Absolute Werte und ihre Klassifizierung.

Absolute WerteDas sind die Ergebnisse statistische Beobachtungen. In der Statistik haben im Gegensatz zur Mathematik alle absoluten Werte eine Dimension (eine Maßeinheit) und können sowohl positiv als auch negativ sein.

EinheitenAbsolute Werte spiegeln die Eigenschaften von Einheiten der statistischen Grundgesamtheit wider und können sein einfach , was 1 Eigenschaft widerspiegelt (zum Beispiel wird die Masse der Ladung in Tonnen gemessen) oder Komplex , was mehrere miteinander verbundene Eigenschaften widerspiegelt (z. B. Tonnenkilometer oder Kilowattstunde).

EinheitenAbsolute Werte können sein 3 Arten:

1. natürlich werden zur Berechnung von Mengen mit homogenen Eigenschaften (z. B. Stück, Tonnen, Meter usw.) verwendet. Ihr Nachteil besteht darin, dass sie keine Summierung unterschiedlicher Größen zulassen.
2. Bedingt natürlichwerden auf absolute Werte mit homogenen Eigenschaften angewendet, die diese jedoch auf unterschiedliche Weise aufweisen. Zum Beispiel, Gesamtgewicht Energieträger (Holz, Torf, Kohle, Erdölprodukte, Erdgas) wird in tce gemessen Tonnen Referenzkraftstoff, da jede Kraftstoffart eine andere hat Heizwert, und 29,3 mJ/kg wurden als Standard angenommen. Ähnlich gesamt Schulhefte werden in us.sh.t gemessen. bedingt Schulhefte 12 Blatt groß. Ebenso werden Konservenprodukte in a.c.b. gemessen. bedingte Dosen mit einem Fassungsvermögen von 1/3 Liter. Ähnliche Produkte Reinigungsmittel wird auf einen bedingten Fettgehalt von 40 % reduziert.
3. Kosten Maßeinheiten werden in Rubel oder einer anderen Währung ausgedrückt und stellen ein Maß für den Wert eines absoluten Wertes dar. Sie ermöglichen die Zusammenfassung auch unterschiedlicher Werte, ihr Nachteil besteht jedoch darin, dass der Inflationsfaktor berücksichtigt werden muss, sodass die Statistik die Kostenwerte immer in vergleichbare Preise umrechnet.

Absolute Werte können Momentanwerte oder Intervallwerte sein. Momentan Absolute Werte zeigen die Ebene des untersuchten Phänomens oder Prozesses an bestimmter Moment Uhrzeit oder Datum (z. B. der Geldbetrag in Ihrer Tasche oder der Wert des Anlagevermögens am ersten Tag des Monats). Intervall absolute Werte Dies ist das endgültige akkumulierte Ergebnis für bestimmten Zeitraum(Intervall) der Zeit (z. B. Gehalt für einen Monat, ein Quartal oder ein Jahr). Absolute Intervallwerte ermöglichen im Gegensatz zu Momentwerten eine anschließende Summierung.

Bezeichnet wird die absolute Statistik X , und ihre Gesamtzahl in der statistischen Grundgesamtheit N.

Anzahl der Werte mit den gleichen Wert Zeichen bezeichnet wird f und wird Frequenz genannt (Wiederholung, Vorkommnis).

Absolut in sich Statistiken Gib nicht Vollansichtüber das untersuchte Phänomen, da sie seine Dynamik, Struktur und Beziehung zwischen Teilen nicht zeigen. Für diese Zwecke werden relative statistische Werte verwendet.

Kemerowo

MOU „Durchschnitt allgemein bildende Schule Nr. 37"

Wahlfach optional

für Schüler der Klassen 10-11

Gleichungen, Ungleichungen und Systeme,

Zusammengestellt von:

Kaplunova Zoya Nikolaevna

Mathematiklehrer

Erläuterung………………………………………..Seite 2

Bildungs- und Themenplan…………………………………...S. 6

Liste der Schlüsselwörter……………………………………...Seite 7

Literatur für den Lehrer………………………………………..Seite 8

Literatur für Studierende………………………………...S.8

Erläuterungen.

Die Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts in der Schule besteht darin, den Schülern eine starke und bewusste Beherrschung des Systems der mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten zu gewährleisten, die in erforderlich sind Alltagsleben Und Arbeitstätigkeit jedes Mitglied moderne Gesellschaft, ausreichend zum Lernen verwandte Disziplinen und Weiterbildung.

Neben der Lösung der Hauptaufgabe sorgt ein vertieftes Studium der Mathematik für die Bildung eines nachhaltigen Interesses der Studierenden am Fach, die Identifizierung und Weiterentwicklung ihres eigenen Interesses mathematische Fähigkeiten, Orientierung auf Berufe, die im Wesentlichen einen Bezug zur Mathematik haben, Vorbereitung auf ein Studium an Hochschulen.

