magiging katumbas ng isang ito.

Halimbawa. Equation 2 X - 15 = 10 – 3X may ugat X= 5. Ang pagpaparami ng magkabilang panig sa 3, makuha natin ang equation na 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) o 6 X – 45 =30 – 9X, na may parehong ugat X = 5.

5. Ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino ng equation ay maaaring baligtarin (ito ay katumbas ng pagpaparami ng parehong bahagi sa pamamagitan ng (-1)).

Halimbawa. Equation - 3 x + 7 = - 8 pagkatapos i-multiply ang parehong bahagi sa (-1) ay magkakaroon ng form 3 X - 7 = 8. Ang una at pangalawang equation ay may iisang ugat X = 5.

6. Ang magkabilang panig ng equation ay maaaring hatiin ng parehong numero maliban sa zero (iyon ay, hindi katumbas ng zero).

Halimbawa..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> ay katumbas ng isang ito dahil mayroon itong parehong dalawang ugat: at https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> pagkatapos i-multiply ang parehong bahagi sa 14, magiging ganito ang hitsura:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, kung saan ang mga arbitrary na numero, X- hindi kilala, tinawag first degree equation na may isang hindi alam(o linear equation na may isang hindi alam).

Halimbawa. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Ang isang first degree equation na may isang hindi alam ay palaging may isang solusyon; ang isang linear equation ay maaaring walang mga solusyon () o may walang katapusang bilang ng mga ito (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Solusyon. I-multiply ang lahat ng termino sa equation ng hindi bababa sa common multiple ng mga denominator, na 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Pinagpangkat namin sa isang bahagi (kaliwa) ang mga terminong naglalaman ng hindi alam, at sa kabilang bahagi (kanan) - ang mga libreng termino:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Hinahati ang parehong bahagi sa (-22), nakukuha namin X = 7.

Mga sistema ng dalawang equation ng unang degree na may dalawang hindi alam

Ang isang equation tulad ng https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> ay tinatawag first degree equation na may dalawang hindi alam na x at sa. Kung natagpuan pangkalahatang solusyon dalawa o higit pang mga equation, pagkatapos ay sinasabi nila na ang mga equation na ito ay bumubuo ng isang sistema, kadalasan sila ay nakasulat sa ilalim ng isa at pinagsama sa isang kulot na bracket, halimbawa.

Ang bawat pares ng mga hindi alam na sabay-sabay na nakakatugon sa parehong mga equation ng system ay tinatawag solusyon sa sistema. Lutasin ang sistema- nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng solusyon ng sistemang ito o pagpapakita na wala ito. Ang dalawang sistema ng mga equation ay tinatawag katumbas (katumbas), kung ang lahat ng mga solusyon ng isa sa mga ito ay mga solusyon ng isa, at kabaliktaran, ang lahat ng mga solusyon ng isa ay mga solusyon ng una.

Halimbawa, ang solusyon sa system ay isang pares ng mga numero X= 4 at sa= 3. Ang mga numerong ito ay din ang tanging solusyon mga sistema . Samakatuwid, ang mga sistemang ito ng mga equation ay katumbas.

Mga paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation

1. Paraan ng algebraic na pagdaragdag. Kung ang mga coefficient para sa ilang hindi alam sa parehong mga equation ay pantay-pantay sa ganap na halaga, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga equation (o pagbabawas ng isa mula sa isa), maaari kang makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito, ang isang hindi alam ay natutukoy, at sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa isa sa mga equation ng system, ang pangalawang hindi alam ay matatagpuan.

Mga Halimbawa: Lutasin ang mga sistema ng mga equation: 1) .

Narito ang mga coefficient sa sa ay pantay sa ganap na halaga ngunit kabaligtaran sa tanda. Upang makakuha ng isang equation sa isa hindi kilalang equation idinagdag namin ang termino ng system sa pamamagitan ng termino:

Natanggap na halaga X= 4 pinapalitan namin sa ilang equation ng system, halimbawa, sa una, at hanapin ang halaga sa: .

