बीजगणित का अध्ययन करते समय सामान्य शिक्षा विद्यालय(ग्रेड 9) एक महत्वपूर्ण विषयअध्ययन है संख्या क्रम, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम एक अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, प्रश्न में प्रगति को परिभाषित करना आवश्यक है, साथ ही बुनियादी सूत्र, जिसका उपयोग आगे समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

अंकगणित या क्रमित परिमेय संख्याओं का ऐसा समुच्चय है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर मान से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है। अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। संख्याओं का अगला क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) है। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के सेट को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 17-12)।

महत्वपूर्ण सूत्र

अब हम मूल सूत्र देते हैं जो अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक होंगे। n . चिन्ह से निरूपित करें नौवां सदस्यअनुक्रम जहां n एक पूर्णांक है। आइए हम अंतर को निरूपित करें लैटिन अक्षरडी। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ सत्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, सूत्र उपयुक्त है: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n + a 1)*n/2.

कक्षा 9 में एक समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि प्रश्न के प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर निर्मित होती है। इसके अलावा, यह न भूलें कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1 ।

उदाहरण # 1: एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

हम एक अंकगणितीय प्रगति और उन सूत्रों का एक सरल उदाहरण देते हैं जिनका उपयोग हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, इसमें पाँच पद ज्ञात करना आवश्यक है।

यह पहले से ही समस्या की शर्तों का अनुसरण करता है कि पहले 4 शब्द ज्ञात हैं। पांचवें को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: डी = 8 - 10 = -2। इसी प्रकार कोई दो अन्य शब्द भी ले सकता है, पास में खड़ासाथ में। उदाहरण के लिए, डी = 4 - 6 = -2। चूँकि यह ज्ञात है कि d \u003d a n - a n-1, फिर d \u003d a 5 - a 4, जहाँ से हमें मिलता है: a 5 \u003d a 4 + d। स्थानापन्न ज्ञात मूल्य: एक 5 = 4 + (-2) = 2।
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: ए एन \u003d (एन - 1) * डी + ए 1 \u003d (एन - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * एन। n = 5 को अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधान एक ही परिणाम की ओर ले जाते हैं। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति का अंतर d ऋणात्मक है। ऐसे अनुक्रमों को घटते हुए कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक क्रमिक पद पिछले एक से कम होता है।

उदाहरण # 2: प्रगति अंतर

अब आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें, एक उदाहरण दें कि अंकगणितीय प्रगति के अंतर को कैसे खोजा जाए।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1 । हम स्थिति से ज्ञात डेटा को इसमें स्थानापन्न करते हैं, अर्थात संख्या 1 और 7, हमारे पास है: 18 \u003d 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया गया था।

7 शब्दों तक के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, परिभाषा का उपयोग करना चाहिए बीजगणितीय प्रगति, अर्थात्, ए 2 = ए 1 + डी, ए 3 = ए 2 + डी और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: एक 1 = 6, एक 2 = 6 + 2=8, एक 3 = 8 + 2 = 10, एक 4 = 10 + 2 = 12, एक 5 = 12 + 2 = 14 , एक 6 = 14 + 2 = 16 और 7 = 18।

उदाहरण #3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब आपको इस प्रश्न का उत्तर देना है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। नेतृत्व कर सकते हैं अगला उदाहरण: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, - 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और पद रखे जा सकें।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और शब्द होंगे, तो 1 \u003d -4 और 5 \u003d 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम उस कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं जो पिछले एक के समान है। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। प्रेषक: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। यहां हमें अंतर का पूर्णांक मान नहीं मिला, लेकिन यह है परिमेय संख्या, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब हम पाए गए अंतर को 1 में जोड़ते हैं और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करते हैं। हमें मिलता है: ए 1 = - 4, ए 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, ए 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, ए 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, जो समस्या की स्थिति से मेल खाता है।

उदाहरण #4: प्रगति का पहला सदस्य

हम हल के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखते हैं। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक जो सूत्र प्रयोग किए गए हैं वे 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या की स्थिति में इन नंबरों के बारे में कुछ पता नहीं है। फिर भी, आइए प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखें जिसके बारे में हमें जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण प्राप्त हुए जिसमें 2 अज्ञात मात्रा(ए 1 और डी)। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

निर्दिष्ट प्रणाली को हल करना सबसे आसान है यदि आप प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करते हैं। पहला समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दूसरा समीकरण: ए 1 \u003d ए 43 - 42 * डी \u003d 37 - 42 * डी। इन भावों की बराबरी करते हुए, हमें मिलता है: 50 - 14 * डी \u003d 37 - 42 * डी, जहाँ से अंतर d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप 1 के लिए ऊपर दिए गए 2 भावों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के 43 वें सदस्य को निर्धारित करें, जो कि स्थिति में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: एक 43 \u003d ए 1 + 42 * डी \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणनाओं में पूर्णांकन से हज़ारवें भाग का उपयोग किया गया था।

उदाहरण #5: योग

आइए अब एक अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

दिया जाए संख्यात्मक प्रगति निम्नलिखित प्रकार: 1, 2, 3, 4, ...,। इन संख्याओं में से 100 के योग की गणना कैसे करें?

