तथ्य यह है कि कई वर्गमूलहैं तर्कहीन संख्या, उनके महत्व से अलग नहीं होता है, विशेष रूप से, संख्या $\sqrt2$ का उपयोग अक्सर विभिन्न इंजीनियरिंग और वैज्ञानिक गणनाओं में किया जाता है। इस संख्या की गणना उस सटीकता के साथ की जा सकती है जो प्रत्येक विशिष्ट मामले में आवश्यक है। आप इस संख्या को उतने दशमलव स्थानों के साथ प्राप्त कर सकते हैं जितने के लिए आपके पास धैर्य है।

उदाहरण के लिए, संख्या $\sqrt2$ को छह दशमलव स्थानों तक निर्धारित किया जा सकता है: $\sqrt2=1.414214$। यह मान से बहुत अलग नहीं है वास्तविक मूल्य, क्योंकि $1.414214 \बार 1.414214=2.000001237796$। यह उत्तर 2 गुणा केवल दस लाखवें भाग से भिन्न है। इसलिए, $\sqrt2$ का मूल्य, $1.414214$ के बराबर, बहुमत के समाधान के लिए काफी स्वीकार्य माना जाता है व्यावहारिक कार्य. मामले में जब अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है, तो उतने प्राप्त करना मुश्किल नहीं होता है महत्वपूर्ण आंकड़ेइस मामले में आवश्यकतानुसार दशमलव बिंदु के बाद।

हालांकि, यदि आप दुर्लभ जिद दिखाते हैं और निकालने की कोशिश करते हैं वर्गमूलसंख्या $\sqrt2$ से जब तक आप सटीक परिणाम प्राप्त नहीं कर लेते, तब तक आप अपना काम कभी पूरा नहीं करेंगे। यह एक अंतहीन प्रक्रिया है। आप चाहे कितने भी दशमलव स्थान प्राप्त करें, हमेशा कुछ और होंगे।

यह तथ्य आपको $\frac13$ को एक अनंत दशमलव $0.333333333…$ और इसी तरह असीमित रूप से या $\frac17$ को $0.142857142857142857…$ में बदलने और इसी तरह असीम रूप से आश्चर्यचकित कर सकता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि ये अनंत और अपरिमेय वर्गमूल एक ही क्रम की घटनाएँ हैं, लेकिन ऐसा बिल्कुल नहीं है। आखिरकार, इन अनंत भिन्नों का एक भिन्नात्मक समतुल्य होता है, जबकि $\sqrt2$ का ऐसा कोई समतुल्य नहीं होता है। और क्यों, बिल्कुल? मुद्दा यह है कि दशमलव $\frac13$ और $\frac17$ के बराबर है, साथ ही एक अनंत संख्याअन्य भिन्न आवधिक हैं परिमित अंश.

साथ ही, $\sqrt2$ के बराबर दशमलव एक गैर-आवधिक अंश है। यह कथन किसी भी ir . के लिए भी सत्य है परिमेय संख्या.

समस्या यह है कि कोई भी दशमलव जो 2 के वर्गमूल का एक सन्निकटन है, है नहीं आवधिक अंश . कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम गणना में कितनी दूर आगे बढ़ते हैं, हमें जो भी अंश मिलता है वह गैर-आवधिक होगा।

एक अंश की कल्पना करो बड़ी रकमदशमलव बिंदु के बाद गैर-आवधिक अंक। यदि अचानक दसवें अंक के बाद दशमलव स्थानों का पूरा क्रम दोहराया जाता है, तो दशमलव- आवधिक और इसके लिए पूर्णांकों के अनुपात के रूप में एक समतुल्य है। यदि किसी बिंदु पर गैर-आवधिक दशमलव स्थानों की एक बड़ी संख्या (अरब या लाखों) के साथ एक अंश में दोहराए जाने वाले अंकों की एक अंतहीन श्रृंखला है, उदाहरण के लिए $…5555555555…$, इसका यह भी अर्थ है कि यह अंश आवधिक है और इसके बराबर है इसके लिए पूर्णांक संख्याओं के अनुपात के रूप में।

हालांकि, उनके दशमलव समकक्षों के मामले में पूरी तरह से गैर-आवधिक हैं और आवधिक नहीं बन सकते हैं।

