Mengenlehre. Mathematische Denkspiele

Der Begriff einer Menge ist der ursprüngliche, nicht streng definierte Begriff. Hier ist die Definition einer Menge (genauer gesagt, eine Erklärung der Idee einer Menge) von G. Cantor: „Mit Varietät oder Menge meine ich im Allgemeinen all die vielen Dinge, die als ein einziges gedacht werden können eins, d. h. eine solche Sammlung bestimmter Elemente, die durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden können.“

Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet, obwohl manchmal von dieser Konvention abgewichen werden muss, da die Elemente einer bestimmten Menge andere Mengen sein können. Die Tatsache, dass ein Element a zur Menge A gehört, wird als a\in A geschrieben.

In der Mathematik haben wir es mit den unterschiedlichsten Mengen zu tun. Für die Elemente dieser Mengen verwenden wir zwei Haupttypen der Notation: Konstanten und Variablen.

Eine einzelne Konstante (oder nur eine Konstante) mit Bereich A bezeichnet ein festes Element der Menge A . Das sind zum Beispiel die Bezeichnungen (Aufzeichnungen in einem bestimmten Zahlensystem) von reellen Zahlen: 0;\,2;\,7,\!34. Für zwei Konstanten b und b mit Wertebereich A schreiben wir a=b und meinen damit die Koinzidenz der von ihnen bezeichneten Elemente der Menge A.

Eine einzelne Variable (oder nur eine Variable) mit Bereich A bezeichnet ein beliebiges, nicht vorgegebenes Element der Menge A . Hier sagen wir, dass die Variable x die Menge A durchläuft oder die Variable x beliebige Werte auf der Menge A annimmt. Sie können den Wert einer Variablen x festlegen, indem Sie x=a schreiben, wobei a eine Konstante mit demselben Wertebereich wie x ist. In diesem Fall sagen wir, dass anstelle der Variablen x ihr spezifischer Wert a ersetzt wurde, oder x durch a ersetzt wurde, oder die Variable x den Wert a angenommen hat.

Die Gleichheit der Variablen x=y wird wie folgt verstanden: Immer wenn die Variable x einen beliebigen Wert a annimmt, nimmt die Variable y denselben Wert a an und umgekehrt. Gleiche Variablen nehmen also "synchron" immer die gleichen Werte an.

Normalerweise Konstanten und Variablen, deren Bereich eine numerische Menge ist, nämlich eine der Mengen \mathbb(N),\, \mathbb(Z),\, \mathbb(Q),\, \mathbb(R) und \mathbb(C) heißen jeweils natürlich, ganzzahlig (oder ganzzahlig), rational, reell und komplexe Konstanten und Variablen. Im Laufe der diskreten Mathematik werden wir verschiedene Konstanten und Variablen verwenden, deren Wertebereich nicht immer eine Zahlenmenge ist.

Um den Datensatz zu verkürzen, verwenden wir logische Symbolik, die es uns ermöglicht, kurze Aussagen wie Formeln zu schreiben. Der Begriff einer Äußerung ist nicht definiert. Es wird nur angedeutet, dass jede Aussage wahr oder falsch sein kann (natürlich nicht beides gleichzeitig!).

Logische Operationen (Bindungen) auf Mengen

Um aus bestehenden Aussagen neue Aussagen zu bilden, werden die folgenden logischen Operationen (oder logischen Verknüpfungen) verwendet.

1. Disjunktion \lor : Die Aussage P\lor Q (sprich: "P oder Q") ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen P und Q wahr ist.

2. \land Konjunktion: P\land Q (sprich: "P and Q") ist genau dann wahr, wenn sowohl P als auch Q wahr sind.

3. \lnot Negation: \lnot P (sprich: "not P") ist genau dann wahr, wenn P falsch ist.

4. Implikation \Rightarrow : Die Aussage P \Rightarrow Q (sprich: "wenn P, dann Q" oder "P impliziert Q") ist genau dann wahr, wenn die Aussage wahr ist oder beide Aussagen falsch sind.

5. Äquivalenz (oder Äquivalenz) \Leftrightarrow : eine Aussage (sprich: „P genau dann, wenn Q“) ist wahr genau dann, wenn beide Aussagen P und Q entweder beide wahr oder beide falsch sind. Jegliche zwei Aussagen P und Q, die wahr sind P \Leftrightarrow Q, heißen logisch äquivalent oder äquivalent.

Sätze aufschreiben mit logische Operationen, gehen wir davon aus, dass die Reihenfolge der Ausführung aller Operationen durch die Anordnung der Klammern bestimmt wird. Um die Notation zu vereinfachen, werden Klammern oft weggelassen, während eine bestimmte Reihenfolge von Operationen ("Prioritätskonvention") akzeptiert wird.

Die Negationsoperation wird immer zuerst ausgeführt und ist daher nicht in Klammern eingeschlossen. Der zweite führt die Operation der Konjunktion, dann der Disjunktion und schließlich der Implikation und Äquivalenz durch. Beispielsweise wird die Aussage (\lnot P)\lor Q als \lnot P\lor Q geschrieben. Dieser Satz ist die Disjunktion zweier Sätze: der erste ist die Negation von P und der zweite die Negation von Q. Dagegen ist der Satz \lnot (P\lor Q) die Negation der Disjunktion der Sätze P und Q .

Zum Beispiel die Aussage \lnot P\land Q\lor\lnot Q\land P \Rightarrow\lnot Q nach dem Platzieren der Klammern gemäß den Prioritäten nimmt es die Form an

\bigl(((\lnot P)\land Q)\lor ((\lnot Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lnot Q).

Lassen Sie uns einige Bemerkungen zu den oben eingeführten logischen Verknüpfungen machen. Die sinnvolle Interpretation von Disjunktion, Konjunktion und Negation bedarf keiner besonderen Erklärung. Die Implikation P \Rightarrow Q ist per Definition immer dann wahr, wenn Q wahr ist (unabhängig davon, ob P wahr ist) oder P und Q beide falsch sind. Wenn also die Implikation P\Rightarrow Q wahr ist, dann ist Q wahr, wenn P wahr ist, aber das Gegenteil ist möglicherweise nicht wahr, d.h. wenn P falsch ist, kann Q entweder wahr oder falsch sein. Dies motiviert zum Lesen der Implikation in der Form „wenn P, dann Q“. Es ist auch leicht zu verstehen, dass die Aussage P\Rightarrow Q äquivalent zur Aussage \lnot P\lor Q ist und somit sinnvollerweise "wenn P , dann Q " mit "nicht P oder Q " identifiziert wird.

Die Äquivalenz \Leftrightarrow ist nichts anderes als eine "zweiseitige Implikation", d.h. P\Links-Rechts-Pfeil Q ist gleichbedeutend mit (P \Rightarrow Q)\land (Q \Rightarrow P). Das bedeutet, dass die Wahrheit von P die Wahrheit von Q impliziert und umgekehrt die Wahrheit von Q die Wahrheit von P impliziert.

Beispiel 1.1. Um die Wahrheit oder Falschheit einer komplexen Aussage in Abhängigkeit von der Wahrheit oder Falschheit der darin enthaltenen Aussagen zu bestimmen, werden Wahrheitstabellen verwendet.

Die ersten beiden Spalten der Tabelle erfassen alle möglichen Wertesätze, die die Aussagen P und Q annehmen können. Die Wahrheit der Aussage wird durch den Buchstaben "I" oder die Zahl 1 und die Falschheit durch den Buchstaben "L" oder die Zahl 0 angezeigt. Die restlichen Spalten werden von links nach rechts ausgefüllt. So werden für jeden Satz von P- und Q-Werten die entsprechenden Aussagenwerte gefunden.

Die Wahrheitstabellen logischer Operationen haben die einfachste Form (Tabellen 1.1-1.5).

Betrachten Sie eine zusammengesetzte Anweisung (\lnot P\land Q)\Rightarrow (\lnot Q\land P). Der Einfachheit halber bezeichnen wir die Aussage \lnot P\land Q mit A , die Aussage \lnot Q\land P mit B und schreiben die ursprüngliche Aussage als A \Rightarrow B . Die Wahrheitstabelle dieser Aussage besteht aus den Spalten P,\,Q,\,A,\,B und A \Rightarrow B (Tabelle 1.6).

Prädikate und Quantoren

Zusammengesetzte Aussagen werden nicht nur durch logische Verknüpfungen gebildet, sondern auch mit Hilfe von Prädikaten und Quantoren.

Ein Prädikat ist eine Anweisung, die eine oder mehrere einzelne Variablen enthält. Beispiel: „x ist gerade Zahl" oder "x ist Student der Staatlichen Technischen Universität Moskau. Bauman, erhalten 1999". Im ersten Prädikat ist x eine ganzzahlige Variable, im zweiten - eine Variable, die durch die Menge der "menschlichen Individuen" läuft. Ein Beispiel für ein Prädikat, das mehrere individuelle Variablen enthält, ist: "x ist der Sohn von y“, „x, y und z lernen in derselben Gruppe“, „x ist durch y teilbar“, „x ist kleiner als y“ usw. Wir schreiben die Prädikate in die Form P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z), wobei angenommen wird, dass alle im angegebenen Prädikat enthaltenen Variablen in Klammern aufgeführt sind.

Ersetzen statt jeder Variable, die im Prädikat enthalten ist P(x_1,\ldots,x_n), spezifischer Wert, d.h. Festlegen der Werte, wobei a_1,\ldots,a_n einige Konstanten mit dem entsprechenden Wertebereich sind, erhalten wir eine Aussage, die keine Variablen enthält. Zum Beispiel „2 ist eine gerade Zahl“, „Isaac Newton ist ein Student der nach Bauman benannten Staatlichen Technischen Universität Moskau, der 1999 eintrat“, „Iwanow ist der Sohn von Petrow“, „5 ist durch 7 teilbar“, etc. Je nachdem, ob die so erhaltene Aussage wahr oder falsch ist, wird das Prädikat P auf der Wertemenge der Variablen als erfüllt oder nicht erfüllt bezeichnet x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n. Ein Prädikat, das für jeden darin enthaltenen Satz von Variablen erfüllt ist, wird als identisch wahr bezeichnet, und ein Prädikat, das für keinen Satz von Werten seiner Variablen erfüllt wird, wird als identisch falsch bezeichnet.

Eine Aussage aus einem Prädikat kann nicht nur durch Substitution der Werte seiner Variablen, sondern auch durch Quantoren gewonnen werden. Zwei Quantoren werden eingeführt - Existenz und Universalität, die mit \exists bzw. \forall bezeichnet werden.

Erklärung (\für alle x\in A)P(x)("für jedes Element x, das zur Menge A gehört, ist P(x) wahr ", oder kürzer, "für alle x\in A ist P(x) wahr") ist per Definition wahr, wenn und nur wenn das Prädikat P (x) für jeden Wert der Variablen x ausgeführt wird.

Erklärung (\existiert x\in A)P(x)("es existiert, oder es gibt, ein solches Element x der Menge A, dass P(x) wahr ist", auch "für einige x\in A ist P(x) wahr") ist per Definition genau dann wahr wenn auf einigen Werten variabel x ist, ist das Prädikat P(x) erfüllt.

Assoziieren von Prädikatvariablen mit Quantoren

Wenn aus einem Prädikat mittels eines Quantors eine Aussage gebildet wird, sagt man, dass die Variable des Prädikats durch den Quantor gebunden ist. Ebenso werden Variablen in Prädikate eingebunden, die mehrere Variablen enthalten. Im Allgemeinen Ausdrücke der Form

(Q_1x_1\in A_1)(Q_2x_2\in A_2)\ldots (Q_nx_n\in A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

wobei jeder der Quantifizierer \forall oder \exists für jeden Buchstaben Q mit Index eingesetzt werden kann.

Zum Beispiel die Aussage (\für alle x\in A)(\existiert y\in B)P(x,y) lautet wie folgt: "Für jedes x\in A gibt es y\in B, so dass P(x,y) wahr ist ". Wenn die Mengen, die die Prädikatvariablen durchlaufen, fest sind (also "standardmäßig"), dann werden die Quantoren in der abgekürzten Form geschrieben: (\forall x)P(x) oder (\exists x)P(x) .

Beachten Sie, dass viele mathematische Theoreme kann in ähnlicher Form wie die eben gegebenen Quantorenaussagen geschrieben werden, zum Beispiel: "für alle f und für alle a wahr: wenn f eine bei a differenzierbare Funktion ist, dann ist die Funktion f bei a stetig".

Möglichkeiten zur Spezifikation von Mengen

Nachdem wir die Merkmale der Verwendung logischer Symbolik besprochen haben, kehren wir zur Betrachtung von Mengen zurück.

Zwei Mengen A und B werden als gleich angesehen, wenn irgendein Element x der Menge A ein Element der Menge B ist und umgekehrt. Aus der obigen Definition gleicher Mengen folgt, dass eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt ist.

Betrachten wir Möglichkeiten, konkrete Mengen zu spezifizieren. Für eine endliche Menge, deren Anzahl von Elementen relativ klein ist, kann die Methode der direkten Aufzählung von Elementen verwendet werden. Die Elemente einer endlichen Menge sind in geschweiften Klammern in einer willkürlichen Form aufgeführt feste Bestellung\(1;3;5\) . Wir betonen, dass, da eine Menge vollständig durch ihre Elemente bestimmt ist, die Reihenfolge, in der ihre Elemente aufgelistet werden, keine Rolle spielt, wenn eine endliche Menge angegeben wird. Daher Aufzeichnungen \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} usw. alle definieren dieselbe Menge. Außerdem werden manchmal Wiederholungen von Elementen in der Notation von Mengen verwendet. Wir nehmen an, dass die Notation \(1;3;3;5;5\) dieselbe Menge definiert wie die Notation \(1;3;5\) .

Im allgemeinen Fall wird für eine endliche Menge die Notation verwendet. Wiederholungen von Elementen werden in der Regel vermieden. Dann die durch die Notation gegebene endliche Menge \(a_1,\ldots,a_n\), besteht aus n Elementen. Sie wird auch als n-elementige Menge bezeichnet.

Die Methode, eine Menge durch direktes Aufzählen ihrer Elemente zu spezifizieren, ist jedoch auf einen sehr engen Bereich endlicher Mengen anwendbar. Die allgemeinste Art, konkrete Mengen anzugeben, besteht darin, eine Eigenschaft anzugeben, die alle Elemente der beschriebenen Menge haben müssen, und nur sie.

Diese Idee wird auf folgende Weise umgesetzt. Lassen Sie die Variable x durch eine Menge U laufen, die universelle Menge genannt wird. Wir nehmen an, dass nur solche Mengen betrachtet werden, deren Elemente auch Elemente der Menge U sind. In diesem Fall kann eine Eigenschaft, die nur die Elemente einer gegebenen Menge A haben, durch das Prädikat P(x) ausgedrückt werden, das genau dann ausgeführt wird, wenn die Variable x einen beliebigen Wert aus der Menge A annimmt. Mit anderen Worten, P(x) ist genau dann wahr, wenn x durch die individuelle Konstante a\in A ersetzt wird.

Das Prädikat P heißt in diesem Fall das charakteristische Prädikat der Menge A, und die durch dieses Prädikat ausgedrückte Eigenschaft heißt charakteristische Eigenschaft oder kollektivierende Eigenschaft.

Die durch das charakteristische Prädikat definierte Menge wird in folgender Form geschrieben:

A=\bigl\(x\colon~P(x)\bigr\).

Zum Beispiel, A=\(x\in\mathbb(N)\Doppelpunkt\, 2x\) bedeutet, dass "A die Menge ist, die aus allen Elementen x besteht, so dass jedes von ihnen eine gerade natürliche Zahl ist".

Der Begriff „Kollektivierungseigenschaft“ ist motiviert durch die Tatsache, dass diese Eigenschaft es Ihnen ermöglicht, unterschiedliche Elemente zu einem einzigen Ganzen zusammenzufassen. Somit bildet die Eigenschaft, die die Menge G definiert (siehe unten), buchstäblich eine Art „Kollektiv“:

Wenn wir zu Cantors Definition einer Menge zurückkehren, dann ist das charakteristische Prädikat einer Menge das Gesetz, nach dem eine Menge von Elementen zu einem einzigen Ganzen kombiniert wird. Ein Prädikat, das eine kollektivierende Eigenschaft angibt, kann identisch falsch sein. Eine so definierte Menge hat keine Elemente. Sie wird als leere Menge bezeichnet und mit \varnothing bezeichnet.

Im Gegensatz dazu definiert ein identisch wahres charakteristisches Prädikat eine universelle Menge.

Beachten Sie, dass nicht jedes Prädikat eine kollektivierende Eigenschaft ausdrückt.

Bemerkung 1.1. Der spezifische Inhalt des Begriffs einer universellen Menge ist durch die Tatsache bestimmt spezifischen Kontext, in dem wir mengentheoretische Ideen anwenden. Handelt es sich beispielsweise nur um verschiedene Zahlenmengen, so kann die Menge \mathbb(R) aller reellen Zahlen als universell erscheinen. Jeder Zweig der Mathematik befasst sich mit einer relativ begrenzten Menge von Mengen. Daher ist es bequem anzunehmen, dass die Elemente jeder dieser Mengen auch die Elemente einer universellen Menge sind, die sie „umarmt“. Indem wir die universelle Menge festlegen, legen wir damit den Wertebereich aller Variablen und Konstanten fest, die in unserem mathematischen Denken vorkommen. Dabei ist es gerade möglich, in den Quantoren die Menge nicht anzugeben, die durch die durch den Quantor gebundene Variable läuft. Im Folgenden werden wir auf verschiedene Beispiele konkreter universeller Sets stoßen.

CANTORS MENGENTHEORIE. Kantor hat eine bestimmte Technik entwickelt, um mit tatsächlich unendlichen Mengen zu operieren, und ein gewisses Analogon des Quantitätsbegriffs für unendliche Mengen konstruiert. Die Grundlage dieser Technik ist das Konzept einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Elementen zweier Mengen. Sie sagen, dass die Elemente zweier Mengen in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz gebracht werden können, wenn jedes Element der ersten Menge einem Element der zweiten Menge zugeordnet werden kann, anders - unterschiedlich und gleichzeitig jedes Element von der zweite Satz wird einem Element des ersten entsprechen. Man sagt, dass solche Mengen äquivalent sind, dass sie die gleiche Kardinalität oder die gleiche Kardinalzahl haben. Wenn bewiesen werden kann, dass die Elemente der Menge A in eine Eins-zu-Eins-Beziehung zu den Elementen der Teilmenge B1 der Menge B gebracht werden können, und die Elemente der Menge B nicht in eine Eins-zu-Eins-Beziehung gebracht werden können -eine Übereinstimmung mit den Elementen von A, dann sagen sie, dass die Kardinalität der Menge B größer ist als die Kardinalität der Menge A. Diese Definitionen gelten auch für endliche Mengen. In diesem Fall ist Potenz analog zu endlichen Zahlen. Aber unendliche Mengen haben in diesem Sinne paradoxe Eigenschaften. Eine unendliche Menge stellt sich zum Beispiel als äquivalent zu ihrem Teil heraus. wie es in der sogenannten passiert. Galileos Paradoxon:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Diese Paradoxien sind seit langem bekannt, und gerade sie haben der Betrachtung tatsächlich unendlicher Mengen als Hindernis gedient. Bolzano erklärte in Paradoxien des Unendlichen, dass hier einfach die Besonderheit des eigentlich Unendlichen wirkt. Dedekind hielt diese Eigenschaft tatsächlich unendlicher Mengen für charakteristisch.