Die Frage der Differenzierung des Mathematikunterrichts bleibt aktuell, um einerseits eine mathematische Grundausbildung zu ermöglichen und andererseits den Bedürfnissen aller am Fach Interessierten gerecht zu werden.

Programm dieser Kurs„Gleichungen, Ungleichungen und Systeme, die ein Zeichen absoluter Bedeutung enthalten“ bietet das Studium solcher Fragestellungen an, die im Mathematikkurs der Hauptschule nicht enthalten sind vollständig aber notwendig für weitere Studien.

Das Konzept des Absolutwerts (Modul) ist eines davon die wichtigsten Eigenschaften Zahlen sowohl im Reich als auch im komplexe Zahlen. Dieses Konzept wird nicht nur in verschiedenen Abschnitten des Schulunterrichts, sondern auch in Lehrveranstaltungen häufig verwendet höhere Mathematik, Physik und technische Wissenschaften an Universitäten studiert. In der Theorie der Näherungsberechnungen werden beispielsweise die Konzepte von absolut und relative Fehler ungefähre Zahl. In der Mechanik und Geometrie werden die Konzepte eines Vektors und seiner Länge (Vektormodul) untersucht. In der mathematischen Analyse ist das Konzept des Absolutwerts einer Zahl in den Definitionen grundlegender Konzepte wie einer Grenze, einer begrenzten Funktion usw. enthalten. Probleme im Zusammenhang mit Absolutwerten treten häufig auf mathematische Olympiaden, Aufnahmeprüfungen an Universitäten und bei der Prüfung.

IN Lehrplan Der Studiengang Mathematik sieht keine Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens über die Module und deren Eigenschaften vor, das die Studierenden während der gesamten Studienzeit erwerben.

Daher soll dieser Kurs „Gleichungen, Ungleichungen und Systeme mit einem Absolutwertzeichen“ erweitern Grundkurs Algebra und den Beginn der Analysis und gibt den Studierenden die Möglichkeit, sich mit den grundlegenden Techniken und Methoden zur Bearbeitung von Modulaufgaben vertraut zu machen. Weckt Forschungsinteresse an diesen Themen, entwickelt sich logisches Denken, trägt dazu bei, Erfahrungen mit einer Aufgabe zu sammeln, die über dem erforderlichen Komplexitätsgrad liegt.

Der Kurs „Gleichungen, Ungleichungen und Systeme mit einem Absolutwertzeichen“ richtet sich an Spezialisiertes Training Schüler der Jahrgangsstufen 10-11 und ist auf 34 Stunden (1 Stunde pro Woche) ausgelegt.

Im Unterrichtsprozess dieses Kurses wird die Verwendung vorgeschlagen verschiedene Methoden Revitalisierung kognitive Aktivität auch Studenten verschiedene Formen sie zu organisieren unabhängige Arbeit.

In diesem Kurs lernen die Studierenden theoretisches Material und durchführen praktische Aufgaben. Das Ergebnis der Beherrschung des Kursprogramms ist die Präsentation kreative Arbeiten in der Abschlussstunde

Beim Studium des Kurses ist eine Prüfungskontrolle vorgesehen.

Kursziele:

* Verallgemeinerung und Systematisierung, Erweiterung und Vertiefung des Wissens zum Thema“ Absoluter Wert»;

*Erwerb praktischer Fertigkeiten zur Bearbeitung von Aufgaben mit dem Modul;

*aufleveln mathematische Ausbildung Studenten.

Kursziele

* statten Sie die Studierenden mit einem Wissenssystem zum Thema „Absoluter Wert“ aus

* die Fähigkeiten zu entwickeln, dieses Wissen bei der Lösung von Problemen unterschiedlicher Komplexität anzuwenden;

* Schüler auf die Prüfung vorbereiten;

* Fähigkeiten zum selbstständigen Arbeiten entwickeln, in Gruppen arbeiten;

* Fähigkeiten zur Arbeit mit Referenzliteratur zu entwickeln;

Anforderungen an den Grad der Assimilation von Lehrmaterial

Durch das Studium des Kursprogramms werden die Studierenden dazu in der Lage sein

wissen und verstehen:

*Definitionen, Konzepte und grundlegende Algorithmen zur Lösung von Ungleichungsgleichungen und Systemen mit einem Modul;

*Regeln für die Erstellung von Funktionsgraphen, die das Vorzeichen des Absolutwerts enthalten;

In der Lage sein:

*Definition anwenden, Eigenschaften von absolutem Wert reelle Zahl zur Lösung einer reellen Zahl zur Lösung spezifischer Probleme;

* Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme und Ungleichungen lösen, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten;

* in der Lage sein, selbständig kleine Recherchen durchzuführen.

1.Einführung 1h.

Ziele und Ziele des Kurses. Im Kurs behandelte Fragen und seine Struktur. Bekanntschaft mit Literatur, Themen kreativer Arbeit.

