Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng 70s, ay naging matatag sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng 80s. Ang salitang fractal ay nagmula sa Latin na fractus at sa pagsasalin ay nangangahulugang binubuo ng mga fragment. Iminungkahi ni Benoit Mandelbrot noong 1975 na sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang pagsilang ng fractal geometry ay karaniwang nauugnay sa publikasyon noong 1977 ng aklat ni Mandelbrot na `The Fractal Geometry of Nature'. siyentipikong resulta iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho sa panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Ngunit sa ating panahon lamang posible na pagsamahin ang kanilang trabaho sa isang solong sistema.
Ang papel ng mga fractals sa computer graphics ngayon ay medyo malaki. Dumating sila upang iligtas, halimbawa, kapag kinakailangan, sa tulong ng ilang mga coefficient, upang magtakda ng mga linya at ibabaw nang napaka kumplikadong hugis. Mula sa punto ng view ng computer graphics, ang fractal geometry ay kailangang-kailangan para sa pagbuo ng mga artipisyal na ulap, bundok, at ibabaw ng dagat. Sa katunayan, natagpuan ang isang paraan upang madaling kumatawan sa mga kumplikadong bagay na hindi Euclidean, na ang mga larawan ay halos kapareho sa mga natural.
Ang isa sa mga pangunahing katangian ng fractals ay ang pagkakatulad sa sarili. Sa pinaka simpleng kaso isang maliit na bahagi ng fractal ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa buong fractal. Ang kahulugan ng isang fractal na ibinigay ni Mandelbrot ay ang mga sumusunod: "Ang fractal ay isang istraktura na binubuo ng mga bahagi na sa ilang kahulugan ay katulad ng kabuuan."

Mayroong isang malaking bilang ng mga mathematical na bagay na tinatawag na fractals (Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set at Lorentz attractors). Ang mga fractals ay naglalarawan nang may mahusay na katumpakan ng maraming mga pisikal na phenomena at mga pormasyon ng totoong mundo: mga bundok, ulap, magulong (vortex) na alon, mga ugat, sanga at dahon ng mga puno, mga daluyan ng dugo, na malayo sa katumbas ng mga simpleng geometric na hugis. Sa unang pagkakataon, nagsalita si Benoit Mandelbrot tungkol sa fractal na kalikasan ng ating mundo sa kanyang seminal na gawain na "The Fractal Geometry of Nature".
Ang terminong fractal ay ipinakilala ni Benoit Mandelbrot noong 1977 sa kanyang pangunahing gawain na "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Ayon kay Mandelbrot, ang salitang fractal ay nagmula sa mga salitang Latin na fractus - fractional at frangere - to break, na sumasalamin sa kakanyahan ng fractal bilang isang "sirang", hindi regular na hanay.

Pag-uuri ng mga fractal.

Upang kumatawan sa buong iba't ibang mga fractals, maginhawang gamitin ang kanilang karaniwang tinatanggap na pag-uuri. May tatlong klase ng fractals.

1. Geometric fractals.

Ang mga fractal ng klase na ito ay ang pinaka-halata. Sa dalawang-dimensional na kaso, ang mga ito ay nakuha gamit ang isang polyline (o ibabaw sa tatlong-dimensional na kaso) na tinatawag na generator. Sa isang hakbang ng algorithm, ang bawat isa sa mga segment na bumubuo sa sirang linya ay pinapalitan ng isang sirang line generator sa naaangkop na sukat. Bilang resulta ng walang katapusang pag-uulit ng pamamaraang ito, nakuha ang isang geometric fractal.

Isaalang-alang, halimbawa, ang isa sa mga naturang fractal na bagay - ang Koch triadic curve.

Konstruksyon ng triadic Koch curve.

Kumuha ng isang tuwid na bahagi ng linya ng haba 1. Tawagin natin ito buto. Hinahati namin ang buto sa tatlong pantay na bahagi na 1/3 ang haba, itapon gitnang bahagi at palitan ito ng putol na linya ng dalawang link na may haba na 1/3.

Nakakuha kami ng isang sirang linya, na binubuo ng 4 na mga link na may kabuuang haba na 4/3, - ang tinatawag na unang henerasyon.

Upang magpatuloy sa susunod na henerasyon ng Koch curve, kinakailangang itapon at palitan ang gitnang bahagi ng bawat link. Alinsunod dito, ang haba ng pangalawang henerasyon ay magiging 16/9, ang pangatlo - 64/27. kung ipagpapatuloy mo ang prosesong ito hanggang sa kawalang-hanggan, ang resulta ay isang triadic Koch curve.

Isaalang-alang natin ngayon ang banal na triadic na Koch curve at alamin kung bakit tinawag na "mga halimaw" ang mga fractal.

Una, ang curve na ito ay walang haba - tulad ng nakita natin, sa bilang ng mga henerasyon, ang haba nito ay may posibilidad na infinity.

Pangalawa, imposibleng makabuo ng tangent sa curve na ito - bawat isa sa mga punto nito ay isang inflection point kung saan wala ang derivative - hindi makinis ang curve na ito.

Ang haba at kinis ay ang mga pangunahing katangian ng mga kurba, na pinag-aaralan kapwa ng Euclidean geometry at ng geometry ng Lobachevsky at Riemann. Sa triadic Koch curve tradisyonal na pamamaraan ang geometric analysis ay naging hindi naaangkop, kaya ang Koch curve ay naging isang halimaw - isang "halimaw" sa mga makinis na naninirahan sa tradisyonal na geometries.

Konstruksyon ng "dragon" Harter-Hateway.

Upang makakuha ng isa pang fractal object, kailangan mong baguhin ang mga panuntunan sa pagtatayo. Hayaang dalawa ang bumubuo ng elemento pantay na segment konektado sa tamang mga anggulo. Sa zero generation, pinapalitan namin ang segment ng unit ng elementong ito ng pagbuo upang ang anggulo ay nasa itaas. Maaari nating sabihin na sa gayong kapalit, nangyayari ang isang paglilipat sa gitna ng link. Kapag nagtatayo ng mga susunod na henerasyon, ang panuntunan ay natutupad: ang pinakaunang link sa kaliwa ay pinalitan ng isang bumubuo ng elemento upang ang gitna ng link ay lumipat sa kaliwa ng direksyon ng paggalaw, at kapag pinapalitan susunod na mga link, ang mga direksyon ng displacement ng mga midpoint ng mga segment ay dapat na kahalili. Ipinapakita ng figure ang unang ilang henerasyon at ang ika-11 henerasyon ng curve na binuo ayon sa prinsipyong inilarawan sa itaas. Ang kurba na may n tending to infinity ay tinatawag na Harter-Hateway dragon.
Sa computer graphics, ang paggamit ng geometric fractals ay kinakailangan kapag kumukuha ng mga larawan ng mga puno at bushes. Ang two-dimensional geometric fractals ay ginagamit upang lumikha ng mga three-dimensional na texture (mga pattern sa ibabaw ng isang bagay).

2. Algebraic fractals

Ito ang pinaka malaking grupo fractals. Nakukuha ang mga ito gamit ang mga non-linear na proseso sa mga n-dimensional na espasyo. Ang dalawang-dimensional na proseso ay ang pinaka-pinag-aralan. Ang pagbibigay-kahulugan sa isang nonlinear iterative na proseso bilang isang discrete dynamical system, maaaring gamitin ng isa ang terminolohiya ng teorya ng mga system na ito: phase portrait, steady state process, attractor, atbp.
Ito ay kilala na ang mga nonlinear dynamical system ay may ilang mga matatag na estado. Ang estado kung saan ito ay dynamic na sistema pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga pag-ulit, depende sa paunang estado nito. Samakatuwid, ang bawat matatag na estado (o, gaya ng sinasabi nila, isang pang-akit) ay may isang tiyak na lugar ng mga paunang estado, kung saan ang sistema ay kinakailangang mahuhulog sa itinuturing na panghuling estado. Kaya, ang phase space ng system ay nahahati sa mga lugar ng atraksyon ng mga attractor. Kung ang phase space ay two-dimensional, pagkatapos ay kulayan ang mga rehiyon ng atraksyon iba't ibang Kulay, ang isa ay maaaring makakuha ng color phase portrait ng system na ito (iterative process). Sa pamamagitan ng pagbabago sa algorithm ng pagpili ng kulay, maaari kang makakuha ng mga kumplikadong fractal pattern na may magarbong multicolor pattern. Ang isang sorpresa para sa mga mathematician ay ang kakayahang makabuo ng napakakomplikadong di-trivial na istruktura gamit ang mga primitive na algorithm.

Ang set ng Mandelbrot.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang set ng Mandelbrot. Ang algorithm para sa pagbuo nito ay medyo simple at batay sa isang simpleng umuulit na expression: Z = Z[i] * Z[i] + C, saan Zi at C ay mga kumplikadong variable. Isinasagawa ang mga pag-ulit para sa bawat panimulang punto mula sa isang hugis-parihaba o parisukat na rehiyon - isang subset ng kumplikadong eroplano. Ang umuulit na proseso ay nagpapatuloy hanggang Z[i] ay hindi lalampas sa bilog ng radius 2, ang gitna nito ay nasa punto (0,0), (ito ay nangangahulugan na ang attractor ng dynamical system ay nasa infinity), o pagkatapos ng sapat na malaking bilang ng mga pag-ulit (halimbawa. , 200-500) Z[i] nagtatagpo sa ilang punto sa bilog. Depende sa bilang ng mga pag-ulit kung kailan Z[i] nanatili sa loob ng bilog, maaari mong itakda ang kulay ng punto C(kung Z[i] nananatili sa loob ng bilog para sa isang sapat na malaking bilang ng mga pag-ulit, ang proseso ng pag-ulit ay humihinto at ang raster point na ito ay pininturahan ng itim).

3. Stochastic fractals

Ang isa pang kilalang klase ng fractals ay stochastic fractals, na nakukuha kung anuman sa mga parameter nito ay random na binago sa isang umuulit na proseso. Nagreresulta ito sa mga bagay na halos kapareho ng mga natural - mga punong walang simetriko, mga indent na baybayin, atbp. Ginagamit ang two-dimensional stochastic fractals sa pagmomodelo ng terrain at ibabaw ng dagat.
Mayroong iba pang mga klasipikasyon ng fractals, halimbawa, ang paghahati ng mga fractals sa deterministic (algebraic at geometric) at non-deterministic (stochastic).

Tungkol sa paggamit ng fractals

Una sa lahat, ang mga fractals ay isang lugar ng kamangha-manghang sining ng matematika, kapag sa tulong ng pinakasimpleng mga formula at algorithm, ang mga larawan ng hindi pangkaraniwang kagandahan at pagiging kumplikado ay nakuha! Sa mga contour ng mga itinayong imahe, madalas na hinuhulaan ang mga dahon, puno at bulaklak.

Ang isa sa pinakamakapangyarihang aplikasyon ng fractals ay nasa computer graphics. Una, ito ay fractal compression ng mga imahe, at pangalawa, ang pagbuo ng mga landscape, puno, halaman at ang pagbuo ng fractal texture. modernong pisika at ang mga mekaniko ay nagsisimula pa lamang na pag-aralan ang pag-uugali ng mga fractal na bagay. At, siyempre, ang mga fractals ay direktang inilapat sa matematika mismo.
Ang mga bentahe ng fractal image compression algorithm ay ang napakaliit na sukat ng naka-pack na file at ang maikling oras ng pagbawi ng imahe. Maaaring i-scale ang mga fractally packed na larawan nang walang hitsura ng pixelation. Ngunit ang proseso ng compression ay tumatagal ng mahabang panahon at kung minsan ay tumatagal ng ilang oras. Binibigyang-daan ka ng lossy fractal packing algorithm na itakda ang antas ng compression, katulad ng jpeg na format. Ang algorithm ay batay sa paghahanap para sa malalaking piraso ng larawan na katulad ng ilang maliliit na piraso. At kung aling piraso lamang ang katulad ng nakasulat sa output file. Kapag nag-compress, ang isang parisukat na grid ay karaniwang ginagamit (mga piraso ay mga parisukat), na humahantong sa isang bahagyang angularity kapag ibinalik ang larawan, ang isang heksagonal na grid ay libre mula sa gayong kawalan.
Nakabuo ang Iterated ng bagong format ng imahe, "Sting", na pinagsasama ang fractal at "wave" (gaya ng jpeg) lossless compression. Ang bagong format ay nagpapahintulot sa iyo na lumikha ng mga larawan na may posibilidad ng kasunod na mataas na kalidad na pag-scale, at ang volume mga graphic na file ay 15-20% ng dami ng hindi naka-compress na mga larawan.
Ang tendensya ng fractals na magmukhang mga bundok, bulaklak at puno ay pinagsamantalahan ng ilang graphic editor, halimbawa, fractal clouds mula sa 3D studio MAX, fractal mountains sa World Builder. Ang mga Fractal tree, bundok at buong landscape ay ibinibigay mga simpleng formula, ay madaling na-program at hindi masira sa magkahiwalay na mga tatsulok at cube kapag nilapitan.
Hindi mo maaaring balewalain ang paggamit ng mga fractals sa matematika mismo. Sa set theory, pinatutunayan ng Cantor set ang pagkakaroon ng perfect nowhere dense set; sa measure theory, ang self-affine na "Cantor ladder" na function ay isang magandang halimbawa ng isang singular measure distribution function.
Sa mekanika at pisika, ang mga fractal ay ginagamit dahil sa kanilang natatanging katangian upang ulitin ang mga balangkas ng maraming natural na bagay. Binibigyang-daan ka ng mga fractals na tantiyahin ang mga puno, ibabaw ng bundok, at mga bitak na may mas mataas na katumpakan kaysa sa mga pagtatantya na may mga segment ng linya o polygon (na may parehong dami ng nakaimbak na data). Ang mga modelo ng fractal, tulad ng mga natural na bagay, ay may "kagaspangan", at ang ari-arian na ito ay pinapanatili sa isang arbitraryong malaking pagtaas sa modelo. Ang pagkakaroon ng pare-parehong sukat sa fractals ay ginagawang posible na ilapat ang integrasyon, potensyal na teorya, upang gamitin ang mga ito sa halip na mga karaniwang bagay sa mga equation na pinag-aralan na.
Sa pamamagitan ng fractal na diskarte, ang kaguluhan ay tumigil sa pagiging asul na kaguluhan at nakakakuha pinong istraktura. Ang Fractal science ay napakabata pa at may magandang kinabukasan. Ang kagandahan ng mga fractals ay malayo sa pagkaubos at magbibigay pa rin sa atin ng maraming mga obra maestra - yaong nakalulugod sa mata, at yaong nagdudulot ng tunay na kasiyahan sa isipan.

