Ang mga katangian ng fractal ay hindi isang kapritso at hindi isang bunga ng idle fantasy ng mga mathematician. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa kanila, natututo tayong makilala at mahulaan mahahalagang katangian mga bagay at phenomena na nakapalibot sa atin, na dati, kung hindi man lubusang binabalewala, ay tinatantya lamang ng humigit-kumulang, nang may husay, sa pamamagitan ng mata. Halimbawa, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga fractal na dimensyon ng mga kumplikadong signal, encephalograms, o heart murmurs, maaaring masuri ng mga doktor ang ilang malalang sakit sa maagang yugto, kung kailan matutulungan pa ang pasyente. Gayundin, ang analyst, na naghahambing sa nakaraang pag-uugali ng mga presyo, sa simula ng pagbuo ng modelo, ay maaaring mahulaan ang karagdagang pag-unlad nito, sa gayon ay maiiwasan ang mga malalaking pagkakamali sa pagtataya.

Iregularidad ng fractals

Ang unang pag-aari ng fractals ay ang kanilang iregularidad. Kung ang isang fractal ay inilalarawan ng isang function, kung gayon ang pag-aari ng iregularidad sa mga termino sa matematika ay mangangahulugan na ang naturang function ay hindi naiba-iba, iyon ay, hindi makinis sa anumang punto. Sa totoo lang, ito ang may pinakadirektang kaugnayan sa merkado. Ang pagbabagu-bago ng presyo ay kung minsan ay pabagu-bago at pabagu-bago na nalilito sa maraming mangangalakal. Ang aming gawain ay ayusin ang lahat ng kaguluhang ito at dalhin ito sa kaayusan.

Alam mo ba na: tulad ng isang malawak na uri pagkakataon sa pamumuhunan, na ibinibigay ng Alpari, walang ibang Forex broker ang maaaring ipagmalaki.

Pagkakatulad sa sarili ng mga fractals

Ang pangalawang pag-aari ay nagsasabi na ang isang fractal ay isang bagay na may ari-arian ng pagkakatulad sa sarili. Ito ay isang recursive na modelo, ang bawat bahagi nito ay inuulit sa pagbuo nito ang pagbuo ng buong modelo bilang isang buo at muling ginawa sa iba't ibang mga antas nang walang nakikitang mga pagbabago. Gayunpaman, nangyayari pa rin ang mga pagbabago, na maaaring makaapekto nang malaki sa ating pang-unawa sa bagay.

Ang pagkakatulad sa sarili ay nangangahulugan na ang bagay ay walang katangiang sukat: kung mayroon itong sukat, agad mong makikilala ang pinalaki na kopya ng fragment mula sa orihinal na larawan. Ang mga bagay na katulad sa sarili ay may walang katapusang bilang ng mga kaliskis para sa lahat ng panlasa. Ang kakanyahan ng pagkakatulad sa sarili ay maaaring ipaliwanag sa sumusunod na halimbawa. Isipin na mayroon kang larawan ng isang "totoong" geometric na linya, "haba na walang lapad", tulad ng pagtukoy ni Euclid sa linya, at nakikipaglaro ka sa isang kaibigan, sinusubukang hulaan kung ipinapakita niya sa iyo ang orihinal na larawan (orihinal) o isang larawan ng anumang fragment ng isang tuwid na linya. Kahit anong pilit mo, hindi mo makikilala ang orihinal mula sa pinalaki na kopya ng fragment, ang tuwid na linya ay nakaayos sa parehong paraan sa lahat ng mga bahagi nito, ito ay katulad ng kanyang sarili, ngunit ang kahanga-hangang pag-aari nito. ay medyo nakatago sa pamamagitan ng hindi kumplikadong istraktura ng mismong tuwid na linya, ang "straightness" nito (Larawan 7).

Kung hindi mo rin makilala ang isang snapshot ng ilang bagay mula sa isang maayos na pinalaki na snapshot ng alinman sa mga fragment nito, kung gayon mayroon kang isang bagay na kapareho sa sarili. Ang lahat ng mga fractal na may hindi bababa sa ilang symmetry ay magkatulad sa sarili. At nangangahulugan ito na ang ilang mga fragment ng kanilang istraktura ay mahigpit na paulit-ulit sa ilang mga spatial na pagitan. Malinaw, ang mga bagay na ito ay maaaring maging anumang kalikasan, at ang kanilang hitsura at hugis ay nananatiling hindi nagbabago anuman ang sukat. Isang halimbawa ng isang self-similar fractal:

Sa pananalapi, ang konseptong ito ay hindi isang walang basehang abstraction, ngunit isang teoretikal na pagsasalaysay ng isang praktikal na merkado na nagsasabi—ibig sabihin, na ang mga paggalaw ng isang stock o isang pera ay mababaw na magkatulad, anuman ang takdang panahon at presyo. Hindi masabi ng nagmamasid hitsura graph, kung ang data ay tumutukoy sa lingguhan, araw-araw o oras-oras na mga pagbabago.

Siyempre, hindi lahat ng fractal ay may ganoong regular, walang katapusang paulit-ulit na istraktura tulad ng mga magagandang exhibit ng hinaharap na museo ng fractal art, na ipinanganak mula sa imahinasyon ng mga mathematician at artist. Maraming fractal na matatagpuan sa kalikasan (mga ibabaw ng fault mga bato at ang mga metal, ulap, currency quotes, magulong daloy, foam, gels, contours ng soot particle, atbp.), ay walang geometric na pagkakatulad, ngunit matigas ang ulo na nagpaparami sa bawat fragment ng istatistikal na katangian ng kabuuan. Ang mga fractals na may non-linear na anyo ng pag-unlad ay pinangalanan ni Mandelbrot bilang multifractals. Ang multifractal ay isang quasi-fractal na bagay na may variable na dimensyon ng fractal. Naturally, ang mga tunay na bagay at proseso ay mas mahusay na inilarawan ng multifractals.

Ang ganitong istatistikal na pagkakatulad sa sarili, o pagkakatulad sa sarili sa karaniwan, ay nagpapakilala sa mga fractals sa hanay. mga likas na bagay.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkakatulad sa sarili sa merkado ng foreign exchange:

Sa mga figure na ito, nakikita natin na magkapareho sila, habang may ibang sukat ng oras, sa Fig. at ang 15 minutong sukat, sa Fig. b lingguhang sukat ng presyo. Tulad ng nakikita mo, ang mga quote na ito ay walang kakayahang ganap na ulitin ang bawat isa, gayunpaman, maaari naming isaalang-alang ang mga ito na magkatulad.

Kahit na ang pinakasimpleng fractals - geometrically self-similar fractals - ay may mga hindi pangkaraniwang katangian. Halimbawa, ang von Koch snowflake ay may perimeter na walang katapusang haba, bagaman nililimitahan nito ang isang may hangganang lugar (Larawan 9). Bilang karagdagan, ito ay napakasakit na imposibleng gumuhit ng isang tangent dito sa anumang punto ng tabas (sasabihin ng isang matematiko na ang isang von Koch snowflake ay wala saanman naiba, iyon ay, hindi makinis sa anumang punto).

Nalaman ni Mandelbrot na ang mga resulta ng fractional na pagsukat ay nananatiling pare-pareho para sa iba't ibang antas ng pagpapahusay ng iregularidad ng bagay. Sa madaling salita, mayroong regularidad (katumpakan, kaayusan) para sa anumang iregularidad. Kapag tinatrato natin ang isang bagay bilang random, ipinahihiwatig nito na hindi natin nauunawaan ang kalikasan ng pagiging random na ito. Sa mga termino ng merkado, nangangahulugan ito na ang pagbuo ng parehong mga tipikal na pormasyon ay dapat mangyari sa iba't ibang time frame. Ang isang minutong chart ay maglalarawan ng fractal formation sa parehong paraan gaya ng buwanan. Ang "self-similarity" na ito na makikita sa mga chart ng commodity at financial markets ay nagpapakita ng lahat ng mga palatandaan na ang mga aksyon ng merkado ay mas malapit sa asal paradigm ng "kalikasan" kaysa sa pag-uugali ng pang-ekonomiya, pangunahing pagsusuri.

Sa mga figure na ito, mahahanap mo ang kumpirmasyon ng nasa itaas. Sa kaliwa ay isang graph na may isang minutong sukat, sa kanan ay isang lingguhan. Ang mga pares ng pera ng USD/Yen (Larawan 9 (a)) at Euro/Dollar (Larawan 9 (b)) ay ipinapakita dito na may iba't ibang sukat ng presyo. Kahit na ang pares ng JPY/USD na currency ay may ibang pagkasumpungin na may kaugnayan sa EUR/USD, maaari nating obserbahan ang parehong istraktura ng paggalaw ng presyo.

dimensyon ng fractal

Ang pangatlong katangian ng mga fractals ay ang mga fractal na bagay ay may dimensyon maliban sa Euclidean (sa madaling salita, isang topological na dimensyon). Ang dimensyon ng fractal ay isang sukatan ng pagiging kumplikado ng curve. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa paghahalili ng mga seksyon na may iba't ibang dimensyon ng fractal at kung paano naaapektuhan ang system ng panlabas at panloob na mga salik, matututong mahulaan ang pag-uugali ng system. At ang pinakamahalaga, upang masuri at mahulaan ang hindi matatag na mga kondisyon.

Sa arsenal ng modernong matematika, natagpuan ni Mandelbrot ang isang maginhawang sukatan ng dami ng di-kasakdalan ng mga bagay - ang sinuosity ng contour, ang kulubot ng ibabaw, ang fracturing at porosity ng volume. Ito ay iminungkahi ng dalawang mathematician - Felix Hausdorff (1868-1942) at Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Ngayon siya ay nararapat na magsuot maluwalhating mga pangalan ng kanilang mga tagalikha (ang Hausdorff-Besikovich na dimensyon) – ang Hausdorff-Besikovich na dimensyon. Ano ang dimensyon at bakit kailangan natin ito kaugnay sa pagsusuri ng mga pamilihang pinansyal? Bago iyon, alam lang namin ang isang uri ng dimensyon - topological (Larawan 11). Ang salitang dimensyon mismo ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga sukat ang isang bagay. Para sa isang segment, isang tuwid na linya, ito ay katumbas ng 1, i.e. mayroon lang tayong isang dimensyon, ang haba ng isang segment o isang tuwid na linya. Para sa isang eroplano, ang dimensyon ay magiging 2, dahil mayroon kaming dalawang-dimensional na dimensyon, haba at lapad. Para sa espasyo o solidong mga bagay, ang dimensyon ay 3: haba, lapad, at taas.

Kunin natin ang halimbawa ng mga laro sa kompyuter. Kung ang laro ay ginawa sa 3D graphics, kung gayon ito ay spatial at voluminous, kung sa 2D graphics, ang mga graphics ay ipinapakita sa isang eroplano (Fig. 10).

Ang pinaka-hindi pangkaraniwan (mas tamang sabihin - hindi karaniwan) sa dimensyon ng Hausdorff-Besikovich ay maaaring tumagal hindi lamang ng mga integer, bilang isang topological na dimensyon, kundi pati na rin ang mga fractional na halaga. Katumbas ng isa para sa isang tuwid na linya (infinite, semi-infinite, o para sa isang finite segment), ang Hausdorff-Besicovitch na dimensyon ay tumataas habang tumataas ang tortuosity, habang ang topological na dimensyon ay matigas ang ulo na binabalewala ang lahat ng pagbabagong nagaganap sa linya.

Tinutukoy ng dimensyon ang komplikasyon ng isang set (halimbawa, isang tuwid na linya). Kung ito ay isang curve na may topological na dimensyon na katumbas ng 1 (isang tuwid na linya), kung gayon ang curve ay maaaring kumplikado sa pamamagitan ng isang walang katapusang bilang ng mga bends at mga sanga sa isang lawak na ang fractal na dimensyon nito ay lumalapit sa dalawa, i.e. pupunuin ang halos buong eroplano (Fig. 12)

Sa pamamagitan ng pagtaas ng halaga nito, ang dimensyon ng Hausdorff-Besikovich ay hindi nagbabago nang biglaan, dahil ang topological na dimensyon ay gagawin "sa lugar nito", ang paglipat mula 1 kaagad hanggang 2. Ang dimensyon ng Hausdorff-Besikovich - at ito sa unang tingin ay maaaring mukhang hindi pangkaraniwan at nakakagulat, kumukuha ng mga fractional na halaga : katumbas ng isa para sa isang tuwid na linya, ito ay nagiging 1.15 para sa isang bahagyang paikot-ikot na linya, 1.2 para sa isang mas paliko-liko na linya, 1.5 para sa isang napakaliit na linya, at iba pa.