24 Stunden)

Bestimmung des Absolutwerts. Geometrische Interpretation Modulkonzepte. Operationen mit absoluten Werten. Vereinfachung von Ausdrücken, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten. Anwendung von Moduleigenschaften bei der Lösung von Problemen.

3. Diagramme von Funktionen, die ein Absolutwertzeichen enthalten. (8 Stunden)

Regeln und Algorithmen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Definition gleiche Funktion. Geometrische Transformationen von Funktionsgraphen, die das Modulzeichen enthalten. Grundlegendes Plotten anhand von Beispielen der einfachsten Funktionen. Gleichungsgraphen: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),wobei f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Gleichungen mit absoluten Werten.(10 Stunden)

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen mit einem Modul. Offenlegung des Moduls per Definition, Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu einem äquivalenten System, Quadrieren beider Teile der Gleichung, Intervallmethode, grafische Methode, unter Verwendung der Eigenschaften des Absolutwerts. Gleichungen der Form: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Methode zur Änderung von Variablen beim Lösen von Gleichungen, die Absolutwerte enthalten. Intervallmethode zum Lösen von Gleichungen, die Absolutwerte enthalten. Gleichungen der Form:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Eine Methode zur sukzessiven Offenlegung eines Moduls beim Lösen von Gleichungen, die ein „Modul in einem Modul“ enthalten. Grafische Lösung Gleichungen, die absolute Werte enthalten.

5. Ungleichungen mit absoluten Werten (10 Stunden)

Ungleichungen mit einer Unbekannten. Grundlegende Methoden zur Lösung von Ungleichungen

mit Modul |f(x)|>a. Ungleichungen der Form a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6. Abschlusslektion (1 Stunde)

Präsentation kreativer Arbeiten.

Abschnitt III. Bildungs- und Themenplan

	Titel von Abschnitten und Themen			Üben	Verhaltensformular	Form der Kontrolle
	Einführung				Wissensauktion	Fragebogen, Aufzeichnungen
	Absoluter Wert einer reellen Zahl
	Absoluter Wert einer reellen Zahl				Vortrag, Workshop	Referenzzusammenfassung, Problemlösung
	Vereinfachen von Ausdrücken, die eine Variable unter dem Modulo-Zeichen enthalten				Werkstatt	Probleme lösen
	Diagramme von Gleichungen, die Modulzeichen enthalten
	Regeln und Algorithmen zum Zeichnen von Diagrammen				Werkstatt	Memo mit den Regeln und Algorithmen von Konstruktionen
	Definition einer geraden Funktion. Geometrische Handlungstransformationen				Seminar - Workshop	Referenzzusammenfassung, Aufgabenlösung
	Gleichungsgraphen: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),wobei f(x)≥0; |y|=|f(x)|					Überprüfung der Plotausführung
	Gleichungen mit absoluten Werten
	Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen mit einem Modul					Abstracts, Algorithmen
	Gleichungen der Form: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;				Werkstatt	Überprüfung gelöster Aufgaben
	Die Intervallmethode zur Lösung von Gleichungen, die das Vorzeichen des Moduls enthalten. Gleichungen der Form:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).				Werkstatt	Referenzzusammenfassung, Überprüfung der gelösten Aufgaben
	Die Methode der sukzessiven Offenlegung des Moduls beim Lösen von Gleichungen, die das „Modul im Modul“ enthalten				Werkstatt	Zusammenfassung, Memo, Kontrollaufgaben
	Grafische Lösung von Gleichungen mit Absolutwerten.				Werkstatt	Diagrammtest
	Ungleichungen, die absolute Werte enthalten
	Ungleichungen mit einer Unbekannten. Grundlegende Methoden zur Lösung von Ungleichungen mit Modul					abstrakt
	Grundlegende Methoden zur Lösung von Ungleichungen mit Modul				Werkstatt	Zusammenfassung, Lösungsüberprüfung
	Ungleichungen der Form a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.				Werkstatt
	Die Intervallmethode zur Lösung von Ungleichungen, die das Vorzeichen des Moduls enthält.				Werkstatt	Testkontrolle
	Letzte Lektion				Konferenz	Zusammenfassungen

Abschnitt IV. Schlüsselwortliste.

Algorithmus, Gleichung, Ungleichung, Modul, Graph, Koordinatenachsen, Parallelübertragung, zentral und axiale Symmetrie, Intervallmethode, quadratisches Trinom, Polynom, Faktorisierung eines Polynoms, abgekürzte Multiplikationsformeln, symmetrische Gleichungen, reziproke Gleichungen, Absolutwerteigenschaften, Definitionsbereich, Definitionsbereich zulässige Werte.

Abschnitt V. Literatur für den Lehrer.

1. Bashmakov M.I. Gleichungen und Ungleichungen. (Text) / M.I. Bashmakov.-M.: VZMSh

an der Moskauer Staatlichen Universität, 1983.-138s.

