Mga pamamaraan ng matematika sa biology. Relasyon sa pagitan ng matematika at biology

PROGRAMA NG KURSO

Ang mga pangunahing kinakailangan para sa pagpapakilala at pagpapakalat ng mga pamamaraan ng matematika sa biological na pananaliksik. Mathematization bilang isang panimula karaniwang wika; mga pamamaraan ng matematika - isang kasangkapan para sa pananaliksik at pagsusuri.

Mga yugto biyolohikal na pananaliksik at mga kaugnay na pamamaraan sa matematika. Pahayag at pagbabalangkas ng suliranin sa pananaliksik sa biyolohikal at mga konsepto ng matematika, pagpili sapat na pamamaraan pagsusuri ng mga inaasahang resulta at pagpaplano ng eksperimento (obserbasyon). Pagsusuri ng mga resulta, pagtatanghal ng mga ito sa isang visual na anyo, interpretasyon at - pagsasaayos ng plano karagdagang pananaliksik(at pagsusuri).

Mga uri ng biological na gawain. Paghahambing at pagpapangkat ng mga bagay; pagkakaiba at paghihiwalay ng mga grupo; pagtukoy sa lugar ng isang bagay (grupo) sa naunang inilarawan na sistema (pagkakakilanlan). Mga relasyon at dependency; Mga tampok ng pagsusuri ng proseso.

Paghihiwalay ng mga palatandaan (mga variable) sa independyente - mga kadahilanan at umaasa - "mga tugon"; kalidad at quantitative na katangian. Impluwensya sa likas na katangian ng pagsusuri ng mga tampok ng representasyon ng mga tampok. Nagmula sa mga tampok na "pangalawang" (mga indeks, pangunahing bahagi, atbp.).

Maramihang Paghahambing at mga tampok nito. Mga pangunahing kaalaman pagsusuri ng pagkakaiba; ang mga pagkakaiba at pakinabang nito kaysa sa pares na paghahambing. Mga kinakailangan para sa paunang data para sa isa- at multi-factor complex; impluwensya ng mga paglihis. Pagbabago ng data; pagbabagong-anyo ng mga hindi pare-parehong complex. Hierarchical na modelo ng dispersion analysis, ang mga tampok nito. Scheme na may "paulit-ulit na mga sukat".

Pagsusuri at interpretasyon ng mga resulta ng pagsusuri ng pagkakaiba. Pagpaplano ng multivariate analysis ng variance ayon sa buo at pinababang pamamaraan; Griyego na parisukat.

Multidimensional (multi-attribute) mga paglalarawan, mga gawain ng isang / pagpili ng mga tampok at / o compression ng impormasyon para sa kaginhawahan ng pagtatanghal nito, b / pag-aaral ng istraktura ng mga relasyon at dependencies sa kumplikadong mga tampok.

Pagsusuri ng ugnayan. Iba't ibang mga hakbang sa komunikasyon; nonlinearity at pamamaraan ng linearization. Pagsusuri ng sistema ng link: correlation pleiades ng P.V. Terentyev. Grapikong paraan pagtatanghal at pagsusuri ng mga resulta: maximum na landas ng ugnayan (=minimum spanning tree), mga seksyon ng correlation cylinder, dendrograms at dendrites (mga graph).

Paghahambing ng mga matrice ng ugnayan sa pamamagitan ng antas at istraktura ng mga link. Mga antas ng organisasyon ng mga biological system at koneksyon sa pagitan ng kanilang mga elemento. Pagkakaiba-iba at determinismo ng mga palatandaan; lakas at katatagan ng bono.

Mga batayan ng pagsusuri ng kadahilanan; Ang mga kadahilanan ay mga nakatagong variable. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon sa paraan ng sentroid. Pagtitiyak ng pagsusuri ng pangunahing bahagi. Mga bagong variable - mga kadahilanan, ang kanilang paggamit. "Ideal na istraktura" at pag-ikot ng mga kadahilanan. Interpretasyon at graphical na presentasyon ng mga resulta. Mga limitasyon ng factor analysis ( linear na modelo, additivity ng mga variable). Factor analysis bilang isang yugto ng pananaliksik (pagsusuri ng isang hanay ng mga tampok, pagpapangkat ng mga tampok at bagay, atbp.). Mga kadahilanan ng pag-ikot. R at Q-technique ng factor analysis.

Pagsusuri ng regression. Pagpaplano ng eksperimento sa regression; ang hanay ng mga halaga ng independiyenteng variable, ang bilang at lokasyon ng mga agwat. Pangkalahatang mga kinakailangan sa pagsusuri ng empirical dependencies (G.G. Vinberg, 1980).

Mga espesyal na kaso ng pagsusuri ng regression: pag-aaral ng paglaki at pagpaparami (allometry, exponent, logistic curve, atbp.), Pagsusuri ng mga curve ng pagtugon sa dosis. Probit analysis at ang mga pakinabang nito. Maramihang pagbabalik.

Dynamic na serye (=time series). Ang mga pangunahing bahagi ng serye ng mga dinamika, ang kanilang pagpili. Pagtataya ng randomness ng sunud-sunod na mga halaga. Time series smoothing. Autocorrelation at cross-correlation.

Multidimensional na mga paglalarawan.

Pagpapangkat ng mga multidimensional na paglalarawan. Pagkakaiba ng mga grupo sa panahon ng paglabag ayon sa mga indibidwal na katangian. Mga Prinsipyo pagsusuri ng diskriminasyon. Paghahanap at paggamit ng discriminant function. Kakayahang gumamit ng mga katulad na pamamaraan para sa maraming grupo. Canonical analysis. Mga puno ng pag-uuri.