Cantor entwickelt die Arithmetik der Kardinalzahlen. Die Summe zweier Kardinalzahlen ist die Kardinalität der Vereinigung der ihnen entsprechenden Mengen, das Produkt ist die Kardinalität der sogenannten. Mengen-Produkte zweier gegebener Mengen, und so weiter. Der wichtigste ist der Übergang von der gegebenen Menge zum Mengengrad, d. h. per Definition zur Menge aller Teilmengen der ursprünglichen Menge. Cantor beweist einen fundamentalen Satz für seine Theorie: Die Kardinalität eines Mengengrades ist größer als die Kardinalität der ursprünglichen Menge. Wenn die Potenz der ursprünglichen Menge in Form von a geschrieben wird, dann ist gemäß der Arithmetik der Kardinalzahlen die Potenz des Mengengrads 2a, und wir haben daher 2a > a.

Wenn Sie also von einer unendlichen Menge ausgehen, z. von all den vielen natürliche Zahlen, die die Kardinalität ℵα (Cantor-Notation) zur Menge aller Teilmengen dieser Menge, zur Menge aller Teilmengen dieser neuen Menge usw. hat, erhalten wir eine Reihe von Mengen mit immer größer werdender Kardinalität. Gibt es eine Grenze für diese Erhöhung? Diese Frage kann nur durch die Einführung einiger zusätzlicher Konzepte beantwortet werden.

Im Allgemeinen ist es unmöglich, mit unendlichen Mengen ohne zusätzliche Struktur zu arbeiten. Daher hat Cantor geordnete Mengen in Betracht gezogen, d.h. Mengen, für zwei beliebige Elemente, bei denen die Beziehung "größer als" > (oder "kleiner als"<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1 ... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (Ordinalzahlen)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ („tau“-Kardinäle)

Nach den Sätzen der Mengenlehre hat jedes "Segment" der Skala Ω von Ordnungszahlen, selbst als vollständig geordnete Menge, eine größere Ordnungszahl als alle in diesem Segment enthaltenen. Dies impliziert, dass es unmöglich ist, alle Ω als Menge zu betrachten, weil andernfalls hätte Ω als Ordnungszahl β, die größer ist als alle Ordnungszahlen in Ω, aber da letztere alle Ordnungszahlen enthält, d.h. und β, dann wäre es: β > β (das Burali-Forti-Paradoxon, 1897). Kantor versuchte, dieses Paradox zu umgehen, indem er (seit den 1880er Jahren) den Begriff der Konsistenz einführte. Nicht jede Vielheit ist eine Menge. Eine Vielzahl wird konsistent genannt, oder eine Vielzahl, wenn sie als vollständiges Ganzes betrachtet werden kann. Wenn die Annahme der "gemeinsamen Existenz" aller Elemente der Vielheit zu einem Widerspruch führt, dann erweist sich die Vielheit als widersprüchlich und kann in der Tat nicht in der Mengenlehre berücksichtigt werden. Solche inkonsistenten Mengen sind insbesondere Ω, die Menge aller Ordnungszahlen, und τ („tau“), die Menge aller Kardinalzahlen („Alefs“). Damit kehren wir als Prozess wieder ins Unendliche zurück. Wie der Mathematiker des 20. Jahrhunderts schreibt, P. Vopenka: „Die Mengentheorie, deren Bemühungen auf die Aktualisierung der potentiellen Unendlichkeit gerichtet waren, erwies sich als unfähig, die Potentialität zu eliminieren, sondern schaffte es nur, sie in eine höhere Sphäre zu versetzen“ (Vopenka P. Mathematics in Alternative Set Theory .- "Neues in der fremden Wissenschaft. Mathematik", 1983, Nr. 31, S. 124.) Kantor selbst kam dies jedoch nicht in Verlegenheit. Er glaubte, dass die Skala der „Alephs“ bis in die Unendlichkeit Gottes selbst aufsteigt, und dass sich letztere daher als mathematisch unausdrückbar herausstellte, war für ihn selbstverständlich: „Ich bin nie von einem „Genus supremum“ der tatsächlichen Unendlichkeit ausgegangen . Ganz im Gegenteil, ich habe rigoros die absolute Nichtexistenz von „Genus supremum“ für die tatsächliche Unendlichkeit bewiesen. Das, was alles Unendliche und Transfinite transzendiert, ist nicht „Genus“; es ist die einzige höchst individuelle Einheit, in der alles enthalten ist, was das dem menschlichen Verstand unfassbare „Absolute“ einschließt. Das ist „Actus Purissimus“, der von vielen Gott genannt wird“ (Meschkowski H. Zwei unveröffentlichte Briefe Georg Cantors. – „Der Mathematilkuntemcht“, 1971, Nr. 4, S. 30-34).

B. H. Katasonov

Neue Philosophische Enzyklopädie. In vier Bänden. / Institut für Philosophie RAS. Wissenschaftliche Hrsg. Beratung: V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G. Yu. Semigin. M., Thought, 2010, Bd. I, A - D, p. 249-250.

Ich bin ausgebildeter theoretischer Physiker, habe aber einen guten mathematischen Hintergrund. In der Magistratur war eines der Fächer Philosophie, es war notwendig, ein Thema zu wählen und eine Arbeit darüber einzureichen. Da die meisten Optionen mehr als einmal obmusoleny waren, entschied ich mich für etwas Exotischeres. Ich erhebe keinen Anspruch auf Neuheit, ich habe es gerade geschafft, alle / fast alle verfügbare Literatur zu diesem Thema zu sammeln. Philosophen und Mathematiker können mich mit Steinen bewerfen, ich bin nur für konstruktive Kritik dankbar.

P.S. Sehr "trockene Sprache", aber nach dem Uni-Studium durchaus lesbar. Definitionen von Paradoxien wurden zum größten Teil aus Wikipedia übernommen (vereinfachte Formulierung und vorgefertigtes TeX-Markup).

Einführung

Sowohl die Mengenlehre selbst als auch die ihr innewohnenden Paradoxien sind vor nicht allzu langer Zeit, vor etwas mehr als hundert Jahren, aufgetaucht. In dieser Zeit wurde jedoch ein langer Weg zurückgelegt, die Mengenlehre wurde auf die eine oder andere Weise tatsächlich zur Grundlage der meisten Bereiche der Mathematik. Seine mit Cantors Unendlichkeit verbundenen Paradoxien wurden in einem halben Jahrhundert buchstäblich erklärt.

Sie sollten mit einer Definition beginnen.

Was ist eine Vielzahl? Die Frage ist ganz einfach, die Antwort darauf ist ganz intuitiv. Eine Menge ist eine Menge von Elementen, die durch ein einzelnes Objekt repräsentiert werden. Cantor gibt in seinem Werk Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre eine Definition: Unter „Menge“ verstehen wir die Zusammenfassung bestimmter wohldefinierter Gegenstände m unserer Betrachtung oder unseres Denkens (die „Elemente“ der Mengenlehre genannt werden) zu einem bestimmten Ganzen M Satz M). Wie Sie sehen, hat sich das Wesen nicht geändert, der Unterschied besteht nur in dem Teil, der vom Weltbild von der Determinante abhängt. Die Geschichte der Mengenlehre, sowohl in der Logik als auch in der Mathematik, ist höchst umstritten. Tatsächlich legte Kantor im 19. Jahrhundert den Grundstein dafür, dann führten Russell und die anderen die Arbeit fort.

Paradoxien (Logik und Mengenlehre) – (griechisch – unerwartet) – formallogische Widersprüche, die in der sinnvollen Mengenlehre und formalen Logik unter Beibehaltung der logischen Korrektheit der Argumentation entstehen. Paradoxien entstehen, wenn zwei sich gegenseitig ausschließende (widersprüchliche) Aussagen gleichermaßen beweisbar sind. Paradoxien können sowohl in der wissenschaftlichen Theorie als auch in der gewöhnlichen Argumentation auftreten (Russells Paradoxon über die Menge aller normalen Mengen wird beispielsweise von Russell angegeben: „Der Dorffriseur rasiert alle und nur diejenigen Einwohner seines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Sollte rasierst du dich?"). Da ein formal-logischer Widerspruch das Argumentieren als Mittel zum Entdecken und Beweisen der Wahrheit zerstört (in einer Theorie, in der ein Paradoxon auftritt, ist jeder Satz, sowohl wahr als auch falsch, beweisbar), stellt sich das Problem, die Quellen solcher Widersprüche zu identifizieren und Wege finden, sie zu beseitigen. Das Problem des philosophischen Verständnisses spezifischer Lösungen von Paradoxien ist eines der wichtigen methodologischen Probleme formale Logik und logische Grundlagen der Mathematik.

Der Zweck dieser Arbeit ist es, die Paradoxien der Mengenlehre als Erben alter Antinomien und ganz logische Konsequenzen des Übergangs zu einer neuen Abstraktionsebene - der Unendlichkeit - zu untersuchen. Die Aufgabe besteht darin, die wichtigsten Paradoxien und ihre philosophische Interpretation zu betrachten.

Grundlegende Paradoxien der Mengenlehre

Der Barbier rasiert nur Leute, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich?

Weiter geht es mit einem kurzen Ausflug in die Geschichte.

Einige der logischen Paradoxien sind seit der Antike bekannt, aber aufgrund der Tatsache, dass die mathematische Theorie allein auf Arithmetik und Geometrie beschränkt war, war es unmöglich, sie mit der Mengenlehre zu korrelieren. Im 19. Jahrhundert änderte sich die Situation grundlegend: Kantor erreichte in seinen Werken eine neue Abstraktionsebene. Er führte das Konzept der Unendlichkeit ein und schuf damit neuer Bereich Mathematik und ermöglicht so den Vergleich verschiedener Unendlichkeiten unter Verwendung des Begriffs der "Potenz einer Menge". Dabei schuf er jedoch viele Paradoxien. Die erste ist die sog Burali-Forti-Paradoxon. In der mathematischen Literatur gibt es verschiedene Formulierungen, die auf unterschiedlicher Terminologie und einem angenommenen Satz bekannter Theoreme basieren. Hier ist eine der formalen Definitionen.

Es kann bewiesen werden, dass, wenn x eine beliebige Menge von Ordnungszahlen ist, die Summenmenge eine Ordnungszahl ist, die größer oder gleich jedem der Elemente ist x. Nehmen wir nun an, dass dies die Menge aller Ordnungszahlen ist. Dann ist eine Ordnungszahl größer oder gleich einer der Zahlen in . Aber dann ist und eine Ordnungszahl, außerdem ist sie schon strikt größer und daher keiner der Zahlen in gleich. Dies widerspricht aber der Bedingung, dass die Menge aller Ordnungszahlen ist.

Die Essenz des Paradoxons besteht darin, dass, wenn die Menge aller Ordnungszahlen gebildet wird, eine neue gebildet wird. ordinaler Typ, die noch nicht zu "allen" transfiniten Ordnungszahlen gehörte, die vor der Bildung der Menge aller Ordnungszahlen existierten. Dieses Paradoxon wurde von Cantor selbst entdeckt, unabhängig entdeckt und veröffentlicht von dem italienischen Mathematiker Burali-Forti, dessen Fehler von Russell korrigiert wurden, wonach die Formulierung ihre endgültige Form erhielt.

Unter allen Versuchen, solche Paradoxien zu vermeiden und teilweise zu erklären, verdient die Idee des bereits erwähnten Russell die größte Aufmerksamkeit. Er schlug vor, aus Mathematik und Logik imprädikative Sätze auszuschließen, in denen die Definition eines Elements einer Menge von letzterem abhängt, was zu Paradoxien führt. Die Regel lautet wie folgt: "Keine Menge C kann Elemente m enthalten, die nur in Bezug auf die Menge C definiert sind, sowie Elemente n, die diese Menge in ihrer Definition annehmen." Eine solche Einschränkung der Definition einer Menge ermöglicht es uns, Paradoxien zu vermeiden, schränkt aber gleichzeitig den Anwendungsbereich ihrer Anwendung in der Mathematik erheblich ein. Darüber hinaus reicht dies nicht aus, um ihre Natur und Gründe für ihr Erscheinen zu erklären, die in der Dichotomie von Denken und Sprache verwurzelt sind, in den Merkmalen der formalen Logik. Bis zu einem gewissen Grad kann diese Einschränkung als Analogie zu dem verfolgt werden, was Kognitionspsychologen und Linguisten später als "Grundstufenkategorisierung" bezeichneten: Die Definition wird auf das am einfachsten zu verstehende und zu studierende Konzept reduziert.

Angenommen, die Menge aller Mengen existiert. In diesem Fall ist zwar jede Menge t eine Teilmenge von V. Daraus folgt aber, dass die Potenz jeder Menge die Potenz von V nicht übersteigt. Sondern aufgrund des Axioms der Menge von allen Teilmengen, für V sowie jede Menge gibt es eine Menge aller Teilmengen , und nach dem Satz von Cantor, der der vorherigen Aussage widerspricht. Daher kann V nicht existieren, was der "naiven" Hypothese widerspricht, dass alle syntaktisch korrekt sind boolesche Bedingung definiert eine Menge, d.h. die für jede Formel A, die y nicht frei enthält. Einen bemerkenswerten Beweis für die Abwesenheit solcher Widersprüche auf der Grundlage der axiomatisierten Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie liefert Potter.

Aus logischer Sicht sind die beiden oben genannten Paradoxien identisch mit dem "Lügner" oder "Der Barbier": Das geäußerte Urteil richtet sich nicht nur an etwas Objektives in Bezug auf ihn, sondern auch an sich selbst. Allerdings sollte man nicht nur auf die logische Seite achten, sondern auch auf den Begriff der Unendlichkeit, der hier vorhanden ist. Die Literatur bezieht sich auf die Arbeit von Poincaré, in der er schreibt: "Der Glaube an die Existenz der tatsächlichen Unendlichkeit ... macht diese nicht-prädikativen Definitionen notwendig"".
Im Allgemeinen sind die wichtigsten Punkte:

in diesen Paradoxien wird die Regel verletzt, die „Sphären“ von Prädikat und Subjekt klar zu trennen; der Grad der Verwirrung kommt der Ersetzung eines Konzepts durch ein anderes nahe;
In der Regel wird in der Logik davon ausgegangen, dass Subjekt und Prädikat in diesem Fall im Prozess der Argumentation ihren Umfang und Inhalt behalten
Übergang von einer Kategorie in eine andere, was zu einer Diskrepanz führt;
Das Vorhandensein des Wortes "alle" ist für eine endliche Anzahl von Elementen sinnvoll, aber im Fall einer unendlichen Anzahl von ihnen ist es möglich, eines davon zu haben
sich selbst zu definieren, würde die Definition einer Menge erfordern;
logische Grundgesetze verletzt werden:
- das Identitätsgesetz wird verletzt, wenn die Nichtidentität des Subjekts und des Prädikats aufgedeckt wird;
- das Gesetz des Widerspruchs - wenn zwei widersprüchliche Urteile mit demselben Recht abgeleitet werden;
- das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten - wenn dieses Dritte anerkannt und nicht ausgeschlossen werden muss, da weder das Erste noch das Zweite ohne das andere anerkannt werden können, weil sie sind gleichermaßen gültig.

Das dritte Paradoxon trägt Russells Namen.. Eine Definition ist unten angegeben.
Sei K die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten Enthält K sich selbst als Element? Wenn ja, dann sollte es per Definition von K kein Element von K sein – ein Widerspruch Wenn nicht – dann muss es per Definition von K ein Element von K sein – wiederum ein Widerspruch. Diese Aussage ist logisch von Cantors Paradox abgeleitet, das ihre Beziehung zeigt. Deutlicher tritt jedoch das philosophische Wesen hervor, da die „Selbstbewegung“ der Begriffe „vor unseren Augen“ stattfindet.

Tristram Shandys Paradoxon:
In Sterns The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, entdeckt der Held, dass er brauchte ganzes Jahr um die Ereignisse des ersten Tages seines Lebens zu beschreiben, und ein weiteres Jahr wurde benötigt, um den zweiten Tag zu beschreiben. In diesem Zusammenhang beklagt sich der Held darüber, dass sich das Material seiner Biografie schneller anhäuft, als er es verarbeiten kann, und dass er es niemals vervollständigen kann. „Nun behaupte ich“, wendet Russell ein, „dass, wenn er ewig lebte und seine Arbeit ihm nicht zur Last würde, selbst wenn sein Leben weiterhin so ereignisreich wäre wie am Anfang, dann nicht ein Teil seiner Biographie nicht ungeschrieben bleiben.
Tatsächlich könnte Shandy die Ereignisse des n-ten Tages für das n-te Jahr beschreiben und würde somit jeden Tag in seiner Autobiographie festhalten.

Mit anderen Worten, wenn das Leben auf unbestimmte Zeit dauern würde, dann hätte es so viele Jahre wie Tage.

Russell zieht eine Analogie zwischen diesem Roman und Zeno mit seiner Schildkröte. Die Lösung liegt seiner Meinung nach darin, dass das Ganze seinem Teil im Unendlichen entspricht. Jene. führt zu einem Widerspruch nur "Axiom gesunder Menschenverstand» . Die Lösung des Problems liegt jedoch im Bereich der reinen Mathematik. Offensichtlich gibt es zwei Sätze - Jahre und Tage, zwischen deren Elementen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung besteht - eine Bijektion. Dann unter der Bedingung endloses Leben Die Hauptfigur hat zwei unendliche Mengen gleicher Macht, was, wenn wir Macht als Verallgemeinerung des Konzepts der Anzahl von Elementen in einer Menge betrachten, das Paradox auflöst.

Paradoxon (Theorem) von Banach-Tarski oder Verdoppelung des Kugelparadoxons- ein Satz der Mengenlehre, der besagt, dass eine dreidimensionale Kugel zu gleichen Teilen aus zwei ihrer Kopien zusammengesetzt ist.
Zwei Teilmengen des euklidischen Raums heißen gleich zusammengesetzt, wenn die eine in endlich viele Teile zerlegt, verschoben und die zweite daraus zusammengesetzt werden kann.
Genauer gesagt sind zwei Mengen A und B gleich zusammengesetzt, wenn sie als endliche Vereinigung disjunkter Teilmengen dargestellt werden können, so dass die Teilmenge für jedes i kongruent ist.

Wenn wir den Wahlsatz verwenden, dann klingt die Definition so:
Das Axiom der Wahl impliziert, dass die Oberfläche einer Einheitskugel in eine endliche Anzahl von Teilen unterteilt wird, die durch Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die die Form dieser Komponenten nicht ändern, in zwei Teile zusammengesetzt werden können Kugeln mit Einheitsradius.

Offensichtlich ist diese Aussage angesichts der Anforderung, dass diese Teile messbar sein müssen, nicht machbar. Der berühmte Physiker Richard Feynman erzählte in seiner Biographie, wie es ihm einst gelang, den Streit zu gewinnen, eine Orange in endlich viele Teile zu zerlegen und wieder zusammenzusetzen.

An bestimmten Stellen wird dieses Paradox verwendet, um das Axiom der Wahl zu widerlegen, aber das Problem ist, dass das, was wir als elementare Geometrie betrachten, nicht wesentlich ist. Die Begriffe, die wir für intuitiv halten, sollten auf die Ebene der Eigenschaften transzendentaler Funktionen ausgedehnt werden.