विकास के लिए धन्यवाद कंप्यूटर तकनीकआप इस समस्या को हल कर सकते हैं, यानी क्रमिक रूप से सभी संख्याओं को जोड़ सकते हैं, जो गणकयंत्रजैसे ही व्यक्ति एंटर कुंजी दबाएगा, करेगा। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है क्योंकि जल्दी XVIIIसदी के प्रसिद्ध जर्मन, अभी भी केवल 10 वर्ष की आयु में, कुछ ही सेकंड में इसे अपने दिमाग में हल करने में सक्षम थे। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर स्थित संख्याओं के जोड़े जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूंकि ये योग ठीक 50 (100 / 2) होंगे, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण #6: n से m . तक के पदों का योग

दूसरा एक विशिष्ट उदाहरणएक समांतर श्रेणी का योग इस प्रकार है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह ज्ञात करना होगा कि 8 से 14 तक के पदों का योग क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n के बीच बीजीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। दोनों स्थितियों के लिए, हम योग के लिए दो व्यंजक लिखते हैं:

1. एस एम \u003d एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन \u003d एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n > m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहली राशि शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द m जोड़ते हैं (अंतर लेने की स्थिति में, इसे योग S n से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन \u003d एस एन - एस एम + ए एम \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2 - एम * (ए 1 + ए एम) / 2 + ए एम \u003d ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए एन * एन / 2 + ए एम * (1- एम / 2)। इस व्यंजक में n और m के लिए सूत्रों को स्थानापन्न करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है, हालांकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इससे पहले कि आप इनमें से किसी भी समस्या को हल करना शुरू करें, यह अनुशंसा की जाती है कि आप शर्त को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आप क्या खोजना चाहते हैं, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, पर रुक सकता है। और विभाजित सामान्य कार्यअलग उप-कार्यों में (in .) ये मामलापहले पद a n और a m ज्ञात कीजिए)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। एक अंकगणितीय प्रगति कैसे खोजें, पता चला। एक बार जब आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं होता है।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

अंकगणितीय प्रगति- यह संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक की तुलना में एक ही राशि से अधिक (या कम) होती है।

यह विषय अक्सर कठिन और समझ से बाहर होता है। पत्र सूचकांक, प्रगति का nवाँ पद, प्रगति का अंतर - यह सब किसी तरह भ्रमित करने वाला है, हाँ ... आइए अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझें और सब कुछ तुरंत काम करेगा।)

अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा।

अंकगणितीय प्रगति एक बहुत ही सरल और स्पष्ट अवधारणा है। शक? व्यर्थ।) अपने लिए देखें।

मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला लिखूंगा:

1, 2, 3, 4, 5, ...

क्या आप इस लाइन को आगे बढ़ा सकते हैं? पाँच के बाद कौन-सी संख्याएँ आगे बढ़ेंगी? हर कोई ... उह ..., संक्षेप में, सभी को पता चल जाएगा कि संख्या 6, 7, 8, 9, आदि आगे बढ़ेगी।

आइए कार्य को जटिल करें। मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला देता हूं:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आप पैटर्न को पकड़ सकते हैं, श्रृंखला का विस्तार कर सकते हैं, और नाम सातवींपंक्ति नंबर?

यदि आपको पता चला कि यह संख्या 20 है - मैं आपको बधाई देता हूं! आपने न केवल महसूस किया प्रमुख बिंदुअंकगणितीय प्रगति,लेकिन व्यापार में भी उनका सफलतापूर्वक उपयोग किया! यदि आप नहीं समझते हैं, तो पढ़ें।

आइए अब संवेदनाओं से गणित में प्रमुख बिंदुओं का अनुवाद करें।)

पहला मुख्य बिंदु।

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की श्रृंखला से संबंधित है।यह पहली बार में भ्रमित करने वाला है। हम समीकरणों को हल करने, रेखांकन बनाने और वह सब करने के आदी हैं ... और फिर श्रृंखला का विस्तार करें, श्रृंखला की संख्या ज्ञात करें ...

कोई बात नहीं। यह सिर्फ इतना है कि प्रगति गणित की एक नई शाखा के साथ पहला परिचय है। अनुभाग को "श्रृंखला" कहा जाता है और यह संख्याओं और भावों की श्रृंखला के साथ काम करता है। इस्की आद्त डाल लो।)

दूसरा मुख्य बिंदु।

एक अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी संख्या पिछली संख्या से भिन्न होती है उसी राशि से।

पहले उदाहरण में, यह अंतर एक है। आप जो भी संख्या लें, वह पिछले वाले से एक अधिक है। दूसरे में - तीन। कोई भी संख्या पिछली संख्या से तीन गुना अधिक होती है। दरअसल, यह वह क्षण है जो हमें पैटर्न को पकड़ने और बाद की संख्याओं की गणना करने का अवसर देता है।

तीसरा प्रमुख बिंदु।

यह क्षण हड़ताली नहीं है, हाँ ... लेकिन बहुत, बहुत महत्वपूर्ण। वह यहाँ है: प्रत्येक प्रगति संख्याअपनी जगह पर खड़ा है।पहली संख्या है, सातवीं है, पैंतालीसवां है, और इसी तरह। यदि आप उन्हें बेतरतीब ढंग से भ्रमित करते हैं, तो पैटर्न गायब हो जाएगा। अंकगणितीय प्रगति भी गायब हो जाएगी। यह सिर्फ संख्याओं की एक श्रृंखला है।

यह पूरी बात है।

बेशक, में नया विषयनए नियम और संकेतन प्रकट होते हैं। उन्हें जानने की जरूरत है। अन्यथा, आप कार्य को नहीं समझेंगे। उदाहरण के लिए, आपको कुछ ऐसा तय करना होगा:

समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह पद लिखिए यदि a 2 = 5, d = -2.5 है।

क्या यह प्रेरित करता है?) पत्र, कुछ अनुक्रमित ... और कार्य, वैसे, आसान नहीं हो सकता। आपको बस शब्दों और संकेतन के अर्थ को समझने की जरूरत है। अब हम इस मामले में महारत हासिल करेंगे और काम पर लौटेंगे।