Sagot: X = 4; sa = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Pamamaraan ng pagpapalit. Mula sa anumang equation ng system, ipinapahayag namin ang isa sa mga hindi alam sa mga tuntunin ng iba, at pagkatapos ay pinapalitan namin ang halaga ng hindi alam na ito sa natitirang mga equation. Isaalang-alang ang pamamaraang ito na may mga tiyak na halimbawa:

1) Lutasin natin ang sistema ng mga equation. Ipahayag natin ang isa sa mga hindi alam mula sa unang equation, halimbawa X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Kapalit sa= 1 sa expression para sa X, nakukuha namin .

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang ipahayag sa mula sa pangalawang equation:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Palitan ang value X= 5 sa expression para sa sa, nakukuha namin ang https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Lutasin natin ang sistema ng mga equation https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Ang pagpapalit ng halagang ito sa pangalawang equation, makukuha natin isang equation na may isang hindi alam sa: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Isulat muli natin ang system bilang: . Pinapalitan namin ang mga hindi alam sa pamamagitan ng pagtatakda , nakukuha namin linear na sistema ..gif" width="11 height=17" height="17"> sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng equation na may isang hindi alam:

Pagpapalit sa halaga v sa expression para sa t, nakukuha namin ang: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> nakita namin .

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, nasaan ang mga coefficient para sa mga hindi alam, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, pagkatapos ay mayroon ang system ang tanging bagay solusyon.

B) Kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, kung gayon ang system ay may walang katapusang set mga solusyon.

Halimbawa..gif" width="47" height="48 src=">), kaya may natatanging solusyon ang system.

Talaga, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Halimbawa..gif" width="91 height=48" height="48"> o pagkatapos ng reduction , kaya walang solusyon ang system.

Halimbawa..gif" width="116 height=48" height="48"> o pagkatapos paikliin , kaya ang system ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga Equation na Naglalaman ng Modulus

Sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang module, ang konsepto ng isang module ay ginagamit totoong numero. modyul (ganap na halaga ) totoong numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung at kabaligtaran na numero (– a), kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Kaya, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, dahil ang numero 3 > 0; , dahil ang numero ay 5< 0, поэтому ; , dahil (); , dahil .

Mga katangian ng module:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Isinasaalang-alang na ang expression sa ilalim ng module ay maaaring tumagal ng dalawang halaga https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, pagkatapos ay ang equation na ito bumababa sa paglutas ng dalawang equation: at o at ..gif" width="52" height="20 src=">. Suriin natin sa pamamagitan ng pagpapalit sa bawat value X sa kondisyon: kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Halimbawa..gif" width="408" height="55">

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Halimbawa..gif" width="137" height="20"> at . Itabi ang mga resultang value X sa numerical axis, hinahati ito sa mga pagitan:

Kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, dahil sa interval na ito, ang parehong expression ay nasa ilalim ng module sign mas mababa sa zero, at, sa pag-alis ng module, dapat nating baguhin ang sign ng expression sa kabaligtaran. Lutasin natin ang resultang equation:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Maaaring isama ang boundary value sa una at pangalawang span, tulad ng value na maaaring isama sa pangalawa at pangatlo. Sa pangalawang interval, ang aming equation ay magkakaroon ng anyo: - ang expression na ito ay walang kahulugan, ibig sabihin, sa pagitan na ito, ang equation ng mga solusyon ay walang mga solusyon sa ilalim ng modulus sign, itinutumbas namin ang mga ito sa zero. Nakikita namin ang mga ugat ng lahat ng mga expression, na may

Susunod na espasyo https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, kung saan a, b, c ay mga di-makatwirang numero ( a≠ 0), at x ay isang variable na tinatawag parisukat. Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong kalkulahin ang discriminant D = b 2 – 4ac. Kung ang D> 0, pagkatapos ang quadratic equation ay may dalawang solusyon (roots): at .