Ito ay upang bigyang-diin ang kakayahan ng dimensyon ng Hausdorff-Besikovich na kumuha ng mga fractional, non-integer na mga halaga na si Mandelbrot ay nakabuo ng kanyang sariling neologism, na tinawag itong fractal na dimensyon. Kaya, ang isang fractal na dimensyon (hindi lamang Hausdorff-Besikovich, ngunit anumang iba pa) ay isang dimensyon na maaaring tumagal ng hindi kinakailangang mga halaga ng integer, kundi pati na rin ang mga fractional.

Para sa linear geometric fractals, ang dimensyon ay nagpapakilala sa kanilang pagkakatulad sa sarili. Isaalang-alang ang Fig. 17(A), ang linya ay binubuo ng N=4 na mga segment, na ang bawat isa ay may haba na r = 1/3. Bilang resulta, nakukuha namin ang ratio:

D = logN/log(1/r)

Ang sitwasyon ay medyo naiiba kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa multifractals (non-linear). Dito nawawalan ng kahulugan ang dimensyon bilang isang kahulugan ng pagkakapareho ng isang bagay at tinukoy sa pamamagitan ng iba't ibang generalizations, higit na hindi natural kaysa sa natatanging dimensyon ng mga bagay na magkatulad sa sarili.

Sa foreign exchange market, ang dimensyon ay maaaring makilala ang pagkasumpungin ng mga panipi ng presyo. Ang bawat pares ng pera ay may sariling pag-uugali sa mga tuntunin ng mga presyo. Para sa pares ng Pound/Dollar (Fig. 13(a)) ito ay mas kalmado kaysa sa Euro/Dollar (Fig. 13(b)). Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay ang mga currency na ito ay gumagalaw na may parehong istraktura sa mga antas ng presyo, gayunpaman, mayroon silang iba't ibang mga dimensyon, na maaaring makaapekto sa intraday trading at mga pagbabago sa mga modelo na lumalampas sa walang karanasan na hitsura.

Sa fig. Ipinapakita ng 14 ang dimensyon na may kaugnayan sa mathematical na modelo, upang mas malalim kang tumagos sa halaga. ang terminong ito. Tandaan na ang lahat ng tatlong figure ay nagpapakita ng parehong cycle. Sa fig. at ang dimensyon ay 1.2, sa Fig. b, ang sukat ay 1.5, at sa Fig. sa 1.9. Ito ay makikita na sa isang pagtaas sa dimensyon, ang pang-unawa ng bagay ay nagiging mas kumplikado, ang amplitude ng mga oscillations ay tumataas.

Sa mga pamilihan sa pananalapi, ang sukat ay makikita hindi lamang bilang pagkasumpungin ng presyo, kundi pati na rin bilang isang detalye ng mga pag-ikot (mga alon). Dahil dito, matutukoy natin kung ang isang alon ay kabilang sa isang tiyak na sukat ng oras. Sa fig. Ipinapakita ng 15 ang pares ng Euro/Dollar sa pang-araw-araw na sukat ng presyo. Magbayad ng pansin, maaari mong malinaw na makita ang nabuo na cycle at ang simula ng isang bago, mas malaking cycle. Ang paglipat sa oras-oras na sukat at pag-zoom in sa isa sa mga cycle, makikita natin ang mas maliliit na cycle, at bahagi ng isang malaki na matatagpuan sa D1 (Fig. 16). Pagdedetalye ng loop, i.e. ang kanilang dimensyon ay nagpapahintulot sa amin na matukoy mula sa mga paunang kondisyon kung paano maaaring umunlad ang sitwasyon sa hinaharap. Masasabi natin na: ang fractal na dimensyon ay sumasalamin sa scale invariance property ng set na isinasaalang-alang.

Ang konsepto ng invariance ay ipinakilala ni Mandelbrot mula sa salitang "sealant" - scalable, i.e. kapag ang isang bagay ay may pag-aari ng invariance, mayroon itong iba't ibang mga sukat ng pagpapakita.

Sa fig. 16 bilog A ay nagha-highlight ng isang mini-cycle (detalyadong wave), bilog B - isang wave ng isang mas malaking cycle. Ito ay tiyak na dahil sa dimensyon na hindi natin palaging matukoy ang LAHAT ng mga cycle sa parehong sukat ng presyo.

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga problema ng pagtukoy at pagbuo ng mga katangian ng mga di-pana-panahong mga siklo sa seksyong "Mga siklo sa merkado ng dayuhang palitan", ngayon ang pangunahing bagay para sa amin ay maunawaan kung paano at saan ang dimensyon ay nagpapakita ng sarili sa mga pamilihan sa pananalapi.

Kaya, maaari nating sabihin na ang mga fractals bilang mga modelo ay ginagamit kapag ang tunay na bagay ay hindi maaaring katawanin sa anyo ng mga klasikal na modelo. At nangangahulugan ito na nakikipag-ugnayan tayo sa mga non-linear na relasyon at ang hindi tiyak (random) na katangian ng data. Ang nonlinearity sa ideological na kahulugan ay nangangahulugan ng multivariance ng mga landas ng pag-unlad, ang pagkakaroon ng isang pagpipilian mula sa mga alternatibong paraan at isang tiyak na rate ng ebolusyon, pati na rin ang hindi maibabalik mga proseso ng ebolusyon. Non-linearity sa matematikal na kahulugan ay nangangahulugan tiyak na uri mathematical equation (nonlinear differential equation) na naglalaman ng mga gustong dami sa mga kapangyarihang higit sa isa o mga coefficient na nakadepende sa mga katangian ng medium. Isang simpleng halimbawa ng isang non-linear dynamical system:

Si Johnny ay lumalaki ng 2 pulgada sa isang taon. Ipinapaliwanag ng system na ito kung paano nagbabago ang taas ni Johnny sa paglipas ng panahon. Hayaan ang x(n) ang taas ni Johnny ngayong taon. Hayaan itong tumaas sa susunod na taon isusulat bilang x (n+1). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang dynamical system sa anyo ng isang equation:

x(n+1) = x(n) + 2.

Kita mo? Hindi ba ito simpleng matematika? Kung ipasok natin ang taas ni Johnny x(n) = 38 pulgada ngayon, pagkatapos ay sa kanang bahagi ng equation makuha natin ang taas ni Johnny sa susunod na taon, x(n+1) = 40 pulgada:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Ang paglipat mula kanan pakaliwa sa isang equation ay tinatawag na pag-ulit (repetition). Maaari nating ulitin muli ang equation sa pamamagitan ng pagpasok bagong paglago Si Johnny ay 40 pulgada sa kanang bahagi ng equation (i.e. x(n) = 40), at makuha natin ang x(n+1) = 42. Kung inuulit natin (ulitin) ang equation ng 3 beses, makukuha natin ang taas ni Johnny pagkatapos ng 3 taon, ibig sabihin 44 pulgada, simula sa 38 pulgada ang taas.

Ito ay isang deterministikong dynamic na sistema. Kung gusto nating gawin itong non-deterministic (stochastic), maaari tayong gumawa ng modelong tulad nito: Si Johnny ay lumalaki ng 2 pulgada bawat taon, higit pa o mas kaunti, at isulat ang equation bilang:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

kung saan ang e ay isang maliit na error (maliit na may kaugnayan sa 2), ay kumakatawan sa ilang probability distribution.

Bumalik tayo sa orihinal na deterministic equation. Ang orihinal na equation, x(n+1) = x(n) + 2, ay linear. Ang ibig sabihin ng linear ay nagdaragdag ka ng mga variable o constants, o nagpaparami ng mga variable sa pamamagitan ng constants. Halimbawa, ang equation

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

ay linear. Ngunit kung i-multiply mo ang mga variable, o itataas ang mga ito sa isang kapangyarihan na higit sa isa, ang equation (system) ay magiging non-linear. Halimbawa, ang equation

x(n+1) = x(n) 2

ay hindi linear dahil ang x(n) ay parisukat. Ang equation

ay non-linear dahil ang dalawang variable, x at y, ay pinarami.

Kapag nag-apply kami ng mga klasikal na modelo (halimbawa, trend, regression, atbp.), sinasabi namin na ang hinaharap ng isang bagay ay natatanging tinutukoy, i.e. ganap na nakasalalay sa mga paunang kondisyon at pumapayag sa isang malinaw na hula. Maaari mong independiyenteng gawin ang isa sa mga modelong ito sa Excel. Halimbawa klasikal na modelo ay maaaring katawanin bilang isang patuloy na bumababa o tumataas na kalakaran. At maaari nating mahulaan ang pag-uugali nito, alam ang nakaraan ng bagay (ang paunang data para sa pagmomodelo). At ang mga fractals ay ginagamit sa kaso kapag ang bagay ay may ilang mga pagpipilian para sa pag-unlad at ang estado ng system ay tinutukoy ng posisyon kung saan ito kasalukuyang matatagpuan. Iyon ay, sinusubukan naming gayahin ang isang magulong pag-unlad. Ang sistemang ito ay ang interbank foreign exchange market.

Isaalang-alang natin ngayon kung paano makukuha ng isang tao mula sa isang tuwid na linya ang tinatawag nating fractal, kasama ang mga likas na katangian nito.

Sa fig. 17(A) ay nagpapakita ng Koch curve. Kumuha ng segment ng linya, ang haba nito = 1, i.e. topological na dimensyon pa rin. Ngayon ay hahatiin natin ito sa tatlong bahagi (bawat 1/3 ng haba), at alisin ang pangatlo sa gitna. Ngunit papalitan natin ang gitnang ikatlong bahagi ng dalawang segment (bawat 1/3 ng haba), na maaaring katawanin bilang dalawang panig ng isang equilateral triangle. Ito ang ikalawang yugto (b) ng disenyo na inilalarawan sa fig. 17(A). Sa puntong ito mayroon kaming 4 na mas maliit na bahagi, bawat 1/3 ng haba, kaya ang buong haba ay 4(1/3) = 4/3. Pagkatapos ay ulitin namin ang prosesong ito para sa bawat isa sa 4 na mas maliit na lobe ng linya. Ito ang ikatlong yugto (c). Bibigyan tayo nito ng 16 na mas maliliit na segment ng linya, bawat 1/9 ng haba. Kaya ang buong haba ay 16/9 o (4/3) 2 . Bilang resulta, nakakuha kami ng fractional na dimensyon. Ngunit hindi lamang nito nakikilala ang nagresultang istraktura mula sa isang tuwid na linya. Ito ay naging katulad sa sarili at imposibleng gumuhit ng tangent sa alinman sa mga punto nito (Larawan 17 (B)).

Nilalaman

Ang pinaka-mapanlikhang pagtuklas sa agham ay maaaring magbago nang radikal buhay ng tao. Ang naimbentong bakuna ay maaaring magligtas ng milyun-milyong tao, ang paglikha ng mga armas, sa kabaligtaran, ay kumitil sa mga buhay na ito. Kamakailan lamang (sa sukat ebolusyon ng tao) natutunan nating "paamoin" ang kuryente - at ngayon ay hindi natin maiisip ang buhay nang wala ang lahat ng mga maginhawang device na ito na gumagamit ng kuryente. Ngunit mayroon ding mga natuklasan na kakaunti ang binibigyang importansya ng mga tao, bagama't malaki rin ang impluwensya nito sa ating buhay.

Ang isa sa mga "hindi mahahalata" na pagtuklas ay mga fractals. Marahil ay narinig mo na ang nakakaakit na salitang ito, ngunit alam mo ba kung ano ang ibig sabihin nito at kung gaano karaming mga kawili-wiling bagay ang nakatago sa terminong ito?

Ang bawat tao ay may likas na pagkamausisa, isang pagnanais na malaman ang tungkol sa mundo sa paligid niya. At sa hangaring ito, sinusubukan ng isang tao na sumunod sa lohika sa mga paghuhusga. Sinusuri ang mga prosesong nagaganap sa paligid niya, sinusubukan niyang hanapin ang lohika ng mga nangyayari at maghinuha ng ilang regularidad. Ang pinakamalaking isip sa planeta ay abala sa gawaing ito. Sa halos pagsasalita, ang mga siyentipiko ay naghahanap ng isang pattern kung saan hindi ito dapat. Gayunpaman, kahit na sa kaguluhan, ang isa ay makakahanap ng koneksyon sa pagitan ng mga kaganapan. At ang koneksyon na ito ay isang fractal.

Ang aming munting anak na babae, apat at kalahating taong gulang, ay nasa napakagandang edad na ngayon kung kailan ang dami ng mga tanong na “Bakit?” maraming beses na mas malaki kaysa sa bilang ng mga sagot na may oras na ibigay ng mga matatanda. Hindi pa katagal, nakatingin sa isang sanga na nakataas mula sa lupa, biglang napansin ng aking anak na babae na ang sanga na ito, na may mga buhol at mga sanga, ay parang puno. At, siyempre, ang karaniwang tanong na "Bakit?" ay sumunod, kung saan ang mga magulang ay kailangang maghanap ng isang simpleng paliwanag na mauunawaan ng bata.