बेशक, आप पूछ सकते हैं अगला प्रश्न: "और कौन जान सकता है और निश्चित रूप से कह सकता है कि एक अंश का क्या होता है, मान लीजिए, एक ट्रिलियन चिह्न के बाद? कौन गारंटी दे सकता है कि भिन्न आवधिक नहीं होगा? अकाट्य रूप से यह साबित करने के तरीके हैं कि अपरिमेय संख्याएं गैर-आवधिक हैं, लेकिन ऐसे प्रमाणों के लिए जटिल गणितीय तंत्र की आवश्यकता होती है। लेकिन अगर यह अचानक पता चला कि अपरिमेय संख्याहो जाता है आवधिक अंश, इसका मतलब होगा नींव का पूर्ण पतन गणितीय विज्ञान. और वास्तव में, यह शायद ही संभव है। यह केवल आपके पोर को अगल-बगल से फेंकने के लिए नहीं है, यहाँ एक जटिल गणितीय सिद्धांत है।

कि यदि वे श्रृखंला के सिद्धांत को जानते हैं, तो इसके बिना कोई भी मेटामैटिक अवधारणा पेश नहीं की जा सकती है। इसके अलावा, इन लोगों का मानना ​​​​है कि जो हर जगह इसका इस्तेमाल नहीं करता वह अज्ञानी है। आइए इन लोगों के विचारों को उनके विवेक पर छोड़ दें। आइए बेहतर ढंग से समझें कि एक अनंत आवधिक अंश क्या है और हमारे लिए इससे कैसे निपटना है, अशिक्षित लोग जो कोई सीमा नहीं जानते हैं।

237 को 5 से भाग दें। नहीं, आपको कैलकुलेटर चलाने की आवश्यकता नहीं है। आइए मध्य विद्यालय (या प्राथमिक विद्यालय) को बेहतर ढंग से याद रखें और केवल कॉलम को विभाजित करें:

अच्छा, याद है? तब आप व्यापार के लिए नीचे उतर सकते हैं।

गणित में "अंश" की अवधारणा के दो अर्थ हैं:

1. गैर - पूर्णांक।
2. एक गैर-पूर्णांक संख्या का संकेतन रूप।

भिन्न दो प्रकार के होते हैं - इस अर्थ में, गैर-पूर्णांक संख्या लिखने के दो रूप:

1. सरल (या खड़ा) भिन्न जैसे 1/2 या 237/5।
2. दशमलव, जैसे 0.5 या 47.4।

ध्यान दें कि सामान्य तौर पर एक अंश-संकेत के उपयोग का मतलब यह नहीं है कि जो लिखा गया है वह एक अंश-संख्या है, उदाहरण के लिए, 3/3 या 7.0 - शब्द के पहले अर्थ में अंश नहीं, बल्कि दूसरे में, निश्चित रूप से , अंश।

गणित में, सामान्य तौर पर, अनादि काल से, एक दशमलव खाते को स्वीकार किया गया है, और इसलिए दशमलव अंश साधारण लोगों की तुलना में अधिक सुविधाजनक हैं, अर्थात, एक अंश के साथ दशमलव भाजक(व्लादिमीर दल। शब्दकोषजीवित महान रूसी भाषा. "दस")।

और यदि ऐसा है, तो मैं कोई भी लंबवत भिन्न दशमलव ("क्षैतिज") बनाना चाहता हूं। और इसके लिए आपको बस अंश को हर से भाग देना होगा। उदाहरण के लिए, अंश 1/3 लें और इसे दशमलव बनाने का प्रयास करें।

यहां तक ​​​​कि एक पूरी तरह से अशिक्षित व्यक्ति भी नोटिस करेगा: चाहे कितना भी समय लगे, वे अलग नहीं होंगे: इस तरह से ट्रिपल अनिश्चित काल तक दिखाई देंगे। तो चलिए इसे लिखते हैं: 0.33... हमारा मतलब है "वह संख्या जो 1 को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है", या, संक्षेप में, "एक तिहाई"। स्वाभाविक रूप से, एक तिहाई शब्द के पहले अर्थ में एक अंश है, और "1/3" और "0.33 ..." शब्द के दूसरे अर्थ में भिन्न हैं, अर्थात रिकॉर्ड फॉर्मएक संख्या जो संख्या रेखा पर शून्य से इतनी दूरी पर है कि यदि आप इसे तीन बार स्थगित करते हैं, तो आपको एक मिलता है।

आइए अब 5 को 6 से विभाजित करने का प्रयास करें:

आइए इसे फिर से लिखें: 0.833 ... हमारा मतलब है "वह संख्या जो प्राप्त होती है जब आप 5 को 6 से विभाजित करते हैं", या, संक्षेप में, "पांच-छठा।" हालांकि, यहां भ्रम पैदा होता है: क्या इसका मतलब 0.83333 (और फिर ट्रिपल दोहराया जाता है), या 0.833833 (और फिर 833 दोहराया जाता है)। इसलिए, दीर्घवृत्त के साथ रिकॉर्ड हमें शोभा नहीं देता: यह स्पष्ट नहीं है कि दोहराव वाला हिस्सा कहाँ से शुरू होता है (इसे "अवधि" कहा जाता है)। इसलिए, हम अवधि को कोष्ठकों में इस प्रकार लेंगे: 0, (3); 0.8(3)।

0,(3) न सिर्फ बराबरीएक तिहाई है वहाँ हैएक तिहाई, क्योंकि हम विशेष रूप से इस संख्या को फॉर्म में दर्शाने के लिए इस अंकन के साथ आए हैं दशमलव अंश.

इस प्रविष्टि को कहा जाता है एक अनंत आवधिक अंश, या सिर्फ एक आवधिक अंश।

जब भी हम एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करते हैं, यदि हमें एक परिमित भिन्न नहीं मिलती है, तो हमें एक अनंत आवर्त भिन्न प्राप्त होती है, अर्थात कभी-कभी संख्याओं का क्रम दोहराने लगेगा। ऐसा क्यों है, इसे विशुद्ध रूप से सट्टा के रूप में समझा जा सकता है, एक कॉलम द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म को ध्यान से देखते हुए:

चेकमार्क के साथ चिह्नित स्थानों में, उन्हें हर समय प्राप्त नहीं किया जा सकता है अलग जोड़ेसंख्याएँ (क्योंकि, सिद्धांत रूप में, ऐसे युग्मों का एक परिमित समुच्चय होता है)। और जैसे ही ऐसा जोड़ा वहां दिखाई देगा, जो पहले से मौजूद था, अंतर भी वही होगा - और फिर पूरी प्रक्रिया खुद को दोहराना शुरू हो जाएगी। इसे जांचने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह बिल्कुल स्पष्ट है कि जब वही क्रियाएं दोहराई जाएंगी, तो परिणाम समान होंगे।

अब जब हम अच्छी तरह से समझ गए हैं सारआवर्त भिन्न, आइए एक तिहाई को तीन से गुणा करने का प्रयास करें। हां, यह निश्चित रूप से एक निकलेगा, लेकिन आइए इस अंश को दशमलव रूप में लिखें और एक कॉलम से गुणा करें (दीर्घवृत्त के कारण अस्पष्टता यहां उत्पन्न नहीं होती है, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद सभी संख्याएं समान हैं):

और फिर से हम देखते हैं कि नौ, नौ और नौ हर समय दशमलव बिंदु के बाद दिखाई देंगे। अर्थात्, व्युत्क्रम, ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करके, हमें 0, (9) मिलता है। चूँकि हम जानते हैं कि एक तिहाई और तीन का गुणनफल एक इकाई है, तो 0, (9) एक इकाई लिखने का ऐसा विचित्र रूप है। हालांकि, संकेतन के इस रूप का उपयोग करना उचित नहीं है, क्योंकि इकाई पूरी तरह से एक अवधि का उपयोग किए बिना लिखी गई है, जैसे: 1.

जैसा कि आप देख सकते हैं, 0,(9) उन मामलों में से एक है जहां एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में लिखा जाता है, जैसे 3/3 या 7.0। यानी 0, (9) केवल शब्द के दूसरे अर्थ में भिन्न है, लेकिन पहले में नहीं।

तो, बिना किसी सीमा और पंक्तियों के, हमने पता लगाया कि 0, (9) क्या है और इससे कैसे निपटना है।

लेकिन फिर भी याद रखें कि वास्तव में हम स्मार्ट हैं और विश्लेषण का अध्ययन किया है। वास्तव में, इस बात से इंकार करना कठिन है कि:

लेकिन, शायद, कोई भी इस तथ्य से बहस नहीं करेगा कि:

यह सब, ज़ाहिर है, सच है। दरअसल, 0,(9) निर्दिष्ट कोण की घटी हुई श्रृंखला और दोगुनी ज्या दोनों का योग है, और प्राकृतिकयूलर संख्या।

लेकिन न तो एक, न दूसरा, न ही तीसरा कोई परिभाषा है।

यह कहना कि 0,(9) अनंत श्रृंखला 9/(10 n) का योग है, जब n एक से बड़ा होता है, यह कहने के समान है कि साइन अनंत टेलर श्रृंखला का योग है:

ये है बिलकुल सही, और यह है महत्वपूर्ण तथ्यकम्प्यूटेशनल गणित के लिए, लेकिन यह एक परिभाषा नहीं है, और, सबसे महत्वपूर्ण बात, यह किसी व्यक्ति को समझने के करीब नहीं लाता है सारसाइनस। एक निश्चित कोण की ज्या का सार यह है कि वह है अभी-अभीरवैया विपरीत कोनेकर्ण के लिए कैथेटर।

खैर, आवर्त भिन्न है अभी-अभीदशमलव अंश जिसके परिणामस्वरूप कॉलम द्वारा विभाजित करते समयसंख्याओं का एक ही सेट दोहराया जाएगा। यहां कोई विश्लेषण नहीं है।

और यहाँ सवाल उठता है: कहाँ आम तौर परहमने नंबर 0,(9) लिया? हम इसे प्राप्त करने के लिए एक कॉलम से क्या विभाजित करते हैं? दरअसल, ऐसी कोई संख्या नहीं है, जब एक कॉलम में एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो हमारे पास असीम रूप से नौ दिखाई देंगे। लेकिन हम कॉलम 0, (3) को 3 से गुणा करके यह संख्या प्राप्त करने में कामयाब रहे? ज़रुरी नहीं। आखिरकार, आपको अंकों के हस्तांतरण को सही ढंग से ध्यान में रखने के लिए दाएं से बाएं गुणा करने की आवश्यकता है, और हमने इसे बाएं से दाएं किया, चतुराई से इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि स्थानान्तरण कहीं भी नहीं होता है। इसलिए, 0,(9) लिखने की वैधता इस बात पर निर्भर करती है कि हम कॉलम द्वारा ऐसे गुणन की वैधता को पहचानते हैं या नहीं।

इसलिए, कोई आम तौर पर कह सकता है कि अंकन 0,(9) गलत है - और कुछ हद तक सही हो। हालाँकि, चूंकि संकेतन a ,(b ) स्वीकार कर लिया गया है, b = 9 होने पर इसे छोड़ना बदसूरत है; यह तय करना बेहतर है कि इस तरह के रिकॉर्ड का क्या मतलब है। इसलिए, यदि हम अंकन 0,(9) को बिल्कुल भी स्वीकार करते हैं, तो निश्चित रूप से इस संकेतन का अर्थ नंबर एक है।

यह केवल जोड़ने के लिए रहता है कि यदि हम एक त्रिगुट संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं, तो एक इकाई कॉलम (1 3) को ट्रिपल (10 3) से विभाजित करने पर, हमें 0.1 3 मिलेगा (यह "शून्य बिंदु एक तिहाई" पढ़ता है) , और 1 को 2 से भाग देने पर 0,(1) 3 होगा।

तो भिन्न-रिकॉर्ड की आवधिकता भिन्न-संख्या की कुछ वस्तुनिष्ठ विशेषता नहीं है, बल्कि केवल उप-प्रभावएक या दूसरी संख्या प्रणाली का उपयोग करना।

जैसा कि ज्ञात है, परिमेय संख्याओं के समुच्चय (Q) में पूर्णांकों (Z) के समुच्चय शामिल होते हैं, जो बदले में प्राकृत संख्याओं (N) के समुच्चय को शामिल करते हैं। पूर्णांकों के अतिरिक्त, परिमेय संख्याओं में भिन्न भी शामिल होते हैं।

फिर, परिमेय संख्याओं के पूरे सेट को कभी-कभी अनंत दशमलव आवर्त भिन्न क्यों माना जाता है? आखिरकार, भिन्नों के अलावा, उनमें पूर्ण संख्याएँ और साथ ही शामिल हैं गैर-आवधिक अंश.

तथ्य यह है कि सभी पूर्णांक, साथ ही किसी भी अंश को अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। अर्थात्, सभी परिमेय संख्याओं के लिए, आप एक ही संकेतन का उपयोग कर सकते हैं।

अनंत आवर्त दशमलव का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है? इसमें दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं का एक दोहराव वाला समूह कोष्ठक में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 1.56(12) एक भिन्न है जिसमें अंकों 12 के समूह को दोहराया जाता है, अर्थात भिन्न का मान 1.561212121212... और इसी तरह बिना अंत के होता है। अंकों के दोहराव वाले समूह को आवर्त कहते हैं।