Tungkol sa pagbuo ng mga fractals

Paraan ng sunud-sunod na pagtatantya

Sa pagtingin sa larawang ito, hindi mahirap maunawaan kung paano makabuo ng isang self-similar fractal (sa kasong ito piramide ni Sierpinski). Kailangan nating kumuha ng ordinaryong pyramid (tetrahedron), pagkatapos ay gupitin ang gitna nito (octahedron), bilang isang resulta kung saan nakakakuha tayo ng apat na maliliit na pyramids. Sa bawat isa sa kanila nagsasagawa kami ng parehong operasyon, at iba pa. Ito ay isang medyo walang muwang, ngunit naglalarawang paliwanag.

Isaalang-alang natin ang kakanyahan ng pamamaraan nang mas mahigpit. Hayaang magkaroon ng ilang IFS system, i.e. contraction mapping system S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (halimbawa, para sa ating pyramid, ang mga pagmamapa ay parang S i (x)=1/2*x+o i , kung nasaan ang o i ang vertices ng tetrahedron, i=1,..,4). Pagkatapos ay pumili kami ng ilang mga compact set A 1 sa R ​​n (sa aming kaso pumili kami ng isang tetrahedron). At tinutukoy namin sa pamamagitan ng induction ang pagkakasunud-sunod ng mga set A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Ito ay kilala na ang mga set A k na may pagtaas ng k ay tinatayang ang kinakailangang pang-akit ng system S.

Tandaan na ang bawat isa sa mga pag-ulit na ito ay isang pang-akit paulit-ulit na sistema ng mga umuulit na function (English term DigraphIFS, RIFS at saka IFS na nakadirekta sa graph) at samakatuwid ang mga ito ay madaling buuin sa aming programa.

Konstruksyon sa pamamagitan ng mga puntos o probabilistikong pamamaraan

Ito ang pinakamadaling paraan upang ipatupad sa isang computer. Para sa pagiging simple, isaalang-alang ang kaso ng isang flat self-afine set. Kaya hayaan (S

) ay ilang sistema ng mga contraction ng affine. Mappings S

kinakatawan bilang: S

Nakapirming matrix na may sukat na 2x2 at o

Dalawang-dimensional na column ng vector.

• Kumuha tayo ng isang nakapirming punto ng unang pagmamapa sa S 1 bilang panimulang punto:
  x:=o1;
  Dito ginagamit namin ang katotohanan na ang lahat ng mga fixed contraction point S 1 ,..,S m ay nabibilang sa fractal. Ang isang di-makatwirang punto ay maaaring mapili bilang isang panimulang punto at ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos na nabuo nito ay magiging fractal, ngunit pagkatapos ay ilang dagdag na puntos ang lalabas sa screen.
• Tandaan ang kasalukuyang punto x=(x 1 ,x 2) sa screen:
  putpixel(x 1 ,x 2,15);
• Kami ay random na pumili ng isang numero j mula 1 hanggang m at muling kalkulahin ang mga coordinate ng punto x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Pumunta kami sa hakbang 2, o, kung nakagawa kami ng sapat na malaking bilang ng mga pag-ulit, pagkatapos ay huminto kami.

Tandaan. Kung ang mga coefficients ng compression ng mga mapping S i ay iba, kung gayon ang fractal ay mapupuno ng mga puntos nang hindi pantay. Kung ang mga pagmamapa S i ay pagkakatulad, maiiwasan ito sa pamamagitan ng bahagyang pagpapakumplikado ng algorithm. Upang gawin ito, sa ika-3 hakbang ng algorithm, ang bilang na j mula 1 hanggang m ay dapat piliin na may mga probabilidad p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , kung saan ang r i ay tumutukoy sa mga contraction coefficient ng mga mappings S i , at ang bilang na s (tinatawag na dimensyon ng pagkakatulad) ay matatagpuan mula sa equation r 1 s +...+r m s =1. Ang solusyon ng equation na ito ay matatagpuan, halimbawa, sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton.

Tungkol sa mga fractals at kanilang mga algorithm

Ang Fractal ay nagmula sa Latin na pang-uri na "fractus", at sa pagsasalin ay nangangahulugang binubuo ng mga fragment, at ang katumbas na Latin na pandiwa na "frangere" ay nangangahulugang masira, iyon ay, upang lumikha ng hindi regular na mga fragment. Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng 70s, ay naging matatag sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng 80s. Ang termino ay iminungkahi ni Benoit Mandelbrot noong 1975 upang sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang pagsilang ng fractal geometry ay karaniwang nauugnay sa publikasyon noong 1977 ng aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Ginamit ng kanyang mga gawa ang siyentipikong resulta ng iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho sa panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Mga pagsasaayos

Hayaan akong gumawa ng ilang pagsasaayos sa mga algorithm na iminungkahi sa aklat ni H.-O. Paytgen at P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, para lang matanggal ang mga typo at gawing mas madaling maunawaan ang mga proseso, dahil pagkatapos pag-aralan ang mga ito, marami ang nanatiling misteryo sa akin. Sa kasamaang palad, ang mga "maiintindihan" at "simpleng" algorithm na ito ay humantong sa isang tumba-tumba na pamumuhay.

Ang pagtatayo ng mga fractals ay batay sa isang tiyak na nonlinear function ng isang kumplikadong proseso na may feedback z \u003d z 2 + c dahil ang z at c ay mga kumplikadong numero, pagkatapos ay z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, ito ay kinakailangan upang mabulok ito sa x at y upang pumunta sa mas real para sa karaniwang tao na eroplano:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ang eroplanong binubuo ng lahat ng mga pares (x, y) ay maaaring ituring na may mga nakapirming halaga p at q, pati na rin para sa mga dynamic. Sa unang kaso, pag-uuri-uriin ang lahat ng mga punto (x, y) ng eroplano ayon sa batas at pangkulay ang mga ito depende sa bilang ng mga pag-uulit ng function na kinakailangan upang lumabas sa umuulit na proseso o hindi pangkulay (itim) kapag ang pinapayagang maximum ng mga pag-uulit ay nadagdagan, nakukuha namin ang pagmamapa ng set ng Julia. Kung, sa kabaligtaran, tinutukoy namin ang paunang pares ng mga halaga (x, y) at sinusubaybayan ang coloristic na kapalaran nito na may pabago-bagong pagbabago ng mga halaga ng mga parameter p at q, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga imahe na tinatawag na Mandelbrot set.

Sa tanong ng mga algorithm ng pangkulay ng fractal.

Karaniwan ang katawan ng set ay kinakatawan bilang isang itim na patlang, kahit na malinaw na ang itim na kulay ay maaaring mapalitan ng anumang iba pa, ngunit ito rin ay isang hindi kawili-wiling resulta. Upang makakuha ng isang imahe ng isang set na pininturahan sa lahat ng mga kulay ay isang gawain na hindi malulutas gamit ang mga paikot na operasyon, dahil ang bilang ng mga pag-ulit na bumubuo sa katawan ng set ay katumbas ng pinakamataas na posible at palaging pareho. Kulayan ang set iba't ibang Kulay marahil sa pamamagitan ng paggamit ng resulta ng pagsuri sa kondisyon ng paglabas mula sa loop (z_magnitude) bilang numero ng kulay, o katulad nito, ngunit sa iba pang mga pagpapatakbo ng matematika.

Paglalapat ng "fractal microscope"

upang ipakita ang hangganan ng mga phenomena.

Ang mga atraksyon ang mga sentrong nangunguna sa pakikibaka para sa pangingibabaw sa eroplano. Sa pagitan ng mga pang-akit ay may hangganan na kumakatawan sa isang pattern na umiikot. Sa pamamagitan ng pagtaas ng sukat ng pagsasaalang-alang sa loob ng mga hangganan ng set, ang isa ay makakakuha ng mga di-maliit na pattern na sumasalamin sa estado ng deterministikong kaguluhan - isang pangkaraniwang kababalaghan sa natural na mundo.

Ang mga bagay na pinag-aralan ng mga heograpo ay bumubuo ng isang sistema na may napakakomplikadong organisadong mga hangganan, na may kaugnayan kung saan ang kanilang pagpapatupad ay nagiging isang mahirap na praktikal na gawain. Ang mga natural complex ay may mga core ng tipikal na kumikilos bilang mga pang-akit na nawawala ang kanilang kapangyarihan ng impluwensya sa teritoryo habang lumalayo ito.

Gamit ang isang fractal microscope para sa Mandelbrot at Julia set, ang isang tao ay maaaring bumuo ng isang ideya ng mga proseso ng hangganan at phenomena na pantay na kumplikado anuman ang sukat ng pagsasaalang-alang at sa gayon ay inihanda ang pang-unawa ng isang espesyalista para sa isang pulong na may pabago-bago at tila magulo. sa espasyo at oras natural na bagay, para sa pag-unawa sa fractal geometry na kalikasan. Tiyak na aalis ang maraming kulay at fractal na musika malalim na bakas sa isipan ng mga estudyante.

Libu-libong mga publikasyon at malalaking mapagkukunan ng Internet ang nakatuon sa mga fractals, gayunpaman, para sa maraming mga espesyalista na malayo sa computer science, ang terminong ito ay tila ganap na bago. Ang mga fractals, bilang mga bagay na kinaiinteresan ng mga espesyalista sa iba't ibang larangan ng kaalaman, ay dapat makatanggap ng kanilang tamang lugar sa kurso ng computer science.

Mga halimbawa

SIERPINSKI GRID

Ito ay isa sa mga fractal na pinag-eksperimentohan ni Mandelbrot sa pagbuo ng mga konsepto ng mga dimensyon at pag-ulit ng fractal. Ang mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng pagsali sa mga midpoint ng mas malaking tatsulok ay pinuputol mula sa pangunahing tatsulok upang bumuo ng isang tatsulok, na may mas maraming butas. Sa kasong ito, ang initiator ay isang malaking tatsulok at ang template ay isang operasyon upang i-cut ang mga tatsulok na katulad ng mas malaki. Maaari ka ring makakuha ng 3D na bersyon ng isang tatsulok sa pamamagitan ng paggamit ng isang ordinaryong tetrahedron at pagputol ng mas maliit na tetrahedra. Ang dimensyon ng naturang fractal ay ln3/ln2 = 1.584962501. Para makuha Sierpinski carpet, kumuha ng isang parisukat, hatiin ito sa siyam na parisukat, at gupitin ang gitna. Gayon din ang gagawin namin sa natitira, mas maliliit na parisukat. Sa huli, nabuo ang isang flat fractal grid, na walang lugar, ngunit may walang katapusang mga koneksyon. Sa spatial form nito, ang Sierpinski sponge ay binago sa isang sistema ng through forms, kung saan ang bawat through element ay patuloy na pinapalitan ng sarili nitong uri. Ang istraktura na ito ay halos kapareho sa isang seksyon ng tissue ng buto. Balang araw, ang mga paulit-ulit na istruktura ay magiging elemento ng mga istruktura ng gusali. Ang kanilang mga estadistika at dinamika, naniniwala si Mandelbrot, ay nararapat na masusing pag-aaral.

KOCH CURVE

Ang Koch curve ay isa sa mga pinaka tipikal na deterministic fractals. Ito ay naimbento noong ikalabinsiyam na siglo ng isang Aleman na matematiko na nagngangalang Helge von Koch, na, habang pinag-aaralan ang gawain nina Georg Kontor at Karl Weierstraße, ay nakatagpo ng mga paglalarawan ng ilang kakaibang mga kurba na may hindi pangkaraniwang pag-uugali. Initiator - direktang linya. Ang generator ay isang equilateral triangle, ang mga gilid nito ay katumbas ng isang third ng haba ng mas malaking segment. Ang mga tatsulok na ito ay idinaragdag sa gitna ng bawat segment nang paulit-ulit. Sa kanyang pagsasaliksik, maraming nag-eksperimento si Mandelbrot sa mga Koch curve, at nakakuha ng mga figure tulad ng Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes, at kahit na tatlong-dimensional na representasyon ng Koch curve sa pamamagitan ng paggamit ng tetrahedron at pagdaragdag ng mas maliit na tetrahedra sa bawat mukha nito. Ang Koch curve ay may sukat na ln4/ln3 = 1.261859507.

Fractal Mandelbrot

HINDI ito ang set ng Mandelbrot na madalas mong nakikita. Ang hanay ng Mandelbrot ay batay sa mga non-linear na equation at isang kumplikadong fractal. Ito rin ay isang variant ng Koch curve, sa kabila ng katotohanan na ang bagay na ito ay hindi katulad nito. Ang initiator at generator ay iba rin sa mga ginamit upang lumikha ng mga fractals batay sa prinsipyo ng Koch curve, ngunit ang ideya ay nananatiling pareho. Sa halip na ikabit ang mga equilateral triangle sa isang curve segment, ang mga parisukat ay ikinakabit sa isang parisukat. Dahil sa ang katunayan na ang fractal na ito ay sumasakop sa eksaktong kalahati ng inilaan na espasyo sa bawat pag-ulit, mayroon itong simpleng fractal na dimensyon na 3/2 = 1.5.

PENTAGON NI DARER

Ang isang fractal ay mukhang isang grupo ng mga pentagon na pinagsama-sama. Sa katunayan, ito ay nabuo sa pamamagitan ng paggamit ng isang pentagon bilang initiator at isosceles triangles, ang ratio ng pinakamalaking gilid sa pinakamaliit na kung saan ay eksaktong katumbas ng tinatawag na golden ratio (1.618033989 o 1/(2cos72)) bilang generator . Ang mga tatsulok na ito ay pinutol mula sa gitna ng bawat pentagon, na nagreresulta sa isang hugis na parang 5 maliit na pentagon na nakadikit sa isang malaking. Ang isang variant ng fractal na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng hexagon bilang ang initiator. Ang fractal na ito ay tinatawag na Star of David at medyo katulad ng hexagonal na bersyon ng Koch's Snowflake. Ang fractal na dimensyon ng Darer pentagon ay ln6/ln(1+g), kung saan ang g ay ang ratio ng haba ng mas malaking bahagi ng tatsulok sa haba ng mas maliit na gilid. Sa kasong ito, ang g ay ang Golden Ratio, kaya ang fractal na dimensyon ay humigit-kumulang 1.86171596. Ang fractal na dimensyon ng Star of David ay ln6/ln3 o 1.630929754.