Mga paraan ng dami ng pag-uuri. Taxonomic at Mga isyu sa kapaligiran klasipikasyon, ang kanilang mga katangian. Paggamit ng quantitative at alternatibong representasyon ng data. Ang mga pangunahing yugto ng pagsusuri. Ang pinakakaraniwang ginagamit na mga sukat ng pagkakatulad, ang kanilang pagtitiyak. Mga tampok ng asymmetric at correlation measures. Mga pamamaraan ng pag-uuri para sa pantay at hindi pantay na bigat ng mga character: pagsusuri ng taxonomic ni E.S. Smirnov, "numerical taxonomy" (Sokal, Sneath); phylogenetic na pamamaraan: cladistic analysis (Wagner, Hennig, Farris).

Pag-uuri at ordinasyon, "fuzzy set" (A.Zade). Mga kumpol at pagpapangkat na may "pangyayari". Pagsusuri ng mga pagkakatulad na matrice. Ang pinakasimpleng algorithm ng pagpapangkat (clustering): pinakamalapit na paraan ng kapitbahay, average na paraan ng grupo. Kahulugan ng "threshold" sa pagpapangkat; ang pag-asa sa pagpili ng pamamaraan at mga resulta sa layunin ng discreteness ng mga grupo, ang kanilang dami at mga relasyon sa pagitan ng mga grupo; compactness ng mga grupo, ang kanilang remoteness at ang pagkakaroon ng mga transition (distinctness at transitivity ayon sa S.F. Kolodyazhny). Grapikal na presentasyon resulta.

Pagsusuri ng anyo at pagkakaiba-iba nito - " geometric morphometry". Mga pangunahing prinsipyo (Bookstein, Zelditch). Lugar ng aplikasyon.

Mga Paraan ng Resampling. Aplikasyon para sa pagsusuri sa mga hindi pamantayang sitwasyon at para sa mga katangian na walang katwiran sa istatistika. Jackknife, bootstrap, Mantel test.

MGA MATERYAL PARA SA LECTURES

Pagsusuri

Ulitin

Pagsusuri ng pagkakaiba-iba.

Pagsusuri ng sangkap.

Pagsusuri ng regression

Pag-uuri


Paghahambing ng matrix

MGA WORKSHOS

Pag-edit

Aralin 1

Aralin 2

Aralin 3

Sesyon 4-1

Sesyon 4-2

Aralin 5

Bibliograpiya:

Urbakh V.Yu. Pagsusuri ng istatistika sa biyolohikal at medikal na pananaliksik, M, 1975.
Bailey N. Mathematics sa biology at medisina, M, 1970.
Efimov VM, V.Yu. Kovaleva Multidimensional na pagsusuri ng biological data. 2008. St. Petersburg. (ed.2, naitama at dinagdagan). 86 p.

ANOVA:
Rokitsky P.F. Biological statistics (anumang edisyon maliban sa una), ch.8
Snedecor J.W. Paraang istatistikal inilapat sa pananaliksik sa agrikultura at biology. M. 1961.
Scheffe G. Pagsusuri ng pagpapakalat. M, 1980.
Upton G. Pagsusuri ng mga talahanayan ng contingency. M. 1982

Factor analysis:
Okun Ya. Factor analysis. M, 1974.
Liepa I.Ya. Mga pamamaraan ng matematika sa biological na pananaliksik. Riga, 1980.
Iberla K. Factor analysis. M, 1980

Pagsusuri ng regression:
Schmidt V.M. Mga Paraan sa Matematika sa botanika. L, 1984 kab.6, §2-3
Urbakh V.Yu. (tingnan sa itaas) ch. 8-9.
Alimov A.F. Panimula sa produksyon hydrobiology. L, 1989.
Draper N., Smith G. Inilapat ang pagsusuri ng regression. M, 1973
Vinberg G.G. Mga kundisyon para sa tamang aplikasyon ng elementarya na empirical formula sa biology. Dami pamamaraan sa ekolohiya ng hayop, L., 1980, pp. 34-36

Mga hilera ng dinamika:
Lakin G.F. Biometrics. M, 1968, kab.7.
Kendall J. Serye ng oras. M, 1981

Pagsusuri ng diskriminasyon:
Urbakh V.Yu. (tingnan sa itaas) ch. sampu

Pag-uuri:
Duran B., Odell P. Cluster analysis. M, 1977.
Andreev V.L. Pag-uuri ng mga konstruksyon sa ekolohiya at sistematiko. M, 1980.
Andreev V.L. Pagsusuri ng eco-geographical na data gamit ang teorya fuzzy set. L, 1987.
Pavlinov I.Ya. Mga pamamaraan ng cladistic. M, 1989

Pagpaplano
Urbakh V.Yu. (tingnan sa itaas), ch.1
Nalimov V.B. Teorya ng eksperimento. M, 1971.
Montgomery L.K. Pagpaplano ng eksperimento at pagsusuri ng data. L, 1980.