शर्तें और पदनाम।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक से भिन्न होती है उसी राशि से।

इस मान को कहा जाता है . आइए इस अवधारणा से अधिक विस्तार से निपटें।

अंकगणितीय प्रगति अंतर।

अंकगणितीय प्रगति अंतरवह राशि है जिसके द्वारा कोई प्रगति संख्या अधिकपिछला वाला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु. कृपया शब्द पर ध्यान दें "अधिक"।गणितीय रूप से, इसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रगति संख्या प्राप्त होती है जोड़नेपिछली संख्या से अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

गणना करने के लिए, मान लें दूसरापंक्ति की संख्या, यह आवश्यक है पहलासंख्या जोड़ेंअंकगणितीय प्रगति का यह बहुत अंतर। गणना के लिए पांचवां- अंतर आवश्यक है जोड़ेंप्रति चौथीअच्छा, आदि

अंकगणितीय प्रगति अंतरशायद सकारात्मकतब श्रृंखला की प्रत्येक संख्या वास्तविक निकलेगी पिछले एक से अधिक।इस प्रगति को कहा जाता है की बढ़ती।उदाहरण के लिए:

8; 13; 18; 23; 28; .....

यहाँ प्रत्येक संख्या है जोड़ने सकारात्मक संख्या, +5 पिछले एक के लिए।

अंतर हो सकता है नकारात्मकतो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या होगी पिछले वाले से कम।इस प्रगति को कहा जाता है (आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे!) घट रहा है।

उदाहरण के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

यहां हर नंबर भी मिलता है जोड़नेपिछले करने के लिए, लेकिन पहले से ही ऋणात्मक संख्या, -5।

वैसे, प्रगति के साथ काम करते समय, इसकी प्रकृति को तुरंत निर्धारित करना बहुत उपयोगी होता है - चाहे वह बढ़ रहा हो या घट रहा हो। यह निर्णय में आपके असर को खोजने, अपनी गलतियों का पता लगाने और बहुत देर होने से पहले उन्हें ठीक करने में बहुत मदद करता है।

अंकगणितीय प्रगति अंतरआमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है डी।

कैसे ढूंढें डी? बहुत आसान। श्रृंखला की किसी भी संख्या में से घटाना आवश्यक है पिछलासंख्या। घटाना। वैसे, घटाव के परिणाम को "अंतर" कहा जाता है।)

आइए परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, डीबढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति के लिए:

2, 5, 8, 11, 14, ...

हम जितनी भी पंक्ति चाहते हैं, उसकी कोई भी संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए, 11. इसमें से घटाना पिछली संख्या, वे। आठ:

यह सही जवाब है। इस अंकगणितीय प्रगति के लिए, अंतर तीन है।

आप बस ले सकते हैं प्रगति की कोई संख्या,इसलिये एक विशिष्ट प्रगति के लिए डी-हमेशा एक ही।कम से कम कहीं पंक्ति की शुरुआत में, कम से कम बीच में, कम से कम कहीं भी। आप केवल पहला नंबर नहीं ले सकते। सिर्फ इसलिए कि सबसे पहले नंबर पिछला नहीं।)

वैसे, यह जानते हुए कि डी = 3, इस प्रगति की सातवीं संख्या ज्ञात करना बहुत सरल है। हम पांचवें नंबर में 3 जोड़ते हैं - हमें छठा मिलता है, यह 17 होगा। हम छठे नंबर में तीन जोड़ते हैं, हमें सातवां नंबर मिलता है - बीस।

आइए परिभाषित करें डीघटती हुई अंकगणितीय प्रगति के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मैं आपको याद दिलाता हूं कि, संकेतों की परवाह किए बिना, निर्धारित करने के लिए डीकिसी भी नंबर से चाहिए पिछले एक को दूर ले जाओ।हम प्रगति की कोई भी संख्या चुनते हैं, उदाहरण के लिए -7। उनका पिछला नंबर -2 है। फिर:

डी = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कोई भी संख्या हो सकती है: पूर्णांक, भिन्नात्मक, अपरिमेय, कोई भी।

अन्य शर्तें और पदनाम।

श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

प्रगति के प्रत्येक सदस्य उसका नंबर है।बिना किसी तरकीब के, संख्याएँ सख्ती से क्रम में हैं। पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा, आदि। उदाहरण के लिए, प्रगति में 2, 5, 8, 11, 14, ... दो पहला सदस्य है, पांच दूसरा है, ग्यारह चौथा है, ठीक है, आप समझते हैं ...) कृपया स्पष्ट रूप से समझें - नंबर खुदबिल्कुल कोई भी हो सकता है, संपूर्ण, भिन्नात्मक, नकारात्मक, जो भी हो, लेकिन नंबरिंग- कड़ाई से क्रम में!

में प्रगति कैसे दर्ज करें? सामान्य दृष्टि से? कोई बात नहीं! श्रृंखला में प्रत्येक संख्या एक अक्षर के रूप में लिखी जाती है। एक अंकगणितीय प्रगति को निरूपित करने के लिए, एक नियम के रूप में, अक्षर का उपयोग किया जाता है एक. सदस्य संख्या नीचे दाईं ओर सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है। सदस्यों को अल्पविराम (या अर्धविराम) से अलग करके लिखा जाता है, जैसे:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1पहला नंबर है एक 3- तीसरा, आदि। कुछ भी पेचीदा नहीं। आप इस श्रंखला को संक्षेप में इस प्रकार लिख सकते हैं: (एक).