Um das Vertrauen derjenigen weiter zu schwächen, die glauben, dass das Axiom der Wahl falsch ist, sollte man den Satz von Mazurkiewicz und Sierpinski erwähnen, der besagt, dass es eine nicht leere Teilmenge E der euklidischen Ebene gibt, die jeweils zwei disjunkte Teilmengen hat die sich in endlich viele Teile zerlegen lassen, so dass sie durch Isometrien in eine Überdeckung der Menge E übersetzt werden können.
Der Beweis erfordert nicht die Verwendung des Wahlaxioms.
Weitere auf dem Gewissheitsaxiom basierende Konstruktionen lösen das Banach-Tarski-Paradoxon auf, sind aber nicht so interessant.

Richards Paradoxon: Es ist erforderlich, " kleinste Zahl in diesem Buch nicht genannt. Der Widerspruch ist, dass dies einerseits möglich ist, da in diesem Buch die kleinste Zahl genannt wird. Davon ausgehend kann man die kleinsten auch unbenannt benennen. Aber hier tritt ein Problem auf: Das Kontinuum ist nicht abzählbar, zwischen zwei beliebigen Zahlen können Sie unendlich viele Zwischenzahlen einfügen. Wenn wir andererseits diese Nummer nennen könnten, würde sie automatisch von der Klasse, die im Buch nicht erwähnt wird, in die Klasse verschoben, die erwähnt wird.
Das Grelling-Nilson-Paradoxon: Wörter oder Zeichen können eine Eigenschaft bezeichnen und gleichzeitig haben oder nicht. Die trivialste Formulierung lautet wie folgt: Ist das Wort „heterologisch“ (was „nicht auf sich selbst anwendbar“ bedeutet) heterologisch? … Es ist Russells Paradoxon sehr ähnlich, da ein dialektischer Widerspruch vorhanden ist: die Dualität von Form und Inhalt verletzt wird. Bei Wörtern mit hohem Abstraktionsgrad kann nicht entschieden werden, ob diese Wörter heterologisch sind.
Skolemsches Paradoxon: Unter Verwendung des Gödelschen Vollständigkeitssatzes und des Löwenheim-Skolem-Satzes erhalten wir, dass die axiomatische Mengentheorie auch dann wahr bleibt, wenn nur eine abzählbare Menge von Mengen für ihre Interpretation angenommen (verfügbar) wird. Gleichzeitig
Die axiomatische Theorie enthält den bereits erwähnten Satz von Cantor, der uns zu unzähligen unendlichen Mengen führt.

Auflösung von Paradoxien

Mit der Entstehung der Mengenlehre entstand die sogenannte dritte Krise der Mathematik, die noch nicht für alle zufriedenstellend gelöst ist.
Historisch gesehen war der erste Ansatz mengentheoretisch. Es basierte auf der Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit, wenn man davon ausging, dass jede unendliche Folge in der Unendlichkeit abgeschlossen ist. Die Idee war, dass man in der Mengenlehre oft mit Mengen operieren musste, die Teile anderer, größerer Mengen sein könnten. Erfolgreiche Aktionen waren in diesem Fall nur in einem Fall möglich: Die gegebenen Mengen (endlich und unendlich) sind abgeschlossen. Ein gewisser Erfolg war offensichtlich: Zermelo-Fraenkels axiomatische Mengenlehre, eine ganze Schule der Mathematik von Nicolas Bourbaki, die seit mehr als einem halben Jahrhundert existiert und immer noch viel Kritik hervorruft.

Der Logikismus war ein Versuch, die gesamte bekannte Mathematik auf die Begriffe der Arithmetik und dann die Begriffe der Arithmetik auf Konzepte zu reduzieren mathematische Logik. Frege nahm dies genau auf, war aber nach Abschluss der Arbeit an dem Werk gezwungen, auf seine Widersprüchlichkeit hinzuweisen, nachdem Russell auf die Widersprüche in der Theorie hingewiesen hatte. Derselbe Russell versuchte, wie bereits erwähnt, mit Hilfe der „Typentheorie“ die Verwendung imprädikativer Definitionen zu eliminieren. Seine Konzepte von Menge und Unendlichkeit sowie das Axiom der Reduzierbarkeit erwiesen sich jedoch als unlogisch. Das Hauptproblem bestand darin, dass die qualitativen Unterschiede zwischen formaler und mathematischer Logik sowie das Vorhandensein überflüssiger Konzepte, einschließlich solcher intuitiver Natur, nicht berücksichtigt wurden.
Infolgedessen konnte die Theorie des Logizismus die dialektischen Widersprüche der mit der Unendlichkeit verbundenen Paradoxien nicht beseitigen. Es gab nur Prinzipien und Methoden, die es ermöglichten, zumindest nicht-prädikative Definitionen loszuwerden. Nach seiner eigenen Überlegung war Russell Cantors Erbe.

Am Ende des XIX - Anfang des XX Jahrhunderts. Die Verbreitung der formalistischen Sichtweise auf die Mathematik war mit der Entwicklung der axiomatischen Methode und des von D. Hilbert vorgeschlagenen Programms zur Begründung der Mathematik verbunden. Die Bedeutung dieser Tatsache wird durch die Tatsache deutlich, dass das erste der dreiundzwanzig Probleme, die er der mathematischen Gemeinschaft präsentierte, das Problem der Unendlichkeit war. Die Formalisierung war notwendig, um die Konsistenz der klassischen Mathematik zu beweisen, "während sie alle Metaphysik ausschließt". Angesichts der von Hilbert eingesetzten Mittel und Methoden erwies sich sein Ziel als grundsätzlich unmöglich, aber sein Programm hatte einen enormen Einfluss auf die gesamte spätere Entwicklung der mathematischen Grundlagen. Hilbert hat lange an diesem Problem gearbeitet, nachdem er zuerst die Axiomatik der Geometrie konstruiert hatte. Da sich die Lösung des Problems als recht erfolgreich herausstellte, beschloss er, die axiomatische Methode auf die Theorie der natürlichen Zahlen anzuwenden. Hier ist, was er in Verbindung damit schrieb: „Ich verfolge wichtiges Ziel: Ich bin es, der sich mit den Grundlagenfragen der Mathematik als solcher befassen möchte, indem ich jede mathematische Aussage in eine streng ableitbare Formel umwandele. Gleichzeitig war geplant, die Unendlichkeit loszuwerden, indem man sie auf eine bestimmte endliche Anzahl von Operationen reduziert. Dazu wandte er sich der Physik mit ihrem Atomismus zu, um die ganze Widersprüchlichkeit unendlicher Größen aufzuzeigen. Tatsächlich hat Hilbert die Frage nach dem Verhältnis von Theorie und objektiver Realität aufgeworfen.

Mehr oder weniger Vollansicht Endliche Methoden werden von Hilberts Schüler J. Herbran angegeben. Unter endlichem Denken versteht er solches Denken, das die folgenden Bedingungen erfüllt: Logische Paradoxien„- es wird immer nur eine endliche und bestimmte Anzahl von Objekten und Funktionen betrachtet;

Funktionen haben präzise Definition, und diese Definition erlaubt uns, ihren Wert zu berechnen;

Es behauptet niemals "Dieses Objekt existiert", es sei denn, es ist bekannt, wie es konstruiert werden kann;

Die Menge aller Objekte X einer unendlichen Sammlung wird niemals betrachtet;

Wenn bekannt ist, dass irgendeine Argumentation oder ein Theorem für alle diese X wahr ist, dann bedeutet dies, dass diese allgemeine Argumentation für jedes spezifische X wiederholt werden kann und diese allgemeine Argumentation selbst nur als Modell für eine solche spezifische Argumentation betrachtet werden sollte.

Zum Zeitpunkt der letzten Veröffentlichung auf diesem Gebiet hatte Gödel jedoch bereits seine Ergebnisse erhalten, im Wesentlichen entdeckte und bestätigte er erneut die Anwesenheit der Dialektik im Erkenntnisprozess. Im Wesentlichen zeigte die Weiterentwicklung der Mathematik das Scheitern von Hilberts Programm.

Was genau hat Gödel bewiesen? Es gibt drei Hauptergebnisse:

1. Gödel zeigte die Unmöglichkeit eines mathematischen Beweises für die Konsistenz eines Systems, das groß genug ist, um die gesamte Arithmetik einzuschließen, ein Beweis, der keine anderen Schlußregeln als die im System selbst gefundenen verwenden würde. Ein solcher Beweis, der eine stärkere Inferenzregel verwendet, kann nützlich sein. Aber wenn diese Schlußregeln stärker sind als die logischen Mittel des arithmetischen Kalküls, dann gibt es kein Vertrauen in die Konsistenz der im Beweis verwendeten Annahmen. In jedem Fall wird sich Hilberts Programm als undurchführbar erweisen, wenn die verwendeten Methoden nicht finitistisch sind. Gödel zeigt nur die Inkonsistenz von Berechnungen zum Finden eines finitistischen Beweises für die Konsistenz der Arithmetik.
2. Gödel wies auf die grundsätzlichen Grenzen der Möglichkeiten der axiomatischen Methode hin: Das Principia-Mathematica-System ist, wie jedes andere System, mit dem Arithmetik aufgebaut wird, im Wesentlichen unvollständig, d.h. für jedes konsistente System von arithmetischen Axiomen gibt es wahre arithmetische Sätze, die es sind nicht aus den Axiomen dieses Systems abgeleitet.
3. Der Satz von Gödel zeigt, dass keine Erweiterung eines arithmetischen Systems es vervollständigen kann, und selbst wenn wir es mit einer unendlichen Menge von Axiomen füllen, wird es im neuen System immer wahre, aber nicht mit Hilfe dieses Systems ableitbare geben, Positionen. Die axiomatische Herangehensweise an die Arithmetik natürlicher Zahlen kann nicht den gesamten Bereich wahrer arithmetischer Sätze abdecken, und was wir unter dem Prozess des mathematischen Beweises verstehen, ist nicht auf die Verwendung der axiomatischen Methode beschränkt. Nach Gödels Theorem wurde es sinnlos zu erwarten, dass der Begriff eines überzeugenden mathematischen Beweises ein für alle Mal in umrissenen Formen gegeben werden könnte.

Der letzte in dieser Reihe von Versuchen, die Mengenlehre zu erklären, war der Intuitionismus.

Er durchlief eine Reihe von Stufen in seiner Entwicklung – Semi-Intuitionismus, eigentlicher Intuitionismus, Ultra-Intuitionismus. In verschiedenen Stadien machten sich Mathematiker Sorgen um verschiedene Probleme, aber eines der Hauptprobleme der Mathematik ist das Problem der Unendlichkeit. Die mathematischen Konzepte von Unendlichkeit und Kontinuität sind seit ihren Anfängen Gegenstand philosophischer Analysen (die Ideen der Atomisten, die Aporien von Zeno von Elea, die Infinitesimalmethoden in der Antike, die Infinitesimalrechnung in der Neuzeit usw.). Die größte Kontroverse wurde durch die Verwendung verschiedener Arten von Unendlichkeit (potentiell, aktuell) als mathematische Objekte und ihre Interpretation verursacht. Alle diese Probleme wurden unserer Meinung nach durch ein tieferes Problem verursacht – die Rolle des Subjekts in der wissenschaftlichen Erkenntnis. Tatsache ist, dass der Krisenzustand der Mathematik durch die erkenntnistheoretische Unsicherheit des Vergleichs der Welt des Objekts (Unendlichkeit) und der Welt des Subjekts erzeugt wird. Der Mathematiker als Subjekt hat die Möglichkeit, das Erkenntnismittel zu wählen - entweder potentiell oder tatsächlich unendlich. Die Nutzung der potentiellen Unendlichkeit als werdende Eins gibt ihm die Möglichkeit, eine unendliche Reihe von Konstruktionen auszuführen, zu konstruieren, die auf endlichen aufgebaut werden können, ohne einen endlichen Schritt zu haben, ohne die Konstruktion zu vollenden, es ist nur möglich. Die Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit gibt ihm die Möglichkeit, mit der Unendlichkeit als bereits realisierbar, vollendet in ihrer Konstruktion, als zugleich tatsächlich gegeben zu arbeiten.

Auf der Stufe des Semi-Intuitionismus war das Problem der Unendlichkeit noch nicht unabhängig, sondern in das Problem der Konstruktion mathematischer Objekte und Möglichkeiten zu ihrer Rechtfertigung eingewoben. Der Semi-Intuitionismus von A. Poincaré und den Vertretern der Pariser Schule der Funktionentheorie Baire, Lebesgue und Borel richtete sich gegen die Annahme des Axioms der freien Wahl, mit dessen Hilfe der Satz von Zermelo bewiesen wird, der besagt, dass jeder Menge kann vollständig geordnet gemacht werden, ohne jedoch einen theoretischen Weg anzugeben, um die Elemente einer beliebigen Teilmenge der gewünschten Mengen zu bestimmen. Es gibt keine Möglichkeit, ein mathematisches Objekt zu konstruieren, und es gibt kein mathematisches Objekt selbst. Mathematiker glaubten, dass das Vorhandensein oder Fehlen einer theoretischen Methode zur Konstruktion einer Folge von Untersuchungsobjekten als Grundlage für die Begründung oder Widerlegung dieses Axioms dienen kann. In der russischen Version wurde das semi-intuitionistische Konzept in den philosophischen Grundlagen der Mathematik in eine Richtung entwickelt, wie der von N.N. Luzin. Der Effektivismus ist ein Gegensatz zu den Hauptabstraktionen von Cantors Lehre vom Unendlichen – Aktualität, Wahl, transfinite Induktion usw.

Für den Effektivismus ist die Abstraktion der potentiellen Machbarkeit erkenntnistheoretisch wertvoller als die Abstraktion der tatsächlichen Unendlichkeit. Dadurch wird es möglich, das Konzept der transfiniten Ordnungszahlen (unendliche Ordnungszahlen) auf der Grundlage des effektiven Konzepts des Wachstums von Funktionen einzuführen. Die erkenntnistheoretische Einstellung des Effektivismus zur Darstellung des Kontinuierlichen (Kontinuum) basierte auf diskreten Mitteln (Arithmetik) und der von N. N. Luzin geschaffenen deskriptiven Theorie der Mengen (Funktionen). Der Intuitionismus des Niederländers L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting sieht frei entstehende Folgen verschiedener Art als traditionellen Untersuchungsgegenstand. In diesem Stadium stellten Intuitionisten bei der Lösung mathematischer Probleme im eigentlichen Sinne, einschließlich der Umstrukturierung der gesamten Mathematik auf einer neuen Grundlage, die philosophische Frage nach der Rolle eines Mathematikers als erkennendem Subjekt. Wo ist seine Position, wo er freier und aktiver in der Wahl der Erkenntnismittel ist? Intuitionisten waren die ersten (und auf der Stufe des Semi-Intuitionismus), die das Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit, Cantors Mengentheorie, kritisierten und darin die Verletzung der Fähigkeit des Subjekts sahen, den Prozess der wissenschaftlichen Suche nach einer Lösung für ein konstruktives Problem zu beeinflussen . Bei der Verwendung der potentiellen Unendlichkeit täuscht sich das Subjekt nicht, da für ihn die Vorstellung der potentiellen Unendlichkeit intuitiv viel klarer ist als die Vorstellung der tatsächlichen Unendlichkeit. Für einen Intuitionisten gilt ein Objekt als existent, wenn es einem Mathematiker direkt gegeben wird oder wenn die Methode seiner Konstruktion bekannt ist. In jedem Fall kann das Subjekt damit beginnen, die Konstruktion einer Reihe von Elementen seines Satzes abzuschließen. Das unkonstruierte Objekt existiert für Intuitionisten nicht. Gleichzeitig wird dem Subjekt, das mit der tatsächlichen Unendlichkeit arbeitet, diese Möglichkeit genommen und es wird die doppelte Verwundbarkeit der eingenommenen Position spüren:

1) es ist niemals möglich, diese unendliche Konstruktion auszuführen;
2) er beschließt, mit der tatsächlichen Unendlichkeit wie mit einem endlichen Objekt zu operieren, und verliert in diesem Fall seine Spezifität des Konzepts der Unendlichkeit. Der Intuitionismus schränkt die Möglichkeiten eines Mathematikers bewusst dadurch ein, dass er mathematische Objekte ausschließlich mit Mitteln konstruieren kann, die zwar mit Hilfe abstrakter Begriffe gewonnen, aber gerade praktisch effektiv, überzeugend, beweisbar, funktional konstruktiv und selbst als Konstruktionen intuitiv klar sind, Konstruktionen, an deren Zuverlässigkeit in der Praxis kein Zweifel besteht. Der Intuitionismus, der sich auf das Konzept der potentiellen Unendlichkeit und konstruktive Forschungsmethoden stützt, befasst sich mit der Mathematik des Werdens, die Mengenlehre bezieht sich auf die Mathematik des Seins.

Für den Intuitionisten Brouwer als Vertreter des mathematischen Empirismus ist die Logik zweitrangig, er kritisiert sie und das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten.

In seinen teils mystischen Werken leugnet er nicht die Existenz der Unendlichkeit, sondern lässt nicht deren Aktualisierung, sondern nur Potentialisierung zu. Das Wichtigste für ihn ist die Interpretation und Begründung praktisch verwendeter logischer Mittel und mathematischer Argumente. Die von den Intuitionisten gewählte Einschränkung überwindet die Unsicherheit der Verwendung des Begriffs der Unendlichkeit in der Mathematik und drückt den Wunsch aus, die Krise der Grundlagen der Mathematik zu überwinden.

Ultra-Intuitionismus (A. N. Kolmogorov, A. A. Markov und andere) ist die letzte Stufe in der Entwicklung des Intuitionismus, in der seine Hauptideen modernisiert, erheblich ergänzt und transformiert werden, ohne sein Wesen zu ändern, aber Mängel zu überwinden und positive Aspekte zu stärken, geleitet von das Kriterium mathematische Strenge. Die Schwäche des intuitionistischen Ansatzes war ein enges Verständnis der Rolle der Intuition als einzige Rechtfertigungsquelle für die Richtigkeit und Wirksamkeit mathematischer Methoden. Mit der „intuitiven Klarheit“ als Wahrheitskriterium in der Mathematik haben die Intuitionisten die Möglichkeiten eines Mathematikers als Erkenntnissubjekt methodisch verarmt, seine Tätigkeit nur auf auf Intuition basierende mentale Operationen reduziert und die Praxis nicht in den Prozess der mathematischen Erkenntnis einbezogen. Das ultra-intuitionistische Programm zur Begründung der Mathematik ist eine russische Priorität. Daher übernahmen einheimische Mathematiker, die die Grenzen des Intuitionismus überwanden, die effektive Methodik der materialistischen Dialektik und erkannten die menschliche Praxis als Quelle der Bildung sowohl mathematischer Konzepte als auch mathematischer Methoden (Schlussfolgerungen, Konstruktionen) an. Die Ultraintuitionisten lösten das Problem der Existenz mathematischer Objekte, indem sie sich nicht auf das undefinierte subjektive Konzept der Intuition stützten, sondern auf die mathematische Praxis und einen spezifischen Mechanismus zur Konstruktion eines mathematischen Objekts – einen Algorithmus, der durch eine berechenbare, rekursive Funktion ausgedrückt wird.