2. Vilenkin N. Ya und andere. Algebra und mathematische Analyse Klasse 11. (Text) / N.Ya.

Vilenkin-M.: Aufklärung, 2007.-280er Jahre.

3. Gaidukov I.I. Absoluter Wert. (Text)/ Gaidukov I.I. –M.: Aufklärung, 1968.-96 S.

4. Gelfand I. M. et al. Funktionen und Graphen. (Text) / I. M. Gelfand- M.: MTsNMO,

5. Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 Probleme in der Algebra (Text) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350er Jahre.

6. Kolesnikova S.I. Mathematik. Intensivkurs Vorbereitung auf das Eine

Staatsexamen. (Text) / Kolesnikova S.I. - M.: Iris-press 2004.-299s.

7. Nikolskaya I.L. Optionaler Kurs Mathematik. (Text) / I.L. Nikolskaya-

M.: Aufklärung, 1995.-80er Jahre.

8.Olekhnik S.N. usw. Gleichungen und Ungleichungen. Nicht standardmäßige Methoden Lösungen.

(Text) / .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219p.

Abschnitt VI. Literatur für Studierende

1. Goldich V.A. Zlotin S.E.t. 3000 Probleme in der Algebra (Text) / V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350er Jahre.

2. Kolesnikova S.I. Mathematik. Intensiver Vorbereitungskurs für das One

Dokumentieren

... FürAuswahl das eine oder das andere Thema(im Rahmen Lehrplan, Kapitel: " WahlfachKurse") V 10 -11 Klassen...und auch in System zusätzliche Ausbildung. Für diese Kategorien Studenten Netzwerktraining entwickelt und durchgeführt KurseVon alle...

Aktivität H 4 51-1 „Verbesserung der Lehrmethoden in der Sekundarstufe durch die Erstellung fachorientierter Module in mindestens 18 Fächern auf der Grundlage der Implementierung von Informationstechnologien, der Entwicklung von Wissenschaft und Bildung.“

Bericht

... Studenten. IN diese Studie vorgeführt WahlfachAlsoVon Mathematik „Anfänge mathematische Analyse und ihre Anwendungen“ Für10 - 11 spezialisiert Klassen... Abhängigkeiten und Beziehungen (Funktionen, Gleichungen, Ungleichheiten usw.). Normalerweise wird zuerst ermittelt...

Bei der Lösung von Ungleichungen, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Absolutwerts enthalten, wird die gleiche Technik verwendet wie bei der Lösung von Gleichungen, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Absolutwerts enthalten, nämlich: Die Lösung der ursprünglichen Ungleichung wird auf die Lösung mehrerer betrachteter Ungleichungen reduziert die Intervalle konstanter Zeichenausdrücke, die unter den Zeichen des Absoluten stehen, vergrößert.

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung

x 2 - 2 + x< 0. (*)

Lösung: Betrachten wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen des Ausdrucks x 2 - 2, der unter dem Vorzeichen des Absolutwerts steht.

1) Nehmen wir das an

dann nimmt die Ungleichung (*) die Form an

x 2 + x -2< 0.

Der Schnittpunkt der Lösungsmenge dieser Ungleichung und der Ungleichung x 2 -2 0 ist die erste Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung (Abb. 1): x (-2; -].

• 2) Angenommen, x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

Der Schnittpunkt der Lösungsmenge dieser Ungleichung und der Ungleichung x 2 - 2< 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Antwort: x(-2; -1).

Im Gegensatz zu Gleichungen erlauben Ungleichungen keine direkte Überprüfung. In den meisten Fällen ist es jedoch möglich, die Richtigkeit der erhaltenen Ergebnisse zu überprüfen. grafisch. Tatsächlich schreiben wir die Ungleichung des Beispiels in die Form

x - 2< -х.

Wir konstruieren die Funktionen y 1 =x 2 - 2 und y 2 = -x, die im linken und enthalten sind rechte Seite Betrachten Sie die Ungleichheit und finden Sie die Werte des Arguments, für die y 1

Auf Abb. In 3 enthält der schattierte Bereich der x-Achse die gewünschten x-Werte. Die Lösung von Ungleichungen, die das Vorzeichen des Absolutwerts enthalten, kann mit der Gleichheit x 2 \u003d x 2 manchmal erheblich reduziert werden.

Figur 3

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung

Lösung: Die ursprüngliche Ungleichung für alle x -2 ist äquivalent zur Ungleichung

x - 1 > x + 2. (**)

Indem wir beide Seiten der Ungleichung (**) quadrieren und ähnliche Terme reduzieren, erhalten wir die Ungleichung

6x< -3, т.е. х < -1/2.

Unter Berücksichtigung der durch die Bedingung x -2 bestimmten Menge zulässiger Werte der anfänglichen Ungleichung erhalten wir schließlich, dass die Ungleichung (*) für alle x(-; -2)(-2; -1/2) erfüllt ist ).