Ang pagkakapareho ng isang solong sanga na may isang buong puno na natuklasan ng isang bata ay isang napaka-tumpak na obserbasyon, na muling nagpapatotoo sa prinsipyo ng recursive na pagkakatulad sa sarili sa kalikasan. Napakaraming organiko at di-organikong mga anyo sa kalikasan ang nabuo nang katulad. Mga ulap, kabibi ng dagat, "bahay" ng kuhol, ang balat at korona ng mga puno, daluyan ng dugo sa katawan at iba pa - ang mga random na hugis ng lahat ng mga bagay na ito ay maaaring ilarawan ng fractal algorithm.

⇡ Benoit Mandelbrot: ang ama ng fractal geometry

Ang mismong salitang "fractal" ay lumitaw salamat sa napakatalino na siyentipiko na si Benoît B. Mandelbrot.

Siya mismo ang lumikha ng termino noong 1970s, na humiram ng salitang fractus mula sa Latin, kung saan literal itong nangangahulugang "nasira" o "durog." Ano ito? Sa ngayon, ang salitang "fractal" ay kadalasang ginagamit upang ibig sabihin graphic na larawan isang istraktura na katulad ng sarili nito sa mas malaking sukat.

Ang mathematical na batayan para sa paglitaw ng teorya ng fractals ay inilatag maraming taon bago ang kapanganakan ni Benoit Mandelbrot, ngunit maaari lamang itong umunlad sa pagdating ng mga aparatong computing. Sa simula ng kanyang aktibidad na pang-agham Nagtrabaho si Benoist sa IBM Research Center. Sa oras na iyon, ang mga empleyado ng sentro ay nagtatrabaho sa paghahatid ng data sa isang distansya. Sa kurso ng pananaliksik, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa problema ng malalaking pagkalugi na nagmumula sa pagkagambala sa ingay. Bago si Benoi ay nakatayo ang isang kumplikado at napaka mahalagang gawain- maunawaan kung paano mahulaan ang paglitaw ng panghihimasok ng ingay sa mga electronic circuit kapag hindi epektibo ang istatistikal na paraan.

Sa pagtingin sa mga resulta ng mga sukat ng ingay, binigyang pansin ni Mandelbrot ang isang kakaibang pattern - ang mga graph ng ingay sa iba't ibang mga kaliskis ay mukhang pareho. Ang isang magkatulad na pattern ay naobserbahan hindi alintana kung ito ay isang plot ng ingay para sa isang araw, isang linggo, o isang oras. Ito ay nagkakahalaga ng pagbabago ng sukat ng graph, at ang larawan ay paulit-ulit sa bawat oras.

Sa kanyang buhay, paulit-ulit na sinabi ni Benoit Mandelbrot na hindi siya nakikitungo sa mga formula, ngunit naglaro lamang ng mga larawan. Ang taong ito ay napaka-figuratively nag-isip, at isinalin ang anumang algebraic problema sa larangan ng geometry, kung saan, ayon sa kanya, ang tamang sagot ay palaging halata.

Hindi nakapagtataka na ito ay isang lalaking may ganoong kayaman spatial na imahinasyon naging ama ng fractal geometry. Pagkatapos ng lahat, ang pagsasakatuparan ng kakanyahan ng mga fractals ay dumating nang tumpak kapag nagsimula kang mag-aral ng mga guhit at mag-isip tungkol sa kahulugan ng mga kakaibang pattern ng swirl.

Ang isang fractal pattern ay walang magkatulad na elemento, ngunit may pagkakatulad sa anumang sukat. Buuin ang larawang ito gamit ang isang mataas na antas Ang manu-manong pagdedetalye ay dati nang imposible, kinakailangan malaking halaga pagcompute. Halimbawa, inilarawan ng Pranses na matematiko na si Pierre Joseph Louis Fatou ang set na ito higit sa pitumpung taon bago ang pagtuklas ni Benoit Mandelbrot. Kung pinag-uusapan natin ang mga prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili, binanggit sila sa mga gawa nina Leibniz at Georg Cantor.

Ang isa sa mga unang guhit ng isang fractal ay isang graphical na interpretasyon ng set ng Mandelbrot, na ipinanganak mula sa pananaliksik ni Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (laging nakamaskara - pinsala sa WWI)

Ang French mathematician na ito ay nagtaka kung ano ang magiging hitsura ng isang set kung ito ay binuo mula sa isang simpleng formula na inuulit ng isang loop puna. Kung ipinaliwanag "sa mga daliri", nangangahulugan ito na para sa isang tiyak na numero ay makakahanap kami ng isang bagong halaga gamit ang formula, pagkatapos nito ay pinapalitan namin itong muli sa formula at kumuha ng isa pang halaga. Ang resulta ay isang malaking pagkakasunod-sunod ng mga numero.

Upang makakuha ng isang kumpletong larawan ng naturang set, kailangan mong gumawa ng isang malaking halaga ng mga kalkulasyon - daan-daan, libu-libo, milyon-milyon. Imposibleng gawin ito nang manu-mano. Ngunit nang lumitaw ang makapangyarihang mga aparato sa pag-compute sa pagtatapon ng mga mathematician, nagawa nilang tingnan ang mga formula at expression na matagal nang interesado. Si Mandelbrot ang unang gumamit ng computer para kalkulahin ang classical fractal. Matapos maproseso ang isang sequence na binubuo ng isang malaking bilang ng mga halaga, inilipat ni Benoit ang mga resulta sa isang graph. Narito ang nakuha niya.

Kasunod nito, ang larawang ito ay kinulayan (halimbawa, ang isa sa mga paraan ng pagkulay ay sa pamamagitan ng bilang ng mga pag-ulit) at naging isa sa mga pinakasikat na larawang nilikha ng tao.

Gaya nga ng kasabihan sinaunang kasabihan na iniuugnay kay Heraclitus ng Ephesus, "Hindi ka maaaring pumasok sa parehong ilog ng dalawang beses." Ito ang pinakaangkop para sa pagbibigay-kahulugan sa geometry ng mga fractals. Gaano man kadetalye ang pagsusuri natin sa isang fractal na imahe, palagi tayong makakakita ng katulad na pattern.

Ang mga nagnanais na makita kung ano ang magiging hitsura ng isang imahe ng Mandelbrot space kapag pinalaki nang maraming beses ay maaaring gawin ito sa pamamagitan ng pag-upload ng isang animated na GIF.

⇡ Lauren Carpenter: sining na nilikha ng kalikasan

Ang teorya ng fractals ay natagpuan sa lalong madaling panahon praktikal na gamit. Dahil malapit itong nauugnay sa visualization ng mga larawang magkatulad sa sarili, hindi nakakagulat na ang unang gumamit ng mga algorithm at prinsipyo para sa pagbuo ng mga hindi pangkaraniwang anyo ay mga artista.

Ang hinaharap na co-founder ng maalamat na studio ng Pixar, si Loren C. Carpenter, ay nagsimulang magtrabaho sa Boeing Computer Services noong 1967, na isa sa mga dibisyon ng kilalang korporasyon na nakikibahagi sa pagbuo ng bagong sasakyang panghimpapawid.

Noong 1977, lumikha siya ng mga presentasyon na may mga prototype ng mga lumilipad na modelo. Si Lauren ay responsable para sa pagbuo ng mga larawan ng sasakyang panghimpapawid na idinisenyo. Siya ay dapat na lumikha ng mga larawan ng mga bagong modelo, na nagpapakita ng hinaharap na sasakyang panghimpapawid na may iba't ibang partido. Sa ilang mga punto, ang hinaharap na tagapagtatag ng Pixar Animation Studios ay nakaisip ng malikhaing ideya na gumamit ng larawan ng mga bundok bilang background. Sa ngayon, ang sinumang mag-aaral ay maaaring malutas ang gayong problema, ngunit sa huling bahagi ng mga dekada sitenta ng huling siglo, ang mga computer ay hindi makayanan ang gayong kumplikadong mga kalkulasyon - mga graphic editor ay hindi, hindi banggitin ang mga application para sa tatlong-dimensional na graphics. Noong 1978, aksidenteng nakita ni Lauren ang aklat ni Benoit Mandelbrot na Fractals: Form, Randomness and Dimension sa isang tindahan. Ang nakakuha ng kanyang pansin sa aklat na ito ay nagbigay si Benoist ng maraming halimbawa ng mga fractal form sa totoong buhay at pinatunayan na ang mga ito ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang mathematical expression.

Ang pagkakatulad na ito ay pinili ng mathematician hindi sa pamamagitan ng pagkakataon. Ang katotohanan ay na sa sandaling nai-publish niya ang kanyang pananaliksik, kinailangan niyang harapin ang isang buong gulo ng pagpuna. Ang pangunahing bagay na sinisiraan siya ng kanyang mga kasamahan ay ang kawalan ng silbi ng nabuong teorya. “Oo,” sabi nila, “ito ay magagandang larawan, ngunit wala nang iba pa. praktikal na halaga ang teorya ng fractals ay wala. Mayroon ding mga karaniwang naniniwala na ang mga fractal pattern ay isang by-product lamang ng gawain ng "devil machines", na sa huling bahagi ng seventies ay tila sa marami ay isang bagay na masyadong kumplikado at hindi napag-aralan upang lubos na mapagkakatiwalaan. Sinubukan ni Mandelbrot na makahanap ng isang malinaw na aplikasyon ng teorya ng fractals, ngunit, sa pangkalahatan, hindi niya kailangang gawin ito. Ang mga tagasunod ni Benoit Mandelbrot sa susunod na 25 taon ay napatunayang malaki ang pakinabang sa naturang "mathematical curiosity", at si Lauren Carpenter ay isa sa mga unang nagsagawa ng fractal method.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng libro, ang hinaharap na animator ay seryosong pinag-aralan ang mga prinsipyo ng fractal geometry at nagsimulang maghanap ng isang paraan upang maipatupad ito sa computer graphics. Sa loob lamang ng tatlong araw ng trabaho, na-visualize na ni Lauren makatotohanang imahe sistema ng bundok sa iyong kompyuter. Sa madaling salita, sa tulong ng mga formula, nagpinta siya ng isang ganap na nakikilalang tanawin ng bundok.

Ang prinsipyo na ginamit ni Lauren upang makamit ang kanyang layunin ay napaka-simple. Binubuo ito sa paghahati ng isang mas malaking geometric na figure sa maliliit na elemento, at ang mga ito, naman, ay nahahati sa katulad na mas maliliit na figure.

Gamit ang mas malalaking tatsulok, hinati ni Carpenter ang mga ito sa apat na mas maliit at pagkatapos ay inulit ang pamamaraang ito nang paulit-ulit hanggang sa magkaroon siya ng makatotohanang tanawin ng bundok. Kaya, nagawa niyang maging unang artist na gumamit ng fractal algorithm sa computer graphics upang makabuo ng mga imahe. Sa sandaling malaman ito tungkol sa gawaing ginawa, kinuha ng mga mahilig sa buong mundo ang ideyang ito at nagsimulang gamitin ang fractal algorithm upang gayahin ang mga makatotohanang natural na anyo.

Isa sa mga unang 3D rendering gamit ang fractal algorithm

Pagkalipas lamang ng ilang taon, nailapat ni Lauren Carpenter ang kanyang mga tagumpay sa isang mas malaking proyekto. Ibinatay sila ng animator sa isang dalawang minutong demo, Vol Libre, na ipinakita sa Siggraph noong 1980. Ikinagulat ng video na ito ang lahat ng nakakita nito, at nakatanggap si Lauren ng imbitasyon mula sa Lucasfilm.

Ang animation ay nai-render sa isang VAX-11/780 na computer mula sa Digital Equipment Corporation sa bilis ng orasan na limang megahertz, at ang bawat frame ay tumagal ng halos kalahating oras upang gumuhit.

Nagtatrabaho para sa Lucasfilm Limited, gumawa ang animator ng parehong mga 3D na landscape para sa pangalawang feature sa Star Trek saga. Sa The Wrath of Khan, nakagawa si Carpenter ng isang buong planeta gamit ang parehong prinsipyo ng fractal surface modeling.

Sa kasalukuyan, ang lahat ng sikat na application para sa paglikha ng mga 3D na landscape ay gumagamit ng parehong prinsipyo ng pagbuo ng mga natural na bagay. Ang Terragen, Bryce, Vue at iba pang 3D editor ay umaasa sa isang fractal surface at texture modeling algorithm.

⇡ Fractal antenna: mas kaunti ang mas mabuti, ngunit mas mabuti

Sa nakalipas na kalahating siglo, mabilis na nagbago ang buhay. Karamihan sa atin ay binibigyang halaga ang mga pagsulong sa modernong teknolohiya. Lahat ng bagay na ginagawang mas komportable ang buhay, mabilis kang masanay. Bihirang may nagtatanong ng "Saan ito nanggaling?" At paano ito gumagana?". Ang microwave oven ay nagpapainit ng almusal - mabuti, mahusay, pinapayagan ka ng isang smartphone na makipag-usap sa ibang tao - mahusay. Ito ay tila isang malinaw na posibilidad sa amin.