Der Ultra-Intuitionismus verstärkt die Vorteile des Intuitionismus, die in der Möglichkeit bestehen, die von Mathematikern aller Richtungen verwendeten Methoden zur Lösung konstruktiver Probleme zu ordnen und zu verallgemeinern. Daher steht der Intuitionismus der letzten Stufe (Ultraintuitionismus) dem Konstruktivismus in der Mathematik nahe. In erkenntnistheoretischer Hinsicht sind die Hauptideen und Prinzipien des Ultraintuitionismus folgende: Kritik an der klassischen Axiomatik der Logik; die Nutzung und signifikante Stärkung (auf ausdrückliche Anweisung von A. A. Markov) der Rolle der Abstraktion der Identifikation (mentale Abstraktion von den unterschiedlichen Eigenschaften von Objekten und die gleichzeitige Isolierung). gemeinsame Eigenschaften Objekte) als Mittel zur Konstruktion und zum konstruktiven Verständnis abstrakter Konzepte, mathematischer Urteile; Beweis der Konsistenz konsistenter Theorien. BEIM formaler Aspekt Die Verwendung der Abstraktion der Identifikation wird durch ihre drei Eigenschaften (Axiome) der Gleichheit gerechtfertigt - Reflexivität, Transitivität und Symmetrie.

Um den Hauptwiderspruch in der Mathematik zum Problem der Unendlichkeit zu lösen, der zu einer Krise seiner Grundlagen führte, auf der Stufe des Ultra-Intuitionismus in den Werken von A.N. Kolmogorov schlug Wege aus der Krise vor, indem er das Problem der Beziehungen zwischen klassischer und intuitionistischer Logik, klassischer und intuitionistischer Mathematik löste. Brouwers Intuitionismus leugnete insgesamt die Logik, aber da kein Mathematiker ohne Logik auskommen kann, wurde die Praxis des logischen Denkens im Intuitionismus noch bewahrt, einige Prinzipien der klassischen Logik wurden zugelassen, die die Axiomatik zur Grundlage hatten. S.K. Kleene, R. Wesley stellen sogar fest, dass die intuitionistische Mathematik als eine Art Kalkül beschrieben werden kann, und Kalkül ist eine Möglichkeit, mathematisches Wissen auf der Grundlage von Logik, Formalisierung und seiner Form - Algorithmisierung - zu organisieren. Eine neue Version der Beziehung zwischen Logik und Mathematik im Rahmen der intuitionistischen Anforderungen an die intuitive Klarheit der Urteile, insbesondere derjenigen, die die Negation beinhalten, A.N. Kolmogorov schlug Folgendes vor: Er präsentierte die intuitionistische Logik, die eng mit der intuitionistischen Mathematik verwandt ist, in Form eines axiomatischen implikativen Minimalkalküls von Sätzen und Prädikaten. So präsentierte der Wissenschaftler ein neues Modell mathematischen Wissens, das die Grenzen des Intuitionismus überwindet, indem er nur die Intuition als Erkenntnismittel anerkennt, und die Grenzen des Logizismus, der die Möglichkeiten der Logik in der Mathematik verabsolutiert. Diese Position ermöglichte es, die Synthese des Intuitiven und Logischen als Grundlage flexibler Rationalität und ihrer konstruktiven Wirksamkeit in mathematischer Form aufzuzeigen.

Ergebnisse. Der erkenntnistheoretische Aspekt des mathematischen Wissens ermöglicht uns also eine Bewertung revolutionäre Veränderungen im Stadium der Krise der Grundlagen der Mathematik auf Wende XIX-XX Jahrhunderte von neuen Positionen zum Verständnis des Erkenntnisprozesses, der Natur und Rolle des Subjekts darin. Gnoseologisches Thema traditionelle Theorie Wissen, entsprechend der Herrschaftszeit des mengentheoretischen Ansatzes in der Mathematik, ist ein abstraktes, unvollständiges, „partielles“ Subjekt, repräsentiert in Subjekt-Objekt-Beziehungen, durch Abstraktionen, Logik, Formalismus von der Realität abgerissen, rational, theoretisch wissend sein Objekt und als Spiegel verstanden, der die Realität genau widerspiegelt und repliziert. Tatsächlich wurde das Subjekt als realer Prozess und Ergebnis der Interaktion mit dem Objekt von der Erkenntnis ausgeschlossen. Der Einzug des Intuitionismus in die Arena des Kampfes philosophischer Strömungen in der Mathematik führte zu einem neuen Verständnis des Mathematikers als Erkenntnissubjekt – einer wissenden Person, deren philosophische Abstraktion gleichsam neu aufgebaut werden muss. Der Mathematiker erschien als empirisches Subjekt, bereits verstanden als integrale reale Person, einschließlich all jener Eigenschaften, von denen im erkenntnistheoretischen Subjekt abstrahiert wurde - empirische Konkretheit, Variabilität, Geschichtlichkeit; es ist ein Handeln und Erkennen in echter Erkenntnis, ein schöpferisches, intuitives, erfinderisches Subjekt. Die Philosophie der intuitionistischen Mathematik ist zur Grundlage, zur Grundlage des modernen erkenntnistheoretischen Paradigmas geworden, das auf dem Konzept der flexiblen Rationalität aufbaut, in dem eine Person ein integrales (ganzheitliches) Erkenntnissubjekt ist, das neue kognitive Qualitäten, Methoden und Verfahren besitzt; er synthetisiert seine abstrakt-erkenntnistheoretische und logisch-methodische Natur und Form und erhält zugleich eine existenziell-anthropologische und „historisch-metaphysische“ Erfassung.

Ein wichtiger Punkt ist auch die Intuition in der Erkenntnis und insbesondere in der mathematischen Begriffsbildung. Wieder gibt es einen Kampf mit der Philosophie, Versuche, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte auszuschließen, da es in der Mathematik keine Bedeutung hat und aus der Philosophie in sie hineinkommt. Das Vorhandensein einer übermäßigen Betonung der Intuition und das Fehlen klarer mathematischer Begründungen erlaubten es jedoch nicht, die Mathematik auf eine solide Grundlage zu übertragen.

Allerdings nach dem Erscheinen in den 1930er Jahren strenges Konzept Den Staffelstab des Algorithmus vom Intuitionismus übernahm der mathematische Konstruktivismus, dessen Vertreter einen wesentlichen Beitrag zur modernen Theorie der Berechenbarkeit leisteten. Darüber hinaus wurden in den 1970er und 1980er Jahren bedeutende Verbindungen zwischen einigen Ideen der Intuitionisten (auch solchen, die zuvor absurd schienen) und der mathematischen Theorie der Topos entdeckt. Die in einigen Topoi gefundene Mathematik ist derjenigen sehr ähnlich, die die Intuitionisten zu schaffen versuchten.

Als Ergebnis kann man eine Aussage treffen: Die meisten der oben genannten Paradoxien existieren einfach nicht in der Theorie von Mengen mit Eigenbesitz. Ist ein solcher Ansatz endgültig - kontroverses Thema, weitere Arbeit in diesem Bereich zeigen.

Fazit

Die dialektisch-materialistische Analyse zeigt, dass Paradoxien eine Folge der Dichotomie von Sprache und Denken sind, ein Ausdruck tiefer dialektischer (Gödels Theorem ermöglichte es, Dialektik im Erkenntnisprozess zu manifestieren) und erkenntnistheoretischen Schwierigkeiten, die mit den Konzepten eines Objekts und eines Subjekts verbunden sind Bereich in der formalen Logik, eine Menge (Klasse) in Logik und Mengenlehre, unter Verwendung des Abstraktionsprinzips, das die Einführung neuer (abstrakter) Objekte (Unendlichkeit) ermöglicht, mit Methoden zur Definition abstrakter Objekte in der Wissenschaft usw. Daher a Ein allgemeingültiger Weg zur Beseitigung aller Paradoxien kann nicht angegeben werden.

Ob die dritte Krise der Mathematik vorbei ist (weil sie in einem kausalen Zusammenhang mit Paradoxien stand; jetzt sind Paradoxien ein fester Bestandteil) – hier gehen die Meinungen auseinander, obwohl formal bekannte Paradoxien bis 1907 beseitigt wurden. Allerdings gibt es jetzt in der Mathematik andere Umstände, die entweder als Krise oder als Vorbote einer Krise angesehen werden können (z. B. das Fehlen einer strengen Rechtfertigung für das Pfadintegral).

Was die Paradoxien betrifft, so spielte das bekannte Lügnerparadoxon eine sehr wichtige Rolle in der Mathematik, ebenso wie eine ganze Reihe von Paradoxien in der sogenannten naiven (vorausgehenden axiomatischen) Mengenlehre, die eine Grundlagenkrise verursachten (eines dieser Paradoxa spielte eine fatale Rolle im Leben von G. Frege). Aber vielleicht ist eines der am meisten unterschätzten Phänomene in der modernen Mathematik, das sowohl als paradox als auch als Krise bezeichnet werden kann, Paul Cohens Lösung von Hilberts erstem Problem im Jahr 1963. Genauer gesagt, nicht die Tatsache der Entscheidung selbst, sondern die Art dieser Entscheidung.

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Anstelle einer Anmerkung:

"... Cantors Diagonalbeweis ist eine Tätigkeit für Idioten, die nichts mit dem zu tun hat, was man in der klassischen Logik Deduktion nennt."

L. Wittgenstein

„... Cantors Theorie präsentiert ein pathologischer Vorfall in der Geschichte Mathematik, aus der die kommen Generationen werden einfach entsetzt sein"

K. Bauer, Begründer der Topologie

1. Die Krise des modernen mathematischen Wissens.

Die Mathematik spielt eine führende Rolle bei der Umwandlung der antiken und mittelalterlichen Nuka in die moderne europäische Nuka, da die theoretische Naturwissenschaft ohne Mathematik nicht möglich ist. In der modernen europäischen Naturwissenschaft wird die Mathematik nicht umsonst als „Königin der Wissenschaften“ bezeichnet. Wenn sie im Altertum von den Naturwissenschaften getrennt war und ihr Gegenstand die Sphäre des Idealen war mathematische Entitäten, dann ändert sich die Situation in der Neuzeit dramatisch. Die Mathematik nähert sich den Naturwissenschaften und beginnt ihnen ihre eigenen Regeln des Zusammenlebens zu diktieren. In dieser Hinsicht erhält die moderne begriffliche Naturwissenschaft die Definition von mathematisch. Die modernen Naturwissenschaften verdanken einen großen Teil ihres Erfolgs der modernen europäischen Mathematik. Die letzte, dritte Krise, die seit mehr als hundert Jahren andauert, weist jedoch auf ernsthafte Probleme in ihren Grundlagen hin.

Es gibt eine traditionelle Sichtweise, die an der Wende des XIX-XX Jahrhunderts. Es gab eine dritte Krise in den Grundlagen der Mathematik, deren Ursachen mit der Konvergenz der Mathematik mit der Logik sowie der Notwendigkeit zusammenhängen, mathematische Konzepte wie Zahl, Menge, Grenze, Funktionen usw. zu klären.

Die Ursprünge dieser Krise reichen bis ins 17.-18. Jahrhundert zurück, als die Mathematik Methoden zur Lösung naturwissenschaftlicher Probleme entwickelte. Die Mathematiker jener Zeit kümmerten sich nicht besonders um die Begründung ihrer eigenen Methoden [L.S. Freynmann. Schöpfer der höheren Mathematik. M., 1968. S. 83-84]

Im 19. Jahrhundert es gibt eine Überarbeitung grundlegender Konzepte und die Bildung der theoretischen Mathematik. Dies führt zur Bildung der Mengenlehre und zur Arithmetisierung der Mathematik.

Die größten Mathematiker des 19. Jahrhunderts versuchten, alle Fakten der Mathematik zu reduzieren Anzahl und entwickeln, beginnend mit Gauß' Arithmetischen Untersuchungen (1801), die Zahlentheorie [F.A. Medvedev. Die Entwicklung der Mengenlehre im 19. Jahrhundert. M, 1965. S. 35-36.]. Zunächst galt es für die mathematische Analyse. Am problematischsten waren seine logischen Grundlagen. In dieser Hinsicht im XIX Jahrhundert. die Entwicklung der Grundlagen der Mathematik und strengerer Methoden für ihre Definitionen und Beweise beginnt.

Bei der Umstrukturierung der mathematischen Analyse besteht die Überzeugung, dass die Sätze der Algebra und der mathematischen Analyse als Satz über natürliche Zahlen formuliert werden können [Dedekind R. Was sind Zahlen und wozu dienen sie. Kasan: Ed. Kaiserliche Universität, 1905. S. 5].

Das Ergebnis dieses Prozesses war die Verwirklichung der Zahl als Grundbegriff aller Mathematik und der Aufbau der Theorie der reellen Zahlen durch Mathematiker wie Bolzano, Weierstraß, Dedekind und Kantor.

Bereits in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts stellt sich das Problem der Begründung der Mathematik. Eine herausragende Rolle bei ihrer Lösung spielte die Konstruktion der Mengenlehre von G. Kantor. Infolgedessen werden die Konzepte der Analysis und der Funktionentheorie in Begriffen der Mengenlehre formuliert. Der grundlegende Begriff für letzteres war der Begriff einer tatsächlich unendlichen Menge.

Die Entwicklung der Mengenlehre durch Einbeziehung des Begriffs der tatsächlichen Unendlichkeit bedeutete in der Tat eine Revolution in der Geschichte der Mathematik, vergleichbar mit der Revolution von Kopernikus, der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik. Die Mengenlehre lieferte eine universelle Methode, die zur Grundlage wurde weitere Entwicklung Mathematik.

Die nächste Stufe in der Entwicklung der Mathematik war mit der Konvergenz von Algebra, Logik und Mengenlehre verbunden. Die Mathematik nimmt eine noch nie dagewesene abstrakte Form an. Dies bedeutete einen Übergang zu den logischen Grundlagen der Mathematik. Einen herausragenden Beitrag zu den Grundlagen der Mathematik leistete G. Frege („Grundlagen der Arithmetik“ und „Grundgesetze der Arithmetik aus der Begriffsrechnung“). Es führt die axiomatische deduktive Konstruktion der mathematischen Logik durch (Aussagenkalkül, Prädikatenkalkül). Das Problem der logischen Begründung der Anzahl, Unabhängigkeit, Konsistenz und Vollständigkeit von Axiomensystemen wird gelöst. „Logistik“ entsteht als Darstellung der Mathematik in der Sprache der Logik. Es ist ein Prozess der Entwicklung eines mächtigen logische Analyse und Formalisierung der Logik.

Die Idee der Ableitbarkeit der Mathematik von der Logik ist auf dem Vormarsch. Nachdem Frege die Begriffe „Zahl“ und „Menge“ in den logischen Begriffen „Klasse“ und „Beziehung“ definiert hat, schafft er es, die Theorie der Mengen zu formalisieren und Mathematik als Erweiterung der Logik darzustellen.

Dieser Prozess endet mit der Schaffung des grundlegenden dreibändigen Werks Principia Mathematica (1910-1913) von Russell und Whitehead.

Ende des 19. Jahrhunderts war die Situation in der Mathematik sehr ähnlich wie in der Physik zu Beginn der 1990er Jahre, als sich die Vorstellung von der Vollständigkeit der klassischen Physik etablierte. Und dann folgten die dramatischen Ereignisse, auf die wir zuvor eingegangen sind.

An der Wende des XIX-XX Jahrhunderts. Die Mathematik tritt in eine akute Krise ein, die durch das Auftauchen einer Reihe unlösbarer mathematischer, logischer und semantischer Paradoxien verursacht wird, die Cantors Mengenlehre und die Grundlagen der klassischen Mathematik in Frage stellen. Dies stürzte selbst so prominente Mathematiker wie Cantor, Frege und andere in Verzweiflung. G. Weil schrieb noch nach vielen Jahren über diese Periode der mathematischen Erkenntnisgeschichte folgende Zeilen: „ Wir sind uns der primären Grundlagen von Mathematik und Logik heute weniger denn je sicher. Wir erleben unsere „Krise“ auf die gleiche Weise, wie sie alle und alles in der modernen Welt erlebt. Diese Krise dauert bereits fünfzig Jahre an (diese Zeilen wurden 1946 geschrieben). Auf den ersten Blick scheint es unsere tägliche Arbeit nicht sonderlich zu beeinträchtigen. Allerdings muss ich gleich gestehen, dass mein mathematische Arbeit Diese Krise hatte bemerkenswerte praktische Auswirkungen: Sie lenkte meine Interessen auf Bereiche, die ich als relativ "sicher" betrachtete, und untergrub ständig den Enthusiasmus und die Entschlossenheit, mit der ich meine Forschung verfolgte. Meine Erfahrung wurde wahrscheinlich von anderen Mathematikern geteilt, denen es nicht gleichgültig ist, welchen Platz die eigene wissenschaftliche Tätigkeit in dieser Welt im allgemeinen Kontext des interessierten, leidenden und schaffenden Menschen einnimmt." [M. Kline. Mathematik. Verlust der Gewissheit. M.: Mir, 1984. S. 387]. „... Der Zustand, in dem wir uns jetzt in Bezug auf Paradoxien befinden“, schreibt D. Gilbert, „on lange Zeit unerträglich. Denken Sie: In der Mathematik - diesem Modell der Gewissheit und Wahrheit - führt die Bildung von Begriffen und der Verlauf von Schlüssen, wie sie jeder studiert, lehrt und anwendet, ins Absurde. Wo soll man Verlässlichkeit und Wahrheit suchen, wenn selbst das mathematische Denken versagt? [D.Gilbert. Grundlagen der Geometrie. M.-L., 1948. S.349].

Erfolglose Versuche, Paradoxien aufzulösen, führten Mathematiker zu der Annahme, dass die Ursachen der Krise im Bereich grundlegender Konzepte und Argumentationsmethoden liegen. Es ist notwendig, die Prinzipien der Mathematik zu überdenken und einige der alten Konzepte aufzugeben. Und dies betraf zunächst die Umstrukturierung der Mengenlehre und die Verfeinerung des Mengenbegriffs selbst auf einer völlig neuen Grundlage [S. Kleene. Einführung in die Metamathematik. M, 1957. S. 42.]. Das eigentliche Ideal der Logik als Kriterium für die Strenge mathematischer Beweise wurde zerstört. Daher stand die Mathematik vor der Aufgabe, die einstige Verlässlichkeit und Verlässlichkeit mathematischen Wissens wiederherzustellen. Die intuitive Natur des logischen Denkens und die entsprechende Sprache passten den Wissenschaftlern nicht mehr [Kh. Curry. Grundlagen der mathematischen Logik. M, 1969. S. 26.]. Es entstehen drei Forschungsprogramme: Logikismus, Formalismus und Intuitionismus.

Ein kurzer Exkurs in die Geschichte der modernen Mathematik zeigt, dass an ihrer Grundlage und damit auch der gesamten mathematischen Naturwissenschaft liegt fundamentale Theorie Cantor setzt mit dem wissenschaftlichen Grundbegriff der tatsächlichen Unendlichkeit an. Und die Mathematik selbst ist so eng mit dem Begriff der Unendlichkeit verbunden, dass sie oft als Wissenschaft vom Unendlichen definiert wird.