प्रगति हैं सीमित और अनंत।

परमप्रगति है सीमित मात्रा मेंसदस्य। पाँच, अड़तीस, जो भी हो। लेकिन यह एक सीमित संख्या है।

अनंतप्रगति - में अनंत संख्या में सदस्य हैं, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं।)

आप इस तरह की श्रृंखला, सभी सदस्यों और अंत में एक बिंदु के माध्यम से अंतिम प्रगति लिख सकते हैं:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5।

या इस तरह, यदि कई सदस्य हैं:

ए 1 , ए 2 , ... ए 14 , ए 15 ।

पर संक्षेपाक्षरआपको सदस्यों की संख्या अतिरिक्त रूप से निर्दिष्ट करनी होगी। उदाहरण के लिए (बीस सदस्यों के लिए), इस तरह:

(ए एन), एन = 20

पंक्ति के अंत में दीर्घवृत्त द्वारा एक अनंत प्रगति को पहचाना जा सकता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है।

अब आप पहले से ही कार्यों को हल कर सकते हैं। कार्य सरल हैं, विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।

अंकगणितीय प्रगति के कार्यों के उदाहरण।

आइए उपरोक्त कार्य पर करीब से नज़र डालें:

1. समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह सदस्यों को लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 हो।

हम कार्य को स्थानांतरित करते हैं समझने योग्य भाषा. एक अनंत अंकगणितीय प्रगति को देखते हुए। इस प्रगति की दूसरी संख्या ज्ञात है: ए 2 = 5.ज्ञात प्रगति अंतर: डी = -2.5।हमें इस प्रगति के पहले, तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे सदस्यों को खोजने की जरूरत है।

स्पष्टता के लिए, मैं समस्या की स्थिति के अनुसार एक श्रृंखला लिखूंगा। पहले छह सदस्य, जहां दूसरा सदस्य पांच है:

एक 1 , 5 , ए 3 , ए 4 , ए 5 , ए 6 ,....

एक 3 = एक 2 + डी

हम व्यंजक में स्थानापन्न करते हैं ए 2 = 5तथा घ=-2.5. माइनस मत भूलना!

एक 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तीसरा पद है एक सेकंड से भी कम. सब कुछ तार्किक है। यदि संख्या पिछले एक से अधिक है नकारात्मकमान, इसलिए संख्या स्वयं पिछले वाले से कम होगी। प्रगति घट रही है। ठीक है, आइए इसे ध्यान में रखते हैं।) हम अपनी श्रृंखला के चौथे सदस्य पर विचार करते हैं:

एक 4 = एक 3 + डी

एक 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

एक 5 = एक 4 + डी

एक 5=0+(-2,5)= - 2,5

एक 6 = एक 5 + डी

एक 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

तो, तीसरे से छठे तक की शर्तों की गणना की गई है। इसके परिणामस्वरूप एक श्रृंखला हुई:

ए 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

यह पहला पद खोजने के लिए बनी हुई है एक 1पर प्रसिद्ध दूसरा. यह दूसरी दिशा में एक कदम है, बाईं ओर।) इसलिए, अंकगणितीय प्रगति का अंतर डीमें नहीं जोड़ा जाना चाहिए एक 2, एक ले लेना:

एक 1 = एक 2 - डी

एक 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

यही सब है इसके लिए। कार्य प्रतिक्रिया:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

गुजरते समय, मैं ध्यान देता हूं कि हमने इस कार्य को हल कर लिया है आवर्तकमार्ग। इस भयानक शब्द का अर्थ है, केवल, प्रगति के सदस्य की खोज पिछली (आसन्न) संख्या से।प्रगति के साथ काम करने के अन्य तरीकों पर बाद में चर्चा की जाएगी।

इस से सरल कार्यएक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

याद है:

यदि हम कम से कम एक सदस्य और एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर जानते हैं, तो हम इस प्रगति के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

याद है? यह सरल व्युत्पत्ति हमें अधिकांश समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है स्कूल पाठ्यक्रमइस विषय पर। सभी कार्य घूमते हैं तीन मुख्यपैरामीटर: एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य, एक प्रगति का अंतर, एक प्रगति के सदस्य की संख्या।हर चीज़।

बेशक, पिछले सभी बीजगणित रद्द नहीं किए गए हैं।) असमानताएं, समीकरण और अन्य चीजें प्रगति से जुड़ी हुई हैं। परंतु प्रगति के अनुसार- सब कुछ तीन मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमता है।

उदाहरण के लिए, कुछ पर विचार करें लोकप्रिय कार्यइस विषय पर।

2. एक श्रृंखला के रूप में अंतिम अंकगणितीय प्रगति लिखें यदि n=5, d=0.4, और a 1=3.6 है।

यहाँ सब कुछ सरल है। सब कुछ पहले ही दिया जा चुका है। आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की गणना कैसे की जाती है, गिनें और लिखें। यह सलाह दी जाती है कि कार्य की स्थिति में शब्दों को न छोड़ें: "अंतिम" और " एन = 5"। जब तक आप पूरी तरह से नीले रंग के न हों, तब तक गिनती न करने के लिए।) इस प्रगति में केवल 5 (पांच) सदस्य हैं:

ए 2 \u003d ए 1 + डी \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

ए 3 \u003d ए 2 + डी \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

एक 4 = एक 3 + डी = 4.4 + 0.4 = 4.8

एक 5 = एक 4 + डी = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिखना बाकी है:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

एक अन्य कार्य:

3. निर्धारित करें कि क्या संख्या 7 अंकगणितीय प्रगति (a n) का सदस्य होगा यदि ए 1 \u003d 4.1; घ = 1.2.