हालाँकि, एक समान रूप में, हम किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं यदि हम संख्या 0 को उसकी अवधि मानते हैं, जो बिना अंत के दोहराती भी है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 2.00000 के समान है... इसलिए, इसे अनंत आवर्त भिन्न, अर्थात 2,(0) के रूप में लिखा जा सकता है।

ऐसा ही किसी भी परिमित भिन्न के साथ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

हालाँकि, व्यवहार में, एक परिमित अंश को एक अनंत आवधिक अंश में बदलने का उपयोग नहीं किया जाता है। इसलिए, परिमित भिन्न और अनंत आवधिक भिन्न अलग हो जाते हैं। इस प्रकार, यह कहना अधिक सही है कि परिमेय संख्याओं में शामिल हैं

• सभी पूर्णांक,
• अंतिम अंश,
• अनंत आवधिक अंश।

साथ ही, वे केवल यह याद रखते हैं कि पूर्णांक और परिमित अंशों को सिद्धांत में अनंत आवधिक अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दूसरी ओर, परिमित और अनंत भिन्नों की अवधारणाएँ दशमलव भिन्नों पर लागू होती हैं। यदि हम साधारण भिन्नों की बात करें, तो परिमित और अनंत दोनों दशमलव भिन्नों को विशिष्ट रूप से एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। अतः साधारण भिन्नों की दृष्टि से आवर्त और परिमित भिन्न एक ही होते हैं। इसके अलावा, पूर्ण संख्याओं को एक सामान्य भिन्न के रूप में भी दर्शाया जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि हम इस संख्या को 1 से विभाजित करते हैं।

दशमलव अनंत आवर्त भिन्न को साधारण के रूप में कैसे निरूपित करें? सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला एल्गोरिदम है:

1. वे भिन्न को इस रूप में लाते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अवधि हो।
2. एक अनंत आवर्त भिन्न को 10 या 100 या ... से गुणा करें ताकि अल्पविराम दाईं ओर एक आवर्त (अर्थात एक आवर्त पूर्णांक भाग में हो) चला जाए।
3. मूल भिन्न (a) को चर x के बराबर किया जाता है, और संख्या N से गुणा करके प्राप्त भिन्न (b) Nx के बराबर होती है।
4. एनएक्स से एक्स घटाएं। ए को बी से घटाएं। यही है, वे समीकरण Nx - x \u003d b - a बनाते हैं।
5. समीकरण को हल करते समय, यह पता चला है सामान्य अंश.

एक अनंत आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलने का एक उदाहरण:
एक्स = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x - 10x = 113.3333... - 11.3333...
90x=102
एक्स =

परिमेय संख्या 1/2 का एक और प्रतिनिधित्व है, जो 2/4, 3/6, 4/8, आदि के रूप के प्रतिनिधित्व से अलग है। हमारा मतलब 0.5 के दशमलव अंश के रूप में प्रतिनिधित्व है। कुछ भिन्नों में परिमित दशमलव निरूपण होता है, उदाहरण के लिए,

जबकि अन्य भिन्नों के दशमलव निरूपण अनंत हैं:

ये अनंत दशमलव अंश को हर से भाग देकर संगत परिमेय भिन्नों से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/11 की स्थिति में, 5.000... को 11 से भाग देने पर 0.454545...

किन परिमेय भिन्नों में परिमित दशमलव निरूपण होता है? सामान्य स्थिति में इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले विचार करें विशिष्ट उदाहरण. अंतिम दशमलव भिन्न 0.8625 लीजिए। हम जानते हैं कि

और यह कि किसी भी परिमित दशमलव को एक परिमेय दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है जिसका हर 10, 100, 1000, या 10 की किसी अन्य घात के बराबर हो।

दायीं ओर के भिन्न को अपरिमेय भिन्न में कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं

हर 80 को 10,000 को 125 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है - सबसे बड़ा सामान्य भाजक 10 000 और 8625। इसलिए, विस्तार में प्रधान कारणसंख्या 80, संख्या 10,000 की तरह, केवल दो प्रमुख कारक शामिल हैं: 2 और 5। यदि हमने 0.8625 के साथ नहीं, बल्कि किसी अन्य परिमित दशमलव अंश के साथ शुरू किया, तो परिणामी इरेड्यूसिबल परिमेय अंश में भी यह गुण होगा। दूसरे शब्दों में, भाजक b का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन केवल शामिल हो सकता है अभाज्य सँख्या 2 और 5, क्योंकि b 10 की किसी घात का भाजक है, और . यह परिस्थिति निर्णायक साबित होती है, अर्थात्, निम्नलिखित सामान्य कथन है:

एक इरेड्यूसिबल परिमेय भिन्न का एक परिमित दशमलव निरूपण होता है यदि और केवल यदि संख्या b में नहीं है प्रधान भाजक, 2 और 5 से व्यक्तिगत।

ध्यान दें कि इस स्थिति में b के अभाज्य भाजक में 2 और 5 दोनों होना आवश्यक नहीं है: यह उनमें से केवल एक से विभाज्य हो सकता है या उनके द्वारा बिल्कुल भी विभाज्य नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए,

यहाँ b क्रमशः 25, 16 और 1 के बराबर है। आवश्यक बात यह है कि b में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

उपरोक्त वाक्य में एक व्यंजक है यदि और केवल यदि। अभी तक हमने केवल टर्नओवर पर लागू होने वाले हिस्से को ही साबित किया है। यह हम ही थे जिन्होंने दिखाया कि एक परिमेय संख्या का दशमलव भिन्न में विस्तार केवल तभी होगा जब b में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य भाजक न हो।

(दूसरे शब्दों में, यदि b, 2 और 5 के अलावा किसी अन्य अभाज्य संख्या से विभाज्य है, तो अपरिवर्तनीय अंशकोई अनुगामी दशमलव व्यंजक नहीं है।)

वाक्य का वह भाग जो शब्द को संदर्भित करता है, तब बताता है कि यदि पूर्णांक b में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य भाजक नहीं है, तो एक अपरिवर्तनीय तर्कसंगत अंश को एक परिमित दशमलव अंश द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसे साबित करने के लिए, हमें एक मनमाना इरेड्यूसिबल लेना चाहिए तर्कसंगत अंश, जिसके लिए 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य भाजक नहीं है, और सुनिश्चित करें कि संबंधित दशमलव अंश परिमित है। आइए पहले एक उदाहरण पर विचार करें। रहने दो

दशमलव प्रसार प्राप्त करने के लिए, हम इस भिन्न को भिन्न में परिवर्तित करते हैं जिसका हर दस की पूर्णांक घात है। यह अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:

उपरोक्त चर्चा को बढ़ाया जा सकता है सामान्य मामलाइस अनुसार। मान लीजिए कि b फॉर्म का है, जहां प्रकार गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है (अर्थात, सकारात्मक संख्याया शून्य)। दो मामले संभव हैं: या तो कम या बराबर (यह शर्त लिखी गई है), या अधिक (जो लिखा गया है)। जब हम भिन्न के अंश और हर को से गुणा करते हैं

पहले से मौजूद प्राथमिक स्कूलछात्र भिन्नों के साथ काम कर रहे हैं। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। इन नंबरों के साथ क्रियाओं को भूलना असंभव है। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सभी जानकारी जानने की आवश्यकता है। ये अवधारणाएं सरल हैं, मुख्य बात यह है कि सब कुछ क्रम में समझना।

अंशों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर का संसार संपूर्ण वस्तुओं से बना है। इसलिए शेयरों की कोई जरूरत नहीं है। लेकिन रोजमर्रा की जिंदगीलगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करता है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई स्लाइस होते हैं। उस स्थिति पर विचार करें जहां इसकी टाइल बारह आयतों द्वारा बनाई गई है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे अच्छी तरह से तीन में विभाजित किया जाएगा। लेकिन पांचों चॉकलेट के पूरे स्लाइस नहीं दे पाएंगे।

वैसे, ये स्लाइस पहले से ही भिन्न हैं। और उनका आगे का विभाजन अधिक जटिल संख्याओं की उपस्थिति की ओर ले जाता है।

एक "अंश" क्या है?

यह एक संख्या है जिसमें एक के भाग होते हैं। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। ऊपर (बाईं ओर) लिखी संख्या को अंश कहते हैं। नीचे वाला (दाएं) हर है।

वास्तव में, भिन्नात्मक बार एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य कहा जा सकता है, और हर को भाजक कहा जा सकता है।

अंश क्या हैं?

गणित में, वे केवल दो प्रकार के होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चों को सबसे पहले से मिलवाया जाता है प्राथमिक स्कूल, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। दूसरा 5वीं कक्षा में पढ़ता है। तभी ये नाम सामने आते हैं।

सामान्य भिन्न वे सभी हैं जो एक बार द्वारा अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखी जाती हैं। उदाहरण के लिए, 4/7। दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में स्थितीय संकेतन होता है और पूर्णांक से अल्पविराम से अलग होता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को स्पष्ट होना चाहिए कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग संख्याएं हैं।

हर एक साधारण अंशदशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा सत्य है विपरीत दिशा. ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों में कौन सी उप-प्रजातियां होती हैं?