Die Mathematik ist wie andere Wissenschaften (und die Philosophie) ziemlich stark von grundlegenden spirituellen und historischen Paradigmen bestimmt. Diese Überzeugung wird durch die Arbeiten von P. P. Gaidenko bestätigt, die sich der Entwicklung des Wissenschaftsbegriffs im Kontext der Philosophiegeschichte widmen [P. P. Gaidenko. Die Evolution des Wissenschaftsbegriffs (Bildung und Entwicklung der ersten wissenschaftlichen Wissenschaftsprogramme). M. "Wissenschaft", 1980. – (ohne Fußnoten) – [ Elektronische Ressource]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html]. Und obwohl sich der Autor in seiner Forschung auf das Zusammenspiel von naturwissenschaftlichem und philosophischem Wissen konzentriert, lässt sich doch der Einfluss des religiösen Kontextes auf wissenschaftliche Programme in ihnen nicht minder deutlich nachvollziehen. Der Einfluss religiöser, theologischer Prämissen auf den Inhalt der modernen Mathematik wird auch in den Werken von V.N. Katasonova [V.N. Katasonow. Wissenschaftliche und philosophische Konzepte der Unendlichkeit und des Christentums. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html] und A. A. Zenkin [A. A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Cantor: Biblische Geschichten am Vorabend der Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/] usw.

Damit ist die Vorstellung, Mathematik sei eine freie (unabhängige) und universelle Wissenschaft, die sich nach eigenen Gesetzmäßigkeiten entwickelt, stark übertrieben.

2. Zusammenfassung der Mengenlehre von G. Kantor.

G. Kantor betrachtet das pythagoräisch-platonische Wissenschaftsprogramm als Grundlage der Mengenlehre, deren Kritik von Aristoteles stammt, die aber in der Philosophie der Renaissance wiederbelebt wird. Zur Begründung werden theologische Argumente der katholischen Lehre herangezogen. Das philosophische und mathematische Denken bereitete ab dem 15. Jahrhundert allmählich die Entstehung dieser Theorie vor.

Georg Cantor ist der Begründer der Mengenlehre und der Theorie der transfiniten Zahlen. Der Hauptgedanke seiner Theorie der unendlichen Mengen bestand in einer entschiedenen Zurückweisung der These des Aristoteles über tatsächlich unendliche Mengen. Kantor stützte seine Untersuchung unendlicher Mengen auf die Idee einer Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Elementen verglichener Mengen. Wenn eine solche Korrespondenz zwischen den Elementen zweier Mengen hergestellt werden kann, dann sagt man, dass die Mengen die gleiche Kardinalität haben, das heißt, sie sind gleichwertig oder gleichwertig. „Bei endlichen Mengen“, schrieb Kantor, „ist die Kardinalität gleich der Anzahl der Elemente.“ Deshalb wird die Potenz auch als kardinale (quantitative) Zahl einer gegebenen Menge bezeichnet [P. Stachow. Im Zeichen des "Goldenen Schnitts": Bekenntnis des Sohnes einer Studentin Kapitel 5. Algorithmische Messtheorie. 5.5. Das Problem der Unendlichkeit in der Mathematik. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

1874 stellte er die Existenz von Nichtäquivalenten, also unendlichen Mengen mit unterschiedlichen Kardinalitäten, fest und führte 1878 ein allgemeines Konzept Kardinalitäten von Mengen (bei der von ihm vorgeschlagenen und in der Mathematik akzeptierten Benennung von Kardinalitäten von Mengen durch die Buchstaben des hebräischen Alphabets ist seine jüdische Herkunft nach Angaben seines Vaters wahrscheinlich betroffen). Im Hauptwerk „Über unendliche lineare Punktbildungen“ (1879–84) hat Kantor die Mengenlehre systematisch dargelegt und durch die Konstruktion eines Beispiels einer vollkommenen Menge (der sogenannten Cantor-Menge) ergänzt [Kantor G. Über unendliche lineare Punktformationen. // Neue Ideen in der Mathematik, 1994, Nr. 6, St. Petersburg].

Kantor gab der Idee der tatsächlichen Unendlichkeit mathematischen Inhalt. Kantor verstand seine Theorie als einen völlig neuen Kalkül der unendlichen, „transfiniten“ (d. h. „superendlichen“) Mathematik. Die tatsächliche Unendlichkeit ist sozusagen ein „Behälter“, in dem sich eine Reihe potentieller Unendlichkeiten entfaltet, und dieser Behälter muss bereits tatsächliche Daten sein.

Die Schaffung eines solchen Kalküls sollte nach seiner Vorstellung nicht nur die Mathematik, sondern auch die Metaphysik und Theologie revolutionieren, die Cantor fast mehr interessierten als die wissenschaftliche Forschung selbst. Er war der einzige Mathematiker und Philosoph, der glaubte, dass die tatsächliche Unendlichkeit nicht nur existiert, sondern auch für den Menschen im vollen Sinne fassbar ist, und dieses Verständnis wird die Mathematiker und nach ihnen die Theologen höher und näher zu Gott erheben.. Dieser Aufgabe widmete er sein Leben. Der Wissenschaftler glaubte fest daran, dass er von Gott auserwählt war, eine große Revolution in der Wissenschaft zu machen, und dieser Glaube wurde durch mystische Visionen unterstützt.

Dieser Ansatz führte Cantor zu vielen paradoxen Entdeckungen, die unserer Intuition scharf widersprechen. Im Gegensatz zu endlichen Mengen, die dem euklidischen Axiom "Das Ganze ist größer als der Teil" unterliegen, gehorchen unendliche Mengen diesem Axiom nicht. Es ist zum Beispiel einfach, die Äquivalenz der Menge der natürlichen Zahlen und ihres Teils – der Menge der geraden Zahlen – herzustellen, indem man die folgende Eins-zu-eins-Korrespondenz herstellt: [P. Stachow. Im Zeichen des "Goldenen Schnitts": Bekenntnis des Sohnes einer Studentin Kapitel 5. Algorithmische Messtheorie. 5.5. Das Problem der Unendlichkeit in der Mathematik. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Eine Menge heißt nach Cantor unendlich, wenn sie äquivalent zu einer ihrer Teilmengen ist. Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu keiner ihrer Teilmengen äquivalent ist. Eine abzählbare Menge ist eine Menge, die der Menge der natürlichen Zahlen entspricht, da ihre Elemente aufgezählt werden können [ebd.].

Kantor glaubte, dass die Mengen der natürlichen, rationalen und algebraischen Zahlen die gleiche Kardinalität haben, d.h. sind zählbar [ebd.].

Cantor versuchte auch zu beweisen, dass die Menge N der natürlichen Zahlen auf einen Teil der Menge R der reellen Zahlen abgebildet werden kann, während die Kardinalität der reellen Zahlen größer ist als die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen [ebd.].

1886 versuchte Kantor zu beweisen, dass es in einem Einheitsquadrat nicht mehr Punkte als in einem Einheitssegment gibt. Daher ist die Kraft des zweidimensionalen Kontinuums gleich der Kraft des Kontinuums einer Dimension [ebd.].

Cantors Ideen erwiesen sich als so unerwartet und kontraintuitiv, dass die berühmten Französischer Mathematiker Henri Poincaré nannte die Theorie der transfiniten Zahlen eine „Krankheit“, von der die Mathematik eines Tages geheilt werden müsse. Leopold Kronecker – Cantors Lehrer und einer der angesehensten Mathematiker Deutschlands – griff Cantor sogar persönlich an und nannte ihn einen „Scharlatan“, „Abtrünnigen“ und „Jugendschänder“. Scientific American · Russische Ausgabe Nr. 8 · August 1983 · S. 76–86 / Georg Cantor und die Geburt der transfiniten Mengenlehre].

Die Mengenlehre schlug auch eine neue Seite in der Erforschung der Grundlagen der Mathematik auf – Kantors Werk ermöglichte es erstmals, moderne allgemeine Vorstellungen über das Fach Mathematik, die Struktur mathematischer Theorien, die Rolle der Axiomatik und den Begriff klar zu formulieren der Isomorphie von Objektsystemen, gegeben zusammen mit den sie verbindenden Relationen. Seine Mengenlehre ist einer der Eckpfeiler der Mathematik.

In der Philosophie der Mathematik analysierte Kantor das Problem der Unendlichkeit. Kantor unterscheidet zwei Arten des mathematischen Unendlichen – uneigentlich (potentiell) und eigentlich (tatsächlich, als vollständiges Ganzes verstanden) – und bestand im Gegensatz zu seinen Vorgängern auf der Rechtmäßigkeit, in der Mathematik mit dem Begriff des tatsächlich Unendlichen zu operieren. Als Anhänger des Platonismus sah Cantor im mathematischen Wirklich-Unendlichen eine der Formen des Wirklich-Unendlichen überhaupt, die im absoluten göttlichen Wesen die höchste Vollkommenheit erlangt.

3. Die große Konfrontation zwischen Cantorianern und Antikantoriern.

Kritik von AA Zenkin an der abstrakten Mengenlehre

G. Kantor und „Lehre vom Transfiniten“.

Unter der zahlreichen kritischen Literatur, die sich der Mengenlehre von G. Kantor widmet, verdienen die Studien des russischen Mathematikers A. A. Zenkin besondere Aufmerksamkeit. Laut dem berühmten Mathematiker A. P. Stakhov wird er (Zenkin) vielleicht den letzten Punkt im Streit mit Kantor und bei der Lösung der mathematischen Krise in der modernen Mathematik setzen[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Im Originalartikel „George Kantor's Transfinite Paradise. Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse "Russischer Wissenschaftler A.A. Zenkin analysiert die erkenntnistheoretischen Fehler in der Logik von Cantors Beweis der Unzählbarkeit des Kontinuums, basierend auf dem Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit[A. A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Kantor: Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Seit Jahrtausenden, - bemerkt A.A. Zenkin, - unterstützten und teilten so herausragende Wissenschaftler und Philosophen wie Aristoteles, Euklid, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Kant, Spinoza, Lagrange, Gauss, Kronecker, Lobachevsky eine negative Haltung gegenüber dem Konzept von AB , Cauchy, F. Klein, Hermite, Poincare, Baer, Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weil, Luzin und schon heute - Erret Bishop, Solomon Feferman, Yaroslav Peregrin, Vladimir Turchin, Pyotr Vopenka und viele andere.

Seit den 70er Jahren des 19. Jahrhunderts gibt es eine scharf ablehnende Haltung gegenüber der Mengenlehre von Georg Cantor, die auf dem AB-Konzept basiert. A. A. Zenkin gibt Beispiele für die kategorischsten Aussagen, die an sie gerichtet sind. So kam Henri Poincaré zu dem Schluss, dass „es keine tatsächliche Unendlichkeit gibt; die Cantorianer vergaßen es und gerieten in Kontroversen. Zukünftige Generationen werden Cantors Mengenlehre als eine endlich geheilte Krankheit ansehen."[A. Poincaré, On Science. – M.: Nauka, 1983]. Der Begründer der modernen Topologie, L. Brouwer, ist in seinen Aussagen nicht weniger radikal: „ Cantors Theorie als Ganzes ist ein pathologischer Vorfall in der Geschichte der Mathematik, vor dem zukünftige Generationen einfach entsetzt sein werden.[A. A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Grundlagen der Mengenlehre. - M.: "Mir"].

„Dennoch gibt es auch heute noch“, schreibt der russische Mathematiker, „genauso wie zu Beginn des 20 Transfinite“ in Form von „nicht-naiven“ (s.u.) Versionen dieser „Lehre“, d.h. in Form der modernen axiomatischen Mengenlehre (im Folgenden - ATM), basierend auf der (stillschweigenden - siehe unten) Verwendung des Konzepts von AB und der mathematischen Intuition von Anti-Kantorianern, die das Konzept von AB und G. Cantors "Doktrin" ablehnen des Transfiniten" basierend auf diesem Konzept" [A.A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Kantor: Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Die Verwendung des AB-Konzepts führt zu Paradoxien von Logik und Mathematik, deren Erzeugungsmechanismen bisher unentdeckt bleiben. In dieser Hinsicht sind die Offenlegung der logischen Natur von Paradoxien und die Legitimität der Verwendung des AB-Konzepts in der Mathematik heute relevant. Frenkel und Bahr-Hillel weisen darauf hin, dass es in der traditionellen Interpretation von Logik und Mathematik absolut nichts gibt, was als Grundlage für die Beseitigung von Russells Antinomie dienen könnte.<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Wir glauben, dass alle Versuche, mit Hilfe traditioneller ... Denkweisen aus der Situation herauszukommen, die bisher ausnahmslos gescheitert sind, für diesen Zweck offensichtlich unzureichend sind. Ein gewisses Abweichen von den üblichen Denkweisen ist eindeutig notwendig, obwohl der Ort dieses Abweichens nicht im Voraus klar ist“ [A. A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Grundlagen der Mengenlehre. - M.: "Mir"].

Die abstrakte Mengentheorie und ihre Behauptung in der modernen Wissenschaft ist laut A. A. Zenkin ein anschauliches Beispiel für Pseudowissenschaft, ein beispielloser Fall der Schaffung eines falschen Mythos in der Wissenschaft durch den Einsatz von PR-Technologien.

Darüber hinaus enthüllt A. A. Zenkin unfreiwillig das wahre unparteiische Wesen der modernen Wissenschaft als soziale Institution: „ATM - Die Initiative führte zu einem so großen negativen Phänomen wie dem Bourbakismus, d.h. exzessive, unnötige, sinnlose, betäubende, betäubende und zombifizierende Formalisierung von Mathematik und mathematischer Bildung. Der herausragende russische Mathematiker und Lehrer, der Akademiker V. I. Arnold, beschreibt die negativen Folgen einer solchen Burbakisierung: „Mitte des 20. Jahrhunderts gelang es der Mafia der „Mathematiker der linken Hemisphäre“, die großen Einfluss hatte, die Geometrie aus der Mathematik auszuschließen Bildung ... Ersetzung der gesamten inhaltlichen Seite dieser Disziplin durch Training in der formalen Handhabung abstrakter Konzepte. Eine solch abstrakte Beschreibung der Mathematik ist weder für den Unterricht noch für praktische Anwendungen geeignet. Moderne formalisierte (burbakisierte) Bildung in Mathematik - komplettes Gegenteil Vermittlung der Denkfähigkeit und naturwissenschaftlicher Grundlagen. Es ist gefährlich für die ganze Menschheit. Die Zukunft der mit dieser Krankheit infizierten Mathematik sieht ziemlich düster aus“ [A.A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Kantor: Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Der russische Mathematiker formuliert vier Beispiele für „Lüge, um den Geldautomaten von H. Kantor zu retten“:

Erst lügen. "Mathematik ist die Königin aller Wissenschaften, und ATM ist die Königin der Mathematik"! Bei dieser Gelegenheit schreibt A.A. Zenkin, dass das moderne ATM die professionelle mathematische Gemeinschaft täuscht und die junge Generation von Mathematikern zombifiziert. Cantorianer argumentieren, dass, wenn zu Beginn des 20. Jahrhunderts viele herausragende Mathematiker ATM kategorisch als Pseudowissenschaft ablehnten, heute „moderne Mathematiker endlich darüber aufgeklärt dass alle Unendlichkeiten sind relevant ihre Meinung zu dem Thema geändert, dass die Theorie Finale natürliche Zahlen ist aus der Theorie "ableitbar". transfinit Zahlen, dass der Begriff einer leeren Menge aus dem Begriff einer tatsächlich unendlichen Menge abgeleitet wird, d Die gesamte moderne Mathematik kann von ATM abgeleitet werden und offiziell anerkannt, dass "Mathematik die Königin aller Wissenschaften ist und ATM die Königin der Mathematik"! Alle ATM-Gegner von gestern sind sich heute einig, dass ATM es ist herausragende Leistung moderne Mathematik, eine Errungenschaft, die das Gesicht der gesamten Mathematik im 20. Jahrhundert verändert hat“ [ebd.].

„Dies ist eine empirische Tatsache“, Martin Davis und Reuben Hersh zombifizieren bereits heute die wissenschaftliche Gemeinschaft, „ dass etwa 90% der arbeitenden Mathematiker akzeptierte Cantors Mengenlehre, sowohl in der Theorie als auch in der Praxis, bis zu einem gewissen Grad» [ebd.].

Dann, wie A. A. Zenkin feststellt, sind die Cantorianer absichtlich schlau und machen keinen signifikanten Unterschied zwischen der Sprache der abstrakten Mengenlehre und Cantors Doktrin der transfiniten Ordinalzahlen und Kardinalzahlen. Tatsächlich ist die Sprache der Mengenlehre zu einer universellen mathematischen Sprache geworden. Während die Lehre von den transfiniten Ordinal- und Kardinalzahlen aufgrund ihrer absoluten Nutzlosigkeit von 90 % der wirklich arbeitenden Mathematiker nirgendwo angewendet wird. Von den übrigen lehnen 9 % der Mathematiker diese Doktrin kategorisch ab, und nur 1 % sind ATM-Anhänger oder Bourbakisten.

Zweite Lüge. Die Grundlage des modernen Geldautomaten ist eine eklatante pseudowissenschaftliche, halbkriminelle „Methode zur Lösung“ des Grundlegenden wissenschaftliche Frageüber die logische Natur mathematische Unendlichkeit . Ihr Wesen liegt darin, dass Cantors Mengenlehre, basierend auf dem Begriff AB, für „naiv“ erklärt und der Begriff AB selbst aus dem Rahmen einer respektablen metamathematischen Wissenschaft genommen wurde. Es war eine der effektivsten PR-Kampagnen, die jemals in der Wissenschaftsgeschichte durchgeführt wurden.

Dennoch entlehnte die moderne ATM-Theorie der „naiven“ Theorie den Satz über die Abzählbarkeit des Kontinuums, dessen Beweis auf der Verwendung des offensichtlich widersprüchlichen Begriffs AB beruht. In dieser Hinsicht betrachtet A. A. Zenkin Cantors Mengentheorie als eine der HauptquellenDie dritte große Krise der Grundlagen der Mathematik, die bis heute andauert.

Dritte Lüge. Die Bedingungen für den Nachweis von ATM werden nicht explizit formuliert, sondern auf der Ebene philosophischer Vorgaben impliziert. Aus Sicht der klassischen Logik und Mathematik ist die "AB-Annahme" eine notwendige Bedingung für die Ableitung der meisten ATM-Theoreme.

Vierte Lüge. Die Mengenlehre scheiterte am Ende daran, die Potentialität zu eliminieren wissenschaftliche Methodik, d.h. Beweisen Sie die Widersprüchlichkeit des PB-Konzepts. ATM ging in die andere Richtung. Sie erklärte das Problem der Legitimität der Verwendung von AB zu einem philosophischen. A.A. Zenkin sieht darin den Instinkt der Selbsterhaltung der ATM-Befürworter, da der Versuch einer strengen Definition des Begriffs AB zu einem offensichtlichen Verständnis seiner Widersprüchlichkeit führen wird. Und dies wird die gut finanzierten und gewohnheitsmäßigen gefährden das Wohlbefinden der ATM-Stammgäste in Cantors "transfinite paradise". Auf solch halbkriminelle und pseudowissenschaftliche Weise ging der ATM - "Clan" mit seinen Gegnern um.

Und schließlich die fünfte Lüge. Der mathematischen Gemeinschaft eine „Horrorgeschichte“ aufzuzwingen, dass der Beweis des Satzes des unzählbaren Kontinuums so schwierig ist, dass er nur ausgewählten Fachleuten zugänglich ist . Viele Mathematiker glaubten an diesen Mythos und gaben ihre Unfähigkeit zu, als sie Cantors Fundamentalsatz über die Unabzählbarkeit des Kontinuums diskutierten. Als Beweis für die offensichtliche Falschheit dieses Mythos schlägt A. A. Zenkin vor, die Methodik zum Beweis des Cantor-Theorems und des bekannten Pythagoras-Theorems zu vergleichen.