हम्म... कौन जानता है? किसी चीज को कैसे परिभाषित करें?

कैसे-कैसे ... हाँ, एक श्रंखला के रूप में प्रगति लिखिए और देखिए कि सात होंगे या नहीं! हमें यकीन है:

ए 2 \u003d ए 1 + डी \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

ए 3 \u003d ए 2 + डी \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

एक 4 = एक 3 + डी = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

अब साफ तौर पर देखा जा रहा है कि हम सिर्फ सात के हैं के माध्यम से फिसल 6.5 और 7.7 के बीच! सात हमारी संख्याओं की श्रृंखला में शामिल नहीं हुए, और इसलिए, सात दी गई प्रगति के सदस्य नहीं होंगे।

उत्तर: नहीं।

और यहाँ पर आधारित एक समस्या है वास्तविक संस्करणजीआईए:

4. अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमागत सदस्यों को लिखा जाता है:

...; पंद्रह; एक्स; 9; 6; ...

यहाँ अंत और शुरुआत के बिना एक श्रृंखला है। कोई सदस्य संख्या नहीं, कोई अंतर नहीं डी. कोई बात नहीं। समस्या को हल करने के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझना पर्याप्त है। आइए देखें और देखें कि हम क्या कर सकते हैं पता होनाइस लाइन से? तीन मुख्य के पैरामीटर क्या हैं?

सदस्य संख्या? यहां एक भी नंबर नहीं है।

लेकिन तीन नंबर हैं और - ध्यान! - शब्द "लगातार"इस शर्त। इसका मतलब है कि संख्याएं बिना अंतराल के सख्ती से क्रम में हैं। क्या इस पंक्ति में दो हैं? पड़ोसी ज्ञात संख्या? हाँ वहाँ है! ये 9 और 6 हैं। अतः हम एक समान्तर श्रेणी के अंतर की गणना कर सकते हैं! हम छह . से घटाते हैं पिछलासंख्या, यानी नौ:

खाली जगह बाकी हैं। x के लिए पिछली संख्या कौन सी होगी? पंद्रह। तो X को आसानी से पाया जा सकता है सरल जोड़. अंकगणितीय प्रगति के अंतर को 15 में जोड़ें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स = 12

हम निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करते हैं। नोट: ये पहेलियाँ फॉर्मूले के लिए नहीं हैं। विशुद्ध रूप से एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।) हम केवल संख्या-अक्षरों की एक श्रृंखला लिखते हैं, देखते हैं और सोचते हैं।

5. समांतर श्रेणी का पहला धनात्मक पद ज्ञात कीजिए यदि a 5 = -3; घ = 1.1.

6. यह ज्ञात है कि संख्या 5.5 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 1.6; डी = 1.3। इस सदस्य की संख्या n ज्ञात कीजिए।

7. यह ज्ञात है कि एक समांतर श्रेणी में 2 = 4; ए 5 \u003d 15.1। एक 3 खोजें।

8. अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमागत सदस्यों को लिखा जाता है:

...; 15.6; एक्स; 3.4; ...

अक्षर x द्वारा निरूपित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

9. ट्रेन ने स्टेशन से चलना शुरू किया, धीरे-धीरे अपनी गति 30 मीटर प्रति मिनट बढ़ा दी। पांच मिनट में ट्रेन की गति क्या होगी? अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

10. यह ज्ञात है कि एक समांतर श्रेणी में 2 = 5; एक 6 = -5। 1 . खोजें.

उत्तर (अव्यवस्था में): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; चार।

सब कुछ ठीक हो गया? अद्भुत! आप अधिक के लिए अंकगणितीय प्रगति में महारत हासिल कर सकते हैं उच्च स्तर, अगले पाठों में।

क्या सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कोई बात नहीं। विशेष धारा 555 में, इन सभी पहेलियों को हड्डियों द्वारा क्रमबद्ध किया गया है।) और, ज़ाहिर है, एक सरल व्यावहारिक तकनीक, जो ऐसे कार्यों के समाधान को स्पष्ट रूप से, स्पष्ट रूप से, पूर्ण दृष्टि से तुरंत उजागर करता है!

वैसे ट्रेन को लेकर पहेली में दो ऐसी समस्याएं हैं जिन पर अक्सर लोग ठोकर खा जाते हैं। एक - विशुद्ध रूप से प्रगति से, और दूसरा - गणित, और भौतिकी में भी किसी भी कार्य के लिए सामान्य। यह आयामों का एक से दूसरे में अनुवाद है। यह दिखाता है कि इन समस्याओं को कैसे हल किया जाना चाहिए।

इस पाठ में, हमने अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ और उसके मुख्य मापदंडों की जांच की। यह इस विषय पर लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ें डीसंख्याओं के लिए, एक श्रृंखला लिखें, सब कुछ तय हो जाएगा।

श्रृंखला के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए उंगली का समाधान अच्छी तरह से काम करता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है। यदि श्रृंखला लंबी है, तो गणना अधिक जटिल हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न में समस्या 9 में, प्रतिस्थापित करें "पाँच मिनट"पर "पैंतीस मिनट"समस्या और भी विकट हो जाएगी।)

और ऐसे कार्य भी हैं जो संक्षेप में सरल हैं, लेकिन गणना के मामले में पूरी तरह से बेतुके हैं, उदाहरण के लिए:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) को देखते हुए। यदि a 1 =3 और d=1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

और क्या, हम 1/6 कई, कई बार जोड़ेंगे?! क्या खुद को मारना संभव है !?