Antwort: (-; -2)(-2; -1/2).

Beispiel: Finden Sie die kleinste ganze Zahl x, die die Ungleichung erfüllt:

Lösung: Da x +1 0 und aufgrund der Bedingung x +1 0, dann ist diese Ungleichung äquivalent zu Folgendem: 2x + 5 > x +1. Letzteres wiederum entspricht dem Ungleichungssystem - (2x + 5)< х + 1 < 2х + 5,

• -(2x + 5)
• 2x + 5 > x +1,

Die kleinste ganze Zahl x, die dieses Ungleichungssystem erfüllt, ist 0. Beachten Sie, dass x -1, sonst ergibt der Ausdruck auf der linken Seite dieser Ungleichung keinen Sinn.

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung:

Antwort 1; 1].

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Lösung. x 2 - 3x + 2 ist bei 1 negativ< x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

• 2. - S? X? 1. Wir haben die Ungleichung x2 - x - 2? 0. Seine Lösung ist -1 ? X? 2. Daher ist das gesamte Segment -S? X? 1 erfüllt die Ungleichung.
• 4. x? 2. Die Ungleichung ist die gleiche wie im Fall 2. Nur x = 2 ist geeignet.

Antwort: 5 - 41 2 ? X? 2.

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Lösung. Lassen Sie uns diese Ungleichung auf nicht standardmäßige Weise lösen.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 - x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Keine Intervalllösung. Ob Gleichungen und Ungleichungen mit zwei oder mehr Modulen berücksichtigt werden.

Gleichungen und Ungleichungen, die das Vorzeichen des Absolutwerts in enthalten Schulkurs Mathematik als separates Thema nicht studiert. Erstmals taucht der Modulbegriff in der 6. Klasse auf, wo die Definition des Moduls einer Zahl gegeben wird. Aber in Lehrbüchern verschiedene Autoren in verschiedenen Kapiteln dargestellt. In den Lehrbüchern G.V. Der Dorofeev-Modul einer Zahl wird durch Vergleichen ermittelt Rationale Zahlen zum Beispiel: Der Modul der Zahl -6,5 ist 6,5, der Modul der Zahl -4 ist 4.

Anschließend wird die Herkunft des Moduls erläutert und anschließend die Bezeichnung |a| eingeführt.

Im Lehrbuch N.Ya. Vilenkin wird in der Studie von Positiv und gegeben negative Zahlen als separates Element „Modul“.

Das Konzept des Moduls einer Zahl wird als Abstand vom Punkt, der diese Zahl darstellt, zum Startpunkt auf der Koordinatenlinie eingeführt.

Anschließend wird die Regel zum Ermitteln des Moduls einer Zahl formuliert. Es wird erklärt, dass der Modul einer Zahl nicht negativ sein kann, da der Modul einer Zahl der Abstand ist, dass der Modul einer positiven Zahl und Null gleich der Zahl selbst und im Gegenteil gleich der entgegengesetzten Zahl und dem Gegenteil ist Zahlen haben gleiche Module |-a|=|a|.

Laut dem Lehrbuch Yu.N. Makarychev findet sich das Modul in zusätzlichen Übungen im Kapitel 7 „Graphen“, Absatz „Funktionen und ihre Graphen“.

Beispiel: Definieren Sie den Bereich y=10/(|x|-1)

Und in der 8. Klasse beim Lösen von Ungleichungen mit einer Variablen und deren Systemen.

In Nikolskys Lehrbuch der 8. Klasse ist die Funktion y=|x| und sein Graph y= x, wenn x≥0

X, wenn x≤0

Der Kurs der neunjährigen Schule betrachtet die einfachsten Gleichungen mit einer Variablen, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthält. Dazu gehören Gleichungen der Form |ax+b|=c.

Bei der Lösung solcher Gleichungen müssen folgende Fälle unterschieden werden:

Wenn mit< 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

Wenn c = 0, dann ist die Gleichung |ax+b|=c äquivalent zur Gleichung ax+b=0.

Wenn c > 0, dann ist die Gleichung |ax+b|=c äquivalent zu ax+b= -c oder ax+b=c.

Neben der angegebenen Art von Gleichungen, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten, stoßen Schüler der 8. Klasse auch auf Gleichungen der Form |ax+b|= ax+b oder |ax+b|= -(ax+b) . Beispielsweise werden die Gleichungen √ x²=x, √x²-4x+4=2-x auf solche Gleichungen reduziert.

Da die Gleichheit |m|=m genau dann wahr ist, wenn m≥0,

und die Gleichheit |m|=-m ist genau dann wahr, wenn m ≤ 0,

dann ist die Gleichung |ax+b|= ax+b äquivalent zur Ungleichung ax+b≥0,

und die Gleichung |ax+b| = -(ax+b) entspricht der Ungleichung ax+b≤0.