Im Satz des Pythagoras, bemerkt A.A. Zenkin, drei (!) elementare Begriffe Mathematik (Konzept rechtwinkliges Dreieck, der Ähnlichkeitsbegriff von Dreiecken, der Proportionsbegriff) und drei (!) mathematische Operationen durchgeführt: zwei Multiplikationen und eine Addition algebraische Ausdrücke. Der Beweis selbst (ohne Bild) dauert 5 (fünf!) Zeilen. Cantors Beweis verwendet drei (!) elementare Begriffe der Mathematik (den Begriff einer natürlichen Zahl, den Begriff einer reellen Zahl und den Begriff einer unendlichen Folge von aufgezählten reellen Zahlen) und es wird keine einzige (!) mathematische Operation durchgeführt. Der Beweis selbst dauert 5 (fünf!) Zeilen, geschrieben in der Sprache der elementaren Logik der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts[ebd.].

Die Richtigkeit dieses Beweises stößt bei bedeutenden Mathematikern, Logikern und Philosophen auf ernsthafte Einwände. " In seinen paradigmatischen Implikationen für Philosophie, Logik, Mathematik und die Psychologie des Wissens ist Cantors Theorem beispiellos. Ein so unterschiedliches erkenntnistheoretisches „Schicksal“ dieser in formalen Kriterien (und in Bezug auf die „schreiende“ Trivialität der Beweise) so ähnlichen Sätze erklärt sich dadurch, dass der Beweis des Satzes von Cantor den (implizit) widersprüchlichen Begriff von verwendet eigentliche Unendlichkeit» [ebd.].

A. A. Zenkin bleibt bei diesem Argument nicht stehen und fährt direkt mit der Analyse der Diagonalmethode (DM) als Beweis für Cantors Theorem über die Abzählbarkeit des Kontinuums fort.

In Anbetracht der kanonischen Form von DM kommt der russische Wissenschaftler zu dem Schluss, dass „sein (Cantors) diagonaler Beweis der quantitativen Inkommensurabilität zweier unendlicher Mengen X und N darauf beruht, dass eine unendliche Menge X immer ein zusätzliches Element enthält (Cantors neu AD-d.h. x*), für deren Aufzählung „wie immer“ ein Element in der unendlichen Menge N fehlt, oder formal, dass die unendliche Menge X ein Element mehr hat als die unendliche Menge N. Ich denke, das ist – es ist genau diese Stelle in Cantors Beweis, die seitens der wissenschaftlichen Intuition herausragender Mathematiker immer kategorische Ablehnung (Ablehnung) hervorgerufen hat (siehe Liste-1)“ [Ibid.]. A. A. Zenkin gibt eine Einschätzung solcher Beweise durch Wittgenstein: „Ein Mensch arbeitet Tag für Tag im Schweiße seines Angesichts – er macht eine Liste aller reellen Zahlen, und jetzt, wenn die Liste endlich fertig ist, erscheint ein Zauberer, der die nimmt Diagonale dieser Liste und verwandelt sie vor den Augen des staunenden Publikums mit Hilfe eines eher "esoterischen" Algorithmus in ... eine Antidiagonale, d.h. zu einer neuen AD-Realnummer, die nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist . Von solcher ArtCantors Diagonalbeweis ist eine Tätigkeit für Idioten, die nichts mit dem zu tun hat, was in der klassischen Logik Deduktion genannt wird..

Darüber hinaus entdeckt der russische Mathematiker zum ersten Mal einzigartige Tatsache in Cantors Beweis. Der Schlüsselpunkt von Cantors Beweis ist die explizite Verwendung der Gegenbeispielmethode. Und „das Gegenbeispiel selbst findet sich nicht in der Menge aller möglichen Realisierungen eines Gegebenen Allgemeines Behauptungen, sondern algorithmisch abgeleitet aus der allgemeinen Behauptung, die dieses Gegenbeispiel widerlegen soll (in der Form deduktiv Ausgabe , hier B= "Liste (1) enthält alle d.h. von X)“ [A. A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Kantor: Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Als Ergebnis der Bekanntschaft von ATM-Fachleuten mit der Entdeckung von A.A. Zenkin entstand eine scharfe Kontroverse, in der sich „die ganze falsche Professionalität einer Reihe anerkannter ATM-Behörden gerade im Bereich der elementaren Logik manifestierte“ [ebd.].

Die Ergebnisse der Kontroverse zusammenfassend, kommt A.A. Zenkin zu folgendem unerwarteten Schluss: „Es entsteht eine skandalöse Situation! – Seit mehr als hundert Jahren bringen herausragende (und nicht so) Fachleute auf dem Gebiet der Metamathematik, der mathematischen Logik, der axiomatischen Mengenlehre und anderer Bourbakisten (genauer gesagt, zombifizierende) neue Generationen von Studenten jedes Jahr bei, „wie die Unzählbarkeit des Kontinuums mit der berühmten Diagonalmethode Cantor richtig zu beweisen, ohne die logische Natur dieser Methode zu verstehen!

Wahrlich, „ein pathologischer Vorfall, vor dem, so Brouwer, künftige Generationen entsetzt sein werden“! - Oder besser gesagt, sie werden "aus der Tiefe ihrer Seele" lachen, aber ... "bis ich vollständig falle". - Über wen? - Ich denke an jene 90% der „arbeitenden“ Mathematiker, die ein ganzes Jahrhundert lang „völlig uneigennützig“ ihre „Königin aller Wissenschaften“ wegen eindeutig „unangemessener Verwendung“ durch „Linkshirnpatienten“ aufgegeben haben. Denn über die Kranken zu lachen, selbst die mit der linken Gehirnhälfte, ist sündhaft und sinnlos.[ebd.].

Der russische Mathematiker vervollständigt die kritische Analyse des DMC-Beweises mit der Geschichte von David Hilberts dramatischem Paradoxon, das vor etwa 80 Jahren vorgeschlagen wurde. Um die grundlegenden Unterschiede zwischen endlichen und unendlichen Mengen in Cantors Mengenlehre zu demonstrieren, schlug D. Hilbert in den 1920er Jahren ein populäres Paradoxon unter dem Namen "Grand Hotel" vor. Die Darstellung des Paradoxons selbst ist ziemlich umständlich, also lassen Sie uns seine Essenz formulieren. Das „Grand Hotel“-Paradox demonstriert eine grundlegende Eigenschaft unendlicher Mengen: „... wenn eine endliche oder abzählbar unendliche Menge zu einer unendlichen Menge hinzugefügt wird, dann ändert sich die Kardinalität der ersten Menge nicht“ [ebd.].

Beim Vergleich des DMC-Beweises mit D. Hilberts Paradoxon kommt A. A. Zenkin zu einem bemerkenswerten Schluss: Der DMC-Beweis der Unzählbarkeit des Kontinuums ist ein deduktives Modell (im Sinne von Tarski) von D. Hilberts „Grand Hotel“-Paradoxon.

Im Paradoxon von D. Hilbert haben wir es mit einem potentiell unendlichen Prozess zu tun, der die folgende grundlegende Eigenschaft hat: Bis dieser Prozess endet, „Es gibt keinen (logischen und mathematischen) Grund zu behaupten, dass die Annahme „X ist abzählbar“ falsch ist. Für den Fall, dass die Menge Y 1 abzählbar unendlich ist, ist daher die Aussage des Satzes von Cantor „X ist nicht abzählbar“ nicht beweisbar“[ebd.].

Die obigen Argumente, schließt A. A. Zenkin, deuten darauf hin „Der Satz von Cantor über die Abzählbarkeit des Kontinuums ist unbeweisbar. Dies bedeutet, dass die Unterscheidung zwischen Unendlichkeiten durch die Anzahl der Elemente mythenbildend ist. Aber wenn die Unabzählbarkeit des Kontinuums nicht beweisbar ist, dann ist G. Cantors Theorie der transfiniten Mengen nicht nur „naiv“, sondern offene Pseudowissenschaft, und deshalb kann G. Cantors transfinites „Paradies“ geschlossen werden, ohne dass dies wirklich „funktioniert“. "Mathematik"[ebd.].

Zum Abschluss der Präsentation von A. A. Zenkins kritischen Studien zur Theorie der unendlichen Mengen von Georg Kantor möchte ich die Bedeutung seiner folgenden Schlussfolgerung betonen. Der Satz von Cantor ist aus Sicht der klassischen Logik von Aristoteles falsch.

4. Kritik am axiomatischen Ansatz von A.A. Zenkin

Der von A. Zenkin vorgeschlagene axiomatische Ansatz für das Konzept von AB und PB ist aus unserer Sicht methodisch falsch.

Das Axiom von Aristoteles und das Axiom von Cantor werden durch den Begriff der Unendlichkeit formuliert, der nicht streng und formal definiert ist. Aus der Formulierung der Axiome folgt, dass PB und AB Typen des Unendlichen als solchen sind, d.h. nett.

Zweiter Augenblick. Das Konzept von PB und AB betrachtet Aristoteles auf der Grundlage seiner eigenen Seins- und Wesenslehre auf der Grundlage der Gesetze der klassischen Logik (traditionell). Während Cantor in seiner Mengenlehre vom pythagoreisch-platonischen Forschungsprogramm ausging. Platons Seins- und Wesenslehre ist eine Alternative zur peripatetischen Philosophie und steht im Einklang mit der dialektischen Logik und dem Prinzip der Koinzidenz der Gegensätze.

Aristoteles betrachtete die Konzepte von AB und PB nicht als widersprüchlich, vor allem weil das Konzept der Unendlichkeit sehr spezifisch ist und die Prinzipien und Gesetze der traditionellen Logik darauf nicht anwendbar sind. Aristoteles nannte es ein illegitimes Konzept, das im Allgemeinen weder unserem Gefühl noch unserem Denken gegeben ist. Das Unendliche existiert nur in der Möglichkeit, nicht in der Realität. Denn wenn es wirklich existierte, wäre es eine bestimmte (bestimmte) Menge oder ein endlicher Wert. Daher existiert das Unendliche als Eigenschaft.

Unendlich ist laut Aristoteles, wo man, wenn man eine bestimmte Menge nimmt, immer etwas danach nehmen kann. Und wo draußen nichts ist, ist es das Ganze. Das Unendliche ist das, was von etwas abwesend ist, außerhalb von ihm ist. „Das Ganze und Begrenzte (Unendliche) ist nicht an sich, sondern in Beziehung zu einem anderen; und da es unendlich ist, umfasst es nicht, sondern wird umfasst. Daher ist es nicht als unendlich erkennbar, weil die Materie [als solche] es hat keine Form.Daher ist klar, dass das Unendliche eher der Definition eines Teils als eines Ganzen entspricht, da Materie ein Teil des Ganzen ist, wie Kupfer für eine Kupferstatue verständlich „Groß“ und „Klein“ müssen die verständlichen [Ideen] umfassen, aber es ist absurd und unmöglich für das Unerkennbare und Unbestimmte, sie zu umfassen und zu definieren“ [Aristoteles. Gesammelte Werke in 4 Bänden. V.3, Moskau, „Gedanke ", 1981, S.120 ].

Folglich betrachtet Aristoteles den Begriff der Unendlichkeit in engem Zusammenhang mit den Schlüsselkategorien seiner Philosophie: Form – Materie, Möglichkeit – Realität, Teil – das Ganze. Dabei ist der Begriff AB kein Widerspruch zu PB, sondern aus Sicht der aristotelischen Logik völlig undenkbar. Widersprüchliche PB ist eher der Begriff des Endlichen, als das Verhältnis des Unbestimmten zum Bestimmten. Wenn PB im Kontext eines Teils betrachtet wird – eines Ganzen, dann ist die Definition eines Teils dafür besser geeignet. Das wirkliche Unendliche mehr entspricht dann im Verhältnis dazu dem Begriff des Ganzen. In diesem Fall ist PB ein Konzept, das dem Konzept von AB untergeordnet ist. Genau so hat es G. Kantor selbst interpretiert.

Für Aristoteles kann man also nur im Sinne von PB von Unendlichkeit sprechen. Ein Begriff kann ihm nicht zugeordnet werden, der nicht als Begriff erkannt wird, d.h. AB. Und das eigentliche Konzept von PB ist unbestimmt, nicht erkennbar und hat keine Realität.

Es ist dieser besondere Status des Begriffs der Unendlichkeit, von dem Aristoteles spricht, der es uns nicht erlaubt, die traditionellen Operationen der formalen Logik darauf anzuwenden. Das Konzept von PB ist kein mathematisches Objekt im engeren Sinne des Wortes.

Dass der Begriff der Unendlichkeit im strengen Sinne nicht zur Mathematik gehört, folgt aus den Definitionen von Zahl und Größe. Hier ist noch einmal die Definition von Aristoteles. „Quantität ist das, was in Bestandteile teilbar ist, von denen jeder, ob es zwei oder mehr sind, seiner Natur nach etwas Eins und ein bestimmtes Etwas ist. Jede Größe ist eine Menge, wenn sie zählbar ist, und eine Größe, wenn sie messbar ist. Eine Menge ist das, was nach Möglichkeit in Teile, die nicht stetig sind, teilbar ist, eine Menge - in Teile, die stetig sind ... Von all diesen Mengen begrenzt Satz ist Zahl begrenzt Linienlänge, begrenzt Breite - flach, begrenzt Tiefe ist der Körper“ [Aristoteles. Op. in 4 Bänden. Band 1. M.: Gedanken, 1976, S.164]. Aus der obigen Passage von Aristoteles folgt, dass der Hauptgegenstand der Mathematik der Begriff von Größe und Zahl ist. Die Zahl ist eine begrenzte Menge, der Wert ist ein begrenzter geometrischer Raum (Linie, Ebene, Körper). Unbegrenzte Menge und unbegrenzter Raum sind Unendlichkeit, als zwei Formen von Quantität, die keine Grenzen, kein Ende oder keine Grenze haben. Daher sind sie unbestimmt und daher nicht erkennbar.

Außerdem, Unendlichkeit ist für Aristoteles eine Eigenschaft des Denkens, zunächst einmal und nicht das Fach Physik oder Mathematik. « Dem Denken in der Frage nach dem Unendlichen zu vertrauen ist absurd, denn Exzess und Mangel liegen (in diesem Fall) nicht im Objekt, sondern im Denken. Schließlich kann sich jeder von uns ein Vielfaches mehr vorstellen, als er ist, es ins Unendliche steigern, jedoch nicht, weil jemand außerhalb der Stadt ist oder eine gewisse Größe hat, weil jemand so denkt, sondern weil es so ist [eigentlich] ; und die Tatsache [dass jemand so denkt] wird [für ihn] ein zufälliger Umstand sein“ [ebd.]. Wenn das Unendliche im Objekt nicht existiert, was axiomatisieren wir dann - die Aktivität des Denkens? Und was hat Mathematik damit zu tun? Denn ihr Gegenstand ist reine Quantität: Zahl und Größe?

Den Begriff der tatsächlichen Unendlichkeit konstruiert Cantor in Anlehnung an die Tradition der Pythagoräer, die, wie Aristoteles bezeugt, „Größen aus Zahlen zusammengesetzt“ haben. Kantor glaubt, dass eine kontinuierliche Größe durch eine Zahl als eine wahre Menge unteilbarer Einheiten gemessen werden kann. Es ist klar, dass ein solcher Ansatz für Aristoteles völlig inakzeptabel ist. Für ihn ist der Wert nur in teilbare Teile geteilt. Daher kann eine Größe nicht aus Unteilbaren zusammengesetzt werden. Sonst werden Zenons Aporien über den Widerspruch der Bewegung nicht aufgelöst, und es wird auch unmöglich sein, die Möglichkeit der Bewegung, die Kontinuität von Zeit und Raum zu erklären.

Nach Kantors Axiom folgt nach Zenkin, dass er die potentielle Unendlichkeit leugnet. Kantor leugnete PB nicht nur nicht, sondern betrachtete es überhaupt nicht als tatsächlich unendlich. Für ihn ist PB eine variable endliche Größe. Außerdem glaubte er, dass man, wenn man PB nimmt, umso mehr AB nehmen sollte.

Das Fazit ist folgendes. Die von Zenkin formulierten Axiome von Aristoteles und Cantor spiegeln nicht die tatsächliche Einstellung von Aristoteles und Cantor zum Konzept von PB und AB wider. In beiden Axiomen, in Aristoteles’ Axiom (4. Jahrhundert v. Chr.): „Alle unendlichen Mengen sind potenziell unendliche Mengen“, und in mehr als hundert Jahren des de facto existierenden und widersprüchlichen Cantor’schen Axioms (XIX. Jahrhundert n. Chr.): „Alle unendlichen Mengen sind tatsächlich-unendliche Mengen“ [siehe A.A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Kantor: Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], das generische Konzept der „unendlichen Menge“ wird durch seinen Typ definiert. In Aristoteles' Axiom - durch potentiell unendliche Mengen, in Cantor's Axiom - durch tatsächlich unendliche Mengen. Weder der Begriff PB noch AB sind mathematische Objekte im strengen Sinne des Wortes, da sie nur in der Möglichkeit existieren, unerkennbar und unbestimmt sind. Der Begriff AB und PB ist weder eine Zahl noch eine Größe, sondern eine Eigenschaft unseres abstrakten rationalen Denkens.

All dies hat nichts mit dem Teil von Zenkins Arbeit zu tun, in dem er auf der Grundlage der klassischen Logik beweist, dass Cantors Satz über die Abzählbarkeit des Kontinuums unbeweisbar ist. Zenkin zeigte, dass Cantors Diagonalmethode (DMC), die dem Beweis des Theorems zugrunde liegt, eine spezifische Version eines Gegenbeispiels ist, das Pythagoras und Euklid gut bekannt ist. Und das berühmte Paradox „Grand Hotel“ von D. Hilbert ist ein deduktives Modell (im Sinne von A. Tarsky) des DMC-Beweises der Unzählbarkeit des Kontinuums von G. Kantor. Basierend auf diesem Modell kommt Zenkin zu dem Schluss, dass der DMC-Beweis aus Sicht der klassischen Logik falsch ist. Daher gibt es keine unabzählbaren Mengen, und alle unendlichen Mengen haben die gleiche Kardinalität. Damit bricht die ganze grandiose „Lehre vom Transfiniten“ von G. Kantor zusammen.

Daher ist die Hauptschlussfolgerung, die sich bei sorgfältigem Studium des Satzes über die Unzählbarkeit des Kontinuums und der darauf basierenden Theorie der transfiniten Zahlen von Cantor nahelegt, dass seine Falschheit ziemlich leicht (wie A. A. Zenkin gezeigt hat) auf der Grundlage von Aristoteles widerlegt werden kann klassische Logik.

Und nicht weniger wichtig, das letzte Fazit. Cantors Theorie ist kein zufälliges Phänomen in der europäischen Mathematik, sondern ein natürliches Ergebnis der Identifizierung der Begriffe Zahl und Größe, die zur allmählichen Arithmetisierung der Mathematik, ihrer Spekulation und übermäßigen Abstraktheit führte.

5. Das Mysterium der potentiellen Unendlichkeit

Eine ebenso wichtige Frage, die Zenkin unfreiwillig aufgeworfen hat, als er die Widersprüchlichkeit von Cantors Satz über die Unzählbarkeit des Kontinuums bewies, steht in direktem Zusammenhang mit dem in der Mathematik anerkannten Wesen der potentiellen Unendlichkeit.