Pagsusuri ng hugis
Zelditch M. et al. "Geometric morphometrics para sa mga biologist" 2003: 444 pp

Mga Paraan ng Resampling
Efron B., Tibshirani R.. "Isang panimula sa bootstrap". 1998

Mathematics in Biology Nakumpleto ng 8b grade student Marina Goncharova School 457, St. Petersburg Taong panuruan


Matagal nang ginagamit ng mga biologist ang matematika. modernong biology aktibong gumagamit ng iba't ibang sangay ng matematika: probability theory at statistics, theory of differential equation, game theory, differential geometry at set theory para pag-aralan ang mga istruktura at prinsipyo ng paggana ng mga buhay na bagay. Si Ilya Ilyich Mechnikov Russian biologist, binuo ang teorya ng kaligtasan sa sakit na si Alexander Fleming Scottish scientist, natuklasan ang penicillin Nikolai Ivanovich Pirogov Russian scientist at surgeon. Lumikha ng teorya ng ebolusyon ng buhay sa Earth. James Dewey Watson Francis Harry Compton English mga molecular biologist. Natuklasan ang mga istruktura ng mga molekula ng DNA




Ang genetic code ay isang paraan ng pag-encode ng amino acid sequence ng mga protina gamit ang isang sequence ng nucleotides, na katangian ng lahat ng nabubuhay na organismo. Ang mga pamamaraan ng istatistika ay may mahalagang papel sa pag-decipher genetic code, pati na rin sa paghahanda ng mga chromosome na mapa. Ginawa ni Alfred Sturtevant ang unang genetic map Isang halimbawa ng genetic map


Biochemistry Ang biochemistry ay ang agham ng komposisyong kemikal mga buhay na selula at organismo at mga proseso ng kemikal pinagbabatayan ng kanilang aktibidad sa buhay. Sa agham na ito, malawakang ginagamit ang mga equation ng thermodynamics. Novitsky Alexey Ivanovich Nilikha ang doktrina ng thermodynamics biological na proseso. Nilikha ni Ilya Prigozhy ang tinatawag na non-classical thermodynamics Josiah Willard Gibbs Creator teoryang matematika thermodynamics


Biology at analytic geometry Ang geometry ay kadalasang ginagamit sa biology. Ang bawat biologist ng pananaliksik ay dapat tumugma sa kanyang mga resulta sa static na pamantayan, at ang mga itinatag na relasyon ay karaniwang inilalarawan gamit ang mga curve mula sa analytical geometry.


Automation ng mga biological na industriya Kapag nag-aaral at nagsasaliksik ng mga biological phenomena, dapat na kayang pamahalaan ng mga siyentipiko ang mga kumplikadong kagamitan, pati na rin ang proseso ng mga pagbasa nito. Ito ay nangangailangan ng kaalaman sa matematika. MRI machine Ginagamit para kumuha ng imahe lamang loob Electrocardiograph Pagpapasiya ng tibok ng puso at regularidad Artipisyal na puso, isang halimbawa ng biomedical engineering.





mathematical biology ay isang teorya ng mga modelong matematikal ng mga biological na proseso at phenomena. Ang mathematical biology ay maaaring uriin bilang inilapat na matematika at aktibong ginagamit ang mga pamamaraan nito. Ang criterion ng katotohanan dito ay patunay sa matematika. kritikal na tungkulin naglalaro ito ng mathematical modelling gamit ang mga computer. Hindi tulad ng puro mga agham sa matematika, sa mathematical biology, puro biological na gawain at problema ang pinag-aaralan ng mga pamamaraan ng modernong matematika, at ang mga resulta ay may biological na interpretasyon. Ang mga gawain ng mathematical biology ay ang paglalarawan ng mga batas ng kalikasan sa antas ng biology at ang pangunahing gawain ay ang interpretasyon ng mga resulta na nakuha sa kurso ng pananaliksik, isang halimbawa ay ang batas ng Hardy-Weinberg, na ibinigay sa pamamagitan ng paraan na ay hindi umiiral para sa ilang kadahilanan, ngunit ito ay nagpapatunay na ang sistema ng populasyon ay maaaring at hinulaan din batay sa batas na ito. Batay sa batas na ito, masasabi natin na ang isang populasyon ay isang pangkat ng mga alleles na nagpapatuloy sa sarili, kung saan ang natural na pagpili ay nagbibigay ng batayan. Pagkatapos, sa kanyang sarili, ang natural na pagpili ay, mula sa punto ng view ng matematika, bilang isang independiyenteng variable, at ang populasyon ay isang dependent variable, at sa ilalim ng populasyon ay itinuturing na isang tiyak na bilang ng mga variable na nakakaapekto sa bawat isa. Ito ang bilang ng mga indibidwal, ang bilang ng mga alleles, ang density ng mga alleles, ang ratio ng density ng dominanteng alleles sa density ng recessive alleles, atbp., atbp. Ang natural na pagpili ay hindi rin naninindigan, at ang unang bagay na namumukod dito ang lakas natural na pagpili, na tumutukoy sa epekto ng mga kondisyon sa kapaligiran na nakakaapekto sa mga katangian ng mga indibidwal ng populasyon na umunlad sa proseso ng phylogenesis ng mga species kung saan nabibilang ang populasyon.