Mga kumplikadong fractal

Sa katunayan, kung mag-zoom ka sa isang maliit na lugar ng anumang kumplikadong fractal at pagkatapos ay gagawin ang parehong sa isang maliit na lugar ng lugar na iyon, ang dalawang magnification ay magiging makabuluhang naiiba sa bawat isa. Ang dalawang larawan ay magiging magkapareho sa detalye, ngunit hindi sila magiging ganap na magkapareho.

Fig 1. Approximation ng Mandelbrot set

Ihambing, halimbawa, ang mga larawan ng set ng Mandelbrot na ipinakita dito, ang isa ay nakuha sa pamamagitan ng pagtaas ng ilang lugar ng isa pa. Tulad ng nakikita mo, sila ay ganap na hindi magkapareho, bagaman sa parehong nakikita natin ang isang itim na bilog, kung saan ang mga nagniningas na galamay ay pumunta sa iba't ibang direksyon. Ang mga elementong ito ay umuulit nang walang katiyakan sa set ng Mandelbrot sa pagbaba ng proporsyon.

Ang mga deterministikong fractals ay linear, habang ang mga kumplikadong fractals ay hindi. Ang pagiging non-linear, ang mga fractals na ito ay nabuo ng tinatawag ni Mandelbrot na non-linear algebraic equation. Ang isang magandang halimbawa ay ang proseso Zn+1=ZnІ + C, na kung saan ay ang equation na ginamit upang bumuo ng Mandelbrot at Julia set ng pangalawang degree. Solusyon sa mga ito mathematical equation nagsasangkot ng kumplikado at haka-haka na mga numero. Kapag ang equation ay binibigyang kahulugan nang grapiko sa kumplikadong eroplano, ang resulta ay isang kakaibang pigura kung saan ang mga tuwid na linya ay nagiging mga kurba, ang mga epekto ng pagkakatulad sa sarili ay lumilitaw sa iba't ibang antas ng sukat, bagaman hindi walang mga deformasyon. Kasabay nito, ang buong larawan sa kabuuan ay hindi mahuhulaan at napakagulo.

Tulad ng makikita mo sa pamamagitan ng pagtingin sa mga larawan, ang mga kumplikadong fractals ay talagang napakakomplikado at imposibleng malikha nang walang tulong ng isang computer. Upang makakuha ng mga makukulay na resulta, ang computer na ito ay dapat na may isang malakas na math coprocessor at isang monitor na may mataas na resolution. Hindi tulad ng mga deterministikong fractals, ang mga kumplikadong fractals ay hindi kinakalkula sa 5-10 na pag-ulit. Halos bawat tuldok sa screen ng computer ay parang hiwalay na fractal. Sa panahon ng pagproseso ng matematika, ang bawat punto ay itinuturing bilang isang hiwalay na pigura. Ang bawat punto ay tumutugma sa isang tiyak na halaga. Ang equation ay binuo para sa bawat punto at ginagawa, halimbawa, 1000 mga pag-ulit. Upang makakuha ng medyo hindi nababagong imahe sa isang tagal ng panahon na katanggap-tanggap para sa mga computer sa bahay, posibleng magsagawa ng 250 pag-ulit para sa isang punto.

Karamihan sa mga fractal na nakikita natin ngayon ay maganda ang kulay. Marahil ang mga fractal na imahe ay nakakuha ng napakagandang aesthetic na halaga dahil mismo sa kanilang mga scheme ng kulay. Matapos makalkula ang equation, sinusuri ng computer ang mga resulta. Kung ang mga resulta ay nananatiling stable, o nagbabago-bago tiyak na halaga, ang punto ay karaniwang itim. Kung ang halaga sa isang hakbang o iba ay may posibilidad na infinity, ang punto ay pininturahan sa ibang kulay, maaaring asul o pula. Sa prosesong ito, ang computer ay nagtatalaga ng mga kulay sa lahat ng bilis ng paggalaw.

Karaniwan, ang mga mabilis na gumagalaw na tuldok ay pininturahan ng pula, habang ang mas mabagal ay dilaw, at iba pa. Ang mga madilim na tuldok ay marahil ang pinaka-matatag.

Ang mga kumplikadong fractals ay naiiba sa mga deterministikong fractals sa kahulugan na ang mga ito ay walang hanggan kumplikado, ngunit sa parehong oras, maaari silang mabuo ng isang napakasimpleng formula. Ang mga deterministikong fractals ay hindi nangangailangan ng mga formula o equation. Kumuha lamang ng ilang drawing paper at maaari kang bumuo ng isang Sierpinski sieve hanggang 3 o 4 na pag-ulit nang walang anumang kahirapan. Subukang gawin ito kasama ang maraming Julia! Mas madaling sukatin ang haba ng baybayin ng England!

MANDERBROT SET

Fig 2. Mandelbrot set

Ang Mandelbrot at Julia set ay marahil ang dalawang pinakakaraniwan sa mga kumplikadong fractals. Sila ay matatagpuan sa marami mga siyentipikong journal, mga pabalat ng aklat, mga postkard, at mga screen saver ng computer. Ang set ng Mandelbrot, na itinayo ni Benoit Mandelbrot, ay marahil ang unang asosasyon na mayroon ang mga tao kapag narinig nila ang salitang fractal. Ang fractal na ito, na kahawig ng isang card na may kumikinang na puno at mga bilog na lugar na nakakabit dito, ay nabuo ng simpleng formula na Zn+1=Zna+C, kung saan ang Z at C ay mga kumplikadong numero at ang a ay isang positibong numero.

Ang pinakakaraniwang nakikitang set ng Mandelbrot ay ang set ng 2nd degree na Mandelbrot, ibig sabihin, a=2. Ang katotohanan na ang set ng Mandelbrot ay hindi lamang Zn+1=ZnІ+C, ngunit isang fractal na ang exponent sa formula ay maaaring anuman. positibong numero naligaw ng marami. Sa pahinang ito makikita mo ang isang halimbawa ng set ng Mandelbrot para sa iba't ibang halaga ng exponent a.
Figure 3. Ang hitsura ng mga bula sa a=3.5

Ang prosesong Z=Z*tg(Z+C) ay sikat din. Salamat sa pagsasama ng tangent function, ang Mandelbrot set ay nakuha, na napapalibutan ng isang lugar na kahawig ng isang mansanas. Kapag ginagamit ang function ng cosine, nakukuha ang mga epekto ng air bubble. Sa madaling salita, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga paraan upang i-tweak ang set ng Mandelbrot upang makagawa ng iba't ibang magagandang larawan.

MARAMING JULIA

Nakakagulat, ang Julia set ay nabuo ayon sa parehong formula bilang ang Mandelbrot set. Ang Julia set ay naimbento ng French mathematician na si Gaston Julia, kung saan pinangalanan ang set. Ang unang tanong na lumitaw pagkatapos ng isang visual na kakilala sa Mandelbrot at Julia set ay "kung ang parehong mga fractals ay nabuo ng parehong formula, bakit sila magkaiba?" Tingnan muna ang mga larawan ng set ni Julia. Kakaiba, ngunit mayroon iba't ibang uri Nag-set si Julia. Kapag gumuhit ng fractal gamit ang iba't ibang mga panimulang punto (upang simulan ang proseso ng pag-ulit), iba't ibang mga imahe ang nabuo. Nalalapat lang ito sa set ni Julia.

Fig 4. Itinakda ni Julia

Bagama't hindi ito makikita sa larawan, ang isang Mandelbrot fractal ay talagang isang grupo ng Julia fractal na magkakaugnay. Ang bawat punto (o coordinate) ng set ng Mandelbrot ay tumutugma sa isang Julia fractal. Ang mga set ng Julia ay maaaring mabuo gamit ang mga puntong ito bilang mga paunang halaga sa equation na Z=ZI+C. Ngunit hindi ito nangangahulugan na kung pipili ka ng isang punto sa Mandelbrot fractal at dagdagan ito, maaari kang makakuha ng Julia fractal. Ang dalawang puntong ito ay magkapareho, ngunit sa isang mathematical na kahulugan. Kung kukunin natin ang puntong ito at kalkulahin ito ayon sa formula na ito, makukuha natin ang Julia fractal na tumutugma sa isang tiyak na punto ng Mandelbrot fractal.

Ang mga katangian ng fractal ay hindi isang kapritso at hindi isang bunga ng idle fantasy ng mga mathematician. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa kanila, natututo tayong makilala at mahulaan mahahalagang katangian mga bagay at phenomena na nakapalibot sa atin, na dati, kung hindi man lubusang binabalewala, ay tinatantya lamang ng humigit-kumulang, nang may husay, sa pamamagitan ng mata. Halimbawa, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga fractal na dimensyon ng mga kumplikadong signal, encephalograms, o heart murmurs, maaaring masuri ng mga doktor ang ilang malalang sakit sa maagang yugto, kung kailan matutulungan pa ang pasyente. Gayundin, ang analyst, na naghahambing sa nakaraang pag-uugali ng mga presyo, sa simula ng pagbuo ng modelo, ay maaaring mahulaan ang karagdagang pag-unlad nito, sa gayon ay maiiwasan ang mga malalaking pagkakamali sa pagtataya.

Iregularidad ng fractals

Ang unang pag-aari ng fractals ay ang kanilang iregularidad. Kung ang isang fractal ay inilalarawan ng isang function, kung gayon ang pag-aari ng iregularidad sa mga termino sa matematika ay nangangahulugan na ang naturang function ay hindi naiba-iba, iyon ay, hindi makinis sa anumang punto. Sa totoo lang, ito ang may pinakadirektang kaugnayan sa merkado. Ang pagbabagu-bago ng presyo ay kung minsan ay pabagu-bago at pabagu-bago na nalilito sa maraming mangangalakal. Ang aming gawain ay ayusin ang lahat ng kaguluhang ito at dalhin ito sa kaayusan.

Alam mo ba na: tulad ng isang malawak na uri pagkakataon sa pamumuhunan, na ibinibigay ng Alpari, walang ibang Forex broker ang maaaring ipagmalaki.

Pagkakatulad sa sarili ng mga fractals

Ang pangalawang pag-aari ay nagsasabi na ang isang fractal ay isang bagay na may ari-arian ng pagkakatulad sa sarili. Ito ay isang recursive na modelo, ang bawat bahagi nito ay inuulit sa pagbuo nito ang pagbuo ng buong modelo sa kabuuan at muling ginawa sa iba't ibang mga antas nang walang nakikitang mga pagbabago. Gayunpaman, nangyayari pa rin ang mga pagbabago, na maaaring makaapekto nang malaki sa ating pang-unawa sa bagay.

Ang pagkakatulad sa sarili ay nangangahulugan na ang bagay ay walang katangiang sukat: kung mayroon itong sukat, agad mong makikilala ang pinalaki na kopya ng fragment mula sa orihinal na larawan. Ang mga bagay na katulad sa sarili ay may walang katapusang bilang ng mga kaliskis para sa lahat ng panlasa. Ang kakanyahan ng pagkakatulad sa sarili ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng sumusunod na halimbawa. Isipin na mayroon kang larawan ng isang "totoong" geometric na linya, "haba na walang lapad", tulad ng tinukoy ni Euclid sa linya, at nakikipaglaro ka sa isang kaibigan, sinusubukang hulaan kung ipinapakita niya sa iyo ang orihinal na larawan (orihinal) o isang larawan ng anumang fragment ng isang tuwid na linya. Gaano man kahirap subukan, hindi mo magagawang makilala ang orihinal mula sa pinalaki na kopya ng fragment, ang tuwid na linya ay nakaayos sa parehong paraan sa lahat ng mga bahagi nito, ito ay katulad sa kanyang sarili, ngunit ang kahanga-hangang pag-aari nito ay medyo nakatago sa pamamagitan ng hindi kumplikadong istraktura ng mismong tuwid na linya, ang "straightness" nito (Larawan 7).

Kung hindi mo rin makilala ang isang snapshot ng ilang bagay mula sa isang maayos na pinalaki na snapshot ng alinman sa mga fragment nito, kung gayon mayroon kang isang bagay na kapareho sa sarili. Ang lahat ng mga fractal na may hindi bababa sa ilang symmetry ay magkatulad sa sarili. At nangangahulugan ito na ang ilang mga fragment ng kanilang istraktura ay mahigpit na paulit-ulit sa ilang mga spatial na pagitan. Malinaw, ang mga bagay na ito ay maaaring maging anumang kalikasan, at ang kanilang hitsura at hugis ay nananatiling hindi nagbabago anuman ang sukat. Isang halimbawa ng isang self-similar fractal:

Sa pananalapi, ang konseptong ito ay hindi isang walang basehang abstraction, ngunit isang teoretikal na pagsasalaysay ng isang praktikal na merkado na nagsasabi—ibig sabihin, na ang mga paggalaw ng isang stock o isang pera ay mababaw na magkatulad, anuman ang takdang panahon at presyo. Hindi masabi ng nagmamasid hitsura graph, kung ang data ay tumutukoy sa lingguhan, araw-araw o oras-oras na mga pagbabago.

Siyempre, hindi lahat ng fractal ay may ganoong regular, walang katapusang paulit-ulit na istraktura tulad ng mga magagandang exhibit ng hinaharap na museo ng fractal art, na ipinanganak mula sa imahinasyon ng mga mathematician at artist. Maraming fractals na matatagpuan sa kalikasan (fault surface ng mga bato at metal, clouds, currency quotes, turbulent flows, foam, gels, soot particle contours, etc.) ay walang geometric na pagkakatulad, ngunit matigas ang ulo na nagpaparami sa bawat fragment ng statistical properties ng kabuuan. Ang mga fractals na may non-linear na anyo ng pag-unlad ay pinangalanan ni Mandelbrot bilang multifractals. Ang multifractal ay isang quasi-fractal na bagay na may variable na dimensyon ng fractal. Naturally, ang mga tunay na bagay at proseso ay mas mahusay na inilarawan ng multifractals.