आप कर सकते हैं।) यदि आप नहीं जानते एक सरल सूत्र, जिसके अनुसार आप ऐसे कार्यों को एक मिनट में हल कर सकते हैं। यह सूत्र अगले पाठ में होगा। और वह समस्या वहीं हल हो जाती है। एक मिनट में।)

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

अनुदेश

एक अंकगणितीय प्रगति a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d के रूप का अनुक्रम है। संख्या डी चरण प्रगतिजाहिर है, अंकगणित के एक मनमाना nवें पद का योग प्रगतिका रूप है: An = A1+(n-1)d। फिर सदस्यों में से एक को जानना प्रगति, सदस्य प्रगतिऔर कदम प्रगति, हो सकता है , अर्थात्, प्रगति अवधि की संख्या। जाहिर है, यह सूत्र n = (An-A1+d)/d द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

अब mth पद ज्ञात करें प्रगतिऔर कुछ अन्य सदस्य प्रगति- n-th, लेकिन n , जैसा कि पिछले मामले में है, लेकिन यह ज्ञात है कि n और m मेल नहीं खाते। चरण प्रगतिसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है: d = (An-Am)/(n-m)। तब n = (An-Am+md)/d.

यदि एक अंकगणित के कई तत्वों का योग प्रगति, साथ ही इसके पहले और अंतिम, तो इन तत्वों की संख्या भी निर्धारित की जा सकती है प्रगतिके बराबर होगा: S = ((A1+An)/2)n। फिर n = 2S/(A1+An) chdenov . हैं प्रगति. इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि An = A1+(n-1)d, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: n = 2S/(2A1+(n-1)d)। इससे n को हल करके व्यक्त किया जा सकता है द्विघात समीकरण.

एक अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रमबद्ध सेट है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, पहले को छोड़कर, पिछले एक से समान मात्रा में भिन्न होता है। इस लगातारइसे प्रगति या उसके चरण का अंतर कहा जाता है और इसकी गणना अंकगणितीय प्रगति के ज्ञात सदस्यों से की जा सकती है।

अनुदेश

यदि समस्या की स्थितियों से पहले और दूसरे या पड़ोसी शब्दों के किसी अन्य जोड़े के मूल्यों को जाना जाता है, तो अंतर (डी) की गणना करने के लिए, बस पिछले पद को अगले पद से घटाएं। परिणामी मान या तो धनात्मक हो सकता है या ऋणात्मक संख्या- यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रगति बढ़ रही है या नहीं। पर सामान्य फ़ॉर्मप्रगति के पड़ोसी सदस्यों के एक स्वेच्छ युग्म (aᵢ और aᵢ₊₁) का हल इस प्रकार लिखिए: d = aᵢ₊₁ - aᵢ।

ऐसी प्रगति के सदस्यों की एक जोड़ी के लिए, जिनमें से एक पहला (ए₁) है, और दूसरा कोई अन्य मनमाने ढंग से चुना गया है, कोई भी अंतर (डी) खोजने के लिए एक सूत्र भी बना सकता है। हालांकि, इस मामले में, अनुक्रम के मनमाने ढंग से चुने गए सदस्य की क्रम संख्या (i) ज्ञात होनी चाहिए। अंतर की गणना करने के लिए, दोनों संख्याओं को जोड़ें, और परिणाम को एक से घटाकर एक मनमाना पद की क्रमिक संख्या से विभाजित करें। सामान्य तौर पर, इस सूत्र को इस प्रकार लिखें: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1)।

यदि, क्रमिक संख्या i के साथ अंकगणितीय प्रगति के एक मनमाना सदस्य के अलावा, क्रमांक संख्या u वाला कोई अन्य सदस्य ज्ञात है, तो पिछले चरण से सूत्र को तदनुसार बदलें। इस मामले में, प्रगति का अंतर (डी) इन दो शब्दों के योग को उनके अंतर से विभाजित किया जाएगा क्रम संख्याएँ: डी = (एᵢ+एᵥ)/(आई-वी)।

अंतर (डी) की गणना के लिए सूत्र कुछ और जटिल हो जाता है, यदि समस्या की स्थितियों में, इसके पहले सदस्य (ए₁) का मूल्य और पहले सदस्यों की दी गई संख्या (आई) का योग (एसᵢ) दिया जाता है अंकगणित क्रम. वांछित मूल्य प्राप्त करने के लिए, योग को उन पदों की संख्या से विभाजित करें जो इसे बनाते हैं, अनुक्रम में पहली संख्या के मूल्य को घटाते हैं, और परिणाम को दोगुना करते हैं। परिणामी मान को उन पदों की संख्या से विभाजित करें, जो योग को एक से घटाकर बनाते हैं। सामान्य तौर पर, विवेचक की गणना के लिए सूत्र इस प्रकार लिखें: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1)।

क्या मुख्य मुद्दासूत्र?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उनके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला टर्म जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या धोखा देना) पर्याप्त नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करना आवश्यक है। और मत भूलना सही वक्त, लेकिन कैसे भूलना नहीं- मुझे नहीं पता। परंतु कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हो तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो अंत तक पाठ में महारत हासिल करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र से निपटें।

सामान्य रूप से एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से कहा गया है। अगर आपने नहीं पढ़ा है तो देख लीजिए। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है क्या वां सदस्य।

सामान्य तौर पर प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवां - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईअंकगणितीय प्रगति का सदस्य, s कोईसंख्या? बहुत आसान! ऐशे ही:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य।अक्षर n के तहत सदस्यों की सभी संख्याएँ एक साथ छिपी हुई हैं: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक लेटर लिख दिया...

यह प्रविष्टि हमें शक्तिशाली उपकरणअंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए। नोटेशन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और कार्यों का एक गुच्छा प्रगति में हल करने के लिए। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1 ; डीतथा एन. इन मापदंडों के इर्द-गिर्द, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए nवें पद के सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = 5 + (एन -1) 2.