Panitikan
  • Alekseev V. V., Kryshev I. I., Sazykina T. G. Pisikal at matematikal na pagmomodelo ng mga ecosystem; Com. sa hydrometeorology at pagsubaybay kapaligiran M-va ekolohiya at kalikasan. mapagkukunan Ros. Federation. - St. Petersburg: Gidrometeoizdat, 1992.
  • Bazykin A. D. Nonlinear dynamics ng mga nakikipag-ugnayang populasyon.
  • Bailey N. T. J. Matematika sa biology at medisina: Per. mula sa Ingles. - M.: Mir, 1970. - 326 p.
  • Bratus A.S. Mga dinamikong sistema at mga modelo ng biology / Bratus A. S., Novozhilov A. S., Platonov A. P. - M.: Fizmatlit, 2010. - 400 p. - ISBN 978-5-9221-1192-8.
  • Zhabotinsky A. M. Konsentrasyon sa sarili oscillations.
  • Ivanitsky G. R., Krinsky V. I., Selkov E. E. Mathematical biophysics ng cell.
  • Malasonok G.I. Mabisang Matematika: Pagmomodelo sa Biology at Medisina: Proc. allowance; Ministri ng Edukasyon Ros. Federation, Tamb. estado un-t im. G. R. Derzhavin. - Tambov: Publishing House ng TSU, 2001 - 45 p.
  • Pagmomodelo ng matematika ng mga proseso ng buhay. Sab. Art., M., 1968.
  • Menshutkin V.V. Pagmomodelo ng matematika ng mga populasyon at komunidad ng mga hayop sa tubig.
  • Nakhushev A. M. Mga equation ng mathematical biology: Proc. allowance para sa banig at biol. espesyalista. Univ. - M.: Mas mataas na paaralan, 1995. - 301 p. - ISBN 5-06-002670-1
  • Petrosyan L. A., Zakharov V. V. Mga modelo ng matematika sa ekolohiya. - St. Petersburg: Publishing House ng St. Petersburg University, 1997, - 256 p. - ISBN 5-288-01527-9
  • Petrosjan L.A. at Zakharov V.V. Mga Modelong Matematika sa Pagsusuri ng Patakaran sa Kapaligiran. - Nova Science Publishers, 1997 - ISBN 1-56072-515-X
  • Rashevsky N. Ang ilan aspetong medikal mathematical biology. - M.: Medisina, 1966. - 243 p.
  • Riznichenko G. Yu. Mga lektura sa mga modelo ng matematika sa biology: Proc. allowance para sa mga mag-aaral ng biol. mga espesyalidad sa unibersidad. - M., Izhevsk: R&C Dynamics (PXD), 2002.
  • Riznichenko G. Yu. Mga modelo ng matematika sa biophysics at ekolohiya. - M.: IKI, 2003. - 184 p. - ISBN 5-93972-245-8
  • Riznichenko G. Yu., Rubin A. B. Mga modelong matematikal ng mga proseso ng paggawa ng biyolohikal: Proc. manwal para sa mga unibersidad sa mga lugar ng "Inilapat. Mathematics at Informatics", "Biology" at espesyal. "Mat. pagmomodelo". - M.: Publishing House ng Moscow State University, 1993. - 299 p. - ISBN 5-211-01755-2
  • Pagmomodelo ng matematika sa biophysics. Panimula sa teoretikal na biophysics. - M.: RHD, 2004. - 472 p. - ISBN 5-93972-359-4
  • Romanovsky Yu. M., Stepanova N. V., Chernavsky D. S. Mathematical biophysics.
  • Rubin A. B., Pytyeva N. F., Riznichenko G. Yu. Kinetics ng mga biological na proseso.
  • Svirezhev Yu. M. Nonlinear waves, dissipative structures at catastrophes sa ekolohiya.
  • Svirezhev Yu. M., Logofet D. O. Katatagan ng mga biyolohikal na pamayanan.
  • Svirezhev Yu. M., Pasekov V. P. Mga Batayan ng mathematical genetics.
  • Teoretikal at mathematical na biology. Per. mula sa Ingles. - M.: Mir, 1968. - 447 p.
  • Thorntley J. G. M. Mga modelo ng matematika sa pisyolohiya ng halaman.
  • Fomin S. V., Berkenblit M. B. Mga problema sa matematika sa biology.
  • Shnol E. E.(scientific editor) Pag-aaral sa Mathematical Biology.
  • Eigen M., Shuster P. Mga prinsipyo ng hypercycle ng self-organization ng mga molecule.
download
Ang abstract na ito ay batay sa isang artikulo mula sa Russian Wikipedia. Nakumpleto ang pag-synchronize noong 07/10/11 17:38:26
Mga katulad na abstract:

Mga pangunahing kaalaman sa pagmomolde ng matematika

Sa seksyong ito ng kurso ng mga lektura "Mga modelo ng matematika sa biology" ay isinasaalang-alang mga pangunahing konsepto pagmomodelo ng matematika. Sa halimbawa ng pinakasimpleng mga sistema, ang mga pangunahing regularidad ng kanilang pag-uugali ay sinusuri. Ang pokus ay hindi sa biological system mismo, ngunit sa mga diskarte na ginamit upang lumikha ng modelo nito.

Tingnan din:

Paksa 1: Pagsasama-sama ng datos at kaalaman. Mga layunin ng pagmomodelo. Pangunahing konsepto

Mga modelo at pagmomodelo. Pag-uuri ng mga modelo. Qualitative (basic) na mga modelo. Mga modelo ng simulation ng mga partikular na biological system. kasangkapang pangmatematika. Ang konsepto ng mga variable at parameter. Nakatigil na estado at katatagan nito. Programa ng Computer. Hierarchy ng mga kaliskis at oras sa mga biological system. mga network ng regulasyon.

Paksa 2: Mga modelong inilalarawan ng isang autonomous differential equation

Ang konsepto ng paglutas ng isang autonomous differential equation. Nakatigil na estado at katatagan nito. Mga modelo ng paglaki ng populasyon. Tuloy-tuloy at discrete na mga modelo. modelo ng exponential growth. Modelo ng paglago ng logistik. Ang modelo na may pinakamaliit na kritikal na numero. Mga probabilistikong modelo.

Paksa 3: Mga modelong inilalarawan ng mga sistema ng dalawang autonomous differential equation

Pananaliksik sa pagpapanatili nakatigil na estado. Mga uri ng dynamic na pag-uugali: monotonous na pagbabago, multistationarity, fluctuations. Ang konsepto ng isang phase plane. Mga Modelong Tray ( kemikal na reaksyon) at Volterra (interaksyon ng mga species).