Ang ganitong istatistikal na pagkakatulad sa sarili, o pagkakatulad sa sarili sa karaniwan, ay nagpapakilala sa mga fractals sa hanay. mga likas na bagay.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkakatulad sa sarili sa merkado ng foreign exchange:

Sa mga figure na ito, nakikita natin na magkapareho sila, habang may ibang sukat ng oras, sa Fig. at ang 15 minutong sukat, sa Fig. b lingguhang sukat ng presyo. Tulad ng nakikita mo, ang mga quote na ito ay walang kakayahang ganap na ulitin ang bawat isa, gayunpaman, maaari naming isaalang-alang ang mga ito na magkatulad.

Kahit na ang pinakasimpleng fractals - geometrically self-similar fractals - ay may mga hindi pangkaraniwang katangian. Halimbawa, ang von Koch snowflake ay may perimeter na walang katapusang haba, bagaman nililimitahan nito ang isang may hangganang lugar (Larawan 9). Bilang karagdagan, ito ay napakasakit na imposibleng gumuhit ng isang tangent dito sa anumang punto ng tabas (sasabihin ng isang matematiko na ang isang von Koch snowflake ay wala saanman naiba, iyon ay, hindi makinis sa anumang punto).

Nalaman ni Mandelbrot na ang mga resulta ng fractional na pagsukat ay nananatiling pare-pareho para sa iba't ibang antas ng pagpapahusay ng iregularidad ng bagay. Sa madaling salita, mayroong regularidad (katumpakan, kaayusan) para sa anumang iregularidad. Kapag tinatrato natin ang isang bagay bilang random, ipinahihiwatig nito na hindi natin nauunawaan ang kalikasan ng pagiging random na ito. Sa mga termino ng merkado, nangangahulugan ito na ang pagbuo ng parehong mga tipikal na pormasyon ay dapat mangyari sa iba't ibang time frame. Ang isang minutong chart ay maglalarawan ng fractal formation sa parehong paraan gaya ng buwanan. Ang "self-similarity" na ito na makikita sa mga chart ng commodity at financial market ay nagpapakita ng lahat ng mga palatandaan na ang mga aksyon ng merkado ay mas malapit sa asal paradigm ng "kalikasan" kaysa sa pag-uugali ng pang-ekonomiya, pangunahing pagsusuri.

Sa mga figure na ito, mahahanap mo ang kumpirmasyon ng nasa itaas. Sa kaliwa ay isang graph na may isang minutong sukat, sa kanan ay isang lingguhan. Ang mga pares ng pera ng USD/Yen (Larawan 9 (a)) at Euro/Dollar (Larawan 9 (b)) ay ipinapakita dito na may iba't ibang sukat ng presyo. Kahit na ang pares ng JPY/USD na currency ay may ibang pagkasumpungin kaugnay ng EUR/USD, maaari nating obserbahan ang parehong istraktura ng paggalaw ng presyo.

dimensyon ng fractal

Ang ikatlong pag-aari ng fractals ay ang mga fractal na bagay ay may dimensyon maliban sa Euclidean (sa madaling salita, isang topological na dimensyon). Ang dimensyon ng fractal ay isang sukatan ng pagiging kumplikado ng curve. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa paghahalili ng mga seksyon na may iba't ibang dimensyon ng fractal at kung paano naaapektuhan ang system ng panlabas at panloob na mga salik, matututong mahulaan ang pag-uugali ng system. At ang pinakamahalaga, upang masuri at mahulaan ang hindi matatag na mga kondisyon.

Sa arsenal ng modernong matematika, natagpuan ni Mandelbrot ang isang maginhawang sukatan ng dami ng di-kasakdalan ng mga bagay - ang sinuosity ng contour, ang pagkunot ng ibabaw, ang fracturing at porosity ng volume. Ito ay iminungkahi ng dalawang mathematician - Felix Hausdorff (1868-1942) at Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Ngayon siya ay nararapat na magsuot maluwalhating mga pangalan ng kanilang mga tagalikha (ang Hausdorff-Besikovich na dimensyon) – ang Hausdorff-Besikovich na dimensyon. Ano ang dimensyon at bakit kailangan natin ito kaugnay sa pagsusuri ng mga pamilihang pinansyal? Bago iyon, alam lang namin ang isang uri ng dimensyon - topological (Larawan 11). Ang salitang dimensyon mismo ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga sukat ang isang bagay. Para sa isang segment, isang tuwid na linya, ito ay katumbas ng 1, i.e. mayroon lang tayong isang dimensyon, ang haba ng isang segment o isang tuwid na linya. Para sa isang eroplano, ang dimensyon ay magiging 2, dahil mayroon kaming dalawang-dimensional na dimensyon, haba at lapad. Para sa espasyo o solidong mga bagay, ang dimensyon ay 3: haba, lapad, at taas.

Kunin natin ang halimbawa ng mga laro sa kompyuter. Kung ang laro ay ginawa sa 3D graphics, kung gayon ito ay spatial at voluminous, kung sa 2D graphics, ang mga graphics ay ipinapakita sa isang eroplano (Fig. 10).

Ang pinaka-hindi pangkaraniwan (mas tamang sabihin - hindi karaniwan) sa dimensyon ng Hausdorff-Besikovich ay maaaring tumagal hindi lamang ng mga integer, bilang isang topological na dimensyon, kundi pati na rin ang mga fractional na halaga. Katumbas ng isa para sa isang tuwid na linya (infinite, semi-infinite, o para sa isang finite segment), ang Hausdorff-Besicovitch na dimensyon ay tumataas habang tumataas ang tortuosity, habang ang topological na dimensyon ay matigas ang ulo na binabalewala ang lahat ng pagbabagong nagaganap sa linya.

Tinutukoy ng dimensyon ang komplikasyon ng isang set (halimbawa, isang tuwid na linya). Kung ito ay isang curve na may topological na dimensyon na katumbas ng 1 (isang tuwid na linya), kung gayon ang curve ay maaaring kumplikado sa pamamagitan ng isang walang katapusang bilang ng mga bends at mga sanga sa isang lawak na ang fractal na dimensyon nito ay lumalapit sa dalawa, i.e. pupunuin ang halos buong eroplano (Fig. 12)

Sa pamamagitan ng pagtaas ng halaga nito, ang dimensyon ng Hausdorff-Besikovich ay hindi nagbabago nang biglaan, dahil ang topological na dimensyon ay gagawin "sa lugar nito", ang paglipat mula 1 kaagad hanggang 2. Ang dimensyon ng Hausdorff-Besikovich - at ito sa unang tingin ay maaaring mukhang hindi pangkaraniwan at nakakagulat, kumukuha ng mga fractional na halaga : katumbas ng isa para sa isang tuwid na linya, ito ay nagiging 1.15 para sa isang bahagyang paliko na linya, 1.2 para sa isang mas paliko-liko na linya, 1.5 para sa isang napakaliit na linya, at iba pa.

Ito ay upang bigyang-diin ang kakayahan ng dimensyon ng Hausdorff-Besikovich na kumuha ng mga fractional, non-integer na mga halaga na si Mandelbrot ay nakabuo ng kanyang sariling neologism, na tinawag itong fractal na dimensyon. Kaya, ang isang fractal na dimensyon (hindi lamang Hausdorff-Besikovich, ngunit anumang iba pa) ay isang dimensyon na maaaring tumagal ng hindi kinakailangang mga halaga ng integer, kundi pati na rin ang mga fractional.

Para sa linear geometric fractals, ang dimensyon ay nagpapakilala sa kanilang pagkakatulad sa sarili. Isaalang-alang ang Fig. 17(A), ang linya ay binubuo ng N=4 na mga segment, na ang bawat isa ay may haba na r = 1/3. Bilang resulta, nakukuha namin ang ratio:

D = logN/log(1/r)

Ang sitwasyon ay medyo naiiba kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa multifractals (non-linear). Dito nawawalan ng kahulugan ang dimensyon bilang isang kahulugan ng pagkakapareho ng isang bagay at tinukoy sa pamamagitan ng iba't ibang generalizations, higit na hindi natural kaysa sa natatanging dimensyon ng mga bagay na magkatulad sa sarili.

Sa foreign exchange market, ang dimensyon ay maaaring makilala ang pagkasumpungin ng mga panipi ng presyo. Ang bawat pares ng pera ay may sariling pag-uugali sa mga tuntunin ng mga presyo. Para sa pares ng Pound/Dollar (Fig. 13(a)) ito ay mas kalmado kaysa sa Euro/Dollar (Fig. 13(b)). Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay ang mga currency na ito ay gumagalaw na may parehong istraktura sa mga antas ng presyo, gayunpaman, mayroon silang iba't ibang mga dimensyon, na maaaring makaapekto sa intraday trading at mga pagbabago sa mga modelo na lumalampas sa walang karanasan na hitsura.

Sa fig. Ipinapakita ng Figure 14 ang dimensyon na may kaugnayan sa modelo ng matematika, upang mas malalim mong maarok ang kahulugan ng terminong ito. Tandaan na ang lahat ng tatlong figure ay nagpapakita ng parehong cycle. Sa fig. at ang dimensyon ay 1.2, sa Fig. b, ang sukat ay 1.5, at sa Fig. sa 1.9. Ito ay makikita na sa isang pagtaas sa dimensyon, ang pang-unawa ng bagay ay nagiging mas kumplikado, ang amplitude ng mga oscillations ay tumataas.

Sa mga pamilihan sa pananalapi, ang sukat ay makikita hindi lamang bilang pagkasumpungin ng presyo, kundi pati na rin bilang isang detalye ng mga pag-ikot (mga alon). Dahil dito, matutukoy natin kung ang isang alon ay kabilang sa isang tiyak na sukat ng oras. Sa fig. Ipinapakita ng 15 ang pares ng Euro/Dollar sa pang-araw-araw na sukat ng presyo. Magbayad ng pansin, maaari mong malinaw na makita ang nabuo na cycle at ang simula ng isang bago, mas malaking cycle. Ang paglipat sa oras-oras na sukat at pag-zoom in sa isa sa mga cycle, makikita natin ang mas maliliit na cycle, at bahagi ng isang malaki na matatagpuan sa D1 (Fig. 16). Pagdedetalye ng loop, i.e. ang kanilang dimensyon ay nagpapahintulot sa amin na matukoy mula sa mga paunang kondisyon kung paano maaaring umunlad ang sitwasyon sa hinaharap. Masasabi natin na: ang fractal na dimensyon ay sumasalamin sa scale invariance property ng set na isinasaalang-alang.

Ang konsepto ng invariance ay ipinakilala ni Mandelbrot mula sa salitang "sealant" - scalable, i.e. kapag ang isang bagay ay may pag-aari ng invariance, mayroon itong iba't ibang mga sukat ng pagpapakita.

Sa fig. 16 bilog A ay nagha-highlight ng isang mini-cycle (detalyadong wave), bilog B - isang wave ng isang mas malaking cycle. Ito ay tiyak na dahil sa dimensyon na hindi natin palaging matukoy ang LAHAT ng mga cycle sa parehong sukat ng presyo.

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga problema ng pagtukoy at pagbuo ng mga katangian ng mga di-pana-panahong mga siklo sa seksyong "Mga siklo sa merkado ng dayuhang palitan", ngayon ang pangunahing bagay para sa amin ay maunawaan kung paano at saan ang dimensyon ay nagpapakita ng sarili sa mga pamilihan sa pananalapi.

Kaya, maaari nating sabihin na ang mga fractals bilang mga modelo ay ginagamit kapag ang tunay na bagay ay hindi maaaring katawanin sa anyo ng mga klasikal na modelo. At nangangahulugan ito na nakikipag-ugnayan tayo sa mga non-linear na relasyon at ang hindi tiyak (random) na katangian ng data. Ang nonlinearity sa ideological na kahulugan ay nangangahulugan ng multivariance ng mga landas ng pag-unlad, ang pagkakaroon ng isang pagpipilian mula sa mga alternatibong landas at isang tiyak na bilis ng ebolusyon, pati na rin ang hindi maibabalik. mga proseso ng ebolusyon. Non-linearity sa matematikal na kahulugan ay nangangahulugan tiyak na uri mathematical equation (nonlinear differential equation) na naglalaman ng mga nais na halaga sa mga kapangyarihan na higit sa isa o mga coefficient depende sa mga katangian ng daluyan. Isang simpleng halimbawa ng isang non-linear dynamical system:

Si Johnny ay lumalaki ng 2 pulgada sa isang taon. Ipinapaliwanag ng system na ito kung paano nagbabago ang taas ni Johnny sa paglipas ng panahon. Hayaan ang x(n) ang taas ni Johnny ngayong taon. Hayaang isulat ang kanyang paglaki sa susunod na taon bilang x (n + 1). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang dynamical system sa anyo ng isang equation:

x(n+1) = x(n) + 2.

Kita mo? Hindi ba ito simpleng matematika? Kung ilalagay natin ang kasalukuyang taas ni Johnny x (n) = 38 pulgada, pagkatapos ay may kanang bahagi Sa equation makuha natin ang taas ni Johnny sa susunod na taon, x (n+1) = 40 pulgada:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Ang paglipat mula kanan pakaliwa sa isang equation ay tinatawag na pag-ulit (repetition). Maaari nating ulitin muli ang equation sa pamamagitan ng pagpasok ng bagong taas ni Johnny na 40 pulgada sa tamang bahagi ng equation (i.e. x(n) = 40) at makuha natin ang x(n+1) = 42. Kung inuulit natin (ulitin) ang equation 3 beses, nakuha namin ang taas ni Johnny sa 3 taon, ibig sabihin ay 44 pulgada, simula sa taas na 38 pulgada.

Ito ay isang deterministikong dynamic na sistema. Kung gusto nating gawin itong non-deterministic (stochastic), maaari tayong gumawa ng modelong tulad nito: Si Johnny ay lumalaki ng 2 pulgada sa isang taon, higit pa o mas kaunti, at isulat ang equation bilang:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

kung saan ang e ay isang maliit na error (maliit na may kaugnayan sa 2), ay kumakatawan sa ilang probability distribution.