बेहतर शुरुआत कालानुक्रमिक क्रम मेंजैसे उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य अंश पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश हमेशा हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

कम करने योग्य / अघुलनशील। यह सही या गलत हो सकता है। एक और बात महत्वपूर्ण है, क्या अंश और हर के समान गुणनखंड हैं। यदि वहाँ हैं, तो वे अंश के दोनों भागों को विभाजित करने वाले हैं, अर्थात इसे कम करने के लिए।

मिश्रित। एक पूर्णांक को उसके सामान्य सही (गलत) भिन्नात्मक भाग के लिए नियत किया जाता है। और यह हमेशा बाईं ओर खड़ा होता है।

मिश्रित। यह एक दूसरे में विभाजित दो अंशों से बनता है। यानी इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक विशेषताएं हैं।

दशमलव में केवल दो उप-प्रजातियाँ होती हैं:

अंतिम, अर्थात्, जिसमें भिन्नात्मक भाग सीमित है (एक अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके दशमलव बिंदु के बाद के अंक समाप्त नहीं होते हैं (उन्हें अंतहीन लिखा जा सकता है)।

दशमलव को साधारण में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक संघ लागू होता है - जैसा मैं सुनता हूं, इसलिए मैं लिखता हूं। यही है, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की जरूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक रेखा के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, याद रखें कि यह हमेशा एक और कुछ शून्य होता है। उत्तरार्द्ध को प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में जितने अंक लिखे जाने चाहिए।

दशमलव अंशों को साधारण अंशों में कैसे बदलें यदि उनका पूरा भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05। निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन यह इंगित नहीं किया गया है। यह केवल भिन्नात्मक भागों को लिखना बाकी है। पहली संख्या के लिए, हर 10 होगा, दूसरे के लिए - 100। अर्थात्, संकेतित उदाहरणों में उत्तर के रूप में संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, उत्तरार्द्ध 5 से कम करना संभव हो जाता है। इसलिए, इसके लिए परिणाम 1/20 लिखा जाना चाहिए।

दशमलव से साधारण भिन्न कैसे बनायें यदि उसका पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108। दोनों उदाहरण पूर्णांक भाग को पढ़ते हैं और उसका मान लिखते हैं। पहले मामले में, यह 5 है, दूसरे में, 13. फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता है। उनके साथ एक ही ऑपरेशन को अंजाम देना जरूरी है। पहली संख्या में 23/100 है, दूसरे में 108/100000 है। दूसरे मूल्य को फिर से कम करने की आवश्यकता है। प्रतिक्रिया इस प्रकार है मिश्रित भिन्न: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश को हमेशा अंतिम या आवधिक में अनुवादित किया जाता है।

केवल एक चीज जिसे इस तरह के अंश के साथ करने की अनुमति है, वह है इसे गोल करना। लेकिन तब दशमलव उस अनंत के लगभग बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन रिवर्स प्रक्रिया: दशमलव में कनवर्ट करना - प्रारंभिक मूल्य कभी नहीं देगा। अर्थात्, अनंत गैर-आवधिक भिन्नों का साधारण भिन्नों में अनुवाद नहीं किया जाता है। यह याद रखना चाहिए।

अनंत आवर्त भिन्न को साधारण के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या एक से अधिक अंक आते हैं, जिनकी पुनरावृत्ति होती रहती है। उन्हें काल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 0.3(3)। यहाँ अवधि में "3"। उन्हें परिमेय के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक अंशों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि अल्पविराम से तुरंत शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग किसी भी संख्या से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

जिस नियम से आपको एक साधारण भिन्न के रूप में एक अनंत दशमलव लिखने की आवश्यकता होती है, वह इन दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। अंतिम के साथ के रूप में, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अवधि को अंश में लिखें, और संख्या 9 हर होगी, जितनी बार अवधि में अंक हों।

उदाहरण के लिए, 0,(5)। संख्या में पूर्णांक भाग नहीं होता है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता होती है। अंश में 5 लिखो और हर में 9 लिखो अर्थात अंश 5/9 का उत्तर होगा।