Paksa 4: Hierarchy ng mga panahon sa biological system. Mabilis at mabagal na mga variable

Ang teorama ni Tikhonov. Pinagmulan ng Michaelis-Menten equation. Application ng paraan ng quasi-stationary concentrations.

Paksa 5: Multistationary system

mga modelo ng pagpili. Application ng paraan ng quasi-stationary concentrations. Pagpapalit ng mga modelo sa mga biological system. Trigger. Modelo ng synthesis ng dalawang enzyme na sina Jacob at Monod.

Paksa 6: Mga proseso ng oscillatory

Ang konsepto ng limit cycle at self-oscillations. Autocatalysis. Mga uri puna. Mga halimbawa. Brusselsator. Glycolysis. Mga modelo ng cell cycle.

Paksa 7: Mga prosesong quasistochastic. dynamic na kaguluhan

Ang konsepto ng kakaibang pang-akit. Pana-panahong mga impluwensya at stochastic na mga kadahilanan. Hindi regular na pagbabagu-bago sa glycolysis. Magulong dinamika sa mga komunidad ng mga species.

Paksa 8: Buhay na sistema at aktibong kinetic media

Mga nonlinear na pakikipag-ugnayan at mga proseso ng paglilipat sa mga biological system at ang kanilang papel sa pagbuo ng spatio-temporal dynamics. Mga equation sa mga partial derivatives ng reaction-diffusion-convection type. Pagpapalaganap ng alon sa mga sistemang may pagsasabog.

Paksa 9: Mga dissipative na istruktura

Katatagan ng mga homogenous na nakatigil na solusyon ng isang sistema ng dalawang equation ng uri ng reaksyon-diffusion. Kawalang-tatag ng Turing. Mga dissipative na istruktura malapit sa threshold ng kawalang-tatag. Mga naka-localize na dissipative na istruktura. Mga uri ng mga rehimeng espasyo-oras.

mathematical biology ay isang interdisiplinaryong sangay ng agham kung saan bagay ng pag-aaral ay mga biological system iba't ibang antas organisasyon, at ang layunin ng pag-aaral ay malapit na nauugnay sa solusyon ng ilang partikular mga problema sa matematika, bumubuo paksa ng pag-aaral. Ang criterion ng katotohanan dito ay mathematical proof. Ang pangunahing kasangkapan sa matematika ng biology ng matematika ay ang teorya ng mga equation ng kaugalian at mga istatistika ng matematika.

Sa kaibahan sa mga purong matematikal na agham, sa mathematical biology ang mga resulta ng pananaliksik ay binibigyan ng biyolohikal na interpretasyon.

Tingnan din

Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Mathematical Biology"