Bumalik tayo sa orihinal na deterministic equation. Ang orihinal na equation, x(n+1) = x(n) + 2, ay linear. Ang ibig sabihin ng linear ay nagdaragdag ka ng mga variable o constants, o nagpaparami ng mga variable sa pamamagitan ng constants. Halimbawa, ang equation

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

ay linear. Ngunit kung i-multiply mo ang mga variable, o itataas ang mga ito sa isang kapangyarihan na higit sa isa, ang equation (system) ay magiging non-linear. Halimbawa, ang equation

x(n+1) = x(n) 2

ay hindi linear dahil ang x(n) ay parisukat. Ang equation

ay non-linear dahil ang dalawang variable, x at y, ay pinarami.

Kapag nag-apply kami ng mga klasikal na modelo (halimbawa, trend, regression, atbp.), sinasabi namin na ang hinaharap ng isang bagay ay natatanging tinutukoy, i.e. ganap na nakasalalay sa mga paunang kondisyon at pumapayag sa isang malinaw na hula. Maaari mong independiyenteng gawin ang isa sa mga modelong ito sa Excel. Halimbawa klasikal na modelo ay maaaring katawanin bilang isang patuloy na bumababa o tumataas na kalakaran. At maaari nating mahulaan ang pag-uugali nito, alam ang nakaraan ng bagay (ang paunang data para sa pagmomodelo). At ang mga fractals ay ginagamit sa kaso kapag ang bagay ay may ilang mga pagpipilian para sa pag-unlad at ang estado ng system ay tinutukoy ng posisyon kung saan ito kasalukuyang matatagpuan. Iyon ay, sinusubukan naming gayahin ang isang magulong pag-unlad. Ang sistemang ito ay ang interbank foreign exchange market.

Isaalang-alang natin ngayon kung paano makukuha ng isang tao mula sa isang tuwid na linya ang tinatawag nating fractal, kasama ang mga likas na katangian nito.

Sa fig. 17(A) ay nagpapakita ng Koch curve. Kumuha ng segment ng linya, ang haba nito = 1, i.e. topological na dimensyon pa rin. Ngayon ay hahatiin natin ito sa tatlong bahagi (bawat 1/3 ng haba), at alisin ang pangatlo sa gitna. Ngunit papalitan natin ang gitnang ikatlong bahagi ng dalawang segment (bawat 1/3 ng haba), na maaaring katawanin bilang dalawang panig ng isang equilateral triangle. Ito ang ikalawang yugto (b) ng disenyo na inilalarawan sa fig. 17(A). Sa puntong ito mayroon kaming 4 na mas maliit na bahagi, bawat 1/3 ng haba, kaya ang buong haba ay 4(1/3) = 4/3. Pagkatapos ay ulitin namin ang prosesong ito para sa bawat isa sa 4 na mas maliit na lobe ng linya. Ito ang ikatlong yugto (c). Bibigyan tayo nito ng 16 na mas maliliit na segment ng linya, bawat 1/9 ng haba. Kaya ang buong haba ay 16/9 o (4/3) 2 . Bilang resulta, nakakuha kami ng fractional na dimensyon. Ngunit hindi lamang nito nakikilala ang nagresultang istraktura mula sa isang tuwid na linya. Ito ay naging katulad sa sarili at imposibleng gumuhit ng tangent sa alinman sa mga punto nito (Larawan 17 (B)).

Nilalaman

Ang pinaka-mapanlikhang pagtuklas sa agham ay maaaring magbago nang radikal buhay ng tao. Ang naimbentong bakuna ay maaaring magligtas ng milyun-milyong tao, ang paglikha ng mga armas, sa kabaligtaran, ay kumitil sa mga buhay na ito. Kamakailan lamang (sa sukat ebolusyon ng tao) natutunan nating "paamoin" ang kuryente - at ngayon ay hindi natin maiisip ang buhay nang wala ang lahat ng mga maginhawang device na ito na gumagamit ng kuryente. Ngunit mayroon ding mga natuklasan na kakaunti ang binibigyang importansya ng mga tao, bagama't malaki rin ang impluwensya nito sa ating buhay.

Ang isa sa mga "hindi mahahalata" na pagtuklas ay mga fractals. Marahil ay narinig mo na ang nakakaakit na salitang ito, ngunit alam mo ba kung ano ang ibig sabihin nito at kung gaano karaming mga kawili-wiling bagay ang nakatago sa terminong ito?

Ang bawat tao ay may likas na pagkamausisa, isang pagnanais na malaman ang tungkol sa mundo sa paligid niya. At sa hangaring ito, sinusubukan ng isang tao na sumunod sa lohika sa mga paghuhusga. Sinusuri ang mga prosesong nagaganap sa paligid niya, sinusubukan niyang hanapin ang lohika ng mga nangyayari at maghinuha ng ilang regularidad. Ang pinakamalaking isip sa planeta ay abala sa gawaing ito. Sa halos pagsasalita, ang mga siyentipiko ay naghahanap ng isang pattern kung saan hindi ito dapat. Gayunpaman, kahit na sa kaguluhan, ang isa ay makakahanap ng koneksyon sa pagitan ng mga kaganapan. At ang koneksyon na ito ay isang fractal.

Ang aming munting anak na babae, apat at kalahating taong gulang, ay nasa napakagandang edad na ngayon kung kailan ang dami ng mga tanong na “Bakit?” maraming beses na mas malaki kaysa sa bilang ng mga sagot na may oras na ibigay ng mga matatanda. Hindi pa katagal, nakatingin sa isang sanga na nakataas mula sa lupa, biglang napansin ng aking anak na babae na ang sanga na ito, na may mga buhol at mga sanga, ay parang puno. At, siyempre, ang karaniwang tanong na "Bakit?" ay sumunod, kung saan ang mga magulang ay kailangang maghanap ng isang simpleng paliwanag na mauunawaan ng bata.

Ang pagkakapareho ng isang solong sanga na may isang buong puno na natuklasan ng isang bata ay isang napaka-tumpak na obserbasyon, na muling nagpapatotoo sa prinsipyo ng recursive na pagkakatulad sa sarili sa kalikasan. Napakaraming organiko at di-organikong mga anyo sa kalikasan ang nabuo nang katulad. Mga ulap, kabibi ng dagat, "bahay" ng kuhol, ang balat at korona ng mga puno, daluyan ng dugo sa katawan at iba pa - ang mga random na hugis ng lahat ng mga bagay na ito ay maaaring ilarawan ng fractal algorithm.

⇡ Benoit Mandelbrot: ang ama ng fractal geometry

Ang mismong salitang "fractal" ay lumitaw salamat sa napakatalino na siyentipiko na si Benoît B. Mandelbrot.

Siya mismo ang lumikha ng termino noong 1970s, na humiram ng salitang fractus mula sa Latin, kung saan literal itong nangangahulugang "nasira" o "durog." Ano ito? Sa ngayon, ang salitang "fractal" ay kadalasang ginagamit upang nangangahulugang isang graphic na representasyon ng isang istraktura na katulad ng sarili nito sa mas malaking sukat.

Ang mathematical na batayan para sa paglitaw ng teorya ng fractals ay inilatag maraming taon bago ang kapanganakan ni Benoit Mandelbrot, ngunit maaari lamang itong umunlad sa pagdating ng mga aparatong computing. Sa simula ng kanyang pang-agham na karera, nagtrabaho si Benoit sa IBM research center. Sa oras na iyon, ang mga empleyado ng sentro ay nagtatrabaho sa paghahatid ng data sa isang distansya. Sa kurso ng pananaliksik, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa problema ng malalaking pagkalugi na nagmumula sa pagkagambala sa ingay. Bago si Benoi ay nakatayo ang isang kumplikado at napaka mahalagang gawain- maunawaan kung paano mahulaan ang paglitaw ng panghihimasok ng ingay sa mga electronic circuit kapag hindi epektibo ang istatistikal na paraan.

Sa pagtingin sa mga resulta ng mga sukat ng ingay, binigyang pansin ni Mandelbrot ang isang kakaibang pattern - ang mga graph ng ingay sa iba't ibang mga kaliskis ay mukhang pareho. Ang isang magkatulad na pattern ay naobserbahan hindi alintana kung ito ay isang plot ng ingay para sa isang araw, isang linggo, o isang oras. Ito ay nagkakahalaga ng pagbabago ng sukat ng graph, at ang larawan ay paulit-ulit sa bawat oras.

Sa Buhay ni Benoit Paulit-ulit na sinabi ni Mandelbrot na hindi siya nakikitungo sa mga formula, ngunit naglalaro lamang ng mga larawan. Ang taong ito ay nag-isip nang napaka-matalinghaga, at anuman problemang algebraic isinalin sa larangan ng geometry, kung saan, ayon sa kanya, ang tamang sagot ay palaging halata.

Ito ay hindi nakakagulat na ito ay isang tao na may tulad na mayamang spatial na imahinasyon na naging ama ng fractal geometry. Pagkatapos ng lahat, ang pagsasakatuparan ng kakanyahan ng mga fractals ay dumating nang tumpak kapag nagsimula kang mag-aral ng mga guhit at mag-isip tungkol sa kahulugan ng mga kakaibang pattern ng swirl.

Ang isang fractal pattern ay walang magkatulad na elemento, ngunit may pagkakatulad sa anumang sukat. Buuin ang larawang ito gamit ang isang mataas na antas Ang manu-manong pagdedetalye ay dati nang imposible, nangangailangan ito ng malaking halaga ng mga kalkulasyon. Halimbawa, Pranses na matematiko Inilarawan ni Pierre Joseph Louis Fatou ang set na ito higit sa pitumpung taon bago ang pagtuklas ni Benoit Mandelbrot. Kung pinag-uusapan natin ang mga prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili, binanggit sila sa mga gawa nina Leibniz at Georg Cantor.

Ang isa sa mga unang guhit ng isang fractal ay isang graphical na interpretasyon ng set ng Mandelbrot, na ipinanganak mula sa pananaliksik ni Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (laging nakamaskara - pinsala sa WWI)

Ang French mathematician na ito ay nagtaka kung ano ang magiging hitsura ng isang set kung ito ay binuo mula sa isang simpleng formula na inuulit ng isang feedback loop. Kung ipinaliwanag "sa mga daliri", nangangahulugan ito na para sa isang tiyak na numero ay makakahanap kami ng isang bagong halaga gamit ang formula, pagkatapos nito ay pinapalitan namin itong muli sa formula at kumuha ng isa pang halaga. Ang resulta ay isang malaking pagkakasunod-sunod ng mga numero.

Upang makakuha ng isang kumpletong larawan ng naturang set, kailangan mong gumawa ng isang malaking halaga ng mga kalkulasyon - daan-daan, libu-libo, milyon-milyon. Imposibleng gawin ito nang manu-mano. Ngunit nang lumitaw ang makapangyarihang mga aparato sa pag-compute sa pagtatapon ng mga mathematician, nagawa nilang tingnan ang mga formula at expression na matagal nang interesado. Si Mandelbrot ang unang gumamit ng computer para kalkulahin ang classical fractal. Matapos maproseso ang isang sequence na binubuo ng isang malaking bilang ng mga halaga, inilipat ni Benoit ang mga resulta sa isang graph. Narito ang nakuha niya.

Kasunod nito, ang larawang ito ay kinulayan (halimbawa, ang isang paraan ng pangkulay ay sa pamamagitan ng bilang ng mga pag-ulit) at naging isa sa mga pinakasikat na larawang nilikha ng tao.

Tulad ng sinasabi ng sinaunang kasabihan na iniuugnay kay Heraclitus ng Ephesus, "Hindi ka maaaring pumasok sa parehong ilog ng dalawang beses." Ito ang pinakaangkop para sa pagbibigay-kahulugan sa geometry ng mga fractals. Gaano man kadetalye ang pagsusuri natin sa isang fractal na imahe, palagi tayong makakakita ng katulad na pattern.

Ang mga nagnanais na makita kung ano ang magiging hitsura ng isang imahe ng Mandelbrot space kapag pinalaki nang maraming beses ay maaaring gawin ito sa pamamagitan ng pag-upload ng isang animated na GIF.

⇡ Lauren Carpenter: sining na nilikha ng kalikasan

Ang teorya ng fractals ay nakahanap ng praktikal na aplikasyon. Dahil malapit itong nauugnay sa visualization ng mga larawang magkatulad sa sarili, hindi nakakagulat na ang unang gumamit ng mga algorithm at prinsipyo para sa pagbuo ng mga hindi pangkaraniwang anyo ay mga artista.

Ang hinaharap na co-founder ng maalamat na studio ng Pixar, si Loren C. Carpenter, ay nagsimulang magtrabaho sa Boeing Computer Services noong 1967, na isa sa mga dibisyon ng kilalang korporasyon na nakikibahagi sa pagbuo ng bagong sasakyang panghimpapawid.

Noong 1977, lumikha siya ng mga presentasyon na may mga prototype ng mga lumilipad na modelo. Si Lauren ay responsable para sa pagbuo ng mga larawan ng sasakyang panghimpapawid na idinisenyo. Siya ay dapat na lumikha ng mga larawan ng mga bagong modelo, na nagpapakita ng hinaharap na sasakyang panghimpapawid na may magkaibang panig. Sa ilang mga punto, ang hinaharap na tagapagtatag ng Pixar Animation Studios ay nakaisip ng malikhaing ideya na gumamit ng larawan ng mga bundok bilang background. Ngayon, ang sinumang mag-aaral ay maaaring malutas ang gayong problema, ngunit sa pagtatapos ng dekada ikapitumpu ng huling siglo, ang mga computer ay hindi makayanan ang gayong kumplikadong mga kalkulasyon - walang mga graphic editor, hindi sa pagbanggit ng mga aplikasyon para sa tatlong-dimensional na mga graphic. Noong 1978, aksidenteng nakita ni Lauren ang aklat ni Benoit Mandelbrot na Fractals: Form, Randomness and Dimension sa isang tindahan. Ang nakakuha ng kanyang pansin sa aklat na ito ay nagbigay si Benoist ng maraming halimbawa ng mga fractal form sa totoong buhay at pinatunayan na ang mga ito ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang mathematical expression.