एक सामान्य दशमलव अंश लिखने का नियम जो एक मिश्रित भिन्न है।

अवधि की लंबाई देखें। इतने 9 में एक हर होगा।

हर लिखिए: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश का निर्धारण करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक, अवधि के साथ घटा दिए जाएंगे। घटाव योग्य - यह बिना अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवर्त दशमलव भिन्न को एक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में लिखें। आवर्त से पहले का भिन्नात्मक भाग एक अंक का होता है। तो शून्य एक होगा। आवर्त में भी केवल एक अंक होता है - 8। अर्थात् केवल एक नौ होता है। यानी आपको हर में 90 लिखना है।

58 से अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 5 घटाना होगा। यह 53 निकला। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर के रूप में 53/90 लिखना होगा।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे द्वारा सरल विकल्पयह हर में वह संख्या निकालता है जिसका अंक 10, 100 और इसी तरह है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और . के बीच पूरे भागएक अल्पविराम लगाया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100, आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। यह उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। केवल हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना आवश्यक है।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम काम आएगा: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: एक अंतिम या एक आवधिक दशमलव अंश।

सामान्य अंशों के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

छात्र उन्हें दूसरों की तुलना में पहले जानते हैं। और पहले भिन्नों के साथ एक ही भाजकऔर फिर अलग। सामान्य नियमऐसी योजना को कम किया जा सकता है।

भाजक का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए।

जलाना अतिरिक्त गुणकसभी साधारण अंशों के लिए।

अंशों और हरों को उनके लिए परिभाषित कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाना), और सामान्य हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मिन्यूएंड का अंश सबट्रेंड से कम है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित अंश।

पहले मामले में, पूर्णांक भाग को एक लेने की आवश्यकता होती है। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करें।

दूसरे में - छोटी संख्या से बड़ी संख्या में घटाव का नियम लागू करना आवश्यक है। यही है, सबट्रेंड के मापांक से मिन्यूएंड के मापांक को घटाएं, और प्रतिक्रिया में "-" चिह्न लगाएं।

जोड़ (घटाव) के परिणाम को ध्यान से देखें। यदि आपको एक अनुचित अंश मिलता है, तो यह माना जाता है कि यह पूरे भाग का चयन करता है। यानी अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उनके कार्यान्वयन के लिए, भिन्नों को कम करने की आवश्यकता नहीं है आम विभाजक. इससे कार्रवाई करने में आसानी होती है। लेकिन उन्हें अभी भी नियमों का पालन करना होगा।

साधारण अंशों को गुणा करते समय, अंश और हर में संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है। यदि किसी अंश और हर के पास है सामान्य अवयवहैं, तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें।

हरों को गुणा करें।

यदि आपको एक कम करने योग्य अंश मिलता है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणा से बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को . से बदलना होगा पारस्परिक(अंश और हर को स्वैप करें)।

फिर गुणा के रूप में आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू)।

उन कार्यों में जहां आपको एक पूर्णांक से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाले को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए अनुचित अंश. यानी 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप हमेशा दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से वर्णित योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। तब उनके जोड़ और घटाव के नियम बिल्कुल समान होंगे।

संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या को बराबर करें, अर्थात दशमलव बिंदु के बाद। इसमें लुप्त शून्यों की संख्या निर्दिष्ट करें।

भिन्न लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाना)।

अल्पविराम निकालें।

गुणन और भाग

यह महत्वपूर्ण है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। अंशों को छोड़ दिया जाना चाहिए जैसा कि उदाहरण में दिया गया है। और फिर योजना के अनुसार जाओ।

गुणन के लिए, आपको अल्पविरामों पर ध्यान न देते हुए, एक के नीचे एक अंश लिखने की जरूरत है।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें।

उत्तर में एक अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाहिने छोर से उतने अंक गिनें जितने वे दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हैं।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को परिवर्तित करना होगा: इसे बनाओ प्राकृतिक संख्या. यानी भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

एक दशमलव को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



क्या होगा यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हैं?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण होते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। इन समस्याओं के दो संभावित समाधान हैं। आपको संख्याओं को निष्पक्ष रूप से तौलना और सबसे अच्छा चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलव का प्रतिनिधित्व करें

यह उपयुक्त है यदि, विभाजित या परिवर्तित करते समय, अंतिम अंश प्राप्त होते हैं। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक होने पर यह तकनीक सुविधाजनक है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़ा साधारण अंश प्राप्त कर सकते हैं और दशमलव प्रविष्टियांआपको कार्य को तेज़ी से और आसानी से गणना करने की अनुमति देगा। इसलिए, कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करना और सबसे सरल समाधान विधि चुनना हमेशा आवश्यक होता है।