Ngunit ang buhay ay maaaring maging ganap na naiiba kung ang isang tao ay hindi naghahanap ng paliwanag para sa mga kaganapang nagaganap. Kunin, halimbawa, ang mga cell phone. Tandaan ang mga maaaring iurong antenna sa mga unang modelo? Nakialam sila, pinalaki ang laki ng aparato, sa huli, madalas na sinira. Naniniwala kami na sila ay nalubog na sa limot magpakailanman, at bahagyang dahil dito ... fractals.

Ang mga guhit ng fractal ay nabighani sa kanilang mga pattern. Tiyak na mukhang mga larawan ang mga ito. mga bagay sa kalawakan- Nebulae, mga kumpol ng mga kalawakan at iba pa. Samakatuwid, medyo natural na nang ipahayag ni Mandelbrot ang kanyang teorya ng fractals, ang kanyang pananaliksik ay nagpukaw ng pagtaas ng interes sa mga nag-aral ng astronomy. Ang isang baguhan na nagngangalang Nathan Cohen, pagkatapos dumalo sa isang panayam ni Benoit Mandelbrot sa Budapest, ay nabigyang inspirasyon ng ideya ng praktikal na aplikasyon ng kaalamang natamo. Totoo, ginawa niya ito nang intuitive, at ang pagkakataon ay may mahalagang papel sa kanyang pagtuklas. Bilang isang amateur sa radyo, hinangad ni Nathan na lumikha ng isang antenna na may pinakamataas na posibleng sensitivity.

Ang tanging paraan upang mapabuti ang mga parameter ng antenna, na kilala noong panahong iyon, ay upang madagdagan ang mga geometric na sukat nito. Gayunpaman, ang may-ari ng downtown Boston apartment ni Nathan ay mahigpit na tutol sa pag-install ng malalaking rooftop device. Pagkatapos ay nagsimulang mag-eksperimento si Nathan iba't ibang anyo antenna, sinusubukang makuha maximum na resulta na may pinakamababang sukat. Napukaw sa ideya ng mga fractal form, si Cohen, tulad ng sinasabi nila, ay random na ginawa ang isa sa pinakasikat na fractals mula sa wire - ang "Koch snowflake". Ang Swedish mathematician na si Helge von Koch ay gumawa ng kurba na ito noong 1904. Nakukuha ito sa pamamagitan ng paghahati ng segment sa tatlong bahagi at pagpapalit sa gitnang bahagi ng isang equilateral triangle na walang panig na tumutugma sa segment na ito. Ang kahulugan ay medyo mahirap unawain, ngunit ang pigura ay malinaw at simple.

Mayroon ding iba pang mga varieties ng "Koch curve", ngunit ang tinatayang hugis ng curve ay nananatiling pareho

Nang ikonekta ni Nathan ang antenna sa radio receiver, labis siyang nagulat - ang sensitivity ay tumaas nang husto. Pagkatapos ng isang serye ng mga eksperimento, napagtanto ng hinaharap na propesor sa Boston University na ang isang antena na ginawa ayon sa isang fractal pattern ay may mataas na kahusayan at sumasaklaw sa isang mas malawak na saklaw ng dalas kumpara sa mga klasikal na solusyon. Bilang karagdagan, ang hugis ng antena sa anyo ng isang fractal curve ay maaaring makabuluhang bawasan ang mga geometric na sukat. Gumawa pa si Nathan Cohen ng isang teorama na nagpapatunay na upang lumikha ng isang broadband antenna, sapat na upang bigyan ito ng hugis ng isang self-similar fractal curve.

Na-patent ng may-akda ang kanyang pagtuklas at nagtatag ng isang kompanya para sa pagbuo at disenyo ng mga fractal antenna na Fractal Antenna Systems, na tama ang paniniwala na sa hinaharap, salamat sa kanyang pagtuklas, ang mga cell phone ay makakaalis ng malalaking antenna at magiging mas compact.

Talaga, iyon ang nangyari. Totoo, hanggang ngayon, si Nathan ay nasa isang demanda sa malalaking korporasyon na ilegal na gumagamit ng kanyang natuklasan upang makagawa ng mga compact na kagamitan sa komunikasyon. Ilang kilalang tagagawa mga mobile device, tulad ng Motorola, ay naabot na ang isang kasunduan sa kapayapaan sa imbentor ng fractal antenna.

⇡ Mga sukat ng fractal: hindi naiintindihan ng isip

Hiniram ni Benoit ang tanong na ito mula sa sikat na Amerikanong siyentipiko na si Edward Kasner.

Ang huli, tulad ng maraming iba pang sikat na mathematician, ay mahilig makipag-usap sa mga bata, magtanong sa kanila at makakuha ng mga hindi inaasahang sagot. Minsan ito ay humantong sa nakakagulat na mga resulta. Kaya, halimbawa, ang siyam na taong gulang na pamangkin ni Edward Kasner ay nakabuo ng kilalang salitang "googol", na nagsasaad ng isang yunit na may isang daang mga zero. Ngunit bumalik sa fractals. Nagustuhan ng American mathematician na magtanong, ano ang haba baybayin USA. Matapos makinig sa opinyon ng kausap, si Edward mismo ang nagsalita ng tamang sagot. Kung susukatin mo ang haba sa mapa na may mga sirang segment, magiging hindi tumpak ang resulta, dahil ang baybayin ay may malaking bilang ng mga iregularidad. At ano ang mangyayari kung sukatin mo nang tumpak hangga't maaari? Kakailanganin mong isaalang-alang ang haba ng bawat hindi pagkakapantay-pantay - kakailanganin mong sukatin ang bawat kapa, bawat bay, bato, ang haba ng mabatong ungos, isang bato sa ibabaw nito, isang butil ng buhangin, isang atom, at iba pa. Dahil ang bilang ng mga iregularidad ay may posibilidad na infinity, ang sinusukat na haba ng baybayin ay tataas hanggang infinity sa bawat bagong iregularidad.

Kung mas maliit ang sukat kapag nagsusukat, mas malaki ang sinusukat na haba

Kapansin-pansin, ang pagsunod sa mga senyas ni Edward, ang mga bata ay mas mabilis kaysa sa mga matatanda sa pagsasabi ng tamang sagot, habang ang huli ay nahihirapang tanggapin ang gayong hindi kapani-paniwalang sagot.

Gamit ang problemang ito bilang isang halimbawa, iminungkahi ni Mandelbrot ang paggamit ng bagong diskarte sa mga sukat. Dahil ang baybayin ay malapit sa isang fractal curve, nangangahulugan ito na ang isang characterizing parameter, ang tinatawag na fractal na dimensyon, ay maaaring ilapat dito.

Ano ang karaniwang sukat ay malinaw sa sinuman. Kung ang sukat ay katumbas ng isa, nakakakuha tayo ng isang tuwid na linya, kung dalawa - patag na pigura, tatlo ang volume. Gayunpaman, ang gayong pag-unawa sa dimensyon sa matematika ay hindi gumagana sa mga fractal curve, kung saan ang parameter na ito ay may fractional na halaga. Ang dimensyon ng fractal sa matematika ay maaaring ituring na may kondisyon bilang "kagaspangan". Kung mas mataas ang roughness ng curve, mas malaki ang fractal na dimensyon nito. Isang curve na, ayon kay Mandelbrot, ay may fractal na dimensyon na mas mataas kaysa sa topological na dimensyon nito, ay may tinatayang haba na hindi nakadepende sa bilang ng mga dimensyon.

Ang mga siyentipiko ngayon ay nakakahanap ng higit pa at higit pa mas maraming lugar upang ilapat ang teorya ng fractals. Sa tulong ng mga fractals, maaari mong suriin ang mga pagbabagu-bago sa mga presyo ng stock, galugarin ang lahat ng uri ng mga natural na proseso, tulad ng mga pagbabago sa bilang ng mga species, o gayahin ang dynamics ng mga daloy. Maaaring gamitin ang mga algorithm ng fractal para sa compression ng data, halimbawa para sa image compression. At siya nga pala, para makakuha ng magandang fractal sa screen ng iyong computer, hindi mo kailangang magkaroon ng doctoral degree.

⇡ Fractal sa browser

Marahil ang isa sa mga pinakamadaling paraan upang makakuha ng fractal pattern ay ang paggamit ng online vector editor mula sa isang batang mahuhusay na programmer na si Toby Schachman. Ang toolkit ng simpleng graphics editor na ito ay batay sa parehong prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili.

Mayroon lamang dalawang simpleng hugis sa iyong pagtatapon - isang parisukat at isang bilog. Maaari mong idagdag ang mga ito sa canvas, scale (upang i-scale kasama ang isa sa mga axes, pindutin nang matagal ang Shift key) at i-rotate. Patong-patong sa prinsipyo ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag ng Boolean, ang mga pinakasimpleng elementong ito ay bumubuo ng mga bago, hindi gaanong kaunting mga anyo. Dagdag pa, ang mga bagong form na ito ay maaaring idagdag sa proyekto, at uulitin ng programa ang pagbuo ng mga larawang ito nang walang katapusan. Sa anumang yugto ng pagtatrabaho sa isang fractal, maaari kang bumalik sa anumang bahagi kumplikadong hugis at i-edit ang posisyon at geometry nito. Napakasaya nito, lalo na kapag isinasaalang-alang mo na ang tanging tool na kailangan mo upang maging malikhain ay isang browser. Kung hindi mo naiintindihan ang prinsipyo ng pagtatrabaho sa recursive vector editor na ito, ipinapayo namin sa iyo na panoorin ang video sa opisyal na website ng proyekto, na nagpapakita nang detalyado sa buong proseso ng paglikha ng fractal.

⇡ XaoS: fractals para sa bawat panlasa

Maraming mga graphic editor ang may built-in na tool para sa paglikha ng mga fractal pattern. Gayunpaman, ang mga tool na ito ay kadalasang pangalawa at hindi ka pinapayagang i-fine-tune ang nabuong fractal pattern. Sa mga kaso kung saan kinakailangan upang bumuo ng isang mathematically tumpak na fractal, ang XaoS cross-platform editor ay darating upang iligtas. Ginagawang posible ng program na ito hindi lamang upang bumuo ng isang katulad na imahe, kundi pati na rin upang magsagawa ng iba't ibang mga manipulasyon dito. Halimbawa, sa real time, maaari kang "maglakad" sa isang fractal sa pamamagitan ng pagbabago ng sukat nito. Ang mga animated na paggalaw kasama ang isang fractal ay maaaring i-save bilang isang XAF file at pagkatapos ay i-play muli sa mismong programa.

Ang XaoS ay maaaring mag-load ng isang random na hanay ng mga parameter, pati na rin gumamit ng iba't ibang mga filter ng post-processing ng imahe - magdagdag ng isang blur na epekto ng paggalaw, pakinisin ang matalim na paglipat sa pagitan ng mga fractal point, gayahin ang isang 3D na imahe, at iba pa.

⇡ Fractal Zoomer: compact fractal generator

Kung ikukumpara sa iba pang mga generator ng fractal na imahe, mayroon itong ilang mga pakinabang. Una, ito ay medyo maliit sa laki at hindi nangangailangan ng pag-install. Pangalawa, ipinapatupad nito ang kakayahang tukuyin ang paleta ng kulay ng larawan. Maaari kang pumili ng mga shade sa RGB, CMYK, HVS at HSL na mga modelo ng kulay.

Napakaginhawa din na gamitin ang opsyon ng random na pagpili ng mga kulay na kulay at ang pag-andar ng pag-invert ng lahat ng mga kulay sa larawan. Upang ayusin ang kulay, mayroong isang function ng cyclic na pagpili ng mga shade - kapag ang kaukulang mode ay naka-on, ang programa ay nagpapasigla sa imahe, na nagbabago ng mga kulay dito.

Maaaring makita ng Fractal Zoomer ang 85 iba't ibang mga function ng fractal, at malinaw na ipinapakita ang mga formula sa menu ng programa. Mayroong mga filter para sa post-processing na mga imahe sa programa, kahit na sa maliit na halaga. Ang bawat nakatalagang filter ay maaaring kanselahin anumang oras.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fractal editor

Kapag ginamit ang terminong "fractal", kadalasang nangangahulugan ito ng flat two-dimensional na imahe. Gayunpaman, ang fractal geometry ay lumampas sa 2D na dimensyon. Sa likas na katangian, mahahanap ng isa ang parehong mga halimbawa ng mga flat fractal form, halimbawa, ang geometry ng kidlat, at tatlong-dimensional na three-dimensional na mga numero. Ang mga ibabaw ng fractal ay maaaring maging 3D, at isa sa mga napakalarawang paglalarawan ng mga 3D fractals sa Araw-araw na buhay- ulo ng repolyo. Marahil ang pinakamahusay na paraan upang makita ang mga fractals ay sa Romanesco, isang hybrid ng cauliflower at broccoli.