Ang pagkakatulad na ito ay pinili ng mathematician hindi sa pamamagitan ng pagkakataon. Ang katotohanan ay na sa sandaling nai-publish niya ang kanyang pananaliksik, kinailangan niyang harapin ang isang buong gulo ng pagpuna. Ang pangunahing bagay na sinisiraan siya ng kanyang mga kasamahan ay ang kawalan ng silbi ng nabuong teorya. “Oo,” sabi nila, “ito ay magagandang larawan, ngunit wala nang iba pa. praktikal na halaga ang teorya ng fractals ay wala. Mayroon ding mga karaniwang naniniwala na ang mga fractal pattern ay isang by-product lamang ng gawain ng "devil machines", na sa huling bahagi ng seventies ay tila sa marami ay isang bagay na masyadong kumplikado at hindi napag-aralan upang lubos na mapagkakatiwalaan. Sinubukan ni Mandelbrot na makahanap ng isang malinaw na aplikasyon ng teorya ng fractals, ngunit, sa pangkalahatan, hindi niya kailangang gawin ito. Ang mga tagasunod ni Benoit Mandelbrot sa susunod na 25 taon ay napatunayan malaking pakinabang mula sa naturang "mathematical curiosity", at si Lauren Carpenter ay isa sa mga unang nagsagawa ng fractal method.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng libro, ang hinaharap na animator ay seryosong pinag-aralan ang mga prinsipyo ng fractal geometry at nagsimulang maghanap ng isang paraan upang maipatupad ito sa mga computer graphics. Sa loob lamang ng tatlong araw ng trabaho, nakapagbigay si Lauren ng isang makatotohanang imahe. sistema ng bundok sa iyong kompyuter. Sa madaling salita, sa tulong ng mga formula, nagpinta siya ng isang ganap na nakikilalang tanawin ng bundok.

Ang prinsipyo na ginamit ni Lauren upang makamit ang kanyang layunin ay napaka-simple. Binubuo ito sa paghahati ng isang mas malaking geometric na figure sa maliliit na elemento, at ang mga ito, naman, ay nahahati sa magkatulad na mga figure na mas maliit na sukat.

Gamit ang mas malalaking tatsulok, hinati ni Carpenter ang mga ito sa apat na mas maliit at pagkatapos ay inulit ang pamamaraang ito nang paulit-ulit hanggang sa magkaroon siya ng makatotohanang tanawin ng bundok. Kaya, nagawa niyang maging unang artist na gumamit ng fractal algorithm sa computer graphics upang makabuo ng mga imahe. Sa sandaling malaman ang tungkol sa gawaing ginawa, kinuha ng mga mahilig sa buong mundo ang ideyang ito at nagsimulang gamitin ang fractal algorithm upang gayahin ang mga makatotohanang natural na anyo.

Isa sa mga unang 3D rendering gamit ang fractal algorithm

Pagkalipas lamang ng ilang taon, nailapat ni Lauren Carpenter ang kanyang mga tagumpay sa isang mas malaking proyekto. Ibinatay sila ng animator sa isang dalawang minutong demo, Vol Libre, na ipinakita sa Siggraph noong 1980. Ikinagulat ng video na ito ang lahat ng nakakita nito, at nakatanggap si Lauren ng imbitasyon mula sa Lucasfilm.

Ang animation ay nai-render sa isang VAX-11/780 na computer mula sa Digital Equipment Corporation sa bilis ng orasan na limang megahertz, at ang bawat frame ay tumagal ng halos kalahating oras upang gumuhit.

Nagtatrabaho para sa Lucasfilm Limited, gumawa ang animator ng parehong mga 3D na landscape para sa pangalawang feature sa Star Trek saga. Sa The Wrath of Khan, nakagawa si Carpenter ng isang buong planeta gamit ang parehong prinsipyo ng fractal surface modeling.

Sa kasalukuyan, ang lahat ng sikat na application para sa paglikha ng mga 3D na landscape ay gumagamit ng parehong prinsipyo ng pagbuo ng mga natural na bagay. Ang Terragen, Bryce, Vue at iba pang 3D editor ay umaasa sa isang fractal surface at texture modeling algorithm.

⇡ Fractal antenna: mas kaunti ang mas mabuti, ngunit mas mabuti

Sa nakalipas na kalahating siglo, mabilis na nagbago ang buhay. Karamihan sa atin ay binibigyang halaga ang mga pagsulong sa modernong teknolohiya. Lahat ng bagay na ginagawang mas komportable ang buhay, mabilis kang masanay. Bihirang may nagtatanong ng "Saan ito nanggaling?" At paano ito gumagana?". Ang microwave oven ay nagpapainit ng almusal - mabuti, mahusay, pinapayagan ka ng isang smartphone na makipag-usap sa ibang tao - mahusay. Ito ay tila isang malinaw na posibilidad sa amin.

Ngunit ang buhay ay maaaring maging ganap na naiiba kung ang isang tao ay hindi naghahanap ng paliwanag para sa mga kaganapang nagaganap. Kunin, halimbawa, ang mga cell phone. Tandaan ang mga maaaring iurong antenna sa mga unang modelo? Nakialam sila, pinalaki ang laki ng aparato, sa huli, madalas na sinira. Naniniwala kami na sila ay nalubog na sa limot magpakailanman, at bahagyang dahil dito ... fractals.

Ang mga guhit ng fractal ay nabighani sa kanilang mga pattern. Ang mga ito ay tiyak na kahawig ng mga larawan ng mga bagay sa kalawakan - nebulae, mga kumpol ng kalawakan, at iba pa. Samakatuwid, medyo natural na nang ipahayag ni Mandelbrot ang kanyang teorya ng fractals, ang kanyang pananaliksik ay nagpukaw ng pagtaas ng interes sa mga nag-aral ng astronomy. Ang isang baguhan na nagngangalang Nathan Cohen, pagkatapos na dumalo sa isang panayam ni Benoit Mandelbrot sa Budapest, ay naging inspirasyon ng ideya ng praktikal na aplikasyon ng kaalamang natamo. Totoo, ginawa niya ito nang intuitive, at ang pagkakataon ay may mahalagang papel sa kanyang pagtuklas. Bilang isang amateur sa radyo, hinangad ni Nathan na lumikha ng isang antenna na may pinakamataas na posibleng sensitivity.

Ang tanging paraan upang mapabuti ang mga parameter ng antenna, na kilala noong panahong iyon, ay upang madagdagan ang mga geometric na sukat nito. Gayunpaman, ang may-ari ng downtown Boston apartment ni Nathan ay mahigpit na tutol sa pag-install ng malalaking rooftop device. Pagkatapos ay nagsimulang mag-eksperimento si Nathan sa iba't ibang anyo ng mga antenna, sinusubukang makuha ang pinakamataas na resulta na may pinakamababang laki. Napukaw sa ideya ng mga fractal form, si Cohen, tulad ng sinasabi nila, ay random na ginawa ang isa sa pinakasikat na fractals mula sa wire - ang "Koch snowflake". Ang Swedish mathematician na si Helge von Koch ay gumawa ng kurba na ito noong 1904. Nakukuha ito sa pamamagitan ng paghahati ng segment sa tatlong bahagi at pagpapalit sa gitnang bahagi ng isang equilateral triangle na walang panig na tumutugma sa segment na ito. Ang kahulugan ay medyo mahirap unawain, ngunit ang pigura ay malinaw at simple.

Mayroon ding iba pang mga varieties ng "Koch curve", ngunit ang tinatayang hugis ng curve ay nananatiling pareho

Nang ikonekta ni Nathan ang antenna sa radio receiver, labis siyang nagulat - ang sensitivity ay tumaas nang husto. Pagkatapos ng isang serye ng mga eksperimento, napagtanto ng hinaharap na propesor sa Boston University na ang isang antena na ginawa ayon sa isang fractal pattern ay may mataas na kahusayan at sumasaklaw sa isang mas malawak na saklaw ng dalas kumpara sa mga klasikal na solusyon. Bilang karagdagan, ang hugis ng antena sa anyo ng isang fractal curve ay maaaring makabuluhang bawasan ang mga geometric na sukat. Gumawa pa si Nathan Cohen ng isang teorama na nagpapatunay na upang lumikha ng isang broadband antenna, sapat na upang bigyan ito ng hugis ng isang self-similar fractal curve.

Na-patent ng may-akda ang kanyang pagtuklas at nagtatag ng isang kompanya para sa pagbuo at disenyo ng mga fractal antenna na Fractal Antenna Systems, na tama ang paniniwala na sa hinaharap, salamat sa kanyang pagtuklas, ang mga cell phone ay makakaalis ng malalaking antenna at magiging mas compact.

Talaga, iyon ang nangyari. Totoo, hanggang ngayon, si Nathan ay nasa isang demanda sa malalaking korporasyon na ilegal na gumagamit ng kanyang natuklasan upang makagawa ng mga compact na kagamitan sa komunikasyon. Ilang kilalang tagagawa mga mobile device, tulad ng Motorola, ay naabot na ang isang kasunduan sa kapayapaan sa imbentor ng fractal antenna.

⇡ Mga sukat ng fractal: hindi naiintindihan ng isip

Hiniram ni Benoit ang tanong na ito mula sa sikat na Amerikanong siyentipiko na si Edward Kasner.

Ang huli, tulad ng maraming iba pang sikat na mathematician, ay mahilig makipag-usap sa mga bata, magtanong sa kanila at makakuha ng mga hindi inaasahang sagot. Minsan ito ay humantong sa nakakagulat na mga resulta. Kaya, halimbawa, ang siyam na taong gulang na pamangkin ni Edward Kasner ay nakabuo ng kilalang salitang "googol", na nagsasaad ng isang yunit na may isang daang mga zero. Ngunit bumalik sa fractals. Nagustuhan ng American mathematician na magtanong kung gaano kahaba ang baybayin ng US. Matapos makinig sa opinyon ng kausap, si Edward mismo ang nagsalita ng tamang sagot. Kung susukatin mo ang haba sa mapa na may mga sirang segment, kung gayon ang resulta ay magiging hindi tumpak, dahil ang baybayin ay may malaking bilang ng mga iregularidad. At ano ang mangyayari kung sukatin mo nang tumpak hangga't maaari? Kakailanganin mong isaalang-alang ang haba ng bawat hindi pagkakapantay-pantay - kakailanganin mong sukatin ang bawat kapa, bawat bay, bato, ang haba ng isang mabatong ungos, isang bato sa ibabaw nito, isang butil ng buhangin, isang atom, at iba pa. Dahil ang bilang ng mga iregularidad ay may posibilidad na infinity, ang sinusukat na haba ng baybayin ay tataas hanggang infinity sa bawat bagong iregularidad.

Kung mas maliit ang sukat kapag nagsusukat, mas malaki ang sinusukat na haba

Kapansin-pansin, ang pagsunod sa mga senyas ni Edward, ang mga bata ay mas mabilis kaysa sa mga matatanda sa pagsasabi ng tamang sagot, habang ang huli ay nahihirapang tanggapin ang gayong hindi kapani-paniwalang sagot.

Gamit ang problemang ito bilang isang halimbawa, iminungkahi ni Mandelbrot ang paggamit ng bagong diskarte sa mga sukat. Dahil ang baybayin ay malapit sa isang fractal curve, nangangahulugan ito na ang isang characterizing parameter, ang tinatawag na fractal na dimensyon, ay maaaring ilapat dito.

Ano ang karaniwang sukat ay malinaw sa sinuman. Kung ang sukat ay katumbas ng isa, nakakakuha tayo ng isang tuwid na linya, kung dalawa - patag na pigura, tatlo ang volume. Gayunpaman, ang pag-unawa sa dimensyon sa matematika ay hindi gumagana sa mga fractal curves, kung saan mayroon ang parameter na ito fractional na halaga. Ang dimensyon ng fractal sa matematika ay maaaring ituring na may kondisyon bilang "kagaspangan". Kung mas mataas ang roughness ng curve, mas malaki ang fractal na dimensyon nito. Isang curve na, ayon kay Mandelbrot, ay may fractal na dimensyon na mas mataas kaysa sa topological na dimensyon nito, ay may tinatayang haba na hindi nakadepende sa bilang ng mga dimensyon.

Sa kasalukuyan, ang mga siyentipiko ay nakakahanap ng higit at higit pang mga lugar para sa aplikasyon ng fractal theory. Sa tulong ng mga fractals, maaari mong suriin ang mga pagbabagu-bago sa mga presyo ng stock, galugarin ang lahat ng uri ng mga natural na proseso, tulad ng mga pagbabago sa bilang ng mga species, o gayahin ang dynamics ng mga daloy. Maaaring gamitin ang mga algorithm ng fractal para sa compression ng data, halimbawa para sa image compression. At siya nga pala, para makakuha ng magandang fractal sa screen ng iyong computer, hindi mo kailangang magkaroon ng doctoral degree.

⇡ Fractal sa browser

Marahil ang isa sa mga pinakamadaling paraan upang makakuha ng fractal pattern ay ang paggamit ng online vector editor mula sa isang batang mahuhusay na programmer na si Toby Schachman. Ang toolkit ng simpleng graphics editor na ito ay batay sa parehong prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili.

Mayroon lamang dalawang simpleng hugis sa iyong pagtatapon - isang parisukat at isang bilog. Maaari mong idagdag ang mga ito sa canvas, scale (upang i-scale kasama ang isa sa mga axes, pindutin nang matagal ang Shift key) at i-rotate. Patong-patong sa prinsipyo ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag ng Boolean, ang mga pinakasimpleng elementong ito ay bumubuo ng mga bago, hindi gaanong kabuluhan na mga anyo. Dagdag pa, ang mga bagong form na ito ay maaaring idagdag sa proyekto, at uulitin ng programa ang pagbuo ng mga larawang ito nang walang katiyakan. Sa anumang yugto ng pagtatrabaho sa isang fractal, maaari kang bumalik sa anumang bahagi ng isang kumplikadong hugis at i-edit ang posisyon at geometry nito. Kaakit-akit na aktibidad, lalo na kapag isinasaalang-alang mo na ang tanging tool na kailangan mo upang maging malikhain ay isang browser. Kung hindi mo naiintindihan ang prinsipyo ng pagtatrabaho sa recursive vector editor na ito, ipinapayo namin sa iyo na panoorin ang video sa opisyal na website ng proyekto, na nagpapakita nang detalyado sa buong proseso ng paglikha ng fractal.