Von den Ungleichungen, die die Variable unter dem Modulzeichen enthalten, sind nur Ungleichungen der Form |ax+b|>b und |ax+b| möglich<в.

Als zusätzliche Aufgaben werden komplexere Aufgaben gestellt, beispielsweise eine doppelte Ungleichung<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| >Zu

|ax+v|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

Möglichkeiten zur Lösung von Ungleichheiten:

1. Die Lösung ist mit dem Konzept des Abstands zwischen den Punkten der Koordinatenlinie verbunden.

2. Basierend auf der Definition des Moduls.

3. Visuell - grafische Technik.

4. In anderen Fällen ist es sinnvoll, zunächst festzustellen, an welchen Stellen die Ausdrücke unter dem Modulzeichen verschwinden. Diese Punkte unterteilen die Zahlenachse in Intervalle, innerhalb derer die Ausdrücke ein konstantes Vorzeichen behalten (Intervalle mit konstantem Vorzeichen). Dadurch können wir das Modulzeichen in jedem dieser Intervalle entfernen und das Problem auf die Lösung mehrerer Gleichungen reduzieren – eine für jedes Intervall. Diese Methode wird als Intervallmethode bezeichnet.

Städtische Bildungseinrichtung

weiterführende Schule im Dorf Oshtorma Yumya

Einverstanden Genehmigt

bei einer Sitzung der UMO bei einer Expertensitzung

Kommission für Mathematiklehrer

Protokoll Nr. 1 vom _________ Protokoll Nr. __________

Leiter der UMO: Vorsitzender des Sachverständigen

Gilyazeva M.M. Gruppen:

Sadikova A.R.
Wahlfach

„Absolutwert (Modul)“

(Berufsausbildung für Schüler der 10. Klasse, 34 Stunden)

Mathematiklehrerin Vasilyeva V.A.

2008
Erläuterungen

Der Begriff eines Absolutwerts (Modul) ist eines der wichtigsten Merkmale einer Zahl sowohl im Bereich der reellen als auch im Bereich der komplexen Zahlen.

Dieses Konzept wird nicht nur in verschiedenen Abschnitten des schulischen Mathematikstudiums, sondern auch in den an Universitäten studierten Studiengängen Mathematik, Physik und technische Wissenschaften häufig verwendet. In der Theorie der Näherungsberechnungen werden beispielsweise die Konzepte des absoluten und relativen Fehlers einer Näherungszahl verwendet. In der Mechanik und Geometrie werden die Konzepte eines Vektors und seiner Länge (Vektormodul) untersucht. In der mathematischen Analyse ist das Konzept des Absolutwerts einer Zahl in den Definitionen grundlegender Konzepte wie einer Grenze, einer begrenzten Funktion usw. enthalten. Probleme im Zusammenhang mit Absolutwerten treten häufig bei Mathematikolympiaden und Aufnahmeprüfungen an Universitäten auf und das Einheitliche Staatsexamen.

Das Programm des Schulmathematikkurses sieht keine Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens über die Module und deren Eigenschaften vor, das die Studierenden während der gesamten Studienzeit erhalten. Dadurch wird das Programm zu „“.

Der Kurs ist für die Profilausbildung von Schülern der 10. Klassen allgemeinbildender Schulen konzipiert, die sich für das Studium der Mathematik interessieren.

Der Kurs ermöglicht es den Schülern, das Wissen über den absoluten Wert zu systematisieren, zu erweitern und zu festigen, sich auf das weitere Studium von Themen mit diesem Konzept vorzubereiten, zu lernen, verschiedene Probleme unterschiedlicher Komplexität zu lösen und zur Entwicklung und Festigung von Computerkenntnissen beizutragen.

Der Kurs hilft dem Lehrer, die Schüler optimal auf Mathematikolympiaden, das Bestehen der Prüfung und Prüfungen für die Zulassung zu Universitäten vorzubereiten.

Das Programm des Wahlfachs beinhaltet die Einarbeitung in Theorie und Praxis der behandelten Fragestellungen und ist auf 34 Stunden ausgelegt.

Im Rahmen des Studiums dieses Kurses sollen verschiedene Methoden zur Aktivierung der kognitiven Aktivität von Schülern sowie verschiedene Formen der Organisation ihrer selbstständigen Arbeit eingesetzt werden.

Das Ergebnis der Beherrschung des Kursprogramms ist die Präsentation kreativer Einzel- und Gruppenarbeiten durch die Schüler in der Abschlussstunde.

Kursziele:Verallgemeinerung und Systematisierung, Erweiterung und Vertiefung des Wissens zum Thema Absolutwert, Erwerb praktischer Fähigkeiten zur Bearbeitung von Aufgaben mit einem Modul, Steigerung des mathematischen Ausbildungsniveaus von Schülern.