Kung ang D= 0, ang quadratic equation ay malinaw na may dalawa magkaparehong solusyon(multiples of the root).

Kung ang D< 0, квадратное уравнение не имеет tunay na ugat.

Kung ang isa sa mga coefficient b o c sero, pagkatapos ay malulutas ang quadratic equation nang hindi kinakalkula ang discriminant:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(palakol+ b)=0

2)palakol 2 + c = 0 palakol 2 = – c; kung https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

May mga dependency sa pagitan ng mga coefficient at mga ugat ng quadratic equation, na kilala bilang mga formula o Vieta's theorem:

Bisquare ang mga equation ay mga equation ng form https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, pagkatapos ay mula sa orihinal na equation nakakakuha tayo ng quadratic equation, mula sa na ating matatagpuan sa, at pagkatapos X, ayon sa formula .

Halimbawa. lutasin ang equation . Dinadala namin ang mga expression sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa karaniwang denominador..gif" width="212" height="29 src=">. Nire-solve namin ang resultang quadratic equation: , sa equation na ito a= 1, b= –2,c= -15, kung gayon ang discriminant ay katumbas ng: D = b 2 – 4ac= 64. Mga ugat ng equation: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Ginagawa namin ang kapalit. Pagkatapos ang equation ay nagiging ay isang quadratic equation, kung saan a= 1, b= – 4,c= 3, ang diskriminasyon nito ay: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Ang mga ugat ng quadratic equation ay pantay, ayon sa pagkakabanggit: at .

Mga ugat ng orihinal na equation , , , ..gif" width="78" height="51">, saan PN(x) at Pm(x) ay mga polynomial ng digri n at m ayon sa pagkakabanggit. Ang isang fraction ay zero kung ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi, ngunit ang naturang polynomial equation ay pangunahing nakuha lamang pagkatapos ng mahabang pagbabago, mga paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa. Sa proseso ng paglutas, samakatuwid, ang bawat equation ay pinalitan ng ilang bago, at ang bago ay maaaring magkaroon ng mga bagong ugat. Upang sundin ang mga pagbabagong ito sa mga ugat, upang maiwasan ang pagkawala ng mga ugat at upang ma-reject ang mga dagdag ay ang gawain. tamang desisyon mga equation.

Ito ay malinaw na ang pinakamahusay na paraan- sa bawat oras na palitan ang isang equation ng isang katumbas, kung gayon ang mga ugat ng huling equation ay magiging mga ugat ng orihinal. Gayunpaman, tulad perpektong landas mahirap ipatupad sa pagsasanay. Bilang isang patakaran, ang equation ay pinalitan ng kahihinatnan nito, na hindi kinakailangang katumbas nito, habang ang lahat ng mga ugat ng unang equation ay ang mga ugat ng pangalawa, ibig sabihin, ang pagkawala ng mga ugat ay hindi nangyayari, ngunit ang mga extraneous. maaaring lumitaw (o maaaring hindi lumitaw). Sa kaso kung saan kahit isang beses sa proseso ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay pinalitan ng isang hindi pantay, kailangan namin mandatory check nakuha ang mga ugat.

Kaya, kung ang desisyon ay isinagawa nang walang pagsusuri ng pagkakapareho at mga mapagkukunan ng paglitaw mga panlabas na ugat, ang tseke ay obligadong bahagi mga solusyon. Kung walang pag-verify, ang solusyon ay hindi maituturing na kumpleto, kahit na ang mga extraneous na ugat ay hindi lumitaw. Kapag sila ay lumitaw at hindi itinapon, kung gayon ang desisyon na ito ay mali lamang.

Narito ang ilang katangian ng isang polynomial:

Ang ugat ng polynomial tawagan ang halaga x, kung saan ang polynomial ay katumbas ng zero. Anumang polynomial ng degree n ay may eksakto n mga ugat. Kung ang polynomial equation ay nakasulat bilang , kung gayon , saan x 1, x 2,…, xn ay ang mga ugat ng equation.