⇡ XaoS: fractals para sa bawat panlasa

Maraming mga graphic editor ang may built-in na tool para sa paglikha ng mga fractal pattern. Gayunpaman, ang mga tool na ito ay kadalasang pangalawa at hindi ka pinapayagang i-fine-tune ang nabuong fractal pattern. Sa mga kaso kung saan kinakailangan upang bumuo ng isang mathematically tumpak na fractal, ang XaoS cross-platform editor ay darating upang iligtas. Ang program na ito ay ginagawang posible hindi lamang upang bumuo ng isang self-katulad na imahe, ngunit din upang magsagawa ng iba't ibang mga manipulasyon dito. Halimbawa, sa real time, maaari kang "maglakad" sa isang fractal sa pamamagitan ng pagbabago ng sukat nito. Ang mga animated na paggalaw kasama ang isang fractal ay maaaring i-save bilang isang XAF file at pagkatapos ay i-play muli sa mismong programa.

Ang XaoS ay maaaring mag-load ng isang random na hanay ng mga parameter, pati na rin gumamit ng iba't ibang mga filter ng post-processing ng imahe - magdagdag ng isang blur na epekto ng paggalaw, pakinisin ang matalim na paglipat sa pagitan ng mga fractal point, gayahin ang isang 3D na imahe, at iba pa.

⇡ Fractal Zoomer: compact fractal generator

Kung ikukumpara sa iba pang mga generator ng fractal na imahe, mayroon itong ilang mga pakinabang. Una, ito ay medyo maliit sa laki at hindi nangangailangan ng pag-install. Pangalawa, ipinapatupad nito ang kakayahang tukuyin ang paleta ng kulay ng larawan. Maaari kang pumili ng mga shade sa RGB, CMYK, HVS at HSL na mga modelo ng kulay.

Napakaginhawa din na gamitin ang opsyon ng random na pagpili ng mga kulay na kulay at ang pag-andar ng pag-invert ng lahat ng mga kulay sa larawan. Upang ayusin ang kulay, mayroong isang function ng cyclic na pagpili ng mga shade - kapag ang kaukulang mode ay naka-on, ang programa ay nagbibigay-buhay sa imahe, cyclically pagbabago ng mga kulay dito.

Maaaring makita ng Fractal Zoomer ang 85 iba't ibang mga function ng fractal, at malinaw na ipinapakita ang mga formula sa menu ng programa. May mga filter para sa post-processing na mga imahe sa programa, kahit na sa maliit na halaga. Ang bawat nakatalagang filter ay maaaring kanselahin anumang oras.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fractal editor

Kapag ginamit ang terminong "fractal", madalas itong nangangahulugang isang flat two-dimensional na imahe. Gayunpaman, ang fractal geometry ay lumampas sa 2D na dimensyon. Sa kalikasan, mahahanap ng isa ang parehong mga halimbawa ng mga flat fractal form, halimbawa, ang geometry ng kidlat, at tatlong-dimensional na three-dimensional na mga numero. Ang mga ibabaw ng fractal ay maaaring maging 3D, at isa sa mga napaka-nagpapakitang paglalarawan ng mga 3D na fractal sa Araw-araw na buhay- ulo ng repolyo. Marahil ang pinakamahusay na paraan upang makita ang mga fractals ay sa Romanesco, isang hybrid ng cauliflower at broccoli.

At ang fractal na ito ay maaaring kainin

Ang Mandelbulb3D program ay maaaring lumikha ng mga three-dimensional na bagay na may katulad na hugis. Upang makakuha ng 3D surface gamit ang fractal algorithm, ginawa ng mga may-akda ng application na ito, sina Daniel White at Paul Nylander, ang Mandelbrot set sa spherical coordinates. Ang Mandelbulb3D program na nilikha nila ay isang tunay na three-dimensional na editor na nagmomodelo ng mga fractal na ibabaw ng iba't ibang hugis. Dahil madalas nating obserbahan ang mga pattern ng fractal sa kalikasan, ang isang artipisyal na nilikha na fractal na three-dimensional na bagay ay tila hindi kapani-paniwalang makatotohanan at kahit na "buhay".

Maaaring mukhang halaman, maaaring kahawig ng kakaibang hayop, planeta, o iba pa. Ang epektong ito ay pinahusay ng isang advanced na algorithm sa pag-render na ginagawang posible na makakuha ng mga makatotohanang pagmuni-muni, kalkulahin ang transparency at mga anino, gayahin ang epekto ng depth of field, at iba pa. Ang Mandelbulb3D ay may malaking halaga ng mga setting at mga opsyon sa pag-render. Maaari mong kontrolin ang mga shade ng light source, piliin ang background at ang antas ng detalye ng na-modelo na bagay.

Sinusuportahan ng Incendia fractal editor ang double image smoothing, naglalaman ng library ng limampung magkakaibang three-dimensional fractals at may hiwalay na module para sa pag-edit ng mga pangunahing hugis.

Gumagamit ang application ng fractal scripting, kung saan maaari mong independiyenteng ilarawan ang mga bagong uri ng fractal na istruktura. Ang Incendia ay may mga editor ng texture at materyal, at isang rendering engine na nagbibigay-daan sa iyong gumamit ng mga volumetric na fog effect at iba't ibang shader. May opsyon ang program na i-save ang buffer sa panahon ng pangmatagalang pag-render, sinusuportahan ang paggawa ng animation.

Binibigyang-daan ka ng Incendia na mag-export ng fractal na modelo sa mga sikat na 3D graphics format - OBJ at STL. Kasama sa Incendia ang isang maliit na Geometrica utility - isang espesyal na tool para sa pag-set up ng pag-export ng isang fractal surface sa isang three-dimensional na modelo. Gamit ang utility na ito, matutukoy mo ang resolution ng isang 3D surface, tukuyin ang bilang ng mga fractal na pag-ulit. Maaaring gamitin ang mga na-export na modelo sa mga 3D na proyekto kapag nagtatrabaho sa ganoon Mga editor ng 3D, tulad ng Blender, 3ds max at iba pa.

AT kamakailang mga panahon medyo bumagal ang trabaho sa proyekto ng Incendia. Sa ngayon, ang may-akda ay naghahanap ng mga sponsor na tutulong sa kanya sa pagbuo ng programa.

Kung wala kang sapat na imahinasyon upang gumuhit ng magandang three-dimensional fractal sa program na ito, hindi mahalaga. Gamitin ang library ng parameter, na matatagpuan sa folder ng INCENDIA_EX\parameters. Sa tulong ng mga PAR file, mabilis mong mahahanap ang mga pinakahindi pangkaraniwang fractal na hugis, kabilang ang mga animated.

⇡ Aural: kung paano kumanta ang mga fractal

Karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa mga proyektong ginagawa pa lang, ngunit sa kasong ito kailangan naming gumawa ng eksepsiyon, ito ay isang hindi pangkaraniwang aplikasyon. Ang isang proyekto na tinatawag na Aural ay dumating sa parehong tao bilang Incendia. Totoo, sa oras na ito ang programa ay hindi nakikita ang fractal set, ngunit tinig ito, ginagawa itong elektronikong musika. Ang ideya ay napaka-interesante, lalo na kung isasaalang-alang ang mga hindi pangkaraniwang katangian ng fractals. Ang Aural ay isang audio editor na bumubuo ng mga melodies gamit ang mga fractal algorithm, iyon ay, sa katunayan, ito ay isang audio synthesizer-sequencer.

Ang pagkakasunod-sunod ng mga tunog na ibinigay ng program na ito ay hindi karaniwan at ... maganda. Ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa pagsulat ng mga modernong ritmo at, sa aming opinyon, ay angkop lalo na para sa paglikha ng mga soundtrack para sa TV at radio screensaver, pati na rin ang "mga loop" background music sa mga laro sa Kompyuter. Si Ramiro ay hindi pa nagbibigay ng isang demo ng kanyang programa, ngunit nangangako na kapag ginawa niya, upang makatrabaho si Aural, hindi niya kakailanganing matutunan ang teorya ng fractals - maglaro lamang sa mga parameter ng algorithm para sa pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga tala . Makinig sa kung paano tumunog ang mga fractals, at.

Fractals: musical pause

Sa katunayan, ang mga fractals ay makakatulong sa pagsulat ng musika kahit na walang software. Ngunit ito ay magagawa lamang ng isang tao na tunay na puno ng ideya ng natural na pagkakaisa at sa parehong oras ay hindi naging isang kapus-palad na "nerd". Makatuwiran na kumuha ng cue mula sa isang musikero na nagngangalang Jonathan Coulton, na, bukod sa iba pang mga bagay, ay nagsusulat ng mga komposisyon para sa Popular Science magazine. At hindi tulad ng ibang mga artista, inilalathala ni Colton ang lahat ng kanyang mga gawa sa ilalim ng lisensyang Creative Commons Attribution-Noncommercial, na (kapag ginamit para sa mga di-komersyal na layunin) ay nagbibigay ng libreng pagkopya, pamamahagi, paglipat ng trabaho sa iba, pati na rin ang pagbabago nito (paglikha ng mga derivative works) upang maiangkop ito sa iyong mga pangangailangan.

Si Jonathan Colton, siyempre, ay may kanta tungkol sa mga fractals.

⇡ Konklusyon

Sa lahat ng bagay na nakapaligid sa atin, madalas tayong makakita ng kaguluhan, ngunit sa katunayan ito ay hindi isang aksidente, ngunit perpektong hugis, kung aling mga fractal ang tumutulong sa atin na makita. Ang kalikasan ang pinakamahusay na arkitekto, ang perpektong tagabuo at inhinyero. Ito ay nakaayos nang napaka-lohikal, at kung sa isang lugar ay hindi natin nakikita ang mga pattern, nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ito sa ibang sukat. Mas naiintindihan ito ng mga tao at mas mahusay, sinusubukang tularan sa maraming paraan mga likas na anyo. Disenyo ng mga inhinyero Mga sistema ng acustic sa anyo ng isang shell, lumikha ng mga antenna na may geometry ng mga snowflake at iba pa. Sigurado kami na ang mga fractals ay nagtatago pa rin ng maraming sikreto, at marami sa kanila ang hindi pa natutuklasan ng tao.

Ang mga editor ng NNN ay hindi sinasadyang natisod sa isang napaka kawili-wiling bagay, ipinakita sa blog ng user xtsarx, na nakatuon sa mga elemento ng teorya fractals at siya praktikal na aplikasyon. Tulad ng nalalaman, ang teorya ng fractals ay may mahalagang papel sa pisika at kimika ng mga nanosystem. Ang pagkakaroon ng aming kontribusyon sa solidong materyal na ito, na ipinakita sa isang wika na naa-access sa isang malawak na hanay ng mga mambabasa at suportado ng isang masaganang dami ng graphic at kahit na materyal na video, ipinakita namin ito sa iyong pansin. Umaasa kami na ang mga mambabasa ng NNN ay magiging kawili-wili ang materyal na ito.

Ang kalikasan ay napakahiwaga na kapag mas pinag-aaralan mo ito, mas maraming tanong ang lilitaw... Kidlat sa gabi - asul na "mga daluyan" ng mga sumasanga na discharge, mga pattern ng mayelo sa bintana, mga snowflake, mga bundok, mga ulap, balat ng puno - lahat ng ito ay lumampas sa karaniwan Euclidean geometry. Hindi natin mailalarawan ang bato o ang mga hangganan ng isla na may mga linya, bilog at tatsulok. At narito kami upang iligtas fractals. Ano ang mga pamilyar na estranghero na ito?

"Sa ilalim ng mikroskopyo, natuklasan niya iyon sa isang pulgas
Ang nanunuot na pulgas ay nabubuhay sa isang pulgas;
Sa pulgas na iyon ay isang maliit na pulgas,
Galit na nagdikit ng ngipin sa isang pulgas
Flea, at sa gayon ay ad infinitum. D. Mabilis.

Medyo kasaysayan

Mga unang ideya fractal geometry nagmula noong ika-19 na siglo. Ang Kantor, gamit ang isang simpleng recursive (paulit-ulit) na pamamaraan, ginawa ang linya sa isang hanay ng mga hindi konektadong mga punto (ang tinatawag na Cantor Dust). Kinuha niya ang linya at inalis ang gitnang ikatlong at pagkatapos ay inulit ang parehong sa natitirang mga segment.

kanin. 1. Peano curve 1.2–5 na mga pag-ulit.

Gumuhit si Peano ng isang espesyal na uri ng linya. Ginawa ni Peano ang mga sumusunod: Sa unang hakbang, kumuha siya ng tuwid na linya at pinalitan ito ng 9 na segment na 3 beses na mas maikli kaysa sa haba ng orihinal na linya. Pagkatapos ay ginawa niya ang parehong sa bawat segment ng resultang linya. At iba pa ang ad infinitum. Ang pagiging natatangi nito ay nakasalalay sa katotohanang pinupuno nito ang buong eroplano. Ito ay pinatunayan na para sa bawat punto sa eroplano ang isa ay makakahanap ng isang punto na kabilang sa linya ng Peano. Ang kurba ni Peano at ang alikabok ng Cantor ay lumampas sa mga ordinaryong geometric na bagay. Hindi sila malinaw na sukat.. Ang alikabok ng Cantor ay itinayo na tila batay sa isang one-dimensional na tuwid na linya, ngunit binubuo ng mga puntos (dimensyon 0). At ang Peano curve ay itinayo batay sa isang one-dimensional na linya, at ang resulta ay isang eroplano. Sa maraming iba pang mga lugar ng agham, lumitaw ang mga problema na humantong sa mga kakaibang resulta, tulad ng mga inilarawan sa itaas (Brownian motion, mga presyo ng stock). Ang bawat isa sa atin ay maaaring gawin ang pamamaraang ito ...

Ama ng Fractals

Hanggang sa ika-20 siglo, mayroong isang akumulasyon ng data sa gayong mga kakaibang bagay, nang walang anumang pagtatangka na i-systematize ang mga ito. Kaya hanggang sa kinuha nila Benoit Mandelbrot – ama ng modernong fractal geometry at ang salitang fractal.

kanin. 2. Benoit Mandelbrot.

Habang nagtatrabaho sa IBM bilang isang mathematical analyst, nag-aral siya ng ingay sa mga electronic circuit na hindi mailalarawan gamit ang mga istatistika. Unti-unting inihambing ang mga katotohanan, natuklasan niya ang isang bagong direksyon sa matematika - fractal geometry.