Kursziele

Den Studierenden ein Wissenssystem zum Thema absoluter Wert vermitteln;

Die Fähigkeiten entwickeln, dieses Wissen bei der Lösung verschiedener Probleme unterschiedlicher Komplexität anzuwenden;

Um die Fähigkeiten zum selbstständigen Arbeiten zu entwickeln, arbeiten Sie in kleinen Gruppen;

Die Fähigkeiten zur Arbeit mit Referenzliteratur und am Computer ausbilden;

Um die Fähigkeiten und Fertigkeiten der Forschungsarbeit zu bilden;

Zur Entwicklung des algorithmischen Denkens der Studierenden beitragen;

Tragen Sie zur Bildung des kognitiven Interesses bei

Mathematik.

Anforderungen an den Grad der Assimilation von Lehrmaterial

Durch das Studium des Programms des Wahlfachs „Absoluter Wert (Modul)“ erhalten Studierende die Möglichkeit wissen und verstehen:

Bestimmen des Absolutwerts einer reellen Zahl;

grundlegende Operationen und Eigenschaften von absolutem Wert;

Regeln zum Erstellen von Funktionsgraphen, die das Vorzeichen des Absolutwerts enthalten;

Algorithmen zur Lösung von Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssystemen und Ungleichungen, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten.

In der Lage sein:

wenden Sie die Definition und Eigenschaften des Absolutwerts einer reellen Zahl auf die Lösung spezifischer Probleme an;

Thematische Planung

№	Themenname	Anzahl der Stunden	Berufsform	Methodische Unterstützung	Kontrolle
	Einführung	1	Vorlesung	Präsentation
	Absoluter Wert einer reellen Zahl A	4
2	Absoluter Wert einer reellen Zahl A. Grundlegende Sätze	1	Vorlesung	Referenzkarten
3	Operationen mit absoluten Werten	1		Referenzkarten
4	Vereinfachung von Ausdrücken, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten.	1	Werkstatt
5	Anwendung von Moduleigenschaften bei der Lösung von Olympiadenproblemen.	1	Werkstatt	Aufgabenkarten	unabhängig Naya Arbeit
	Funktionsgraphen, analytischer Ausdruck welches das Vorzeichen des Absolutwerts enthält	5
6	Regeln und Algorithmen zum Erstellen von Funktionsgraphen, deren analytischer Ausdruck das Modulzeichen enthält	1	Vortrag, Workshop	Referenzkarten
7-8	Funktionsgraphen y=f |х|, y=f(-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |y| =f(x), wobei f(x) ≥ 0, | y| = |f(x)|	2	Werkstatt	Aufgabenkarten	unabhängig Naya Arbeit
9	Graphen einiger der einfachsten Funktionen, explizit und implizit angegeben, deren analytischer Ausdruck das Vorzeichen des Moduls enthält	1	Werkstatt	Einzelne Karten
10	Funktionsgraphen, deren analytischer Ausdruck das Vorzeichen des Absolutwerts in den Olympiadenaufgaben enthält	1	Werkstatt	Vorsatz
	Gleichungen mit absoluten Werten	11
11-13	Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen mit einem Modul	3	Vorlesung	Referenzkarten
14	Typgleichungen | f(x)| = A, F\ X\ = ein, Wo A R; |f(x)| = g(x) und f(x)| = | g(x)|.	1	Werkstatt	Aufgabenkarten	unabhängig Naya Arbeit
15	Variablenänderungsmethode zum Lösen von Gleichungen, die Absolutwerte enthalten	1	Werkstatt	Referenzkarten
16-17	Intervallmethode zum Lösen von Gleichungen, die Absolutwerte enthalten. Gleichungen der Form |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .±|f n (x)| = A, Wo A e R, = =g(x)	2	Vortrag, Workshop	Aufgabenkarten	unabhängig Naya Arbeit
18	Die Methode der sukzessiven Offenlegung des Moduls beim Lösen von Gleichungen, die das „Modul im Modul“ enthalten	1	Vortrag, Workshop	Referenzkarten
19	Grafische Lösung von Gleichungen mit Absolutwerten.	1	Werkstatt
20	Gleichungen mit Parametern, die absolute Werte enthalten	1	Werkstatt
21	Schutz der gelösten Prüfungsaufgaben	1	Entscheidungsschutz	Tisch	Entscheidungsschutz
		7
22-23	Ungleichungen mit einer Unbekannten. Grundlegende Methoden zur Lösung von Ungleichungen mit Modul	2	Vorlesung	Referenzkarten
24	Grundlegende Methoden zur Lösung von Ungleichungen mit Modul	1	Seminar
25	Ungleichungen der Form |f(x)| >  ≥ ≤ a, wobei A R..	1	Werkstatt
26-27	Ungleichungen der Form |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|.	2	Werkstatt	Aufgabenkarten	unabhängig Naya Arbeit
28	Ungleichungen mit Parametern, die absolute Werte enthalten	1	Werkstatt
29-32		4	Vortrag, Workshop
33		1	Werkstatt
34	Letzte Lektion	1		Aufgabenkarten	Kontrollschnitt
	Gesamt	34