In den 1920er Jahren schlug David Hilbert ein beliebtes Paradoxon namens „Grand Hotel“ (im Folgenden der Kürze halber GO) vor, das den grundlegenden Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Mengen in Cantors (sowie in der modernen axiomatischen) Mengenlehre veranschaulicht. Wir werden das Paradoxon selbst nicht darstellen, da es ziemlich umständlich ist. Sein Inhalt ist, dass es die Haupteigenschaft unendlicher Mengen sehr deutlich demonstriert: Wenn eine endliche oder abzählbar unendliche Menge zu einer unendlichen Menge hinzugefügt wird, ändert sich die Mächtigkeit der ersten Menge nicht.

Zenkin zeigt, dass der DMC-Beweis der Unzählbarkeit des Kontinuums ein deduktives Modell (im Sinne von Tarski) des GO-Paradoxons von D. Hilbert ist [A.A. Zenkin. Transfinite Paradise von Georg Kantor: Biblische Geschichten an der Schwelle zur Apokalypse. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/].

Nachdem festgestellt wurde, dass Kantor in der DNA-Methode nicht den AB-Prozess, sondern den PB-Prozess verwendet, stellt Zenkin fest, dass niemand die Wahrheit der Behauptung dieses Theorems kennen wird, da der unendliche Prozess das letzte Element nicht hat.

Zenkin zeigte Cantors eigentliche Unendlichkeit, Sein notwendig Bedingung des DMC ist tatsächlich der Beweis der Unzählbarkeit des Kontinuums möglicherweise- endlose Diskussion. "Das beweist das" aktuell" und "unendlich" im Rahmen von Cantors Beweis. Sätze über die Abzählbarkeit des Kontinuums sind (logisch und algorithmisch) widersprüchlich Konzepte und folglich die Konzepte von " aktuell" und " Finale» sind algorithmisch identisch» [ebd.]. Und wenn dies eine potenziell unendliche Aussage ist, dann kann ihre Wahrheit nicht festgestellt werden, da ein unendlicher Prozess kein letztes Element hat. Diese Schlussfolgerung von Zenkin bestätigt unsere Annahme, dass der Begriff endlich und nicht AB dem Begriff PB widerspricht.

So schreibt Zenkin: zuerst bewiesen große intuitive Vorsehung (und Warnung!) von Aristoteles, Euklid, Leibniz und vielen anderen (siehe Liste-1) herausragenden Logikern, Mathematikern und Philosophen, die „ eigentliche Unendlichkeit" ist ein innerlich widersprüchlich Konzept (etwas wie " fertig(von Kantor) Unendlichkeit“), und daher ist seine Verwendung in der Mathematik nicht akzeptabel” [ebd.].

Leider ist der Beweis der inneren Widersprüchlichkeit des Begriffs der tatsächlichen (abgeschlossenen, d. h. abgeschlossenen, endlichen) Unendlichkeit aufgrund seiner offensichtlichen direkten Widersprüchlichkeit bis zu einem gewissen Grad vergebliche Arbeit. Im Rahmen der klassischen aristotelischen Logik ist dies einfach unmöglich. Im Kontext der spekulativen (dialektischen) Logik, die das Gesetz des Widerspruchs leugnet, ist dies durchaus akzeptabel.

Zenkin entdeckt auch, dass die kanonische Form von Cantors „diagonalem“ Beweis des Satzes über das unzählbare Kontinuum identisch ist mit der kanonischen unendlichen Form (P2) des „Lügner“-Paradoxons:

„Jemand sagt: „Ich bin ein Lügner“. - Ist er ein Lügner? Wenn er ein Lügner ist, dann lügt er und behauptet, er sei ein Lügner; deshalb ist er kein Lügner. Aber wenn er kein Lügner ist, dann sagt er die Wahrheit und behauptet, er sei ein Lügner; also ist er ein Schurke, oder kurz (hier A = "Ich bin ein Schurke"): und [ØA ® A] (P1)" [ebd.]

Zenkin bemerkt auch: „Was die Simulation des Lügnerparadoxons für einen analogen Computer nicht beweist. Dass dieses Paradoxon keine endliche Form hat, sondern das folgende unendliche A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) und es gibt keine logischen und mathematischen Gründe, Gründe oder Gründe, dies zu vervollständigen möglicherweise-unendlicher Prozess“ [ebd.].

Als Ergebnis kommt der russische Mathematiker zu einer interessanten Schlussfolgerung. „Es sollte betont werden, dass es die unendliche Form (P2) ist, die das Notwendige und implementiert reicht aus Bedingungen (im streng logischen und mathematischen Sinne) des eigentlichen Phänomens der Paradoxizität. In diesem Fall ist die wahre „Semantik“ dieses Paradoxons keineswegs, dass die Aussage „Ich bin ein Lügner“ „weder wahr noch falsch sein kann“, sondern dass diese Aussage im Gegenteil beides ist sowohl wahr als auch falsch„zur gleichen Zeit, am gleichen Ort und in gleicher Hinsicht.“ Mit anderen Worten, im „Lügner“-Paradoxon in der Form (P2) sind Wahrheit und Falschheit vermischt, was bedeutet, dass Wahrheit und Falschheit ununterscheidbar werden“ [ebd.].

Es ist schwer, dem zu widersprechen. Nach Plato ist das Unendliche das, was eine unbegrenzt quantitative Eigenschaft hat und keine strenge Definition zulässt. Er nennt das Unendliche "unbestimmte Dualität", es hat immer zwei Bedeutungen und kann nicht eine Bedeutung annehmen, ist nicht bestimmbar.„... das Unendliche kann existieren, wie ein Tag existiert oder als Konkurrenz - in dem Sinne, dass es wird immer anders und anders» [P. P. Gaidenko. Die Geschichte der griechischen Philosophie in ihrem Zusammenhang mit der Wissenschaft. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

Es stellt sich die Frage, was die logische Bedeutung des platonischen Begriffs des Unendlichen als Prozess des „Immer-anders-und-anders-Werdens“ ist? Unserer Meinung nach enthält das Konzept der potentiellen Unendlichkeit implizit ein Prinzip, das das Gesetz des Widerspruchs leugnet. Dieses „Andere und Andere“ anstelle von „etwas anderem“ ist die Unschärferelation. Wenn das Widerspruchsgesetz in der Interpretation von Aristoteles so formuliert wird: „Es ist unmöglich, dass dasselbe Ding demselben Ding und in demselben Sinn innewohnt und nicht innewohnt“, dann in unserem Fall mit der Definition von PB, „ein und derselbe“, ist in seiner Bedeutung identisch mit dem Begriff „anders“ bei Platon. Daher haben wir es in Platons Definition mit einer Aussage zu tun, die das Gesetz des Widerspruchs leugnet. Betrachten Sie zum Beispiel eine Reihe natürlicher Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5 … als Beispiel für potenzielle Unendlichkeit. Wenn wir ein beliebiges Paar benachbarter Zahlen nehmen, dann ist es unmöglich, dass alle drei Arten ihrer Verhältnisse der Größe nach wahr sind: 3 > 4, 4 > 3 oder 3 = 4. Nehmen wir eine endliche Zahl 4, dann kann sie beispielsweise ihrer Größe nach nicht größer sein als sie selbst. Während sich in einer unendlichen Zahlenreihe der Wert einer Zahl ständig ändert und wir das Gesetz des Widerspruchs nicht als Gesetz der Gewissheit darauf anwenden können. Daher ist die potenzielle Unendlichkeit allen Zahlen der natürlichen Reihe gleichermaßen inhärent: 1 und andere (2) und andere (3) und andere (4). Daher muss das Zeichen der Disjunktion durch die Konjunktion ersetzt werden. Und die Einführung des Koinzidenzgesetzes oppositorum anstelle des Widerspruchsgesetzes führt zu Paradoxien. Was ist ein Paradoxon? Dies ist eine widersprüchliche Aussage.

Und schließlich ein Beispiel für das Lügner-Paradoxon. Jemand sagt: "Ich lüge." Wenn er lügt, dann ist das, was er gesagt hat, eine Lüge, und deshalb lügt er nicht. Wenn er nicht lügt, was er sagt, ist die Wahrheit, und deshalb lügt er. Jedenfalls stellt sich heraus, dass er gleichzeitig lügt und nicht lügt [Logical Dictionary-Reference. N.I. Kondakow. Die Wissenschaft. M., 1976. S.433]. In diesem Paradox haben wir es mit einer bewussten Verletzung des Widerspruchsgesetzes zu tun. Es ist unmöglich, dass jemand in derselben Hinsicht lügt und nicht lügt. Und diese Verletzung ist der Struktur des Paradoxons inhärent.

Wie Zenkin zeigt, und dies folgt aus der Analyse dieses Paradoxons auf der Grundlage der klassischen Logik, ist die Verletzung des Widerspruchsgesetzes implizit dem Inhalt des Begriffs der potentiellen Unendlichkeit inhärent, was zum Phänomen des Paradoxons führt. Wenn wir über eine Reihe natürlicher Zahlen sprechen, dann ist jede der natürlichen Zahlen, aus denen die Reihe besteht, sowohl in der unendlichen Reihe natürlicher Zahlen enthalten als auch nicht enthalten. Zuerst wird eine Zahl, zum Beispiel 5, eingegeben, wenn wir sie während der Berechnung erreicht haben, und dann die Zahl 6, die sie ändert, und so weiter. Gewissheit ändert sich ständig, und daher vielleicht unmöglich, das Auftreten von Paradoxien.

Wenn im Konzept von AB die Widersprüchlichkeit und paradoxe Natur dieses Konzepts offensichtlich ist, dann ist es im Konzept von PB verborgen.

Um die Natur von PB zu verstehen, kann man die Konzepte der arithmetischen und geometrischen Unendlichkeit nicht ignorieren. Betrachten wir diese Konzepte genauer.

Die Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ..., (1)

stellt das erste und wichtigste Beispiel einer unendlichen Menge dar. Seit Hegel wird die arithmetische Unendlichkeit der natürlichen Reihe 1 + 1 + 1 + ... aufgrund ihrer Hoffnungslosigkeit als „böse“ oder „böse“ Unendlichkeit bezeichnet.

Die geometrische Unendlichkeit besteht in der unbegrenzten Teilung des Segments in zwei Hälften. Pascal schrieb Folgendes über die geometrische Unendlichkeit: „Es gibt keinen Geometer, der nicht glauben würde, dass der Raum ins Unendliche teilbar ist. Er kann nicht darauf verzichten, wie ein Mensch nicht ohne Seele sein kann. Und doch gibt es keinen Menschen, der die unendliche Teilbarkeit versteht …“ [ A.P. Stakhov Im Zeichen des "Goldenen Schnitts": Geständnis des Sohnes eines Studentenbataillons. Kapitel 5. Algorithmische Messtheorie. 5.5. Das Problem der Unendlichkeit in der Mathematik. Potenzielle und tatsächliche Unendlichkeit. - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm].

Dies ist in der Tat eine äußerst wichtige Frage, die im Rahmen des derzeit vorherrschenden anthropozentrischen Paradigmas nicht gelöst werden kann.

„Der erste naive Eindruck, den natürliche Phänomene und Materie hervorrufen“, schreibt D. Gilbert, „ist der Eindruck von etwas Kontinuierlichem, Kontinuierlichem. Wenn wir ein Stück Metall oder ein bestimmtes Flüssigkeitsvolumen vor uns haben, dann wird uns die Vorstellung auferlegt, dass sie unbegrenzt teilbar sind, dass ein beliebig kleines Stück davon wieder dieselben Eigenschaften hat. Wo aber die Untersuchungsmethoden der Physik der Materie genügend verfeinert sind, stoßen wir auf die Grenzen dieser Teilbarkeit, die nicht in der Unvollkommenheit unserer Erfahrung, sondern in der Natur der Sache selbst liegen, so dass man das unmittelbar wahrnehmen könnte Trend der modernen Wissenschaft als Befreiung vom unendlich Kleinen; nun könnte man der alten These „natura non facit saltus“ (die Natur macht keine Sprünge) die Antithese entgegensetzen: „die Natur macht Sprünge“ [Gilbert D. On the Infinite. Scanquelle: Gilbert D. On the Infinite // Ihn. Grundlagen der Geometrie. - M.-L., 1948. 491 S. (gekürzter Artikel aus den Mathematischen Annalen, v. 95.) - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm].

„Unendliche Teilbarkeit existiert nur in der Mathematik. In der Natur sind die Experimente der Physik und Chemie nirgendwo zu finden - daher ist dies nur eine mathematische Idee - ein Produkt mathematischen Denkens! Idee unendliches Universum lange Zeit vor Kant und danach dominiert. Aber diese Vorstellung ist die Kehrseite der Begrenzungen unserer Erfahrung und des Erkenntnisprozesses“ [ebd.].

Die Eigenschaft der geometrischen Unendlichkeit als unbegrenzte Teilbarkeit eines Segments in zwei Hälften ist im Rahmen der Geometrie unlösbar und erfordert die Einbeziehung von Philosophie und Theologie.

Erstens drückt der Prozess der Segmentteilung die grundlegende Eigenschaft des rationalen Denkens aus – die Zerstörung (Teilung) des untersuchten Objekts. Der Verstand verhält sich gegenüber seinen Objekten trennend, wodurch Gewissheit erreicht wird.

Zweitens. Die unendliche Teilbarkeit eines Segments ist darauf zurückzuführen, dass ein geometrisches Segment eine Form einer kontinuierlichen Größe ist. Und die Quantität selbst ist eine Abstraktion sinnlicher Dinge, gleichgültig gegenüber der Qualität.

In der objektiven materiellen Welt gibt es keine reine Quantität, alle Dinge haben ein Maß und dank dessen sind sie mit sich selbst identisch und unterscheiden sich von anderen. Maß ist die unmittelbare Einheit von Qualität und Quantität. In einem geometrischen Segment haben wir es mit Unermesslichkeit zu tun, d.h. Maß, das über die Grenzen seiner qualitativen Gewissheit hinausgeht. Jedes objektive Ding hat die Grenzen seines qualitativen Seins. Wenn sie zerstört werden, dann wird die Sache selbst zerstört. Daher kann ein sinnliches (endliches) Ding nicht in den Zustand der potenziellen (schlechten) Unendlichkeit geteilt werden. Die qualitative Bestimmtheit eines Dinges steht diesem Teilungsprozess entgegen. Beispielsweise kann ein Stück eines Baumes geteilt werden, solange die Stücke aus der Teilung die Eigenschaften dieses Baumes behalten, d.h. an die Molekülgrenze des Zellulosemoleküls. Die weitere Teilung des Zellulosemoleküls ist ein Teilungsprozess einer anderen Sache, daher hat der Teilungsprozess von Holz eine untere Grenze - Zellulosemoleküle. Die molekulare Teilung wird auf atomarer Ebene eine untere Grenze haben. Aufteilung bestimmte Atome Elemente führen zur Teilung bis zur Ebene der subatomaren Teile usw. Folglich ist jede Teilung objektiver Dinge endlich. Betrachten wir den Teilungsprozess ohne Berücksichtigung von Qualität und Maß, dann wird der Teilungsprozess wirklich unendlich. Aber was messen wir dann? Abstraktion endlicher Dinge - Materie. Materie als objektiv wahrnehmbares Ding (in einer natürlichen, ursprünglichen, unveränderten Realität) existiert nicht, sie ist das gleiche Produkt eines abstrakten Gedankens wie das geometrische Segment selbst.

Somit sind sowohl das geometrische Segment als auch die Materie bis zu einer schlechten (potenziellen) Unendlichkeit teilbar. Aber hier haben wir es nicht mit wirklich sinnlichen Dingen zu tun, sondern mit reiner Quantität, die kein Maß an sich hat und daher ständig ihre Grenzen überschreitet. Es ist kein Zufall, dass Hegel in der Wissenschaft der Logik schrieb, dass der Begriff der Quantität die Notwendigkeit enthält, seine Grenzen zu überschreiten.

Um auf die Definition von Aristoteles zurückzukommen: „Quantität ist das, was in seine Bestandteile teilbar ist, von denen jeder, ob es zwei oder mehr sind, von Natur aus ein Ding und ein bestimmtes Etwas ist ...“ [Aristoteles. Op. in 4 Bänden. Band 1. M.: Thought, 1976, S. 164], liegt es auf der Hand, dass es in der Mathematik um reine Quantität geht, d.h. nicht mit der wahrnehmbaren Menge endlicher Dinge, die die Physik untersucht, sondern mit der abstrakten reinen unermesslichen Menge - Zahl und Größe. Daher gibt es in der sinnlichen Natur als Gegenstand der Physik nicht nur tatsächliche oder potentielle Unendlichkeit. Die Welt ist sowohl im extensiven als auch im intensiven Sinne endlich. Es überrascht nicht, dass Aristoteles dies bemerkte Das Unendliche ist weder dem Gefühl noch dem Verstand gegeben und nannte es ein illegales Konzept. Gott ordnete alles in der geschaffenen Welt nach Maß, Zahl und Größe (Heilige Schrift).

In seiner Hierarchie der Erkenntnisformen hat Aristoteles nach der Metaphysik (unter der er im strengen Sinne die Theologie als Wissenschaft vom Ewigen verstand) als erster Philosophie die Physik und erst danach die Mathematik gestellt. Und das ist absolut richtig, da das Thema Mathematik - reine Quantität - seine Wurzeln in der sinnlichen materiellen Natur hat. Ihr Gegenstand sind Zahl und Größe als Formen abstrakter Quantität. Historische Entwicklung abstrakte Form in der Mathematik führte dazu, dass das Hauptthema seiner Untersuchung die Sphäre idealer mathematischer Objekte war: Zahl, Größe, Punkt, Linie, Menge usw., die weitgehend nicht mit der Welt realer physikalischer Objekte übereinstimmt. Das Konzept der potentiellen Unendlichkeit ist eines davon. Als Schlussfolgerung bietet sich hier also erstens an, dass es notwendig ist, die Eigenheiten und Grenzen der Mathematik und der Naturwissenschaften klar zu erkennen. Und zweitens ist es in der Naturkunde (Physik, Biologie etc.) notwendig, sich auf den Inhalt des unmittelbaren Gegenstands zu stützen und von ihm auszugehen, und nicht von mathematischen Modellen a priori. Und obwohl es in der Geschichte der Mathematik viele Beispiele für umgekehrte Wechselwirkungen gibt, hat diese Praxis dennoch viele grundlegende Ausnahmen.

6. Zahlentheorie und Mengenlehre G. Kantor

„Der Gegenstand der Zahlentheorie fällt zusammen mit

Fach (Studium) aller Mathematik.

A. M. Winogradow

Historisch gesehen erfolgte die Bildung des Zahlenbegriffs auf der Grundlage einer formalen Operation der Verallgemeinerung (Erweiterung) des Volumens aufgrund der Einbeziehung neuer Arten von Zahlen (Mengen) in seine Zusammensetzung.

Die ersten Ideen zur Zahl entstanden beim Zählen von Menschen, Tieren, Früchten, diversen Produkten usw. Das Ergebnis sind natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, ...

Beim Zählen einzelner Objekte ist eins die kleinste Zahl, und es ist nicht notwendig und manchmal unmöglich, sie in Anteile zu teilen, aber selbst bei groben Mengenmessungen muss man 1 in Anteile teilen. Historisch gesehen ist die erste Erweiterung des Zahlenbegriffs die Addition von Bruchzahlen an eine natürliche Zahl. Die Einführung von Bruchzahlen ist mit der Notwendigkeit verbunden, Messungen vorzunehmen. Die Messung eines jeden Werts besteht darin, ihn mit einem anderen zu vergleichen, der mit ihm qualitativ homogen ist und als Maßeinheit genommen wird. Dieser Vergleich erfolgt durch eine methodenspezifische Operation des „Beiseitelegens“ der Maßeinheit der Messgröße und des Zählens der Anzahl solcher Rückschläge. So wird die Länge gemessen, indem ein Segment als Maßeinheit beiseite gelegt wird, die Flüssigkeitsmenge wird mit einem Messgefäß gemessen usw.