Ang terminong "fractal" ay ipinakilala ni B. Mandelbrot noong 1975. Ayon kay Mandelbrot, fractal(mula sa Latin na "fractus" - fractional, broken, broken) ay tinatawag isang istraktura na binubuo ng mga bahagi tulad ng isang kabuuan. Ang pag-aari ng pagkakatulad sa sarili ay malinaw na nakikilala ang mga fractals mula sa mga bagay ng klasikal na geometry. Termino pagkakatulad sa sarili ibig sabihin ang pagkakaroon ng isang pinong, paulit-ulit na istraktura, kapwa sa pinakamaliit na kaliskis ng bagay, at sa isang macroscale.

kanin. 3. Sa kahulugan ng konsepto ng "fractal".

Ang mga halimbawa ng pagkakatulad sa sarili ay: Koch, Levy, Minkowski curves, Sierpinski triangle, Menger sponge, Pythagorean tree, atbp.

Mula sa punto ng matematika, fractal ay, una sa lahat, itinakda na may fractional (intermediate, “not integer”) na dimensyon. Habang ang isang makinis na linyang Euclidean ay pumupuno ng eksaktong isang-dimensional na espasyo, ang isang fractal curve ay lumalampas sa isang-dimensional na espasyo, pumapasok sa kabila ng mga hangganan patungo sa dalawang-dimensional na espasyo. Kaya, ang fractal na dimensyon ng Koch curve ay nasa pagitan ng 1 at 2. Ito, una sa lahat, nangangahulugan na ang isang fractal na bagay ay hindi maaaring tumpak na masukat ang haba nito! Sa mga geometric fractals na ito, ang una ay napaka-interesante at medyo sikat - Koch snowflake.

kanin. 4. Sa kahulugan ng konsepto ng "fractal".

Ito ay binuo sa batayan equilateral triangle. Ang bawat linya nito ay pinapalitan ng 4 na linya bawat 1/3 ng orihinal na haba. Kaya, sa bawat pag-ulit, ang haba ng curve ay tumataas ng isang ikatlo. At kung gumawa tayo ng walang katapusang bilang ng mga pag-ulit, makakakuha tayo ng fractal - isang Koch snowflake na walang katapusan ang haba. Lumalabas na ang aming walang katapusang kurba ay sumasaklaw sa isang limitadong lugar. Subukang gawin ang parehong sa mga pamamaraan at figure mula sa Euclidean geometry.
Dimensyon ng isang Koch snowflake(kapag ang snowflake ay tumaas ng 3 beses, ang haba nito ay tataas ng 4 na beses) D=log(4)/log(3)=1.2619.

Tungkol sa fractal

Ang mga fractals ay nakakahanap ng higit pang mga aplikasyon sa agham at teknolohiya. Ang pangunahing dahilan nito ay inilalarawan nila ang totoong mundo kung minsan ay mas mahusay pa kaysa sa tradisyonal na pisika o matematika. Maaari kang walang katapusang magbigay ng mga halimbawa ng mga fractal na bagay sa kalikasan - ito ay mga ulap, at mga snow flakes, at mga bundok, at isang kidlat ng kidlat, at sa wakas, kuliplor. Ang Fractal bilang isang natural na bagay ay walang hanggan patuloy na paggalaw, bagong pormasyon at pag-unlad.

kanin. 5. Fractals sa ekonomiya.

Bukod sa, fractals mahanap application sa desentralisado mga network ng kompyuter at "mga fractal antenna" . Napaka-interesante at promising para sa pagmomodelo ng iba't ibang stochastic (non-deterministic) na "random" na mga proseso ay ang tinatawag na "Brownian fractals". Sa kaso ng nanotechnology, naglalaro din ang mga fractals mahalagang papel , dahil, dahil sa kanilang hierarchical self-organization, marami Ang mga nanosystem ay may di-integer na dimensyon, ibig sabihin, ang mga ito ay fractal sa kanilang geometric, physico-chemical o functional na kalikasan. Halimbawa, isang pangunahing halimbawa Ang mga chemical fractal system ay mga molekula na "dendrimer" . Bilang karagdagan, ang prinsipyo ng fractality (self-similar, scaling structure) ay isang salamin ng hierarchical structure ng system at, samakatuwid, ay mas pangkalahatan at unibersal kaysa sa mga karaniwang diskarte sa paglalarawan ng istraktura at mga katangian ng nanosystems.

kanin. 6. Mga molekula ng "dendrimer".

kanin. 7. Graphic na modelo ng komunikasyon sa proseso ng arkitektura at konstruksiyon. Ang unang antas ng pakikipag-ugnayan mula sa pananaw ng mga microprocesses.

kanin. 8. Graphic na modelo ng komunikasyon sa proseso ng arkitektura at konstruksiyon. Ang pangalawang antas ng pakikipag-ugnayan mula sa mga posisyon ng macroprocesses (isang fragment ng modelo).

kanin. 9. Graphic na modelo ng komunikasyon sa proseso ng arkitektura at konstruksiyon. Ang pangalawang antas ng pakikipag-ugnayan mula sa pananaw ng mga macroprocesses (ang buong modelo)

kanin. 10. Planar na pag-unlad ng graphic na modelo. Unang homeostatic na estado.

Fractal at ang gintong ratio "Fractals" bahagi 1 "Fractals" bahagi 2 "Fractals" bahagi 3 "Fractals" bahagi 4 "Fractals" bahagi 5

Photo gallery ng maganda at hindi pangkaraniwang fractals

kanin. labing-isa.

kanin. 12.

kanin. labintatlo.

kanin. labing-apat.

kanin. labinlima.

kanin. labing-anim.

kanin. 17.

kanin. labing-walo.

kanin. labinsiyam.

kanin. 20.

kanin. 21.

kanin. 22.

kanin. 23.

kanin. 24.

kanin. 25.

kanin. 26.

kanin. 27.

kanin. 28.

kanin. 29.

kanin. tatlumpu.

kanin. 31.

kanin. 32.

kanin. 33.

kanin. 34.

kanin. 35.

Tapos na ang pagwawasto at pag-edit Filippov Yu.P.

Kumusta kayong lahat! Ang pangalan ko ay, Ribenek Valeria, Ulyanovsk at ngayon ay magpo-post ako ng ilan sa aking mga siyentipikong artikulo sa website ng LCI.

Ang aking unang siyentipikong artikulo sa blog na ito ay ilalaan sa fractals. Sasabihin ko kaagad na ang aking mga artikulo ay idinisenyo para sa halos anumang madla. Yung. Umaasa ako na magiging interesado sila sa mga mag-aaral at mag-aaral.

Kamakailan ay nalaman ko ang tungkol sa mga kagiliw-giliw na bagay ng mundo ng matematika bilang mga fractals. Ngunit umiiral ang mga ito hindi lamang sa matematika. Pinapalibutan nila kami kahit saan. Ang mga fractal ay natural. Tungkol sa kung ano ang mga fractals, tungkol sa mga uri ng fractals, tungkol sa mga halimbawa ng mga bagay na ito at ang kanilang aplikasyon, sasabihin ko sa artikulong ito. Upang magsimula, sasabihin ko sa iyo kung ano ang fractal.

Fractal(lat. fractus - durog, sira, sira) - ito ay isang kumplikado geometric na pigura, na may pag-aari ng pagkakatulad sa sarili, iyon ay, ito ay binubuo ng ilang bahagi, na ang bawat isa ay katulad ng buong pigura sa kabuuan. Sa mas malawak na kahulugan, ang mga fractals ay nauunawaan bilang mga hanay ng mga punto sa Euclidean space na mayroong fractional metric na dimensyon (sa kahulugan ng Minkowski o Hausdorff), o isang sukatan na dimensyon maliban sa topological. Halimbawa, maglalagay ako ng larawan ng apat na magkakaibang fractals.

Hayaan akong sabihin sa iyo ng kaunti tungkol sa kasaysayan ng fractals. Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng 70s, ay naging matatag sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng 80s. Ang salitang "fractal" ay ipinakilala ni Benoit Mandelbrot noong 1975 upang sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang pagsilang ng fractal geometry ay karaniwang nauugnay sa publikasyon noong 1977 ng aklat ni Mandelbrot na The Fractal Geometry of Nature. Ginamit ng kanyang mga gawa ang siyentipikong resulta ng iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho sa panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Ngunit sa ating panahon lamang posible na pagsamahin ang kanilang trabaho sa isang solong sistema.

Maraming mga halimbawa ng fractals, dahil, tulad ng sinabi ko, pinalilibutan nila tayo kahit saan. Sa aking opinyon, kahit na ang ating buong Uniberso ay isang malaking fractal. Pagkatapos ng lahat, ang lahat ng nasa loob nito, mula sa istraktura ng atom hanggang sa istraktura ng Uniberso mismo, ay eksaktong umuulit sa bawat isa. Ngunit mayroong, siyempre, higit pa kongkretong mga halimbawa fractal mula sa iba't ibang lugar. Fractals, halimbawa, ay naroroon sa kumplikadong dinamika. Doon sila ay natural na lumilitaw sa pag-aaral ng nonlinear mga dynamic na sistema. Ang pinaka-pinag-aralan na kaso ay kapag ang dynamical system ay tinukoy sa pamamagitan ng mga pag-ulit polinomyal o holomorphic function ng isang complex ng mga variable sa ibabaw. Ang ilan sa mga pinakatanyag na fractals ng ganitong uri ay ang Julia set, ang Mandelbrot set at ang Newton basins. Sa ibaba, sa pagkakasunud-sunod, ipinapakita ng mga larawan ang bawat isa sa mga fractals sa itaas.

Ang isa pang halimbawa ng fractal ay fractal curves. Pinakamainam na ipaliwanag kung paano bumuo ng isang fractal gamit ang halimbawa ng mga fractal curves. Ang isa sa gayong kurba ay ang tinatawag na Koch Snowflake. Mayroong isang simpleng pamamaraan para sa pagkuha ng mga fractal curves sa isang eroplano. Tinutukoy namin ang isang di-makatwirang putol na linya na may limitadong bilang ng mga link, na tinatawag na generator. Susunod, pinapalitan namin ang bawat segment dito ng isang generator (mas tiyak, isang sirang linya na katulad ng isang generator). Sa nagresultang sirang linya, muli naming pinapalitan ang bawat segment ng generator. Sa pagpapatuloy sa infinity, sa limitasyon ay nakakakuha tayo ng fractal curve. Ang ipinapakita sa ibaba ay isang Koch snowflake (o curve).

Mayroon ding maraming fractal curves. Ang pinakasikat sa kanila ay ang nabanggit na Koch Snowflake, gayundin ang Levy curve, ang Minkowski curve, ang sirang Dragon, ang Piano curve at ang Pythagorean tree. Ang isang imahe ng mga fractals na ito at ang kanilang kasaysayan, sa palagay ko, kung nais mo, madali mong mahahanap sa Wikipedia.

Ang ikatlong halimbawa o uri ng fractals ay stochastic fractals. Kabilang sa mga nasabing fractals ang trajectory brownian motion sa eroplano at sa kalawakan, ang mga ebolusyon ni Schramm-Löwner, iba't ibang uri randomized fractals, iyon ay, fractals nakuha gamit recursive na pamamaraan, kung saan ang isang random na parameter ay ipinakilala sa bawat hakbang.

Mayroon ding puro mathematical fractals. Ito ay, halimbawa, ang Cantor set, ang Menger sponge, ang Sierpinski triangle, at iba pa.

Ngunit marahil ang pinaka-kagiliw-giliw na mga fractal ay mga natural. Ang mga natural na fractal ay mga bagay sa kalikasan na may mga katangian ng fractal. At mayroon nang isang malaking listahan. Hindi ko ilista ang lahat, dahil, marahil, hindi ko mailista ang lahat ng mga ito, ngunit sasabihin ko ang tungkol sa ilan. Halimbawa, sa buhay na kalikasan, kabilang sa mga fractals ang ating circulatory system at baga. At gayundin ang mga korona at dahon ng mga puno. Dito maaari mong isama ang starfish, mga sea urchin, corals, sea shells, ilang halaman tulad ng repolyo o broccoli. Sa ibaba, malinaw na ipinapakita ang ilang mga natural na fractal mula sa wildlife.

Kung isasaalang-alang natin ang walang buhay na kalikasan, kung gayon mayroong mas kawili-wiling mga halimbawa kaysa sa buhay na kalikasan. Kidlat, mga snowflake, mga ulap, na kilala ng lahat, mga pattern sa mga bintana sa mga araw na mayelo, mga kristal, mga hanay ng bundok - lahat ng ito ay mga halimbawa ng mga natural na fractal mula sa walang buhay na kalikasan.

Isinaalang-alang namin ang mga halimbawa at uri ng fractal. Tulad ng para sa paggamit ng mga fractals, ang mga ito ay ginagamit sa karamihan iba't ibang lugar kaalaman. Sa physics, natural na umusbong ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga nonlinear na proseso, tulad ng magulong daloy ng fluid, kumplikadong proseso ng diffusion-adsorption, apoy, ulap, atbp. Ginagamit ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga porous na materyales, halimbawa, sa petrochemistry. Sa biology, ginagamit ang mga ito upang magmodelo ng mga populasyon at upang ilarawan ang mga sistema ng mga panloob na organo (system mga daluyan ng dugo). Matapos ang paglikha ng Koch curve, iminungkahi na gamitin ito sa pagkalkula ng haba ng baybayin. Gayundin, ang mga fractals ay aktibong ginagamit sa radio engineering, sa computer science at computer technology, telekomunikasyon at maging sa ekonomiya. At, siyempre, ang fractal vision ay aktibong ginagamit sa kontemporaryong sining at arkitektura. Narito ang isang halimbawa ng fractal painting:

At kaya, sa tingin ko upang makumpleto ang aking kuwento tungkol sa isang hindi pangkaraniwang mathematical phenomenon bilang isang fractal. Ngayon natutunan namin ang tungkol sa kung ano ang fractal, paano ito lumitaw, tungkol sa mga uri at halimbawa ng fractal. At nakipag-usap din ako tungkol sa kanilang aplikasyon at malinaw na ipinakita ang ilan sa mga fractals. Sana ay nasiyahan ka sa maikling iskursiyon na ito sa mundo ng mga kamangha-manghang at nakakabighaning mga fractal na bagay.