ऐसी समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करना, यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2.

और यह और भी गुस्सा हो सकता है!) अगर हम एक ही शर्त लेते हैं: ए एन = 5 + (एन -1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलिए और समान संख्याएँ दीजिए? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

एक = 3 + 2n।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर घाटा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य पांच है ... थोड़ा कम हम ऐसे संशोधित फॉर्मूले के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और संकेतन है - एक एन+1. यह है, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस पहला" शब्द। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि किसी समस्या में हम लेते हैं एकपाँचवाँ कार्यकाल, फिर एक एन+1छठे सदस्य होंगे। आदि।

अक्सर पदनाम एक एन+1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इससे डरो मत भयानक शब्द!) यह एक अंकगणितीय प्रगति के पद को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि हमें आवर्तक सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन+1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवें - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वां पद ज्ञात नहीं है, 20वीं की गणना नहीं की जा सकती है। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। रिकर्सिव केवल के माध्यम से काम करता है पिछलापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से सबसे पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम में नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार पदों की एक जोड़ी की गणना करें, अंतर की गणना करें डी,खोजें, यदि आवश्यक हो, तो पहला पद एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ कार्य करें। GIA में, ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

शुरू करने के लिए, विचार करें प्रत्यक्ष आवेदनसूत्र पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) को देखते हुए। यदि a 1 =3 और d=1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार घोल में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं नंबर एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठकों में प्रतिस्थापित करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को रखें और गणना करें:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

यही सब है इसके लिए। जितनी जल्दी कोई पांच सौ दसवां सदस्य, और एक हजार और तीसरा, कोई भी ढूंढ सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एन वांछित संख्यापत्र के सूचकांक में " एक"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उनके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को बेहतर तरीके से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेणी (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। एक समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए!हाँ हाँ। हाथ से लिखें, ठीक अपनी नोटबुक में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध घ = -0.5,सत्रहवाँ सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, हाँ...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छुपे हुए दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी बात" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी बात" के बिना, सिर नहीं!) समस्या हल नहीं हो सकती है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण तरीके से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

ए 17 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलो इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब कुछ है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको उत्तर मिलता है: ए 1 = 6.

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - इसमें बहुत मदद करता है सरल कार्य. ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करना है!? इस कौशल के बिना गणित की पढ़ाई बिल्कुल भी नहीं हो सकती...

एक और लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेणी (a n) का अंतर ज्ञात कीजिए यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिखते हैं!)

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1तथा डीनिर्णय लिया। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे प्राप्त करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ = 3. इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन -1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: एक एन और एन।परंतु एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हमें उसका नंबर नहीं पता। एन,इसलिए इस नंबर को भी खोजने की जरूरत है। प्रगति पद 99 को सूत्र में बदलें:

99 = 12 + (एन -1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब एक ही विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगा:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए फिर से सूत्र लिखें। क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से निर्धारित किया जा सकता है? यह आसान है यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हां, हमने सबसे आसान काम किया। यह अज्ञात नंबर से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर की संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का शब्द था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो!? अच्छा, कैसे होना है, कैसे होना है... चालू करें रचनात्मक कौशल!)

हम मान लीजिएआखिरकार, 117 हमारी प्रगति का सदस्य है। एक अनजान नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला भिन्नात्मक!डेढ़ सौ। और प्रगति में भिन्नात्मक संख्याएं नहीं हो सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 नहीं हैहमारी प्रगति के सदस्य। यह 101वें और 102वें सदस्यों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक है, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगा। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: ना।

जीआईए के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन \u003d -4 + 6.8n

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र ... होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा था) - अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र भी!वह भी अनुमति देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से ज्ञात कीजिए।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद शून्य से चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छुपे हुए।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1में यह सूत्र:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहां! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

ए 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

यही सब है इसके लिए।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, एक कठिन युद्ध की स्थिति में, GIA या एकीकृत राज्य परीक्षा, आप भूल गए उपयोगी सूत्रअंकगणितीय प्रगति का nवाँ सदस्य। कुछ दिमाग में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से ... चाहे एनवहाँ, या एन+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन सुनिश्चित करने के लिए और सही निर्णययह काफी है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय देना पर्याप्त है। आपको बस एक तस्वीर खींचने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम चित्र बनाते हैं संख्यात्मक अक्षऔर उस पर पहले वाले को चिह्नित करें। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। ऐशे ही:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

एक 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

एक 3 =ए 1 + 2 डी

क्या आपको यह समझ आया? मैं कुछ शब्दों को उजागर करने में व्यर्थ नहीं हूं बोल्ड में. ठीक है, एक और कदम।)

चौथा पद क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

एक 4 =ए 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, अर्थात। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक n, अंतराल की संख्याहोगा एन-1.तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित में कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के पूरे शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानता, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. समांतर श्रेणी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1. एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए, यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। अंतर महसूस करें!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. एक 3 खोजें।

क्या, चित्र बनाने में अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन+1 = एक एन +0.5। इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें कार्यकाल तक की गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन नौवें पद का सूत्र हर किसी की शक्ति के भीतर है!