Ein Bruchteil ist ein Teil (Aktie) einer Einheit oder mehrere gleiche Teile davon.

Bezeichnet: wobei m und n ganze Zahlen sind; - Fraktionsreduktion; - Verlängerung. Brüche mit einem Nenner von 10 n, wobei n eine ganze Zahl ist, nennt man dezimal.

Unter Dezimalbrüche spezieller Ort besetzen periodische Brüche: - reiner periodischer Bruch, - gemischter periodischer Bruch

Eine weitere Ausweitung des Zahlenbegriffs ist bereits durch die Entwicklung der Mathematik selbst (Algebra) bedingt. Descartes im 17. Jahrhundert stellt das Konzept vor negative Zahl, die ihre geometrische Interpretation als Richtung der Segmente gab. Schöpfung von Descartes Analytische Geometrie, die es ermöglichten, die Wurzeln der Gleichung als die Koordinaten der Schnittpunkte einer Kurve mit der Abszissenachse zu betrachten, schließlich den grundlegenden Unterschied zwischen den positiven und negativen Wurzeln der Gleichung auslöschten, erwies sich ihre Interpretation als wesentlich das gleiche.

Ganzzahlen (positiv und negativ), Bruchzahlen (positiv und negativ) und Null werden genannt Rationale Zahlen. Jede rationale Zahl kann als endlicher und periodischer Bruch geschrieben werden.

Der Satz rationaler Zahlen erwies sich als unzureichend, um sich ständig ändernde Variablen zu untersuchen. Hier erwies sich eine neue Erweiterung des Zahlenbegriffs als notwendig, die im Übergang von der Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen (reellen) Zahlen besteht. Die Einführung reeller Zahlen erfolgte durch Hinzufügen von irrationalen Zahlen zu rationalen Zahlen: Irrationale Zahlen sind endlose dezimale nicht periodische Brüche.

Irrationale Zahlen traten auf, wenn inkommensurable Segmente (die Seite und Diagonale eines Quadrats) gemessen wurden, in der Algebra - beim Wurzelziehen ist ein Beispiel für eine transzendente, irrationale Zahl π, z.

Eine klare Definition des Begriffs einer reellen Zahl gibt I. Newton, einer der Begründer der mathematischen Analyse, in „Allgemeine Arithmetik“: „Mit Zahl meinen wir nicht so sehr eine Menge von Einheiten, sondern ein abstraktes Verhältnis von eine Quantität zu einer anderen Quantität der gleichen Art, die wir als eine Einheit nehmen. Diese Formulierung gibt eine einzige Definition einer reellen Zahl, rational oder irrational. Später, in den 70er Jahren. Im 19. Jahrhundert wurde der Begriff der reellen Zahl auf der Grundlage einer eingehenden Analyse des Stetigkeitsbegriffs in den Werken von R. Dedekind, G. Kantor und K. Weierstraß verfeinert.

Die Stetigkeitseigenschaft einer Geraden besteht nach Dedekind darin, dass wenn alle Punkte, die eine Gerade bilden, in zwei Klassen eingeteilt werden, sodass jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt („Bruch ” die gerade Linie in zwei Teile), dann gibt es entweder in der ersten Klasse den Punkt ganz rechts oder in der zweiten Klasse den Punkt ganz links, d.h. den Punkt, an dem der „Bruch“ der Linie aufgetreten ist.

Die Menge aller rationalen Zahlen hat nicht die Stetigkeitseigenschaft. Teilt man die Menge aller rationalen Zahlen in zwei Klassen, so dass jede Zahl der ersten Klasse kleiner ist als jede Zahl der zweiten Klasse, dann kann sich bei einer solchen Aufteilung (Dedekinds „Schnitt“) herausstellen, dass in der ersten Klasse es wird keine größte Zahl geben, und in der zweitkleinsten. So wird es beispielsweise sein, wenn alle negativen rationalen Zahlen, Null und alle positiven Zahlen, deren Quadrat kleiner als zwei ist, der ersten Klasse zugeordnet werden, und alle positiven Zahlen, deren Quadrat größer als zwei ist, der zweiten zugeordnet werden. Einen solchen Schnitt nennt man irrational. Dann wird die folgende Definition einer irrationalen Zahl gegeben: Jeder irrationale Abschnitt in der Menge der rationalen Zahlen ist einer irrationalen Zahl zugeordnet, die als größer als jede Zahl der ersten Klasse und kleiner als jede Zahl der oberen Klasse angesehen wird. Die Gesamtheit aller reellen Zahlen, rational und irrational, hat bereits die Eigenschaft der Stetigkeit.

Cantors Begründung für den Begriff einer reellen Zahl unterscheidet sich von der Dedekinds, basiert aber ebenfalls auf einer Analyse des Kontinuitätsbegriffs. Sowohl Dedekinds Definition als auch Cantors Definition verwenden die Abstraktion der tatsächlichen Unendlichkeit. So wird in Dedekinds Theorie eine irrationale Zahl durch einen Ausschnitt in der Gesamtheit aller rationalen Zahlen bestimmt, der als Ganzes gegeben gedacht wird.

Alles reale Nummern kann auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Numerische Achse (Zahlenstrahl):

a) eine horizontale gerade Linie mit einer darauf gewählten Richtung;

b) Referenzpunkt - Punkt 0;

c) Maßeinheit

[Große sowjetische Enzyklopädie. - [Elektronische Ressource]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number].

Bis heute gibt es sieben allgemein anerkannte Ebenen der Verallgemeinerung von Zahlen: natürliche, rationale, reelle, komplexe, Vektor-, Matrix- und transfinite Zahlen. Einige Wissenschaftler schlagen vor, Funktionen als funktionale Zahlen zu betrachten und den Grad der Verallgemeinerung von Zahlen auf zwölf Stufen zu erweitern.

[Anishchenko Evgeny Alexandrovich. "Zahl als Grundbegriff der Mathematik". - [Elektronische Ressource]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401].

Der russische Wissenschaftler Ozolin E.E. drückte einen wichtigen Gedanken aus, der die moderne intellektuelle Atmosphäre in der mathematischen Gemeinschaft sehr genau wiedergibt. Jeder weiß, dass die Zahlentheorie das komplexeste und wichtigste Teilgebiet der Mathematik ist. Dennoch scheint die Zahlentheorie übersehen zu werden. Während die unbedeutendsten Änderungen in dieser Theorie einen "Sturm" in allen Bereichen der Mathematik auslösen können [Ozolin E.E. (Ozes) Oktober 2004. Das Konzept einer Zahl. - [Elektronische Ressource]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Darüber hinaus - schreibt E. E. Ozolin überrascht - trotz der Tatsache, dass die alten Griechen bei weitem nicht alles über Zahlen wussten, ist die Tatsache umso trauriger, dass „moderne Mathematiker (ganz zu schweigen von allen anderen) Konzepte und Wissen haben, dass die Zahl manchmal unterlegen ist zum Altgriechischen.

Das ist nämlich schon Unsinn“ [ebd.].

Als Bestätigung dieser Überlegung führt E. E. Ozolin eine historische Analyse der Prinzipien zur Konstruktion des Zahlenbegriffs durch und kommt zu folgendem Schluss. Die europäische Mathematik, insbesondere seit dem 13. Jahrhundert, baut den Zahlenbegriff nach dem Prinzip der Verschachtelung von Thales-Kugeln auf, „das heißt, die Menge der natürlichen Zahlen wird in die Menge der ganzen Zahlen investiert, die Menge der ganzen Zahlen wird in die Menge investiert der rationalen Zahlen, die Menge der rationalen Zahlen wird in die Menge der reellen Zahlen investiert, die Menge der reellen Zahlen, die Zahlen werden in die Menge der komplexen Zahlen eingebettet usw.)“ [Ibid.]. „Und obwohl sowohl Kurt Gödel vom Standpunkt der formalen Logik (damals 1931) als auch ich vom Standpunkt der Metamathematik aus seit langem bewiesen und erneut bewiesen haben, dass die fünfschichtige Struktur verschachtelter Sphären nicht vollständig sein kann und logisch korrekt, werden wir immer wieder mit irrigen „Schuldogmen“ in Form von vermeintlich fairen Aussagen konfrontiert, dass beispielsweise natürliche Zahlen eine Teilmenge rationaler Zahlen sind.

Deshalb möchte ich Ihre Aufmerksamkeit noch einmal darauf lenken, dass dies nicht sein kann. Beispielsweise können wir im Rahmen der Mathematik nur von der formalen Gleichheit der natürlichen Zahl 1 (Eins) mit der rationalen Zahl 1,00(0) mit Eins sprechen. Gleichzeitig ist die logische, mathematische (und physikalische!) Bedeutung dieser Zahlen eine völlig andere. Zum Beispiel ist eine natürliche Einheit eine Zahl, die, wenn sie zu einer bestehenden addiert wird, die nächste Zahl ergibt, eine rationale Einheit ist eine Zahl, wenn sie mit welcher multipliziert wird angegebene Nummerändert nichts an der Bedeutung! Wie kann eine Einheit die Bedeutung ändern“ [ebd.] ???

„Außerdem“, fährt E. E. Ozolin fort, „gehören natürliche und rationale Zahlen zu völlig unterschiedlichen metalogischen Strukturen. Daher können wir nicht einmal über die formale mathematische Beziehung dieser Zahlen sprechen.

Auf den ersten Blick scheint das Problem der logischen Differenz zwischen natürlichen und rationalen Zahlen, das ich angedeutet habe, „keinen Dreck wert“ zu sein. Und die Mehrheit der Mathematiker, auch wenn sie mir zustimmen, wird sicherlich sagen, dass „Einheiten auch in Afrika Einheiten sind, und was für einen Unterschied macht es, welche mathematische und logische Bedeutung man ihnen zuschreibt, gleich oder unterschiedlich“ [ebd.]. .

Aber eine solche Ansicht ist ein großes Missverständnis – ein „schädlicher Mythos der Schulbildung“, der keine mathematische und logische Grundlage hat. „Und bei näherer und genauerer Betrachtung stellt sich heraus, dass der Unterschied im logischen Sinn von natürlichen und rationalen Zahlen ganz schwerwiegende Konsequenzen nach sich zieht. praktische Anwendung Mathematik“ [ebd.].

Und abschließend macht E. E. Ozolin die folgende offene Schlussfolgerung: „ ... Mathematik ist eine sehr freie Wissenschaft, und die Strenge der Mathematik ist nur scheinbar. In der Mathematik können Sie die unglaublichsten axiomatischen Strukturen aufbauen und sie erforschen, egal wie bedeutungslos und abstrakt von der Realität sie sind. Mit anderen Worten, erfinden und versuchen Sie nach Herzenslust. In der Metamathematik ist dies praktisch unmöglich, und alle Strukturen der Metamathematik sind auf die eine oder andere Weise mit der Realität verbunden. So paradox es scheinen mag, die Realität erweist sich als viel reicher als "unsere Vorstellung".„[ebd.].

Um zum unmittelbaren Thema unserer Studie zurückzukehren, können wir die folgende Schlussfolgerung ziehen. Alle Arten von Zahlen (Zahlenmengen) haben eine andere logische Natur und mathematische Eigenschaften. Daher ist es methodisch falsch, die Zahlentheorie durch direkte Verallgemeinerung aufzubauen. Die wichtigste Beziehung dieser Schlussfolgerung betrifft die natürlichen und reellen Zahlen. Die Einheit der natürlichen Zahlen und die Einheit der reellen Zahlen haben völlig unterschiedliche Ursprünge und unterschiedliche mathematische Eigenschaften. Sie können die Anzahl der Äpfel nicht mit einem Lineal messen; Ebenso ist es unmöglich, die Länge des Tisches zu messen, wenn man nur zählen kann und kein Lineal zur Hand hat. Das eine lässt sich nicht auf das andere reduzieren. Die Einheit des ersteren ist unteilbar, während die Einheit des letzteren notwendigerweise teilbar ist. Die natürlichen ganzen Zahlen sind eigentlich Zahlen im strengen Sinne, während die reellen Zahlen zu einer solchen Größenform wie der Größe gehören. Die auf die Pythagoräer zurückgehende Verwirrung der Form von Zahl und Größe ist die Hauptquelle der neuzeitlichen Krise der Mathematik und die wichtigste Voraussetzung für die Arithmetisierung der Geometrie und der Mengenlehre G. Kantors, seit der Idee der Die Konstruktion teilbarer mathematischer Objekte aus unteilbaren liegt der Konstruktion von G. Kantors Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit zugrunde.

Noch eine Anmerkung. Moderne Mathematiker verstehen nicht nur die Natur einer Zahl nicht, wie E. Ozolin richtig bemerkte, sondern verstehen auch nicht die logische und mathematische Natur einer Menge und anderer grundlegender Konzepte der Mathematik (z. B. einer Menge).

Hier ist zum Beispiel, was berühmte Mathematiker über den Wert schreiben:

„Wert ist eines der grundlegenden mathematischen Konzepte, dessen Bedeutung mit der Entwicklung der Mathematik einer Reihe von Verallgemeinerungen unterzogen wurde“, schreibt A.N. Kolmogorov [Kolmogorov A.N. Wert. -TSB. - T. 7. - M., 1951. C. 340]. „Diese ... Theorie – die Lehre von der Größe – spielt kaum eine Rolle essentielle Rolle zur Begründung der gesamten Mathematik“, schrieb der prominente sowjetische Mathematiker V.F. Kagan [Kagan V.F. Aufsätze zur Geometrie. - M.: Universität Moskau, 1963. S. 109].

Verweilen wir bei letzterem, bei dem die Bedeutung des Quantitätsbegriffs am konsequentesten und klarsten ist. „... für einen Mathematiker“, schrieb V. F. Kagan, „ist der Wert vollständig bestimmt, wenn eine Reihe von Elementen und Vergleichskriterien angegeben werden“ [ebd., S. 107]. Mit anderen Worten, der Wert ist eine Menge homogener Objekte, deren Elemente verglichen werden können, um die Begriffe „gleich“, „größer“, „kleiner“ zu verwenden. Eine Gegenfrage stellt sich, wenn wir eine bestimmte Menge natürlicher Zahlen mit einer anderen bestimmten Menge derselben natürlichen Zahlen vergleichen, zum Beispiel die Zahlen 5 und die Zahlen 7, können wir die obigen Begriffe auf sie anwenden? Die Frage ist rhetorisch. Die vorgeschlagene Definition des Begriffs der Quantität deutet in der Tat darauf hin, dass ihr Autor überhaupt nicht zwischen diesen beiden unterscheidet. grundsätzliche Konzepte(Zahlen und Größen). Befürworter der Mengenlehre und Cantor selbst beklagten auch, dass das Grundkonzept dieser Theorie ebenfalls schwer zu definieren sei. E. Ozolin stellt in seinem Artikel fest, dass es sehr schwierig ist, Mathematik als Fach zu definieren [Ozolin E.E. (Ozes) Oktober 2004. Das Konzept einer Zahl. - [Elektronische Ressource]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm].

Um sicherzustellen, dass all diese Zweifel unbegründet sind, ist es notwendig, noch einmal auf Aristoteles zurückzukommen, der in mehreren Definitionen erschöpfende Antworten auf unsere Fragen gibt.

„Quantität ist das, was in Bestandteile teilbar ist, von denen jeder, ob es zwei oder mehr sind, seiner Natur nach etwas Eins und ein bestimmtes Etwas ist. Jede Größe ist eine Menge, wenn sie zählbar ist, und eine Größe, wenn sie messbar ist. Eine Menge ist das, was in nicht kontinuierliche Teile teilbar ist, eine Menge - in kontinuierliche Teile ... Von all diesen Mengen ist eine begrenzte Menge eine Zahl, eine begrenzte Länge eine Linie, eine begrenzte Breite eine Ebene, eine begrenzte Tiefe ist ein Körper “[Aristoteles. Op. in vier Bänden. T.1. Metaphysik. S.164].

Aus diesem Fragment von Aristoteles. Wir erhalten die folgenden strengen Definitionen.

Mathematik ist eine Wissenschaft, deren Gegenstand die reine Quantität ist.

Quantität ist das, was in seine Bestandteile teilbar ist, von denen jeder, ob es zwei oder mehr sind, seiner Natur nach etwas Eins und ein bestimmtes Etwas ist.

Eine Menge ist eine abzählbare Menge, d.h. in nicht zusammenhängende Teile zerlegbar.

Eine Menge ist eine messbare Größe, d.h. in Teile teilen kontinuierlich

Anzahl ist eine begrenzte Menge.

Die Länge der Linie ist begrenzt.

Das Flugzeug hat eine begrenzte Breite.

Der Körper ist in der Tiefe begrenzt.

Aus diesen Bestimmungen folgt:

Die Einheit einer Zahl hat keine Dimension, sie ist eine Recheneinheit, d.h. unteilbar, da wir nur in ganzen Zahlen zählen.

Die Größeneinheit ist immer teilbar.

Die Zahleneinheit ist die reinste Form der abstrakten Größe, d.h. es ist eine Form, die dem geometrischen Raum gleichgültig ist.

Die Größeneinheit ist die reine Größe plus der geometrische Raum.

Der geometrische Raum ist eine Abstraktion der physikalischen Realität. Die physische Realität hat eine qualitative Gewissheit und Ausdehnung. Wenn wir von der qualitativen Gewissheit der physikalischen Realität abstrahieren, erhalten wir einen geometrischen Raum.

Formal sind sowohl die Einheit einer Zahl als auch die Einheit der Größe eine Zahl, aber das Wesen und die mathematischen Eigenschaften dieser Zahlen sind unterschiedlich. Aus der Einheit einer Zahl kann man keine Größeneinheit gewinnen. Während Sie aus dem Wert eine reine Zahl erhalten können. Dazu ist es notwendig, vom geometrischen Raum - der Dimension - zu abstrahieren. Diese Punkte sind in Aristoteles' Physik gut analysiert.

Daher ist es unmöglich, aus einer Zahl (im engeren Sinne) einen Wert zu erhalten. Und da das Thema der Arithmetik der Begriff der Zahl ist und das Thema der Geometrie die Größe, kann Geometrie nicht auf Arithmetik reduziert werden. Dies sind verschiedene Existenzweisen der quantitativen Gewissheit der materiellen Welt.

Im Herzen der modernen Mathematik liegt also eine tiefe Täuschung – die illegale Identifizierung von Zahl und Größe, Arithmetik und Geometrie. Der Begriff der Größe ist grundlegender, weil wir daraus den Begriff der Zahl ableiten können. Darüber hinaus "verbindet" dieses Konzept Mathematik mit Physik, schafft Hindernisse für ungerechtfertigte Formalisierungen und spekulative Konstruktionen. Daher führte die Arithmetisierung der Geometrie zur Degeneration des Faches Mathematik, seiner Formalisierung (Bourbakisierung) und der Theorie der transfiniten Zahlen. Die Arithmetisierung der Mathematik ist in der Tat der Prozess, das Fach Mathematik auf eine Zahl zu reduzieren.

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