At ang fractal na ito ay maaaring kainin

Ang Mandelbulb3D program ay maaaring lumikha ng mga three-dimensional na bagay na may katulad na hugis. Upang makakuha ng 3D surface gamit ang fractal algorithm, ginawa ng mga may-akda ng application na ito, sina Daniel White at Paul Nylander, ang Mandelbrot set sa spherical coordinates. Ang Mandelbulb3D program na nilikha nila ay isang tunay na three-dimensional na editor na nagmomodelo ng mga fractal na ibabaw ng iba't ibang hugis. Dahil madalas nating obserbahan ang mga pattern ng fractal sa kalikasan, ang isang artipisyal na nilikha na fractal na three-dimensional na bagay ay tila hindi kapani-paniwalang makatotohanan at kahit na "buhay".

Maaaring mukhang halaman, maaaring kahawig ng kakaibang hayop, planeta, o iba pa. Ang epektong ito ay pinahusay ng isang advanced na algorithm sa pag-render na ginagawang posible na makakuha ng mga makatotohanang pagmuni-muni, kalkulahin ang transparency at mga anino, gayahin ang epekto ng depth of field, at iba pa. Ang Mandelbulb3D ay may malaking halaga ng mga setting at mga opsyon sa pag-render. Maaari mong kontrolin ang mga kulay ng mga pinagmumulan ng liwanag, piliin ang background at ang antas ng detalye ng na-modelo na bagay.

Sinusuportahan ng Incendia fractal editor ang double image smoothing, naglalaman ng library ng limampung magkakaibang three-dimensional fractals at may hiwalay na module para sa pag-edit ng mga pangunahing hugis.

Gumagamit ang application ng fractal scripting, kung saan maaari mong independiyenteng ilarawan ang mga bagong uri ng fractal na istruktura. Ang Incendia ay may mga editor ng texture at materyal, at isang rendering engine na nagbibigay-daan sa iyong gumamit ng mga volumetric na fog effect at iba't ibang shader. May opsyon ang program na i-save ang buffer sa panahon ng pangmatagalang pag-render, sinusuportahan ang paggawa ng animation.

Binibigyang-daan ka ng Incendia na mag-export ng fractal na modelo sa mga sikat na 3D graphics format - OBJ at STL. Kasama sa Incendia ang isang maliit na Geometrica utility - isang espesyal na tool para sa pag-set up ng pag-export ng isang fractal surface sa isang three-dimensional na modelo. Gamit ang utility na ito, matutukoy mo ang resolution ng isang 3D surface, tukuyin ang bilang ng mga fractal na pag-ulit. Maaaring gamitin ang mga na-export na modelo sa mga 3D na proyekto kapag nagtatrabaho sa mga 3D editor gaya ng Blender, 3ds max at iba pa.

AT kamakailang mga panahon medyo bumagal ang trabaho sa proyekto ng Incendia. Sa ngayon, ang may-akda ay naghahanap ng mga sponsor na tutulong sa kanya sa pagbuo ng programa.

Kung wala kang sapat na imahinasyon upang gumuhit ng magandang three-dimensional fractal sa program na ito, hindi mahalaga. Gamitin ang library ng parameter, na matatagpuan sa folder ng INCENDIA_EX\parameters. Sa tulong ng mga PAR file, mabilis mong mahahanap ang mga pinakahindi pangkaraniwang fractal na hugis, kabilang ang mga animated.

⇡ Aural: kung paano kumanta ang mga fractal

Karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa mga proyektong ginagawa pa lang, ngunit sa kasong ito kailangan naming gumawa ng isang pagbubukod, ito ay isang hindi pangkaraniwang aplikasyon. Ang isang proyekto na tinatawag na Aural ay dumating sa parehong tao bilang Incendia. Totoo, sa oras na ito ang programa ay hindi nakikita ang fractal set, ngunit tinig ito, ginagawa itong elektronikong musika. Ang ideya ay napaka-interesante, lalo na kung isasaalang-alang ang mga hindi pangkaraniwang katangian ng fractals. Ang Aural ay isang audio editor na bumubuo ng mga melodies gamit ang mga fractal algorithm, iyon ay, sa katunayan, ito ay isang audio synthesizer-sequencer.

Ang pagkakasunod-sunod ng mga tunog na ibinigay ng program na ito ay hindi karaniwan at ... maganda. Ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa pagsulat ng mga modernong ritmo at, sa aming palagay, ay angkop na angkop para sa paglikha mga audio track sa mga screensaver ng mga programa sa telebisyon at radyo, pati na rin ang "mga loop" ng background music para sa mga laro sa computer. Hindi pa nagbibigay si Ramiro demo na bersyon ng kanyang programa, ngunit nangangako na kapag ginawa niya, upang makatrabaho si Aural, hindi na niya kakailanganing pag-aralan ang teorya ng fractals - maglaro lang sa mga parameter ng algorithm para sa pagbuo ng pagkakasunod-sunod ng mga tala. Makinig sa kung paano tumunog ang mga fractals, at.

Fractals: musical pause

Sa katunayan, ang mga fractals ay makakatulong sa pagsulat ng musika kahit na walang software. Ngunit ito ay magagawa lamang ng isang tao na tunay na puno ng ideya ng natural na pagkakaisa at sa parehong oras ay hindi naging isang kapus-palad na "nerd". Makatuwirang kumuha ng cue mula sa isang musikero na nagngangalang Jonathan Coulton, na, bukod sa iba pang mga bagay, ay nagsusulat ng mga komposisyon para sa Popular Science magazine. At hindi tulad ng ibang mga artista, inilalathala ni Colton ang lahat ng kanyang mga gawa sa ilalim ng lisensyang Creative Commons Attribution-Noncommercial, na (kapag ginamit para sa mga di-komersyal na layunin) ay nagbibigay ng libreng pagkopya, pamamahagi, paglipat ng trabaho sa iba, pati na rin ang pagbabago nito (paglikha ng mga derivative works) upang maiangkop ito sa iyong mga pangangailangan.

Si Jonathan Colton, siyempre, ay may kanta tungkol sa mga fractals.

⇡ Konklusyon

Sa lahat ng bagay na nakapaligid sa atin, madalas nating nakikita ang kaguluhan, ngunit sa katunayan ito ay hindi isang aksidente, ngunit isang perpektong anyo, na tinutulungan tayo ng mga fractals na makilala. Ang kalikasan ang pinakamahusay na arkitekto, ang perpektong tagabuo at inhinyero. Ito ay nakaayos nang napaka-lohikal, at kung sa isang lugar ay hindi natin nakikita ang mga pattern, nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ito sa ibang sukat. Mas naiintindihan ito ng mga tao at mas mahusay, sinusubukang tularan sa maraming paraan mga likas na anyo. Ang mga inhinyero ay nagdidisenyo ng mga speaker system sa anyo ng isang shell, lumikha ng mga antenna na may snowflake geometry, at iba pa. Sigurado kami na ang mga fractals ay nagtatago pa rin ng maraming sikreto, at marami sa kanila ang hindi pa natutuklasan ng isang tao.

Ano ang ibig sabihin ng puno, dalampasigan, ulap o mga daluyan ng dugo sa ating kamay? Sa unang tingin, maaaring mukhang ang lahat ng mga bagay na ito ay walang pagkakatulad. Gayunpaman, sa katunayan, mayroong isang pag-aari ng istraktura na likas sa lahat ng mga nakalistang bagay: sila ay magkatulad sa sarili. Mula sa sanga, pati na rin mula sa puno ng puno, ang mas maliliit na proseso ay umaalis, mula sa kanila - kahit na mas maliit, atbp., iyon ay, ang isang sanga ay katulad ng buong puno. Ang sistema ng sirkulasyon ay nakaayos sa isang katulad na paraan: ang mga arteriole ay umalis mula sa mga arterya, at mula sa kanila - ang pinakamaliit na mga capillary kung saan ang oxygen ay pumapasok sa mga organo at tisyu. Tignan natin mga larawan sa espasyo baybayin ng dagat: makikita natin ang mga look at peninsula; tingnan natin ito, ngunit mula sa isang mata ng ibon: makikita natin ang mga look at kapa; ngayon isipin na tayo ay nakatayo sa dalampasigan at tumitingin sa ating mga paa: palaging may mga maliliit na bato na mas nakausli sa tubig kaysa sa iba. Ibig sabihin, ang baybayin ay nananatiling katulad ng sarili nito kapag naka-zoom in. Tinawag ng American mathematician na si Benoit Mandelbrot (kahit na itinaas sa France) ang pag-aari na ito ng fractality ng mga bagay, at ang mga naturang bagay mismo - fractals (mula sa Latin na fractus - nasira).

Ang konseptong ito ay walang mahigpit na kahulugan. Samakatuwid, ang salitang "fractal" ay hindi isang termino sa matematika. Karaniwan, ang fractal ay isang geometric na pigura na nakakatugon sa isa o higit pa sa mga sumusunod na katangian: kumplikadong istraktura sa anumang pag-zoom (hindi katulad, halimbawa, isang tuwid na linya, ang anumang bahagi nito ay ang pinakasimpleng geometric figure - isang segment). Ito ay (humigit-kumulang) kapareho sa sarili. Mayroon itong fractional na Hausdorff (fractal) na dimensyon, na mas malaki kaysa sa topological. Maaaring itayo gamit ang mga recursive na pamamaraan.

Geometry at Algebra

Ang pag-aaral ng fractals sa pagliko ng XIX at ang ika-20 siglo ay mas episodiko kaysa sistematiko, dahil ang mga naunang mathematician ay pangunahing nag-aral ng "magandang" mga bagay na maaaring imbestigahan gamit ang karaniwang pamamaraan at mga teorya. Noong 1872, gumawa ng isang halimbawa ang German mathematician na si Karl Weierstrass tuluy-tuloy na pag-andar, na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang pagbuo nito ay ganap na abstract at mahirap maunawaan. Samakatuwid, noong 1904, ang Swede na si Helge von Koch ay nakabuo ng isang tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan, at ito ay medyo simple upang iguhit ito. Ito ay naka-out na ito ay may mga katangian ng isang fractal. Ang isang variation ng curve na ito ay tinatawag na Koch snowflake.

Ang mga ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay kinuha ng Pranses na si Paul Pierre Levy, ang hinaharap na tagapagturo ng Benoit Mandelbrot. Noong 1938, nai-publish ang kanyang artikulong "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole", kung saan inilarawan ang isa pang fractal - ang Lévy C-curve. Ang lahat ng mga fractals na ito na nakalista sa itaas ay maaaring may kundisyon na maiugnay sa isang klase ng mga constructive (geometric) fractals.

Ang isa pang klase ay dynamic (algebraic) fractals, na kinabibilangan ng Mandelbrot set. Ang unang pananaliksik sa direksyong ito ay nagsimula sa simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan ng French mathematician na sina Gaston Julia at Pierre Fatou. Noong 1918, inilathala ni Julia ang halos dalawang daang pahina ng memoir na nakatuon sa mga pag-ulit ng kumplikado makatwirang pag-andar, na naglalarawan ng Julia set, isang buong pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa Mandelbrot set. Ang gawaing ito ay ginawaran ng premyo ng French Academy, ngunit hindi ito naglalaman ng isang solong paglalarawan, kaya imposibleng pahalagahan ang kagandahan ng mga natuklasang bagay. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay naging tanyag kay Julia sa mga mathematician noong panahong iyon, mabilis itong nakalimutan. Muli, nabaling ang atensyon dito pagkalipas lamang ng kalahating siglo sa pagdating ng mga kompyuter: sila ang nagpakita ng kayamanan at kagandahan ng mundo ng mga fractals.