Ang anumang polynomial ay mayroon kahit degree na may mga tunay na coefficient mayroong hindi bababa sa isang tunay na ugat, ngunit sa pangkalahatan ito ay palaging mayroon kakaibang numero tunay na ugat. Ang isang polynomial ng even degree ay maaaring walang tunay na mga ugat, at kapag mayroon sila, ang kanilang bilang ay pantay.

Ang isang polynomial sa ilalim ng anumang mga pangyayari ay maaaring mabulok linear na mga kadahilanan at square trinomals Sa negatibong diskriminasyon. Kung alam natin ang ugat nito x 1, pagkatapos PN(x) = (x -x 1) Pn- 1(x).

Kung ang PN(x) = 0 ay isang equation ng kahit na antas, pagkatapos bilang karagdagan sa paraan ng pagsasaliksik nito sa mga kadahilanan, maaari mong subukang ipakilala ang isang pagbabago ng variable, sa tulong kung saan bababa ang antas ng equation.

Halimbawa. Lutasin ang equation:

Ang equation na ito ng ikatlong (odd) degree ay nangangahulugan na imposibleng magpakilala ng auxiliary variable na magpapababa sa degree ng equation. Dapat itong malutas sa pamamagitan ng pag-factor sa kaliwang bahagi, kung saan buksan muna namin ang mga bracket, at pagkatapos ay isulat ito sa karaniwang anyo.

Nakukuha namin: x 3 + 5x – 6 = 0.

Ito ang pinababang equation (coefficient at ang pinakamataas na antas katumbas ng isa), kaya hinahanap natin ang mga ugat nito sa mga salik ng libreng termino - 6. Ito ang mga numerong ±1, ±2, ±3, ±6. Pagpapalit x= 1 sa equation, nakikita natin iyon x= 1 ang ugat nito, kaya ang polynomial x 3 + 5x–6 = 0 na hinati ng ( x- 1) walang nalalabi. Gawin natin ang dibisyong ito:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

kaya lang x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

Ang unang equation ay nagbibigay ng ugat x= 1, na napili na, at sa pangalawang equation D< 0, wala ito tunay na solusyon. Dahil ang ODZ ng equation na ito, posibleng hindi suriin.

Halimbawa..gif" width="52" height="21 src=">. Kung i-multiply mo ang unang salik sa pangatlo, at ang pangalawa sa ikaapat, ang mga produktong ito ay magkakaroon ng parehong mga bahagi, na nakasalalay sa x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Hayaan x 2 + 4x = y, pagkatapos ay isulat namin ang equation sa form ( y – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Ang quadratic equation na ito ay may mga solusyon: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Kung babawasan natin ang equation na ito sa isang common denominator, lilitaw ang isang polynomial ng ika-apat na degree sa numerator. Kaya, pinapayagan na baguhin ang variable, na magpapababa sa antas ng equation. Samakatuwid, hindi kinakailangan na agad na bawasan ang equation na ito sa isang common denominator. Dito makikita mo na sa kaliwa ay ang kabuuan ng mga parisukat. Kaya, maaari mo itong idagdag sa buong parisukat kabuuan o pagkakaiba. Sa katunayan, ibawas at idagdag nang dalawang beses ang produkto ng mga base ng mga parisukat na ito: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, pagkatapos y 2 + 18y– 40 = 0. Ayon sa Vieta theorem y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, at sa pangalawa D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Sagot: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Kumuha kami ng isang quadratic equation a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Mga hindi makatwirang equation

hindi makatwiran tinatawag na isang equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng radical (root ) o sa ilalim ng tanda ng elevation sa fractional degree()..gif" width="120" height="32"> at may parehong domain ng kahulugan ng hindi alam. Kapag nilagyan ng parisukat ang una at pangalawang equation, nakukuha natin ang parehong equation . Ang mga solusyon ng equation na ito ay ang mga solusyon ng parehong hindi makatwirang equation.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.