1. Einleitung(1 Stunde).

Ziele und Zielsetzungen des Wahlfachs. Im Kurs behandelte Fragen und seine Struktur. Bekanntschaft mit Literatur, Themen kreativer Arbeit. Anforderungen an Kursteilnehmer. Auktion „Was ich über den absoluten Wert weiß.“

2. Der absolute Wert der reellen Zahl a (4 H).

Absoluter Wert einer reellen Zahl A. Module entgegengesetzter Zahlen. Geometrische Interpretation des Konzepts | A|. Modul der Summe und Modul der Differenz einer endlichen Anzahl reeller Zahlen. Der Modul der Moduldifferenz zweier Zahlen. Produktmodul und Quotientenmodul. Operationen mit absoluten Werten. Vereinfachung von Ausdrücken, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten. Anwendung von Moduleigenschaften bei der Lösung von Olympiadenproblemen.

3. Funktionsgraphen, deren analytischer Ausdruck das Vorzeichen des Absolutwerts enthält(5 Stunden).

Regeln und Algorithmen zum Erstellen von Funktionsgraphen, deren analytischer Ausdruck das Modulzeichen enthält. Funktionsgraphen y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |x||, |y| =f(x), wobei f(x) ≥ 0, | y| = |f(x)|. Graphen einiger der einfachsten Funktionen, explizit und implizit definiert, deren analytischer Ausdruck das Vorzeichen des Moduls enthält. Funktionsgraphen, deren analytischer Ausdruck das Vorzeichen des Absolutwerts in den Aufgaben der Olympiade enthält.

4. Gleichungen mit Absolutwerten (11 H).

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen mit einem Modul. Offenlegung des Moduls per Definition, Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu einem äquivalenten System, Quadrieren beider Teile der Gleichung, Intervallmethode, grafische Methode, Nutzung der Eigenschaften des Absolutwerts. Typgleichungen | f(x)| = A, F\ X\ = ein, Wo A R; |f(x)| = g(x) und | f(x)| = | g(x)|. Variablenänderungsmethode zum Lösen von Gleichungen, die Absolutwerte enthalten. Intervallmethode zum Lösen von Gleichungen, die Absolutwerte enthalten. Gleichungen der Form |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .±|f n (x)| = A, Wo A e R, |f 1 (x)| ± |f 2 (x)| ±.. .± |f n (x)| = G (X). Eine Methode zur sukzessiven Offenlegung eines Moduls beim Lösen von Gleichungen, die ein „Modul in einem Modul“ enthalten. Grafische Lösung von Gleichungen mit Absolutwerten. Verwendung der Eigenschaften eines Absolutwerts beim Lösen von Gleichungen. Gleichungen mit Parametern, die absolute Werte enthalten. Schutz der gelösten Prüfungsaufgaben.

5. Ungleichungen, die absolute Werte enthalten (7 Std.).

Ungleichungen mit einer Unbekannten. Grundlegende Methoden zur Lösung von Ungleichungen mit einem Modul. Ungleichungen der Form |f(x)| >  ≥ ≤ a, wobei A R.. Ungleichungen der Form |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|. Die Intervallmethode zur Lösung von Ungleichungen, die das Vorzeichen des Moduls enthält. Ungleichungen mit Parametern, die absolute Werte enthalten.

6. Gleichungs- und Ungleichungssysteme mit Absolutwerten(4 Stunden).

7. Andere Probleme, bei deren Lösung das Konzept des absoluten Wertes verwendet wird(1 Stunde).

8. Letzte Lektion(1 Stunde).

Erwartete Ergebnisse
Nach Abschluss des Kurses sollten die Studierenden:

Die Definition und Eigenschaften des Absolutwerts einer reellen Zahl auf die Lösung spezifischer Probleme anwenden können;

Lösen Sie Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme und Ungleichungen, die eine Variable unter dem Modulzeichen enthalten.

Literatur für den Lehrer

1. 
   S.I. Kolesnikova „Lösung des Komplexes USE-Aufgaben» 300 Aufgaben mit detaillierte Lösung. Verlag Moskau Iris Press 2005.
2. 
   G. A. Voronina Praktischer Leitfaden für den Lehrer „Wahlfächer“ Verlag Moskau Iris Press 2006
3. 
   M.I.Skanavi Sammlung von Problemen in der Mathematik M.: ONIKS, 2006
4. 
   Elektronisches Lehrbuch „Algebra 7 – 11“
5. 
   Olehnik S.N. usw. Gleichungen und Ungleichungen. Nicht standardmäßige Methoden

Lösungen. 10 - 11 Zellen. – M.: Bustard, 1995.

Literatur für Studierende
1. M.I.Skanavi Sammlung von Problemen in der Mathematik, M.: ONIKS, 2006

2. A.G. Mordkowitsch. Algebra 9. Tiefes Lernen. Lehrbuch.