Mga sukat ng fractal

Tulad ng alam mo, ang dimensyon (bilang ng mga sukat) ng isang geometric figure ay ang bilang ng mga coordinate na kinakailangan upang matukoy ang posisyon ng isang punto na nakahiga sa figure na ito.
Halimbawa, ang posisyon ng isang punto sa isang kurba ay tinutukoy ng isang coordinate, sa isang ibabaw (hindi kinakailangang isang eroplano) ng dalawang coordinate, sa tatlong-dimensional na espasyo ng tatlong coordinate.
Na may mas heneral mathematical point view, maaari nating tukuyin ang dimensyon sa ganitong paraan: ang pagtaas ng mga linear na dimensyon, sabihin nating, dalawang beses, para sa isang-dimensional (mula sa topological point of view) na mga bagay (segment) ay humahantong sa pagtaas ng laki (haba) ng isang kadahilanan ng dalawa, para sa dalawang-dimensional (parisukat) ang parehong pagtaas sa mga linear na sukat ay humahantong sa isang pagtaas sa laki (lugar) ng 4 na beses, para sa tatlong-dimensional (kubo) - ng 8 beses. Iyon ay, ang dimensyon na "tunay" (tinatawag na Hausdorff) ay maaaring kalkulahin bilang ratio ng logarithm ng pagtaas sa "laki" ng isang bagay sa logarithm ng pagtaas sa linear na laki nito. Iyon ay, para sa isang segment D=log (2)/log (2)=1, para sa isang eroplano D=log (4)/log (2)=2, para sa isang volume D=log (8)/log (2 )=3.
Kalkulahin natin ngayon ang dimensyon ng Koch curve, para sa pagtatayo kung saan ang segment ng yunit ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi at ang gitnang pagitan ay pinalitan ng isang equilateral triangle na walang segment na ito. Sa pagtaas ng mga linear na sukat ng minimum na segment ng tatlong beses, ang haba ng Koch curve ay tumataas sa log (4) / log (3) ~ 1.26. Iyon ay, ang dimensyon ng Koch curve ay fractional!

Agham at sining

Noong 1982, ang aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" ay nai-publish, kung saan ang may-akda ay nakolekta at na-systematize ang halos lahat ng impormasyon tungkol sa mga fractals na magagamit sa oras na iyon at ipinakita ito sa isang madali at naa-access na paraan. Ginawa ni Mandelbrot ang pangunahing diin sa kanyang pagtatanghal hindi sa napakabigat na mga pormula at mga konstruksyon sa matematika, ngunit sa geometric na intuwisyon ng mga mambabasa. Salamat sa mga ilustrasyon na nabuo sa computer at mga makasaysayang kwento, kung saan mahusay na natunaw ng may-akda ang pang-agham na bahagi ng monograph, ang libro ay naging isang bestseller, at ang mga fractals ay naging kilala sa pangkalahatang publiko. Ang kanilang tagumpay sa mga hindi mathematician ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa tulong ng napakasimpleng mga konstruksyon at mga formula na kahit isang mag-aaral sa high school ay maaaring maunawaan, ang mga imahe ng kamangha-manghang pagiging kumplikado at kagandahan ay nakuha. Kailan mga personal na computer naging napakalakas, kahit na ang isang buong trend sa sining ay lumitaw - fractal painting, at halos anumang may-ari ng computer ay maaaring gawin ito. Ngayon sa Internet madali mong mahahanap ang maraming mga site na nakatuon sa paksang ito.

Scheme para sa pagkuha ng Koch curve

Digmaan at Kapayapaan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang isa sa mga likas na bagay na may fractal properties ay ang baybayin. Ang isang kawili-wiling kwento ay konektado dito, o sa halip, sa isang pagtatangka na sukatin ang haba nito, na naging batayan ng artikulong pang-agham ni Mandelbrot, at inilarawan din sa kanyang aklat na "The Fractal Geometry of Nature". Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang eksperimento na itinakda ni Lewis Richardson, isang napakatalino at sira-sirang mathematician, physicist at meteorologist. Isa sa mga direksyon ng kanyang pananaliksik ay isang pagtatangka upang mahanap ang isang matematikal na paglalarawan ng mga sanhi at posibilidad ng isang armadong labanan sa pagitan ng dalawang bansa. Kabilang sa mga parameter na kanyang isinasaalang-alang ay ang haba ng karaniwang hangganan sa pagitan ng dalawang naglalabanang bansa. Nang mangolekta siya ng data para sa mga numerical na eksperimento, nalaman niya iyon sa iba't ibang mga mapagkukunan data sa karaniwang hangganan Magkaiba talaga ang Spain at Portugal. Ito ay humantong sa kanya sa sumusunod na pagtuklas: ang haba ng mga hangganan ng bansa ay nakasalalay sa pinuno kung saan namin sinusukat ang mga ito. Paano mas maliit na sukat, habang tumatagal ang hangganan. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mas mataas na pagpapalaki posible na isaalang-alang ang higit pa at higit pang mga liko ng baybayin, na dati nang hindi pinansin dahil sa pagkamagaspang ng mga sukat. At kung, sa bawat pag-zoom, ang dati nang hindi nabilang na mga liko ng mga linya ay nabuksan, kung gayon ito ay lumalabas na ang haba ng mga hangganan ay walang hanggan! Totoo, sa katunayan hindi ito nangyayari - ang katumpakan ng aming mga sukat ay may hangganan. Ang paradox na ito ay tinatawag na Richardson effect.

Nakabubuo (geometric) fractals

Ang algorithm para sa pagbuo ng constructive fractal sa pangkalahatang kaso ay ang mga sumusunod. Una sa lahat, kailangan natin ng dalawang angkop na geometric na hugis, tawagin natin silang base at fragment. Sa unang yugto, ang batayan ng hinaharap na fractal ay inilalarawan. Pagkatapos ang ilan sa mga bahagi nito ay pinalitan ng isang fragment na kinuha sa isang angkop na sukat - ito ang unang pag-ulit ng konstruksiyon. Pagkatapos, sa resultang figure, ang ilang bahagi ay muling nagbabago sa mga figure na katulad ng isang fragment, at iba pa. Kung ipagpapatuloy mo ang prosesong ito nang walang katiyakan, pagkatapos ay sa limitasyon makakakuha ka ng isang fractal.

Isaalang-alang ang prosesong ito gamit ang halimbawa ng Koch curve (tingnan ang sidebar sa nakaraang pahina). Ang anumang curve ay maaaring kunin bilang batayan ng Koch curve (para sa Koch snowflake, ito ay isang tatsulok). Ngunit kinukulong namin ang aming sarili sa pinakasimpleng kaso - isang segment. Ang fragment ay isang putol na linya na ipinapakita sa tuktok ng figure. Pagkatapos ng unang pag-ulit ng algorithm, sa kasong ito, ang orihinal na segment ay mag-tutugma sa fragment, pagkatapos ang bawat isa sa mga bahagi ng bumubuo nito ay papalitan mismo ng isang putol na linya na katulad ng fragment, at iba pa. Ipinapakita ng figure ang unang apat hakbang ng prosesong ito.

Ang wika ng matematika: dynamic (algebraic) fractals

Ang mga fractals ng ganitong uri ay lumitaw sa pag-aaral ng mga nonlinear dynamical system (samakatuwid ang pangalan). Ang pag-uugali ng naturang sistema ay maaaring ilarawan ng isang kumplikadong nonlinear function (polynomial) f (z). Kumuha tayo ng ilang paunang punto z0 sa kumplikadong eroplano (tingnan ang sidebar). Ngayon isaalang-alang ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero sa kumplikadong eroplano, ang bawat isa ay nakuha mula sa nauna: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Depende sa paunang puntong z0, maaaring magkaiba ang pagkilos ng naturang sequence: may posibilidad na infinity bilang n -> ∞; magtagpo sa ilang dulong punto; cyclically kumuha ng isang bilang ng mga nakapirming halaga; mas kumplikadong mga opsyon ay posible.

Mga kumplikadong numero

Ang isang kumplikadong numero ay isang numero na binubuo ng dalawang bahagi - tunay at haka-haka, iyon ay, ang pormal na kabuuan x + iy (x at y dito - tunay na mga numero). ako ang tinatawag na. imaginary unit, ibig sabihin, isang numero na nakakatugon sa equation i^ 2 = -1. Higit sa kumplikadong mga numero, ang pangunahing mga operasyong matematikal- karagdagan, pagpaparami, paghahati, pagbabawas (tanging ang paghahambing na operasyon ay hindi tinukoy). Madalas na ginagamit upang ipakita ang mga kumplikadong numero geometric na representasyon- sa eroplano (tinatawag itong kumplikado), ang tunay na bahagi ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang haka-haka na bahagi kasama ang ordinate axis, habang ang kumplikadong numero ay tumutugma sa isang punto na may mga coordinate ng Cartesian x at y.

Kaya, ang anumang punto z ng kumplikadong eroplano ay may sariling katangian ng pag-uugali sa panahon ng mga pag-ulit ng function na f (z), at ang buong eroplano ay nahahati sa mga bahagi. Bukod dito, ang mga punto na nakahiga sa mga hangganan ng mga bahaging ito ay may mga sumusunod na pag-aari: para sa isang di-makatwirang maliit na pag-aalis, ang likas na katangian ng kanilang pag-uugali ay nagbabago nang malaki (ang mga nasabing punto ay tinatawag na mga punto ng bifurcation). Kaya, lumalabas na ang mga hanay ng mga punto na may isang partikular na uri ng pag-uugali, pati na rin ang mga hanay ng mga punto ng bifurcation, ay kadalasang may mga katangian ng fractal. Ito ang mga Julia set para sa function na f(z).

pamilya ng dragon

Sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng base at fragment, makakakuha ka ng nakamamanghang iba't ibang mga constructive fractals.
Bukod dito, ang mga naturang operasyon ay maaaring isagawa sa tatlong-dimensional na espasyo. Ang mga halimbawa ng volumetric fractals ay ang "Menger's sponge", "Sierpinski's pyramid" at iba pa.
Ang pamilya ng mga dragon ay tinutukoy din sa mga constructive fractals. Minsan sila ay tinutukoy ng pangalan ng mga natuklasan bilang "mga dragon ng Heiwei-Harter" (kamukha nila ang mga dragon na Tsino sa kanilang hugis). Mayroong ilang mga paraan upang mabuo ang curve na ito. Ang pinakasimpleng at pinaka-halata sa kanila ay ito: kailangan mong kumuha ng sapat na mahabang strip ng papel (mas manipis ang papel, mas mabuti), at ibaluktot ito sa kalahati. Pagkatapos ay ibaluktot muli ito sa kalahati sa parehong direksyon tulad ng unang pagkakataon. Pagkatapos ng ilang pag-uulit (kadalasan pagkatapos ng lima o anim na tiklop ang strip ay nagiging masyadong makapal upang maingat na ibaluktot pa), kailangan mong ituwid ang strip pabalik, at subukang bumuo ng 90˚ anggulo sa mga fold. Pagkatapos ang curve ng dragon ay lalabas sa profile. Siyempre, ito ay magiging isang pagtatantya lamang, tulad ng lahat ng aming mga pagtatangka na ilarawan ang mga fractal na bagay. Binibigyang-daan ka ng computer na maglarawan ng marami higit pang mga hakbang ang prosesong ito, at ang resulta ay isang napakagandang pigura.

Ang set ng Mandelbrot ay medyo naiiba. Isaalang-alang ang function na fc (z) = z 2 +c, kung saan ang c ay kumplikadong numero. Bumuo tayo ng sequence ng function na ito na may z0=0, depende sa parameter c, maaari itong mag-diverge sa infinity o manatiling may hangganan. Bukod dito, ang lahat ng mga halaga ng c kung saan ang pagkakasunud-sunod na ito ay nakatali sa Mandelbrot set. Ito ay pinag-aralan nang detalyado ni Mandelbrot mismo at ng iba pang mga mathematician, na natuklasan ang marami kawili-wiling mga katangian set na ito.

Ito ay makikita na ang mga kahulugan ng Julia at Mandelbrot set ay magkatulad sa bawat isa. Sa katunayan, ang dalawang set na ito ay malapit na nauugnay. Ibig sabihin, ang set ng Mandelbrot ay ang lahat ng mga halaga ng kumplikadong parameter c kung saan ang set ng Julia fc (z) ay konektado (tinatawag na konektado ang isang set kung hindi ito mahahati sa dalawang di-nagsalubong na bahagi, na may ilang karagdagang mga kondisyon).

fractals at buhay

Sa ngayon, nahahanap ang fractal theory malawak na aplikasyon sa iba't ibang lugar aktibidad ng tao. Bilang karagdagan sa isang purong siyentipikong bagay para sa pananaliksik at ang nabanggit na fractal painting, ang mga fractals ay ginagamit sa teorya ng impormasyon upang i-compress ang graphic na data (dito, ang self-similarity property ng fractals ay pangunahing ginagamit - pagkatapos ng lahat, upang matandaan ang isang maliit na fragment ng isang pagguhit at mga pagbabagong kung saan maaari mong makuha ang natitirang bahagi ng mga bahagi, ito ay nangangailangan ng mas kaunting memorya kaysa sa pag-imbak ng buong file). Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga random na perturbation sa mga formula na tumutukoy sa fractal, makakakuha ang isang tao ng stochastic fractal na napaka-masasabing naghahatid ng ilang mga tunay na bagay - mga elemento ng relief, ang ibabaw ng mga anyong tubig, ilang mga halaman, na matagumpay na ginagamit sa pisika, heograpiya at computer graphics upang makamit higit na pagkakapareho ng mga kunwa na bagay sa real. Sa radio electronics, sa huling dekada, nagsimula silang gumawa ng mga antenna na may fractal na hugis. Ang pagkuha ng maliit na espasyo, nagbibigay sila ng medyo kalidad ng pagtanggap hudyat. Gumagamit ang mga ekonomista ng fractals upang ilarawan ang mga curve ng pagbabagu-bago ng currency (ang ari-arian na ito ay natuklasan ni Mandelbrot mahigit 30 taon na ang nakakaraan). Ito ay nagtatapos sa maikling iskursiyon na ito sa mundo ng mga fractals, kamangha-mangha sa kagandahan at pagkakaiba-iba nito.