Mga link

Panitikan

Pinagmulan -

  • Alekseev V. V., Kryshev I. I., Sazykina T. G. Pisikal at matematikal na pagmomodelo ng mga ecosystem / Kom. sa Hydrometeorology at Environmental Monitoring, Ministri ng Ekolohiya at Kalikasan. mapagkukunan Ros. Federation. - St. Petersburg. : Gidrometeoizdat, 1992. - ISBN 5-286-01006-7.
  • Bazykin A. D. Nonlinear dynamics ng mga nakikipag-ugnayang populasyon. - M.; Izhevsk: Institute of Computer Research, 2003. - 367 p. - ISBN 5-93972-244-X.
  • Bailey N. T. J. Matematika sa biology at medisina: Per. mula sa Ingles. - M .: Mir, 1970. - 326 p.
  • Belintsev B. N. Pisikal na pundasyon ng biyolohikal na paghubog / Ed. M. V. Volkenshtein. - M .: Nauka, 1991. - 251 p. - ISBN 5-02-014556-4.
  • Bratus A. S., Novozhilov A. S., Platonov A. P. Mga dinamikong sistema at modelo ng biology. - M .: Fizmatlit, 2010. - 400 p. - ISBN 978-5-9221-1192-8.
  • Deshcherevsky V.I. Mga modelo ng matematika ng pag-urong ng kalamnan / Ed. acad. G. M. Frank. - M .: Agham. - T. 1977. - 160 p.
  • Dynamic Theory of Biological Populations / Ed. R. A. Poluktova. - M .: Nauka, 1974. - 455 p.
  • Zhabotinsky A. M. Konsentrasyon sa sarili oscillations. - M .: Nauka, 1974. - 178 p.
  • Ivanitsky G. R., Krinsky V. I., Selkov E. E. Mathematical biophysics ng cell. - M .: Agham. - 310 s. - (Teoretikal at inilapat na biophysics).
  • Pananaliksik sa Mathematical Biology: Sat. siyentipiko tr / Nauch. ed. E. E. Shnol. - Pushchino: PNTs RAN, 1996. - 192 p. - ISBN (mali) .
  • Malasonok G. I., Ushakova E. V. Mabisang Matematika: Pagmomodelo sa Biology at Medisina: Proc. allowance. - Tambov: TGU, 2001. - 45 p.
  • Murray D. Nonlinear differential equation sa biology: Mga lektura sa mga modelo: Per. mula sa Ingles. / Ed. A. D. Myshkis. - M .: Mir, 1983. - 397 p. Pagsasalin ng ed.: Lectures on nonlinear-differential-equation Models in biology / J.D. Murray (Oxford, 1977)
  • Pagmomodelo ng matematika ng mga proseso ng buhay: Sab. mga artikulo / Editoryal board: M. F. Vedenov at iba pa - M .: Thought, 1968. - 287 p.
  • Menshutkin V.V. Pagmomodelo ng matematika ng mga populasyon at komunidad ng mga hayop sa tubig. - L.: Nauka, 1971. - 196 p.
  • Nakhushev A. M. Mga equation ng mathematical biology: Proc. allowance para sa banig. at biol. espesyalista. Univ. - M .: Mas mataas. paaralan, 1995. - 301 p. - ISBN 5-06-002670-1.
  • Panimula sa mathematical ecology. - L. : Publishing House ng Leningrad State University, 1986. - 222 p.
  • Petrosyan L. A., Zakharov V. V. Mga modelo ng matematika sa ekolohiya. - St. Petersburg. : St. Petersburg State University, 1997. - 256 p. - ISBN 5-288-01527-9.
  • Rashevsky N. Ilang aspetong medikal ng mathematical biology: Per. mula sa Ingles. / Ed. acad. V.V. Parina. - M .: Medisina, 1966. - 243 p.
  • Riznichenko G. Yu. Mga lektura sa mga modelo ng matematika sa biology: Textbook. allowance para sa mga mag-aaral ng biol. espesyalista. mas mataas aklat-aralin mga establisyimento. - M.; Izhevsk: R&C Dynamics; RHD, 2002.
  • Riznichenko G. Yu. Mga modelo ng matematika sa biophysics at ekolohiya. - M.; Izhevsk: Institute of Computer. pananaliksik, 2003. - 183 p. - (Mathematical biology at biophysics). - ISBN 5-93972-245-8.
  • Mathematical biophysics. - M .: Nauka, 1984. - 304 p. - (Physics ng mga proseso ng buhay).
  • Romanovsky Yu. M., Stepanova N. V., Chernavsky D. S. Mathematical Modeling sa Biophysics: Panimula sa Theoretical Biophysics. - M .: RHD, 2004. - 472 p. - ISBN 5-93972-359-4.
  • Rubin A. B., Pytyeva N. F., Riznichenko G. Yu. Kinetics ng mga biological na proseso: Proc. allowance para sa mga unibersidad sa espesyal. "Biology": 2nd ed., Rev. at karagdagang - M .: Publishing House ng Moscow State University, 1987. - 299 p.
  • Svirezhev Yu. M. Nonlinear waves, dissipative structures at catastrophes sa ekolohiya. - M .: Nauka, 1987. - 366 p.
  • Svirezhev Yu. M., Logofet D. O. Katatagan ng mga biyolohikal na pamayanan. - M .: Nauka, 1978. - 352 p.
  • Svirezhev Yu. M., Pasekov V. P. Mga Batayan ng mathematical genetics. - M .: Nauka, 1982. - 511 p.
  • Smith D.M. Mga ideya sa matematika sa biology: [na may mga gawain at sagot]: Per. mula sa Ingles: 2nd ed., erased / Ed. Yu. I. Gilderman. - M .: KomKniga; URSS, 2005. - 179 p. - ISBN 5-484-00022-X.
  • Theoretical at mathematical biology: Per. mula sa Ingles. - M .: Mir, 1968. - 448 p.
  • Thornley D. G. M. Mga modelo ng matematika sa pisyolohiya ng halaman: Per. mula sa Ingles. / Ed. B. I. Gulyaeva. - Kyiv: Naukova Dumka, 1982. - 310 p. Isinalin mula sa: Mga modelong matematikal sa pisyolohiya ng halaman / J. H. M. Thornley (London atbp., 1976)
  • Eigen M., Shuster P. Hypercycle: Mga Prinsipyo ng self-organization ng macromolecules: Per. mula sa Ingles. / Ed. M. V. Volkenstein at D. S. Chernavsky. - M .: Mir, 1982. - 280 p. Isinalin mula sa: The hypercycle / M. Eigen, P. Schuster (Berlin atbp., 1979)
  • Haubold B., Wie T. RHD 2011. - 456 p. ISBN 978-5-4344-0014-5
Ang artikulong ito sa biology ay isang usbong. Matutulungan mo ang proyekto sa pamamagitan ng pagdaragdag dito.
Ang talang ito ay dapat, kung maaari, ay palitan ng isang mas tumpak.