4. एक समान्तर श्रेणी (a n) को देखते हुए:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्त के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखना है और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

हो गई? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। वैसे, में अंतिम असाइनमेंटएक सूक्ष्म बिंदु है। समस्या को पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए काल्पनिक तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और nवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

हमारे पाठ का आदर्श वाक्य रूसी गणितज्ञ वी.पी. एर्मकोवा: "गणित में, किसी को सूत्र नहीं, बल्कि सोच की प्रक्रियाओं को याद रखना चाहिए।"

कक्षाओं के दौरान

समस्या का निरूपण

बोर्ड पर गॉस का चित्र है। एक शिक्षक या छात्र जिसे संदेश तैयार करने के लिए पहले से कार्य दिया गया था, का कहना है कि जब गॉस स्कूल में था, तो शिक्षक ने छात्रों से सब कुछ जोड़ने के लिए कहा। पूर्णांकों 1 से 100 तक। लिटिल गॉस ने इस समस्या को एक मिनट में हल किया।

प्रश्न . गॉस को इसका उत्तर कैसे मिला?

समाधान खोजें

छात्र अपनी धारणा व्यक्त करते हैं, फिर योग करते हैं: यह महसूस करते हुए कि योग 1 + 100, 2 + 99, आदि। बराबर हैं, गॉस ने 101 को 50 से गुणा किया, यानी ऐसी राशियों की संख्या से। दूसरे शब्दों में, उन्होंने एक पैटर्न देखा जो एक अंकगणितीय प्रगति में निहित है।

योग सूत्र की व्युत्पत्ति एनअंकगणितीय प्रगति की पहली शर्तें

पाठ के विषय को बोर्ड पर और अपनी नोटबुक में लिखें। छात्र, शिक्षक के साथ मिलकर सूत्र की व्युत्पत्ति लिखते हैं:

होने देना एक 1 ; एक 2 ; एक 3 ; एक 4 ; ...; एक – 2 ; एक – 1 ; एक- अंकगणितीय प्रगति।

प्राथमिक बन्धन

1. आइए सूत्र (1) का उपयोग करके गॉस समस्या को हल करें:

2. सूत्र (1) का प्रयोग करते हुए समस्याओं को मौखिक रूप से हल करें (उनकी शर्तें ब्लैकबोर्ड या कोड पॉजिटिव पर लिखी जाती हैं), ( एक) - अंकगणितीय प्रगति:

एक) एक 1 = 2, एक 10 = 20. एस 10 - ?

बी) एक 1 = –5, एक 7 = 1. एस 7 - ? [–14]

में) एक 1 = –2, एक 6 = –17. एस 6 - ? [–57]

जी) एक 1 = –5, एक 11 = 5. एस 11 - ?

3. कार्य पूरा करें।

दिया गया :( एक) - अंकगणितीय प्रगति;

एक 1 = 3, एक 60 = 57.

पाना: एस 60 .

समाधान. आइए योग सूत्र का उपयोग करें एनअंकगणितीय प्रगति की पहली शर्तें

उत्तर: 1800.

अतिरिक्त प्रश्न।इस सूत्र द्वारा कितने प्रकार की विभिन्न समस्याओं का समाधान किया जा सकता है?

उत्तर. चार प्रकार के कार्य:

राशि का पता लगाएं एस नहीं;

समांतर श्रेणी का पहला पद ज्ञात कीजिए एक 1 ;

पाना एन- अंकगणितीय प्रगति का सदस्य एक;

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

4. पूर्ण कार्य: संख्या 369 (बी)।

एक समान्तर श्रेणी के इकसठवें पदों का योग ज्ञात कीजिए ( एक), यदि एक 1 = –10,5, एक 60 = 51,5.

समाधान.

उत्तर: 1230.

अतिरिक्त प्रश्न. सूत्र लिखिए एनअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य।

उत्तर: एक = एक 1 + डी(एन – 1).

5. समांतर श्रेणी के पहले नौ पदों के लिए सूत्र की गणना करें ( बी नहीं),
यदि बी 1 = –17, डी = 6.

क्या सूत्र का उपयोग करके तुरंत गणना करना संभव है?

नहीं, क्योंकि नौवां पद अज्ञात है।

इसे कैसे खोजें?

सूत्र के अनुसार एनअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य।

समाधान. बी 9 = बी 1 + 8डी = –17 + 8∙6 = 31;

उत्तर: 63.

प्रश्न. क्या प्रगति के नौवें पद की गणना किए बिना योग ज्ञात करना संभव है?

समस्या का निरूपण

समस्या: योग सूत्र प्राप्त करें एनएक अंकगणितीय प्रगति के पहले पद, इसके पहले पद और अंतर को जानते हुए डी.

(छात्र द्वारा ब्लैकबोर्ड पर सूत्र का आउटपुट।)

निर्णय संख्या 371(ए) पर नवीन फ़ॉर्मूला (2):

मौखिक रूप से समेकित सूत्र (2) ( कार्य की शर्तें बोर्ड पर लिखी जाती हैं).

(एक

1. एक 1 = 3, डी = 4. एस 4 - ?

2. एक 1 = 2, डी = –5. एस 3 - ? [–9]

छात्रों से पूछें कि वे कौन से प्रश्न नहीं समझते हैं।

स्वतंत्र काम

विकल्प 1

दिया गया: (एक) एक अंकगणितीय प्रगति है।

1. एक 1 = –3, एक 6 = 21. एस 6 - ?

2. एक 1 = 6, डी = –3. एस 4 - ?

विकल्प 2

दिया गया: (एक) एक अंकगणितीय प्रगति है।

1.एक 1 = 2, एक 8 = –23. एस 8 - ? [–84]

2.एक 1 = –7, डी = 4. एस 5 - ?

छात्र नोटबुक बदलते हैं और एक-दूसरे के समाधान की जांच करते हैं।

स्वतंत्र कार्य के परिणामों के आधार पर सामग्री के आत्मसात को संक्षेप में प्रस्तुत करें।