Kadalasan, ang mga makikinang na pagtuklas na ginawa sa agham ay maaaring radikal na magbago ng ating buhay. Kaya, halimbawa, ang pag-imbento ng isang bakuna ay maaaring magligtas ng maraming tao, at ang paglikha ng isang bagong sandata ay humahantong sa pagpatay. Literal na kahapon (sa sukat ng kasaysayan) ang isang tao ay "pinaamo" ng kuryente, at ngayon ay hindi na niya maiisip ang kanyang buhay kung wala ito. Gayunpaman, mayroon ding mga naturang pagtuklas na, tulad ng sinasabi nila, ay nananatili sa mga anino, at sa kabila ng katotohanan na mayroon din silang ilang impluwensya sa ating buhay. Isa sa mga natuklasang ito ay ang fractal. Karamihan sa mga tao ay hindi pa nakarinig ng ganitong konsepto at hindi maipaliwanag ang kahulugan nito. Sa artikulong ito, susubukan naming harapin ang tanong kung ano ang isang fractal, isaalang-alang ang kahulugan ng terminong ito mula sa pananaw ng agham at kalikasan.

Order sa kaguluhan

Upang maunawaan kung ano ang fractal, dapat simulan ng isa ang debriefing mula sa posisyon ng matematika, gayunpaman, bago pag-aralan ito, pilosopiya namin ng kaunti. Ang bawat tao ay may likas na pagkamausisa, salamat sa kung saan natutunan niya ang mundo sa paligid niya. Kadalasan, sa kanyang pagnanais para sa kaalaman, sinusubukan niyang gumana nang may lohika sa kanyang mga paghatol. Kaya, ang pag-aaral ng mga proseso na nagaganap sa paligid, sinusubukan niyang kalkulahin ang mga relasyon at kumuha ng ilang mga pattern. Ang pinakamalaking isip sa planeta ay abala sa paglutas ng mga problemang ito. Sa halos pagsasalita, ang aming mga siyentipiko ay naghahanap ng mga pattern kung saan sila ay hindi, at hindi dapat. Gayunpaman, kahit na sa kaguluhan ay may koneksyon sa pagitan ng ilang mga kaganapan. Ang koneksyon na ito ay ang fractal. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang sirang sanga na nakahiga sa kalsada. Kung titingnan natin itong mabuti, makikita natin na ito, kasama ang lahat ng mga sanga at buhol nito, ay tila isang puno. Ang pagkakatulad na ito ng isang hiwalay na bahagi na may isang solong kabuuan ay nagpapatotoo sa tinatawag na prinsipyo ng recursive self-similarity. Ang mga fractals sa kalikasan ay matatagpuan sa lahat ng oras, dahil maraming mga inorganic at organic na anyo ang nabuo sa katulad na paraan. Ito ay mga ulap, at mga shell ng dagat, at mga shell ng snail, at mga korona ng puno, at maging ang sistema ng sirkulasyon. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga random na hugis ay madaling inilarawan ng fractal algorithm. Dito natin napag-isipan kung ano ang fractal mula sa pananaw ng mga eksaktong agham.

Ilang tuyong katotohanan

Ang salitang "fractal" mismo ay isinalin mula sa Latin bilang "partial", "divided", "fragmented", at kung tungkol sa nilalaman ng terminong ito, walang mga salita na tulad nito. Kadalasan ito ay itinuturing bilang isang self-similar set, isang bahagi ng kabuuan, na inuulit ng istraktura nito sa micro level. Ang terminong ito ay nilikha noong dekada setenta ng ikadalawampu siglo ni Benoit Mandelbrot, na kinikilala bilang ama. Ngayon, ang konsepto ng fractal ay nangangahulugan ng isang graphic na representasyon ng isang tiyak na istraktura, na, kapag pinalaki, ay magiging katulad sa sarili nito. Gayunpaman, ang matematikal na batayan para sa paglikha ng teoryang ito ay inilatag bago pa man ang kapanganakan ni Mandelbrot mismo, ngunit hindi ito maaaring umunlad hanggang sa lumitaw ang mga elektronikong kompyuter.

Makasaysayang sanggunian, o Paano nagsimula ang lahat

Sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo, ang pag-aaral ng kalikasan ng mga fractals ay episodiko. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga mathematician ay ginustong pag-aralan ang mga bagay na maaaring siyasatin batay sa pangkalahatang mga teorya at pamamaraan. Noong 1872, ang German mathematician na si K. Weierstrass ay gumawa ng isang halimbawa ng tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang konstruksiyon na ito ay naging ganap na abstract at mahirap maunawaan. Sumunod ay dumating ang Swede na si Helge von Koch, na noong 1904 ay nagtayo ng tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan. Ito ay medyo madali upang gumuhit, at, tulad ng nangyari, ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng fractal. Ang isa sa mga variant ng curve na ito ay pinangalanan sa may-akda nito - "Koch's snowflake". Dagdag pa, ang ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay binuo ng hinaharap na tagapagturo ng B. Mandelbrot, ang Pranses na si Paul Levy. Noong 1938 inilathala niya ang papel na "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole". Sa loob nito ay inilarawan niya ang bagong uri- Levy C-curve. Ang lahat ng mga figure sa itaas ay may kondisyon na tumutukoy sa isang form bilang geometric fractals.

Dynamic o algebraic fractals

Ang Mandelbrot set ay kabilang sa klase na ito. Ang mga Pranses na matematiko na sina Pierre Fatou at Gaston Julia ang naging unang mga mananaliksik sa direksyong ito. Noong 1918, inilathala ni Julia ang isang papel batay sa pag-aaral ng mga pag-ulit ng mga rational complex function. Dito niya inilarawan ang isang pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Sa kabila ng katotohanan na gawaing ito niluwalhati ang may-akda sa mga mathematician, mabilis siyang nakalimutan. At kalahating siglo lamang ang lumipas, salamat sa mga computer, ang trabaho ni Julia ay nakatanggap ng pangalawang buhay. Ginawang posible ng mga kompyuter na ipakita sa bawat tao ang kagandahan at kayamanan ng mundo ng mga fractal na "makikita" ng mga mathematician sa pamamagitan ng pagpapakita sa kanila sa pamamagitan ng mga function. Si Mandelbrot ang unang gumamit ng computer para magsagawa ng mga kalkulasyon (imposibleng manu-manong magsagawa ng ganoong dami) na naging posible upang bumuo ng isang imahe ng mga figure na ito.

Lalaking may spatial na imahinasyon

Sinimulan ni Mandelbrot ang kanyang siyentipikong karera sa IBM Research Center. Ang pag-aaral ng mga posibilidad ng paghahatid ng data sa mahabang distansya, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa katotohanan ng malalaking pagkalugi na lumitaw dahil sa pagkagambala sa ingay. Si Benoit ay naghahanap ng mga paraan upang malutas ang problemang ito. Sa pagtingin sa mga resulta ng pagsukat, iginuhit niya ang pansin sa isang kakaibang pattern, ibig sabihin: pareho ang hitsura ng mga graph ng ingay sa iba't ibang sukat ng oras.

Ang isang katulad na larawan ay naobserbahan kapwa para sa isang panahon ng isang araw, at para sa pitong araw, o para sa isang oras. Si Benoit Mandelbrot mismo ay madalas na paulit-ulit na hindi siya gumagana sa mga formula, ngunit naglalaro ng mga larawan. Ang siyentipikong ito ay nakikilala sa pamamagitan ng mapanlikhang pag-iisip, isinalin niya ang anumang algebraic na problema sa isang geometric na lugar, kung saan ang tamang sagot ay halata. Kaya't hindi nakakagulat, nakilala ng mayayaman at naging ama ng fractal geometry. Pagkatapos ng lahat, ang kamalayan ng figure na ito ay maaaring dumating lamang kapag pinag-aralan mo ang mga guhit at iniisip ang kahulugan ng mga kakaibang swirl na ito na bumubuo sa pattern. Ang mga guhit ng fractal ay walang magkaparehong elemento, ngunit magkapareho sila sa anumang sukat.

Julia - Mandelbrot

Ang isa sa mga unang guhit ng figure na ito ay isang graphic na interpretasyon ng set, na ipinanganak salamat sa gawain ni Gaston Julia at tinapos ni Mandelbrot. Sinusubukang isipin ni Gaston kung ano ang hitsura ng isang set kapag ito ay binuo mula sa isang simpleng formula na inuulit ng isang feedback loop. Subukan nating ipaliwanag kung ano ang sinabi sa wika ng tao, wika nga, sa mga daliri. Para sa tiyak numerical value gamit ang formula upang makahanap ng bagong halaga. Pinapalitan namin ito sa formula at hanapin ang sumusunod. Malaki ang resulta. Upang kumatawan sa naturang set, kailangan mong gawin ang operasyong ito nang maraming beses: daan-daan, libo-libo, milyon-milyon. Ito ang ginawa ni Benoit. Pinoproseso niya ang pagkakasunud-sunod at inilipat ang mga resulta sa graphical na anyo. Kasunod nito, kinulayan niya ang nagresultang figure (bawat kulay ay tumutugma sa isang tiyak na bilang ng mga pag-ulit). Ang graphic na imaheng ito ay tinatawag na Mandelbrot fractal.

L. Carpenter: sining na nilikha ng kalikasan

Ang teorya ng fractals ay mabilis na nakahanap ng praktikal na aplikasyon. Dahil ito ay napakalapit na nauugnay sa visualization ng mga larawang magkatulad sa sarili, ang unang nagpatibay ng mga prinsipyo at algorithm para sa pagbuo ng mga hindi pangkaraniwang anyo na ito ay mga artista. Ang una sa mga ito ay ang magiging tagapagtatag ng Pixar studio na si Lauren Carpenter. Habang nagtatrabaho sa pagtatanghal ng mga prototype ng sasakyang panghimpapawid, nakaisip siya ng ideya na gamitin ang imahe ng mga bundok bilang background. Ngayon, halos lahat ng gumagamit ng computer ay maaaring makayanan ang ganoong gawain, at noong dekada ikapitumpu ng huling siglo, ang mga computer ay hindi nagawa ang mga naturang proseso, dahil walang mga graphic editor at mga aplikasyon para sa tatlong-dimensional na mga graphics sa oras na iyon. Nakita ni Loren ang Mandelbrot's Fractals: Shape, Randomness, at Dimension. Sa loob nito, nagbigay si Benois ng maraming mga halimbawa, na nagpapakita na mayroong mga fractal sa kalikasan (fyva), inilarawan niya ang kanilang iba't ibang anyo at pinatunayan na ang mga ito ay madaling inilarawan. mga pagpapahayag ng matematika. Ang pagkakatulad na ito binanggit ng mathematician bilang argumento ang pagiging kapaki-pakinabang ng teorya na kanyang binuo bilang tugon sa isang gulo ng kritisismo mula sa kanyang mga kasamahan. Nagtalo sila na ang isang fractal ay isang magandang larawan lamang na walang halaga, na isang by-product ng trabaho mga elektronikong makina. Nagpasya ang karpintero na subukan ang pamamaraang ito sa pagsasanay. Ang pagkakaroon ng maingat na pag-aaral ng libro, ang hinaharap na animator ay nagsimulang maghanap ng isang paraan upang ipatupad ang fractal geometry sa mga graphics ng computer. Tatlong araw lang ang inabot niya para makapagbigay ng ganap na makatotohanang larawan ng landscape ng bundok sa kanyang computer. At ngayon ang prinsipyong ito ay malawakang ginagamit. Tulad ng nangyari, ang paglikha ng mga fractals ay hindi nangangailangan ng maraming oras at pagsisikap.

Desisyon ng karpintero

Simple lang pala ang prinsipyong ginamit ni Lauren. Binubuo ito sa paghahati ng mas malaki sa mas maliliit na elemento, at sa mga katulad na mas maliit, at iba pa. Ang karpintero, gamit ang malalaking tatsulok, ay dinurog ang mga ito sa 4 na maliliit, at iba pa, hanggang sa nakakuha siya ng makatotohanang tanawin ng bundok. Kaya, siya ang naging unang artist na nag-aplay ng fractal algorithm sa computer graphics upang bumuo ng kinakailangang imahe. Ngayon, ang prinsipyong ito ay ginagamit upang gayahin ang iba't ibang makatotohanang natural na anyo.