Isang sipi na nagpapakilala sa Mathematical Biology

- Oo, oo, alam ko. Let's go, let's go ... - sabi ni Pierre at pumasok sa bahay. matangkad kalbo isang matandang lalaki sa isang dressing gown, na may isang pulang ilong, sa galoshes sa kanyang hubad paa, siya stood sa hall; nang makita si Pierre, galit siyang bumulong ng kung ano at pumunta sa corridor.
"Sila ay may mahusay na katalinuhan, ngunit ngayon, tulad ng makikita mo, sila ay humina," sabi ni Gerasim. - Gusto mo bang pumunta sa opisina? Tumango si Pierre. - Ang opisina ay selyadong gaya noon. Inutusan si Sofya Danilovna, kung nagmula sila sa iyo, pagkatapos ay bitawan ang mga libro.
Pumasok si Pierre sa napakakulimlim na opisina kung saan siya pinasok nang may kaba sa buhay ng benefactor. Ang opisinang ito, na ngayon ay maalikabok at hindi nagalaw mula nang mamatay si Iosif Alekseevich, ay mas madilim.
Binuksan ni Gerasim ang isang shutter at lumabas ng kwarto. Nilibot ni Pierre ang opisina, pumunta sa kabinet kung saan nakalagay ang mga manuskrito, at kinuha ang isa sa mga dating pinakamahalagang dambana ng orden. Ito ay mga tunay na Scottish na gawa, na may mga tala at paliwanag mula sa benefactor. Umupo siya sa maalikabok na mesa at inilagay ang mga manuskrito sa kanyang harapan, binuksan ang mga ito, isinara ang mga ito, at sa wakas, itinulak ang mga ito palayo sa kanya, nakasandal ang kanyang ulo sa kanyang mga kamay, naisip.
Ilang beses na maingat na tumingin si Gerasim sa opisina at nakitang nakaupo si Pierre sa parehong posisyon. Mahigit dalawang oras na ang lumipas. Hinayaan ni Gerasim ang kanyang sarili na gumawa ng ilang ingay sa pintuan upang maakit ang atensyon ni Pierre sa kanyang sarili. Hindi siya narinig ni Pierre.
- Uutusan mo ba ang driver na bitawan?
"Ah, oo," sabi ni Pierre, nagising, nagmamadaling bumangon. "Makinig ka," sabi niya, kinuha si Gerasim sa butones ng kanyang amerikana at nakatingin sa matandang lalaki gamit ang kanyang makinang, basa-basa, masigasig na mga mata. "Makinig, alam mo ba na bukas ay magkakaroon ng labanan? ..
"Ginawa nila," sagot ni Gerasim.
"Hinihiling ko sa iyo na huwag sabihin sa sinuman kung sino ako. At gawin mo ang sinasabi ko...
- Sinusunod ko, - sabi ni Gerasim. - Gusto mo bang kumain?
Hindi, pero may kailangan ako. I need a peasant dress and a pistol,” sabi ni Pierre, biglang namula.
"Nakikinig ako," sabi ni Gerasim pagkatapos mag-isip.
Ginugol ni Pierre ang natitirang bahagi ng araw na iyon nang mag-isa sa opisina ng benefactor, na hindi mapakali mula sa isang sulok patungo sa isa pa, tulad ng narinig ni Gerasim, at nakikipag-usap sa kanyang sarili, at nagpalipas ng gabi sa kama na inihanda para sa kanya doon mismo.
Si Gerasim, na may ugali ng isang lingkod na nakakita ng maraming kakaibang bagay sa kanyang buhay, ay tinanggap ang paglipat ni Pierre nang walang sorpresa at tila nalulugod na mayroon siyang mapaglilingkuran. Sa parehong gabi, nang hindi man lang nagtanong sa sarili kung para saan iyon, kumuha siya ng isang caftan at isang sombrero kay Pierre at nangakong kukunin ang kinakailangang pistol sa susunod na araw. Si Makar Alekseevich nang gabing iyon ay dalawang beses, na sinasampal ang kanyang mga galoshes, umakyat sa pintuan at huminto, na nakatingin kay Pierre nang may pagkagusto. Ngunit sa sandaling lumingon si Pierre sa kanya, nahihiya at galit niyang ibinalot ang kanyang dressing gown at nagmamadaling umalis. Habang si Pierre, sa isang caftan ng kutsero, na binili at pinasingaw para sa kanya ni Gerasim, ay sumama sa kanya upang bumili ng pistol sa Sukharev Tower, nakilala niya ang mga Rostov.