Ang unang 3D visualization batay sa fractal algorithm

Pagkalipas ng ilang taon, inilapat ni Lauren ang kanyang trabaho sa isang malakihang proyekto - isang animated na video na Vol Libre, na ipinakita sa Siggraph noong 1980. Ang video na ito ay nagulat sa marami, at ang lumikha nito ay inimbitahan na magtrabaho sa Lucasfilm. Dito ay ganap na napagtanto ng animator ang kanyang sarili, lumikha siya ng mga three-dimensional na landscape (ang buong planeta) para sa tampok na pelikulang "Star Trek". Anuman modernong programa("Fractals") o 3D graphics application (Terragen, Vue, Bryce) ay gumagamit pa rin ng parehong algorithm upang magmodelo ng mga texture at surface.

Tom Beddard

Isang dating laser physicist at ngayon ay digital artist at artist, si Beddard ay lumikha ng isang serye ng mga nakakaintriga na geometric na hugis na tinawag niyang Faberge's fractals. Sa panlabas, sila ay kahawig ng mga pandekorasyon na itlog ng isang Ruso na alahero, mayroon silang parehong makinang na masalimuot na pattern. Gumamit si Beddard ng paraan ng template para gawin ang kanyang mga digital rendering ng mga modelo. Ang mga resultang produkto ay kapansin-pansin sa kanilang kagandahan. Bagaman marami ang tumatangging ihambing ang produkto gawa ng kamay na may isang computer program, gayunpaman, dapat itong aminin na ang mga resultang mga form ay hindi pangkaraniwang maganda. Ang highlight ay ang sinuman ay maaaring bumuo ng tulad ng isang fractal gamit ang WebGL software library. Pinapayagan ka nitong galugarin ang iba't ibang mga fractal na istruktura sa real time.

fractals sa kalikasan

Ilang tao ang nagbibigay-pansin, ngunit ang mga kamangha-manghang figure na ito ay nasa lahat ng dako. Ang kalikasan ay binubuo ng magkatulad na pigura, hindi lang natin ito napapansin. Ito ay sapat na upang tumingin sa pamamagitan ng isang magnifying glass sa ating balat o isang dahon ng isang puno, at makikita natin ang mga fractals. O kunin, halimbawa, isang pinya o kahit isang buntot ng paboreal - binubuo sila ng magkatulad na mga pigura. At ang iba't ibang Romanescu broccoli ay karaniwang kapansin-pansin sa hitsura nito, dahil maaari itong tunay na tinatawag na isang himala ng kalikasan.

Paghinto ng musika

Lumalabas na ang mga fractals ay hindi lamang mga geometric na hugis, maaari rin silang maging mga tunog. Kaya, ang musikero na si Jonathan Colton ay nagsusulat ng musika gamit ang mga fractal algorithm. Sinasabi niya na tumutugma sa natural na pagkakaisa. Inilalathala ng kompositor ang lahat ng kanyang mga gawa sa ilalim ng lisensyang CreativeCommons Attribution-Noncommercial, na nagbibigay ng libreng pamamahagi, pagkopya, paglilipat ng mga gawa ng ibang tao.

Fractal indicator

Ang diskarteng ito ay nakahanap ng isang hindi inaasahang aplikasyon. Sa batayan nito, nilikha ang isang tool para sa pagsusuri ng stock exchange market, at, bilang resulta, nagsimula itong gamitin sa merkado ng Forex. Ngayon ang fractal indicator ay matatagpuan sa lahat ng mga trading platform at ginagamit sa isang trading technique na tinatawag na price breakout. Binuo ni Bill Williams ang pamamaraang ito. Bilang komento ng may-akda sa kanyang imbensyon, ang algorithm na ito ay isang kumbinasyon ng ilang mga "kandila", kung saan ang gitnang isa ay sumasalamin sa maximum o, sa kabaligtaran, ang pinakamababang extreme point.

Sa wakas

Kaya't isinaalang-alang namin kung ano ang isang fractal. Lumalabas na sa kaguluhang nakapaligid sa atin, sa katunayan, may mga perpektong anyo. Ang kalikasan ang pinakamahusay na arkitekto, ang perpektong tagabuo at inhinyero. Nakaayos ito nang napaka-lohikal, at kung hindi natin mahanap ang isang pattern, hindi ito nangangahulugan na wala ito. Siguro kailangan mong tumingin sa ibang sukat. Masasabi nating may kumpiyansa na ang mga fractals ay nagtatago pa rin ng maraming sikreto na hindi pa natin natutuklasan.

Kumusta kayong lahat! Ang pangalan ko ay, Ribenek Valeriya, Ulyanovsk at ngayon ay magpo-post ako ng ilan sa aking mga siyentipikong artikulo sa website ng LCI.

Ang una ko Artikulo ng Pananaliksik pagtutuunan ng pansin ng blog na ito fractals. Sasabihin ko kaagad na ang aking mga artikulo ay idinisenyo para sa halos anumang madla. Yung. Umaasa ako na magiging interesado sila sa mga mag-aaral at mag-aaral.

Kamakailan ay nalaman ko ang tungkol sa mga kagiliw-giliw na bagay mundo ng matematika parang fractals. Ngunit umiiral ang mga ito hindi lamang sa matematika. Pinapalibutan nila kami kahit saan. Ang mga fractal ay natural. Tungkol sa kung ano ang mga fractals, tungkol sa mga uri ng fractals, tungkol sa mga halimbawa ng mga bagay na ito at ang kanilang aplikasyon, sasabihin ko sa artikulong ito. Upang magsimula, sasabihin ko sa iyo kung ano ang fractal.

Fractal(lat. fractus - durog, sira, sira) - ito ay isang kumplikado geometric na pigura, na may pag-aari ng pagkakatulad sa sarili, iyon ay, ito ay binubuo ng ilang bahagi, na ang bawat isa ay katulad ng buong pigura sa kabuuan. Sa mas maraming malawak na kahulugan Ang mga fractals ay nauunawaan bilang mga hanay ng mga punto sa Euclidean space na mayroong fractional metric na dimensyon (sa kahulugan ng Minkowski o Hausdorff), o isang sukatan na dimensyon maliban sa topological. Halimbawa, maglalagay ako ng larawan ng apat na magkakaibang fractals.

Hayaan akong sabihin sa iyo ng kaunti tungkol sa kasaysayan ng fractals. Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng 70s, ay naging matatag sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng 80s. Ang salitang "fractal" ay ipinakilala ni Benoit Mandelbrot noong 1975 upang sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang pagsilang ng fractal geometry ay karaniwang nauugnay sa publikasyon noong 1977 ng aklat ni Mandelbrot na The Fractal Geometry of Nature. Ginamit ng kanyang mga gawa ang siyentipikong resulta ng iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho sa panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Ngunit sa ating panahon lamang posible na pagsamahin ang kanilang trabaho sa isang solong sistema.

Maraming mga halimbawa ng fractals, dahil, tulad ng sinabi ko, pinalilibutan nila tayo kahit saan. Sa aking opinyon, kahit na ang ating buong Uniberso ay isang malaking fractal. Pagkatapos ng lahat, ang lahat ng nasa loob nito, mula sa istraktura ng atom hanggang sa istraktura ng Uniberso mismo, ay eksaktong umuulit sa bawat isa. Ngunit mayroong, siyempre, mas tiyak na mga halimbawa ng mga fractal mula sa iba't ibang lugar. Fractals, halimbawa, ay naroroon sa kumplikadong dinamika. Doon sila ay natural na lumilitaw sa pag-aaral ng nonlinear mga dynamic na sistema. Ang pinaka-pinag-aralan na kaso ay kapag ang dynamical system ay tinukoy sa pamamagitan ng mga pag-ulit polinomyal o holomorphic function ng isang complex ng mga variable sa ibabaw. Ang ilan sa mga pinakatanyag na fractals ng ganitong uri ay ang Julia set, ang Mandelbrot set at ang Newton basins. Sa ibaba, sa pagkakasunud-sunod, ipinapakita ng mga larawan ang bawat isa sa mga fractals sa itaas.

Ang isa pang halimbawa ng fractal ay fractal curves. Pinakamainam na ipaliwanag kung paano bumuo ng isang fractal gamit ang halimbawa ng mga fractal curves. Ang isa sa gayong kurba ay ang tinatawag na Koch Snowflake. Mayroong isang simpleng pamamaraan para sa pagkuha ng mga fractal curves sa isang eroplano. Tinutukoy namin ang isang di-makatwirang putol na linya na may limitadong bilang ng mga link, na tinatawag na generator. Susunod, pinapalitan namin ang bawat segment dito ng isang generator (mas tiyak, isang sirang linya na katulad ng isang generator). Sa nagresultang sirang linya, muli naming pinapalitan ang bawat segment ng generator. Sa pagpapatuloy sa infinity, sa limitasyon ay nakakakuha tayo ng fractal curve. Ang ipinapakita sa ibaba ay isang Koch snowflake (o curve).

Mayroon ding mga fractal curve malaking tao. Ang pinakasikat sa kanila ay ang nabanggit na Koch Snowflake, gayundin ang Levy curve, ang Minkowski curve, ang sirang Dragon, ang Piano curve at ang Pythagorean tree. Ang isang imahe ng mga fractals na ito at ang kanilang kasaysayan, sa tingin ko, kung gusto mo, madali mong mahahanap sa Wikipedia.

Ang ikatlong halimbawa o uri ng fractals ay stochastic fractals. Kabilang sa mga nasabing fractals ang trajectory brownian motion sa eroplano at sa kalawakan, Schramm-Löwner evolutions, iba't ibang uri ng randomized fractals, iyon ay, fractals nakuha gamit ang isang recursive procedure, kung saan ang isang random na parameter ay ipinakilala sa bawat hakbang.

Mayroon ding puro mathematical fractals. Ito, halimbawa, Hanay ng Cantor, Menger sponge, Sierpinski triangle at iba pa.

Ngunit marahil ang pinaka-kagiliw-giliw na mga fractal ay mga natural. Ang mga natural na fractal ay mga bagay sa kalikasan na may mga katangian ng fractal. At mayroon nang isang malaking listahan. Hindi ko ilista ang lahat, dahil, marahil, hindi ko mailista ang lahat ng mga ito, ngunit sasabihin ko ang tungkol sa ilan. Halimbawa, sa buhay na kalikasan, kabilang sa mga fractals ang ating circulatory system at baga. At gayundin ang mga korona at dahon ng mga puno. Dito rin maaari mong isama ang starfish, sea urchin, corals, sea shell, ilang halaman, tulad ng repolyo o broccoli. Sa ibaba, malinaw na ipinapakita ang ilang mga natural na fractal mula sa wildlife.

Kung ating isasaalang-alang walang buhay na kalikasan, tapos doon kawili-wiling mga halimbawa higit pa sa buhay. Kidlat, mga snowflake, mga ulap, na kilala ng lahat, mga pattern sa mga bintana sa mga araw na mayelo, mga kristal, mga hanay ng bundok - lahat ng ito ay mga halimbawa ng mga natural na fractal mula sa walang buhay na kalikasan.

Isinaalang-alang namin ang mga halimbawa at uri ng fractal. Tulad ng para sa paggamit ng mga fractals, ang mga ito ay ginagamit sa karamihan iba't ibang lugar kaalaman. Sa pisika, natural na lumilitaw ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga nonlinear na proseso tulad ng magulong daloy ng likido, kumplikadong proseso diffusion-adsorption, apoy, ulap, atbp. Ang mga fractals ay ginagamit sa pagmomodelo ng mga porous na materyales, halimbawa, sa petrochemistry. Sa biology, ginagamit ang mga ito upang magmodelo ng mga populasyon at upang ilarawan ang mga sistema. lamang loob(sistema ng mga daluyan ng dugo). Matapos ang paglikha ng Koch curve, iminungkahi na gamitin ito sa pagkalkula ng haba ng baybayin. Gayundin, ang mga fractals ay aktibong ginagamit sa radio engineering, sa computer science at computer technology, telekomunikasyon at maging sa ekonomiya. At, siyempre, ang fractal vision ay aktibong ginagamit sa kontemporaryong sining at arkitektura. Narito ang isang halimbawa ng fractal painting:

At kaya, sa tingin ko upang makumpleto ang aking kuwento tungkol sa isang hindi pangkaraniwang mathematical phenomenon bilang isang fractal. Ngayon natutunan namin ang tungkol sa kung ano ang fractal, paano ito lumitaw, tungkol sa mga uri at halimbawa ng fractal. At nakipag-usap din ako tungkol sa kanilang aplikasyon at malinaw na ipinakita ang ilan sa mga fractals. Sana ay nasiyahan ka sa maikling iskursiyon na ito sa mundo ng mga kamangha-manghang at nakakabighaning mga fractal na bagay.