Noong Setyembre 1, sa gabi, inutusan ni Kutuzov ang pag-urong ng mga tropang Ruso sa pamamagitan ng Moscow patungo sa kalsada ng Ryazan.
Ang unang tropa ay lumipat sa gabi. Ang mga tropang nagmamartsa sa gabi ay hindi nagmamadali at kumilos nang mabagal at tahimik; ngunit sa madaling araw, ang mga gumagalaw na tropa, papalapit sa tulay ng Dorogomilovsky, ay nakita sa harap nila, sa kabilang panig, nagsisiksikan, nagmamadali sa tulay at sa kabilang panig ay tumataas at binabaha ang mga lansangan at eskinita, at sa likod nila - nagtutulak, walang katapusang masa ng tropa. At ang walang kabuluhang pagmamadali at pagkabalisa ay inagaw ang mga tropa. Lahat ay sumugod sa tulay, papunta sa tulay, sa mga tawiran at sa mga bangka. Iniutos ni Kutuzov na dalhin siya sa likod ng mga kalye sa kabilang panig ng Moscow.
Pagsapit ng alas-diyes ng umaga noong Setyembre 2, tanging ang mga tropa ng guwardiya sa likuran ang nanatili sa suburb ng Dorogomilovsky. Ang hukbo ay nasa kabilang panig ng Moscow at sa kabila ng Moscow.
Kasabay nito, sa alas-diyes ng umaga noong Setyembre 2, tumayo si Napoleon sa pagitan ng kanyang mga tropa sa Poklonnaya Hill at tumitig sa tanawing nasa harapan niya. Mula Agosto 26 hanggang Setyembre 2, mula sa Labanan ng Borodino hanggang sa pagpasok ng kaaway sa Moscow, sa lahat ng araw ng pagkabalisa na ito, sa di-malilimutang linggong ito, mayroong pambihirang panahon ng taglagas, na palaging nakakagulat sa mga tao, kapag ang mababang araw ay umiinit nang mas mainit. kaysa sa tagsibol, kapag ang lahat ay kumikinang sa bihirang, malinis na hangin kung kaya't masakit sa mata kapag lumalakas at mas sariwa ang dibdib, nilalanghap ang mabahong hangin sa taglagas, kapag ang mga gabi ay kahit mainit at kapag sa mga madilim na mainit na gabi ay patuloy na bumabagsak ang mga gintong bituin mula sa langit, nakakatakot at nakatutuwa.
Noong Setyembre 2, alas-diyes ng umaga, ganito ang panahon. Ang kislap ng umaga ay nakapagtataka. Moscow kasama ang bundok ng Poklonnaya malawak na nakalat kasama ang ilog nito, ang mga hardin at simbahan nito, at tila namumuhay ng sarili nitong buhay, nanginginig na parang mga bituin, ang mga simboryo nito sa sinag ng araw.
Sa paningin ng isang kakaibang lungsod na may hindi pa nagagawang anyo ng hindi pangkaraniwang arkitektura, naranasan ni Napoleon ang medyo naiinggit at hindi mapakali na pag-uusisa na nararanasan ng mga tao kapag nakita nila ang mga anyo ng isang dayuhan na buhay na hindi alam tungkol sa kanila. Malinaw na nabuhay ang lungsod na ito kasama ang lahat ng puwersa ng buhay nito. Sa pamamagitan ng mga hindi matukoy na palatandaan kung saan, sa isang malayong distansya, ang isang buhay na katawan ay hindi mapag-aalinlanganan na kinikilala mula sa isang patay. Nakita ni Napoleon mula sa Poklonnaya Gora ang panginginig ng buhay sa lungsod at naramdaman, parang, ang hininga ng malaki at magandang katawan na ito.
- Cette ville asiatique aux innombrables eglises, Moscou la sainte. La voila donc enfin, cette fameuse ville! Il etait temps, [Itong Asiatic na lungsod na may hindi mabilang na mga simbahan, Moscow, ang kanilang banal na Moscow! Eto na, sa wakas sikat na lungsod! Oras na!] - sabi ni Napoleon at, bumaba sa kanyang kabayo, inutusan ang plano nitong Moscou na ilatag sa harap niya at tinawag ang tagapagsalin na Lelorgne d "Ideville. "Une ville occupee par l" ennemi ressemble a une fille qui a perdu son honneur, [Lungsod na inookupahan ng kaaway , ay tulad ng isang batang babae na nawala ang kanyang kawalang-kasalanan.] - naisip niya (habang sinabi niya ito kay Tuchkov sa Smolensk). At mula sa puntong ito, tiningnan niya ang oriental na dilag na nakahiga sa kanyang harapan, na hindi pa niya nakikita. Kakaiba sa kanya na, sa wakas, ang kanyang matagal na, na tila imposible, ay natupad na. Sa maaliwalas na liwanag ng umaga, tumingin muna siya sa lungsod, pagkatapos ay sa plano, tinitingnan ang mga detalye ng lungsod na ito, at ang katiyakan ng pag-aari ay natuwa at natakot sa kanya.
“Ngunit paano ito magiging iba? naisip niya. - Narito ito, ang kabisera, sa aking paanan, naghihintay para sa kanyang kapalaran. Nasaan na si Alexander at ano ang iniisip niya? Kakaiba, maganda, marilag na lungsod! At kakaiba at marilag ang minutong ito! Sa anong liwanag ko ipinakita ang aking sarili sa kanila! naisip niya ang kanyang mga tropa. “Narito na, ang gantimpala para sa lahat ng hindi mananampalataya na ito,” naisip niya, habang lumilingon sa mga malapit sa kanya at sa mga tropang papalapit at pumipila. “Isang salita ko, isang galaw ng kamay ko, at ito sinaunang kabisera des Czars. Mais ma clemence est toujours prompte a descendre sur les vaincus. [mga hari. Ngunit ang aking awa ay laging handang bumaba sa mga natalo.] Ako ay dapat na magnanimous at tunay na dakila. Pero hindi, hindi totoo na nasa Moscow ako, biglang sumagi sa isip niya. "Gayunpaman, narito siya nakahiga sa aking paanan, naglalaro at nanginginig sa mga gintong simboryo at mga krus sa sinag ng araw. Pero ililibre ko siya. Sa mga sinaunang monumento ng barbarismo at despotismo, magsusulat ako ng mga dakilang salita ng hustisya at awa ... Masakit na mauunawaan ito ni Alexander, kilala ko siya. (Tila kay Napoleon na ang pangunahing kahalagahan ng nangyayari ay ang kanyang personal na pakikibaka kay Alexander.) Mula sa taas ng Kremlin - oo, ito ang Kremlin, oo - ibibigay ko sa kanila ang mga batas ng hustisya, ipapakita ko sa kanila. ang kahulugan ng tunay na sibilisasyon, pipilitin ko ang mga henerasyong boyars na buong pagmamahal na gunitain ang pangalan ng kanilang mananakop. Sasabihin ko sa deputasyon na hindi ko gusto at ayaw ko ng digmaan; na nakipagdigma lamang ako laban sa maling patakaran ng kanilang hukuman, na mahal at iginagalang ko si Alexander, at na tatanggapin ko ang mga kondisyon ng kapayapaan sa Moscow na karapat-dapat sa akin at sa aking mga tao. Hindi ko nais na samantalahin ang kaligayahan ng digmaan upang hiyain ang iginagalang na soberanya. Boyars - Sasabihin ko sa kanila: Hindi ko gusto ang digmaan, ngunit nais ko ang kapayapaan at kasaganaan para sa lahat ng aking nasasakupan. Gayunpaman, alam ko na ang kanilang presensya ay magbibigay inspirasyon sa akin, at sasabihin ko sa kanila, tulad ng lagi kong sinasabi: malinaw, solemne at dakila. Pero totoo ba talaga na nasa Moscow ako? Oo, narito siya!
- Qu "on m" amene les boyards, [Dalhin ang mga boyars.] - lumingon siya sa kasama. Ang heneral na may makikinang na mga kasama ay agad na sumugod sa mga boyars.
Dalawang oras na ang lumipas. Nag-almusal si Napoleon at muling tumayo sa parehong lugar sa Poklonnaya Hill, naghihintay para sa deputasyon. Ang kanyang pananalita sa mga boyars ay malinaw na nabuo sa kanyang imahinasyon. Ang talumpating ito ay puno ng dignidad at ang kadakilaan na naunawaan ni Napoleon.

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO